Dimensionnement BA CSTB [PDF]

Zitiervorschau

D’après la norme EN 1992-1-1 (Eurocode 2, partie 1-1) Avec la collection « Guides eurocodes », le CSTB offre aux professionnels du bâtiment des outils pratiques relatifs aux méthodes de conception et de calcul figurant dans les normes Eurocodes. L’objectif de cette collection, dirigée par le CSTB, est de présenter de manière synthétique de nombreux points de conception-calcul pouvant présenter des difficultés d’application pratique, du fait de leur nouveauté ou de leur relative complexité. Pour tous les guides de la collection, avec ou sans recours aux calculs automatisés, les auteurs présentent de manière pédagogique et concise le déroulement des phases de calcul traitées, en citant systématiquement l’article, ou les articles, concerné(s) de l’eurocode. Cette méthode a pour but d’éclairer le projeteur sur l’objectif et les choix essentiels en phase calcul, en délestant l’approche de tout ce qui pourrait présenter des difficultés d’interprétation.

GUIDE EUROCODE

Programmes de calcul et méthode simplifiée pour les ouvrages élémentaires en béton armé

Dimensionnement des ouvrages en béton armé

Dimensionnement des ouvrages en béton armé

Dimensionnement des ouvrages en béton armé

Ce guide, élaboré par Henry THONIER, s’inscrit dans ce programme général. Il est destiné à permettre le calcul des éléments courants en béton armé, vis-à-vis des sollicitations qu’ils subissent (flexion des poutres, compression des poteaux, poinçonnement des dalles, etc.). Des feuilles de calcul complètent ce guide. Les outils et méthodes de calcul proposés permettent de respecter les principes de dimensionnement figurant dans la norme NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2, partie 1-1).

SIÈGE SOCIAL 8 4 , AV E N U E J E A N J A U R È S | C H A M P S - S U R - M A R N E | 7 74 4 7 M A R N E - L A -VA L L É E C E D E X 2 T É L . ( 3 3 ) 0 1 6 4 6 8 8 2 8 2 | F A X ( 3 3 ) 0 1 6 0 0 5 7 0 3 7 | w w w. c s t b . f r

2

D’après l’Eurocode 2

D’après l’eurocode

Le parti pris est de permettre, outre le recours éventuel à des logiciels ou des feuilles de calculs Excel (téléchargement gratuit sur http://e-cahiers.cstb.fr), la possibilité d’un calcul manuel utilisant des tableaux ou abaques. Dans certains cas, libre choix est ainsi laissé au calculateur de recourir à la méthode qu’il juge la plus adaptée au cas particulier à traiter et aux moyens dont il dispose.

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Guide Eurocode D’après la norme NF EN 1992-1-1: 2005 (Eurocode 2, partie 1-1)

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ



Programmes de calcul et méthode simplifiée pour les ouvrages élémentaires en béton armé



Directeur de collection : Ménad CHENAF (CSTB) Auteur : Henry THONIER (Expert consultant)



DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

Acteur public indépendant, au service de l’innovation dans le bâtiment, le Centre Scientifique et Technique du Bâtiment (CSTB) exerce quatre activités clés - recherche, expertise, évaluation, diffusion des connaissances - qui lui permettent de répondre aux objectifs du développement durable pour les produits de construction, les bâtiments et leur intégration dans les quartiers et les villes. Le CSTB contribue de manière essentielle à la qualité et à la sécurité de la construction durable grâce aux compétences de ses 850 collaborateurs, de ses filiales et de ses réseaux de partenaires nationaux, européens et internationaux.

Avertissement Le présent guide ne se substitue en aucun cas aux textes de références qu’ils soient réglementaires, normatifs ou codificatifs. Le CSTB décline toute responsabilité quant aux conséquences directes ou indirectes de toute nature qui pourraient résulter de toute interprétation erronée du contenu du présent guide.

Feuilles de calcul Vous pouvez télécharger gratuitement les feuilles de calcul développées sous Excel© sur le site : http://e-cahiers.cstb.fr/ Rubrique « téléchargement », puis « Eurocodes ».

Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur ou du Centre Français d’Exploitation du droit de copie (3, rue Hautefeuille, 75006 Paris), est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage du copiste et non destinées à une utilisation collective et, d’autre part, les analyses et courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (Loi du 1er juillet 1992 - art. L 122-4 et L 122-5 et Code Pénal art. 425). © CSTB août 2011

ISBN 978-2-86891-496-5

AVANT-PROPOS

AVANT-PROPOS Les autorités publiques ont confié au CSTB l’organisation et la gestion d’un programme d’accompagnement de la mise en œuvre de la directive « produits de construction » (Directive 89/106 du 21 décembre 1988). Ce programme d’accompagnement, appelé « Plan Europe » comporte plusieurs volets, tous concourant à l’intégration des textes techniques européens du domaine de la construction dans les usages français. Le Plan Europe a été dirigé et organisé par le CSTB, en partenariat avec les acteurs du bâtiment, partenariat formalisé par une convention en date du 1er juin 2004. Les partenaires concernés sont : −− le ministère de l’Équipement, des Transports, de l’Aménagement du Territoire, du Tourisme et de la Mer ; −− le Secrétariat d’État au Logement ; −− la Fédération Française du Bâtiment (FFB) ; −− la Confédération de l’Artisanat et des Petites Entreprises du Bâtiment (CAPEB) ; −− l’Union Sociale pour l’Habitat (USH) ; −− la Fédération française des Promoteurs Constructeurs de France (FPC France) ; −− le Comité professionnel de la Prévention et du Contrôle technique dans la Construction (COPREC) ; −− l’Union Nationale des Syndicats Français d’Architectes (UNSFA) ; −− la Fédération des Professionnels de l’Ingénierie (SYNTEC-Ingénierie) ; −− la Chambre de l’Ingénierie et du Conseil de France (CICF) ; −− l’Association Française de Normalisation (AFNOR) ; −− le Centre Scientifique et Technique du Bâtiment (CSTB). L’un des volets du Plan Europe est dédié spécifiquement aux Eurocodes. Il vise à procurer aux acteurs de la construction, pour les ouvrages courants, des outils pratiques consistant en des guides d’analyse commentés et des programmes de calcul leur permettant d’appliquer les principes et méthodes de dimensionnement proposés dans ces normes. Sont abordés à ce titre tous les matériaux habituels de structure : acier, béton, bois et maçonnerie vis-à-vis des actions normales, climatiques (vent, neige) ou accidentelles (feu, séisme).

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

Ce guide attire l’attention de l’utilisateur sur le domaine d’application couvert, forcément restreint par rapport à celui de l’Eurocode en question. Le choix délibéré a été de traiter les cas les plus couramment rencontrés, cette restriction s’accompagne d’une simplification de traitement. Enfin, il est indispensable de souligner que les méthodes proposées dans ce guide sont destinées à réaliser des calculs de structure, et que leur utilisation suppose la connaissance des principes généraux de résistance des matériaux et de la mécanique des structures. Cette connaissance est indispensable pour effectuer les choix judicieux qui incombent au calculateur et apprécier la pertinence des résultats obtenus dans le contexte particulier de l’ouvrage qu’il dimensionne.

SOMMAIRE

SOMMAIRE 1. OBJET..................................................................................................................  3 2.

DOMAINE D’APPLICATION..............................................................................  5

3. PROGRAMME DE CALCUL DE SECTIONS QUELCONQUES EN BÉTON ARMÉ EN FLEXION SIMPLE OU COMPOSÉE EN ÉTAT-LIMITE ULTIME......  7 3.1 Actions et combinaisons d’actions à considérer..............................................  7 3.2 Aciers....................................................................................................................  7 3.3 Diagramme contrainte-déformation du béton.................................................  8 3.4 Diagramme contrainte-déformation de l'acier.................................................  8 3.5 Sollicitations : efforts normaux et moments de flexion....................................  8 3.6 Méthode de calcul..............................................................................................  9 4. PROGRAMME DE CALCUL DE FLÈCHE ET D’OUVERTURE DE FISSURES D’UNE TRAVÉE EN BÉTON ARMÉ DE SECTION RECTANGULAIRE OU EN TÉ ............................................................................................................ 11 4.1 Section béton......................................................................................................  11 4.2 Aciers....................................................................................................................  11 4.3 Charges................................................................................................................  11 4.4 Exemples..............................................................................................................  11 5. POINÇONNEMENT DES DALLES .................................................................... 19 6. CALCUL DES SEMELLES FILANTES ET ISOLÉES SOUS CHARGE CENTRÉE.................................................................................. 23 7. CALCUL DU FLUAGE ET DU RETRAIT ............................................................. 25 8. POTEAUX EN BÉTON SOUS COMPRESSION CENTRÉE .............................. 27 8.1 Objet du chapitre................................................................................................  27 8.2 Domaine d'application.......................................................................................  27 8.3 Notations.............................................................................................................  28 8.4 Principes et étapes du calcul..............................................................................  28 8.5 Calcul de la capacité résistante NRd du poteau................................................  29 9. RÉFÉRENCES....................................................................................................... 35

1

1. OBJET

1. OBJET Le présent Guide concerne la conception et le calcul des ouvrages élémentaires en béton utilisés dans les bâtiments. Il s’inscrit dans le programme d’accompagnement de la Directive Produits de Construction (DPC) et a pour objectif de faciliter l’application de la norme NF EN 1992-1-1 [ 1 ] d’octobre 2005 (« Eurocode 2 – Calcul des structures en béton – Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments ») et de son Annexe Nationale de mars 2007. Le présent guide fournit à l’utilisateur le mode d’utilisation ainsi que les principes de justifications d’un certain nombre de programmes de calcul développés sous Excel™, permettant de mener des vérifications exigées par la norme NF EN 1992-1-1, ces vérifications pouvant se révéler laborieuses dans leur application. Ce guide a été bâti de manière à présenter dans un premier temps une partie explicative reprenant les prescriptions de la norme pour ce qui concerne les divers cas de figures relevant du domaine d’application (voir le chapitre 2 ci-après), puis dans un second temps des exemples d’application détaillés, permettant d’illustrer l’application des prescriptions de la norme.

3

2.  DOMAINE D’APPLICATION

2.

DOMAINE D’APPLICATION Le champ d’application est le même que celui de la norme NF EN 1992-11. Il couvre les bétons des classes C12/15 à C90/105 et les armatures dont l’acier présente une limite élastique comprise entre 400 et 600 MPa. Cinq programmes de calcul sont fournis en accompagnement de ce guide : −− (1) programme de calcul en flexion simple et composée de sections quelconques ; −− (2) programme de calcul des flèches et ouvertures de fissure ; −− (3) programme de calcul de poinçonnement des dalles ; −− (4) programme de calcul des semelles filantes et isolées ; −− (5) programme de calcul du fluage et du retrait. De plus, une méthode de vérification des poteaux à compression centrée est présentée au dernier chapitre de ce guide. Pour ce qui concerne les programmes de calcul, ils comportent tous une feuille-notice, récapitulant les principales instructions. Les programmes utilisent des macro-instructions qu’il est impératif d’activer pour pouvoir lancer les calculs. Cette activation est effectuée par : outils/macro/sécurité puis choix de l’option « niveau de sécurité moyen » sur PC ou outils/ options/sécurité/sécurité des macros et choix de « niveau de sécurité moyen » sur Mac. Ensuite, pour chaque utilisation, il faut répondre « activer les macros ».

5

3.  PROGRAMME DE CALCUL DE SECTIONS QUELCONQUES EN BÉTON ARMÉ EN FLEXION SIMPLE OU COMPOSÉE EN ÉTAT-LIMITE ULTIME

3.

PROGRAMME DE CALCUL DE SECTIONS QUELCONQUES EN BÉTON ARMÉ EN FLEXION SIMPLE OU COMPOSÉE EN ÉTAT-LIMITE ULTIME

3.1

Actions et combinaisons d’actions à considérer La section béton est composée d’une succession de trapèzes superposés (douze au maximum), ce qui permet de représenter toute forme symétrique par rapport à un axe vertical : rectangle, Té, double Té, I, U, H, polygone régulier, etc. a1

a2

c1

b1

c1

c2

b2

b1

a3

c3

b3

a1 c1

a2 c2

a4

b1

c4 b4 Figure 3.1 : Décomposition des sections en trapèzes.

Certaines formes à axe de symétrie horizontal peuvent aussi être calculées, mais pas les formes à axes de symétrie inclinés.

=

=

Figure 3.2 : Cas des sections en L.

Un cercle est assimilé automatiquement par le programme à un polygone (avec douze trapèzes).

3.2 Aciers Les aciers sont décrits par lits (huit au maximum) avec : nombre de barres par lit, diamètre, distance à la fibre la plus haute.

7

8

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

3.3

Diagramme contrainte-déformation du béton Le diagramme contrainte-déformation du béton est au choix : −− le diagramme parabole-rectangle pour les cas courants (équation 3.17 de la norme NF EN 1992-1-1) ; −− le diagramme de l'équation 3.14 de la norme NF EN 1992-1-1 (principalement pour les calculs d'instabilité). Le coefficient de fluage  représente le rapport de la déformation différée de fluage/déformation instantanée. Il n'est à utiliser que pour les calculs d'instabilité avec la courbe contrainte-déformation de l'équation 3.12 de la norme NF EN 1992-1-1 (cob = 2). À calculer suivant l'article 3.1.4 et l'annexe B de la norme NF EN 1992-1-1 ou le programme n° 5.

3.4

Diagramme contrainte-déformation de l’acier Le diagramme contrainte-déformation de l’acier est au choix : −− acier à palier : indifféremment A2, B2 ou C2 ; −− acier bilinéaire à deuxième droite inclinée : • A1 pour les aciers peu ductiles ; • B1 pour les aciers moyennement ductiles ; • C1 pour les aciers très ductiles.

3.5

Sollicitations : efforts normaux et moments de flexion Le calcul est effectué et vérifié pour un à douze couples effort normalmoment (N, M) au choix. Un diagramme d'interaction (N, M) est dessiné faisant apparaître les positions des couples (N, M) choisis. Les valeurs extrêmes des moments et efforts normaux résistants sont récapitulées dans un tableau sur fond jaune. Si les sections d’acier sont insuffisantes (ou surabondantes), on peut, sans réécrire les descriptions des aciers (nombre, diamètres), utiliser le coefficient multiplicateur de la case doublement encadrée et par essais successifs, trouver les sections d’acier nécessaires pour rester dans le domaine d’intégrité. Remarque Ne pas oublier d'écrire la valeur unité (1) pour ce coefficient avant tout commencement de calcul.

3.  PROGRAMME DE CALCUL DE SECTIONS QUELCONQUES EN BÉTON ARMÉ EN FLEXION SIMPLE OU COMPOSÉE EN ÉTAT-LIMITE ULTIME

3.6

Méthode de calcul Les trapèzes sont décomposés en quatre sous-trapèzes avec intégration parabolique (Simpson) des efforts normaux et des moments fléchissant par rapport au centre de gravité de la section brute du béton. La courbe d’interaction est obtenue par points pour toute variation de s de - 0,9 uk à cu2 ou c2 pour le pivot de section entièrement comprimée. ■■ Exemple numérique de vérification

Données : diagramme parabole-rectangle, 3HA40 en aciers supérieurs (enrobage à l’axe de 60 mm) et 3HA25 en aciers inférieurs (enrobage à l’axe 40 mm). Pour une déformation de 2,75 ‰ de la fibre supérieure la plus comprimée et de 1 ‰ pour la fibre inférieure la moins comprimée (ou tendue), on calcule l’effort normal résistant NRd et le moment résistant MRd. déformations en dix-millièmes

3HA40 0,30

2,75

contraintes béton 16 ,6 7

60 2,63

0,30 2

0,60

16 ,6 7

0,30 1,12

40 3HA25

0,30

1

12 ,5 0

Figure 3.3 : Contraintes et déformations dans la section.

Béton : fck = 25 MPa (diagramme parabole-rectangle avec cu2 = 3,5 ‰ et c2 = 2 ‰).

9

10

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

Contrainte du béton : largeur b 0,3    0,375 trapèze 0,45 1 0,525 0,6 0,6 0,525 trapèze 0,45 2 0,375 0,3

Cote y 0 0,075 0,15 0,225 0,3 0,3 0,375 0,45 0,525 0,6

, pour c < c2 = 2.

déformation coefficient contrainte dM = dN * dN = k.b.c c Simpson k béton c (y - 0,3) 2,750 1 16,67 5,000 1,500 2,531 4 16,67 25,000 5,625 2,313 2 16,67 15,000 2,250 2,094 4 16,67 35,000 2,625 1,875 1 16,60 9,961 0,000 1,875 1 16,60 9,961 0,000 1,656 4 16,17 33,957 - 2,547 1,438 2 15,35 13,815 - 2,072 1,219 4 14,12 21,180 - 4,766 1,000 1 12,50 3,750 - 1,125 1,490 S = 172,624 Nc = S * 0,075/3 Mc = S * 0,075/3 4,316 MN 0,0372 Mn.m Tableau 3.1 : Efforts dans le béton.

Acier : fyk = 500 MPa avec palier fcd = 500 / 1,15 = 434,8 MPa Nombre Diamètre aire As Distance Déformation Contrainte dN = barres dM = dN*d Ø cm2 s s d As*s n 3 40 37,70 0,06 2,575 434,8 1,639 0,393 3 25 14,73 0,56 1,117 223,3 0,329 - 0,0855 Ns = 1,968 MN Ms = 0,3078 MN.m Tableau 3.2 : Efforts dans les armatures.

Effort normal résistant : NRd = 4,316 + 1,968 = 6,284 MN. Moment résistant : MRd = 0,0372 + 0,3078 = 0,345 MN.m.

4.   PROGRAMME DE CALCUL DE FLÈCHE ET D'OUVERTURE DE FISSURES D'UNE TRAVÉE EN BÉTON ARMÉ DE SECTION RECTANGULAIRE OU EN TÉ

4.

PROGRAMME DE CALCUL DE FLÈCHE ET D’OUVERTURE DE FISSURES D’UNE TRAVÉE EN BÉTON ARMÉ DE SECTION RECTANGULAIRE OU EN TÉ

4.1

Section béton La section est en té ou rectangulaire (qui en est un cas particulier de la section en té, avec une épaisseur de table nulle).

4.2 Aciers Les aciers sont décrits par lits (dix-sept au maximum au total pour les aciers supérieurs et inférieurs) avec : −− nombre de barres par lit ; −− diamètre ; −− distance à la fibre la plus haute ; −− abscisse de départ du lit par rapport au nu de l’appui gauche ; −− longueur du lit.

4.3 Charges Les charges sont soit concentrées (dix-sept au maximum), soit trapézoïdales partielles (dix-sept au maximum), ce qui permet tous les types de charges.

4.4 Exemple 4.4.1

Calcul de l’ouverture des fissures Sur l’appui droit d’une poutre 0,40  0,70 de 10 m de portée entre nus.

11

12

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

6,46

3,54

0,98 4H A12

4H A20

4H A10 x 6,62

1,43

4H A20 70 0

0,96

2,71 4H A20 x 6,33

0,4

4H A20 40 0

0,4

10 ,0 0

30 6 56

46

20

66

Figure 4.1 : Élévation et coupe de la poutre.

Lbd /0,7 car h > 0 ,25 m

25 ,13

Lbd /0,7 12 ,56

4,5 2

3,1 4

aci ers su p. 25 ,13 12 ,56

12 ,56 aci ers in f.

Lbd

Lbd = 2 5 Ø p our fck = 50 M Pa

Figure 4.2 : Sections d’acier et ancrages.

Dans les zones d’ancrage des aciers, la section varie linéairement. ■■ Données

−− béton : fck = 50 MPa ; −− acier : fyk = 500 MPa de classe B à palier ; −− c = 1,5 ; s = 1,15 ; −− chargement prolongé ou grand cycles de chargement :  = 0,5 ; −− ciment : 52,5 R ;

4.   PROGRAMME DE CALCUL DE FLÈCHE ET D'OUVERTURE DE FISSURES D'UNE TRAVÉE EN BÉTON ARMÉ DE SECTION RECTANGULAIRE OU EN TÉ

−− taux d’humidité relative : RH = 70 % ; −− moment sur appui : - 374,1 kNm ; 0,3

0,3

f cm 58 −− module d’Young : E cm = 22  ------ = 22.  ------ = 37,28 GPa ;  10  10  −− résistance moyenne de traction du béton : fctm = 0,3. f 2/3 . ck = 4,072 MPA. ■■ Calcul

Sur appui droit, section d’acier comprimé : 12,56 cm2 (4HA20) et aciers tendus (chapeaux) : 25,13 cm2 (2  4HA20). Enrobage au nu du premier lit des aciers tendus : 36 mm (30 + cadre 6 mm). Coefficient de fluage : o = RH .  (fcm).  (to), (voir Annexe B de la norme NF EN 1992-1-1, clause B1). 9 9 Avec : t 0 corrigé = t 0 ---------------- + 1 = -----------------1,2 ---- + 1 = 32,5 jours 1,2 2 + t0 2 + 28

(> 0,5  28 = 14) puisque  = 1 pour un ciment rapide R.

1 - = 0,475. β ( t 0 ) = --------------------0,2 0,1 + t o



16,8 16,8 β ( f cm ) = ----------- = -------------------- = 2,206. f cm 50 + 8



1 – RH /100 ϕRH = 1 + ------------------------ . α 1 . α 2 . 0,1. 3 h o

35 0,7 α 1 = ------ = 0,702 pour fcm = fck + 8 = 58 > 35 MPa (sinon 1 = 1). f cm

35 0,2 α 2 = ------ = 0,904 pour fcm = fck + 8 = 58 > 35 MPa (sinon 2 = 1). f cm

2A 2 × 0,4 × 0,7 h o = -------c--= -------------------------------- × 1 000 = 252,5 mm,rayon moyen de l’élément ; 2 ( 0,4 + 0,7 ) u 1 – 0,7 d’où  ϕRH = ------------------------------ × 0,702 × 0,904 = 1,205 ; 0,1 × 3 252,5 et  o = 1,205  2,206  0,475 = 1,263.

Ec,eff = Module d’Young effectif à long terme E 37,28 -------- = -------------- = 16,48 GPa. = ------cm 1 + ϕo 2,263

Et le coefficient d’équivalence  = Es / Ec,eff = 12,14.

13

14

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

Ce qui nous permet de calculer la contrainte de l’acier tendu. Fibre neutre = racine de l’équation du second degré

2

x b . ----- + α ( A s + A s’ ) x - α ( A s . d + A ’s . d ’ ) = 0.

2 Soit   0,2 x2 + 12,14 (12,56 + 25,13) .10-4 x - 12,14  (12,56  0,056 + 25,13  0,644) . 10-4 = 0.

D’où la racine : x = 0,2244 m (hauteur comprimée). Et le moment d’inertie : 3

l = b . x----- + α . A s . d - x 3 Contrainte de l’acier tendu :

2

+ α . A’s . d ’ x

2

4

= 0,00736 m .

12,4 × 0,3741 0,644 - 0,2244 = --------------------------------------------------------------------= 258,9 MPa. 0,00736 Contrainte du béton comprimé : σs =



α.M.

-

l

M.x 0,3741 × 0, 2244 - = 11,41 MPa. σ c = ------------ = --------------------------------------l 0,00736

Aire efficace :  Ac,eff = b . Min[2,5(h - d) ; (h - x / 3 ; h/2] = 0,4 x Min [2,5  0,046 ; 0,158 ; 0,35] = 0,046 m2. –4

A × 10 Pourcentage efficace : ρ p,eff = ------s---- = 25,13 ----------------------------- = 0,0449 A c,eff 0,046

(cf. éq. 7.10 de la norme NF EN 1992-1-1). f



ε sm - ε cm

ct,eff σ s - k t . -----------1 + α e . ρ p,eff ρ p, eff σ = ------------------------------------------------------------------------- ≥ 0,6 -----s ;

Es

Es

où l’on peut prendre fct,eff = fctm (cf. clause 7.3.2(2) de la norme  NF EN 1992-1-1). e = Es / Ecm = 200 / 37,28 = 5,365.

ε sm - ε cm

4,072 - 1 + 5,365 × 0,0449 258,9 - 0,4 -------------0,449 = ---------------------------------------------------------------------------------------200 000 258,9 –3 –3 = 1,069 × 10 ≥ 0,6 × ------------------ = 0,78 × 10 . 200 000

4.   PROGRAMME DE CALCUL DE FLÈCHE ET D'OUVERTURE DE FISSURES D'UNE TRAVÉE EN BÉTON ARMÉ DE SECTION RECTANGULAIRE OU EN TÉ

Écartement moyen des aciers : quatre aciers sur 0,40 m de largeur, soit 0,4 - 2 × 0,06 s = ------------------------------ = 0,093 m. 3 Cet écartement est inférieur à

5 (c + /2) = 5  (0,036 + 0,02 / 2) = 0,23 m ;

donc : sr,max = k3 . c + k1 . k2 . k4 .  / p,eff ; avec : k1 = 0,8 pour aciers HA ; k2 = 0,5 en flexion ; k3 = 3,4 ; k4 = 0,425 ; sr,max = 3,4  36 + 0,8  0,5  0,425  20 / 0,0449 = 198 mm ; et enfin l’ouverture calculée de la fissure vaut : wk = sr,max . (sm - cm) = 198  1,069  10-3 = 0,212 mm < 0,3 mm. 4.4.2

Calcul de la flèche Pour simplifier les calculs manuels, la portée de 10 m est divisée en quatre tronçons de 2,5 m. ■■ Données moments quasi-permanents

k

x

moments permanents

aciers

appuis simples

en continuité

appuis simples

en continuité

inf.

sup.



kNm

kNm

kNm

kNm

cm2

cm2

moyen

0

0

0

0

0

0

12,566

4,524

-

1

2,5

342

248,5

306,6

218,14

25,133

3,142

0,02

2

5

456

268,9

408,8

231,9

25,133

3,142

0,02

3

7,5

342

61,4

306,6

41,9

12,566

12,566

0,02

4

10

0

- 374,1

0

- 353,7

12,566

25,133

0,02

Tableau 4.1 : Moments fléchissant et armatures de flexion dans la poutre.

■■ Calcul en section fissurée au temps infini

Calcul des contraintes en ELS avec un coefficient d’équivalence  = 12,143 calculé ci-dessus lors de l’étude de l’ouverture des fissures. Courbure sur appui droit : 1/r = M / (E. I) = - 374,1 / (16,48  0,007308) = - 3106. 1 x Rotation :  ω = --- . 1 - -- . dx  et flèche =  . dx.

∫r

L

L’intégration est parabolique (méthode de Simpson). Pour la fibre neutre, le moment d’inertie et les contraintes acier et béton (cf. le calcul de l’ouverture des fissures ci-dessus).

15

16

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

■■ En section fissurée au temps infini (combinaison quasi-permanente) contraintes k

fibre neutre

1/r

m

inertie béton acier m4

courbure 1/r

coef1/r . rotation flèche ficient 1 - x/L (1-x/L)  f2 Simpson

MPa

MPa

m-1

-

-

0

0,00

0

1

1

1 621,72 - 4 935,8

- 8 052

1 170,21 1 105,9

-

mm

0

0,1799 0,004308

1

0,2403 0,006972 8,565 174,57

2 162,3

4

0,75

2

0,2403 0,006972 9,27

188,95

2 340,4

2

0,5

208,79

5 578,2

- 22,24

3

0,1670 0,004461 2,299

81,34

835,16

4

0,25

0,00

3 270,5

- 12,47

4

0,2244 0,007361 11,41 258,75

- 3 084

1

0

-

- 8 052

0

0 - 16,84

Tableau 4.2 : Calcul de la flèche en section fissurée.

Rotation à l'appui gauche :

10 ω o = - ( 4 × 1621,72 + 2 × 1170,21 + 4 × 208,79 ) × ---------- = - 8 052. 3×4 Flèche à mi-travée : 10 –3 f = ( - 8052 - 4 × 4935,8 + 1105,9 ) × ---------- × 10 = - 22,24 mm. 3×4

■■ En section non-fissurée au temps infini

Le moment d’inertie est calculé en section homogénéisée avec le coefficient d’équivalence  = 12,143. ■■ Calcul de la hauteur comprimée et du moment d’inertie (à mi-travée) b ou 

h ou As

aire m2

dist. m

mom. statiq m3

dist. m

ID m4

0,4

0,7

0,28

0,35

0,098

0,4667

0,04573

12,143

0,000314

0,00381

0,056

0,0002135

0,056

0,000012

12,143

0,002513

0,03051

0,644

0,019647

0,644

0,01265

Total

0,31432

0,11786

0,0584

Tableau 4.3 : Moment d’inertie à mi-travée.

v = mom/aire = 0,019647 / 0,31432 = 0,3748 m. I = ID - aire . v 2 = 0,01424 m4. 268,9 Courbure : 1/ r = ------M - =1146. -------- = ------------------------------------16,48 × 0,01424 E c,eff . I

Le moment critique correspond à une contrainte de traction du béton égale à fctm. f ×I 4,072 × 0,1424 M cr = --ctm ------------ = -------------------------------- = 0,1783 MNm = 178,3 kNm. h-v 0,7 - 0,3748

4.   PROGRAMME DE CALCUL DE FLÈCHE ET D'OUVERTURE DE FISSURES D'UNE TRAVÉE EN BÉTON ARMÉ DE SECTION RECTANGULAIRE OU EN TÉ

 est un coefficient de distribution entre section non-fissurée et section fissurée. Il vaut, suivant la clause 7.4.3 (3) de la norme NF EN 1992-1-1 : σ sr 2 - . ζ = 1 - β . -----σs Avec s = contrainte de l’acier en section fissurée et sr = contrainte de l’acier en section fissurée au moment de l’apparition de la première fissure (quand c = fctm). Comme on calcule les contraintes dans une section fissurée sous deux moments différents, le rapport des contraintes est égal au rapport des moments. Donc, à mi-travée, par exemple, on a : 178,3 2 1 - 0,5 --------------0,780 (toujours à mi-travée). 278,9 Avec  = 0,5 pour un chargement prolongé (ou un grand nombre de cycles de chargement). inertie m4

hauteur Courbure comprimée 1/r (1 - x/L) 1/r v



m

0,013334

0,3598

0,00

0,00

0,01424

0,3748

1 058,60

793,95

- 3 819

flèche f1

moment critique Mcr

mm

kNm

0

- 2 294 - 7,939



f mm

159,6

0

0

178,3

0,743 - 14,55 0,78 -19,61

0,01424

0,3748

1 145,81

572,90

664,3 - 10,274

178,3

0,014252

0,35

261,40

65,35

2 600

- 5,512

165,8

0

- 5,51

0,015421

0,3368

- 1 471,96

0,00

1 264

0

172,8

0,893

0

Tableau 4.4 : Calcul de la flèche en section non fissurée à long terme.

La flèche sous charge quasi-permanente à un temps infini vaut : f = f2.  + (1 - ). f1 = 22,24  0,78 + 10,27  0,22 = 19,61 mm. Cette flèche ne doit pas dépasser 1/250 de la portée, soit

10 000/250 = 40 mm  OK.

On calcule ensuite la flèche nuisible comme étant la variation de flèche entre l’instant de construction des cloisons, carrelages et du chargement (ici to = 28 jours) ou de la fin de la construction et le temps infini. Cette flèche doit rester inférieure à L / 500. On fait le même raisonnement que précédemment, mais avec un module d’Young instantané pour avoir la flèche à vingt-huit jours.

17

18

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

1/r

1/r (1 - x/L)



f2 mm

0

0

- 5 761

0

inertie m4

v m4

0,01228 0,355

1/r 1/r MPa (1 - x/L) 0

1 577 1 183 - 3 482 - 11,99 0,01272 0,362 460,1 1 676 838,2 892,5 506 - 2 505

126,5 4 004 0

1 889



0

- 1630

345

- 966

f1 mm

Mcr kNm



f mm

0

144,7

0

0

- 3,37 153,1 0,508 - 7,747

- 15,66 0,01272 0,362 489,1 244,5 310,6 - 4,32 153,1 0,564 - 10,72 - 8,454 0,01268 0

0,35

87,35 21,84 1 115 - 2,22 147,5

0,01321 0,344 - 718

0

410,8

0

0

150,9 0,818

- 2,222 0

Tableau 4.5 : Calcul de la flèche en section non fissurée à court terme.

On a un différentiel de flèche de : 19,61 - 10,72 = 8,91 mm soit 1 / 1124 < 1 / 500  OK. Remarque Un calcul simple de l’ouverture de la fissure en un point donné peut être fait en utilisant les données situées à la droite de la feuille de calcul, complétées par les données en vert foncé situé à gauche de la feuille.

5.  POINÇONNEMENT DES DALLES

5.

POINÇONNEMENT DES DALLES Cette méthode est conforme à l’article 6.4 de la norme NF EN 1992-1-1. Elle n’est pas applicable en l’état aux semelles de fondations. Pour ces dernières, un programme spécialement dédié est fourni (cf. chapitre 6 de ce guide). Le cisaillement vEd est vérifié le long du contour de contrôle, de périmètre u, situé à la distance 2d du nu du poteau. Si cette contrainte dépasse la contrainte limite vRd, on doit prévoir des aciers verticaux (épingles par exemple) sur un contour extérieur au précédent jusqu’à ce que la condition précédente soit vérifiée. ■■ Exemple

Charge de 400 kN apportée par une dalle sur un poteau de 0,30  0,30 sans chapiteau. 400

kN

réaction d'appui de calcul ou charge concentrée (ELU) ;

fck

25

MPa

résistance du béton ;

fyk

500

MPa

limite élastique de l'acier ;

e

20

mm

enrobage au nu des aciers ;

a

0,3

m

côté du poteau // à x ;

b

0,3

m

côté du poteau // à y ;

h

0,23

m

épaisseur de la dalle ;

x

12

mm

diamètre aciers // x ;

y

12

mm

diamètre aciers // y ;

sx

0,15

m

espacement aciers // x ;

sy

0,15

m

espacement aciers // y ;



1,15

coefficient de position du poteau (1,15 en intérieur, 1,4 en rive, 1,5 en angle), cf. figure 6.21 de la norme NF EN 1992-1-1 ;

c

1,5

coefficient béton en ELU ;

s

1,15

coefficient acier en ELU.

VEd

19

20

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

■■ Résultats dx

0,204 m

distance du parement à l'axe des aciers // x (h - e - 0,5 x) ;

dy

0,192 m

distance du parement à l'axe des aciers // y (h - e - 1,5 y) ;

fcd

16,67 MPa

contrainte de calcul béton (fck / c) ;

fyd

434,8 MPa

contrainte de calcul acier (fyk / s) ;

Asx

7,54

2

cm /m

section acier // à x ;

Asy

7,54

cm2/m

section acier // à y ;

x

0,37 %

% d'aciers // à x = Min [Asx / dx ; 0,02] ;

y

0,39 %

% d'aciers // à y = Min [Asy / dy ; 0,02] ;

d

0,198

hauteur utile moyenne = (dx + dy) / 2, (cf. clause 6.4.5 (1) de la norme NF EN 1992-1-1) ;



0,38 %

% d'aciers moyen = (x . y)0,5, (cf. clause 6.4.4 (1) de la norme NF EN 1992-1-1) ;

k

2

= Min [1 + (200 / d)0,5  ; 2], (cf. clause 6.4.4 (1) de la norme NF EN 1992-1-1) ;

vmin

0,495 MPa

0,5

= 0,035 k1,5 . f ck , (cf. clause 6.2.2 (1) de la norme NF EN 1992-1-1) ;

u1 / d

2

distance u1 du contour de contrôle en fonction de la hauteur utile d, (cf. clause 6.4.2 (1) de la norme NF EN 1992-1-1) ;

uo

3,688 m

périmètre du contour de référence = 2 a + 2 b + 2  u1 , (cf. clause 6.4.2 (1) de la norme NF EN 1992-1-1) ;

vEd

0,630 MPa

cisaillement de calcul =  . VEd / (uo . d),(cf. éq. 6.49 de la norme NF EN 1992-1-1) ;

vRd,max vRd,c

4,5

MPa

cisaillement maximal pour résistance béton = 0,5 . 0,6 . (1 - fck / 250) . fcd , (cf. éq. 6.5 de la norme NF EN 1992-1-1) ;

0,509 MPa

cisaillement limite sans aciers = Max [vmin ; (0,18 / c) . k . (100  . fck)1/3], (cf. éq. 6.50 de la norme NF EN 1992-1-1) ;

124 % KO.

Remarque Prévoir des aciers de poinçonnement car 0,63 > 0,51 MPa.

5.  POINÇONNEMENT DES DALLES

Les lignes suivantes ne valent que si la contrainte de cisaillement résistante est dépassée : fywd,ef

299,5

Asw / (sr.u1) 5,53

MPa

contrainte de calcul des aciers de poinçonnement = Min [fyd  ; 250 + 0,25 d), (cf. clause 6.4.5 (1) de la norme NF EN 1992-1-1) ;

cm2/m2 aciers nécessaire = (vEd - 0,75 vRd,c) / (1,5 fywd,ef), (cf. éq. 6.52 de la norme NF EN 1992-1-1) ;

uout,ef

4,567

m

périmètre de contour limite sans acier =  . VEd / (vRd . d), (cf. éq. 6.53 de la norme NF EN 1992-1-1) ;

dout,ef

0,536

m

distance au nu du poteau du contour au-delà duquel il ne faut plus d’acier vertical avec : 2 a + 2 b + 2  . dout,ef . uout,ef = 4,567.

Remarque Les valeurs en grisé peuvent être modifiées en fonction des Annexes Nationales.

21

6.  CALCUL DES SEMELLES FILANTES ET ISOLÉES SOUS CHARGE CENTRÉE

6.

CALCUL DES SEMELLES FILANTES ET ISOLÉES SOUS CHARGE CENTRÉE Les dimensions de la semelle (longueur, largeur, hauteur) sont, soit imposées, soit déterminées et optimisées par le programme. NEd

bxc dallage hd

0,05

>= H h2 h h1

B xC

semelle tronconique ou semelle plate

Figure 6.1 : Coupe sur semelle isolée.

La charge de calcul NEd doit déjà être majorée des coefficients de sécurité en combinaison ELU. L'enrobage cmin, selon la clause 4,4,1,3 (4) de la norme NF EN 1992-1-1, est de 40 mm ou 30 mm (selon l’Annexe Nationale française) pour un béton de semelle coulé sur un béton de propreté, ou bien respectivement de 75 et 65 mm pour un coulage directement au contact du sol. L'enrobage cnom, pris en compte dans les calculs, est égal à : cnom = cmin + cdev avec une tolérance d'exécution cdev variant de 0 à 10 mm selon les conditions d'exécution (par prudence : 10 mm). ■■ Vérifications effectuées :

−− contrainte du sol sous l'action de la charge ultime extérieure, du poids de la semelle, du sol situé au-dessus, du dallage éventuel et de la charge variable sur le dallage ; −− cisaillement limite de poinçonnement (cf. art. 6,4,2 ; 6,4,3 et 6,4,4 la norme NF EN 1992-1-1), suivant tous les contours de contrôle situés à une distance a du nu de l'appui variant de 0 à 2 d ; −− périmètre du contour de contrôle : u = 2 b + 2 c + 2  a ; −− aire à l'intérieur du contour de contrôle :

A = (b + 2 a) c + (c + 2 a) b - b c +  a2 ;

A −− effort agissant : V Rd = N Ed 1 - ------------ ; B.C

23

24

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

−− cisaillement agissant : vEd = VEd / (u . d) ≤ vRd ; −− cisaillement résistant : v Rd = C Rd,c k 100ρ . f ck A sx

1/3

A

2.d . ------------ avec : a

sy • ρ = ------------ . ------------ = pourcentage moyen ; b . dx b . dy

• CR,dc = 0,18 /  ; • k = Min 2 ;

0,2 -------- ; d

• d = hauteur utile moyenne (m). Le calcul des aciers est effectué par la méthode des moments (cf. clause 9.8.2.2 (3) de la norme NF EN 1992-1-1) avec un porte-à-faux majoré de 0,15 fois la largeur du poteau (cf. fig. 9.13 de la norme NF EN 1992-1-1) : M

2

N Ed B - 0,7 . b Moment : M Ed = -------------------------------------8.B

Ed Moment réduit : µ = ------------2---------- ; C . d x . f cd

M

Ed -. Bras de levier : z = 0,5 d 1 + 1 - 2 . µ Acier // x : A s = ------------z . f yd

Les aciers sont terminés par des crochets à 135° aux deux extrémités. Le programme calcule les quantités d’acier nécessaires (diamètres, longueurs, poids). Remarque La méthode de calcul des bielles française (dite méthode Blévot) ne peut pas être utilisée. Elle n'est pas conforme à la méthode des bielles de la norme NF EN 1992-1-1, car l'équilibre des nœuds supérieur n'est pas vérifié avec un bras de levier : z = d et une section d’acier :

As

N ED B - b ------------------------8 . d . f yd

2

29,18 cm ( + 4,5 % ).

Dans notre exemple, selon la clause 6.5.4 (4)a de la norme NF EN 1992-1-1, l'utilisation de la méthode des bielles conduit à un bras de levier :

2

2

b.B b d z = 0,5 d + ----- - ---------- + ------ = 0,504 m ;

4

16

16

et une section d'acier

N B-b 2 A s = ----Ed ------------------- = 34,91 cm ( + 25,1 % ). 8 . d . f yd

Pour des raisons d'économie, nous avons donc retenu la méthode des moments.

7.  CALCUL DU FLUAGE ET DU RETRAIT

7.

CALCUL DU FLUAGE ET DU RETRAIT La section peut être quelconque, pourvu qu’elle possède un axe de symétrie. Elle est décrite comme une succession de trapèzes (douze au maximum), voir au chapitre 3.1 ci-dessus. Une section circulaire peut être utilisée. Elle est automatiquement transformée en une succession de douze trapèzes. Le détail des calculs est donné sur la feuille de calcul avec références aux équations de la norme NF EN 1992-1-1. ■■ Exemple

−− Données : fck

25

MPa

résistance béton ;

c

7,8

MPa

contrainte de compression constante ;

to

14

jours

âge du béton lors du chargement ;

t

365

jours

âge du béton lors du calcul ; âge du béton au début de la dessiccation (fin de cure) ;

ts

2

jours

RH

55

%

ciment

42,5R

taux d'humidité relative ; classe de résistance ciment : 32,5N ; 32,5R ; 42,5N ; 42,5R ; 52,5N ou 52,5R.

−− Section béton (dimensions en m) : trapèze

1

2

3

a (larg.haut)

1

0,3

1

b (larg.bas)

1

0,3

1

c (hauteur)

0,2

0,6

0,2

section (m2)

0,2

0,18

0,2

−− Résultats : Ac

0,58

m2

aire béton ;

pc

5,4

m

périmètre béton.

25

26

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

−− Résultats fluage : Ec

33,05

GPa

Résultats retrait :

module d'Young tangent ;

ho

214,8 mm cf. éq. B.6 ;

cc (t,to) 0,4747

‰

raccourcissement à 365 jours ;

ds1

6

cc (oo,to) 0,6362

‰

cf. éq.3.6, d° à l’infini ;

ds2

0,11

cf. éq. B.1 coeff. fluage à 365 jours ;

kh

0,835

coeff. de fluage à l'infini ;

cd,o

0,672

cf. éq. B.11 ;

RH

1,292

cf. éq. B.12 ;

 (t,to)

2,0115

 (oo,to) 2,6957 o

2,6957

cf. éq. B.2 ;

RH

1,7514

cf. éq. B.3 ;

cs (t)

0,454

‰

cf. éq. 3.8 ;

 (fcm)

2,9245

cf. éq. B.4 ;

cd (t)

0,417

‰

cf. éq. 3.9 ;

 (to)

0,5263

ho

214,81

c (t,to)

0,7462

c (oo,to)

1

H

572,4

1

cf. éq. B.5 ; mm

cf. éq. B.6 rayon moyen de la pièce ; cf. éq. B.7 ; d° ;

ds (t,ts) 0,742

cf. éq. 3.10 ;

ca (t)

0,037

‰

cf. éq. 3.11 ;

ca (oo)

0,038

‰

cf. éq. 3.12 ;

as (t)

0,978

cf. éq. B.8a-b ;

cd (oo)

0,561

‰

retrait de dessiccation à l'infini ;

1

cf. éq.B.8c ;

ca (oo)

0,038

‰

retrait endogène à l'infini ;

2

1

cf. éq.B.8c ;

cs (oo)

0,599

‰

retrait total à l'infini.

3

1

cf. éq.B.8c ;

toc

18,896



1

jours

cf. éq. B.9 temps corrigé en fonction du ciment ; exposant fonction du ciment.

cf. éq. 3.13 ;

8.  POTEAUX EN BÉTON SOUS COMPRESSION CENTRÉE

8.

POTEAUX EN BÉTON SOUS COMPRESSION CENTRÉE

8.1

Objet du chapitre La norme française NF EN 1992-1-1 traite, au chapitre 5, de l’analyse structurale et notamment de la prise en compte des effets du second ordre et des risques d’instabilité dans le cas des charges axiales au paragraphe 5.8. L’objet de la méthode proposée dans le présent chapitre est de permettre le dimensionnement des poteaux en béton armé soumis à un effort de compression axiale centrée. Ce dimensionnement suppose la prise en compte des effets du second ordre et du risque de flambement qui en découle. Deux formules de calcul, s’appliquant respectivement aux poteaux rectangulaires et aux poteaux circulaires, fournissent la capacité résistante du poteau NRd en fonction des différents paramètres influençant le risque de flambement. L’utilisation de ces formules, pour des élancements allant jusqu’à 70 (cf. domaine d’application précisé au chapitre 8.2, ci-après) dispense d’effectuer une vérification selon la méthode générale proposée dans l’article 5.8.6 de la norme NF EN 1992-1-1. Compte tenu de la simplicité d’application des formules de calcul proposées, il n’a pas été jugé utile de fournir un programme de calcul pour cette partie.

8.2

Domaine d’application La méthode proposée s’applique dans les limites suivantes : −− poteaux de section rectangulaire ou circulaire ; −− poteaux bi-articulés soumis à des charges centrées ; −− élancement ≤ 70 ; −− résistance à la compression telle que 20 ≤ fck ≤ 50 MPa ; −− épaisseur de la section dans le sens du flambement : h ≥ 0,15 m ; −− distance d des aciers à la paroi la plus proche ≤ Min [0,30 h ; 100 mm] ; −− armatures symétriques, par moitié sur chaque face ; −− chargement à au moins 28 jours.

27

28

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

8.3 Notations ei eo e1

excentricité due aux imperfections géométriques ; excentricité extérieure du premier ordre = MRd / NRd ; excentricité totale du second ordre = eo + ei ;

e2

h HR Lo MEd NEd MRd NRd r h b c1 cu1 ef

8.4

2

L ε h flambement - ε épaisseur du poteau dans leordre sens =du -------------b- . -----o ; ; excentricité du deuxième h π humidité relative en % ; longueur de flambement ; moment agissant en ELU ; effort normal agissant en ELU ; moment résistant de la section critique ; effort normal résistant de la section critique ; rayon de courbure de la section critique et 1 / r = courbure ; déformation en fibre la plus comprimée ; déformation en fibre tendue ou la moins comprimée ; déformation du béton sous contrainte maximale fck ; déformation maximale du béton à la rupture ; coefficient de fluage effectif (cf. éq.5.19 de la norme NF EN 1992-1-1).

Principes et étapes du calcul La norme NF EN 1992-1-1 propose trois méthodes pour le calcul des éléments comprimés soumis à des charges axiales : −− une méthode générale basée sur une analyse non-linéaire du second ordre (cf. art. 5.8.6 de la norme NF EN 1992-1-1). Les formules simplifiées proposées dans ce document ont été calées par rapport aux résultats dérivés de l’application de cette méthode générale ; −− une méthode simplifiée basée sur la rigidité nominale (cf. art. 5.8.7 de la norme NF EN 1992-1-1) qui se ramène à un calcul en flexion composée avec un coefficient de majoration des moments ; −− une méthode simplifiée basée sur la courbure nominale (cf. art.  5.8.8 de la norme NF EN 1992-1-1) qui se ramène à un calcul en flexion composée prenant en compte une excentricité du second ordre avec une formulation simplifiée de la courbure 1 / r. La méthode simplifiée proposée ici se traduit par le calcul direct de la capacité résistante du poteau (NRd) en fonction d’un certain nombre de coefficients qui tiennent compte de l’influence de différents paramètres sur le risque de flambement du poteau induit par les effets du second ordre. Cette capacité résistante s’exprime selon avec une formule simple voisine dans son esprit de celle proposée dans les règles de calcul BAEL (cf. art. B.8.4.1) pour les poteaux de bâtiments courants.

8.  POTEAUX EN BÉTON SOUS COMPRESSION CENTRÉE

Le tableau qui suit précise les étapes du calcul à mener pour dimensionner les poteaux visées par le domaine d’application vis-à-vis d’un effort de compression centrée. Étape

Calcul à effectuer

1

Calcul de la sollicitation de compression agissant sur le poteau NEd.

2

Calcul de la longueur de flambement l0 et du rayon de giration i dans le sens du flambement.

3

Calcul de l’élancement mécanique  fonction du rayon de giration et de la longueur de flambement.

4

Calcul du coefficient réducteur  en fonction de l’élancement mécanique.

5

Calcul des coefficients kh et ks en fonction du taux d’armature , de la limite d’élasticité des aciers fyk et de l’enrobage relatif des aciers .

6

Calcul de la capacité résistante du poteau NRd en appliquant la formule simplifiée (deux formules différentes selon que le poteau est rectangulaire ou circulaire).

7

Comparaison de la Sollicitation de compression agissante NEd avec NRd : si NRd > NEd, le poteau est correctement dimensionné ; si NRd > NEd, le poteau doit être redimensionné. Tableau 8.1 : Étapes de calcul pour le dimensionnement des poteaux.

8.5

Calcul de la capacité résistante NRd du poteau

8.5.1

Rappel des notations



= largeur du poteau rectangulaire ; = diamètre de la section circulaire ; = épaisseur du poteau rectangulaire dans le sens du flambement ; = longueur de flambement ; = fck / 1,5 ; = fyk / 1,15 ; = section totale des aciers situés à la distance d des parois, disposés en deux lits pour une section rectangulaire ou en six barres réparties pour une section circulaire ; = d’ / h (enrobage relatif) ; =  Lo h (élancement pour une section rectangulaire de côté h dans le sens du flambement) ; = 4 . Lo / D (élancement pour une section rectangulaire de diamètre D) ; = As / b . h (% d’acier total pour une section rectangulaire) ;



=

b D h Lo fcd fyd As   

2



πD A s / ---------4

(% d’acier total pour une section circulaire).

29

30

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

8.5.2

Cas des poteaux rectangulaires Section rectangulaire : NRd = kh . ks .  . [b . h . fcd + As . fyd]. 0,86  si  ≤ 60. α = ----------------------λ 2 ----1+ 62 32 1,3 α = -----si 60 <  ≤ 120. λ kh = (0,75 + 0,5 h) . (1 - 6  . ) pour h < 0,50 ; sinon kh = 1. f yk k s = 1,6 - 0,6 ---------- pour fyk > 500 et  > 40 ;

500

sinon ks = 1. 8.5.3

Cas des poteaux circulaires 2

πD Section circulaire : N Rd = k n . k s . α . ---------- . f cd + A s . f yd . 4 0,84   si     60. α = ----------------------λ 2 1 + -----52 27 α = -----λ

1,24

 si 60    120.

kh = (0,7 + 0,5 D) . (1 - 8  . )  pour D < 0,60 ; sinon kh = 1.

f yk k s = 1,6 - 0,65 ---------- pour fyk > 500  et   > 30 ;

500

sinon ks = 1. Remarque Si l’on ne connaît pas la valeur de , on peut prendre, à titre conservatoire :   –  kh = 0,77 pour les sections rectangulaires lorsque h < 0,50 m ;   – kh = 0,70 pour les sections circulaires lorsque D < 0,60 m.

8.  POTEAUX EN BÉTON SOUS COMPRESSION CENTRÉE

8.6

Exemples de calcul

8.6.1

Exemple de calcul pour un poteau rectangulaire ■■ Données

= 2,60 m (longueur de flambement) ; = 0,20 m (petit côté) ; = 0,40 m (grand côté) ; = 0,36 MN (charges permanentes) ; = 0,16 MN (charges d’exploitation) ; = 28 (chargement à 28 jours) ; = 70 (taux d’humidité en %) ; : Classe C20/30 ; fck = 25 MPa, avec yc = 1,5, ciment 42,5 N ; Acier : Classe B (moyennement ductile) et palier horizontal ; fyk = 500 MPa, avec ys = 1,15 ; MEd = 0 (pas de moment extérieur du premier ordre) ; Armatures : 2  3 HA10 soit 3 HA10 le long de chaque grande face ; Enrobage à l’axe = 20 + 6 + 10 / 2 = 31 mm, avec 20 mm pour l’enrobage des cadres HA6 ; NEd = 1,35 NG + 1,5 NQ = 0,726 MN (effort normal de calcul). Lo a b NG NQ to RH Béton

■■ Calcul de la capacité résistante

Rayon de giration : i = ----a------ = 0,20 ----------- = 0,0577 m. 12 12 Lo Élancement : λ = ----- = ----2,6 -------- = 45,03 < 60. i 0,0577 0,86 Coefficients : α = -------------------- = 0,563. λ 2 1 + -----62

kh = (0 ,75 + 0,5 h) . (1 - 6 .  . ) = (0,75 + 0,5  0,2) . (1 - 6  0,00589  0,155) = 0,845 ; car h < 0,5 m. ks = 1 pour fyk = 500 MPa.

31

32

DIMENSIONNEMENT DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ

Capacité résistante NRd : NRd = kh . ks .  . [b . h . fcd + As . fyd]. N Rd = 0,563 × 0,845 × 0,4 × 0,20 × 16,67 + 2 × 3 × 0,785 × 10

–4

500 × ----------1,15

= 0,732 > 0,726 = N Ed .

NRd > NEd, le poteau est correctement dimensionné. 8.6.2

Exemple de calcul pour un poteau circulaire ■■ Données

= 2,60 m (longueur de flambement) ; = 0,40 m (diamètre) ; = 0,72 MN (charges permanentes) ; = 0,32 MN (charges d’exploitation) ; = 28 (chargement à 28 jours) ; = 70 (taux d’humidité en %) ; : Classe C25/30 ; fck = 25 MPa, avec yc = 1,5, ciment 42,5 N ; Acier : Classe B (moyennement ductile) et palier horizontal ; fyk = 500 MPa, avec ys = 1,15 ; MEd = 0 (pas de moment extérieur du premier ordre) ; Armatures : 6 HA10 répartis ; Enrobage à l’axe = 20 + 6 + 10 / 2 = 31 mm, avec 20 mm pour l’enrobage des cadres HA6 ; NEd = 1,35 NG + 1,5 NQ = 1,452 MN (effort normal de calcul).

Lo D NG NQ to RH Béton

■■ Calcul de la capacité résistante

Rayon de giration : i = 0,25 D = 0,25  0,4 = 0,10 m. L 2,6 Élancement : λ = ----o- = ---------- = 26 < 60. i 0,10

0,84 Coefficients : α = ---------------------= 0,672. λ 2 1 + -----52

kh = (0,7 + 0,5 h). (1 - 8.  . ) = (0,7 + 0,5  0,4) . (1 - 8  0,00375  0,0775) = 0,8979 ; car h < 0,6 m. ks = 1 pour fyk = 500 MPa.

8.  POTEAUX EN BÉTON SOUS COMPRESSION CENTRÉE

2

πD Charge résistante NRd : N Rd = k h . k s . α . ---------- . f cd + A s . f yd . 4 2

N Rd = 0,672 × 0,8979 × π × 0,4 /4 × 16,67 + 6 × 0,785 × 10

= 1,387 < 1,452 = N Ed .

–4

500 × ----------1,15

NRd < NEd, le poteau n’est donc pas correctement dimensionné. Plusieurs solutions s’offrent au projeteur : −− le poteau peut être redimensionné en agissant sur un ou plusieurs des facteurs qui influencent sa capacité résistante (par exemple les dimensions de la section ou la résistance à la compression du béton) ; −− un calcul plus fin, selon la méthode générale proposée par l’article 5.8.6 de la norme NF  EN  1992-1-1, peut être mené pour déterminer la capacité résistante.

33

9. RÉFÉRENCES

9. RÉFÉRENCES [ 1 ] NF EN 1992-1-1 – « Eurocode 2 – Calcul des structures en béton – Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments » – P18-711-1 – AFNOR – Octobre 2005. NF EN 1992-1-1/NA – « Eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie  1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments – Annexe Nationale à la NF EN 1992-1-1:2005 – Règles générales et règles pour les bâtiments »  – P18-711-1/NA – AFNOR – Mars 2007.

35

D’après la norme EN 1992-1-1 (Eurocode 2, partie 1-1) Avec la collection « Guides eurocodes », le CSTB offre aux professionnels du bâtiment des outils pratiques relatifs aux méthodes de conception et de calcul figurant dans les normes Eurocodes. L’objectif de cette collection, dirigée par le CSTB, est de présenter de manière synthétique de nombreux points de conception-calcul pouvant présenter des difficultés d’application pratique, du fait de leur nouveauté ou de leur relative complexité. Pour tous les guides de la collection, avec ou sans recours aux calculs automatisés, les auteurs présentent de manière pédagogique et concise le déroulement des phases de calcul traitées, en citant systématiquement l’article, ou les articles, concerné(s) de l’eurocode. Cette méthode a pour but d’éclairer le projeteur sur l’objectif et les choix essentiels en phase calcul, en délestant l’approche de tout ce qui pourrait présenter des difficultés d’interprétation.

GUIDE EUROCODE

Programmes de calcul et méthode simplifiée pour les ouvrages élémentaires en béton armé

Dimensionnement des ouvrages en béton armé

Dimensionnement des ouvrages en béton armé

Dimensionnement des ouvrages en béton armé

Ce guide, élaboré par Henry THONIER, s’inscrit dans ce programme général. Il est destiné à permettre le calcul des éléments courants en béton armé, vis-à-vis des sollicitations qu’ils subissent (flexion des poutres, compression des poteaux, poinçonnement des dalles, etc.). Des feuilles de calcul complètent ce guide. Les outils et méthodes de calcul proposés permettent de respecter les principes de dimensionnement figurant dans la norme NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2, partie 1-1).

SIÈGE SOCIAL 8 4 , AV E N U E J E A N J A U R È S | C H A M P S - S U R - M A R N E | 7 74 4 7 M A R N E - L A -VA L L É E C E D E X 2 T É L . ( 3 3 ) 0 1 6 4 6 8 8 2 8 2 | F A X ( 3 3 ) 0 1 6 0 0 5 7 0 3 7 | w w w. c s t b . f r

2

D’après l’Eurocode 2

D’après l’eurocode

Le parti pris est de permettre, outre le recours éventuel à des logiciels ou des feuilles de calculs Excel (téléchargement gratuit sur http://e-cahiers.cstb.fr), la possibilité d’un calcul manuel utilisant des tableaux ou abaques. Dans certains cas, libre choix est ainsi laissé au calculateur de recourir à la méthode qu’il juge la plus adaptée au cas particulier à traiter et aux moyens dont il dispose.

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