Diszkrét matematika 978-963-2790-85-5 [PDF]


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Diszkrét matematika
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Zitiervorschau

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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

© Typotex Kiadó

  



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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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 ! Fn+1 Fn + Fn Fn−1 = (Fn + Fn−1 )Fn + (Fn−1 + Fn−2 )Fn−1 =   2 + (Fn Fn−1 + Fn−1 Fn−2 ) = = Fn2 + Fn−1 = F2n−1 + F2n−2 = F2n .

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   9 #  ! 2 2 Fn2 + Fn−1 = (Fn−1 + Fn−2 )2 + Fn−1 = 2 2 2 = (Fn−1 + Fn−2 ) + 2Fn−1 Fn−2 + Fn−1 =   2 2 = Fn−1 + Fn−2 + Fn−1 (Fn−2 + Fn−1 ) + Fn−1 Fn−2 =   2 2 + Fn Fn−1 + Fn−1 Fn−2 = = Fn−1 + Fn−2 = F2n−3 + F2n−2 = F2n−1 .

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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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E0 = A, E1 = B, E2 = A + B, E3 = B + (A + B) = A + 2B, E4 = (A + B) + (A + 2B) = 2A + 3B, E5 = (A + 2B) + (2A + 3B) = 3A + 5B, E6 = (2A + 3B) + (3A + 5B) = 5A + 8B, E7 = (3A + 5B) + (5A + 8B) = 8A + 13B . . .

( $ 9    9 !  En  A  B          $   8 9 # )       8 9   ! En = Fn−1 A + Fn B. K66L ) &        J  K  /#L           $ 9     B#  9 / K657, & L   

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1 2 2 4

3

3

4

1

8·8 = 64

5·13 = 65

67     $ 9  64 = 65   

$   )         /  

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√ n  √ n  1+ 5 1− 5 . − 2 2





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1 1 8 5 34 21 144 89

3 5 = 1.5, = 1, 666666667, 2 3 13 21 = 1, 600000000, = 1, 625000000, = 1, 615384615, 8 13 55 89 = 1, 619047619, = 1, 617647059, = 1, 618181818, 34 55 233 377 = 1, 617977528, = 1, 618055556, = 1, 618025751. 144 233 = 1,

2 = 2, 1

S  $ 9         9   K  9   #   L   1, 6189 A  / $ 9            )  #         K        9    /  L " / 9 $        $          D #  /# &8

 "  9 Gn = c · qn      K9  c, q = 0L A   Gn+1 = Gn + Gn−1

&8

 

c · q n+1 = c · q n + c · q n−1 ,

   )/$     ! q 2 = q + 1.

F  c$   n    ½  c +2 ( n &T#+2 # &)2# *!8&#  6$:#2 &+( /&:# +8# 2/8/? (1 &:# & &+$;  O"/#DD?.+& 8 68(B2 '22(.%$$+21  /8 ##  2/8/(# *&##: $)! 6$:#((&  *&B2 2(!& $2(/8/(* 2(#+# $: -)B0 2/8/(/ 46# 2(8#  c?8 */# /(B# 2.+& #./8!DB8 # 2(!;36# (# .&%&1 3 $: 2/8/( & &+$;  2(B"# ./8$B 8 68(B1  /8  2/8/( &2, *&3!#: $)! &3$:* 6$:#D2 -)B0 2/8/(/ 46# 1 ;$: (!# n?8 */# /(B# 2 2(!;36# 2.+& $2(/8;!28

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√ 1− 5 q2 = ≈ −0, 618034. 2

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Gn = c

√ n 1+ 5 , 2



Gn = c

√ n 1− 5 2

     Gn $  Gn       ! 99    /  $ 9  G0 = G0 = c$ 9  F0 = 0 ' 8   $ 9   /# &    Gn − Gn      ! Gn+1 − Gn+1 = (Gn + Gn−1 ) − (Gn + Gn−1 ) = (Gn − Gn ) + (Gn−1 − Gn−1 )

K(9  /$ 9  Gn  Gn       /# L A F0  √ √  $ 9 G0 −G0 = 0    G1 −G1 = c 5 A  c = 1/ 5     9  9 9 / F1 = 1   Fn   Gn − Gn          $         /   /# &8

     Fn   Gn − Gn   9 /        / $      9 K  #  L   ! Fn = Gn − Gn  Gn  Gn )  9   ))  657   ) &  / )/ () 8     =  

 9   9   √ ) q1 = (1 + 5)/2 ≈ 1, 618034 > 1$    ) & $ 9  −1 < q2 < 1  n $ Gn      $  Kn ≥ 2  L |Gn | < 12 $     n Gn     A   1 Fn ≈ Gn = √ 5



√ n 1+ 5 , 2

 $    9   n ≥ 2   $  12 $  ,9   $   n  9   A   $ 9  Fn  Gn 9        √ τ = (1 + 5)/2  #   !    $  )   &/       R      9  ) /        #        9  9 /   )) ! 9 b/a = τ $   (a + b)/b = τ  . 9    )    τ $     )#      

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b2 , b 3 . . .

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 #    8 A    )  &     ) / P(F ) = P(I) = 12  .  #   #  $   )#$   P(i) = 16        i       #    $          /    #  $ ' #    8    # /&  #    &  /$      /  )$   /     #    /  9 #     9 /    B# D   $ 9     /     &  K / &  L #     8 8 9  . ) /    /$ 9         )     $     8  S = {,   } 9 $ S   )        #   A  A ⊆ S   #   A   #       8T A #   P(A)  C&  #      P(A) =



|A| |A| = . |S| k

'"2 /   #! %'&?! # /   # C

7  %'&?! ' E >* '*# )2   T /*## '/% '*# )2 #! K





6' &2  / '*%

 

'"2 / '( A ! B #!  !

= P(A ∪ B)

A

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B

#!  !

= {3, 6}

P(A) + P(B) =

P(A ∩ B) + P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

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 7    *   #    1  8  n       .     ? @      8$    9       S 9    ) n 9 =

=    T       9  S n $ S n 9  ? @      .  S 9  k   $           kn   F      &   #     8$   /&  #       / . 9 (a1 , a2 , . . . , an )  ? @     9     $   P(a1 , a2 , . . . , an ) =

1 . kn

  8      $         / &   )   A  S = {F, I} K&$  L$            )  S 2 = {F F, F I, IF, II} 9     9       #   14  OD #   9  $           # &8

 8$      9  ?&8

 @ #       9 /$    ?      9  & 9  &    @ A98   8   &    &  D #D )  $   /       D # $   J )  )  J  ) 9 /$ 9  )    &  &   &   #    )  )      '"  &   1 / !    &8

 $ 9    )    &  # K  8$ 9    $    L  &      #    &   D #!  A   B   ' 9 P(A ∩ B) = P(A) · P(B)  8      &    "  A    $ 9   $ B )    $ 9        & A  P(A) = = P(HH) + P(HT ) = 14 + 14 = 12 $ 9 #! P(B) = 12 $  &8 ) P(A ∩ B) = P(HH) = 14 = 12 · 12  A  B 9 &8

    K9       /L F   )        $      /   )        "  F    $ 9     & $ K ) $ 9          9   /T F #   12 $ K #   ) 13  H ∩ K      $     & $    ) :   - /  T H ∩ K #     16 $    7+ 9      KF 1, F 2, F 3, F 4, F 5, F 6, I1, I2, I3, I4, I5, I6L 8 /  + &   &   A 9 P(H ∩ K) =

1 1 1 = · = P(H) · P(E), 6 2 3

   /  $ 9  F  K &8

   

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       &  $   &  8     $ 9        & D )     8 ) /  E = {2, 4, 6}   T = {3, 6}      K)     /$ 5   9 #   /LT E  T &8

    $ 9 E ∩ T = {6} K5   9 # )      &))  9 /L$   P(E ∩ T ) =

1 1 1 = · = P(E) · P(T ). 6 2 3

 ' E, O, T, L #!  8'@ #   @ #! >*K 7  '*% #! >*K

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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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"  +:7 "  ) #    /T   )/     )/$ 9   ln

m+t−k m−k



m+t−k −1 t ≥ m−k , = m+t−k m+t−k m−k

© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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G 

 

  ln



 m+t 

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m

m+t−1 m−1



 + . . . + ln

m+1 m−t+1





t t t + + ... + . m+t m+t−1 m+1



.    9      /$     ! t t t2 t + + ... + ≥ . m+t m+t−1 m+1 m+t

  / ? 8  @  K54L &8

 &   )/ " KL 2   /$ 9  e−t /(m−t+1) ≤ e−t /m ≤ e−t /(m+t) A  #$ 9 D   8$ 9  ex    &8

 KL &   #   9  ! 2

2

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2

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2

/(m−t+1)−t2 /(m+t)

2

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t2 (2t − 1)t2 t2 − = . m−t+1 m+t (m − t + 1)(m + t)

A 8 1900/(41 · 60) ≈ 0, 772$  9   9 e0,772 ≈ 2, 1468 "" K54L &8

 )     2 2m 2m ≥ et /(m+t) . m−t m



. t ≥ 0$       t   #    &8

 K  m  9 /   $  √= $ 9  t(1 − m+t )  /L$ #  &  9 $ 9  t ≥ m ln C + ln C $   $ 9  √ √ ( m ln C + ln C)2 ln C(m + 2 m ln C + ln C) t2 √ √ ≥ = > ln C, m+t m + m ln C + ln C m + m ln C + ln C

 

    2m 2m > C. m−t m

    &    9 #  

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Fn+1 

© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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#" % Sn  # 9     . n = 1$   S1 = 2 K 8   {1} 9 L . n = 2$   ∅$ {1}, {2}$   S2 a5 G   ) !    n  $ 9  9  n  $   n − 1   $   )/= 9     &  Sn−1  F  /# ) / $ Sn = Fn+2 *     

#  /# ) )   # 9   )    /    )  $  =  )         #   ( 9 /      ! 9 n  9 # : $   Fn $ 9 n :    7  $   Fn $ 9 n :    +  $   Fn $ 9 n :    5  $   Fn $ 9 n :    6  $   Fn     Kn   /#L   )    9  # " 1/#  n = 1   n = 2          8 & 9 $ 9  n ≥ 3 KL F1 + F3 + F5 + . . . + F2n−1 = (F1 + F3 + . . . + F2n−3 ) + F2n−1 = = F2n−2 + F2n−1 = F2n  KL F0 − F1 + F2 − F3 + . . . − F2n−1 + F2n = (F0 − F1 + F2 − . . . + F2n−2 )+ +(−F2n−1 + F2n ) = (F2n−3 − 1) + F2n−2 = F2n−1 − 1 2 KL F02 +F12 +F22 +. . .+Fn2 = (F02 +F12 +. . .+Fn−1 )+Fn2 = Fn−1 Fn +Fn2 = = Fn (Fn−1 + Fn ) = Fn · Fn+1  2 KL Fn−1 Fn+1 − Fn2 = Fn−1 (Fn−1 + Fn ) − Fn2 = Fn−1 + Fn (Fn−1 − Fn ) = 2 n−1 n = (−1)  = Fn−1 − Fn Fn−2 = −(−1) # # K67L )  Fn−1 = Fn+1 − Fn   & 9 /$      * Fn     9 / K?&@ 9# /#L! . . . , −21, 13, −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0.

    $ 9                  J /)    8 $ 9          () ! F−n = (−1)n+1 Fn ,

 ) n   /#    9 # G /  n = 0, 1    T 9 n − 1  n    $   F−(n+1) = F−(n−1) − F−n = (−1)n Fn−1 − (−1)n+1 Fn = = (−1)n (Fn−1 + Fn ) = (−1)n Fn+1 = (−1)n+2 Fn+1 ,

    /

# -

Fn+2 = Fn+1 + Fn = (Fn + Fn−1 ) + Fn = 2Fn + (Fn − Fn−2 ) = 3Fn − Fn−2 .

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G 

 

 n 9 2n − 1   )/  )   *      # /# )   A &9   9 /  K6+L &8

 ! 2 2 Fn+1 + Fn2 = (Fn + Fn−1 )2 + Fn2 = 2Fn2 + Fn−1 + 2Fn Fn−1 2 2 2 = 3Fn2 + 2Fn−1 − (Fn − Fn−1 )2 = 3Fn2 + 2Fn−1 − Fn−2 2 2 2 = 3(Fn2 + Fn−1 ) − (Fn−1 + Fn−2 ) = 3F2n−1 − F2n−3 = F2n+1 .

#     

/!

        n−k n−2 n−1 n = Fn+1 , + ... + + + k 2 1 0

9  k = n/2 1/#   /T n = 0  n = 1        "  n ≥ 2      /$    n )   K )    9 # 9 $ /)   / #         L         n−k n−2 n−1 n = + ... + + + k 2 1 0         n−3 n−3 n−2 n−2 + ... + + + =1+ 2 1 1 0     n−k−1 n−k−1 = + + k k−1         n−k−1 n−3 n−2 n−1 + + ... + + + = k 2 1 0       n−k−1 n−3 n−2 = + ... + + + k−1 1 0 = Fn + Fn−1 = Fn+1 .

# / K6+L  a = b = n − 1   $ K65L )  a = n$ b = n − 1    )9 #   #  "  n = kmT m   /#   /  m = 1       #T 9 m > 1$    K6:L &8

 9  /  a = k(m − 1)$ b = k − 1  ! Fka = F(k−1)a Fa−1 + F(k−1)a+1 Fa   /# &      9 # Fa  # 3  ? #@ #    9 =  $    8  )   8   =$ 9  Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n   $  Fn2  *  / ( -    

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    "  n

≥ 2$

  

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Fn = Fn−1 + Fn−2 = ⎛ ⎞ √ n−1  √ n−1 1 1+ 5 1− 5 ⎠+ =√ ⎝ − 2 2 5 ⎛ ⎞ √ n−2  √ n−2 1 1+ 5 1− 5 ⎠= +√ ⎝ − 2 2 5 ⎛   ⎞ √ n−2 √ n−2 √ √ 1 1− 5 1+ 5 1+ 5 1− 5 +1 + +1 ⎠= =√ ⎝ 2 2 2 2 5  √ n  √ n  1 1+ 5 1− 5 . − =√ 2 2 5

#"   n = 1  n = 2   J & $ 9  Ln  = J  )/$ 9  L1 = 1 = a + b,

A a  b  ! a=



√ 1+ 5 , 2

 Ln =

√ √ 1− 5 1+ 5 +b . L2 = 3 = a 2 2

b=

√ 1− 5 , 2

√ n  √ n 1+ 5 1− 5 + , 2 2

  n   /#   & 9  9 #   9 # #"" KL  /! %#  )       &      7    $     &  9 6     (  & # 6& )9 #$ 9     &  . &))  9  %# n    E  √ √ 1 In = √ (2 + 2 5

5)n − (2 −

5)n .

#"# ) n = 1, 2, . . . , 10   $ n = 11     #!   /  47  9 n  8  1 Fn ∼ √ 5



√ n 1+ 5 = (0, 447 . . . ) · (1, 618 . . . )n . 2

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G 



 )        &    9 /! 

 en/2−1 ∼ en/2−1 = (0, 367 . . . ) · (1, 648 . . . )n ,

 &        9    (0, 367 . . . ) · (1, 648 . . . )n en/2−1  = (0, 822 . . . ) · (1, 018 . . . )n . ≈ Fn 0, 447 . . .

F  9   )   $  7$    ?  9   =@ $   n     

 7-# #! / $ 6    0 +  , ! '1 

-  A  B   /#  ? A   B @  $   )       $ 9 A  B 8         -    9      #    $   7    #    ))  )9 / -" P(E) = 12 $ P(T ) = 13  -# F   /    P(s) #   /  -- F  P(s) #  $   s ∈ A ∩ B $      )$   P(s) #  $   s ∈ A∪B $  s ∈/ A ∩ B $    2'    )      

-   (E, T ), (O, T ), (L, T ) )   &8

 $  (E, O) )            (E, L)  (O, L) )      &8

  -   P(∅ ∩ A) = P(∅) = 0 = P(∅) · P(A) A  / 

  S 9   ! P(S ∩ A) = P(A) = P(S) · P(A) - " P(A) = |S||S| = |S|1 $ P(B) = |S||S| = |S|1 $ P(A ∩ B) = |S||S| = 1 = |S| = P(A) · P(B) - #  #  $ 9   /     8 )$    $ 361 K& 8$ 9     )   &   # 

   $    )   8L 

 88 ;     $  88 7 · 109 /365 K     +, #L     $   8 )     / 8 )  $ 9   8 )/    $ )   9  / 8 ) $ &8

   $  #   9 $ 9         8 )  ! 1/3653 = 1/48 627 125 .  

 / +   9   $   88 2 000 000 000/48 627 125 ≈ 41 8) ? @ 8 )  n−1

n−1

n−2

n

n

n

2

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 5 = 

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 a = a · 1 = (−a) · (−1)   KL

 T KL )  T KL a = 0 " KL . b = am  c = bn$   c = amn KL . b = am 

c = an$   b + c = a(m + n)  b − c = a(m − n) KL . b = am  a, b > 0$   m > 0$ &  m ≥ 1$     b ≥ a KL 3 #$ 9 a = 0 . a = 0$     b = am  a = bn$ =  a = amn$   mn = 1 '   9   m = n = 1$   m = n = −1

# //$ 9  a = cn  b = cm$  r = b − aq = c(m − nq) - //$ 9  b = am$ c = aq + r  c = bt + s A&  s =

= c − bt = (aq + r) − (am)t = (q − mt)a + r F 0 ≤ r < a$  s ÷ a    r   KL a2 − 1 = (a − 1)(a + 1) KL an − 1 = (a − 1)(an−1 + . . . + a + 1)

 ' + 4 ) ( 

" (#$      K9   )      

  8 9  L   $            &  8   9  "  '! 2 "" KL F p )  ab   )  &   $  )    a$   b )  &     KL p | a(b/a)$  p  a$  KL )  p | (b/a) "# "  n = p1 p2 · · · pk T  i pi ≥ 2$  n ≥ 2k  "- . ri = rj $   ia−ja  9 # p$   ia−ja = (i−j)a   a$  i−j   9 # p A 9  ri   8 F  8  0$  / ) p − 1$  8  1, 2, . . . , p − 1     & / "  . p ) $       / =   $   +   . n   $      $     p ) $   n )   &    )     )         p  9   "/ 2 9 #$ 9  9 √n          2   !   p )  $   J /  t   J ) n )  &   $  k  t . √n = a/b KL$   nbk = ak $     # & 9 p    )$     9 # k$           9  A   k

k

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# F  k

= 200  $ =  /  10k−1      10k     )    #

  )   )      8 9    

10k−1 (9k − 10)10k−1 10k − = . k ln 10 (k − 1) ln 10 k(k − 1) ln 10

F   99$

1 9k − 10 =9− k−1 k−1   k   $  k  

)      #

9 · 10k−1 . k ln 10

//$ 9  k    #  10k − 10k−1 = 9 · 10k−1 $   1 1 9 · 10k−1 ≈ . = k−1 k ln 10 · 9 · 10 (ln 10)k 2, 3k

  5 6 / -  

- 4  42 = 6T 4  24 − 2 = 14 -  KL 2    /$ 9    9  p &    

8  8 &$ 9    &   $   a  ) A      &    a     A    a | p$

 a = 1   a = p .   Kp  =L &   / $     k = 0   k = p$      / A 9 a = 1$       / KL  8        =  KL .   /  p $ k   9  8$    9      9 #   p -" F  p    8$ 9 8 $    &   = , /       /      a  # p   )9 / A         $ 9 a     / $      8 K   E J   9  &  9 /$ 9  p )  L R  ap − a   )/$   p   = 9     9 # A 9 p | ap − a -#  8 &$ 9  p  a  8  a(2a)(3a) · · · ((p − 1)a) = = (p − 1)!ap−1    "  ri  ia   p #     )  &    p   /    $   r1 r2 · · · rp−1    A      )) (p − 1)!$ p 9  # (p − 1)!ap−1 − (p − 1)! = (p − 1)!(ap−1 − 1) F p )  $   # (p − 1)!$ &   #  9    ap−1 − 1

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G 



      

 

lnko(a, b) ≤ a$    a   #$  )/$ 9  lnko(a, b) = a KL "  d = lnko(a, b) A  d | a  d | b$   d | b − a A 9 d   # a  b − a$     d ≤ ≤ lnko(a, b) &   =    /     9 # KL 

  

KL          " KL lnko(a/2, b) | (a/2)$   lnko(a/2, b) | aT lnko(a/2, b)  9   # a  b$  lnko(a/2, b) ≤ lnko(a, b) &   =    9 #   9 #$ &9 $ 9  lnko(a, b) )  $     lnko(a, b) | (a/2) KL lnko(a/2, b/2) | (a/2)$  2lnko(a/2, b/2) | a . # )/$ 9  2 lnko(a/2, b/2) | b$   2lnko(a/2, b/2) ≤ lnko(a, b) F &  $ lnko(a, b) | a$  12 lnko(a, b) | a/2 . #! 12 lnko(a, b) | b/2$      12 lnko(a, b) ≤ lnko(a/2, b/2)  # ' /     )  $      )   &    )$  8   )     $    /    ) 9      - . a  b    $ a )  &   )   8$    8 a   )  $  /   b  $   //$  8$ 9     ) b &       ) A 8  )   a  b &    )   8   % /  /    a  ) $  8   /   ) ) 9         lnko   lkkt       )       )  /      )  / KL 3 # KL "  z = lnko(a, b, c)$ A = a/z$ B = b/z $ C = c/z   A$ B  C     ) $    )    9     A  B 8    )    $ 9 /    )  $   C  $      9    )   8 &$ 9  B )   A    )   9 $    )       6    7  $  9 A  B    )   $   C 2 = A2 + B 2  66    +  $   9   R  9 C )   $ 9    . A )  $     A0  A = 2A0  R/     A20 =

C +B C −B . 2 2

T   p     )  $    # A0  A  p   (C + B)/2$   (C − B)/2 ))  # F + C−B = C         9 $   /   C+B 2 2 C+B C−B  2 − 2 = B 8       $       & 8$  A$ B  C   ) 

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G 



p )   A0 )  &     J / k    J  & /9  A  A20 &    p )) 2k  )         p  (C + B)/2  (C − B)/2 )  &   8    2k   )$      

    )9  F )   #$ 9  (C + B)/2 K (C − B)/2L )  &     ) )     ) A   )     $ 9  (C +B)/2  (C −B)/2    ! (C + B)/2 = x2  (C − B)/2 = y 2  & x  y       F  &8 A $ B   C  x$   y   ! B=

C −B C +B − = x2 − y 2 , 2 2 A = 2A0 = 2

C=

C −B C +B + = x2 + y 2 , 2 2

C +B C −B = 2xy. 2 2

 a$ b  c    8  )/$ 9 A $ B   C  z $    &      9 /

   /

  lnko(a, a + 1) = lnko(a, 1) = lnko(0, 1) = 1  3  Fn+1  Fn  #    )  Fn−1  R 

lnko(Fn+1 , Fn ) = lnko(Fn , Fn−1 ) = . . . = lnko(F3 , F2 ) = 1       #  9    n − 1 )       2   k   /#T k = 1        

8 &$ 9  k > 1T   b = aq+r$ 1 ≤ r < a  /   / lnko(a, r)   k − 1 )   $   /# &    a ≥ Fk  r ≥ Fk−1  A    b = aq + r ≥ a + r ≥ Fk + Fk−1 = = Fk+1    #$ 9  lnko(a, b) = lnko(a−b, b)  KL 7, ) KL (  KL lnko 10100 − 1, 10100 − 2   10100 − 1 )     KL < ) KL   8      )    KL  --+   --5 & )  KL       ) & 

" 2 

/ m = 54321 − 12345 = 41976 /  0 KL 9 /" a ≡ b (mod 0)    $ 9   !   k  

 $ 9  a − b = 0 · k A  $ 9  a − b = 0$ $ 9  a = b    9    / )      9  /# KL "  a = 2  b = 5 KL . ac ≡ bc (mod mc)$   mc | ac − bc$   9  k    $   ac − bc = kmc F c = 0$    $ 9  a − b = km$   a ≡ b (mod m)

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G 



/- #$ 9  x ≡ y (mod p) K     ) L  $ 9  xv ≡ yv (mod p)$   9  $ 9  xu ≡ xv (mod p). K7-7L . x ≡ 0 (mod p)$   K7-7L    9 # p$      )/      8 &$ 9  x ≡ 0 (mod p)$   $ 9  J / J u < v //$ 9  p − 1 | v − u$    )   k     v − u = k(p − 1) ?@         xp−1 ≡ 1 (mod p)$    /         #    xk(p−1) ≡ 1 (mod p)$     =  ! xv = xu · xk(p−1) ≡ ≡ xu (mod p)$   K7-7L       # 2 .. 

 $  $ $      A = 1 ⊕ AT A B = A ⊕ B ⊕ A · B T AB = A · B  " 2 · 0 ≡ 2 · 3 (mod 6)$  0 ≡ 3 (mod 6) G   $ 9 

m = ab Ka, b > 1L 0 ≡ b (mod m)

//    $   a · 0 ≡ a · b

(mod m)$



#  /   / 8! lnko(53, 234527) = lnko(53, 2) = lnko(1, 2) = 1.

A  2 2 = 234527 − 4425 · 53  )/  $ 7 ) ! 1 = 53 − 26 · 2 = 53 − 26(234527 − 4425 · 53) = 115051 · 53 − 26 · 234527.

F 1 ≡ 115051 · 53

(mod 234527)$   1/53 = 115051 x ≡ 5, y ≡ 8 (mod 11) KL 11 | x2 − 2x = x(x − 2)$       11 | x$   11 | x − 2$        x ≡ 0 (mod 11)  x ≡ 2 (mod 11) KL . #! #$ 9  23 | x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)$  )/$ 9    x ≡ 2 (mod 23)$   x ≡ −2 (mod 23)

-  

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© Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin

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