Differentialrechnung in der analytischen Geometrie 3540039090, 978-3-540-03909-9 [PDF]

Zitiervorschau

Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Z(Jrich

38

R. Berger. R. Kiehi E. Kunz. H.-J. Nastold

Differential rech n u ng in der analytischen Geometrie 1967

Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg. New York

Professor Dr. R. Berger I. Mathernatisches Institut der Freien Universit~t Berlin

Dr. R. Kiehl III. Mathematisches Institut der Universit~t M~nster

Dr. E. Kunz Mathematisches Institut der Universit~t Heidelberg

Professor Dr. H.-J. Nastold IiI. Mathematisches Institut der Universit~t Mtinster

All rights, especially that of translation into foreign languages, reserved. It is also forbidden to reproduce this book, either whole or in part, by photomechanical means (photostat, microfilm and/or microcard)or by other procedure without written permission from Springer Verlag. O by Springer-Verlag Berlin 9 Heidelberg 1967. Library of Congress CatalOg Card Number 67 - 29615. Printed in Germany. Title No. 7558.

Inhaltsverzeiehnis

Einleitung w 1.

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. w 2. 2.1.

2.2. 2.3.

2.4. 2.5.

w 3. 3.1.

3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

Kategorien von Ringen in der analytischen Geometrie.

12

Affinoide Algebren. Analytische Algebren. Komplette Algebren. Grundk6rpererweiterung.

12

Differentialmoduln.

41

17 29 33

Definition und universelle Ei~enschaften. Einfaehe Eigensehaften des Differentialmoduls. Ausdehnung des Differentialmoduls auf allgemeinere Ringklassen. Differentialmodul und Komplettierung bzw. direkte Limites. Differentialmodul und Grundk6rpererweiterung. Regularitatskriterien,

41 48

53 68 79

Anwendungen.

Der Rang des Differentialmoduls. Regularitatskriterien. Ausgezeichnete Ringe. Anwendung der Regularitatskrlterien auf die Bedingung R k und S k. Charakterisierung lokaler vollst~ndiger Durchschnitte. Eine verzweigungstheoretische Anwendung.

83 90 93 98 102 106

110

~.

Absolute Regularitat.

q.1.

Kennzeichnung absoluter Regularita% mi% Hilfe des Differentialmoduls. Analytlsche Separabilitat. Ein hinrelchendes Kmiterium fQr absolute Regularitat. Charakterlsierung absoluter RegularitY% und analytlscher Separabilita% in der GrundkSmpeme~wei%emun E mi% k p''.

1_27

Literaturverzeichnis

132

~,2o

~.3.

q.~.

110 124 126

Einleitunz

Self der Ver~ffentlichung

dem grundlegenden Arbeit von Tare Ober

"Rigid analytic spaces" [25| land die Theomie de~ analy• Raume Y Ober einem nichtamchimedisch steigendes

Interesse

komplett bewerteten K~rper k

(vgl. z.B. [61 , [41 , [5] , [11]

und [19] ).

Andems als im klassischen Fall des GrundkSPpePs k = C, jedoch in Analogie zum algebralschen Geometrie, set Raume die K a t e g o r i e ~ d e r

kann man f~m die Theorie die-

"affinoiden" AlgebPen Ober k zum Aus-

gangspunkt nehmen. Das sind die Restklassen~inge k < < XI,..,,Xn>>

alle~ strikt konvergenten

der Ringe

Potenzreihen fiber k, d.h.

derjenisen Potenzrelhen

Z avXv

(ave k ,

v = (vl, .

,Vn), . . X.v

.= X~ .

die f~r alle Punkte (xl,... Xn)e k n mlt I xil ~ Punkt y e Y

besitzt eine UmgebungsbasisL~

X~),

I konvergieren.

Jeder

(y), so daS jedes Ug l~ (y)

in seinen Eigenschaften vollstandig beschrieben wird dutch eine affinoide Algebra ~ ,

die als Ring "ausgezeichnetem"

auf U holomorpher

2

Funktionen aufzufassen ist. Neben den Algebmen ausO~inTeressieren die lokalen analytischen Al~ebren ~beP k; es sind dies die Fasern Ay des Raumes: Ay

= ~6--~---v~yAll~im,

A ~

dem Strukturgambe in den Punkten y

e O~. Diese Ringe lassen sich kennzeich-

nen als lokale k-Algebren, die (als Moduln) endlich Ober einem konvergenten Potenzreihenring k [XI,...,X n] sind. I s t ~

das maximale Ideal

aus A K ' das zum Punkt y 6 U geh6r%, dann hat man einen Isomorphismus (Au)~

= ~

der Komplettierungen der lokalen Ringe ( ~ ) ~

und Ay

.

Die so entstehenden kompletten lokalen k-Algebren slnd endlich ~ber einem formalen PotenzPeihenring k ~Xl,...,X nj .

Etwas allgemeiner liegen also einer algebraischen Behandlung dem analytischen Raume die folEenden drei Kategorien yon Rin~en zugrunde: Die KategoPien

0% , bzw. O ~ b z w .

~

deP k-Algebren, die endlich Ober einem

Ring k bzw. k {X1,...,Xn} bzw.

k ~Xl,...,Xnl sind.

Es ist zweckma~ig (z.B. fOP eine Theorie der Schemata yon endlichem Typ ~bem einem analytischen Raum) neben den Katego~ien 6/ , ~

und ~

auch noch die KategoPien der endlich ePzeug%en Rin~erweite~ungen der Rinse aus C~, ~ ,

~

zu betrachten. Wi~ bezeichnen diese drei Kategorien,

for die unsere Un%ersuchungen weitgehend parallel verlaufen werden, mi% ~

. Mit ~ w i r d

aus den Ringen v o n ~

die Kategorie von lokalen Ringen bezeichnet, die dutch Lokalisierungenach Primidealen entstehen.

Das Hauptziel der folgenden Untersuchungen ist eine fOP die genannten Kategorien weitgehend gemeinsam aufgebaute Theorie der "Differentialmoduln". Die Differentlalmoduln haben - obwohl rein algebraisch definiert - ahnlich wie in der algebraischen Geome•

Ober einem GrundkOrper geome-

trische Bedeu%unE: Sie liefern~ sebildet fur alle lokalen Ringe der Struktursarbe eines Raums Y eine auf Y koharente Garbe, die im sinEularitatenfreien Fall das BOndel der kovarianten Tangentialvektoren damstellt, im Fall des Auftretens yon Sinsularitaten einen Ersatz fur dieses B~ndel.

Die lokalen Rinse der Struktursarbe eines Raumes Y sind regulam lokale Ringe senau in den nichtsinsularen Punkten (seometrisch: Mannigfalti Skeitspunkten) des Raumes Y. Ein zentrales Problem der folsenden Untersuchun E ist die Aufstelluns von "differentiellen Resulamitatskriterien" fur die lokalen Rinse aus den yon uns betrachteten Katesomien und die

4

Hemleitung yon Folgerungen aus diesen RegulariTaTskriterien.

Dabei

widmen wit uns insbesondere den bei Chamakteristik p > 0 auftmetenden Phanomenen. Im einzelnen bringt w I die Definition und grundlegenden EigenschafTen der Kategorie (]~, 6 ~ u n d

9 . Es wemden die Zusammenhange mit der

analytischen GeomeTrie (= Theomie der analytischen Raume) und die Beziehungen der Kategorien untereinande~ dargestellt. Dieser Paragraph kann als eine erste knappe Einf~hmung in die nichta~chimedische Funktionentheorie vom algebraischen Standpunkt aus dienen. Besondems i n t ~ essieren in den drei Kategorien Existenz und Ei~enschaften der gefase~ten Summe, femner die FunkTo~en "G~undk6rpe~er~eiterung", die jedem k-Algebma aus (]~(k), ~ ( k ) , O[~%(K) bzw. ~ ( K )

dutch

~ (k) eine K-Algebra aus 62t(K),

zugeordnet wird, wenn K ein kompletter bewemteter

ObePk6rper von k isT. Diese "analytlsche" Grundk~rpererweitemung besitzt f~m die analytische GeomeTmie ahnliche Bedeutung wie die Grundk6rperemwei%emung in der alEebralschen Geometrie.

w 2 gibt die Defini%ion und die wichtigsZen allgemeinen Eigenschaften der DiffePentialmoduln.

FOP die Kategomien ~ , ~ % u n d

~

kann eine

gemeinsame Definition des Differentialmoduls wie folgt gegeben werden: Ist C

>

A ein Morphismus aus einer der Kategorien, so sei I der Kern

des kanonischen Ringmorphismus A ~ A Summe bezeichnet. Dann ist D ( C; ~ = I/IZ

9 A, wenn A ~ c

ein A-Modul. Sind il,i2: A ~ A u ~

die kanonisehen Injektionen, dann ist d: A~"-~a~ I yon A fber C und as gilt D(A) = AdA

A die gefaserte A

I/I 2 eine Derivation

D(A) heist der Differentialmodul

yon A fber C. FOm die Anwendungen ist es wichtig, da6 der Differentialmodul eine universelle Eigensehaft besitzt (einen Funktor repr~sentiert). FUr jeden Homomorphismus

~ : C

9 A yon kommutativen Ringen mit Eins existiert

der universelle Differentialmodul mit einer Derivation d: A

~

UD(~) yon A fber C:

uo(~) ~ber c ( d . h .

gende univemselle Eigensehaft hat: Ist

5

: A

d o~

9

UD(~) ist aim A-Modul

: 0), der die fol-

M irgendeine Derivation

von A fiber C in einen A-Modul M, so gibt es genau eine A-lineare Abbildung h: UD(~)

~

M sit 6 = h , d

(Mit anderen Worten: U D ( ~ ) r e p r ~ s e n t i e r t

den

Funktor Derc(A,M) , wenn Derc(A,M) die Menge aller Derivationen yon A Gber C in M bedeutet und M alle A-Moduln durchlauft). Den universell endliehen Differentialmodul, dem jedoeh nieht immer existiemt, erhalt man, wenn man

in der obigen Definition nut Derivationen in endlich erzeugte A-Moduln zulaSt. Andere "universelle DiffePentialmoduln" ergeben sich, wenn A ein topologischer Ring ist (was bei den K a t e g o P i e n ~ , O ~

dem Fall ist),

und wenn M eine passende Kategorie yon %opologischen A-Moduln durchl~uft. Die so konstruierten Differentialmodulnlassen sich als Funktoren yon (A,C) auffassen. Wit untersuchen univePselle Eigenschaften des DiffePentialmoduls D(~) fur einen Morphismus C

~

A mum den Kategorien ~ ,

oder ~ . Eines unserer E~gebnisse besagt, dab fflr C ~%ode~

~dem

~

A aus~

,

universell endliche Differentialmodul stets existiert

und sit D(~) Obemeinstimmt. Dieses Resultat ist mum im F a l l ~ n i c h t t r i v i a l . Um den Diffementialmodul auf die Ringe a u s ~

und i ~

wim uns des Begriffs dew univemsellen Ausdehnung : A

~

B ein Ringhomomomphismus, d: A

m

auszudehnen, bedienen

einer Demivation. Ist M eine Derivation von A

in einen A-Modul H, D: B ---~ N eine Demivation yon B in einen B-Modul N, so heist D eine Ausdehnung yon d, wenn es eine A-lineare Abbildung h: M

~

N gibt, die das Dia~ramm

M

A

A

9

-~

N

~

g

kommutativ macht. FOr jade Derivation d und jades Ringhomomorphismus gibt es eine (bin auf kanonische Isomorphie eindeutige) universelle Ausdehnung D, aus der sich jade beliebige Ausehnung ~

eindeutig

in der Form A = H.D mit elmer B-linearen Abbildung H ergibt (mit anderen Worten: Der Funktor Derd(B,N) , wobei Derd(B,N) die Mange der Ausdehnungen yon d zu Derivationen B

>

N bezeiehnet und N alle

B-Moduln durchlauft, ist darsTellbar). Ist nun B eine endlich erzeugTe Ringerweiterung eines AE ~

,(~,~

)

bzw. Lokalisierung elmer s61ehen Emweiterung, so definiert man D(~

als die universelle Ausdehnung des DifferenTialmoduls D(~). Allgemeiner setzt man D(~) = D(~) / BdC for ~eden k-Algebrahomomorphismus

C

~

B.

Dieser Differentialmodul hangt naeh seiner Definition yon der Wahl von A ab. Es stellt sich jedoch in vielen Fallen heraus, dab er in Wirklichkeit yon der Wahl yon A unabhangig und ein Funktor int. Dies ist z.B. der Fall, wens Char.k = p > 0

und Ik:kP] < •

ist, wail damn D(~) = UD(~)

int. Ist k beliebig, abet B endlich erzeugTe Ringerweiterung eines A so wird gezeigt, dab D(~) der universell endliche Differentialmodul und folglich ein Funktor int. Die erste Behauptung braucht nicht

8

mehr richtig zu sein, wenn A

Sind r e d ~

bzw. red l ~ Y

6 0~,

~

ist.

die vollen Unterkategorlen v o n ~

bzw. i ~

,

bestehend aus allen reduzierten Ringen aus diesen Kategorlen, so zeig% man fur B 6 r e d ~

, red i ~

, da~ der oben definierte Differentialmodul

yon B unabhanglg yon der Wahl yon A und ein Funktor ist (fOr niehtreduziemte Ringe geht die Funktomeneigenschaft i.a. verloren). Der Beweis beruht auf dem folgenden Satz, der auch selbstandiges Interesse besi%z%: Sind A,A' 6 6%, 05~, ~

zwei Ringe, aus denen B e red ~

(bzw. B ~ red I ~ )

als endlich erzeugte Erweiterung (bzw. als Lokalisierung einer endlich erzeugten Erweiterung) entsteht, dann stimmen die ganzen Abschlie~ungen yon A und A' in B Uberein und sind endlich Qber A,A'~ also wieder in (~ ,6~/n, ~

9 Man erhalt dutch dlesen Satz die M6glichkeit, den Differen-

tlalmodul yon B (Qber einer k-Algebra C) auf kanonische Weise zu konsTruiePen.

Am Schlu~ yon w 2 wlrd un%ersucht, wle sich der DifferenTialmodul bei Komple%tlerung und analytlscher Konstantenerweitemung verhalt.

Den differentiellen Regularltatskri%erien und ihren Anwendungen is% der w 3 gewidmet. Falls Char.k = p 9 0 ist, wlrd in w 3 ste%s vorausgesetzt,

dab Ik:kP] < ~ FUr [k:kP]< ~

i~t.

Der Fall [k,k p] = ~

ist eine k-Al~ebra B e ~

wird in [12] behandelt. , I~

zugleich eine kP-Algebra

desselben Typs, folglich ist der Differentialmodul D(~p) definiemt. Im Fall Char.k = p > 0 bedient man sich for die Regularitatskriterien dieses Differentialmoduls,

fOm Cham.k = 0 des Differentialmoduls D(~)

g

Die Regularitatskriterien sagen aus, dab unter geeigneten Vomaussetzungen ein Ring B g i ~

genau dann regular ist, wenn der Differentialmodul

yon B (Ober k bzw. k p) den "~ichti~en" Rang besitzt bzw. ein freier B-Modul ist.

Als Anwendung de~ Regularitatskriterien wird (f~r [k:k p]
>

A O B = B, es is% A

k i, k

und,

k A ~ Ba C

A O B. C

den affinoiden AlgebNen

betNachten win die Kate-

semilokalen affinoiden Algebren, deren 0bjekte die Paare e~

(A,S) sind, wobei A & (]6und S das Komplement in A yon

z ~=1= m i i s t , wenn

die m i maximale Ideale yon A sind, und deren Morphismen (A,S) ~ ~

(B,T)

16

die Momphismen ~ : A----~ B aus ~ m i t

~ (S)c T sind. Jedem (A~S)

ist der semilokale Ring S -I A zugeordnet,jedem Morphismus (A,S) S-IA

m

(B~T) ein k-Algebrenhomomorphismus

der semilokalen Ringe

~ T-IB. Die volle Un•

lokalen affinoiden

Algebmen emhal% man entsprechend mit S = Cm, m maximales Ideal von A. Ihre 0bjek%e bezeichnen wit auch mit (A,m). Lemma 1.1.4.: Sind ml,..,m n maximale Ideale von A e C~ , S = C(i~__1)mi)~ so existiemt eine Noethemsehe Normalisierung ~bem k < < X > > ~

k < < X > > ~ A, A endlich

mit

XI,..,XdE ml,..,mn, (XI,..,Xd)C k < < X > >

so da5 also die ml~..,m n Ober dem maximalen Ideal liegen. Man erhalt dann den zu (A,S)g slO~ geh6mi-

gen semilokalen Ring S-IA aueh so: B = A(X l,...,Xn) dem STandamdming k < < X > >

(x) e l ( ~ u n d

mit T = C ( 0 mi')' ~ i i=I

ist S -I A = T-IB. Dabei is% m i ~ k < < X > >

(X) = (X) 9 k < < X > >

Beweis: Sei zunaehst kirgendeine yon A, also A endlich ~bem k < < Y > > Ym potenzbesehrankt

(X)"

Untemmaum yon A is%, is%

I in A/m i. Es existieren

also Pim(Y~e v [ Y ] mi• h6chstem Koeffizien%en Pit (Yr)e

=44t,01 B,

Noe%hemsche Normalisierung

. Da k < < Y > >

in A, also IY m + m i l ~

Dann ist auch Pr (Yr) = ~ i=l

ist endlich Obe~

I, so daS Pir(Ym) ~ m i.

~ [Y] mit h6ehstem Koeffizienten

I.

17

Wim setzen X r = Pr (Yr) und emhalten

~Xrl

a I.

Xr s k < < Y > >

und X r 6 m i for i = l,...,n. Nach [25] , Prop. 4.2. ist wegen Pm (Yr) - Xr = o Ober k < < X > > .

kendlich

Qber k < < X > > ,

Aus DimensionsgrOnden

isT k < < X > >

also A endlich = k

eine freie affinoide Algebra. ~hnlich wie in [18] , w 42, kann man fQr die zu (A,S), (B,T),(C,R)e slO~ gehbrigen semilokalen Ringe S~ A, T -I 9 B, R -I, C

ein lokales komplettes

Tensompmodukt so d4finieren:

S -1. A

~ T -l, B = R'~C

(S,T) = C(~J k durchlauf%, umfassen,

( A ~ B) , wobei fQm S = C (~J mi), T = C ( ~ n j ) C (S,T)

ik) , wenn I k alle (maximalen)

Primideale yon A ~ B = D C

die Qber einem m i und einem nj liegen, also m i. D + nj. D for alle Paare (i,j). Es ist (A Q B, ( S , T ~ e C

sl~

und (A ~ B ) C (S,T)

dem zugehbrige semilokale Ring.

1.2.

Analytische Algebren.

Zu einer affinoiden Algebra A ~ O~ und end-

lichen Mengen fl,f2,...,fmis affinolde Teilbereiche yon $ P A m Sp (A/(Xi-fi;

I - gjYj)). Mittels dieser

speziellen affinoiden Teilbereiche wird auf der Menge X = Sp(A) der

18

maximalen Ideale yon A die Struktu~ eines G-~eringten Raumes definiert [25]

, [11] , [19] : Diese besteht aus einer Topologie auf

Sp(A), einer Basis S fur diese Topologie,

einer Grothendieck-Topo-

logie T auf S und einer Garbe 0 X yon Ringen auf S bzgl. der Grothendieck-Topologie

T. Die Topologie auf Sp(A) wird gerade dutch die Menge

der speziellen affinolden Teilbereiche als Basis definiert ist diese

(jedoch

~ S). FUr einen Punkt y s Sp(A) erhalt man eine Umgebungs/

basis l~(y) in den Mengen =

Sp(A~X1,...,Xm~

Ufl,...,fm;tn

= {x

Sp(A);Ifi(x)ll

tln} =

/(X 1 - t-nfi)), wenn fl,...,fm 6 A alle end-

lichen MengenC A mi% fi(y) = 0 und n a l l e

natOrlichen Zahlen durch-

lauft [ 25] . Die Faser Oy der Strukturgarbe

0 X im Punkte y e X

erhalt man als direkten Limes Oy = lim U , ~ (yf

0x(U). Dabei ist fur

Ufl,...,fm;tn

Ox(U) =

A ~n

BVn ' BVn6 ~ u n d

,

CWn

9

gibt es!)~ so eNhalt man

BV

n

miteinandeN

exis%ieNen

A ~ B = lim C m

Aus den EiEenschaf%en des kompletten Tensomproduktes

in~

~ Bv n CW n n

(s.I.1.3.)

erhalt man mi%tels der DarstellunE als direkter Limes die analogen

2?

ebenfalls kennzeichnende, Eigenschaften des analytischen Tensorproduktes:

Es ist assoziativ und kommutativ,

es ist A ~ B-- B, A

as is% A/. ~ B:A ~ B / ~ . ( A ~ B~ k{X} ~ klY}-kIX,Y] C C C k

und,

falls B endlich 0ber C ist, A ~ Bm A | B. Ohne 0ber die duale C C Kategorie der Raumkeime zu ~ehen, erhalt man die Existenz ~efaserter Summen in0~n direkt folgendemmaBen: Man zeigt zunachst die ~xistenz gefaserter Summen Ober (dem Initialobjekt) k, d.h. die Existenz direkter Summen in 6 ~ B = k{Y] , jeweils freie Potenzrelhenrlnge~ auf Grund der universellen Eigenschaft reihenrln~e in ~ ft~r alle C. ~

r

so gilt for k{X,Y}

(1.2.5.) der freien Potenz-

offenbar Mot (k{X}, C ) x M o r

(k{Y}, C)-- Mot (k{X,Y] C)

. k{X,Y} ist also direkte Summe yon A : k{X} und

B : k{Y], d.h. es ist for A , B G ( ~

Sind A = k{X},

k{X] O k[Y]= k{X,Y]. k

Im allgemeinen Fall ist

A endlich Ober einem k{X}= A 1 und B endlich Ober einem

I

k~Y| : B 1 . Wit zeigen die Existenz von A ~ B u n t e r k

der Voraussetzung

der Existenz yon A 1 0 B: Sei also (g ,~ )g Mor(A,C)• Mor(B,C) for ein k C & (~.

Wegen A I C~ A, A endlich Ober AI, ist mit ~ I = ~ /At

28

(~1'

@

) e Mom(A,C)

Eenau ein7 e

N o r ( A 1 ~ B,C), k

A1 ~

A1

~:

xMor(B,C).

Nach V o r a u s s e t z u n ~

so da~ mi% den k a n o n i s c h e n M o r p h i s m e n

B und j: B

A I~

k

B

a I : ~, ~

und ~ : 3{ 9 j

k

ist. Da mit D = A 1 ~ B 6 6X,% A O D die F a s e r s u m m e k A1 flbem A I (bzgl. der k a n o n i s c h e n in der K a t e g o r i e

~ibt es dann

Injektion A I C~A

dem k - A l g e b r e n

k-Algebrahomomorphismus

w

yon A und D

und ~ : A I

>

D)

ist, gibt es somi% ~ e n a u e i n e n

: A O

C~ so da~ mit dem k a n o n i s c h e n

D

A1

k-Algeb~ahomomorphismen

= w 9 ~ und~ s,j:

B

~

=6 9 s is%. Mit P

Ober

folglich

D~

da

A endlieh

da~ A | D ~ AI

~

fiber

s:

D

)

A @ D A1

A ~ D und AI

= w

~

~

.

A 1 ist,

und

is% auch A O D = Fe ~ . AI

slch mit V e m % a u s c h u n g

A1 ~

: A

A O D is% dann in der Tat ~ AI

Bleibt num noch zu zeigen,

endlieh

A | D und A1

r: A

= w

(s,j).

A | D ist a b e t AI es

is%

De

~

Die E x i s % e n z yon A I ~

B emgibt k

yon A und B ~enau so~ da die E x i s t e n z

yon

B 1 oben schon n a c h g e w i e s e n wurde.

- FQr M o m p h i s m e n ~

: C

>

A,

~ : C

>

B i n G , % erh~It m a n s c h l i e ~ l i c h

29

die Existenz der gefasem%en Summe yon A ~ k

B

und j: B

A ~ B in 0~ aus der Existenz C

und mit den kanonischen Morphismen i: A

9

Morphismen

A ~ B k C

A~ k

B . ES i s t

wo das Ideal $ = (i, 6 (c) - j, ~

A ~ c

(c))

B " A ~ k

~ ceC

,rb S = ~J m i, m i C A maximal, so kann man (A,S) i=1

affinoiden Raume zu A, Xl,..,x n

0x. 6 0 ~ . l

Sind Sp(A) die

die den maximalen Idealen ml,..,m n

Punkte won ]Sp(A) I, 0xl,

garbe yon Sp(A) in Xl,..,Xn, i=1

B/$ ,

A ~ B ist. k

eindeutig eine analytische Algebra & 0~%zuordnen:

entsprechenden

B

aus der Existenz des Kokerns zu dem Paar yon

~ j.P

Ist (A,S)s s l 0 t ,

~ A ~ k

..,

0Xn

die Fasern der Struktur-

so geh6r% zu (A,S)E

Die Zuordnung (A,S)

~

sl~

der Ring

~ definiert einen i=I 0xi

Funktor yon sl~in0O~b.

1.3. Komplette Al~ebren. Die Verbindung zwischen den zu (A,m) g 1 ~ A4wund

geh6rigen lokalen Ringen

den zugehSrigen lokalen Ringen &16~% wird hergestellt ~ber

ihre Komplettierungen

nach den jeweiligen Radikal%oplogien,

dutch die Potenzen des Jacobson-Radikals.

definierT

30

Die letztemen stimmen Obemein (Lemma 1.2.1.). Dasselbe gilZ folglich auch for die zu den (A,S) E s ~ 0 ~

geh6rigen semilokalen Ringe S -I, A

und die zugeh6rigen semilokalen Ringe g ~ :

0xi ~ l ~ . d i e

Ist S = C ( 0 ) m i i=I

und

zu dem dutch (A,m i) bestimmten Raumkeim geh~rige ana-

lytische Algebra (Satz 1.2.4.), so wemden dutch die kanonischen Iokalen Homomorphismen A~ i

~

0xi

/k m 0x'l

Isomorphismen~i

(Lemma 1.2.~.) induziert. Zusammen mit den Homomorphismen S-~ A

9A~. i

erhalt man einen kanonischen Homomorphismus S -1 9 A---m

~ ~ i=I 0xi

dem semilokalen Ringe, der das Radikal yon S -l, A in das Radikal von

i=l

Ox. x

abbildeT. Der dadurch induzierte Homomorphismus dem Kom-

plettierungen naeh den Radikaltopologien

S-

A

~

~ i=l

0

xi

A

ist wegen S"I

A

~ 9

~

/k ein Isomorphismus. A~.

Die KompletTierungen dem semilokalen Ringe ~ & ~

sind, da @ endlich

Ober einem konvergenten Potenzreihenring k IX} ist, endlich Ober einem formalen Potenz~eihenring k IX~

Definition 1.3.1:

Die Katesorie ~

der kompletten Al~ebmen besteht aus

den endliehen E~weiterun~en der Ringe k I XI,..,Xn~

= k IX~

de~ formalen

31

Potenzreihen mit k-AlgebrahomomoPphismen

A

Wie im Falle O ~

enthalt die Komplettiemungen

gilt~ (v(A)) ~

(B). ~

;

B.als MoPphismen.

der semilokalen Rinse s -I, A zu den (A,S) 9 s ~ 0 ~ und der semilokalen Rinse & 0~%] genauer: 6~,

^ >~

.

Man hat jeweils Funktoren s ~ 6 ~

A ;[und

Eine andere Kennzeichnung der AlgebPen ~ ~

ist die fol-

gende: Es sind die kompletten semilokalen k-Algebren, dePen LokalisiePungen nach den maximalen Idealen

~bem k endliche Restklassenk6rper

besitzen. Die lokalen Ringe ~

- wit bezeichnen die Kategorie der lokalen

kompletten Algebren mit

1 ~

Insbesondere sind die B 9 ~ Bi 6

if

- sind wieder henselsch

(s. Lemma 1.2.3.).

direkte Produkte endllch vieler lokaler

.

FOr lokale Homomorphismen A ~ ~ de Endlichkeitskriterium:

B

in i ~

B is% vermSge ~

und 1 ~ hat man das folgenendlich Gber A genau dann,

wenn B quasiendlich Gber A ist, d.h., wenn mit K = A/m als Restklassenk~rper yon A =

B ~ K A

endlichdimensional Ober K ist.

Lemma 1.3.2.: Die freien Ringe k

~X1,..,Xn~

sind sekennzeichnet dutch die universelle

Eigenschaft: FUr Elemente Xl,..,x n 9 B ~ ~

,

32

xl,..,x n e r (B), gibt es genau einen Morphismus in ~

@

: k ~X~

~

B

mit @ (X i) = xi.

Gefaserte Summe i n ~ C ~ >

B ist

; 1.3.3.:

A ~ B = c

lim ~

yon A und B bzgl. ~ A,B,C sind.

Zu A,B,C 6 ~

A/m i ~ c~

B/n i6 ~

und ~ ~ wobei m,n,~

und Morphismen C ~ >

A,

die gefaserte Summe in die Jacobson-Radikale

yon

(S. [ 3] , exp. IO - 08 f.f.)

Die Bildung gefaserter Summen ist mit Komplettierun~ FOr A,B,C e ~ u n d

Morphismen C ' , A, C ~

vertraElich~

B ist ~

--

1.3.4.:

%

c

Beweis: Mit

D = A ~ B C

D/m. D + n.D ---A/m ~

und den obigen Bezeichnungen is% B/n --'A/m ~) B/n

c/,~

c

Tensorproduktes,

(Rechtsexaktheit

unive~selle Eigenschaft und A/m, C/~

also endlichdimensiona!

~bem k).

des analytischen

, B/n artinsch,

D/m-D + n.D ist somit ebenfalls

artinsch, also definie~t auch m,D+n.D die Radikaltopologie k ~ 2 1 ist (m.D+n-D)k&

yon D. FUr

m l.D+n I.D und stets ist (m.D+n.D)k~

mk.D+n k D.

Es ist daher die Komplettiemung

D=

lim i

" D/m I". D+nl,D--~lim

A / m I" ~

" B/n I=

^i lira ^A/m^ ~ ~/~i"

:

~ ~ ~.

33

Ebenso zeigt man: FOr (A,R), (B,S), (C,T)6 s l G u n d Morphismen (C,T) ~ ~ zu (A,R)

(A,R), (C,T)

~ ~

(B,S)

ist die Komplettierun E des

~ (B,S) geh6rigen semilokalen Ringes (C,T)

(R,~(A

ilCB> ~" R-/~A.I,~/~, C ~ B. A

Das "komplette Tensorprodukt"

A | B in ~ hat analoge EiEenschaften C

wie das komplette Tensorprodukt A ~ B C produkt A ~ B i n ~ , C

"

k

und das analytischen Tensor-

welche es wiederum kennzeichnen: Es ist assoziativ

und kommutativ, es ist

k

in~

k Ii 1" k Ix,YI

A {) B : B, es ist A/~ | A C

-= A ~ C

B/~ 9

B C

und, falls B endlich ~ber C ist, ist

A| C

C A

Man kann die Existenz der Pasersumme A ~ B i n ~ C

auch genauso nach-

weisen, wie in 1.2. die Existenz der Fasersumme in 0 ~

direkt bewiesen

wurde (Def. 1.3.1. und Lemma 1.3.2.!).

1.4.

Grundk6rpererweiterung

Ist K ein vollstandig bewerteter Oberk6rper unseres bewerteten Grundk6rpers k (so dab also die Bewertung yon K die Bewertung yon k induziert), so kann man den "Funktor Grundk6rpererweiterung"

definieren.

Einer affinoiden bzw. analytischen bzw. kompletten Algebra A ~ber k wimd zugeordnet eine affinoide bzw. analytische bzw. komplet%e Algeb~a Obem K:

Ist A s ~ , ~ z ~ b z w .

letztere mit K ~

A ,

~

so bezeichnet man die

A

k FUr A ~ ~

K ~ A bzw. K 9 k k

A.

(k) (so bezeichnen wit die affinoiden Algebren Ober k)

wurde K ~ A k

in

[19]

folgendermaSen definiert:

Ist A e Or (k) und definiert die

Algebra A O die Topologie yon A,

ist ferner V der Bewertungsring yon K, so betrachtet man auf dem Tensorprodukt

K 9 A k

die dutch das Bild bei

V @ Ao V

>

K O A k

definierte Topologie und komplettiert nach diesem. So erh~it man eine afflnoide Algebra K ~ A k

K ~ A 6 (~(K) 8bet K. Die so definierte Algebra k

mit dem kanonischen (injektiven) Homomorphismus A

i

K ~ A k

wird dutch die folgende univePselle Abbildun~seigenschaft gekennzeichne%, die wit hier zur Definition yon K ~ A k Definition 1.4.2.: O~(K), und ~

: A

nehmen wollen.

Ist C irgendeine affinoide Algebra Ober K, also >

C ein stetiger

k-Algebrahomomorphismus, so

gibt es genau einen K-Algebrahomomorphismus # : K ~ A k

~

C

mit

35

= C

~ 9 ~. Anders gesagt reprasentier% m s-Hom k (A,C) in

K ~ A den Funktom k

Ut (K), d.h. s-HOmk(A,C) ~ MOrK(K ~ A,C) k

f~r alle C & 0t(K). Dabei bezeichnet s-Hom die stetigen k-AlgebraMop die K-Algebrahomomorphismen oder Morphismen K

homomorphismen, in

O~(K).

Man hat die folgenden Eigenschaften welche die GrundkSrpererweiterung

K ~k

K ~ ... k

"- K,

auch kennzeichnen (S.

K~

k

(A/~,) = K ~ A / ~ .

~

K~

k

[19] A,

k

).

K~

k> bzw. A I : k{ X1,...,X~}bzw. A 1 : k : AI~-~ A.

bzw.

Da 9 e s-Hom (A,C) ~ibt es zu ~ (X i) = x i

IXI,...,XnR zufolge deP

unlvemsellen Abbildungseigenschaft dem fPeien Ringe genau elnen K-Algebrahomomomphismus Y : B : K {XI,...,Xn}

y

: B : K } O

C gibt es somi%, da A O B AI

~

C

yon ~ /A I

Zu , : A

>

C

in dem Kategorie dem k-

Algebren die gefaser%e Summe yon A und B Qbem A I ist, genau elnen

:

37

k-Algebmahomomorphismus

~: A

> A @ B und AI

@ : A O B AI s: B

m A 9 B AI

Wegen dam leTzteren Beziehung ist # da A O

C, so dab mit

=~-~

undo=

~ 9 s.

ein K-Aizebrahomomorphismus

B endlieh Gber B = K l{}l

iSt,

ist

AI

A | B6 ~ A1

und,

(K)

A

bzw.~

(K) bzw. ~ (K). Somit ist A @ B = K ~ A AI k

w.z.z.w.

Im Falle0Wt kann man die Grundk~rperemweiterun Z auch folgendermaBen erhalten: 1.4.3.: Ist Ae ~ B'

(k) eine analytisehe Algebra fiber k und

~ A', A', B'e C% (k), A' endlich Gber B', B' = K < < X > > n a e h

dam

Zusatz zu Satz 1.2.4. so gewahlt, daS, wenn Ue %~ (0) eine Umgebungsbasis von 0Z I Sp(B)~ mit zugeh6mizen affinoiden Algebren BU dumehlauft, A'-U~(oylim

A'@B,BU ist, also Am ~ l i m _

erhalt man

K@

A-- lira k d~.

~

A U sit A U = A'BO,BU ,

so

( K O AU). k

ES isT K ~k ~-" K ~ (A'~B,BU)'- A'~B,(K ~k BU)"

A'B~'(K ~k BU)6 (~(K) und

K ~ A = lira k ~

(K ~ BU)'- A ' • K {X} , k B'

_ A'| (K O BU) -- A ' O lira B' k B' ~

38

also e (~%(K). Man zeigt namlich,

da~ der so erhaltene limm ( K ~ )

die universelle Ei~enschaft 1.4.2. besitzt. K ~ A hat wieder die Eigenschaften: k K ~ k = K, K @ (A/CX)-- K ~ A / C ~ ' ( K ~ A), K ~ k{x}m K|X[" " k k k k k falls A Gber B$~r~(k)

endlich ist, K ~ A= K ~ (B @ A) = (K @ B) k k B k

Im Falle ~ kann man die GrundkSrperemweiTerung 1.4.~.:

Ist A e ~

und,

@ A. B

auch so erhalten:

(k) eine komplette Algebra Gber k, so isT K O A k

semilokal und, wenn~4~das Jakobson-Radikal yon A ist, seine Komplettierung

K ~ A~< lim k i

K @ A/~;. k

Es ergeben sich wieder die analogen EigenschafTen wie im Falle ~ u n d

Schlie~lich ist die Grundk6rpererweiterung

vertraglich mit der Bildung

yon gefaserten Summen und mit KompleTTierung. FUr A ~ O ~ ( k ) z.B.

K@ A= k

Satz 1.4.4.:

hat man

K ~ ~. k FUr A ~ ( k ) ,

(~(k),

L (k) sei

A6~(K),~r~(K),~

die Grundk6rpererweiterung mit K. ~ ist treuflach Gber A.

(K)

39

Beweis: k UXa

Da A stets endlich Ober einem der Ringe k < < X > > ,

k[X},

ist, hat man folgendes Diagramm.

K

B

treufl,

treufl. A

ES genOgt also zu zeigen, dab K < < [~Xl]>> tmeuflach Ober K ~[IX~)>> int. Dies wumde im Fall affinoidem Algebmen in [19] bewiesen.

FOr

den Fall analytisehem Algebren ergibt sich hieraus die Behauptung dumch Obemgang zum dimekten Limes und for den Fall komplettem Algebren dutch KompleT%ierung.

Wit geben hiem noch einen anderen Beweis,

der f~r alle drei Falle gleichzeitig die Flachheit liefert, nam~ich dumch Induktion naeh n, der Dimension von A. Nach obiger Bememkung gen~gt es, zu zeigen, dab

B = K

flach ~ber

B = k> int. Diese Aussage ist aber damit ~leichbedeutend, dab fO~ ella Primideale ~ C ~ mit ~ = ~ ~ B flaeh Obem B~

der Ring B~

int. FGr ~ = (0) ist dies trivialerweise

richtig.

40

FQr ~ ~

(0) ist dies gleichbedeutend mit der Bedingung B--~/~; B~

ist flach fiber B~ /~6 B~

fflr alle i ~ I. Nun ist abet

9

o

die Behauptun~ a l s o miehtig, f a l l s ~ / ~ .

B = B/~ ~ = K ~ (B/~; ) k

f l a c h Ober B/~ 6 i s t . Dies i s t abet naeh Induktionsvoraussetzung de~ r a n ,

da B = k < < { [ • 2 1 5

dim ( B / ~ i ) < n

i s t , weil ~ ~

i n ~ e ~ e ~ und r o l g l i o h

(0). Der Induktionsanfang n = 0

ist trivial: K is~ Uber k flach.

~q

~2.

Differentialmoduln.

2.1.

Definition und universelle EiBenechaften.

In Anlehnung an [3], d.h.

fur

exp. 14 d e f i n i e r e n

einen Morphismus A

gefaeerten

Summen ( T e n e o r p r o d u k t )

" Differentialmodul" fiir das Jeweilige

Definition

2.1.1.

D(~)

Zufolge

m )B,

A

.-i I - i ~ ,

(~,

eimultan

fur alle

der universellen

A

eine Ringerweiterung,

mittels

der Jeweiligen

drei

F~lle.

WAr s c h r e i b e n

hier

~.

? ~ B gibt

Eigenschaft

ee e i n e n

so dab mit den kanonischen

m.i 2 - i %

(~W, ~ ,

fur

einen

,I T e n e o r p r o d u k t "

B O B y o n B und B b z g l . A B ~ B

~ ~ B in

w i t im f o l g e n d e n

der Fasers-mme

eindeutig

Injektionen

B

beetimmten Morphismus

iz

~B ~ B

A

ist. Mit I ale Kern yon m (Ideal ~ B S B ) ,

definiert man,

A

A

Def erzeu4ct (da B O B noethersoh A ~iber a .

Ferner

definiert

>D(AB)

duroh b

B

d

let

d tate~ohlich

d(bl"b2)

ist).

man k a n o n i s c h e

ihn den Differentialmodul

Derivation

y o n B f i b e r A, d . h .

q und d . ~ = O.

yon B

y o n B f i b e r a i n D CAB~)s

db - i 2 b -- i ~ b mod 12. Wie man l e i o h t

eine Derivation

= b~" db 2 + b 2 ~

Man n e n n t

ee l e t

naohrechnet

d ( b 4 + b 2 ) - db t

+ db 2 a

~2

Lemma 2.1.2.

Morphismen,

B ~B A

m

B ist Quotient bzgl.

des Paares B L ~

d.h. ist X irgendein 0bjekt aus (~, ~ ,

Morphismus mit

~ iw = ~i2,

, ~

B ~ B yon

und B ~ B ~ ~ X ein

so gibt es genau eine Faktorislerung B

~ ~ X mit ~ - ~.m.

X

Beweis:

Ee sei

mi 4 - id B und

eigenschaft

Lem=a 2 . 1 . ~ .

~j.~i

4 = ~i2,

B

~>X.

F m i 2 = ~ i 2. Es folgt

~m

Dann ist ~ m i I - ~ i 4 m i 4 - ~ i 4

- ~

wegen

nach der universellen Abbildungs

der gefaserten Summe.

Es i s t

D ("~n- ) " - I /-I -2

B.dB, d.h.

D "n'~-) ,ird a l s B--Modul

Yon

d e n E l e m e n t e n d e r Form d b , b E B, e r z e u g t .

Beeeis:

Sei K = < { i 2 b -- i 4 b l b e B>B ~ B

erzeugte B O B - U n t e r m o d u l A

also

K g K e r n (m).

mus B ~ B

also

~X.

~i 4 - ~i2,

K = Kern (~)

yon B ~ B. 0ffenbar let m(i2b - i~b) - b -- b - o, A

Sei andererseits

Dann ist

der yon den Elementen i2b -- i4b , b ~ B

X - B ~ B/K und A

~ i 2 ( b ) -- ~ i~(b) -

~(i2b

und somit naeh Lemma 2.1.2.

D K e r n (m).

Es fo16~, K = K e r n ( ~ )

db = i2b - i4b mod 12 ist I/I 2 - B'dB.

~ der kanonisohe

~ - ~m

= I,

Epimorphis-

- ilb ) - 0 fQr alle b ~ B,

f~r ein

und wegen

F:

B

~X,

d.h.

43

aus ~

mit B

Der Differentialmodul D ~ )

Satz 2.1. 4.

bzw. ~

bzw. ~

~.

bzw. ~

dab

D

-

h.

)B

~n

bzw.

kompletten topologiechen

4~-adisch separierten (44~- Rad B) B - Modul N,

so gibt ee genau eine im Falls ~

so

let fur A -

stetige, im Falle

beliebige Derivation yon B ~ber A in einen im Falle ~ B - Modul N, im Falle

}D (~)

duroh folgende universelle Abbildungseigensohaft gekenn-

D . N irgendeine im Falle ~

zeichnet: Ist B

d

etetige B - lineare Abbildung D ~

h ~ N,

dist.

Ist B endlioh Uber A, so beeitzt D C B ~

die univereelle Abbildunge eigenechaft

bzgl. beliebiger Derivationen D yon B Gber A in beliebige B -Moduln.

D(B~

iet dann

der univereelle Differentialmodul yon B Gber A. Wir bezeiohnen den univereellen Differentialmodul im folgenden mit U D Q ~ ] Beweis:

Wit betraohten zun~ohet im Falle ~ d a e

folgende Di&gramm

\/" ig

x , Dy

definieren also n(x,y) - x. Dy. Dabei ist n e i n e B x B

etetige A - b i l i n e a r e Abbildung

~N, da D eine etetige Derivation yon B ~ber A in N und n(x,y) - x.Dy let.

Das komplette Teneorprodukt B ~

B beeitzt aber die univereelle Abbildungeeigeneohaft A

44

bzgl. ststiger A - bilinearer Abbildungen in komplette topologische B - Moduln. Also gibt es eine stetigs A - lineare Abbildung

~ mat

~" ~ - n. EinschrKnkung

auf das Ideal I C B @ B liefert eine stetige A -lineare Abbildung I ~ - ~ - ~ N A ( I i s t Unterraum yon B ~A B) mit ~ (I 2) = O, denn

~(i4(xy).

i 2 4 -i4y.i2z

- i~x.i2y

+ i1~.i2(zy))

~((i4x - i2x)(i4Y - i2y)) -

- xy.D~

-

y.~

-z~

+ 4 . V ( x y ) - o.

Somit induziert ~

sine stetige A -lineare Abbildung des Quotienten I/I 2

mit h(db) = {(i2b

- i4b ) = ~(i4~,i2b

h a t man b . ( c

--i4b.i24

mod 12) - i 4 b . o mod 1 2 ,

h > b,h(o)

) .

-~,Db - b . D 1 -

h > N

Db. 0 f f e n b a r

g N f u r c mod 12 E D ( ~ )

- I / I 2,

o ~ I und b ~ B; h ist also B-llnear.

Im F a l l e

~ sei N zun~ohst ~-adisoh

zun~ohst sine A -lineare der dutch {i

gibt

Abbildung B | B A

9 B + B Q ~i)i

Topologie versieht,

stetig,

es e i n e e i n d e u t i g

komplett.

~ 4

da D ~

)N.

definierten C ~i-4

bestimmte A-lineare

Man e r h ~ l t Diese ist,

m i t d e m s e l b e n Diagramm wenn man B | B m i t A

T o p o l o g i e und N a i r

N. Da N A v ~ - a d i s c h k o m p l e t t i s t ,

A

Abbildung B ~ B - B 0 B A

mit

~ @~

- n (aus Stetigkeitsgrttuden).

SchlUsse gelten Der F a l l

~u

wSrtlioh

d e r ~W~-adischen

Dis nun oben Am F a l l s

>N

A

~

folgenden

auoh hier.

wird duroh Einbettung

in

~ mittels

Komplettierung

a u f den F a l l

~5

z u r U c k g e f f i h r t , Sind f ~ r A

mB aus ~

~

> B d i e K o m p l e t t i e r u n g e n der

s e m i l o k a l e n Rings (nach den R a d i k a l t o p o l o g i e n ) ,

B,

-B,B

B-

s

A r ~. Die ~ - a d i s c h

so h a t man I n j e k t i o n e n

- B @ B und, da N ~4'-adisch separiert sein sollte, A

stets stetige Derivation B

D r N yon B ~ber A, l~Bt A

sich vermittels Stetigkeit zu einer Derivation ~

~ r ~ yon B Ober ~ fortsetzen,

folglich die wie oben definierte Abbildung B M B

n

Abbildung 9 x ~

~ 9

Abbild~g B ~ ~

I

~

Nach dem f~r mit

B~B

I'

~, N

zu der entsprechenden

~ b e w i e s e n e n g i b t es dann e i n e ~ - l i n e a r e

= ~. Aus dem kommutativen Diagramm a

DO

--B

A

f >~

~0 J%

A

erh~it man f~r die Kerne I u n d I: I - It% B | B C I. ~inschr~nkung yon ~

auf I

A

liefert eine A - lineare Abbildung I

Z

9 ~ mit ~ ( I 2) = O.

wie man leioht sieht, sog~r B - l i n e a r e Abbildung D ~ B ~

h'( db ) - Db = Db

auoh h ' ( D(-~)

let N im Falle

- 1/12 h _ _ ~

ffir alle b ~ B. Dann let aber ffir ~.bidb i ~ D

~, b i dbi' ) =

= 1/12

~ induzier~iso eine

~. biDb i ~ N C ~ , alSO h' - h e i n e

mat

- 1/12

Abbildung

h

)N mit D = h o d .

~

~ - a d i s c h separiert, aber nicht komplett, so bette man wieder

N in ~ sin und konstruiere n~ch 0bigem eine B - l i n e a r e Abbildung I/I 2

h' > ~

46

mit D - h'od. Wie oben sieht man dann, da~ h'(I/I 2) r N, h' = h also die gesuohte B-lineare Abbildung D ( ~

- I/I 2

h

;N mit D = no dist.

Die letzte Behauptung hinsichtlich einer endllohen Erweiterung A

yB

folg~ aus

A

B~B~B~B. A

BemerkunBens

Da der oben definierte Differentialmodul D C ~ ~ s~et8 ein endlioh

erseugter B- Modul ist, der im Falle ~ B--Modultopologie versehen, im Falle

:it einer kanonischen kompletten 0~, und

~

~-adisch separiert istt l~Bt

er slob duroh die universelle Abbildungselgenschaft hinsichtlioh (im Falle stetiger) Derivationen in endlioh erzeugte B - Moduln kennzeichnen slnd im Falle ~ m l t (vgl.

1 . 1 . ) l im F a l l e

~,'-adisoh

der kanonischen kompletten G~

und ~

Die letzteren

B -Modultopologie versehen

,~-adisoh separiert

und im F a l l e

~

sogar

komplett. Abbildungs eigens chart

bzgl. beliebiger Derivationen in endliche A-Moduln kennzeiohnen.

(Wit sagen

daf~r, D CAB--~ ist der universell endliche Differentialmodul). Beweis,

Da f~r D ~

sowie f~r den universell endlichen

Differentialmodul die

in 2.2. zusammengestellten Rechenregeln 2.2.3. und 2.2.4. gelten (die sofort aus den J e w e i l i g e n u n i v e r s e l l e n E i g e n s c h a f t e n I o l g e n ) und da Jedes B 9 ~

yon

~7

d e r Form B - k > / o ~ mat dem u n i v e r s e l l

let,

genUgt ee d i e b~bereinstimmung yon D ~ B ~

e n d l i o h e n D i f f e r e n t i a l m o d u l f u r B - kN/~ I'~ 9 N induziert.

verschwindet, verechwindet D~,~

BdXn

e i n e D e r i v a t i o n yon B Uber k, d i e

a u f den t o p o l o g i e o h e n Erzeugenden Xi yon B v e r e c h w i n d e t . a b e t a u f ganz Bs I~lr ~edee maximale Z d e a l ~ (

- BdX~|

a u f den X i m o d ~ /

. Daher l e t D'(B) ~ ~ l N

~ B. Da N e i n e n d l i o h e r B--Modul i s t ,

f o l g t daraus

D . hod.

WAr haben damit bewieeenz

Satz 2.1.5.

Die in 2.1.1. definierten Differentialmoduln D ( ~ )

fur A,B s ~ ,

sind die univereell endlichen Differentialaoduln, d.h. sie repr~sentieren den

Funktor~er

(B,X) - {D, B

)X:

D D e r i v a t i o n yon B Uber k}, wenn X d i e K a t e g o r i e

~a,~

~8

der endlichen

B - Moduln d u r c h l ~ u f t .

Als Nebenergehnis

erh~lt

man: J e d e D e r i v a t i o n

y o n B g 0~ f i b e r k i n e i n e n

lichen

B - Modul i s t

2.2.

Einfache EAsenschaften dee Differentialmoduls.

stetig.

Aus der in 2.1.4. bewiesenen Abbildungseigenschaft

D(-~)

ferentialmoduls

end-

erh~lt

man f u r

die d r e i

des in 2.1. definierten Dif-

F~lle

~/, O/s,~

gleiohzeitig

die folgenden einfaohen Eigenechaften:

B 2.2.1.

Funktoreigenschaft:

Zu einem kommutativen Diagramm

1 l

in ~,

6~

, ~

gehSrt

ein komautatives

B

2.2.2.

a ) Zu A

)B,

2.2.2.

b~ Z9 A

) R

\

B

A

)Y~

) T

in

f

~

)B 4

T

)l

I

Diagramm

)

B4

~,

~n

h a t man e i n e n

oder s

b a t man e i n e n

Isomorphismue

Isonorphielus

49

2.2.~.

a)

wenn B 2.2.~.

FUr ein Ideal

d > D(r b)

~ ( B und A

)B ist

DfB-~A~)~--- D c @ } f

Bd~/

die kanonische Derivation yon B Uber A bezeiohnet.

Unter derselben Vorauesetzung wie in a) ist die Folge

)

>

DIB-~A ~)

> 0

eine exakte Folge yon

B/~ - Moduln. Zum B e w e i s y o n a ) b e m e r k t man, dab im F a l l e

abgeechlossen

ist

und D ( + )

/ Bd~

~

d e r U n t e r m o d u l B-d ~ ( D ( ~ )

mit der Quotiententopologie

b) f o l g t aus a), da dl:l~2 ([ ~-D(-~-~ I, ~ ' D ( ~ ) und B ' d ~

( ~'D(.TJ

+ d~

( B.d~

(wegen bda = d ( b a ) - - a d b ) ,

zu v e r s e h e n

ist.

(wegen adb - d(ab) - bda) a l s o B.d ~ -

~.D ~

+ do~

let.

/ 2.2. 9 .

FUr A - k

d(f(x))

= 5] ~ - - ~ d X i

Beweis:

> B = k

D(~

= ~

kdX i

topologischen B--Modul M im Falle ~

D

) M yon B ~ber A in einen kompletten

bzw. fGr Jede Derivation B

-adisch separierten B--Modul M im Falle ~/n

stets stetig bzgl. der

mit

ale kanonischer Derivation.

FGr jede stetige Derivation B

Gber A in einen ~

ist

C-riB.

~-adischen

Topologie yon B und M; ~

D

>M yon B

und ~

(Dist

bezeichnet dabei

50

dam J a k o b e o n - R a d i k a l Derivation

2.2.6.

D(f(X)) - ~

~DX

X~

i

und d i e oben a n g e g e b e n e

d yon B Uber A in den freien B - Modul mit Basis der {dXi}

stetig im Falle

Ableit~

yon B) i s t

~

~.

Z~

Ferner ist fGr f(X) ~ k

ebenfalls )B

l~dr A

Differentialmodul

die formal gebildete

paltielle

E k.

~ >C in

D(~)

ist auoh

O~ , ~ w

oder ~ ,

C endlich ~ber B, ist der

mit der kanonischen Derivation dC die universelle

dehnung des D i f f e r e n t i a l m o d u l s

D(+)

mit der kanonisohen Derivation ~.

Aus Dazu

geben wit zun~chst die Definition

2.2.7.[1 ]

einen A--Modul

zweite Derivation

V e r s t e h t man a l l g e m e i n u n t e r e i n e r D e r i v a t i o n d e i n e s Ringee

M mit einer Derivation

d'

: A

~ M'

A - lineare Abbildung h: A.dA

FUr A

- A.d'A

B

'l

D

D~4

eine Spezialisierun~

yon d t wenn eine

D yon B eine Ausdehnung

- D,~ Spezialisierung

der Derivation

d yon A,

yon d i s t :

> BDB

A ~ A d . A

D heiBt universelle

~ M~ so daS M = A, dA, so heist eine

>A. dIA mit d' - h.d existiert.

~ >B heist eine Derivation

wenn die Einsohr~nkung

ds A

l

Ausdehnung yon d, wenn D Ausdehnung yon d i e t

und Jede a n d e r e

51 Auedehnung

D' yon d elne Spezialieierung

yon D Acts

BDB D

\

"4 B

D' d

A

Offenbar

let

D bis

Wir stellen

Ausdehnung

Zun~ohst

bier

-..) AdA

auf

Isomorphi@~

eindeutig

dis

im folgenden

benStigten

zusammen.

FUr genauere

Einzelheiten

hat

l~ir A

)BD'B

die

)B

univereelle

und eine

~C

Ist

D univereelle

auf

C,

so let

A

auoh

A

kanontsohe

die

univereelle

eine

auf

2.2.1.

[1]

analogs

universellen

verwieeen.

Funktoreigeneohaft.

B und A

Ausdehnung

universelle

yon d auf

Ausdehnung

yon D

C.

~BDB

T

A

der

sei

der

d y o n A gilt ( T r a n s i t i v i t ~ t ) l

yon d auf

universelle

Eigenschaften

~c~c

D

B

Seine

Derivation

Ausdehnung

c

Ist

Auedehnung

bestimmt.

~AdA

multiplikativ

abgeschlossene

Homomorphismus,

Ausdehnung

so tst

yon d auf

M e n g e i n A, B = S - ~ A u n d A

fur

eine

B yon der

Derivation

Form,

dz A

~B = S - 4 A

)A.dA - M

52

Dz B

)B ~M,

let d: A

B ~ ~ I D

) M eine Derivation yon A in einen endlioh erzeugten A--Modul und

B eine endlich erzeugte A--Algebra, D: B

~B'DB die universelle Ausdehnung

yon d auf B, dann let auch B.DB ein endlicher B--Modul. Man kann die univereelle

Ausdehnung aus einer Darstellung B - A[X ,...,Xn~/~

f~r B - A/~

let

D, B

> A . d A / A . d o c , a mod ~ ,

Ausdehnung auf den Quotienten let dl A

D

explizlt ~erechnen.

da mod A - d ~ ,

Speziell

die universelle

B = A/~ B.DB ihre universelle

) A.d_A eine bellebige Derivation, D: B

Ausdehnung auf eine beliebige A-- Algebra B, dann hat man eine exakte Folge

T

o

In Spezialf~llen ist die erste Abbildung in dieser Folge injektiv, z.B. wenn

A ein KSrper let und B eine separabel erzeugte Erweiterung yon A

Zum Beweie yon 2.2.6. benutzen wir die Kennzeichnung 2.1.5. let D: C

~C-DC

die universelle Ausdehnung yon d B auf C, so is~ nach der obigen Bemerkung C~

ein endlicher C--Modul. Man zeigt, dab D die unlverselle Abbildungseigensohaft

bzgl. Derivationen in endliohe

Derivation.

C--Moduln besitzt. Sei D': C

>N eine solche

Die Einschr~nkung D'IB ist, da C endlicher B - Modul und N endlioher

53

C--Modul ist, ale Derivation yon B in einen endlichen B--~odul eine Speziali-

sierung yon dB.D' ist also i.S. yon 2.7.7 eine Ausdehnung yon ~

und folglich

Spezialisierung der universellen Ausdehnung D.

Offenbar

aer Differential.odu

DC

) dutch die Eigensohaft 2.2.1. ,2.2.4.,

2.2.5. , und 2.2.6. eindeutig charakterisiert.

2. 7.

Ausdehnun 6 des Differentialmoduls auf all6emeinere Ringklassen.

Neben den Ringen aus 4 ,

~/n ,~

interessieren wir uns noch f~r folgende

Klassen yon Ringen~ a)

Die RingeB = S'4.A zu (A,S) s s L ~

b)

Die endlich erzeugten Ringerweiterungen B = A[xl,...,Xn] yon Ringen

A g ~

, 6~/~ , ~ . Wir bezeichnen mit ~

dle Kategorie dieser Ringe mit

k - Algebrahomomorphismen als Morphismen.

o)

Die Ring B = A [x#,...,Xn~ ~ , wobei A~x~,...,Xn] ~ ~

und ~

yon A[xl,...,Xn] ist. Die Kategorie dieser k - A l g e b r a werde mit

Es sei B ein Ring aus einer der drei Klassen und A phismus mit A 9 ~, ~ ,

Definition 2.7.1.

D(~

ein Primideal ~

bezeichnet.

) B der zugehSrige Homomor--

/-~

sei die u~liverselle Ausdehnung des in 2.1. definierten

54

Differentlalmoduls D ( ~ ) , C

d, B

) D ( ~ 1 dis ,ugshSrigs Derivation. Ist

)B eln Homomorphism~s einss kommutativen Ringes C in B, dann sell

D(~

- D(+)/BdC

sein.

D

ist stets ein endlich erzeugter B - Modul. Bezeichnet auoh hier d: B---~DC-~- ~

(8)

die zugshSrige Derivation, so wird d: B - > D ~

i.a. yon der Darstellung yon

B als sine A--Algebra der Form a),b),o) abh~ngen. Wit zeigsn in diesem Absehnitt, dab d: B

> D ~-

in Wirklichkeit in vielen F~llen nioht yon der Wahl yon A

abh~ngt. Wenn Char. k - p>0 ist, hat man h~ufig Uber k p zu differenzieren. Angenommen, es sei [ksk p] < N

und A g

(kP), wenn z.B. ~

io o~,,o~

~

~,

~/n, ~ . 0ffenbar is% dann auoh A g ~ (kP), ~ m

(kP),

(kp) die Kategorie der affinoiden Algebran ~ber k p bsdeutet.

~ , o~o~ ~.~. ~oo~

~(~

o.~n~.~ ~n~ o~o~

~.~.~. ~ o ~ ~ ( ~

wenn B ein Ring aus einer der Klassen a),b),c) ist. l~r einen beliebigen Ringhomomorphismus C Satz 2.~.2.

>B setzen wit D ( ~ )

- D(~-kp) /BdC.

Unter den obigen Voraussetzungen ist D(~--) - UD

selle Differentialmodul yon B ~ber C. d: B

der univer--

) D (-~) ist folglioh yon der Darstel--

lung Yon B unabh~ngig und besitzt die Funktoreigenschaft 2.2. i.

55

Beweis,

A

) B sei der zu B gehSrige Homomorphismus mit A s ~ ,

~

A o ~ A sei eine frele Algebra, ~ber der A endlich ist. Dann ist D ( ~ )

'D(~]

= D C ~ ) / B d C , UDC-~BC~ -

Lemma 2.).).

k-Algebra A~

UDCk'k~/BdC.ES ist

Ist Char. k - p > 0

m

k[[{>}I C ~

u~d

, ~

dann besitzt jess freie

~

sine p - B a s i s ~ber A pO "

(Man srh~It sine solohe, indem man z11 einer p - B a s i s yon k ~ber k P die Elements

X~, ... ,Xn h i n z u f ~ .

)

Nach dem Lel~ma ist U D ( ~ )

9nalioh

.r.su~, ~ a o h

2.1.5.

ist ~ ~) and.r.rs.it.

der universell endliche Differentialmod111 yon A o Uber k p. 9 . ~ol,t 2 ( ~ )

Folgerung 2.3. 4.

Ist unter den Voraussetzungen yon 2.3.2. C

- ~ ( ?A. )

> B sogar ein

k-- Algebrahomomorphismus~ dann ist

d, B

> D(~)

h~ngt in diese. Fall nioht yon der Wahl yon A ab ~und besitzt

die Funktoreigensohaft 2.2. I.

~.r B...i..r,i~t

sioh analo, d.. ~on 2 3 2

a11. ~.r ~atsaoh.. d a ~ . ~ C ~ )

-

~(~)

58

ist, weil U D ( ~ ) modul yon A

o

endlich erzeugt und D C ~ ) universell endlicher Differential-

Gber k ist.

FOr die Ringe B - S'4.A aus der Klasse a) und einen Morphismus C | S'4A. FOr (A,S) E s ~ ~ D ( A ~ .S ) = D c S L 4 A ) .

setzen wir

Dann ist D offensichtlich ein Funktor auf der Kategorie

(vgl. die Definition der Morphismen in s ~ Satz 2.~.~.

) A aus

Im Falle B = S-4A zu (A,S) E s

, s.@;4.) ist D C - ~ ~ unabhKngig yon der

Darstellung bie auf B-Modulisomorphie eindeutig bestimmt. Beweis:

Wie wir in 2.4. zeigen werden, ist D ( S ~ ) ~

S'/~A = D ( S ~ ) . S-4A

Jk

Dabei bezeichnet S ' 4 A die Komplettierung des semilokalen Ringes S - ~ A nach seiner Radikaltopologie. Es ist S'4 A C ~ und D ( ~

I i s t bis auf Isomorphie

eindeutig bestimmt dutch S-/4A. ~dr zwei verschiedene Darstellungen B = S "4A = S " 4 A ' hat man somit einen Isomorphismus D k Satz 2.7.6. tung Ton A, C-

(A~_)

@ B --D B

(s '-~A' ) k

~)~, aus dem B

) ergibt (s.[7], chap. 0,7.8.)

Es sei A g 6~ und B = A[x~,...,Xn] eine endlich erzeugte Ringerweiter> B sei ein k--Algebrahomomerphismus. Dann let D ( ~ )

der

universell endliche Differentialmodul yon B ~ber C und folglich unabh~ngig yon der Daretellung yon B. Er besitzt die Funktoreigenschaft 2.2.1.

57

Der Beweis yon S a t z 2 . 3 . 6 man s i o h wegen D( ~B- ) universell

2.2.6.

v e r l ~ u f t a n a l o g zu dam yon 2 . 1 . 5 .

. D ( ~ ) /BdC und der e n t s p r e c h e n d e n E i g e n s o h a f t des

endlichen Differentialmoduls

und d e r T r a n e i t i v i t ~ t

Da e i o h u n i v e r s e l l e

auf den Fall C=k beschr~nken.

Wegen

d e r u n i v e r ~ e l l e n Auedehnung gen~gt a s , d i s

Behauptung im F a l l zu b e w e i s e n , de8 ring ist.

Zun~chst kann

A

k e i n f r e i e r

-

Ausdehnung und u n i v e r s e l l

Potenzreihen-

endlicher Differential-

modul auoh bzgl. F a k t o r r i n g b i l d u n g g l e i c h v e r h a l t e n ( 2 . 2 . 3 . ) ,

kann man s o ~ r

annehmen, de8 B = A [ X 4 , . . . , X m ] e i n P o l y n o m r i n g ~ber A i s t . Nun ist die universelle Ausdehnung D ( ~ )

der rei, B-Iod.l

- e Bd ie

Der Beweis, de8 D ( ~

des Differentialmoduls

D(~

- ~

AdY i

e BUj j

die universelle Abbildungseigensohaft

bzgl. Deriver ionen

in endliohe B-- Moduln N besitzt, verl~uft nun wSrtlich wie der yon Satz 2.1. 5 . im

affinoiden F~ll, wenn man nut gezeigt hat, de8 fur Jedes maximale I d e a l ~

und j a d e s ~

~

d i e k - - A l g e b r a B/~ ~

durch d i e Yi m o d ~ l u n d

r B

d i e Xj m o d ~ ~

e r z e u g t wird. Dies e r g i b t s i c h Bus dem f o l g e n d e n Lemma 2.~. 7.

Ist A ein Jakobsonring

eine endlich erzeugte Ringerweiterung

(speziell etwa A ~ ) ,

und~

ein maximales

B - A[x~,...,Xn~

Ideal yon B, dann

58

ist ~

-

~

A ein maximales Ideal yon A.

Dann ist nKmlich B/~ t

-

A/A ~ ~ ~ IX j] und A ~

maximal in A ist, wird A / ~ ~

Beweie y o n 2 . ~ . 7.

.

Wir e e t z e n A / ~

k S r p e r y o n A' m i t K. Dann l e t

9

,,,~ .

Da~

n&oh2.).7.

~ber k yon den Restklaseen yon Y4,...~Y~

erzeugt. Es folgt B//.~t - k[Yi,Xj], wenn 9

9,WL

~i,~

- A',

~

die Restklasden m o d ~ 4 bedeuten.

B/,,L - L

L - K[~,...,~

und b e z e i c h n e n d e n Q u o t i e n t e n -

mit xi " xi mod~

u n d n a o h dem

Hilbertechen Nullstellsneatz let L ~ber K algsbraisch. Ist t ~ A' ein gsmsinsamsr Nenner f~r die Koeffizienten der Minimalpolynome der xi Uber K, so let L - A;[x,,...,Xn]

und die Xl eind gan= Gber A;. Daraue f o l g t , dad A; s i n

XSrper ist.

Nash [ 7 ] ,

J s d o o h A'

integer

Fol~erung 2.3.8. s i o n m l u n d ee l e t

chap. O ( 1 6 . ) . ) . )

und J a k o b s o n r i n g

Ist

A s ~

ergibt ist,

eieh,

semilok~l ist.

Da

mu8 A' e o g a r e i n K S r p e r s s i n .

und B - A [ x ~ , . . . , X n ]

dim B = dim A + T ~ f ~

dab A'

integer,

so i s t

B Kquidimen-

( L / K ) , wenn L bzw. K d i e Q u o t i s n t e n -

k S r p e r y o n B bzw. A b e z e i o h n e n .

Beweis:

Es iet A = k/~

mit einem Primideal ~

und k ist

nmch [20], Kap. I, ~ 5 lquidimensional, folglish much A. Zum Beweis der Aquidimen-

sionmlitKt yon B kmnn man e.g. annshmen, dab B = A[Xd,...,Xn] ein Polynomring

59

Uber A l e t .

S i e e r g i b t s i e h dann duroh I n d u k t i o n nach n aus 2 . 3 . 7 .

Chap IV, 5.5.3. Die Dimensionsformel

und [ 7 ] .

ist sin Spezialfall yon [7] Chap. IV, 5.6.1.,

wenn man benutzt, dab B ale Faktorring sines regul~ren Hinges ein universeller Kettenring i.S. yon [7], Chap. IV, 5.6. let und fur ein maximales I d e a l ~ d e r K~rper B / ~ B e i s p i e l 2.7. 9 . wenn man e t a t t

yon B

a l g e b r a t e c h Uber A / ~ n A i s t . Lemma 2 . 3 . 7 . A C ~

Folgerung 2.3.8.

voraussetzt,

Gegenbeispiel flit den Fall A ~ ~

und S a t z 2 . 3 . 6 .

dab A C ~ n , ~

sein soll.

sind nieht riohtig, Wit geben e i n

an:

Es sei k sin K~rper der Charakteristik 0 und A -

k~ Y ~ der formale Potenzreihen-

rang i n e i n e r Unbestimmten Y ~ber k, B - A[XJ d e r P o l y n o m r i n g i n der Un~estimmten X Uber A. ])as H a u p t i d e a l ~ - ( 4 -

XY) aus B ist sin maxin~les Ideal, denn B / ~

ist ieomorph zum Quotientenk~rper K yon A. Es let ~

A - (0) und dim B ~ -

4

abet dim B - 2. Nach [2], Satz 6 ist UD ( ~ ) UD~ A)

. AdY ~ ~ / L

K 9 T, wobei T den Torsionsmodul yon

bedeutet. Es folgt UDC--Kk) - K ~ UD (~---) - KdY ~

T r a n s z e n d e n z g r a d ~ber k b e s i t z t

e Ir

K. Da K unendlichen

und Char. k - 0 v o r a u s g e e e t z t wurde, h a t UD~K )

u n e n d l i c h e Dimension. M i t h i n i s t / ~ $ ~. p: UD ( ~ )

)K e e l d i e P r o j e k t i o n a u f

60

einen der direkten S,mm~nden K und d: A

>UD ( ~ )

mltp.

J : A

> K die Zueammensetzung yon

~ ist eine Derivation yon A ~ber k und K = A ~ A

iet

als4"Modul nicht endlich erzeugt. Andererseits ist Jedoeh K = B/~ kann ~

zu einer Derivation

ein monogener B-Modul.

A 9 B

haben damit eine Derivation A

Dutch A (~. Xva,) . ~.xVSay

) K yon B ~ber k fortgeeetzt werden. Wir

yon B in einen endlich erzeugten B - H o d u l kon-

etruiert, f~r die der A- Modul A A A

nicht endlich erzeugt iet. Ee folgt, dab

D (--Bk) nicht der universell endliche Differentialmodul yon B Uber k let, well das Bild

Satz 2.~.i0.

Es sei A g ~ ,

~I~, ~ , B - A[x~,...,Xn] sei eine endlich erzeuEte

Ringerweiterung yon A, S sei eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge yon B und R = S-~.B. C -

> R sei ein k-Algebrahomomorphismus

wobei D (-~ 1 die universelle Ausdehnung yon D C ~ )

ist d:

R

> ~(~)

.on der ~ r ~ t e n ~ n g

und D ( ~ ) -

DC~)/RdC

,

ist. let R reduziert, dann

~on R ~ b h ~ n g i g

und erfUnt 2.2.1.

Der Beweis benutzt den Satz yon F.K. Schmidt:

2.3.11. (vgl. [22~). etwa A ~ ~ ~ a , ~ ) .

Ee sei A ~ ~

oder ein henselscher lokaler Ring (epeziell

A sei integer und L ein KSrper mit A ~ L. B sei ein diskreter

Bewertungsring mit k c B _c L u n d

L sei der Quotientenk8rper yon B. Dann ist A ~ B.

61

Beweiss

Im Falle A ~ ~

eel A

e

( A eine v - Unter~Igebra yen A, welehe

die Tepelegie yon A definiert, A@t dee maximale Ideal yon v. Dann gilt fllr A o des Heneeleche Lemma in folgender Form, let P(X) ~ Ao[X ] ein unit~res Polynom,

dessen Restklaese P(X) in A o [ X ] / ~ A e [ X ] in zwei teilerfremde unit~re Fakteren

aus Ao[xJ/A~zAo[X] z,rfKllt, P(X) - Pw(X)'P2(X),

dann gibt ,, in den Restklaseen

Pi(X) Polynome Pi(X) mit P(X) - P4(X)-P2(X ). Wendet man dleses Lemma auf des

Polynom P(X) - X n - (4 + Y) an, wobei y s ~ A o und n ~ 0 mod p (p Charakteristik

des RestklaesenkSrpers

yon k), dann erhKlt man, dab P(X) eine Wurzel x s A

o

besitzt.

Es eei nun w: L

> Z die diskrete Bewertung,

die zu B gehSrt.

Da es zu

4

+ y s L

f~r beliebig grebe nat~rliche Zahlen n Elemente x E L mit x n - ~ + y gibt,

muB w ( 4 +

y) - O, also 4 + y ~ B sein. Es f o l g t ~ A

dann let t "~ c k ( B und es ergibt sich t-~.(t.Ao)

o ~ B. I e t t

- A o~

~w~,

t 4 O,

B. Da A - k.Ao, let

also auch A ~ B.

Ist A ein henselecher lokaler Ring mit dem maximalen Ideal 7~, dann beeitzt

fGr jedes y ~

P(X) = X n -

und jede natGrliche Zahl n 4 0 mod p (p = Char. k) dae Polynom

(4 + Y) elne Wurzel x ~ A .

Wie oben schlieBt man daraus, dab

~

~ B

62

ist. Wit w~hlen ein ~ s ~

mit w ( ~ )

~ O. G~be es ein a s A mi~ w(a) < O,

so wKre w(a ~ ~ ) < O, falls ~ hinreiohend groB ist, im Widerspruoh zu a ~ ~ 9 ~ Somit s

~ B.

A ~ B.

Fol~erungs 2.3.12.

A,B ~ ~ ,

~,

~

seien integer

und K s e i s i n K ~ r p e r m i t

A,B ~ K. I s t K e n d l i c h e r z e u g t Uber dem Q u o t i e n t e n k S r p e r L yon A und A d i e gamze A b s o h l i e B u n g yon A i n K, dann i s t Beweiss Da A,B i n t e g e r

sein sollen,

B ~ ~ und ~ i s t

folgt

aus A,B s ~ ,

e n d l i o h ~ b e r A. ~

s o g a r A,B 6 ~ , ~ t

Satz 2 3.11 ist also auf A,B anwendbar. Aus 2.3,11 ergibt sich wegen k ~ A, daS B ~

/~

Biist,

wenn B i a l l e

diskreten Bewertungsringe mit dem Quotienten-

kSrper K durchl~uft, die A umfassen. Wir zeigen, dab dieser Durohsohnitt mit A ~bereinstimmt. Es eel ~ die algebraische AbschlieBung yon L in K, dann ist ~ auch die ganze AbsohlieS~n~ yon A In ~. Wi~ ~eis~n, da~ /~ B

~ ~ i,t. Ist ~ ~ K, ~ % 1 ,

so

ist x transzendent ~ber ~. Zu dem diskreten Bewertungsringl[x'~](x. $ v o n i ( X "~) gibt es einen diskreten Bewertungsring B i mit dem QuotientenkSrper K und

Zu Jedem diskreten Bewertungsring C i R A mit dem QuotientenkSrper ~ glbt es

6~

e i n e n d i e k r e t e n B e w e r t u n g o r i n g Bi mat Bi ~ D& d e r l e t z t e

~ = CI . Eo f o l g t

D u r s c h n i t t get&de g l e l o h ~ i a t ,

Dam A e n d l i c h e r A- Modul i o t ,

s

~,/~A Bi =

/~

Ci

B ~ ~ bewiesen.

e r g i b t s i o h aus [ 4 ] , da ~ s L ]

R i erhilt man folgendes Diagramm

B

h

> R ~

~L-~Ri

I

yon

i

i

A " D&bei let Pi(A) = A i s ~ ,

DL'

~m, ~

>

A

>A

und A t.~bezeichnet die ganze AbschlieBung

A i in R i. Setzt man gi " Pi "j'h' so let gi(B) = B i ~ ~ , ~ , ~ .

Da R i

6~

integer and B i ~ R i i s t ,

ist.

Mithin

ist

folgt aus 2.3.12, dab B i ~ A[x und All endlich Gber A i

J . h ( B ) ~ 77"A~,

[[A[

ist

endlich

G b e r A und d i e g a n z e A b s c h l ~ e s -

sung yon A in ~'~IJR i. Dann ist aber R n 77"A~ die ganze AbechlieBung yon A in R, 9

~

1

endlich Gber A und h(B) ~ R n ~-A[ = A. Als endlicher A - Modul ist A g ~ ,

Beweis yon Satz 2.~ X0.

Es genGgt, den Satz im Spezialfall

6~f.,~.

C = k zu beweisen.

Neben dem Paar A,R aus 2.5.10 sei ein weiteres solchee Paar A',R' gegeben und

h: R Diagramm

)R' sei ein k-- Algebrahomomorphismus. R

A

h

~ R'

id

) ['

Nach 2.3.15 hat man ein kommutatives

~ R'

~ A'

in dem A' die ganze AbschlieBung yon A' in R' bedeutet,

Hierzu brauchen wir zun~chst nur vorauszusetzen,

die endlich Gber A' ist.

dab R' reduziert

ist.

Wir bezeichnen mit DA(R) die universelle Ausdehnung des Differentialmoduls

D(A).

Aus dem obigen Diagramm ergibt sich dann das folgende kommutative Diagramm DA(R)

D(h)

> DA ' ( R ' ) ( ~ "

R'

4,

wobei D(h) die h nach der Funktoreigenschaft

D A'(R')

id

R'

der universellen Ausdehnung entsprech-

65

ende Abbildung ist und der Isomorphismus

sich aus 2.2.6 (well A' endlich Gber

A' ist) und der Transitivit~t

der universellen Ausdehnung ergibt.

Stlmmen nun R und R' Gberein,

so ist A' = A, der ganzen AbschlieBung yon A in R.

Setzt man daher im obigen Diagramm h = id, so wird auoh D(h) ein Isomorphlsmus.

Wir haben damit gezeigt: Die ganze AbschlieBung A yon A in R h~ngt nicht ab yon

der Wahl des A und der Differentialmodul

D (R~

ist eindeutig gekennzeichnet

als die universelle Ausdehnung des Differentialmoduls

D C~Ak) auf R.

In der allgemeinen Situation des obigen Diagramms darf man nun insbesondere

fGr

A auch die ganze AbschlieBung yon A in R nehmen (Jetzt muB auch R reduziert vor-

ausgesetzt werden).

Man erh~lt dann das kommutative Diagramm

DCR)

R

d.h. die Funktoreigenschaft

Bemerkun~en:

I)

>

h

~

DCR')

T

R'

2.2.1.

Satz 2.3.10 wird falsch, wenn R nicht reduziert

geben ein Gegenbeispiel.

Potenzreihen

D(h)

ist. Wir

Es sei A -~ der Ring der strikt konvergenten

in einer Variablen X Gber einem KSrper K der Char.

K sei der QuotientenkSrper

yon A.

p $ 2 mit [k:k p] =e~;

66

Wit zeigen zun~ohat, dab es eine niohttriviale k--Derlvatlon D, A

)K nit

DX - 0 gibt. Wegen [k,k p] .ee ist leioht zu ,ehen, daS p - G r a d (h(K-~)) > ~ ist. Wit w&hlen zu X ein X' E A, so dab X und X' p-unabh&ngig ~ber k(K p) sind. Dann ist UD(-~)

. KdX 9 KdX' O V

Zusammensetzu_ng der Derivation d, A

Es sei nun L - K[Y]/(Y') = K @ K'y mit ~(a) - & + D a . ~

mit einem Untermodul V yon u D ( K ) . ) UD(+),

(y

D sei die

der kanonieohen Abbildmng

- Y aod (y2). Die Abbildung ~: R

ist elm k-Algebrahomomorphismus

)L

und in~ektiv. Wit setzen ~(A)

~(A) - A'. A und A' eind zwei Exemplare deeselben Rings A in L. Man stellt sofort feet, dab L der volle Quotientenring eowohl yon R [ ~ ] - R 9 R ~ K[~]

- A' 9

A'-.~

ale auoh

yon

let.

D A (L) bSw. DA'(L) eeien die tmiversellen Ausdehnungen yon D('~Ak) BZW. D(kA'~ w) auf L. Naoh [i], Satz 5 Act DA(L) - LdAx 9 L / ( ~ ) d A ~ DA'(L) - LdA'~ (X) 9 L/(y ) d A ' ~ ,

wenn dA bzw. dA'

und entspreohend die zugeh~rlgen Derivatlonen

bedeuten. Da~ei let dA',(X) = dA' (X + DX'~) - dA' (X)

wegen DX - O.

Die belden Differenti&imoduln mlnd ieomorph. Amgenommen sie selen auch kanonieoh l,o.orph, d.h. e, ,ei dA(-) - dA'(,) ~Ur a:l, , ~ ~. , ~

dA(?p(x)) = dA(p(x) + DP(X)'~ ) - P ' ( X ) d h

+ [DP(X)] d h

i,t ~ber ~Ur a:le P(X) 9

+ DP(X) d ~

67

und dA'(~P(X))-

,(P'(X))dA',(X)-

Dutch Koeffizientenvergleioh 2)

[P'(X) + DP'(X).T]d A' X. folgt DP(X) = O, entgegen der Konstruktion yon D.

Satz 2.3.13 gilt nooh im Falls A s ~ ,

~ - {~},

also fur bsliebig~, nicht

notwendig reduzierte endlich erzeugte Ringerweiterungen R = A[xl,... ,Xn] in folgender Form: let B s ~/ und h, B

~ R sin k--Algebrahomomorphismus,

dann

existiert sin Unterring A yon R, der Qber A endlioh ist, so dab h(B) ~ A. Beweis:

~.E. kann man B = k frei annehmen. Bezeiohnet r,R

den kanoniechen Homomorphismusl~ DiagrAm.,,

B - k

h

) Rre d

das Nilradikal yon R, so ergibt sich folgendes

> R

r

~, Rre d

I A[Yi,bj]

t r ) ired

I

I

A

) Are d

.

Ared[b j ]

Dabei i s t Are d d i e ganze Absohlie~ung yon Are d i n Rre d und Are d i s t e n d l i c h e r Modul Gber Ared, e r z e u g t yon Elementen b j .

F e r n e r b e d e u t e t Yi das B i l d yon Yi in R

bei h. Durch r.h wird b nach 2.3.13 in Are d abgebildet. Die Elemente bj seien Urbilder der bj ~ei r. Da die Yi " r(Yi) und die ~j ganz Gber Are d sind, sind die Yi umd b~ ganz Gber A und folglioh ist A[Yl,bj] endlioh Gber A, insbesondere

68

also A[Yi,bj] E ~.

Die Abbildung A[Yi,bj] ----~Are d i s t

s u r j e k t i v mit n i l - -

potentem Kern. Daher s i n d d i e Yi i n A [ Y i , b j ] p o t e n z b e s c h r ~ n k t , da d i e Yi i n ed als Bildsr der ~otenzbssohr~nkt en Elemente Yi s B bei sinem stetigen

k - Algebrahomomorphismus p o t e n z b e s c h r ~ n k t s i n d . Es g i b t daher e i n e n e i n d e u t i g bestimmten k-Algebrahomomorphismus gz B

> A [ Y i , b j ] mit g(Yi) - Yi" ist. h und g s i n d k - A l g e b r a -

Wir zeigen, dab h - g, d.h. dab h(B) ~ A[Yi,bj] - A

homomorphismen,

die aus den topologisohen Erzeugenden Yi yon B ~bereinstimmen.

Es sei nun A w ein beliebigss maximalss Ideal yon R~

R/~ ~

ist naoh 2.3.7 endlich ~ber k, also R / ~ s

der kanonischs Homomorphismus,

so ist

2. 4.

~.

Ist

~ : R

)R/~ ~

f - h m F.g , da ~ h und ~ g als k - Homomor-

phismen stetig sind. Es ist somit (h - g)(B) E

Ideale~

~ sine natQrliohs Zahl.

/ ~ f

fur alle maxi~alen

yon R und damit h(B) - g(B).

Differentialmodul

Lsmma 2.~.1.

oder A ~ ~ ,

Sei C

~das

und Komplettisrun~ bzw. direkts Limitss.

)A ein k--Algebrahomomorphismus,

Jaoobson-Radikal

4#- adische Komplettierung~

A - S'4B zu (B,S) s $ ~

des semilokalen Ringes A, A seine

dann hat man sin kommutatives

Diagramm

69

A

Beweis:

~

d ist eine bzgl. der 4~-adischen Topologien stetige Derivation yon A

in den endlioh erzeugten A - M o d u l

(A)

D -~

und IKBt sioh folglich stetig fortsetzen

zu e i n e r D e r i v a t i o n d yon ~ i n den k o m p l e t t e n , D(+)

= ~ ~ D(+). A

endlich erzeugten ~-Modul D

Also l~8t sioh ~ duroh sine ~ - l i n e a r e

Abbildung hA Uber

faktorisieren: ~ = ~.d~. Satz 2.4.2. h A ist ein Isomorphismus, D ( - - ' ~ ) " - " ) ~ | D ~ ) . A Beweis:

Wegen 2.2. 4 . gen~gt es, die Behauptung fur den Fall C = k zu beweisen.

Im folgenden sei daher C - k der GrundkSrper,

und wir schreiben fQr D (-~)

2.4.2. ist sioher richtig im Spezialfall A - k(X4,...,Xn ) ~ oder A = k{Xl,...,Xn}

~

~,.

= D( $~I'

In beiden F~llen ist n~mlich ~ = k ~ X ~ , . . . , X n

~

rt

und die

Differentialmoduln

sind D(k(X4,

,Xn) ) = ~ 9 " "

D(k{X~,...,Xn} ) = @ A dX. und D(k~ X ,...,X n ~) = /--4 1 freien Moduln mit dX~,...tdX n a l s

Basis.

.-

A dX i bzw.

;=4

~ dX i

Jeweils die

).

70

Der Beweis fur den allgemeinen Fall ergibt sloh hisraus zufolge Definition 2.3.1 und 2.2.6 d u r o h universelle Ausdehnung,

SeA

A

=

S'~B zu (B,S) ~ $ ~ 6 r

oder A ~ ~ m .

Naoh Lemma 1.1.4 l~Bt sich A als

quasiendliohe Erweiterung sines Ringes der Form k(X4,...,Xn ) oder nach Definition yon d R

als endliohe Erweiterung sines k{X4,...,Xn} darstellen

Man hat im ersten Fall folgendes Diagramm fur eine geeignete noethersche Normalisierung yon B und eine zu S gehSrige multiplikativ abgeschlossene Teilmenge

T (B(X4,...,Xn) :

~(x)

T-~.(~(x )) . s-~.~ . A

'I end1. k(X ) - C

T k Naoh 2 . 2 . 6 D(A)

-

ist

D(S'~ B)

endl.

>

D(B) d i e u n i v e r s e l l e

l B

Ausdehnung y o n D(k) a u f B und n a o h 2 . 3 . 1

die universelle Ausdehnung yon D(B) auf S-~-B, insgesamt also

D(A) die universelle Ausdehnung yon D(k) auf A. Aus der Kommutativit~t des Diagramms folgt, daS D(A) auch universelle Ausdehnung des nach 2.3.1. definierten D(k(X)) ist. Auch im Falle A g ~-- ist D(A) fur k{X}

endl ~A universelle

71

Aus~ehnung yon ~(k{X}). POt ~le Komplettierang erh~it man mlt C - k(X ) oder C = k{X} im ersten

Jk F a l l e , B(X ) = C ~ B ( X ) , die K o m p l e t t i e r u n g des s e m i l o k a l e n Ringes B(X), i s t g l e i c h dem ~ i r e k t e n Produkt der K o m p l e t t i e r u n g e n der L o k a l i s i e r u n g e n yon B(X ) naoh s e i n e n maximalen I d e a l e n . A - S "~'B - T'~.B(X ) e n t s t e h t aas B(X ) durch Nenneraufnahme yon T, dem Komplement der Vereinigung e i n e r (durch S bestimmten) Teilmenge der maximalen Ideale yon B(X ). Die Komplettierung ~ yon A ist daher gleioh dem Produkt der Komplettierungen der Lokalisierungen yon B(X ) n a c h den maximalen Idealen dieser Teilmenge, folglich ist ~ = K ~ ~ A. Ebenso ist im Falle A ~ ~ n C

T.4.AB(X)= B(X ) A

~ = ~ ~A C

| T'I'B(x) _~ ~ eC B(X)

und in beiden F~llen ist

A

endlioh Uber C, a18o ~ o h

2.2.6. ~(I) u~lw~8~11~ A..~ehn.ns ~o. D(~> a~r

I.

Mit Lemma 2.4.1. und dem bereits bewiesenen Spezialfall A = C van 2.4.2. erh~it man nun folgendes Diagramm zun~chst mit den ausgezogenen Pfeilen. Dabei sind die Pfeile in dem oberen Paral~elogramm k--Algebrahomomorphismen Parallelogramm lineare Abbildungen,

in dem unteren

die senkrechten Pfeile Derivationen.

72

d

_ i

.I -...

~(A)__

l,~C

C

~_2(A) - A eDCA)

c

Alle Seitenfl~chen

des W~rfels s t e l l e n

dab d i e nach Lemma 2 . 4 . 1 .

D, ~

(als

stetige

>~ ~ DCA) die ~ i v e ~ . e l l e

k o m m u t a t i v e Diagramme d a r . Wir z e i g e n , Fortsetzung)

erhaltene

Auodehn~ yon d~, ~

Derivation

~D(~), ~e. D i f ~ e r e n t i a l -

moduls yon C, auf A ist. Dann ist nach 2.2.6. und 2.4.1. h A ein Isomorphismus und

A

S e i a l s o M e i n e n d l i c h e r z e u g t e r ~ - Modul und A e i n e Ausdehnung d e r D e r i v a t i o n d~

auf L k/:

~ A

-~, d~. Dann i,t A ~

naoh 2.2.6. dAS A

~ ~ dA - A /

= / ' d ~ ~ - ( 2 ' r ) d c" > D(C) auf A. Da

> D(A) die universelle Ausdehnung yon d C auf A let, gibt es

V: D(A)

sich y ~ber 6 : D(A) ist

,omit ( ~ p ) ~ = ~ ? ~

daher eine Ausdehnung der Derivation dc: C

) Mist

ein A - lineares

-pd~,

} M, so dab

~d A = A~.

>~ @ D(A) faktorisieren:

Da M ein ~ - Modul ist, l~Bt V = ~ ~ f

und wegen d e r K o m m u t a t i v i t ~ t d e r h i n t e r e n

~-linear.

Seitenfl~ohe

Also des

73

WGrfels (~ D ) ~

= (~)~ . Daraus wollsn wlr

f.D = k schlieBen. Dann ist unssre

beliebige Ausdehnung A Spezialisierung yon D und D somit die universelle AusA

dehnung w.z.b.w. Letztere ist nKmlioh, da D(~) endlioh erzeugter C - M o d u l endlich Uber C, die universelle Ausdehnung yon d~:

und

)D(C~ auf A.Sie ist also n~oh

/%

2.2. endlich erzeugter A - M o d u l ~nd schon durch die universelle Abbildungselgenschaft bzgl. Ausdehnungen in endlich erzeugte A - M o d u l n Nun sind f

~-linear,

charakterisiert.

D bzw. A Derivationen yon ~ in den ~ - Modul ~ @ D(A) bzw. A /%

An den ~ - M o d u l (~

M, alle Abbildungen also stetig bzgl. dsr

= Jacobson- Radlkal yon ~ ~ ~ ) .

erzeugte ~ - M o d u l

Mist

stetig sind, und ~ p Bemerkung:

A ist v s r m S g e /

4#-adisch separiert, also ist

~-adischen

dicht in ~, der endlioh f D - A, da ~ D und

m (A)/.

Im Falls A 6 ~ n

ist 2.4.2. einfaoher schon in [2] bewiesen.

Wir interessieren u_us nun im Falls A g Of~, A - i ~ fGr die Beziehungen zwischen D(A) und lira D(~).

A~/, A N 6 0 q

(vgl. 1.2.)

(wegen dsr Funktoreigensohaft

2.2.1. des Differentialmoduls wird aus dem direkten System {A~} u direktes System {D(~)} u

Topolog~en

in ~/

ein

yon Moduln Gber dem direkten System yon Ringen {A~z ~

und li B D(Au) ist ein A = I ~ s A u - M o d u l ) . U Zun~chst gilt analog zu 2.4.1.:

Lemma 2.$. 7 .

In obiger Situation:

A - Ii~Au,

AG ~ ~,

A s

~

, existiert

eindeutig eine Derivation D, A---@ li~ D(A~ ), so daS fur alle ~ das Diagramm An

LA D(Aa)

) A =, li~ AI~

,>

1"

:•

/ h~ D(A~)

kommutativ ist. Ist li~ D(AI~ ) endlioh erzeugter oder auch nur ~-adisoh (~

-

Radikal yon A) separierter A-Modul,

so existiert eine Faktorisierung h A

yon D Gber D(A). Beweis.

Zufolge der Funktoreigenschaft 2.2.1 sind die Derivationen vertr~glich

sit den Morphismen der direkten Systeme {A U} u

und {D(A•)}•.

d.h. f~ir A •

hat man jeweils ein kommutatives Diagramm AM dAu I " D(A U )

~ AIL, [ dAU' ) D(AIL')

Ubergang zum direkten Limes in der oberen

und unteren Zeile liefert die

Derivation D. Die Frage, wann hA ein Isomorphismus ist, behandeln wit hier nut fur den Fall C = k. Wir schrelben dann, wie schon oben D(A) anstelle yon D(~), und fiir den

~A u,

75

Spezialfall

des Z u s a t z e s

zu S a t z 1 . 2 . 4 . ,

LAmes eines direkten Systems in ~ B' - k

) A' in ~ ,

wo A ~ ~ f o l g e n d e r m ~ B e n

Hit

Itlnj, t

B~,

r

k,

> A~

A' endlioh Gber B', durohlaufe {Un} die Umgebungsbasls

I~I < 4, ,u dsn Algs~ren B u

- A' ~, B ~

, A~

= A' ~, k{X~,...,Xm} , da l i s B u , Uber B. Jedes A ~ ~ Satz 2.4. 4.

direkter

dargeetellt wlrd, F~r geeignet gew~hlte

des O-Punktes yon Sp B', bestehsnd aus den Umgebungen

Ix l s

als

U n- {x - (x4,. . IXm) ~ km:

= B'/(Y i- Xit'')- B'.

endlich ~ber BUa , hat man A =lim. Au,~; -

= B - k{Xl,...,Xm} und ~

)A in ~

, A .ndlioh

l~8t sioh naoh 1.2. 4. so darstellen.

Unter den oben formulierten Voraussetzungen ist D(A) ~ I i ~ D ( A U ) ,

h A in 2.4.5. also sin Isomorphismus. Der Beweis verlKuft ganz analog dem Beweis yon 2.4.2 : B . k{x~,. . . . ,Xm} D(Bu

) =

~

BU

li~B@~,

ZunKchst ist fur

da BU, = B' - k und

EXi, I i s D ( B u

) = ii5(

B~gEX

i) = ,.~ ( l i m > B u ) - d X i

=

- .~ B'dX i = D(B). Daraus schlieSt man, wieder durch universelle Ausdehnung, t'4

daS auch I i ~ D ( A ~

) = D(A) let. Man hat fur Jedes n zun~chst ein,WGrfeldiagramm' s

in welchem war fur U

n

kurz ~ schreiben. Alle Seitenfl~chen des WUrfels stellen

wieder kommutative ~iagramme dar.

76

AU

>nA = I i m AU

.i/I .o"/

\ M

WAr zeigen, dab die nach 2.4.3. erhaltene Derivation D: A universelle Ausdehnung yon ~ :

let.

Dann t s t nach 2 . 2 . 6 .

B

} l i s D ( A u a ) die

> D(B), dee Differentialmoduls yon Biauf A

D(A) ~ lim~D(Au~ ).

Sei also wieder M sin endlich erzeugter A--Modul und ~ irgendeine Auedehnung der Derivation d B auf A. Wie in Beweis von 2.4.2. gibt es dann, da D(Au) nach 2.2.6. die univsreslle Ausdehnung yon D(Bu) ist, ein Au--lineares und zwar fur Jedes U = U n. Das System dieser direkten Systems {D(Au )J vertr~glich,

Yu:D(Au)

~ U ist mlt den Morphismen des

d.h. fGr ~ ,

> AU, '

hat man kommutativs

Diagramme M

Die Au--linearen faktorisieren:

W~ ~U

lassen sich daher Uber den direkten Limes li 5 D ( ~ ) "

~

'~

~M

A linear. Also ist wieder fGr alle U = U n

77

(f D ) ~

= (~)~U

" Daraus folgt aber, da A = lim)Au, also A = ~

Bild ( ~ U )

ist, f D = A. A ist also Spezialisierung yon D. w.z.b.w. / S'4A ' ) Sohlie~lich untersuchen wir noch dam Verhalten yon D [--~--beim Ubergang von

l dem semilokalen Ring S-~A ' (zu (A',8) ~

$ ~,

also A ' E ~

, S = C(.~/,i) , m i ( A ~ cm4

maximal, gehSrend) zu dem entspreohenden Ring A -

;~.~40miE

~'

Omi Faser

der Strukturgarbe des affinoiden Raumes Sp(A') im Punkte m i. Es giltl Satz 2.4. 9.

Ist (A',S) ~ S ~ ,

S'~A ' der zugehSrige semilokale Ring, A die

zugehSrige analytische Algebra ~ ~ R

(vgl. 1.3.), die ,,analytische Komplettierung j

yon S''A', so ist D ( ~ ) = A S . ~ A , D ( ~ Bewels,

).

Wie im Beweis von 2.4.2. genflgt es nach 2.2.4. den Fall C - k zu

betraohten. Wir schreiben wieder D(

) fur D(~). Naoh Lemma l.l.4, existiert

eine Noethersche Normalisierung B' - k

) A' , A' en41ich fiber B' ,

Gber dem zum O-Punk, gehGrenden maximalen Ideal (X~,. .,Xm)

CB' ]iegen. Hit denselben Bezeichnungen wie in 2.4.4. ist dann mit ~ n naoh 1.2. l i % A u a

m

.T~o~., o ~ .

E ~,

"

BU~

die Fasern der Strukturgarbe yon

Sp(A') in allen ~ber (X~,...,Xm) liegenden maximalen Idealen yon A' aufnahme naoh S = C(i..~ " ~i)

~,

= A' _

Bei Nenner-

ergibt sich jedooh lim>S "#'AU~= S "I .77-O W l

- A,

L a ~

da hierbei die Komponenten des Produktes gerade wegfallen, die zu maximalen

78

I d e a l e n 4 ~ ; Uber ( X 4 , . . . ,Xm) g e h S r e n , d i e yon ~ , . . Nach 2.4.4. ist !im) D(A U

,~4

versohieden sind.

)_-" D( .~] 04~.) ' und d a h e r ebenfalls P%

&-~4

n = 0, AUo = A' , da BUo - B' , eine k a n o n i s c h e Abbildung S-4"D(A ') - D(S'4A ') Diese l ~ t

sich ~ber A

Diagramm

S "4 A'

~ D(S'4A ' ) faktorisieren, S-~A,

c

>

)D(A).

und man hat ein k o m u t a t i v e s

A

D(S-~A' > A

@

1

DIA).

D(S-~a ' )

S'~A' Wir zeigen, da~

~ Isomorphismus ist: In der unteren Zeile stehen endlich erzeugte

A - Moduln. Anwenden yon ~ 9 - (wobei ~ die Komplettierung yon A ist) auf

A

A

) A einen Isomorphismus S "~ A' N ~

liefert, da S'~oA '

S'~A'

9

D(S'~A')

induziert,

~ | = ~D(A~

S-~A,

D(S'~A ~ )

~

~ D(A)

die senkrechten Isomorphismen ergeben sich aus 2.4.2. Da somit ~ Isomorphismus und ~ treuflach Uber A ist, ist auch

~

@ ~

Isomorphismus,

ein w.z.b.w.

79

2.~.

Differentialmodul und GrundkSrpererweiterung

In 1.4.

wurde f G r e i n e n k o m p l e t t e n ,

bewerteten

der Funktor GrundkGrpererweiterung AI ~ ( k ) ist K | A = A e ~(K), h

~I

0 b e r k S r p e r K des G r u n d k S r p e r s k

~K @ A definiert: F~ir A g ~(k), h (K).

(K),

B e z e i c h n e t D(

modul Uber k bzw. K, je nach Herkunft des Arguments yon D( Lemma 2 . ~ . 1 . :

~, ~ m ,

~

In der eben beschriebenen

Situation

~L'a(k)

) den D i f f e r e n t i a ~

), so gilt:

h a t man i n a l l e n

drei

F~llen

funktoriell in A ein kommutatives Diagramm, A

c

~ A ~ K@A

dA

D

D(~)

L,/~'A D(A) '

> XeD(A) A

Dabei ist D eine im Falle ~

etetige Derivation Gber K yon A in den endlich

erzeugten A- Modul A ~ D(A). D l~Bt sich folglich eindeutig ~ber d~ faktorisieren. A

Beweis:

Die (im Falle ~

stetige) k- Derivation dA, A

i ~ @ dA zu einer K-Derlvation K ~ A eetztz

A c dA1

idK @ dA

)D(A) wird duroh

~K ~ D(A) ( eineE K 9k A-Modul) fortge-

>K eA k ~ ida" dA

ist im Falle ~

stetig bzgl

der natUrlichen Topologien der Tensorprodukte

80

([25],[19]),

im Falle

~

ale Derivation stetig bzgl. der ~-adisohen Topologien

des semilokalen Ringes K @ A k

und des endlichen K @ A k

Module K @ D(A), k

~@-Radikal

yon K | A. Diese Deriwation ist folglich eindeutig ale stetige K - Derivation auf k A

die Komplettierungen fortsetzbar, D, K @ A &

)K @D(A) = A @D(A). Im Fall, A

h

A ~ 0(a(k) erhalt man nach dem Zusatz zu 1.2.4. A als direkten Limes A = l i ~ A U M

ist als A - lineare Abbildung zwischen endlich erzeugten

stetig. Wie in 2.4.2.

beides stetige Derivationen.

stetige K - Derivation.

hat man nun (f D ) ~

- (A)/

und 9 D bz.. A sind

Mit der Faktorisierung

K OA &

o

erh~It man zun~chst,

da es sich um K - Derivationen handelt,

dab f D und A auf Bild (j) ( i Gbereinstimmen.

daher auf ganz A Gberein.

Den Fall A g

~(k)

w.z.b.w.

Wegen der Stetigkeit

stimmen sie

WSrtlich derselbe Beweis gilt im Falle

kann man durch Komplettierung

oder man sohlieBt so: Aus D(A) ~

aus obiger Beziehung

auf den Fall ~

zur~ckffihren,

)A @ D(A) erh~lt man durch Anwendung yon A @ -A i

82

(~die Koaplettierum~ des semilokalen Ringe= A g ~ a (K)> &uf d~e endlioh erzeugten i-Moduln.

Dabei f o l g t

A -

die erste

K/•OA= K ~ k

I s o m o r p h i e &us 2 . 4 . 2 . ,

- ~ (,egen 1.4.), also ~ , k

d i e 2. I s o m o r p h i e wegen

tA, die 3. Isomorphie &us 2 f 4 , 2 ,

und d i e 4. l s o m o r p h i e a u s ~ -- ~ und d e r sohon b e w i e e e n e n B e h J u p t u n g 2 . 5 . 2 . Falle ~.

Da a l l e

a l = o auoh h . ,

i=

A b b i l d u n g e n n a ~ d r l i o h s i n d , muB A ~ h A ein I=omorphismus s e i n ,

da A t r e u f l a o h

Uber A i s t .

83

w 3.

Re~ularitatskriterien~

3.1.

Der Ran~ des Differentialmoduls.

Anwendun~en.

Wit beweisen Regularit~tskriterien fOm die Ringe aus der in 2.3. definierten Klasse l ~ m i t

Hilfe des in w 2 definierten Differen-

tialmoduls. Dabei wird fur das Folgende stets [k:k p] < ~

voraus-

gesetzt, wenn ChaP. k = p > 0 ist. Regularitatskriterien, die ohne diese Voraussetzung auskommen, finder man in [12] . Definition 3.1.1. ist, u n d ~

Is% B = A Iyl,...,yn] G ~Y , wobei A ~

6~, ~

ein Primideal von B, so soll D(B) bzw. D ( B ~

) in

diesem Paragraphen stets die universelle Ausdehnung yon D(A) be-

zelchnen, wobei

[

D(~) ~ falls ChaP. k = 0

D(A) =

D(~

falls Char k

p > 0

der in w 2 definierte Differentialmodul yon A ~ber k bzw. k p ist.

Satz 3.1.2. = B/~ bildung O

Es sei B e i ~

,~

der ResTklassenk6rper. D(B) --~ D( ~

) ~4~/~4~ &

9

sei das maximale Ideal yon B, Dann induziert die kanonische Ab-

) eine exakte Folge yon ~ - M o d u l n .

D(B)/~

DCB)

~

D(~

)

9

O.

8~

Beweis. Ist

Cham.k : p > O ,

und D ( ~ )

UD(k~p) jeweils deP (absolute) universelle Differential-

=

so ist nach 2.3.2

D(B) : UD(k~)

modul. Die BehauptunE ist daher ein Spezialfall yon [ 2 ] , Satz I. Es sei jetzt Char. k : 0.

a) Reduktion auf den F a l l ~ :

0.

Die kanonische AbbildunE B ~ B / 4 4 ~ l l e f e m t

naeh 2.2.3 eine exakte

FolEe ~

~

> D C B ) I ~ ~ DCB)

>

DCBI~

Dutch tensorielle Multiplikation mit B I ~ die exakte FolEe yon ~ -

~)

: ~

>

O.

Ober B erEibt sich

Moduln

s ~ I ~

~

D(B)/~

WeEen d ( ~ ~ ) ~ V . D ( B )

D(B)

>

DCB/~ ~ )I~

D ( B I ~ ~)

~

0.

ist die erste Abbildung die Nullabbildun E,

folglich die zweite AbbildunE bi~ektiv. Andererseits entspPicht dem kommutatlven DiaEramm &

B/~

~"~

BI"~,' =

ein kommutatives DiaEramm mit exakten Zeilen

> ,~l'~,v

~

~

DCB/ ,'~'L)/n,S'vDCB/.'~4, a')

~ D(~,)

0 O.

85

Die Behauptung des Satzes ist somit bewiesen,

wenn gezeigt

ist,

dab die Folge 0

~ 44w14~v ~

>

DCBl~v~)l~v D ( B / ~ v ~)

>

D( ~

)

~

0

exakt ist. Nach Defini%ion

ist D(B) die universelle

eine geeigne%e

freie k-Algebra

und A o'

9 In

= Bo/~

A o'

B o 9 Ot , ~ ,

yon D(B o) for

~[J . Es sei ~

= 44~ ^ B O !

gibt es eine fmele Algebma Ao, so dab A o

endlich Obem A O ist, und nach 2.2.6.

ist D(A~) die universelle Aus-

dehnung yon D(Ao). Aus dem kommutativen B

Ausdehnung

~

BI~

~

A O'

Diagramm

~

f Bo

Ao

ergibt sich nun wegen der Transi%ivi%~% dab D ( B / ~ ~) auch die universelle

der univePsellen

Ausdehnung

yon D(A o) ist. Man kann

sich somit for den Beweis des Satzes auf den Fall 4 4 ~ =

b) Beweis un%em der Voraussetzung ~ww In diesem Fall i s t ~ Quo%ientenk~rper

Ausdehnung,

0 beschranken.

= 0.

B o = 0, da B o integer ist und B enth~lt den

K o yon B o. Man hat ein kommuta%ives

Diagramm

86

B

o ~

B/4~, "

=

Bo

und D(B) bzw. D ( ~

) sind die universellen Ausdehnungen yon D(Ko).

Man hat zwei exakte Folgen ~ D

B O D(K o ) Ko

~

D(B)

~

UD(~-.-)

0

und 0 Ko

und es emEibt sich ein kommutatives DiaEmamm mit exak%en Zeilen id

B/,m, e D(K o ) I ~

~

D(B)/~D(B)

Im folgenden sei [k:k p] = p e

-

>

D(~)

>

O.

falls ChaP. k = p > 0 ist.

Ist

Char. k = Ot so setzen wit e = O. FUr elnen endlich erzeugten Modul M bezeichne

p (M) stets die Minimalerzeugendenzahl

Lemma 3.1.3.

Es sei A 6 G 6 , O ~ ,

RingePweiterung

~

yon M.

und B sei eine endlich erzeugte

yon A. B sei integer,

L der Quotientenk~rpem

yon B,

K der yon A. Dann gilt Beweis.

p (D(L)) Ao~

= dim A + Trgr

A sei eine freie Algebra,

K O der quotientenk~rper algebraisch

(L/K) + e . so daS A Ober A o endlich is%,

yon A O. Dann ist dim A = dim A o, K ist Qber K O

und D(A) die universelle Ausdehnung

Transitivitat

dem universellen

Ausdehnung

yon D(Ao). Wegen der

darf angenommen werden,

daS

A schon selbst frei ist. D(L) ist dann die universelle

Ausdehnung

yon D(K) = K @ D(A), wobei A

A (D(K)) = dim A + e is% (Falls Char. k = p m 0 ist, wird hierbei und 2.3.3 benutzt). Die universelle Ausehnung bestimmen:

D(L) yon D(K) last sich nach [I]

, Satz 5

Wird L Ober K yon einem Element y erzeug% und ist y

2.3.2.

88

transzenden% fiber K, dann is% p (D(L)) = p (D(K)) + i, is% y separabel algebmaisch fbeP K, dann is% p (D(L)) = p (D(K)). GenGg% y GbeP K deP Gleichung

yP - ~ = O, wobei Char. k = p > O, ~ e K, ~ # K p

is%, dann is% D(L) = von~ w

L O D(K) 9 Ldy/ < 6 ~ > , wenn w K

in D(K) is%. Da ~ ~ K p und D(K) = UD(K) ~ 0 und es ePgib% sich

das DiffePen%ial

is% (2.3.2.), is%

p (D(L)) = p (D(K)) auch in diesem Fall.

DuPch Induktion ePgib% sich p (D(L)) = p (D(K)) + TPgP(L/K) im allgemeinen Fall und dami% die Behaup%ung.

FolgePun~ 3.1.4.

Es sei A e ~ , O ~ , ~

RingePwei%erung yon A, ~ = A~

/~ A~.

und B sei eine endlich ePzeug%e

aim PPimideal won B, ~ = ~ ~ A, ~ = B ~

/~

B ~

Dann gilt

P(D(B~

)) :

P( ~ B ~ ) + dim A/~

+ Trgr( ~

/~

) + e.

Beweis. Die Behauptung folg% aus 3.1.2., well nach 3.1.3. gilt: p(D( ~ )) =

dim A/~

Folgerun~ 3. I. 5. eines A 6 ~ ,

Es sei Be ~ ,

~ oder endlich erzeugte RingePweiterun E

~ sei ein Primideal yon B. Dann gilt

(Hierbei bedeu%e% dim~ :

+ Trgr ( ~ /4~ ) + e.

dim B% + dim B / %

).

B die ~-Dimension yon B: d.h. d l m ~ B --

,

89

Beweis.

Die Ungleichung ergibt sich aus

und dem Definition der ~ -Dimension. B = Ae

6~ , ~ , ~

, dens hat men

+ dim B / ~

+ e unmittelbar.

von A s ~ ,

damn auch B / ~

dim A/~

+ Trgr(~

Bememkun8 3vI.6.

/~

p(~

B~

) ~ dim B ~

Setzt man 3.1.4. speziell

p(D(B~

)) = p ( ~

B~

) +

Ist B endlich erzeugte Ringemweiterung yon A/~

) - dim B / ~

~ 6~. Nech 2.3.8 ist .

Die Ringe aus 1 ~ mind Restklassenminge

yon regu-

lates lokalen Ringen und daheP universelle Kettenminge i.S. yon [ 7 ] , Chap. IV, 5.6.

Ist mit den Bezeichnungen yon 3.1.4.

L sein QuotientenkOmper

B integem,

, K der yon A, dann gilt (vgl. [ 7 ] , Chap. IV,

5.6.1)

dim B ~

Folgemun~ 3.1.7. Ae

O~ , 6 ~ ,

L

- dim A ~

= Trgr(LIK)

- TrgP(~

I ~ ).

B sei eine endlich erzeugte Ringerweiterung usd ~_c ~

p(D(B~ ))

eines

salem zwei P1"imideale yon B. Damn gilt

p(D(B,~

)) :

p ( ~ B ~) -

,,(q

B~r )

dim

Dann ist nach 3.1.4.

pCDCB~ )) -pCDCB@ )) : - dim A / o 7' + T r g ~ ( (~ / ~

) - Trgr,( ~,,'/ " ~ ' ) .

) + dim A / ~

-

B,~,'~B~.

9o

Da Integritatsbemeiche aus 6~ , ~ dim A/~

- dim A / ~

- dim A / ~

und aus 3.1.6. ergibt sich

und A/~

):

+ TPg1"( ~ / 9 ) - TPg1"( ~'/ ~' ) = dim B ~

Fol~erun~ 3.1.8. (vEl. [ 16] ) der Ring B ~

aquidlmenslonal sind, ist

= dim A ~ / ~ A ~

(angewandt auf die Ringe B/~ dim A / ~

,~

Ist unter den VoPaussetzungen yon 3.1.7

aquidimensional, dann ist

p(9

-

p( Bo7

Beweis. Wenn B ~ aq,ldimmnsional ist, dann silt dim B ~ = dim B ~

/ ~ B~.

- dim B ~

. Da andererseiTs

p (D(B~))

/~ B~ =

=~ p (D(B~)) ist,

folgt die Behauptung aus 3.1.7.

3.2.

Re~ularitatskriterien

Satz 3 . 2 . 1 .

Es sei B6 ~ , ~

odem eine endllch erzeugte Ringer~eite-

rung eines A 6 0~. ~ sei ein Primideal yon B. Genau dann ist B ~ eln regulamer lokalem Ring, wenn

@(D(B~)) a dim ~

B + e

gilt. Beweis. Naeh 3.1.5. gilt stets die umgekehmte Ungleichung und die Gleichheit gilt genau dann, wenn

p ( ~ B , ) = dim 9 B - dim B ~ = dim B ~

91

ist, d.h. wenn B ~ regular ist. BemePkuns.

Das KritePium gilt i.a. nlcht mehr fOP endlich erzeugte

Ringers~eiterungen eines A 6 ~ , = 2

dim~ B = dim B ~ =

$atz 3.2.2.

~ . In Belspiel 2.3.9 ist

p(D(B~)) =

1 und tPotzdem ist B~regul~P.

Es sei BE ~

u n d ~ sei ein Primideal yon B. Falls

Char. k = p > O ist~ soll B ~ reduziePt seln. Dann sind folgende Aussagen ~quivalent: a) B ~ ist ein regul~rer lokaleP Ring. b) D(B~ ) ist ein fPeieP B~-Modul. Beweis. ~

$ ~ sei ein PPimideal aus B mit dim B~ = dim B ~ / ~ B ~

.

Nach 3.1.7. ist dann

Wenn B ~ regul~r ist~ dann ist also ePst recht ~ B ~

p(~

= O und B ~

B~

) = dim B~ und ~ B ~ = O~

ist deP QuotlentenkOPpeP yon B ~

Aus ( @ ) folgt

p(D(B~)) =~(D(B~)). Weil B~ deP 0uotientenk~Ppe~ von B ~ fPei ist.

ist~ fol~t hiePaus~ da~ D(B~ )

.

92

Wenn D ( B ~ )

ein fTeieT B~ -Modul ist, dann ist auch D ( B ~ ) ein

fTeieT B ~ - M o d u l

und p ( D ( B ~ ) )

= p(D(B~)).

WiT zeigen, da~

B ~ = 0 is%. F~T ChaT. k = p 9 0 eTgibt sich dies aus deT Vomaussetzung~ dab B ~

Teduziert sein soll. Ist ChaT.k = 0, so hat man die

exakte Folge (3.1.2.) 0

,

o/B

Angenommen,

B o1 es ist x ~ ~ B~ , x

>

r (-,'~'Br

. Dann kann dx in eine Basis

yon D(B~ ) aufgenommen werden. Andererseits besteht ~ B~ potenten Elementen yon B~ . Ist x p px

D(B~

= 0, x p'I

num aus nil-

& 0, so folgt

dx = 0. Well Cham. k = 0 ist, ist p Einheit in By

x p'I dx = 0. Dies widerspTieht

deT Tatsaehe,

und somi%

dab dx in eine Basis yon

) aufgenommen weTden kann. Mithin ist q B~ / ~

folglich auch ~ B~

= 0. Aus (~6) eTgibt sich ~etzt

B~

= 0

und

p ( ~ B# ) - dim B~ = 0,

d.h. dab B~ Tegulam ist.

Im folgenden bezeichne dh(M) die pPojek%ive t(M) die Tiefe

Satz 3.2.3.

(homologische Kodimension)

Es sei ChaT.k = 0 und B % 1 ~

0.

(homologische)

Dimension~

eines Moduls M.

. Ist h d ( D ( B ) ) < , ~

, dann

93

ist B reduzierT. Beweis. ~ auch

sei ein zu (0) assoziiertes Primideal yon B. Dann ist

hd(D(B~ ) ) < ~

und es gilt

hd(D(B@ ))

+ t(D(B~)) = t(B~ ).

Da t(B~ ) = 0 ist, ist hd(~(B~ )) = O, folglich B~ regular. Mithin ist B~ ein KSrper. Es folgt, dab das Nullideal yon A Durchschnitt yon Primidealen ist, fol~lich ist A reduziert.

3.3

Aus~ezeichnete RinEe.

Aus unsemen differentiellen ReEularit~tskPiterien in 3.2. und unsePer Kenntnis des Verhaltens des Differentialmoduls beim OberganE zur KomplettiemunE (vEl. 2.4.) folgt, dab die RinEe a u s ~ , ~ n allgemeiner a u s ~

, Z~,

, ~,

ausgezeichneT (excellent) i.S. yon Grothen-

dieck sind. (vgl. dazu [ 7] , chap. IV, w 7 und [ 14] ), allePdings f~m Char.k = p > 0 un%er deP zusatzlichen VorausseTzung I k:kP ] < ~ . Unter diesem Voraussetzung folgt dieses Ergebnis auch aus dem in[7}, chap. IV.~prem.paPtielw 22 yon chap. 0 anEegebenen Regularitatskmitemium (22.3.2.). In [ 12] werden die Emgebnisse dieses Abschnittes f~m beliebiges k bewiesen.

9#

Satz 3.3.I:

Es sei

A : S -1 9 A' mit (A',S) 9 sl 6~oder A 6 6 ~

die Komplettierung yon A, i: A A

Spec(i) : Spec(A)

9

,

~ A die kanonische Injektion,

Spec(A) die zugeh6rige Abbildung dam Prim-

spektren. Rag(A) sei der regul~re OPt yon A, d.h.die Mange aller e Spec(A), far die A ~ ReE~)

=

regular int. Dann Eilt: Spee(1)-1(Reg(A)).

Beweis. Zu zeigen ist, dab fQm jades Primideal ~ a A und ~edes Primideal ~ A~

cA mit ~ ~ A = ~ gilt:

~

ist genau damn megul~r, wenn

regular int.

Da A Ober A treuflaeh ist und folgtlich auch A ~ aus der Regularitat yon A~

die yon A~

~ber A~

, folgt

nach [7] , chap. IV, prem.

pattie, (17.3.3.1). Umgekehrt sei jetzt A~

regular. Wit d~rfen O.B.d.A. annehmen, da~

A lokal und integer ist: Denn es ist A~

= (A/~

ein minimales Primideal von A ist, und A ~ A~

- O. Sind fernerd~v 1''''' ~ n

= (A/~

)~

, wenn ~ i ~ )~

wegen

die maximalen Ideale yon A,

a~

dann ist A = iW__1A ~ yon A, etwa~ c_~l ~

und ~ ist enthalten in einem maximalen Ideal • i=2 ~

A4'~"J" Es

folgt

A~ =

(A~,~)~ und X ~ = (

)~,

95

Da A~

regular ist, ist nach 3.2.2.

Nach 2.q.2 ist ferner

D(A~ ) ein freier A ~ -Modul.

D(~ ) = A O D(A) und somit D ( ~

) = ~e

A folglich ist D ( A ~ )

D(A~),

A~

ein freier A ~ - M o d u l mit p (D(A~))

= p(D(A~ )) =

= dim A + e (e = 0 im Fall ChaP.k = 0).

Es gilt A = R/~

, ~ = R/ ~ R ,

wobei R e i n

regularer lokaler Ring

und ~ ein Pmimideal in R ist. A ist daher speziell Faktorming eines Cohen-Macaulay-Rings und nach [23] , IV-26, Th 7 gilt fOP jedes zu assoziierte Primideal ~ : dim A/~

= dim

R/~

Mithin ist A aquidimensional und d im ~

= dim A.

A = dim A = dim A. Es folgt

P ( D ( A ~ )) = dim A + e = dim ~ A + e und hieraus nach 3.2.1., da~ A ~

Satz 3.3.2.:

Ist B E ~

regular ist.

, so ist der regulate 0rt ReE(B) E Spec(B)

offen bezOglich der Zariski-Topologie yon Spec(B). Beweis.

Wit zeigen zuerst, da~ es genOgt, B integer vorauszusetzen.

Es s e i e n ~ i (i e I) die minimalen Primideale yon B, W( ~ i ) = = { ~ 6 Spec(B);

~ ~

~i]

" Dann ist Spec(B) =

~J W( ~ i ) i~ I

96

die Zerlegung yon Spec(B) in irreduzible Komponen%en. Ist 9 W(~i) und B ~

nicht reduzier% o d e r ~ e W ( ~ i ) ~ W ( ~ j ) i

mi% i ~ j , dann ist B~ nicht regular, da es Nullteiler enthalt. Reg(B) liegt also in deP offenen Menge U yon Spec(B), die aus allen ~ besteht, fQr die es genau ein ~ i ~ ~ gib% und for das ~berdies B ~

reduziert ist. FOr ~ e U ist ~

minimale Primideal yon B~ ~ BI = (O) und B~

~ well B~$

= (B/~)~

Reg(B/~i ) offen in S p e c ( B / ~

B~

das einzige

reduzier% isT, folg%

. Wenn wit gezeig% haben, da~ ) = W(~6

) ist, dann folgt, da~

auch Reg(B) offen in Spec(B) is%. Es sei jeTzt B integer. Nach 3.2.2. ist f~r ~ e $pec(B) genau dann B~

regular, wenn D(B)~ ) ein freiem B~ -Modul is%. Die Menge dieser

Primideale ist abet offen in Spec(B). Es emgibt sich nun: Sa%z 3.3.3.:

Die Ringe aus ~ , ~ ,

~

~

sind ausgezeichnet i.S

von Grothendieck. Beweis. Da diese Ringe samtlich universelle KetTenminge sind, genOgt es zu zeigen~ dab

97

a) FUr jedes maximale Idea144~C Faktorring C = B ~ / ~

B & ~,~,

~ , jeden integeren

und jede (als C-Modul) endliche mein-inse-

parable Erweiterung A v o n

C gilt: Ist ~ die Komplettierung

semilokalen Rings A und i:A--~

~ die

des

kanonische Injektion, dann

ist Reg(A) = Spec(i) -I (Reg(A)).

b) FUr ~edes B G ~

, jeden integeren FaktorPing C = B/~

und jede

endliche, rein inseparable Erweiterung A yon C gilt: Reg(A) ist offen in Spec(A). Aus a) folgt dann, dab jede Lokalisierung

B'~

eines ~bem einem B m

endlich erzeugten Ringes B' nach einem Primideal ~

(und damit jeder

Ring aus ~ ~ ) wiedem die Eigenschaft a) besitzt (vgl. [12] ). Zusammen mit b) besagt dies abet: Jedes B' & ~ B~

e ~ist

ausgezeichnet.

Bewels yon a): Zu ~ ' und dann isT Es ist C ~ ~ , yon der Form

und damit auch jedes

~ibt es elm Primideal ~ r B, so dab q ' = ~ m '

C = (S/~)m, 6(/4%, ~ L A = S -I

B/~

e ~,~

,

, und die endliche Er~eiterung A yon C ist

A' zu (A',S)e

~6/

odem A e ~ b z w .

A & ~ .

98

In den ersten belden F~llen ist dann die Behauptung gerade Satz 3.3.1., im letzten Fall ist sie trivial.

Beweis yon b): Mit B ist auch C und A a u s ~

. Die Behauptung folgt

also aus 3.3.2.

3.4. Anwendung der Regularit~tskPiterien auf die Bedingungen R k u. Sk

F ( l r die Gmundtatsachen Qber die Bedingungen R k und S k vgl. [ 7] , Chap.

IV, S 5. Satz 3.4.1.

Es sei A E ~

und ~ eln Primideal von A. Es gelte hd (D(A~))

< ~ und wenn Cham.k = p > O

ist, sei A M

D(A~ ) die Bedlngung S~, dann emfQllt A~

reduziert. Dann gilt: ErfOllt die Bedingungen Sk+ I u n d

R k (k = O,I,...). Beweis. FOr jedes Pmimideal ~ yon A mi% ~c_ ~ gilt

(~)

hd(D(A~ )) + t(D(A~))

= t(A~).

Da nach Vomaussetzung t(D(A~)) =~ Inf(k,h(~))

ist, ergibt sich

t ( A ~ ) -~ Inf(k,h(~ )) + hd(D(Aq )). Ist hd(D(A(~ )) = O~ also D(A~ ) fmei, dann ist A @ regular und

tCA~) = h(~).

99

In ~edem Falle ergibt sich daher t(A~ ) ~ Inf(k+1, h ( q ) ) . Es sei nun ein ~

mit h ( ~ ) ~ k gegeben. Dann ist t ( A ~ )

und anderePseits auch t(D(A~ )) 9 h ( ~ ). Aus ( @ )

= h(q)

emgib% sich, da~

hd(D(A~ )) = O ist, d.h. da~ A ~ ein regulamer lokaler Ring ist.

Bemerkun~ 3.4.2.

R sei ein meduziePteP noethemschem Ring, Q(R) sein

vollem 0uotien%enming, M ein endllch ePzeug%em R-Modul. Dann sind folgende Aussagen gleichwer%ig: a) M ePfOllt S I. b) FOr alle ~

E Ass(M) ist h ( ~ )

c) Die kanonische Abbildung M

= O. ~

O(R) 9 M i s t

in~ektiv.

R

Ist R sogam integem~ dann besagen die Bedingungen, da~ M tomsionsfmel ist.

Folgemung 3.4.3.

ErfOllt D ( A ~ )

die Bedingung $I~ dann ist A~

unter den Voraussetzungen von 3.4.1

eln ganzabgeschlossener Integ~itats-

bemeich (und D(A~ ) ist torsionsfPei). Beweis.

Nach dem Kmitemium von SePme ( [7] , chap. IV, w 5) ist A ~

normal. Da A ~ ein lokaler Ring ist, is% A ~

auch integeP.

100

Bemerkung 3.4.4.

Ein Modul M Ober einem Ring R heist bekanntlich

reflexly, wenn die kanonische Abbildung in seinen Bidualmodul bi~ektiv ist. Ist R e i n

ganzabgeschlossener noetherscher InteEritats-

bereich und M ein endlich erzeugter, torsionsf~eier R-Modul, so sind nach [ 21] , Prop. I folgende Aussagen aquivalen%: a) M i s t

reflexly.

b) Jede R-regulate Folge (a,b) ist auch M-regular

Fol~erung 3.4.5.

Ist D ( A ~ )

reflexiv, dann erfQllt A ~ Beweis. Wit setzen A ~ Abbildung

D(R)

>

unter den Voraussetzungen von 3.4.1.

die Bedingungen S 3 und R 2.

: R. Wenn D(R) reflexiv ist, dann ist die O(R) | D(R) injektiv. Nach 3.4.2 erfQllt D(R) R

die BedinEung S I u n d

nach 3.4.3 ist R e i n

ganzabgeschlossener Inte-

gritatsbereich und D(R) ein torsionsfreier R-Modul. Nach 3.4.4 ist jede R-regulate Folge (a,b) auch M-regular. Es sei ~ e Spec(R) mi% h ( @ ) = r 9 I gegeben und q'K ~

ein Prim-

ideal mi% h(q' ) = I. Wit wahlen a~ ~' , a # 0 und setzen R = R/(a), =~

/(a). Dann is% h( ~

) = r-1 9 O. Da R die Bedingung S 2 erfQllt,

101

erfOllt ~ noeh $I, d.h. es ist ~ ~

Ass(R) und ~ enthalt einen

Nichtnullteiler ~ yon R. Es folgt, dab ~ eine R-regulate Folge (a,b) enthalt. Da diese auch M-regular ist, f61gt

t(M ~

) ~ 2 =

= Inf(2,h(~)). Mithin erfOllt M die Bedingun ~ S 2 und nach 3.4.1 erfUllt R die Bedin~ungen S 3 und R2. Satz 3.4.6 fOllt A ~

~ sei ein P~imideal von A e ~

und hd(D(A~))

9 I. Er-

die Bedingungen Sk+ 1 und Rk, dann emfOllt D( A~ ) die Be-

dingung SkBeweis. q ~

~

sei ein Primideal yon A. Ist h ( ~

aus Rk, da~ hd(D(A~ )) = 0 ist, und aus ( ~ ) t(D(A~

)) = t(A~ ) = h ( ~ ) .

ist naeh Sk+ I

auch t ( A @

t(D(A~ )) ~ T ( A ~ )

Folgerun~ 3.4.7.

) 9 k, dann folgt

er~ibt sich

Is% anderemseits h( ~ ) ~

) 9 k+1 und aus ( ~ )

k + I, dann

ergibt sich

-I ~ k. In jedem Fall ist also t( D( A@ )) ~ Inf(k,h(~)).

Ist A ~

unter den Voraussetzungen yon 3.4.6 nommal,

dann ist D(A~ ) torslonsfrei. Folgemun~ 3.4.8.

E~@Oll% A ~

unter den Vomaussetzungen yon 3.4.6.

die Bedingungen S 3 und R2, dann ist D(A~ ) reflexly. Beweis.

Wim setzen wieder A ~

= R. R ist no~m~l und D(R) erfQllt naeh

102

3.4.6 die Bedingung $2, ist daher insbesondere torsionsfrei. (a,b) sel eine R-regulate Folge aus dem

maximalen Ideal yon R.

Da D(R) tomsionsfrei ist, ist a auch Nichtnullteiler for D(R). Da D(R) sogar S 2 emfOllt, erfOllt D(R)/ad(R) als R/(a)-Modul noch dieBedingung

S 1. D a b

Nichtnullteiler for R/(a) ist, ist b nach

nach 3.~.2 auch NichtnullteileP fOP D(R)/ad(R), d.h. (a,b) ist auch eine D(R)-regulare Folge. Nach 3.~.4 ist D(R) reflexly.

3.5.

CharaktemisierunE lokaler vollstandi~er Durchschnitte:

R sei ein noetherscher lokaler Ring, der sich als Faktorring eines megularen lokalen Rings schreiben l a ~ t . ~ s e i

das maximale Ideal yon R.

Es gibt dann immer auch einen regul~ren lokalen Ring S und ein Ideal r

yon S, so da6 gilt:

Ideal yon S, so ist ~

R = S/~

, dim S = p ( ~ ) .

~v ~ und jedes regulate

S geht bei der Abbildung S

Ist ~ das maximale

Parametersystem von

R Ober in ein kOrzestes Emzeugenden-

system v o n ~ .

Satz

3.5.1.:

enthalten, ~

$1, S 2 seien regulate lokale Ringe, die einen K6mpem s

S i Ideale (i=1,2), so dab gilt:

~03

S1/utr

R=

$2/~ ) und dim S 1 = dim S 2 = p (~).

Dann sind die R-Moduln

~%4/O~2und

Beweis: a) $I) 3 2 seien komplett.

o~/o~isomomph Da S 1 formal glatt im Sinne yon

GPoThendieck Ober dem in S I enthaltenen PPimk~rper ist (vgl. [ 7 ] Chap. O, w 19)) gibt es einen lokalen Homomomphismus

~ : S1

>

$2)

der das Diag~amm

~t

,S1

/

$2~ kommutativ

macht. ~

)_ R

fOhrt ein regulames Parametersystem von S I

in ein regul~res Parametersystem yon S 2 0 b e m Isomomphismus

der RestklassenkOrpeP.

und induziemt einen

Da beide Ringe komplett sind) 4

ergibt sich sofort, daS ~ ein Isomomphismus ( ~ i ~" ) = ( ~ )

ist. Insbesondeme

ist

und es folgt die Behauptung. Dann is% R=

b) SI) S 2 seien beliebig. Aus a) und wegen o(,( Si =

~

9 ~ Si

$1/,r

$1 =

$2/ ~'f'~ ~

ergeben sich folgende Isomorphis-

yon R-Moduln: A

R

A

S2

SI

~,

~t, I $1 lot, 4 $1= or S1

A

S2

R

S2/(~r, ~ S2-

IO4

Es erEib% sich hieraus~ da~

~/

o~4~ und

~IC%&

als R-Moduln iso-

morph sind (vEl. [ 7] , Chap. O, 7.8)

Is% R = S / ~ ,

wobei S ein ~eEul~re~ lokaler Ring ist, der elnen

K6mpem en%hal% und dessen Dimension = q (,~v) is%, dann bezeichnen wiP den nut yon R abhangenden R-Modul ~ t / ~ ~ mi% T(R).

BemerKung 3.5.2:

T(R) ~ TOrsI(R,R).

Beweis. Aus dem exak%en FolEe yon S-Moduln 0

~ ~

~

S

~

R

emEibt sich dutch TensoPierun E mlt R = $7(~ die exakte FolEe

0

TOrSI(R,R)

~

~I~

>

S/C~

---~

......

Da ~ / c ~ ~

~

S/c~ die Nullabbildun E ist, folEt die BehauptunE.

Is% A 9 ~

, dann gibt es immer einen reEula~en lokalen Ring F6 ~ .

so dab A in der anEegebenen Am% Fak%orrinE von F isz.

Sa%z 3.5.3:

A 6 ~

sei reduzier%. Dann sind folgende Aussagen

aqulvalen%: a) A is% ein lokaler volls~andiger Durchschni%%. b) T(A) ist ein fmeier A-Modul, c) T(A) erfOli% S I u n d

es is% hd(D(A)) ~ I.

~

0

105

Beweis. a)~---~ b). Sehmeibt man wie oben angegeben A : F / ~

,

und ist A lokalem vollstandiger Durchsehnitt, dann w i m d O ~ v o n

seiner

F-regularen Folge emzeugt und es emgibt sieh, da5 T(A) = ~ / r ein fmeier A-Modul ist, ([7] , Chap. O, (15.1.9)).

Umgekeh~% sei diese Bedingung jetzt erfOllt. Ist d a n n ~ Primobe~ideal yon ~ , so ist c% F~ Ferner ergib% sieh,weil F ~ dim(F~

)

~F~

, well A reduziert ist.

megulam ist,

= q (~)

Dies zeiE% , daS dim(F/~ )

=

ein minimales

: dim (F) - dlm(F/~

).

fOP alle minimalen Pmimobemideale yon

dieselbe Zahl is%, namlich dim F / ~

= dim A. Aus q ( ~ )

: dim F -

- dim A folEt, da~ A lokalem vollstandiEem Dumehschnit% is%.

b)~---~ c). und~

Es sei wiedem ~

ein minimales Pmimoberideal yon

sein Bild in A. Dann hat man eine exakte FolEe 3.1.2: 0

~

~.F ~ /~

F~

>

D(F~

)/ ~

O(A) sei den volle Ouo/ien/enring yon A und ~ malen Primideal yon A. Da O(A) = " dem kommutativen Diagramm

A~

D(F~

) ~

D(A~ )

durehlaufe die mini-

ist, ergibt sieh, da~ in

-- O.

IO6

D ( F ) / ~ D(F) r

Q(A) 9 c ~ l ~ ~ A

~

Q(A) 9 D(F)/c~ D(F) A

*

D(A) Q(A) ~ D(A) A

m

0

~

0

aueh die untere Zeile exakt ist. Ist nun T(A) ein freier A-Modul, dann &

iSt die Abbildung ~ / auch o~/ o~

>

o~ ~

~

D(F)/~D(F)

O(A) 9 ~ / c ~ A

injektiv. Dann ist abet

injektiv und es folgt, dab hd(D(A))~ I

ist, da nach 3.2.2 auch D ( F ~ D ( F )

ein freier A-Modul ist.

Ist umgekehrt c) erfOllt, dann folgt aus S I u n d

3.4.2 wie eben, dab

die Folge 0

>

o~l~t ~ ~

D(F)/c~D(F)

~

D(A)

~

0

exakt ist. Wegen hd(D(A))~ I ergibt sich, dab T(A) = ~ / ~ f r e i

Folgerung 3.5.4.

(vgl. [ 9] , [ 17] und [ 2~ ] ). A e

~sei

ist.

reduziert

und vollstandiger Durehschnitt. Genau dann ist A normal, wenn D(A) die Bedingung S I erfGllt. Genau dann e~f~llt A die Bedingung R2, wenn D(A) reflexiv ist.

3.6. Eine verzwei~unEstheoretische Anwendun~. A ~ B seien zwei Ringe.

I07

Definition 3.6.1. (oder B@

Ein Primideal ~ yon B heist unverzweigt Ober A

heiBt unverzweigt 8bet A), wenn gilt: Ist ~ = ~ ~ A, so

ist ~ B @

= ~B~

und B ~

/~

B~

ist separabel algebraiseh Gber

I V A? Lemma 3.6.2.

B sei eine endlich erzeugte Ringerweiterung yon A,

ein Primideal von B. Genau dann ist ~ B~

UD(x-)

=

o

i

unverzweigt Qber A, wenn

t.

Der Beweis ergibt sieh leieht aus [ 2 ], Satz I. Satz 3.8.3. (vgl. [iO] ). A S B seien Ringe aus ~ .

B sei endlieh

erzeugte A-Algebra und flaeh 8bet A, B sei reduziert und f~m jedes minimmle Primideal ~

yon B sei der KSrpem B W

KOrper A ~

~ A). Die Lokalisiemungen yon A und B naeh

( ~ = ~

separabel Ober dem

allen maximalen Idealen seien vollstandige Durchschnitte. A ePf~lle die Bedingung R I. Dann gilt: Jedes Ober A verzweigte Pmimideal yon B enthalt ein vemzweigtes Pmimideal der HOhe I. Beweis. FOP jedes minimele Primideal ~ yon B ist die Folge

0

-- B~ |

D(A)

~

B~|

D(B)

exakt~ weil naeh Voraussetzung BW

~

B ~ OB UD(~)

~ber A~

~ 0

sepamabel ist ([ I], Satz 5).

108

Ist Q(B) der volle 0uotientenring yon B, so ist Q(B) = ~ wenn ~

B~

,

alle minimalen Primideal yon B durchlauft. Man erhalt ein

kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen

A

0

r

r

Q(B) ~) D(A)

~

r

O(B) | D(B)

A

>

Q(B) |

B

B

UD 7[ ~

O.

B

Da A lokal ein vollstandiger Durchschnitt ist, ist hd(D(A)) 9 I nach 3.5.3.

Da A die Bedingung R I erffillt, ergibt sich aus 3.~.6, dab D(A)

die Bedingung S I erffillt. Da B fiber A flach ist, erffillt auch der BModul

B @ D(A) die Bedlngung SI, denn nach [ 7 ] , Chap. IV, 6.I und 6.3 A

ist ffir jedes Primideal ~

von B einerseits

= dim(D(A)(~) + dim B~ /~ B~ , wenn ~ = ~ t(B@ | B~

D(A)~)

=

A ist, anderemseiZs

D(A) ~ ) : t(D(A)~ ) + t(B@ /~ B~ ). Benutzt man, dab die Ringe

und A ~

Cohen-Macaulayringe

Formeln for B~

und A q

dab dim B~

B~

SIvon

dim(B~ O

/~

sind, so liefern die entsprechenden

ansTelle von

= t(B~

/~

B~

B~

|

D(A)~

und D(A)~

sofort,

) ist. Hieraus folg%, dab sich

D(A) auf B @ D(A) fibertr~gt: A

t(B~| D(A)~) A

-- t(D(A)~ ) + t(B~ / ~ . B ~

) -~ Inf (I, aim A T ) +

+ t(B~ / ~ ' B ~ ) -~ Inf(1, dim A~+ t(B~ / ~ . B ~ )) = Inf(1, dim B? ).

IO9

Nach 3.4.2 isT dann

B ~ D(A)

Q(B) @ D(A) injektiv und aus dem A

obigen Diagramm folgt die Exaktheit der Folge

O

9 B @ D(A) A

~ D(B)

0

Da B lokal vollstandiger Durchschni%% und reduziert ist, ist hdB(D(B)) ~ I. Ferner is%

hdB(B ~ D(A)) ~ hdA(D(A)) ~ I. Es folg% A

hdB(UD ~ )) ~ I Die verzweigten Primideale yon B Ober A bilden nach 3.6.2 gerade den T1~ge~ yon UD(B). Wi~ zeigen, da~ Ass(UD(~))nut aus Primidealen der H6he = ~ I besteht: Is% ~ ein Primideal des Tragers yon UD (~) mit h( ~

) ~- 2, dann is%

B~

Bq

110

Absolute Re~larit~t.

4* l*

Kennzeichnan~ absoluter Regularitgt mit Hilfe des Differentialmoduls

Es sei A ~ ~ , ~ j

oder ~

Definition 4.1.1.

A~

und ~ ein Primideal von A.

heiBt absolut resulgr Gber k, wenn fur jeden kompletten

bewerteten OberkSrper K des GrsndkSrpers k und Jedes Primideal ~ pererweiterung A = A @ K (vgl. 1.4. ) mit ~ k

n

A = ~

der GrundkSr-

der lokale Ring A ~

regular

ist. Bemerkun~

Ist A ~

abselut regul~r ~ber k, so ist A ~

~eometrisch re~ulgr

~ber

k i.S. yon [7], chap. IV, d.h. fGr jeden Uber k endlichen KSrper K ist der semi ~ lokale Ring A ~ Beweis:

K = (A ~k K ) ~

regulgr.

K ist als endliche Erweiterung des kompletten bewerteten KGrpers k

komplett bewerteter OberkSrper yon k und es ist A ~ K = A @ K. k k Wir wollen Kriterien f~r absolute Regularitgt mit Hilfe des in 2.2. und 2.~. definierten Differentialmoduls D(A--~k) = D ( ~ ) ~ A ~ Definition 4.1.2.

gewinnen.

In diesem Paragraphen bedeutet ~D(A) stets den in 2.2. und

2,3. definierten Differentialmodul Gber k: D(A) = D(~). Anders als in # 3 wird hier nicht vorausgesetzt, dab [k:k p] 0 ist. Lemma 4.1.).

B ~ A seien Integrit~tsbereiche aus

endlich Gber B. Dann ist

~(D(B[,)))

, ~oder

~(D(A~,))). Ist

~

und A sei

A(o)Gber B~,) separabel,

dann gilt das Gleichheitszeichen. Beweis:

D(~(oJ ist die universelle Ausdehnung yon D(B(o)). Die Behauptung ergibt

sich unmittelbar aus der Konstruktion der universellen Ausdehnung.

([l~,Satz 5),

falls A (,)Gber Bt,) yon einem Element erzeugt wird. Auf Grund der Transitivit~t der universellen Ausdehnung folgt sie dann allgemein. Lemma 4.1.4.

B ~ A seien Ringe aus ~ ,

~

oder ~

Ferner sel B integer und A sei B-torsionsfrei, und D C B ~ ) Beweis: A

sei ein freier B~- Modul. Dann ist Es sei ~

_c ~

~

B

~ ~(DCA~)).

ein minimales Primideal yon A. Dann ist ~W~nB ~ (0), da

~(D(A/~)~e) ) _> ~(D(B(~))). Da D ( B ~ ) f r e i

Satz 4.1 ~.

ein Primideal von A, ~ = ~

~(DCBo/))

B-torsionsfrei ist. Man hat eine Injektion B

ergibt sich jp(D(B~))

und A sei endlich Gber B.

= f(D(Br

Ist A ~ ~ ,

is~, ist ~ , ( D ( B ~ ) ) =

) _~ ~(D(A/~)(o)))

~,z oder ~" und ~

f(D(A~))

) A/~,~ und nach 4.1.3. ist

>_ d i m ~ A

f(D(B(o)) ). Es

z f(D(A/44)~))

_z f (D(A~)).

ein Primideal yon A, so ist stets

112

$o

Beweis: A I .. A/~o

c ~

sei ein Primideal yon A mit dim A/~ o

gibt es einen freien Ring B - kB{ ]~ "_ A' ,

, ~ l i o h ~b.r B i , t

~. ,.i ~i

ist ein freier B~-Modul. Lemma 4.1.6.

. ~/~o

. Dann ist A ~

und D ( A ~ ) = A~ A ~ D ( A ~ ) .on A ~ibt ~

dab

A'

~ -

~(D(B~))

_~ ~(D(A'~')) _4 ~,(D(A~)).

und K sei ein kompletter ~ewerteter Ober-

treuflach Uber A ~ (folglich dim A #

(folglich f ( D ( A ~ ) )

ein P~i.lde~Z e

Nach 1 . 4 . 4 .

ist

~o(~( e i n e maximale durch ~

.... (~-

E dim A ~ )

f(D(A~))). Zu jedem Primideal ~nd d i ~

~ber A, f o l g l i c h

~ ~_ dim~A.

auch A#~ ~ber A ~ .

in A mit

~(~h+~(...

~n

Mithin gibt es ein Primideal ~..~ ist treuflach Gber A # . . 4 .

Die

Es s e i J e t z t

(

gehende P r i m i d e a l k e t t e yon A. Da A t r e u f l a c h

gibt es ein Primideal ~.

idealkette in A

-

in ~ ~it ~ ~ A - ~

A treuflach

z w e i t e Behauptung f o l g t aus 2 . 5 . 2 .

A~..4

~

so

sei ein Primideal yon A und ~ ein Primideal yon A = A | K

mit ~ n A = ~

A~..

~nd

Nach 4.1.4. folgt n -

Es sei A ~ ~, ~ ,

kSrper yon k.

Beweis:

= d i m ~ A = n. In

A = #~ ( ~.

und A # . mit

~ber A i s t ,

ist treuflach Gber

#Pn-~ ~

A = ~a.~

und

So fortfahrend, konstruiert man eine Prim-

113

~ o C ~I

.it

C ...

C ~h "

~i ~ A - ~i (i-O,...,n).

Satz 4 . 1 . 7 .

~ C ~h+4 C ...

C ~n

Es rol~t d i ~ ~ > d i ~ A .

Es sei A s ~ / , O ~ = , I

und ~

sei e i n P r i m i d e a l , v o n A. Dann sind

folgende Aussagen ~qaivalent: f ( D ( A ~ ) ) ~ dim~ A (und damit auch nach 4.1.5.

b)

f(D(A#)) = aim~A).

Zu jedem vollkommenen kompletten bewerteten OberkSrper K yon k existiert in = A ~ K sin Primideal

~ mit ~ ~ A = ~ , so dab A ~

regular ist.

b') Es gibt einen vollkommen kompletten bewerteten OberkSrper K yon k und in = A~K k

sin Primidsal ~

mit ~

A - %,

Aus den Bedingungen a), b), b') folgt, dab A # A#-Modul Beweis:

so dab A ~

regulKr ist.

regular und D(A~)

ein freier

ist. Aus a) folgt b): Nach 4.1.6. gibt es in A sin Primideal~

n A = ~

und dim~A ~ dim#A.

Es folgt f(D(A#))

= f(D(A~))&

Da K vollkommen let, regibt sich aus 3.2.1., dab A ~

regulKr ist.

mit dim#A ~ dim~A.

Nach 3.2.2. ist D(A#)

ein freier A#-Modul.

Da A ~

A~

ein freier A~-Modul.

Dies zeigt, dab aus b) die letzte

regular und D(A~)

Behauptung des Satzes folgt.

treuflach Gber A ~

ist, ist auch

11~

Aus ~') folgt a):

~' sei ein minimales Primoberideal yon ~ A mit

Dann ist auch A~

regul~r und treuflach Gber A ~ dim A~, = dim A ~

,eil dim (A/~ A)~' - dim A ~

= dim A/~

= f(D(A~.))

= dimr

~'~

~

.

und folglich ([7~, chap. IV, ~ 6 )

+ dim (A/~ A)~'

= dim A ~ .

= 0 nach Wahl yon ~' . Andererseits ist dim A/~' ~ dim A / ~ A und es ergibt sich dim ~, A ~ dim~A.

=

Es folgt ~ (D(A~)) -

~ dim~A.

Wir bezeichnen im folgenden mit

~

die volle Unterk~tegorie yon

&~'m , bestehend

aus allen Restklassenringen von konvergenten Petenzreihenringen Gber k, analog mit ~ ' d i e volle Unterkategorie yon ~ ,

bestehend aus allen Restklaseenringen yen

formalen Potenzreihenringen Gber k. Alle minge aus

~J

und

~'sind

lokal mit

dem RestklassenkSrper k. Wir benutzen das bekannte Lemma 4.1.8.

Es sei A s ~ ,

~' und x4,.. ,Xn ein Parametersystem yon A. Dann

ist ein Ringhomcmorphismus ~: k[{X,,...,Xn} ~

) A, der X i in x i ~berfUhrt,

injektiv und A ist ein endlicher Modul Gber dem Bild k~{x4,.. ,In}~ yon ,. Ist umgekehrt A endlich Gber einem freien Unterring k[{X ,...,Xn}~, dann bilden X~,...,X n ein Parametersystem yon A. (FGr A ~ ~ m ' Satz 4.1.9. ~(D(A~))

Es sei A ~ ~ , ~ n ~ dim A = n i s t .

,

Dann gibt

und ~

vgl. [3], exp. 18, Th l,Cor. 3).

ein Primideal yon A, soda8

es einen

rreien

Unterring

B = k[{}~

yon A, so dab A endlich ~ber B ist (kurz: eine Noethersche Normalisierung yen A)

115

und dab A S

Uber B ~

Abbildung B ~

( ~ = ~n

~ A~

diesem Fall ist A ~

B) unverzweigt ist (vgl. 3.6.1.) Die kanonische

ist genau dann injektiv, wenn d i m ~ A unverzweigt und flash Gber B ~

= dim A gilt. In

( 9 ~tale" i.S. yon Grothendieck

[8], e p.l). BeweisL

a)

A ~ ~.

Wit zeigen zuerst, dab es gen~gt, maximale Ideale zu betrachten.

Iet f ( D ( A ~ ) ) - m, so gibt es e i n s yon A m i t s ist ~

$ ~

= ~4~,

auoh wenn ~

#(D(A~))

9 mist.

~ ~(D(A~)))~

Da A ein Jaaobson Ring ist (vgl. [25]),

von A nit ~

damit ~quivalent, dab D ( B ~ )

= D(~)~

D(~)

0

Es sei ~etzt ~

= ~

A~= A4~

2 ~

durohlKuft.: Es

und s ~ ~ ,

d.h.

dim A. Es sei nun schon ein noethersche Normalisierung

gefunden, so dab A4~ unverzweigt ~ber B ~

- (D(~) ~ A ~ ) -

so dab fur alle Primideale

alle maximalen Ideale yon A mit A~z 9 ~

gibt folglich ein maximales Ideal ~ f(D(A4~))

s A, , ~ ~ ,

und A ~

(~

A4~=

-~

0

n B) ist. Nach 2.2.8. ist dies

ist. Dann ist aber auch

ist anverzweigt Gber B ~ .

ein maximales Ideal yon A. Nach 1.1. 4 . gibt es einen freien

Ring k ~ A m~t X4,...,X n 6 ~ ,

so dab A endlich Gber k

int. Es sei A ~ s A die v-Algebra aller in A potenzbeschr~nkten ~lemente (vgl.[25],

[29] ). Setzt man B e = v , so ist B ~ & A ~ und A ~ ist ganz Gber B o. Ferner ist A - k.A o.

116

Wegen A = k.A ~ gibt es ein System yon Elementen ~ " ' ' ' Y m ~ Ao' deren Differentiale dyl,...,dy m ein Erzeugendensystem des Differentialmoduls D ( A ~ ) = D(A) ~ A ~ bilden. m -

Da man a u s j e d e m E r z e u g e n d e n s y s t e m

# ( D ( A 4 a ) ) angenommen w e r d e n

ein minimales

Vir setzen

ausw~hlen kann,

q (q s M). X~= y ~ + X4

darf

Dann i s t

auoh

X~ ~ A o. Wie i n 1 . 1 .

sei

jetzt

die Restklassen

t eine Nichteinheit

yon X4,...,Xn,

so ist

a u s v und Ao =

Bo " k [ X 1 " ' ' ' X n ]

AJtAo" ~ i n d

X~,...,Xn

g Ao

d a s B i l d y o n B~ i n Ao

und Ao ist ganz ~ber Bo. X~ bzw. y~ seien Restklassen yon X~ bzw. y~ in i o. Dann hat man eine Gleichung

- ~ + P~( R )Y. -~'~ Y~ --

Setzt man hierln

+ '"

+ ~r (~)

.. o

(Pi(X) g ~[X~,...,Xn])o

-q

y~ = X" -- X#

ein und denkt sich q genfigend groB gewRhlt, so

erhRlt man eine Gleichung f~r X~ mit hSchstem Koeffizienten 4 Koeffizienten

aus ~[X~,X2,...,Xn].

~[X~,X2,...,Xn] ist, und da Ao ~ n z

Es f o l g t ,

und ~brigen

d a b ~[X:,X2,...,Xn] ~ n z

~ber

~ber ~[X~,...,Xn] ist, ist A O a=ch ganz

Aus [25], ProP. 4.2. folgt nun, dab A endlich ~ber k iet! aus Dimensionsgr~nden ist k frei. Aus der Gleichung X~ - y~ + X ,

q

ergibt sich dX I = dy~ + qX -a dX4. Well X~ g ~

ist, bildet dXT,dY2,...,dy m

117

n a c h dem Lemma v o n Nakayama e b e n f a l l s Setzt man Jetzt X' 2 = Y2 + X~

ein kitrzestee

mit geeignetem q 6 ~

Erzeugendensystem

yon D(A~).

, so ergibt sich auf die

gleche Weise, dab k> yon A, so dab dXJ,...,dX~ ein kGrzestes Erzeugendensystem yon D ( A ~ )

bilden. Dann ist D ( ~ )

d.h. A ~

let unverzweigt Gber B ~ ( ~

~ ~)

b)

0(~, ~ . Char. k = p > O.

!

A s

= ~

- D(A~)/A.dB

l

Es eel zun~chst ~ (D(A)) ~ dim A

- ~

das maximale Ideal yon A. Wir zeigen, dab die Bedingung

die ~egularit~t des lokalen ~ings A nach sich zieht. Iet dann

{X4,...,Xn} ein regulKres Parametersystem yon A, so ist A = k[{X4,...,Xn} ] und die Behauptung ist trivial. Nach 2.4.2. gilt D(~) = ~ @ D(A). Wit brauchen A daher nur den Fall A g ~' zu betrachten. Da A den RestklassenkSrper k besitzt, ist nach

L2],

Satz I

DCA)/~DCA) Aus

f(D(A)) ~ dim A

Es sei Jetzt ~

~.

.itai,. leA, e

~

~ / ~

folgt nun die Regularit~t von A sofort.

{dz4,...,dZr} sei ein Erzeugendensystem yon D ( A ~ ) ,

4

i.t, gibte.

zi - - ~ s~

+ r . de, i.t

- 0,

118

a.-x zi = six

~ "~i

- - ~ ~' mit ai,s i

auch d~4,...,d~r,d~ Elemente y~ ,.~

ii ~ 3"

,...,d~ t e i n

Da dz i

=

Erzeugendensystem

~ ~t gibt, deren Differentiale

Erzeugendensystem

yon D ( A ~ )

sld~jffi-a a~ds.i let, bilden yon D ( A ~ ) .

dyf,...,dy m ein k~irzeetes

bilden.

Es sei nun B = kL{XI,... ,Xn} j c A irgendeine Noethersche Dann ist X4,...,X n ein Parametersystem

Normalisierung

seien die minlmalen Primideale yen A. O~

t

9 ~

~ i~ ~i

yon A.

yon A und folglich A - A/(X2,...,Xn)

lokaler Ring der Dimension I. Y4 ~ ~ sei ~ie Restklasse yon y~,

D~.~.~/'~ ~ i

Es folgt~ dab es

ein

~"'''~t

d~rfen wit annehmen,

da~

(Bou~b~ki, Alg. ~ o ~ . , oh~p. II, I ~' P~op.2), glbt., . i ~

-~/(X2,...,Xn)" i t

W• ~ . t ~ n ~

- ~

+ ~P. ~ n n ~ t X--~~ ~ ,

dim A/(X') - O. Ist a ~ ~

x~,x2,...,x n

ein Repr~sentant

X--~ ~ ~ • ( i - ~ , . . . , t )

yon ~, so ist X,, = yw + mP ~

ist ein Parametersystem yon A. Nach 4.1.8.

eine Noethersche

Normalisierung.

dX~ ,dY2,... ,dy m ein minimales Fortsetzung des Verfahrens

~n~ fo~glioh

let

und

k[{X~,X2,...,Xn} I ~ A

Ferner ist dX~! = dy~ und daher auch

Erzeugendensystem

yon D ( A ~ ).

liefert eine Noethersche

Normalisierung

B' = k~{X~,...,Xn} ~

119

c A,

s~da8

dX1,... , ' dX'm ein kGrzestes Erzeugendensystem von D(A~ ) ist. Es folgt

D(-~B ) = 0 und A % c)

A ~ ~I

,

ist unverzweigt Gber B ~

, Char. k = O.

In diesem Fall hat man eine exakte Folge (vgl. ) ~A#/#2A~

~ D(A#)/~ D(A~)

und es ist f ( D ( A # I ~ A ~ ) ) durch

Induktion

nach

3.1.2.) ~ D(A#/~A~)

~0

= dim A/~ . Wir beweisen die Behauptung des Satzes

n = d i m A.

Filrn - 0 ist D ( A ~ ) = O, f o l g l i c h

#A~

= 0. Da das maximale Ideal von A

~ist,

folgt A - k und die Behauptung ist trivial. Es sei jetzt n > 0 und die Behauptung sei fur Ringe niedrigerer Dimension sohom bewiesen. Wenn dim A / ~ ~A~

- O, also A T

Char. k = 0 ist, A ~

= dim A ist, dann ergibt sich aus der exakten Folge, dab

ein KSrper ist. ~dr Jede Normalisierung B g A ist dann, well unverzweigt Gber B ~ ( 9

ES sei daher dim A / ~

= ~

< dim A und { ~ t . . . , ~ t }

yon A mit dim A / ~ i = dim A. Ferner sei ~

~ B). sei die Menge der Primideale

die ~ - P r i ~ o m p o n e n t e

die Menge aller a ~ A, fur die es ein s g A, s ~ ~ - ~, dann ist ~ A ~ oben.

= ~2A~,

folglich ~ A ~

- 0

von ~ 2 ;

gibt, so dab sa ~ 2 .

~ ist Ist

und wir sind fertig wie

120

Ist ~

4 ~,

dann gibt es ein X I s

~,

X4 ~

(.b

~i ) U 9

comm., Chap. II, ~ i, Prop. R). Es ist dann X 4 s ~ A ~ ,

(Bourbaki,

XI ~ 2~.

Alg.

Setzt man

Z - A/(XI) , 4 " ~/(X4)' so ist dim A - dim A - 4

J' ( ~ A ~ )

-~

Aus der sxakten Folge

o.

~9.~#/#2~:~

- (A/~)~

~ D(~#)I#D(~9)

~ D(~#),

erglbt sioh f (~(~)) ~_ di= Z.

Ist B - k~{X2,... ,Xn}] s A elne Nol~malislerung, so dab A ~ Bf

ist ( ~

for die A S

=~

~0

unverzwei~ Uber

~ B), dann ist B = k[{X 1,x2,...,xn} ~ .r A eine Normalisieruag

unverzweigt ~ber B ~

ist ( ~

- ~

B), Denn {X4,X2,...,Xn} let sin

Parametsrsystem yon A, wei ! X2,... ,Xn ein Par&metersystem yon A ist und dim i = dim A/(X4) - dam A - 4. Ferner folgt aus ~ A ~

fA~# = 9 A ~ d)

ist, da

9 = ~/(X~) ,,-d ~ -

M/(X~)

= ~@,

dab auoh

ist.

Wit beweisen jetzt die zweite Beha~pt%mg des Satzes.

Es sei B ~ A sine Normalisierung, so dab A ~ let, ~= B$t

)A~

sei der zugehSrige Homomorphismus der lokalen Hinge. I~nn

ist SAm A - ai= 8, dim A/~ dim B - dim B ~

unvsrzwei~ Uber Bst ( W " ~ n B)

= di= ~/~ . di=~A - aim A ~

§ ai= A/~

+ dim B/~ , da B integer ist. Es gilt daher stets aim

und d i m ~ A - dim A gilt gen&u dann, wemm aim A ~

- dim B ~

ist.

~a

A~ z

SAm B W

121

Ist @ nicht injektiv, dann ist dim ~(B ~ ) < dim B ~ , weil B ~ erseits ist A T quasiendlich ~ber ~ ( B ~ ) und daher dim A ~

integer ist. Ander -

9 dim ~(B~ ). Es

folgt dim~ A < dim A. sei Jetzt injektiv. Da B ~

rlaoh ~ber B~ dim A ~

normal ttnd A ~

unverzweigt ~ber B y

(vgl. et,a [8], exp. 1), al,o ,ogar tre,rlaoh.

~ dim B ~

ist, ist A T

~, rolgt

und daher die Gleichheit.

Bemerkungen: i)

Der 8atz gilt auch f~r affine k-Algebren A = k[z4,...,Zr]

mit trivial bewertetem Konstantem KSrper k): Ist ~ (D(A~))

(affinoide Algebren

ein Primideal yon A und

& dim A, dann gibt es elnen Polynomring B ~ k[X4,...,Xn]

A endlich ~ber B ist und A ~

unverzweigt ~ber B @ ( ~ - ~

~ A, so dab

A). Der obige

Bewels in a) ist auf dlesen Fall wegen der Wahl der Nichteinheit t in v nicht anwendbar, doch kann man im affinen Fall den Beweis sofort analog wie in a) zu Ende fUhren. 2)

Der Satz gilt nicht fur beliebige Hinge aus ~ R

bzw. ~ : Es sei k ein unvoll-

kommener K~rper der Charakteristik p und ~ ~ k ein Element mit

~

~ k. k[X]

sei der formale Potenzreihenring in einer Variablen Uber k und A = k | X ~ [ ~ - ~ Dann iet A ~ ~ ,

].

A ist ein kompletter diskreter Bewertungsring mit dem Restklassen-

122

kSrper ~ = k[ ~

]. AUS der Konstru/(tion der universellen Ausdehnung ([2],

Satz ~) ergibt sioh sofort, dab der Differentialmodul D(A) elm freier Modul vom Rang ~ ist. Es gibt jedoch keine Normalisierung B = k[X'~ c A, so da8 A unverzweigt ~ber B ist, weil der RestklassenkSrper

~ = k[~

] inseparabel ~ber

k ist. Lemma 4.1.10.

E, sei A (~ 0(, 0 ~ ) ~ und B = k[{}~ ~ A sei eine

Noethersche Normalisierung yon A. ~ sei ein Primideal yon A, ~ = ~ /% B und es sei B~

)A~

injektiv und A S

~ber B ~

unverzweigt. Dann ist fGr jede

GrungkGrpererweiterung A = A @ K und Jedes Primideal ~ k a u o h B - KL{}~

B~

)A~

Beweis: ist B

)A

yon A mit ~ n A =

eine Noethersche Normalisierung, for die

Injektiv ( ~ = ~ ~ B) und A ~

unverzweigt ~ b e r Bo~ ist.

Da A endlich Qber B ist, ist A = A @ B und A ist endlich ~iber B, mithin B ) A injektiv. Da B~ ------9A ~

folglioh flach Gber B~

injektiv und A~

ist, ist B~ @ B

) A$~ B

unverzweigt ~iber B~

injektiv und A $ O B fl,oh

B

B

=

gibt sich, dsB X ~

OB B)~

flach aber B~

= D(~)

| A~

A~

= O, well A ~

B

= (A~@B :)~

und analog :~

B)

ist, folglich treuflach, und B~-----, : ~

ebenfalls injektiv. SchlieBlich ist D ( ~ )

und

= D(~) ~ A # = D ( ~ )

unverzweigt ~ber Boy ist,~"s~omit ist A ~

~ ~

erist =

unverzweigt

123

~ber B W ' Folgerung 4. i. iI.

Unter den Voraussetzungen yon 4.1. lO ist A ~ absolut regular

Gber k. Bewels: BW

Da A ~

treuflach Gber B ~

ist, ist dim A~-~dlm B ~ .

ist, wlrd dab maximale Ideal yon A ~

Z dim A ~ .

yon ~ B W

Da A ~

erzeugt. Da ~

unverzweigt Gber regular ist

Es fol~, dab fiberall das Gleiohheltsseichen gilt ttnd somit, dab A ~

reg~l~r ist. Satz 4"1"12.

Es sei A c ~ ,

~

oder ~',

~ ein Primideal yon A mit dim A =

= dim~ A. Dann sind folgende Aussagen ~quivalent. a)

dim A _~ fCDCA~)).

b)

Es gibt eine Noethersche Normalisier~ng B & A, so dab B ~ und A~

c)

A~

unverzweigt ist Gber B ~

) A~

injektiv

( W = ~ ~ B).

ist absolut regular Gber k.

c') Es gibt einen vollkommen bewerteten OberkSrper K yon k und in A = A ~ K ein k Primideal ~ d)

Bit ~ ~ A - ~ ,

so dab A ~

regular ist.

D(A~) ist ein freler A~-Modul ~md es gibt ein Primideal dim A/~

= dim A, so dab A ~

Folgerung 4.1.1~.

~ c ~

mit

absolut regulKr ist.

Ist unter den Voraussetzungen yon 4.1.12. A ~

absolut regular

Gber k und

~' g ~

ein weiteres Primideal mit dim A = dim ~ A, dann ist auch

A ~, absolut regular Gber k. Beweis:

Die Gleichwertigkeit

der Bedingungen a)- o') ergibt sich aus den

Satzen 4.1.9. , 4.l. ll. und 4.1.7. Wegen

~(D(A~.))

~ ~(D(A~))

ergibt sich jetzt die Folgerung 4.1.13 unmittelbar.

Insbesondere ist fGr jedes Primideal

~

~ ~

mit dim A/~

absolut regular. Da aus a) nach 4.1.7. folgt, dab D ( A ~ )

= dim A aueh A frei ist, ist damit

gezeigt, dab d) aus a) folgt. Ist umgekehrt D(A ~ ) frei und A ~ fiber k, dann ist dim A ~ ~ ( D ( A ~ ) ) Folgerun~ 4.1.14.

absolut regular

= f(D(A~)).

Ist unter den Voraussetzungen yon 4.1.12. A integer, so kann

man d) ersetzen durch: d')

D(A~)

Bemerkun~:

ist frei umd A

ist absolut regular Gber k.

Satz 4. i. 12. und seine Folgerungen gelten insbesondere auch f~r

affine Algebren.

4.2.

A E ~,

Analytische Separabilitat.

~

,~

sei integer.

Definition 4.2. i.

A heiBt anal,ytisch separabel Gber k, wenn fGr jeden kompletten

bewerteten OberkSrper k von k die GrundkSrpererweiterung A = A @ ~ reduziert ist k

125

(f~rA ~ ~^, ~ vgl. [Is]). Bemerkun~ 4.2.2.

let A analytisch separabel fiber k, dann ist Q(A) - A (o|

separabel fiber k. Beweis:

FUr jede endliche Erweiterung k' yon k mit k 'p ~ k ist A ~ k' = A @ k' k

reduziert, folglich ist A(,|~ k' reduziert,naoh dem Kriterium yon Mac Lane bedeutet dies, dab A~) separabel ~ber k ist.

Bemerkung 4.2.7.

Wenn A (o) absolut regul~r ~ber k ist, ist A analytisch separabel

Uber k. Beweis:

let A eine GrundkSrpererweiterung yon A und

yon A, so ist ~ n

~

ein minimalee Primideal

A = O, well A ~ber A treuflach Let, und daher Niehtnullteiler

in A auch Nichtnullteiler in A sind. regul~r und folgllch ~ A #

Wenn A ~o~ absolut regulRr ist, ist ~

= O. Da dies f~r alle minimalen Primideale yon A gilt,

ist A reduziert. t

Ffir A 9 ~ , Satz 4.2.4.

0~,

~ ' gilt die Umkehrung yon 4.2.3.,

A 9 ~,

~

, ~'

sei integer,

K d e r Q u o t i e n t e n k S r p e r yon A. Dann

eind folgende Aaesagen gleichwertigz

a)

y (D(K)) ~ dim A.

b)

Es gibt eine Noethersche Normalisierung B ~ A, so dab K separabel ~ber

126

dem Q u o t i e n t e n k S r p e r yon B i s t . c)

K ist

a b s o l u t r e g u l a r Uber k.

o ~ ) Es g i b t e i n e n vollkommenen k o m p l e t t e n b e w e r t e t e n 0 b e r k S r p e r k yon k und in A - A ~k C'I) A i s t

e i n P r i m i d e a l ~ , sodaB A ~ e i n KSrper i s t .

analytisch

Bevels,

s e p a r a b e l ~ b e r k.

Naoh Satz 4.1.12 sind a)- c') ~quivalente Aussagen. Naoh 4.2.3. folgt

o).

~',) a = .

Aus o") f o l g t

ei)s

Ist A analytisch

~edes m i n i m a l e P r i m i d e a l #

separabel,

so i s t

A reduziertp

folglich

fur

yon A d e r l o k a l e Hing A ~ e i n KSrper. F e r n e r l e t

~A-O. 4.~.

Ein hinreichendes Kriterlum fur absolute Re~ularit~t.

Satz 4.~.i.

Es sei A ~ ~ , ~

senkSrper ~ - A~/~A~.

t~

und ~

Ist A~ regular

ein Primideal yon A mit dem Restklas-

und ~

analytisch

s e p a r & b e l ~ b e r k, dann

l e t A ~ a b s o l u t r e g u l & r fiber k. Beweiss

k eel ein vollkommener, kompletter bewerteter

ein minimales unter den Primidealen yon A - A i k k

,o~,~ ~ - ~ / . ~

~ , ~ =~n~,,~,,

~=~=~,.~

.o~

O b e r k S r p e r yon k und

mit ~ A

C"/~) i ~

~,~

- ~.

=~

Dann let

~ ^ C~/~} - o.

12?

Nach Vorauesetzung ist ( ( A / ~ ) ~ k ) ~ k

Ideal yon ~ .

ein KSrper,

das ma~C~.male

folglich ~ A ~

D~ ~ , tre~rl~ch Uber A g ~nd A~reg~l~r i~t, erg•

~•

~(~ ia) ~ f(~) - ai. A~ ~ aim ~,. Folglioh i~t a.oh i reg.l~r. 4.4.

C h a r a k t e r i s i e r u n S a b s o l u t e r R e ~ u l a r i t ~ t und a n a l ~ t i s c h e r

Separabilit~t.

.A

in &er Grundk~rpererweitex~ng mit k p

In diesem Abechnitt eel Char. k = p > 0. k p - 4

ist ein vollst~ndiger bewerteter Ober-

kSrper yon k. Wit wollen den folgenden Satz beweieen: 0

Satz 4.4.1.

Es sei A ~ ~ , ~ a , ~' und ~

sei ein Prlmideal yon A mit

dim A - dim~ A. Dann sind folgende Aussagen ~qulvalent:

a)

A ~ ist absolut regul~r ~ber k.

b)

Ee gibt in A - k p'4 ~ A ein Primideal ~ k

mit

~A

A - ~,

e• dab ~

regul~r

let. Ist F - k~{}~ eine freie k-Algebra, so hat man zwei Ringhomomophis-

men (Frobeniusmorphismen)

v

~, F

~F

~it

o,

~F

~ i t o ( X a,X ~) - T, a~X"

F

~(~, a~X~) - ~

~ x ~p

ist eogar ein k-Algebrahomomorphismus und es let v,c - c-v = p

die Potenzierung

128

mit p. F~r p g F schreiben wir auch c(P) - p(P). Ist nun A = F/~ ,...,P

mit

~ = (P~,...,Pm),

so eel

~(P) = (p~P),...,P~P)) dae yon

in F erzeugte Ideal. Die Homomorphismen v u n d c

induzieren

Hinghomomorphismen.

~/m(P)

~'

~F/~

e' ~ F/~(p)

deren Zueammeneetzung wieder die Potenzierung mit p in F / ~ (p)

let. v' ist

wieder ein k-Algebrahomomorphismus. -4

mit L ( ~ a

vp''4 X ' )

~.{}~ ~

L' k p

Der Ieomorphiemus

) k~,{