D Introduction À La Dynamique de Structures [PDF]

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Chapitre :01 Introduction à la dynamique de structures 1.1 Objectif de la dynamique de structure : Dans les problèmes traités dans le cadre de la mécanique statique des structures, on suppose que le chargement imposé (déplacement, efforts, température, ...) passe progressivement de sa valeur initiale à sa valeur finale faisant ainsi passer le milieu sollicité d’une configuration initiale à sa configuration finale. Les paramètres à calculer (contraintes, déformations ,déplacements, réactions, ...) sont relatifs à l’état final fixe et par conséquent ne dépendent pas du temps. Dans le cadre de la dynamique au contraire les chargements imposés, ainsi que les propriétés géométriques et matériaux, peuvent varier dans le temps. Les paramètres à calculer sont donc également des fonctions du temps, et de nouvelles grandeurs apparaissent pour caractériser le mouvement ( c’est à dire la variation de configuration dans le temps). Ce sont les paramètres cinématiques tels que les vitesses, les accélérations, les fréquences, ... qui n’existent pas dans le cas de la statique. L’étude dynamique d’une structure a pour but essentiel de caractériser (déterminer et définir) et analyser les déplacements, les déformations et les contraintes développées dans n'importe quel type de structure lorsqu'elle est soumise à un chargement dynamique arbitraire. Il s’agit donc de prévoir le comportement vibratoire de l’équipement ou de la structure (machine, tuyauterie, charpente, génie civil). En effet, dans de nombreux secteurs industriels, il est primordial de déterminer, pour le dimensionnement et la conception, les niveaux d’efforts que les structures peuvent soutenir, mais également les propriétés amortissantes qu’elles peuvent développer. Sans être exhaustif, on peut citer les cas suivants:   

le comportement des structures soumises à des chocs (crash automobile, impact d’avion) le mouvement causé par un séisme ou une explosion les vibrations induites par un écoulement (pont soumis au vent, tuyaux d’un circuit industriel sous écoulement interne…), une machine tournante (turbines, réacteurs…) ou un contact (contact roue-chaussée, frottement des freins à disque…)

1.2 Caractéristiques d’un problème de dynamique : Tous les problèmes de dynamique de structure ont en commun : -

-

d’une part, un chargement qui varie au cours du temps (ceci est aussi le cas pour des problèmes statiques tel que la fatigue ou le fluage). Un problème dynamique n’a pas alors une solution unique. En effet l’analyse du problème donne lieu à une succession de solutions correspondant aux différentes valeurs du temps. Ainsi, une analyse dynamique est nettement plus complexe et chronophage (prend plus de temps) qu’une analyse statique. d’autre part, l’importance des forces d’inertie (masse et géométrie de la structure) dans le problème et qui représentent une partie significative de la charge totale équilibrée Fig. (1.1).

Fig.(1.1) : Différence entre un chargement statique (a) et un chargement dynamique (b)

Pour la poutre de la figure (1.1), nous pouvons considérer les deux situations suivantes : -

-

La poutre est soumise à une charge statique (p) Fig(1.1.a) : les moments de flexion et les efforts tranchants internes, ainsi que la déformée ne dépendent que de cette charge et ils peuvent être calculées à la base du principe d’équilibre des forces. La charge p(t) est appliquée de façon dynamique Fig.(1.1b) : les quantités calculées (les déplacements, etc.) résultant dans la poutre ne dépendent pas seulement de cette charge (p), mais aussi des forces d'inertie. Ainsi, les moments de flexion et les efforts tranchants internes doivent équilibrer, non seulement la force extérieure appliquée p(t), mais aussi les forces d'inertie résultant des accélérations du faisceau de points de la poutre.

D'autre part, si les mouvements sont si lents, les forces d'inertie sont alors négligeables, et ainsi l'analyse de la réponse pour un instant quelconque souhaité de temps peut être effectuée selon les principes de la statique même si la charge est variable en fonction du temps.. 1.3 Types de chargements : Les actions agissant sur les structures peuvent être classées en sollicitations déterministes et aléatoires, suivant le degré de connaissance de celles-ci, et pour les sollicitations déterministes en actions périodiques, impulsives ou entretenues suivant leur forme de variation dans le temps. A chaque type d'action correspond un mode de caractérisation et une méthode de résolution la mieux appropriée.

1.3.1 Chargement déterministe :

Si le chargement appliqué est parfaitement défini par sa variation temporelle et spatiale, le chargement est qualifié de déterministe. Un tel chargement peut être : a) Périodique : si le diagramme de chargement se reproduit à l'identique au bout d'une durée T, appelée période de la sollicitation. Parmi les chargements périodiques, on distinguera les chargements harmoniques et les chargements anharmoniques. -

Un chargement harmonique : est typiquement celui engendré par une machine tournante Fig.(1.2.a). La sollicitation est définie par son amplitude A. et sa pulsation ω. Elle est décrite par une fonction sinusoïdale : y (t )= Asin (t)

Il est souvent, pour des raisons pratiques, préférable de définir les sollicitations harmoniques sous la forme d'une fonction complexe y (t )= ρ eiωt Où ρ est un nombre complexe Unbalanced rotating Machine in building

(a)

Rotating propeller at stern ship

(b)

Fig.(1.2) : Chargement périodique :harmonique(a) et anharmonique(b)

-

Un chargement anharmonique : C’est un chargement périodique, sans être harmonique. C’est le type de chargement engendré, par exemple, par un propulseur de navire Fig.(1.2.b). D’après l’analyse de Fourier, ce chargement peut être exprimé comme une somme de chargements harmoniques caractérisés chacun par une amplitude Aj et une pulsation ωj. Un tel chargement s'écrit sous la forme d'une somme d'harmoniques : +∞

y ( t )= ∑ A j e

i ( j ω0 t)

j=−∞

Où ω0 est la pulsation de l’harmonique fondamentale. b) Non périodique : le chargement ne se reproduit pas à l'identique après un intervalle de temps T. Il peut être du type impulsif ou entretenu. -

Le chargement impulsif : est caractérise par une sollicitation de faible durée totale (durée de la sollicitation est petite par rapport à la période de vibration de la structure en question), telle celle induite par le front d'une onde de choc heurtant la structure Fig.(1.3). Un tel chargement est défini par sa variation temporelle :

y (t )=f (t )

(*)

Si on ne s’intéresse qu’à la réponse maximale de la structure sous l’effet de cette impulsion, on caractérise ce chargement à l'aide d'une quantité simplifiée, appelée spectre de choc.

Fig.(1.3) : Chargement impulsif - Le chargement entretenu (forcé non limité dans le temps): Il peut être défini comme le chargement résultant d'une succession d'impulsions. C'est typiquement le cas d'une sollicitation sismique Fig.(1.4). Par opposition au chargement impulsif, la durée totale de la sollicitation est grande par rapport à la période propre de la structure. Une sollicitation non périodique entretenue peut être définie à l'aide d'une équation du type (*).

Fig.(1.4) : Chargement entretenu (forcé non limité dans le temps) 1.3.2 Chargement aléatoire: Beaucoup des chargements sollicitant les structures (Mécaniques ou de Génie Civil) ne peuvent être définis de façon déterministe par une équation du type (*). Ils ne sont généralement connus que par leur valeur moyenne. Il s'agit typiquement des mouvements vibratoires engendrés par le trafic ferroviaire ou routier (Fig.1.5), le vent, etc. La sollicitation est dite aléatoire et est représentée par sa densité spectrale de puissance. On parle alors de la dynamique stochastique.

Fig.(1.5) : Chargement aléatoire

1.4 Mouvements harmoniques simples: 1.4.1 Degré de liberté : Le nombre de degrés de liberté pour un système quelconque est égal au nombre minimal de coordonnées indépendantes nécessaires pour définir la configuration du système en question.

Fig.(1.6) : Eléments de vibration d’un système 1.4.2 Principe de D’Alembert: Les équations d’équilibre statique d’un système donné peuvent être appliquées en cas de dynamique en leur ajoutant la force d’inertie. L’équilibre dynamique s’écrit alors : ´ ⃗ F ( t )−m . ⃗´x =0 ou ⃗ M ( t )−I . ⃗θ=0 1.4.3 Deuxième loi de Newton: La variation de la quantité de mouvement

(m. ⃗v )

est égale à la force agissant

sur la masse (m). d ⃗x ( t ) d 2 ⃗x ( t ) d ⃗ F ( t )= m =m =m . ⃗x´ 2 dt dt dt

(

)

De même pour les vibrations de torsion, cette loi donne : 2⃗ ⃗´ ⃗θ= ´ d θ (t ) ⃗ M ( t )−I . θ=avec d t2

Où

⃗θ´

et

θ

sont respectivement l’accélération et le déplacement angulaires.

I : Moment d’inertie de masse. 1.4.4 Vibrations libres sans amortissement:

Fig.(1.7) À l’équilibre statique on a : m. g=K . δ st δ st : Déformation statique. En déplaçant la masse d’une distance x, et en utilisant le principe de D’Alembert on aura : m. ´x + K ( x+ δ st )−m . g=0 m. ´x + K . x + K . δ st −m. g=0

m. g=K . δ st

Or

m. ´x + K . x=0

On aura alors :

Le système de la figure (1.7) est réduit à l’état représenté par la figure (1.8). L’équation d’équilibre dynamique s’écrit alors : ´x +

K . x=0 m

(*)

C’est l’équation d’un mouvement harmonique simple qu’on peut écrire sous la Fig. forme : (1.8) ´x + ω2n . x =0 La solution générale est donnée par : x= A . sin ( ωn t )+ B . cos ⁡( ω n t )

(**)

Où A et B des constantes que nous pouvons déterminer à partir des conditions initiales.

et

ω n=

√

K rd/ s m

ωn

: fréquence naturelle circulaire avec

[kg] x= A . sin

(√ Km t )+ B .cos ⁡( √ Km t )

K [N/m] et

m

T=

La période de vibration est :

La fréquence naturelle linéaire « 1 1 f n= = T 2π ω n et f n 

√

K m

ωn

√

2π m =2 π ωn K fn

»:

Peut-être écrite sous la forme :

ω n=

√ √

K g = m δ st

sont appelées fréquences naturelles.

Posons

A= Xcos ∅

B=Xsin ∅

et

l’expression (**) devient :

x=Xcos ∅ . sin ( ωn t )+ Xsin ∅ . cos ⁡(ωn t) x=Xsin ⁡( ωn t+∅) ∅

X et 

Posons

(***)

à déterminer à partir des conditions initiales.

A= Xsin ψ

et

B=Xcosψ

l’expression (**) devient :

ω (¿¿ n t−ψ ) x =Xcos ¿ X et

ψ

à déterminer à partir des conditions initiales.

Si le mouvement a débuté par un déplacement de masse v0

x0

et avec une vitesse

, alors : t=0 ; x=x 0

et

´x =v 0

Ce qui donne en remplaçant dans l’expression (**) : x 0= A ( 0 ) + B ( 1 ) ⇒ B=x 0 ´x = A ω n cos ( ωn t ) −B ωn sin ( ωn t ) v 0 =A ωn ( 1 )−B ωn (0)

A=

v0 ωn

L’expression (**) devient : x=

v0 sin ( ωn t ) + x 0 cos ⁡( ω n t ) ωn Cette relation représente la solution générale de l’équation(*).

Pour l’expression (***), et en considérant les mêmes conditions initiales on aura : x=Xsin ⁡( ωn t+∅)

´x =X ω n cos ⁡( ωn t+∅) v 0 =X ωn cos ⁡∅

D’où

ou encore

√

v0 2 X = x0+ ωn

tan ϕ =

2

( )

v0 =Xcos ⁡∅ ωn

et

x0 v0 ωn

( )

=

et aussi x 0 . ωn v0

ϕ =tan−1

(

x 0 . ωn v0

x 0=Xsin ⁡∅

)

Et enfin

√

x= x20+

v0 2 sin ( ω n t +∅ ) ωn

( )

De façon similaire on peut écrire l’expression de la solution :

ω (¿¿ n t−ψ ) x =Xcos ¿

Sous la forme :

√

v0 2 x= x + cos ( ωn t−ψ ) ωn 2 0

( )

et

−1

ψ=tan

(

v0 x 0 . ωn

)

1.4.4 Vibrations libres (sans amortissement) d’un système de torsion: Considérons le cas simple d’un arbre à disque, de masse négligeable, et de rigidité constante. L’arbre en question porte à son extrémité libre un disque de moment d’inertie de masse « I » Fig. (1.9). En donnant au disque une certaine valeur de torsion autour de son axe vertical et en le Fig. libérant il commence à (1.9) osciller autour de l'axe et effectuera des vibrations de torsion. Soit

θ : déplacement angulaire instantané du disque par rapport à la position

d’équilibre. q : rigidité de torsion de l’arbre. Avec

q=

Mt G . I p = θ l

(moment de torsion de l’arbre par radian)

Avec : G : module d’élasticité transversale ; d et l : respectivement le diamètre et longueur de l’arbre.

π 4 .d Ip : Moment d’inertie polaire de la section de l’arbre = 32 En appliquant le principe de D’Alembert on obtient : ´ qθ=0 I θ+

La fréquence naturelle

ω n=

√

´ q θ=0 θ+ I

ou

q I

1.4.5 Pendule simple: L’application du principe de D’Alembert donne : ´ I θ+mgl . sinθ=0 Pour

θ

petit on aura sin θ=θ .

Ce qui donne : ´ I θ+mgl .θ=0 ou encore

´ mgl .θ=0 θ+ I

Avec

Fig. (1.10)

I =m. l 2 ´ mgl .θ=0 θ+ m. l 2

qu’on peut écrire ω n=

√

´ g . θ=0 θ+ l g l

T n=

;

√

2π l =2 π ωn g

1.4.5 Vibrations transversales libres:

Fig. (1.11) L’équation du mouvement est : m. ´x + K . x=0 où K : rigidité de la poutre

;

f n=

1 2π

√

g l

et δ : déformation statique au poids « W » du solide. m : masse du solide =

W K .δ = g g

;

W : charge (poids) à l’extrémité [en N] x : déplacement du corps solide depuis la position d’équilibre. ω n=

√ √

K g = m δ

;

f n=

ωn 1 = 2π 2π

√

g δ

3

W .l ( δ = 3 EI

)

l : longueur de la poutre [en m]; E: module young [en N/m2] I: moment d’inertie de la section transversal de la poutre [en m4] 1.5 Représentation vectorielle des mouvements harmoniques : Le déplacement vibratoire peut être considéré comme la projection sur l'axe vertical de l'extrémité d'un vecteur de longueur X tournant à une vitesse ω. ⃗ X =⃗ OP Sa verticale :

composante

x 1=Xsin (ωt) Et sa composante horizontale : x 2=Xcos( ωt)

Fig. (1.12)