Curs ADS [PDF]

Zitiervorschau

INTRODUCERE Aeroelasticitatea şi hidroelasticitatea se încadrează în categoria mai generală a Interacţiunii Fluid Structură. Acest domeniu de graniţă implică studierea cuplată a fenomenelor dinamice din structurile solide şi din curgerile adiacente acestora. Aceste fenomene de interacţiune sunt de naturi foarte diferite şi au loc atât pentru lichide, cât şi pentru gaze. Astfel, la nivelul stratului limitã, fenomenele implicate sunt foarte complicate, şi unul dintre scopurile urmãrite poate fi întarzierea tranziţiei stratului limitã din laminar în turbulent, cu efecte benefice în ceea ce priveşte reducerea rezistenţei la înaintare (Postelnicu , 1996, 1999). Problemele aeroelastice referitoare la elicoptere sunt părţi separate ale aeroelasticităţii. Literatura noastră are o carte originală în acest domeniu, şi anume cea a lui Victor Giurgiuţiu (1982), dar şi un număr de contribuţii ale lui Anghel Viorel, vezi secţiunea Bibliografie, care şi-a finalizat un doctorat în acest domeniu. Pe de altă parte, monografia lui Postelnicu şi al (1999) furnizează informaţii de ansamblu asupra feneomenelor aeroelastice caracteristice elicopterelor, iar indicaţii concrete de analiză aeroelastică a palei de elicopter se pot găsi în lucrarea lui Postelnicu (1995). Aeroelasticitatea structurilor ingineriei de construcţii oferă incitante probleme, cum ar fi: “galoparea” liniilor electrice, instabilităţi aeroelastice ale structurilor podurilor, ale turnurilor şi clădirilor înalte plasate în zone cu vânturi puternice, ale structurilor inflatabile folosite de exemplu pentru acoperirea unor arene sportive, etc. Este de remarcat că din punct de vedere aerodinamic, toate aceste structuri se încadrează în conceptul de bluff-body, adică corpuri cu secţiune neprofilată aerodinamic, pentru care dâra de vârtejuri are un rol crucial. Ce se poate afirma în mod cert în legătură cu aerodinamica acestore corpuri este că ea este asociată cu curgeri separate în regim nestaţionar. O altă ramură a aeroelasticităţii de interes industrial este aeroelasticitatea turbomaşinilor. Apariţia acestei ramuri a coincis cu dezvoltarea motoarelor aeroreactoare. Luate separat, turbomaşinile în care au fost observate fenomene aeroelastice uneori fatale au fost compresoarele axiale de înaltă performanţă sau ultimele etaje ale turbinelor cu vapori axiale. Pe lângă articole apărute în reviste ca Journal of Turbomachinery, Journal of Engineering for Power (Transactions of the ASME), AIAA Journal, sau Journal of Sound and Vibrations (pentru a cita doar câteva), cititorul interesat poate găsi un capitol destul de consistent în cartea lui Dowell ş.a. (1989), dar şi mai ales manualele AGARD din seria Manual of Aeroelasticity in Turbomachines. Aeroelasticitatea statică se referă la interacţiunea între forţele aerodinamice şi cele elastice, în timp ce aeroelasticitatea dinamică ia în considerare interacţiunea a trei grupuri de forţe: aerodinamice, elastice şi inerţiale. Este cunoscut în acest sens triunghiul lui Collar, fig. 1.1. Primul accident aviatic consemnat din punct de vedere istoric a se fi produs din motive aeroelastice a fost în 1903, când un aeroplan monoplan, proiectat de Samuel Langley, s-a distrus din cauza unei divergenţe torsionale (de răsucire) a aripii. Acesta a fost unul dintre motivele pentru care până în 1917, nu s-au mai construit avioane monoplane, preferate fiind avioane biplane. Istoria aviatică a continuat şi cu alte incidente şi accidente aeroelastice, dar important a fost că inginerii au început să conţientizeze şi legătura dintre aceste fenomene şi altele, de la structuri neaviatice: construcţii civile, cabluri electrice, turbomaşini, etc. Astfel, un număr de accidente grave cum au

2

Capitolul 1

fost cele ale podurilor, care s-au distrus ca urmare a celor trei tipuri de sarcini de care vorbeam la începutul acestui capitol, şi anume elastice, inerţiale şi aerodinamice. Un astfel de accident a fost al podului de la Tacoma, în 1940, la numai patru luni după ce el a fost deschis traficului. Cu o secţiune în formă de H (susceptibilă la vibraţii verticale, de torsiune şi combinate verticale+torsiune, dintre care cele mai periculoase sunt cele datorate solicitării în torsiune), el s-a rupt în cca o jumătate de oră. Mediatizarea acestui accident a făcut ca acum, în epoca Internet-ului, să existe materiale massmedia cu reconstituirea acestui dezastru (vezi de exemplu site-ul: aero.tamu.edu/aeroel ).

Efecte aeroelastice asupra suprafeţelor de comandă Forţe aerodinamice Divergenţa aeroelastică Repartiţia aeroelastică a portanţei

Flutter Buffeting

Efecte aeroelastice asupra stabilităţii statice a aeronavei

Stabilitatea dinamică a aeronavei

Răspunsul dinamic al structurii Efecte aeroelastice asupra stabilităţii dinamice a aeronavei

Forţe elastice

Forţe inerţiale Vibraţii libere ale structurii

Fig. 1.1. Monografiile clasice în aviaţie au apărut în anii ‘50-’60: Scanlan şi Rosenbaum (1951), Bishplinghoff şi alţii (1955), Bishplinghoff şi Ashley (1956), Fung (1955) şi, remarcând gradul de maturitate al acestei discipline, o parte din soluţiile aeroelastice prezentate acolo rămân valabile şi astăzi. Între monografiile clasice se situează şi cele ale lui Petre Augustin (1966 şi 1973), în care se introduc pentru prima dată pe plan mondial efectele rezistenţei la înaintare în abordarea fenomenelor aeroelastice.

AEROELASTICITATE

3

Este de remarcat că aeronavele moderne nu pot fi certificate în raport cu instabilităţile aeroelastice numai pe baza analizelor din faza de proiectare, ci rezultatele acestora trebuie coroborate cu testele de încercare în tunele aerodinamice şi cu cele în zbor. Această afirmaţie este de altfel valabilă şi pentru alte tipuri de certificări ale aeronavelor. În anii ’60, a devenit evidentă preocuparea firmelor de aviaţie de a investi mai mult efort în prevenirea flutter-ului încă din faza de proiectare. De remarcat faptul că în realitate evenimentele de flutter apar mai ales în legătură cu suprafeţele de comandă. Astfel că, din acea perioadă, datează începutul preocupărilor susţinute asupra flutter-ului suprafeţelor de comandă. Apoi, introducerea comenzilor de zbor servoasistate a adus în problema flutter-ului un grad de libertate în plus. La începutul anii ’70, pe un aparat de cercetare al armatei americane din categoria B52 CCV (Control Configurated Vehicle) au fost proiectate patru sisteme ambarcate, şi anume: Ride Control (RC), Flutter Mode Control (FMC), Maneuver Load Control (MLC) şi Augmented Stability (AS).  Sistemul RC a demonstrat o reducere cu 30% a răspunsului la turbulenţă în acceleraţii verticale şi 44% a răspunsului în acceleraţii laterale, la nivelul cabinei piloţilor.  Sistemul FMC a demonstrat creşterea domeniului de operabilitate a respectivei aeronave, în raport cu apariţia flutter-ului.  Sistemul MLC a fost proiectat pentru a se obţine o reducere cu 10% a momentului de încovoiere în zona de joncţiune a aripii cu fuselajul în condiţii de zbor în care factorul de sarcină de manevră este maxim în această zonă.  In fine, rolul sistemului AS a fost de a asigura o stabilitate dinamicã mãritã a aeronavei. Este interesantă clasificarea făcută de Ashley (1978) a unor probleme rezolvate şi nerezolvate din câmpul aeroelasticităţii. Astfel, referindu-ne doar la avioane, problemele rezolvate la nivelul acelui an erau:  divergenţa suprafeţelor portante convenţionale;  flutter-ul subsonic şi supersonic al suprafeţelor portante a avioanelor mari de transport şi de luptă;  flutter-ul suprafeţelor de control de la bordul de fugă al suprafeţelor portante incluzând efectele de fixare şi chiar ale sistemelor de acţionare hidraulică sau pneumatică;  proiectarea pe funcţia obiectiv greutate minimă a suprafeţelor portante izolate, cu restricţii de flutter. În categoria problemelor nerezolvate în acea perioadă, Ashley includea:  divergenţa şi flutter-ul suparfeţelor portante de alungire foarte mică pretensionate;  flutter-ul anumitor avioane civile de mare performanţă;  fenomenele de flutter în regim transonic. Este de remarcat apariţia în lista de mai sus a instabilităţilor aeroelastice pentru anumite avioane civile de mare performanţă. Deşi, între anii ’50 -’70 multe fenomene fuseseră înţelese şi multe metodologii de proiectare aeroelastică fuseseră implementate în practică, apariţia noilor materiale moderne, compozite, a redeschis multe dintre problemele aeroelastice anterioare. Modele liniare şi neliniare în aeroelasticitate Istoria modelelor liniare este lungã, atât la nivel teoretic cât şi experimental. Astfel, fenomene importante ca divergenţa, repartiţia aeroelastică aportanţei, efecte aeroelastice asupra suprafeţelor de

Capitolul 1

4

comandă, flutter-ul structurilor convenţionale, fenomenele aeroelastice dinamice tranzitorii au fost rezolvate pe baza analizei liniare. Principial, neliniaritatea în aeroelasticitate apare la nivel structural şi/sau aerodinamic. Referindu-ne la structurile de aviaţie, un exemplu în care neliniarităţile aerodinamice sunt esenţiale este acela al fenomenelor aeroelastice în regimul transonic. Un alt exemplu, legat de supermanevrabilitatea avioanelor moderne, este ceea ce se numeşte uzual post-stall flutter, adică flutter de desprindere dinamică, asociat cu evoluţiile la unghiuri de incidenţă mai mari decât unghiul critic de incidenţă. Cum este normal, în cuprinsul acestei cărţi vor fi întâlnite cel mai adesea modelări liniare, dar vor exista şi câteva modele neliniare. Oricum însă, cititorul interesat poate găsi prezentări detaliate de analize aeroelastice neliniare în cartea lui Dowell şi Ilgamov (1988).

1.1. Un exemplu simplu de fenomen aeroelastic Fie o structură modelată ca bară, de lungime l, încastrată ca în fig. 1.2; ea poate fi gândită ca bordul de atac al unei aripi. Regimul de curgere considerat este supersonic.

Fig. 1.2. Ecuaţia structurală a problemei este: (1.1) 4w EI 4  p x unde se foloseşte expresia diferenţei de presiuni pentru regimuri supersonice: (1.2) 2U 2 w w p  M 2  1 x (pe unitatea de coardă şi pe unitatea de anvergură). Din (1.1) şi (1.2), rezultă ecuaţia de deformaţie:

5

AEROELASTICITATE

4w w K 0 4 x x

(1.3)

2U 2

1 . Condiţiile la limită ale problemei sunt: M  1 EI  deformaţie şi rotire nulă la încastrare (x = l) ;  forţă şi moment nule la capătul liber (x = 0): 2 3 (1.4) w l    w2 0   w3 0  0 wl   x x x Ecuaţia diferenţială (1.3) este cu coeficienţi constanţi şi are ecuaţia caracteristică asociată: (1.5) r 4  Kr  0 i i 5 / 3 i / 3 1/ 3 ale cărei rădăcini sunt: r1  0 , r2  Ae , r3  Ae , r4  Ae , cu A  K . Astfel, soluţia generală a ecuaţiei (1.4) este: (1.6)  A 3   A 3   Ax Ax / 2     w x   c1  c2e  e x   c4 sin x  c3 cos   2   2  Impunând condiţiile la limită (1.4) asupra soluţiei (2.50), se obţine un sistem algebric omogen în c1, …, c4. Condiţia ca acest sistem să aibă soluţie nebanală este: (1.7)  Al 3   e 3 Al / 2  2 cos   2  care constituie de fapt ecuaţia de valori proprii a problemei studiate. Interesează cea mai mică rădăcină pozitivă a acestei ecuaţii, fie ea notată cu AD . Atunci viteza de divergenţă se obţine din definiţia lui K, sub forma:

unde K 

2

UD 





AD3 l 3 M 2  1 2l 3

1/ 2

EI

1.2. Moduri de aproximare pentru structurile elastice 1.2.1. Modelul de barã Această modelare se foloseşte pentru structurile elastice la care o dimensiune este mult mai mare decât celelalte douã. Este modelarea clasică în aeroelasticitate, preferată şi astăzi când se urmăreşte obţinerea unor rezultate sub formă închisă, dar şi din considerente didactice. Exemple de structuri modelate ca bare sunt: aripile şi ampenajele de alungire mare, palele de elicopter sau de turbine eoliene. 1.2.2. Modelul de placă Folosit la suprafeţele portante de alungire mică. I se spune uneori şi modelarea de panou, prin traducerea termenului în limba engleză panel. Ca regulă, modelele de placă nu conduc la rezultate sub formă închisă.

Capitolul 1

6

1.2.3. Modelul de învelitoare curbă Este folosit de obicei pentru fuselaj şi în general pentru suprafeţele portante sau structuri portante cu pereţi subţiri, cu sau fără rigidizări. Aceste modele sunt în general dificile, dar fezabile cu finalizare de obicei pe cale numerică. 1.2.4. Modelul de bară cu pereţi subţiri Modelarea de bară cu pereţi subţiri este o soluţie intermediară între cea de bară şi cea de de învelitoare elastică. Ca urmare şi precizia unui astfel de model se încadrează înte preciziile atinse cu modelul de bară şi cel de învelitoare elastică. Mai mult, aşa cum precizează Petre Augustin (1966), se poate întâmpla, de exemplu în cazul structurilor cu rigidizări transversale puternice, ca precizia modelului de bare cu pereţi subţiri să fie superioară celei de învelitoare subţire. Motivul este că ipoteza nedeformabilităţii secţiunii transversale, proprie barelor cu pereţi subţiri, să fie mai apropiată de realitate decât cea a secţiunii transversale libere (practicată în modelarea de învelitori subţiri).

1.3. Centre ale unei sectiuni transversale, de interes în cazul aeroelasticitãţii Centrul de încovoiere (centru de încovoiere pură) este punctul caracterizat prin proprietatea: Dacã o forţã în respectiva secţiune acţioneazã în acel punct, secţiunea nu se roteşte (ca urmare a deformaţiei elastice a structurii). Centrul de răsucire (centru de răsucire pură) este punctul caracterizat prin proprietatea: Dacă o forţă în respectiva secţiune acţionează în acel punct, respectivul punct rămâne fix. Sã observãm cã aceste 2 centre sunt caracteristice pentru întreaga structura - caz în care ele poartã denumirea comunã de centru elastic (centru de rigiditate). Dacă structura este liniară (adică relaţia între sarcini şi deformaţii este liniarã), atunci aceste două centre coincid. Centrul de forfecare este centrul elastic local al structurii, adică acel punct caracterizat prin proprietatea: Dacã o forţă cuprinsã în planul secţiunii se aplicã în acest punct, secţiunea respectivã nu se roteşte în raport cu una infinit vecinã, datoritã deformãrii. Acest punct este o caracteristicã de secţiune, altfel spus este o caracteristicã localã a structurii considerate. Unind centrele definite mai sus pe întreaga suprafaţã portantã se obţin în general linii curbe. În cazul în care curba centrelor elastice este o dreaptã, ea se numeşte axã elasticã. În problemele uzuale de aeroelasticitate se admite de obicei existenţa axei elastice, ceea ce conduce la importante simplificãri de calcul.

AEROELASTICITATEA STATICĂ

2. DEFORMATIILE STRUCTURILOR AERONAUTICE SUB SARCINI STATICE 2.1. Relaţii între deformaţii şi sarcini Fie pentru început că pe aeronavă acţionează un număr de sarcini discrete Q1, Q2, ..., Qn. În punctele lor de aplicaţie se vor sesiza deformaţiile q1, q2, ..., qn . Se pot exprima deformaţiile funcţie de sarcini: n (2.1) qi   Gij Q j j 1

sau, sub formă matricială: {q} = [G]{Q} (2.2) unde [G] este matricea funcţiilor lui Green, elementele sale fiind: Gij = G(xi, yi, zi, j, j, j). Invers, dacă se exprimă sarcinile funcţie de deformaţii, n (2.3) Qi   K ij q j j 1

sau, sub formă matricială, {Q} = [K]{q} (2.4) unde [K] este matricea de rigiditate, elementele sale fiind: Kij = K(xi, yi, zi, j, j, j). Pe de altă parte, este evident ca dimensiunile după z pe o aeronavă sunt mult mai mici în raport cu cele după x şi y (cu excepţia ampenajului vertical, unde predomină dimensiunile după x şi z, dar în acel caz, dimensiunile după axa y sunt neglijabile). Se poate scrie astfel: Gij = G(xi, yi, j, j) şi Kij = K(xi, yi, j, j), expresii caracteristice modelului de placă. În modelul de bară, au loc particularizările: Gij = G(yi, j) şi Kij = K(yi, j) pentru cazul aripii sau ampenajului orizontal; Gij = G(xi, zi, j, j) şi Kij = K(xi, zi, j, j) pentru cazul ampenajului vertical; Gij = G(xi, j) şi Kij = K(xi, j) pentru cazul fuselajului; Să calculăm în continuare energia de deformaţie. Aceasta se poate exprima sub forma: (2.5) 1 n U   Qi qi 2 i 1 Introducând aici expresiile (2.1), se obţine expresia energiei de deformaţie în raport cu deformaţiile: (2.6) 1 n n 1 T U   Gij Qi Q j  Q G Q 2 i 1 j 1 2 Pe de altă parte, introducând (2.3) în (2.5), se obţine U funcţie de deformaţii: (2.7) 1 n n 1 T U   K ij qi q j  q K q 2 i 1 j 1 2

CURS 2 - 3

2.2. Cazul sarcinilor distribuite Pentru a face o alegere, să considerăm cazul simplificat al aripii sau ampenajului orizontal, care lucrează în încovoiere. Modelul structural este o bară în consolă de deschidere l, cu alte cuvinte l este semianvergura. Dacă sarcina distribuită pe anvergură este p = p(y), atunci energia de deformaţie se obţine prin extinderea lui (2.5), şi anume: l (2.8) 1 U

2 0

p y w y dy

unde vom observa că pe extinderea infinitezimală d, q  w  , dQ  pd Deformaţia w calculată într-o secţiune oarecare y a suprafeţei portante se poate determina astfel: aplicând o forţă unitară în secţiunea plasată la distanţa y faţă de încastrare, atunci în secţiunea  se obţine deplasarea G(y,). În schimb, dacă în secţiunea y se aplică sarcina elementară p(y)dy, atunci deplasarea în  este: dw = G(y,)d. Astfel, săgeata va fi descrisă de legea: l (2.9) w y    G ww  y,  pd 0

De observat că, datorită teoremei de reciprocitate a lui Maxwell, Gww(y,) = Gww(, y) adică funcţia Gww este simetrică. Introducând (2.9) în (2.8) se obţine l l  1 U   p y    Gww  y,  pd dy 20 0 

(2.10)

Din relaţia (2.9) se obţine inversând rolurile lui w şi p, l

p y    K ww  y, wd

(2.11)

0

şi, cu (2.11) în (2.8) rezultă: l l  1 U   w y    K ww  y, wddy 20 0 

(2.12)

2.3. Calculul deformaţiilor în cadrul modelului de bară Considerând o suprfaţă portantă S (aripă, ampenaj orizontal sau vertical), aflată sub acţiunea sarcinii distribuite p(, ), care constă în forţe şi momente distribuite, expresia deformaţiei acestei suprafeţe este (2.13) w x, y    G x, y, ,  p, dd S

În aproximarea de bară, se exprimă:

wx, y   w y   x y  G x, y, ,   Gww  y,   xGw  y,   Gw  y,   xG  y, 

(2.14) (2.15) unde w şi  sunt deformaţiile corespunzătoare încovoierii şi torsiunii. Mărimile Gpq sunt funcţii ale lui Green, iar semnificaţia mărimii Gpq(y, ) este de deformaţie liniară sau unghiulară în direcţia p, calculată în y, datorată unei sarcini sau moment după direcţia q şi aplicată în punctul . Introducând (2.14) şi (2.15) în (2.13), se obţine

AEROELASTICITATE l

l

w y    Gww  y,  pd   Gw  y, mt d 0

0

l

l

0

0

 y    Gw  y,  pd   G  y, mt d

(2.16) (2.17)

unde s-a ţinut cont că p 

bf

bf

ba

ba

 p, d , mt     p, d

(2.18)

notaţiile ba şi bf referindu-se la bordul de atac şi respectiv la bordul de fugă. Vom observa că p şi mt sunt forţa distribuită şi momentul de torsiune distribuite pe anvergură. Dacă ar avea loc decuplarea solicitărilor de încovoiere şi de torsiune, formulele (2.17) şi (2.18) devin l (2.19) w y    Gww  y,  pd 0 l

 y    G  y, mt d

(2.20)

0

adică tocmai formula (2.9) şi analoaga ei pentru torsiune.

2.4. Funcţiile lui Green pentru structurile aproximate ca bare Calculul funcţiilor lui Green în cazul încovoierii şi forfecării, precum şi a torsiunii, se poate găsi în detaliu în cartea lui Petre Augustin (1966). Aici vom trata foarte pe scurt această problemă, concentrându-ne doar asupra deducerii funcţiilor lui Green la încovoiere şi torsiune. 2.4.1. Cazul încovoierii Să considerăm în acest subparagraf o bară de secţiune constantă. Cazul mai general, al suprafeţei portante aproximată ca bară cu secţiunea variabilă, va fi tratat mai jos, în paragraful 2.5. Din rezistenţa materialelor, săgeata produsă într-o secţiune  produsă de o forţă unitate aplicată în secţiunea y , se poate determina cu metoda parametrilor iniţiali. Se scrie astfel (2.21) M 2 T0 3 w  w0  w0 '   0    EI 2 EI 3 unde ţinem seama că: w0  w0 '  0 (deformaţie şi rotire nulă în încastrare); T0  1 , M 0   y . Rezultă astfel, cu ipoteza EI = const., (2.22)  y 2 1 3 2  EI 2  EI 6  EI 3 y   , 0    y Gww  y,    2   3  y  , y l  EI 2.4.2. Cazul torsiunii Ecuaţia de bază a unei bare care lucrează în torsiune este

CURS 2 - 3

d M t (2.23)  dy GI d unde Mt este momentul de torsiune. Ţinând seama că momentul de torsiune aplicat pe unitatea de lungime are expresia: mt  M t / y , se deduce din relaţia (2.23): (2.24) d  d   GI d   mt dy  dy  de unde se poate afla , o dată cunoscut mt. Pentru a evita această dubleă integrare, se poate exprima direct unghiul  funcţie de momentul de torsiune repartizat, mt, folosind funcţia lui Green la torsiune, conform relaţiei următoare: l (2.25)    G  y, mt d 0

unde, din nou pentru cazul unei bare de secţiune constantă,    GI , 0    y  d G  y,     y , y   l  GI d

(2.26)

2.5. Calculul deformaţiilor sub acţiunea solicitărilor statice în modelul de bară Suprafaţa portantă este modelată ca bară şi are o axă elastică, peste care se suprapune axa de coordonate Oy. Sunt cunoscute (experimental sau prin calcul) distribuţiile pe anvergură ale rigidităţii la încovoiere EIx = EIx(y) şi rigidităţii la torsiune GId = GId(y). 2.5.1. Metode bazate pe funcţiile lui Green 2.5.1.1 Aripi drepte. Ca ipoteze de calcul, nu se vor considera efectele în lungul axei elastice, iar forma secţiunii se consideră a rămâne nemodificată. Preluând expresiile (2.16-2.17) şi considerând şi efectul forţelor şi momentelor de torsiune concentrate, expresiile deplasărilor devin: l l (2.27) w y    Gww  y,  pd   Gw  y, mt d   Gww  y, k N k    Gw  y, k M t k  0

0

l

l

0

0

k

k

( y )   G  y, mt ()d   Gw  y,  p()d   Gw  y, k N k    G  y, k M t (k ) k

(2.28)

k

unde Nk şi Mtk sunt sarcinile respectiv momentele concentrate. Discretizând pe toată aripa, rezultă expresiile de calcul numeric: {w} = [Gww] [W] {p} + [Gww] {Nk}+ [Gw] [W] {mt} + [Gw] {Mtk} (2.29) (2.30) {} = [Gw] [W] {p} + [Gw] {Nk} + [G] [W] {mt} + [G] {Mtk} unde [W] este matricea de ponderare, {Nk} vectorul coloană al sarcinilor concentrate (dacă ele există), iar {Mtk} vectorul coloană al momentelor de torsiune concentrate (dacă ele există). Funcţiile lui Green sunt adate de următoarele expresii: min( y ,) min( y ,) (2.31)  y        Gww  y,  =  d , Gw  y,  =  d , EI x   EI x   0 0

AEROELASTICITATE min( y ,)

G w ( y, ) =

 0

y d , G ( y, ) = EI x  

min( y ,)

 0

1

d GI d  

Calculul matricii de ponderare [W]  Dacă secţiunile de calcul sunt echidistante, atunci a) Cu metoda trapezelor se obţine 1/2 0  [ W ]  y  .  0  0

0 . . 1 . . . . . 0 . 1 0 . .

0  0  .   0  1 / 2

Astfel, l

G

ww

pd  (Gww p) 0 y / 2  (Gww p)1 y  ...  (Gww p) n 1 y  (Gww p) n y / 2  [Gww ][W ]{ p}

0

b) Dacă regula de interpolare este metoda lui Simpson, 1 0 0 0 0 . . . 0  0 4 0 0 0 . . . 0    0 0 2 0 0 . . . 0    0 0 0 4 0 . . . 0  y  [W]  0 0 0 0 2 . . . 0 3   . . . . . . . . .  . . . . . . 2 0 0    . . . . . . 0 4 0 0 0 0 0 0 . 0 0 1     Dacă secţiunile de calcul nu sunt echidistante, atunci cu metoda trapezelor, se deduce: 0 . 0 0  y1 / 2  0 (y1  y 2 ) / 2 . 0 0   [W ]   . . . . . .   0 . (y n 1  y n ) / 2 0   0  0 0 . 0 y n / 2 În acest fel, se pot determina variaţiile pe anvergură w = w(y) şi = (y). 2.5.1.2. Aripi în săgeată. Pentru o aripă în săgeată, trebuie considerate următoarele deformaţii: w (deplasarea verticală a axei elastice în planul perpendicular pe planul corzilor), panta dw/dy, unghiul de răsucire  şi deformaţie de tip incidenţă  cos - sin, unde  este unghiul format de axa elastică cu normala la axa de simetrie, fig. 2.1. Expresiile deplasărilor sunt: l l (2.32) w y    Gww  y ,   p d   Gw  y ,  mt  d   Gww  y , k N k  0

0

k

CURS 2 - 3

  Gw  y, k M t k  k l

l

0

0

 y    G  y ,  mt  d    Gw  y ,   pd    Gw  y , k N ( k )

(2.33)

k

  G  y, k M t k  k l

 y    G  y ,  mt   d  G  y , k  M t  k 

(2.34)

k

0

l

l

0

0

 y    G  y ,  mt ( )d   Gw  y ,   p d    Gw  y , k N k  k

  G  y, k M t k  k

Fig. 2.1 Funcţiile lui Green pentru încovoiere sunt Gww, Gw şi Gw:

(2.35)

AEROELASTICITATE

Gww  y ,   =

 y      d , G  y ,   = min( y ,  )    d , w 0 0 EI x   EI x  

min( y ,  )

min( y ,  )

Gw ( y , ) =

 0

y  d , G ( y , ) = EI x  

min( y ,  )

 0

(2.36)

1

d EI x  

Funcţia lui Green corespunzătoare răsucirii este G, definită ca: min( y , )  G  y,   =  GI    d d 0 Funcţiile lui Green specifice aripilor în săgeată sunt: Gw  y,   Gw  y, sin  , G  y ,    G  y ,   cos  , Gw  y,   G  y, sin  ,

(2.37)

(2.38)

G  y,    G  y,  sin 2   G  y,   cos2  Pentru calculul efectiv al acestor funcţii, se poate urmări lucrarea (Postelnicu, 1995). Discretizând pe toată aripa, rezultă din expresiile anterioare: (2.39) {w} = [Gww] [W] {p} + [Gww] {Nk}+ [Gw[W] {mt} + [Gw {Mtk} (2.40) {[Gw] [W] {p} + [Gw] {Nk} + [G[W] {mt} + [G{Mtk} (2.41) {[G] [W] {mt} + [G{Mtk} (2.42) {[Gw] [W] {p} + [Gw] {Nk} + [G[W] {mt} + [G{Mtk} Astfel, din (2.39), ..., (2.42) se determină variaţiile pe anvergură ale deformaţiilor w, ,  şi .

2.6. Metode energetice în calculul deformaţiilor. Metoda Rayleigh-Ritz 2.6.1. Principiul energiei potenţiale minime Principiul energiei potenţiale minime (pentru structuri deformabile) se enunţă astfel: Dacă un corp este în echilibru sub acţiunea unor sarcini exterioare, lucrul mecanic virtual efectuat în cursul unei deplasări mici, deplasare care este compatibilă cu restricţiile geometrice, este numeric egal cu variaţia energiei de deformaţie. Notând acest lucru mecanic cu L, iar energia de deformaţie, ca şi mai înainte, cu U, principiul mai sus enunţat se exprimă condensat sub forma: (2.43) L  U  L  U   0 Observaţii  Acest principiu se aplică doar sistemelor conservative  Ţinând seama de faptul că L-U este chiar energia potenţială, principiul mai sus enunţat se poate exprima şi sub forma echivalentă: Dintre toate configuraţiile de deformaţii posibile, compatibile cu restricţiile geometrice, configuraţia care satisface condiţia de echilibru este aceea care minimizează energia potenţială. 2.6.2. Modelul de bară. Metoda Rayleigh-Ritz Fie o structură aproximată ca bară încastrată, aflată sub acţiunea unei forţe distribuite p(y). Se pune problema de a determina Se exprimă deformaţia sub forma ei deformată. Se va aplica pentru aceasta principiul energiei potenţiale minime. Pentru început se exprimă deformaţia w(y) sub forma seriei:

CURS 2 - 3 

w y     i  y qi , i 1

care, pentru necesităţi practice, se trunchiază la un număr n de termeni. n

w y     i  y  qi

(2.44)

i1

unde i sunt funcţii necunoscute, iar qi se numesc deplasări generalizate. Condiţiile la limită ale problemei (în modelarea de bară) sunt: w(0) = 0 , w '(0) = 0 (2.45) În ideea de a satisface aceste condiţii la limită, se aleg funcţiile i astfel încât i (0) = 0 şi i' (0) = 0, satisfăcând astfel identic condiţiile de încastrare. Lucrul mecanic este dat de expresia: l

L  p y  w y  dy , 0

de unde variaţia sa virtuală: l

L  p y  w y  dy

(2.46)

0

De aici se observă necesitatea de a exprima din (2.44) variaţia virtuală a deformaţiei: n

w y     i  y qi astfel că

i1

l n  l (2.47)   n  L  p y    i  y qi w y  dy     p y   i  y  dy qi  i1  i1  0  0 Pe de altă parte, energia de deformaţie se calculează conform formulei: 2 (2.48)  d 2w  1 l U   EI  y  2  dy 20  dy  şi introducând aici expresia deformaţiei, w, dată de (2.44), se obţine: 2 2  d 2 i   d 2 j   1 n n l U     EI  y  2   2  dy qi q j 2 i1 j1  0  dy   dy   Din această expresie se deduce variaţia virtuală a energiei de deformaţie: 2 2 (2.49)  d 2 i   d 2 j   1 n n l U     EI  y  2   2  dy qi q j 2 i1 j1  0  dy   dy   Impunând condiţia principiului energiei potenţiale minime (2.43), rezultă: 2 2  l n   d 2 i   d 2 j    n l      EI  y  dy 2   dy 2  dy q j   p y   j  y  dy qi  0     i1  j 1   0  0 şi deoarece q1, ..., qn sunt independente, urmează că: 2 2 (2.50) l n l  d 2 i   d 2 j       EI  y  dy 2   dy 2  dy q j   p y   j  y  dy     j1  0 0 Relaţiille (2.50), scrise pentru i = 1,2, …, n constituie este un sistem în necunoscutele q1, ..., qn . El se rezolvã printr-o metodã numericã standard, dupã care, o dată obţinute de aici deplasările generalizate, se calculează deformaţia w cu formula (2.44).

AEROELASTICITATE

2.6.3. Modelul de placã Fie o aripă subţire, de alungire mică, modelată ca placă, sub acţiunea unei sarcini distribuite p = p(x, y). Se notează, ca de obicei, cu w = w(x, y) deformaţia într-un plan normal la aripa aproximată ca placă şi interesează obţinerea acestei deformaţii.  Se exprimă energia de deformaţie a plăcii: (2.51) l cbf   2 w  2 w  2   2 w  2  2 w  2 w   1     U    D x, y  2  2   21      x 2 y 2  dxdy 2 0 cba y   xy     x 3 2 unde D = D(x , y) = Eh / [12(1- )] este rigiditatea în încovoiere a plăcii,  este coeficientul lui Poisson. Din expresia (2.51) se poate exprima U.  Se exprimă lucrul mecanic virtual : l cbf (2.52) L    p x , y w x , y  dxdy 0 cba

În continuare, trebuie aplicată o tehnică de element finit. Ca o alternativă, prezentăm în continuare un model de calcul simplificat, conform Bishplinghoff şi al. (1955). Aceasta pleacă de la ideea de a se exprima deformaţia ca în modelul de bară : (2.53) w(x , y) = w(y) - x(y) Se introduce (2.53) în (2.51) şi se obţine: l cbf





1 2 2 U    D( x, y ) w' ' ( y )  x' ' '  y   21    ' ( y ) dxdy 2 0 cba

Fig. 2.2. unde s-a notat cu accent derivarea în raport cu y, iar cba si cbf se iau conform fig. 2.2. În continuare,

CURS 2 - 3 l cbf

U  

(2.54)

 D x, y  w'' w'' x w'' '''' w''  x '' ''21    '' 'dxdy 2

0 cba

iar din (2.52) şi 2.53), l cbf

L  

(2.55)

 p( x, y )w y   x y  dxdy

0 cba

Introducând (2.54) şi (2.55) în expresia principiului (2.43) şi se obţine : (a1w '' ) '' + (a2 '' ) '' = P1 (a3'' ) '' + (a2w '' ) '' - 2(1 - )(a1' ) ' = P2 unde s-au mai introdus notaţiile: P1  y  

cbf

(2.56) (2.57)

cbf

cbf

cbf

 p x , y  dx , P  y     xp x , y  dx , a  y    D x , y  dx , a  y     xD x , y  dx , 2

cba

1

a3  y  

2

cba

cba

cba

cbf

 x D x , y  dx 2

.

cba

În legătură cu condiţiile la limită, la y = 0, trebuie impuse condiţiile: w = 0,  = 0, w' = 0, ' = 0. De aici rezultă, tot la y = 0: w = 0,  = 0, w' = 0, ' = 0 În rest, în orice alt punct de pe suprafaţa portantă, w(y) şi (y) sunt independente. 



de asemeni, trebuie ca la capătul liber al aripii, y = l, sarcinile să fie nule. Cu acestea, să sintetizăm ecuaţiile problemei:

(2.58) (a1w'' ) '' + (a2'' ) '' = P1 (2.59) (a3'' ) '' + (a2w'' ) '' - 2(1 - )(a1')' = P2 (2.60) [(a1w '' ) '' + (a2'' ) ‘' ] y = l = 0 (2.61) [ (a3 '' ) ' + (a2w'') ' - 2(1 - )a1'] y = l = 0 (2.62) [ a1w'' + a2 '' ] y = l = 0 (2.63) [ a3'' + a2w '' ]y = l = 0 (2.64) w(0) = 0 , (0) = 0, w' (0) = 0, ' (0) = 0 Mai departe, scopul logic este de a obţine o ecuaţie diferenţială doar în w sau în . Urmărind a doua variantă, se integrează de două ori ecuaţia (2.58) şi eliminând w între relaţia obţinută şi (2.59), rezultă: (2.65) a2 a  [( a3  2 ' ' ' ] '21   a1'  mt  y   [ 2 m y ]' a1 a1 cu condiţiile la limită: (2.66)  a2    = 0,  ' = 0,  a3  2 ''  0 a1    y 1 unde s-au notat cu m(y) şi mt(y) momentul încovoietor distribuit: b bb  m y      Pd 1  )d , mt  y    P2 d.  y y

AEROELASTICITATE

O dată obţinut  = (y) din problema constituită de ecuaţia (2.65) şi condiţiile la limită (2.66), deformaţia w se află din ecuaţia: a 1 (2.67) w ' '   2 ' '  m y  a1 a1 supusă condiţiilor la limită: w(0) = 0 , w'(0) = 0 (2.68) Procedurile descrise mai sus se rezolvă doar pe cale numerică, în afară de cazul foarte particular al aripii uniforme. În concluzie, pentru procedura numerică,  se determină mai întâi a1(y) , a2(y) , a3(y), m(y) şi mt(y)  apoi se rezolvă ecuaţia (2.65) supusă condiţiilor la limită (2.66), astfel obţinându-se  = (y)  în final, se rezolvă problema formată din ecuaţia (2.67) şi condiţiile la limită (2.68), de unde rezultă astfel variaţia w = w(y).

2.7. Analiza statică a unui înveliş cilindric subţire presurizat, sub acţiunea unor sarcini axiale (cazul supersonic) Se consideră un înveliş cilindric circular, de grosime mică, fig. 2.3, aflat sub acţiunea unei sarcini axiale unde Nx este sarcina axială, considerată aici constantă, care acţionează la ambele capete ale structurii analizate. De asemeni, structura cilindrică este presurizată. Pentru formularea matematicã a problemei, se vor folosi ecuaţiile care guvernează răspunsul neliniar al cilindrului sub forma dată de Donnell: (2.69a)  2  2 w  2  2 w  2  2 w 1  2 D2 w  2  2    p xy xy x 2 y 2 R x 2 y x 2 2 (2.69b)  2w  1 2 2w 2w 1 2w   2      0 Eh x y 2 R x 2  xy  unde R raza medie a învelişului cilindric h grosimea sa E modulul de elasticitate al materialului constituent D rigiditatea în încovoiere a cilindrului respectiv funcţia eforturilor statice a lui Airy  p presiunea care acţionează asupra respectivului înveliş w deformaţia cilindrului după direcţie radială x şi y coordonate alese conform fig. 2.3 Condiţiile la limită se vor da pentru cazul rezemării simple - astfel, trebuie ca la x = 0 şi la x = L : 2 w  2  2 (2.70)  0 w x , y  = 0 , ,  0 , 2  Nx 2 x xy y În cazurile practice, încărcarea iniţială, deci şi forma de predeformaţie sunt axialsimetrice. Ca urmare, pentru problema statică se poate considera w = w(x) şi problema se reduce la : d 4 w  2 d 2 w 1  2 (2.71a) D 4  2   p x  2 2 dx y dx R x 1 2 1 d 2w (2.71b)   0 2 Eh R dx

CURS 2 - 3

cu condiţiile la limită: w x  = 0 ,

d 2w  2  2  0 , ,  Nx  0 dx 2 xy y 2

(2.72)

Fig. 2.3. Problema se poate reduce la o singură ecuaţie diferenţială, datorită simetriei axiale, precum şi faptului ca deformaţia radială se anulează la ambele capete ale structurii considerate. Această ecuaţie se obţine din ecuaţiile (2.71) sub forma: N x d 4w d 2 w Eh (2.73) D 4  Nx  2 w  p x   2 dx dx R R unde funcţia eforturilor statice este dată de: (x, y) = Nx(y2/2) + 0(x), iar 0(x) satisface ecuaţia: 1 d 20 w N x (2.74)   2 Eh dx R Eh Pentru a stabili expresia pentru presiune, sã observãm că sarcina care acţionează asupra invelisului se poate scrie ca: p = pi + pa, unde pi este presiunea interioară (consideratã ca suprapresiunea faţă de presiunea atmosferică exterioară), iar pa este presiunea aerodinamică. Pentru pa se consideră aproximaţia pentru numere Mach mari, în cadrul teoriei potenţiale liniare: (2.75) 2q  w w  p      x 2R  (care se reduce la aproximaţia liniarã de piston pentru numere Mach mari). În cadrul schemei de adimensionalizare: 2 N R x Ut w pR 4 p  R  12 1 -  a= , t = ,w = , p  ;p=   , Nx  x 2 31  2 , 2 R R h Dh Eh  Eh 2





3

h2 q  R  = M 1 , q =   , c2  12R 2 Eh 2 

relaţia (2.75) devine:  R q  dw 1  p    2 1   2   p  241   2    w   d 2   h 2

(2.76)

AEROELASTICITATE

şi introducând (2.76) în (2.73) se obţine:  1 d 4w d 2w q dw q  2 R    4 3 1   N  241   2   1   2  2  2  w  x 4 2 h  d d d   c

(2.77)

 R   1   2 p  2  4 3N x h La rândul lor, condiţiile la limită (2.72) devin: d 2w (2.78) w  0, 0 2 d la  = 0 şi  = L/R. Pentru soluţionarea numerică, să observăm că (2.77) este de forma: d 4w d 2w dw (2.79)  A B  Cw  D 4 2 d d d unde A, B, C, D sunt coeficienţi constanţi în raport cu variabila de integrare. Ecuaţia caracteristică a variantei omogene a lui (2.79) este: r4 + Ar2 + Br + C = 0, de unde se determină rădăcinile r1 , ..., r4 . Pentru a efectua aici o alegere, fie ca acestea sunt distincte. Se obţine astfel soluţia ecuaţiei (2.79) omogene, sub forma: (2.80) w  C1er1  C2er2  C3er3  C4er4 astfel că soluţia ecuaţiei (2.79) se obţine sub forma: 4 (2.81) w     C s e rs    0 2





s 1

unde 0 este o constantã având valoarea: 0 

 R / h 2 p 2  4 3N x

(2.82)

1 q  12 2 2 c  iar constantele C1 , ..., C4 se obţin impunând ca soluţia dată de (2.81) să satisfacă condiţiile la limită (2.78).

   

1  2

Algoritmul de calcul Se alege o serie de valori pentru x, deci pentru iar la fiecare x se determinã rãdãcinile r1 , ..., r4 se calculeazã 0 cu formula (2.82) se scrie expresia deformaţiei conform (14) şi se determină constantele C1 , ..., C4 impunând ca (2.81) sã satisfacã (2.78) se reprezintă grafic rezultatele obţinute.

7. FENOMENUL DE FLUTURARE (FLUTTER) 7.1. Generalitãţi În general, flutterul, spre deosebire de divergenţa aeroelasticã, se defineşte ca o situaţie de instabilitate a unei mişcãri oscilatorii (periodicã) a unei structuri, care se produce la o vitezã Vf şi care are frecvenţa f . Viteza criticã de flutter Vf şi frecvenţa asociatã f pot fi considerate ca viteza limitã de zbor, respectiv ca frecvenţa la care o structurã suportã oscilaţii întreţinute de tip flutter. Rezultã deci cã, dacã viteza de zbor este mai micã decât Vf , micile mişcãri pe care le efectueazã structura în cauzã se amortizeazã, fig. 7.1, iar în caz contrar se amplificã, fig. 7.2.

Fig. 7.1. Din punct de vedere al fenomenologiei aerodinamice, fluturarea este asociată cu formarea unor structuri aerodinamice vorticale de mari dimensiuni, oarecum asemănătoare cu cele care apar în regimurile de zbor al viteze mici, dar la unghiuri mari de atac, sau cu cele asociate cu undele de şoc din regimul transonic. A vorbi despre zborul la viteza de flutter Vf este o formulare academicã. Deşi studiile clasice, atât teoretice, cât şi experimentale, s-au concentrat asupra determinării condiţiilor de flutter (Vf , f), aeroelasticitatea computaţională a început să permită, de câtva timp, descrierea comportării pre şi post flutter a unei structuri aeronautice. Din punct de vedere matematic, studiile asupra flutterului conduc la o problemã de valori proprii cu douã necunoscute (în varianta clasicã, în mãrimi complexe) şi este de subliniat cã problemele obişnuite de vibraţii conduc la o singurã problemã de valori proprii (în mãrimi reale). Acest lucru se face pornind de la ecuaţiile de mişcare ale structurii, care de fapt impun şi mãsurãtorile experimentale ce trebuie efectuate. Oricare ar fi însã forma ecuaţiilor de mişcare,

86

Capitolul 7

mãsurarea vitezei critice Vf şi a frecvenţei f în sufleria aerodinamicã trebuie consideratã ca una dintre mãsurãtorile de bazã în acest sens. Aşa cum s-a remarcat şi în cap. 1, pânã în anii '40, flutter-ul apãrea pentru structurile aeronautice, la viteze mai mari decât viteza de apariţie a divergenţei. Apoi, o datã cu dezvoltarea motoarelor aeroreactoare, domeniul de viteze de zbor s-a extins peste regimul transonic, astfel că problemele de flutter au fost uzual translatate către regimul transonic şi supersonic. Mult timp, modelele liniare au fost de ajuns pentru studiul fenomenului, dar apariţia materialelor moderne, coroboratã cu aerodinamica complexã (mai ales în regimurile de zbor cu unde de şoc) a impus considerarea modelelor neliniare. Acum este o practicã uzualã de a proiecta componentele aeronavelor, şi aeronavele în întregime, şi pe criterii de optimizare/evitare a flutter-ului.

Fig.7.2.

7.2. Clasificarea generalã a fenomenelor de flutter Din punct de vedere al numărului de grade de libertate angajate în fenomenul de flutter, se poate face următoarea clasificare:  Flutter cu un singur grad de libertate  Flutter binar (cu două grade de libertate)  Flutter binar (cu trei grade de libertate)

AEROELASTICITATE

  

87

Flutter cu mai multe grade de libertate. Pe de altă parte, din punct de vedere aerodinamic, se poate vorbi despre: Flutter-ul convenţional - este asociat cu scurgeri ataşate (neseparate), la orice moment de timp. Flutter-ul de desprindere dinamicã ("stall flutter") - pentru suprafeţe portante (aripi şi ampenaje), acest tip de flutter apare la unghiuri mari de atac.

Existã multe alte clasificãri ale fenomenelor de flutter, cum ar fi de exemplu flutter-ul structurilor convenţionale, cu un comportament elastic linear şi cel al structurilor compozite, cu un comportament neliniar, dar ne vom limita aici în conturarea acestor clasificãri.

7.3. Un model de flutter cu un singur grad de libertate În continuare, vom studia un sistem cu un singur grad de libertate şi anume un profil aerodinamic fixat elastic la bordul de atac şi plasat într-un curent de fluid de vitezã V, fig. 7.3. În realitate, astfel de situaţii de flutter cu un singur grad de libertate apar doar în cazul corpurilor neprofilate aerodinamic (bluff-bodies) şi nu la profile aerodinamice. Totuşi, simplicitatea acestui model îl face adecvat pentru a prezenta unele principii ale fenomenului de flutter.

Fig. 7.3. Dacã momentul de inerţie în raport cu bordul de atac este notat cu J, atunci ecuaţia de mişcare a acestui sistem cu un singur grad de libertate este:

J    K    M y

(7.1)

La limita de stabilitate neutralã a fenomenului de flutter, se pune:   ˆ e it , ceea ce introdus în (7.1), dã: 2 J       1       my  0 b 4     

(7.2)

88

Capitolul 7

unde    K  / J  

1/ 2

este frecvenţa naturalã a vibraţiei de torsiune, iar my este momentul de

torsiune distribuit dupã coardã.

my 

My

(7.3)

b 4  2 ˆ e it

care este funcţie de frecvenţa redusã de oscilaţie, k = b/V.

Fig. 7.4. Se observã cã pentru viteze mai mici decât viteza de flutter (deci la valori relativ mari ale parametrului de frecvenţã redusã k), partea imaginarã a momentului este negativã, venind la zero când se realizeazã condiţia V = Vf şi trecând apoi la valori pozitive. Deducem astfel cã singura responsabilã pentru apariţia flutter-ului în cadrul acestui model simplu este componenta imaginarã a momentului aerodinamic; semnificaţia fizicã a condiţiei ca ea sã fie negativã este faptul cã în acest caz se realizeazã amortizarea aerodinamicã. Mai precis, în acest caz, fluidul înconjurãtor va extrage energie din mişcarea oscilatorie a structurii, obţinându-se astfel amortizarea acesteia din urmã. Aşa dupã cum o sã vedem în cadrul acestui capitol, amortizarea are douã aspecte, şi anume structuralã sau aerodinamicã; în cadrul modelului de faţã a intrat doar a doua componentã.

AEROELASTICITATE

89

Fig. 7.5.

7.4. Flutter-ul binar în cazul bidimensional Să considerăm în continuare efectul combinat al portanţei şi rezistenţei la înaintare pentru cazul unui profil aerodinamic. Ecuaţiile guvernante sunt: (7.4)   Cw w   K w w  S   P mw (7.5)   Pe  Rw  e J  C   K    S  w Problema constă în evaluarea sarcinilor aerodinamice, în cazul de faţă, portanţa P şi rezistenţa la înaintare R. 7.4.1. Modelul aerodinamic staţionar Un model aerodinamic foarte simplu, care conduce la o soluţionare analitică a problemei, este cel staţionar. Astfel, în sistemul de ecuaţii (7.4) şi (7.5) se introduc, conform acestui model: (7.6) P = qSC iz  , R = qSCx ˆ e pt ,   ˆ e pt . Rezultă: şi se iau: w  w (7.7) wˆ 1 2  2 i ˆ     p m  pC  K  p S  qSC   0 w w  z  b b  ˆ b p 2 S  qSC  w   p 2 J  pC  K  qSC i e  qSC e   0  x    z x  b b  e Se introduc cantităţile adimensionale: e  , frecvenţa redusă k   , momentul static U b S 2m adimensional s   , parametrul masic   şi parametrii de amortizare structurală: mb bS

90

Capitolul 7

C C Cw J C   . Rezultă apoi alte adimensionalizări ale unor mărimi  w , g  J m k  m k J care apar în sistemul (7.4): 2  V  i   Cz qSCzi V 2 SCzi  b  Czi   2  2 ; 2m mb 2mb k2   bS 2  V    Cx qSCx b qSCx b Cx 1 V 2 SCx 1  b    2  2 2  2 ; 2 2 J 2 m J r 2 mb r  r k  mb 2  mb 2 bS qS  Czi  Cx  e e  Czi  Cx  2   J r 2 k 2 Sistemul (7.7) este omogen în wˆ şi ˆ ; cu adimensionalizările precizate mai sus, ecuaţia de valori proprii corespunzătoare lui (7.7) este: (7.8) Ci p 2 m  pCw  K w sp 2  z 2 2 k 0 e  Czi  Cx  2 Cx s 2 2 2 2 p   p  g p     r2 r 2 k2  r 2 k2 deci de tipul: Ap4 + Bp3 + Cp2 + Dp + E = 0.

gw 

7.4.2. Modelul aerodinamic quasi-staţionar De data aceasta, expresiile sarcinilor aerodinamice sunt date de relaţiile: (7.9) w   P  qSC zi     , R = qSCx V  w ˆ e pt ,   ˆ e pt , se obţine: dar cu Cx calculat la unghiul de incidenţă   . Luând: w  w V i (7.10)  2  wˆ 1 2  qSCz  i ˆ   p M  p C   K  p S  qSC   0  w  z  w U    b b   wˆ qSe C zi  C x b  2 2 i ˆ p S b   qSC b  x    p J   pC  K   qSe Cz  Cx   0  U b   Adimensionalizând ca mai înainte şi introducând şi noile cantităţi adimensionale: qSe Czi  Cx  b e  Czi  Cx  qSCzi 2 Czi      , U r 2 k mU  k  se obţine ecuaţia de valori proprii: (7.11)   Ci Ci p 2   g w  z   p  2w sp 2  z 2 2 k  k  0 i e C  C   s e  Czi  Cx  z x   p 2  g p  2  2 r2 r 2 k r 2 k2















91

AEROELASTICITATE

7.4.3. Modelul aerodinamic nestaţionar Folosind (6.3-6.4), ecuaţiile (7.4-7.5) devin:   w  s   s  d b d   K w w  S    qb  mw    I Pw s   d   I P s   d d  d    0 0      s

 0

(7.12)

 wR I PR s  d U 

  w  sd s   d    I    K    qb 2   b    I Mw s   d   S w I  s   d d M  0  0  d     s  w   R I MR s  d U 0  unde s = Ut/b.

(7.13)

7.4.3.1. Rezolvarea ecuaţiilor (7.12)-(7.13) în domeniul frecvenţelor. Această abordare este cea mai uzitată în practică, motivaţia fiind dată de faptul că teoriile aerodinamice sunt mult mai bine dezvoltate pentru cazul măşcării simplu armonice decât pentru mişcări arbitrare în timp. Există însă şi unele dezavantaje notabile şi anume faptul că trebuie efectuate două pachete separate de calcule - unul, pentru a determina efectiv flutter-ul, iar celălalt pentru a determina răspunsul la sarcini exterioare, cum ar fi rafale, sarcini dinamice la aterizare, etc. Astfel, luând transformata Fourier a ecuaţiilor precedente, rezultă: (7.14) K w  2 mw  2 S    qb iUw    H Pw k   iUb H P k   wUR H PR k     (7.15) w  iw  ib    2 S  w  K    2 S    qb 2     H Mw k    H M k   R H MR k  U U   U  

unde k = b/U este frecvenţa redusă, h 

 h t  e

 it

dt şi analoagele. Rezolvând acest sistem, se



obţin: w w wR (7.16)  H wR ,   R H R b U U unde HwR şi HR sunt funcţii aeroelastice de transfer. Trebuie făcută distincţia între acestea şi funcţiile mecanice (structurale) de transfer HwP şi HM, precum şi cu funcţiile pur aerodinamice de transfer H Pw , H P , H Mw şi H M . În continuare, se obţin soluţiile în domeniul frecvenţelor:  (7.17) wt  1  it    H  w e d  wR R b 2U  sau, altfel scris,  (7.18) wt  1      I t   w  d  wR R b 2U 

92

cu: I wR  t  

Capitolul 7

1   H  e it d. 2  wR

7.4.3.2. Rezolvarea ecuaţiilor în domeniul temporal. Trebuie pornit la timpul t = 0 cu w(0), (0) şi derivatele lor de ordinul unu, ca şi condiţii iniţiale. Apoi, trebuie calculate derivatele de 0 şi 0 , ceea ce se face din sistemul (7.12-7.13). ordinul doi w Apoi, procedura continuă la t = t, t = 2t, t = 3t, ... Pentru aceasta, se pot folosi dezvoltările în serie Taylor: 1 1 t t 2  ... , t  t   t    t t  t t 2  ... wt  t   wt   w t t  w 2 2 7.4.3.3. Discuţii calitative. În cele anterioare, s-au obţinut:  w S I m e w U   F1t ; , 2, , , , M , , b mb mb  2b 2 b  b    S I m e w U    F2 t ; a , a 2 , , , , M ,  mb mb  2b 2 b  b   O altă posibilitate este de a considera variaţii sinusoidale ale mărimilor w şi  şi de a determina valorile proprii  ale sistemului considerat. Dacă notăm:  = r + ii, atunci, prin procedurile prezentate, se obţine:  S  S I I m m e w e w U  U  r  G1   G , 2, , , , , , , , , M M , , ,    i 2 2 2 2 b  b   mb mb  2b b   mb mb  2b b 

şi se caută situaţiile pentru care i < 0.

7.4.4. Modelul PAPA   Acest model este descris sumar în fig. 7.6. În raport cu un sistem de referinţă i , j  inerţial şi un   alt e1 ,e2  sistem fixat de profil, ecuaţiile de mişcare ale profilului, liber de a se deforma după axa verticală de inerţie şi de a se roti în raport cu axa elastică, sunt: (7.19) 2    x / 2   2 h c 2 w  c 22 w  w Cz s 4   r2 / 2   2  r2 / u~   c1    0   x w Cm s

(7.20)

Ecuaţiile anterioare, în necunoscutele w (deformaţia verticală) şi  (deformaţia unghiulară în torsiune) sunt date sub formă adimensionalizată, în raport cu următoarea schemă:

w*  w / c , t*  t V / c  , u*  u / V , v*  v / V , p*  p / V2 

(7.21)

iar asteriscurile nu au mai fost scrise, pentru simplicitatea scrierii. În plus, u~  V / b  , x  r / b , cu r distanţa dintre centrul elastic şi centrul de greutate al profilului. Constantele c1 şi

c2 sunt date de următoarele expresii:

93

AEROELASTICITATE

2 1 2 c1   ~  r2 , c 2  ~ w u  2u  2

iar s 

D Dw m ,   , w  . 2  b 2 J  K 2 mK w

Fig. 7.6. Sistemul de ecuaţii diferenţiale este rescris sub forma unui sistem diferenţial de ordinul unu, pentru integrarea numerică, astfel: (7.22) S  FS, C z , Cm , u~ 



unde

F  M Q  M KS S  y1 , y2 , y3 , y4 T , y1  w, y2  h, y3  , y 4   , 1

1 0  1 0 1 M   0 0 det  0 x  

1

0  1  0 x 2  , det  1 r 2  x 2  ,   1 0  2  1 2 0 r  2  0 0 1  2 T c 2 2 w c 2 0  2  4 Q  0, C z ,0, C m  c1 0  , K    0 0 0 s  s   0 c1 0 

(7.23a) (7.23b) (7.23c)

0

 0  1  2  2  r  u~  0

94

Capitolul 7

7.5. Flutter-ul binar în 3 dimensiuni, sub efectul portanţei. Formularea diferenţială, metoda modurilor proprii Se va defini sistemul de axe ca în fig.7.7, cu axa y (OO') suprapusã peste linia mijloacelor corzilor, iar coarda într-o secţiune oarecare va fi notată cu 2b.

Fig.7.7.

AEROELASTICITATE

95

Distanţa între centrul elastic al secţiunii şi mijlocul corzii este notatã cu ab, iar convenţia pentru a este: a < 0 dacă axa elastică AE este în spatele liniei OO' a > 0 în caz contrar. Conform metodei Theodorsen, deplasarea pe verticalã, datoratã încovoierii, w şi unghiul de răsucire, se exprimã sub forma: r

r

k 1

k 1

w y , t    f wk  y , t wk  t  ,  y , t    f k  y , t k  t 

(7.24)

unde fwk (k = 1, ..., r) sunt primele r moduri proprii de vibraţii libere la încovoiere, iar fl (l = 1, ..., n-r) sunt primele m moduri proprii de vibraţii libere la răsucire (considerând încovoierea şi rãsucirea decuplate). Deformaţia unui punct oarecare al aripii este descrisă de: (7.25) w(x, y, t) = w(y, t) - x(y, t) Pentru studiul modurilor fundamentale, se procedeazã în mod uzual la considerarea unui singur termen din sumele (7.24): (7.26) w(y, t) = qw(t)fw(y), (y, t) = q(t)f(y) Folosind (7.26), expresia (7.25) devine: (7.27) w(x, y, t) = qw(t)fw(y) - xq(t)f(y) Pentru a stabili ecuaţiile de flutter, se va folosi tehnica ecuaţiilor Lagrange, în care: n = 2, q1 = qw şi q2 = q.  Energia cinetică este dată de expresia: l l l 1 1 1 Ec   w 2  x, y, t  x, y dxdy  q w2  mf w2 dy  q w q   Sf w f  dy  q 2  Jf 2 dy 2 2 0 2 0 0 unde s-au notat cu m, S şi J masa, momentul static şi respectiv momentul de inerţie, unitatea de lungime după anvergură.  Expresia energiei de deformaţie este: 2 2    1 l  2 w  1 l U   EI 2  dy   GI d   dy 2 0  y  20  y  adicã, utilizând (7.26), 2 1 2l 1 l 2 '' U  qw  EI  f w  dy   GI d  f '  dy 2 0 20 unde accentele semnificã derivare în raport cu y.  Forţele generalizate Qw şi Q sunt date de expresiile: l

l

0

0

Qw   P y , t  f w  y  dy , Q   M  y , t  f   y  dy

(7.28) toate pe

(7.29)

(7.30)

(7.31)

Efectul amortizării de structură se poate introduce în două modalităţi, vezi Petre Augustin (1973).

Varianta I În energia potenţială:

96

Capitolul 7

l l 2 1 1 2 1  ig w  qw2  EI  y  f w "  dy  1  ig   q2  GI d  y  f '  dy  2 2 0 0 Înlocuind (7.28), (7.31). (7.32) în ecuaţiile Lagrange, se obţine sistemul: l l l  l 2 2 2  qw  mf w dy  q  Sf w f  dy  qww 1  ig w   mf w dy   P y , t  ) f w  y  dy  0 0 0 0  l l l l  2 2 2      qw 0 Sf w f  dy  q 0 Jf  dy  q 1  ig   0 Jf  dy  0 M y , t f  y dy unde s-au introdus notaţiile:

U

l

l

 GI d  f '  dy 2 

 EI ( f

2

0 l

 Jf dy 

0

, 2w 

w

" )2 dy

(7.32)

(7.33)

(7.34)

0 l

 mf

w

dy

0

care sunt de fapt frecvenţe proprii: w în încovoiere şi  în torsiune. Varianta II În expresiile forţelor generalizate se include efectul forţelor de frecare. Atunci pentru Ec şi U rămân valabile formulele (7.28), respectiv (7.30), iar în expresiile forţelor generalizate produse de acţiunile aerodinamice, (7.31), se introduc următorii termeni suplimentari: l 2  2 w  QFwi  ig w  2  EI 2 dy în Qw ; y  0 y  l  w  QFi  ig   GI d dy în Q , y  0 y  adicã, folosind (7.27), l l df   d 2  d 2 fw  d  QFwi  ig w qw  2  EI dy , Q   ig q   GI d dy Fi   2  dy  dy  0 dy  0 dy  Expresii mai convenabile pentru acestea se obţin efectuându-se o integrare prin părţi, de două ori pentru prima şi o dată pentru a doua. Se obţine: l l (7.35) QFwi  ig w qw   EI  y  f w "  y dy , QFi  ig q  GI d  y  f "  y dy 0

0

Apoi, după câteva prelucrări algebrice, se obţine tot sistemul (7.33). La atingerea regimului de flutter, se exprimã variaţiile în timp ale deformaţiiloor sub formã armonicã: (7.36) q w  wˆ e it , q  ˆ e it unde wˆ şi ˆ sunt necunoscute. Ulilizând o teorie aerodinamică adecvată, se pot exprima forţele aerodinamice generalizate. Astfel, să analizăm în continuare cazul în care sarcinile aerodinamice sunt date de teoria de fâşie (strip theory). Utilizând sistemul de referinţă Theodorsen, se introduc notaţiile: h = -w şi În acest caz, sarcinile aerodinamice sunt date de relaţiile (7.37)  wˆ   wˆ  P y, t   2 b 3  f w Phh  ˆ f  Ph e it , M  y, t   2 b 4   f w M h  ˆ f  M  e it b   b  unde (7.38) Phh = Ph , Ph = P(1/2 + a)Ph , Mh = Mh - (1/2 + a)Ph ,

97

AEROELASTICITATE 2

M = M(1/2 + a)(MP+ (1/2 + a) Ph mãrimile Ph , P, Mh , M fiind definite după cum urmează: 3 i 1 i 2i 2 1 (7.39) Ph  1  C k  , P   1  2C k    2 C k  , M h  , M    8 k 2 k k k 2 unde C(k) este funcţia lui Theodorsen, definitã ca: C(k) = F(k) + iG(k), (a se vedea şi anexa). În continuare, se va considera că b, wˆ şi ˆ sunt constanţi pe anvergură, egali cu valorile lor corespunzătoare unei secţiuni de referinţă, plasată la 3l/4 din anvergura suprafeţei portante. De aceea ei vor fi renotaţi în continuare cu bR, wˆ R şi respectiv ˆ R . Se introduc expresiile (7.39) în sistemul (7.33) şi împărţind ecuaţiile obţinute cu 2 bR3 , respectiv cu 2 bR4 , rezultă un sistem de forma: (7.40) 2  wˆ    w   ˆ  1  1  ig w    A1  A2   B1  B2   0  b        2    wˆ     ˆ      C  C   1  1  ig D  D       1 2  1 2  0        b unde coeficienţii A1 , A2 , ... , D2 sunt daţi de următoarele expresii: 1 (7.41) 1 1 1 1 2 2 B  Sf f dy * A1  mf dy * A  P f dy * , , ,   1 w  w 2 hh w 0 bR3 0 bR2 0 1 b b B2     Ph f w f  dy * , C1  B1 , C2  B2     M h f w f dy * 0  bR  0  bR  1

3

3

unde y* este coordonata adimensionalã y* = y/l , iar ( ... )' = d( ... )/dy* . Pentru soluţionare se poate presupune cã: gw = g valoare pe care să o notãm cu g şi care 2

poate fi privita ca necunoscutã. Notând atunci: Z = (1 + ig)(/)2, sistemul de flutter se poate scrie sub forma: (7.42)  ˆ     2   w  2 w  1    Z  A1  A2   ˆ B1  B2   0  b           wˆ  C1  C 2   ˆ 1  Z 2 D1  D2   0  b Datorită ipotezei de alegere a secţiunii de referinţă, se poate considera cã Ph, P, Mh, M nu variază pe anvergură. Astfel, calculul coeficienţilor A1 , A2 , ... , D2 se conduce la urmãtoarele exprimări matriciale: 2 (7.43) Tb  1 T      A  P f W f , ,     A1  f m W f      2 2 hh w w w bR2 w  bR  3 Tb  1 T    B  P f   , B1  f S W f      3 W  f   , C1 = B1 , 2 h w  bR3 w  bR  3 T T b  1 C2  M h  f w   3 W  f   , D1  f   J W  f  ,  4 bR  bR 





4 Tb  D2  M   f   4  W  f   bR 

98

Capitolul 7

unde trebuie ca matricea de ponderare [W] sã fie adimensionalizatã. Punând condiţia ca sistemul (7.42) să aibă soluţii nebanale, se obţine o ecuaţia de valori proprii (în cazul de faţă o ecuaţie bipătrată): (7.44) 1  p 2 Z 2  A1  A2  B1  B2   0 1  p 2 Z 2  D1  D2  C1  C2  2

unde s-a notat p = (w/) .    

Pe scurt, etapele de calcul sunt: se dă o serie de valori frecvenţei reduse k la fiecare dintre valori se scot din tabele coeficienţii Ph, P, Mh, M, se calculează coeficienţii A1, A2, ... , D2. se determinã 1,2 , g1 şi g2 apoi se calculeazã V1 şi V2 (cu formulele: Vi = ibR/k , pentru i = 1 , 2 ) şi se reprezintă în raport cu un sistem de axe (g , V) cele două puncte astfel obţinute. Din graficul g - V se determină viteza de flutter, Vf.

În finalul acestui paragraf, sã notăm cã funcţiile fw şi fsunt modurile proprii fundamentale în vibraţiile libere de încovoiere şi respectiv de torsiuneiar f w ' df w / dy * , f  '  df  / dy *.

7.6. Flutter binar, sub efectul portanţei, la aripile în săgeată Conceptual, metodologia este la fel ca la aripi drepte, doar cã:  formal se scrie y în loc de y  în loc de a efectua integralele de la 0 la l, limita superioară trebuie schimbată în l . Astfel, sistemul de flutter este: l

l

l

l

qw  m f w2 dy  q  S f w f  dy  q w w2 1  ig w  m f w2 dy   P( y , t ) f w ( y )dy 0

0

l

l

l

0 l

0

0

0

0

(7.46)

0

q  Jf 2 dy  qw  Sf w f  dy  q  2 1  ig   Jf 2 dy   M ( y , t ) f  ( y )dy

(7.47)

unde l

w2   EI  f w''  dy / 0

2

l

 mf 0

2   GI d  f  ' dy /  Jf  dy . l

w dy

,

0

2

l

0

La atingerea regimului de flutter, se exprimã variaţiile în timp ale deformaţiilor sub forma armonicã: (7.48) q w  wˆ e it , q  ˆ e it În cazul în care sarcinile aerodinamice sunt date de teoria de fâşie, formulele pentru portanţă şi moment sunt: (7.49)  wˆ  P y, t   2 b 3  f w Phh  wˆ f w' Phh '  ˆ f  Ph  b ˆ f ' Ph ' e it , b  ˆ  w  M  y, t   2 b 4   f w M h  wˆ f w' M h '  ˆ f  M   b ˆ f ' M  ' e it  b 

99

AEROELASTICITATE

unde Phh, Ph, Mh, Mh, Msunt date în Bishplinghoff şi al. (1955), iar (7.50) Phh' = -i(tg/k)Ph Ph' -i(tg/k)[ -1/2 + (1/2 - a)Ph ] , 2 Mh' = -i(tg/k) [Mh + (1/2 + a)Ph], M' = -i(tg/k) 3/8 - 1/(2k) - (1/4 - a )Ph ] S-a considerat cã b , wˆ şi ˆ sunt constanţi pe anvergură şi egali cu valorile lor corespunzãtoare unei secţiuni de referinţă plasată la 3l/4: b , wˆ , ˆ . Se introduc expresiile sarcinilor în R

R 2 3 R

R

sistemul obţinut şi se împart ecuaţiile obţinute cu  b , respectiv cu 2 bR4 . Rezultã un sistem de forma: (7.51) 2  wˆ    w   ˆ  1  1  ig w    A1  A2  A3   B1  B2  B3   0  bR        2    wˆ     ˆ      C  C  C   1  1  ig D  D  D       1 2 3  1 2 3  0  b       R    unde coeficienţii A1 , A2 , ... , D3 sunt daţi de expresiile: l l (7.52) bR l b 3 b2 1 2 2 A1  m f d y * , , , A A   P P f f f dy ' dy * *   w 3 2 hh w 2 l 0 bR3 hh w w bR2 0 0 bR

1 B1  bR3

l

 0

l

b b3 Sf w f dy * , B2   3 Ph f w f  dy * , B3  R l 0 bR l

b b3 C1  B1 , C 2   3 M h f w f  dy * , C 3  R l 0 bR

l

b4 0 bR4 Ph ' f w f  ' dy *

l

b4 0 bR4 M h ' f  f  ' dy * ,

l l bR l b 5 b4 1 2 2 D D   M M  f  f  ' dy * J f f d d y y * * , , 3 2 0 bR4   bR3 0  l 0 bR5 y unde y*  , iar ( ... )' = d( ... )/d y* . l 2 Ca şi în paragraful anterior, vom presupune că: gw = g = g. Notând: Z = (1 + ig)(/) , sistemul de flutter se poate scrie sub forma: (7.53)  ˆ     2   w  2 w ˆ  1    Z  A1  A2  A3   B1  B2  B3   0  bR          wˆ 2  C1  C 2  C 3   ˆ 1  Z D1  D2  D3  0  bR Ecuaţia de flutter rezultă din condiţia ca acest sistem să aibă soluţii nebanale şi are forma: (7.54) 1  p 2 Z 2  A1  A2  A3  B1  B2  B3   0 1  p 2 Z 2  D1  D2  D3  C1  C2  C3  Pentru calculul coeficienţilor A1 , A2 , ... , D3 se va presupune cã Ph, P, Mh şi M nu variază pe anvergură. Se pot folosi exprimãrile matriciale pentru calculul acestor coeficienţi: 2 (7.55) T b  T 1        A1  f m W f A  P f , w w  2  W  f w , 2 hh w 2 bR  bR 

D1 







 

A3 

 

3 bR T b  1 f w T S W  f θ , Phh f w   3  W  f w' , B1  3 bR l  bR 

 



100

Capitolul 7 3  b3  bR Tb  B2  Ph f w   3  W f θ , B3  Ph ' f w   3  W  f w' , l  bR   bR  3 4 b Tb  Tb  C1 = B1 , C 2  M h f w   3  W f θ , C3  R M h ' f θ   4  W  f w' , l  bR   bR  4 1 f θ T J W  f θ , D2  M  f θ T  b 4  W f θ , D1  4 bR  bR 

 

T

D3 

5 bR Tb  M  f θ   5  W  f θ' l  bR 



Mai departe, mersul de calcul decurge ca la analiza de flutter de la aripi drepte. Sã mai observãm cã funcţiile fw şi fsunt modurile proprii fundamentale în vibraţiile libere de încovoiere şi respectiv de torsiuneiar f w '  df w / dy * , f  '  df  / dy * .

7. 7. Flutter ternar 7.7.1. Flutter ternar pentru o aripă dreaptă, datorită suprafeţelor de comandă Se urmăreşte calculul influenţei frecventei unei suprafeţe de comandă asupra flutter-ului în încovoiere + torsiune pentru o aripa dreaptă dată. Faţă de situaţia flutter-ului binar, mai trebuie precizate:  locaţiile l1 şi l2 pe anvergură, care delimitează suprafaţa de comandă, fig. 7.8  repartiţia pe anvergură a momentului de inertie total Jtot în raport cu axa articulaţiei (şarnierei), unde este unghiul de bracaj al respectivei suprafeţe de comandă. În modelul de bară, deformaţia se poate exprima sub forma: (7.56) w(x, y, t) = w(y) - x(t) + (x – x)(t) Procedura o urmează în principiu pe aceea de flutter-ul binar, luând însă în consideraţie elementele suplimentare care apar în acest caz. Astfel, pentru studiul modurilor fundamentale, ne vom rezuma din nou doar la câte un termen: (7.57) w(y, t) = qw(t)fw(y), (y, t) = q(t)f(y), (y, t) = q(t)f(y) Din nou, se va folosi tehnica ecuaţiilor Lagrange în care: n = 3, iar q1 = qw, q2 = q, q3 = q. Expresia energiei cinetice este: l l l (7.58) 1 1 2 1 2 2 2 Ec   w  x, y, t  x, y dxdy  q w  mf w dy  q w q   Sf w f  dy  q   Jf 2 dy  2 2 0 2 0 0 2 1 2 q   Jf 2 dy  q   J   b(e  a ) S   f  dy 2 0 l1

l



l

Expresia energiei de deformaţie este: 2 2    1 l  2 w  1 l 1 U   EI 2  dy   GI d   dy  K   2 2 0  y  20 2  y  unde K este rigiditatea articulaţiei (şarnierei). Folosind (7.57), expresia (7.59) devine:

(7.59)

101

AEROELASTICITATE 2 1 2l 1 l 1 2 qw  EI  f w''  dy   GI d  f '  dy  K   2 2 0 20 2 Forţele generalizate Qw , Q şi Qsunt date de expresiile:

U

l

l

l2

0

l1

Qw   P y , t  f w  y  dy , Q   M y  y , t  f   y  dy , Q   M   y , t  f   y  dy 0

cu: M   y , t  

(7.60)

(7.61)

xbf

  x  x  p x , y , t  dx , iar xba şi xbf sunt abscisele bordului de atac, respectiv a ba

xba

bordului de fugă al suprafeţei mobile.

Fig. 7.8. În continuare, se poate introduce efectul amortizării de structură în mod analog descrierii de la flutter-ul binar în două dimensiuni, iar după înlocuirea (7.58), (7.59) şi (7.61) în ecuaţiile Lagrange, se obţine:

102

Capitolul 7

l l l  l qw  mf w2 dy q  Sf w f  dy q  S  f w dy  q w 1  ig w  2w  mf w2 dy  Qw  0 0 0 0  l l2 l l  2 2 2         q Jf dy  q Sf f dy  q J  b ( e  a ) S f dy  q 1  ig     w w          Jf  dy  Q 0 l1 0  0  l l2 l l q J dy q S f dy q J  b(e  a ) S f dy q 1  ig  2 J dy  Q w  w            l  0 l1 0  unde: xbf x2 k 2 S   y , t     x  x ba   x , y  dx , J   y , t     x  x ba   x , y  dx ,   l xba x1  J  dy





(7.62)





(7.63)

0

La atingerea regimului de flutter, (7.64) q w  wˆ e it , q  ˆ e it , q  ˆ e it Utilizând o teorie aerodinamicã adecvatã, se pot exprima: (7.65) wˆ Pˆ  P1  iP2   P3  iP4 ˆ  P5  iP6 ˆ , b wˆ Mˆ y  M 1  iM 2   M 3  iM 4 ˆ  M 5  iM 6 ˆ , b ˆ w Mˆ   M 1  iM  2   M 3  iM  4 ˆ  M 5  iM  6 ˆ b i t it ˆ ˆ unde P  Pe , M y  M y e , M   Mˆ  e it . În cazul în care sarcinile aerodinamice sunt date de teoria de fâşie, se poate scrie (7.66)  wˆ  wˆ   Pˆ  2 b 3  f w Phh  ˆ f  Ph  , Mˆ y  2 b 4   f w M h  ˆ f  M   ,  b b    wˆ   1   Mˆ   2 b 4  f wTh  ˆ f  T    a Th   T  2     b  unde Th , T şi T se pot găsi de exmplu în cartea lui Bishplinghoff ş.a. (1955). Similar celor prezentate în paragrafele anterioare, se va considera cã b, wˆ , ˆ şi ˆ sunt constanţi pe anvergură, egali cu valorile lor corespunzătoare unei secţiuni de referinţă plasată la 3l/4 din anvergura suprafeţei portante şi vor fi renotaţi cu bR, wˆ R , ˆ R şi ˆ R , respectiv. Introducând (7.66) în expresiile forţelor generalizate şi apoi folosind rezultatele obţinute 2 3 2 4 în sistemul (7.62), se împart ecuaţiile obţinute cu  b respectiv cu  b . Se obţine: (7.67) 2     ˆ  w   w  R 1  1  ig    A1  A2   ˆ R B1  B2   ˆ R E1  E 2   0 w  b         2  ˆ        wR ˆ ˆ      C  C   1  1  ig D  D      1 2 R  1 2    R  F1  F2  F3   0 b         2     wˆ R     ˆ ˆ   G1  G2    R K1  K 2  K 3    R 1  1  ig     L1  L2   0       b  

103

AEROELASTICITATE

unde coeficienţii A1 , A2 , ... , D2 sunt daţi de expresiile (7.55), iar l*2



1 E1  bR3

l1*

b 1 S  f w dy * , E2     P f w dy * , F1  bR4 l1*  bR  l*2

2

l*2

 J



  b( e  a )S  f  dy * ,

(7.68)

l1*

l2 l2 b b 1  b  F2     M  f  dy * , F3     a   P f  dy * , G1  E1 , G2     Th f w dy * ,  bR  l1*  2 l1*  bR  l1*  bR  l*2

*

4

*

4

3

l2 b 1  b  1 K1  F1 , K 2     T f  dy * , K 3     a   Th f  dy * , L1   bR  bR4 l1*  2 l1*  bR  l*2

*

4

4

l*2

 J f dy , 

l1*

b L2     M  f  dy * l1*  bR  unde y* = y/l iar ( ... )' = d( ... )/dy* . Pentru soluţionare, se poate presupune cã: gw = g= g, valoare pe care sã o notãm cu g l*2

4

2

2

şi care poate fi privitã ca necunoscutã. Notând şi: Z = (1 + ig)(/) , sistemul de flutter se poate scrie sub forma: (7.69)      2   ˆ w 2 w R   Z  A1  A2   ˆ R B1  B2   ˆ R E1  E 2   0 1    bR          wˆ R C1  C 2   ˆ R 1  Z 2 D1  D2  ˆ R F1  F2  F3   0  b  R  2     wˆ R G  G   ˆ K  K  K   ˆ 1  1  ig     L  L   0 1 2 R 1 2 3 R   2  1  b        R În legătură cu calculul efectiv al coeficienţilor A1 , A2 , ... , D2, ei se determinã ca la aripile drepte, iar pentru calculul celorlalţi coeficienţi se va presupune că P, MThTTnu variazã pe anvergurã. În aceste condiţii, exprimările lor matriciale sunt: T T (7.70) E1 = 1/( bE3 ) {fw} [S] [W] {fw}, E2 = P{fw} [ b 2 / bR2 ] [W] {fw},





T

T

F1 = 1/(b 4R ) {f} [ J + b(e - a)S ] [W] {f}, F2 = M {f} [ b 4 / bR4 ] [W] {f} T

F3 = P{f} [(1/2 + a) b 4 / bR4 ] [W] {f}, G1 = E1, T G2 = Th{fw} [ b 3 / bR3 ] [W] {fw}, T

K1 = F1, K2 = T {f} [ b 4 / bR4 ] [W]{f},

T

T

K3 = Th{ f} [ (1/2 + a) b 4 / bR4 ] [W]{f}, L1 = 1/( bE4 ){f} [J] [W]{f}, T L2 = M {f} [ b 4 / bR4 ] [W] {f} unde trebuie ca matricea de ponderare [W] sã fie adimensionalizatã. Punând condiţia ca sistemul (7.69) sã aibă soluţii nebanale, rezultă ecuaţia: (7.71) 1  p 2 Z 2  A1  A2  B1  B2 E1  E2 1  p 2 Z 2  D1  D2 F1  F2  F3  0 C1  C2 G1  G2 K1  K 2  K 3 1  q 2 Z 2  L1  L2 2

2

unde p = (w/) şi q = (/) . Această ecuaţie este de forma: 6 4 2 Z + aZ + bZ + c = 0

104

Capitolul 7

unde a, b şi c sunt coeficienţi complecşi şi are 3 rãdãcini reale (pentru fiecare valoare a lui k), dar doar una dintre ele satisface condiţia ca: /  > 0. Etapele calculului sunt în principiu urmãtoarele:  Se dã o valoare a parametrului k = b/V  Se scot din tabele coeficienţii Ph , P, Mh , M, T , Th , T  Se calculeaza A1 , A2 , ... , L2  Se calculează din ecuaţia de flutter /şi /  Se determinã V = bR/k Se dă apoi o nouă valoare parametrului k şi se continuă procedura descrisă mai sus. Cu datele obţinute, se va face reprezentarea graficã V/(bR) funcţie de / şi de aici se obţine regiunea de stabilitate la flutter. 7.7.2. Flutterul binar al unei aripi asociat cu o mişcare de ruliu a întregului avion Acesta este tot un tip de flutter ternar. Dacă (t) este rotirea avionului in jurul axului longitudinal, atunci deplasarea unui punct al suprafeţei portante, redusă la suprafaţa sa mediană, este : (7.72) w(x, y, t) = w(y, t) - x(y, t) + y(t) Cu metoda modurilor asumate, se exprimă: (7.73) w(y, t) = qw(t)fw(y), (y, t) = q(t)f(y) şi se aplică ecuaţiile Lagrange, cu n = 3, gradele de libertate fiind: w, şi . Expresia energiei de deformaţie este : (7.74) 2 1 2l 1 l 2 '' U  qw  EI  f w  dy   GI d  f '  dy 2 0 20 iar expresia energiei cinetice devine: l l l (7.75) 1 1 2 1 2 2 2 Ec    x, y w  x, y, t dxdy  q w  mf w dy  q w q   Sf w f  dy  q   Jf 2 dy 2 2 0 2 0 0 l

l

l

1   2  y 2 mdy  q w q   ymf w dy  q    ySf dy 2 0 0 0 Forţele generalizate sunt date de expresiile: l

l

l

0

0

0

Qw   P y , t  f w  y  dy , Q   M  y , t  f   y  dy , Q   yP y, t dy

(7.76)

În continuare, tehnica de abordare a problemei este aceeaşi ca şi în paragrafele anterioare. 7.7.3. Flutterul ampenajului împreunã cu fuselajul Un alt tip de fluturare ternară este descris în cartea lui Petre Augustin (1973). Astfel, se consideră că ampenajul este fixat pe fuselaj în zona x = x0 , iar deformaţia ampenajului este descrisă de formula: (7.72) wao(x, y, t) = wao(y, t) – xao(y, t) unde wao(y, t) este deformaţia de încovoiere, iar ao cea de răsucire şi, pe de altă parte, deformaţia de încovoiere a fuselajului, wF(x, t). Şi aici se folosesc formule de separare :

105

AEROELASTICITATE

 w f  x, t   , wao  y, t   qw,ao t  f w,ao  y   qw, f t  ,  ao  y, t   q,ao t  f ,ao  y      x  x  x0 w f  x, t   q w, f t  f w, f  x  Expresia energiei cinetice este: 2 1 1 E c    ao  x, y  w ao  y, t   x ao  y, t  dxdy    f  x, y w 2f  x, t dxdy 2 2 iar cea a energiei de deformaţie :





lf l  2wf   ao  10 1  dy   GI d   dy   EI f    x 2 2  y 20    0  Forţele generalizate sunt date de expresiile: 2

l 1 0   2 wao U   EI  2 0  y 2

2

2

  dy  

l

l

Qw,ao   P y, t  f w,ao  y dy , Q,ao   M  y, t  f ,ao  y dy , 0

(7.73)

(7.74)

(7.75)

(7.76)

0

 df w, f   dy Qw, f   P y, t dy   M  y, t   dx  x  x0 0 0 Mai departe, se foloseşte tehnica ecuaţiilor Lagrange, introducând şi efectele de amortizare. Vor l

l

rezulta trei ecuaţii omogene, de unde se deduce ecuaţia de fluttter, ca în paragrafele anterioare. 7.7.4. Flutterul cu un număr de grade de libertate mai mare decât 3 Pot exista situaţii în care la apariţia fenomenului de flutter se conjugă mai multe grade de libertate. Pentru că de flutter binar şi ternar s-a vorbit pe larg mai sus, ne vom limita aici la a cita câteva exemple de flutter cu un număr de grade de libertate mai mare decât trei (Petre Augustin, 1973) :  Incovoierea + răsucirea aripii + deformaţia elastică a aripioarelor + rotirea de rigid a întregului avion în jurul axului său longitudinal (flutter cu 4 grade de libertate) În acest caz, se exprimă: (7.77) w(x,y,t) = w(y) - x(t) + (x – x)(t) + y(t) unde (t) este rotirea avionului în jurul axului longitudinal. Cu metoda modurilor asumate şi rezumându-ne doar la câte un termen, (7.78) w(y, t) = qw(t) fw(y), (y, t) = q(t)f(y), (y, t) = q(t) f(y) Din nou, se va folosi tehnica ecuaţiilor Lagrange, în care: n = 4, q1 = qw, q2 = q, q3 = q, q4 = . 

Incovoierea + răsucirea ampenajului orizontal + încovoierea + răsucirea fuselajului + rotirea de rigid a întregului avion în jurul axului său longitudinal (flutter cu 5 grade de libertate)

Modalitatea de lucru se face pe baza celor prezentate până acum în acest capitol. 7.7.5. Analiza de flutter pentru cazul suprafeţelor de comandă cu lege liniară de variaţie a rigidităţii

106

Capitolul 7

Plecând de la aspectul practic al variaţiei rigidităţii şarnierei, analiza flutter-ul unei suprafeţe portante cu suprafaţă de control (bracată) este mai laborioasă. Cu atât mai mult cu cât variaţia rigidităţii şarnierei cu unghiul de bracaj poate fi şi neliniară, ceea ce face ca problema de flutter să devină neliniară. O astfel de analiză, atât sub aspectul său liniar, cât şi neliniar, a fost efectuată de Breitbach (1974). Prezentăm aici doar câteva aspecte ale simulării de flutter liniar, caracterizarea de liniar referindu-se aici doar la structură. Astfel, se pleacă de la o formă puţin modificată a ecuaţiilor de stabilitate aeroelastică (5.140), aplicate sistemului aripă-eleron, şi anume 2bml 2 M rr q r   K rr q r   Q r 

(7.79)

M rr   2bml 2 M rr , K rr   2bml 2 K rr 

(7.80)

unde pentru rezolvarea căruia trebuie furnizaţi membrii drepţi (forţele aerodinamice genealizate). Se face ipoteza că sistemul aripă-eleron este constituit în aşa fel încât, în plus faţă de caracteristicile sale geometrice şi elastomecanice, distribuţia de presiuni din aerodinamica nestaţionară este şi ea independentă de coordonata y dupa anvergură. Pe cale experimentală, s-a obţinut o bună aproximaţie a acestei ipoteze cu caracter bidimensional. Practicând această ipoteză şi ţinând seama de ecuaţiile (6.22) forţele aerodinamice nestaţionare care acţionează asupra sistemului aripă-eleron sunt : l

 Portanţa totală : Ph   dPh  y  , adică l

 b   Ph  2bl 2 Vt   w(t )  t   V 3t   4 bt   2bVbT  1R 2 2  

(7.81a)

l



Momentul total în raport cu axa neutră a aripii : M    d M   y  şi se obţine l

  3    M   2bl 2 Vbt   b 2 t    5V 2 t   6 Vbt   7 b 2 t   bw(t ) 8 2 4 2  

(7.81b)

l



Momentul total în raport cu axa de rotaţie a eleronului, M    d M  ( y ) şi se obţine: l

       M   2lb 2  9 Vb(t )  7 b 2 (t )  10 V 2 (t )  11 Vb(t )  12 b 2 (t )  4 bw(t ) 4  2 4 2  2 

(7.81c)

 lVb 2 8 (T  1) R unde termenul (T+1)R şi funcţiile 1 , ... , 12 sunt definite în (6.25). Deoarece proprietăţile sistemului sunt independente de coordonata după anvergură y, se obţin formele simplificate: (7.82)   R  Vt   wt   bt   1 Vt   2 bt  2 2

107

AEROELASTICITATE

şi t =Vt/ l. Lucrul mecanic W efectuat de forţele aerodinamice nestaţionare asupra sistemului aripă-eleron de forţele aerodinamice este dat de expresia: (7.83) W  Ph wt   M  t   M t  Exprimând în raport cu funcţiile de separare : n n n (7.84) w y, t    ws  y q s t ,  y, t     s  y q s (t ),  y, t     s  y q s (t ) s 1

s 1

s 1

se obţin forţele aerodinamice generalizate: Qr  Ph wr t   M   r t   M  r t  Introducind (7.81) în (7.85), se obţine expresia finală: n n  0  t Qr 1 1 b2 2 0  J q ( t )  J q ( t )  J q ( t )   [  ( t  t ) ]  rs s rs s 1  I rs q s (t1 )  rs s   2 2 V 2lb V s 1  V s 1  0 +

(7.85) (7.86)

n 1 1 1   I rs q s (t1 )]dt1  (t )  I rs0 q s (0)  I rs1 q s (0) , s  1,2,3 V V  s 1 

Pentru expresiile lui I rs0 , I rs1 , J rs0 , J rs1 , J rs2 vom remarca că ele se obţin din cele ale funcţiilor I rs0  y  ,

I rs1  y  , J rs0  y  , J rs1  y  , J rs2  y  definite în par. 7.9, înlocuind valorile lui b(y), wr(t), r(t) şi r(t) prin dimensiunile corespunzătoare ale sistemului aripă-eleron independente de y. Acum, cu (7.86) în (7.79), rezultă ecuaţiile de stabilitate aeroelastică pentru sistemul

aripă-eleron sub forma: M rr qr (t )  K rr q r (t )  k

V2  3 0 b 1 b2 2 [ J q ( t )  J q ( t )  J rs q r (t )  rs s rs r V b 2  s 1 V2

(7.87)

t 3 3 1 1       [(t  t1 )]  I rs0 q r (t1 )  I rs1 q r (t1 ) dt1 (t )  I rs0 q r (0)  I rs1 q r (0)   0 V V   s 1  s 1  0 pentru r = 1,2 şi 3. Introducând un timp adimensional  = (V/b)t şi ţinând seama că V V2 q r t   q r   , qr t   2 qr  , b b ecuaţia( 7.87) devine, în transcpţie matriciale:

 



 

1 1 l2 2 1 0         M  k J q ' ' (  )  k J q ' (  )  k [ J ] q (  )   [ K rr ]q () rr rs rs rs  2 V02

(7.88)



  1 1  ()(k[ I ]q(0)  k[ I rs1 ]q' (0)   (  )  k[ I rs0 ]q' ()  k[ I rs1 ]q' ' ()d  0     0 0 rs



 

Înmulţind la dreapta ecuaţia (7.88) cu matricea inversă: H  M rr   k I 2rs de stabilitate aeroelastică sub forma: 1 1 l2            E q ' ' (  )  A q ' (  )   B  C q (  )   [ K rr ]q ()  2 V02

1

, se obţin ecuaţiile

   1 1 1 k[I rs ]q ' (0)   (  )  k[I 0rs ]q ' ()  k[I1rs ]q ' ' () d  0     0 unde [E] este matricea unitate, iar

 ()(k[I 0rs ]q (0) 

(7.89)

108

Capitolul 7

 A   kH [J ] , B   l  V0 1 rs

2

  H [K rr ] , C  kH[J 0rs ] , D  kH[I 0rs ] , G  kH[I1rs ] 

7.7.5.1. Considerarea unei variaţii a rigidităţii articulaţiei eleronului. In cele ce urmează, se consideră rigiditatea articulaţiei eleronului, notată cu C, ca parametru variabil. În general, caracteristicile articulaţiei eleronului pot fi neliniare, dar aici ne vom concentra doar asupra investigării sistemului liniar aripă-eleron, considerând variaţia (7.81) C  ml 2 2 r2 Corespunzător acestei variaţii, în expresia lui U, ecuaţia ( ), apare un termen energetic adiţional : T (7.82) U  mbl 2 2 r2 w t  A  w t  0 0  0   unde A    r 0 0 0  . 0 0 C / C    Se observă că variaţia rigidităţii articulaţiei eleronlui este reprezentată ca o valoare raport  în singurul element nenul al matricii [Dacă se înlocuiesc {w(t)} şi {wT(t)} cu expresiile lor din (78) si (82) atunci se obţine: T T (7.83) U  mbl 2 2 r2 qt  Xt  A  Xt qt  2 2  

Fig. 7.9

109

AEROELASTICITATE

Dupã aplicarea ecuaţiilor Lagrange, se obţin ecuaţiile de stabilitate aeroelastică în forma modificată: (7.84) 2bml2( [Mrr] q(t) + [Mrr]q(t) + [Krs ]{q(t)} ) = {Q}

cu termenul adiţional: 2mbl 2 K rs qt   2mbl 2 2 r2 q X A  Xq, în care este luată în considerare variaţia rigidităţii articulaţiei eleronului. În forma finala a ecuaţiilor de stabilitate aeroelastică, (102), aceasta corespunde la o expresie: (7.85) B q  rs A Xq T

T

unde rs   l / V0  2 r2 H  X . 2

T

Deoarece după cum s-a mentionat mai sus matricea [A] are doar un element diferit de zero, deducem că termenul AXq poate fi restrâns într-o matrice coloană. Notând C / C atunci se poate scrie: (7.86)   0    A X q  0   3     s q s   s 1  Folosind (7.86) în (7.85), se obţine: (7.87) 13  3   B q     s q s 23  s 1    33  În fig. 7.9 este reprezentat răspunsul dinamic a sistemului liniar aripă-eleron după o deviaţie statică q3(= 0) la viteza V = 300 km/h, iar în fig. 7.10 răspunsul dinamic corespunzător V = 310 km/h.

 

Fig. 7.10

110

Capitolul 7

7.8. Diverse metode de calcul pentru flutter-ul structurilor de aviaţie Toate metodele descrise în acest paragraf se referă la o structură (de aviaţie) având un comportament liniar elastice, în ipoteza că deplasările diverselor puncte ale sale sunt mici. 7.8.1. Calculul de flutter cu metoda V-g Dinamica unei structuri liniar elastice, în ipoteza că deplasările diverselor puncte ale sale sunt mici este descrisă de ecuaţia: (7.88) mq  Cq  Kq  f  unde [m] este matricea modală a maselor, care este de obicei (dar nu neapărat) diagonală, [K] este matricea de rigiditate structurală, [C] este matricea de amortizare structurală. Dacă, în plus, structura respectă ipoteza lui Basile, şi anume că amortizările sunt la fel repartizate ca şi masele şi rigidităţile structurii, atunci matricea amortizărilor generalizate [C] devine şi ea diagonală. Introducând legea de variaţie în timp a coordonatelor: (7.89) q  qˆ e it rezultă că: (7.90)  2 m  iC  K qˆ   fˆ Este util de a introduce matricea frecvenţelor naturale ale structurii:. (7.91) K   02 m În legătură cu amortizarea de structură, presupunem că depinde de frecvenţa de oscilaţie a structurii, după legea: (7.92) C  1 02 mg   unde matricea [g] este diagonală şi este denumită matricea amortizărilor structurale. Pe de altă parte, pentru încărcările aerodinamice, se poate scrie relaţia generală: (7.93) fˆ  V 2 Ca Q R   iQ I qˆ  unde Ca este un coeficient care ţine seama de metoda cu care se calculează forţele aerodinamice generalizate, iar [QR] şi [QI] sunt matricea rigidităţilor aerodinamice în fază cu deplăsarile structurii, respectiv matricea amortizărilor aerodinamice defazate cu /2 în raport cu deplasările structurii. Introducând (7.91-7.93) în (7.90) se deduce: (7.94)  2 m  i 02 mg  02 m  V 2Ca QR   iQI  qˆ   0







 

 





 

 



În această ecuaţie se introduce o amortizare fictivă globală: ig20  m q , cu scopul de a liniariza problema de valori proprii - practic, se vor căuta acele valori proprii care fac ca această amortizare fictivă globală să fie nulă. Se obţine astfel: (7.95)  2 m  1  ig1  ig 02 m  V 2Ca QR   iQI  qˆ   0 Dar 1  i g1  ig1  1  ig1  i g  g g  1  ig1  i g relaţie de care se ţine seama în (7.95). Rezultă că : (7.96)  2 m  1  ig 1  ig  02 m  V 2Ca QR   iQI  qˆ   0 1 1 1 1 Se înmulţeşte ecuaţia (7.96) cu: 2 1  ig  02 m şi se ţine seama că produsul matricilor  diagonale este comutativ; se obţine problema de valori proprii:



 





 



 

111

AEROELASTICITATE

Fqˆ   qˆ 

(7.97) unde s-a introdus frecvenţa redusă de referinţă: kR = cR/V, corespunzătoare corzii de referinţă cR,  = (1+ig)/2, iar matricea [F] este definită ca: (7.98)  cR2  1   1  1   1    F   1  ig    2   Ca 2  2   QR   iQI  k R  0   m    0   În continuare, se aplică o transformare de similaritate matricii [F]. Astfel, se aplică rezultatul cunoscut care afirmă că două matrici similare au aceleaşi valori proprii. Se introduce matricea similară [F*] definită astfel: (7.99)   F *  0 m F  1   0 m  Introducând (7.98) în (7.99), se obţine: (7.100)   1  c R2  1  * 1   1  *  F *  1  ig    2   Ca  2   QR  i QI   k R  0 m   0 m     0  Notând:  1   1   1   1  * Q *R    Q R    , QI    Q I   ,  0 m   0 m   0 m   0 m  rezultă: (7.101) c R2 * c R2 *  1   1   F *  1  ig    2   Ca  2 A R  iCa  2 A I  kR kR   0   Dar        1  i g 1  1 1ig 11 gig2   1 1g 2   i1 gg 2         ceea ce introdus în (7.101), conduce la: (7.102)  1   1  c R2 *  c R2  g  *  , FR*    C  Q  C  Q a R  a   I 2   2  k R2 k R2 1  g 2  1  g   0  





   

 

 

 

 

 

 

 

  1  c R2 *  c R2  1  *   i  Q  C  QI R  a 2   2  2  2  k R2 k 1  g    0    R  astfel că problema a fost redusă la a determina valorile proprii ale matricii complexe: F*  FR*  i FI* . Algoritmul de calcul este: La o altitudine de zbor şi la un număr Mach date, se face o ciclare după mai multe frecvenţe reduse kR . La fiecare kR, - se determină matricile Q *R şi Q *I ; - se calculează matricea [F* ] şi apoi se determină valorile proprii i , i = 1,..., M ale acestei matrici; - se calculează viteza Vi, frecvenţa circulară i şi amortizarea globală fictivă gi corespunzătoare fiecărei valori proprii i cu relaţiile: 1 c  (7.103) i  , Vi  i R , gi  Ii , pentru 1  i  I kR  Ri  Ri

F   1 gg

 

* I

     

   

 

112

Capitolul 7

- se trasează curbele g = g(V) şi = (V) - deoarece soluţia se va găsi atunci când g = 0. Aceste curbe vor fi trasate pentru toate valorile lui i de la 1 la M şi pentru toate valorile frecvenţei reduse din ciclul propus. Pentru determinarea vitezei la care viteza de flutter egalează numărul Mach la care s-au calculat forţele aerodinamice generalizate, se pot folosi două metode: a) Se calculează vitezele de flutter minime, VF, la o înălţime dată, pentru mai multe valori ale numărului Mach şi apoi se trasează curba VF(M). Intersecţia acestei curbe cu dreapta V = a M, unde a este viteza sunetului la înălţimea respectivă, dă punctul în care viteza de flutter obţinută egalează numărul Mach pentru s-au calculat forţele aerodinamice generalizate la înălţimea considerată. b) O a doua metodă constă în calculul vitezelor de flutter minime la un număr Mach dat pentru mai multe altitudini H şi apoi trasarea curbelor VF(H) şi a M(H). Intersecţia celor două curbe dă altitudinea la care viteza de flutter corespunde numărului Mach considerat. 7.8.2. Metoda K Ecuaţia de bază de la care se pleacă este: (7.104) 1   2 2    m   iC  1  ig K   V Qq  0 2   unde matricea aerodinamică [Q] este funcţie de frecvenţa redusă k şi de numărul Mach M. În metoda K, termenul aerodinamic este convertit într-un termen aerodinamic echivalent, astfel că (7.104) devine : 2 (7.105)     2    m  1  c R  Q   i C  K q  0  1  ig    2  2k  1  ig     Termenul care înmulţeşte matricea [B] are în componenţa sa 1  ig din motive algebrice şi este valabil doar la limita de flutter, adică atunci când g = 0. Ecuaţia (7.105) este o ecuaţie de valori proprii, la valori fixate ale parametrilor k, M şi . O dată aflată valoarea proprie  2 / 1  ig  , se determină valorile lui  şi g, şi apoi se află viteza corespunzătoare, din relaţia: V  c R / 2k. În MSC/NASTRAN, principiile de calcul de mai sus sunt puţin modificate. Astfel, ecuaţia (7.105) este rescrisă sub forma (7.106) 2    2k  2       m  1 Q  V  2k iV C  K q  0    c R    1  ig c R 1  ig 2    2 2 Acum, valoarea proprie este : p  V 1  ig  , sau aproximativ, (7.107) P  Vg / 2  i  ceea ce permite o soluţie exactă a problemei de divergenţă aeroelastică. Este de remarcat însă faptul că soluţia exactă nu a fost implementată în NASTRAN, preferându-se o abordare aproximativă a problemei de divergenţă, prin considerarea unei valori mici ale lui k. Pentru rezolvarea ecuaţiei (7.106), ea se aduce la forma echivalentă: (7.108) A  Iq  0 şi acum avem de rezolvat o problemă de valori proprii. În concluzie, pentru diferite valori ale lui k, m şi r se determină V şi g. Apoi, ca şi în metoda V-g se determină viteza de flutter folosindu-ne de reprezintarea grafică a lui V funcţie de

AEROELASTICITATE

113

g. Deci metoda k conduce la o ecuaţie de mişcare sub formă complexă, care se poate rezolva folosind valorile tabelare ale coeficientilor aerodinamici obţinuţi pentru oscilaţii armonice simple. Prin urmare, valorile proprii complexe obţinute înainte sau după punctul de flutter nu reflectă amortizarea diferitelor moduri structurale. 7.8.3. Metoda KE Este un algoritm eficient aplicabil când se neglijează disiparea vâscoasă de orice fel., iar soluţionarea se face doar asupra valorilor proprii şi nu asupra vectorilor proprii. Cu alte cuvinte, în ecuaţia (7.105), sau (7.106), se lasă la parte termenul în [C]. Observaţie. Metoda K-E a fost implementată în MSC/NASTRAN. 7.8.4. Metoda PK Ecuaţia fundamentală pentru analiza modală de flutter este, în cadrul acestei metode, (7.109)  2 c V 1      p m   B  r Q I  p   K   V 2 Q R  q  0 4k 2      Ecuaţia (7.109) trebuie rezolvată în raport cu valorile proprii p şi se rescrie în primul rând se rescrie sub forma: (7.110) A  pIq  0 unde [A] este matricea reală: (7.111) I 0   A   M 1 K   qQ   M 1 B  crV Q   R I  4k   iar {q}conţine acum şi deplasările modale şi vitezele. Ecuaţia (7.110) se rezolvă pe cale iterativă, impunând condiţia de iteraţie (7.112) c k  r Imp 2V Pentru începerea procesului iterativ, se porneşte cu o valoare k = 0, astfel încât să se poată calcula 1 / k Q I . Astfel, toate rădăcinile reale satisfac ecuaţia (7.110), nu însă şi rădăcinile compexe. Pentru rădăcinile reale, amortizarea este exprimată ca şi distanţa parcursă (măsurată în lungimi de coardă) pentru dublarea amplitudinii (7.113) pcr  V ln 2 Procesul iterativ pentru rădăcinile complexe este următorul: să scriem perechile de rădăcini complexe sub forma (7.114) prs j   rsj   rsj   i unde r este numărul modului oscilatoriu, modurile fiind ordonate după frecvenţe (s1 < s2 0, B > 0, C > 0 – amplitudinea flutter-ului creşte de la zero la valori foarte mari.  CAZUL III: A > 0, B < 0, C < 0 – amplitudinea fenomenului creşte gradual de la zero la valoarea finită:



1  h 0   B  B2  4AC     V  III 2 C 2





CAZUL IV: A < 0, B > 0, C > 0 - nu apare nici-o formă de flutter la mici amplitudini



1  h0   B  B2  4 A C    V 2 C   IV 2



dar fenomenul este mai grav, hard flutter.  CAZUL V: A > 0, B > 0, C < 0 – similar cazului III, cu excepţia faptului că amplitudinea de flutter va fi ceva mai mare.  CAZUL VI: A > 0, B < 0, C > 0 - este similar cu cazul IV, cu observaţia că valoarea amplitudinii până la care are loc creşterea, are o valoare mai mare decât acolo, şi anume



1  h0  B  B2  4 A C    V 2 C  VI 2

 



CAZUL VII: A > 0, B < 0, C > 0 – comportare similară cazului II dacă B este foarte mic şi similar cazului IV dacă C este foarte mic. Nu sunt de aşteptat amplitudinile foarte mari în acest caz. CAZUL VIII: A < 0, B > 0, C < 0 – comportare similară cu cazul I dacă B este foarte mic şi foarte asemănător cazului IV dacă C este foarte mic, astfel că şi aici amplitudinile foarte mari sunt excluse.

Aceste cazuri se pot urmări în fig. 7.13, unde este reprezentată variaţia coeficientului de putere funcţie de h0V.  Cazul II este un exemplu de soft flutter: amplitudinea de vibraţie creşte continuu, fără salturi, de la zero.  Cazurile III şi V se încadrează şi ele în soft flutter, doar că aici amplitudinea de vibraţie atinge o anumită valoare de prag, după care nu mai creşte. În aceeaşi figură, se arată, pentru

124

 

Capitolul 7

cazul III, că traiectoria în planul fazelor este un ciclu limită, noţiune cunoscută din mecanica sistemelor neliniare. Cazurile IV şi VI se încadrează în ceea ce se numeşte hard flutter. Amplitudinea unui astfel de tip de flutter creşte foarte rapid, iar mişcarea în planul fazelor diverge în raport cu ciclul limită. În fine, pentru cazurile VII şi VIII se pot obţine cel puţin două cicluri limită. Este instructiv de precizat aici o teoremă din mecanica sistemelor neliniare care afirmă că două cercuri concentrice care cicluri limită sunt alternativ stabile şi instabile.

Fig. 7.13. 7.10.2. Flutter-ul de desprindere dinamică în răsucire Unghiul de atac în regim dinamic are două componente, ambele variind armonic cu frecvenţa :  O componentă datorată variaţiei instantanee a unghiului de atac  O altă componentă provenită din variaţia instantanee a vitezei liniare într-o direcţie perpendiculară pe coardă. Ambele variază armonic cu frecvenţa . Făcând ipoteza unei deplasări  0 cos t , unghiul local de atac are expresia:   x  x 0  0    0 cos t  arctg tg ss  sin t    ss V cos  ss  

(7.137)

Variaţia presiunii dinamice este: 2 (7.138)     x  x 0      x  x 0  1 1 2 2     q rel  V rel  V 1  2 sin  ss     2 2 V V      Exprimând: x  x 0  eb , fig…., unde membrul drept este constant, rezultă următoarea formulă,

asemănătoare cu cea din paragraful precedent:    0 cost    ek 0  cos  ss sint  



1  ek 0 2 sin 2 ss sin 2 t  2

1  ek 0 3 sin 3 ss sin 3 t   ... 3

unde  este variaţia unghiului de incidenţă în raport cu ss datorită vibraţiei profilului.

(7.139)

125

AEROELASTICITATE

Fig. 7.14. În continuare, se exprimă analitic coeficientul de moment sub forma: 

(7.140)

C m   bn  ss  n n0

n unde bn  1 d Cnm

n! d

.  0

Puterea aerodinamică datorată deformaţiei în torsiune are expresia: 2

P

(7.141)

1 M d t  2 0

unde momentul aerodinamic M este dat de: 2    eb    1  eb 2   M  q2b  C m  V 1  2 sin  ss      bn  ss  2 V   V   n  0

(7.142)

2

n

1   2   0 cost    ek 0  cos  ss sint    ek 0  sin 2 ss sin 2 t   ... 2   Să mai observăm că în expresia momentului aerodinamic apare termenul  0 cost  , care este în

antifază cu ceilalţi termeni în sin(t). Aceasta este o caracteristică specifică a flutter-ului de desprindere dinamică în răsucire, în raport cu cel în încovoiere. Deci flutter-ul de răsucire este un fenomen mai complex, care depinde puternic de poziţia axei elastice. Se poate spune că structura aflată în stare de flutter de desprindere în răsucire se află într-o stare intemediară între:  comportarea la frecvenţe joase (dependenţă critică de sin)  un tip de comportare caracteristică flutter-ului de desprindere în încovoiere (dependenţă critică de panta caracteristicii dinamice la incidenţă medie).

126

Capitolul 7

7.10.3. Câteva comentarii Se poate observa din cele de mai sus că, în comparaţie cu flutter-ul clasic, la care trebuie determinată doar frontiera de stabilitate, în cazul flutter-ului de desprindere este necesar de a afla amplitudinea finală de echilibru a vibraţiei. Două tipuri de comportament are flutter-ul de desprindere: conform fig.., ele vor fi numite, după Dowell şi al. (1989), soft flutter şi hard flutter.

Fig. 7.15

10. TEHNICI DE TESTARE IN AEROELASTICITATE 10.1.Teste statice în aeroelasticitate Aceste teste se execută în mod uzual pe modele: modelul aeronavei este plasat în condiţii staţionare într-un curent de aer şi se determină :  încărcarea aerodinamică a suprafaţelor aerodinamice ;  eficienţa suprafeţelor de comandă, condiţiile de divergenţă şi derivatele de stabilitate. Modelul trebuie să simuleze corect forma aerodinamică a avionului, distribuţia rigidităţii şi a raportului elasticitate pe rigiditate aerodinamică. El trebuie plasat într-un curent de aer cu numărul Reynolds cît mai mare posibil şi la acelaşi număr Mach (dacă se doreşte şi simularea efectelor de compresibilitate). Scara lungimilor este dată de raportul dintre mărimea modelului şi mărimea avionului. Scara forţelor este dată de scara lungimii şi de raportul dintre presiunea dinamică la scara avionului şi presiunea dinamică care poate fi obţinută în cadrul testelor pe model. În legătură cu rigiditatea modelelor, se poate spune că :  Dacă efectele de compresibilitate nu vor fi simulate, modelul va fi testat la viteze mici şi în acest fel modelul va fi flexibil.  Dacă testele pe model sînt făcute la acelaşi număr Mach ca pe original, atunci presiunea dinamică este mare şi modelul trebuie să fie rigid.  Rigiditatea modelelor de mică viteză este de obicei mai mare decît cea a avionului, pe cînd în cazul modelelor de mare viteză este adevărat contrariul. În ambele cazuri sunt utilizate structuri simple şi relativ ineficiente. În cazurile obişnuite de testare, modelele sunt montate într-un tunel aerodinamic sau, în variante mai vechi, erau folosite vehicule de testare propulsate cu rachete. Referindu-ne pentru început la testarea modelelor de viteză mică în tunele aerodinamice, să remarcăm faptul că sistemul standard de susţinere a modelului trebuie modificat : astfel, dacă se doreşte a se folosi sistemul de balanţe al tunelului pentru a măsura toate forţele şi momentele, el trebuie astfel conectat la model încît să permită deformarea elastică a acestuia. Pentru evaluarea efectelor aeroelastice, testele trebuie făcute într-o gamă de presiuni dinamice cît mai largă posibil, dar acest lucru este deseori limitat (la limita inferioară) de incapacitatea sistemului de a măsura cu acurateţe nivele mici ale forţelor şi momentelor. Balanţa internă a tunelelor aerodinamice de mare viteză este bine adaptată la utilizarea modelelor flexibile. Cea mai serioasă dificultate o reprezintă relativa slăbiciune a modelelor. Ele au serioase probleme în a supravieţui la turbulenţa de intrare din tunelele supersonice şi sunt serios limitate de incapacitatea lor de a rezista încărcărilor aerodinamice în cazul unghiurilor mari de atac. Utilizarea vehiculelor propulsate de rachete pentru testarea modelelor elastice este avantajoasă în particular în regimul transonic. Absenţa pereţilor tunelului aerodinamic şi continuitatea şi uniformitatea curentului de aer compensează dezavantajele încercării de a face măsurătorile pe un sistem mic, aflat la distanţă şi mişcându-se cu viteză mare.

180

Capitolul 10

10.2. Teste dinamice la scara întregului avion Cele mai importante dintre aceste teste sunt cele care investighează posibilele condiţii de flutter, evaluează stabilitatea dinamică şi comportarea în rafală, şi stabilesc limitele de buffeting. Aceste teste pot fi împărţite în două categorii, ţinînd seama de scopul lor primar. În prima categorie intră testele de flutter şi de stabilitate dinamică, care se ocupă cu caracteristicile de stabilitate ale avionului. În a doua categorie intră testele de răspuns la rafală şi de buffeting în care prima consideraţie o reprezintă rezistenţa avionului. 10.2.1. Teste de flutter în zbor În ceea ce priveşte problemele implicate de testele de flutter în zbor, acestea se fac de obicei pe un avion prototip, şi considerente economice impun ca ele să fie făcute într-un timp cât mai scurt posibil. Asemenea aparate reprezintă investiţii enorme atît în timp cît şi în bani şi ele nu trebuie să fie puse într-o situaţie primejdioasă dacă acesta poate fi evitată în mod rezonabil. Aceste teste de flutter pot fi foarte periculoase chiar şi atunci cînd sînt făcute cu atenţie şi ele sînt cauza unui număr mare de accidente fatale. În multe cazuri testele trebuie făcute în apropierea vitezei limită stabilite din proiectare, aceasta fiind atinsă pentru prima dată de către avion, iar eventuala apariţie a flutterului poate avea urmări distructive. În asemenea cazuri poate fi avantajoasă modificarea avionului de testat pentru a micşora posibilitatea de apariţie a flutterului. Această influenţă stabilizatoare poate fi extrasă analitic din rezultatele testelor pentru a afla comportarea structurii nemodificate. Procedurile de testare trebuie să ţină seama de următoarele principii: (1) Testele trebuie făcute cît mai rapid posibil fără a introduce elemente de periculozitate la scara întrgului avion. (2) Apropierea de condiţiile critice de flutter trebuie recunoscută din observarea răspunsului subcritic. (3) Trebuie folosite excitaţii medii pentru a permite observarea adecvată a răspunsului subcritic. (4) Masele echipamentelor de testare adăugate la aeronavă trebuie astfel amplasate încît să nu crească posibilitatea de apariţie periculoasă a flutterului. Pentru crearea excitaţiilor, cea mai simplã metodã este ca pilotul să scuture sau să lovească manetele de comandă ale aparatului. Programele complexe de încercare impun instalarea unui echipament complex şi costisitor., iar schema particulară pentru o situaţie dată depinde de :    

probabilitatea de apariţie a flutterului, de care parte a aparatului este implicată, de gama de frecvenţe care este importantă, de timpul şi efortul financiar disponibili pentru testele în zbor şi în paralel pentru investigaţile analitice şi pe model.

Cele mai importante tehnici sunt tratate mai jos, împreună cu avantajele şi dezavantajele lor. 10.2.2. Teste de flutter asupra suprafeţelor de comandă Experienţa a arătat că flutter-ul suprafeţelor de comandă nu apare de obicei la frecvenţe mai mari de 5...6 ori mai mari decât frecvenţele proprii naturale ale respectivului organ de comandă.

AEROELASTICITATE

181

Această informaţie este extrem de utilă în testele de zbor care urmăresc flutter-ul suprafeţelor de comandă. Pentru avioane care nu sunt echipate cu comenzi servoasistate, se foloseşte metoda excitării manuale. În principiu, este vorba despre aplicarea manuală a unor comenzi bruşte aeronavei, ceea ce va conduce la un răspuns tranzitoriu al acesteia. Majoritatea regimurilor relevante pentru un anumit avion pot fi generate bruscând eleronul, profundorul, sau comenzile de direcţie. Răspunsul structurii la energia introdusă pentru fiecare creştere de viteză depinde de amortizarea structurală şi aerodinamică. Aceasta din urmă poate fi obţinută din curbele de rezonanţă sau din analiza oscilaţiilor de amortizare, dar facem observaţia cã obţinerea acestor curbe de amortizare, implică un volum foarte mare de calcule. O altă posibilitate de determinare a amortizării este din datele obţinute de la simulatoarele de zbor. O altă metodă de excitare a comenzilor aeronavei, folosită şi în cazul comenzilor servoasistate, este pe principii electrice. Avantajele stemelor bazate pe aceste principii sunt evidente: frecvenţa şi amplitudinea pot fi uşor controlate în zbor şi este posibilă o anulare aproape instantanee a forţei de excitaţie. 10.2.2.1. Excitaţia cu ajutorul sistemelor de control existente ale aeronavei. Aceasta este adoptată de multe ori atunci cînd este necesară doar o investigaţie rapidă pentru a dovedi absenţa flutterului. Ea poate lua o varietate de forme : astfel, dupã cum s-a menţionat mai sus , în cazul unui aparat fãrã servocomenzi, pilotul poate “pulsa”, lovi sau scutura manetele de comandă şi să creeze moduri de excitaţie cu frecvenţa de pînă la 6 sau 7 Hz. Dacă aparatul este dotat cu pilot automat, atunci o simplă sursă de semnal poate fi conectată la acesta pentru a produce o excitaţie sinusodală având aceeaşi gamă de frecveţă. Pentru aparatele dotate cu servocomenzi pot fi folosite generatoare de semnal de mică putere, pînă la frecvenţe de 10-12 Hz, în funcţie de capacitatea servomecanismelor. Existã posibilitãţi mai sofisticate de a produce încărcări simetrice şi antisimetrice a eleroanelor, care pot fi uşor încorporate în acest sistem. Rar este posibilă o excitaţie peste 15 Hz folosind sistemul de comandă existent sau chiar unul special modificat. 10.2.2.2. Excitaţia pulsatorie. Cel mai simplu tip de echipament de excitare ce poate fi amplasat pe un avion este un generator pulsator. O formã simplã de generator pulsator este o mitralierã sau un tun modificat, care trage proiectile în direcţia opusă celei pe care este dorită aplicarea excitaţiei pulsatoare. Proiectilele pot fi trase în serie sau în rafală şi se pot sincroniza cîteva tunuri pentru a obţine diferite tipuri de forţă şi momente. O altă formă de excitator pulsator o reprezintă una sau mai multe camere de ardere în care sînt plasate încărcături explozive care pot fi detonate. Prin alegerea potrivită a pulberii explozive ca şi a formei granulaţiei se poate obţine o mare varietate de forme de pulsaţie precum şi de durată a acestora. Controlul duratei de pulsaţie este foarte avantajos deoarece permite o considerabilă accentuare selectivă a modului de răspuns de-a lungul întregii game de frecvenţe de interes. O distribuţie liniară a forţei de-a lungul unui interval de pulsaţie egal cu aproximativ jumătate din perioada unui mod dat, maximizează energia care alimentează acel mod. Câteva avantaje ale excitatorilor de tip pulsator sunt că acestea necesită un timp scurt de testare în timpul căruia avionul trebuie să menţină o viteză apropiată de viteza limită, în special pentru testele de flutter, iar echipamentul de testare este destul de uşor, nu este voluminos şi poate fi instalat în mai multe locuri posibile. Principalul dezavantaj al acestei tehnici îl reprezintă relativa dificultate cu care pot fi extrase suficiente informaţii din datele înregistrate.

182

Capitolul 10

10.2.2.3. Excitaţia sinusoidală. O alternativă la aplicarea unei scurte pulsaţii de energie avionului şi a observării răspunsului său tranzitoriu o reprezintă tehnica aplicării unei excitaţii statice sinusoidale de-a lungul întregii game de frecvenţe care ne interesează şi observarea amplitudinii şi a fazei răspunsului forţat. Soluţia clasică este un rotor neechilibrat, care se roteşte cu o anumită frecvenţă şi care imprimă structurii la care este ataşată un vector al forţei rotitor. Principala dificultate constă în faptul că amplitudinea excitaţiei este proporţională cu masa neechilibrată şi cu pătratul frecvenţei. Astfel, la frecvenţe mari avem la dispoziţie un considerabil exces de forţă excitatoare pe cînd la frecvenţe mici nu dispunem decît de un minim de forţă. Această caracteristică inerentă conduce la rafinamente ca setarea variabilă a masei neechilibrate care poate fi controlată automat în funcţie de frecvenţă. Folosirea unei perechi de rotori neechilibraţi produce o simplă excitaţie sinusoidală în locul unui vector rotitor. Dificultatea majoră în utilizarea unui astfel de sistem o reprezintă necesitatea unui motor uşor şi puternic cu caracteristici foarte bune de control al frevenţei. Nu doar necesitatea unui motor de putere ridicată şi continuă dar şi controlul frecvenţei de excitare în apropierea vîrfurilor de rezonanţă este foarte dificilă. De asemenea sincronizarea unor unităţi multiple aflate la o oarecare distanţă este destul de dificilă, în special la frecvenţe mici şi mare putere. Roţiile neechilibrate şi echipamentul asociat sînt grele şi voluminoase şi este dificilă instalarea lor în interiorul suprafeţelor portante fără a necesita mari protuberanţe. Amplasarea lor în containere speciale exterioare este cea mai bună soluţie în cazul amplasării pe aripă. Pentru excitaţia simetrică a ampenajului ampalsarea în fuselajul posterior este des folosită. Procedura zborurilor de testare cu excitaţie sinusoidală necesită lungi perioade de zbor stabil în apropierea vitezei limită. la aplicarea unor serii de frecvenţe constante. Programarea unei variaţii lente de-a lungul întregii game de frecvenţe poate scurta timpul de testare cu condiţia complicării deja formidabilului volum de echipamente. Un excitator sinusoidal la care se face des referinţă, dar rar folosit, este o masă care este forţată să oscileze liniar cu ajutorul unor dispozitive mecanice sau electromagnetice. În cadrul ultimei variante deseori se propune utilizarea unei bobine electromagnetice grele ataşate la structura aeronavei, a cărei miez de fier este folosit ca masă oscilantă. Deoarece folosirea masei necesare acestei scheme este mai puţin eficientă decât utilizarea unor rotori neechilibraţi, ultima tehnică este preferată. Altă tehnică, care poate produce momente sinusidale în gama frecvenţelor joase, foarte eficientă dar cu amplitudinea limitată de proporţionalitatea acesteia cu frecvenţa, foloseşte tot roţi puse în mişcare de rotaţie dar într-un mod diferit. În cadrul acestui aranajament rotorul este rotit cu viteză constantă şi foarte ridicată, după o axă perpendiculară cu cea a avionului sau a aripii în cazul instalării rotorului pe aripă. El este prinsă într-o articulaţie astfel încît momentul care va tinde să răsucească aripa să poată fi transmis de la rotor la aripă. Acest moment este produs utilizînd un sistem de excitare liniar pentru a aplica o mişcare sinusoidală articulaţiei, aceasta rotind roata în jurul axei transversale. Acest moment este transformat de către rotorul aflat în mişcare de rotaţie într-un moment de răsucire al aripii. Amplitudinea momentului de ieşire este limitată de amplitudinea oscilaţilor unghiulare ale rotorului permise de spaţiul de montare disponibil. Ea este totodată o funcţie de viteza unghiulară a rotorului, de inerţia acestuia, precum şi de momentul de intrare. Limita superioară a frecvenţei de excitaţie este determinată de caracteristicile echipamentului utilizat pentru producerea momentului de intrare. 10.2.2.4. Excitaţia aleatoare. Deficienţa tuturor tehnicilor prezentate mai sus o reprezintă prezenţa imposibil de evitat a unor factori aleatori în înregistrări, care obturează informaţia dorită. Cei mai mulţi asemenea factori provin din răspunsul aeronavei la turbulenţa atmosferică şi din acest motiv testele sînt de cele mai multe ori efectuate la primele ore ale dimineţii, când

AEROELASTICITATE

183

atmosfera este relativ calmă. Odată cu dezvoltarea aplicaţilor inginereşti ale tehnicilor de analiză statistică, în mod particular în cazul cîmpurilor de turbulenţă, buffeting şi răspuns la rafală, apare din ce în ce mai avantajoasă utilizarea tulburenţei atmosferice ca sursă de excitaţie pentru zborurile de testare la flutter. În loc să încercăm să-i minimizăm efectele, putem încerca să le folosim în propriul nostru folos. În cadrul acestei proceduri curba frecvenţei de răspuns a aparatului, similară cu cea obţinută prin tehnicile de excitaţie sinusoidală, poate fi calculată dacă sînt cunoscute propietăţile statistice ale tulburenţelor (date de intrare ) şi a mişcărilor aripii (date de ieşire ).Din datele de intrare şi de ieşire, care sînt total aleatoare, se pot obţine funcţiile de autocorelaţie. Acestea pot fi transformate în graficul densităţii spectrale de putere în funcţie de frecvenţă atît pentru intrare cît şi pentru ieşire. Raportul ieşire/intrare este egal cu pătratul frecvenţei de răspuns a avionului. Dacă istoria în timp simultană a datelor de intrare şi de ieşire este măsurată, funcţiile de intercorelaţie şi densitatea de intercorelaţie pot fi găsite, ceea ce permite determinarea atît a fazei cît şi a amplitudinii caracteristice frecvenţei de răspuns a avionului. Dificultatea de bază a acestei tehnici o reprezintă lipsa posibilităţilor de control a caracteristicilor de amplitudine şi frecvenţă a turbulenţei de intrare. Există cîteva indicaţii că cea mai mare parte a tulburenţelor atmosferice au aproximativ aceaşi densitate spectrală de putere, şi probabil nu este rentabilă căutarea unui anumit tip de tulburenţă care şă accentueze gama de frecvenţe care ne interesează într-un set particular de teste. Oricum, posibilitate unor teste de flutter în zbor fără necesitatea procurării unui echipament special de excitaţie este foarte atractivă. O altă dificultate este măsurarea caracteristicilor turbulenţei în apropierea aeronavei. Avionul care vibrează şi este scuturat distorsonează curgerea curentului (în cazul subsonic) la ceva distanţă de el şi nu reprezintă un foarte bun sistem de referinţă. Oricum, actualele abordări ale problemei promit să fie foarte fructuoase. Referitor la pregătirea avionului pentru zbor, este esenţială reducerea la maximum a frecării din circuitele comenzilor, pentru a preveni variaţiile între răspunsurile avionului de la un regim la altul, care ar putea conduce la rezultate eronate, sau chiar la situaţii periculoase. În legătură cu aceasta, trebuie luat în considerare efectul temperaturii asupra frecării din circuitele de comandă dacă, de exemplu, testele de admisibilitate la flutter sunt combinate cu un zbor la altitudine înaltă. În legătură cu echipamentul de excitare, el trebuie să asigure forţe suficient de mari pentru a învinge frecările din şarnierele suprafeţelor de comandă şi pentru a produce amplitudini suficient de mari în raport cu cele corespunzătoare nivelului normal al vibraţiilor. Este evident că pe de altă parte, amplitudinea maximă permisă va trebui să fie limitată din considerente de evitare a avarierii structurii avionului, datorită oboselii. 10.2.3. Teste de stabilitate dinamică, buffeting şi răspuns la rafală Deorece efectele aeroelastice nu au o importanţă majoră în cadrul testelor de stabilitate dinamică subiectul va fi tratat pe scurt. Diferenţa de bază între testele de stabilitate dinamică şi cele de flutter (primele se ocupă cu stabilitatea subcritică, iar ultimele cu apropierea controlată de instabilitatea critică) este reflectată de tehnicile utilizate. În cadrul testelor de stabilitate dinamică lipsesc noţiunile de urgenţă şi de pericol iar datele testelor pot fi examinate cu uşurinţă după ce un set de teste este terminat. Pot fi folosite tehnici de analiză mai complicate, iar testele trebuie să acopere o mare gamă de numere Mach, greutăţi ale aparatului precum şi distribuţii de masă.

184

Capitolul 10

Asemenea minuţiozitate a devenit necesară odată cu apariţia conceptelor de sisteme în legătură cu pilotul automat şi proiectarea sistemului automat de control. Pentru a permite potrivirea adecvată a pilotului automat cu avionul dat atît caracteristicile dinamice cît şi cele statice ale “cutiei negre” pe care o reprezintă avionul trebuie să fie cunoscute pentru toate situaţile de zbor. Tehnicile de testare sînt în mod esenţial aceleaşi ca şi în testele de flutter în zbor cu excepţia că rar este necesară instalarea unui sistem special de excitare. Frecvenţele importante în stabilitatea dinamică intră în cadrul capacităţii servomecanismelor sistemului de control al zborului. Există un număr de efecte aeroelastice care au importanţă. Chiar dacă frecvenţele elastice pot fi mult mai mari decît frecvenţele de stabilitate dinamică, structura avionului se îndoaie şi se răsuceşte sub acţiunea forţelor aerodinamice şi inerţiale. Acest efect poate influenţa puternic amplasarea captatorilor şi interpretarea semnalelor acestora. În cazul unor aeronave mari şi flexibile frecvenţele elastice pot fi destul de joase iar mişcările de stabilitate dinamică pot arăta ca un flutter subcritical cu un mare grad de mişcări de corp rigid. În mod particular în acest ultim caz sistemele de control automat pot complica mai mult situaţia deoarece capabilităţile în frecvenţă se pot extinde în intervalul frecvenţelor elastice iar acest lucru poate accentua efectele aeroelastice. Investigaţiile de răspuns la rafală la scara avionului sînt mai pretenţioase din cîteva motive. * În primul rând, metodele actuale de analiză a răspunsului la rafală, cuplate cu alte criterii de proiectare, au avut un mare succes în prevenirea distrugerilor structurale datorate zborului în atmosferă turbulentă. Aşa încît tehnicile costisitoare de testare în zbor a răspunsului la rafală nu mai sunt necesare. * În al doilea rând, nu au fost încă dezvoltate metode satisfăcătoare de măsurare şi interpretare a rafalelor de aer întîlnite de către o aeronavă. Necesitatea în creştere pentru metode îmbunătăţite de analiză şi criterii mai bune de răspuns la rafală pentru aeronave mai mari, flexibile şi de mare performanţă, cuplată cu o mai bună înţelegere şi folosire a tehnicilor de analiză statistică, face sigură dezvoltare tehnicilor de testare în zbor în viitorul apropiat. Strânsa legătură dintre răspunsul la rafală şi buffeting în regimul transonic motivează mai mult această dezvoltare. O altă influenţă puternică care va ajuta la acestă dezvoltare este exercitată de proiectarea sistemelor de control automat al zborului care trebuie să optimizeze performanţele sistemului atît în atmosferă turbulentă cît şi în atmosferă liniştită.

10.3. Teste dinamice de aeroelasticitate pe modele la scară Testele dinamice pe modele au prezentat o continuă dezvoltare, în conjuncţie cu dezvoltarea tehnicilor de modelare. În domeniul stabilităţii dinamice a aeronavei, descrierea precisă a caracteristicilor aparatului, descriere necesitată de sistemele de ghidare şi control ale aeronavei, reprezintă un stimul puternic. În domeniul flutterului montarea unor obiecte masive şi voluminoase în aripiile deja fragile agravează serios situaţia deja dificilă. Utilizarea modelelor pentru teste dinamice a oferit date foarte folositoare şi conţine promisiuni considerabile pentru viitor. Scopul acestei secţiuni îl reprezintă explorarea principiilor fundamentale care guvernează mulţimea tehnicilor de testare care au fost dezvoltate. Există două tendinţe diferite în cadrul utilizării modelelor în probleme de dinamică. Prima tendinţă o reprezintă utilizarea modelelor pentru evaluarea coeficienţilor ecuaţilor diferenţiale care guvernează problema. Soluţiile ecuaţiilor sînt obţinute apoi prin metode numerice. În cadrul celelaltei tendinţe testele pe model sînt abordate în mod analog cu testele la scara avionului şi se aşteaptă să furnizeze soluţiile în mod direct. Modelele pot simula părţi ale

AEROELASTICITATE

185

aeronavei, cum ar fi aripa sau ampenajele, sau întreaga aeronavă. Modelele pot fi montate în tunele aerodinamice, pe rachete, pe bombe aruncate de la mare înălţime, în regiunile de curgere locală ale aeronavei de testare, sau în suflul tuburilor de şoc. Ele pot fi chiar modele zburătoare reale. Fiecare schemă are avantajele şi dezavantajele ei particulare ca şi problemele uzuale de excitaţie, montare şi măsurare. 10.3.1. Evaluarea coeficienţilor în tunele aerodinamice Poate cele mai importante tehnici sînt bazate pe folosirea tunelelor aerodinamice. Oricum, secţiunea tunelului nu trebuie să reprezinte doar frontiere acceptabile pentru curentul de aer dar şi mijloace potrivite pentru montarea modelului. Dacă vom considera pentru început testele destinate evaluării coeficienţilor ecuaţiilor diferenţiale care guvernează problema, de obicei vom descoperi că obţinerea datelor cerute implică măsurători ale reacţiunilor aerodinamice pe corpuri şi suprafeţe rigide şi oscilante. Aceste modele rigide sînt forţate să efectueze o mişcare sinusoidală specifică sau sînt dezechilibrate pentru a putea observa atenuarea oscilaţilor. Testele de acest tip devin din ce în ce mai dificile cu cît frecvenţa de oscilaţie necesară este mai ridicată. Aceste frecvenţe sînt dictate de necesitatea menţinerii (pentru aeronave, dacă nu pentru pale de turbină sau elice şi rachete) numerelor Reynolds la ordinul de cel puţin 4x105 pentru întreaga gamă de frecvenţe dorite. În cadrul testelor de mică viteză excitarea modelelor uşoare şi rigide poate fi făcută cu ajutorul unor legături rigide conectate la un sistem mecanic de excitare potrivit. Atît totalitatea forţelor şi momentelor cît şi distribuţia de presiune pot fi măsurate. Forţele şi momentele totale se determină prin măsurarea cu ajutorul unor senzori sensibili de efort a reacţilor modelului pe suport şi prin schimbările observate în puterea dispozitivului de intrare. Oscilaţia presiunilor poate fi observată prin instalarea în aripă a unui senzor potrivit. În ambele cazuri este foarte dificilă eliminarea efectului pe care aceleraţiile ridicate la care este supus atît modelul cît şi instrumentele de măsură îl exercită asupra măsurătorilor. În cazul testelor efectuate la mare viteză frecvenţele cerute sînt foarte ridicate pentru a menţine frecvenţele reduse în condiţiile unor viteze ridicate şi a unor modele mai mici. Devine foarte dificilă construirea unor modele rigide şi a legăturilor acestora. În acest introducerea sistemelor flexibile de susţinere şi excitare devine folositoate deoarece frecvenţele naturale ale modelului pe suport intră în gama frecvenţelor de testare. O forţă de excitaţie relativ mică este suficientă pentru a menţine o amplitudine de oscilaţie rezonabilă în apropierea rezonanţei. Problema unui control precis al amplitudinii şi al frecvenţei în aceste condiţii este dificilă şi poate fi rezolvată cel mai bine prin utilizarea unei bucle de feed-back care sesizează diferenţa dintre mişcarea dorită şi mişcarea actuală a modelului. Frecvenţele foarte ridicate de testare complică de asemenea problemele de măsurare. Sesizarea reacţiilor modelului sau a modificărilor în puterea de intrare sînt puţin practicabile datorită raportului scăzut între forţele aerodinamice şi cele inerţiale, iar metodele de examinare directă a curgerii trebuie folosite dacă este posibil. Aceste metode includ măsurarea presiunii de către senzori montaţi în model sau pe o probă staţionară din apropierea acestuia. De asemenea în cîteva cazuri tehnicile interferometrice sînt aplicabile. Tehnicile de montare şi excitare pentru testele de mare viteză descrise mai sus sînt mult mai uşor aplicabile modelelor montate pe pereţii tunelului decît în cazul modelelor montate pe instalaţiile obişnuite prezente în tunelele de mare viteză. Datorită flexibilităţii legăturii şi a distanţei mari dintre sursa de putere şi model este dificilă impunerea unei mişcări prescrise modelului. Flexibilitatea legăturii poate fi tratată şi ca un avantaj. În acest caz modelul trebuie să efectueze o mişcare pură de legănare relativă la centrul său de greutate, iar flexibilitatea legăturii

186

Capitolul 10

poate fi astfel ajustată încît modurile naturale ale combinaţiei model-legături să aibă un nod în centrul de greutate al modelului şi o frecvenţă în centrul gamei de frecvenţe de testare. 10.3.2. Interferenţa cu pereţii tunelului aerodinamic Mărimea modelelor care sunt utilizate în cadrul testelor dinamice în tunelul aerodinamic trebuie astfel aleasă încît să menţină efectele interferenţei cu pereţii tunelului la o valoare acceptabilă. În cazul testelor supersonice modelele trebuie să fie destul de mici pentru ca disturbările cu originea pe model să fi măturate în josul curentului înainte ca ele să fi reflectate de pereţi şi să se întoarcă la model. În cazul curgerii subsonice interferenţa nu va fi niciodată nulă şi este o funcţie complicată de mărimea şi forma tunelului, mărimea şi forma modelului, de numărul Mach, şi de frecvenţa redusă. La o frecvenţă redusă foarte joasă interferenţa poate fi calculată pe baze quasistatice utilizînd factorii de corecţie ordinarii din domeniul static. La frecvenţe înalte ne putem aştepta la la efecte de rezonanţă atunci cînd disturbaţiile au nevoie de doar o jumătate de perioadă pentru a străbate drumul de la model la perete şi înapoi. În cazul bidimensional cu mijlocul modelului între pereţi plan paraleli , această frecvenţă de rezonanţă este dată în funcţie de înălţimea secţiunii de testare H, de viteza sunetului c şi de numărul Mach M:  H   1 M 2 c Această relaţie pentru calculul rezonanţei poate fi scrisă de asemenea în funcţie de frecvenţa redusă, numărul Mach şi raportul înălţime coardă ( Hb ):  M k  2 1 M 2 La frecvenţe intermediare efectele de interferenţă în subsonic pot fi obţinute din diverse grafice.În acest caz efectul pereţilor este cu atît mai pronunţat cu cît numărul Mach ceste mai mare şi poate fi ridicat chiar şi la frecvenţe bine eliminate din rezonanţă. Creşterea înălţimii tunelului reduce efectele pereţilor, dar reduce pe de altã parte şi frecvenţa de rezonanţă. 10.3.3. Simularea zborului liber în tunelul aerodinamic În continuare ne vom referi la utilizarea tunelului aerodinamic pentru teste dinamice a căror scop nu o reprezintă măsurarea coeficienţilor ci obţinerea soluţiilor ecuaţilor care guvernează mişcarea. Se vor analiza dificultăţile generale ridicate de problema simulării comportamentului dinamic al unei aeronave flexibile în zbor liber şi se vor considera cateva cazuri simple. Secţiunea tunelului aerodinamic şi aparatura asociată nu trebuie să exercite asupra modelului nici o influenţă apreciabilă care să nu apară şi în cazul zborului liber. Astfel, modelul trebuie să fie destul de mic pentru a minimaliza efectele interferenţei cu pereţii tunelului aerodinamic şi pentru a permite un spaţiu adecvat pentru perturbaţiile zborului liber rectiliniu. Trebuie simulatã tracţiunea prin aplicarea unei forţe care sã fie independentă de mişcarea modelului. Deoarece în general greutatea modeluilui este incorect scalată iar repartiţia de masă scalată corespunzător, trebuie aplicată o forţă verticală asupra modelului care să fie complet independentã de mişcarea modelului, cu scopul ca acesta să poată zbura cu atitudinea de zbor şi coeficientul de portanţă corespunzătoare zborului rectiliniu. Pentru majoritatea modelelor de mică viteză este necesară o forţă de ridicare în timp ce pentru modelele de mare viteză este necesară o forţă inversă, care să apese modelul în jos. Unele modele de mică viteză ale unor bombardiere sau avioane de transport nu necesită forţe verticale. Dacă trebuie simulate perturbaţiile din timpul zborului accelerat, trebuie să aplicate forţe verticale de intensitãţi mari şi

AEROELASTICITATE

187

chiar forţe laterale care să fie independente de mişcarea modelului. In plus, modelul trebuie să fie controlabil şi să prezinte mijloace potrivite de excitaţie şi măsurare. Asigurarea unei forţe verticale constante de susţinere este o problemã dificilã. In cazul modelelor de mică viteză, testate la flutter, dificultãţile sunt principial urmãtoarele: * considerarea unui mecanism adecvat * pe de altă parte, asigurarea unei forţe independente de mişcarea modelului pe distanţe mai mari de aproximativ 2.5 cm necesită mecanisme a căror masă în mişcare este comparabilă cu masa modelului. Deoarece orice masă care este efectiv ataşată modelului şi se mişcă odată cu acesta trebuie să fie inclusă ca o parte a masei modelului, proiectantul este pus într-o situaţie imposibilă, exceptînd poate cazul modelelor avînd mari cantităţi de combustibil şi bimbe în apropierea punctului de ataşare. Mecanismele încercate au fost pistoane cu aer, dispozitive electromagnetice modificate şi diferite aranjamente cu resorturi. Necesitatea combinată a unei forţe mari constante, mobilă pe distanţe mari şi a unei mase mici întotdeauna conduce de obicei la compromisuri severe. 10.3.4. Control şi excitaţie în tunelele aerodinamice Controlul modelelor de flutter în timpul testelor poate fi destul de dificil, în particular pentru modelele avînd numeroase grade de libertate de corp rigid. Aceste modele trebuie dotate cu sisteme complete de control a suprafeţelor de comandã şi a sistemelor de acţionare.  Tehnicienii sau piloţii aflaţi în afara tunelului pot conduce cu eficacitate modelele de mică viteză, cand scara timpului pe model este apropiatã cea reală.  In schimb, modelele de mare viteză nu pot fi controlate de către om şi de aceea trebuie prevăzute cu sisteme de girostabilizare sau chiar cu pilot automat. Excitarea modelelor pentru a le măsura gradul de stabilitate sau pentru a detecta apropierea flutterului poate fi realizată prin mijloace similare cu cele descrise petnru testele de flutter în zbor. Poziţionarea modelului în tunel deseori permite utilizarea unor tehnici mai puţin sofisticate. Pentru multe modele de mică viteză corzi ataşate la capătul aripii pot fi smucite pentru a provoca o excitaţie subcriticală. Pentru un mare număr de tunele aerodinamice există suficiente tulburenţe în curentul de aer pentru a exclude nevoia unor sisteme speciale de excitare. Dacă este necesar în curgere pot fi introduse rafale controlate. Pentru a preveni distrugerea modelelor în timpul flutterului este necesar un control foarte riguros a vitezei curentului de aer. Amplitudinea oscilaţilor autoîntreţinute de flutter variază de multe ori rapid cu viteza curentului de aer de-a lungul unui interval de viteze foarte mic peste viteza critică. Acest interval de viteză caracterizat prin amplitudinii ale oscilaţiei nedistructive poate fi mai mic ca 1% din viteza de flutter, dar este de remarcat cã s-au întalnit cazuri cand a foat mai mare 10%. În cazul unor modele mari şi costisitoare poate deveni necesară introducerea unui sistem de siguranţã pentru model, care poate asigura o variaţie bruscă a parametrilor modelului, variaţie care va extinde considerabil domeniul subcritic. Astfel, o bobină solenoidală poate modifica rapid poziţia unei mase sau mişcarea de precesie a unei roţi de mare viteză poate fi brusc redusă. 10.3.5. Testarea cu ajutorul rachetelor şi a săniilor Acestea reprezintă două mijloace, altele decît testările în tunele aerodinamice care permit supunerea modelului unor condiţii controlate de zbor, ceea ce are o importanţă considerabilă în

188

Capitolul 10

special în domeniul marilor viteze. În primul rand, montarea unor modele aeroelastice ale unor componente ale unei aeronave pe rachete aflate în zbor liber oferă cîteva avantaje faţă de testările în tunel. În special la viteze subsonice ridicate şi în domeniul supersonic, zborul controlat cu atenţie al unui model montat pe rachetă supune modelul la acelaşi tip de curgere nelimitată a curentului de aer pe care o întîlneşte şi aeronava în zborul real. Chiar mai mult, testele se desfăşoară de obicei în atmosfera densă de la altitudinile mici ceea ce conduce la numere Reynolds ridicate ale modelului şi la mase permise ridicate. Istoria în timp a zborului vehicolului poate fi progamată fără prea mari limitări. Cel mai serios dezavantaj al testării cu ajutorul rachetelor îl reprezintă dificultăţile generale de observare şi măsurare pe un model deplasîndu-se în viteză pe mari distanţe. Durata zborului este scurtă. spaţiul şi greutatea permisă pentru instrumente nu este ridicată. Şansa recuperării modelului şi a instrumentelor este deseori mică. Acceleraţiile sînt ridicate şi aceasta poate duce la erori. Odată ce zborul este iniţializat el nu mai poate fi oprit. Dificultăţile montării modelului în tunelul aerodinamic sînt contrabalansate de necesitatea stabilizării în zbor liber a rachetei pentru orice configuraţie a modelului. Testare modelelor aeroelastce pe sănii propulsate cu rachete, care alunecă de-a lungul şine drepte şi orizontale se situează între testăriile cu rachete în zbor liber şi testările în tunelul aerodinamic. Modelul se deplasează prin atmosfera liniştită, de mare densitate şi relativ nelimitată la viteze ridicate. instrumente mai elaborate şi mai scumpe pot fi instalate pot fi instalate pe sanie mai bine decît într-o rachetă, iar aceste instrumente sînt recuperabile. Chiar şi modelele pot fi recuperate dacă nu sînt distruse de flutter. Oricum testele cu sănii nu au posibilităţiile de observare şi control prezente în testele în tunelul aerodinamic. Metodele de testare cu sănii sau rachete pot fi adaptate atît pentru măsurarea coeficienţilor cît şi pentru investigarea stabilităţii aeroelastice. Multe dintre tehnicile de excitare şi montare discutate în secţiunile anterioare pot fi folosite cu mici modificări. Montarea componentelor pe o rachetă în zbor liber reprezintă doar un pas spre testarea pe un model complet propulsat cu ajutorul rachetelor. Din nefericire un asemenea test poate fi foarte scump. Acest lucru este combinat cu dificultatea găsirii de spaţiu pentru montarea rachetelor şi instrumentelor adecvate, asigurării unei distribuţii corecte de masă de-a lungul unei porţiuni a zborului, a obţinerii de suficiente date pentru ca testul să fie util, şi în special pentru a face toate sistemele să lucreze sincron pentru ca o defecţiune minoră să nu invalideze întregul test.

10.4. Tehnici de măsurare şi instrumentare Problemele de măsurare în cadrul testelor dinamice de aeroelasticitate sunt reprezentate de marea gamă de frecvenţe care trebuie considerate. Modelele de dimensiuni mari şi de mică viteză pot avea frecvenţele mai mici de 2-3 Hz, pe cînd frecvenţa modelelor mici, supersonice poate ajunge la 200 Hz. Exceptînd problemele asociate frecvenţelor ridicate, inginerul poate cîştiga greu în experienţă în cazul tehnicilor obişnuite de măsurare. Instrumentul fundamental de măsurare îl reprezintă un sistem fotografic de înregistrare care în mod uzual ia forma unui oscilograf cu înregistrare multicanal. Acest instrument poate acoperi gama dorită de frecvenţe şi poate produce pe aceaşi bază de timp istoria în timp a oricărei cantităţi măsurate care poate fi pusă într-o formă electrică corespunzătoare. Dacă este avantajoasă păstrarea unor semnale sub formă electrică pentru o procesare ulterioară cu ajutorul unui analizator de undă, faze-metru,etc., un înregistrator multicanal pe bandă magnetică reprezintă o alegere excelentă. El nu poate înlocui uşor oscilograful deoarece el nu ne oferă o imagine calitativă a datelor analizate, dar este excelentă capacitatea acestuia de a

AEROELASTICITATE

189

recreea sub formă electrică oricare semnal de intrare avem nevoie la orice moment de timp ulterior. Cantităţile neuzuale care trebuie măsurate în cadrul testelor de flutter sînt frecvenţa oscilaţiilor de flutter şi forma modală a flutterului. Pentru acestea, se pot utiliza senzori de efort montaţi pe structura principală; ei pot da o indicaţie exactă asupra frecvenţei de flutter şi, cu o poziţionare şi orientare potrivită, pot da şi o indicaţie calitativă asupra formelor modale. Dar cel mai bun instrument pentru a indica forma modală a flutterului este o cameră de filmat/fotografiat de mare viteză, astfel obţinându-se o imagine calitativă a fenomenului.

10.5. Tehnici de anliză în testele de flutter 10.5.1. Introducere Necesitatea testelor de flutter în zbor decurge din dificultatea de a determina cu precizie vitezele de flutter prin calcule sau prin încercări de flutter în tunele aerodinamice. Pe de altă parte apar o serie de greutăţi în legătură cu testele în zbor : gradul de confianţă în identificarea condiţiilor de flutter şi evaluarea coeficienţilor de atenuare în prezenţa perturbaţilor datorate turbulenţelor atmosferice. Procedura de testare în zbor este următoarea: aeronava zboară la viteze şi numere Mach din ce în ce mai mari, determinînd prin măsurători semnele incipiente de apariţie a flutterului şi extrapolând coeficienţii de atenuare măsuraţi la următoarea viteză şi număr Mach. Metoda de testare constă în a excita structura şi de a măsura răspunsul folosind cîteva accelerometre sau traductoare de mişcare. Din analiza caracteristicilor de răspuns, se obţin frecvenţele modale şi atenuările. Apar un număr de probleme care îngreuează procedura şi prinrtre acestea, menţionăm: * Numărul mare de frecvenţe de rezonanţă. Structura are aproape 30 de frecvenţe de rezonanţă în intervalul de frecvenţe care ne interesează (între 2 şi 30 Hz) , dar numărul celor care sunt importante în determinarea fiecărui răspuns în timp este necunoscut, depinzînd de poziţia pe structură a traductoarelor, de excitaţie şi de atenuările modale. * Perturbaţiile. Suprapunerea peste răspuns a unei excitaţii deliberate reprezintă răspunsul aleator în acelaşi mod ca şi turbulenţele atmosferice. Această perturbare este aproape întotdeauna importantă deoarece nivelul de excitaţie este limitat din considerente de rezistenţă a structurii, de siguranţa şi comfortul pilotului. Deci, orice metodă de analiză trebuie judecată în principal prin capacitatea sa de a elimina perturbaţiile. * Timpul scurt de testare. Datorită limitărilor de zbor fiecare încercare individuală esre limitată la două minute sau mai puţin . De asemenea necesitarea ca testele să se desfăşoare cu o varietate a parametrilor cum ar fi distribuţia combustibilului şi condiţiile în care se află sistemul hidraulic înseamnă că în mod normal nu este timp pentru a repeta testele la aceaşi excitaţie. * Timpul scurt în care trebuie să se facă analiza datelor. Deoarece testele se realizează pe prototip, pentru a da cale liberă celorlalte teste este necesar ca testele de flutter să fie terminate cît mai rapid posibil. Deci timpul de analiză este limitat pentru a nu întîrzia următorul zbor. Aceasta înseamnă că pentru analiză sînt disponibile numai cîteva ore.

190

Capitolul 10

10.5.2. Metode analogice Cele mai utilizate metode clasice de analiză a flutterului sunt cele analogice, dintre care ne vom ocupa aici pe scurt de metodele Mazet şi Resolver. 10.5.2.1. Metoda Mazet. Structura este excitată cu ajutorul unor încărcături de şoc cum ar fi încărcături explozive sau un şoc pe suprafeţele de comandă. Apoi partea "trece jos" a răspunsului este trecută printr-un filtru de bandă îngustă, a cărui frecvenţă centrală este una din frecvenţele de rezonanţă presupuse. Aceasta va tinde să producă scăderea liberă a unui singur mod, aşa încît o curbă exponenţială trasată peste vîrfurile sale ne va da coeficientul de atenuare. Oricum atît rezonanţa apropiată cît şi răspunsul la excitaţiile provocate de turbulenţă va împiedica o reducere pur exponenţială a răspunsul filtrat. În mod normal ambele efecte sunt prezente şi efectul lor nu poate fi eliminat prin simpla reducere a lăţimii de bandă a filtrului. 10.5.2.2. Metoda Resolver. Penru aceasta, excitaţia este caracterizată de o creştere destul de lentă a frecvenţei, astfel încât frecvenţa instantanee să poată fi considerată constantă de-a lungul unei perioade de ordinul unei secunde. Această procedură are avantajul de a aproxima testul cu unul static, în timp ce acoperrirea gamei de frecvenţe cerute va lua aproximativ două minute. Considerăm o excitaţie de frecvenţă constantă : x(t) = sin(t) al cărei răspuns este y(t) = y0()sin(t+). Totodată există un semnal de referinţă z(t)=cos(t). Atunci rezultatele vor fi: (10.1) 2  x( t )  y( t )  y 0   cos   y 0   cos( 2t  ) , 2  z(t )  y(t )  y0 ()sin()  y0 ()sin(2t  ) unde funcţia de răspuns în frecvenţă este: H (i)  y0 ()cos()  i  y0 ()sin() Ideal al doilea termen armonic al ecuaţiei (1) poate fi eliminat prin medierea termenului stîng al ecuaţiei (1) la un număr întreg de cicli. Timpul creşterii de frecvenţă reprezintă o constrângere deoarece dacă incrementul de frecvenţă este prea rapid coeficienţii de atenuare vor fi supraestimaţi datorită întîrzierii atît a răspunsului structurii cît şi a filtrului trece jos; o creştere prea mică va conduce la un timp de testare prea lung. 10.5.2.3. Metode numerice. Disponibilitatea unor coduri numerice pentru calculul transformatelor Fourier rapide pentru calculatoarele digitale a făcut posibilă aplicarea directă a definiţiei formale a funcţiei de răspuns a frecvenţei. A. Metoda intercorelaţiei Considerînd un sistem cu funcţia de răspuns a frecvenţei H(i, al cărui răspuns la excitaţia x(t) este y(t). Atunci: (10.2) Y ( i) Y ( i)  X * ( i) Gxy ( i) H ( i)    X ( i) X ( i)  X * ( i) Gxx ( i) unde X(i şi Y(i) sunt transformatele Fourier ale funcţiilor x(t) şi y(t) X*(i este conjugata complexă a lui X(i Gxy(i este desitatea interspectrală de putere pentru x(t) şi y(t) Gxx(ieste densitatea spectrală de putere pentru x(t).

AEROELASTICITATE

191

Densitatea interspectrală de putere este transformata Fourier a funcţiei de intercorelaţie. Ea poate fi folosită pentru orice tip de excitaţie, de exemplu excitaţii sinusoidale rapide sau lente, şocuri sau secvenţe binare pseudoaleatoare. B. Metoda autocorelaţiei Dacă un sistem rezonant este supus unei excitaţii cu densitatea spectrală de energie constantă dea lungul unei lăţimi de bandă mai mari decît a răspunsului, funcţia de autocorelaţie a răspunsului are o variaţie sinusoidală cu scădere exponenţială, a cărei rată de scădere şi frecvenţă sînt identice cu cele ale răspunsului sistemului. dacă sistemul are mai mult decît o rezonanţă, funcţia de autocorelaţie a răspunsului este o suprapunere a acestor funcţii sinusoidale cu scădere exponenţială, cîte una pentru fiecare rezonanţă a sistemului. Avantajele folosirii acestei metode sunt: * turbulenţa atmosferică este o formă valabilă de excitaţie * aproape toate formele de excitaţie utilizate în testele de flutter sînt valide fără a fi necesară cunoaşterea istoriei procedurii de excitaţie. Datorită similarităţii cu un răspuns la un impuls, funcţia de autocorelaţie a răspunsului poate fi analizată în scopul de a determina frecvenţelor de rezonanţă şi a atenuărilor în două moduri: * direct, utilizînd o versiune digitală a metodei Mazet * după aplicarea transformatei Fourier asupra unei părţi a funcţiei de autocorelaţie, rezultă o funcţie complexă de frecvenţă, similară cu funcţia de răspuns a frecvenţei iar aceasta poate fi analizată cu metode bine puse la punct. C. Metode de interpolare cu mai multe grade de libertate Toate metodele de analiză descrise mai sus lasă răspunsul într-o formă în care tehnicile de analiză prin interpolare cu un singur grad de libertate sînt aplicabile. Chiar şi o coborîre exponenţială este interpolată în planul timpului , iar cercurile ( sau in parte cercuri ) sînt interpolate în planul frecvenţei. Există încercări de interpolare cu mai multe grade de libertate în ambele planuri ale frecvenţei şi ale timpului. Metoda Grumman, elaborată la Grumman Aircraft, impune o excitaţie sinusoidală şi lentă. Expresia de convoluţie pentru istoria în timp a răspunsului într-un sistem ideal cu mai multe grade de libertate este obţinută utilizînd filtre recursive. Acest răspuns este interpolat prin metoda celor mai mici pătrate la răspunsul măsurat dînd un set de ecuaţii simultane pentru a fi rezolvate. Soluţia acestor ecuaţii ne dă frecvenţele de rezonanţă şi atenuările, iar pentru rapiditatea calcului se folosesc filtrele recursive. În cadrul tuturor metodelor de interpolare cu mai multe grade de libertate problema constă în a decide cîte moduri şi ce lungime a înregistrării răspunsului trebuie folosite. Rezolvarea acestor probleme este uşurată dacă răspunsurile la diferite frecvenţe sunt separate în cadrul timpului de răspuns. D.Versiuni numerice ale metodelor Mazet şi Resolver Utilizarea unor algoritmi recursivi pentru filtre trece jos şi cu trecere de bandă face folosirea variantelor digitale ale metodelor Mazet şi Resolver o alternativă atractivă la variantele lor analogice. Pe lîngă faptul că sînt rapide aceste metode au avantajul unei mult mai flexibile prezentări a rezultatelor, incluzînd facilităţi pentru potrivirea automatică a curbelor. În cazul metodei Resolver, convoluţia exponenţială dată de filtrele trece jos poate fi înlocuită de un filtru simetric, cum ar fi unul dreptunghiular, pentru a evita o interferenţă cu funcţia de răspuns a frecvenţei.

192

Capitolul 10

10.5.2.4. Eliminarea perturbaţiilor. Cele mai mari probleme în analizarea rezultatelor testelor de flutter sunt datorate perturbaţiilor cauzate turbulenţei atmosferice. De aceea, este esenţial ca banda de împrăştiere a derivatelor coeficienţilor de atenuare datoraţi perturbaţiilor să fie destul de mică pentru ca să se obţină derivatele corecte ale coeficienţi de atenuare. Turbulenţa atmosferică este aleatoare şi poate tinde la un spectru neted dacă durata citirii este destul de lungă. Pe de altă parte însă, deoarece înregistrarea răspunsului este limitată la aproximativ două minute, densitatea spectrală de putere a perturbaţiilor în aceste înregistrări va fi departe de a fi netedă. Tehnicile de analiză descrise sunt capabile să extragă răspunsul în fiecare bandă de frecvenţă îngustă, dar aceasta nu separă semnalul de perturbaţie în interiorul acelei benzi de frecvenţă. A. Metoda autocorelaţiei De la această metodă se aşteptă să dea cele mai bune rezultate în eliminarea perturbaţilor datorită faptului că perturbaţiile de tip ”neted” nu vor apare ca perturbaţii în funcţia de autocorelaţie. Oricum, erorile statistice ale perturbaţiei vor apărea în cadrul funcţiei de autocorelaţie. Această perturbaţie din cadrul funcţiei de autocorelaţie poate fi eliminată dacă apare cu mari întîrzieri, cînd informaţia cerută a fost departajată. Ea nu poate fi filtrată şi eliminată în cazul întîrzierilor mici fără a afecta informaţia utilă. În planul frecvenţelor acest lucru este echivalent cu posibilitatea de a netezi oscilaţiile rapide ale funcţiei de răspuns în frecvenţă trecîndu-le printr-un filtru de bandă îngustă, dar nefiind capabili să netezim oscilaţiile încete fără a netezi şi forma adevărată a rezonanţei. Aceste oscilaţii lente în planul frecvenţei sunt asemănătoare cu rezonanţa, ceea ce face dificilă identificarea adevăratelor rezonanţe şi evaluarea coeficienţilor de atenuare corespunzători atunci cînd sînt identificate. B. Metoda intercorelaţiei Având perturbaţia de tip statistic descrisă mai sus, metoda intercorelaţiei trebuie să se mulţumească cu faptul că o excitaţie perturbatoare netedă va afecta răspunsul complex în frecvenţă. Considerînd că sistemul H(i excitat de o excitaţie deterministă cunoscută x(t) şi de o excitaţie aleatoare n(t) ale căror răspunsuri sunt y(t) şi respectiv r(t), se poate estima, din ecuaţia (10.2), H(i) astfel:  N i  H E i  H i i    X i  unde N(i) este transformata Fourier a lui n(t). Folosirea convoluţiei separate a părţilor reale şi imaginare ale lui HE(iva reduce perturbaţiile datorită propietăţilor aleatoare ale fazei lui N(i C. Metoda Resolver Se poate arăta că metoda intercorelaţiei şi Resolver sunt similare. Oricum însă,metoda Resolver doar corelează excitaţia şi răspunsul de-a lungul unei scurte secţiunia răspunsului pentru fiecare frecvenţă, acolo unde frecvenţa de răspuns predomină.Din această cauză metoda Resolver poate avea un avantaj în reducerea perturbaţilor deoarece foloseşte doar datele răspunsului acolo unde raportul semnal-zgomot este mai mare. Utilizînd metodele intercorelaţiei şi autocorelaţiei va fi necesară utilizarea unui increment lent de frecvenţe şi de lungă durată pentru a obţine:

AEROELASTICITATE

193

i) un raport semnal/zgomot adecvat in cadrul răspusului; ii) o rezoluţie adecvată a frecvenţei. In concluzie, tehnicile de corelaţie nu vor da rezultate mai bune decît metoda Resolver. Cele trei metode descrise mai sus elimină perturbaţiile din răspunsul în frecvenţă printr-o convoluţie urmată de o netezire a curbelor obţinute. Oricum, un răspuns foarte perturbat poate cere o netezire atît de mare încît corecţia la atenuările măsurate este mai mare decît valoarea reală. Pe de altă parte, o convoluţie de lăţime de bandă prea mare va introduce erori în apropierea rezonanţei. Convoluţia cu filtre avînd lăţimea de bandă prea mică ne va da un interval de posibili coeficienţi de atenuare derivaţi datorită erorilor statistice. Metoda Mazet poate fi folosită în cazul răspunsului în impuls măsurat, a funcţiei de intercorelaţie dintre răspuns şi excitaţie şi în cazul funcţiei de autocorelaţie a răspunsului. În toate cele trei cazuri , eliminarea perturbaţilor din funcţia sinusoidală descrescătoare, acestea avînd şi aceeaşi frecvenţă , poate fi făcută doar prin interpolare. Acelaşi lucru este adevărat şi pentru metoda de interpolare Grumman. Simularea numerică a unei excitaţii cu un singur grad de libertate, cu o variaţie sinusoidală lentă şi avînd adăugată o perturbaţie tipică a fost analizată cu ajutorul metodei Grumman folosind 100 de tipuri diferite de perturbaţii, vezi Turner (1973) Distribuţia coeficienţilor de atenuare obţinuţi a fost gaussiană cu :  valoarea reală ca medie;  deviaţia standard proporţională cu raportul semnal/zgomot al răspunsului, cu valoarea tipică 1/10 din valoarea medie. Metoda autocorelaţiei aplicată aceloraşi date s-a dovedit mai slabă. Câteva observaţii finale: nici una din metodele de analiză utilizate în testele de flutter nu este în întregime satisfăcătoare cînd răspunsul conţine perturbaţii importante datorate turbulenţei atmosferice. Oricum, metoda autocorelaţiei funcţionează cel mai slab la analizarea perturbaţiilor datorate turbulenţei atmosferice. Pe de altă parte trebuie spus că tehnicile de analiză în testele de flutter fac parte din categoriile de date nepublicate, făcând parte din « secretele » unei companii constructoare de aviaţie.