Cursuri Logica 1-13 [PDF]

Zitiervorschau

Logic˘a matematic˘a ¸si computat¸ional˘a Cursul I Claudia MURES ¸ AN [email protected] Universitatea din Bucure¸sti Facultatea de Matematic˘ a ¸si Informatic˘ a Bucure¸sti

2011-2012, semestrul I

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

1 / 48

1

Introducere

2

Mult¸imi ¸si funct¸ii

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

2 / 48

Introducere

Logica: modelare matematic˘a a legilor gˆandirii ˆInainte de a trece la prezentarea unor sisteme logice, este necesar un capitol de preliminarii algebrice, ˆın care va fi introdus˘a o structur˘a algebric˘a numit˘a algebr˘ a Boole, structur˘a cu foarte multe aplicat¸ii ˆın matematic˘a ¸si informatic˘a. Aplicat¸ii ale algebrelor Boole ˆın informatic˘a: la proiectarea circuitelor electronice la crearea de sisteme ¸si aplicat¸ii software ˆın fundamentarea matematic˘a a multor ramuri ale informaticii

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

3 / 48

Cuprinsul orientativ al cursului

Capitolul 1: Latici ¸si algebre Boole: Mult¸imi ¸si funct¸ii Relat¸ii binare. Relat¸ii de echivalent¸˘a. Relat¸ii de ordine. Mult¸imi (part¸ial) ordonate Latici Algebre Boole. Morfisme de algebre Boole. Filtre ¸si congruent¸e ˆın algebre Boole. Ultrafiltre. Teorema de reprezentare a lui Stone. Structura algebrelor Boole finite

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

4 / 48

Cuprinsul orientativ al cursului

Capitolul 2: Calculul propozit¸ional clasic: Sintaxa Algebra Lindenbaum–Tarski Semantica Teorema de completitudine

Capitolul 3: Calculul cu predicate clasic: Structuri de ordinul I Sintaxa Semantica

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

5 / 48

Bibliografie S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, The Millenium Edition, disponibil˘a online. D. Bu¸sneag, D. Piciu, Lect¸ii de algebr˘a, Editura Universitaria Craiova, 2002. D. Bu¸sneag, D. Piciu, Probleme de logic˘a ¸si teoria mult¸imilor, Craiova, 2003. V. E. C˘az˘anescu, Curs de bazele informaticii, Tipografia Universit˘a¸tii din Bucure¸sti, 1974, 1975, 1976. G. Georgescu, Elemente de logic˘a matematic˘a, Academia Militar˘a, Bucure¸sti, 1978. G. Georgescu, A. Iorgulescu, Logic˘a matematic˘a, Editura ASE, Bucure¸sti, 2010. K. Kuratowski, Introducere ˆın teoria mult¸imilor ¸si ˆın topologie, traducere din limba polonez˘a, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1969. S. Rudeanu, Curs de bazele informaticii, Tipografia Universit˘a¸tii din Bucure¸sti, 1982. A. Scorpan, Introducere ˆın teoria axiomatic˘a a mult¸imilor, Editura Universit˘a¸tii din Bucure¸sti, 1996. Articolele de logic˘a (inclusiv cele cu probleme date la examenul de logic˘a matematic˘a ¸si computat¸ional˘a) din Revista de logic˘a a Profesorului Adrian Atanasiu, publicat¸ie online. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

6 / 48

Prescurt˘ari uzuale i. e. = id est = adic˘a ddac˘ a = dac˘a ¸si numai dac˘a a. ˆı. = astfel ˆıncˆat ¸s. a. m. d. = ¸si a¸sa mai departe Vom folosi ¸si notat¸ia “:=“, cu semnificat¸ia de atribuire, ca prescurtare pentru definit¸ie notat¸ie scrierea = sau = .

Exemplu Scrierea “x := f (y )“ semnific˘a: se atribuie lui x valoarea f (y ) se define¸ste x ca fiind f (y ) se noteaz˘a f (y ) cu x

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

7 / 48

1

Introducere

2

Mult¸imi ¸si funct¸ii

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

8 / 48

Mult¸imi ¸si funct¸ii ˆIncepem Capitolul 1 al cursului: “Latici ¸si algebre Boole“, cu sect¸iunea “Mult¸imi ¸si funct¸ii“. Ce este o mult¸ime? Teoria naiv˘ a a mult¸imilor versus teoria axiomatic˘ a a mult¸imilor O definit¸ie din teoria naiv˘ a a mult¸imilor: o mult¸ime este o colect¸ie de obiecte bine determinate ¸si distincte, numite elementele mult¸imii. distincte: o mult¸ime nu cont¸ine un acela¸si obiect de mai multe ori; un element apare ˆıntr-o mult¸ime o singur˘a dat˘a bine determinate: orice mult¸ime are o descriere precis˘a, care o identific˘a ˆın mod unic, adic˘a ˆıi identific˘a ˆın mod unic elementele

Exemplu S˘a consider˘am mult¸imea zerourilor (i. e. a r˘ad˘acinilor) funct¸iei zeta a lui Riemann. Nu sunt cunoscute toate elementele acestei mult¸imi (a se vedea ipoteza lui Riemann, care este o parte din a 8-a problem˘ a a lui Hilbert, problem˘a de un milion de dolari, ˆın enciclopedia online wikipedia sau ˆın cartea Vˆarsta de aur a matematicii a lui Devlin etc.), dar nu exist˘a dou˘a mult¸imi distincte (diferite) fiecare avˆand ca elemente zerourile funct¸iei zeta a lui Riemann, deci aceast˘a definit¸ie descrie o mult¸ime, o identific˘a ˆın mod unic. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

9 / 48

Teoria naiv˘a a mult¸imilor Teoria naiv˘ a a mult¸imilor a fost init¸iat˘a de matematicianul Georg Cantor, care, ˆın 1884, a definit pentru prima dat˘a not¸iunea de mult¸ime, ca fiind o “grupare ˆıntr-un tot a unor obiecte distincte ale intuit¸iei sau gˆandirii noastre“. O mult¸ime este considerat˘a ca un tot unitar, deci ca un obiect unitar, care poate fi a¸sadar element al altei mult¸imi. teorie naiv˘ a: ambiguitatea exprim˘arii ˆın aceast˘a definit¸ie, care las˘a loc de interpret˘ari: ce este un “obiect (al intuit¸iei sau gˆandirii noastre)“, ce este o “grupare ˆıntr-un tot“? teorie naiv˘ a: din definit¸ii exprimate ˆın limbaj natural (metalimbaj) (vom vedea), inerent ambigue, se ˆıncearc˘a stabilirea unor propriet˘a¸ti ale not¸iunilor definite matematica lucreaz˘a cu not¸iuni precise ⇒ necesitatea fundament˘arii axiomatice (vom vedea) teorie axiomatic˘ a: se lucreaz˘a cu not¸iuni distinse init¸ial doar prin denumirile lor, asupra c˘arora se impun axiome (vom vedea), propriet˘a¸ti, reguli de lucru precise cu acele not¸iuni; de ce este mai avantajoas˘a aceast˘a abordare? pentru c˘a matematica este interesat˘a de propriet˘ a¸tile not¸iunilor cu care lucreaz˘a, nu de natura lor; vom relua aceast˘a discut¸ie cˆand vom vorbi despre egalitate versus izomorfism Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

10 / 48

Paradoxul lui Russell Not¸iunea de mult¸ime se dovede¸ste a nu fi suficient de cuprinz˘atoare: ˆın 1903, Bertrand Russell demonstreaz˘a c˘a nu exist˘a mult¸imea tuturor mult¸imilor, prin paradoxul care ˆıi poart˘a numele. Este unanim acceptat faptul c˘a, dac˘a M este o mult¸ime, iar P este o proprietate referitoare la elementele mult¸imii M, atunci colect¸ia tuturor elementelor lui M care satisfac (au) proprietatea P este tot o mult¸ime, notat˘a uzual astfel: {x ∈ M | P(x)}; facem apel aici la cuno¸stint¸ele despre notat¸iile legate de mult¸imi ˆınv˘a¸tate ˆın gimnaziu ¸si liceu, unde se studiaz˘a teoria naiv˘a a mult¸imilor: M este o liter˘a (o notat¸ie, un nume, o variabil˘a) ce desemneaz˘a o mult¸ime arbitrar˘a (dar fixat˘a), x este o liter˘a ce desemneaz˘a un element arbitrar al mult¸imii M, ∈ este simbolul de apartenent¸˘a, scrierea x ∈ M semnific˘a faptul c˘a x este un element al mult¸imii M, iar scrierea P(x) semnific˘a faptul c˘a elementul x satisface proprietatea P. Acoladele ˆıncadreaz˘a o mult¸ime, dat˘a fie prin enumerarea elementelor ei separate de virgule, fie prin specificarea unei propriet˘a¸ti asupra elementelor unei mult¸imi “mai mari“ ¸si a faptului c˘a mult¸imea la care ne referim se obt¸ine din acea mult¸ime “mai mare“ prin selectarea elementelor care au acea proprietate, cum este cazul de fat¸˘a. Vom folosi ¸si simbolul ∈, / care este negat¸ia apartenent¸ei, adic˘a scrierea x ∈ / M semnific˘a faptul c˘a nu are loc x ∈ M, i. e. x nu este un element al lui M. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

11 / 48

Paradoxul lui Russell “arbitrar, dar fixat“ = care poate fi ˆınlocuit cu orice obiect “de acela¸si tip“ (de exemplu, ˆın cazul de mai sus, cu orice mult¸ime), dar, ˆın momentul ˆın care lucr˘am cu un astfel de obiect, atunci acel obiect (cu care lucr˘am) este fixat, adic˘a “nu se schimb˘a“, “nu este ˆınlocuit“ cu un alt obiect ˆın timp ce lucr˘am cu el Ce s–ar ˆıntˆampla dac˘a ar exista mult¸imea tuturor mult¸imilor, adic˘a mult¸imea avˆand ca elemente toate mult¸imile? S˘a presupunem c˘a aceast˘a mult¸ime a tuturor mult¸imilor exist˘a, ¸si s–o not˘am cu M. Am presupus c˘a M este mult¸ime, deci, ˆıntrucˆat M cont¸ine toate mult¸imile, ˆınseamn˘a c˘a M se cont¸ine pe sine: M ∈ M, un fapt “neobi¸snuit“ ˆın condit¸iile ˆın care pˆan˘a acum am lucrat doar cu mult¸imi care nu se cont¸in pe ele ˆınsele ca elemente (mult¸imea numerelor naturale cont¸ine numai numerele naturale, nu ¸si mult¸imea acestor numere, adic˘a pe sine, ca element; ¸si la fel stau lucrurile cu toate mult¸imile pe care le–am ˆıntˆalnit ˆın gimnaziu ¸si liceu). Acest fapt ne furnizeaz˘a ideea de a considera proprietatea ca o mult¸ime s˘a nu se cont¸in˘a pe sine. Fie a¸sadar P proprietatea referitoare la elementele lui M, adic˘a la mult¸imi, definit˘a astfel: o mult¸ime A satisface proprietatea P ddac˘a A ∈ / A (i. e. A nu se cont¸ine pe sine). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

12 / 48

Paradoxul lui Russell S¸i acum s˘a consider˘am mult¸imea tuturor mult¸imilor care nu se cont¸in pe ele ˆınsele, adic˘a mult¸imea {A ∈ M | P(A)} a mult¸imilor care satisfac proprietatea P, sau, altfel scris, mult¸imea {A ∈ M | A ∈ / A}, ¸si s˘a not˘am aceast˘a mult¸ime cu X . Paradoxul lui Russell: X satisface proprietatea P sau n-o satisface? Adic˘a X ∈ / X sau X ∈ X ? Dac˘a X ∈ X , atunci, ˆıntrucˆat elementele lui X sunt mult¸imile care nu se cont¸in pe ele ˆınsele, ˆınseamn˘a c˘a X nu se cont¸ine pe sine: X ∈ / X . Am obt¸inut o contradict¸ie, pentru c˘a nu pot avea loc simultan propriet˘a¸tile X ∈ X ¸si X ∈ / X. Dac˘a X ∈ / X , atunci, ˆıntrucˆat X cont¸ine toate mult¸imile care nu se cont¸in pe ele ˆınsele, ˆınseamn˘a c˘a X nu este una dintre mult¸imile care nu se cont¸in pe ele ˆınsele, adic˘a X se cont¸ine pe sine: X ∈ X . Iar˘a¸si am obt¸inut o contradict¸ie. Sigur c˘a, pentru orice mult¸ime X , are loc una dintre situat¸iile: X ∈ X ¸si X ∈ /X (¸si numai una), pentru c˘a, dac˘a una dintre aceste dou˘a propriet˘a¸ti nu este satisf˘acut˘a, atunci cealalt˘a este satisf˘acut˘a. Deci oricare dintre cazurile posibile duce la o contradict¸ie. De unde a provenit contradict¸ia? Din presupunerea c˘a exist˘a mult¸imea tuturor mult¸imilor. ˆInseamn˘a c˘a aceast˘a presupunere este fals˘a, i. e. nu exist˘ a mult¸imea tuturor mult¸imilor. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

13 / 48

Paradoxul lui Russell Totalitatea mult¸imilor nu formeaz˘a o mult¸ime, ci o clas˘ a. Din punctul de vedere al teoriei naive a mult¸imilor, nu se pot spune multe lucruri despre not¸iunea de clas˘a, decˆat c˘a este “ceva mai vag/mai mare/mai cuprinz˘ator decˆat o mult¸ime“. Se consider˘a c˘a orice mult¸ime este o clas˘a, dar nu ¸si invers. Semnul (simbolul) de apartenent¸˘a nu poate ap˘area la dreapta unei clase care nu este mult¸ime, adic˘a nu se consider˘a a avea sens faptul c˘a o clas˘a care nu este mult¸ime apart¸ine unui alt obiect. O mult¸ime poate apart¸ine unei clase (chiar ¸si unei mult¸imi), dar niciodat˘a invers, adic˘a nicio clas˘a care nu este mult¸ime nu apart¸ine unei mult¸imi, ¸si, mai mult, nicio clas˘a care nu este mult¸ime nu apart¸ine unei clase (sau vreunui alt fel de obiect). ˆIn particular, ultima dintre observat¸iile anterioare arat˘a c˘a nu exist˘ a clasa tuturor claselor, din simplul motiv c˘a s–a impus restrict¸ia ca o clas˘a care nu este mult¸ime s˘a nu fie element al niciunui obiect, ¸si deci nu exist˘a un obiect care s˘a aib˘a clase care nu sunt mult¸imi ca elemente. Dac˘a nu s–ar fi impus aceast˘a restrict¸ie, atunci clasele nu s–ar fi deosebit semnificativ de mult¸imi, ¸si procesul de a considera mereu obiecte matematice “mai cuprinz˘atoare“ ar fi continuat la infinit: s˘a denumim ε tipul de obiect ˆın care se ˆıncadreaz˘a obiectul care are drept elemente toate clasele, s˘a denumim Ω tipul de obiect ˆın care se ˆıncadreaz˘a obiectul care are drept elemente toate ε–urile, ¸s. a. m. d.. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

14 / 48

Teoria axiomatic˘a a mult¸imilor

Ce este o axiom˘ a?

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

15 / 48

Teoria axiomatic˘a a mult¸imilor O axiom˘a este un fapt dat ca fiind adev˘arat ˆıntr-o teorie matematic˘a. O axiom˘ a nu se demonstreaz˘a, ci pur ¸si simplu este dat˘ a ca fiind adev˘arat˘a. Orice teorie matematic˘a trebuie s˘a aib˘a la baz˘a (i. e. ca fundament) un sistem (i. e. o colect¸ie) de axiome. Pornind de la aceste axiome, se demonstreaz˘a teoremele (rezultatele matematice) ale acelei teorii. Scopul axiomatiz˘ arii, adic˘a al construirii unui sistem de axiome pentru o teorie matematic˘a, este acela de a elimina ambiguit˘ a¸tile din definirea not¸iunilor, conceptelor cu care lucreaz˘a acea teorie matematic˘a. Desigur, axiomele unei teorii matematice care modeleaz˘a un fenomen din lumea ˆınconjur˘atoare trebuie s˘a reflecte propriet˘a¸tile acelui fenomen, de regul˘a obt¸inute experimental. Respectiva construct¸ie (teorie) matematic˘a ˆın sine, ca orice teorie matematic˘a, trebuie s˘a beneficieze de un sistem de axiome, din rat¸iuni ce ¸tin de natura matematicii ca ¸stiint¸˘a, de ceea ce se nume¸ste rigoare matematic˘ a, anume lipsa ambiguit˘ a¸tilor, de necesitatea oric˘arei teorii matematice de a fi o construct¸ie de sine st˘at˘atoare, independent de fenomenul pe care ˆıl modeleaz˘a. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

16 / 48

Teoria axiomatic˘a a mult¸imilor Exemplu de axiom˘ a: axioma paralelelor pentru geometria euclidian˘a: “dou˘a drepte paralele t˘aiate de o secant˘a formeaz˘a unghiuri alterne interne congruente“. Faptul de a fi axiom˘a nu este o proprietate intrinsec˘ a a unei afirmat¸ii, chiar dac˘a, a¸sa cum am ment¸ionat mai sus, la originea sistemelor axiomatice se afl˘a “propriet˘a¸ti observabile“, “judec˘a¸ti primare“, fapte considerate “fundamentale“, considerate a fi necesare ca “baz˘a“ a unei teorii matematice, care nu se demonstreaz˘a pornind de la alte fapte, ci tocmai invers, ele servesc la demonstrarea altor fapte ˆın acea teorie matematic˘a. Exist˘a mai multe sisteme axiomatice pentru geometria euclidian˘a, iar enunt¸ul denumit mai sus axioma paralelelor nu este considerat ca axiom˘a ˆın toate aceste sisteme. De aceea spunem c˘a acest enunt¸ nu are ca proprietate intrinsec˘ a faptul de a fi axiom˘a. Acest enunt¸ este echivalent cu alte enunt¸uri, adic˘a acele alte enunt¸uri se deduc din el (atunci cˆand el este considerat ca axiom˘ a), dar ¸si el se deduce din fiecare dintre acele alte enunt¸uri (atunci cˆand acele enunt¸uri sunt considerate ca axiome, ¸si atunci spunem c˘a acest enunt¸ de mai sus este un rezultat, o teorem˘ a a geometriei euclidiene, bazate pe un alt sistem axiomatic). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

17 / 48

Teoria axiomatic˘a a mult¸imilor Sigur c˘a oricare dou˘a sisteme axiomatice pentru o aceea¸si teorie matematic˘a trebuie s˘a fie echivalente, adic˘a din fiecare dintre ele trebuie s˘a se deduc˘a fiecare altul dintre ele, iar acest lucru ˆınseamn˘a nimic altceva decˆat faptul c˘a din oricare dou˘a sisteme axiomatice pentru o teorie se deduc acelea¸si rezultate, adic˘a se construie¸ste aceea¸si teorie matematic˘ a. De exemplu, toate axiomatiz˘arile geometriei euclidiene sunt echivalente. De asemenea, toate axiomatiz˘arile teoriei mult¸imilor (dintre care vom vedea ˆın continuare una) sunt echivalente. De exemplu, axioma alegerii ¸si axioma lui Zorn (din axiomatiz˘ari diferite ale teoriei mult¸imilor) sunt echivalente, ¸si cˆand prima este aleas˘a ca axiom˘a, atunci a doua se nume¸ste lema lui Zorn (¸si se deduce din prima), iar cˆand a doua este aleas˘a ca axiom˘a, atunci prima se nume¸ste lema alegerii (¸si se deduce din a doua). ˆIn cazurile date ca exemple mai sus, avem enunt¸uri (individuale) echivalente, dar, a¸sa cum am ment¸ionat, putem avea sisteme de enunt¸uri echivalente, caz ˆın care fiecare enunt¸ din oricare dintre acele sisteme se deduce dintr–un ˆıntreg alt sistem de enunt¸uri, adic˘a din toate enunt¸urile acelui alt sistem luate la un loc. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

18 / 48

Teoria axiomatic˘a a mult¸imilor

Precum am ment¸ionat mai sus, sunt cunoscute mai multe sisteme axiomatice (i. e. sisteme de axiome) pentru teoria mult¸imilor. De exemplu urm˘atoarele, denumite astfel dup˘a matematicienii care le-au creat: sistemul axiomatic Zermelo–Fraenkel, care lucreaz˘a numai cu mult¸imi sistemul axiomatic von Neumann–Bernays, numit ¸si sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨ odel, care admite ¸si existent¸a claselor S-a demonstrat c˘a: Orice rezultat despre mult¸imi care poate fi demonstrat pornind de la (axiomele) sistemul(ui) axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel poate fi demonstrat ¸si pornind de la sistemul axiomatic Zermelo–Fraenkel.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

19 / 48

Teoria axiomatic˘a a mult¸imilor

Este de ment¸ionat faptul c˘a problema fundament˘arii prin sisteme axiomatice a teoriei mult¸imilor (care este ea ˆıns˘a¸si un fundament al ˆıntregii matematici) a dat na¸stere la controverse care nu sunt ˆıncheiate nici ˆın ziua de azi, pentru c˘a scopul principal al elabor˘ arii oric˘ aror sisteme axiomatice, anume eliminarea tuturor ambiguit˘ a¸tilor (de limbaj, din definit¸ii, din formul˘ ari de propriet˘ a¸ti etc.) dintr-o teorie matematic˘ a, este foarte greu de atins ˆın cazul teoriei mult¸imilor, tocmai datorit˘a caracterului ei primar, de baz˘a, de fundament al ˆıntregii matematici.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

20 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

Vom face acum o scurt˘a prezentare a sistemului axiomatic von Neumann–Bernays–G¨ odel, dup˘a cartea Foundations of Set Theory, de Abraham A. Fraenkel, Yehoshua Bar–Hillel ¸si Azriel Levy (seria “Studies in Logic and the Foundations of Mathematics“, volumul 67). Primul lucru de care vom avea nevoie este o formalizare a limbajului teoriei mult¸imilor, care s˘a elimine ambiguit˘a¸tile din acest limbaj. formalizare: exprimare folosind numai simboluri matematice metalimbaj: “limbajul natural“, “vorbirea curent˘a (obi¸snuit˘a)“, “exprimarea ˆın cuvinte“, “f˘ar˘a simboluri matematice“ un enunt¸ formalizat nu cont¸ine elemente (cuvinte, exprim˘ari) din metalimbaj

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

21 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel Precum am anunt¸at mai sus, acest sistem axiomatic opereaz˘a atˆat cu mult¸imi, cˆat ¸si cu clase. Natura mult¸imilor ¸si a claselor este neprecizat˘a, ˆın sensul c˘a ele sunt considerate a fi obiecte matematice date doar prin denumirile de mult¸ime ¸si clas˘ a, ¸si tot ce ¸stim despre ele sunt propriet˘a¸tile care vor fi enumerate mai jos (a se vedea mai sus o discut¸ie despre abordarea axiomatic˘a ¸si avantajele ei). A¸sadar, primele elemente ale limbajului pe care ˆıl vom construi sunt: mult¸imile ¸si clasele, denumite generic obiecte, care satisfac condit¸ia c˘a orice mult¸ime este o clas˘a (dar nu orice clas˘a este o mult¸ime) Pentru a scrie axiomele, vom avea nevoie s˘a putem atribui (asocia) nume mult¸imilor ¸si claselor arbitrare, dar ¸si mult¸imilor ¸si claselor precizate, fixate, constante. Deci vom folosi not¸iunile de: variabil˘a sau nume variabil, care semnific˘a un nume atribuit unui obiect arbitrar ¸si neprecizat constant˘a sau nume constant, care semnific˘a un nume atribuit unui obiect fixat, precizat Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

22 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel regul˘ a: ˆın definit¸iile ¸si axiomele acestui sistem axiomatic, numele variabile ¸si numele constante vor fi litere din alfabetul latin; numele atribuite mult¸imilor vor fi litere mici, iar numele atribuite claselor (care pot fi mult¸imi, dar despre care nu se precizeaz˘a dac˘a sunt sau nu sunt mult¸imi) vor fi litere mari ˆın prezentarea limbajului acestui sistem axiomatic, vom folosi litere grece¸sti ca nume variabile pentru orice fel de obiecte, i. e. ¸si pentru mult¸imi, ¸si pentru clase care pot s˘a nu fie mult¸imi ˆın majoritatea cazurilor, vom folosi litere de tipurile enumerate mai sus f˘ar˘a a preciza c˘a ele denumesc mult¸imi, clase care nu sunt neap˘arat mult¸imi sau obiecte de oricare dintre aceste tipuri, iar convent¸iile pe care tocmai le–am stabilit ne vor spune la ce fel de obiecte ne vom referi

Vom folosi urm˘atoarele simboluri pentru a enunt¸a propriet˘a¸ti ale obiectelor: ∈, ∈, / =, 6=, ¬ , ∨, ∧, →, ↔, ∀, ∃.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

23 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel ∈ ¸si ∈: / ∈ se nume¸ste simbolul de apartenent¸˘a; α ∈ β (este un enunt¸ (i. e. o proprietate), care) se cite¸ste “α apart¸ine lui β“ sau “β cont¸ine pe α“ un obiect care apart¸ine unui alt obiect va fi numit element sau membru al obiectului c˘aruia ˆıi apart¸ine simbolul ∈ / va fi folosit cu semnificat¸ia: α ∈ / β (este un enunt¸ (i. e. o proprietate), care este satisf˘acut) ddac˘a nu are loc α ∈ β (¸si se cite¸ste “α nu apart¸ine lui β“ sau “β nu cont¸ine pe α“) Am precizat c˘a obiectele cu care lucr˘am se numesc mult¸imi sau clase. Deci orice element la care ne vom referi este la rˆandul s˘au o mult¸ime sau o clas˘a (de fapt un element nu va fi niciodat˘a o clas˘a care nu e mult¸ime, ci orice element va fi o mult¸ime; o clas˘a care nu e mult¸ime nu apart¸ine niciunui obiect; nu vom ˆıntˆalni ˆın acest sistem axiomatic clase care nu sunt mult¸imi ¸si sunt elemente ale unui obiect; a se vedea o discut¸ie de mai sus referitoare la acest aspect legat de clase ¸si de proprietatea de apartenent¸˘a).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

24 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel = ¸si 6=: = se nume¸ste simbolul de egalitate; α = β (este un enunt¸ (i. e. o proprietate), care) se cite¸ste “α coincide cu β“ ¸si semnific˘a faptul c˘a α ¸si β sunt (nume pentru) (denumesc) (reprezint˘a) acela¸si obiect simbolul = se consider˘a a avea urm˘atoarele propriet˘a¸ti: reflexivitate: pentru orice obiect α, are loc α = α simetrie: pentru orice obiecte α ¸si β, dac˘ a α = β, atunci are loc ¸si β = α tranzitivitate: pentru orice obiecte α, β ¸si γ, dac˘ a α = β ¸si β = γ, atunci are loc ¸si α = γ substitutivitate: pentru orice obiecte α ¸si β ¸si orice proprietate P referitoare la obiecte, dac˘ a P(α) (adic˘ a α satisface proprietatea P; am mai folosit aceast˘ a notat¸ie) ¸si α = β, atunci are loc ¸si P(β)

simbolul 6= va fi folosit cu semnificat¸ia: α 6= β (este un enunt¸ (i. e. o proprietate), care este satisf˘acut) ddac˘a nu are loc α = β (¸si se cite¸ste “α nu coincide cu β“)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

25 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel Simbolurile ¬ , ∨, ∧, → ¸si ↔ se numesc conectorii logici. ¬ se nume¸ste negat¸ia ¸si se cite¸ste “non“ sau “not“; dac˘a E este un enunt¸ (o proprietate) referitor la obiecte, atunci ¬ E se cite¸ste “non E “ sau “not E “ ¸si semnific˘a negat¸ia propriet˘a¸tii E , adic˘a acea proprietate care este adev˘arat˘a ddac˘a E este fals˘a (¸si, desigur, fals˘a ddac˘a E este adev˘arat˘a) ∨ se nume¸ste disjunct¸ia ¸si se cite¸ste “sau“; dac˘a E ¸si F sunt enunt¸uri (propriet˘a¸ti) referitoare la obiecte, atunci E ∨ F se cite¸ste “E sau F “ ¸si semnific˘a acea proprietate care este adev˘arat˘a ddac˘a m˘acar (cel put¸in) una dintre propriet˘a¸tile E ¸si F este adev˘arat˘a ∧ se nume¸ste conjunct¸ia ¸si se cite¸ste “¸si“; dac˘a E ¸si F sunt enunt¸uri (propriet˘a¸ti) referitoare la obiecte, atunci E ∧ F se cite¸ste “E ¸si F “ ¸si semnific˘a acea proprietate care este adev˘arat˘a ddac˘a ambele propriet˘a¸ti E ¸si F sunt adev˘arate (i. e. ddac˘a fiecare dintre propriet˘a¸tile E ¸si F este adev˘arat˘a)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

26 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel → se nume¸ste implicat¸ia ¸si se cite¸ste “implic˘a“; dac˘a E ¸si F sunt enunt¸uri (propriet˘a¸ti) referitoare la obiecte, atunci E → F se cite¸ste “E implic˘a F “ ¸si semnific˘a acea proprietate care este adev˘arat˘a ddac˘a din E rezult˘a (i. e. se deduce) F , i. e. acea proprietate care este adev˘arat˘a ddac˘a, ˆın situat¸ia cˆand E este adev˘arat˘a, atunci ¸si F este adev˘arat˘a, i. e. acea proprietate care este adev˘arat˘a ddac˘a fie E este fals˘a, fie F este adev˘arat˘a (fie ambele) definit¸ia de mai sus a implicat¸iei pare s˘a contrazic˘a intuit¸ia noastr˘a, dar ea ilustreaz˘a de fapt foarte bine modul de a rat¸iona matematic: cum demonstr˘am c˘a o proprietate E implic˘a o proprietate F ? (c˘a din E rezult˘a F ? c˘a din E se deduce F ?); ce avem, de fapt, de ar˘atat? avem de ar˘atat c˘a, dac˘a E este adev˘arat˘a, atunci ¸si F este adev˘arat˘a; deci, dac˘a E este fals˘a, atunci nu avem nimic de demonstrat, dac˘a E este fals˘a, atunci nu ne intereseaz˘a cum este F , ¸si, neavˆand nimic de demonstrat, putem spune c˘a implicat¸ia “E implic˘a F “ este adev˘arat˘a; dac˘a E este adev˘arat˘a, atunci trebuie ca F s˘a fie adev˘arat˘a pentru ca aceast˘a implicat¸ie s˘a fie adev˘arat˘a; deci, indiferent cum este E , dac˘a F este adev˘arat˘a, atunci implicat¸ia respectiv˘a este adev˘arat˘a; ¸si, dac˘a recitim acest paragraf, observ˘am c˘a implicat¸ia “E implic˘a F “ este adev˘arat˘a exact atunci cˆ and (adic˘a atunci ¸si numai atunci cˆ and) fie E este fals˘a, fie F este adev˘arat˘a (fie ambele) Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

27 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

↔ se nume¸ste echivalent¸a ¸si se cite¸ste “echivalent“; dac˘a E ¸si F sunt enunt¸uri (propriet˘a¸ti) referitoare la obiecte, atunci E ↔ F se cite¸ste “E este echivalent˘a cu F “ ¸si semnific˘a acea proprietate care este adev˘arat˘a ddac˘a au loc ¸si E → F , ¸si F → E , i. e. acea proprietate care este adev˘arat˘a ddac˘a E ¸si F sunt simultan false sau simultan adev˘arate (adic˘a sunt ambele false sau ambele adev˘arate) (tem˘ a: citit¸i de mai sus semnificat¸ia implicat¸iei ¸si justificat¸i (i. e. ar˘atat¸i “ˆın cuvinte“) faptul c˘a proprietatea E ↔ F (adic˘a ambele propriet˘a¸ti E → F ¸si F → E , adic˘a proprietatea (E → F ) ∧ (F → E ), dup˘a cum arat˘a definit¸ia conjunct¸iei) este adev˘arat˘a ddac˘a E ¸si F sunt fie ambele false, fie ambele adev˘arate)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

28 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel Simbolurile ∀ ¸si ∃ se numesc cuantificatorii. ∀ se nume¸ste cuantificatorul universal ¸si se cite¸ste “oricare ar fi“; dac˘a α este o variabil˘a (un nume variabil) ¸si P este o proprietate referitoare la obiecte, atunci ∀αP(α) se cite¸ste “pentru orice α, P(α)“ ¸si este acea proprietate care este adev˘arat˘a ddac˘a orice obiect α satisface proprietatea P (α poate fi un nume variabil pentru mult¸imi, caz ˆın care condit¸ia anterioar˘a devine: orice mult¸ime satisface proprietatea P, sau poate fi un nume variabil pentru clase, caz ˆın care condit¸ia anterioar˘a devine: orice clas˘a satisface proprietatea P) ∃ se nume¸ste cuantificatorul existent¸ial ¸si se cite¸ste “exist˘a“; dac˘a α este o variabil˘a (un nume variabil) ¸si P este o proprietate referitoare la obiecte, atunci ∃αP(α) se cite¸ste “exist˘a α, a. ˆı. P(α)“ ¸si este acea proprietate care este adev˘arat˘a ddac˘a exist˘a (m˘acar, cel put¸in) un obiect α care satisface proprietatea P (α poate fi un nume variabil pentru mult¸imi, caz ˆın care condit¸ia anterioar˘a devine: exist˘a (m˘acar) o mult¸ime care satisface proprietatea P, sau poate fi un nume variabil pentru clase, caz ˆın care condit¸ia anterioar˘a devine: exist˘a (m˘acar) o clas˘a care satisface proprietatea P)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

29 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

Vom folosi ¸si parantezele rotunde ¸si p˘atrate, pentru a delimita enunt¸uri (i. e. propriet˘a¸ti) ¸si obiecte cu notat¸ii compuse din mai multe simboluri (vom vedea ce sunt acestea).

Am prezentat limbajul pe care ˆıl vom folosi. Acum ˆıncepem prezentarea (efectiv˘a a) acestui sistem axiomatic pentru teoria mult¸imilor. ˆIn primul rˆand, se consider˘a c˘a exist˘a cel put¸in o mult¸ime.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

30 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel Definit¸ie Pentru orice mult¸imi x ¸si y , dac˘a, oricare ar fi z, faptul c˘a z ∈ x implic˘a z ∈ y (adic˘a orice element al lui x este ¸si element al lui y ), atunci scriem x ⊆ y ¸si spunem c˘a x este o submult¸ime a lui y . I. Axioma extensionalit˘ a¸tii de mult¸imi: Intuitiv: Dac˘a x ⊆ y ¸si y ⊆ x, atunci x = y .  ∀x∀y [(x ⊆ y ∧ y ⊆ x) → x = y ] Formal (i. e. formalizat): sau   ∀x∀y [∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y ) → x = y ] Dac˘a citim a doua exprimare formalizat˘a a acestei axiome, observ˘am c˘a ea spune c˘a dou˘a mult¸imi cu acelea¸si elemente coincid. Pentru cele ce urmeaz˘a, aceast˘a prim˘a axiom˘a arat˘a unicitatea mult¸imilor la care ne vom referi mai jos, care sunt descrise prin precizarea elementelor lor. Reciproca afirmat¸iei din aceast˘a axiom˘a, anume faptul c˘a dou˘a mult¸imi care coincid au acelea¸si elemente, este o consecint¸˘a a propriet˘a¸tii de substitutivitate a simbolului =. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

31 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel Definit¸ie O mult¸ime n care nu cont¸ine niciun element (i. e. pentru care are loc: ¬ ∃x(x ∈ n))) se nume¸ste mult¸ime vid˘a.

Teorem˘a Exist˘a o unic˘a mult¸ime vid˘a. Unicitatea ˆın teorema anterioar˘a este o consecint¸˘a a Axiomei I. Pentru a demonstra existent¸a, se aplic˘a Axioma XI pentru a ar˘ata c˘a exist˘a o clas˘a N avˆand ca elemente acele obiecte x care satisfac proprietatea x 6= x, ¸si Axioma V pentru a ar˘ata c˘a “intersect¸ia“ dintre clasa N ¸si o mult¸ime arbitrar˘a a este o mult¸ime, pe care o not˘am cu n. Deci n = {x ∈ a | x 6= x}, folosind notat¸iile cunoscute din teoria naiv˘a a mult¸imilor. Sigur c˘a niciun obiect x nu satisface proprietatea x 6= x, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a n nu are niciun element.

Notat¸ie Vom nota cu n mult¸imea vid˘a (despre care ˆın acest moment ne mult¸umim s˘a ¸stim c˘a, dac˘a exist˘a, atunci este unic˘a). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

32 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel II. Axioma perechii: Intuitiv: Pentru orice elemente a ¸si b, exist˘a o mult¸ime y care cont¸ine doar a ¸si b. Formal: ∀a∀b∃y ∀x[x ∈ y ↔ (x = a ∨ x = b)]

Definit¸ie O mult¸ime care cont¸ine doar elementele a ¸si b se nume¸ste perechea format˘a din a ¸si b ¸si se noteaz˘a {a, b} sau {b, a}. Perechea ordonat˘a format˘a din a ¸si b se noteaz˘a < a, b > ¸si se define¸ste prin: < a, b >= {a, {a, b}}.

S˘a remarc˘am c˘a, ˆın Axioma II ¸si definit¸ia anterioar˘a, nu a fost impus˘a condit¸ia ca a s˘a nu coincid˘a cu b.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

33 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

Definit¸ie O clas˘a se nume¸ste relat¸ie ddac˘a toate elementele ei sunt perechi ordonate.

Definit¸ie Dac˘a F este o clas˘a (relat¸ie sau clas˘a oarecare), atunci definim: domeniul lui F , notat D(F ), ca fiind clasa ce are ca membri exact acele elemente x pentru care exist˘a y astfel ˆıncˆat < x, y >∈ F imaginea lui F , notat˘a R(F ), ca fiind clasa ce are ca membri exact acele elemente y pentru care exist˘a x astfel ˆıncˆat < x, y >∈ F (R de la englezescul “range“)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

34 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel Definit¸ie O clas˘a F se nume¸ste funct¸ie ddac˘a F este relat¸ie ¸si are loc: ∀x∀y ∀z[(< x, y >∈ F ∧ < x, z >∈ F ) → y = z] (intuitiv: pentru orice x, exist˘a cel mult un y (desigur, y ∈ R(F )) a. ˆı. < x, y >∈ F , sau, cu o exprimare echivalent˘a: pentru orice x ∈ D(F ), exist˘a un unic y (desigur, y ∈ R(F )) a. ˆı. < x, y >∈ F ).

Notat¸ie S˘a not˘am cu Fnc proprietatea care se aplic˘a claselor ¸si spune c˘a o clas˘a este funct¸ie, adic˘a, pentru orice clas˘a F , notat¸ia Fnc(F ) semnific˘a faptul c˘a F este o funct¸ie.

Notat¸ie Dac˘a F este o funct¸ie ¸si x ∈ D(F ), atunci not˘am cu F (x) unicul element y (desigur, y ∈ R(F )) care verific˘a: < x, y >∈ F . Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

35 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel III. Axioma reuniunii: Intuitiv: Pentru orice mult¸ime a, exist˘a mult¸imea ale c˘arei elemente sunt exact membrii membrilor lui a (“exact“ = “nici mai mult, nici mai put¸in“ = “sunt toate acestea ¸si numai acestea“). Formal: ∀a∃y ∀x[x ∈ y ↔ ∃z(x ∈ z ∧ z ∈ a)]

Definit¸ie Pentru orice mult¸imi a ¸si b, mult¸imea ale c˘arei elemente sunt membrii membrilor perechii {a, b} (adic˘a membrii lui a ¸si membrii lui b, adic˘a membrii lui a sau b) se nume¸ste reuniunea lui a ¸si b ¸si se noteaz˘a a ∪ b. ˆIn axioma de mai sus intervine o reuniune arbitrar˘ a (vom vedea) (se reunesc membrii lui a).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

36 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

IV. Axioma mult¸imii p˘ art¸ilor: Intuitiv: Pentru orice mult¸ime a, exist˘a mult¸imea ale c˘arei elemente sunt exact submult¸imile lui a. Formal: ∀a∃y ∀x(x ∈ y ↔ x ⊆ a)

S¸tim c˘a mult¸imea submult¸imilor unei mult¸imi a se mai nume¸ste mult¸imea p˘art¸ilor lui a.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

37 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

V. Axioma submult¸imilor: Intuitiv: Pentru orice clas˘a P ¸si orice mult¸ime a, exist˘a o mult¸ime ale c˘arei elemente sunt exact acei membri ai lui a care sunt ¸si membri ai lui P (ˆın limbajul cunoscut al teoriei naive a mult¸imilor, intersect¸ia unei mult¸imi cu o clas˘a este o mult¸ime, ¸si, prin urmare, orice submult¸ime a unei mult¸imi este, la rˆandul ei, o mult¸ime, sau, dac˘a dorim s˘a renunt¸˘am la restrict¸ia simbolului ⊆ la mult¸imi, impus˘a ˆın definit¸ia acestui simbol, care face afirmat¸ia anterioar˘a trivial˘a, orice “subclas˘a“ a unei mult¸imi este, la rˆandul ei, o mult¸ime). Formal: ∀P∀a∃y ∀x[x ∈ y ↔ (x ∈ a ∧ x ∈ P)]

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

38 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel VI. Axioma infinit˘ a¸tii: Intuitiv: Pentru  orice element o, exist˘a o mult¸ime z cu urm˘atoarele  o ∈ z propriet˘a¸ti: ¸si   dac˘a x ∈ z, atunci (x ∪ {x}) ∈ z. Formal: ∀o∃z[o ∈ z ∧ ∀x(x ∈ z → (x ∪ {x}) ∈ z)] De ce se nume¸ste axioma infinit˘ a¸tii aceast˘a axiom˘a? Observ˘am c˘a aceast˘a a VI-a axiom˘a “seam˘an˘a“ cu principiul induct¸iei matematice. ˆIn fapt, aceast˘a axiom˘a poate fi folosit˘a pentru a defini numerele naturale, pentru a “construi“ mult¸imea numerelor naturale. Cum? ˆIn primul rˆand, ce vor fi numerele naturale? Ca s˘a fie obiecte ˆın cadrul acestui sistem axiomatic (altfel spus, ˆın teoria matematic˘a fundamentat˘a pe (generat˘a de) acest sistem axiomatic), vor trebui s˘a fie mult¸imi sau clase, pentru c˘a acestea sunt obiectele aici. Ca s˘a fie elemente ale unei mult¸imi, pe care o vom numi mult¸imea numerelor naturale, vor trebui s˘a fie mult¸imi, pentru c˘a nicio clas˘a nu va fi element al unui obiect, ˆın particular element al mult¸imii numerelor naturale. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

39 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel S¸i atunci, cum putem construi numerele naturale 0, 1, 2, 3, . . . , m, . . ., ¸si mult¸imea lor, notat˘a N, pe baza axiomei infinit˘ a¸tii? Pur ¸si simplu: alegem ˆın locul variabilei o din aceast˘a axiom˘a un element arbitrar, pe care ˆıl fix˘am ¸si ˆıl not˘am cu 0, mult¸imea obt¸inut˘a din aceast˘a axiom˘a, din Axioma XI (vom vedea) ¸si Axioma V (a submult¸imilor) pornind de la elementul 0 ˆın locul lui o ¸si neavˆand niciun element ˆın plus fat¸˘a de elementele obt¸inute din 0 “prin procedeul descris ˆın aceast˘a axiom˘a“, adic˘a mult¸imea avˆand ca elemente exact pe 0 ¸si elementele de mai jos, va fi notat˘a cu N, iar numerele  naturale “nenule“ vor fi definite “recurent“, sau “din aproape ˆın  1 := 0 ∪ {0},      2 := 1 ∪ {1},     3 := 2 ∪ {2}, aproape“: ..  .      m + 1 := m ∪ {m},     ... Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

40 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

Iar, cu aceast˘a construct¸ie, Axioma I (a extensionalit˘ a¸tii de mult¸imi) (care spune c˘a dou˘a mult¸imi cu acelea¸si elemente coincid) implic˘a principiul induct¸iei matematice: dac˘a mult¸imea M a numerelor naturale care verific˘a o anumit˘a proprietate cont¸ine pe 0 ¸si, pentru orice num˘ar natural m pe care ˆıl cont¸ine, M cont¸ine ¸si num˘arul natural m + 1, atunci M = N.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

41 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

VII. Axioma ˆınlocuirii: Intuitiv: Dac˘a F este o funct¸ie ¸si a este o mult¸ime, atunci exist˘a o mult¸ime ale c˘arei elemente sunt exact elementele F (x), pentru tot¸i membrii x ai lui a care se afl˘a ˆın D(F ). Formal: ∀F [Fnc(F ) → ∀a∃b∀y [y ∈ b ↔ ∃x(x ∈ a ∧ x ∈ D(F ) ∧ y = F (x))]] Cine este acea mult¸ime b, ˆın limbajul cunoscut din teoria naiv˘a a mult¸imilor? b este imaginea mult¸imii a ∩ D(F ) prin funct¸ia F , notat˘a uzual cu F (a ∩ D(F )).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

42 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

VIII. Axioma alegerii globale: Intuitiv: Exist˘a o funct¸ie F al c˘arei domeniu cont¸ine toate mult¸imile nevide ¸si astfel ˆıncˆat, pentru fiecare mult¸ime nevid˘a y , F (y ) este membru al lui y (desigur, mult¸ime nevid˘a = mult¸ime care nu coincide cu mult¸imea vid˘a, n). Formal: ∃F [Fnc(F ) ∧ ∀y [y 6= n → (y ∈ D(F ) ∧ F (y ) ∈ y )]] Funct¸ia F “alege“ cˆate un element F (y ) din fiecare mult¸ime nevid˘a y .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

43 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

IX. Axioma fund˘ arii: Intuitiv: Orice clas˘a P care are cel put¸in un membru are un membru minimal u, i. e. exist˘a un element u cu proprietatea c˘a u este membru al lui P, dar niciun membru al lui u nu este membru al lui P. Formal: ∀P[∃u(u ∈ P) → ∃u[u ∈ P ∧ ∀x(x ∈ u → x ∈ / P)]] Aceast˘a axiom˘a spune c˘a orice ¸sir u0 , u1 , u2 , u3 , . . . de membri ai unei clase P, cu u1 ∈ u0 , u2 ∈ u1 , u3 ∈ u2 ¸s. a. m. d., este finit (i. e. nu exist˘a un astfel de ¸sir infinit; cu notat¸iile cunoscute din teoria naiv˘a a mult¸imilor, nu exist˘a un ¸sir (um )m∈N ⊆ P cu um+1 ∈ um pentru orice m ∈ N).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

44 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

X. Axioma extensionalit˘ a¸tii claselor: Intuitiv: Oricare ar fi clasele A ¸si B, dac˘a, pentru fiecare element x, x este membru al clasei A ddac˘a x este membru al clasei B, atunci A coincide cu B. Formal: ∀A∀B[∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B) → A = B] Aceast˘a axiom˘a spune c˘a dou˘a clase cu acelea¸si elemente coincid, ˆıntocmai cum se ˆıntˆampl˘a ˆın cazul particular al mult¸imilor, ˆın care acest fapt era cunoscut din Axioma I (a extensionalit˘ a¸tii de mult¸imi).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

45 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel

XI. Axioma comprehensiunii predicative: Intuitiv: Dac˘a P este o proprietate referitoare la obiecte, care nu cont¸ine cuantificatori aplicat¸i unor clase (adic˘a expresii de forma “oricare ar fi o clas˘a X“ sau “exist˘a o clas˘a X astfel ˆıncˆat“), atunci exist˘a o clas˘a avˆand ca membri exact acele elemente x care satisfac proprietatea P. Formal, pentru o proprietate P ca mai sus: ∃A∀x(x ∈ A ↔ P(x)) A¸sa cum am anunt¸at mai sus, ˆıntr–o referire la teoria naiv˘a a mult¸imilor ¸si ˆın mai multe aplicat¸ii, dac˘a, ˆın axioma anterioar˘a, elementele x nu sunt oarecare, ci sunt elemente ale unei mult¸imi y , atunci, conform Axiomei V (a submult¸imilor), A este o mult¸ime, anume, cu notat¸iile cunoscute din teoria naiv˘a a mult¸imilor, A = {x ∈ y | P(x)}.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

46 / 48

Sistemul axiomatic von Neumann–Bernays–G¨odel Motivul pentru care Axioma XI (a comprehensiunii predicative) poart˘a acest nume este faptul c˘a astfel de propriet˘a¸ti P, care cap˘at˘a sens (ˆınt¸eles, “valoare de adev˘ar“, adic˘a putem spune despre ele c˘a sunt adev˘arate sau false) numai atunci cˆand sunt aplicate unor obiecte “concrete“, fixate, constante, adic˘a numai atunci cˆand scriem P(ω), cu ω obiect fixat, constant, se numesc predicate, sau propozit¸ii (enunt¸uri) cu variabile (variabil˘a ˆın acest caz, dar ˆın general putem avea mai multe variabile, ¸si s˘a scriem P(α, β), P(α, β, γ) etc.). Propriet˘a¸tile (enunt¸urile) “f˘ar˘a variabile“, care nu se aplic˘a unor obiecte, ci sunt “ˆın sine (ele ˆınsele)“ adev˘arate sau false, se numesc propozit¸ii. Aceste definit¸ii fac parte din limbajul logicii matematice, ¸si vor fi formulate riguros mai tˆarziu.

Exemplu Enunt¸ul “2 este un num˘ar par“ este o propozit¸ie (adev˘arat˘a). Enunt¸ul “x este un num˘ar par“ este un predicat cu variabila x, ˆın care ˆınlocuirea lui x cu 2 produce o propozit¸ie adev˘arat˘a (anume chiar propozit¸ia de mai sus), iar ˆınlocuirea lui x cu 1 produce o propozit¸ie fals˘a. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

47 / 48

Observat¸ie Materialul prezentat pˆan˘a ˆın acest moment nu face parte din materia pentru examen, cu except¸ia primei definit¸ii naive a not¸iunii de mult¸ime. Dar parcurgerea acestui material este foarte util˘a pentru ˆınt¸elegerea cursurilor care vor urma.

Observat¸ie ˆIn cursurile urm˘atoare, vom adopta punctul de vedere al teoriei naive a mult¸imilor, cu except¸ia cazurilor ˆın care vom ment¸iona c˘a facem apel la o axiom˘a a teoriei mult¸imilor. Toate rezultatele pe care le cunoa¸stem din gimnaziu ¸si liceu despre mult¸imi ¸si funct¸ii pot fi demonstrate pornind de la orice sistem axiomatic al teoriei mult¸imilor, ˆın particular de la cel de mai sus, deci, ˆın orice moment, ˆın ce vom studia, ne vom afla ˆın cadrul acestor sisteme axiomatice. Definit¸ia funct¸iei ˆıns˘a nu o vom da ˆın cazul general de mai sus, ci vom adopta definit¸ia din gimnaziu ¸si liceu, unde o funct¸ie este considerat˘a a fi definit˘a ˆıntre dou˘a mult¸imi, nu ˆıntre dou˘a clase oarecare.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs I logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

48 / 48

Logic˘a matematic˘a ¸si computat¸ional˘a Cursul II Claudia MURES ¸ AN [email protected] Universitatea din Bucure¸sti Facultatea de Matematic˘ a ¸si Informatic˘ a Bucure¸sti

2011-2012, semestrul I

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

1 / 37

1

Mult¸imi ¸si funct¸ii

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

2 / 37

Mult¸imi ¸si funct¸ii

Continu˘am recapitularea din sect¸iunea “Mult¸imi ¸si funct¸ii“.

Amintim din primul curs ¸si primul seminar faptul c˘a are sens s˘a ne referim la obiecte (elemente, mult¸imi, clase) arbitrare, pentru care nu specific˘am un domeniu al valorilor. Amintim din primul seminar urm˘atoarea metod˘a de a demonstra c˘a dou˘a mult¸imi A ¸si B sunt egale: A = B ddac˘a, pentru orice element x, are loc echivalent¸a x ∈ A ⇔ x ∈ B.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

3 / 37

Mult¸imi ¸si funct¸ii Notat¸ie Al˘aturarea de simboluri ∃! semnific˘a “exist˘a un unic“, “exist˘a ¸si este unic“.

Notat¸ie Vom nota cu ∅ mult¸imea vid˘a, adic˘a mult¸imea f˘ar˘a elemente. P˘astr˘am notat¸iile cunoscute ∪, ∩ ¸si \ pentru reuniunea, intersect¸ia ¸si respectiv diferent¸a de mult¸imi. De asemenea, p˘astr˘am notat¸iile ⊆, (, ⊇ ¸si ) pentru incluziunile ¸si incluziunile stricte dintre mult¸imi ˆın fiecare sens. Vom mai nota incluziunile stricte ¸si cu ⊂ ¸si respectiv ⊃, dar numai atunci cˆand precizarea c˘a este vorba de o incluziune strict˘a ¸si nu poate avea loc egalitatea de mult¸imi nu ne folose¸ste ˆın cele prezentate.

Remarc˘a Este evident faptul c˘a singura submult¸ime a mult¸imii vide este mult¸imea vid˘a.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

4 / 37

Mult¸imi ¸si funct¸ii

Notat¸ie Pentru orice elemente a ¸si b, not˘am cu (a, b) perechea ordonat˘a format˘a din a ¸si b.

Definit¸ie Pentru orice mult¸imi A ¸si B, se define¸ste produsul cartezian dintre A ¸si B (numit ¸si produsul direct dintre A ¸si B) ca fiind mult¸imea {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}, notat˘a A × B.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

5 / 37

Mult¸imi ¸si funct¸ii

Remarc˘a Se demonstreaz˘a u¸sor c˘a, pentru orice mult¸ime A, A × ∅ = ∅ × A = ∅. De asemenea, se demonstreaz˘a u¸sor c˘a produsul cartezian este distributiv fat¸˘a de reuniunea, intersect¸ia ¸si diferent¸a de mult¸imi, adic˘a, pentru orice mult¸imi A, B ¸si C , au loc egalit˘a¸tile: A × (B ∪ C ) = (A × B) ∪ (A × C ) ¸si (B ∪ C ) × A = (B × A) ∪ (C × A) A × (B ∩ C ) = (A × B) ∩ (A × C ) ¸si (B ∩ C ) × A = (B × A) ∩ (C × A) A × (B \ C ) = (A × B) \ (A × C ) ¸si (B \ C ) × A = (B × A) \ (C × A) Avet¸i ca tem˘ a pentru acas˘ a demonstrarea tuturor acestor egalit˘a¸ti.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

6 / 37

Mult¸imi ¸si funct¸ii Definit¸ie Fie A ¸si B mult¸imi oarecare. Se nume¸ste funct¸ie de la A la B un triplet f := (A, G , B), unde G ⊆ A × B, a. ˆı., pentru orice a ∈ A, exist˘a un unic b ∈ B, cu proprietatea c˘a (a, b) ∈ G . Formal: (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B)(a, b) ∈ G . f Faptul c˘a f este o funct¸ie de la A la B se noteaz˘a cu f : A → B sau A → B. Mult¸imea A se nume¸ste domeniul funct¸iei f , B se nume¸ste codomeniul sau domeniul valorilor lui f , iar G se nume¸ste graficul lui f . Pentru fiecare a ∈ A, unicul b ∈ B cu proprietatea c˘a (a, b) ∈ G se noteaz˘a cu f (a) ¸si se nume¸ste valoarea funct¸iei f ˆın punctul a.

Exemplu Care dintre urm˘atoarele corespondent¸e este o funct¸ie de la A la B? f g h A B A B A B r r r r r r: r r r Z Z Z r Z r X rXX X ~r ~r Z z ~r Z z Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

7 / 37

Mult¸imi ¸si funct¸ii

Remarc˘a Amintim din primul curs ¸si primul seminar c˘a, oricare ar fi propozit¸iile (i. e. propriet˘a¸tile, enunt¸urile, afirmat¸iile) p ¸si q: implicat¸ia p ⇒ q este echivalent˘a cu “non p sau q“, a¸sadar: implicat¸ia p ⇒ q este adev˘arat˘a ddac˘a p e fals˘a sau q e adev˘arat˘a implicat¸ia p ⇒ q este fals˘a ddac˘a p e adev˘arat˘a ¸si q e fals˘a

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

8 / 37

Mult¸imi ¸si funct¸ii Remarc˘a Fie B o mult¸ime oarecare (poate fi vid˘ a ¸si poate fi nevid˘ a). Atunci exist˘a o unic˘a funct¸ie f : ∅ → B. ˆIntr-adev˘ar, o funct¸ie f : ∅ → B trebuie s˘a fie un triplet f = (∅, G , B), cu G ⊆ ∅ × B = ∅, deci G = ∅. A¸sadar, exist˘a cel mult o funct¸ie f : ∅ → B, anume f = (∅, ∅, B) este unica posibilitate. S˘a ar˘at˘am c˘a acest triplet satisface definit¸ia funct¸iei: (∀a ∈ ∅)(∃!b ∈ B)(a, b) ∈ ∅, i. e.: (∀a)[a ∈ ∅ ⇒ (∃!b)(b ∈ B ¸si (a, b) ∈ ∅)]. Pentru orice element a, proprietatea a ∈ ∅ este fals˘a, a¸sadar, pentru orice element a, implicat¸ia [a ∈ ∅ ⇒ . . .] este adev˘arat˘a. Iar acest lucru ˆınseamn˘a exact faptul c˘a ˆıntreaga proprietate (∀a)[a ∈ ∅ ⇒ . . .] este adev˘arat˘a, deci f este funct¸ie. Prin urmare, exist˘a o unic˘a funct¸ie f : ∅ → B, anume f = (∅, ∅, B).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

9 / 37

Mult¸imi ¸si funct¸ii Remarc˘a Fie A o mult¸ime nevid˘ a. Atunci nu exist˘a nicio funct¸ie f : A → ∅. ˆIntr-adev˘ar, o funct¸ie f : A → ∅ trebuie s˘a fie un triplet f = (A, G , ∅), cu G ⊆ A × ∅ = ∅, deci G = ∅. A¸sadar, dac˘a ar exista o funct¸ie f : A → ∅, atunci am avea neap˘arat f = (A, ∅, ∅). S˘a vedem dac˘a acest triplet verific˘a definit¸ia funct¸iei: (∀a ∈ A)(∃!b ∈ ∅)(a, b) ∈ ∅, i. e.: (∀a)[a ∈ A ⇒ [[(∃b)(b ∈ ∅ ¸si (a, b) ∈ ∅)] ¸si [(∀c)(∀d)((c ∈ ∅ ¸si d ∈ ∅ ¸si (a, c) ∈ ∅ ¸si (a, d) ∈ ∅) ⇒ c = d)]]]. Oricare ar fi elementul b, proprietatea b ∈ ∅ este fals˘a, deci, oricare ar fi elementele a ¸si b, conjunct¸ia (b ∈ ∅ ¸si (a, b) ∈ ∅) este fals˘a, deci, oricare ar fi elementul a, proprietatea (∃b)(b ∈ ∅ ¸si (a, b) ∈ ∅) este fals˘a, a¸sadar, oricare ar fi elementul a, conjunct¸ia care succede mai sus implicat¸iei avˆand ca antecedent pe a ∈ A este fals˘a. ˆIn schimb, ˆıntrucˆat A este nevid˘a, rezult˘a c˘a proprietatea a ∈ A este adev˘arat˘a pentru m˘acar un element a. Prin urmare, implicat¸ia [a ∈ A ⇒ . . .] de mai sus este fals˘a pentru cel put¸in un element a, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a ˆıntreaga proprietate (∀a)[a ∈ A ⇒ . . .] este fals˘a, ¸si deci f nu este funct¸ie. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

10 / 37

Mult¸imi ¸si funct¸ii Definit¸ie Pentru orice mult¸imi A ¸si B, orice funct¸ie f : A → B ¸si orice submult¸imi X ⊆ A ¸si Y ⊆ B, se definesc: imaginea lui X prin f sau imaginea direct˘a a lui X prin f , notat˘a f (X ), este submult¸imea lui B: f (X ) = {f (x) | x ∈ X } ⊆ B f (A) = {f (a) | a ∈ A} ⊆ B se mai noteaz˘a cu Im(f ) ¸si se nume¸ste imaginea lui f preimaginea lui Y prin f sau imaginea invers˘a a lui Y prin f , notat˘a f −1 (Y ) (f ∗ (Y ) ˆın unele c˘art¸i, pentru a o deosebi de imaginea lui Y prin inversa f −1 a lui f , care exist˘a numai atunci cˆand f este inversabil˘a, adic˘a numai atunci cˆand f este bijectiv˘a, pe cˆand preimaginea unei submult¸imi a codomeniului poate fi definit˘a pentru orice funct¸ie), este submult¸imea lui A: f −1 (Y ) = {x ∈ A | f (x) ∈ Y } ⊆ A

Remarc˘a Evident, cu notat¸iile de mai sus, f −1 (B) = A. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

11 / 37

Funct¸ia caracteristic˘a a unei submult¸imi a unei mult¸imi

Definit¸ie Pentru orice mult¸imi A ¸si B, not˘am cu A∆B diferent¸a simetric˘a a lui A ¸si B, anume: A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Notat¸ie Pentru orice mult¸ime T , vom nota cu P(T ) mult¸imea p˘art¸ilor lui T , i. e. mult¸imea submult¸imilor lui T : P(T ) = {X | X ⊆ T }.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

12 / 37

Funct¸ia caracteristic˘a a unei submult¸imi a unei mult¸imi Definit¸ie Fie T o mult¸ime nevid˘a arbitrar˘a, fixat˘a. Pentru orice A ∈ P(T ), definim funct¸ia caracteristic˘ ( a a lui A (raportat la T ): χA : T → {0, 1}, pentru orice x ∈ T , 0, dac˘a x ∈ / A, χA (x) = 1, dac˘a x ∈ A.

Observat¸ie ˆIn definit¸ia de mai sus pentru funct¸iile caracteristice ale submult¸imilor unei mult¸imi T , am folosit notat¸ia (consacrat˘ a) χA pentru funct¸ia caracteristic˘a a unei submult¸imi A a lui T , care sugereaz˘a faptul c˘a aceast˘a funct¸ie ar depinde numai de A. Motivul pentru care nu se ata¸seaz˘a la aceast˘a notat¸ie ¸si indicele T , pentru a ar˘ata faptul evident c˘a aceast˘a funct¸ie depinde ¸si de T , este c˘a, ˆın mod uzual, se consider˘a mult¸imea total˘a T ca fiind fixat˘a atunci cˆand lucr˘am cu funct¸iile caracteristice ale p˘art¸ilor sale.

Remarc˘a ˆIn cele ce urmeaz˘a vom considera codomeniul funct¸iilor caracteristice {0, 1} ⊂ N (sau {0, 1} ⊂ R), iar operat¸iile aritmetice care vor fi efectuate vor fi operat¸iile uzuale de pe N (sau R). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

13 / 37

Funct¸ia caracteristic˘a a unei submult¸imi a unei mult¸imi Propozit¸ie (Propriet˘a¸tile funct¸iilor caracteristice) Fie T o mult¸ime nevid˘a arbitrar˘a, fixat˘a. Pentru orice A ∈ P(T ), not˘am cu χA funct¸ia caracteristic˘a a lui A (raportat la T ). Mai not˘am funct¸iile constante: 0 : T → {0, 1} ¸si 1 : T → {0, 1}, pentru orice x ∈ T , 0(x) = 0 ¸si 1(x) = 1. Atunci au loc propriet˘a¸tile: 1 χ∅ = 0 ¸si χT = 1 2 pentru orice A ∈ P(T ), A = χ−1 A ({1}) 3 pentru orice A, B ∈ P(T ), are loc echivalent¸a: A ⊆ B ddac˘a χA ≤ χB (punctual, i. e.: pentru orice x ∈ T , χA (x) ≤ χB (x)) 4 pentru orice A, B ∈ P(T ), are loc echivalent¸a: A = B ddac˘a χA = χB 5 pentru orice A, B ∈ P(T ), χA∩B = χA · χB 6 pentru orice A ∈ P(T ), χA = χ2A 7 pentru orice A, B ∈ P(T ), χA∪B = χA + χB − χA · χB 8 pentru orice A, B ∈ P(T ), χA\B = χA − χA · χB 9 pentru orice A ∈ P(T ), χT \A = 1 − χA 10 χ A∆B = χA + χB − 2 · χA · χB Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

14 / 37

Funct¸ia caracteristic˘a a unei submult¸imi a unei mult¸imi Demonstrat¸ie: (1) Din faptul c˘a orice x ∈ T satisface: x ∈ / ∅ ¸si x ∈ T . (2) Fie x ∈ T . Avem: x ∈ A ddac˘a χA (x) = 1 ddac˘a x ∈ χ−1 sadar A ({1}). A¸ A = χ−1 ({1}). A (3) Are loc: A ⊆ B ddac˘a (∀x ∈ T )(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ddac˘a (∀x ∈ T )(χA (x) = 1 ⇒ χB (x) = 1) ddac˘a (∀x ∈ T )χA (x) ≤ χB (x) ddac˘a χA ≤ χB (amintim c˘a domeniul valorilor lui χA ¸si χB este {0, 1}). (4) Putem folosi punctul (3): A = B ddac˘a [A ⊆ B ¸si B ⊆ A] ddac˘a [χA ≤ χB ¸si χB ≤ χA ] ddac˘a χA = χB . −1 Sau putem folosi punctul (2): A = B ddac˘a χ−1 a A ({1}) = χB ({1}) ddac˘ χA = χB (amintim c˘a domeniul valorilor lui χA ¸si χB este mult¸imea cu dou˘a elemente {0, 1}). (5) Fie x ∈ T , arbitrar, fixat. Distingem patru cazuri: x∈ / A ¸si x ∈ / B (deci x ∈ / A ∩ B) x∈ / A ¸si x ∈ B (deci x ∈ / A ∩ B) x ∈ A ¸si x ∈ / B (deci x ∈ / A ∩ B) x ∈ A ¸si x ∈ B (deci x ∈ A ∩ B) ˆIn primul dintre aceste cazuri, χA∩B (x) = 0 = 0 · 0 = χA (x) · χB (x). La fel se analizeaz˘a celelalte trei cazuri, ¸si rezult˘a c˘a χA∩B (x) = χA (x) · χB (x) pentru orice x ∈ T , i. e. χA∩B = χA · χB . Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

15 / 37

Funct¸ia caracteristic˘a a unei submult¸imi a unei mult¸imi (6) Aplicˆand (5) cazului particular A = B, obt¸inem: χA = χA∩A = χA · χA = χ2A . Sau putem aplica faptul c˘a fiecare dintre elementele 0 ¸si 1 este egal cu p˘atratul s˘au, iar codomeniul lui χA este {0, 1}. (7) Analog demonstrat¸iei pentru punctul (5). (8) Analog demonstrat¸iei pentru fiecare dintre punctele (5) ¸si (7). (9) Conform punctelor (8) ¸si (1), χT \A = χT − χT · χA = 1 − 1 · χA = 1 − χA . (Este clar c˘a 1 · χA = χA . Se putea folosi, ca alternativ˘a, ¸si punctul (5), pentru a deduce: χT · χA = χT ∩A = χA .) (10) Putem calcula, conform punctelor (7), (8), (5) ¸si (1): χA∆B = χ(A\B)∪(B\A) = χA\B + χB\A − χA\B · χB\A = χA − χA · χB + χB − χA · χB − χ(A\B)∩(B\A) = χA + χB − 2 · χA · χB − χ∅ = χA + χB − 2 · χA · χB − 0 = χA + χB − 2 · χA · χB . Am aplicat faptul c˘a orice element al intersect¸iei (A \ B) ∩ (B \ A) simultan apart¸ine lui A ¸si nu apart¸ine lui A (¸si simultan apart¸ine lui B ¸si nu apart¸ine lui B); sigur c˘a nu exist˘a un astfel de element, a¸sadar acea intersect¸ie este vid˘a.

Remarc˘a Punctele (3) ¸si (4) ale propozit¸iei precedente ne ofer˘a posibilitatea de a demonstra incluziunea ¸si egalitatea de mult¸imi folosind funct¸ia caracteristic˘a a mult¸imilor respective. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

16 / 37

Funct¸ia caracteristic˘a a unei submult¸imi a unei mult¸imi Remarc˘a A se observa c˘a, ˆın propozit¸ia anterioar˘a, conform punctelor (5), (7) ¸si (8), au loc, pentru orice A, B ∈ P(T ): χA∪B = χA + χB − χA∩B χA\B = χA − χA∩B De asemenea, pentru orice α, β ∈ {0, 1} (care este domeniul valorilor funct¸iilor caracteristice), au loc: α · β = min{α, β} α + β − α · β = max{α, β} Aceste egalit˘a¸ti pot fi demonstrate, de exemplu, prin ˆınlocuirea fiec˘aruia dintre elementele α ¸si β cu fiecare dintre valorile 0 ¸si 1 ˆın fiecare egalitate. Din egalit˘a¸tile de mai sus ¸si punctele (5) ¸si (7) ale propozit¸iei precedente rezult˘a c˘a, pentru orice A, B ∈ P(T ), au loc: χA∩B = min{χA , χB } χA∪B = max{χA , χB } Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

17 / 37

Funct¸ia caracteristic˘a a unei submult¸imi a unei mult¸imi Teme pentru acas˘ a: S˘a se demonstreze, folosind funct¸ia caracteristic˘a (nu conteaz˘a fat¸˘a de ce mult¸ime total˘a T ; se poate lua orice mult¸ime T care include mult¸imile care intr˘a ˆın discut¸ie, de exemplu se poate lua T egal˘a cu reuniunea acelor mult¸imi): asociativitatea diferent¸ei simetrice: pentru orice mult¸imi A, B, C , A∆(B∆C ) = (A∆B)∆C (indicat¸ie: prin calcul, folosind propozit¸ia precedent˘a, se obt¸ine χA∆(B∆C ) = χ(A∆B)∆C , ceea ce este echivalent cu egalitatea A∆(B∆C ) = (A∆B)∆C care trebuie demonstrat˘a; la fel se poate proceda mai jos) distributivitatea lui ∪ fat¸˘a de ∩: pentru orice mult¸imi A, B, C , A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) distributivitatea lui ∩ fat¸˘a de ∪: pentru orice mult¸imi A, B, C , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) idempotent¸a operat¸iei de trecere la complementar˘a: pentru orice mult¸ime T ¸si orice A ∈ P(T ), T \ (T \ A) = A legile lui de Morgan pentru ∪ ¸si ∩: pentru orice mult¸ime T ¸si orice ( T \ (A ∪ B) = (T \ A) ∩ (T \ B) A, B ∈ P(T ), T \ (A ∩ B) = (T \ A) ∪ (T \ B) alte rezultate demonstrate ˆın primul seminar Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

18 / 37

Mult¸imi ¸si funct¸ii Definit¸ie Fie A ¸si B mult¸imi ¸si f : A → B o funct¸ie. f se zice: injectiv˘a ddac˘a are loc oricare dintre urm˘atoarele condit¸ii echivalente: pentru orice b ∈ B, exist˘ a cel mult un a ∈ A, astfel ˆıncˆ at f (a) = b pentru orice a1 , a2 ∈ A, dac˘ a a1 6= a2 , atunci f (a1 ) 6= f (a2 ) pentru orice a1 , a2 ∈ A, dac˘ a f (a1 ) = f (a2 ), atunci a1 = a2

surjectiv˘a ddac˘a are loc oricare dintre urm˘atoarele condit¸ii echivalente: pentru orice b ∈ B, exist˘ a cel put¸in un a ∈ A, astfel ˆıncˆ at f (a) = b f (A) = B

bijectiv˘a ddac˘a are loc oricare dintre urm˘atoarele condit¸ii echivalente: f este simultan injectiv˘ a ¸si surjectiv˘ a pentru orice b ∈ B, exist˘ a exact un a ∈ A, astfel ˆıncˆ at f (a) = b (formal: (∀b ∈ B)(∃!a ∈ A)f (a) = b)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

19 / 37

Funct¸ia caracteristic˘a Definit¸ie Dou˘a mult¸imi A ¸si B se zic cardinal echivalente ddac˘a exist˘a o funct¸ie bijectiv˘a de la A la B, fapt notat prin: A ∼ = B.

Notat¸ie Pentru orice mult¸imi A ¸si B, se noteaz˘a cu B A mult¸imea funct¸iilor de la A la B: B A = {f | f : A → B}.

Propozit¸ie Pentru orice mult¸ime nevid˘a T , P(T ) ∼ = {0, 1}T . Demonstrat¸ie: Consider˘am aplicat¸ia f : P(T ) → {0, 1}T = {ϕ | ϕ : T → {0, 1}}, definit˘a prin: pentru orice A ∈ P(T ), f (A) = χA (funct¸ia caracteristic˘a a lui A raportat la T ). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

20 / 37

Funct¸ia caracteristic˘a

Conform propozit¸iei cont¸inˆand propriet˘a¸tile funct¸iei caracteristice, pentru orice A, B ∈ P(T ), avem: dac˘a A = B, atunci χA = χB , adic˘a f (A) = f (B), deci f e bine definit˘ a (i. e. este funct¸ie, adic˘a asociaz˘a unui element din domeniul ei, P(T ), un unic element din codomeniul ei, {0, 1}T ) ¸si reciproc: dac˘a f (A) = f (B), adic˘a χA = χB , atunci A = B, deci f este injectiv˘a. Fie ϕ ∈ {0, 1}T , i. e. ϕ : T → {0, 1}. Fie A = ϕ−1 ({1}) = {a ∈ T | ϕ(a) = 1}. Atunci χA ∈ {0, 1}T are proprietatea c˘a, pentru orice x ∈ T : χA (x) = 1 ddac˘a x ∈ A = ϕ−1 ({1}) ddac˘a ϕ(x) = 1. Cum χA ¸si ϕ au ca domeniu al valorilor mult¸imea cu dou˘a elemente {0, 1}, rezult˘a c˘a ϕ = χA = f (A), deci f este ¸si surjectiv˘a. Am demonstrat c˘a f : P(T ) → {0, 1}T este o biject¸ie, deci P(T ) ∼ = {0, 1}T .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

21 / 37

Familii arbitrare de mult¸imi Ce este un ¸sir de numere reale indexat de N? Un ¸sir (xn )n∈N ⊂ R este o funct¸ie f : N → R. Pentru orice n ∈ N, se noteaz˘a xn := f (n) ∈ R. Ce este o familie arbitrar˘a de numere reale? Fie I o mult¸ime arbitrar˘a. Ce este o familie de numere reale indexat˘a de I ? O familie (xi )i∈I ⊆ R este o funct¸ie f : I → R. Pentru orice i ∈ I , se noteaz˘a xi := f (i) ∈ R. Elementele mult¸imii I se numesc indicii familiei (xi )i∈I . Dat˘a o mult¸ime arbitrar˘a M: ce este un ¸sir de elemente ale lui M indexat de N? ce este o familie arbitrar˘a de elemente ale lui M? ˆInlocuind mai sus pe R cu M, se obt¸in definit¸iile acestor not¸iuni. Ce este un ¸sir de mult¸imi indexat de N? Ce este o familie arbitrar˘a de mult¸imi?

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

22 / 37

Familii arbitrare de mult¸imi Definit¸ie Fie T o mult¸ime arbitrar˘a. Se nume¸ste ¸sir de submult¸imi ale lui T indexat de N o funct¸ie f : N → P(T ). Pentru fiecare n ∈ N, se noteaz˘a An := f (n) ∈ P(T ), iar ¸sirul de submult¸imi ale lui T se noteaz˘a cu (An )n∈N . Scriem (An )n∈N ⊆ P(T ) cu semnificat¸ia c˘a, pentru fiecare n ∈ N, An ∈ P(T ).

Definit¸ie Fie T ¸si I dou˘a mult¸imi arbitrare. Se nume¸ste familie de submult¸imi ale lui T indexat˘a de I o funct¸ie f : I → P(T ). Pentru fiecare i ∈ I , se noteaz˘a Ai := f (i) ∈ P(T ), iar familia de submult¸imi ale lui T se noteaz˘a cu (Ai )i∈I . Scriem (Ai )i∈I ⊆ P(T ) cu semnificat¸ia c˘a, pentru fiecare i ∈ I , Ai ∈ P(T ). Elementele mult¸imii I se numesc indicii familiei (Ai )i∈I . Putem generaliza definit¸iile anterioare la ¸siruri de mult¸imi oarecare ¸si familii de mult¸imi oarecare, nu neap˘arat p˘art¸i ale unei mult¸imi precizate, dar vom avea nevoie de acea definit¸ie mai cuprinz˘atoare a not¸iunii de funct¸ie, care permite unei funct¸ii f definite pe N, respectiv pe I , s˘a aib˘a drept codomeniu o clas˘a (nu neap˘arat o mult¸ime), anume clasa tuturor mult¸imilor ˆın acest caz. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

23 / 37

Operat¸ii cu familii arbitrare de mult¸imi Definit¸ie Fie I o mult¸ime arbitrar˘a ¸si (Ai )i∈I o familie de mult¸imi (p˘art¸i ale unei mult¸imi T sau mult¸imi arbitrare) indexat˘a de I . Se definesc urm˘atoarele operat¸ii: [ reuniunea familiei (Ai )i∈I este mult¸imea notat˘a Ai ¸si definit˘a prin: i∈I

[

Ai = {x | (∃i ∈ I )x ∈ Ai }

i∈I

intersect¸ia familiei (Ai )i∈I este mult¸imea notat˘a

\

Ai ¸si definit˘a prin:

i∈I

\

Ai = {x | (∀i ∈ I )x ∈ Ai }

i∈I

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

24 / 37

Operat¸ii cu familii arbitrare de mult¸imi

Definit¸ie produsul cartezian al familiei (A si produsul direct al familiei i )i∈I (numit ¸ Y (Ai )i∈I ) este mult¸imea notat˘a Ai ¸si definit˘a prin: i∈I

Y

Ai = {(ai )i∈I ⊆

i∈I

[

Ai | (∀i ∈ I )ai ∈ Ai },

i∈I

sau, altfel scris (cu definit¸ia unei familii de elemente exemplificate mai sus pe familii de numere reale): Y [ Ai = {f | f : I → Ai , (∀i ∈ I )f (i) ∈ Ai }. i∈I

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

i∈I

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

25 / 37

Operat¸ii cu familii arbitrare de mult¸imi Exemplu Fie T ¸si I dou˘a mult¸imi nevide ¸si (Ai )i∈I ⊆ P(T ) o familie de p˘art¸i ale lui T indexat˘a de I . S˘a demonstr˘am urm˘atoarele egalit˘a¸ti satisf˘acute de funct¸iile caracteristice raportat la T : χSi∈I Ai = max{χAi | i ∈ I } χTi∈I Ai = min{χAi | i ∈ I } S˘a not˘am cu F := max{χAi | i ∈ I } : T → {0, 1}, definit˘a, desigur, punctual: pentru orice x ∈ T , F (x) = max{χAi (x) | i ∈ I }. Observ˘am c˘a maximul unei familii de elemente din mult¸imea {0, 1} este egal cu 1 ddac˘a exist˘a m˘acar un element egal cu 1 ˆın acea familie. Pentru orice x ∈ T , avem: χSi∈I Ai (x) = 1 [ Ai ddac˘a (∃i ∈ I )x ∈ Ai ddac˘a (∃i ∈ I )χAi (x) = 1 ddac˘a ddac˘a x ∈ i∈I

max{χAi (x) | i ∈ I } = 1 ddac˘a F (x) = 1. Rezult˘a c˘a χSi∈I Ai = F , ˆıntrucˆat codomeniul acestor dou˘a funct¸ii este mult¸imea cu dou˘a elemente {0, 1}. Avet¸i demonstrarea celei de–a doua egalit˘a¸ti ca tem˘ a. Indicat¸ie: observat¸i c˘a minimul unei familii de elemente din mult¸imea {0, 1} este egal cu 1 ddac˘a toate elementele acelei familii sunt egale cu 1, ¸si rescriet¸i demonstrat¸ia de mai sus ˆınlocuind ˆın ea maximul cu minimul, ∃ cu ∀ ¸si reuniunea cu intersect¸ia. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

26 / 37

Numere cardinale Amintim c˘a spunem c˘a dou˘a mult¸imi A ¸si B sunt cardinal echivalente, ¸si scriem A∼ = B, ddac˘a exist˘a o biject¸ie f : A → B.

Definit¸ie Pentru orice mult¸ime A, se nume¸ste cardinalul lui A sau num˘arul cardinal al lui A clasa tuturor mult¸imilor B cu A ∼ = B, notat˘a |A|. Este simplu de demonstrat, folosind operat¸ii cu biject¸ii pe care le consider˘am cunoscute din gimnaziu ¸si liceu, c˘a: pentru orice mult¸ime A, A ∼ = A, deci A ∈ |A| ∼ B, atunci B ∼ pentru orice mult¸imi A ¸si B, dac˘a A = = A ¸si |A| = |B|, i. e. ∼ C ddac˘a satisface B ∼ orice mult¸ime C satisface A = =C pentru orice mult¸imi A ¸si B, dac˘a A  B, atunci nu exist˘a nicio mult¸ime C cu propriet˘a¸tile: C ∈ |A| (i. e. A ∼ = C ) ¸si C ∈ |B| (i. e. B ∼ = C)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

27 / 37

Numere cardinale Definit¸ie Pentru orice mult¸imi A ¸si B, not˘am cu: |A| ≤ |B| faptul c˘a exist˘a o inject¸ie j : A → B |A| < |B| faptul c˘a |A| ≤ |B| ¸si |A| 6= |B|, i. e. exist˘a o inject¸ie j : A → B, dar nu exist˘a nicio biject¸ie f : A → B

Teorem˘a (Cantor) Pentru orice mult¸ime X , |X | < |P(X )|. Demonstrat¸ie: Dac˘a X = ∅, atunci se poate verifica faptul c˘a unica funct¸ie f : X = ∅ → P(X ) = P(∅) = {∅}, anume f = (∅, ∅, {∅}), este inject¸ie, dar nu este surject¸ie, deci nu este biject¸ie. Pentru cele ce urmeaz˘a, s˘a presupunem c˘a X 6= ∅. Definim j : X → P(X ), pentru orice x ∈ X , j(x) = {x} ∈ P(X ). Funct¸ia j este bine definit˘a ¸si injectiv˘a, pentru c˘a, oricare ar fi x, y ∈ X cu j(x) = j(y ), i. e. {x} = {y }, rezult˘a x = y (deoarece dou˘a mult¸imi coincid ddac˘a au acelea¸si elemente). A¸sadar |X | ≤ |P(X )|. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

28 / 37

Numere cardinale

S˘a presupunem prin absurd c˘a exist˘a o surject¸ie g : X → P(X ). Deci, pentru orice x ∈ X , g (x) ∈ P(X ), i. e. g (x) ⊆ X . S˘a not˘am A := {x ∈ X | x ∈ / g (x)} ∈ P(X ). g este surjectiv˘a, prin urmare exist˘a un element x0 ∈ X a. ˆı. g (x0 ) = A. Paradox: x0 ∈ g (x0 ) = A sau x0 ∈ / g (x0 ) = A? Dac˘a x0 ∈ g (x0 ) = A = {x ∈ X | x ∈ / g (x)}, rezult˘a c˘a x0 ∈ / g (x0 ). Dac˘a x0 ∈ / g (x0 ) = A = {x ∈ X | x ∈ / g (x)}, rezult˘a c˘a x0 ∈ A = g (x0 ). Am obt¸inut o contradict¸ie (ˆın fiecare situat¸ie posibil˘a), prin urmare presupunerea f˘acut˘a este fals˘a, adic˘a nu exist˘a nicio surject¸ie g : X → P(X ), deci nu exist˘a nicio biject¸ie f : X → P(X ), a¸sadar X  P(X ), deci |X | = 6 |P(X )|. A¸sadar |X | < |P(X )|.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

29 / 37

Numere cardinale Numerele naturale pot fi construite cu ajutorul cardinalelor (al numerelor cardinale), ˆıntr–un mod care nu este fundamental diferit de construct¸ia ment¸ionat˘a ˆın primul curs:  0 := |∅|,       1 := |{∅}|, 2 := |{∅, {∅}}|,   3 := |{∅, {∅}, {∅, {∅}}}|,     .. . Mereu se consider˘a mult¸imea avˆand drept elemente toate mult¸imile de la pa¸sii anteriori. Mult¸imea numerelor naturale, N, este o mult¸ime infinit˘a, ¸si este o mult¸ime num˘arabil˘a. Ce este o mult¸ime num˘arabil˘a? Ce este o mult¸ime infinit˘a? Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

30 / 37

Numere cardinale Notat¸ie Cardinalul mult¸imii numerelor naturale se noteaz˘a cu ℵ0 , pronunt¸at “alef 0“: ℵ0 := |N|.

Definit¸ie O mult¸ime X se zice num˘arabil˘a ddac˘a |X | = ℵ0 , i. e. ddac˘a X ∼ = N.

Definit¸ie O mult¸ime X se zice infinit˘a: 1 2 3

ˆın sens Dedekind, ddac˘a exist˘a S ( X a. ˆı. S ∼ =X ˆın sens Cantor, ddac˘a exist˘a S ⊆ X , a. ˆı. S este num˘arabil˘a ˆın sens obi¸snuit, ddac˘a, pentru orice n ∈ N, X  {1, 2, . . . , n}

Teorem˘a Cele trei definit¸ii de mai sus ale mult¸imilor infinite sunt echivalente. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

31 / 37

Numere cardinale

Observat¸ie Pentru demonstrat¸ia teoremei anterioare, a se vedea finalul primului capitol al c˘art¸ii: D. Bu¸sneag, D. Piciu, Lect¸ii de algebr˘a, Editura Universitaria Craiova, 2002. Aceast˘a demonstrat¸ie nu face parte din materia pentru examen.

Desigur, o mult¸ime finit˘a este, prin definit¸ie, o mult¸ime care nu este infinit˘a, adic˘a, ˆın conformitate cu definit¸ia de mai sus a mult¸imilor infinite ˆın sens obi¸snuit, o mult¸ime finit˘a este o mult¸ime X cu proprietatea c˘a X ∼ = {1, 2, . . . , n} pentru un anumit n ∈ N. (Desigur, am folosit licent¸a de scriere (convent¸ia): {1, 2, . . . , n} = ∅ pentru n = 0.)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

32 / 37

Numere cardinale Definit¸ia mult¸imilor infinite ˆın sens Cantor arat˘a c˘a ℵ0 (i. e. cardinalul mult¸imilor num˘arabile) este cel mai mic cardinal infinit, unde cardinal infinit (sau cardinal transfinit) ˆınseamn˘a cardinal al unei mult¸imi infinite. ˆIn particular, N este o mult¸ime infinit˘a, ¸si orice mult¸ime num˘arabil˘a este o mult¸ime infinit˘a.

Definit¸ie O mult¸ime cel mult num˘arabil˘a este o mult¸ime finit˘a sau num˘arabil˘a (adic˘a avˆand cardinalul mai mic sau egal cu ℵ0 ). N este o mult¸ime infinit˘a, deci, conform definit¸iei mult¸imilor infinite ˆın sens Dedekind, poate fi pus˘a ˆın biject¸ie cu o submult¸ime proprie (i. e. strict˘a, i. e. diferit˘a de ˆıntreaga mult¸ime N) a sa.

Exemplu Un hotel are o infinitate de camere, numerotate cu numerele naturale, ¸si toate camerele sale sunt ocupate. Cum poate fi cazat un nou turist ˆın acel hotel? Solut¸ie: mut˘am ocupantul camerei 0 ˆın camera 1, pe cel al camerei 1 ˆın camera 2, pe cel al camerei 2 ˆın camera 3 ¸s. a. m. d.. Iar noul turist este cazat ˆın camera 0. “Morala:“ cum punem pe N ˆın biject¸ie cu N∗ := N \ {0}? Definim f : N → N∗ , pentru orice n ∈ N, f (n) = n + 1. f este o biject¸ie. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

33 / 37

Numere cardinale Exemplu Un hotel are o infinitate de camere, numerotate cu numerele naturale, ¸si toate camerele sale sunt ocupate. Cum pot fi cazat¸i un milion de noi turi¸sti ˆın acel hotel? Solut¸ie: mut˘am ocupantul camerei 0 ˆın camera 1.000.000, pe cel al camerei 1 ˆın camera 1.000.001, pe cel al camerei 2 ˆın camera 1.000.002 ¸s. a. m. d.. Iar noii turi¸sti sunt cazat¸i ˆın camerele 0, 1, 2, . . . , 999.999. “Morala:“ cum punem pe N ˆın biject¸ie cu N \ 0, 999.999 = {n ∈ N | n ≥ 1.000.000}? Definim g : N → N \ 0, 999.999, pentru orice n ∈ N, g (n) = n + 1.000.000. g este o biject¸ie.

Remarc˘a Mult¸imea Z a numerelor ˆıntregi este num˘a(rabil˘a. ˆIntr-adev˘ar, funct¸ia h : Z → N, 2x, dac˘a x ≥ 0, definit˘a prin: pentru orice x ∈ Z, h(x) = este o biject¸ie. −2x − 1, dac˘a x < 0, Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

34 / 37

Numere cardinale Remarc˘a Mult¸imea Q a numerelor rat¸ionale este num˘arabil˘a, fapt care poate fi demonstrat printr-o mare varietate de procedee, cum ar fi: punˆand mai ˆıntˆai pe Q ∩ [0, ∞) ˆın x , apoi pe Q ∩ [0, 1) ˆın biject¸ie cu N prin biject¸ie cu cu Q ∩ [0, 1) prin x x +1 a¸sezarea elementelor lui Q ∩ [0, 1) ˆın ¸sirul 0 0 1 0 1 2 0 1 2 n−1 0 , , , , , ,..., , , ,..., , , . . . ¸si eliminarea duplicatelor din 1 2 2 3 3 3 n n n n n+1 acest ¸sir, iar pa¸sii de pˆan˘a acum conduc, prin compunere de biject¸ii, la existent¸a unei biject¸ii π : Q ∩ [0, ∞) → N cu π(0) = 0 (deci π |Q∩(0,∞) : Q ∩ (0, ∞) → N∗ = N \ {0} este, la rˆandul ei, o biject¸ie), ceea ce permite(obt¸inerea unei biject¸ii f : Q → N, definite prin: pentru orice x ∈ Q, 2π(x), dac˘a x ≥ 0, f (x) = A se vedea alte metode de a construi o 2π(−x) − 1, dac˘a x < 0. biject¸ie ˆıntre Q ¸si N ˆın primul capitol al c˘art¸ii: D. Bu¸sneag, D. Piciu, Lect¸ii de algebr˘a, Editura Universitaria Craiova, 2002.

Observat¸ie Demonstrarea faptului c˘a Q ∼ = N nu face parte din materia pentru examen. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

35 / 37

Numere cardinale Remarc˘a Mult¸imea R a numerelor reale nu este num˘arabil˘a (sigur c˘a este infinit˘a, ˆın baza definit¸iei lui Cantor pentru mult¸imile infinite, deoarece include pe N). Acest fapt poate fi ar˘atat, de exemplu, prin procedeul diagonal al lui Cantor: s˘a consider˘am o funct¸ie arbitrar˘a f : N → R ¸si, pentru fiecare n ∈ N, s˘a scriem pe f (n) ca fract¸ie zecimal˘a: f (n) = [f (n)] + 0, an,1 an,2 an,3 . . . an,n an,n+1 . . . an,k . . ., unde [f (n)] este partea ˆıntreag˘a a lui f (n) ¸si an,1 , an,2 , an,3 , . . . sunt cifrele zecimale de dup˘a virgul˘a ale lui f (n). S˘a consider˘am un num˘ar real b, cu scrierea ca fract¸ie zecimal˘a: b = 0, b1 b2 b3 . . . bn . . ., cu cifrele zecimale b1 , b2 , b3 , . . . , bn , . . . ¸si cu proprietatea c˘a, pentru orice n ∈ N, bn ∈ / {0, an,n , 9} (elimin˘am pe 0 ¸si 9 pentru a evita cazul dat de egalitatea 1 = 0, (9) = 0, 9999 . . ., u¸sor verificabil˘a prin exprimarea cu fract¸ii a acestor numere). Atunci, pentru orice n ∈ N, b 6= f (n), pentru c˘a au a n−a zecimal˘a diferit˘a, ceea ce arat˘a c˘a f nu este surjectiv˘a. Deci nu exist˘a nicio surject¸ie de la N la R, a¸sadar nu exist˘a nicio biject¸ie ˆıntre N ¸si R.

Remarc˘a Se poate ar˘ata c˘a R ∼ = P(N). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

36 / 37

Numere cardinale

Este |R| primul cardinal infinit nenum˘arabil?

Definit¸ie |R| se nume¸ste puterea continuumului. Ipoteza continuumului: Nu exist˘a niciun cardinal C cu proprietatea c˘a ℵ0 = |N| < C < |R|. (Adic˘a |R| este primul cardinal infinit nenum˘arabil.) S-a demonstrat c˘a: ipoteza continuumului este o proprietate independent˘a de sistemele consacrate de axiome pentru teoria mult¸imilor (Zermelo–Fraenkel, von Neumann–Bernays–G¨odel etc.), i. e. nu poate fi nici demonstrat˘a, nici infirmat˘a pornind de la axiomele din aceste sisteme.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs II logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

37 / 37

Logic˘a matematic˘a ¸si computat¸ional˘a Cursul III Claudia MURES ¸ AN [email protected] Universitatea din Bucure¸sti Facultatea de Matematic˘ a ¸si Informatic˘ a Bucure¸sti

2011-2012, semestrul I

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

1 / 29

1

Relat¸ii binare pe o mult¸ime

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

2 / 29

Relat¸ii n–are Amintim notat¸ia

Y

Ai pentru produsul direct (produsul cartezian) al unei

i∈I

familii (arbitrare) de mult¸imi (Ai )i∈I ¸si notat¸ia (ai )i∈I pentru un element al acestui produs direct (i. e. ai ∈ Ai pentru orice i ∈ I ). Amintim c˘a am notat cu N∗ := N \ {0} mult¸imea numerelor naturale nenule ¸si, pentru orice n natural, 1, n := {1, 2, . . . , n}, cu convent¸ia: 1, 0 = ∅.

Notat¸ie Fie n ∈ N ¸si mult¸imile A1 , A2 , . . . , An . Produsul direct

Y

Ai se mai noteaz˘a cu

i∈1,n n Y

Ai , iar un element (ai )i∈1,n al acestui produs direct se mai noteaz˘a cu

i=1

(a1 , a2 , . . . , an ). Licent¸˘ a de scriere (convent¸ie): Pentru orice n ∈ N∗ , orice mult¸imi n Y A1 , A2 , . . . , An , B, orice funct¸ie f : Ai → B ¸si orice elemente i=1

a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , . . . , an ∈ An , se noteaz˘a f (a1 , a2 , . . . , an ) := f ((a1 , a2 , . . . , an )) (i. e. una dintre perechile de paranteze se poate elimina din scriere). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

3 / 29

Relat¸ii n–are Amintim c˘a am notat cu A ∼ = B faptul c˘a exist˘a o biject¸ie ˆıntre dou˘a mult¸imi A ¸si B.

Propozit¸ie (asociativitatea produsului direct) Fie A1 , A2 , A3 mult¸imi arbitrare. Atunci A1 × (A2 × A3 ) = (A1 × A2 ) × A3 =

3 Y

Ai .

i=1

Mai precis, A1 × (A2 × A3 ) ∼ = (A1 × A2 ) × A3 ∼ =

3 Y

Ai , ˆıntrucˆat urm˘atoarele

i=1 3

ϕ ψ Y funct¸ii sunt biject¸ii: A1 × (A2 × A3 ) → (A1 × A2 ) × A3 → Ai , pentru orice i=1

a1 ∈ A1 , orice a2 ∈ A2 ¸si orice a3 ∈ A3 , ϕ(a1 , (a2 , a3 )) := ((a1 , a2 ), a3 ) ¸si ψ((a1 , a2 ), a3 ) := (a1 , a2 , a3 ). Fiecare dintre biject¸iile ϕ ¸si ψ se asimileaz˘a cu identitatea (i. e. cu egalitatea), adic˘a se stabilesc prin convent¸ie egalit˘a¸tile: (a1 , (a2 , a3 )) = ((a1 , a2 ), a3 ) = (a1 , a2 , a3 ) pentru orice a1 ∈ A1 , orice a2 ∈ A2 ¸si orice a3 ∈ A3 . Demonstrat¸ie: Este evident c˘a ϕ ¸si ψ sunt biject¸ii, adic˘a orice element din codomeniul fiec˘areia dintre ele este imaginea unuia ¸si numai unuia dintre elementele din domeniul s˘au. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

4 / 29

Relat¸ii n–are Asociativitatea produsului direct semnific˘a faptul c˘a, ˆıntr-un ¸sir de produse directe (ca operat¸ii binare notate infixat, i. e. cu operatorul binar produs direct ˆıntre argumentele (operanzii, variabilele) sale; a se vedea mai jos), nu conteaz˘a cum punem parantezele, i. e. indiferent care dintre produsele directe din acel ¸sir sunt efectuate mai devreme ¸si care mai tˆarziu, rezultatul obt¸inut este acela¸si. Asociativitatea produsului direct face legitim˘a (i. e. corect˘a) notat¸ia urm˘atoare pentru un ¸sir de produse directe notate infixat (i. e. cu operatorul binar produs direct ˆıntre argumentele sale, ca mai jos) f˘ar˘a paranteze.

Notat¸ie Pentru orice n ∈ N ¸si orice mult¸imi A1 , A2 , . . . , An , not˘am n Y A1 × A2 × . . . × An := Ai . i=1

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

5 / 29

Relat¸ii n–are

Definit¸ie Fie n ∈ N ¸si A1 , A2 , . . . , An mult¸imi. Se nume¸ste relat¸ie n–ar˘a ˆıntre mult¸imile A1 , A2 , . . . , An o submult¸ime a produsului cartezian A1 × A2 × . . . × An .

Observat¸ie Pentru n = 1 ˆın definit¸ia anterioar˘a se obt¸ine not¸iunea de relat¸ie unar˘a pe o mult¸ime: prin definit¸ie, o relat¸ie unar˘a pe o mult¸ime A este o submult¸ime a lui A. Pentru n = 2 ˆın definit¸ia anterioar˘a se obt¸ine not¸iunea de relat¸ie binar˘a.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

6 / 29

Relat¸ii binare

Definit¸ie Fie A ¸si B dou˘a mult¸imi. Se nume¸ste relat¸ie binar˘a ˆıntre A ¸si B o submult¸ime R a produsului direct A × B. Pentru fiecare a ∈ A ¸si fiecare b ∈ B, faptul c˘a (a, b) ∈ R se mai noteaz˘a cu aRb ¸si se cite¸ste: a este ˆın relat¸ia R cu b.

Exemplu Pentru orice mult¸imi A ¸si B, produsul direct A × B este o relat¸ie binar˘a ˆıntre A ¸si B (evident, cea mai mare ˆın sensul incluziunii dintre toate relat¸iile binare ˆıntre A ¸si B).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

7 / 29

Tipuri de relat¸ii binare Definit¸ie (tipuri de relat¸ii binare) Fie A ¸si B mult¸imi, iar R ⊆ A × B (i. e. R o relat¸ie binar˘a ˆıntre A ¸si B). R se zice: funct¸ional˘a ddac˘a: pentru orice a ∈ A ¸si orice b1 , b2 ∈ B, dac˘a aRb1 ¸si aRb2 , atunci b1 = b2 ; o relat¸ie funct¸ional˘a ˆıntre A ¸si B se mai nume¸ste funct¸ie part¸ial˘a de la A la B; total˘a ddac˘a: pentru orice a ∈ A, exist˘a b ∈ B, a. ˆı. aRb; o relat¸ie funct¸ional˘a total˘a ˆıntre A ¸si B se mai nume¸ste funct¸ie de la A la B; injectiv˘a ddac˘a, pentru orice a1 , a2 ∈ A ¸si orice b ∈ B, dac˘a a1 Rb ¸si a2 Rb, atunci a1 = a2 ; surjectiv˘a ddac˘a, pentru orice b ∈ B, exist˘a a ∈ A, astfel ˆıncˆat aRb.

Remarc˘a Definit¸ia de mai sus a unei funct¸ii este exact definit¸ia din cursul al doilea, ˆın care identific˘am o funct¸ie cu graficul ei: o funct¸ie f = (A, G , B) se identific˘a cu G ⊆ A × B. De asemenea, cu aceast˘a identificare, not¸iunea de funct¸ie injectiv˘a, respectiv surjectiv˘a, coincide cu aceea de relat¸ie funct¸ional˘a total˘a injectiv˘a, respectiv surjectiv˘a. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

8 / 29

Definit¸ie alternativ˘a pentru o funct¸ie

Fie A ¸si B dou˘a mult¸imi. Conform celor de mai sus, o funct¸ie de la A la B este o relat¸ie binar˘a ˆıntre A ¸si B, R ⊆ A × B, cu proprietatea c˘a, pentru orice a ∈ A, exist˘a un unic b ∈ B, a. ˆı. aRb. Un alt mod de a defini o funct¸ie de la A la B este ca fiind o relat¸ie unar˘ a pe mult¸imea A × B, deci o submult¸ime S ⊆ A × B, cu proprietatea c˘a, pentru orice a ∈ A, exist˘a un unic b ∈ B, a. ˆı. (a, b) ∈ S.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

9 / 29

Diagonala unei mult¸imi

Definit¸ie Pentru orice mult¸ime A, ∆A := {(a, a) |a ∈ A} este o relat¸ie binar˘a ˆıntre A ¸si A, numit˘a diagonala lui A.

Remarc˘a Pentru orice mult¸ime A, ∆A este chiar relat¸ia de egalitate pe A, adic˘a, pentru orice a, b ∈ A, avem: a∆A b ddac˘a a = b.

Remarc˘a Pentru orice mult¸ime A, ∆A este o funct¸ie, anume funct¸ia identic˘a a lui A (identitatea lui A): ∆A = idA : A → A, pentru orice a ∈ A, idA (a) = a.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

10 / 29

Operat¸ii cu relat¸ii binare

Relat¸iile sunt mult¸imi, a¸sadar li se pot aplica operat¸iile obi¸snuite cu mult¸imi: reuniunea, intersect¸ia, diferent¸a etc.. Astfel, pentru orice mult¸imi A, B ¸si orice relat¸ie binar˘a R ˆıntre A ¸si B: R ∪ S, R ∩ S, R \ S, R := (A × B) \ R (complementara lui R) sunt tot relat¸ii binare ˆıntre A ¸si B.

Definit¸ie Pentru orice mult¸imi A, B, A0 , B 0 ¸si orice relat¸ii binare R ⊆ A × B ¸si R 0 ⊆ A0 × B 0 , se define¸ste produsul direct al relat¸iilor R ¸si R 0 , notat R × R 0 , ca fiind urm˘atoarea relat¸ie binar˘a ˆıntre A × A0 ¸si B × B 0 : R × R 0 := {((a, a0 ), (b, b 0 )) | a ∈ A, a0 ∈ A0 , b ∈ B, b 0 ∈ B 0 , (a, b) ∈ R, (a0 , b 0 ) ∈ R 0 } ⊆ (A × A0 ) × (B × B 0 ).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

11 / 29

Operat¸ii cu relat¸ii binare Definit¸ie Pentru orice mult¸imi A, B, C ¸si orice relat¸ii binare R ⊆ A × B ¸si S ⊆ B × C , se define¸ste compunerea lui S cu R ca fiind relat¸ia binar˘a ˆıntre A ¸si C notat˘a S ◦ R ¸si definit˘a prin: S ◦ R = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C , (∃b ∈ B)[(a, b) ∈ R ¸si (b, c) ∈ S]} ⊆ A × C .

Remarc˘a Diagonala unei mult¸imi este element neutru la compunere ¸si la dreapta, ¸si la stˆanga, i. e., pentru orice mult¸imi A, B ¸si orice relat¸ie binar˘a R ⊆ A × B, R ◦ ∆A = R ¸si ∆B ◦ R = R. Demonstrat¸ia este imediat˘a ¸si o avet¸i ca tem˘ a pentru acas˘ a.

Remarc˘a Compunerea ca relat¸ii binare a dou˘a funct¸ii coincide cu compunerea lor ca funct¸ii. ˆIn particular, rezultatul ei este tot o funct¸ie. Aceste fapte sunt u¸sor de observat. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

12 / 29

Operat¸ii cu relat¸ii binare Definit¸ie Pentru orice mult¸imi A, B ¸si orice relat¸ie binar˘a R ⊆ A × B, se define¸ste inversa lui R, notat˘a R −1 , ca fiind urm˘atoarea relat¸ie binar˘a ˆıntre B ¸si A: R −1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R} ⊆ B × A.

Remarc˘a A se observa faptul c˘a, pentru orice relat¸ie binar˘a R, se define¸ste inversa ei R −1 , spre deosebire de cazul inverselor de funct¸ii, care se definesc numai pentru funct¸iile bijective, aceast˘a restrict¸ie provenind atˆat din constrˆangerea ca relat¸ia binar˘a s˘a fie funct¸ie, cˆat si din constrˆangerea ca inversa ei s˘a fie tot funct¸ie (a se vedea o remarc˘a de mai jos, care arat˘a c˘a definit¸ia funct¸iei este exact definit¸ia bijectivit˘a¸tii (i. e. a injectivit˘a¸tii ¸si surjectivit˘a¸tii) ˆın oglind˘a).

Remarc˘a Este imediat faptul c˘a inversa ca relat¸ie a unei funct¸ii bijective este inversa ei ca funct¸ie. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

13 / 29

Operat¸ii cu relat¸ii binare Remarc˘a (tem˘a pentru seminar) Fie A, B mult¸imi ¸si R ⊆ A × B. Atunci: R este injectiv˘a ddac˘a R −1 este funct¸ional˘a; R este surjectiv˘a ddac˘a R −1 este total˘a; prin urmare: R este injectiv˘a ¸si surjectiv˘a ddac˘a R −1 este funct¸ie.

Remarc˘a A se observa c˘a o relat¸ie binar˘a injectiv˘a ¸si surjectiv˘a nu este neap˘arat o funct¸ie (bijectiv˘a), pentru c˘a nu i se impune condit¸ia de a fi funct¸ional˘a, ¸si nici cea de a fi total˘a.

Exercit¸iu (tem˘a pentru seminar) Fie A, B mult¸imi ¸si R ⊆ A × B. Dac˘a R este injectiv˘a, atunci: R −1 ◦ R ⊆ ∆A ; R −1 ◦ R = ∆A ddac˘a R este total˘a. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

14 / 29

Operat¸ii cu relat¸ii binare Remarc˘a (asociativitatea compunerii de relat¸ii binare) Fie A, B, C , D mult¸imi, R ⊆ A × B, S ⊆ B × C ¸si T ⊆ C × D. Atunci: T ◦ (S ◦ R) = (T ◦ S) ◦ R. ˆIntr-adev˘ar, T ◦ (S ◦ R) = {(a, d) | a ∈ A, d ∈ D, (∃c ∈ C )((a, c) ∈ S ◦ R ¸si (c, d) ∈ T )} = {(a, d) | a ∈ A, d ∈ D, (∃c ∈ C )(∃b ∈ B)((a, b) ∈ R ¸si (b, c) ∈ S ¸si (c, d) ∈ T )} = {(a, d) | a ∈ A, d ∈ D, (∃b ∈ B)(∃c ∈ C )((a, b) ∈ R ¸si (b, c) ∈ S ¸si (c, d) ∈ T )} = {(a, d) | a ∈ A, d ∈ D, (∃b ∈ B)((a, b) ∈ R ¸si (b, d) ∈ T ◦ S)} = (T ◦ S) ◦ R. Am aplicat faptul c˘a doi cuantificatori de acela¸si fel comut˘a (aici avem doi cuantificatori existent¸iali).

Remarc˘a Fie A, B, C mult¸imi, R ⊆ A × B ¸si S ⊆ B × C . Atunci: (S ◦ R)−1 = R −1 ◦ S −1 . ˆIntr-adev˘ar, R −1 ◦ S −1 = {(c, a) | c ∈ C , a ∈ A, (∃b ∈ B)((c, b) ∈ S −1 ¸si (b, a) ∈ R −1 )} = {(c, a) | a ∈ A, c ∈ C , (∃b ∈ B)((a, b) ∈ R ¸si (b, c) ∈ S)} = {(c, a) | (a, c) ∈ S ◦ R} = (S ◦ R)−1 . Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

15 / 29

Operat¸ii cu relat¸ii binare Definit¸ie Pentru orice mult¸ime A, orice relat¸ie binar˘a R ⊆ A × A ¸si orice n ∈ N, se define¸ste puterea a n–a a lui R, notat˘a R n ⊆ A × A, prin: ( R 0 := ∆A ; R n+1 := R n ◦ R, pentru orice n ∈ N.

Remarc˘a A se observa c˘a asociativitatea compunerii de relat¸ii binare implic˘a faptul c˘a dou˘a puteri naturale ale aceleia¸si relat¸ii binare comut˘a la compunere. ˆIntr-adev˘ar, pentru orice mult¸ime A, orice R ⊆ A × A ¸si orice n, k ∈ N∗ (putem elimina cazul ˆın care n = 0 sau k = 0, pentru c˘a am v˘azut c˘a R 0 = ∆A este element neutru la compunere), R n ◦ R k = (R ◦ . . . ◦ R) ◦ (R ◦ . . . ◦ R) = (R ◦ . . . ◦ R) ◦ (R ◦ . . . ◦ R) = R k ◦ R n | {z } | {z } | {z } | {z } n de R k de R k de R n de R (am mutat parantezele). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

16 / 29

Operat¸ii cu relat¸ii binare Remarc˘a Pentru orice mult¸ime A, ∆−1 A = ∆A . ˆIntr-adev˘ar, ∆−1 = {(b, a) | a ∈ A, b ∈ A, (a, b) ∈ ∆A } = {(b, a) | a ∈ A, b ∈ A A, a = b} = {(a, a) | a ∈ A} = ∆A .

Remarc˘a Pentru orice mult¸ime A, orice relat¸ie binar˘a R ⊆ A × A ¸si orice n ∈ N, (R n )−1 = (R −1 )n . ˆIntr-adev˘ar, aceast˘a egalitate rezult˘a prin induct¸ie dup˘a n ∈ N dintr-o remarc˘a de mai sus: Pasul de verificare: Pentru n = 0 avem: (R 0 )−1 = (∆A )−1 = ∆A = (R −1 )0 . Pasul de induct¸ie: Presupunem c˘a (R n )−1 = (R −1 )n pentru un n ∈ N, arbitrar, fixat. Conform unei remarci de mai sus, ipotezei de induct¸ie ¸si asociativit˘a¸tii compunerii de relat¸ii binare, care ne asigur˘a de comutarea oric˘aror puteri naturale ale oric˘arei relat¸ii binare, dup˘a cum am v˘azut, (R n+1 )−1 = (R n ◦ R)−1 = R −1 ◦ (R n )−1 = R −1 ◦ (R −1 )n = (R −1 )n ◦ R −1 = (R −1 )n+1 . Rat¸ionamentul prin induct¸ie matematic˘a este ˆıncheiat. A¸sadar (R n )−1 = (R −1 )n pentru orice n ∈ N. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

17 / 29

Relat¸ii binare pe o mult¸ime

Definit¸ie Fie A o mult¸ime. Se nume¸ste relat¸ie binar˘a pe A o relat¸ie binar˘a ˆıntre A ¸si A, i. e. o submult¸ime a produsului direct A × A, produs direct care se mai noteaz˘a ¸si A2 .

Exemplu Pentru orice mult¸ime A, A2 ¸si ∆A sunt relat¸ii binare pe A.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

18 / 29

Tipuri de relat¸ii binare pe o mult¸ime Definit¸ie (tipuri de relat¸ii binare pe o mult¸ime) Fie A o mult¸ime ¸si R ⊆ A2 (i. e. R o relat¸ie binar˘a pe A). R se zice: reflexiv˘a ddac˘a, pentru orice a ∈ A, aRa; ireflexiv˘a ddac˘a, pentru orice a ∈ A, (a, a) ∈ / R; simetric˘a ddac˘a, pentru orice a, b ∈ A, dac˘a aRb, atunci bRa; antisimetric˘a ddac˘a, pentru orice a, b ∈ A, dac˘a aRb ¸si bRa, atunci a = b; asimetric˘a ddac˘a, pentru orice a, b ∈ A, dac˘a (a, b) ∈ R, atunci (b, a) ∈ / R; tranzitiv˘a ddac˘a, pentru orice a, b, c ∈ A, dac˘a aRb ¸si bRc, atunci aRc; total˘a (ˆıntr-un al doilea sens) ddac˘a, pentru orice a, b ∈ A cu a 6= b, are loc aRb sau bRa; complet˘a ddac˘a, pentru orice a, b ∈ A, are loc aRb sau bRa.

Remarc˘a Este imediat c˘a o relat¸ie binar˘a pe o mult¸ime este complet˘a ddac˘a este reflexiv˘a ¸si total˘a (ˆın acest al doilea sens). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

19 / 29

Tipuri de relat¸ii binare pe o mult¸ime Definit¸ie (tipuri de relat¸ii binare pe o mult¸ime) Fie A o mult¸ime ¸si R ⊆ A2 (i. e. R o relat¸ie binar˘a pe A). R se nume¸ste: (relat¸ie de) preordine ddac˘a e reflexiv˘a ¸si tranzitiv˘a; (relat¸ie de) echivalent¸˘a ddac˘a e o preordine simetric˘a, i. e. o relat¸ie reflexiv˘a, simetric˘a ¸si tranzitiv˘a; (relat¸ie de) ordine (part¸ial˘a) ddac˘a e o preordine antisimetric˘a, i. e. o relat¸ie reflexiv˘a, tranzitiv˘a ¸si antisimetric˘a; (relat¸ie de) ordine total˘a ddac˘a e simultan o relat¸ie de ordine ¸si o relat¸ie total˘a ˆın acest al doilea sens de mai sus; (relat¸ie de) ordine strict˘a ddac˘a e asimetric˘a ¸si tranzitiv˘a.

Remarc˘a ˆIntrucˆat orice relat¸ie de ordine este reflexiv˘a, rezult˘a, pe baza remarcii anterioare, c˘a o relat¸ie de ordine este total˘a (ˆın acest al doilea sens) ddac˘a este complet˘a. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

20 / 29

Tipuri de relat¸ii binare pe o mult¸ime

Remarc˘a O relat¸ie de ordine strict˘a este asimetric˘a, deci ¸si ireflexiv˘a (dup˘a cum se arat˘a u¸sor, prin reducere la absurd), prin urmare nu e reflexiv˘a, deci nu e relat¸ie de ordine.

Remarc˘a Se poate demonstra destul de simplu c˘a, dat˘a o relat¸ie de ordine R pe o mult¸ime A, rezult˘a c˘a R \ ∆A e o relat¸ie de ordine strict˘a pe A, ¸si, dat˘a o relat¸ie de ordine strict˘a S pe A, rezult˘a c˘a S ∪ ∆A e o relat¸ie de ordine pe A.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

21 / 29

Exemple de diferite tipuri de relat¸ii binare pe o mult¸ime Relat¸ia ≤ pe N, Z, Q, R este o relat¸ie de ordine, numit˘a relat¸ia de ordine natural˘a pe fiecare dintre aceste mult¸imi de numere, iar relat¸ia < pe fiecare dintre aceste mult¸imi este o relat¸ie de ordine strict˘a. Pentru orice mult¸ime T , relat¸ia ⊆ pe P(T ) este o relat¸ie de ordine part¸ial˘a, care este relat¸ie de ordine total˘a ddac˘a |T | ≤ 1, iar ( este o relat¸ie de ordine strict˘a pe P(T ). Relat¸ia de divizibilitate pe N este o relat¸ie de ordine part¸ial˘a. Relat¸ia de divizibilitate pe Z este o preordine care nu este antisimetric˘a (deci nu e relat¸ie de ordine), pentru c˘a, de exemplu: (−3)|3 ¸si 3|(−3), dar −3 6= 3. Relat¸ia binar˘a de a avea aceea¸si paritate (sau acela¸si rest modulo n ∈ N∗ ), pe N sau Z, este o relat¸ie de echivalent¸˘a. Pentru orice mult¸ime A, ∆A ¸si A2 sunt relat¸ii de echivalent¸˘a pe A, anume cea mai mic˘a ¸si respectiv cea mai mare relat¸ie de echivalent¸˘a pe A. Pentru orice mult¸ime A, relat¸ia 6== {(a, b) | a, b ∈ A, a 6= b} = A2 \ ∆A este o relat¸ie ireflexiv˘a ¸si simetric˘a. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

22 / 29

Matrici caracteristice S¸tim din cursul trecut c˘a, pentru orice mult¸ime M, are loc: P(M) ∼ = {0, 1}M = {f | f : M → {0, 1}}, cu biject¸ia care duce fiecare S ∈ P(M) ˆın funct¸ia sa caracteristic˘a χS : M → {0, 1}. Dat˘a o mult¸ime A, relat¸iile binare pe A sunt p˘art¸ile lui A2 , prin urmare exist˘a o biject¸ie ˆıntre mult¸imea relat¸iilor binare pe A ¸si 2 {0, 1}A = {f | f : A2 → {0, 1}}, anume biject¸ia care duce fiecare relat¸ie binar˘a R pe A ˆın funct¸ia sa caracteristic˘a: χR : A2 → {0, 1}, pentru orice a, b ∈ A, ( 0, (a, b) ∈ /R χR (a, b) = 1, (a, b) ∈ R ˆIn cazul particular ˆın care |A| = n ∈ N∗ , A = {a1 , a2 , . . . , an }, pentru orice R ⊆ A2 , funct¸ia caracteristic˘a χR : A2 → {0, 1} a lui R poate fi dat˘a prin matricea valorilor ei, anume: M(R) := (χR (ai , aj ))i,j∈1,n ∈ Mn ({0, 1}), prin urmare mult¸imea relat¸iilor binare pe A se afl˘a ˆın biject¸ie cu mult¸imea Mn ({0, 1}) a matricilor p˘atratice de dimensiune n peste {0, 1}, prin biject¸ia care duce fiecare relat¸ie binar˘a R pe A ˆın matricea M(R), numit˘a matricea boolean˘a sau matricea caracteristic˘a a relat¸iei R. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

23 / 29

Matrici caracteristice Definit¸ie Pentru orice n ∈ N∗ ¸si orice M = (mi,j )i,j∈1,n , P = (pi,j )i,j∈1,n ∈ Mn ({0, 1}), definim operat¸iile: M ∨ P := (max{mi,j , pi,j })i,j∈1,n ∈ Mn ({0, 1}) M ∧ P := (min{mi,j , pi,j })i,j∈1,n ∈ Mn ({0, 1}) M := (1 − mi,j )i,j∈1,n ∈ Mn ({0, 1}) M ◦ P = (min{1, ri,j })i,j∈1,n , unde (ri,j )i,j∈1,n = M · P ∈ Mn (N)

Propozit¸ie Fie n ∈ N∗ , A = {a1 , a2 , . . . , an } o mult¸ime cu n elemente ¸si R ¸si S dou˘a relat¸ii binare pe A. Atunci: 1 2 3 4 5

M(∆A ) = In (matricea unitate) M(R ∪ S) = M(R) ∨ M(S) ¸si M(R ∩ S) = M(R) ∧ M(S) M(R) = M(R) M(R −1 ) =t M(R) (transpusa lui M(R)) M(S ◦ R) = M(R) ◦ M(S)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

24 / 29

Matrici caracteristice Demonstrat¸ie: (1) M(∆A ) = (χ∆A (ai , aj ))i,j∈1,n = In , pentru c˘a: oricare ar fi i, j ∈ 1, n, χ∆A (ai , aj ) = 1 ddac˘a (ai , aj ) ∈ ∆A ddac˘a ai = aj ddac˘a i = j. (2) Amintim din cursul II urm˘atoarea proprietate a funct¸iilor caracteristice: pentru orice B, C ∈ P(A2 ), χB∪C = χB + χC − χB · χC = max{χB , χC }, pentru c˘a β + γ − β · γ = max{β, γ} pentru orice β, γ ∈ {0, 1}, care este codomeniul funct¸iilor caracteristice. Avem, a¸sadar: M(R) ∨ M(S) = (max{χR (ai , aj )), χS (ai , aj )})i,j∈1,n = (χR∪S (ai , aj ))i,j∈1,n = M(R ∪ S). Amintim din cursul II urm˘atoarea proprietate a funct¸iilor caracteristice: pentru orice B, C ∈ P(A2 ), χB∩C = χB · χC = min{χB , χC }, pentru c˘a β · γ = min{β, γ} pentru orice β, γ ∈ {0, 1}, care este codomeniul funct¸iilor caracteristice. Avem, a¸sadar: M(R) ∧ M(S) = (min{χR (ai , aj )), χS (ai , aj )})i,j∈1,n = (χR∩S (ai , aj ))i,j∈1,n = M(R ∩ S). / R], deci (3) R = A2 \ R. Pentru orice i, j ∈ 1, n, [(ai , aj ) ∈ R ddac˘a (ai , aj ) ∈ [χR (ai , aj ) = 1 ddac˘a χR (ai , aj ) = 0 ddac˘a 1 − χR (ai , aj ) = 1], a¸sadar χR (ai , aj ) = 1 − χR (ai , aj ). Prin urmare M(R) = (χR (ai , aj ))i,j∈1,n = (1 − χR (ai , aj ))i,j∈1,n = M(R). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

25 / 29

Matrici caracteristice (4) Pentru orice i, j ∈ 1, n, [(ai , aj ) ∈ R −1 ddac˘a (aj , ai ) ∈ R], adic˘a [χR −1 (ai , aj ) = 1 ddac˘a χR (aj , ai ) = 1], deci χR −1 (ai , aj ) = χR (aj , ai ), prin urmare M(R −1 ) =t M(R). (5) Pentru orice i, j ∈ 1, n, [(ai , aj ) ∈ S ◦ R ddac˘a exist˘a m˘acar un k ∈ 1, n a. ˆı. (ai , ak ) ∈ R ¸si (ak , aj ) ∈ S], adic˘a [χS◦R (ai , aj ) = 1 ddac˘a exist˘a m˘acar un k ∈ 1, n a. ˆı. χR (ai , ak ) = 1 ¸si χS (ak , aj ) = 1 ddac˘a exist˘a k ∈ 1, n a. ˆı. min{χR (ai , ak ), χS (ak , aj )} = 1 ddac˘a exist˘a k ∈ 1, n a. ˆı. n X χR (ai , ak ) · χS (ak , aj ) = 1 ddac˘a χR (ai , ak ) · χS (ak , aj ) ≥ 1 ddac˘a min{1,

n X

k=1

χR (ai , ak ) · χS (ak , aj )} = 1], de unde rezult˘a egalitatea din enunt¸.

k=1

Observat¸ie Notat¸ia ◦ pentru operat¸ia de mai sus ˆıntre matrici caracteristice nu este consacrat˘a.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

26 / 29

Matrici caracteristice Exercit¸iu Fie n ∈ N∗ , A = {a1 , a2 , . . . , an } o mult¸ime cu n elemente, I o mult¸ime nevid˘a ¸si (Ri )i∈I o familie de relat¸ii binare pe A. S˘a se demonstreze c˘a: [ _ 1 M( Ri ) = M(Ri ) i∈I 2

i∈I

\ ^ M( Ri ) = M(Ri ) i∈I

i∈I

Rezolvare: (1) Folosind rezultatul din cursul al doilea care spune c˘a funct¸ia caracteristic˘a a unei reuniuni arbitrare de mult¸imi este egal˘a (punctual, adic˘a ˆın fiecare punct) cu maximul dintre funct¸iile caracteristice ale mult¸imilor care se reunesc, obt¸inem: _ [ M(Ri ) = (max{χRi (aj , ak ) | i ∈ I })j,k∈1,n = (χ[ (aj , ak ))j,k∈1,n = M( Ri ). Ri i∈I i∈I i∈I

(2) Analog cu (1). Tem˘ a pentru acas˘ a. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

27 / 29

Matrici caracteristice

Exercit¸iu (tem˘a pentru acas˘a) Consider˘am A = {a1 , a2 } (putem lua a1 = 1 ¸si a2 = 2, de exemplu) ¸si R, S urm˘atoarele relat¸ii binare pe A: R = {(a1 , a1 ), (a1 , a2 ), (a2 , a1 )}, S = {(a2 , a1 ), (a2 , a2 )}. S˘a se determine relat¸ia binar˘a Q pe A dat˘a de egalitatea: Q = (R 3 ◦ S −1 ) ∪ ((S 2 ◦ R) ∩ R −1 ).     1 1 0 0 Indicat¸ie: M(R) = ¸si M(S) = . Folosind propozit¸ia 1 0 1 1 anterioar˘a, putem calcula: M(Q) = (t M(S) ◦ M(R) ◦ M(R) ◦ M(R)) ∨ ((M(R) ◦ M(S) ◦ M(S)) ∧t M(R)), iar Q este unica relat¸ie binar˘a pe A care are aceast˘a matrice caracteristic˘a ¸si poate fi u¸sor determinat˘a pe baza acestei matrici, folosind definit¸ia matricii caracteristice: pentru fiecare i, j ∈ 1, 2 = {1, 2}, (ai , aj ) ∈ Q ddac˘a, ˆın matricea M(Q), componenta de pe linia i ¸si coloana j are valoarea 1.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

28 / 29

Matrici caracteristice

Remarc˘a (tem˘a pentru acas˘a) Fie n ∈ N∗ ¸si A = {a1 , a2 , . . . , an } o mult¸ime cu n elemente, iar R ⊆ A2 . Atunci: 1 2 3 4

R e reflexiv˘a ddac˘a M(R) are valoarea 1 pe toat˘a diagonala principal˘a; R e ireflexiv˘a ddac˘a M(R) are valoarea 0 pe toat˘a diagonala principal˘a; R e simetric˘a ddac˘a M(R) e matrice simetric˘a; R e asimetric˘a ddac˘a M(R) ∧t M(R) = On (matricea cu toate componentele nule).

Pot fi stabilite mai multe propriet˘a¸ti de acest gen.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs III logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

29 / 29

Logic˘a matematic˘a ¸si computat¸ional˘a Cursul IV Claudia MURES ¸ AN [email protected] Universitatea din Bucure¸sti Facultatea de Matematic˘ a ¸si Informatic˘ a Bucure¸sti

2011-2012, semestrul I

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

1 / 35

1

Relat¸ii binare pe o mult¸ime

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

2 / 35

Relat¸ii binare pe o mult¸ime Continu˘am studiul relat¸iilor binare pe o mult¸ime, cu: relat¸iile de echivalent¸˘ a ˆınchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime

Amintim urm˘atoarea:

Definit¸ie Fie A o mult¸ime. Se nume¸ste relat¸ie binar˘a pe A o submult¸ime R a produsului cartezian A × A. Pentru orice a, b ∈ A, faptul c˘a (a, b) ∈ R se mai noteaz˘a cu aRb ¸si se cite¸ste: a este ˆın relat¸ia R cu b.

Notat¸ie Pentru orice mult¸ime A, produsul cartezian A × A se mai noteaz˘a cu A2 . A¸sadar, o relat¸ie binar˘a pe o mult¸ime A este orice R ⊆ A2 . Relat¸iile binare pe o mult¸ime sunt mult¸imi, a¸sadar li se pot aplica operat¸iile obi¸snuite cu mult¸imi: reuniunea, intersect¸ia, diferent¸a etc., pot fi puse ˆın relat¸iile ⊆, ( etc.. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

3 / 35

Tipuri de relat¸ii binare pe o mult¸ime Amintim:

Definit¸ie (tipuri de relat¸ii binare pe o mult¸ime) Fie A o mult¸ime ¸si R ⊆ A2 (i. e. R o relat¸ie binar˘a pe A). R se zice: reflexiv˘a ddac˘a, pentru orice a ∈ A, aRa; simetric˘a ddac˘a, pentru orice a, b ∈ A, dac˘a aRb, atunci bRa; tranzitiv˘a ddac˘a, pentru orice a, b, c ∈ A, dac˘a aRb ¸si bRc, atunci aRc; (relat¸ie de) preordine ddac˘a e reflexiv˘a ¸si tranzitiv˘a; (relat¸ie de) echivalent¸˘a ddac˘a e o preordine simetric˘a, i. e. o relat¸ie reflexiv˘a, simetric˘a ¸si tranzitiv˘a.

Exemplu ˆIn mod evident, pentru orice mult¸ime A, A2 este o relat¸ie de echivalent¸˘a pe A, i. e. este o relat¸ie binar˘a pe A, reflexiv˘a, simetric˘a ¸si tranzitiv˘a.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

4 / 35

Relat¸ii de echivalent¸˘a Amintim, pentru o mult¸ime A arbitrar˘a, fixat˘a:

Definit¸ie ∆A := {(a, a) |a ∈ A} este o relat¸ie binar˘a pe A, numit˘a diagonala lui A.

Remarc˘a ∆A este o funct¸ie (i. e. o relat¸ie binar˘a funct¸ional˘a total˘a), anume funct¸ia identic˘a a lui A (identitatea lui A): ∆A = idA : A → A, pentru orice a ∈ A, idA (a) = a.

Remarc˘a ∆A este chiar relat¸ia de egalitate pe A, adic˘a, pentru orice a, b ∈ A, avem: a∆A b ddac˘a a = b.

Corolar Din remarca anterioar˘a se deduce foarte u¸sor faptul c˘a ∆A este o relat¸ie de echivalent¸˘a pe A. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

5 / 35

Relat¸ii de echivalent¸˘a Notat¸ie Pentru orice num˘ar real x, vom nota cu [x] partea ˆıntreag˘a a lui x (notat¸ie consacrat˘ a), ¸si cu frac{x} partea fract¸ionar˘a a lui x (notat¸ie neconsacrat˘ a). I. e.: [x] := max{n ∈ Z | n ≤ x} ∈ Z frac{x} := x − [x] ∈ [0, 1) ⊂ R

Exemplu [5] = 5 ¸si frac{5} = 0 [−7] = −7 ¸si frac{−7} = 0 [4, 3] = 4 ¸si frac{4, 3} = 0, 3 [−3, 2] = −4 ¸si frac{−3, 2} = 0, 8

Remarc˘a Este imediat faptul c˘a, pentru orice x ∈ R, are loc: x ∈ Z ddac˘a x = [x]. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

6 / 35

Relat¸ii de echivalent¸˘a

Exercit¸iu (tem˘a pentru seminar) Consider˘am urm˘atoarea relat¸ie binar˘a pe R, la care vom mai reveni ˆın acest curs ¸si pe care o vom nota ρ pe ˆıntreg parcursul acestui curs: ρ = {(x, y ) | x, y ∈ R, x − y ∈ Z} ⊂ R2 Demonstrat¸i c˘a: ρ = {(x, y ) | x, y ∈ R, frac{x} = frac{y }} ⊂ R2 (indicat¸ie: folosit¸i expresia p˘art¸ii fract¸ionare de pe slide–ul anterior, i. e. chiar definit¸ia p˘art¸ii fract¸ionare) ρ este o relat¸ie de echivalent¸˘a pe R

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

7 / 35

Partit¸ie a unei mult¸imi Definit¸ie Fie A o mult¸ime nevid˘a ¸si (Ai )i∈I o familie nevid˘a (i. e. cu I 6= ∅) de submult¸imi ale lui A. Familia (Ai )i∈I se nume¸ste partit¸ie a lui A ddac˘a satisface urm˘atoarele condit¸ii: 1 2

3

pentru orice i ∈ I , Ai 6= ∅ pentru orice i, j ∈ I , dac˘a i 6= j, atunci Ai ∩ Aj = ∅ (i. e. mult¸imile din familia (Ai )i∈I sunt dou˘a cˆate dou˘a disjuncte) [ Ai = A i∈I

Exemplu Urm˘atoarele familii de mult¸imi sunt partit¸ii ale lui N (unde not˘am aN + b = {an + b | n ∈ N}, pentru orice a, b ∈ N): {N} {2N, 2N + 1} {5N, 5N + 1, 5N + 2, 5N + 3, 5N + 4} {{n} | n ∈ N}, altfel scris˘a: ({n})n∈N Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

8 / 35

Partit¸ie a unei mult¸imi

Propozit¸ie Fie A o mult¸ime nevid˘a ¸si (Ai )i∈I o partit¸ie a lui A. Atunci, pentru orice x ∈ A, exist˘a un unic i0 ∈ I , a. ˆı. x ∈ Ai0 . [ Demonstrat¸ie: ˆIntr-adev˘ar, considerˆand un element x ∈ A = Ai , rezult˘a c˘a i∈I

exist˘a i0 ∈ I , a. ˆı. x ∈ Ai0 . Presupunˆand prin absurd c˘a exist˘a un i1 ∈ I , cu i0 6= i1 ¸si x ∈ Ai1 , rezult˘a c˘a x ∈ Ai0 ∩ Ai1 = ∅, ceea ce este o contradict¸ie. Deci i0 ∈ I este unic cu proprietatea c˘a x ∈ Ai0 .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

9 / 35

Clase de echivalent¸˘a, mult¸ime factor Pentru cele ce urmeaz˘a, vom considera o mult¸ime nevid˘a A ¸si o relat¸ie de echivalent¸˘a ∼ pe A, i. e.: ∼ este o relat¸ie binar˘a pe A: ∼⊆ A2 ∼ este reflexiv˘ a: pentru orice x ∈ A, x ∼ x ∼ este simetric˘ a: pentru orice x, y ∈ A, dac˘a x ∼ y , atunci y ∼ x ∼ este tranzitiv˘ a: pentru orice x, y , z ∈ A, dac˘a x ∼ y ¸si y ∼ z, atunci x ∼ z S˘a observ˘am c˘a, ˆın definit¸ia simetriei, putem interschimba x ¸si y ¸si continua seria de implicat¸ii, obt¸inˆand implicat¸ie dubl˘a, adic˘a: ∼ este simetric˘ a ddac˘a, pentru orice x, y ∈ A, are loc echivalent¸a: x ∼ y ddac˘a y ∼ x.

Definit¸ie Cu notat¸iile de mai sus, pentru fiecare x ∈ A, definim clasa de echivalent¸˘a a lui x raportat la ∼ ca fiind urm˘atoarea submult¸ime a lui A, notat˘a cu xˆ: xˆ := {y ∈ A | x ∼ y }.

Remarc˘a Cu notat¸iile de mai sus, observ˘am c˘a simetria lui ∼ ne asigur˘a de faptul c˘a: pentru orice x ∈ A, xˆ = {y ∈ A | y ∼ x}. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

10 / 35

Clase de echivalent¸˘a, mult¸ime factor Propozit¸ie (propriet˘a¸tile claselor de echivalent¸˘a) Cu notat¸iile de mai sus, au loc: 1 pentru orice x ∈ A, x ∈ xˆ, ¸si, a¸sadar, xˆ 6= ∅ 2 pentru orice x, y ∈ A, avem: dac˘ a x ∼ y , atunci xˆ = yˆ dac˘ a (x, y ) ∈∼, / atunci xˆ ∩ yˆ = ∅

Demonstrat¸ie: (1) ˆIntrucˆat ∼ este reflexiv˘a, pentru orice x ∈ A, avem: x ∼ x, deci x ∈ xˆ, prin urmare xˆ este nevid˘a. (2) Fie x, y ∈ A, arbitrare, fixate. Dac˘a x ∼ y , atunci: pentru orice z ∈ yˆ , are loc y ∼ z, ceea ce implic˘ a x ∼ z datorit˘ a tranzitivit˘ a¸tii lui ∼, a¸sadar z ∈ xˆ, deci yˆ ⊆ xˆ; conform simetriei lui ∼, are loc ¸si y ∼ x, prin urmare: pentru orice z ∈ xˆ, are loc x ∼ z, ceea ce implic˘ a y ∼ z datorit˘ a tranzitivit˘ a¸tii lui ∼, a¸sadar z ∈ yˆ , deci xˆ ⊆ yˆ ; rezult˘ a c˘ a xˆ = yˆ .

Dac˘a (x, y ) ∈∼, / atunci, presupunˆand prin absurd c˘a exist˘a z ∈ xˆ ∩ yˆ , i. e. z ∈ xˆ ¸si z ∈ yˆ , adic˘a z ∈ A ¸si x ∼ z ¸si z ∼ y , tranzitivitatea lui ∼ implic˘a x ∼ y , ceea ce este o contradict¸ie cu ipoteza acestui caz; a¸sadar xˆ ∩ yˆ = ∅ ˆın acest caz. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

11 / 35

Clase de echivalent¸˘a, mult¸ime factor Remarc˘a (propriet˘a¸tile claselor de echivalent¸˘a) Cu notat¸iile de mai sus, propozit¸ia precedent˘a ¸si definit¸ia unei relat¸ii de echivalent¸˘a ¸si a claselor ei implic˘a faptul c˘a, pentru orice x, y ∈ A: x ∼ y ddac˘a y ∼ x ddac˘a x ∈ yˆ ddac˘a y ∈ xˆ ddac˘a xˆ = yˆ (x, y ) ∈∼ / ddac˘a (y , x) ∈∼ / ddac˘a x ∈ / yˆ ddac˘a y ∈ / xˆ ddac˘a xˆ ∩ yˆ = ∅ ˆIntr-adev˘ar, cum ∼ este simetric˘a, are loc echivalent¸a: x ∼ y ddac˘a y ∼ x, prin urmare are loc ¸si echivalent¸a: (x, y ) ∈∼ / ddac˘a (y , x) ∈∼. / De asemenea, cele dou˘a cazuri de la proprietatea (2) din propozit¸ia precedent˘a sunt complementare, adic˘a orice pereche (x, y ) ∈ A2 satisface unul ¸si numai unul dintre aceste cazuri, iar condit¸iile xˆ = yˆ ¸si xˆ ∩ yˆ = ∅ nu pot fi satisf˘acute simultan (adic˘a de aceea¸si pereche (x, y ) ∈ A2 ), pentru c˘a xˆ ¸si yˆ sunt nevide, conform punctului (1) al propozit¸iei precedente, ¸si de aici se obt¸ine faptul c˘a implicat¸iile din cele dou˘a subpuncte ale propriet˘a¸tii (2) din propozit¸ia precedent˘a sunt chiar echivalent¸e. ˆIn plus, punctul (1) al propozit¸iei precedente arat˘a c˘a x ∈ xˆ ¸si y ∈ yˆ , prin urmare condit¸ia ca xˆ = yˆ implic˘a x ∈ yˆ ¸si y ∈ xˆ, iar condit¸ia ca xˆ ∩ yˆ = ∅ implic˘a x ∈ / yˆ ¸si y ∈ / xˆ. Condit¸iile x ∈ yˆ ¸si x ∈ / yˆ sunt complementare, iar prima dintre ele semnific˘a faptul c˘a x ∼ y , care implic˘a xˆ = yˆ , conform propozit¸iei precedente; la fel stau lucrurile ¸si cu condit¸iile y ∈ xˆ ¸si y ∈ / xˆ. De aici se obt¸in ¸si celelalte ¸siruri de echivalent¸e. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

12 / 35

Clase de echivalent¸˘a, mult¸ime factor Definit¸ie Cu notat¸iile de mai sus, mult¸imea claselor de echivalent¸˘a ale lui ∼ se noteaz˘a cu A/∼ ¸si se nume¸ste mult¸imea factor a lui A prin ∼ sau mult¸imea cˆat a lui A prin ∼: A/∼ = {ˆ x | x ∈ A}.

Propozit¸ie (clasele de echivalent¸˘a formeaz˘a o partit¸ie) Cu notat¸iile de mai sus, mult¸imea factor A/∼ este o partit¸ie a lui A. Demonstrat¸ie: Verific˘am propriet˘a¸tile din definit¸ia unei partit¸ii, aplicˆand propozit¸ia de mai sus cu propriet˘ a¸tile claselor de echivalent¸˘ a. (1) Pentru orice x ∈ A, x ∈ xˆ, deci xˆ 6= ∅. (2) Pentru orice x, y ∈ A, dac˘a xˆ 6= yˆ , atunci (x, y ) ∈∼, /[ prin urmare [ xˆ ∩ yˆ = ∅. {x} ⊆ xˆ ⊆ A, a¸sadar (3) Pentru orice x ∈ A, x ∈ xˆ ⊆ A, prin urmare A = x∈A

A=

[

x∈A

xˆ.

x∈A

Deci A/∼ = {ˆ x | x ∈ A} este o partit¸ie a lui A. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

13 / 35

Clase de echivalent¸˘a, mult¸ime factor Exercit¸iu (tem˘a pentru seminar) S˘a se demonstreze c˘a, pentru relat¸ia de echivalent¸˘a ρ pe R dintr-un exercit¸iu anterior, mult¸imea factor R/ρ este ˆın biject¸ie cu intervalul real [0, 1).

Remarc˘a Cu notat¸iile anterioare exercit¸iului de mai sus, funct¸ia p : A → A/∼ , definit˘a prin: pentru orice x ∈ A, p(x) = xˆ, este surjectiv˘a (sigur c˘a este bine definit˘a, pentru c˘a xˆ este unic determinat de x, oricare ar fi x ∈ A).

Definit¸ie Cu notat¸iile de mai sus, funct¸ia p se nume¸ste surject¸ia canonic˘a de la A la A/∼ .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

14 / 35

Biject¸ia partit¸ii ∼ = relat¸ii de echivalent¸˘a

Propozit¸ie Mult¸imea partit¸iilor unei mult¸imi (nevide) este ˆın biject¸ie cu mult¸imea relat¸iilor de echivalent¸˘a pe acea mult¸ime. Demonstrat¸ie: Fie A o mult¸ime nevid˘a. Not˘am cu Part(A) mult¸imea partit¸iilor lui A ¸si cu Echiv (A) mult¸imea relat¸iilor de echivalent¸˘a pe mult¸imea A. Avem de demonstrat c˘a: Part(A) ∼ = Echiv (A) Definim ϕ : Echiv (A) → Part(A), prin: pentru orice ∼∈ Echiv (A), ϕ(∼) = A/∼ (mult¸imea factor a lui A prin ∼). Conform propozit¸iei anterioare, pentru orice ∼∈ Echiv (A), A/∼ ∈ Part(A), a¸sadar ϕ este o funct¸ie corect definit˘a de la Echiv (A) la Part(A).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

15 / 35

Biject¸ia partit¸ii ∼ = relat¸ii de echivalent¸˘a Definim ψ : Part(A) → Echiv (A), prin: pentru orice (Ai )i∈I ∈ Part(A), ψ((Ai )i∈I ) ⊆ A2 (relat¸ie binar˘a pe A), definit˘a astfel: [ ψ((Ai )i∈I ) = {(x, y ) | x, y ∈ A, (∃i ∈ I )x, y ∈ Ai } = A2i . i∈I

Pentru a demonstra c˘a ψ este corect definit˘a, s˘a consider˘am (Ai )i∈I ∈ Part(A), s˘a not˘am ∼= ψ((Ai )i∈I ) ¸si s˘a demonstr˘am c˘a ∼∈[ Echiv (A). Reflexivitatea lui ∼: pentru orice x ∈ A, cum Ai = A conform definit¸iei unei i∈I

partit¸ii, urmeaz˘a c˘a x ∈

[

Ai , deci exist˘a (chiar un unic, a se vedea o propozit¸ie

i∈I

de mai sus) un i0 ∈ I a. ˆı. x ∈ Ai0 (deci (x, x) ∈ A2i0 ), prin urmare x ∼ x conform definit¸iei lui ∼. Simetria lui ∼: pentru orice x, y ∈ A, dac˘a x ∼ y , atunci exist˘a i0 ∈ I a. ˆı. x, y ∈ Ai0 , deci y , x ∈ Ai0 , a¸sadar y ∼ x. Tranzitivitatea lui ∼: pentru orice x, y , z ∈ A, dac˘a x ∼ y ¸si y ∼ z, atunci exist˘a i0 , i1 ∈ I a. ˆı. x, y ∈ Ai0 ¸si y , z ∈ Ai1 , prin urmare y ∈ Ai0 ∩ Ai1 , deci Ai0 ∩ Ai1 6= ∅, a¸sadar i0 = i1 conform definit¸iei unei partit¸ii, prin urmare x, z ∈ Ai0 = Ai1 , deci x ∼ z (din nou puteam folosi acea propozit¸ie de mai sus, pentru y ). A¸sadar ∼∈ Echiv (A), prin urmare ψ este o funct¸ie corect definit˘a de la Part(A) la Echiv (A). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

16 / 35

Biject¸ia partit¸ii ∼ = relat¸ii de echivalent¸˘a

Pentru a ar˘ata c˘a Part(A) ∼ = Echiv (A), este suficient s˘a demonstr˘am c˘a funct¸iile ϕ ¸si ψ sunt inverse una alteia, ceea ce va ar˘ata c˘a aceste funct¸ii sunt inversabile, deci bijective. S˘a demonstr˘am c˘a ψ ◦ ϕ = idEchiv (A) . Fie ∼∈ Echiv (A), arbitrar˘a, fixat˘a. ϕ(∼) = A/∼ = {ˆa | a ∈ A}. Not˘am σ = ψ(ϕ(∼)). Conform definit¸iilor lui ϕ ¸si ψ ¸si propriet˘a¸tilor claselor de echivalent¸˘a, pentru orice x, y ∈ A, xσy ddac˘a exist˘a a ∈ A, cu x, y ∈ ˆa ddac˘a exist˘a a ∈ A cu ˆa = xˆ = yˆ ddac˘a xˆ = yˆ (pentru c˘a lu˘am a = x la implicat¸ia invers˘a) ddac˘a x ∼ y . A¸sadar σ =∼, i. e. ψ(ϕ(∼)) =∼.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

17 / 35

Biject¸ia partit¸ii ∼ = relat¸ii de echivalent¸˘a Acum s˘a demonstr˘am c˘a ϕ ◦ ψ = idPart(A) . Fie α := (Ai )i∈I ∈ Part(A), arbitrar˘a, fixat˘a. Calcul˘am ϕ(ψ(α)). [ Conform definit¸iei lui ψ, relat¸ia de echivalent¸˘a ψ(α) = ψ((Ai )i∈I ) = A2i . i∈I

Fie x ∈ A, arbitrar, fixat. Conform aceleia¸si propozit¸ii de mai sus asupra partit¸iilor unei mult¸imi, exist˘a un unic i0 ∈ I a. ˆı. x ∈ Ai0 . Din expresia anterioar˘a a relat¸iei de echivalent¸˘a ψ(α) ¸si faptul c˘a mult¸imile din partit¸ia (Ai )i∈I sunt dou˘a cˆate dou˘a disjuncte, un y ∈ A are proprietatea c˘a xψ(α)y ddac˘a y ∈ Ai0 , a¸sadar {y ∈ A | xψ(α)y } = Ai0 , deci clasa de echivalent¸˘a xˆ a lui x raportat la ψ(α) este Ai0 . Prin urmare, ϕ(ψ(α)) = A/ψ(α) = {ˆ x | x ∈ A} ⊆ (Ai )i∈I = α. Pentru fiecare i ∈ I , Ai este nevid ¸si, a¸sadar, este, conform celor de mai sus, clasa de echivalent¸˘a a oric˘arui element al s˘au raportat la ψ(α). Acest fapt ˆınseamn˘a c˘a α = (Ai )i∈I ⊆ {ˆ x | x ∈ A} = A/ψ(α) = ϕ(ψ(α)). Prin urmare, ϕ(ψ(α)) ⊆ α ¸si α ⊆ ϕ(ψ(α)), a¸sadar ϕ(ψ(α)) = α. Am demonstrat c˘a ψ ◦ ϕ = idEchiv (A) ¸si ϕ ◦ ψ = idPart(A) , i. e. ϕ : Echiv (A) → Part(A) ¸si ψ : Part(A) → Echiv (A) sunt funct¸ii inverse una alteia, deci sunt funct¸ii inversabile, deci bijective, a¸sadar Part(A) ∼ = Echiv (A). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

18 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime Reamintim:

Definit¸ie (tipuri de relat¸ii binare pe o mult¸ime) Fie A o mult¸ime ¸si R ⊆ A2 (i. e. R o relat¸ie binar˘a pe A). R se zice: reflexiv˘a ddac˘a, pentru orice a ∈ A, aRa; simetric˘a ddac˘a, pentru orice a, b ∈ A, dac˘a aRb, atunci bRa; tranzitiv˘a ddac˘a, pentru orice a, b, c ∈ A, dac˘a aRb ¸si bRc, atunci aRc; (relat¸ie de) preordine ddac˘a e reflexiv˘a ¸si tranzitiv˘a; (relat¸ie de) echivalent¸˘a ddac˘a e o preordine simetric˘a, i. e. o relat¸ie reflexiv˘a, simetric˘a ¸si tranzitiv˘a.

Exemplu ˆIn mod evident, pentru orice mult¸ime A, A2 este o relat¸ie de echivalent¸˘a pe A, i. e. este o relat¸ie binar˘a pe A, reflexiv˘a, simetric˘a ¸si tranzitiv˘a.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

19 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime

Amintim:

Definit¸ie Fie A o mult¸ime. Se definesc: diagonala lui A: ∆A := {(a, a) | a ∈ A} ⊆ A2 pentru orice R ⊆ A2 , inversa lui R: R −1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R} ⊆ A2 pentru orice R, S ⊆ A2 , compunerea lui S cu R: S ◦ R = {(a, c) | a, c ∈ A, (∃b ∈ A)(aRb ¸si bSc)} ⊆ A2 pentru orice R ⊆ A2 ¸si orice n ∈ N, puterea a n–a a lui R: R n ⊆ A2 , definit˘a recursiv: ( R 0 := ∆A R n+1 := R n ◦ R, pentru orice n ∈ N

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

20 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime Amintim, pentru o mult¸ime A arbitrar˘a:

Remarc˘a Pentru orice R ⊆ A2 ¸si orice a, b ∈ A, aRb ddac˘a bR −1 a. Compunerea de relat¸ii binare pe A este asociativ˘a, i. e., pentru orice R, S, T ⊆ A2 , T ◦ (S ◦ R) = (T ◦ S) ◦ R. ∆A este element neutru la compunerea de relat¸ii binare pe A: pentru orice R ⊆ A2 , R ◦ ∆A = ∆A ◦ R = R. Din proprietatea anterioar˘a ¸si definit¸ia puterilor naturale ale unei relat¸ii binare, se obt¸ine: pentru orice R ⊆ A2 , R 1 = R 0 ◦ R = ∆A ◦ R = R. Pentru orice R ⊆ A2 ¸si orice n, k ∈ N, R n ◦ R k = R n+k = R k ◦ R n (fapt care rezult˘a din asociativitatea compunerii de relat¸ii binare). ∆−1 A = ∆A . Pentru orice R, S ⊆ A2 , (S ◦ R)−1 = R −1 ◦ S −1 . Pentru orice R ⊆ A2 ¸si orice n ∈ N, (R n )−1 = (R −1 )n , fapt care rezult˘a din cele dou˘a propriet˘a¸ti anterioare, prin induct¸ie dup˘a n ∈ N. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

21 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime

Propozit¸ie Fie A o mult¸ime ¸si R ⊆ A2 . Atunci: 1 2

R este reflexiv˘a ddac˘a ∆A ⊆ R R este simetric˘a ddac˘a R = R −1

Demonstrat¸ie: (1) Imediat, din definit¸ia unei relat¸ii binare reflexive. (2) “⇐:“ Dac˘a R = R −1 ¸si a, b ∈ A a. ˆı. aRb, atunci aR −1 b, i. e. bRa, deci R e simetric˘a. “⇒:“ Dac˘a R este simetric˘a ¸si (a, b) ∈ R, i. e. aRb, atunci bRa, ceea ce este echivalent cu aR −1 b, i. e. (a, b) ∈ R −1 , deci R ⊆ R −1 . Iar, dac˘a (c, d) ∈ R −1 , i. e. cR −1 d, atunci dRc, deci cRd ˆıntrucˆat R e simetric˘a, i. e. (c, d) ∈ R, a¸sadar avem ¸si R −1 ⊆ R. Prin urmare, R = R −1 .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

22 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime Remarc˘a Urm˘atoarea propozit¸ie este valabil˘a chiar ˆın cazul mai general al relat¸iilor binare ˆıntre dou˘a mult¸imi nu neap˘arat egale.

Propozit¸ie Fie A o mult¸ime, R ¸si S relat¸ii binare pe A ¸si (Ri )i∈I o familie de relat¸ii binare pe A. Atunci: 1 (R −1 )−1 = R 2 R ⊆ S ddac˘a R −1 ⊆ S −1 [ [ \ \ 3 Ri−1 ¸si ( Ri )−1 = Ri−1 ( Ri )−1 = i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

Demonstrat¸ie: (1) ¸si (2) Imediate, din definit¸ia inversei unei relat¸ii binare (teme pentru acas˘ a). [ [ Ri ddac˘a (3) Pentru orice a, b ∈ A, avem: (a, b) ∈ ( Ri )−1 ddac˘a (b, a) ∈ i∈I

i∈I

−1 exist˘a i ∈ [I cu (b, a) ∈ Ri ddac˘a exist˘a i ∈ I cu (a, b) ∈ Ri ddac˘a −1 (a, b) ∈ Ri , de unde rezult˘a prima egalitate. Analog pentru egalitatea a i∈I

doua, cu intersect¸ia (tem˘ a pentru acas˘ a). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

23 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime Propozit¸ie Fie A o mult¸ime ¸si (Ri )i∈I o familie nevid˘a (i. e. cu I 6= ∅) de relat¸ii binare pe A. Atunci: \ 1 dac˘a, pentru fiecare i ∈ I , Ri e reflexiv˘a, atunci Ri e reflexiv˘a i∈I 2

dac˘a, pentru fiecare i ∈ I , Ri e simetric˘a, atunci

\

Ri e simetric˘a

i∈I 3

dac˘a, pentru fiecare i ∈ I , Ri e tranzitiv˘a, atunci

\

Ri e tranzitiv˘a

i∈I 4

dac˘a, pentru fiecare i ∈ I , Ri e o preordine, atunci

\

Ri e o preordine

i∈I 5

dac˘a, pentru fiecare i ∈ I , Ri e o relat¸ie de echivalent¸˘a, atunci

\

Ri e o

i∈I

relat¸ie de echivalent¸˘a

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

24 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime Demonstrat¸ie: (1) Dac˘a, pentru i ∈ I , Ri e reflexiv˘a, i. e., pentru fiecare \ fiecare \ i ∈ I , ∆A ⊆ Ri , atunci ∆A ⊆ Ri , i. e. Ri este reflexiv˘a. i∈I

i∈I

(2) Conform unor rezultate anterioare, pentru fiecare simetric˘a \ ddac˘a, \i ∈ I , Ri e\ −1 −1 −1 pentru fiecare i ∈ I , Ri = Ri , de unde rezult˘a c˘a ( Ri ) = Ri = Ri , i∈I

prin urmare

\

i∈I

i∈I

Ri e simetric˘a.

i∈I

(3) Not˘am S :=

\

Ri . Fie x, y , z ∈ A, a. ˆı. xSy ¸si ySz, i. e. (x, y ), (y , z) ∈ S, i.

i∈I

e. (x, y ), (y , z) ∈

\

Ri , i. e., pentru fiecare i ∈ I , (x, y ), (y , z) ∈ Ri , i. e., pentru

i∈I

fiecare i ∈ I , xRi y ¸si yRi z, iar faptul c˘a fiecare relat¸ie Ri este tranzitiv˘a implic˘a xRi z pentru \ fiecare i ∈ I , i. e. (x, z) ∈ Ri pentru fiecare i ∈ I , i. e. (x, z) ∈ Ri = S, i. e. xSz, deci S e tranzitiv˘a. i∈I

(4) Rezult˘a din (1) ¸si (3). (5) Rezult˘a din (1), (2) ¸si (3) (sau din (2) ¸si (4)). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

25 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime Remarc˘a Fie A o mult¸ime ¸si R o relat¸ie binar˘a pe A. Am observat c˘a A2 este o relat¸ie binar˘a reflexiv˘a pe A, ¸si, evident, R ⊆ A2 , din chiar definit¸ia unei relat¸ii binare R pe A. Prin urmare, mult¸imea (familia) relat¸iilor binare reflexive pe A care includ pe R este nevid˘a (pentru c˘a o cont¸ine pe A2 ), iar propozit¸ia anterioar˘a arat˘a c˘a intersect¸ia acestei familii este o relat¸ie binar˘a reflexiv˘a pe A, care, evident, include pe R. Sigur c˘a aceast˘a intersect¸ie este inclus˘a ˆın fiecare relat¸ie binar˘a reflexiv˘a pe A care include pe R (fiind intersect¸ia tuturor acestora), ceea ce ˆınseamn˘a c˘a aceast˘a intersect¸ie este cea mai mic˘a relat¸ie binar˘a reflexiv˘a pe A care include pe R (cea mai mic˘a ˆın sensul incluziunii, adic˘a raportat la relat¸ia de incluziune). Conform propozit¸iei anterioare, toate aceste fapte r˘amˆan valabile dac˘a ˆınlocuim proprietatea de reflexivitate cu oricare dintre propriet˘a¸tile: simetrie tranzitivitate proprietatea de a fi preordine proprietatea de a fi relat¸ie de echivalent¸˘a Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

26 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime Remarc˘a Cele de mai sus arat˘a c˘a relat¸iile definite ˆın continuare (cele cinci ˆınchideri care apar ˆın definit¸ia urm˘atoare) exist˘a, pentru orice mult¸ime A ¸si orice R ⊆ A2 .

Definit¸ie Fie A o mult¸ime ¸si R o relat¸ie binar˘a pe A. Se nume¸ste: ˆınchiderea reflexiv˘a a lui R cea mai mic˘a relat¸ie binar˘a reflexiv˘a pe A care include pe R; o vom nota cu R; ˆınchiderea simetric˘a a lui R cea mai mic˘a relat¸ie binar˘a simetric˘a pe A care include pe R; o vom nota cu R ∗ ; ˆınchiderea tranzitiv˘a a lui R cea mai mic˘a relat¸ie binar˘a tranzitiv˘a pe A care include pe R; o vom nota cu T (R); preordinea generat˘a de R (sau ˆınchiderea reflexiv–tranzitiv˘a a lui R) cea mai mic˘a preordine pe A care include pe R; o vom nota cu Pre(R); relat¸ia de echivalent¸˘a generat˘a de R cea mai mic˘a relat¸ie de echivalent¸˘a pe A care include pe R; o vom nota cu E (R). Aceste notat¸ii nu sunt consacrate, ci sunt notat¸ii ad–hoc pe care le adopt˘am ˆın expunerea care urmeaz˘a. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

27 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime Remarc˘a Fie A o mult¸ime ¸si R o relat¸ie binar˘a pe A. Atunci R este cel mai mic element (raportat la incluziune) al mult¸imii (nevide a) relat¸iilor binare reflexive pe A care includ pe R, prin urmare admite urm˘atoarea caracterizare: R apart¸ine acestei mult¸imi ¸si este inclus˘a ˆın orice element al acestei mult¸imi. Sigur c˘a aceast˘a caracterizare o identific˘a ˆın mod unic, fapt u¸sor de observat din antisimetria relat¸iei de incluziune. Cu alte cuvinte, R este unica relat¸ie binar˘a pe A care satisface condit¸iile: R este o relat¸ie binar˘a reflexiv˘a pe A R⊆R pentru orice relat¸ie binar˘a reflexiv˘a S pe A cu proprietatea c˘a R ⊆ S, are loc: R⊆S Evident, ¸si celelalte ˆınchideri ale lui R, anume R ∗ , T (R), Pre(R) ¸si E (R), admit caracteriz˘ari similare.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

28 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime Remarc˘a Fie A o mult¸ime ¸si R o relat¸ie binar˘a pe A. Este imediat, din definit¸iile acestor ˆınchideri, c˘a: R R R R R

este este este este este

reflexiv˘a ddac˘a R = R simetric˘a ddac˘a R = R ∗ tranzitiv˘a ddac˘a R = T (R) o preordine ddac˘a R = Pre(R) o relat¸ie de echivalent¸˘a ddac˘a R = E (R)

Corolar Fie A o mult¸ime ¸si R o relat¸ie binar˘a pe A. O consecint¸˘a imediat˘a a remarcii anterioare este c˘a: R = R, R ∗∗ = R ∗ , T (T (R)) = T (R), Pre(Pre(R)) = Pre(R) ¸si E (E (R)) = E (R).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

29 / 35

Formulele ˆınchiderilor relat¸iilor binare pe o mult¸ime

Propozit¸ie Fie A o mult¸ime ¸si R o relat¸ie binar˘a pe A. Atunci: 1 2

3

R = R ∪ ∆A R ∗ = R ∪ R −1 ∞ [ T (R) = Rn n=1

4

Pre(R) = T (R) =

∞ [

Rn

n=0 5

E (R) = T (R ∗ ) =

∞ [

(R ∪ R −1 ∪ ∆A )n

n=1

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

30 / 35

Formulele ˆınchiderilor relat¸iilor binare pe o mult¸ime Demonstrat¸ie: Folosim o caracterizare de mai sus a ˆınchiderilor. (1) Avem de demonstrat c˘a: R ∪ ∆A este reflexiv˘a, include pe R ¸si este inclus˘a ˆın orice relat¸ie binar˘a reflexiv˘a pe A care include pe R. ∆A ⊆ R ∪ ∆A , deci R ∪ ∆A este reflexiv˘a. Evident, R ⊆ R ∪ ∆A . Fie Q o relat¸ie binar˘a reflexiv˘a pe A cu R ⊆ Q. Q este reflexiv˘a, deci ∆A ⊆ Q. Cum avem ¸si R ⊆ Q, rezult˘a c˘a R ∪ ∆A ⊆ Q. Prin urmare, R ∪ ∆A = R. (2) Avem de demonstrat c˘a: R ∪ R −1 este simetric˘a, include pe R ¸si este inclus˘a ˆın orice relat¸ie binar˘a simetric˘a pe A care include pe R. Conform unor rezultate anterioare, (R ∪ R −1 )−1 = R −1 ∪ (R −1 )−1 = R −1 ∪ R = R ∪ R −1 , deci R ∪ R −1 este simetric˘a. Evident, R ⊆ R ∪ R −1 . Fie Q o relat¸ie binar˘a simetric˘a pe A cu R ⊆ Q, prin urmare R −1 ⊆ Q −1 . Q este simetric˘a, deci Q = Q −1 , a¸sadar am obt¸inut R ⊆ Q ¸si R −1 ⊆ Q, prin urmare R ∪ R −1 ⊆ Q. Rezult˘a c˘a R ∪ R −1 = R ∗ . Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

31 / 35

Formulele ˆınchiderilor relat¸iilor binare pe o mult¸ime (3) Not˘am S :=

∞ [

R n . Pentru a ar˘ata c˘a S = T (R), avem de demonstrat c˘a: S

n=1

este tranzitiv˘a, include pe R ¸si este inclus˘a ˆın orice relat¸ie binar˘a tranzitiv˘a pe A care include pe R. ∞ [ Fie x, y , z ∈ A, cu xSy ¸si ySz, i. e. (x, y ), (y , z) ∈ S = R n , i. e. exist˘a n=1

n0 , n1 ∈ N∗ , cu (x, y ) ∈ R n0 ¸si (y , z) ∈ R n1 , prin urmare, aplicˆand definit¸ia compunerii de relat¸ii binare ¸si a puterilor naturale ale unei relat¸ii binare, precum ¸si asociativitatea compunerii de relat¸ii binare, obt¸inem c˘a (x, z) ∈ R n1 ◦ R n0 = R n0 +n1 ⊆ S, deci (x, z) ∈ S, i. e. xSz. A¸sadar S e tranzitiv˘a. R = R 1 ⊆ S. Fie Q o relat¸ie binar˘a tranzitiv˘a pe A cu R ⊆ Q. Pentru a ar˘ata c˘a ∞ [ S= R n ⊆ Q, vom demonstra prin induct¸ie matematic˘a dup˘a n ∈ N∗ c˘a n=1

R n ⊆ Q pentru orice n ∈ N∗ .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

32 / 35

Formulele ˆınchiderilor relat¸iilor binare pe o mult¸ime Pasul de verificare: R 1 = R ⊆ Q, conform alegerii lui Q. Pasul de induct¸ie: Presupunem c˘a R n ⊆ Q pentru un n ∈ N∗ , arbitrar, fixat. Fie (x, z) ∈ R n+1 = R n ◦ R, arbitrar, fixat. Atunci exist˘a y ∈ A a. ˆı. (x, y ) ∈ R ¸si (y , z) ∈ R n . Dar R ⊆ Q conform alegerii lui Q ¸si R n ⊆ Q conform ipotezei de induct¸ie. A¸sadar (x, y ), (y , z) ∈ Q, i. e. xQy ¸si yQz. Iar Q este tranzitiv˘a, conform alegerii sale, prin urmare xQz, i. e. (x, z) ∈ Q. Rezult˘a c˘a R n+1 ⊆ Q ¸si rat¸ionamentul prin induct¸ie este ˆıncheiat. ∞ [ Am demonstrat c˘a, pentru orice n ∈ N∗ , R n ⊆ Q, a¸sadar S = R n ⊆ Q. Rezult˘a c˘a:

∞ [

n=1 n

R = S = T (R).

n=1

(4) Tem˘ a pentru seminar. (5) Tem˘ a pentru seminar.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

33 / 35

Formulele ˆınchiderilor relat¸iilor binare pe o mult¸ime

Propozit¸ie (tem˘a pentru seminar) Dac˘a A este o mult¸ime nevid˘a finit˘a avˆand |A| = k ∈ N∗ , iar R este o relat¸ie k [ binar˘a pe A, atunci T (R) = R n. n=1

Propozit¸ie (comut˘arile ˆınchiderilor (tem˘a pentru seminar, cu contraexemplu pentru comutarea de la ultimul punct)) Fie A o mult¸ime ¸si R o relat¸ie binar˘a pe A. Atunci: 1 2 3

(R)∗ = R ∗ T (R) = T (R) nu neap˘arat T (R ∗ ) = T (R)∗

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IV logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

34 / 35

ˆInchiderile relat¸iilor binare pe o mult¸ime

Exemplu (tem˘a pentru acas˘a) Fie R relat¸ia “sunt numere consecutive“ pe N, i. e.: R ⊂ N2 , R = {(k, k + 1) | k ∈ N}. S˘a se arate c˘a: 1 2 3

4 5

R = {(x, y ) | x, y ∈ N, y − x ∈ {0, 1}} R ∗ = {(x, y ) | x, y ∈ N, |y − x| = 1} T (R) =. Un morfism de latici m˘arginite de la o latice m˘arginit˘a la ea ˆıns˘a¸si se nume¸ste endomorfism al acelei latici m˘arginite.

Remarc˘a (tem˘a pentru acas˘a) Compunerea a dou˘a funct¸ii izotone (respectiv morfisme de latici, respectiv morfisme de latici m˘arginite) este o funct¸ie izoton˘a (respectiv un morfism de latici, respectiv un morfism de latici m˘arginite). Demonstrat¸ia se face prin aplicarea definit¸iilor acestor not¸iuni. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

17 / 33

Funct¸ii izotone versus morfisme de latici Definit¸ie Un izomorfism de latici (m˘arginite) este un morfism de latici (m˘arginite) inversabil, i. e. un morfism de latici (m˘arginite) care este o funct¸ie inversabil˘a a c˘arei invers˘a este tot un morfism de latici (m˘arginite). Un automorfism de latici (m˘arginite) este un izomorfism de latici (m˘arginite) ˆıntre o latice (m˘arginit˘a) ¸si ea ˆıns˘a¸si (adic˘a un endomorfism de latici (m˘arginite) inversabil).

Definit¸ie Dou˘a latici (m˘arginite) ˆıntre care exist˘a un izomorfism de latici (m˘arginite) se zic izomorfe. ˆIn general, oricare dou˘a structuri algebrice de acela¸si tip ˆıntre care exist˘a un izomorfism se vor zice izomorfe.

Propozit¸ie O funct¸ie ˆıntre dou˘a latici (m˘arginite) este un izomorfism de latici (m˘arginite) ddac˘a este un morfism bijectiv de latici (m˘arginite), adic˘a un morfism de latici (m˘arginite) care este funct¸ie bijectiv˘a. Cu alte cuvinte, inversa oric˘arui morfism bijectiv de latici (m˘arginite) este, de asemenea, un morfism de latici (m˘arginite). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

18 / 33

Funct¸ii izotone versus morfisme de latici Demonstrat¸ie: Implicat¸ia direct˘a este imediat˘a, pentru c˘a, a¸sa cum sugereaz˘a enunt¸ul, orice izomorfism de latici (m˘arginite) este simultan un morfism de latici (m˘arginite) ¸si o funct¸ie inversabil˘a, deci bijectiv˘a. Reciproc, fie (L, ∨, ∧) ¸si (M, t, u) dou˘a latici ¸si f : L → M un morfism bijectiv de latici. S˘a demonstr˘am c˘a, ˆın aceste ipoteze, rezult˘a c˘a f este un izomorfism de latici. f este, a¸sadar, o funct¸ie bijectiv˘a, deci inversabil˘a. Fie f −1 : M → L inversa funct¸iei f . Fie a, b ∈ M. f este bijectiv˘a, deci surjectiv˘a, deci exist˘a x, y ∈ L a. ˆı. f (x) = a ¸si f (y ) = b. Aplicˆand f −1 ˆın ambii membri ai fiec˘areia dintre aceste dou˘a egalit˘a¸ti, obt¸inem: f −1 (a) = f −1 (f (x)) = x ¸si f −1 (b) = f −1 (f (y )) = y . Rezult˘a c˘a f −1 (a t b)= f −1 (f (x) t f (y )) = f −1 (f (x ∨ y )) = x ∨ y = f −1 (a) ∨ f −1 (b). Prin dualitate, rezult˘a c˘a avem ¸si: f −1 (a u b) = f −1 (a) ∧ f −1 (b). A¸sadar f −1 este morfism de latici, prin urmare f este un morfism de latici inversabil cu inversa morfism de latici, i. e. f este un izomorfism de latici.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

19 / 33

Funct¸ii izotone versus morfisme de latici

Dac˘a (L, ∨, ∧, 0, 1) ¸si (M, t, u, ⊥, >) sunt latici m˘arginite ¸si f : L → M este un morfism bijectiv de latici m˘arginite, atunci: f este un morfism bijectiv de latici, prin urmare, conform celor de mai sus, inversa f −1 : M → L a lui f este un morfism de latici; ˆın plus, conform definit¸iei unui morfism de latici m˘arginite, f (0) =⊥ ¸si f (1) = >, deci f −1 (⊥) = f −1 (f (0)) = 0 ¸si f −1 (>) = f −1 (f (1)) = 1, a¸sadar f −1 este un morfism de latici m˘arginite. A¸sadar, f este un morfism de latici m˘arginite inversabil cu inversa morfism de latici m˘arginite, i. e. f este un izomorfism de latici m˘arginite.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

20 / 33

Funct¸ii izotone versus morfisme de latici Definit¸ie O funct¸ie ˆıntre dou˘a poseturi se nume¸ste izomorfism de ordine sau izomorfism de poseturi ddac˘a este izoton˘a, bijectiv˘a ¸si cu inversa izoton˘a.

Exemplu Funct¸ia f ˆıntre urm˘atoarele dou˘a poseturi (pe care le not˘am ({0, a, b}, ≤) ¸si ({0, x, 1}, v), respectiv), dat˘a prin f (0) = 0, f (a) = x ¸si f (b) = 1, este izoton˘a ¸si bijectiv˘a, dar inversa ei, care are valorile: f −1 (0) = 0, f −1 (x) = a ¸si f −1 (1) = b, nu este izoton˘a, pentru c˘a x v 1 ˆın al doilea poset, dar f −1 (x) = a  b = f −1 (1) (ˆın primul poset, a ¸si b sunt incomparabile). 1r r r a b @ rx f @r r 0 0

Propozit¸ie O funct¸ie ˆıntre dou˘a latici este izomorfism de latici ddac˘a este izomorfism de ordine (ˆıntre poseturile subiacente celor dou˘a latici). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

21 / 33

Funct¸ii izotone versus morfisme de latici Demonstrat¸ie: Implicat¸ia direct˘a rezult˘a din definit¸ia unui izomorfism de latici ¸si faptul c˘a orice morfism de latici este funct¸ie izoton˘a. Reciproc, fie (L, ∨, ∧, ≤) ¸si (M, t, u, v) dou˘a latici ¸si f : L → M un izomorfism de ordine ˆıntre poseturile (L, ≤) ¸si (M, v), adic˘a f este o funct¸ie izoton˘a bijectiv˘a, iar inversa ei, f −1 : M → L, este, de asemenea, izoton˘a. Fie a, b ∈ L, arbitrare, fixate. Demonstr˘am c˘a f (a ∨ b) = f (a) t f (b). a ∨ b = sup{a, b}, iar a ≤ sup{a, b} ¸si b ≤ sup{a, b}. A¸sadar, a ≤ a ∨ b ¸si b ≤ a ∨ b, iar f este izoton˘a, prin urmare f (a) v f (a ∨ b) ¸si f (b) v f (a ∨ b), deci f (a ∨ b) este un majorant al submult¸imii {f (a), f (b)} a lui (M, v), prin urmare sup{f (a), f (b)} v f (a ∨ b), conform definit¸iei supremumului. Dar f (a) t f (b) = sup{f (a), f (b)}, deci f (a) t f (b) v f (a ∨ b). De aici, demonstrat¸ia poate continua ˆın mai multe moduri. De exemplu, s˘a not˘am cu u := f (a ∨ b) ∈ M, pentru comoditatea scrierii ˆın cele ce urmeaz˘a. Cu aceast˘a notat¸ie, ultima relat¸ie de mai sus devine: f (a) t f (b) v u. Au loc: f (a) v sup{f (a), f (b)} = f (a) t f (b) v u ¸si f (b) v sup{f (a), f (b)} = f (a) t f (b) v u, iar tranzitivitatea relat¸iei de ordine v arat˘a, acum, c˘a f (a) v u ¸si f (b) v u. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

22 / 33

Funct¸ii izotone versus morfisme de latici Ipoteza c˘a f −1 este izoton˘a ¸si ultimele dou˘a relat¸ii de mai sus implic˘a a = f −1 (f (a)) ≤ f −1 (u) ¸si b = f −1 (f (b)) ≤ f −1 (u), deci f −1 (u) este majorant pentru submult¸imea {a, b} a lui (L, ≤). Acum aplic˘am din nou definit¸ia supremumului, ¸si obt¸inem: a ∨ b = sup{a, b} ≤ f −1 (u). Prin urmare, ˆıntrucˆat f este izoton˘a, avem: f (a ∨ b) v f (f −1 (u)) = u. ˆIn relat¸ia f (a ∨ b) v u, pe care tocmai am demonstrat–o, ˆınlocuim u = f (a) t f (b) conform notat¸iei de mai sus, ¸si obt¸inem f (a ∨ b) v f (a) t f (b). A¸sadar, f (a ∨ b) = f (a) t f (b). Prin dualitate, rezult˘a c˘a ¸si f (a ∧ b) = f (a) u f (b). Ultimele dou˘a egalit˘a¸ti arat˘a c˘a f este un morfism de latici. Dar, prin ipotez˘a, f este o funct¸ie inversabil˘a, deci bijectiv˘a. Deci f este un morfism bijectiv de latici, a¸sadar, conform propozit¸iei anterioare, rezult˘a c˘a f este un izomorfism de latici.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

23 / 33

Funct¸ii izotone versus morfisme de latici Remarc˘a Fie (L, ≤) un lant¸ (adic˘a o mult¸ime total ordonat˘a, adic˘a o mult¸ime liniar ordonat˘a). Atunci, pentru orice a, b ∈ L, a  b implic˘a b < a, unde 1. ( i=1 n M

i=1

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

14 / 52

Preliminarii despre algebre produs direct Remarc˘a Conform unei remarci de mai sus, operat¸ia produs direct de poseturi este asociativ˘a, ceea ce permite generalizarea ei la produs direct al unei familii finite a: produsul nevide de poseturi (Ai , ≤i )i∈1,n , cu n ∈ N∗ , prin definit¸ia recursiv˘ direct al familiei (Ai , ≤i )i∈1,n se noteaz˘a cu (A1 , ≤1 ) × (A2 , ≤2 ) × . . . × (An , ≤n ) n n n Y Y Y sau (Ai , ≤i ) sau (A1 × A2 × . . . × An , ≤1 × ≤2 × . . . × ≤n ) sau ( Ai , ≤i ) i=1

i=1

i=1

¸si este posetul  definit, recursiv, astfel: dac˘a n = 1;  n (A1 , ≤1 ), Y n−1 Y (Ai , ≤i ) :=  ( (Ai , ≤i )) × (An , ≤n ), dac˘a n > 1. i=1 i=1

Notat¸ie Cu notat¸iile din remarca anterioar˘a, dac˘a (A1 , ≤1 ) = (A2 , ≤2 ) = . . . = (An , ≤n ) = (A, ≤), atunci produsul direct (A × A × . . . × A, ≤ × ≤ × . . . × ≤) se mai noteaz˘a cu (An , ≤). {z } | | {z } n de A n de ≤ Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

15 / 52

Preliminarii despre algebre produs direct Produsul direct poate fi generalizat la familii arbitrare de poseturi, astfel:

Definit¸ie Fie ((Ai , ≤i ))i∈I o familie Yarbitrar˘a de poseturi. YAtunci se define¸ste produsul direct al acestei familii, notat (Ai , ≤i ), ca fiind ( Ai , ≤), unde ≤ este o relat¸ie i∈I

i∈I

binar˘ Y a pe produsul direct [ de mult¸imi Ai = {f | f : I → Ai , (∀i ∈ I )f (i) ∈ Ai }, definit˘a prin: pentru orice i∈I

f ,g ∈

i∈I

Y

Ai ,

i∈I

f ≤ g ddac˘a f (i) ≤ g (i), oricare ar fi i ∈ I .

Remarc˘a (tem˘a pentru acas˘a) Verificˆand direct propriet˘a¸tile unei relat¸ii de ordine (reflexivitate, tranzitivitate ¸si antisimetrie), Y se arat˘a c˘a relat¸ia binar˘a ≤ din definit¸ia anterioar˘a este o relat¸ie de ordine, deci ( Ai , ≤) este un poset. i∈I Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

16 / 52

Produsul direct al familiei vide Remarc˘a Produsul direct al familiei vide de mult¸imi este un singleton, adic˘a o mult¸ime cu un singur element. Prin urmare, produsul direct al familiei vide de poseturi este un singleton {∗}, organizat ca poset cu unica relat¸ie de ordine pe un singleton, anume {(∗, ∗)}. La fel stau lucrurile pentru produsul direct al unei familii vide de structuri algebrice de un anumit tip (a se vedea mai jos aceast˘a generalizare). ˆIntr–adev˘ar, s˘a ˆınlocuim mult¸imea de indici I cu ∅ ˆın definit¸ia anterioar˘a. Reuniunea familiei vide de mult¸imi este ∅, a¸sadar mult¸imea Y Ai = {f | f : ∅ → ∅} = {(∅, ∅, ∅)} (unica funct¸ie de la ∅ la ∅; a se vedea i∈∅

definit¸ia unei funct¸ii). A¸sadar, pentru orice mult¸ime A, A∅ = {(∅, ∅, ∅)}. Este admis˘a ¸si notat¸ia A0 ˆın loc de A∅ . Aceste notat¸ii pot fi extinse la produsul direct al familiei vide de poseturi sau de structuri algebrice de un anumit tip (a se vedea mai jos).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

17 / 52

Preliminarii despre algebre produs direct Notat¸ie Pentru (Ai , ≤i ) = (A, ≤), oricare ar fi i ∈ I , ˆın definit¸ia anterioar˘a, produsul direct al familiei ((Ai , ≤i ))i∈I devine (AI , ≤) (notˆand ordinea de pe AI = {f : I → A} la fel ca ordinea de pe A).

Remarc˘a ˆIn definit¸iile produsului direct (a dou˘a poseturi, al unei familii finite nevide de poseturi, al unei familii arbitrare de poseturi) se pot ˆınlocui poseturile cu mult¸imi ˆınzestrate cu relat¸ii binare arbitrare, ¸si se obt¸ine not¸iunea de produs direct al unor relat¸ii binare, care este o relat¸ie binar˘a pe mult¸imea dat˘a de produsul direct al respectivelor mult¸imi. Dar produsul direct se poate defini ¸si pentru structuri algebrice de acela¸si tip, ˆınzestrate cu anumite operat¸ii, pe baza c˘arora se definesc, punctual, operat¸iile produsului direct. ˆIn cazul laticilor, a c˘aror definit¸ie o vom aminti ˆındat˘a, produsul direct al unor latici este simultan un poset produs direct (latice Ore) ¸si o structur˘ a algebric˘ a produs direct, cu dou˘a operat¸ii binare (latice Dedekind). Vom exemplifica mai jos not¸iunea de produs direct al unor mult¸imi ˆınzestrate ¸si cu operat¸ii, ¸si cu relat¸ii binare. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

18 / 52

Preliminarii despre algebre produs direct

S˘a exemplific˘am pe o structur˘a format˘a dintr–o mult¸ime ˆınzestrat˘a cu o relat¸ie binar˘a ¸si trei operat¸ii, dintre care una binar˘a, una unar˘a (adic˘a avˆand un singur argument) ¸si una zeroar˘a (adic˘a f˘ar˘a argumente, adic˘a o constant˘a). Mai ˆıntˆai pentru produse directe finite nevide. Fie n ∈ N∗ ¸si n structuri algebrice de acela¸si tip (Ai , ◦i , fi , ci , ρi ), cu i ∈ 1, n, unde, pentru fiecare i ∈ 1, n: ◦i : Ai × Ai → Ai este o operat¸ie binar˘a (pe care o vom nota infixat: x ◦i y , pentru x, y ∈ Ai ), fi : Ai → Ai este o operat¸ie unar˘a, ci ∈ Ai este o operat¸ie zeroar˘a (adic˘a o constant˘a), ρi ⊆ Ai × Ai este o relat¸ie binar˘a, fiecare dintre acestea pe mult¸imea Ai .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

19 / 52

Preliminarii despre algebre produs direct Atunci putem defini algebra produs direct (A, ◦, f , c, ρ), cu: n

A

definit¸ie Y = Ai , i=1

cu operat¸iile produs direct: n definit¸ie Y notat¸ie ◦ = ◦i = (◦1 , . . . , ◦n ), i=1 n definit¸ie Y notat¸ie f = fi = (f1 , . . . , fn ), i=1 n definit¸ie Y notat¸ie c = ci = (c1 , . . . , cn ) i=1

¸si relat¸ia binar˘a produs direct: n definit¸ie Y notat¸ie ρ = ρi = (ρ1 , . . . , ρn ), i=1

definite pe componente, i. e. ca mai jos, unde notat¸ia pentru un element a = (a1 , . . . , an ) ∈ A semnific˘a faptul c˘a a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An : Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

20 / 52

Preliminarii despre algebre produs direct

pentru orice x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . yn ) ∈ A, definit¸ie x ◦y = (x1 ◦1 y1 , . . . , xn ◦n yn ) ∈ A; definit¸ie pentru orice x = (x1 , . . . , xn ) ∈ A, f (x) = (f1 (x1 ), . . . , fn (xn )) ∈ A; definit¸ie constanta c = (c1 , . . . , cn ) ∈ A; pentru orice x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . yn ) ∈ A, prin definit¸ie, xρy ddac˘a x 1 ρ1 y 1 , . . . , x n ρn y n . Dac˘a (A1 , ◦1 , f1 , c1 , ρ1 ) = . . . = (An , ◦n , fn , cn , ρn ) = (B, ◦B , fB , cB , ρB ), atunci A = B n = {(b1 , . . . , bn ) | b1 , . . . , bn ∈ B}, ¸si operat¸iile ¸si relat¸ia binar˘a produs pot fi notate la fel ca acelea ale lui B.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

21 / 52

Preliminarii despre algebre produs direct

S¸i acum cazul general: fie ((Ai , ◦i , fi , ci , ρi ))i∈I o familie arbitrar˘ a de structuri algebrice, unde, pentru fiecare i ∈ I : ◦i : Ai × Ai → Ai este o operat¸ie binar˘a (pe care o vom nota infixat: x ◦i y , pentru x, y ∈ Ai ), fi : Ai → Ai este o operat¸ie unar˘a, ci ∈ Ai este o operat¸ie zeroar˘a (adic˘a o constant˘a), ρi ⊆ Ai × Ai este o relat¸ie binar˘a, fiecare dintre acestea pe mult¸imea Ai .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

22 / 52

Preliminarii despre algebre produs direct Atunci putem defini algebra produs direct (A, ◦, f , c, ρ), cu: definit¸ie Y A = Ai = {h | h : I → A, (∀i ∈ I )h(i) ∈ Ai }, i∈I

cu operat¸iile produs direct ◦ (binar˘a), f (unar˘a), c (zeroar˘a, i. e. constant˘a) ¸si relat¸ia binar˘a produs direct ρ pe A definite punctual, pe baza celor ale structurilor algebrice (Ai , ◦i , fi , ci , ρi ), cu i ∈ I , i. e. ca mai jos: pentru orice g , h ∈ A, g ◦ h ∈ A, definit˘a prin: oricare ar fi i ∈ I , (g ◦ h)(i) = g (i) ◦i h(i); pentru orice h ∈ A, f (h) ∈ A, definit˘a prin: oricare ar fi i ∈ I , (f (h))(i) = fi (h(i)); c ∈ A, definit˘a prin: pentru orice i ∈ I , c(i) = ci ∈ Ai ; pentru orice g , h ∈ A, prin definit¸ie, g ρh ddac˘a g (i)ρi h(i), oricare ar fi i ∈ I . Dac˘a (Ai , ◦i , fi , ci , ρi ) = (B, ◦B , fB , cB , ρB ) pentru fiecare i ∈ I , atunci A = B I = {h | h : I → B}, ¸si operat¸iile ¸si relat¸ia binar˘a produs direct pot fi notate la fel ca acelea ale lui B. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

23 / 52

Produsul direct al familiei vide de structuri algebrice de acela¸si tip

ˆIn cazul ˆın care I = ∅, obt¸inem algebra produs direct al familiei vide de algebre de tipul de mai sus, anume (A, ◦, f , c, ρ), unde: A este un singleton: A = {∗} (a se vedea, mai sus, produsul direct al familiei vide de poseturi); operat¸iile ◦, f ¸si c au singurele definit¸ii posibile pe un singleton, anume: ∗ ◦ ∗ := ∗, f (∗) := ∗ ¸si c := ∗; ρ este un singleton, deci nu poate fi decˆat: ρ := {(∗, ∗)}.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

24 / 52

1

Preliminarii despre algebre produs direct

2

Latici

3

Algebre Boole

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

25 / 52

Latici

Amintim: O latice este simultan un poset ¸si o structur˘a algebric˘a ˆınzestrat˘a cu dou˘a operat¸ii binare, fiecare dintre acestea cu anumite propriet˘a¸ti specifice. Am definit dou˘a tipuri de latici, anume laticile Ore ¸si laticile Dedekind, ¸si apoi am demonstrat c˘a orice latice Ore poate fi organizat˘a ca o latice Dedekind, ¸si orice latice Dedekind poate fi organizat˘a ca o latice Ore, a¸sadar, de fapt, exist˘a un singur fel de latice, care este simultan o latice Ore ¸si o latice Dedekind.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

26 / 52

Cele dou˘a definit¸ii ale not¸iunii de latice Amintim:

Definit¸ie O latice Ore este un poset (L, ≤) cu proprietatea c˘a, pentru orice x, y ∈ L, exist˘a inf{x, y } ∈ L ¸si sup{x, y } ∈ L.

Definit¸ie O latice Dedekind este o structur˘a algebric˘a (L, ∨, ∧), unde L este o mult¸ime, iar ∨ ¸si ∧ sunt dou˘a operat¸ii binare pe L (notate infixat ¸si numite respectiv sau ¸si ¸si, sau disjunct¸ie ¸si conjunct¸ie, sau reuniune ¸si intersect¸ie) care satisfac urm˘atoarele propriet˘a¸ti: idempotent¸˘ a: pentru orice x ∈ L, x ∨ x = x ¸si x ∧ x = x; comutativitate: pentru orice x, y ∈ L, x ∨ y = y ∨ x ¸si x ∧ y = y ∧ x; asociativitate: pentru orice x, y , z ∈ L, (x ∨ y ) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) ¸si (x ∧ y ) ∧ z = x ∧ (y ∧ z); absorbt¸ie: pentru orice x, y ∈ L, x ∨ (x ∧ y ) = x ¸si x ∧ (x ∨ y ) = x. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

27 / 52

Echivalent¸a celor dou˘a definit¸ii ale laticii Amintim:

Teorem˘a Cele dou˘a definit¸ii ale not¸iunii de latice sunt echivalente. Mai precis, au loc urm˘atoarele fapte. 1

2

3

Fie L := (L, ≤) o latice Ore. Definim Φ(L) := (L, ∨, ∧), unde ∨ ¸si ∧ sunt operat¸ii binare pe mult¸imea L, definite prin: pentru orice x, y ∈ L, x ∨ y := sup{x, y } ¸si x ∧ y := inf{x, y } ˆın laticea Ore L. Atunci Φ(L) este o latice Dedekind. Fie L := (L, ∨, ∧) o latice Dedekind. Definim Ψ(L) := (L, ≤), unde ≤ este o relat¸ie binar˘a pe mult¸imea L, definit˘a prin: pentru orice x, y ∈ L, x ≤ y ddac˘a x ∨ y = y (ceea ce este echivalent cu x ∧ y = x, dup˘a cum ne asigur˘a o lem˘a dintr–un curs anterior). Atunci Ψ(L) este o latice Ore, ˆın care, pentru orice x, y ∈ L, inf{x, y } = x ∧ y ¸si sup{x, y } = x ∨ y . Aplicat¸iile Φ ¸si Ψ sunt inverse una alteia, adic˘a: pentru orice latice Ore L, Ψ(Φ(L)) = L, ¸si, pentru orice latice Dedekind L, Φ(Ψ(L)) = L.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

28 / 52

Latici

De acum ˆıncolo, vom numi orice latice Ore ¸si orice latice Dedekind, simplu, latice. Conform teoremei anterioare, orice latice este simultan o latice Ore ¸si o latice Dedekind. Ori de cˆate ori va fi dat˘a o latice, vom lucra cu ordinea ei part¸ial˘a (care o face latice Ore) ¸si cu operat¸iile ei binare (disjunct¸ia ¸si conjunct¸ia, care o fac latice Dedekind) f˘ar˘a a specifica la care dintre cele dou˘a definit¸ii echivalente ale unei latici ne vom referi ˆıntr–un anumit moment. Pentru orice latice L, vom folosi oricare dintre notat¸iile: (L, ≤), (L, ∨, ∧) ¸si (L, ∨, ∧, ≤), ˆın funct¸ie de ce trebuie specificat despre structura de latice a lui L: ordinea ei part¸ial˘a ≤, operat¸iile ei binare ∨ ¸si ∧, sau toate acestea.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

29 / 52

Latici ˆIn esent¸˘a, a¸sadar, ˆıntr–o latice (L, ∨, ∧, ≤), avem: o mult¸ime L, o relat¸ie de ordine (part¸ial˘a) ≤ pe L, dou˘a operat¸ii binare ∨ ¸si ∧ pe L, notate infixat, aceste elemente au propriet˘a¸tile: oricare ar fi x, y ∈ L, exist˘a sup{x, y } ¸si inf{x, y } ˆın posetul (L, ≤); ∨ ¸si ∧ sunt idempotente, comutative ¸si asociative, i. e.: pentru orice x, y , z ∈ L, au loc: x ∨ x = x, x ∨ y = y ∨ x, x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z, ¸si la fel pentru ∧; ∨ ¸si ∧ verific˘a absorbt¸ia: pentru orice x, y ∈ L, x ∨ (x ∧ y ) = x ¸si x ∧ (x ∨ y ) = x; ¸si sunt legate ˆıntre ele prin relat¸iile: pentru orice x, y ∈ L: x ≤ y ddac˘a x ∨ y = y ddac˘a x ∧ y = x; x ∨ y = sup{x, y }; x ∧ y = inf{x, y }. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

30 / 52

Latici m˘arginite Amintim:

Definit¸ie Un poset m˘arginit care este latice se nume¸ste latice m˘arginit˘a. Dac˘a exist˘a, primul element al (adic˘a minimul) unei latici se noteaz˘a, de obicei, cu 0. Dac˘a exist˘a, ultimul element al (adic˘a maximul) unei latici se noteaz˘a, de obicei, cu 1. O latice m˘arginit˘a va fi notat˘a (L, ≤, 0, 1), sau (L, ∨, ∧, 0, 1), sau (L, ∨, ∧, ≤, 0, 1), cu notat¸iile prezentate mai sus. O latice m˘arginit˘a se mai nume¸ste latice cu 0 ¸si 1 sau latice cu prim ¸si ultim element.

Definit¸ie Laticea m˘arginit˘a cu un singur element (adic˘a laticea m˘arginit˘a cu 0 = 1) se nume¸ste laticea m˘arginit˘a trivial˘a. Orice latice m˘arginit˘a de cardinal strict mai mare decˆat 1 (adic˘a orice latice m˘arginit˘a ˆın care 0 6= 1) se nume¸ste latice m˘arginit˘a netrivial˘a. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

31 / 52

Produs direct de latici

Exercit¸iu (tem˘a pentru acas˘a) S˘a se demonstreze c˘a un produs direct arbitrar de latici (m˘arginite) este o latice (m˘arginit˘a).

Exercit¸iu (tem˘a pentru seminar) Pentru un num˘ar natural nenul arbitrar n, s˘a se descompun˘a laticea m˘arginit˘a (Dn := {d ∈ N | d|n}, cmmmc, cmmdc, |, 1, n) ˆın produs direct de lant¸uri.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

32 / 52

Complementul unui element ˆıntr–o latice m˘arginit˘a Amintim:

Definit¸ie Fie (L, ∨, ∧, 0, 1) latice m˘arginit˘a. Un element x ∈ L se zice complementat ddac˘a exist˘a un element y ∈ L a. ˆı. x ∨ y = 1 ¸si x ∧ y = 0. Un astfel de element y se nume¸ste complement al lui x. O latice m˘arginit˘a se zice complementat˘a ddac˘a toate elementele sale sunt complementate.

Remarc˘a ˆIn mod evident, dac˘a (L, ∨, ∧, 0, 1) este o latice m˘arginit˘a ¸si x, y ∈ L sunt a. ˆı. y este un complement al lui x, atunci x este un complement al lui y , dup˘a cum arat˘a comutativitatea lui ∨ ¸si ∧.

Remarc˘a ˆIn orice latice m˘arginit˘a (L, ∨, ∧, 0, 1), 0 ¸si 1 sunt complemente unul altuia ¸si niciunul dintre ele nu are alte complemente. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

33 / 52

Latici distributive Amintim:

Propozit¸ie ˆIn orice latice (L, ∨, ∧), urm˘atoarele dou˘a afirmat¸ii, numite legile de distributivitate, sunt echivalente: (d1 ) pentru orice x, y , z ∈ L, x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z); (d2 ) pentru orice x, y , z ∈ L, x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z).

Definit¸ie O latice se zice distributiv˘a ddac˘a satisface una (¸si deci pe amˆandou˘a) dintre condit¸iile (d1 ) ¸si (d2 ) din propozit¸ia precedent˘a.

Remarc˘a ˆIn orice latice distributiv˘a m˘arginit˘a, complementul unui element, dac˘a exist˘a, este unic. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

34 / 52

1

Preliminarii despre algebre produs direct

2

Latici

3

Algebre Boole

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

35 / 52

Algebre Boole – definit¸ie ¸si notat¸ii Definit¸ie O algebr˘a Boole (sau algebr˘a boolean˘a) este o latice m˘arginit˘a distributiv˘a complementat˘a.

Notat¸ie Remarca anterioar˘a arat˘a c˘a, ˆıntr–o algebr˘a Boole, datorit˘a distributivit˘a¸tii, complementul oric˘arui element x este unic, ceea ce ne permite s˘a ˆıl not˘am prin x (sau ¬ x). Existent¸a complementului oric˘arui element al unei algebre Boole de mult¸ime suport B (existent¸˘a impus˘a ˆın definit¸ia anterioar˘a), al˘aturi de unicitatea complementului, ne dau posibilitatea de a defini o operat¸ie unar˘a · : B → B (sau ¬ : B → B), care duce fiecare element al lui B ˆın complementul s˘au. Aceast˘a operat¸ie se va numi complementare ¸si se va citi not. O algebr˘a Boole va fi notat˘a (B, ≤, ·, 0, 1), sau (B, ∨, ∧, ·, 0, 1), sau (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1), unde (B, ∨, ∧, ≤, 0, 1) este laticea distributiv˘a m˘arginit˘a subiacent˘a algebrei Boole, iar · este operat¸ia ei de complementare. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

36 / 52

Exemple de algebre Boole

La fel ca ˆın cazul laticilor m˘arginite:

Remarc˘a O algebr˘a Boole nu poate fi vid˘a, pentru c˘a are minim ¸si maxim.

Definit¸ie Algebra Boole cu un singur element (adic˘a algebra Boole cu 0 = 1, anume lant¸ul cu un singur element, L1 ) se nume¸ste algebra Boole trivial˘a. Orice algebr˘a Boole de cardinal strict mai mare decˆat 1 (i. e. orice algebr˘a Boole cu cel put¸in 2 elemente, adic˘a orice algebr˘a Boole cu 0 6= 1) se nume¸ste algebr˘a Boole netrivial˘a.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

37 / 52

Exemple de algebre Boole Exemplu Lant¸ul cu dou˘a elemente este o algebr˘a Boole. ˆIntr–adev˘ar, (L2 = {0, 1}, ≤), cu 0 < 1 (i. e. 0 ≤ 1 ¸si 0 6= 1): este un lant¸, deci o latice distributiv˘a, cu ∨ = max ¸si ∧ = min (a se vedea un rezultat dintr–un curs anterior); este, evident, o latice m˘arginit˘a; are proprietatea c˘a 0 ¸si 1 sunt complemente unul altuia ¸si nu au alte complemente (fapt valabil ˆın orice latice m˘arginit˘a), deci 0 = 1 ¸si 1 = 0. A¸sadar, (L2 , ∨ = max, ∧ = min, ≤, ·, 0, 1) este o algebr˘a Boole. Aceast˘a algebr˘a Boole se nume¸ste algebra Boole standard ¸si are urm˘atoarea diagram˘a Hasse ca poset: 1r r 0 Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

38 / 52

Exemple de algebre Boole

Exercit¸iu (tem˘a pentru acas˘a) Demonstrat¸i c˘a singurele algebre Boole total ordonate sunt algebra Boole trivial˘a ¸si algebra Boole standard. Indicat¸ie: presupunet¸i prin absurd c˘a exist˘a o algebr˘a Boole care s˘a fie un lant¸ (L, max, min, ≤, ·, 0, 1) cu cel put¸in 3 elemente, adic˘a exist˘a x ∈ L \ {0, 1}. L fiind total ordonat˘a, avem: x ≤ x sau x ≤ x. Cine este x, conform definit¸iei complementului?

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

39 / 52

Exemple de algebre Boole

Remarc˘a Se arat˘a imediat, direct cu definit¸ia unei algebre Boole, c˘a orice produs direct de algebre Boole este o algebr˘a Boole, cu operat¸iile ¸si ordinea part¸ial˘a definite punctual.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

40 / 52

Exemple de algebre Boole Remarc˘a ˆIn particular, considerˆand algebra Boole standard L2 ¸si o mult¸ime arbitrar˘a I , remarca anterioar˘a ne asigur˘a de faptul c˘a LI2 este o algebr˘a Boole. Care sunt operat¸iile ei de algebr˘a Boole ¸si ordinea ei part¸ial˘a? Considerˆand reprezentarea elementelor sale ca funct¸ii de la I la L2 , avem: LI2 = {f |f : I → L2 }. Operat¸iile de algebr˘a Boole ¸si ordinea part¸ial˘a pe aceste funct¸ii vor fi definite punctual, pornind de la cele ale algebrei Boole standard, (L2 , ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1): pentru orice f , g ∈ LI2 : f ∨ g , f ∧ g , f , 0, 1 ∈ LI2 , definite prin: pentru orice i ∈ I : (f ∨ g )(i) = f (i) ∨ g (i) (f ∧ g )(i) = f (i) ∧ g (i) f (i) = f (i) 0(i) = 0 ¸si 1(i) = 1

f ≤ g ddac˘a f (i) ≤ g (i) pentru fiecare i ∈ I .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

41 / 52

Exemple de algebre Boole

Remarc˘a Aplicˆand remarca anterioar˘a cazului ˆın care I este finit˘a, de cardinal n ∈ N, obt¸inem c˘a Ln2 este o algebr˘a Boole. L02 = L1 este algebra Boole trivial˘a. L12 = L2 este algebra Boole standard. Urm˘atoarele exemple prezint˘a algebrele Boole L22 ¸si L32 .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

42 / 52

Exemple de algebre Boole Exemplu Algebra Boole L22 se nume¸ste rombul, datorit˘a formei diagramei ei Hasse:

ar @

1r @

@r b

@r 0

Am notat: 0 = (0, 0), 1 = (1, 1), a = (0, 1), b = (1, 0), unde L2 = {0, 1}. Diagrama de mai sus este corect˘a, pentru c˘a ordinea part¸ial˘a produs, ≤, satisface: (0, 0) ≤ (0, 1) ≤ (1, 1), (0, 0) ≤ (1, 0) ≤ (1, 1), (0, 1) ¸si (1, 0) sunt incomparabile ((0, 1)  (1, 0) ¸si (1, 0)  (0, 1), pentru c˘a 1  0 ˆın L2 ). Definit¸iile operat¸iilor de algebr˘a Boole se fac pe componente, pornind de la cele ale lui L2 (de exemplu, a ∨ b = (0, 1) ∨ (1, 0) = (0 ∨ 1, 1 ∨ 0) = (1, 1) = 1), dar pot fi determinate ¸si din diagrama Hasse a acestei algebre Boole. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

43 / 52

Exemple de algebre Boole Exemplu Algebra Boole L32 se nume¸ste cubul, datorit˘a formei diagramei ei Hasse: 1 r @ xr ry @rz @ @ r @r @ r a@ b c @r 0 Cu notat¸ia uzual˘a L2 = {0, 1} pentru elementele algebrei Boole standard, elementele din diagrama Hasse de mai sus sunt: 0 = (0, 0, 0), a = (0, 0, 1), b = (0, 1, 0), c = (1, 0, 0), x = (0, 1, 1), y = (1, 0, 1), z = (1, 1, 0) ¸si 1 = (1, 1, 1).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

44 / 52

Exemple de algebre Boole

Exemplu Pentru orice mult¸ime I , (P(I ), ∪, ∩, ⊆, ·, ∅, I ), unde A = I \ A pentru orice A ∈ P(I ), este o algebr˘a Boole. Acest fapt poate fi verificat foarte u¸sor, cu definit¸ia unei algebre Boole, folosind funct¸iile caracteristice ale submult¸imilor lui I raportat la I sau, direct, calcul cu mult¸imi pentru a demonstra propriet˘a¸tile operat¸iilor lui P(I ).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

45 / 52

Operat¸ii derivate ˆıntr–o algebr˘a Boole

Notat¸ie ˆIn orice algebr˘a Boole (B, ∨, ∧, ·, 0, 1), se definesc urm˘atoarele operat¸ii binare derivate: implicat¸ia (boolean˘a), →: pentru orice a, b ∈ B, a → b := a ∨ b; echivalent¸a (boolean˘a), ↔: pentru orice a, b ∈ B, a ↔ b := (a → b) ∧ (b → a).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

46 / 52

Subalgebre Boole

Definit¸ie Dat˘a o algebr˘a Boole (B, ∨, ∧, ·, 0, 1), o submult¸ime S a lui B se nume¸ste subalgebr˘a Boole a lui B ddac˘a este ˆınchis˘ a la operat¸iile de algebr˘ a Boole ale lui B, i. e.: pentru orice x, y ∈ S, rezult˘a x ∨ y , x ∧ y ∈ S; pentru orice x ∈ S, rezult˘a x ∈ S; 0, 1 ∈ S.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

47 / 52

Subalgebre Boole Remarc˘a Este imediat c˘a o subalgebr˘a Boole S a unei algebre Boole B este o algebr˘ a Boole cu operat¸iile induse pe S de operat¸iile de algebr˘a Boole ale lui B ¸si cu ordinea part¸ial˘a indus˘a pe S de ordinea part¸ial˘a a lui B.

Notat¸ie Cu notat¸iile de mai sus, operat¸iile induse (adic˘a restrict¸iile la S ale operat¸iilor lui B) se noteaz˘a, de obicei, la fel ca operat¸iile de algebr˘a Boole ale lui B, iar ordinea part¸ial˘ a indus˘ a (adic˘a ordinea part¸ial˘ a a lui B restrict¸ionat˘ a la S) se noteaz˘a, de obicei, la fel ca ordinea part¸ial˘a a lui B.

Remarc˘a Este imediat c˘a orice subalgebr˘a Boole S a unei algebre Boole B este ˆınchis˘ a la operat¸iile derivate → ¸si ↔ ale lui B (adic˘a x → y , x ↔ y ∈ S pentru orice x, y ∈ S), ¸si c˘a operat¸iile pe care acestea le induc pe S sunt exact implicat¸ia ¸si, respectiv, echivalent¸a algebrei Boole S (notate, ˆın mod uzual, la fel ca implicat¸ia ¸si, respectiv, echivalent¸a lui B). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

48 / 52

Morfisme booleene Definit¸ie Date dou˘a algebre Boole (A, ∨, ∧, ·, 0, 1) ¸si (B, t, u, ¬ , ⊥, >), o funct¸ie f : A → B se nume¸ste morfism boolean (sau morfism de algebre Boole) ddac˘a f comut˘ a cu operat¸iile de algebre Boole ale lui A ¸si B, i. e. ddac˘a f este morfism de latici m˘arginite ˆıntre (A, ∨, ∧, 0, 1) ¸si (B, t, u, ⊥, >) ¸si, pentru orice x ∈ A, f (x) = ¬ (f (x)). Un endomorfism boolean este un morfism boolean ˆıntre o algebr˘a Boole ¸si ea ˆıns˘a¸si. Un izomorfism boolean este un morfism boolean bijectiv, ceea ce este acela¸si lucru cu un morfism boolean inversabil, pentru c˘a inversa unui morfism Boolean bijectiv este morfism boolean, ceea ce se observ˘a imediat, dac˘a aplic˘am rezultatul similar de la latici (tem˘ a pentru acas˘ a). Un automorfism boolean este un izomorfism boolean ˆıntre o algebr˘a Boole ¸si ea ˆıns˘a¸si, adic˘a un endomorfism boolean bijectiv.

Remarc˘a (tem˘a) Orice morfism boolean comut˘a cu implicat¸ia ¸si echivalent¸a boolean˘a. Compunerea a dou˘a morfisme booleene este un morfism boolean. Imaginea unui morfism boolean este o subalgebr˘a Boole a codomeniului acelui morfism boolean. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

49 / 52

Algebre Boole izomorfe Propozit¸ie Pentru orice mult¸ime I , algebrele Boole (P(I ), ∪, ∩, ·, ∅, I ) ¸si (LI2 , ∨, ∧, ·, 0, 1) sunt izomorfe (i. e. exist˘a un izomorfism boolean ˆıntre ele). Demonstrat¸ie: Dac˘a I = ∅, atunci cele dou˘a algebre Boole din enunt¸ coincid cu algebra Boole trivial˘a, a¸sadar sunt izomorfe, cu izomorfismul boolean dat de identitatea algebrei Boole triviale. ˆIn cele ce urmeaz˘a, vom considera I nevid˘a. Putem considera L2 = {0, 1} ⊂ N, ceea ce ne permite s˘a exprim˘am operat¸iile de algebr˘a Boole ale lui (L2 , ∨, ∧, ·, 0, 1) ˆın funct¸ie de operat¸iile aritmetice +, − ¸si · de pe N, astfel: pentru orice x, y ∈ L2 = {0, 1}:   x ∨ y = max{x, y } = x + y − x · y , x ∧ y = min{x, y } = x · y ,   x = 1 − x. Aceste egalit˘a¸ti pot fi verificate u¸sor, de exemplu prin considerarea tuturor cazurilor privind valorile posibile ale lui x, y ∈ L2 = {0, 1}. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

50 / 52

Algebre Boole izomorfe A¸sadar, ˆın algebra Boole (LI2 = {f |f : I → L2 }, ∨, ∧, ·, 0, 1), operat¸iile sunt definite punctual pe baza celor ale lui L2 , astfel: 0 : I → L2 , pentru orice i ∈ I , 0(i) := 0; 1 : I → L2 , pentru orice i ∈ I , 1(i) := 1; pentru orice f : I → L2 , f : I → L2 , definit˘a prin: oricare ar fi i ∈ I , f (i) := f (i) = 1 − f (i) = (1 − f )(i), unde 1 este funct¸ia constant˘a de mai sus; a¸sadar f = 1 − f ; pentru orice f : I → L2 ¸si g : I → L2 , f ∨ g : I → L2 , definit˘a prin: oricare ar fi i ∈ I , (f ∨ g )(i) := f (i) ∨ g (i) = f (i) + g (i) − f (i) · g (i) = (f + g − f · g )(i); a¸sadar f ∨ g = f + g − f · g ; pentru orice f : I → L2 ¸si g : I → L2 , f ∧ g : I → L2 , definit˘a prin: oricare ar fi i ∈ I , (f ∧ g )(i) := f (i) ∧ g (i) = f (i) · g (i) = (f · g )(i); a¸sadar f ∧ g = f · g .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

51 / 52

Algebre Boole izomorfe

Amintim c˘a am demonstrat c˘a urm˘atoarea funct¸ie este o biject¸ie: ϕ : P(I ) → LI2 , definit˘a prin: oricare ar fi A ∈ P(I ), ϕ(A) := χA ∈ LI2 = {f |f : I → L2 } (funct¸ia caracteristic˘a a lui A raportat la I ). ˆIn cele ce urmeaz˘a, vom aplica propriet˘a¸tile funct¸iilor caracteristice. ϕ(∅) = χ∅ = 0 ¸si ϕ(I ) = χI = 1. Pentru orice A ∈ P(I ), ϕ(A) = χA = χI \A = 1 − χA = 1 − ϕ(A) = ϕ(A). Pentru orice A, B ∈ P(I ), ϕ(A∪B) = χ(A∪B) = χA +χB −χA ·χB = ϕ(A)+ϕ(B)−ϕ(A)·ϕ(B) = ϕ(A)∨ϕ(B). Pentru orice A, B ∈ P(I ), ϕ(A ∩ B) = χ(A∩B) = χA · χB = ϕ(A) · ϕ(B) = ϕ(A) ∧ ϕ(B). A¸sadar ϕ este un morfism boolean, iar faptul c˘a este ¸si bijectiv˘a arat˘a c˘a ϕ este un izomorfism boolean.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs VIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

52 / 52

Logic˘a matematic˘a ¸si computat¸ional˘a Cursul IX Claudia MURES ¸ AN [email protected] Universitatea din Bucure¸sti Facultatea de Matematic˘ a ¸si Informatic˘ a Bucure¸sti

2011-2012, semestrul I

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

1 / 24

1

Algebre Boole

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

2 / 24

Algebre Boole

ˆIn acest curs vom continua studiul algebrelor Boole (caz particular de latici).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

3 / 24

Definit¸ia unei algebre Boole Amintim c˘a: o algebr˘ a Boole este o latice distributiv˘ a m˘ arginit˘ a complementat˘ a, i. e. o structur˘a (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1) compus˘a din: o mult¸ime B, o relat¸ie de ordine part¸ial˘a ≤ pe B, dou˘a operat¸ii binare ∨ ¸si ∧ pe B, notate infixat, dou˘a constante 0, 1 ∈ B, o operat¸ie unar˘a · pe B, iar aceste componente au propriet˘a¸tile: (B, ∨, ∧, ≤) este o latice, i. e.: oricare ar fi x, y ∈ B, exist˘ a sup{x, y } ¸si inf{x, y } ˆın posetul (B, ≤); ∨ ¸si ∧ sunt idempotente, comutative ¸si asociative, i. e.: pentru orice x, y , z ∈ B, au loc: x ∨ x = x, x ∨ y = y ∨ x, x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z, ¸si la fel pentru ∧; ∨ ¸si ∧ verific˘ a absorbt¸ia: pentru orice x, y ∈ B, x ∨ (x ∧ y ) = x ¸si x ∧ (x ∨ y ) = x; pentru orice x, y ∈ B, x ≤ y ddac˘ a x ∨ y = y ddac˘ a x ∧ y = x; pentru orice x, y ∈ B, x ∨ y = sup{x, y }; pentru orice x, y ∈ B, x ∧ y = inf{x, y }; Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

4 / 24

Definit¸ia unei algebre Boole laticea (B, ∨, ∧, ≤) este distributiv˘ a, i. e.: ∨ este distributiv˘ a fat¸˘ a de ∧, i. e.: pentru orice x, y , z ∈ B, x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z); ∧ este distributiv˘ a fat¸˘ a de ∨, i. e.: pentru orice x, y , z ∈ B, x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z);

(B, ∨, ∧, ≤, 0, 1) este o latice m˘ arginit˘ a, i. e., ˆın plus: 0 este minimul posetului (B, ≤); 1 este maximul posetului (B, ≤);

laticea m˘arginit˘a (B, ∨, ∧, ≤, 0, 1) este complementat˘ a ¸si satisface unicitatea complementului, datorit˘a distributivit˘ a¸tii, iar · este operat¸ia de complementare: pentru orice x ∈ B, x  este unicul complement al lui x, adic˘ a unicul element  x ∨ x = 1  x ∈ B care satisface: ¸si   x ∧ x = 0.

ˆIn plus, ˆın orice algebr˘a Boole (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1), se definesc urm˘atoarele operat¸ii binare derivate: implicat¸ia (boolean˘ a), →: pentru orice x, y ∈ B, x → y := x ∨ y ; echivalent¸a (boolean˘ a), ↔: pentru orice x, y ∈ B, x ↔ y := (x → y ) ∧ (y → x). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

5 / 24

Exemple de algebre Boole

La fel ca ˆın cazul laticilor m˘arginite:

Remarc˘a O algebr˘a Boole nu poate fi vid˘a, pentru c˘a are minim ¸si maxim.

Definit¸ie Algebra Boole cu un singur element (adic˘a algebra Boole cu 0 = 1, anume lant¸ul cu un singur element, L1 ) se nume¸ste algebra Boole trivial˘a. Orice algebr˘a Boole de cardinal strict mai mare decˆat 1 (i. e. orice algebr˘a Boole cu cel put¸in 2 elemente, adic˘a orice algebr˘a Boole cu 0 6= 1) se nume¸ste algebr˘a Boole netrivial˘a.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

6 / 24

Exemple de algebre Boole Exemplu Lant¸ul cu dou˘a elemente este o algebr˘a Boole. ˆIntr–adev˘ar, (L2 = {0, 1}, ≤), cu 0 < 1 (i. e. 0 ≤ 1 ¸si 0 6= 1): este un lant¸, deci o latice distributiv˘a, cu ∨ = max ¸si ∧ = min; este, evident, o latice m˘arginit˘a; are proprietatea c˘a 0 ¸si 1 sunt complemente unul altuia ¸si nu au alte complemente (fapt valabil ˆın orice latice m˘arginit˘a), deci 0 = 1 ¸si 1 = 0. A¸sadar, (L2 , ∨ = max, ∧ = min, ≤, ·, 0, 1) este o algebr˘a Boole. Aceast˘a algebr˘a Boole se nume¸ste algebra Boole standard ¸si are urm˘atoarea diagram˘a Hasse ca poset: 1r r 0 Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

7 / 24

Exemple de algebre Boole Remarc˘a Se arat˘a imediat, direct cu definit¸ia unei algebre Boole, c˘a orice produs direct de algebre Boole este o algebr˘a Boole, cu operat¸iile ¸si ordinea part¸ial˘a definite punctual.

Remarc˘a ˆIn particular, considerˆand algebra Boole standard L2 ¸si o mult¸ime arbitrar˘a I , remarca anterioar˘a ne asigur˘a de faptul c˘a produsul direct (LI2 = {f |f : I → L2 }, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1) este o algebr˘a Boole, cu operat¸iile ¸si ordinea part¸ial˘a definite punctual, pornind de la cele ale algebrei Boole standard (L2 , ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1): pentru orice f , g ∈ LI2 , f ∨ g , f ∧ g , f , 0, 1 ∈ LI2 , definite prin: pentru orice i ∈ I: (f ∨ g )(i) := f (i) ∨ g (i) (f ∧ g )(i) := f (i) ∧ g (i) f (i) := f (i) 0(i) := 0 ¸si 1(i) := 1

iar f ≤ g ˆın LI2 dac˘a, pentru fiecare i ∈ I , f (i) ≤ g (i) ˆın L2 . Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

8 / 24

Exemple de algebre Boole Remarc˘a Aplicˆand remarca anterioar˘a cazului ˆın care I este finit˘a, de cardinal n ∈ N, obt¸inem c˘a (Ln2 = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | x1 , x2 , . . . , xn ∈ L2 = {0, 1}}, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1) este o algebr˘a Boole, cu operat¸iile ¸si relat¸ia de ordine definite pe componente, pornind de la cele ale algebrei Boole standard (L2 , ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1): pentru orice x 1 , x 2 , . . . , x n , y 1 , y 2 , . . . , y n ∈ L2 : (x1 , x2 , . . . , xn ) ∨ (y1 , y2 , . . . , yn ) := (x1 ∨ y1 , x2 ∨ y2 , . . . , xn ∨ yn ) (x1 , x2 , . . . , xn ) ∧ (y1 , y2 , . . . , yn ) := (x1 ∧ y1 , x2 ∧ y2 , . . . , xn ∧ yn ) (x1 , x2 , . . . , xn ) := (x1 , x2 , . . . , xn ) 0 := (0, 0, . . . , 0) ¸si 1 := (1, 1, . . . , 1) | {z } | {z } n de 0 n de 1 (x1 , x2 , . . . , xn ) ≤ (y1 , y2 , . . . , yn ) ˆın Ln2 ddac˘a x1 ≤ y1 , x2 ≤ y2 , . . ., xn ≤ yn ˆın L2

L02 = L1 este algebra Boole trivial˘a. L12 = L2 este algebra Boole standard. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

9 / 24

Exemple de algebre Boole Exemplu Algebra Boole L22 se nume¸ste rombul, datorit˘a formei diagramei ei Hasse:

ar @

1r @

@r b

@r 0

Am notat: 0 = (0, 0), 1 = (1, 1), a = (0, 1), b = (1, 0), unde L2 = {0, 1}. Diagrama de mai sus este corect˘a, pentru c˘a ordinea part¸ial˘a produs, ≤, satisface: (0, 0) ≤ (0, 1) ≤ (1, 1), (0, 0) ≤ (1, 0) ≤ (1, 1), (0, 1) ¸si (1, 0) sunt incomparabile ((0, 1)  (1, 0) ¸si (1, 0)  (0, 1), pentru c˘a 1  0 ˆın L2 ). Definit¸iile operat¸iilor de algebr˘a Boole se fac pe componente, pornind de la cele ale lui L2 (de exemplu, a ∨ b = (0, 1) ∨ (1, 0) = (0 ∨ 1, 1 ∨ 0) = (1, 1) = 1), dar pot fi determinate ¸si din diagrama Hasse a acestei algebre Boole. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

10 / 24

Exemple de algebre Boole Exemplu Algebra Boole L32 se nume¸ste cubul, datorit˘a formei diagramei ei Hasse: 1 r @ xr ry @rz @ @ r @r @ r a@ b c @r 0 Cu notat¸ia uzual˘a L2 = {0, 1} pentru elementele algebrei Boole standard, elementele din diagrama Hasse de mai sus sunt: 0 = (0, 0, 0), a = (0, 0, 1), b = (0, 1, 0), c = (1, 0, 0), x = (0, 1, 1), y = (1, 0, 1), z = (1, 1, 0) ¸si 1 = (1, 1, 1).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

11 / 24

Exemple de algebre Boole

Exemplu Pentru orice mult¸ime I , (P(I ), ∪, ∩, ⊆, ·, ∅, I ), unde A = I \ A pentru orice A ∈ P(I ), este o algebr˘a Boole. Acest fapt poate fi verificat foarte u¸sor, cu definit¸ia unei algebre Boole, folosind funct¸iile caracteristice ale submult¸imilor lui I raportat la I sau, direct, calcul cu mult¸imi pentru a demonstra propriet˘a¸tile operat¸iilor lui P(I ).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

12 / 24

Algebre Boole

Peste tot ˆın cele ce urmeaz˘a, B := (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1) va fi o algebr˘a Boole arbitrar˘a.

Remarc˘a (complementarea este idempotent˘a) Pentru orice x ∈ B, x = x. Acest fapt se arat˘a direct cu definit¸ia complementului, folosind unicitatea lui ˆın algebre Boole. ˆIntr–adev˘ar, definit¸ia complementului x al lui x arat˘a c˘a x satisface condit¸iile care definesc complementul x al lui x, a¸sadar x = x.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

13 / 24

Principiul dualit˘a¸tii pentru algebre Boole Remarc˘a Se arat˘a u¸sor c˘a (B, ∧, ∨, ≥, ·, 1, 0) este o algebr˘a Boole, numit˘a duala algebrei Boole B. Se ¸stia, din capitolul despre latici al cursului, c˘a: ∨ ¸si ∧, ≤ ¸si ≥:=≤−1 , 0 ¸si 1 sunt duale una alteia, respectiv. Este imediat c˘a operat¸ia unar˘a · este dual˘a ei ˆıns˘a¸si. Spunem c˘a operat¸ia · este autodual˘a. Evident, duala dualei lui B este B. Remarca anterioar˘a st˘a la baza Principiului dualit˘ a¸tii pentru algebre Boole: orice rezultat valabil ˆıntr–o algebr˘a Boole arbitrar˘a r˘amˆane valabil dac˘a peste tot ˆın cuprinsul lui interschimb˘am: ∨ cu ∧, ≤ cu ≥, 0 cu 1 (iar operat¸ia · r˘amˆane neschimbat˘a). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

14 / 24

Legile lui de Morgan

Propozit¸ie (legile lui de Morgan) Pentru orice x, y ∈ B: 1 2

x ∨y =x ∧y x ∧y =x ∨y

Demonstrat¸ie: (1) Avem de ar˘atat c˘a x ∧ y este complementul lui x ∨ y . Conform definit¸iei ¸si unicit˘a¸tii complementului, este suficient s˘a demonstr˘am c˘a: (x ∨ y ) ∨ (x ∧ y ) = 1 ¸si (x ∨ y ) ∧ (x ∧ y ) = 0. Aplic˘am distributivitatea, comutativitatea, definit¸ia complementului ¸si faptul c˘a 0 ¸si 1 sunt minimul ¸si, respectiv, maximul lui B: x ∨ y ∨ (x ∧ y ) = (x ∨ y ∨ x) ∧ (x ∨ y ∨ y ) = (1 ∨ y ) ∧ (x ∨ 1) = 1 ∧ 1 = 1; (x ∨ y ) ∧ x ∧ y = (x ∧ x ∧ y ) ∨ (y ∧ x ∧ y ) = (0 ∧ y ) ∨ (x ∧ 0) = 0 ∨ 0 = 0. (2) Rezult˘a din (1), prin dualitate.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

15 / 24

Subalgebre Boole Definit¸ie O submult¸ime S a lui B se nume¸ste subalgebr˘a Boole a lui B ddac˘a este ˆınchis˘ a la operat¸iile de algebr˘ a Boole ale lui B, i. e.: 1 2 3 4

pentru orice x, y ∈ S, rezult˘a x ∨ y ∈ S; pentru orice x, y ∈ S, rezult˘a x ∧ y ∈ S; pentru orice x ∈ S, rezult˘a x ∈ S; 0, 1 ∈ S.

Propozit¸ie Au loc urm˘atoarele implicat¸ii ˆıntre cele 4 propriet˘a¸ti din definit¸ia unei subalgebre Boole, aplicate unei submult¸imi nevide S a lui B: (1) ⇐ (2), (3) (2) ⇐ (1), (3) (4) ⇐ (1), (2), (3) (3) : (1), (2), (4) Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

16 / 24

Subalgebre Boole Demonstrat¸ie: Fie ∅ = 6 S ⊆ B. “(1) ⇐ (2), (3) :“ Presupunem c˘a S satisface (2) ¸si (3). Fie x, y ∈ S. Conform (3), (2), legilor lui de Morgan ¸si idempotent¸ei complement˘arii, rezult˘a c˘a x, y ∈ S, deci x ∧ y ∈ S, deci x ∧ y ∈ S, dar x ∧ y = x ∨ y = x ∨ y , a¸sadar x ∨ y ∈ S. “(2) ⇐ (1), (3) :“ Prin dualitate, din implicat¸ia anterioar˘a. “(4) ⇐ (1), (2), (3) :“ Fie x ∈ S, arbitrar. Atunci, conform (3), (1) ¸si (2), rezult˘a x ∈ S, deci 1 = x ∨ x ∈ S ¸si 0 = x ∧ x ∈ S. “(3) : (1), (2), (4) :“ De exemplu, ˆın L22 (rombul, cu diagrama Hasse figurat˘a mai jos), considerˆand S := {0, a, 1}, se observ˘a c˘a S satisface (1), (2) ¸si (4), dar nu satisface (3), ˆıntrucˆat a = b ∈ / S.

ar @

1r @

@r b

@r 0

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

17 / 24

Subalgebre Boole Remarc˘a Proprietatea (4) din definit¸ia unei subalgebre Boole arat˘a c˘a orice subalgebr˘a Boole S este nevid˘a, fapt implicat ¸si de remarca de mai jos.

Remarc˘a Este imediat c˘a o subalgebr˘a Boole S a unei algebre Boole B este o algebr˘a Boole cu operat¸iile induse pe S de operat¸iile de algebr˘a Boole ale lui B ¸si cu ordinea part¸ial˘a indus˘a pe S de ordinea part¸ial˘a a lui B.

Notat¸ie Operat¸iile induse (adic˘a restrict¸iile la S ale operat¸iilor lui B) se noteaz˘a, de obicei, la fel ca operat¸iile de algebr˘a Boole ale lui B, iar ordinea part¸ial˘a indus˘a (adic˘a ordinea part¸ial˘a a lui B restrict¸ionat˘a la S) se noteaz˘a, de obicei, la fel ca ordinea part¸ial˘a a lui B.

Remarc˘a Este imediat c˘a orice subalgebr˘a Boole S a unei algebre Boole B este ˆınchis˘a la operat¸iile derivate → ¸si ↔ ale lui B (adic˘a x → y , x ↔ y ∈ S pentru orice x, y ∈ S), ¸si c˘a operat¸iile pe care acestea le induc pe S sunt exact implicat¸ia ¸si, respectiv, echivalent¸a algebrei Boole S (notate, ˆın mod uzual, la fel ca implicat¸ia ¸si, respectiv, echivalent¸a lui B). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

18 / 24

Morfisme booleene ˆIn cele ce urmeaz˘a, renunt¸˘am la fixarea algebrei Boole notate B.

Definit¸ie Date dou˘a algebre Boole (A, ∨, ∧, ·, 0, 1) ¸si (B, t, u, ¬ , ⊥, >), o funct¸ie f : A → B se nume¸ste morfism boolean (sau morfism de algebre Boole) ddac˘a f comut˘ a cu operat¸iile de algebre Boole ale lui A ¸si B, i. e. ddac˘a f este morfism de latici m˘arginite ˆıntre (A, ∨, ∧, 0, 1) ¸si (B, t, u, ⊥, >) ¸si, pentru orice x ∈ A, f (x) = ¬ (f (x)). Scris desf˘a¸surat, o funct¸ie f : A → B este morfism boolean ddac˘a: 1 pentru orice x, y ∈ A, f (x ∨ y ) = f (x) t f (y ) 2 pentru orice x, y ∈ A, f (x ∧ y ) = f (x) u f (y ) 3 pentru orice x ∈ A, f (x) = ¬ (f (x)) 4 f (0) =⊥ ¸si f (1) = > Un endomorfism boolean (sau endomorfism de algebre Boole) este un morfism boolean ˆıntre o algebr˘a Boole ¸si ea ˆıns˘a¸si. Un izomorfism boolean (sau izomorfism de algebre Boole) este un morfism boolean bijectiv, ceea ce este acela¸si lucru cu un morfism boolean inversabil, pentru c˘a inversa unui morfism Boolean bijectiv este morfism boolean, ceea ce se observ˘a imediat, dac˘a aplic˘am rezultatul similar de la latici (tem˘ a pentru acas˘ a). Un automorfism boolean (sau automorfism de algebre Boole) este un izomorfism boolean ˆıntre o algebr˘a Boole ¸si ea ˆıns˘a¸si, adic˘a un endomorfism boolean bijectiv. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

19 / 24

Morfisme booleene Propozit¸ie Cu notat¸iile din definit¸ia anterioar˘a, au loc urm˘atoarele implicat¸ii ˆıntre cele 4 propriet˘a¸ti ale unui morfism boolean, aplicate unei funct¸ii f : A → B: (1) ⇐ (2), (3) (2) ⇐ (1), (3) (3) ⇐ (1), (2), (4) (4) ⇐ (1), (2), (3) Demonstrat¸ie: Fie f : A → B o funct¸ie. “(1) ⇐ (2), (3) :“ Dac˘a f satisface (2) ¸si (3), atunci, pentru orice x, y ∈ A, f (x ∨ y ) = f (x ∨ y ) = f (x ∧ y ) = ¬ f (x ∧ y ) = ¬ (f (x) u f (y )) = ¬ (¬ f (x) u ¬ f (y )) = ¬ ¬ f (x) t ¬ ¬ f (y ) = f (x) t f (y ). Am aplicat idempotent¸a complement˘arii ¸si legile lui de Morgan. “(2) ⇐ (1), (3) :“ Rezult˘a, prin dualitate, din prima implicat¸ie. “(3) ⇐ (1), (2), (4) :“ Dac˘a f satisface (1), (2) ¸si (4), atunci, pentru orice x ∈ A, ⊥= f (0) = f (x ∧ x) = f (x) u f (x) ¸si > = f (1) = f (x ∨ x) = f (x) t f (x), ceea ce, conform definit¸iei ¸si unicit˘a¸tii complementului, arat˘a c˘a f (x) este complementul lui f (x) ˆın algebra Boole B, adic˘a f (x) = ¬ f (x). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

20 / 24

Morfisme booleene “(4) ⇐ (1), (2), (3) :“ Dac˘a f satisface (1), (2) ¸si (3), atunci, pentru orice x ∈ A, ⊥= f (x) u ¬ f (x) = f (x) u f (x) = f (x ∧ x) = f (0) ¸si, dual, > = f (1).

Remarc˘a (tem˘a) Orice morfism boolean comut˘a cu implicat¸ia ¸si echivalent¸a boolean˘a. Compunerea a dou˘a morfisme booleene este un morfism boolean. Imaginea unui morfism boolean este o subalgebr˘a Boole a codomeniului acelui morfism boolean.

Propozit¸ie Pentru orice mult¸ime I , algebrele Boole (P(I ), ∪, ∩, ·, ∅, I ) ¸si (LI2 , ∨, ∧, ·, 0, 1) sunt izomorfe (i. e. exist˘a un izomorfism boolean ˆıntre ele). Amintim dintr–un curs anterior c˘a, ˆın cazul ˆın care I 6= ∅, un izomorfism boolean ˆıntre aceste algebre Boole este f : P(I ) → LI2 , pentru orice A ∈ P(I ), f (A) := χA (funct¸ia caracteristic˘a a lui A raportat la I ). Iar, dac˘a I = ∅, atunci cele dou˘a algebre Boole din enunt¸ coincid cu algebra Boole trivial˘a, a¸sadar sunt izomorfe, cu izomorfismul boolean dat de identitatea algebrei Boole triviale. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

21 / 24

Alte propriet˘a¸ti aritmetice ale unei algebre Boole Propozit¸ie Fie (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1) o algebr˘a Boole. Atunci, pentru orice x, y ∈ B, au loc urm˘atoarele echivalent¸e: 1 2 3 4 5

x x x x x

=y ≤y ≤y ≤y =y

ddac˘a ddac˘a ddac˘a ddac˘a ddac˘a

x y x x x

=y ≤x ∧ y = 0 ddac˘a x ∨ y = 1 →y =1 ↔y =1

Demonstrat¸ie: Fie x, y ∈ B, arbitrare, fixate. (1) Urm˘atorul ¸sir de implicat¸ii demonstreaz˘a rezultatul de la acest punct: x = y implic˘a x = y implic˘a x = y , ceea ce este echivalent cu x = y , conform idempotent¸ei complement˘arii. (2) Aplicˆand, pe rˆand, definit¸ia relat¸iei de ordine ˆın funct¸ie de ∨, punctul (1), legile lui de Morgan ¸si definit¸ia relat¸iei de ordine ˆın funct¸ie de ∧ ˆın orice latice (¸si comutativitatea lui ∧), obt¸inem ¸sirul de echivalent¸e: x ≤ y ddac˘a x ∨ y = y ddac˘a x ∨ y = y ddac˘a x ∧ y = y ddac˘a y ≤ x. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

22 / 24

Alte propriet˘a¸ti aritmetice ale unei algebre Boole (3) Amintim, dintr–un curs anterior, faptul c˘a, ˆın orice latice, dac˘a elementele a, b, α, β satisfac inegalit˘a¸tile: a ≤ b ¸si α ≤ β, atunci a ∧ α ≤ b ∧ β. ˆIn particular, aplicˆand reflexivitatea unei relat¸ii de ordine, avem: dac˘a a ≤ b, atunci a ∧ α ≤ b ∧ α. A¸sadar, x ≤ y implic˘a x ∧ y ≤ y ∧ y = 0 implic˘a x ∧ y = 0. Am aplicat definit¸ia complementului ¸si faptul c˘a 0 este minimul lui B. Dac˘a x ∧ y = 0, atunci y = y ∨ 0 = y ∨ (x ∧ y ) = (y ∨ x) ∧ (y ∨ y ) = (y ∨ x) ∧ 1 = y ∨ x, prin urmare x ≤ y . Am aplicat faptul c˘a 0 este minimul lui B, distributivitatea lui ∨ fat¸˘a de ∧, definit¸ia complementului, faptul c˘a 1 este maximul lui B ¸si definit¸ia lui ≤ ˆın funct¸ie de ∨ ˆın orice latice (¸si comutativitatea lui ∨). Am demonstrat faptul c˘a x ≤ y ddac˘a x ∧ y = 0. Acum aplic˘am punctul (1), legile lui de Morgan, faptul evident c˘a 0 = 1 ¸si idempotent¸a complement˘arii, ¸si obt¸inem: x ∧ y = 0 ddac˘a x ∧ y = 0 ddac˘a x ∨ y = 1 ddac˘a x ∨ y = 1. (4) Din punctul (3) ¸si definit¸ia implicat¸iei booleene, obt¸inem: x ≤ y ddac˘a x ∨ y = 1 ddac˘a x → y = 1. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

23 / 24

Alte propriet˘a¸ti aritmetice ale unei algebre Boole

(5) S˘a observ˘am c˘a, oricare ar fi a, b ∈ B, are loc echivalent¸a: a ∧ b = 1 ddac˘a [a = 1 ¸si b = 1]. ˆIntr–adev˘ar, implicat¸ia direct˘a rezult˘a din faptul c˘a a ∧ b ≤ a ¸si a ∧ b ≤ b ¸si faptul c˘a 1 este maximul lui B, iar implicat¸ia reciproc˘a este trivial˘a. Reflexivitatea ¸si antisimetria lui ≤, punctul (4), proprietatea de mai sus ¸si definit¸ia echivalent¸ei booleene ne dau: x = y ddac˘a [x ≤ y ¸si y ≤ x] ddac˘a [x → y = 1 ¸si y → x = 1] ddac˘a (x → y ) ∧ (y → x) = 1 ddac˘a x ↔ y = 1.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs IX logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

24 / 24

Logica Matematica si Computationala CALCULUL PROPOZITIONAL CLASIC PC (II) Ioana Leu¸stean FMI, UB

15.12.2011

Evaluare (Interpretare) Valori de adevar Multimea valorilor de adevar este {0, 1} pe care consideram operatiile de algebra Boole. Definitie O evaluare(interpretare) este o functie e : Var → {0, 1}. Teorema Pentru orice evaluare e : Var → {0, 1} exista o unica functie fe : Form → {0, 1} care verifica urmatoarele proprietati: (e0) fe (v ) = e(v ) oricare v ∈ Var , (e1) fe (¬ϕ) = fe (ϕ) oricare ϕ ∈ Form, (e2) fe (ϕ → ψ) = fe (ϕ) → fe (ψ) oricare ϕ, ψ ∈ Form. Dem. Vom demonstra atat existenta, cat si unicitatea, prin inductie structurala pe formule.

Evaluare

Existenta. Fie S multimea tuturor secventelor finite de simboluri din limbajul PC. Definim recursiv functia partiala fe : S → {0, 1} astfel: • fe (v ) := e(v ) oricare v ∈ Var , • daca ω ∈ S si fe (ω) este definita, atunci fe (¬ω) := fe (ω), • daca ω1 , ω2 ∈ S si fe (ω1 ), fe (ω1 ) sunt definite, atunci

fe (ω1 → ω2 ) := fe (ω1 ) → fe (ω2 ). Consideram proprietatea P(ϕ) = ”fe (ϕ) este definita ”. Aplicand principiului inductiei structurale deducem ca P(ϕ) este adevarata oricare ϕ ∈ Form. In consecinta fe este definita pentru orice formula si satisface evident proprietatile cerute.

Evaluare

Unicitate. Fie g : Form → {0, 1} o functie care extinde e si satisface (e0), (e1), (e2). Consideram proprietatea P(ϕ) = ”fe (ϕ) si g (ϕ) coincid ”. Observam ca: • fe (v ) = g (v ) = e(v ) oricare v ∈ Var , • daca fe (ϕ) = g (ϕ), atunci fe (¬ϕ) = fe (ϕ) = g (ϕ) = g (¬ϕ), • daca fe (ϕ) = g (ϕ) si fe (ψ) = g (ψ), atunci

fe (ϕ → ψ) = fe (ϕ) → fe (ψ) = g (ϕ) → g (ψ) = g (ϕ → ψ), oricare ϕ, ψ ∈ Form. Conform principiului inductiei structurale, P(ϕ) este adevarata oricare ϕ ∈ Form, deci fe (ϕ) = g (ϕ) oricare ϕ ∈ Form.

Tautologii. Modele Definitie • O evaluare e : Var → {0, 1} este model al unei formule ϕ

daca fe (ϕ) = 1. • O formula ϕ este satisfiabila daca admite un model. O

multime Γ de formule este satisfiabila daca exista o evaluare e : Var → {0, 1} astfel incat fe (γ) = 1 oricare γ ∈ Γ. • O formula ϕ este tautologie (valida, universal adevarata)

daca fe (ϕ) = 1 pentru orice evaluare e : Var → {0, 1}. Notam prin |= ϕ faptul ca ϕ este o tautologie. • Fie Γ o multime de formule. O formula ϕ este Γ−tautologie

(consecinta semantica a lui Γ) daca orice model al lui Γ este si model pentru ϕ, i.e. fe (Γ) = {1} ⇒ fe (ϕ) = 1 oricare e : Var → {0, 1}. Notam prin Γ |= ϕ faptul ca ϕ este o Γ-tautologie.

Metoda tabelului

Vrem sa demonstram ca o formula este tautologie: |= ϕ Daca v1 , . . ., vn variabilele care apar in ϕ, atunci cele 2n evaluari posibile e1 , . . ., e2n pot fi scrise intr-un tabel: v1 e1 (v1 ) e2 (v1 ) .. .

v2 e1 (v2 ) e2 (v2 ) .. .

... ... ... .. .

vn e1 (vn ) e2 (vn ) .. .

ϕ fe1 (ϕ) fe2 (ϕ) .. .

e2n (v1 )

e2n (v2 )

...

e2n (vn )

f2n (ϕ)

Fiecare evaluare corespunde unei linii din tabel.

Corectitudinea Teorema. Orice Γ-teorema este Γ-tautologie. Γ ⊢ ϕ ⇒ Γ |= ϕ oricare are fi ϕ ∈ Form si Γ ⊆ Form. In particular, daca ⊢ ϕ atunci |= ϕ. Dem. Fie e : Var → {0, 1} astfel incat fe (γ) = 1 oricare γ ∈ Γ. Trebuie sa aratam ca fe (ϕ) = 1. Fie ϕ1 , . . ., ϕn = ϕ o demonstratie pentru ϕ din ipotezele Γ. Demonstram ca fe (ϕi ) = 1 prin inductie dupa 1 ≤ i ≤ n. Pentru i = 1, ϕ1 este axioma sau ϕ1 ∈ Γ. Daca ϕ1 ∈ Γ, atunci fe (ϕ) = 1 deoarece e este un model al lui Γ. Daca ϕ1 este axioma, se verifica ca fe (ϕ1 ) = 1 prin calcul direct (exercitiu). Presupunem ca fe (ϕk ) = 1 oricare k < i si demonstram ca fe (ϕi ) = 1. Daca ϕi este axioma sau ϕi ∈ Γ atunci procedam ca mai sus. Altfel, exista j, k < i astfel incat ϕj = ϕk → ϕi . Rezulta fe (ϕj ) = fe (ϕk ) → fe (ϕi ). Folosind ipoteza de inductie avem 1 = 1 → fe (ϕi ), deci fe (ϕi ) = 1. Pentru i = n, avem fe (ϕ) = 1.

Multimi consistente Definitie O multime Γ de formule se numeste consistenta daca exista o formula ϕ astfel incat Γ 6⊢ ϕ . Propozitie ∅ este consistenta. Dem. Aratam ca 6⊢ ¬(ϕ → ϕ). Presupunem ca ⊢ ¬(ϕ → ϕ). Deoarece deductia este corecta, obtinem fe (¬(ϕ → ϕ)) = 1 oricare ar fi e o evaluare. Dar fe (¬(ϕ → ϕ)) = ¬(fe (ϕ) → fe (ϕ)) = 0, deci obtinem o contradictie. Exercitiu. Teoreme := {ϕ ∈ Form | ⊢ ϕ} este consistenta. Exercitiu. Orice multime satisfiabila este consistenta.

Multimi inconsistente

Definitie O multime Γ de formule se numeste inconsistenta daca nu este consistenta, i.e. Γ ⊢ ϕ oricare ϕ ∈ Form . Propozitie Pentru o multime Γ ⊆ Form sunt echivalente: (1) Γ este inconsistenta, (2) exista ψ ∈ Form, Γ ⊢ ψ si Γ ⊢ ¬ψ. Dem. (1) ⇒ (2) este evidenta. (2) ⇒ (1) se demonstreaza folosind teorema ⊢ ψ → (¬ψ → ϕ).

Multimi inconsistente

Propozitie Pentru Γ ⊆ Form si ϕ ∈ Form sunt echivalente: (1) Γ ∪ {ϕ} este inconsistenta, (2) Γ ⊢ ¬ϕ. Dem. (1) ⇒ (2) Γ ∪ {ϕ} ⊢ ¬ϕ Γ ⊢ ϕ → ¬ϕ TD Γ ⊢ (ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ (teorema) Γ ⊢ ¬ϕ (2) ⇒ (1) rezulta folosind propozitia anterioara, deoarece Γ ∪ {ϕ} ⊢ ϕ si Γ ∪ {ϕ} ⊢ ¬ϕ .

Multimi consistente Propozitie Pentru orice multime consistenta Γ ⊆ Form exista o multime ∆ ⊆ Form cu urmatoarele proprietati: • Γ ⊆ ∆, • ∆ este consistenta, • oricare ϕ ∈ Form, ϕ ∈ ∆ sau ¬ϕ ∈ ∆, • oricare ϕ, ψ ∈ Form

ϕ → ψ ∈ ∆ ⇔ ¬ϕ ∈ ∆ sau ψ ∈ ∆ . Dem. Se arata ca multimea C = {Γ′ ⊆ Form | Γ′ consistenta, Γ ⊆ Γ′ }. este inductiv ordonata (orice lant din C are un majorant). Aplicand Lema lui Zorn, C are un element maximal, ∆. Evident Γ ⊆ ∆ si ∆ este consistenta.

Multimi consistente Dem. (continuare) Demonstram ca ∆ ⊢ ϕ implica ϕ ∈ ∆ oricare ϕ ∈ Form. Presupunem ca exista ϕ ∈ Form astfel incat ∆ ⊢ ϕ si ϕ 6∈ ∆. Deoarece Γ ⊆ ∆ ⊂ ∆ ∪ {ϕ}, rezulta ca ∆ ∪ {ϕ} este inconsistenta, deci ∆ ⊢ ¬ϕ. Dar ∆ ⊢ ϕ, deci ∆ este inconsistenta. Obtinem o contradictie, deci ∆ este inchisa la deductia sintactica. Fie ϕ ∈ Form astfel incat ϕ 6∈ ∆. Rezulta ca ∆ ∪ {ϕ} este inconsistenta, ∆ ⊢ ¬ϕ. Asadar ϕ ∈ ∆ sau ¬ϕ ∈ ∆ oricare ϕ ∈ Form. Fie ϕ, ψ ∈ Form astfel incat ϕ → ψ ∈ ∆. Daca ¬ϕ 6∈ ∆, atunci ϕ ∈ ∆. Asadar ∆ ⊢ ϕ → ψ si ∆ ⊢ ϕ, deci ∆ ⊢ ψ. Am aratat ca ¬ϕ ∈ ∆ sau ψ ∈ ∆. Invers, daca ¬ϕ ∈ ∆ sau ψ ∈ ∆ obtinem ϕ → ψ ∈ ∆ folosind teorema ⊢ ¬ϕ → (ϕ → ψ), respectiv ⊢ ψ ⊢ (ϕ → ψ).

Completitudine Teorema de completitudine extinsa Orice multime consistenta este satisfiabila. Dem. Fie Γ ⊆ Form o multime consistenta. Trebuie sa demonstram ca Γ are un model. Fie ∆ multimea obtinuta prin aplicarea propozitiei anterioare. Definim e : Var → {0, 1} prin e(v ) = 1 daca v ∈ ∆, e(v ) = 0 daca v 6∈ ∆. Fie P(ϕ) = ” fe (ϕ) = 1 ⇔ ϕ ∈ ∆ ”. Demonstram prin inductie structurala ca P(ϕ) este adevarata pentru orice ϕ ∈ Form. Din definitia evaluarii e, P(v ) este adevarata oricare v ∈ Var . Presupunem ca P(ϕ) si P(ψ) sunt adevarate. Avem fe (¬ϕ) = 1 ⇔ fe (ϕ) = 0 ⇔ ϕ 6∈ ∆ ⇔ ¬ϕ ∈ ∆, fe (ϕ → ψ) = fe (ϕ) → fe (ψ) = 1 ⇔ fe (ϕ) = 0 sau fe (ψ) = 1 ⇔ ϕ 6∈ ∆ sau ψ ∈ ∆ ⇔ ϕ → ψ ∈ ∆. Conform principiului inductiei structurale, P(ϕ) este adevarata pentru orice ϕ ∈ Form, adica fe (ϕ) = 1 ⇔ ϕ ∈ ∆. Deoarece Γ ⊆ ∆, e este un model al lui Γ.

Completitudine Teorema de completitudine Γ-teoremele si Γ-tautologiile coincid, i.e. Γ ⊢ ϕ ⇔ Γ |= ϕ oricare are fi ϕ ∈ Form si Γ ⊆ Form. In particular, ⊢ ϕ ⇔ |= ϕ. Dem. ⇒ corectitudinea. ⇐ Presupunem ca Γ6⊢ ϕ. Atunci Γ6⊢ ¬¬ϕ si Γ ∪ {¬ϕ} este consistenta. Fie e : Var → {0, 1} un model pentru Γ ∪ {¬ϕ}. Obtinem fe (Γ) = {1} si fe (¬ϕ) = 1, deci fe (ϕ) = 0. Din ipoteza, orice model al lui Γ este si model al lui ϕ, deci fe (ϕ) = 1. Am ajuns la o contradictie, deci presupunerea noastra a fost falsa. In consecinta, Γ ⊢ ϕ.

Conectorii derivati

Conectori derivati Pentru ϕ si ψ formule oarecare, definim urmatoarele prescurtari: ϕ ∨ ψ := ¬ϕ → ψ ϕ ∧ ψ := ¬(ϕ → ¬ψ) ϕ ↔ ψ := (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) Exercitiu. Daca e : Var → {0, 1} evaluare, atunci fe (ϕ ∨ ψ) = fe (ϕ) ∨ fe (ψ), fe (ϕ ∧ ψ) = fe (ϕ) ∧ fe (ψ), fe (ϕ ↔ ψ) = fe (ϕ) ↔ fe (ψ).

Conectori derivati

Aratati ca ⊢ v1 → (v2 → (v1 ∧ v2 )). Aplicand teorema de completitudine, aceasta revine la a demonstra |= v1 → (v2 → (v1 ∧ v2 )) v1 0 0 1 1

v2 0 1 0 1

v1 → (v2 → (v1 ∧ v2 )) 1 1 1 1

Sintaxa si Semantica Lema Sunt echivalente: (1)

⊢ ϕ → ψ,

(2)

fe (ϕ) ≤ fe (ψ) oricare e : Var → {0, 1} evaluare.

Lema Sunt echivalente: (1)

⊢ ϕ ↔ ψ,

(2)

fe (ϕ) = fe (ψ) oricare e : Var → {0, 1} evaluare.

Dem. exercitiu

LINDA Algebra Lindenbaum-Tarski Daca pe Form definim relatia binara ∼ prin ϕ ∼ ψ ⇔ ⊢ ϕ ↔ ψ ⇔ ⊢ ϕ → ψ si ⊢ ψ → ϕ, atunci au loc urmatoarele proprietati: (1) ∼ este o relatie de echivalenta, (2) LINDA= (Form/ ∼, ∨, ∧,− , 0, 1) este o algebra Boole, unde \ \ c ϕˆ ∨ ψˆ := ϕ ∨ ψ, ϕˆ ∧ ψˆ := ϕ ∧ ψ, ϕˆ := ¬ϕ, 1 := ϕ\ → ϕ, 0 := {¬ϕ | ϕ ∈ 1}. Algebra LINDA se numeste algebra Lindenbaum-Tarski a PC.

LINDA Dem. (1) Relatia ∼ este reflexiva, simetrica si tranzitiva deoarece: ⊢ϕ↔ϕ ⊢ϕ↔ψ ⇔⊢ψ↔ϕ ⊢ ϕ ↔ ψ si ⊢ ψ ↔ χ ⇒ ⊢ ϕ ↔ χ (2) Trebuie sa demonstram ca operatiile sunt bine definite: ϕ ∼ ϕ1 , ψ ∼ ψ 1 ⇒ ϕ ∨ ψ ∼ ϕ1 ∨ ψ 1 ϕ ∼ ϕ1 , ψ ∼ ψ1 ⇒ ⊢ ϕ ↔ ϕ1 si ⊢ ψ ↔ ψ1 ⇒ fe (ϕ) = fe (ϕ1 ) si fe (ψ) ↔ fe (ψ1 ) oricare e evaluare ⇒ fe (ϕ) ∨ fe (ψ) = fe (ϕ1 ) ∨ fe (ψ1 ) oricare e evaluare ⇒ fe (ϕ ∨ ψ) = fe (ϕ1 ∨ ψ1 ) oricare e evaluare ⇒ ϕ ∨ ψ ∼ ϕ1 ∨ ψ 1 Analog pentru ∧, ¬. Ecuatiile algebrelor Boole devin teoreme in PC. De exemplu, a verifica distributivitatea in LINDA revine la a demonstra ca ⊢ (ϕ ∨ (ψ ∧ χ)) ↔ ((ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ χ)). Datorita teoremei de completitudine, acest lucru se poate demonstra sintactic sau semantic.

LINDA

Dem.(continuare) Aratam ca 1 = {ϕ | ⊢ ϕ} si 0 = {ϕ | ⊢ ¬ϕ}. Fie ⊢ ϕ si ⊢ ψ doua teoreme. Din (A1), ⊢ ϕ → (ψ → ϕ), deci ⊢ ϕ → ψ si, similar, ⊢ ψ → ϕ. Rezulta ϕ ∼ ψ, deci oricare doua teoreme sunt echivalente. Daca ⊢ ϕ teorema si ϕ ∼ ψ, atunci ⊢ ϕ → ψ. Aplicand MP, rezulta ⊢ ψ. Orice formula echivalenta cu o teorema este teorema. Asadar teoremele formeaza o clasa distincta. Daca ⊢ ϕ atunci, din (A1) obtinem ⊢ ψ → ϕ oricare ψ. Aceasta inseamna ca ψˆ ≤ ϕˆ in LINDA, deci 1 = {ϕ | ⊢ ϕ}. Observatie. 1 e clasa teoremelor, asadar ⊢ ϕ ⇔ ϕˆ = 1 in LINDA.

LINDA

Lema Daca v 6= u ∈ Var , atunci vˆ 6= uˆ in LINDA . Dem. Deoarece v 6= u putem defini o evaluare e : Var → {0, 1} astfel incat e(v ) 6= e(u). In consecinta fe (v ) 6= fe (u), deci 6⊢ v ↔ u. Teorema Pentru orice evaluare e : Var → {0, 1} exista un unic morfism de algebre Boole fˆe : LINDA → L2 astfel incat fˆe (ˆ v ) = e(v ) oricare v ∈ Var .

LINDA 

ˆ

/ Form/ ∼ t FF tt FFe fe tttt FF F"  ytt fˆ morfism e

Dem. VarF F

/ Form

{0, 1}

Definim fˆe (ϕ) ˆ := fe (ϕ). ˆ Daca ϕˆ = ψ, atunci ⊢ ϕ ↔ ψ, deci fe (ϕ) = fe (ψ). Am aratat ca definitia este independenta de reprezentanti. Demonstram ca fˆe este morfism: fˆe (ϕ) ˆ ˆ = fˆe (¬ϕ) ˆ = fe (¬ϕ) = fe (ϕ) = fˆe (ϕ), ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ fe (ϕˆ ∨ ψ) = fe (ϕ) ˆ ∨ fe (ψ) (exercitiu). Fie g : LINDA → {0, 1} un morfism astfel incat g (ˆ v ) = e(v ) oricare v ∈ Var . Se demonstreaza prin inductie structurala ca g (ϕ) ˆ = fe (ϕ) oricare ϕ ∈ Form, deci g = fˆe .

SAS

AlgebraM MMM s s s MMM s s s MMM s sss Sintaxa Semantica

Teorema Pentru ϕ ∈ Form, sunt echivalente: (1)

⊢ ϕ,

(2) ϕˆ = 1 in LINDA, (3)

|= ϕ.

SAS ⊢ (ϕ → ψ) → ((ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ)) Demonstratia sintactica (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

{ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ⊢ (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) (teorema) {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ⊢ ϕ → ψ (ipoteza) {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ⊢ ¬ψ → ¬ϕ (1), (2), MP {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ⊢ ¬ψ (ipoteza) {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ⊢ ¬ϕ (3), (4), MP {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ⊢ ¬ϕ → χ (ipoteza) {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ, ¬ψ} ⊢ χ (5), (6), MP {ϕ → ψ, ¬ϕ → χ} ⊢ ψ ∨ χ TD {ϕ → ψ} ⊢ (ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ) TD ⊢ (ϕ → ψ) → ((ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ)) TD

SAS Demonstratia semntica |= (v1 → v2 ) → ((v1 ∨ v3 ) → (v2 ∨ v3 )) Metoda tabelului v1 0 0 .. .

v2 0 0 .. .

v3 0 1 .. .

(v1 → v2 ) → ((v1 ∨ v3 ) → (v2 ∨ v3 )) 1 1 .. .

1

1

1

1

Lema substitutiei. Fie γ o formula si v1 , . . ., vn variabilele care apar in γ. Fie γ(γ1 , . . . , γn ) formula obtinuta inlocuind vi cu γi oricare i ∈ {1, . . . , n}. Daca |= γ atunci |= γ(γ1 , . . . , γn ). Rezulta |= (ϕ → ψ) → ((ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ))

SAS Demonstratia algebrica ⊢ (ϕ → ψ) → ((ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ)) Daca θ := (ϕ → ψ) → ((ϕ ∨ χ) → (ψ ∨ χ)), atunci ˆ → ((ϕˆ ∨ χ) θˆ := (ϕˆ → ψ) ˆ → (ψˆ ∨ χ)) ˆ in LINDA . ˆ c := χ Notam a := ϕ, ˆ b := ψ, ˆ si obtinem θˆ = (a → b) → ((a ∨ c) → (b ∨ c)) = (a ∨ b) → ((a ∧ c) ∨ c ∨ b) = (a ∧ b) ∨ b ∨ (a ∧ c) ∨ c = (a ∨ b) ∨ (a ∨ c) = 1 Am aratat ca θˆ = 1 in LINDA, deci ⊢ θ.

Logic˘a matematic˘a ¸si computat¸ional˘a Cursul X Claudia MURES ¸ AN [email protected] Universitatea din Bucure¸sti Facultatea de Matematic˘ a ¸si Informatic˘ a Bucure¸sti

2011-2012, semestrul I

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

1 / 32

1

Algebre Boole

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

2 / 32

Algebre Boole

ˆIn acest curs vom continua studiul algebrelor Boole (caz particular de latici).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

3 / 32

Definit¸ia unei algebre Boole Amintim c˘a: o algebr˘ a Boole este o latice distributiv˘ a m˘ arginit˘ a complementat˘ a, i. e. o structur˘a (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1) compus˘a din: o mult¸ime B, o relat¸ie de ordine part¸ial˘a ≤ pe B, dou˘a operat¸ii binare ∨ ¸si ∧ pe B, notate infixat, dou˘a constante 0, 1 ∈ B, o operat¸ie unar˘a · pe B, iar aceste componente au propriet˘a¸tile: (B, ∨, ∧, ≤) este o latice, i. e.: oricare ar fi x, y ∈ B, exist˘ a sup{x, y } ¸si inf{x, y } ˆın posetul (B, ≤); ∨ ¸si ∧ sunt idempotente, comutative ¸si asociative, i. e.: pentru orice x, y , z ∈ B, au loc: x ∨ x = x, x ∨ y = y ∨ x, x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z, ¸si la fel pentru ∧; ∨ ¸si ∧ verific˘ a absorbt¸ia: pentru orice x, y ∈ B, x ∨ (x ∧ y ) = x ¸si x ∧ (x ∨ y ) = x; pentru orice x, y ∈ B, x ≤ y ddac˘ a x ∨ y = y ddac˘ a x ∧ y = x; pentru orice x, y ∈ B, x ∨ y = sup{x, y }; pentru orice x, y ∈ B, x ∧ y = inf{x, y }; Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

4 / 32

Definit¸ia unei algebre Boole laticea (B, ∨, ∧, ≤) este distributiv˘ a, i. e.: ∨ este distributiv˘ a fat¸˘ a de ∧, i. e.: pentru orice x, y , z ∈ B, x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z); ∧ este distributiv˘ a fat¸˘ a de ∨, i. e.: pentru orice x, y , z ∈ B, x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z);

(B, ∨, ∧, ≤, 0, 1) este o latice m˘ arginit˘ a, i. e., ˆın plus: 0 este minimul posetului (B, ≤); 1 este maximul posetului (B, ≤);

laticea m˘arginit˘a (B, ∨, ∧, ≤, 0, 1) este complementat˘ a ¸si satisface unicitatea complementului, datorit˘a distributivit˘ a¸tii, iar · este operat¸ia de complementare: pentru orice x ∈ B, x  este unicul complement al lui x, adic˘ a unicul element  x ∨ x = 1  x ∈ B care satisface: ¸si   x ∧ x = 0.

ˆIn plus, ˆın orice algebr˘a Boole (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1), se definesc urm˘atoarele operat¸ii binare derivate: implicat¸ia (boolean˘ a), →: pentru orice x, y ∈ B, x → y := x ∨ y ; echivalent¸a (boolean˘ a), ↔: pentru orice x, y ∈ B, x ↔ y := (x → y ) ∧ (y → x). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

5 / 32

Filtre ale unei algebre Boole Pentru cele ce urmeaz˘a, fix˘am o algebr˘a Boole B := (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1), arbitrar˘a. Vom nota ≥:=≤−1 .

Definit¸ie O submult¸ime nevid˘a F a lui B se nume¸ste filtru al algebrei Boole B ddac˘a, pentru orice x, y ∈ B, urm˘atoarele condit¸ii sunt satisf˘acute: (F1 ) dac˘a x, y ∈ F , atunci x ∧ y ∈ F ; (F2 ) dac˘a x ∈ F ¸si x ≤ y , atunci y ∈ F .

Notat¸ie Mult¸imea filtrelor lui B se noteaz˘a cu F(B).

Remarc˘a Orice filtru al lui B ˆıl cont¸ine pe 1. ˆIntr–adev˘ar, dac˘a F este un filtru al lui B, atunci F este nevid prin definit¸ie, deci exist˘a un element x ∈ F ; dar, ca orice element al lui B, x satisface x ≤ 1, prin urmare 1 ∈ F , conform condit¸iei (F2 ) din definit¸ia unui filtru. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

6 / 32

Filtre ale unei algebre Boole

Remarc˘a Este imediat c˘a {1} ¸si B sunt filtre ale lui B, iar aceste filtre sunt respectiv minimul (a se vedea remarca anterioar˘a) ¸si maximul posetului (F(B), ⊆).

Definit¸ie {1} se nume¸ste filtrul trivial al lui B, iar B se nume¸ste filtrul impropriu al lui B. Orice filtru F 6= {1} se nume¸ste filtru netrivial, ¸si orice filtru F 6= B se nume¸ste filtru propriu al lui B.

Remarc˘a Intersect¸ia tuturor filtrelor lui B este {1} (filtrul trivial). Acest lucru rezult˘a imediat din faptul c˘a {1} este cel mai mic filtru al lui B ˆın sensul incluziunii.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

7 / 32

Filtre proprii

Remarc˘a Un filtru al lui B este propriu ddac˘a nu ˆıl cont¸ine pe 0. ˆIntr–adev˘ar, un filtru este egal cu B ddac˘a ˆıl cont¸ine pe 0, pentru c˘a B cont¸ine pe 0, iar, dac˘a un filtru F ˆıl cont¸ine pe 0, atunci F cont¸ine toate elementele lui B, conform condit¸iei (F2 ).

Lem˘a Fie F un filtru al lui B. Atunci: F = B ddac˘a exist˘a un element a ∈ B a. ˆı. a ∈ F ¸si a ∈ F . Demonstrat¸ie: Dac˘a F = B, atunci 0 ∈ F ¸si 0 = 1 ∈ F . Reciproc, dac˘a exist˘a un element a ∈ B a. ˆı. a ∈ F ¸si a ∈ F , atunci, conform condit¸iei (F1 ) din definit¸ia unui filtru, rezult˘a c˘a 0 = a ∧ a ∈ F , prin urmare F = B, conform remarcii anterioare.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

8 / 32

Orice filtru cont¸ine toate conjunct¸iile finite ˆıntre elemente ale sale Lem˘a Fie F un filtru al lui B. Atunci, pentru orice n ∈ N ¸si orice x1 , . . . , xn ∈ F , rezult˘a c˘a x1 ∧ . . . ∧ xn ∈ F . Demonstrat¸ie: Pentru n = 0, ne amintim de la sfˆar¸situl Cursului VII c˘a inf(∅) = max(B) = 1 ∈ F , pentru c˘a orice filtru ˆıl cont¸ine pe 1, a¸sa cum am ar˘atat ˆıntr–o remarc˘a de mai sus. Pentru n 6= 0, demonstr˘am afirmat¸ia prin induct¸ie dup˘a n ∈ N∗ . Pentru n = 1, afirmat¸ia este trivial˘a. Presupunem afirmat¸ia adev˘arat˘a pentru un n ∈ N∗ , arbitrar, fixat. Consider˘am n + 1 elemente x1 , . . . , xn , xn+1 ∈ F . Conform ipotezei de induct¸ie, rezult˘a c˘a x1 ∧ . . . ∧ xn ∈ F . Acum, condit¸ia (F1 ) din definit¸ia unui filtru arat˘a c˘a x1 ∧ . . . ∧ xn+1 = (x1 ∧ . . . ∧ xn ) ∧ xn+1 ∈ F . Rezult˘a c˘a afirmat¸ia este valabil˘a pentru orice n ∈ N∗ . A¸sadar, afirmat¸ia este valabil˘a pentru orice n ∈ N. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

9 / 32

Filtre generate de o mult¸ime Propozit¸ie Intersect¸ia oric˘arei familii nevide de filtre ale lui B este un filtru al lui B. Demonstrat¸ie: Fie I o mult¸ime nevid˘a ¸si (Fi )i∈I o familie de filtre ale lui B. S˘a \ not˘am cu F intersect¸ia acestei familii de filtre: F := Fi . Conform unei remarci de mai sus, pentru fiecare i ∈ I , 1 ∈ Fi , a¸sadar 1 ∈

i∈I \ Fi = F , deci F 6= ∅. i∈I

Demonstr˘am c˘a F satisface condit¸ia (F1 ). Fie x, y ∈ F =

\

Fi , a¸sadar, pentru

i∈I

orice i ∈ I , x, y ∈ Fi , deci, pentru orice i \ ∈ I , x ∧ y ∈ Fi , conform condit¸iei (F1 ) aplicate filtrelor Fi . Urmeaz˘a c˘a x ∧ y ∈ Fi = F . Acum s˘a demonstr˘am c˘a F i∈I

satisface condit¸ia (F2 ). Fie x ∈ F =

\

Fi , ceea ce ˆınseamn˘a c˘a, pentru orice

i∈I

i ∈ I , x ∈ Fi . Acum, fie y ∈ B, a. ˆı. x ≤ y . Rezult˘a c˘a, pentru \ orice i ∈ I , y ∈ Fi , conform condit¸iei (F2 ) aplicate filtrelor Fi . A¸sadar, y ∈ Fi = F . i∈I

Am demonstrat c˘a F =

\

Fi este un filtru al lui B.

i∈I Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

10 / 32

Filtre generate de o mult¸ime Corolar Pentru orice submult¸ime X a lui B, exist˘a un cel mai mic filtru al lui B care include pe X , anume intersect¸ia tuturor filtrelor lui B care includ pe X . Demonstrat¸ie: Fie X o submult¸ime arbitrar˘a a lui B. Familia filtrelor lui B care includ pe X , fie aceasta F, este nevid˘a, pentru c˘a aceast˘a familie cont¸ine filtrul impropriu, B. Conform propozit¸iei anterioare, rezult˘a c˘a intersect¸ia familiei F este un filtru, care, evident, include \ pe X , fie acesta F . ˆInseamn˘a c˘a F ∈ F, conform definit¸iei familiei F. Dar F = G , a¸sadar F este inclus ˆın fiecare G ∈ F. Prin G ∈F

urmare, F este minimul posetului (F, ⊆), i. e. F este cel mai mic filtru al lui B care include pe X .

Definit¸ie Pentru orice submult¸ime X a lui B, cel mai mic filtru al algebrei Boole B care include pe X se noteaz˘a cu [X ) sau < X > ¸si se nume¸ste filtrul lui B generat de X. Pentru orice element x ∈ B, filtrul generat de singletonul {x} se noteaz˘a cu [x) sau < x > ¸si se nume¸ste filtrul principal al lui B generat de x. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

11 / 32

Elementele filtrelor generate Remarc˘a (caracterizarea filtrelor generate) Definit¸ia unui filtru generat arat˘a c˘a, pentru orice X ⊆ B, F = [X ) ddac˘a mult¸imea F satisface urm˘atoarele trei condit¸ii: 1 2 3

F este un filtru al lui B; X ⊆ F; pentru orice filtru G al lui B, dac˘a X ⊆ G , atunci F ⊆ G .

Ultima dintre aceste trei condit¸ii afirm˘a c˘a, dac˘a un filtru G al lui B include o submult¸ime X a lui B, atunci G include filtrul lui B generat de X .

Remarc˘a Conform remarcii care arat˘a c˘a {1} este cel mai mic filtru al lui B, urmeaz˘a c˘a [∅) = {1}.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

12 / 32

Elementele filtrelor generate Propozit¸ie Pentru orice submult¸ime nevid˘a X a lui B, [X ) = {a ∈ B | (∃n ∈ N∗ )(∃x1 , x2 , . . . , xn ∈ X )x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn ≤ a}. Demonstrat¸ie: Fie F := {a ∈ B | (∃n ∈ N∗ )(∃x1 , x2 , . . . , xn ∈ X )x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn ≤ a}. Demonstr˘am c˘a F = [X ), folosind remarca de mai sus privind caracterizarea filtrelor generate. Pentru ˆınceput, s˘a ar˘at˘am c˘a F este un filtru al lui B. Fie x, y ∈ F . Atunci, conform definit¸iei mult¸imii F , exist˘a n, m ∈ N∗ ¸si x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym ∈ X a. ˆı. x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn ≤ x ¸si y1 ∧ y2 ∧ . . . ∧ ym ≤ y . Conform unei propozit¸ii din Cursul VI, rezult˘a c˘a x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn ∧ y1 ∧ y2 ∧ . . . ∧ ym ≤ x ∧ y , a¸sadar x ∧ y ∈ F . Acum, fie x ∈ F ¸si y ∈ B, a. ˆı. x ≤ y . Faptul c˘a x ∈ F ˆınseamn˘a c˘a exist˘a n ∈ N∗ ¸si x1 , x2 , . . . , xn ∈ X a. ˆı. x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn ≤ x, iar de aici, din relat¸ia x ≤ y ¸si din tranzitivitatea lui ≤, obt¸inem x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn ≤ y , ceea ce arat˘a c˘a y ∈ F . Am demonstrat c˘a F este un filtru al lui B. Pentru orice x ∈ X , are loc x ≤ x, a¸sadar x ∈ F . Prin urmare, X ⊆ F . Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

13 / 32

Elementele filtrelor generate Fie G un filtru al lui B a. ˆı. X ⊆ G , ¸si fie x ∈ F . Ar˘at˘am c˘a rezult˘a x ∈ G . Faptul c˘a x ∈ F arat˘a c˘a exist˘a n ∈ N∗ ¸si x1 , x2 , . . . , xn ∈ X a. ˆı. x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn ≤ x. Dar X ⊆ G , a¸sadar x1 , x2 , . . . , xn ∈ G , prin urmare x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn ∈ G , conform lemei anterioare, ¸si deci x ∈ G conform propriet˘a¸tii (F2 ) din definit¸ia unui filtru. A¸sadar, F ⊆ G . Conform remarcii de mai sus privind caracterizarea filtrelor generate, am demonstrat c˘a F = [X ).

Corolar Pentru orice x ∈ B, [x) = {a ∈ B | x ≤ a}. Demonstrat¸ie: Se aplic˘a propozit¸ia anterioar˘a ¸si idempotent¸a lui ∧, din care, prin n ^ x = x. induct¸ie dup˘a n ∈ N∗ , se demonstreaz˘a imediat c˘a, pentru orice n ∈ N∗ , i=1

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

14 / 32

Elementele filtrelor generate Corolar Pentru orice filtru F al lui B ¸si orice element x ∈ B, [F ∪ {x}) = {a ∈ B | (∃f ∈ F )f ∧ x ≤ a}. Demonstrat¸ie: Fie G := {a ∈ B | (∃f ∈ F )f ∧ x ≤ a}. Fie a ∈ [F ∪ {x}). Conform propozit¸iei privind forma filtrului generat de o mult¸ime, aceasta ˆınseamn˘a c˘a exist˘a n ∈ N∗ ¸si exist˘a x1 , . . . , xn ∈ F ∪ {x}, a. ˆı. x1 ∧ . . . ∧ xn ≤ a. Asociativitatea ¸si comutativitatea lui ∧ ne asigur˘a de faptul c˘a putem presupune c˘a x1 , . . . , xk ∈ F ¸si xk+1 = . . . = xn = x, pentru un k ∈ 0, n, unde k = 0 ˆınseamn˘a c˘a x1 = . . . = xn = x, iar k = n ˆınseamn˘a c˘a x1 , . . . , xn ∈ F . Idempotent¸a lui ∧ arat˘a c˘a xk+1 ∧ . . . ∧ xn = x ∧ . . . ∧ x = x, atunci cˆand k < n. Fie f := x1 ∧ . . . ∧ xk , cu f := 1 atunci cˆand k = 0. Conform unei leme de mai sus, are loc f ∈ F . ( f, k = n, Am obt¸inut c˘a x1 ∧ . . . ∧ xn = f ∧ x, k < n. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

15 / 32

Elementele filtrelor generate Dar x1 ∧ . . . ∧ xn ≤ a, a¸sadar, dac˘a are loc k < n, atunci f ∧ x ≤ a, iar, dac˘a are loc k = n, atunci f ∧ x = inf{f , x} ≤ f ≤ a, prin urmare, ¸si ˆın acest caz, f ∧ x ≤ a (datorit˘a tranzitivit˘a¸tii lui ≤). Am obt¸inut c˘a a ∈ G , deci [F ∪ {x}) ⊆ G . Acum fie a ∈ G , adic˘a exist˘a f ∈ F a. ˆı. f ∧ x ≤ a. f ∈ F , a¸sadar f , x ∈ F ∪ {x} ⊆ [F ∪ {x}), deci f , x ∈ [F ∪ {x}), iar [F ∪ {x}) este un filtru al lui B, prin urmare f ∧ x ∈ [F ∪ {x}), conform condit¸iei (F1 ), ¸si deci a ∈ [F ∪ {x}), conform condit¸iei (F2 ) din definit¸ia unui filtru. Am obt¸inut ¸si G ⊆ [F ∪ {x}). A¸sadar, [F ∪ {x}) = G = {a ∈ B | (∃f ∈ F )f ∧ x ≤ a}. Alt˘ a demonstrat¸ie: Se putea urma ¸si aceast˘a cale ˆın demonstrat¸ia acestui corolar: este u¸sor de ar˘atat c˘a mult¸imea G definit˘a mai sus este un filtru ¸si c˘a F ∪ {x} ⊆ G ; acum, ultimul punct din remarca privind caracterizarea filtrelor generate arat˘a c˘a [F ∪ {x}) ⊆ G ; apoi, ca mai sus, se demonstreaz˘a cealalt˘a incluziune.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

16 / 32

Ultrafiltre ale unei algebre Boole Definit¸ie Un filtru propriu P al lui B se nume¸ste filtru prim ddac˘a, pentru orice a, b ∈ B, a ∨ b ∈ P implic˘a a ∈ P sau b ∈ P.

Definit¸ie Un element maximal al mult¸imii filtrelor proprii ale lui B (raportat la incluziune) se nume¸ste filtru maximal sau ultrafiltru al lui B. Cu alte cuvinte, un ultrafiltru al lui B este un filtru propriu U a. ˆı., pentru orice filtru propriu F , U ⊆ F implic˘a U = F . Altfel formulat, un ultrafiltru al lui B este un filtru propriu U cu proprietatea c˘a, pentru orice filtru F , U ⊆ F implic˘a U = F sau F = B.

Notat¸ie Mult¸imea ultrafiltrelor (filtrelor maximale ale) lui B se noteaz˘a cu Max(B).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

17 / 32

Filtre prime ale unei algebre Boole

Lem˘a Fie P un filtru al lui B ¸si a, b ∈ B. Atunci: 1 2

a ∧ b ∈ P ddac˘a a ∈ P ¸si b ∈ P; dac˘a P este un filtru prim, atunci: a ∨ b ∈ P ddac˘a a ∈ P sau b ∈ P.

Demonstrat¸ie: (1) Implicat¸ia direct˘a se obt¸ine din condit¸ia (F2 ) din definit¸ia unui filtru ¸si faptul c˘a a ∧ b = inf{a, b} ≤ a ¸si a ∧ b = inf{a, b} ≤ b. Implicat¸ia reciproc˘a rezult˘a din condit¸ia (F1 ) din definit¸ia unui filtru. (2) Implicat¸ia direct˘a se obt¸ine din definit¸ia unui filtru prim. Implicat¸ia reciproc˘a rezult˘a din condit¸ia (F2 ) din definit¸ia unui filtru ¸si faptul c˘a a ≤ sup{a, b} = a ∨ b ¸si b ≤ sup{a, b} = a ∨ b.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

18 / 32

Ultrafiltrele coincid cu filtrele prime Propozit¸ie (caracterizare a ultrafiltrelor) Fie U un filtru propriu al lui B. Atunci urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: 1 2 3

U este un ultrafiltru al lui B; U este un filtru prim al lui B; orice element a ∈ B satisface: a ∈ U sau a ∈ U.

Demonstrat¸ie: (1) ⇒ (2): Ipoteza acestei implicat¸ii spune c˘a U este ultrafiltru. Presupunem prin absurd c˘a U nu este filtru prim, i. e. exist˘a a, b ∈ B a. ˆı. a ∨ b ∈ U, a ∈ / U ¸si b ∈ / U. Dar a ∈ U ∪ {a} ⊆ [U ∪ {a}) ¸si U ⊆ [U ∪ {a}), iar b ∈ U ∪ {b} ⊆ [U ∪ {b}) ¸si U ⊆ [U ∪ {b}). Prin urmare, U ⊆ [U ∪ {a}), iar a ∈ [U ∪ {a}) ¸si a ∈ / U, ¸si, de asemenea, U ⊆ [U ∪ {b}), iar b ∈ [U ∪ {b}) ¸si b ∈ / U. Rezult˘a c˘a U ( [U ∪ {a}) ¸si U ( [U ∪ {b}), prin urmare [U ∪ {a}) = [U ∪ {b}) = B, ˆıntrucˆat U este un ultrafiltru al lui B. Acest fapt este echivalent cu 0 ∈ [U ∪ {a}) ¸si 0 ∈ [U ∪ {b}), ˆın conformitate cu o caracterizare de mai sus a filtrelor proprii. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

19 / 32

Ultrafiltrele coincid cu filtrele prime Conform unui corolar anterior, [U ∪ {a}) = {x ∈ B | (∃ e ∈ U) e ∧ a ≤ x} ¸si [U ∪ {b}) = {x ∈ B | (∃ f ∈ U) f ∧ b ≤ x}. Prin urmare, exist˘a e, f ∈ U a. ˆı. a ∧ e = b ∧ f = 0. Aplicˆand distributivitatea lui B, obt¸inem: 0 = (a ∧ e) ∨ (b ∧ f ) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ f ) ∧ (e ∨ b) ∧ (e ∨ f ) ∈ U, pentru c˘a a ∨ b ∈ U, a ∨ f = sup{a, f } ≥ f ∈ U, e ∨ b = sup{e, b} ≥ e ∈ U, e ∨ f = sup{e, f } ≥ f ∈ U, ¸si datorit˘a condit¸iilor (F2 ) ¸si (F1 ) din definit¸ia unui filtru. Dar acest lucru ˆınseamn˘a c˘a U = B, conform aceleia¸si caracteriz˘ari a filtrelor proprii la care am apelat ¸si mai ˆınainte. Dar U este un ultrafiltru, deci, ˆın particular, U este un filtru propriu. Am obt¸inut o contradict¸ie. Prin urmare, U este un filtru prim al lui B. (2) ⇒ (3): Ipoteza acestei implicat¸ii spune c˘a U este filtru prim. Pentru orice a ∈ B, a ∨ a = 1 ∈ U, pentru c˘a orice filtru cont¸ine pe 1, iar acum definit¸ia unui filtru prim arat˘a c˘a a ∈ U sau a ∈ U. (3) ⇒ (1): Fie F un filtru al lui B a. ˆı. U ( F , a¸sadar exist˘a un element a ∈ F \ U. Conform ipotezei acestei implicat¸ii, faptul c˘a a ∈ / U implic˘a a ∈ U ⊂ F , prin urmare a ∈ F ¸si a ∈ F , deci F = B conform unei caracteriz˘ari a filtrelor proprii dintr–o lem˘a de mai sus. Dar acest lucru ˆınseamn˘a c˘a U este un ultrafiltru al lui B, datorit˘a chiar definit¸iei ultrafiltrelor. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

20 / 32

Ultrafiltre ale unei algebre Boole Corolar (caracterizare a ultrafiltrelor) Fie U un filtru al lui B. Atunci urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: 1 2 3

U este un ultrafiltru al lui B; oricare ar fi a ∈ B, exact unul dintre elementele a ¸si a se afl˘a ˆın U; oricare ar fi a ∈ B, are loc echivalent¸a: a ∈ U ddac˘a a ∈ / U.

Demonstrat¸ie: (1) ⇒ (2) : Fie a ∈ B, arbitrar, fixat. Dac˘a U este un ultrafiltru al lui B, atunci, conform propozit¸iei anterioare, a ∈ U sau a ∈ U, ¸si, ˆın plus, U este un filtru prim, a¸sadar nu putem avea simultan a ∈ U ¸si a ∈ U, cum arat˘a o caracterizare a filtrelor proprii dintr–o lem˘a de mai sus. ˆInseamn˘a c˘a exact unul dintre elementele a ¸si a apart¸ine lui U. (2) ⇒ (1) : Ipoteza acestei implicat¸ii arat˘a c˘a nu exist˘a a ∈ B, a. ˆı. a ∈ U ¸si a ∈ U, prin urmare U este un filtru propriu, conform aceleia¸si carateriz˘ari a filtrelor proprii dintr–o lem˘a de mai sus. Deci U este un filtru propriu ¸si, conform ipotezei acestei implicat¸ii, oricare ar fi a ∈ B, avem a ∈ U sau a ∈ U, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a U este un ultrafiltru, dup˘a cum arat˘a propozit¸ia anterioar˘a. (2) ⇔ (3) : Afirmat¸ia (3) este o simpl˘a transcriere a lui (2), dac˘a ¸tinem seama de idempotent¸a operat¸iei de complementare (a = a, pentru orice a ∈ B). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

21 / 32

Mult¸imi inductiv ordonate ˆIn continuare, vom face o serie de preparative pentru demonstrarea celei mai importante teoreme din teoria algebrelor Boole, anume Teorema de reprezentare a lui Stone. Pentru definit¸iile elementelor distinse ale unui poset cu care vom lucra ˆın continuare (majorant, element maximal), a se vedea Cursul V.

Definit¸ie O mult¸ime inductiv ordonat˘a este un poset cu proprietatea c˘a orice parte total ordonat˘a a sa are (cel put¸in) un majorant. ˆIn definit¸ia anterioar˘a, parte total ordonat˘ a a unui poset (P, ≤) ˆınseamn˘a submult¸ime S a lui P care este lant¸ cu ordinea indus˘a (ordinea indus˘ a este ≤ ∩S 2 ), i. e. submult¸ime S ⊆ P cu proprietatea c˘a oricare dou˘a elemente ale submult¸imii S sunt comparabile ˆın posetul (P, ≤).

Remarc˘a Orice mult¸ime inductiv ordonat˘a este nevid˘a, pentru c˘a ea cont¸ine m˘acar un element, anume un majorant al submult¸imii ∅ a ei.

Remarc˘a Dup˘a cum am demonstrat la sfˆar¸situl Cursului VII, orice element al unui poset nevid este majorant pentru ∅. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

22 / 32

Mult¸imi inductiv ordonate ¸si Lema lui Zorn Remarc˘a Cele dou˘a remarci anterioare arat˘a c˘a, pentru a demonstra c˘a un poset este mult¸ime inductiv ordonat˘a, este suficient s˘a demonstr˘am c˘a: posetul este nevid; orice parte total ordonat˘a nevid˘ a a sa are (cel put¸in) un majorant.

Lem˘a (Lema lui Zorn) Orice mult¸ime inductiv ordonat˘a are (cel put¸in) un element maximal. Pentru demonstrat¸ia Lemei lui Zorn, a se consulta c˘art¸ile din bibliografia din Cursul I. De asemenea, numeroase c˘art¸i de not¸iuni de baz˘a de algebr˘a superioar˘a cont¸in demonstrat¸ia acestei leme. Acest enunt¸ este uneori ˆıntˆalnit sub numele de Axioma lui Zorn. Motivul este c˘a enunt¸ul acesta este echivalent cu Axioma alegerii, ¸si unii autori ˆıl includ ˆın sistemul axiomatic al teoriei mult¸imilor ˆın locul Axiomei alegerii, care, ˆın acest caz, devine Lema alegerii. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

23 / 32

Teorema de existent¸˘a a ultrafiltrului Cunoa¸stem aceste definit¸ii: algebra Boole trivial˘a este algebra Boole cu un singur element, i. e. algebra Boole cu 0 = 1; o algebr˘a Boole netrivial˘a este o algebr˘a Boole care nu este trivial˘a, i. e. o algebr˘a Boole cu cel put¸in dou˘a elemente, i. e. o algebr˘a Boole cu 0 6= 1.

Remarc˘a Este evident, din faptul c˘a filtrul trivial {1} este inclus ˆın orice filtru al lui B, c˘a au loc echivalent¸ele: B are filtre proprii ddac˘a {1} este filtru propriu al lui B ddac˘a B este o algebr˘a Boole netrivial˘a.

Teorem˘a (Teorema de existent¸˘a a ultrafiltrului) Orice filtru propriu al lui B este inclus ˆıntr–un ultrafiltru al lui B. Cu alte cuvinte, pentru orice filtru propriu F al lui B, exist˘a un ultrafiltru U al lui B, a. ˆı. F ⊆ U. Demonstrat¸ie: Fie F un filtru propriu al lui B. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

24 / 32

Teorema de existent¸˘a a ultrafiltrului Not˘am cu P mult¸imea filtrelor proprii ale lui B care ˆıl includ pe F : P := {G | G ∈ F(B), G 6= B, G ⊇ F }. Demonstr˘am c˘a (P, ⊆) este o mult¸ime inductiv ordonat˘a. Evident, F ∈ P, a¸sadar P = 6 ∅. Fie T o parte total ordonat˘a nevid˘a a lui P (i. e. ∅ = 6 T ⊆ P, ¸si, oricare ar fi G , H ∈ T , avem: [ G ⊆ H sau H ⊆ G ). Not˘am cu M := G . Demonstr˘am c˘a M este un majorant al lui T ˆın (P, ⊆). G ∈T

Evident, pentru orice G ∈ T , M ⊇ G , deci M este un majorant al lui T ˆın mult¸imea p˘art¸ilor lui B, ordonat˘a cu ⊆. Mai avem de demonstrat c˘a M ∈ P, i. e. c˘a M este un filtru propriu al lui B care ˆıl include pe F . S˘a nu uit˘am c˘a T = 6 ∅. Fiecare element al lui [ P ˆıl include pe F , prin urmare fiecare G ∈ T ⊆ P satisface G ⊇ F. G ⊇ F , a¸sadar M = G ∈T

Acum s˘a demonstr˘am c˘a M este un filtru al lui B. M ⊇ F 6= ∅ (pentru c˘a F este filtru), deci M 6= ∅. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

25 / 32

Teorema de existent¸˘a a ultrafiltrului S˘a demonstr˘a[ m c˘a M satisface condit¸ia (F1 ) din definit¸ia unui filtru. Fie x, y ∈ M = G , a¸sadar exist˘a G , H ∈ T , a. ˆı. x ∈ G ¸si y ∈ H. Dar (T , ⊆) G ∈T

este total ordonat˘a, deci G ⊆ H sau H ⊆ G . Dac˘a, de exemplu, G ⊆ H, atunci rezult˘a c˘a x, y ∈ H, iar H este un filtru al lui B, deci satisface condit¸ia (F1 ), a¸sadar x ∧ y ∈ H ⊆ M, prin urmare x ∧ y ∈ M. Cazul H ⊆ G se trateaz˘a analog. Deci M satisface condit¸ia (F1 ). Acum s˘a demonstr˘am c˘a M satisface condit [ ¸ia (F2 ) din definit¸ia unui filtru. Fie x ∈ M ¸si y ∈ B, cu x ≤ y . x ∈ M = G , a¸sadar exist˘a G ∈ T a. ˆı. x ∈ G . G ∈T

Dar G este un filtru al lui B, deci satisface condit¸ia (F2 ), iar x ≤ y , a¸sadar y ∈ G ⊆ M, prin urmare y ∈ M. Deci M satisface condit¸ia (F2 ). Am demonstrat c˘a M este un filtru al lui B. Fiecare G ∈ T ⊆ P este un filtru propriu al lui [ B, deci 0 ∈ / G , conform unei caracteriz˘ari a filtrelor proprii. Rezult˘a c˘a 0 ∈ / G = M, deci M este un filtru G ∈T

propriu al lui B, conform aceleia¸si caracteriz˘ari a filtrelor proprii. Prin urmare, M ∈ P, deci M este un majorant al lui T ˆın posetul (P, ⊆). Am demonstrat c˘a (P, ⊆) este o mult¸ime inductiv ordonat˘a. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

26 / 32

Teorema de existent¸˘a a ultrafiltrului Conform Lemei lui Zorn, rezult˘a c˘a (P, ⊆) are (cel put¸in) un element maximal. Fie U un element maximal al lui (P, ⊆). Atunci U ∈ P, deci U este un filtru propriu al lui B ¸si U ⊇ F . Fie P un filtru propriu al lui B a. ˆı. U ⊆ P. Cum F ⊆ U, rezult˘a c˘a F ⊆ P. A¸sadar P este un filtru propriu al lui B care ˆıl include pe F , adic˘a P ∈ P. Dar U este un element maximal al lui (P, ⊆), iar P ∈ P ¸si U ⊆ P. Conform definit¸iei unui element maximal al unui poset, rezult˘a c˘a U = P. A¸sadar, U este un filtru propriu al lui B ¸si, pentru orice filtru propriu P al lui B cu U ⊆ P, rezult˘a c˘a U = P. Deci U este un element maximal al mult¸imii filtrelor proprii ale lui B, adic˘a U este un ultrafiltru al lui B. Am demonstrat c˘a U este un ultrafiltru al lui B ¸si F ⊆ U.

Corolar Orice algebr˘a Boole netrivial˘a are (cel put¸in) un ultrafiltru. Demonstrat¸ie: Conform remarcii care preced˘a Teorema de existent¸˘ aa ultrafiltrului, dac˘a algebra Boole B este netrivial˘a, atunci B are cel put¸in un filtru propriu, de exemplu filtrul trivial {1}. Aplicˆand Teorema de existent¸˘ aa ultrafiltrului, rezult˘a c˘a B are (cel put¸in) un ultrafiltru care include acest filtru propriu. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

27 / 32

Caracterizare a injectivit˘a¸tii morfismelor booleene Pentru urm˘atoarele dou˘a rezultate, fix˘am ˆınc˘a o algebr˘a Boole A := (A, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1), arbitrar˘a.

Remarc˘a Pentru orice morfism boolean f : A → B, au loc: f (0) = 0, deci 0 ∈ f −1 ({0}), adic˘a {0} ⊆ f −1 ({0}); f (1) = 1, deci 1 ∈ f −1 ({1}), adic˘a {1} ⊆ f −1 ({1}).

Propozit¸ie Fie f : A → B un morfism boolean. Atunci urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: 1 2 3

f este injectiv; f −1 ({0}) = {0}; f −1 ({1}) = {1}.

Demonstrat¸ie: (1) ⇒ (3) : Fie x ∈ f −1 ({1}), ceea ce este echivalent cu f (x) ∈ {1}, i. e. f (x) = 1. Dar f (1) = 1, a¸sadar faptul c˘a f e injectiv˘a implic˘a x = 1, i. e. x ∈ {1}. Deci f −1 ({1}) ⊆ {1}, iar cealalt˘a incluziune are loc pentru orice morfism boolean, prin urmare f −1 ({1}) = {1}. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

28 / 32

Caracterizare a injectivit˘a¸tii morfismelor booleene (3) ⇒ (1) : Fie x, y ∈ A, a. ˆı. f (x) = f (y ), ceea ce este echivalent cu f (x) ↔ f (y ) = 1, conform unei propriet˘a¸ti aritmetice a algebrelor Boole demonstrate la sfˆar¸situl Cursului IX. Dar orice morfism boolean comut˘a cu echivalent¸a boolean˘a, prin urmare f (x) ↔ f (y ) = f (x ↔ y ). Am obt¸inut: f (x ↔ y ) = 1, i. e. x ↔ y ∈ f −1 ({1}) = {1}, deci x ↔ y = 1, ceea ce este echivalent cu x = y , conform aceleia¸si propriet˘a¸ti aritmetice la care am f˘acut apel ¸si mai sus. Am demonstrat c˘a f este injectiv˘a. Echivalent¸a (1) ⇔ (2) rezult˘a, prin dualitate, din echivalent¸a (1) ⇔ (3), pe care tocmai am demonstrat–o. Un alt mod de a ˆıncheia demonstrat¸ia acestei propozit¸ii este demonstrarea echivalent¸ei (2) ⇔ (3), care poate fi efectuat˘a astfel: pentru orice x ∈ A, au loc echivalent¸ele: x ∈ f −1 ({0}) ddac˘a f (x) = 0 ddac˘a f (x) = 0 (a se vedea, din nou, sfˆar¸situl Cursului IX) ddac˘a f (x) = 1 ddac˘a x ∈ f −1 ({1}). A¸sadar, dac˘a f −1 ({0}) = {0}, atunci, pentru orice x ∈ A, avem: x = x ∈ f −1 ({1}) ddac˘a x ∈ f −1 ({0}) = {0} ddac˘a x = 0 ddac˘a x = x = 0 = 1 ddac˘a x ∈ {1}; deci f −1 ({1}) = {1}. Reciproc, dac˘a f −1 ({1}) = {1}, atunci, pentru orice x ∈ A, avem: x ∈ f −1 ({0}) ddac˘a x ∈ f −1 ({1}) = {1} ddac˘a x = 1 ddac˘a x = x = 1 = 0 ddac˘a x ∈ {0}; deci f −1 ({0}) = {0}. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

29 / 32

Teorema de reprezentare a lui Stone Remarc˘a Algebra Boole trivial˘a este izomorf˘a cu P(∅) = {∅} ¸si cu L∅2 = {f | f : ∅ → L2 } = {(∅, ∅, L2 )} (acest triplet este, dup˘a cum ¸stim, unica funct¸ie de la ∅ la L2 ). Pentru o formulare clar˘a a urm˘atoarelor dou˘a rezultate, vom renunt¸a, ˆın cele ce urmeaz˘a, la fixarea algebrei Boole B.

Teorem˘a (Teorema de reprezentare a lui Stone) Pentru orice algebr˘a Boole netrivial˘a B, exist˘a o mult¸ime nevid˘a X ¸si un morfism boolean injectiv d : B → (P(X ), ∪, ∩, ·, ∅, X ). Demonstrat¸ie: Fie B := (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1) o algebr˘a Boole netrivial˘a ¸si X := Max(B) (X este mult¸imea ultrafiltrelor lui B). Conform corolarului Teoremei de existent¸˘ a a ultrafiltrului, X 6= ∅. S˘a definim o funct¸ie d : B → P(X ), prin: pentru orice a ∈ B, d(a) := {U ∈ X | a ∈ U}. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

30 / 32

Teorema de reprezentare a lui Stone Fie a, b ∈ B ¸si U ∈ X , toate arbitrare ¸si fixate. Din lema care succede definit¸ia ultrafiltrelor ¸si faptul c˘a ultrafiltrele coincid cu filtrele prime, cunoscut din propozit¸ia privind caracterizarea ultrafiltrelor, obt¸inem: U ∈ d(a ∧ b) ddac˘a a ∧ b ∈ U ddac˘a a ∈ U ¸si b ∈ U ddac˘a U ∈ d(a) ¸si U ∈ d(b) ddac˘a U ∈ d(a) ∩ d(b) ¸si U ∈ d(a ∨ b) ddac˘a a ∨ b ∈ U ddac˘a a ∈ P sau b ∈ P ddac˘a P ∈ d(a) sau P ∈ d(b) ddac˘a P ∈ d(a) ∪ d(b). Am obt¸inut: d(a ∧ b) = d(a) ∩ d(b) ¸si d(a ∨ b) = d(a) ∪ d(b), pentru orice a, b ∈ B. Cum orice filtru ˆıl cont¸ine pe 1, are loc: d(1) = X . ˆIntrucˆat orice ultrafiltru este filtru propriu, iar niciun filtru propriu nu ˆıl cont¸ine pe 0, are loc: d(0) = ∅. Conform unei propozit¸ii din Cursul IX, rezult˘a c˘a d comut˘a ¸si cu operat¸ia de complementare (fapt care putea fi demonstrat ¸si folosind corolarul privind caracterizarea ultrafiltrelor), a¸sadar d este un morfism boolean. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

31 / 32

Teorema de reprezentare a lui Stone Pentru ˆıncheierea demonstrat¸iei, a r˘amas de ar˘atat c˘a d este injectiv. Fie a ∈ d −1 ({∅}), ceea ce este echivalent cu: d(a) = ∅. Presupunem prin absurd c˘a a 6= 0. Atunci filtrul principal [a) = {b ∈ B | a ≤ b} nu ˆıl cont¸ine pe 0, prin urmare [a) este un filtru propriu, conform unei caracteriz˘ari a filtrelor proprii. Din Teorema de existent¸˘ a a ultrafiltrului, rezult˘a c˘a exist˘a un ultrafiltru U cu [a) ⊆ U. Dar a ∈ [a), prin urmare a ∈ U, adic˘a U ∈ d(a) = ∅; am obt¸inut o contradict¸ie. A¸sadar, a = 0, adic˘a d −1 ({∅}) ⊆ {0}, deci d −1 ({∅}) = {0}, ˆıntrucˆat cealalt˘a incluziune este satisf˘acut˘a de orice morfism boolean de la B la P(X ). Aceast˘a egalitate arat˘a c˘a morfismul boolean d este injectiv, conform propozit¸iei anterioare.

Corolar (reformulare a Teoremei de reprezentare a lui Stone) Pentru orice algebr˘a Boole netrivial˘a B, exist˘a o mult¸ime nevid˘a X ¸si un morfism boolean injectiv d : B → LX2 . Demonstrat¸ie: Fie B o algebr˘a Boole netrivial˘a. Conform Teoremei de reprezentare a lui Stone, exist˘a o mult¸ime nevid˘a X ¸si un morfism boolean injectiv d : B → P(X ). Conform propozit¸iei care ˆıncheie Cursul VIII, exist˘a un izomorfism boolean ϕ : P(X ) → LX2 . Prin urmare, compunerea ϕ ◦ d : B → LX2 este un morfism boolean injectiv. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs X logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

32 / 32

Logic˘a matematic˘a ¸si computat¸ional˘a Cursul XI Claudia MURES ¸ AN [email protected] Universitatea din Bucure¸sti Facultatea de Matematic˘ a ¸si Informatic˘ a Bucure¸sti

2011-2012, semestrul I

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

1 / 26

1

Algebre Boole

2

Echivalent¸a algebre Boole – inele Boole

3

Legea de reziduat¸ie

4

Filtre ale unei algebre Boole – mnemonic ¸si rezultate noi

5

Congruent¸e ale unei algebre Boole

6

Corespondent¸a filtre – congruent¸e

7

Algebre Boole factor

8

Structura algebrelor Boole finite

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

2 / 26

Algebre Boole

ˆIn acest curs vom continua studiul algebrelor Boole (caz particular de latici).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

3 / 26

Definit¸ia unei algebre Boole Amintim c˘a: o algebr˘ a Boole este o latice distributiv˘ a m˘ arginit˘ a complementat˘ a, i. e. o structur˘a (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1) compus˘a din: o mult¸ime B, o relat¸ie de ordine part¸ial˘a ≤ pe B, dou˘a operat¸ii binare ∨ ¸si ∧ pe B, notate infixat, dou˘a constante 0, 1 ∈ B, o operat¸ie unar˘a · pe B, iar aceste componente au propriet˘a¸tile: (B, ∨, ∧, ≤) este o latice, i. e.: oricare ar fi x, y ∈ B, exist˘ a sup{x, y } ¸si inf{x, y } ˆın posetul (B, ≤); ∨ ¸si ∧ sunt idempotente, comutative ¸si asociative, i. e.: pentru orice x, y , z ∈ B, au loc: x ∨ x = x, x ∨ y = y ∨ x, x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z, ¸si la fel pentru ∧; ∨ ¸si ∧ verific˘ a absorbt¸ia: pentru orice x, y ∈ B, x ∨ (x ∧ y ) = x ¸si x ∧ (x ∨ y ) = x; pentru orice x, y ∈ B, x ≤ y ddac˘ a x ∨ y = y ddac˘ a x ∧ y = x; pentru orice x, y ∈ B, x ∨ y = sup{x, y }; pentru orice x, y ∈ B, x ∧ y = inf{x, y }; Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

4 / 26

Definit¸ia unei algebre Boole laticea (B, ∨, ∧, ≤) este distributiv˘ a, i. e.: ∨ este distributiv˘ a fat¸˘ a de ∧, i. e.: pentru orice x, y , z ∈ B, x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z); ∧ este distributiv˘ a fat¸˘ a de ∨, i. e.: pentru orice x, y , z ∈ B, x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z);

(B, ∨, ∧, ≤, 0, 1) este o latice m˘ arginit˘ a, i. e., ˆın plus: 0 este minimul posetului (B, ≤); 1 este maximul posetului (B, ≤);

laticea m˘arginit˘a (B, ∨, ∧, ≤, 0, 1) este complementat˘ a ¸si satisface unicitatea complementului, datorit˘a distributivit˘ a¸tii, iar · este operat¸ia de complementare: pentru orice x ∈ B, x  este unicul complement al lui x, adic˘ a unicul element  x ∨ x = 1  x ∈ B care satisface: ¸si   x ∧ x = 0.

ˆIn plus, ˆın orice algebr˘a Boole (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1), se definesc urm˘atoarele operat¸ii binare derivate: implicat¸ia (boolean˘ a), →: pentru orice x, y ∈ B, x → y := x ∨ y ; echivalent¸a (boolean˘ a), ↔: pentru orice x, y ∈ B, x ↔ y := (x → y ) ∧ (y → x). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

5 / 26

1

Algebre Boole

2

Echivalent¸a algebre Boole – inele Boole

3

Legea de reziduat¸ie

4

Filtre ale unei algebre Boole – mnemonic ¸si rezultate noi

5

Congruent¸e ale unei algebre Boole

6

Corespondent¸a filtre – congruent¸e

7

Algebre Boole factor

8

Structura algebrelor Boole finite

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

6 / 26

Echivalent¸a algebre Boole – inele Boole Observat¸ie Pentru toate definit¸iile legate de acest paragraf al cursului de fat¸˘a ¸si pentru demonstrat¸iile rezultatelor enunt¸ate aici, a se vedea, de exemplu, cartea de G. Georgescu ¸si A. Iorgulescu din bibliografia din Cursul I, dar ¸si celelalte c˘art¸i din acea list˘a bibliografic˘a. Pentru un exemplu de aplicat¸ie la teorema urm˘atoare, a se vedea referatul despre ecuat¸ii booleene din seria de materiale didactice pe care le–am trimis pe mail. Demonstrat¸iile omise aici nu fac parte din materia pentru examen. ˆIn definit¸ia ¸si rezultatele de mai jos, not˘am x 2 := x · x ¸si x · y := xy .

Definit¸ie Se nume¸ste inel Boole un inel unitar (B, +, ·, 0, 1) cu proprietatea c˘a x 2 = x pentru orice x ∈ B.

Lem˘a ˆIn orice inel Boole B, au loc: pentru orice elemente x, y ∈ B, xy = yx ¸si x + x = 0 (cu alte cuvinte, orice inel Boole este comutativ ¸si orice element nenul al unui inel Boole are ordinul 2 ˆın grupul aditiv subiacent inelului; sigur c˘a ordinul lui 0 este 1, 0 fiind elementul neutru al acestui grup aditiv: 0 = 0). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

7 / 26

Echivalent¸a algebre Boole – inele Boole Teorem˘a (echivalent¸a algebr˘a Boole ⇔ inel Boole) Orice algebr˘a Boole poate fi organizat˘a ca un inel Boole, ¸si invers. Mai precis: Fie B := (B, +, ·, 0, 1) un inel Boole. Definim operat¸iile ∨, ∧ ¸si − pe B prin: pentru orice x, y ∈ B:   x ∨ y = x + y + xy x ∧ y = xy   x =x +1 Atunci (B, ∨, ∧,− , 0, 1) este o algebr˘a Boole, pe care o vom nota cu A(B). Fie B := (B, ∨, ∧,− , 0, 1) o algebr˘a Boole. Definim operat¸iile + ¸si · pe B prin: pentru orice x, y ∈ B: ( x + y = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ y ) xy = x ∧ y Atunci (B, +, ·, 0, 1) este un inel Boole, pe care ˆıl vom nota cu I(B). Aplicat¸iile A ¸si I sunt “inverse una alteia“, ˆın sensul c˘a, pentru orice inel Boole B, I(A(B)) = B, ¸si, pentru orice algebr˘a Boole B, A(I(B)) = B. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

8 / 26

1

Algebre Boole

2

Echivalent¸a algebre Boole – inele Boole

3

Legea de reziduat¸ie

4

Filtre ale unei algebre Boole – mnemonic ¸si rezultate noi

5

Congruent¸e ale unei algebre Boole

6

Corespondent¸a filtre – congruent¸e

7

Algebre Boole factor

8

Structura algebrelor Boole finite

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

9 / 26

Legea de reziduat¸ie

Amintim:

Lem˘a Fie (L, ∨, ∧, ≤) o latice ¸si a, b, x, y ∈ L. Dac˘a a ≤ b ¸si x ≤ y , atunci: a ∨ x ≤ b ∨ y ¸si a ∧ x ≤ b ∧ y . ˆIn particular, dac˘a a ≤ b, atunci a ∨ x ≤ b ∨ x ¸si a ∧ x ≤ b ∧ x. Pentru restul acestei prezent˘ari, fix˘am o algebr˘a Boole arbitrar˘a B := (B, ∨, ∧, ≤, ·, 0, 1).

Propozit¸ie (legea de reziduat¸ie) Pentru orice elemente α, β, γ ∈ B, are loc echivalent¸a: α ≤ β → γ ⇔ α ∧ β ≤ γ. Demonstrat¸ie: Vom demonstra echivalent¸a din enunt¸ prin dubl˘a implicat¸ie.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

10 / 26

Legea de reziduat¸ie

“⇐“: Dac˘a α ∧ β ≤ γ, atunci, conform lemei anterioare, luˆand supremumul dintre fiecare membru al acestei inegalit˘a¸ti ¸si β, obt¸inem: (α ∧ β) ∨ β ≤ γ ∨ β. ˆIn aceast˘a inegalitate aplic˘am distributivitatea unei algebre Boole ¸si definit¸ia implicat¸iei ˆıntr-o algebr˘a Boole, ¸si obt¸inem inegalitatea echivalent˘a: (α ∨ β) ∧ (β ∨ β) ≤ β → γ, adic˘a (α ∨ β) ∧ 1 ≤ β → γ, adic˘a α ∨ β ≤ β → γ, de unde, ˆıntrucˆat α ≤ sup{α, β} = α ∨ β ¸si aplicˆand tranzitivitatea unei relat¸ii de ordine, rezult˘a: α ≤ β → γ. “⇒“: Dac˘a α ≤ β → γ, adic˘a, explicitˆand definit¸ia implicat¸iei ˆıntr-o algebr˘a Boole, α ≤ β ∨ γ, atunci, conform lemei anterioare, luˆand infimumul dintre fiecare membru al acestei inegalit˘a¸ti ¸si β, obt¸inem: α ∧ β ≤ (β ∨ γ) ∧ β, adic˘a, aplicˆand distributivitatea unei algebre Boole, α ∧ β ≤ (β ∧ β) ∨ (γ ∧ β), adic˘a α ∧ β ≤ 0 ∨ (γ ∧ β), adic˘a α ∧ β ≤ γ ∧ β. Aplicˆand ˆın aceast˘a ultim˘a inegalitate faptul c˘a γ ∧ β = inf{γ, β} ≤ γ ¸si tranzitivitatea unei relat¸ii de ordine, obt¸inem: α ∧ β ≤ γ.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

11 / 26

1

Algebre Boole

2

Echivalent¸a algebre Boole – inele Boole

3

Legea de reziduat¸ie

4

Filtre ale unei algebre Boole – mnemonic ¸si rezultate noi

5

Congruent¸e ale unei algebre Boole

6

Corespondent¸a filtre – congruent¸e

7

Algebre Boole factor

8

Structura algebrelor Boole finite

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

12 / 26

Filtre ale unei algebre Boole – mnemonic ¸si rezultate noi Definit¸ie O submult¸ime nevid˘a F a lui B se nume¸ste filtru al lui B ddac˘a, pentru orice x, y ∈ B: (F1 ) dac˘a x, y ∈ F , atunci x ∧ y ∈ F ; (F2 ) dac˘a x ∈ F ¸si x ≤ y , atunci y ∈ F . Dat˘a o submult¸ime oarecare M ⊆ B, exist˘a cel mai mic filtru al lui B care include pe M (cel mai mic ˆın raport cu incluziunea), anume intersect¸ia tuturor filtrelor lui B care includ pe M, ¸si acest filtru se nume¸ste filtrul generat de M ¸si se noteaz˘a cu < M > sau cu [M). Filtrul generat de o mult¸ime cu un singur element, de exemplu M = {x}, cu x ∈ B, se nume¸ste filtrul principal generat de x ¸si se noteaz˘a cu < x > sau cu [x).

Remarc˘a Este imediat, din definit¸ia unui filtru generat de o mult¸ime, c˘a, oricare ar fi un filtru F , [F ) = F .

Remarc˘a [∅) = {1}. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

13 / 26

Filtre ale unei algebre Boole – mnemonic ¸si rezultate noi Propozit¸ie Dac˘a x ∈ B, atunci: < x >= {y ∈ B|x ≤ y } (filtrul principal generat de x este egal cu mult¸imea majorant¸ilor lui x din B).

Propozit¸ie Pentru orice submult¸ime nevid˘a X a lui B, [X ) = {a ∈ B | (∃n ∈ N∗ )(∃x1 , x2 , . . . , xn ∈ X )x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn ≤ a}.

Propozit¸ie Orice filtru finit generat (i. e. generat de o mult¸ime finit˘a) este principal. ˆIn consecint¸˘a, orice filtru finit al unei algebre Boole oarecare este principal, a¸sadar orice filtru al unei algebre Boole finite este principal. Demonstrat¸ie: [∅) = {1} = [1). Fie F := [X ) un filtru al lui B generat de o submult¸ime finit˘a ¸si nevid˘a X := {x1 , . . . , xn } ⊆ B, cu n ∈ N∗ . Conform propozit¸iei anterioare, rezult˘a c˘a F = {a ∈ B | (∃k ∈ N∗ )(∃y1 , y2 , . . . , yk ∈ X )y1 ∧ y2 ∧ . . . ∧ yk ≤ a} = [x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn ), ultima egalitate rezultˆand u¸sor prin dubl˘a incluziune. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

14 / 26

Filtre ale unei algebre Boole – mnemonic ¸si rezultate noi

Propozit¸ie (tem˘a pentru seminar) Fie f : A → B un morfism boolean, iar F un filtru al algebrei Boole A ¸si G un filtru al algebrei Boole B. Atunci: 1 2

f −1 (G ) este un filtru al lui A; dac˘a f e surjectiv, atunci f (F ) este un filtru al lui B.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

15 / 26

1

Algebre Boole

2

Echivalent¸a algebre Boole – inele Boole

3

Legea de reziduat¸ie

4

Filtre ale unei algebre Boole – mnemonic ¸si rezultate noi

5

Congruent¸e ale unei algebre Boole

6

Corespondent¸a filtre – congruent¸e

7

Algebre Boole factor

8

Structura algebrelor Boole finite

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

16 / 26

Congruent¸e ale unei algebre Boole S¸tim c˘a o relat¸ie de echivalent¸˘a pe o mult¸ime este o relat¸ie binar˘a reflexiv˘a, simetric˘a ¸si tranzitiv˘a (adic˘a o preordine simetric˘a) pe acea mult¸ime.

Definit¸ie Fie B o algebr˘a Boole ¸si ∼ o relat¸ie de echivalent¸˘a pe B. Atunci ∼ este o congruent¸˘a pe B ddac˘a este compatibil˘a cu operat¸iile lui B, adic˘a, pentru orice x, y , x 0 , y 0 ∈ B, avem: 1 2 3

dac˘a x ∼ y ¸si x 0 ∼ y 0 , atunci x ∨ x 0 ∼ y ∨ y 0 ; dac˘a x ∼ y ¸si x 0 ∼ y 0 , atunci x ∧ x 0 ∼ y ∧ y 0 ; dac˘a x ∼ y , atunci x ∼ y .

Dac˘a, ˆın definit¸ia anterioar˘a, vet¸i generaliza cele trei relat¸ii dˆand compatibilitatea lui ∼ cu operat¸iile binare ∨ ¸si ∧ ¸si operat¸ia unar˘a − , pentru a obt¸ine relat¸ia care d˘a compatibilitatea cu o operat¸ie de aritate oarecare, atunci vet¸i observa c˘a: compatibilitatea cu operat¸iile zeroare ale lui B, adic˘a, constantele 0 ¸si 1, semnific˘a faptul c˘a 0 ∼ 0 ¸si 1 ∼ 1, deci este satisf˘acut˘a de orice relat¸ie binar˘a reflexiv˘a pe B. De aceea, compatibilitatea cu 0 ¸si 1 nu a ap˘arut ca cerint¸˘a ˆın definit¸ia de mai sus. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

17 / 26

1

Algebre Boole

2

Echivalent¸a algebre Boole – inele Boole

3

Legea de reziduat¸ie

4

Filtre ale unei algebre Boole – mnemonic ¸si rezultate noi

5

Congruent¸e ale unei algebre Boole

6

Corespondent¸a filtre – congruent¸e

7

Algebre Boole factor

8

Structura algebrelor Boole finite

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

18 / 26

Corespondent¸a filtre – congruent¸e

Propozit¸ie (tem˘a pentru seminar) Mult¸imea congruent¸elor unei algebre Boole este ˆın biject¸ie cu mult¸imea filtrelor sale. Existent¸a unei biject¸ii se demonstreaz˘a construind dou˘a funct¸ii ˆıntre cele dou˘a mult¸imi, ˆın sensuri opuse, ¸si ar˘atˆand c˘a sunt inverse una celeilalte, a¸sadar sunt inversabile, deci sunt biject¸ii. Amintim doar definit¸iile celor dou˘a funct¸ii pentru o algebr˘a Boole oarecare B: funct¸ia de la mult¸imea filtrelor la mult¸imea congruent¸elor: oric˘arui filtru F ˆıi asociem congruent¸a ∼F , definit˘a prin: pentru orice x, y ∈ B, x ∼F y ddac˘a x ↔ y ∈ F; funct¸ia de la mult¸imea congruent¸elor la mult¸imea filtrelor: oric˘arei congruent¸e ∼ ˆıi asociem filtrul F ∼ , definit prin: F ∼ = {x ∈ B|x ∼ 1}.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

19 / 26

Propozit¸ie Fie a, b, x ∈ B ¸si F un filtru al lui B. Atunci, cu notat¸iile de mai sus, au loc echivalent¸ele: 1

a ∼ b ddac˘a a ∧ x = b ∧ x;

2

a ∼F b ddac˘a exist˘a un element f ∈ F astfel ˆıncˆat a ∧ f = b ∧ f .

Demonstrat¸ie: A se vedea corespondent¸a dintre filtre ¸si congruent¸e, forma unui filtru principal, ¸si legea de reziduat¸ie. (1) a ∼ b ddac˘a a ↔ b ∈ ddac˘a x ≤ a ↔ b ddac˘ ( a x ≤ a → b ¸si x ∧ a ≤ b ¸si x ≤ (a → b) ∧ (b → a) ddac˘a ddac˘a ddac˘a x ≤b→a x ∧b ≤a ( ( a ∧ x ≤ b ¸si a ∧ x ≤ b ∧ x ¸si ddac˘a ddac˘a a ∧ x = b ∧ x. b∧x ≤a b∧x ≤a∧x

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

20 / 26

Corespondent¸a filtre – congruent¸e

(2) “⇒“: a ∼F b ddac˘a a ↔ b ∈ F ddac˘a exist˘a un f ∈ F astfel ˆıncˆat a ↔ b = f , ceea ce implic˘a f ≤ a ↔ b, adic˘a a ↔ b ∈< f >, ceea ce este echivalent cu a ∼ b, ceea ce este echivalent cu a ∧ f = b ∧ f , conform lui (1). “⇐“: Conform punctului (1), dac˘a exist˘a f ∈ F astfel ˆıncˆat a ∧ f = b ∧ f , atunci a ∼ b, adic˘a a ↔ b ∈< f >. Dar f ∈ F , deci < f >⊆ F (pentru c˘a F este filtru, deci faptul c˘a ˆıl cont¸ine pe f implic˘a faptul c˘a include cel mai mic filtru care ˆıl cont¸ine pe f , adic˘a filtrul generat de f ), a¸sadar a ↔ b ∈ F , adic˘a a ∼F b.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

21 / 26

1

Algebre Boole

2

Echivalent¸a algebre Boole – inele Boole

3

Legea de reziduat¸ie

4

Filtre ale unei algebre Boole – mnemonic ¸si rezultate noi

5

Congruent¸e ale unei algebre Boole

6

Corespondent¸a filtre – congruent¸e

7

Algebre Boole factor

8

Structura algebrelor Boole finite

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

22 / 26

Algebre Boole factor Propozit¸ie (tem˘a pentru seminar) Fie F un filtru al lui B ¸si ∼F congruent¸a asociat˘a lui F . Pentru fiecare x ∈ B, fie x/F := {y ∈ B | x ∼F y } clasa de echivalent¸˘a a lui x raportat la ∼F . Atunci: mult¸imea factor B/ ∼F = {x/F | x ∈ B} se mai noteaz˘a cu B/F ¸si se poate organiza ca algebr˘a Boole cu urm˘atoarele operat¸ii, pe care le vom nota la fel ca pe acelea ale lui B: pentru orice x, y ∈ B, x/F ∨ y /F := (x ∨ y )/F pentru orice x, y ∈ B, x/F ∧ y /F := (x ∧ y )/F pentru orice x ∈ B, x/F := x/F 0 := 0/F ¸si 1 := 1/F Propriet˘a¸tile acestor operat¸ii, care arat˘a c˘a ele determin˘a pe B/F o structur˘a de algebr˘a Boole, se obt¸in imediat din propriet˘a¸tile operat¸iilor algebrei Boole B. Faptul c˘a ∼F este congruent¸˘a pe B, i. e. echivalent¸˘a care comut˘a cu operat¸iile lui B, arat˘a c˘a operat¸iile lui B/F sunt bine definite. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

23 / 26

Algebre Boole factor

Remarc˘a Este imediat c˘a, pentru orice filtru F , surject¸ia canonic˘a pF : B → B/F , pentru orice x ∈ B, pF (x) := x/F , este un morfism boolean surjectiv.

Propozit¸ie (tem˘a pentru seminar) Fie f : A → B un morfism boolean. Atunci f (A) este o subalgebr˘a Boole a lui B, izomorf˘a cu algebra Boole factor A/f −1 ({1}).

Propozit¸ie (tem˘a pentru seminar) Fie F un filtru al algebrei Boole B. Atunci: F este ultrafiltru ddac˘a algebra Boole factor B/F este izomorf˘a cu L2 .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

24 / 26

1

Algebre Boole

2

Echivalent¸a algebre Boole – inele Boole

3

Legea de reziduat¸ie

4

Filtre ale unei algebre Boole – mnemonic ¸si rezultate noi

5

Congruent¸e ale unei algebre Boole

6

Corespondent¸a filtre – congruent¸e

7

Algebre Boole factor

8

Structura algebrelor Boole finite

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

25 / 26

Structura algebrelor Boole finite

Teorem˘a (tem˘a pentru seminar) Dac˘a B este o algebr˘a Boole finit˘a, atunci exist˘a un num˘ar natural n, astfel ˆıncˆat B este izomorf˘a cu Ln2 .

Corolar Dou˘a algebre Boole finite de acela¸si cardinal sunt izomorfe.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XI logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

26 / 26

Logic˘a matematic˘a ¸si computat¸ional˘a Cursul XII Claudia MURES ¸ AN [email protected] Universitatea din Bucure¸sti Facultatea de Matematic˘ a ¸si Informatic˘ a Bucure¸sti

2011-2012, semestrul I

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

1 / 49

Logic˘a matematic˘a clasic˘a. Calculul propozit¸ional

Logica matematic˘ a este o ramur˘a a matematicii care se ocup˘a cu exprimarea formalizat˘a (i. e. formal˘a, simbolic˘a) a legilor gˆandirii ¸si studierea acestora cu mijloace matematice. Ne propunem s˘a studiem logica clasic˘ a, ˆın dou˘a forme ale ei: logica propozit¸iilor ¸si logica predicatelor sau a propozit¸iilor cu variabile. Vom face deosebirea dintre aceste dou˘a tipuri de logic˘a clasic˘a mai tˆarziu. ˆIn acest curs vom ˆıncepe studiul sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

2 / 49

Logic˘a matematic˘a clasic˘a. Calculul propozit¸ional

Vom studia sistemul formal al calculului propozit¸ional clasic sub trei aspecte fundamentale: 1

2

3

sintaxa, care se ocup˘ a de limbajul formal al calculului propozit¸ional clasic, i. e. de cadrul formal, de exprimarea ˆın simboluri a obiectelor matematice cu care vom lucra; algebra, care asociaz˘ a o structur˘ a algebric˘ a sistemului formal descris ˆın partea de sintax˘ a ¸si folose¸ste aceast˘ a asociere pentru a transfera propriet˘ a¸tile algebrice ale acelei structuri ˆın propriet˘ a¸ti logice, ¸si invers; semantica, aceasta fiind partea ˆın care, pe baza structurii algebrice ata¸sate logicii, se calculeaz˘ a efectiv valorile de adev˘ ar ale enunt¸urilor (fals sau adev˘ arat).

Exist˘a ¸si alte aspecte sub care poate fi studiat un sistem logic, denumite adesea dimensiuni ale sistemului logic, cum ar fi: aspectul topologic, cel probabilist etc., dar studierea lor dep˘a¸seste cadrul ¸si scopul acestui curs.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

3 / 49

1

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic

2

Syntactic Properties of L

3

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

4 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic The following symbols form the language of the formal system of classical propositional logic: 1

2

3

the propositional variables, usually denoted u, v , w etc., sometimes with indexes; the set of the propositional variables, which we will denote by V , is required to be infinite and numerable; the logical connectives: ¬ : the negation symbol (will be read: “non“) → : the implication symbol (will be read: “implies“) the parantheses: (, ), [, and ].

The symbols enumerated above are called primitive symbols. Traducere pentru ce urmeaz˘a: formula sentence

cuvˆ ant enunt¸, formul˘ a

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

5 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic The finite non-empty sequences of primitive symbols are called formulas.

Example u → ¬ v , ¬ (u → ¬ v ) → w , → u →→ uv ¬ ) are formulas. Intuition makes us give “meaning“ to the primitive symbols, and tells us that the first two formulas from the example above “make sense“, while the third one does not. Out of the formulas of the logical system that we are constructing now, we will select the ones that “have meaning“, and we will call these ones sentences. Here is their rigorous definition:

Definition A sentence is a formula ϕ that verifies one of the following conditions: 1

ϕ is a propositional variable;

2

there exists a sentence ψ such that ϕ = ¬ ψ;

3

there exist two sentences ψ and χ such that ϕ = ψ → χ.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

6 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic Remark The definition of a sentence above is given by induction. It is immediate that any sentence can be obtained by applying the steps (1), (2) and (3) from Definition 2 a finite number of times, because any sentence is a formula, thus a finite sequence of primitive symbols, and every time we apply one of the steps above, the length of the sequence of primitive symbols that forms the sentence at the current step increases by at least one unit. The initial step of the induction that generates a certain sentence is (1) from the definition above, while the induction steps are (2) and (3). Propositional variables will be called atomic or elementary sentences. The set of all sentences will be denoted by E . Privitor la scrierea enunt¸urilor: se acord˘a prioritate mai mare conectorului “unar“ ¬ ¸si prioritate mai mic˘a celui “binar“, →, pentru a evita ˆınc˘arcarea scrierii cu prea multe paranteze. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

7 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic

Now we will define the derivative logical connectives ∨, ∧ and ↔: for any sentences ϕ, ψ ∈ E , we shall denote (introduce the following abbreviations): ϕ ∨ ψ = ¬ϕ → ψ (the join of ϕ and ψ) ϕ ∧ ψ = ¬ (ϕ → ¬ ψ) (the meet of ϕ and ψ) ϕ ↔ ψ = (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) (the logical equivalence of ϕ and ψ)

Remark In our presentation of the formal system of classical propositional logic, we have considered the negation and the implication as primitive connectives. The derivative connectives join, meet and logical equivalence have been introduced by the abbreviations above. There are presentations of the formal system of classical propositional logic which are equivalent to the one we have made here and which use other primitive connectives.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

8 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic

In order to develop the syntax of the formal system of classical propositional logic, we aim at establishing a notion that represents the “formal truths“ of this logical system and a notion that defines the syntactic inference (syntactic deduction). The syntactic inference will be given by a deduction rule called modus ponens. The “formal truths“ of the system will be the axioms described below, together with any sentence that can be deduced from them by applying the modus ponens deduction rule.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

9 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic

Definition An axiom of the formal system of classical propositional logic is a sentence of any of the following three forms, where ϕ, ψ, χ ∈ E are arbitrary sentences: (A1 ) ϕ → (ψ → ϕ) (A2 ) (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ)) (A3 ) (¬ ϕ → ¬ ψ) → (ψ → ϕ) Each of the patterns (A1 ), (A2 ) and (A3 ) is an axiom schema, that is a rule for generating an infinite number of axioms. The axioms of classical propositional logic are the instances of these axiom schemata, that is sentences of one of the forms (A1 ), (A2 ) and (A3 ) with ϕ, ψ and χ given sentences. By extension, we shall sometimes call the axiom schemata (A1 ), (A2 ) and (A3 ), simply, axioms.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

10 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic

Remark It can be proved that these axiom schemata are independent, that is none of them can be proved from the other two by the syntactic inference we are about to define. This means that no pair of the axiom schemata above can produce by syntactic deduction all the “syntactic truths“ of this logical system, that are derived from all three of these schemata. Other equivalent sets of axiom schemata (that is, sets of axiom schemata with the same set of “syntactic consequences“), involving the same or different sets of primitive connectives, can be alternatively constructed for classical propositional logic.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

11 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic Definition The formal theorems (or, in brief, theorems) of classical propositional logic are the sentences defined by the following three rules: (T 1) any axiom is a theorem; (T 2) if there exist two sentences ϕ, ψ ∈ E such that ψ and ψ → ϕ are theorems, then ϕ is a theorem; (T 3) any theorem of classical propositional logic can be obtained by applying rules (T 1) and (T 2) a finite number of times. Formal theorems are also called the syntactic truths of the logical system. The fact that a sentence ϕ is a formal theorem will be denoted: ` ϕ. The set of all formal theorems will be denoted by T . Rule (T 1) is called the modus ponens deduction rule and can be written in the ` ψ, ` ψ → ϕ following symbolic form: . We will abbreviate this deduction rule `ϕ by: m. p.. The definition of a formal theorem has also been given by induction. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

12 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic

Definition Let ϕ be a sentence. A formal proof for ϕ is a finite sequence of sentences ϕ1 , . . . , ϕn such that n ∈ N∗ , ϕn = ϕ and, for all i ∈ 1, n, one of the following conditions is satisfied: (1) ϕi is an axiom; (2) there exist k, j ∈ 1, i − 1 such that ϕk = ϕj → ϕi . n is called the length of the formal proof ϕ1 , . . . , ϕn . It is easy to notice that conditions (1) and (2) express exactly rules (T 1) and (T 2), respectively, which immediately implies that a sentence ϕ is a formal theorem iff there exists a formal proof for ϕ. Of course, a theorem may have more than one formal proof and can have formal proofs of different lengths.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

13 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic Definition Let Γ ⊆ E be a set of sentences. The sentences that are (syntactically) deduced from the hypotheses Γ, also called syntactic consequences of Γ, are defined this way: (D1 ) any axiom is deduced from the hypotheses Γ; (D2 ) any sentence ϕ ∈ Γ is deduced from the hypotheses Γ; (D3 ) if ϕ, ψ ∈ E are sentences such that ψ and ψ → ϕ are deduced from the hypotheses Γ, then ϕ is deduced from the hypotheses Γ; (D4 ) any sentence that is deduced from the hypotheses Γ can be obtained by applying the rules (D1 ), (D2 ) and (D3 ) a finite number of times. We will denote the fact that a sentence ϕ is deduced from the hypotheses Γ ⊆ E by: Γ ` ϕ. Γ ` ψ, Γ ` ψ → ϕ Rule (D3 ) can be written in a symbolic form like this: . This Γ`ϕ rule also is called modus ponens and will be abbreviated m. p.. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

14 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic We will be using this common notation for deduction rules of a logical system: condition C1 , with the significance that: if condition C1 is satisfied, then consequence C2 consequence C2 is satisfied.

Definition Let ϕ be a sentence and Γ be a set of sentences. A Γ−formal proof for ϕ is a finite sequence of sentences ϕ1 , . . . , ϕn such that n ∈ N∗ , ϕn = ϕ and, for all i ∈ 1, n, one of the following conditions is satisfied: (10 ) ϕi is an axiom; (20 ) ϕi ∈ Γ; (30 ) there exist k, j ∈ 1, i − 1 such that ϕk = ϕj → ϕi . n is called the length of the Γ−formal proof ϕ1 , . . . , ϕn . It is easy to see that conditions (10 ), (20 ) and (30 ) express exactly rules (D1 ), (D2 ) and (D3 ), respectively, thus it is immediate that, for any ϕ ∈ E and any Γ ⊆ E , the following equivalence holds: ϕ is deduced from the hypotheses Γ iff there exists a Γ−formal proof for ϕ. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

15 / 49

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic

Remark It is trivial that, for any sentence ϕ and any set of sentences Γ: 1 2 3

∅ ` ϕ iff ` ϕ; if ` ϕ, then Γ ` ϕ; if ϕ ∈ Γ, then Γ ` ϕ.

This concludes the syntactic description of the formal system of classical propositional logic. We will denote this logical system by L. Notice that the whole presentation above has been developped on a syntactic level: by starting from a set of symbols, we have defined the sentences, then the formal theorems and the syntactic deduction (syntactic inference).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

16 / 49

1

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic

2

Syntactic Properties of L

3

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

17 / 49

Syntactic Properties of L

In this section we are going to present some syntactic properties of L, the most important of which is the Deduction Theorem. This result will lead us to the most significant formal theorems of L. One major proof technique we will be using is what we will be calling induction on a concept. Each of the concepts we will be referring to whenever we will be calling on this technique are defined by applying a finite set of rules a finite number of times, thus it will be easy to see that this technique is actually the ordinary induction on a natural number.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

18 / 49

Syntactic Properties of L Proposition Let Γ, ∆ ⊆ E and ϕ ∈ E . 1

If Γ ⊆ ∆ and Γ ` ϕ, then ∆ ` ϕ.

2

If Γ ` ϕ, then there exists Σ ⊆ Γ such that Σ is a finite set and Σ ` ϕ.

3

If Γ ` χ for all χ ∈ ∆ and ∆ ` ϕ, then Γ ` ϕ.

Demonstrat¸ie: (1) Trivial, by the very definition of the syntactic deduction from hypotheses. (2) This is just a paraphrase of the fact that Γ ` ϕ iff there exists a Γ−formal proof for ϕ (see the definition of a Γ−formal proof). (3) First apply (2) and conclude that there exists a ∆0 −formal proof for ϕ, with ∆0 a finite subset of ∆. Then, once again, apply the fact that deduction from a set H ⊆ E of hypotheses is equivalent to the existence of an H−formal proof, and then put the Γ−formal proofs for each χ ∈ ∆0 and the ∆0 −formal proof for ϕ together to obtain a Γ−formal proof for ϕ. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

19 / 49

Syntactic Properties of L

Proposition (The Law of Identity / The Principle of Identity) For any sentence ϕ, ` ϕ → ϕ. Demonstrat¸ie: Let ϕ ∈ E . Here is a formal proof for the sentence ϕ → ϕ: ` ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ) ` [ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ)] → [(ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ)] ` (ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ) ` ϕ → (ϕ → ϕ) `ϕ→ϕ

(A1 ) (A2 ) m. p. (A1 ) m. p.

We shall use the abbreviation P. I. for the Principle of Identity.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

20 / 49

Syntactic Properties of L

Theorem (The Deduction Theorem) For any Γ ⊆ E and any ϕ, ψ ∈ E , we have the following equivalence: Γ ` ϕ → ψ iff Γ ∪ {ϕ} ` ψ.

Demonstrat¸ie: “⇒“: By Proposition 2.1, (1) and m. p., we have: Γ ` ϕ → ψ, so that Γ ∪ {ϕ} ` ϕ → ψ, but Γ ∪ {ϕ} ` ϕ, hence Γ ∪ {ϕ} ` ψ. “⇐“: Here we shall apply induction on the concept of a sentence that has a formal proof from a set of hypotheses, applied, in this case, to the property Γ ∪ {ϕ} ` ψ. So, by the hypothesis of the converse implication, we have: Γ ∪ {ϕ} ` ψ, which means that we are situated in one of the following cases: (10 ): ψ is an axiom. Then ` ψ. But ` ψ → (ϕ → ψ) by (A1 ), so m. p. gives us ` ϕ → ψ and hence Γ ` ϕ → ψ.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

21 / 49

Syntactic Properties of L (20 ): ψ ∈ Γ ∪ {ϕ}. We shall divide this case into two subcases: (20 ).(a): ψ ∈ Γ. Then Γ ` ψ. But ` ψ → (ϕ → ψ) by (A1 ), thus Γ ` ψ → (ϕ → ψ). Therefore Γ ` ϕ → ψ by m. p.. (20 ).(b): ψ = ϕ. By P. I., ` ϕ → ϕ, thus ` ϕ → ψ and therefore Γ ` ϕ → ψ. (30 ) (the induction step): there exists a sentence α such that Γ ∪ {ϕ} ` α, Γ ∪ {ϕ} ` α → ψ and α and α → ψ satisfy the induction hypothesis, thus Γ ` ϕ → α and Γ ` ϕ → (α → ψ). By (A2 ), ` (ϕ → (α → ψ)) → ((ϕ → α) → (ϕ → ψ)), hence Γ ` (ϕ → (α → ψ)) → ((ϕ → α) → (ϕ → ψ)). By applying m. p. twice, we get Γ ` (ϕ → α) → (ϕ → ψ) and then Γ ` ϕ → ψ. From now on, whenever necessary, we will use the abbreviation D. T. for the Deduction Theorem.

Remark In the proofs for the Principle of Identity and the Deduction Theorem, axiom schema (A3 ) has not been used.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

22 / 49

Syntactic Properties of L Proposition For any ϕ, ψ, χ ∈ E and any Σ ⊆ E , we have: ` (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ)) Demonstrat¸ie: We will apply successively m. p. and D. T.. {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ` ϕ {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ` ϕ → ψ {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ` ψ {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ` ψ → χ {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ` χ {ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ {ϕ → ψ} ` (ψ → χ) → (ϕ → χ) ` (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ))

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

m. p. m. p. D. T. D. T. D. T.

2011-2012, semestrul I

23 / 49

Syntactic Properties of L

deduction rule (R1 ):

Σ ` ϕ → ψ, Σ ` ψ → χ ` ϕ → ψ, ` ψ → χ and `ϕ→χ Σ`ϕ→χ

Demonstrat¸ie: By (23) and m. p.. The more general version with arbitrary Σ results by m. p. and the fact that (23) implies Σ ` (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ)). Demonstrat¸ii analoge pot fi date pentru rezultatele de mai jos. Vom mai exemplifica prin demonstrat¸ii formale ˆın cazul unora dintre acestea.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

24 / 49

Syntactic Properties of L

` ¬¬ϕ → ϕ ` ϕ → ¬¬ϕ ` ϕ → (ϕ ∨ ψ) ` ψ → (ϕ ∨ ψ) deduction rule (R3 ):

` ϕ → χ, ` ψ → χ Σ ` ϕ → χ, Σ ` ψ → χ and ` (ϕ ∨ ψ) → χ Σ ` (ϕ ∨ ψ) → χ

` (ϕ ∧ ψ) → ϕ ` (ϕ ∧ ψ) → ψ deduction rule (R4 ):

` χ → ϕ, ` χ → ψ Σ ` χ → ϕ, Σ ` χ → ψ and ` χ → (ϕ ∧ ψ) Σ ` χ → (ϕ ∧ ψ)

` (ϕ ∧ ψ) → (ψ ∧ ϕ)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

25 / 49

Syntactic Properties of L

` (ϕ ↔ ψ) → (ψ ↔ ϕ) Demonstrat¸ie: This is an immediate consequence of (25). Σ`ϕ↔ψ `ϕ↔ψ and (this deduction rule will `ψ↔ϕ Σ`ψ↔ϕ usually be applied without being mentioned explicitly)

deduction rule (R0 ):

Demonstrat¸ie: By (26) and m. p..

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

26 / 49

Syntactic Properties of L

` ϕ → (ψ → (ϕ ∧ ψ)) ` ((ϕ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)) → ((ϕ ∨ ψ) ∧ χ) ` ((ϕ ∨ ψ) ∧ χ) → ((ϕ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)) ` (ϕ ∧ ¬ ϕ) → ψ and ` ψ → (ϕ ∨ ¬ ϕ) ` ϕ ∨ ¬ ϕ (The Principle of the Excluded Middle or The Law of the Excluded Middle, which we will abbreviate by P. E. M.) ` (ϕ → ψ) → (¬ ψ → ¬ ϕ)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

27 / 49

Syntactic Properties of L

deduction rule (R5 ):

Σ`ϕ→ψ `ϕ→ψ and ` ¬ψ → ¬ϕ Σ ` ¬ψ → ¬ϕ

Demonstrat¸ie: This deduction rule follows from (27) and m. p..

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

28 / 49

Syntactic Properties of L

` (ϕ → ψ) → (¬ ϕ ∨ ψ) Demonstrat¸ie: Here is a syntactic proof for this formal theorem: ` (¬ ¬ ϕ → ϕ) → ((ϕ → ψ) → (¬ ¬ ϕ → ψ)) ` (¬ ¬ ϕ → ϕ) ` (ϕ → ψ) → (¬ ¬ ϕ → ψ) ` (ϕ → ψ) → (¬ ϕ ∨ ψ)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

(23) (25) m. p. equivalent form

2011-2012, semestrul I

29 / 49

Syntactic Properties of L

` (¬ ϕ ∨ ψ) → (ϕ → ψ) Demonstrat¸ie: Here is a formal proof for this theorem: ` (ϕ → ¬ ¬ ϕ) → ((¬ ¬ ϕ → ψ) → (ϕ → ψ)) ` (ϕ → ¬ ¬ ϕ) ` (¬ ¬ ϕ → ψ) → (ϕ → ψ) ` (¬ ϕ ∨ ψ) → (ϕ → ψ)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

(23) (25) m. p. equivalent form

2011-2012, semestrul I

30 / 49

Syntactic Properties of L

` (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ ∧ ψ) → χ) ` (¬ ϕ ∨ ¬ ψ) → ¬ (ϕ ∧ ψ) Demonstrat¸ie: The following is a formal proof for this theorem: ` (ϕ ∧ ψ) → ϕ ` ¬ ϕ → ¬ (ϕ ∧ ψ) ` (ϕ ∧ ψ) → ψ ` ¬ ψ → ¬ (ϕ ∧ ψ) ` (¬ ϕ ∨ ¬ ψ) → ¬ (ϕ ∧ ψ)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

(25) deduction rule (R5 ) (25) deduction rule (R5 ) deduction rule (R3 )

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

31 / 49

Syntactic Properties of L

` ¬ (ϕ ∨ ψ) → (¬ ϕ ∧ ¬ ψ) Demonstrat¸ie: The following is a formal proof for this theorem: ` ϕ → (ϕ ∨ ψ) ` ¬ (ϕ ∨ ψ) → ¬ ϕ ` ψ → (ϕ ∨ ψ) ` ¬ (ϕ ∨ ψ) → ¬ ψ ` ¬ (ϕ ∨ ψ) → (¬ ϕ ∧ ¬ ψ)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

(25) deduction rule (R5 ) (25) deduction rule (R5 ) deduction rule (R4 )

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

32 / 49

Syntactic Properties of L

deduction rule (R6 ):

Σ ` ϕ → (ψ → χ) ` ϕ → (ψ → χ) and ` (ϕ → ψ) → (ϕ → χ) Σ ` (ϕ → ψ) → (ϕ → χ)

Demonstrat¸ie: Follows from axiom (A2 ) by m. p..

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

33 / 49

Syntactic Properties of L

deduction rule (R7 ):

`ψ→χ Σ`ψ→χ and ` (ϕ → ψ) → (ϕ → χ) Σ ` (ϕ → ψ) → (ϕ → χ)

Demonstrat¸ie: Here is a formal proof: `ψ→χ ` (ψ → χ) → (ϕ → (ψ → χ)) ` ϕ → (ψ → χ) ` (ϕ → ψ) → (ϕ → χ)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

hypothesis (A1 ) m. p. (R6 )

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

34 / 49

Syntactic Properties of L

deduction rule (R8 ):

` ϕ, ` ψ Σ ` ϕ, Σ ` ψ and `ϕ∧ψ Σ`ϕ∧ψ

Demonstrat¸ie: By (27) and two applications of m. p.. ` ¬¬ϕ ↔ ϕ Demonstrat¸ie: By (25), (25) and (R8 ).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

35 / 49

Syntactic Properties of L

` (¬ ϕ ∧ ¬ ψ) → ¬ (ϕ ∨ ψ) Demonstrat¸ie: Here is a formal proof: ` ψ → ¬¬ψ ` (¬ ϕ → ψ) → (¬ ϕ → ¬ ¬ ψ) ` ¬ (¬ ϕ → ¬ ¬ ψ) → ¬ (¬ ϕ → ψ) ` (¬ ϕ ∧ ¬ ψ) → ¬ (ϕ ∨ ψ)

(25) (R8 ) (R5 ) equivalent form

` ¬ (ϕ ∨ ψ) ↔ (¬ ϕ ∧ ¬ ψ) Demonstrat¸ie: By (32), (36) and (R8 ).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

36 / 49

Syntactic Properties of L

` ¬ (ϕ ∧ ψ) → (¬ ϕ ∨ ¬ ψ) Demonstrat¸ie: Here is a syntactic proof for this formal theorem: ` ¬¬ϕ → ϕ ` (¬ ¬ ϕ → ϕ) → [(ϕ → ¬ ψ) → (¬ ¬ ϕ → ¬ ψ)] ` (ϕ → ¬ ψ) → (¬ ¬ ϕ → ¬ ψ) ` ¬ ¬ (ϕ → ¬ ψ) → (ϕ → ¬ ψ) ` ¬ ¬ (ϕ → ¬ ψ) → (¬ ¬ ϕ → ¬ ψ) ` ¬ (ϕ ∧ ψ) → (¬ ϕ ∨ ¬ ψ)

(25) (23) m. p. (25) (R1 ) equivalent form

` ¬ (ϕ ∧ ψ) ↔ (¬ ϕ ∨ ¬ ψ) Demonstrat¸ie: By (31), (37) and (R8 ).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

37 / 49

1

Sintaxa sistemului formal al calculului propozit¸ional clasic

2

Syntactic Properties of L

3

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

38 / 49

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L

This section contains the construction of a Boole algebra that is canonically associated to the formal system L. The syntactic properties of L will reflect into Boolean properties, leading to the passing from syntax to algebra. Throughout the present section, Σ ⊆ E will be an arbitrary but fixed set of sentences of the formal system L. Σ will represent a set of hypotheses, that is a theory of L.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

39 / 49

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L

Lemma For any sentences ϕ, ψ ∈ L, we have: Σ ` ϕ and Σ ` ψ iff Σ ` ϕ ∧ ψ. Demonstrat¸ie: “⇒“: By deduction rule (R8 ). “⇐“: By Proposition ??, (25) and (25), and m. p.. Let us define a binary relation ∼Σ on the set E of the sentences of L, by: for all ϕ, ψ ∈ E , ϕ ∼Σ ψ iff Σ ` ϕ ↔ ψ.

Remark By Lemma 9, for all ϕ, ψ ∈ E , ϕ ∼Σ ψ iff Σ ` ϕ → ψ and Σ ` ψ → ϕ, because ϕ ↔ ψ = (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

40 / 49

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L

Lemma ∼Σ is an equivalence relation on E . Demonstrat¸ie: By the P. I., for all ϕ ∈ E , ` ϕ → ϕ, thus Σ ` ϕ → ϕ, hence Σ ` ϕ ↔ ϕ by Remark 3.1, so ∼Σ is reflexive. For all ϕ, ψ ∈ E , ϕ ↔ ψ = ψ ↔ ϕ, thus Σ ` ϕ ↔ ψ iff Σ ` ψ ↔ ϕ, therefore ∼Σ is symmetric. Let ϕ, ψ, χ ∈ E such that Σ ` ϕ → ψ and Σ ` ψ → χ. Then Σ ` ϕ → χ by deduction rule (R1 ). By Remark 3.1, it follows that ∼Σ is transitive.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

41 / 49

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L

So we have an equivalence ∼Σ on the set E . Let us consider the quotient set E /∼Σ and denote by ϕˆΣ the equivalence class of any sentence ϕ ∈ E with respect to the equivalence ∼Σ . Let us define on E /∼Σ the binary relation ≤Σ , by: for all ϕ, ψ ∈ E , ϕˆΣ ≤Σ ψˆΣ iff Σ ` ϕ → ψ. Let us prove that ≤Σ is well defined. So let us consider sentences ϕ, ψ, ϕ0 , ψ 0 ∈ E such that ϕ ∼Σ ϕ0 and ψ ∼Σ ψ 0 , that is Σ ` ϕ → ϕ0 , Σ ` ϕ0 → ϕ, Σ ` ψ → ψ 0 and Σ ` ψ 0 → ψ, as Remark 3.1 ensures us. We have to prove that Σ ` ϕ → ψ iff Σ ` ψ → ϕ. Assume that Σ ` ϕ → ψ. This and the facts that Σ ` ϕ0 → ϕ and Σ ` ψ → ψ 0 , together with deduction rule (R1 ), imply Σ ` ϕ0 → ψ 0 . The converse implication follows similarly.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

42 / 49

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L

Lemma ≤Σ is a partial order relation on E /∼Σ . Demonstrat¸ie: By the P. I., for all ϕ ∈ E , ` ϕ → ϕ, thus Σ ` ϕ → ϕ, so ≤Σ is reflexive. By Remark 3.1, for all ϕ, ψ ∈ E such that Σ ` ϕ → ψ and Σ ` ψ → ϕ, it follows that ϕ ∼Σ ψ, hence ≤Σ is anti-symmetric. By deduction rule (R1 ), for all sentences ϕ, ψ, χ ∈ E such that Σ ` ϕ → ψ and Σ ` ψ → χ, it follows that Σ ` ϕ → χ, which means that ≤Σ is transitive.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

43 / 49

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L Proposition (E /∼Σ , ≤Σ ) is a distributive lattice in which, for all ϕ, ψ ∈ E , Σ Σ \ \ inf{ϕˆΣ , ψˆΣ } = ϕ ∧ ψ and sup{ϕˆΣ , ψˆΣ } = ϕ ∨ψ . Σ

\ Demonstrat¸ie: Let ϕ, ψ ∈ E . In order to show that inf{ϕˆΣ , ψˆΣ } = ϕ ∧ ψ , it suffices to prove that the following two conditions are satisfied: (a) Σ ` (ϕ ∧ ψ) → ϕ and Σ ` (ϕ ∧ ψ) → ψ; (b) for all χ ∈ E such that Σ ` χ → ϕ and Σ ` χ → ψ, it follows that Σ ` χ → (ϕ ∧ ψ). Condition (a) results from Proposition ??, (25) and (25), and (b) from deduction rule (R4 ). Σ \ The identity sup{ϕˆΣ , ψˆΣ } = ϕ ∨ ψ is equivalent to the following two conditions: (c) Σ ` ϕ → (ϕ ∨ ψ) and Σ ` ψ → (ϕ ∨ ψ); (d) for all χ ∈ E such that Σ ` ϕ → χ and Σ ` ψ → χ, it follows that Σ ` (ϕ ∨ ψ) → χ. Condition (c) results from Proposition ??, (25) and (25), and (d) from deduction rule (R3 ). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

44 / 49

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L

Therefore we have proven that (E /∼Σ , ≤Σ ) is a lattice in which, for all ϕ, ψ ∈ E , Σ \ the meet operation ϕˆΣ ∧Σ ψˆΣ = ϕ ∧ ψ and the join operation Σ

\ ϕˆΣ ∨Σ ψˆΣ = ϕ ∨ψ . Proposition ??, (27) implies that, for all ϕ, ψ, χ ∈ E , Σ ` ((ϕ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)) → ((ϕ ∨ ψ) ∧ χ), thus (ϕˆΣ ∧Σ χ ˆΣ ) ∨Σ (ψˆΣ ∧Σ χ ˆΣ ) ≤Σ (ϕˆΣ ∨Σ ψˆΣ ) ∧Σ χ ˆΣ . Proposition ??, (27) implies the converse inequality. Hence the lattice (E /∼Σ , ≤Σ ) is distributive.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

45 / 49

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L Remark Σ Σ By Proposition ??, (27), for all ϕ, ψ ∈ E , ϕ\ ∧ ¬ ϕ ≤Σ ψˆΣ ≤Σ ϕ\ ∨ ¬ ϕ . This Σ Σ means that ϕ\ ∧ ¬ ϕ is the first element of the lattice E /∼Σ and ϕ\ ∨ ¬ ϕ is its Σ

Σ

last element. We shall denote 0Σ = ϕ\ ∧ ¬ ϕ and 1Σ = ϕ\ ∨ ¬ ϕ . It is obvious that this definition does not depend on the choice of ϕ ∈ E .

Proposition (E /∼Σ , ∨Σ , ∧Σ , 0Σ , 1Σ ) is a Boole algebra. Demonstrat¸ie: By Proposition 3.1 and Remark 3.2, (E /∼Σ , ∨Σ , ∧Σ , 0Σ , 1Σ ) is a Σ bounded distributive lattice in which, for any ϕ ∈ E , ϕˆΣ ∧Σ ¬ d ϕ = 0Σ and Σ Σ Σ Σ Σ ϕˆ ∨Σ ¬ d ϕ = 1Σ , hence ¬ d ϕ is the complement of ϕˆ . Denote ¬ Σ ϕˆΣ = ¬ d ϕ , Σ for any element ϕˆ ∈ E /∼Σ (ϕ ∈ E ). This means that (E /∼Σ , ∨Σ , ∧Σ , ¬ Σ , 0Σ , 1Σ ) is a Boole algebra. The Boole algebra (E /∼Σ , ∨Σ , ∧Σ , ¬ Σ , 0Σ , 1Σ ) is called the Lindenbaum-Tarski algebra of Σ associated to the formal system L. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

46 / 49

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L Remark If we denote by pΣ : E → E /∼Σ the canonical surjection (pΣ (ϕ) = ϕˆΣ for all ϕ ∈ E ), then, for all ϕ, ψ ∈ E , the following identities hold (where →Σ and ↔Σ are respectively the implication and the equivalence in the Boole algebra E /∼Σ ): 1

pΣ (ϕ ∨ ψ) = pΣ (ϕ) ∨Σ pΣ (ψ);

2

pΣ (ϕ ∧ ψ) = pΣ (ϕ) ∧Σ pΣ (ψ);

3

pΣ (¬ ϕ) = ¬ Σ pΣ (ϕ);

4

pΣ (ϕ → ψ) = pΣ (ϕ) →Σ pΣ (ψ);

5

pΣ (ϕ ↔ ψ) = pΣ (ϕ) ↔Σ pΣ (ψ).

Indeed, identities (1), (2) and (3) are the very definitions of the operations of the Boole algebra E /∼Σ . By the definition of the implication in a Boole algebra, (1) and (3), pΣ (ϕ) →Σ pΣ (ψ) = ¬ Σ pΣ (ϕ) ∨Σ pΣ (ψ) = pΣ (¬ ϕ ∨ ψ), which shows that (4) is equivalent to the fact that Σ ` (ϕ → ψ) ↔ (¬ ϕ ∨ ψ), which results from Proposition ??, (29) and (30), and Lemma 9. (5) follows from (2) and (4). The five identities above show how logical connectives are converted into Boolean operations. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

47 / 49

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L

Lemma For all ϕ ∈ E , Σ ` ϕ iff ϕˆΣ = 1Σ . Demonstrat¸ie: Let ϕ ∈ E . We have to prove that: Σ ` ϕ iff Σ ` ϕ ↔ (ϕ ∨ ¬ ϕ). Assume that Σ ` ϕ. By (A1 ), ` ϕ → ((ϕ ∨ ¬ ϕ) → ϕ), thus Σ ` ϕ → ((ϕ ∨ ¬ ϕ) → ϕ). Hence Σ ` (ϕ ∨ ¬ ϕ) → ϕ by m. p.. By Remark 3.2, Σ ` ϕ → (ϕ ∨ ¬ ϕ). Hence Σ ` ϕ ↔ (ϕ ∨ ¬ ϕ), by Remark 3.1. Conversely, assume that Σ ` ϕ ↔ (ϕ ∨ ¬ ϕ), that is Σ ` (ϕ ∨ ¬ ϕ) ↔ ϕ, hence Σ ` (ϕ ∨ ¬ ϕ) → ϕ by Remark 3.1. But ` ϕ ∨ ¬ ϕ, and thus Σ ` ϕ ∨ ¬ ϕ, by P. E. M.. Therefore Σ ` ϕ, by m. p..

Remark Lemma 13 provides us with an algebraic method for verifying whether a sentence is a syntactic consequence of Σ.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

48 / 49

The Lindenbaum-Tarski Algebra of L

In the case when Σ = ∅, the equivalence relation ∼∅ is denoted, simply, by ∼, its equivalence classes ϕˆ∅ (ϕ ∈ E ) are denoted ϕ, ˆ the order relation ≤∅ is denoted by ≤, and the operations ∨∅ , ∧∅ , ¬ ∅ , 0∅ and 1∅ are denoted by ∨, ∧, ¬ , 0 and 1, respectively. The Boole algebra (E /∼ , ∨, ∧, ¬ , 0, 1) is called the Lindenbaum-Tarski algebra associated to the formal system L. The previous lemma becomes, in this case, a characterization of formal theorems:

Lemma For all ϕ ∈ E , ` ϕ iff ϕˆ = 1.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

49 / 49

Logic˘a matematic˘a ¸si computat¸ional˘a Cursul XIII Claudia MURES ¸ AN [email protected] Universitatea din Bucure¸sti Facultatea de Matematic˘ a ¸si Informatic˘ a Bucure¸sti

2011-2012, semestrul I

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

1 / 32

1

Semantica lui L

2

Mult¸imi consistente

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

2 / 32

Semantica lui L

Amintim c˘a am notat cu L sistemul formal al calculului propozit¸ional clasic, pe care l–am studiat sub dou˘a aspecte: sintaxa ¸si algebra sa. ˆIn acest curs vom continua studiul lui L, ocupˆandu–ne de partea de semantic˘ a, adic˘a de studiul valorilor de adev˘ ar ale enunt¸urilor. Vom atribui enunt¸urilor dou˘a valori posibile de adev˘ar: 0 ¸si 1, reprezentˆand respectiv fals ¸si adev˘ arat, iar aceste valori de adev˘ar, 0 ¸si 1, vor fi considerate ca elemente ale algebrei Boole standard: L2 = ({0, 1}, ∨, ∧, ≤, ¬ , 0, 1) (lant¸ul cu dou˘a elemente, cu operat¸iile uzuale de algebr˘a Boole) (not˘am complementarea cu ¬ ).

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

3 / 32

Mnemonic din sintaxa lui L The following symbols form the language of the formal system of classical propositional logic: 1

2

3

the propositional variables, usually denoted u, v , w etc., sometimes with indexes; the set of the propositional variables, which we will denote by V , is required to be infinite and numerable; the primitive logical connectives: ¬ : the negation symbol (will be read: “non“) → : the implication symbol (will be read: “implies“) the parantheses: (, ), [, and ].

The symbols enumerated above are called primitive symbols. Traducere pentru ce urmeaz˘a: formula sentence

cuvˆ ant enunt¸, formul˘ a

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

4 / 32

Mnemonic din sintaxa lui L The finite non-empty sequences of primitive symbols are called formulas.

Definition A sentence is a formula ϕ that verifies one of the following conditions: 1

ϕ is a propositional variable;

2

there exists a sentence ψ such that ϕ = ¬ ψ;

3

there exist two sentences ψ and χ such that ϕ = ψ → χ.

Remark The definition of a sentence above is given by induction. It is immediate that any sentence can be obtained by applying the steps (1), (2) and (3) from Definition 1 a finite number of times, because any sentence is a formula, thus a finite sequence of primitive symbols, and every time we apply one of the steps above, the length of the sequence of primitive symbols that forms the sentence at the current step increases by at least one unit. The initial step of the induction that generates a certain sentence is (1) from the definition above, while the induction steps are (2) and (3). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

5 / 32

Mnemonic din sintaxa lui L

Propositional variables will be called atomic or elementary sentences. The set of all sentences will be denoted by E . Privitor la scrierea enunt¸urilor: se acord˘a prioritate mai mare conectorului “unar“ ¬ ¸si prioritate mai mic˘a celui “binar“, →, pentru a evita ˆınc˘arcarea scrierii cu prea multe paranteze. Now we will define the derivative logical connectives ∨, ∧ and ↔: for any sentences ϕ, ψ ∈ E , we shall denote (introduce the following abbreviations): ϕ ∨ ψ = ¬ϕ → ψ (the join of ϕ and ψ) ϕ ∧ ψ = ¬ (ϕ → ¬ ψ) (the meet of ϕ and ψ) ϕ ↔ ψ = (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) (the logical equivalence of ϕ and ψ)

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

6 / 32

Mnemonic din sintaxa lui L

Definition An axiom of the formal system of classical propositional logic is a sentence of any of the following three forms, where ϕ, ψ, χ ∈ E are arbitrary sentences: (A1 ) ϕ → (ψ → ϕ) (A2 ) (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ)) (A3 ) (¬ ϕ → ¬ ψ) → (ψ → ϕ) Each of the patterns (A1 ), (A2 ) and (A3 ) is an axiom schema, that is a rule for generating an infinite number of axioms. The axioms of classical propositional logic are the instances of these axiom schemata, that is sentences of one of the forms (A1 ), (A2 ) and (A3 ) with ϕ, ψ and χ given sentences. By extension, we shall sometimes call the axiom schemata (A1 ), (A2 ) and (A3 ), simply, axioms.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

7 / 32

Mnemonic din sintaxa lui L Definition The formal theorems (or, in brief, theorems) of classical propositional logic are the sentences defined by the following three rules: (T 1) any axiom is a theorem; (T 2) if there exist two sentences ϕ, ψ ∈ E such that ψ and ψ → ϕ are theorems, then ϕ is a theorem; (T 3) any theorem of classical propositional logic can be obtained by applying rules (T 1) and (T 2) a finite number of times. Formal theorems are also called the syntactic truths of the logical system. The fact that a sentence ϕ is a formal theorem will be denoted: ` ϕ. The set of all formal theorems will be denoted by T . Rule (T 1) is called the modus ponens deduction rule and can be written in the ` ψ, ` ψ → ϕ following symbolic form: . We will abbreviate this deduction rule `ϕ by: m. p.. The definition of a formal theorem has also been given by induction. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

8 / 32

Mnemonic din sintaxa lui L Definition Let Γ ⊆ E be a set of sentences. The sentences that are (syntactically) deduced from the hypotheses Γ, also called syntactic consequences of Γ, are defined this way: (D1 ) any axiom is deduced from the hypotheses Γ; (D2 ) any sentence ϕ ∈ Γ is deduced from the hypotheses Γ; (D3 ) if ϕ, ψ ∈ E are sentences such that ψ and ψ → ϕ are deduced from the hypotheses Γ, then ϕ is deduced from the hypotheses Γ; (D4 ) any sentence that is deduced from the hypotheses Γ can be obtained by applying the rules (D1 ), (D2 ) and (D3 ) a finite number of times. We will denote the fact that a sentence ϕ is deduced from the hypotheses Γ ⊆ E by: Γ ` ϕ. Γ ` ψ, Γ ` ψ → ϕ Rule (D3 ) can be written in a symbolic form like this: . This Γ`ϕ rule also is called modus ponens and will be abbreviated m. p.. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

9 / 32

Mnemonic din sintaxa lui L

We will be using this common notation for deduction rules of a logical system: condition C1 , with the significance that: if condition C1 is satisfied, then consequence C2 consequence C2 is satisfied.

Remark It is trivial that, for any sentence ϕ and any set of sentences Γ: 1 2 3 4

∅ ` ϕ iff ` ϕ; if ` ϕ, then Γ ` ϕ; if ϕ ∈ Γ, then Γ ` ϕ; if Γ ⊆ ∆ ⊆ E and Γ ` ϕ, then ∆ ` ϕ.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

10 / 32

Mnemonic din sintaxa lui L Notat¸ie Amintim c˘a am notat cu L sistemul formal al logicii propozit¸ionale clasice, a c˘arui sintax˘a am amintit–o mai sus. One major proof technique we will be using is what we will be calling induction on a concept. Each of the concepts we will be referring to whenever we will be calling on this technique are defined by applying a finite set of rules a finite number of times, thus it will be easy to see that this technique is actually the ordinary induction on a natural number.

Theorem (The Deduction Theorem) For any Γ ⊆ E and any ϕ, ψ ∈ E , we have the following equivalence: Γ ` ϕ → ψ iff Γ ∪ {ϕ} ` ψ.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

11 / 32

Mnemonic din algebra lui L Let Σ ⊆ E be an arbitrary but fixed set of sentences of the formal system L. Σ will represent a set of hypotheses, that is a theory of L. Let us define a binary relation ∼Σ on the set E of the sentences of L, by: for all ϕ, ψ ∈ E , ϕ ∼Σ ψ iff Σ ` ϕ ↔ ψ.

Lemma ∼Σ is an equivalence relation on E . Let us consider the quotient set E /∼Σ and denote by ϕˆΣ the equivalence class of any sentence ϕ ∈ E with respect to the equivalence ∼Σ . Let us define on E /∼Σ the binary relation ≤Σ , by: for all ϕ, ψ ∈ E , ϕˆΣ ≤Σ ψˆΣ iff Σ ` ϕ → ψ. Then ≤Σ is well defined.

Lemma ≤Σ is a partial order relation on E /∼Σ .

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

12 / 32

Mnemonic din algebra lui L Proposition (E /∼Σ , ≤Σ ) is a distributive lattice in which, for all ϕ, ψ ∈ E , Σ Σ \ \ ∧ ψ and sup{ϕˆΣ , ψˆΣ } = ϕ ∨ψ . inf{ϕˆΣ , ψˆΣ } = ϕ Thus (E /∼Σ , ≤Σ ) is a distributive lattice in which, for all ϕ, ψ ∈ E , the meet Σ Σ \ \ operation ϕˆΣ ∧Σ ψˆΣ = ϕ ∧ ψ and the join operation ϕˆΣ ∨Σ ψˆΣ = ϕ ∨ψ . Σ

Σ

For any ϕ ∈ E , ϕ\ ∧ ¬ ϕ is the first element of the lattice E /∼Σ and ϕ\ ∨ ¬ ϕ is Σ Σ its last element. We shall denote 0Σ = ϕ\ ∧ ¬ ϕ and 1Σ = ϕ\ ∨ ¬ ϕ . These definitions do not depend on the choice of ϕ ∈ E .

Proposition (E /∼Σ , ∨Σ , ∧Σ , ≤Σ , ¬ Σ , 0Σ , 1Σ ) is a Boole algebra, where, for all ϕ ∈ E , Σ d ϕ . ¬ Σ ϕˆΣ := ¬

Lemma For all ϕ ∈ E , Σ ` ϕ iff ϕˆΣ = 1Σ . Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

13 / 32

Mnemonic din algebra lui L Remark If we denote by pΣ : E → E /∼Σ the canonical surjection (pΣ (ϕ) = ϕˆΣ for all ϕ ∈ E ), then, for all ϕ, ψ ∈ E , the following identities hold (where →Σ and ↔Σ are respectively the implication and the equivalence in the Boole algebra E /∼Σ ): 1

pΣ (ϕ ∨ ψ) = pΣ (ϕ) ∨Σ pΣ (ψ);

2

pΣ (ϕ ∧ ψ) = pΣ (ϕ) ∧Σ pΣ (ψ);

3

pΣ (¬ ϕ) = ¬ Σ pΣ (ϕ);

4

pΣ (ϕ → ψ) = pΣ (ϕ) →Σ pΣ (ψ);

5

pΣ (ϕ ↔ ψ) = pΣ (ϕ) ↔Σ pΣ (ψ).

The five identities above show how logical connectives are converted into Boolean operations.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

14 / 32

Mnemonic din algebra lui L In the case when Σ = ∅, the equivalence relation ∼∅ is denoted, simply, by ∼, its equivalence classes ϕˆ∅ (ϕ ∈ E ) are denoted ϕ, ˆ the order relation ≤∅ is denoted by ≤, and the operations ∨∅ , ∧∅ , ¬ ∅ , 0∅ and 1∅ are denoted by ∨, ∧, ¬ , 0 and 1, respectively.

Definition The Boole algebra (E /∼ , ∨, ∧, ¬ , 0, 1) is called the Lindenbaum-Tarski algebra associated to the formal system L. The previous lemma becomes, in this case, a characterization of formal theorems:

Lemma For all ϕ ∈ E , ` ϕ iff ϕˆ = 1. ˆIn acest caz, vom nota surject¸ia canonic˘a p∅ cu p : E → E /∼ (pentru orice ϕ ∈ E , p(ϕ) := ϕ). ˆ

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

15 / 32

Semantica lui L Definition An interpretation of L is an arbitrary function h : V → L2 . Denumiri alternative: interpretare, evaluare, semantic˘a.

Proposition For any interpretation h : V → L2 , there exists a unique function h˜ : E → L2 that satisfies the following properties: ˜ (a) h(u) = h(u), for all u ∈ V ; ˜ ϕ) = ¬ h(ϕ), ˜ (b) h(¬ for all ϕ ∈ E ; ˜ → ψ) = h(ϕ) ˜ ˜ (c) h(ϕ → h(ψ), for all ϕ, ψ ∈ E . ˜ ¬ ¸si → (A se observa c˘a, la (b) ¸si (c), ˆın membrii stˆangi, ˆın argumentele lui h, sunt conectorii logici primitivi, pe cˆand, ˆın membrii drept¸i, ¬ ¸si → sunt operat¸iile de complementare ¸si, respectiv, implicat¸ie ale algebrei Boole L2 .) We will be keeping the notation h˜ for this unique function depending on the interpretation h. Demonstrat¸ie: Demonstr˘am existent¸a ¸si unicitatea lui h˜ prin induct¸ie dup˘a conceptul de enunt¸. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

16 / 32

Semantica lui L Fie h : V → L2 o interpretare a lui L. Fie ϕ ∈ E (ϕ un enunt¸). Atunci ϕ se afl˘a ˆın una ¸si numai una dintre situat¸iile urm˘atoare (numai una pentru c˘a, dac˘a nu se folosesc conectorii logici derivat¸i, atunci dou˘a enunt¸uri coincid ddac˘a sunt literal identice ca ¸siruri de simboluri peste alfabetul lui L, exceptˆand, eventual, folosiri diferite ale parantezelor, care nu influent¸eaz˘a regulile de mai jos): ϕ ∈ V (ϕ variabil˘a propozit¸ional˘a) exist˘a ψ ∈ E , a. ˆı. ϕ = ¬ ψ 3 exist˘a ψ, χ ∈ E , a. ˆı. ϕ = ψ → χ ¸si ϕ se obt¸ine ˆıntr–un num˘ar finit de pa¸si pornind de la variabile propozit¸ionale ¸si aplicˆand cele trei reguli de mai sus. ˜ Lui ϕ ˆıi asociem un element al lui L2 , pe care ˆıl not˘am cu h(ϕ), astfel: ˜ 1 dac˘a ϕ ∈ V , atunci h(ϕ) := h(ϕ) ˜ 2 dac˘a ϕ = ¬ ψ pentru un ψ ∈ E cu proprietatea c˘a h(ψ) a fost definit˘a, atunci ˜ ˜ h(ϕ) := ¬ h(ψ) ˜ 3 dac˘a ϕ = ψ → χ pentru dou˘a enunt¸uri ψ, χ ∈ E cu proprietatea c˘a h(ψ) ¸si ˜ ˜ ˜ ˜ h(χ) au fost definite, atunci h(ϕ) := h(ψ) → h(χ) 1 2

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

17 / 32

Semantica lui L Principiul induct¸iei dup˘a conceptul de enunt¸ ne asigur˘a c˘a, urmˆand cele trei reguli ˜ anterioare, se definesc, recursiv, valorile h(ϕ), pentru toate ϕ ∈ E . Faptul c˘a orice ϕ ∈ E se afl˘a ˆın una ¸si numai una dintre cele trei situat¸ii de mai sus arat˘a c˘a lui ϕ nu i se pot asocia dou˘a valori distincte prin aceast˘a recursie, i. ˜ e. valoarea h(ϕ) ∈ L2 este unic determinat˘a de ϕ. ˜ ∈ L2 , pentru orice ϕ ∈ E ) Aceste dou˘a propriet˘a¸ti (existent¸a ¸si unicitatea lui h(ϕ) arat˘a c˘a am obt¸inut o funct¸ie h˜ : E → L2 complet ¸si corect (bine) definit˘a, care ˜ asociaz˘a fiec˘arui ϕ ∈ E valoarea h(ϕ) ∈ L2 . De asemenea, h˜ satisface condit¸iile (a), (b) ¸si (c) din enunt¸, prin chiar definit¸ia ei. Am ˆıncheiat demonstrat¸ia existent¸ei unei funct¸ii h˜ care satisface cerint¸ele din enunt¸, ¸si fix˘am aceast˘a funct¸ie pentru cele ce urmeaz˘a, anume demonstrat¸ia unicit˘a¸tii ei. Fie g : E → L2 o funct¸ie care satisface aceste trei condit¸ii: (ag ) g (u) = h(u), pentru orice u ∈ V ; (bg ) g (¬ ϕ) = ¬ g (ϕ), pentru orice ϕ ∈ E ; (cg ) g (ϕ → ψ) = g (ϕ) → g (ψ), pentru orice ϕ, ψ ∈ E . Now let ϕ ∈ E , arbitrary but fixed. We shall prove by induction on the concept of ˜ sentence of L that h(ϕ) = g (ϕ). Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

18 / 32

Semantica lui L The definition of a sentence shows that we are situated in one of these three cases: ˜ 1 ϕ ∈ V ; then (a) and (ag ) give us: h(ϕ) = h(ϕ) = g (ϕ); ˜ 2 = g (ψ); then (b) and (bg ) imply: ϕ = ¬ ψ for some ψ ∈ E such that h(ψ) ˜ ˜ ˜ h(ϕ) = h(¬ ψ) = ¬ h(ψ) = ¬ g (ψ) = g (¬ ψ) = g (ϕ); ˜ ˜ 3 ϕ = ψ → χ for some ψ, χ ∈ E such that h(ψ) = g (ψ) and h(χ) = g (χ); then (c) and (cg ) show that: ˜ ˜ → χ) = h(ψ) ˜ ˜ h(ϕ) = h(ψ → h(χ) = g (ψ) → g (χ) = g (ψ → χ) = g (ϕ). ˜ We have proved that h(ϕ) = g (ϕ) for all ϕ ∈ E , that is h˜ = g , hence h˜ is unique with the properties in the enunciation.

Corollary For any interpretation h and any ϕ, ψ ∈ E , the following hold: ˜ ∨ ψ) = h(ϕ) ˜ ˜ (d) h(ϕ ∨ h(ψ); ˜ ∧ ψ) = h(ϕ) ˜ ˜ (e) h(ϕ ∧ h(ψ); ˜ ˜ ˜ (f ) h(ϕ ↔ ψ) = h(ϕ) ↔ h(ψ). Demonstrat¸ie: By the very definitions of the derivative logical connectives and the properties of the basic and derivative operations of a Boole algebra. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

19 / 32

Semantica lui L

Definition We say that a sentence ϕ is true in an interpretation h or that h satisfies ϕ iff ˜ ˜ h(ϕ) = 1; ϕ is false in the interpretation h iff h(ϕ) = 0. The fact that a sentence ϕ is true in an interpretation h is denoted by h  ϕ. A sentence ϕ is universally true iff ϕ is true in any interpretation; the fact that ϕ is universally true is denoted by:  ϕ. The universally true sentences are also called the semantic truths of L. The fact that a set Σ of sentences is such that all of its elements are true in an interpretation h is denoted by h  Σ; in this case, we say that h satisfies Σ or that h is a model for Σ. Given a sentence ϕ and a set of sentences Σ, we say that ϕ is semantically deduced from Σ or that ϕ is a semantic consequence of Σ iff ϕ is true in any interpretation h such that h  Σ; we denote this by: Σ  ϕ.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

20 / 32

Semantica lui L Remark The value of an interpretation in a certain sentence, thus an interpretation of a certain sentence, is the truth value 0 or 1 that is obtained when truth values from L2 are assigned to all propositional variables which appear in the given sentence. A universally true sentence, that is a semantic truth, is a sentence whose truth value is 1 for any truth values that are assigned to the propositional variables that appear in that sentence. Below are two major results concerning the logical system L: the Completeness Theorem and a generalization of it, the Strong Completeness Theorem. The Completeness Theorem for L states that syntactic truths of L coincide with the semantic truths of L, that is the formal theorems of L are exactly the universally true sentences of L. The Strong Completeness Theorem for L states that, in L, the syntactic consequences of a set Σ of sentences coincide with the semantic consequences of Σ, that is the sentences that are syntactically deduced from Σ are exactly the sentences that are semantically deduced from Σ. (The Completeness Theorem = Teorema de completitudine.) (The Strong Completeness Theorem = Teorema de completitudine tare sau Teorema de completitudine extins˘ a.) Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

21 / 32

Semantica lui L Theorem (The Strong Completeness Theorem for L) For any sentence ϕ and any set of sentences Σ, Σ ` ϕ iff Σ  ϕ. Demonstrat¸ie: “⇒:“ Presupunem c˘a Σ ` ϕ. Demonstr˘am c˘a Σ  ϕ. ˜ = 1 ˆın L2 . Fie h : V → L2 , a. ˆı. h  Σ, arbitrar˘a. Avem de demonstrat c˘a h(ϕ) Proced˘am prin induct¸ie dup˘a conceptul de consecint¸˘a sintactic˘a a mult¸imii de ipoteze Σ. Σ ` ϕ ˆınseamn˘a c˘a ϕ se g˘ase¸ste ˆın una dintre urm˘atoarele situat¸ii: ϕ este o axiom˘a; aici avem subcazurile: axioma (A1 ): exist˘a ψ, χ ∈ E a. ˆı. ϕ = ψ → (χ → ψ); ˜ ˜ ˜ ˜ atunci h(ϕ) = h(ψ) → (h(χ) → h(ψ)) = ˜ ˜ ˜ ˜ ¬ h(ψ) ∨ ¬ h(χ) ∨ h(ψ) = 1 ∨ ¬ h(χ) = 1; axioma (A2 ): exist˘a α, β, γ ∈ E a. ˆı. ϕ = (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)); ˜ ˜ ˜ dac˘a not˘am a := h(α), b := h(β) ¸si c := h(γ), atunci ˜ h(ϕ) = (a → (b → c)) → ((a → b) → (a → c)) ˆın L2 , unde 1 → 0 = 0, iar celelalte trei implicat¸ii au valoarea 1; ˜ a¸sadar, dac˘a a = 0, atunci h(ϕ) = 1 → (1 → 1) = 1 → 1 = 1; Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

22 / 32

Semantica lui L dac˘a a = 1 ¸si b → c = 0, atunci ˜ h(ϕ) = 0 → ((a → b) → (a → c)) = 1; dac˘a b → c = 1, atunci b ≤ c, ¸si deci a → b = ¬ a ∨ b ≤ ¬ a ∨ c = a → c, prin urmare (a → b) → (a → c) = 1, deci ˜ h(ϕ) = (a → 1) → 1 = 1; axioma (A3 ): exist˘a α, β ∈ E a. ˆı. ϕ = (¬ α → ¬ β) → (β → α); ˜ ˜ dac˘a not˘am a := h(α) ¸si b := h(β), atunci ˜ h(ϕ) = (¬ a → ¬ b) → (b → a) = 1, pentru c˘a [b ≤ a ddac˘a ¬ a ≤ ¬ b], ¸si deci [b → a = 1 ddac˘a ¬ a → ¬ b = 1], iar ˆın caz contrar ambele implicat¸ii sunt 0, pentru c˘a ne situ˘am ˆın L2 , deci ¬ a → ¬ b = b → a, prin urmare (¬ a → ¬ b) → (b → a) = 1; ˜ ϕ ∈ Σ; atunci h(ϕ) = 1, pentru c˘a h  Σ; ˜ ˜ → ϕ) = 1 (aceste exist˘a ψ ∈ E , a. ˆı. Σ ` ψ, Σ ` ψ → ϕ, h(ψ) = 1 ¸si h(ψ ˜ dou˘a egalit˘a¸ti pentru valori ale lui h reprezint˘a ipoteza de induct¸ie); atunci ˜ ˜ ˜ → ϕ) = 1, a¸sadar 1 = h(ψ) ˜ ˜ ˜ h(ψ) → h(ϕ) = h(ψ ≤ h(ϕ), deci h(ϕ) = 1. Demonstrat¸ia implicat¸iei directe este ˆıncheiat˘a. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

23 / 32

Semantica lui L “⇐:“ Ipoteza acestei implicat¸ii este c˘a Σ  ϕ. Presupunem prin absurd c˘a Σ 0 ϕ. Atunci ϕˆΣ 6= 1 ˆın algebra Boole E /∼Σ . Aplicˆand Teorema de reprezentare a lui Stone algebrei Boole E /∼Σ , obt¸inem c˘a exist˘a o mult¸ime X 6= ∅ ¸si exist˘a un morfism boolean injectiv d : E /∼Σ → LX2 = {f | f : X → L2 }. ϕˆΣ 6= 1 ˆın E /∼Σ ¸si d : E /∼Σ → LX2 este injectiv, prin urmare d(ϕˆΣ ) 6= d(1) = 1, deci d(ϕˆΣ ) 6= 1(= funct¸ia constant˘a 1) ˆın LX2 = {f | f : X → L2 }, a¸sadar exist˘a un element x ∈ X cu d(ϕˆΣ )(x) 6= 1 ˆın L2 . Fie π : LX2 → L2 , definit˘a prin: pentru orice f ∈ LX2 , π(f ) := f (x) ∈ L2 . Se arat˘a u¸sor c˘a π este un morfism boolean. De exemplu, s˘a verific˘am comutarea lui π cu ∨, iar comut˘arile lui π cu celelalte operat¸ii de algebre Boole se demonstreaz˘a analog: pentru orice f , g ∈ LX2 , π(f ∨ g ) = (f ∨ g )(x) = f (x) ∨ g (x) = π(f ) ∨ π(g ) ˆın L2 . Consider˘am urm˘atoarele funct¸ii: incluziunea i : V → E (i(u) := u pentru fiecare u ∈ V ), surject¸ia canonic˘a pΣ : E → E /∼Σ , morfismul boolean injectiv d : E /∼Σ → LX2 considerat mai sus ¸si morfismul boolean π : LX2 → L2 considerat mai sus. S˘a not˘am compunerea acestor funct¸ii cu h: h := π ◦ d ◦ pΣ ◦ i; h : V → L2 este o interpretare. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

24 / 32

Semantica lui L Demonstr˘am, prin induct¸ie dup˘a conceptul de enunt¸, c˘a, pentru orice α ∈ E , ˜ ˜ h(α) = d(ˆ αΣ )(x). Folosim definit¸ia lui h. dac˘a α ∈ V , atunci ˜ h(α) = h(α) = π(d(pΣ (i(α)))) = π(d(pΣ (α))) = π(d(ˆ αΣ )) = d(ˆ αΣ )(x); ˜ = d(βˆΣ )(x) (ipoteza de induct¸ie), dac˘a α = ¬ β, pentru un β ∈ E cu h(β) Σ ˜ ˜ ˜ ˆ atunci h(α) = h(¬ β) = ¬ h(β) = ¬ d(β )(x) = (¬ d(βˆΣ ))(x) = Σ d β )(x) = d(ˆ αΣ )(x); d(¬Σ βˆΣ )(x) = d(¬ ˜ ˜ dac˘a α = β → γ, pentru β, γ ∈ E cu h(β) = d(βˆΣ )(x) ¸si h(γ) = d(ˆ γ Σ )(x) (ipoteza de induct¸ie), atunci ˜ ˜ → γ) = h(β) ˜ ˜ h(α) = h(β → h(γ) = d(βˆΣ )(x) → d(ˆ γ Σ )(x) = (d(βˆΣ ) → Σ d(ˆ γ Σ ))(x) = d(βˆΣ →Σ γˆ Σ )(x) = d(β\ → γ )(x) = d(ˆ αΣ )(x). Demonstrat¸ia prin induct¸ie este ˆıncheiat˘a. A¸sadar, pentru orice α ∈ E , ˜ h(α) = d(ˆ αΣ )(x). ˆIn particular, pentru α := ϕ, h(ϕ) ˜ = d(ϕˆΣ )(x) 6= 1. Demonstr˘am c˘a h  Σ. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

25 / 32

Semantica lui L Fie σ ∈ Σ, arbitrar, fixat. ˜ Conform identit˘a¸tii stabilite mai sus, h(σ) = d(ˆ σ Σ )(x). Σ Cine este σ ˆ (clasa lui σ ˆın algebra Boole E /∼Σ )? Conform definit¸iei claselor echivalent¸ei ∼Σ , unei propriet˘a¸ti a consecint¸elor sintactice, Teoremei deduct¸iei ¸si faptului c˘a Σ ` σ, σ ˆ Σ = {τ ∈ E | Σ ` σ ↔ τ } = {τ ∈ E | Σ ` σ → τ ¸si Σ ` τ → σ} = {τ ∈ Σ E | Σ ∪ {σ} ` τ ¸si Σ ∪ {τ } ` σ} = {τ ∈ E | Σ ` τ } = γ\ ∨ ¬ γ = 1Σ , oricare ar fi γ ∈ E , pentru c˘a, ˆın conformitate cu Principiul tert¸ului exclus, ` γ ∨ ¬ γ, prin urmare Σ ` γ ∨ ¬ γ, a¸sadar γ ∨ ¬ γ ∈ σ ˆ Σ , i. e. γ ∨ ¬ γ ∼Σ σ, deci Σ σ ˆ Σ = γ\ ∨ ¬ γ = 1Σ . ˜ A¸sadar, h(σ) = d(ˆ σ Σ )(x) = d(1Σ )(x) = 1(x) = 1 (funct¸ia constant˘a 1 aplicat˘a ˆın x). ˜ Deci h(σ) = 1 pentru orice σ ∈ Σ, adic˘a h  Σ. ˜ Am g˘asit o interpretare h cu propriet˘a¸tile: h  Σ ¸si h(ϕ) 6= 1, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a Σ 2 ϕ. Am obt¸inut o contradict¸ie cu ipoteza acestei implicat¸ii. A¸sadar, Σ ` ϕ, ceea ce ˆıncheie demonstrat¸ia teoremei. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

26 / 32

Semantica lui L

Theorem (The Completeness Theorem for L) For any sentence ϕ, ` ϕ iff  ϕ. Demonstrat¸ie: Se aplic˘a Teorema de completitudine tare pentru Σ = ∅.

Remarc˘a Uneori, implicat¸ia ` ϕ ⇒  ϕ este numit˘a corectitudinea lui L, iar implicat¸ia ` ϕ ⇐  ϕ este numit˘a completitudinea lui L. Dar, cel mai adesea, echivalent¸a din teorema anterioar˘a este numit˘a completitudinea lui L.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

27 / 32

Semantica lui L

Corollary (noncontradict¸ia lui L) No sentence ϕ satisfies both ` ϕ and ` ¬ ϕ. Demonstrat¸ie: Assume by absurdum that there exists a sentence ϕ such that ` ϕ and ` ¬ ϕ. Then, by The Completeness Theorem,  ϕ and  ¬ ϕ, that is, ˜ ˜ ϕ) = ¬ h(ϕ) ˜ for any interpretation h, we have: h(ϕ) = 1 and 1 = h(¬ = ¬ 1 = 0, thus 0 = 1 in L2 , which is a contradiction.

Remarc˘a Nu exist˘a ϕ ∈ E ¸si Σ ⊆ E a. ˆı. Σ ` ϕ ¸si Σ ` ¬ ϕ. Acest fapt se demonstreaz˘a la fel ca ¸si corolarul anterior, dar invocˆand Teorema de completitudine tare ˆın locul Teoremei de completitudine.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

28 / 32

Semantica lui L Proposition For any interpretation h : V → L2 and any Σ ⊆ E such that h  Σ, there exists a Σ unique Boolean morphism h : E /∼Σ → L2 that makes the following diagram commutative, namely the Boole morphism defined by: for all ϕ ∈ E , Σ ˜ h (ϕˆΣ ) := h(ϕ): pΣ V⊂ -E E /∼Σ @ ˜ Σ h h@ ? h RL @ 2 Σ

Σ

Demonstrat¸ie: Unicitatea lui h rezult˘a din condit¸ia ca h s˘a ˆınchid˘a comutativ Σ aceast˘a diagram˘a, care face ca singura definit¸ie posibil˘a pentru h s˘a fie: pentru Σ Σ ˜ orice ϕ ∈ E , h (ϕˆΣ ) = h (pΣ (ϕ)) := h(ϕ). Σ Cu aceast˘a definit¸ie, h devine morfism Boolean. De exemplu, pentru orice ϕ, ψ ∈ E , Σ Σ Σ Σ Σ ˜ ∨ ψ) = h(ϕ) ˜ ˜ \ h (ϕˆΣ ∨Σ ψˆΣ ) = h (ϕ ∨ ψ ) = h(ϕ ∨ h(ψ) = h (ϕˆΣ ) ∨ h (ψˆΣ ). La Σ

fel se demonstreaz˘a comutarea lui h cu celelalte operat¸ii de algebr˘a Boole. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

29 / 32

Semantica lui L Σ

R˘amˆane de demonstrat buna definire a lui h , i. e. independent¸a sa de reprezentant¸ii claselor din E /∼Σ . Fie ϕ, ψ ∈ E , a. ˆı. ϕˆΣ = ψˆΣ , ceea ce este echivalent cu ϕ ∼Σ ψ, i. e. Σ ` ϕ ↔ ψ, ceea ce este echivalent cu Σ  ϕ ↔ ψ, ˜ ↔ ψ) = 1, conform Teoremei de completitudine tare. Dar h  Σ, a¸sadar h(ϕ ˜ ˜ ˜ ˜ i. e. adic˘a h(ϕ) ↔ h(ψ) = 1 ˆın L2 , ceea ce este echivalent cu h(ϕ) = h(ψ), Σ Σ Σ Σ Σ ˆ h (ϕˆ ) = h (ψ ). A¸sadar h este bine definit.

Corollary For any interpretation h : V → L2 , there exists a unique Boolean morphism h : E /∼ → L2 that makes the following diagram commutative, namely the Boole ˜ ˆ = h(ϕ): morphism defined by: for all ϕ ∈ E , h(ϕ) pV⊂ -E E /∼ @ ˜ h h@ ? h RL @ 2 Demonstrat¸ie: Se aplic˘a propozit¸ia precedent˘a pentru Σ = ∅. Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

30 / 32

1

Semantica lui L

2

Mult¸imi consistente

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

31 / 32

Mult¸imi consistente

A SE VEDEA PARTEA CU MULTIMI CONSISTENTE DIN CURSUL PROF. IOANA LEUSTEAN, CU REZOLVAREA EXERCITIILOR DE PE PRIMA PAGINA CU MULTIMI CONSISTENTE, SI IN CARE SE FAC INLOCUIRILE: Var V formul˘ a enunt¸ Form E fe e˜, pentru orice interpretare e : V → L2 mult¸ime de enunt¸uri satisfiabil˘ a mult¸ime de enunt¸uri care admite un model SI LA CARE SE ADAUGA: Not¸iunea de mult¸ime consistent˘ a maximal˘ a ¸si propriet˘a¸tile unei astfel de mult¸imi. Teorema de completitudine ⇒ orice mult¸ime consistent˘a admite un model ⇒ Teorema de completitudine tare.

Claudia MURES ¸ AN (Universitatea din Bucure¸sti)

Curs XIII logic˘ a matematic˘ a ¸si computat¸ional˘ a

2011-2012, semestrul I

32 / 32