Dispensa TDS [PDF]

Zitiervorschau

Note di teoria dei sistemi di Augusto Ferrante con contributi di Giacomo Baggio

Indice 1 Modelli di stato 1.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Classi di sistemi . . . . . . . . . . . . 1.3 Costruzione di un modello di stato . 1.3.1 Scelta delle variabili di stato 1.4 Punti di equilibrio . . . . . . . . . . 1.5 Linearizzazione . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

2 Analisi dei sistemi lineari e invarianti nel tempo 2.1 Evoluzione dello stato e dell’uscita . . . . . . . . . 2.1.1 Teorema di sovrapposizione degli e↵etti . . 2.1.2 Evoluzione libera ed evoluzione forzata . . . 2.2 Funzione di trasferimento e risposta impulsiva . . . 2.2.1 Realizzazione di stato . . . . . . . . . . . . 3 La stabilit` a 3.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . 3.2 Stabilit`a nei sistemi lineari . . . . 3.2.1 Condizioni di stabilit`a per 3.2.2 Condizioni di stabilit`a per 3.3 Stabilit`a BIBO . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i sistemi lineari . . . . . . . . i punti di equilibrio di sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . .

A Esponenziale di matrici A.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Propriet`a dell’esponenziale di matrice . . . A.3 Calcolo dell’esponenziale di una matrice . . A.3.1 Caso di matrici diagonalizzabili . . . A.3.2 Caso di matrici non diagonalizzabili

1

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . .

3 3 4 5 9 10 11

. . . . .

13 13 14 14 17 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . non lineari . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

21 21 22 22 24 24

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

25 25 25 27 27 30

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

2

INDICE

Capitolo 1

Modelli di stato 1.1

Premessa

Una classe molto generale di sistemi `e quella dei cosiddetti modelli di stato in cui il legame fra ingresso u(t) 2 Rm e uscita y(t) 2 Rp `e espresso da una coppia di equazioni del tipo: (

dove il segnale vettoriale

x(t) ˙ = f (x(t), u(t), t), y(t) = h(x(t), u(t), t), 2

6 6 x(t) = 6 6 4

x1 (t) x2 (t) .. . xn (t)

3

7 7 72 7 5

(1.1.1)

Rn

`e detto stato del sistema. Il numero n di componenti dello stato x(t) `e detto ordine del sistema. Le funzioni f : Rn ⇥ Rm ⇥ R ! Rn , e h : Rn ⇥ Rm ⇥ R ! Rp sono continue con le loro derivate prime.1 La prima delle (1.1.1), detta equazione dinamica, `e un’equazione di↵erenziale del primo ordine per il vettore x. Si dice evoluzione dello stato del sistema (1.1.1) corrispondente allo stato iniziale x(t0 ) = x0 e all’ingresso u ¯(t), t t0 , la soluzione x ¯(t) della prima delle (1.1.1) con condizione iniziale x(t0 ) = x0 e con u(t) = u ¯(t).2 La corrispondente y¯(t) = h(¯ x(t), u ¯(t), t) per t t0 si dice evoluzione dell’uscita. Date due traiettorie di ingresso, stato e uscita (u0 (t), x0 (t), y 0 (t)) e (u00 (t), x00 (t), y 00 (t)) (definite, per esempio, su tutto l’asse reale), se x0 (t0 ) = x00 (t0 ) e u0 (t) = u00 (t) 8 t

t0 ,

allora, per l’unicit`a della soluzione dell’equazione di↵erenziale con condizione iniziale fissata, si ha x0 (t) = x00 (t) e y 0 (t) = y 00 (t) 8 t

t0 .

Si noti che potrebbe benissimo accadere che, per t < t0 , si abbia u0 (t) 6= u00 (t), x0 (t) 6= x00 (t) e y 0 (t) 6= y 00 (t). Questo fatto si presta alla seguente importante interpretazione: di tutta l’informazione legata 1

Si indicher` a con fi , i = 1, 2, . . . , n, hi , i = 1, 2, . . . , p, la i-esima componente di f , h, rispettivamente, cosicch´e la equazioni in (1.1.1) si possono scrivere, componente per componente, nella forma x˙ i (t) = fi (x(t), u(t), t), i = 1, 2, . . . , n e yi (t) = hi (x(t), u(t), t), i = 1, 2, . . . , p, rispettivamente. 2 Si noti che, con le ipotesi di regolarit` a fatte sulla f , si pu` o dimostrare che la soluzione x ¯(t) esiste ed `e unica almeno in un intorno destro di t0 .

3

4

CAPITOLO 1. MODELLI DI STATO

all’andamento delle traiettorie del sistema per t  t0 (andamento passato), la parte necessaria e sufficiente per calcolare l’andamento delle traiettorie di stato e uscita del sistema per t t0 , nota la traiettoria dell’ingresso per t t0 , `e contenuta nel valore del vettore di stato all’istante t0 . In altre parole, nel vettore x(t0 ) `e riassunta la parte del passato del sistema che serve per calcolarne l’evoluzione futura. Questa propriet`a si dice propriet` a di separazione dello stato.

1.2

Classi di sistemi

Si consideri un sistema del tipo (1.1.1). Definizione 1.2.1 Il sistema (1.1.1) si dice invariante nel tempo o tempo-invariante se le funzioni f e h non dipendono esplicitamente da t. In caso contrario il sistema si dice variante nel tempo o tempo-variante. Per esempio, il seguente sistema (il cui stato, ingresso e uscita sono scalari) `e tempo-invariante: (

Al contrario, il sistema

(

x(t) ˙ = sin(x(t) + u(t)), y(t) = x(t)2 u(t).

(1.2.1)

x(t) ˙ = sin(x(t) + u(t)) + t, y(t) = x(t)2 u(t).

(1.2.2)

`e tempo-variante. Definizione 1.2.2 Il sistema (1.1.1) si dice lineare se f e h sono funzioni lineari di x(t) e u(t). In caso contrario il sistema si dice non lineare. Si ricorda che f (x(t), u(t), t) `e funzione lineare di x(t) e u(t) se e solo se esistono matrici F (t) 2 Rn⇥n e G(t) 2 Rn⇥m tali che3 f (x(t), u(t), t) = F (t)x(t) + G(t)u(t). Analogamente dicasi per h(t). Pertanto i sistemi lineari sono tutti e soli quelli rappresentabili con le equazioni (

x(t) ˙ = F (t)x(t) + G(t)u(t), y(t) = H(t)x(t) + J(t)u(t),

(1.2.3)

dove F (t) `e una matrice quadrata di ordine n (matrice di stato), G(t) `e un matrice n ⇥ m (matrice degli ingressi), H(t) `e una matrice p ⇥ n (matrice delle uscite) e J(t) `e una matrice p ⇥ m (matrice di feed-forward). Se F (t), G(t), H(t) e J(t) sono costanti (indipendenti da t), allora il sistema, oltre che lineare, `e pure tempo-invariante. Pertanto i sistemi lineari e tempo-invarianti, noti anche con l’acronimo di sistemi LTI, sono tutti e soli quelli che possono essere rappresentati da una coppia di equazioni del tipo (

x(t) ˙ = F x(t) + Gu(t), y(t) = Hx(t) + Ju(t),

dove F 2 Rn⇥n , G 2 Rn⇥m , H 2 Rp⇥n e J 2 Rp⇥m . 3

Gli elementi di F (t) e G(t) sono funzioni, non necessariamente lineari, di t.

(1.2.4)

1.3. COSTRUZIONE DI UN MODELLO DI STATO

1.3

5

Costruzione di un modello di stato

La costruzione di un modello matematico a partire da un sistema fisico, `e un processo molto delicato che deve tenere conto delle due esigenze, di solito contrastanti, di avere un modello sia semplice sia accurato. Se si desidera un modello di stato bisogna fissare, oltre alle variabili che si considerano di ingresso e di uscita, anche un insieme di variabili di stato. Questa scelta in generale non `e immediata e, comunque, non `e mai univoca: da una buona scelta delle variabili di stato pu`o dipendere la semplicit` a, e quindi la trattabilit`a, del modello cui si perviene. Non esistono regole generali per la scelta delle variabili di stato. Tuttavia, nel seguito si illustreranno alcuni esempi da cui si potranno trarre alcune utili indicazioni. Esempio 1.3.1 Si consideri il circuito elettrico rappresentato in Figura 1.1. Considerando la + b

u(t)

R1

b

R2 C1

b

C2

+ y(t)

b

Figura 1.1: Rappresentazione di un doppio bipolo elettrico con due condensatori e due resistori. tensione u(t) applicata come ingresso, e la tensione y(t) (a morsetti di uscita aperti) come uscita, si vuole descrivere il circuito con un modello di stato. Si scelgano come di# stato le tensioni " # variabili " x1 (t) v1 (t) v1 (t) e v2 (t) ai capi dei due condensatori C1 e C2 : x(t) = = . Indicando con x2 (t) v2 (t) ik (t) la corrente nel condensatore di capacit`a Ck , k = 1, 2, si hanno le due relazioni 1 ik (t), Ck

x˙ k (t) =

k = 1, 2.

(1.3.1)

Si osservi anche che i2 (t) =

x1 (t)

x2 (t) R2

,

i1 (t) =

u(t)

x1 (t) R1

i2 (t).

(1.3.2)

Sostituendo queste relazioni nelle (1.3.1) e tenendo conto che y(t) = x2 (t), si ottiene il seguente modello di stato. " # " # 8 R +R > < x(t) ˙ = > :

1

2

R1 R 2 C 1 1 R2 C 2

y(t) = [0 | 1]x(t).

1 R2 C1 1 R2 C 2

x(t) +

1 R1 C 1

0

u(t),

(1.3.3)

Il modello cos`ı ottenuto `e lineare e del secondo ordine. Le matrici corrispondenti sono chiaramente F =

"

R1 +R2 R1 R2 C1 1 R2 C2

1 R2 C 1 1 R2 C2

#

,

G=

"

1 R1 C 1

0

#

,

H = [0 1],

J = 0.

(1.3.4)

Si noti che il modello `e stato ricavato supponendo che i parametri Ck siano costanti (se non lo fossero il modello cambierebbe). Se anche i parametri Rk , k = 1, 2, si possono considerare costanti nel tempo allora anche F , G, H, e J lo sono e il sistema `e tempo-invariante; se invece le variazioni nel tempo di Rk (dovute per esempio ad invecchiamento dei componenti) non possono essere trascurate allora il modello (1.3.3) `e tempo-variante.

6

CAPITOLO 1. MODELLI DI STATO

La scelta delle variabili di stato `e, in questo caso, suggerita da considerazioni sulla fisica del sistema: `e chiaro che la coppia di tensioni ai capi dei due condensatori gode della propriet`a di separazione. D’altro canto, `e pure ovvio che una qualunque coppia di variabili (x01 (t), x02 (t)), legate alla coppia (x1 (t), x2 (t)) da una mappa invertibile, gode della stessa propriet`a. Per esempio si potrebbero benissimo scegliere le variabili x01 (t) = x1 (t) + x2 (t) = v1 (t) + v2 (t) e x02 (t) = x1 (t) x2 (t) = v1 (t) v2 (t) che sono chiaramente legate alla coppia (x1 (t), x2 (t)) da una mappa invertibile. Si verifichi che anche in tal caso si ottiene un modello lineare le cui matrici sono 1 F = 2 G= dove si `e posto RP =

"

"

1 R1 C1 1 R1 C1

#

1 R1 C 1 1 R1 C 1

2 R2 C 2 2 R2 C2

,

H=



1 R2 C1 1 R2 C 1

1 2

#

1 RP C1 1 RP C 1

1 , 2

,

J = 0,

(1.3.5)

R1 R2 R1 +R2

Una scelta alternativa `e x01 (t) = x31 (t) e x02 (t) = x32 (t), infatti le coppie (x01 (t), x02 (t)) e (x1 (t), x2 (t)) sono chiaramente legate da una mappa invertibile" e quindi contengono la stessa # 0 x1 informazione. Si verifichi che, con questa scelta e definendo x0 := , il modello risulta x02 8 2 > > > < x˙ 0 (t) = 4

q

2 3 RR11R+R x0 (t) + 2 C1 1

3 3 R2 C 1 3 0 R2 C2 x2 (t)

> q > > : y(t) = 3 x0 (t). 2

q

3 3 R1 C 1 q 3 3 (x02 (t))2 x01 (t) R2 C 2

(x01 (t))2 x02 (t) +

+

(x01 (t))2 u(t)

3 5

(1.3.6)

Questo sistema `e chiaramente non lineare ed `e molto pi` u complesso da trattare del modello lineare (1.3.3) che pure rappresenta lo stesso legame tra ingresso e uscita. Infine si consideri la scelta x01 (t) = (t2 + 1)x1 (t), x02 (t) = (t2 + 1)x2 (t). Queste variabili, prive di un’interpretazione fisica immediata, sono pur sempre variabili di stato; si verifichi che il corrispondente modello risulta del tipo (1.2.3) con F (t) =

G(t) =

"

"

t2 +1 R1 C1

0

t2 +1

R1 +R2 R1 R2 C 1 1 R2 C2

#

H(t) = 0

2t

,



1 R2 C 1

2t t2 +1

t2

1 R2 C 2

1 , +1

#

,

J(t) = 0.

(1.3.7)

(1.3.8)

Con questa scelta delle variabili di stato, si `e ottenuto un sistema tempo-variante pur considerando costanti nel tempo i valori dei parametri Ri e Ci , i = 1, 2. Sulla scorta degli esempi precedenti non `e difficile scegliere le variabili di stato in modo da ottenere un sistema non lineare e tempo-variante.

Esempio 1.3.2 Si consideri il sistema elettrico rappresentato in Figura 1.2 e si voglia determinarne un modello di stato considerando come ingresso la di↵erenza di potenziale u(t) = v1 (t) e come uscita la di↵erenza di potenziale y(t) = v2 (t) ai capi della resistenza (a morsetti di uscita aperti). Si scelga come unica variabile di stato la corrente che circola in L: x(t) = i(t). Si hanno allora le relazioni u(t) = Lx(t) ˙ + Rx(t) e y(t) = Rx(t) che si possono scrivere nella forma (

1 x(t) ˙ = R L x(t) + L u(t), y(t) = Rx(t).

(1.3.9)

1.3. COSTRUZIONE DI UN MODELLO DI STATO ⌥⌥⌅ ⌥⌅ ⌥⌅⌅ ⇥⇥⇥

+a

L

v1 (t)

a

7

R

a+

v2 (t)

a

Figura 1.2: Rappresentazione di un doppio bipolo elettrico RL. Il modello cos`ı ottenuto `e lineare e del primo ordine. Tale modello `e stato ottenuto assumendo L come parametro costante. Se anche il parametro R si pu`o considerare costante nel tempo, il sistema `e anche tempo-invariante; se invece le variazioni nel tempo di R non possono essere trascurate allora il sistema `e tempo-variante. Se, come uscita del sistema, invece che la tensione v2 , si considera la potenza dissipata nella resistenza, si ha y(t) = i(t)v2 (t) = Rx(t)2 . Le equazioni del sistema sono (

1 x(t) ˙ = R L x(t) + L u(t), y(t) = Rx(t)2 .

(1.3.10)

In questo caso il sistema `e non-lineare perch´e tale `e la seconda delle (1.3.10). Tuttavia, l’equazione dinamica (ossia la prima delle (1.3.10)) che `e la pi` u difficile da trattare `e lineare e quindi il modello `e ancora sufficientemente semplice. Esempio 1.3.3 Si consideri ora un forno elettrico schematizzato come in Figura 1.3. +a

v(t)

a

⌥⌥⌅ ⌥⌅ ⌥⌅⌅ ⇥⇥⇥

L

R

Figura 1.3: Rappresentazione di un forno elettrico. Siano RT e CT la resistenza termica delle pareti del forno e la capacit`a termica del forno. Siano inoltre T (t) la temperatura all’interno del forno e Te la temperatura esterna. Si vuole determinare un modello di stato considerando come ingresso la di↵erenza di potenziale u(t) = v(t) e come uscita la temperatura del forno y(t) = T (t). Si scelgano " come# variabili di stato la corrente che circola in L i(t) e la temperatura all’interno del forno: x(t) = . Analogamente a quanto visto nell’esempio T (t) precedente, per la variabile x1 (t) si ha la relazione x˙ 1 (t) =

R 1 x1 (t) + u(t). L L

Per quanto riguarda la variabile x2 , la variazione `e pari a CT x2 . Pertanto, 

(1.3.11)

Q della quantit`a di calore contenuta nel forno

1 dQ 1 x˙ 2 (t) = = Rx1 (t)2 CT dt CT

x2 (t) Te RT

(1.3.12)

dove si `e tenuto conto del fatto che la potenza termica netta entrante nel forno `e pari alla di↵erenza Te fra la potenza fornita dalla resistenza Rx1 (t)2 e quella dispersa attraverso le pareti del forno x2 (t) . RT

8

CAPITOLO 1. MODELLI DI STATO

In conclusione si ottiene il seguente modello del secondo ordine " R # 8 1 > < x(t) L x1 (t) + L u(t) ˙ = , Te R x1 (t)2 x2R(t) C C T T T > :

(1.3.13)

y(t) = x2 (t).

Il modello `e non lineare (e la non linearit`a `e presente nell’equazione dinamica). Esempio 1.3.4 Si consideri il sistema massa-molla schematizzato come in Figura 1.4.

k

F (t) -

M

Figura 1.4: Sistema massa-molla. La massa M `e soggetta ad una forza esterna F (t) e alla forza esercitata da una molla di costante elastica k. Sia il coefficiente di attrito (viscoso) della massa sul piano e y(t) la posizione della massa in un sistema di riferimento in cui y(t) = 0 corrisponde alla posizione di molla scarica (n´e compressa n´e estesa). Assumiamo che i parametri M , k, e si possano considerare costanti nel tempo. Si vuole determinare un modello di stato considerando come ingresso la forza u(t) = F (t) e come uscita la posizione y(t). " # y ` ovvio Si scelgano come variabili di stato la posizione e la velocit`a della massa: x = . E y˙ che x˙ 1 (t) = x2 (t). Per quanto riguarda la variabile x2 , dalla seconda legge della dinamica si ha: M x˙ 2 (t) = F (t)

ky(t)

y(t) ˙ =

kx1 (t)

x2 (t) + u(t)

(1.3.14)

Si ottiene cos`ı il seguente modello del secondo ordine " 8 > < x(t) ˙ = > :

0

1

k M

M

#

x(t) +

"

0 1 M

#

u(t)

(1.3.15)

y(t) = [1 0] x(t).

Il modello `e lineare e tempo-invariante. Esempio 1.3.5 Si consideri il pendolo rappresentato in Figura 1.5. Si vuole descrivere il sistema r A A

A c(t) A A A # A A Az

Figura 1.5: Rappresentazione di un pendolo. con un modello di stato considerando come ingresso la coppia applicata u(t) = c(t), e come uscita

1.3. COSTRUZIONE DI UN MODELLO DI STATO

9

la posizione angolare y(t) = #(t). Sia l la lunghezza dell’asta del pendolo e m la sua massa (che si suppone concentrata all’estremit`a del pendolo). Il momento di inerzia del pendolo (rispetto al centro di rotazione) risulta dunque J = ml2 . Sia k il coefficiente di attrito viscoso del pendolo. Poich´e il movimento della massa `e vincolato a giacere lungo una circonferenza risulta conveniente scegliere come variabili di stato la" posizione e la posizione e # angolare " ##(t) e la sua derivata (anzich´ #(t) x1 (t) la velocit` a della massa): x(t) = = . Ricordando che la coppia totale `e pari al ˙ x2 (t) #(t) momento di inerzia per l’accelerazione angolare, si ottiene facilmente il seguente modello di stato: " 8 > x2 (t) < x(t) ˙ = g l sin(x1 (t)) > :

k x (t) ml2 2

+

1 u(t) ml2

#

(1.3.16)

y(t) = x1 .

Si `e ottenuto un modello del secondo ordine non lineare e, se i parametri g, l, k e m si possono ritenere costanti nel tempo, tempo-invariante. Si noti che se, invece di un modello generale, si desidera fare un modello che descrive il pendolo solo nelle situazioni in cui l’angolo # `e “piccolo” si pu`o considerare l’approssimazione sin(x1 (t)) ' x1 (t) ottenedo cos`ı un modello lineare del tutto simile al modello massa-molla discusso in precedenza.

1.3.1

Scelta delle variabili di stato

Come risulta evidente dall’Esempio 1.3.1 la scelta delle variabili di stato `e cruciale al fine di ottenere un modello semplice e quindi trattabile. Non esistono regole generali per tale scelta. Tuttavia si possono fare alcune considerazioni che si rivelano utili in vari casi particolari ma di rilevante interesse pratico. In tutti gli esempi precedenti, il modello di stato `e stato ottenuto scegliendo delle variabili legate all’energia accumulata dal sistema: nell’esempio 1.3.1 la tensione ai capi di ciascun condensatore `e legata all’energia accumulata nel condensatore stesso: Ec = C2 v 2 (t). Similmente, nell’Esempio 1.3.2 la corrente scelta come variabile di stato `e legata all’energia accumulata nell’induttore. Nell’Esempio 1.3.3 la corrente (prima variabile di stato) `e legata all’energia accumulata nell’induttore e la temperatura (seconda variabile di stato) all’energia termica accumulata nel forno. Nell’Esempio 1.3.4, la posizione della massa (prima variabile di stato) `e legata all’energia potenziale elastica e la sua velocit` a (seconda variabile di stato) all’energia cinetica. Analoga `e la situazione dell’Esempio 1.3.5 dove `e risultato conveniente scegliere, come variabili di stato, posizione e velocit`a angolari. Si invita il lettore a costruire il modello corrispondente a scegliere, come variabili di stato, la posizione e la velocit` a della massa o, pi` u precisamente, le loro componenti orizzontali e verticali, giacch´e sia la posizione sia la velocit`a sono vettori nel piano sul quale giace il pendolo. In generale, si pu`o dire che, quando possibile, conviene scegliere come variabili di stato grandezze legate all’energia accumulata dal sistema. In particolare: Sistemi elettrici: Una scelta canonica che consente di ottenere modelli lineari di circuiti elettrici RLC consiste nel selezionare come variabili di stato l’insieme di tutte le correnti che attraversano le induttanze e di tutte le tensioni ai capi dei condensatori. Se il circuito `e composto di k induttanze e h capacit`a si otterr`a cos`ı un modello lineare di ordine h + k. Sistemi meccanici: Una scelta canonica che consente di ottenere modelli di stato di sistemi meccanici consiste nel selezionare come variabili di stato l’insieme di tutte le posizioni e le velocit`a delle masse in gioco o, nel caso di masse vincolate a un moto circolare, le posizioni angolari e le velocit`a angolari.

10

CAPITOLO 1. MODELLI DI STATO

Sistemi termici: Una scelta canonica che consente di ottenere modelli di stato di sistemi termici consiste nel selezionare come variabili di stato l’insieme di tutte le temperature dei componenti del sistema.

1.4

Punti di equilibrio

Si consideri un sistema tempo invariante (

x(t) ˙ = f (x(t), u(t)), y(t) = h(x(t), u(t)),

(1.4.1)

e sia u(t) = u ¯ un ingresso costante. Definizione 1.4.1 Il vettore x ¯ si dice punto di equilibrio per il sistema (1.4.1) relativamente all’ingresso u ¯ se l’evoluzione di stato corrispondente all’ingresso costante u(t) ⌘ u ¯, t 0 e allo stato iniziale x(0) = x ¯, `e la costante x(t) ⌘ x ¯, t 0. Dato un punto di equilibrio x ¯ relativo all’ingresso costante u ¯, la quantit` a y¯ = h(¯ x, u ¯) si dice uscita di equilibrio corrispondente a (¯ x, u ¯). In termini meno formali, si pu`o dire che, uno stato x ¯ `e di equilibrio relativamente all’ingresso costante u(t) ⌘ u ¯ se, in corrispondenza a tale ingresso, lo stato del sistema rimane ancorato al valore iniziale x ¯. Risulta immediato verificare che x ¯ `e un equilibrio relativamente a u ¯ se e solo se risolve l’equazione 0 = f (¯ x, u ¯).

(1.4.2)

Pertanto, per determinare l’insieme degli stati di equilibrio corrispondenti a u ¯ `e sufficiente risolvere la (1.4.2) che `e un’equazione algebrica (non di↵erenziale). Si noti che, fissato u ¯, la (1.4.2) pu`o non ammettere soluzioni o ammetterne infinite. Per esempio si verifichi che il sistema (

x(t) ˙ = sin(x(t)) + u(t), y(t) = h(x(t), u(t))

(1.4.3)

ammette infiniti stati di equilibrio corrispondenti ad un qualunque ingresso costante |¯ u|  1 e nessuno stato di equilibrio in corrispondenza ad un qualunque ingresso costante |¯ u| > 1. Nel caso di sistemi lineari

(

x(t) ˙ = F x(t) + Gu(t), y(t) = Hx(t) + Ju(t),

(1.4.4)

fissato un ingresso costante u ¯, i corrispondenti stati di equilibrio sono tutte e sole le soluzioni della F x + G¯ u = 0.

(1.4.5)

Se la matrice F `e invertibile, la (1.4.5) ammette un’unica soluzione x ¯=

F

1

G¯ u.

Se, invece, la matrice F `e singolare, ci sono due possibilit`a 1. se il vettore G¯ u appartiene allo spazio vettoriale generato dalle colonne di F o, in breve, G¯ u 2 im F , la (1.4.5) ammette infinite soluzioni; 2. se G¯ u 62 im F la (1.4.5) non ammette soluzioni.

1.5. LINEARIZZAZIONE

11

Si noti che nel caso in cui u ¯ 6= 0, la condizione G¯ u 2 im F `e equivalente alla im G ✓ im F (ossia lo spazio vettoriale generato dalle colonne di G appartiene allo spazio vettoriale generato dalle colonne di F ). Se invece u ¯ = 0 allora la condizione G¯ u = 0 2 im F `e sempre verificata e tutte e sole le soluzioni della (1.4.5) sono gli elementi di ker F (lo spazio nullo di F ). In particolare, si pu`o quindi conludere che, in corrispondenza dell’ingresso nullo u ¯ = 0, qualunque sistema lineare ammette il punto di equilibrio x ¯ = 0. Esempio 1.4.1 Si consideri il pendolo dell’Esempio 1.3.5 e il relativo modello (1.3.16). Fissato un ingresso costante u(t) = u ¯, si vogliono calcolare i corrispondenti stati di equilibrio. La (1.4.2) si particolarizza nella " # " # x2 0 = (1.4.6) g k 0 x + ml1 2 u ¯ l sin(x1 ) ml2 2 Questa equazione ammette soluzioni se e solo se |¯ u|  mgl

(1.4.7)

e in tal caso le soluzioni, sono x ¯=

"

⇣

arcsin 0

u ¯ mgl

⌘ #

,

x ¯=

"

⇡

arcsin 0

⇣

u ¯ mgl

⌘ #

,

(1.4.8)

(dove x ¯1 `e individuato a meno di multipli di 2 ⇡). Si verifichi che: 1. se u ¯ = 0 i due stati di equilibrio corrispondono al pendolo verticale (verso l’alto e verso il basso), come si poteva facilmente intuire; 2. se u ¯ = mgl vi `e un unico stato di equilibrio (a meno di multipli di 2 ⇡) corrispondente al pendolo in posizione orizzontale (a destra del suo asse di rotazione); 3. se u ¯ = mgl vi `e un unico stato di equilibrio (a meno di multipli di 2 ⇡) corrispondente al pendolo in posizione orizzontale (a sinistra del suo asse di rotazione); 4. se |¯ u| > mgl non vi sono stati di equilibrio.

1.5

Linearizzazione

Si illustrer`a ora come un sistema non lineare (ma tempo-invariante) pu`o essere approssimato, nell’intorno di un punto di equilibrio, da un modello lineare. Sia dunque dato il sistema (1.4.1) e sia x ¯ un suo punto di equilibrio relativo all’ingresso costante u ¯. Si definiscano i segnali x (t)

:= x(t)

x ¯,

u (t)

:= u(t)

u ¯,

y (t)

:= y(t)

y¯.

(1.5.1)

Le (1.4.1) possono essere quindi riscritte nella forma (

d(

x) x (t)+¯

= ˙x (t) = f (¯ x + x (t), u ¯+ ¯ = h(¯ x + x (t), u ¯ + u (t)), y (t) + y dt

u (t))

(1.5.2)

Si indichi con @f @x la matrice quadrata di ordine n che ha per elemento di posizione i, j la derivata di fi (la i-esima componente di f ) rispetto alla j-esima variabile di stato xj (detta anche matrice Jacobiana di f ). Analogamente, si indichi con @f @u la matrice n ⇥ m le colonna che ha che ha per elemento di posizione i, j la derivata di fi rispetto alla j-esima componente di ingresso uj , con @h @x

12

CAPITOLO 1. MODELLI DI STATO

@h la matrice p ⇥ m che ha per elemento di posizione i, j la derivata di hi , rispetto a xj e con @u la matrice p ⇥ m le colonna che ha che ha per elemento di posizione i, j la derivata di hi rispetto a @f @h @h uj . Gli elementi di @f e, valutandoli in corrispondenza @x , @u , @x e @u sono funzioni di x e u cosicch´ dello stato x ¯ e dell’ingresso costante u ¯, si ottengono valori reali. Si ponga dunque

@f @x @h H := @x F :=

x=¯ x u=¯ u

2 Rn⇥n ,

x=¯ x u=¯ u

2 Rp⇥n ,

@f 2 Rn⇥m , x=¯ x @u u=¯ u @h J := 2 Rp⇥m . x=¯ x @u u=¯ u

G :=

(1.5.3a) (1.5.3b)

Ora, sviluppando le funzioni f e h attorno al punto di equilibrio, le (1.5.2) possono essere riscritte nella forma 8 ˙ > x, u ¯) + @f > < x (t) = f (¯ @x

x (t)

x=¯ x u=¯ u

> x, u ¯) + @h > : y (t) + y¯ = h(¯ @x

@f @u

+

x (t)

x=¯ x u=¯ u

x=¯ x u=¯ u

+

@h @u

u (t) x=¯ x u=¯ u

+ o( x , u (t)

u ),

+ o( x ,

(1.5.4)

u)

Ricordando che f (¯ x, u ¯) = 0 e y¯ = h(¯ x, u ¯), e tenendo conto delle definizioni (1.5.3), si ha (

˙x (t) = F y (t) = H

x (t)

+G (t) +J x

u (t)

+ o( x , (t) + o( x , u

u ),

(1.5.5)

u)

che descrive la dinamica degli scostamenti x (t), u (t) e y (t). Se i segnali x (t) e u (t) sono sufficientemente piccoli, i termini o( x , e la (1.5.5) pu`o essere approssimata dalla (

˙x (t) = F

x (t)

y (t)

x (t)

=H

u)

possono essere trascurati

+ G u (t), + J u (t)

(1.5.6)

In conclusione, fino a che il sistema si mantiene in un intorno del punto di equilibrio, la dinamica degli scostamenti pu` o essere approssimata da un sistema lineare. Questa possibilit` a `e molto importante perch´e: 1. I sistemi lineari sono molto pi` u agevoli da trattare dei sistemi non lineari. 2. Nella pratica ingegneristica accade di frequente che ingresso e stato di un sistema non lineare rimangano confinati in un intorno di un punto di equilibrio. Esempio 1.5.1 Si consideri il pendolo ⇣ ⌘ # 1.3.5 e il relativo modello (1.3.16). Fissato " dell’Esempio u ¯ arcsin mgl un punto di equilibrio x ¯ con x ¯ = (del tutto analogo sarebbe il caso di x ¯ = 0 "

⇣

⌘ #

u ¯ arcsin mgl ), i parametri del sistema lineare (1.5.6) che descrive approssimatamente la 0 dinamica degli scostamenti attorno al punto di equilibrio sono

⇡

@f F := @x @f G := @u

x=¯ x u=¯ u

x=¯ x u=¯ u

=

"

=

"

g l

0 1 m l2

h 0 ⇣ ⌘i u ¯ cos arcsin mgl #

,

H :=

@h @x

x=¯ x u=¯ u

1 k ml2

#

2

=4

= [1 0],

g l

J :=

r

0 1

@h @u

⇣

x=¯ x u=¯ u

u ¯ mgl

⌘2

= 0.

1 k ml2

3

5 , (1.5.7a)

(1.5.7b)

Capitolo 2

Analisi dei sistemi lineari e invarianti nel tempo In questo capitolo si analizza il comportamento dei sistemi per i quali il legame fra ingresso u(t) e uscita y(t) `e espresso da una coppia di equazioni lineari del tipo: (

x(t) ˙ = F x(t) + Gu(t), y(t) = Hx(t) + Ju(t),

(2.0.1)

dove F 2 Rn⇥n , G 2 Rn⇥m , H 2 Rp⇥n e J 2 Rp⇥m .

2.1

Evoluzione dello stato e dell’uscita

Si consideri un modello del tipo (2.0.1) e si suppongano noti: • lo stato all’istante (iniziale) t0 : x(t0 ) = x0 e • l’andamento futuro dell’ingresso u(t), t

t0 .

Il seguente risultato permette di calcolare l’evoluzione futura di stato e uscita: Teorema 2.1.1 Fissato lo stato iniziale x(t0 ) = x0 e l’andamento futuro dell’ingresso u(t), t l’evoluzione dello stato per t t0 `e data da x(t) = eF (t L’evoluzione dell’uscita per t

t0 )

x0 +

Z t

eF (t

⌧)

Gu(⌧ )d⌧.

t0 ,

(2.1.1)

t0

t0 `e data da

y(t) = H e

F (t t0 )

x0 + c

Z t

eF (t

⌧)

Gu(⌧ )d⌧ + Ju(t).

(2.1.2)

t0

Dimostrazione. Valutando ambo i membri della (2.1.1) in t = t0 si ottiene x(t0 ) = eF 0 x0 = x0 .

(2.1.3)

Derivando ambo i membri della (2.1.1) si ottiene x(t) ˙ = Fe

F (t t0 )

x0 + F

Z t

eF (t

⌧)

Gu(⌧ )d⌧ + eF 0 Gu(t) = F x(t) + Gu(t).

t0

13

(2.1.4)

14

CAPITOLO 2. ANALISI DEI SISTEMI LTI

Quindi x(t) dato dalla (2.1.1) soddisfa l’equazione di↵erenziale (formula (2.1.4)) con le prescritte condizioni iniziali (formula (2.1.3)) e quindi `e la traiettoria dello stato corrispondente a stato iniziale dato da x0 e ad ingresso dato da u(t). La dimostrazione della (2.1.2) `e immediata: essa si ottiene infatti sostituendo l’espressione (2.1.1) di x(t) nella seconda delle (2.0.1). Nel seguito, senza perdita di generalit`a, si assumer`a t0 = 0 cosicch´e la (2.1.1) che `e nota come Formula di Lagrange, si scriver`a nella forma x(t) = eF t x0 +

Z t

eF (t

⌧)

Gu(⌧ )d⌧,

(2.1.5)

0

e la (2.1.2) nella forma y(t) = c eF t x0 + H

2.1.1

Z t

eF (t

⌧)

Gu(⌧ )d⌧ + Ju(t).

(2.1.6)

0

Teorema di sovrapposizione degli e↵etti

Poich´e sia lo stato iniziale x0 sia l’andamento dell’ingresso u(t) compaiono linearmente nelle (2.1.5) e (2.1.6) si ha il seguente importante risultato noto come Teorema di sovrapposizione degli e↵etti: Teorema 2.1.2 Dato il sistema (2.0.1), siano x0 (t), t 0, l’evoluzione dello stato corrispondente allo stato iniziale x00 e all’ingresso u0 (t) e x00 (t), t 0, l’evoluzione dello stato corrispondente allo stato iniziale x000 e all’ingresso u00 (t). Siano, inoltre, y 0 (t) e y 00 (t), t 0, le evoluzioni delle corrispondenti uscite. Allora, comunque fissate due costanti reali ↵ e , l’evoluzione dello stato corrispondente allo stato iniziale x0 := ↵x00 + x000 e all’ingresso u(t) = ↵u0 (t) + u00 (t), `e data da x(t) = ↵x0 (t) + x00 (t); l’evoluzione della corrispondente uscita `e data da y(t) = ↵y 0 (t) + y 00 (t). Il precedente risultato si riassume dicendo che l’evoluzione di stato `e funzione lineare della coppia formata da stato iniziale e ingresso e pu`o essere schematizzato come segue: #

"

x00 x0 (t) ! u0 (t) y 0 (t) # " x000 x00 (t) ! 00 u (t) y 00 (t)

2.1.2

9 > > > > = > > > > ;

↵x00 + x000 ↵u0 (t) + u00 (t)

)

#

!

"

↵x0 (t) + x00 (t) ↵y 0 (t) + y 00 (t)

(2.1.7)

Evoluzione libera ed evoluzione forzata

La (2.1.5), cos`ı come la (2.1.1), pu`o essere scritta nella forma x(t) = xl (t) + xf (t)

(2.1.8)

dove xl (t) := eF t x0 , Z t

xf (t) :=

eF (t

(2.1.9a) ⌧)

Gu(⌧ )d⌧.

(2.1.9b)

0

Analogamente la (2.1.6), cos`ı come la (2.1.2), pu`o essere scritta nella forma y(t) = yl (t) + yf (t)

(2.1.10)

dove yl (t) := H eF t x0 , yf (t) := H

Z t 0

eF (t

(2.1.11a) ⌧)

Gu(⌧ )d⌧ + Ju(t).

(2.1.11b)

2.1. EVOLUZIONE DELLO STATO E DELL’USCITA

15

Si osservi che nella (2.1.8) l’evoluzione x(t) dello stato `e decomposta additivamente in due termini: il primo, xl (t), detto evoluzione libera dello stato del sistema, dipende solamente dallo stato iniziale x0 e non dall’andamento dell’ingresso u(t); il secondo, xf (t), detto evoluzione forzata dello stato del sistema, dipende solamente dall’ingresso u(t) e non dallo stato iniziale x0 . Analogamente, nella (2.1.10) l’evoluzione y(t) dell’uscita `e decomposta additivamente in due termini: il primo, yl (t), detto evoluzione libera dell’uscita del sistema o risposta libera (del sistema) dipende solamente dallo stato iniziale x0 e non dall’andamento dell’ingresso u(t); il secondo, yf (t), detto evoluzione forzata dell’uscita del sistema o risposta forzata (del sistema) dipende solamente dall’ingresso u(t) e non dallo stato iniziale x0 . Si invita il lettore a verificare che questa decomposizione si pu`o vedere come un caso particolare del Teorema di sovrapposizione degli e↵etti. Essa corrisponde alla situazione in cui x00 = x0 , u0 (t) ⌘ 0, x000 = 0, u00 (t) = u(t) e ↵ = = 1. Evoluzione libera dello stato L’evoluzione libera dello stato a partire dallo stato iniziale x(0) = x0 `e data dal prodotto dell’esponenziale eF t per il vettore x0 (espressione (2.1.9a)). Si ricorda (cf. Proposizione A.3.1, nel caso di matrici diagonalizzabili, e Proposizione A.3.4, nel caso di matrici non diagonalizzabili) che gli elementi della matrice esponenziale eF t sono combinazioni lineari secondo coefficienti reali delle funzioni dell’insieme (A.3.5) nel caso di matrici diagonalizzabili (o, nel caso di matrici non diagonalizzabili, dell’insieme (A.3.27)). In particolare, dalla Proposizione A.3.4 segue immediatamente il seguente risultato. Proposizione 2.1.1 Sia F 2 Rn⇥n e siano i , i = 1, 2, . . . , r i suoi autovalori reali e µi := i +j!i eµ ¯i := i j!i , i = 1, 2, . . . , c, quelli con parte immaginaria non nulla. Si consideri l’insieme di funzioni linearmente indipendenti M := MR [ MC (2.1.12) con MR := {e

it

, te

it

, . . . , tI(

i)

1

e

it

: i = 1, 2, . . . , r}

(2.1.13)

e MC

:= {e t

it

cos(!i t), e

I(µi ) 1

e

it

it

sin(!i t), te I(µi ) 1

cos(!i t), t

e

it

cos(!i t), te

it

it

sin(!i t) : i = 1, 2, . . . , c}.

sin(!i t), . . . , (2.1.14)

Per ogni x0 2 Rn , ciascun elemento del vettore di stato xl (t) = eF t x0 `e combinazione lineare secondo coefficienti reali delle funzioni di M. Inoltre, comunque data una funzione f (t) 2 M esistono condizioni iniziali x0 2 Rn tali che la funzione f (t) compare con combinatore non nullo in almeno un elemento di xl (t). Definizione 2.1.1 Le funzioni f (t) 2 M si dicono modi del sistema (2.0.1). Si noti che i modi del sistema dipendono dalla sola matrice F e nel caso in cui F `e diagonalizzabile l’insieme dei modi ha una struttura molto semplice: M := {e

it

: i = 1, 2, . . . , r} [ {e

it

cos(!i t), e

it

sin(!i t) : i = 1, 2, . . . , c}.

(2.1.15)

dove i i , i = 1, 2, . . . , r sono gli autovalori reali di F e i ± j!i , i = 1, 2, . . . , c sono gli autovalori di F con parte immaginaria non nulla. In altre parole, se F `e diagonalizzabile, i modi sono: 1. gli esponenziali degli autovalori reali di F e 2. le parti reali e immaginarie degli esponenziali degli autovalori complessi di F .

16

CAPITOLO 2. ANALISI DEI SISTEMI LTI

Evoluzione libera dell’uscita L’evoluzione libera dell’uscita `e combinazione lineare, secondo gli elementi della matrice H, degli elementi di xl (t) (cf. (2.1.11a)). In particolare quindi Proposizione 2.1.2 Per ogni x0 2 Rn , l’evoluzione libera dell’uscita yl (t) = HeF t x0 `e combinazione lineare secondo coefficienti reali dei modi del sistema. Si noti che non `e a↵ato detto che per ogni f (t) 2 M esistano condizioni iniziali x0 2 Rn tali che la funzione f (t) compaia con combinatore non nullo in yl (t). In tal caso si dice che alcuni dei modi del sistema non sono osservabili dall’uscita. Evoluzione forzata dello stato L’evoluzione forzata dello stato `e data dalla (2.1.9b) che ha la forma di un integrale di convoluzione. Risulta quindi conveniente analizzarne la trasformata di Laplace. A questo fine si trasformano ambo i membri della prima delle (2.0.1) tenendo conto che l’evoluzione forzata `e la soluzione dell’equazione di↵erenziale corrispondente a condizioni iniziali nulle. Indicando con Xf (s) il vettore che ha per componenti le trasformate di Laplace di xf (t) e con U (s) la trasformata di Laplace dell’ingresso u(t), e ricordando la linearit`a della trasformata, si ottiene: sXf (s) = F Xf (s) + GU (s)

(2.1.16)

cosicch´e Xf (s) = [(sI

F)

1

G]U (s)

(2.1.17)

che evidenzia come Xf (s) sia il prodotto della quantit`a (sI F ) 1 G indipendente dall’ingresso per la trasformata U (s) dell’ingresso. In particolare, l’i-esima colonna di (sI F ) 1 G `e la trasformata dell’evoluzione forzata dello stato in corrispondenza dell’ingresso u(t) con i-esima componente impulsiva, ui (t) = (t)ei , dove ei indica l’i-esimo vettore canonico di Rm , definito come ei = 1 e ej = 0 per j 6= i. Infatti, in corrispondenza di questo ingresso si ha Ui (s) = ei , cosicch´e Xf, (s) = (sI F ) 1 GU (s) coincide proprio con l’i-esima colonna di (sI F ) 1 G. L’antitrasformata di (sI F ) 1 G si ottiene facilmente sostituendo (t)ei a u(t) nell’espressione (2.1.9b): xf, (t) = eF t Gei

(2.1.18)

da cui consegue immediatamente che ciascuna componente del vettore dell’evoluzione forzata dello stato corrispondente ad un ingresso con sole componenti impulsive `e data da una combinazione lineare dei modi del sistema. Evoluzione forzata dell’uscita La trasformata di Laplace Yf (s) dell’evoluzione forzata dell’uscita si ottiene facilmente trsaformando ambo i membri della seconda delle (2.0.1): Yf (s) = HXf (s) + JU (s).

(2.1.19)

Sostituendo l’espressione (2.1.17) per Xf (s) nella (2.1.19) si ottiene: Yf (s) = [H(sI

F)

1

G + J]U (s) = W (s)U (s)

(2.1.20)

che mostra come anche l’evoluzione forzata dell’uscita sia prodotto di un termine W (s) := H(sI

F)

1

G+J

(2.1.21)

2.2. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO E RISPOSTA IMPULSIVA

17

indipendente dall’ingresso, per la trasformata di Laplace dell’ingresso. Come per il caso precedente, si verifica immediatamente che la i-esima colonna di W (s) `e la trasformata dell’evoluzione forzata dell’uscita in corrispondenza ad un ingresso impulsivo u(t) = (t)ei : Yf, (s) = W (s)ei .

(2.1.22)

La W (s) che gioca un ruolo fondamentale nella teoria del controllo si dice matrice di trasferimento (nel caso di sistemi SISO funzione di trasferimento o trasferenza) del sistema (2.0.1). La sua antitrasformata `e una matrice che ha colonne coincidenti con l’evoluzione dell’uscita ottenute per ingressi con componenti impulsive ed `e chiamata matrice delle risposte impulsive (nel caso di sistemi SISO risposta impulsiva) del sistema. Quest’ultima si ottiene facilmente dall’espressione (2.1.11b): w(t) = HeF t G + J (t)

(2.1.23)

da cui consegue immediatamente che l’evoluzione forzata dell’uscita corrispondente ad ingressi con sole componente impulsivo `e data da una combinazione lineare dei modi del sistema e da un impulso scalato per la matrice J. Si noti che la matrice delle risposte impulsive ha elementi che sono una pura combinazione lineare dei modi del sistema (ossia `e priva della componente impulsiva J (t)) se e solo se J = 0; in tal caso il sistema si dice strettamente proprio. Come si vede, in un sistema strettamente proprio l’ingresso non influenza l’uscita direttamente, ma solo indirettamente attraverso la sua azione sull’equazione di stato. Questa `e un’equazione di↵erenziale che ha un e↵etto regolarizzatore (un impulso in ingresso significa che la derivata di x(t) ha una componente impulsiva cosicch´e x(t) presenta una semplice discontinuit`a del secondo ordine). Per questo motivo, nei sistemi strettamente propri, un impulso in ingresso d`a luogo ad un’uscita forzata priva di componenti impulsive. Esempio 2.1.1 Si consideri il circuito dell’Esempio 1.3.1 e il relativo modello (1.3.3). Siano C1 = C2 = C = 16 10 3 F, R1 = 2 000 Ohm e R2 = 3 000 Ohm. Si calcolino l’evoluzione dello stato e dell’uscita in corrispondenza ad un ingresso a gradino unitario (u(t) ⌘ 1 Volt, t 0 e u(t) ⌘ 0 Volt, t < 0) e a un stato iniziale in cui le tensioni ai capi dei due condensatori C1 e C2 sono di 0 e 5 Volt, rispettivamente.

2.2

Funzione di trasferimento e risposta impulsiva

N.B. In questa sezione ci si restringe per semplicit` a al caso di sistemi SISO (single-input, singleoutput), che comporta avere m = 1, p = 1 nel modello di stato (2.0.1). Una funzione W (s) si dice razionale se `e rappresentabile come un rapporto di polinomi in s: W (s) =

N (s) ; D(s)

(2.2.24)

la funzione razionale (2.2.24) si dice propria se il grado del polinomio D(s) `e maggiore o uguale a quello di N (s); si dice strettamente propria se il grado del polinomio D(s) `e maggiore di quello di (s)P (s) N (s). Nel seguito le funzioni razionali (2.2.24) e N e un qualunque polinomio non D(s)P (s) dove P (s) ` identicamente nullo, verranno identificate. Il secondo membro della (2.2.24) si dice rappresentazione coprima (o minima) di W (s) se i polinomi N (s) e D(s) sono coprimi ossia non hanno zeri in comune. Gli zeri di una funzione razionale W (s) sono gli zeri del polinomio N (s) di una sua rappresentazione coprima. I poli di una funzione razionale W (s) sono gli zeri del polinomio D(s) di una sua rappresentazione coprima. Si dice grado relativo di W (s) la di↵erenza tra il grado del polinomio D(s) e quello del polinomio N (s): rel deg[W (s)] = deg[D(s)]

deg[N (s)].

18

CAPITOLO 2. ANALISI DEI SISTEMI LTI

Si consideri ora la funzione di trasferimento (2.1.21). Si ha il seguente risultato. Proposizione 2.2.1 Nel caso di sistemi SISO, la funzione W (s) data dall’espressione (2.1.21) `e una funzione razionale propria di s. Inoltre, W (s) `e strettamente propria se e solo se J = 0. Dimostrazione. Si ricorda che (sI

F)

1

=

1 det(sI

dove adj(sI F ) indica la matrice aggiunta di sI dimensioni di F il cui elemento di indice i, j `e pari a [adj(sI

F)

adj(sI

F ),

(2.2.25)

F ossia la matrice quadrata con le stesse

F )]i,j = ( 1)i+j det[(sI

F )j

]

,i

(2.2.26)

con (sI F )j ,i sottomatrice ottenuta da sI F eliminando la riga di ordine j e la colonna di ordine i. Pertanto, ciascun elemento della matrice adj(sI F ) `e un polinomio di grado minore o uguale a n 1 e quindi anche H adj(sI F )G `e un polinomio di grado minore o uguale a n 1 (dove si `e indicato con n l’ordine della matrice F ). La conclusione `e ora immediata osservando che det(sI F ) `e un polinomio in s di grado n. Si osservi che i poli di W (s) sono un sottoinsieme degli zeri del polinomio det(sI sono un sottoinsieme dell’insieme degli autovalori di F : {poli(W (s))} ✓ { (F )}.

F ) ossia

(2.2.27)

Infatti, W (s) `e data da W (s) =

H adj(sI

F ) G + J det(sI det(sI F )

F)

,

(2.2.28)

ma non `e a↵atto detto che numeratore e denominatore del secondo membro della (2.2.28) siano polinomi coprimi. Si osserva infine che la (2.2.27) vale anche per sistemi MIMO (multi-input, multiouput), dove in questo caso i poli della matrice di trasferimento W (s) (matrice p ⇥ m con elementi che sono funzioni razionali proprie di s) sono definiti come l’unione dei poli degli elementi di W (s).

2.2.1

Realizzazione di stato

Nella sezione precedente si `e visto che la funzione di trasferimento di un sistema SISO `e una funzione razionale propria. Sorgono perci`o naturali le seguenti domande: 1. Come si caratterizza l’insieme delle funzioni razionali che sono funzioni di trasferimento di un sistema del tipo (2.0.1)? 2. La funzione di trasferimento individua univocamente il sistema, ossia la quadrupla (F, G, H, J)? 3. Data una funzione di trasferimento W (s) come si calcola una quadrupla (F, G, H, J) tale che valga la (2.1.21) ? Come si caratterizza l’insieme di tali quadruple? Definizione 2.2.1 Si dice realizzazione di una funzione di trasferimento W (s) una quadrupla (F, G, H, J) per la quale `e soddisfatta la (2.1.21). Una realizzazione (F, G, H, J) di W (s) si dice minima se non esiste alcuna altra realizzazione (F 0 , G0 , H 0 , J 0 ) di W (s) tale che l’ordine della matrice F 0 sia minore dell’ordine della matrice F . Teorema 2.2.1 Data una qualunque funzione razionale propria W (s) esiste una sua realizzazione (F, G, H, J).

2.2. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO E RISPOSTA IMPULSIVA

19

Dimostrazione. Si proceder`a in modo costruttivo a calcolare una realizzazione di una qualsiasi funzione razionale W (s). Si consideri la funzione razionale strettamente propria Ws (s) := W (s) (s) n 1 e W (1) e la si rappresenti in forma minima come Ws (s) = N D(s) . Sia N (s) = b0 + b1 s + . . . bn 1 s D(s) = a0 +a1 s+. . . sn (senza perdita di generalit`a si `e assunto D(s) monico). Si verifica facilmente per ispezione che la quadrupla 2

6 6 6 F =6 6 6 4

H=

h

0 0 .. .

1 0 .. .

0 a0

0 a1

0 ··· 1 ··· .. .. . . ... 0 ... ...

b0 b1 . . . . . . bn

3

0 0 0 1 an 1

`e una realizzazione di W (s).

i

1

7 7 7 72 7 7 5

Rn⇥n

2

0 0 .. .

6 6 6 G=6 6 6 4 0

1

2 R1⇥n

3

7 7 7 72 7 7 5

Rn⇥1

J = W (1) 2 R

(2.2.29)

(2.2.30)

Teorema 2.2.2 Si consideri una rappresentazione minima di una funzione razionale propria W (s) = N (s) D(s) e sia (F, G, H, J) una realizzazione di W (s). Le seguenti condizioni sono equivalenti: 1. (F, G, H, J) `e una realizzazione minima di W (s). 2. L’ordine della matrice F `e pari al grado del polinomio D(s). 3. Le matrici h

R := G | F G | F 2 G | · · · | F n

1

G

i

2

e

sono entrambe non singolari.

6 6 6 O := 6 6 6 4

3

H HF HF 2 .. . HF n

1

7 7 7 7 7 7 5

Inoltre date due realizzazioni minime (F, G, H, J) e (F 0 , G0 , H 0 , J 0 ) di W (s), esiste una matrice non singolare T 2 Rn⇥n tale che F0 = T

1

F T,

G0 = T

1

G

H 0 = HT,

Corollario 2.2.1 La realizzazione (2.2.29)-(2.2.30) `e minima.

J 0 = J.

(2.2.31)

20

CAPITOLO 2. ANALISI DEI SISTEMI LTI

Capitolo 3

La stabilit` a 3.1

Definizioni

Si consideri il sistema

(

x(t) ˙ = f (x(t), u(t)), y(t) = h(x(t), u(t)),

(3.1.1)

e sia (¯ x, u ¯) un suo punto di equilibrio. Fissato uno stato iniziale x0 = x ¯ + x, si indichi con x (t) l’evoluzione dello stato in corrispondenza all’ingresso costante u ¯ e alla condizione iniziale x0 . Definizione 3.1.1 Il punto di equilibrio si dice semplicemente stabile se1 8" > 0, 9 > 0 :

k xk
0, 9 > 0 :

k xk