Die Gleichungen der Physik: Meilensteine des Wissens [1 ed.] 9783764372354, 3764372354 [PDF]

Zitiervorschau

-DIE GLEICHUNGEN DER PHYSIK Meilensteine des Wissens Sander Bais

Aus dem Englischen ubersetzt von Thomas Hempfling

Birkhauser Verlag Basel· Boston- Berlin

Der Aut or rnochte seinen Kollegen vom In-

Autor

stit ut fur Theoreti sche Physik in Amste rdam

Sander Bais Institu te f or Theoret ical Physics

danken, insbesondere Dr.Leendert Suttorp fur

Universit y of Am st erdam

konstrukti ve Kom me nt are und vo rschlage.

The Neth erland s

Ein Teil des Manuskripts enst and w ahrend

Blbli ografische Info rm at ion Der Deuts chen Bibliot hek Die Deutsc he Bibl loth ek verzeichnet diese Publikat lo n in der Deut schen Nat ionalbibli ografi e; det aill ierte bib liogr afi sche Daten sind im Int ernet uber cht t p .z/ dnb.ddb.deo abrufba r.

eine s Auf ent halts am Santa Fe Inst it ut e, dessen Gastfreundschaft und st im ulierende At rnosphare w ir dankb ar anerkenn en. Der

ISBN 3-7643 -7235-4 Birkhauser Verlag, Basel - Boston - Berlin

Das Wer k lst ur heberrecht lich geschutz t . Die dadurch begrunde te n Rechte , insbesond ere die der Ubersetzung. des Nachdru cks, des Vort rags, der Ent nahme von Abbii dungen und Tabellen, der Funksendun g, der Mi kroverfi lm ung oder der vervielfaltigun g auf anderen Wegen und der Speicherung in Date nverarbei-

Auto r ist auch den Mitarbeit ern des Projekt s bei AUPverpfl ichte t , insbesonde re Vanessa Nij w eide fur ihre Rat schlage, ihr en Enthu siasmus und ihre Geduld.

t ungsanlagen , bleibe n, auch bei nur auszugswe iser Verw ert ung, vo rbehalt en. Eine Verv ielfa lti gung dieses Werkes oder von Teilen di eses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der geset zlichen Bestlm mungen des Urheberrecht sgesetz es in der jeweiis gelt enden Fassung zulassig. Sie ist grund sat zllcn

vergut ungspfl lchttg. Zuw iderha ndlungen unt erli egen den Strafbestim mungen

Die biographi schen Information en st am men aus verschiedenen Quellen, wi e et w a.

des Urheb errecht s.

Concise Dictionary of Scientific Biography,

Co pyri ght © 200 5 Amste rdam Universit y Press

Charles Scribners and Sons, New York, 1981. Copyrig ht f iir di e deutsche Ausgabe © 200 5 Birkhauser Verlag, P.O. Box ' 33,

CHAOlO Basel, Schwe iz und Amst erdam Universit y Press Birkhauser Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media First published In th e Neth erlands by Amste rdam Univ ersity Press, Amste rdam Cover and book desig n Gijs Ma tt hijs Ont w erper s, Amst erdam

The Mac Tutor History of Mathematics Archive: www-g roups.dcs.st -and.ac.uk/ histo ry

ISBN·10, 3-7643 -7235-4

w w w .nobel.org ISBN-B : 978-764 3-7235-4

98 7 6 5 4 3 21

www.b irkhauser.ch

www.sciencew o rld.w o lf ram.com

Inha lt

6

Einfiihrung

11

Der tautologische Werkzeugkasten

18

Aufstieg und Fall Die logist ische Gleichung

22

Mechanik undGravitation New to ns dy nam ische Gleichungen und das unive rselle Gravitationsgesetz

28

Die elektromagnetische Kraft Die Lor entzkraft

32

Ein lokaler Erhaltungssatz Die Kontin uitatsg leichung

34

Elektrodynamik Die Maxwell -Gleich ungen

40

Elektromagnetische Wellen Die Welleng leichungen

42

Solitonen Die Korteweg - De Vries-Gleichung

44

Thermodynamik Die drei Hauptsatze der Thermodynamik

50

Kinetische Theorie Die Boltzmann-Gleichung

54

Hydrodynamik Die Navier- Stokes-Gleichungen

58

Spezielle Relativitatstheorie Re lativistische Kinematik

64

Allgemeine Relatlvitatstheorle Die Einstein-Gleichungen

70

Quantenmechanik Die Schrodinger-Gleichung

76

Das relativistische Elektron Die Dirac-Gleichung

80

Die starkeWechselwirkung Quanten-C hromodynamik

84

Elektro-schwache Wechselwirkung DasGlashow-Weinberg-Sa lam-Modell

88

Stringtheorie Das Auftreten der Superst rings

93

Zuriick in die Zukunft Ein let zt er Ausblick

Mathematik alseineSprache der Natur

6

In diesem Buch geht es um die grundlegenden Gleichungen der Physik, die inspirierenden Ergebnisse unserer Aufgabe, das Universum zu verst ehen. Diese Gleichungen sind komprim ierte Aussagen uber die Funktion swe ise der Natu r, geschrieben in der

Hnfuhrung

Sprache der Mathematik. Daher konnen diese Gleichungen nicht allein mit logisch en Begrundungen abgeleitet werden : sie sind das Ergebnis einer kritischen Auseinandersetzung zwischen der Beobachtung der Natur und der Intuition und Kreativitat einiger groser Denker. Es ist nicht Ziel dieses Buches, Mathematik oder Physik als exakte Wi ssenschaft zu lehren. Die Gleichungen werden so einfach w ie moglich prasentiert, ohne deren emp irische segrundung allzu sehr zu komm entieren - obw ohl un s ihre Existenz

hauptsachltch dur ch die sorgfaltlge und kritische Beobachtung der Natur offenbart wurde. Dieses Buch versucht , die Schon heit der Gleichungen zu zeigen und spannende Foigerungen zu diskutieren. Physiker benutzen Mathematik als eine Sprache der Natur,

Ein modernes Dogma

die regelm afsig erw eit ert w erden mu sst e, wenn neue Ebenen

Ein neuzeit liches Dogm a verbietet es, Glei-

physikali scher Realit at entdeckt wurden . Wahrend Naturwis-

chungen zu benutz en, um w issenschaftliche

senschaftler Mathematik als Sprache nutzen , studieren Mathe-

Erkenntni sse volksnah darzustellen. Manche

matiker sie um ihrer selbst willen.

Leut e hassen Gleichungen, andere lieben sie.

Konkretisierung vonZusammenhangen durch Zuordnung von

zu erlaut ern. aber dabei keine Bilder ansieht.

Ausdriicken

In diesem Buch set zen w ir uns uber dieses

Das ist, w ie wenn man jemanden bit tet, Kunst

Das Wort Gleichung stammt vom lateinischen aequare, abgelei-

Verbot hinw eg und drehen den Sp ie ~ urn :

tet vorn Wort aequu s, das gleich oder eben bedeutet. Manche

den Gleichungen selbst wi rd die Haupt auf-

Gleichungen tun nichts welter. als einer Variable n einen Wert

merksamkeit gew idmet. Und we nn w ir von

zuzuweisen , aber im Aligemeinen beschreiben sie die Beziehun-

Gleichu ngen als Meilensteinen des Wissens

gen und mogllchen Anderungen von Zeit und Ort zwi schen phy-

reden, sollte n w ir sie sicherlich in all ihr er

sikalischen Variablen , die das bet rachtete physikalis che System

Scho nheit zeigen.

7

charakterisieren . Mathematisch werden diese Beziehungen durch relationale Symbole wie das Gleichheitszeichen '~ ', gro~er als ')' und kleiner als 'c' ausgedruckt. Man spricht infolgedessen von Gleichungen oder Ungleichungen, je nach verwendetem relationalem Symbol. Esgibt viele Gleichungen unterschiedlichster Wichtigkeit in der Wissenschaft. Die Grundgleichungen, auf die wir uns konzent rieren wollen , markieren entscheidende Wendepunkte in unserem Verstandni s, Sie sind die Basisknoten in einem komplexen Netzwerk von Ideen, das in einen Raum beobachtbarer Fakten eingebettet ist.

Gesetzund Ordnung Das Uni versum ist auf allen Skalen hoch-

Einfache Gleichungen und komplexeLosungen

gradig geordn et. 1m Gro fsen kiinn en w ir

Zur Untersuchung eine s System s oder einer Struktur verwen-

uns Planet ensystem e vorste llen, die sich

den w ir gew iihnli ch eine Anzahl Variablen wie Position, Beviil-

auf einer Bahn um einen Stern w ie unsere

kerungszahl , Dichte, Temperatur, usw . Dann versuchen wi r,

Sonne bew egen, oder auch Stern enh au-

Beziehung en zwis chen diesen Struktur-Variablen zu finden, die

f en, die Galaxien f ormen , ode r Galaxi en,

resulti erenden Gleichungen kiinnen ziemlich komplizi ert sein.

di e Cluste r oder Superclust er bild en. 1m

Die Variablen sind die Unbekannten, die Dinge, fur die wir die

Klein en kiinn en es At om e sein, Kerne,

Gleichungen losen wollen. Die Natur ist auf allen Skalen hochst

oder die elem ent arste n Baustein e der

organisiert und offenbart Konfigurationen erstaunlicher struk-

Materie wie Quark s, Elektron en oder Pho-

tureller Stabilitat und Verschiedenartigkeit.

tonen . Dazwi schen gibt es eine riesige

Einfache Geset ze konnen

Zahl komplexer St rukt uren kond ensierter

beschreiben. Nicht die Kornplexitat unserer Welt ist erstaun-

Materie, z.B. Flusslgkeiten, Krist alle und

lich, sondern die Einfachkeit der Gleichungen, welche diese

durchau s komplexe Strukturen

Sandhugel, und naturlich di e erst aunli-

komplexltat beschreiben .

chen mol ekular en St rukt uren w ie DNA

Wir haben eine zweifache Aufgabe: zum einen, Gleichungen zu

und Proteine. Uns interessieren so viele

finden, welche die Struktur und das dynamische Verhalten eines

Arten vo n Syst eme n: Bevolk erungsent -

Systems beschreiben ; zum anderen, zu verstehen . welche Prin-

wi cklung , Akt ienmarkte.

Lernprozesse,

zipien die Gleichungen ausdrucken und wie man ihre tosungen

Epidemien oder soga r das Uni ver sum als

findet. Um die Gleichungen zu finden, muss man Wissen uber

Ganzes, um nur einige zu nenn en.

das zu modellierende System sammeln, was vornehmlich Auf-

gabe eines Naturwissenschaftlers ist, aber zum Auffinden der L6sungen ist der Mathematiker ein unentbehrlicher Partner. Die L6sungen beschreiben nicht nur statlonare Objekte wie ein Molekul oder einen Kristall, sondern auch dynamische Prozesse wie die Streuung von Teilchen oder die Zeitentwicklung eines Systems, z.B. das Wetter, die Str6mung eines Flusses,das Wachstumsverhalten konkurrierender Bakterienpopulationen oder die Expansion des Universums. Oft konnen Gleichungen etwas voraussagen: neue L6sungen k6nnen den Weg zu neuen experimentellen Entdeckungen weisen.

Varia bien und Konstanten Neben den Unbekannten (Variablen) enthalten Gleichungen meistens Kontrollparameter. Das sind Konstanten, und wenn man ihre Werte andert, k6nnen sich die Eigenschaften der erhaltenen L6sungen dramatisch verandern . In Abhanglgkelt von der Temperatur als Parameter kann Wasser gefrieren oder verdampfen . Je nach der Starke der Anziehungskraft kann ein Orbit beschrankt oder unbeschrankt sein. Die fundamentalen Gleichungen enthalten gewisse universelle Konstanten ('fundamentale Naturkonstanten'), wie etwa die Newtonsche Gravitationskonstante, welche die Starke der Gravitationskraft bestimmt; die Lichtgeschwindigkeit oder die Plancksche Konstante. Die Werte dieser bedeutensten fundamentalen Konstanten finden sich in der Tabelle auf der vorderen Umschlagklappe. Sie definieren die Skala in unserem Universum. Wenn wir diesel ben Gleichungen nehmen, aber diese Naturkonstanten andern, dann ware auch die Natur stark verandert. Das Universum k6nnte dann durchaus unbewohnbar sein, und wahrscheinlich waren wir nicht hier und in der Lage, das zu diskutieren. 1mMoment gibt es keine Begrundung dafur, warum die Werte so sind, wie sle sind .

8

9

Wie dieses Buch gelesen werden sollte Ich schlage vo r, die einf uhrenden Kapitel durchzuarbeiten, in denen einige ents cheidende mathematische Konzept e mit den zugehorigen Sy m bolen eher salapp eingefUhrt w erden . Insbesondere lernt man dabei einiges Vokabular , das in den spat eren Kapit eln oft gebr aucht wird, und das man hier und da wieder

Die Vogelperspektive

nachschl agen rnochte .

Dieses Buch besteht aus einer Art Landschaft

Die Kapitel sind nicht nummeriert, um anzud eut en, dass man

mi t den Gleichungen als Bergen. Einige der

das Such nicht von vorne nach hinten dur charbeiten mu ss.

Berge sind rnuhsam zu best eigen, aber wenn

Es ist eher eine Art Galerie , in der man von einem Raum zum

man einmal oben ist, ist die Aussicht grogart ig.

nachsten flan iert.

Wir machen es uns einfach. Wir fli egen uber

Augerdem kennen sich die Gleichungen. Sie umarmen sich,

die Landschaft und blicken auf die hochst en

gehen Hand in Hand oder haben verborgene oder offensicht -

Gipfe l, ohne uns darum zu kumrn ern, w ie

liche Meinungsverschiedenheiten. Manchmal we rden zw ei in

schw ierig es sein mag, von einem zum ande-

einen Kampf verw ickelt, und eine dritte ent steht darau s. Oft

ren zu wa ndern . Wir sehen die engen Passe,

gibt es w iderspruchliche Sit uat io nen, die in der Foige durch die

eisigen Glets cher, Spalt en und Steilwand e

EinfUhrun g neuer umfassender Konzept e auf gelost w erden

nicht. Wir lassen 99% der Muh e weg, um,

mu ssen - die Krise als Kreativit at sschub, Die Gleichungen schrei-

so we it w ie nur mogll ch, 1% der Inspirati on

ben eine kurze Geschichte von Paradigmenwech seln, eine kurze

zu geniefsen (um Einstei ns Max ime uber die

Geschichte der physikalischen Gedankenwelt.

Wissenschaft zu um schreiben). Wir betr eten die fe lsigen Pf ade nicht ; w ir bet rachte n sie als Net zw erk dunner Faden, das uber die Landschaft gespannt ist. Die Wahl der Vogelperspekt ive lasst uns nicht alles vollstandig verste hen. Furviele wi rd das der erste Ausfl ug in ein un bekannt es Land sein . Scho ne Dicht kunst in einer fr emd en Sprache. Das macht nicht s, wen n man m it viet mehr zuruckkehrt, als mit dem, was man am Anfan g w usste. Aus diesem Grund f olgt vor dem Einschiffe n eine lnhal t subersicht .

10

IdealesGasgesetz (N. k) Thermodynamik Hydrodynamik

Kinetische Theorie

Inhaltsiibersich t

Boltzmann -Gleichun g

In der ln halt suberskht haben w ir einige der of f ensichtlicheren Beziehungen zw ischen den Themen angedeutet. Die pfe ile deuten me istens die Chrono logie der Ent deckung

MechanikNewton-Gleichun gen (GN )

an. Wir werden in der Mi tte st art en und

Elektrodynamik M axwell -Gleichung en (e)

zuerst nach oben zur makroskopischen Welt wa ndern, wo das M at erial aus sehr

1

vielen At ome n besteht. Danach beweg en w ir uns abwa rts . vo rbei an Re lativitat und

Quantentheorie

Spezielle

Schrbdinger-Gleichung (h)

Relativitatstheorie (e)

Quanten-Str anden, Am Ende kbnnte n w ir uns vorst ellen, dass ail e Pfeile nach oben zeigen, denn das

Dirac-Gleichun g

w urde die st rukturelle Hierarch ie un serer

1

Welt wieders piegel n. und daru ber hinaus hat sich die Nat ur w ahre nd ihrer 13.7 Mi l-

Standard-Modell

Allgemeine

liarden Jahre Evolut ion seit dem Urknall so

Quante n-Chromod y nam ik (mp)

Relativitatstheorie

entfaltet. Diese groge Evolution , die Dar-

Elekt ro-schwac he Theorie (mw)

Einste in-Gleichunge n

wins erdgebunde ne Visio n vbllig umfasst. zeig t den unw iderlegbar en Erf olg des

1 Stringtheorie

Reduk t ion ismus in der Wi ssenschaft. Dass die Natur selbst in der Lage ist , den eigenen Ursprun g zu verste hen, mag bedeuten, dass w ir in unserem Zeita lter eine wichtige Schw elle der Evolution uberschrelt en.

11

Eine mathematische Hierarchie Esgibt eine gew isse Hierarchie in der Struktur von Gleichungen . Ihr Grad mathematischer Kornpl exitat hangt von der Art der Objekte ab, die man beschreiben will. In der Schule wurden die meisten von uns mit Gleichungen konfrontiert.

Der tautologische Werkzeugkasten

Die einfachsten Gleichungen sind algebraische Gleichungen, in denen nur algebraische Rechenop erationen w ie Addition, Multiplikation usw. vorkommen. Eine einfache algebraische Gleichung. die in der Physik eine wi chtig e Rolle spielt, ist die Zustandsgleichung eines idealen Gases. Man schreibt sie meisten s PV=RT und druckt damit den phanornenologischen Zusammenhang zwi schen dem Druck P, dem Volumen II; we lches das Gas einnim mt, seiner Temperat ur Tund der funda-

!

mentalen Gaskonst ante n R (einer bekannten Zahl) aus.

P

Eine solche Gleichung kann verschiedenart ig benutzt w erden. Sie sagt aus, dass die drei Variabl en P, V und T nicht unabhan gi g sind, denn sie rnussen die genannte Relation erfullen . Eine of fe nsicht liche Anwendung der Gleichung ist, dass man aus den bekannten Werten von zwe i der drei Variablen den Wert

V-

der dritten berechnen kann. Aber die Gleichung enthalt viel mehr als nur qualitative information . Zum Beispiel folgt daraus, dass die Temperatur stelgt, wenn man den Druck P bei konstantem

PV=RT

Volumen erhoht. Die meisten Leser werd en wi ssen, wi e man eine Gleichung w ie diese in verschiedenen, aber aquivalenten Form en schreiben

Die Gaskonsta nte R ist defi niert dur ch

kann, indem man das Rezept 'Was Du auf der Iinken Seite machst,

R=Nk, wobe i N die AvogadroKo nsta nte

musst Du auch auf der rechten Seite rnachen' benutzt. Subtrahiert

tst, die mit der Anzahl der in der betr ach-

man RTvon beiden Seiten. erhalt man PV-RT=O. Oder: dividiert

t et en Sto ffmenge entha lt enen M olekule

man beide Seiten durch T, so folgt PV/T=R. Je nach der Frage,

korrespond iert. Die Bott zrnann-Konsta nt e

die man beantworten will . wird die eine oder die andere Form

ki st eine fun dam ent ale Kon st ant e, we lche

besser geeignet sein. Auch w enn die Gleichung anders aussieht,

Tem perat ur und Energie verknupft.

bleibt ihr e Botschaft immer glei ch.

Die meisten Gleichungen, die wir st udieren, sind nicht von diesem

12

einfachen algebraischen Typ, sondern benutz en fo rt geschrittenere Begr iffe w ie Ableitungen. Bevor wir uns also an Bord begeben, rnussen wir einige der am haufigsten vorkommenden mathemati schen Symbole einf uhren und ihr e Bedeutun g erklaren,

Die quantitative Sprache: Variablen, Funktionen und Felder

Inversionen

W ir schauen uns eini ge mathem at ische Gewo hnheite n und

Wenn wi r eine m ath em ati sche Operatio n

Symbole an. Es ist ublich, GraBen mit Buchstaben zu bezeich-

defi niert haben, zahlt es sich imm er aus,

nen - Temperatur T, Zeit t, Ort r, usw. -, die verschiedene Werte

nach der inversen Operati on zu fr agen.

annehm en konnen und daher Variablen genannt werden . In den

Me ist tret en Ope rat ionen als Paar auf, das

Gleichun gen kommen auch viele Konst anten vor: einerseits uni-

sich gegenseit ig neutrali siert. W icht ige

verselle Konstanten wie die Lichtgeschw indigkeit co der die Ladung

math emati sche

des Elekt rons e, andererseits Parameter, die in einer gegebenen

gernacht , ind em geeignete Inversionen

Situation feste numeri sche Werte annehmen, wie zum Beispiel die

defin iert w urden.

Viskosita t t'J , die naturlich von der Art des Mediums abhangt, das

Beim Spielen mit Murmeln lernt man das

Entdec kungen

w urden

man bet rachtet: Sirup ist viskoser als Wasser. Ansta t t die nume -

Zahlen, also positive ga nze Zahlen zu

rischen Werte der Parameter in den Gleichungen zu verwe nden,

add ieren. Verl iert ma n genugen d viele in

kurzen w ir sie auch durch Buchst aben aboWir unterscheiden also

einem Spiel, m acht ma n die schme rzhafte

verschiedene Typ en von Buchst aben in unseren Gleichun gen :

Erfa hrung einer Subtrakt io n und ent deckt

Variabien, universelle Kon st anten und Syst emparamete r.

vielleicht die besonders w icht ige Zahl Null.

Gehen wi r bei den Variabien einen Schrit t wei t er: Variablen

Hat man nicht s me hr ubrlg , versucht man

konnen vonein ander abhangen, dann nennt man sie Funktio-

vie lleicht, noch g raBere Zahlen zu subt ra-

nen oder Felder. Die Raumt emperatur etwa mag von der Posi-

hier en und erfi ndet die negati ven Zahlen.

ti on im Raum und von der Zeit abhangen, Wir schreiben hierfDr

Ahn lich f uhrt Multiplikat ion zur Division

T(r,t), w obei die Notation im pliziert, dass w ir die Temperat ur T

und zur Entde ckung rati onaler Zahlen. Das

als Funktion von Raum und Zeit auffasse n. Eine Funkti on w ie

Bilden der Wurzeln positlve r Zahlen f uhr t

T ent halt sehr vie l Information, denn man kennt sie nur dann

zur kont inuierl ichen Menge de r reell en

voll standig . we nn man ihre Werte f ur j eden Punkt im Raum und

Zahlen, wa hrend W urzeln negat iver Zahlen

f ur aile Zeitpunkte we iB.

die Definiti on kom plexer Zahlen nahelegt.

Das Lebenkann noch kompliziertersein: Variablen und Funktionen

Ma nchmal gibt es bedeutende Antwo rte n

sind oft eine Art Ansam mlung von Objekten ; sie konnen verschie-

auf einfa che Fragen.

13

dene Komponenten besitzen . Die Komponenten kennzeichnet man durch einen Index (meistens tief- oder hochgestellt). der das jeweilige Objekt markiert. Zum Beispiel besitzt der Ort r in drei Dimensionen drei Komponenten , indiziert als

r,

=

x, r, = y

and r j = z. r als Kollektion der drei Komponenten heilSt Vektor. Es ist ublich, Variablen oder Funktionen mit Komponenten fett zu drucken. Der fett gedruckte Buchstabe ist wie der Familienname , wahrend die indizierten Komponenten den durch ihre Initialen

z

gekennzeichneten Familienmitgliedern entsprechen. Das Wort Komponente bezieht sich auf ein Referenzkonstrukt, das in den meisten Fallen ein rechteckiges (kartesisches) Koordinatensystem sein wird. Anschaulich heifst das etwa, wenn wir

y

beschreiben wollen, wo wir sind, z.B. in einem Buro in Manhattan , dann rnussen wir drei spezielle Zahlen angeben : eine fur die Nummer der Avenue (x), eine fur die Nummer der Street (y) und eine fur das Stockwerk (z). Vektoren k6nnen in jeder Dimension definiert werden, im AlIgemeinen haben sie eine Lange und eine Richtung. Zum Beispiel kann r als ein Pfeil dargestellt werden, der von einem gewahlten Referenzpunkt (Ursprung) mit Koordinaten (0,0,0) zum Punkt mit den Koordinaten (x,y,z) zeigt. Diese Notation spiegelt den Gebrauch von Vektoren wieder. Wenn wir einen Vektor drehen, andert sich seine Richtung, aber nicht seine Lange. Ansammlungen von Variablen tragen originelle Namen wie Vektoren , Tensoren, Multiplets, Spinoren usw., die mit ihren jeweiligen Eigenschaften zu tun haben, etwa dem Verhalten bei einer Drehung. Zum Schlussmachen wires noch komplexer und kombinieren die genannten Begriffe. Beispielsweise konnen wir eine Funktion mit Komponenten betrachten, wie etwa das 'Geschwindigkeitsfeld ' von Wasser in einem Fluss, v(x,y,z,t) : dies ist ein Feldvon Vektoren, in dem die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v= (v"v"vj ) Funktionen von Raum und Zeit sind, d.h. v, = v, (x,y,z,t) , usw. Man

kann sichsoein Vektorfeld auch alseineAbbildung vorstellen, die jedem Raum-Zeit-Punkt (xJ!,z,t) einen Vektor v zuordnet. Es ist nOtzlich, sichbeieinemVektorfelddie Strornung von Wasser vorzustellen : DieWasserteilchen bewegen sich entlangvon Stromlinien,die sichnicht kreuzen konnen. Um dasVektorfeld in einem Punkt zu veranschaulichen, zeichnet man einen Pfeil tangential zu der Stromliniedurch diesenPunkt,dessen Lange proportional zur Dichte der Stromlinien in der Nahe dieses Punkts ist. Man stellt sich also ein Vektorfeld zu einem gewissen Zeitpunkt als eine Momentaufnahme von Stromlinien vor (siehe Bild).

Die Sprache fur die Veranderung: Ableitungen Funktionen oder Felderbeschreiben zu jedem festen Zeitpunkt eine Situation (d.h. einen Zustand des Systems) in diesem Zeitpunkt. Allerdingssind die meisten Dingeorts- und zettabhanglg. Gleichungen bestimmenoft, wie Grolsen sichauseinemAnfangszustand herausentwickeln. Sieerklaren auch,wie die Orts- und Zeitanderungen physikalischer Varia bienvoneinander abhangen. NewtonsGesetze beschreiben etwa, wie sich bei Einwirkung einer aufseren Kraft der art und die Geschwindigkeit einesTeilchens andern. Daher nennt man diese dynamischen Gleichungen oft 'Bewegungsgleichungen'. Die Gesetze der Hydrodynamik z.B. beschreiben die Orts- und Zeitanderungvon Dichte,Geschwindigkeit und Temperatureiner Flussigkeit in Abhangigkeit derauf die FIOssigkeit wirkenden Krafte und von gewissenfur die FIOssigkeit typischen Konstanten wie vtskosltat und thermische teitfahigkeit. Wir brauchen also eine

Sprache fur die veranderung. Siegehort zu einem bestimmten Zweig der Mathematik, der Differentialrechnung genannt wird . Dieses KalkOI wurde unabhanglgvoneinandervon Isaac Newton und Gottfried Wilhelm von Leibniz am Ende des '7. Jahrhunderts entwickelt. Damit wurde esrnoglich, dynamische Systeme mittels

14

15

prazlser mathematischer Ausdrucke zu beschreiben; dies war der Anfang des quantitativen Verstandnisses und der Vorhersage von Naturphanornenen. Wie man dem Wort entnimmt, sind Differentiale nichts weiter als infinitesimal kleine Anderungen . Die in

Differentialgleichungen

benutzten Symbole sind ziemlich naheliegend. Der Ortsvektor r eines bewegten Teilchens wird zeitabhangig sein, also r =

r(t) ; die infinitesimale zeitabhangige Anderung des arts heiBt Zeitableitung und wird als drldt notiert. Die Zeitableitung ist die infinitesimale Anderung des arts r (mit dr abgekurzt) pro infinitesimaler Anderung der Zeit

dt. Sie gibt an, wie sich die

Position des Punkts tendenziell andern wird - eine Art 'Trend' fur die Position. Daher ist der 'Differentialquotient' drldt nichts weiter als die Geschwindigkeit v des Teilchensin einem gewissen

t-

Moment, gemessen in Metern pro Sekunde, wie es die Notation auch nahelegt. Wir bemerken, dass die Beschleunigung a eines Objekts die Zeitableitung seiner Geschwindigkeit v ist, in Zeichen a = dvldt. Beachte, dass sowohl Geschwindigkeit als auch Beschleunigung Vektoren sind (sie haben eine Richtung und eine Lange) und dass beide im Aligemeinen zeitabhangig sind. Die Verallgemeinerung zu hoheren Ableitungen liegt auf der Hand: so ist etwa eine zweite Ableitung nichts anderes als die Ableitung einer Ableitung. 1m obigen Beispiel ist die Beschleunigung die zweite Ableitung des arts nach der Zeit, und man schreibt einfach a = d

2rldt',

was ausdruckt, dass man die Zeitableitung zweimal anwendet. Wah rend die Ableitung uns zu einem Zeitpunkt

t etwas uber

den Trend der Funktion in der Nahe des Punkts sagt , gibt die zweite Ableitung Auskunft uber den 'Trend der Trends' in der Nahe dieses Punkts. Kann man diese Anderungen auf einfache Art veranschaulichen? Ja, wenn man graphi sch daruber nachdenkt: beispielsweise kann

man die Bew egung eines Teilchens als Kurve zeichnen, we lche

16

die Punkt e ent halt , du rch die es sich bew egt. ind em man die Zeit ho rizont al und den Abstand vertikal auft ragt (siehe Bild Seit e 15).

to, d.h. die to' ist gerade die Steigung der Kurve zur

Die Zeit ableitu ng des Orts zu einer best immten Zeit Geschw indigkeit zur Zeit Zeit

to (siehe Bild Seit e 15). Die Ableitung einer Funkt ion

ist die

'St eilheit' oder 'St eigung' der Kurve, die positiv oder negativ sein kann . verlauft die Kurve ho rizonta l, 50 sind w ir in einem lokalen Maximum oder Minimum, dort ist die Geschwindigkeit (folglich die Ableitun g der Funkti on) Null. Die zwei te Ableit ung solit e man sich als die KrOm m ung der Kurve vostellen. Negat ive Beschleunigung korrespondiert z.B. zu einer sich abwa rts krOmmenden Kurve. Diese symbolische Denkw eise fu r solche Anderungen ist einfa ch, logisch, elegant , und, wa s vielleicht am Wichtigsten ist, aufserst nOtzlich. Wi e zuvor bem erkt , w erden di e m eist en diskut ierte n Gleichungen Dif fe rent ialgleichungen sein, also Gleichungen, in denen Ableitungen vorkom me n. Sie sind verschieden von den 50 genannte n algebraischen Gleichungen, mit denen die meist en von uns vert raut sind (wie et w a die quadrat ische Gleichung ax' +bx+c = 0, bei der m an x bei gegebe nen a, b, and c best imm en w ill).

Hande l mit Ableitungen

Different ialgleichunge n sind anders. Ein einfaches Beispiel ist

Der englischeBegriff fur Ableitu ng, derivative,

die ber Ohmte Fo rme l von Newton, F =m a, die man auch in der

kom mt als Derivat auch in der Finanzwelt

For m a= F/ m schreiben kann . Wegen a = dv/dt folg t dv/ dt =

vor. Es bezeichnet Prod ukt e wie Optionen,

F/ m. Dies ist eine Diffe rentia lgl eichung fOr die Geschw indigkeit

die ihre Sicherheit von den zugrund e Iiegen-

v = v (t) als Funkt io n von F/ m, die gr undsatz llch sowo hl von x als

den Akt ien oder Devisenkursen ableite n. Sie

auch von t abhangen kann.

sind eine Art Sicherheit gegenOber unvor-

Funk tio nen k6nnen von mehr als einer Variabien abnangen, und

hersehbar grotsen Flukt uati onen, die den

sie konnen sich in Ab hangi gkelt der Variablen andern. Das Bild

Besit zer bedrohen, aber natOrlich benutzt

zeigt eine Funktl onj zw eier Variabler x

undy. Es ist

klar, dass in

man sie auch zur Spekulati on. Diese Derivat e

einem beliebigen Punkt P der Oberflac he die Ste igung in Rich-

unt erscheiden sich von den Ableit ungen, die

tun g x sich vo n der St eigu ng in Richtun g y unte rscheiden kann.

wi r hier diskut ieren, aber beide handeln von

Ein Beispiel einer so lchen Funkti on ist die Tem perat ur, die sich

'Trends'.

17

in Abhangigkeit von Ort und Zeit sanft andert, Diese Tatsache moti viert, nicht nur Zeitableitungen, sondern auch Ortsableitun gen d/dx, d/dy und d/dz einzufuhren - und fall s es w eit ere rnogliche Abhanglgk eiten gibt, benutz en wir parti elle Ableit ungen

a/ax, %y, a/oz. Man

kann dann diese drei

Ort sableitungen (wel che die Steigung en einer Funktion in drei verschiedenen Richtungen angeben) als Vekt or zusammenfassen und durch ein einziges Sy mbol \J abkurzen, den Nabla-Operator

f

oder Gradient. Der Nabla-Operator enth alt die Steigungen in den verschiedenen Richtung en. Genauer gesagt: er bildet eine

!(x,y,z) in ein Vekto rfe ld g(x,y,z) mit Komponenten g,= of/ax, g,= of/oy, g,= of/oz abo

Funkt ion

Differenzen aufsummieren: Integration

Um eine Differenti algleichung zu losen, rnussen w ir wi ssen, wie man das Bilden der Ableitung umkehrt. Wenn wir zuerst die Ableitung einer Funkt ion bestimm en und dann diese Operation anwenden , sollte die Ausgangsfunktion w ieder heraus komm en. Wenn wir den Wert einer Funktion g zu einem Anfangszeitpunkt

to und auch die Werte

ihrer Ableit ungen zu allen Zeite n t kennen,

lasst sich die Funktion dur ch Sum mat io n alter Zunahmen - den Differenzen dg - rekonstruieren .ln der Sprache st et iger Differen zen haben Mathematiker eine prazise Definition dieses Begriffs eingefuhrt und den Vorgang Integration genannt. Diese sehr heuri sti sche Beschreibung des Konzepts der Integration genugt fur dieses Buch, denn wir w erden die Gleichungen nie explizit Das Nabla-Sym bol - ein umgekehrtes Delta

integrieren.

- hat seinen Urspru ng in einer alt ertu mlichen dreieckigen assyrischen Harfe. Tart gab

Damit ended unser auf hellender Ausflug in einiges an Vokabular

ih r den Namen 'nabla' und geriet darauf in

und Symbol en, das in den Gleichun gen vorkommen wird . Eine

einen f rohlichen Streit mit Maxw ell, der den

Zusammenfa ssung findet sich in einer Tabelle am Ende des

Namen 'Ste igung' bevorzugte.

Buchs.

Das Wachstum vonLilien in einemTeich ; die Zunahme einerPo-

18

pulationvonBakterien,Ratten oderMenschen ; dieVerbreitung eineransteckenden Krankheit odereines idealen Kettenbriefs: all das sind Beispiele exponentiellen Wachstums. Es istfast be-

angstlgend an diesem Wach stum, dass die Zahlen sehr schnell enorm groB werden. Exponentielle Wachstumsprozesse enden

Aufst ieg und Fa ll

meistaufgrund von Resourcenmangel, etwa Mangel an Raum,

Die logisti sche Gleichung

NahrungoderGeld.

dn dt =rn

Das Gegenteil vonWachstum ist- mathematisch gesehen - sehr

ahnllch zumWachstum : dazu brauchtesnurdenWechsel eines

n(t) =noe Tt

Vorzeichens in der Gleichung. Dadie GroBe der Population nur vonderZeit abhangt, werden diese Prozesse durch sogenannte

gewohnliche Differentialgleichungen beschrieben, die nureine

Historische Bemerkung

Ableitungnach einerVariablen enthalten - in diesem Fall der

Inspiriert durch die Arbeite n von M althu s

Zeitvariablen. Wir beginnen mit der einfachen Gleichung fur

schlug der belgische Mathematiker Pierre

unbe schranktes Wachstum undbetrachten dann die logistische Gleichung, in der dasWachstum in einem bestimmten Gleich-

Verhulst 1838 die logist ische Gleichun g fu r

gewichtspunkt gesattlgt ist.

schen Revolutio n 1830 und der niederlandi-

begrenzt es Wachst um vor. Nach der belgi-

schen Invasion in seinem Land 1831 engagierte Das einfa chste Beispiel eine r Wachstumsgleichung besagt, dass

er sich polit isch. Da dieses polit ische Engage-

die zeit liche veranderung einer Grosse n(t) proportional zu ihrem

ment keine FrOcht e t rug. verlagerte er seine

Betrag zu dieser Zeit ist. n(t) bezeichne et wa die Anzahl der M ause

Int eressen zu sozialenFragen, durch Tat igkeit

in einer kaset abrik zur Zeit t. Diese M ause haben ausreichend

als Ma the matiker und Lehrer.

Futter und werden beginnen. sich w ie verrikkt zu vermehren . Das

Das Interesse Verhulsts an Wahrsche inli ch-

bedeutet, dass die gesamte Reprodu kt ion zu einer best immten

keit stheo rie w urde du rch eine neue Lot t erie

Zeit proportiona l zur Anzahl M ause in d iesem M oment ist. Mi t

get rieben. aber unte r dem Einfl uss von M al-

n pro Zeit ein heit -

d.h. die

thu s' Theorie des Bevolkerungswac hst ums

Zeit ableitu ng dn/dt - w ird prop ortional zu n sein. Oberset zt in

wa ndte er diese Theor ie bald auf polit ische

die Mathemati k erhalt man die nebenstehende Differential -

Okonorn ie und spat er auf dem ogr aph ische

and eren Worten. die veranderu ng in

gle ichung. wobei r der Reproduktionsgrad oder (Malthusscher)

Studien an. Sein labiler Gesundheit szust and

Wachstum sgrad ist (r ist gr osser als Nul l).

fOhrte 1849 im Alte r von 45Jahren zu seinem

In der tosung n(t) dieser Differentialgleichung wacnst die Anzahl

Tod.

dn n - =rn(l- -) dt k

exponentie ll mit der Zeit, wie die Grafik auf Seite 21 zeigt , bei der

20

no die Zahl der Mause zur Zeit Null bezeichnet. Zusammen mit der positiven Konstante n r bedingt die Tat sache, dass die Zeit im Exponenten steht, ein sehr schnelles Wachstum. Dies w ird durch die gestrichelt eingezeichnete, steil ansteigende Kurve in der Grafik veranschaulich t. Wahlen w ir eine negat ive Zahl fu r r, erhalten w ir eine Gleichung fur exponentielles Abklingen. Sie kann zum Beispiel benut zt we rden, um den radioakt iven Zerfall einer Anzahl Ato mkerne in einer Menge radioakt iven Materials zu beschreiben.

Das beschriebene Mo dell f ur die Ent w icklung der Ma usepopu lat ion ist nur teil w eise brauchbar: Die t osung dieser Gleichung legt ein ziem lich unreali stisches unbeschrankt es Wachstum nahe. Nach einer gew issen Zeit w ird die M ausepopul ati on so stark angewac hsen sein, dass es aufgru nd der beschrankt en zur verfugung st ehenden kasemenge zu einer Futterkna pp-

Der 5turz eines Imperiums

heit komm t, die das Wachstum w irksam reduzieren w ird. Das

Dies ist die Geschicht e eines chinesischen

Wachstum wird zum Stillstand kommen, wenn n einen gewissen

Bettlers, der den Kaiser darum bat, dass

krit ischen Wert erreicht, den w ir mit k abkurzen. Wi ll man diesen

ihm et was Re is gegeben werde, und zw ar

Effekt berucksicht igen, muss man die Gleichung andern . und

nach der 'Schachbrett- Regel'. Am ersten Tag

man erhalt die so genannte logistischeGleichunq, die von Pierre

sollte der Kaiser zwei Reiskorner auf das erste

Verhulst 1838 vorgeschlagen wurde .

Quadrat legen. am zweiten Tag vier Reiskor-

Das Bild zeigt den Mausebe stand n als Funktion von t fur ver-

ner auf das zw eit e Quadrat . am dritten Tag

schiedeneAnfangswe rte no. Nach einer Weile ( ~fU r grosseWerte

acht Korner auf das dritte Quadrat , uSW.

t) erreicht der Bestand den Grenzwert k. Dies geschieht , da der

Der bedauernswert e Kaiser bemerkt e nicht ,

Ausdruck auf der rechten Seit e der Gleichung fu r n nahe bei k

dass er dabei war. sein Reich zu rui nieren,

abnimmt , und folglich nim mt auch dn/ dt abo

und st immte ZU. Die Zahl der Reiskorner

Wenn w ir mit einem Anfa ngswert no groBer als k beglnnen, w ird

verdoppelt sich t agl ich. so dass er nach 64

das Vorzeichen auf der rechten Seite negativ, also hat auch die

Tagen 2 ~ 18,446,744 .073,709.551,616 Reis-

Ableit ung negatives Vorzelchen, was negat ives Wachstum

korner abgeben mu fste, also et wa 100 0 Mi l-

bedeut et , bis der Gleichgew icht spunkt n~k erreicht ist.

liarden Tonnen Re is!

64

21

Die exakte Form el fur die tosung ist uber dem Bild zu finden. Kom pliziertere Faile der Populationsdynamik, etwa in der Okologle, w o

p beispielswei se verschiedene kon kurrierende Arten

beschreibt,

konnen dur ch ein Syst em von p gekoppelten Gleichungen der

n(t)- _ _k_ _ l+(k/n o -l)e

-rt

eben diskutierten Form beschri eben w erden. Die logisti sche Gleichun g beruck sichti gt ein ige Darwins che Eigenschaften : sie gest attet es, verschiedene Aspekte des Prinzips der natiirlichen

Selekti on zu modellieren .

n(t) Thoma s Robert Malthus (1766-1834) erkannte zuerst die magIiche Gefahr eines unb eschrankten Bevolkerungs wa chstum s: er w urde w egen seiner pessimistischen Vorhersagen uber die Zukunft der M enschh eit beruhrnt. Sein wichtigster Beitrag zur

t--

Okonorni e ist das Essay Das Prinzipder Population. Ursprunglkh schrieb es Malthus als Antwort auf schw arrnerische Utilitaristen , die der M einung w aren, dass Bevolkerungswach sturn ein w ahrer Segen sei. M althus sagt e im Wesentlichen voraus, dass der Bedarf an Nahrun g zw angslaufi g gro fserw ird als die Versorgung mit Nahrung. Diese Progn ose basierte darauf, dassein exp onentiell es Bevolkerung swach stum einer nur bis zu einer gewi ssen Grenze w achsenden Nahrun gsmittelprodukti on gegenuberste ht . Es uberr ascht nicht, dass die Ideen von Malthus einen beachtlich en Einfluss auf Darwin und seine Theorie der natUrlichen Selektion hatten. Die Voraussagen wu rden allerdings durch verbessert e Produktionsund Befru chtungstechniken uberholt: trotzd em ist das Problem des glob alen Bevolkerung swachsturn s noch nicht gelost und hat die vo n Malthus vorau sgesagte Dringli chkeit zuruck erlangt.

Newtons drei dynamische Gleichungen besch reiben die Be-

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wegung eines Korpers der Masse m unt er dem Einfluss einer Kraft F. Sie bilden den Kern von Newtons Hauptwerk, den Principia Mathematica, in dem ers tmals Bewegung mit prazi-

Mec hanik un d Grav it ation

se n mathematischen Ausdr iicken und unter Verwendung von Ableitungen definiert und beschrieben wird. Diese Gleichun gen stehen am Anfang des mathematischen Modellierens dy-

Newtons dynamische Gleich ungen

namischer Systeme im allgemeinsten Sinn, sie sind die Wiege

und das universelle Gravi tationsgesetz

der quantitativen Wissenschaft. Die vierte Gleichung enthalt den exp liziten Ausdruck fiir die Gravitationskraft . Zusammen erklarten die Gleichungen das Gravitations-Phanomen - auBerhalb und auf der Erde - so we it es zu Newtons Zeit bekannt war. Die Gesetze bildeten die theoretische Grundlage fUr die Resultate von Kopernikus , Brahe, Kepler und Galileo iiber die elliptische Orbitalbewegung der Planeten um die Sonne, aber sie waren auch dafiir verantwortlich, dass ein Apfel vorn Baum fallt . Sie erklaren,

Isaac Newton

wie sich ein Gleichgewicht aus verschiedenen Kraften ein-

Isaac Newton w urde am Weihnachtstag 1642

stellt, das die Stabilitat von Briicken und Gebauden garan-

in einem kleinen Herrenhaus in Wooisthorpe,

tie rt , und andererseits, warum Konstruktionen manchmal

England geboren. M it zw61fJahren w urde er

einstiirzen.

auf die King's School in Grantham geschickt , wo er sich nicht gerade als Genie prasen-

Diese Gleichung en ent halte n Zeit ableitu ngen, denn die Ge-

t ierte. Er verlieB sein Elternh aus 1660 , um

schwindigkeit v = dr/dt ist die zeitl iche And erung des arts

sich auf Cambri dge vorzubereiten und gin g

und die Beschleun igung a= dv/dt die zeit liche Anderung der

ein Jahr sparer auf das Trinity Coll ege. Nach

Geschwin digkeit. art, Geschwin digkeit und Beschleunigung

acht Jahren akzept iert e er den tuc as-Lehr-

sind Vekt oren: sie besit zen eine Lange und zeigen in eine be-

stuh l fu r M ath ematik . Es dauer t e weite re

st immte Richt ung .

f unfzehn Jahre, bis er sein Hauptwerk, Prin -

Die erste Gleichung definiert den Impuls p; manchmal nennt

cipia Mathematica, zu schreiben begann, das

man ihn 'den Grad der Bew egun g'.

Werk eines wah ren Genie s, das f ur immer

Die zwei te , bekannt este Gleichung bestimmt die Bewegu ng in

das Gesicht der Wissenschaft verandert e,

Abhan gigkelt der auf den K6rper ausgeubte n Kraft. Wenn w ir

Obw ohl es ent husiast isch aufgenommen

p=mv F =ma

eine Kraft F anw enden , bewirkt dies eine Beschleunigung a in

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Richtung der Kraft. Die Gleichung besagt insbesondere, dass sich die Geschwindigkeit nicht andert, solange keine Kraft ausgeubt wird , und dass der 1m pui s kon st ant bleibt. In den Anf angst agen der Mech anik galt es als eine revolutlonare Idee,dass Sewegung ohne die Anw esenheit einer Kraft andauern wurde - ein ziem -

w urde, f and New t on s Wer k keine volle

lich verwirrender Gedanke jen seit s der Intuition. Wenn viele

Akzepta nz und w urde erst nach seinem

krafte auf ein Teilchen einwirken - beispielsweise Reibung,

Tod in Unlversita te n gelehrt. 1699 w urde er

Luftwiderst and und ein elektrisches Feld - dann ist Fdie Netto-

zum Maste r of t he Min t in Lond on ernan nt.

Kraft, die auf das Teilchen wirkt.

Newton, der Wissenschaftler,Verwalter, Eso-

Die dritte Gleichun g besagt, dass, w enn wir eine Kraft auf einen

t eriker und Theologe - er schrieb t ausende

K6rper ausuben, dieser K6rper eine gleich grolk aber entge-

Seite n uber Theologie - sta rb 1727 in seinem

geng esetzt gerichtete Kraft auf uns ausuben wi rd; kurz, 'act io

Haus in Kensington. Er wu rde in der West -

gegenglei ch reacti o'. Die Sonne ubt eine Kraf t auf die Erde aus

min st er Abbey beigesetz t.

und die Erde ubt die gleiche Kraft, aber in umgek ehrter Richtung, auf die Sonne aus. Ein Buch ubt eine Kraft auf den Tisch aus, aber der Tisch ubt die gleiche Kraft auf das Buch aus, anderenfalls w urde das Buch geradew egs hindurchfallen. Die let zte Gleichung enthalt die Formel f ur die Gravitation skraft. Dieses Geset z ist erst aunli ch einfa ch: j e zw ei K6rp er der Massen m, und m2 ziehen sich gegenseitig mit einer Kraft FG an, die prop orti onal zum Produkt der Ma ssen und indirekt propor ti onal zum Quadrat des Abst ands der K6rper ist. Tat sachli ch ist die Sta rke der Anziehung im doppelt en Absta nd noch ein Vierte l (siehe Sild). Die Proportion alitatskon stante GN, die man w enig uberraschend Newtons Konst ante nennt, ist uni versell in dem Sinn, dass sie fur aile K6rp er gilt, unabh angig davon, aus w elchem Material diese best ehen. Zusamm en mit den Bewegungsgleichungen liefert die Gravitationsgleichung eine quantitati ve Erklarung fur die Planetenbew egung um die Sonne, aber sie beschreibt auch Gravitation seffekte auf der Erde korrekt, insbesondere Galileos Beobachtung, dass die

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Beschleunigung 9 fr ei f allender Objekte auf der Erde nichtvon deren Masse abhangt. Dieses Gesetz erhalt man aus Newtons Gleichungen, wenn man

m, durch die Ma sse der Erde M und r

durch den Erdradius R ersetzt. Wenn wir dann das Ergebnis mit Galil eos Formel F=mg vergleichen, erhalten wi r die Beschleuni2

Energieerhaltung

gungg = GNM /R Das Kraftge setz vereinigt

Das Prinzip der Energiee rhaltung w ird in

von Erd- und Himmelsmech anik.

der ganzen Physik in Ehren gehalten . Um es

Diese vier einf achen Gesetze w aren ein Sieg des Geistes uber

50

die Beschreibung

allerdings wirk lich zu verstehe n, mu ss man

die Materie. Was den Anw endungsbereich der Newtonsch en

aile rnogli chen Formen von Energie beruck-

Gesetze

sicht igen, w ie etwa vvarrne. Stra hlun g, Bin-

beliebiger Natur sein kann, es mu ss keine Gravit ati onskraf t sein.

dungsenergie und auch Masse. Fur einfa che

Newtons Gleichungen erlauben es uns, zumind est im Prinzip, die

50

breit macht , ist die Tatsache , dass die Kraft F von

Systeme wie die Bewegung eines Objekts

Bewegung vieler intere ssanter Systeme zu berechnen: Projektil e,

unt er eine r ort sabhang igen Kraft (z.B. eine

Satellit en und Planeten, aber auch Aut os, die Saiten von Geigen,

Schwingu ng oder eine Bew egung in einem

Pendel, Hula-Hoop-Reifen, Windmuhlen, Schw immer, Fahrrader

Gravitat ionsfe ld). ist der Ausdruck f ur die

und Bungee-Jumping . Auch fUr st at ische Betra chtungen - bei-

Gesamt energie U gegeben durch :

spielswe ise zur Berechnung der Krafteverteilun g bei Brucken oder Gebauden - sind die Gleichungen wese nt lich.

Nichtlineare Dynamik und Chaos

Der erste Term ist der kineti sche Tell, der qua-

Gegen Ende des '9. Jahrhund erts bemerkte der franzo sische

drati sch von der Geschwindigkeit v abhangt.

mathematische Physiker Henr i Poincare, dass sogar ziemlich

und der zweite Term V(x) ent spricht der

einfac he Systeme, di e harmlos aussehend en Differentialglei-

pot enti ellen Energie. Die Kraft ist defi niert

chungen w ie denen von Newton genugen, aulserst kornpli -

als negati ve Ab leit ung von V(x). also F(x)

ziert e Orbits besitzen konnen . Noch wichtiger ist, dass klein ste

= - dV(x)/dx. Wenn die pot enti elle Energi e

Anderungen der Anfangsbedingungen manchmal zu dramatisch

hoch ist, w ird die Kraft graB. Aus New t ons

anderen Bew egungen fUhren. Diese ext reme Sensibilit at gegen-

Gleichungen folgt die Erhalt ung der Gesamt-

uber den Anfangsbedingungen hat bedeutende Konsequenzen:

energie. dUidt = O. Die grund legende Bedeu-

sie fuhrt zu dem , w as man chaot isches Verhalt en nennt. Wenn

t ung von Begriffe n w ie Energie wu rde gerade

wir ein reales Experim ent oder eine Computersimulati on eines

durch unsere Einsichten uber dieseeinfachen

solchen Ereignisses wied erholen, konnen wir die Anfangs-

Systeme offen sicht lich.

bedin gungen nur mit einer gewis sen, w enn auch geringen,

Unsicherheit reproduzieren . Wenn also das betrachtete System

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eine extreme Sensibilitat gegenuber den Anfangsbedingungen aufweist, waren die Ergebnissesolch 'ident ischer' Experimente vollig verschieden . Das schrankt unsere Fahigkeit zu genauen Vorhersagen erheblich ein. Solch ein wirklich unvorhersehbares Verhalten eines, genau genommen wohldefinierten, vollig deterministischen Systems nennt man deterministisches Chaos. DieseArt Chaosist eine sehr natUrliche Eigenschaft nichtlinearer dynamischer Systeme und seit dem letzten Viertel des vorigen Jahrhunderts ein wesentliches Forschungsgebiet. Chaotisches Verhalten hangt nicht von einer bestimmten Gleichung ab; es bezieht sich vielmehr auf das Verhalten der tosungen nichtlinearer Gleichungen , wenn die Parameter der Gleichungen in einem gewissen Bereich liegen. Ein besonders einfaches Beispiel ist das von Lehtihet und Miller untersuchte 'Gravitations-Billiard'. Dieses System besteht aus einer Kugel in einem Gravitationsfeld, die sich in einer vertikalen Ebene bewegt. Ihre StoBe an die wande eines rechteckigen Behalters sind vollig elastisch (siehe Bild). Mit Hilfe der dynami schen Gleichungen Newtons und der Gleichung fur die Gravita tionskraft aus den vorigen Abschnitten konnen die Bahnen fur die Kugel zwischen den Wanden leicht berechnet werden. Sie erfahrt wegen der Gravitationskraft eine konstante vertikale Abwartsbeschleunigung und beschreibt daher eine Bahn, die zwischen zwei Stolsen gerade ein Parabetsegment ist (genau wie die Bewegung einer Kugel im Gravitationsfeld der Erde). Wenn sie anstofst, wechselt die senkrecht zur Wand gerichtete Komponente der Geschwindigkeit die Richtung. Trotz der offensichtlichen Einfachheit dieses Systems kann die Bewegung der Kugel je nach Anfangsbedingung oder Anfangswinkel einfach periodisch, aber auch chaotisch sein.

y

27

NewtonsVermachtnis Schreibt man die Gleichungen fur ein Syst em von Objekten inklusive aller zwi schen Ihnen w irkenden Krafte nieder, so erhalt man ein geschlossenes System gekoppelter Differentialgleichungen, w elche die Dynamik des gesamten Systems beschreiben. Diese Eigenheit ist generisch fur umfangreiche Klassen verschiedener dynami scher Systeme, und darin liegt auch der Grund dafur, dass Newtons Principia den Weg zur quantitativen

wissen schaftlichen

Beschreibung

praktisch

jedes dynamisch en Syste ms ebnete. In der Mechanik sind die Variablen Orte und Geschwindigkeiten von Teilchen, aber es konnten auch Bevolkerungsdichten verschiedener Spezies in einem Okosystern oder Produktionsfaktoren w ie Preise, Aktien und tohn e in einem okonom ischen Mod ell sein. Wie schon bemerkt, schlieiSen Newtonsche dynamische Systeme t rotz ihrer deterministischen Natur ein groiSes Spektrum chaotischer Syst eme ein. Einfache Syste me - wi e zwei sich einander durch eine zentrale Gravitationskraft gegenseitig anziehende Korper - konnen exakt mittels wohlbekannter mathematischer Ausdrucke und Funktionen gelost werden . Allerdings kennt man fur die meisten Probleme keine exakten tosungen und muss sich daher auf eine qualitativere globale Analyse oder computergenerierte Naherung slosungen stutzen, wenn man Erkenntnisse uber das

Das Geflecht der Wissenschaften Moderne W issenschaf t besteht nicht nur aus dem Dialog zw ischen Theorie und Experim ent , oft spielt auch der Computer eine w icht ige und ziem lich unabhangige Rolle, we nn Gleichungen st udiert und das Verhalten ihrer Iosungen unt ersucht werden. Experim ent , Theorie und Compute rsimu lat ion bild en eine perfe kte menage

atrois .

Aussehen und die Eigenschaften der tosungen gewinnen will.

Newtons dynamische Gleichungen geltenfUrjede Kraft,dieauf

28

einObjektwirken mag. Newtonselbst formulierte denAusdruck fur die Gravitationskraft. Unterdenanderen Kraften derNatur istdieelektromagnetische Kraftdiejenige vonhiichster Tragweiweitgehendverantwortlich fUrdie Eigenschaften vonMaterie

Die elektromagnetische Kraft

in ihren verschiedenen Erscheinungsformen, vom Festkiirper

Die Lorentzkraft

te, dennsie haltAtomeundMolekiilezusammen. Diese Kraftist

biszu Nervenzellen. Grundlegend fUr all diese Situationen ist dieauf ein geladenes Teilchen ausgetlbte Kraft, wennessichin einemgegebenen auBeren elektromagnetischen Feld bewegt. Hendrik AntoonLorentz fiihrte das elektromagnetische Kraft-

Hendrik Antoon Lorentz

gesetzin seinerallgemeinen Form ein.

Lorent z w urde 1853 in Arnhe im in den

Die Lorentzkraft enth alt zwei Ant eile. Der erste Term sagt uns,

fi orierende Gart nerel betrieb. Mit 16 Jahren

q, die sich in einem elek-

gi ng Lorentz an die Universita t Leiden,

trischen Feld bew egt, eine Kraft in Richtung des elekt rischen

scho n mi t 22 erhielt er seinen Dokt orgr ad

Niederlanden gebo ren, wo sein Vate r eine

dass eine beliebige (posit ive) Ladung

Felds E e rfa hrt , 1st also das elekt rische Feld zeit lich und iirt lich

und nur zwei Jahre danach w urde er zum

konstant, so ist die auf das geladene Teilchen ausgeubte Kraft

Inhaber des f ur ihn neu geschaffe nen Lehr-

konstant und somit bewegt sich dasTeilchen mit einer konstanten

st uhls fu r t heoretische Physik.

Beschleunigung in Richt ung des elektrischen Felds. Eine groBe

Dor t konnte er Gedanken der Atom physik

Ladung erfahrt eine starkere Kraft als eine kleine Ladung und bei

m it den Ma xw ellschen Gleichung en ver-

gleiche r Ma sse eine hohere Beschleunigung. Tatsachlich kann

knupfen , aber er st and auch an der Schw elle

man elekt rische Felder zur Beschleunigung von Teilchen benutzen.

zur Relativitatstheori e. Seine enorme inter -

Diese Kraft ist auch fur die Anziehung unt erschiedli ch geladener

nat ionale Reputati on grundete sich auf sein

Teilchen verant wo rt lich: eine Ladung erfahr t die Kraft des von

profundes Wissen und Urteil sverm iigen,

der anderen erzeugten elektrischen Felds; die Foige kann sein,

verbunden mi t seinem gedu ldigen und

dass beide ein gebundenes Paar w erden.

bescheidenen Charakter. '902 erhielt er zusamm en mit Piete r Zeema n einen der

Der zweite Term ist von einer ganz anderen Art. Er beschreibt die

ersten Nob elprei se fur seine Erklarung

auf grund eines mag net ischen Felds B wi rkende Kraft. Beachte,

der Aufspalt ung des Linienspektr um s. die

dass die Kraft w ieder propor t ional zur Ladu ng q ist , aber auch

Zeeman beobach tet hatte. Lorentz starb

zur Geschwin digkei t v des Teilchens. Es mag uberraschen, dass

1928 in Haarlem .

qv

Fem=qE+-xB c

ein ruhendes Teilchen das magnetische Feld nicht spurt. Das

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'Kreuz'-Produkt der beiden Vektoren v und B bedeutet, dass die Kraft sowohl auf der Geschwindigkeit des Teilchens als auch auf dem magnetischen Feld senkrecht steht, wie das Bild zeigt. Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht dem Produkt der Betrage von v und B, multipliziert mit dem Sinus des Zw ischenwinkels. Sind also die beiden Vektoren parallel , so ist ihr Kreuzprodukt Null (denn sin 0 = 0) . Wie wirkt die magnetische Kraft also? Bewegt sich das Teil-

\::---~

B

chen durch ein konstantes magnetisches Feld, so wirkt auf das Teilchen eine konstante Kraft, die immer senkrecht auf seiner Geschwindigkeit steht. Daher erfah rt es eine Beschleunigung von konstantem Betrag , senkrecht zu seiner Geschwindigkeit. Falls die Geschwindigkeit senkrecht auf dem Feld steht, wird sich das Teilchen auf einer krelsforrnigen Bahn in einer Ebenesenkrecht zur

Multiplikation von Vektoren

Feldrichtung bewegen. Steht die Geschwindigkeit nicht senkrecht

Mittels elegant er Notationen we rden die

auf dem Feld, so andert sich die Geschwindigkeitskomponente

Gleichungen aufsers t komp akt und ihre

in Feldrichtung nicht, und die Komponente senkrecht zum Feld

St rukt ur dadurch sehr dur chsiehtig . Fur

fuhrt zu einer kreisformigen Bewegung. Kombiniert man die

zwe i Vekto ren u und v konnen w ir zw ei

beiden Effekte, so erhalt man eine spiralforrnige Bewegung

Arten von Produkten defini eren : das eine

des Teilchens um die magnetischen Feldlinien herum .

nennt man das Skalarprodukt , w eil das

Genau dies passiert den geladenen Teilchen, die von der Sonne

Result at eine einfache Zahl (ein Skalar)

uv eos