Dev de Maison [PDF]

Zitiervorschau

INSTITUT SUPERIEUR FAUCON DEVOIR D’ANALYSE NUMERIQUE DUREE : 1 semaine GTB NB :  

Ceci est un devoir de maison pour le cours d’analyse numérique Aucune connaissance en mécanique et modélisation géométrique n’est requise pour traiter cet exercice

Problème On se propose de faire la modélisation géométrique d’un silo réalisé en matériaux locaux (banco), en vue de déterminer ses caractéristiques physicomécaniques. Il est demandé d’utiliser les techniques d’analyse numérique pour cette modélisation. 𝑧, 𝑘ሬԦ

𝑥, 𝑖Ԧ

𝑓(𝑧)

O

𝑦, 𝑗Ԧ

𝑥, 𝑖Ԧ

𝑧0 = 0 𝑧1

𝑧2

𝑧3 𝑧4

𝑧5

𝑧6

𝑧7 𝑧8 𝑧9 𝑧10 = 𝐻

Figure 2 : section suivant xOz

Figure 1 : vue en perspective du silo

On admet que le silo, objet d’étude, est un solide en révolution autour de l’’axe (Oz), comme l’indique la figure 1. Sa section plane suivant un plan contenant l’axe de révolution (xOz par exemple) décrit une courbe dont on se propose d’estimer l’expression 𝑓(𝑧). Pour cela, on a mesuré le diamètre extérieur 𝐷𝑖 du 𝐷

silo à différentes hauteurs 𝑧𝑖 (voir figure 2). On obtient ainsi, 𝑓(𝑧𝑖 ) = 𝑅𝑖 = 2𝑖. Les mesures de hauteur et de diamètre ont été réalisées avec une précision

Δ𝐿 L

=

1%. L’épaisseur e du silo, supposée constante, a été mesurée avec une précision

Δe e

= 0.5%. Le résultat des mesures effectuées est consigné dans le

tableau 1. Page 1 sur 3

𝑧, 𝑘ሬԦ

Pour une hauteur z donnée, avec 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻, la surface extérieure et le volume intérieur du silo, comptés à partir de la base jusqu’à z sont donnés respectivement par : 𝑧

𝑆(𝑧) = 2𝜋 ∫ 𝑔𝑠(𝑡)𝑑𝑡 0 𝑧

𝑣(𝑧) = 𝜋 ∫ 𝑔𝑣(𝑡)𝑑𝑡 0

Avec 𝑔𝑠(𝑡) = 𝑓(𝑡). √1 + [𝑓′(𝑡)]2 et 𝑔𝑣(𝑡) = [𝑓(𝑡) − 𝑒]2 . √1 + [𝑓′(𝑡)]2. Tableau 1 : Résultat des mesures 𝒛𝒊

𝑫𝒊

𝒇(𝒛𝒊 )

(𝒎)

(𝒎)

(𝒎)

0

0.00

0.00

0.000

1

0.15

1.33

0.665

2

0.30

1.64

0.820

3

0.45

1.79

0.895

4

0.60

1.84

0.920

5

0.75

1.64

0.820

6

0.90

1.38

0.690

7

1.05

1.13

0.565

8

1.20

1.07

0.535

9

1.35

1.13

0.565

10

1.50

1.23

0.615

i

L’épaisseur e vaut 𝑒 = 0.054𝑚 et la hauteur du silo est 𝐻 = 1.5𝑚 1. Indiquer comment faire une approximation de 𝑓(𝑧). Préciser le type d’erreur commise. 2. Indiquer deux méthodes différentes pour le calcul approximatif de la surface extérieure 𝑆(𝐻) et du volume intérieur total 𝑣(𝐻) du silo. Donner les formules correspondantes en fonction de 𝑔𝑠 et 𝑔𝑣. 3. Donner les valeurs de 𝑧2 , 𝑧7 , 𝑓(𝑧3 ) et e avec leurs chiffres significatifs exacts respectifs. NB : Dans la suite, on utilisera les valeurs contenues dans le tableau 1 sans tenir compte des erreurs de mesure. On ne considérera que les points 𝐳𝐢 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐢 = 𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖 Page 2 sur 3

4. Etablir la table des différences divisées de la fonction f, puis en déduire une approximation polynômiale 𝑃4 (𝑧) de 𝑓(𝑧). On présentera les résultats avec 8 chiffres après la virgule. 5. A l’aide de Simpson 1/3, donner une approximation de la surface extérieure et du volume intérieur total du silo. Pour la dérivée de f, on pourra utiliser 𝑃4 (𝑧). 6. Quel est l’ordre de grandeur des erreurs sur la surface et le volume calculés à la question précédente ? Comment peut-on améliorer la précision de ces deux grandeurs ? 7. Indiquer et sans le mettre en œuvre, un algorithme pour la détermination de la hauteur de remplissage 𝑧 du silo correspondant au 2/3 de son volume total. 8. On se propose de déterminer à présent le niveau 𝑧𝑖𝑛𝑣 d’inversion de concavité du silo, qui n’est rien d’autre qu’un point d’inflexion de 𝑓(𝑧). Déterminer ce point à l’aide de l’algorithme de Newton-Raphson pour les équations non linéaires en partant de 𝑧6 . On calculera les 4 premières approximations.

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