Curs 5 Metode de Rezolvare A Circuitelor de C.C. [PDF]

Zitiervorschau

6

ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

Succinte explicaţii şi exemple de aplicare a acestor metode sunt oferite în cele ce urmează.

1.4.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff Cele l ecuaţii independente, folosite pentru calculul curenţilor laturilor unui circuit dat (cu l laturi, n noduri şi γ părţi separate galvanic), se obţin astfel: ► α ecuaţii cu prima teoremă a lui Kirchhoff, conform (1.2) şi (1.3), ► m ecuaţii cu a doua teoremă a lui Kirchhoff, conform (1.5) şi (1.6). În scrierea sistematică a ecuaţiilor, este recomandabilă parcurgerea etapelor (1 – 7) prezentate în §1.3. Întrucât toate elementele unui circuit liniar au caracteristici tensiune-curent liniare, sistemul ecuaţiilor lui Kirchhoff va fi algebric, liniar, cu coeficienţi constanţi (numere reale). În consecinţă, soluţia acestui sistem va fi unică, deci se obţin valori unice pentru curenţii laturilor. Se va exemplifica metoda prin calculul curenţilor laturilor pentru circuitul din fig. 1.3.a, în care se cunosc t.e.m. E1 şi E3 ale surselor de tensiune şi rezistenţele R1 , R2 , R3 , R4 . Deoarece l = 3, n = 2 şi γ = 1 , rezultă

α = n − γ = 2 − 1 = 1, m = l − n + γ = 3 − 2 + 1 = 2. Digraful asociat acestui circuit este reprezentat în fig. 1.3.b, latura 3 constituind arborele, iar laturile 1 şi 2 fiind coarde.

E3

I1

R1 E1

I

R3

II

R2

R4

I2

1

2

3

I3 (a)

(b) Fig. 1.3

Ţinând seama de sensurile marcate pe fig. 1.3.a, aplicarea teoremelor lui Kirchhoff conduce la sistemul de ecuaţii I1 + I 2 − I 3 = 0, R1 I1 + R3 I 3 + R4 I 3 = E1 + E3 , R2 I 2 + R3 I 3 + R4 I 3 = E3 .

7

1. Circuite electrice liniare

Pentru valori cunoscute ale t.e.m. şi rezistenţelor

E1 = 5 V; E3 = 3 V; R1 = 0.12Ω; R1 = 0.12Ω; R2 = 68Ω; R3 = 0.24Ω; R4 = 150Ω, sistemul de ecuaţii algebrice liniare capătă forma:

I1 + I 2 − I 3 = 0, 0.12 I1 + 150.24 I 3 = 8, 68 I 2 + 150.24 I 3 = 3. Ca soluţii unice ale sistemului de ecuaţii, se obţin curenţii laturilor: I1 = −0.0737 A, I 2 = 0.1270 A, I 3 = 0.0533 A . Semnul „–” pentru valoarea curentului I1 indică faptul că sensul acestuia este invers faţă de cel adoptat, în mod arbitrar, pentru scrierea ecuaţiilor. Validarea rezultatelor obţinute se poate realiza prin efectuarea bilanţului puterilor în circuit, adică prin verificarea egalităţii E1 I1 + E3 I 3 = R1 I12 + R2 I 22 + R3 I 32 + R4 I 32 , pentru valorile calculate ale curenţilor laturilor.

1.4.2. Metoda superpoziţiei Principiul superpoziţiei sau „principiul suprapunerii efectelor” este general valabil în medii liniare. În particular, în cazul circuitelor electrice liniare, acest principiu se concretizează în teorema superpoziţiei. Conform acesteia, intensitatea curentului electric din orice latură a unui circuit liniar este suma algebrică a intensităţilor curenţilor pe care i-ar produce în acea latură fiecare dintre surse acţionând singură, celelalte surse fiind pasivizate. Pentru intensitatea I j a curentului din latura j rezultă deci

Ij =

l

∑I

jp

,

(1.8)

p =1

unde I jp este curentul produs în latura j de sursa aflată în latura p, atunci când toate celelalte surse din circuit au fost pasivizate. Ca exemplu, se vor calcula prin metoda superpoziţiei curenţii din laturile circuitului reprezentat în fig. 1.4.a. Pasivizarea sursei E3 conduce la schema din fig. 1.4.b, iar prin pasivizarea sursei E1 se obţine schema de calcul din fig. 1.4.c. Aplicarea metodei superpoziţiei conduce la următoarele rezultate:

8

ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

I1 = I11 + I13 , unde I11 =

I 2 = I 21 + I 23 , unde I 21 =

E3 E1 R2 şi I13 = − ⋅ , R1 + R2 || R3 R3 + R1 || R2 R1 + R2

R3 E3 E1 R1 ⋅ şi I 23 = ⋅ , R1 + R2 || R3 R2 + R3 R3 + R1 || R2 R1 + R2

I 3 = I 31 + I 33 , unde I 31 = −

I1

I3

E3 E1 R2 ⋅ şi I 33 = . R1 + R2 || R3 R2 + R3 R3 + R1 || R2

I11

I2 R1

R1

R3

R2

I 33 I 23

I 21 R3

E1

I13

I 31

R1

R2

R3 R2

E1

E3 (a)

E3 (c)

(b) Fig. 1.4

Metoda superpoziţiei nu este recomandată de practică în cazul circuitelor cu număr relativ mare de laturi şi noduri, din cauza volumului de calcul implicat. Este eficientă atunci când, pentru un circuit dat, nu interesează curenţii tuturor laturilor, ci doar curentul într-o latură a acestuia. Pentru exemplificare, se va calcula curentul I 4 al circuitului din fig. 1.5 folosind metoda superpoziţiei. E4

I4 R1

E1

R3

R2 E5

R5

Fig. 1.5 Rezultă:

I 4 = I 41 + I 44 + I 45 , unde

R4

9

1. Circuite electrice liniare

I 41 = −

R3 E1 R2 ⋅ ⋅ , R1 + R2 || (R5 + (R3 || R4 )) R2 + R5 + R3 || R4 R3 + R4 I 44 = − I 45 =

E4 , R4 + R3 || (R5 + R1 || R2 )

E5 R3 ⋅ . R5 + R1 || R2 + R3 || R4 R3 + R4

Principiul superpoziţiei stă la baza unor metode de calcul în medii liniare, în particular al metodei curenţilor de ochiuri aplicabilă în circuite electrice liniare.

1.4.3. Metoda generatorului echivalent Un circuit dipolar liniar activ (fig. 1.6.a) admite două scheme echivalente: a) schema generatorului de tensiune echivalent (fig. 1.6.b); b) schema generatorului de curent echivalent (fig. 1.6.c).

A Linear active circuit

A I AB R

U AB

A

I AB

RAB0 U AB0

U AB

B

R

I AB I ABs

G AB0

B

(a)

(b)

U AB

G

B (c)

Fig. 1.6 Latura pasivă conectată la bornele (A, B) ale dipolului activ se consideră de rezistenţă R şi conductanţă G . Pentru schema echivalentă din fig. 1.6.b, rezultă (teorema ThéveninHelmholtz)

I AB =

U AB 0 R + R AB 0

,

(1.9)

unde U AB 0 este tensiunea de mers în gol la bornele (A,B), iar R AB 0 este rezistenţa internă a circuitului pasivizat. Pentru schema echivalentă din fig. 1.6.c, rezultă (teorema lui Norton)

U AB =

I AB s G + G AB 0

,

(1.10)

10

ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

unde I AB s este curentul de scurtcircuit al dipolului activ, iar G AB 0

este

conductanţa internă a dipolului pasivizat. Metoda bazată pe formulele (1.9), respectiv (1.10), permite calculul rapid al curentului, respectiv tensiunii la borne, pentru o latură oarecare a unui circuit liniar. Ca exemplu, se va calcula curentul I 2 pentru schema electrică din fig. 1.4.a folosind formula (1.9) adaptată:

U AB 0

I2 =

R2 + R AB 0

.

Schema auxiliară din fig. 1.7.a permite calculul tensiunii de mers în gol:

U AB 0 = E1 − R1 I = E1 − R1 ⋅

E1 − E3 E1 R3 + E3 R1 = . R1 + R3 R1 + R3

A

I

A

R1

R3

R1

U AB0

R3

E3

E1

B

B (a)

(b)

Fig. 1.7 Pasivizarea dipolului activ conduce la schema auxiliară din fig. 1.7.b, din care rezultă

R AB 0 = Substituind U AB 0

şi

R AB 0

R1 R3 . R1 + R3 în expresia obţinută pentru

I 2 , prin

particularizarea relaţiei (1.9), se obţine

I2 =

E1 R3 + E3 R1 . R1 R2 + R2 R3 + R3 R1

Pentru reţele pasive simple, folosind doar teoremele lui Kirchhoff şi relaţia (1.9), se poate efectua calculul rezistenţei echivalente în raport cu două borne, fără a efectua transfigurări. De exemplu, pentru reţeaua pasivă din fig. 1.8, cu bornele (A, B), se poate calcula curentul I debitat de o ipotetică sursă de tensiune (reprezentată cu linie întreruptă), utilizând în acest scop ecuaţiile lui Kirchhoff. Se obţine

11

1. Circuite electrice liniare

I=

E 19 R+r 16

,

rezultat care, interpretat şi comparat cu relaţia (1.9) oferă rezistenţa echivalentă căutată R AB =

19 R. 16 2R

R A

I

2R

B

R

R

E

r Fig. 1.8

Metoda generatorului echivalent este eficientă în calcule privind erorile de măsurare şi în determinarea condiţiilor în care aceste erori se încadrează în limite acceptabile. Spre exemplificare, se consideră schema din fig. 1.9, în care tensiunea U 4 trebuie măsurată cu voltmetrul V, astfel încât ΔU 4 U 4 − U 4 ' U ' = = 1 − 4 ≤ 5% , U4 U4 U4 unde U 4 ' este tensiunea indicată de voltmetrul cu rezistenţa internă RV . Interesează ce valoare limitează inferior rezistenţa RV , astfel încât măsurarea să poată fi efectuată cu precizia impusă, dacă R1 = 0.3 Ω , R2 = 0.7 Ω şi R3 = 0.5 Ω . E3 R 3

A V

R1 R2 E1

R4

U4 B Fig. 1.9

U4 '

RV

12

ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

În lipsa voltmetrului, schema electrică se poate reprezenta compact ca în fig. 1.10.a, iar în prezenţa acestuia se obţine schema compactă din fig. 1.10.b.

A I4

Linear active circuit

E1 , E3 R1 , R2 , R3

E1 , E3

R4

U4

A I4 '

Linear active circuit

R1 , R2 , R3

R4

U4'

B

RV

B

(a)

(b)

Fig. 1.10 Relaţia (1.9), aplicată pentru schema din fig. 1.10.a, conduce la

I4 =

U 40 RR , cu R AB 0 = 1 2 + R3 , R1 + R2 R4 + R AB 0

de unde U 1 = R4 ⋅

U 40 . R4 + R AB 0

Aceeaşi relaţie, aplicată în schema din fig. 1.10.b, conduce la I4 '=

U 40 ' , R4 || RV + R AB 0

de unde U4 '=

R4 RV U 40 ' (R4 + RV ) R4 RV U 40 = , ⋅ R4 + RV R4 RV + R AB 0 (R4 + RV ) R4 RV + R AB 0 (R4 + RV )

Rezultă că raportul ce interesează, adică

U4' = U4

RV +

RV R4 R AB 0

,

R4 + R AB 0

nu depinde de t.e.m. ale surselor prezente în circuit. Respectarea preciziei de măsurare impusă se realizează dacă

13

1. Circuite electrice liniare

U 4 ' 95 , adică ≥ U 4 100

RV +

RV R4 R AB 0

≥ 0.95 ,

R4 + R AB 0

de unde rezultă condiţia RV ≥ 19

R4 R AB 0 R4 + R AB 0

.

Cu datele numerice cunoscute ale schemei electrice, se obţine condiţia RV ≥ 13.42 Ω ,

necesară pentru ca tensiunea U 4 să poată fi măsurată cu eroare de sub 5% , condiţie îndeplinită de voltmetrele analogice, a căror rezistenţă internă este de k Ω până la M Ω .

1.4.4. Metoda potenţialelor nodurilor Metoda teoremelor lui Kirchhoff conduce la un sistem de l ecuaţii independente, în care necunoscutele sunt curenţii celor l laturi ale circuitului. Pentru circuite cu număr mare de laturi, volumul de calcul implicat de rezolvarea acestui sistem este important, aşa încât se apelează la metode ce conduc la un număr semnificativ mai mic de ecuaţii: metoda potenţialelor nodurilor şi metoda curenţilor ochiurilor. Astfel, metoda potenţialelor nodurilor, cunoscută şi ca „metoda analizei nodale”, conduce la α ecuaţii independente, adică la atâtea câte s-ar obţine prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Întrucât α < l , oricare ar fi circuitul analizat, rezultă o reducere a efortului de calcul, de cele mai multe ori semnificativă. Metoda prezentată în acest paragraf apelează la un set de necunoscute auxiliare: potenţialele nodurilor circuitului, considerate în raport cu un nod de referinţă (al cărui potenţial se consideră nul). Pentru o latură oarecare a circuitului, curentul se poate exprima în funcţie de potenţialele bornelor sale. Astfel, pentru latura activă reprezentată în fig. 1.11, curentul I k depinde de potenţialele V j şi Vk ale bornelor laturii conform relaţiei Ik =

(

)

1 ⋅ V j = Vk + E jk , Rk

(1.11)

în care intervin rezistenţa totală Rk a laturii şi t.e.m. E jk a sursei prezente în respectiva latură.

14

ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

Vj

Ik

E jk

Rk

(k )

( j)

Vk

Fig. 1.11 Dacă se substituie curenţii, exprimaţi în forma (1.11), în ecuaţiile (1.3) obţinute prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, se obţine un sistem de α ecuaţii independente, prin rezolvarea căruia rezultă cele α potenţiale ale nodurilor, considerate ca necunoscute auxiliare în cadrul metodei. Curentul fiecărei laturi se calculează apoi cu ajutorul relaţiei (1.11), în care E jk are sensul marcat prin succesiunea indicilor inferiori (de la nodul j către nodul k).

Pentru a exemplifica aplicarea metodei, se consideră schema electrică din fig. 1.12, în care E1 = 6 V , E 2 = 12 V , E3 = 9 V , R1 = 10 Ω , R2 = 30 Ω , R3 = 20 Ω , R4 = 40 Ω , R5 = 5 Ω şi R6 = 15 Ω .

R6

V1 I 6 I1

I3

I2

E1 R1

V2

E3

E2

R2

R5

I4

R4

R3

I5

V =0

V3 Fig. 1.12

Conform relaţiei (1.11), rezultă I1 =

1 1 1 ⋅ (− V1 + E1 ) , I 2 = ⋅ (− V1 + E 2 ) , I 3 = ⋅ (V2 − V3 + E3 ) , R1 R2 R3

I4 =

1 1 1 ⋅ (V2 − V3 ) , I 5 = ⋅ V3 , I 6 = ⋅ (V1 − V2 ) . R4 R5 R6

Aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, în cele trei noduri cu potenţial nenul, conduce la ecuaţiile independente I1 + I 2 − I 6 = 0 , I 6 − I 3 − I 4 = 0 , I 3 + I 4 − I 5 = 0 .

Dacă, în aceste ecuaţii, fiecare curent este exprimat în funcţie de

1. Circuite electrice liniare

15

potenţialele nodurilor, se obţine sistemul ce are ca soluţii aceste potenţiale:

1 1 1 ⋅ (− V1 + E1 ) + ⋅ (− V1 + E 2 ) − ⋅ (V1 − V2 ) = 0 R1 R2 R6 1 1 1 ⋅ (V1 − V2 ) − ⋅ (V2 − V3 + E3 ) − ⋅ (V2 − V3 ) = 0, R6 R3 R4 1 1 1 ⋅ (V2 − V3 + E3 ) + ⋅ (V2 − V3 ) − ⋅ V3 = 0. R3 R4 R5 Cu valorile numerice precizate pentru parametrii elementelor de circuit, prin rezolvarea sistemului se obţin valorile numerice V1 = 5.02 V , V2 = 0.061 V , V3 = 1.653 V . Relaţiile scrise conform (1.11) permit calculul facil al curenţilor laturilor, pentru care se obţin valorile: I1 = 0.098 A , I 2 = 0.2326 A , I 3 = 0.3704 A , I 4 = −0.0398 A , I 5 = 0.3306 A , I 6 = 0.3306 A . De remarcat că a fost necesară rezolvarea unui sistem de numai 3 ecuaţii, pe când aplicarea metodei teoremelor lui Kirchhoff ar fi condus la un sistem de 6 ecuaţii. În plus, metoda nodală dispune de proceduri prin care se pot scrie direct ecuaţiile satisfăcute de potenţialele nodurilor, urmare a unei simple inspecţii vizuale sau a folosirii unei aplicaţii software dedicate.

1.4.5. Metoda curenţilor de ochiuri Bazată pe principiul superpoziţiei, această metodă conduce la un sistem de m ecuaţii independente, câte una pentru fiecare ochi fundamental al circuitului analizat. Necunoscutele acestui sistem sunt reprezentate de un set de curenţi fictivi ce se închid prin laturile ochiurilor fundamentale, numiţi curenţi de ochiuri (de contur, ciclici), câte unul pentru fiecare dintre aceste ochiuri. Condiţia esenţială este ca, pentru fiecare latură, curentul real să fie suma algebrică a curenţilor de ochiuri care trec prin acea latură. Metoda se va prezenta cu ajutorul unui exemplu ce utilizează schema electrică din fig. 1.13, cu l = 6 laturi, n = 4 noduri, γ = 1 şi, în consecinţă, m = l − n + γ = 3. Se consideră că prin laturile {1, 2} ale primului ochi circulă curentul fictiv I m1 , prin laturile {2, 6, 3, 5} ale celui de al doilea ochi circulă curentul de ochi I m 2 , iar prin laturile {3, 4} ale celui de al treilea ochi fundamental circulă curentul I m 3 . Sensurile curenţilor de ochiuri se pot alege arbitrar. Curentul fiecărei laturi rezultă prin superpoziţia curenţilor de ochiuri ce

16

ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

trec prin acea latură: I1 = I m1 , I 2 = − I m1 + I m 2 , I 3 = I m 2 − I m 3 , I 4 = I m 3 , I 5 = I m 2 , I 6 = I m 2 .

R6

I6 I1

E1

I3

I2 Im 2

I m 1 E2

R1

R2

E3 I m 3

I4

R4

R3

R5

I5

Fig. 1.13 Adoptând sensurile curenţilor ciclici ca sensuri de parcurs pentru scrierea teoremei a doua a lui Kirchhoff, se obţin ecuaţiile: R1 I1 − R2 I 2 = E1 − E 2 , R2 I 2 + R6 I 6 + R3 I 3 + R5 I 5 = E 2 + E3 ,

− R3 I 3 + R4 I 4 = − E3 . Substituind curenţii laturilor cu expresiile lor în funcţie de curenţii ochiurilor, se obţine sistemul de ecuaţii

(

)

R1 I m1 − R2 − I m1 + I m 2 = E1 − E 2 ,

(

) )+ R I

(

)

R2 − I m1 + I m 2 + R6 I m 2 + R3 I m 2 − I m 3 + R5 I m 2 = E 2 + E3 ,

(

− R3 I m 2 − I m 3

4 m3

= − E3 ,

care, ordonat după curenţii fictivi ai ochiurilor fundamentale, devine I m1 (R1 + R2 ) − I m 2 R2

= E1 − E 2 ,

− I m1 R1

= E 2 + E3 ,

+ I m 2 (R2 + R3 + R5 + R6 ) − I m 3 R3

− I m 2 R3

+ I m 3 (R3 + R4 ) = − E3 .

O analiză simplă a formei coeficienţilor acestui sistem conduce la concluzii ce permit scrierea directă a ecuaţiilor sale, urmare a unei inspecţii vizuale a schemei electrice, ceea ce sporeşte eficienţa metodei. Considerând aceleaşi valori ale parametrilor schemei ca şi pentru aceea din fig. 1.12, rezolvarea sistemului de ecuaţii anterior conduce la soluţia I m1 = 0.098 A , I m 2 = 0.3306 A , I m 3 = −0.0398 A .