Determinanti - Fisa de Lucru (Clasa A XI-A) [PDF]

Zitiervorschau

DETERMINANŢI CLASA A XI-A

1. Folosind proprietăţile determinanţilor, să se calculeze punând rezultatul sub formă de produs.

ab bc ca

a b bc c-a a)

bc ca ab

b)

ca ab bc ab bc ca c)

a2  b2 b2  c2 c2  a2

ab bc ca bc ca ab

d)

ca ab bc

a3  b3 b3  c3 c3  a3

2

a ab b e)

x2 x 1

2

b 2 bc c 2 c 2 ac a 2

a2  b2 b2  c2 c2  a2 2ab 2bc 2ca

f)

1  y y2 y 2  xy x 2

1

g)

ab bc ca x y yz zx u v v w wu

h)

2 2 2 2 5 3 1 x2 1 x2 1 x2  2x 1  5 x  3x 4

7 x

5

x3 1 x 2. Se dă ecuaţia 1 - 1 1  0 ; a  R \   1 x1a Să se determine parametrul a astfel încât între rădăcinile ecuaţiei să existe relaţia: x12  x22  x32  1  ( x1 x2 x3 ) 2

3. Fie ecuaţia: x 3  x 2  ax  b  0 ; a, b  R având rădăcinile reale x1 , x2 , x3 . Să se arate că acestea sunt egale dacă şi numai dacă

2

x1 x2 x3 x3 x1 x2  0 x2 x3 x1 Să se rezolve în acest caz ecuaţia şi să se determine a şi b.

4.

Fie

 1  1 1   A    x1 x2  x3  unde 2 2 2   x1  x2 x3 

x1 , x2 , x3 sunt

rădăcinile

ecuaţiei:

x 3  ax  b  0 ; a, b  R . Calculaţi în funcţie de a şi b det A.

5.Dacă a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi si ha , hb , hc sunt înălţimile corespunzătoare, care este valoarea determinantului:

1 a hb .hc   1 b hc .ha 1 c hb .ha 6.Să se arate că oricare ar fi a, b,c  R ,avem:

3

1 a  b c c a 1 b  c a  0 b

b 1 a  c

7. Să se arate că determinantul:

b 2c 2

c2a2

a 2b 2

  b 2  bc  c 2 c2  ca  a 2 a 2  ab  b 2 bc

ca

este divizibil prin  ab  bc  ca  2

ab

8.Fie a, b, c  R ,  a, b, c    a  b  2  b  c  2  c  a  2 şi S K  a k  b k  c k , k  N . Să se calculeze  a, b, c  în funcţie de S1 , S 2 , S3 , S4 . 9.Fie numerele

N i  ai bi ci

scrise în baza zece cu i  1, 2, 3 .Dacă cele trei

a1 b1 c1 numere sunt divizibile cu 31 atunci şi determinantul

  a2 b2 c2 este divizibil cu a3 b3 c3

31. 10.Să se arate ca oricare ar fi matricea pătratică de ordin n, n   2,3 cu elemente numere reale are loc inegalitatea. det  I  A 2   0 unde I este matricea unitate de ordin n.

4

11.Dacă

2 1  A    0 1

4

să se calculeze det B unde B   A

K

K 1

12.Fie A  M 2  Q  astfel încât det A  3

A

2

 3I 2   0 .Să se arate că: A2  3I 2 ; det

13.Dacă a, b, c  1,2,3,...,9 sunt cifre şi se notează

abc  100  a  10  b  c ,

atunci

abc bca cab determinantul

cab abc bca

este pozitiv.

bca cab abc Prof. MOCANU LIVIA Prof. BÎNZAR ADRIANA Colegiul Tehnic „ION MINCU”

5