Curs 10 - Polarizarea Electrica [PDF]

Zitiervorschau

Prof. Laurentiu Dumitran

Curs 10 5. Polarizarea electrică   Materiale dielectrice sau dielectricii sunt acele materiale care se polarizează electric sub acțiunea câmpurilor de forţe exterioare (de exemplu, câmpul electric). Fenomenul de polarizare electrică constă în inducerea unui moment electric unui corp. În cadrul acestui capitol se prezintă la început, mecanismele de polarizare ale dielectricilor aflaţi în câmpuri electrice invariabile în timp, precum şi mărimile fizice caracteristice acestui fenomen pentru fiecare mecanism în parte. În continuare, se prezintă aspecte referitoare la polarizarea dielectricilor în câmpuri electrice armonice. În final se analizează pierderile de energie care se produc în materialele dielectrice supuse acţiunii câmpului electric.

5.1. Noţiuni generale Momentul electric al unui corp polarizat (de exemplu sub acţiunea unui câmp electric) este o mărime fizică vectorială, egală cu suma vectorială a momentelor electrice elementare ale particulelor care alcătuiesc corpul. Particulele care prezintă momente electrice  proprii (spontane) p p (în absenţa câmpului electric) se numesc particule polare. Dielectricii alcătuiţi din particule polare se numesc dielectrici polari. Particulele care nu au moment electric propriu se numesc particule nepolare şi, prin urmare, materialele constituite din astfel de particule sunt materiale nepolare. Definirea momentului electric se face în raport cu dipolul electric. Acesta reprezintă un ansamblu de două sarcini electrice punctiforme, egale şi de semn opus q aflate la o distanţă infinit mică

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

203

Fig. 5.1. Dipolul electric. 

spaţiu l . Dipolul este caracterizat cu ajutorul momentului electric  dipolar p exprimat cu relaţia:   p  q l .

(5.1)

Momentul electric dipolar este un vector orientat, în mod convenţional, dinspre sarcina electrică negativă spre cea pozitivă (invers faţă de sensul liniilor câmpului electric). Potenţialul electric creat de dipol într-un punct M din spaţiu aflat  în vid la distanţă r  r (fig. 5.1) este dat de relaţia: V r  

q 1 1   . 40  r2 r1 

(5.2)

Dacă se presupune că r  l , se pot face următoarele aproximaţii: r2  r1  l  cos  şi r1  r2  r 2 , relaţia (5.2) devenind: V r  

q  l  cos  . 40 r 2

(5.3)

Cum produsul scalar dintre momentul electric al dipolului şi    vectorul de poziţie r este p  r  p  r  cos   q  l  r  cos  , din (5.3) rezultă: V r  

  pr . 40 r 3

(5.4)

Prof. Laurentiu Dumitran

204

MATERIALE ELECTROTEHNICE

 Cu ajutorul relaţiei E r   gradV r  şi ţinând cont de expresia

potenţialului (5.4) se poate calcula intensitatea câmpului electric corespunzător dipolului în punctul M (fig. 5.1):        p 1 3 p  r   r E  p  r    .  40 40 r 40  r 5

(5.5)

Dacă un dipol este introdus într-un câmp electric uniform, asupra 

lui se exercită un cuplu de forţe C a cărui expresie este:      C  p  E  l  qE ,

(5.6)

  care tinde să rotească dipolul astfel încât vectorii p şi E să fie

omoparaleli (situaţie în care cuplul se anulează). Această poziţie corespunde energiei potenţiale minime a dipolului aflat în câmp electric. Expresia energiei potenţiale a dipolului aflat în câmp electric se obţine pornind de la egalitatea dintre lucrul mecanic dL necesar pentru a roti dipolul cu un unghi infinit mic d şi variaţia corespunzătoare a energiei potenţiale a acestuia dU : dU   dL  C  d   pE sin   d , (5.7) în care s-a ţinut cont de relaţia (5.6). Prin integrare în raport cu , rezultă expresia energiei potenţiale a dipolului în câmp electric uniform:   U   pE cos    p  E

  care este minimă atunci când   0 şi, deci p  E .

(5.8)

Considerând un dielectric polar aflat într-un câmp electric de 

intensitate E , asupra momentelor electrice ale particulelor sale polare se exercită cupluri de forţe având expresia (5.6). Aşadar, momentele electrice ale particulelor (dipolii) tind să se orienteze, astfel încât energia lor potenţială (5.8) să fie minimă. Drept urmare, suma vectorială a momentelor electrice ale particulelor corpului devine nenulă şi dielectricul prezintă un moment electric rezultant nenul.

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

205

Starea de polarizare este caracterizată cu ajutorul mărimii fizice 

vectoriale numită polarizaţie electrică P . Aceasta reprezintă suma momentelor electrice elementare din unitatea de volum corpului şi este definită matematic de relaţia:  

 P  lim

  



p 

i V

i

V0

.   

V

 

 

(5.9)

 

Polarizaţia poate fi temporară sau permanentă. Polarizaţia 

temporară Pt se anulează odată cu încetarea acţiunii câmpului electric. Legea polarizaţiei temporare are următoarea expresie:   Pt   0e E ,

(5.10)

în care  0  8,85 10 12 F/m este permitivitatea absolută a vidului, iar  e este o mărime de material adimensională, numită susceptivitate electrică (mărime scalară în cazul corpurilor izotrope şi tensorială pentru cele anizotrope). 

Polarizaţia permanentă Pp reprezintă acea polarizaţie care nu se anulează odată cu câmpul electric aplicat. Polarizaţia totală a unui 





corp este P  Pp  Pt .







Din legea legăturii în câmp electric dintre E , D şi P rezultă:       D   0 E  P   0 E   0  e E  Pp         0 1   e E  Pp   0  r E  Pp  E  Pp

(5.11)

în care  r  1   e reprezintă permitivitatea relativă a corpului şi    0   r - permitivitatea absolută a acestuia. Tabelul 5.1. Valori ale permitivităţii relative pentru principalele grupe de materiale dielectrice. Materiale dielectrice Gaze Materiale nepolare Materiale polare solide Materiale polare lichide

r 1 1 3 3  15 10  100

Prof. Laurentiu Dumitran

206

MATERIALE ELECTROTEHNICE

Valoarea permitivităţii relative (respectiv a susceptivităţii electrice) depinde de structura fizico-chimică a corpurilor. Tabelul 5.1 prezintă ordinul de mărime al permitivităţii relative pentru principalele grupe de materiale. Câmpul electric care acţionează direct asupra particulelor 

corpurilor E0 (şi care, de exemplu, produce rotirea dipolilor) diferă de 





câmpul electric macroscopic E . Pentru stabilirea relaţiei între E0 şi E se consideră cazul unei particule polare dintr-un dielectric aflat într-un 

câmp electric uniform E . Valoarea intensităţii câmpului electric în punctul în care se găseşte particula (în lipsa acesteia) se obține prin medierea câmpului microscopic într-un volum infinit mic V  0 (în punctul în care se găseşte particula, câmpul electric este datorat atât 

câmpului macroscopic E , cât şi momentelor electrice dipolare corespunzătoare particulelor corpului). Ținând cont de (5.5) şi (5.9) se obţine expresia câmpului electric activ sau interior:     E0  E  P , 0

în care



(5.12)

reprezintă un coeficient ce depinde de structura

dielectricului. Pentru corpurile amorfe şi cele care prezintă simetrie structurală 



sferică   1 3 . În cazul gazelor   0 , ceea ce înseamnă că E0  E . În funcţie de structura dielectricilor, aceştia pot prezenta două mecanisme de polarizare: polarizarea de deformare (electronică şi ionică) şi de orientare. Acestor mecanisme le corespund trei clase de 



polarizaţie: polarizaţia electronică Pe , polarizaţia ionică Pi şi 

polarizaţia de orientare Po . În dielectricii neomogeni intervine şi polarizaţia de neomogenitate (sau interfacială) care reprezintă o polarizaţie suplimentară, corespunzătoare intensificării mecanismelor de polarizare ca urmare a creşterii intensităţii câmpului electric

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

207

datorate sarcinii electrice adevărate care se separă pe suprafeţele de discontinuitate dintre zonele omogene ale corpului. În cele ce urmează vor fi analizate, pe rând, mecanismele de polarizare menţionate şi, pentru fiecare dintre acestea, vor fi deduse expresiile susceptivităţii electrice, permitivităţii relative şi polarizaţiei.

5.2. Polarizaţia de deformare electronică Mecanismul de polarizare de deformare electronică constă în deformarea învelişului electronic al atomilor (ionilor) ca urmare a acţiunilor ponderomotoare exercitate de câmpul electric asupra electronilor. Prin urmare, polarizarea de deformare electronică se manifestă în toate corpurile dielectrice, chiar dacă acestea prezintă şi alte clase de polarizaţie. Există, însă, corpuri în care se manifestă numai polarizarea de deformare electronică cum sunt cristalele atomice (siliciu, germaniu), lichidele monoatomice şi gazele. În continuare se va considera un corp constituit din atomi identici şi un atom al cărui înveliş electronic este asimilat cu o sferă de

Fig. 5.2. Mecanismul de polarizare de deformare electronică.

Prof. Laurentiu Dumitran

208

MATERIALE ELECTROTEHNICE

rază R (egală cu aceea a atomului) cu centrul în punctul O (fig. 5.2). Se presupune că cei Z electroni sunt uniform distribuiţi în sfera de rază R, astfel încât, sarcina electrică a învelişului electronic –Zq0 este echivalentă cu o sarcină punctuală de aceeaşi valoare situată în punctul O. În lipsa câmpurilor electrice exterioare atomul este nedeformat. Centrul sarcinilor negative O coincide cu centrul nucleului a cărui sarcină este egală şi de semn contrar + Zq0. Dacă asimilăm nucleul cu polul pozitiv al unui dipol electric şi centrul sarcinilor negative cu 

polul negativ al acestuia, rezultă că distanţa l dintre polii dipolului echivalent este zero (fig. 5.2). Cu alte cuvinte, conform relaţiei (5.1), momentul electric al atomului nedeformat este nul. 

Dacă se introduce corpul într-un câmp electric E , electronii şi 

nucleul atomului vor fi supuşi acţiunii câmpului electric interior E0 . Astfel, sub acţiunea forţelor electrice, învelişul electronic se deformează în raport cu nucleul (fig. 5.2). Pentru simplificare se poate considera că nucleul, având o masă de aproximativ o mie de ori mai mare decât aceea a electronilor, este imobil, rămânând poziţionat în punctul O. Centrul sarcinilor negative se va deplasa în punctul O’, 

situat la distanţa l  0 faţă de O. Prin urmare, acţiunea câmpului electric deformează atomul, inducând, astfel, un moment electric   pe  Zq0  l ,

(5.13)

numit moment electric elementar. Notând cu N e concentraţia momentelor electrice elementare şi cum momentele electrice ale atomilor sunt vectori echipolenţi, polarizaţia electronică a corpului este:   Pe  pe N e .

(5.14)

Mărimea fizică scalară numită polarizabilitate electronică e (asociată unui atom), corespunzătoare mecanismului de polarizare de deformare electronică, reprezintă raportul dintre modulul momentului

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

209



electric elementar indus pe şi modulul intensităţii câmpului electric care a indus acel moment electric:  pe e   . E0

(5.15)

Expresia polarizabilităţii  e se obţine din condiţia de echilibru a 

sistemului de electroni, respectiv din condiţia ca suma dintre forţa F0 exercitată asupra învelișului electronic (sau asupra nucleului) de către 

câmpul activ E0 şi forţa de atracţie dintre nucleu şi învelişul electronic  F ' să fie nulă:

  F0  F '  0 .

(5.16)

Expresiile celor două forţe sunt:   F0   q0 Z   E0 ,   F '   q0 Z   E ' ,

(5.17) (5.18)

 în care E ' reprezintă intensitatea câmpului electric produs de învelişul  electronic în punctul O. E ' se poate calcula simplu, considerându-se

ca fiind produs de o sarcină punctuală aflată în O’ egală cu sarcina 

negativă situată în sfera de rază l (fig. 5.2):

     q0 Z l 3 l  q0 Zl pe E'     . (5.19) 40l 2 R 3 l 40 R 3 40 R 3   Din (5.16) – (5.18) rezultă că E '   E0 şi, ținând cont de (5.19) se   obţine momentul electric elementar indus pe  40 R 3  E0 . Tinând

cont de (5.15), se obţine expresia polarizabilităţii electronice:  e  40 R 3 .

(5.20)

Relaţiile (5.14) şi (5.20) conduc la următoarea expresie a polarizaţiei electronice:   Pe   e N e E0 .

(5.21)

Prof. Laurentiu Dumitran

210

MATERIALE ELECTROTEHNICE

Cum polarizaţia electronică este o polarizaţie temporară, 



respectiv Pe   0 ee E ,  cu ajutorul relaţiilor (5.21) şi (5.10) se obţine ecuaţia:      e N e  E   0  ee E    0  ee E , 0  

(5.22)

din care se obţine expresia susceptivităţii electrice corespunzătoare polarizării de deformare electronică  ee 

e Ne  0   e N e

(5.23)

şi, respectiv, expresia permitivităţii relative:  re  1   e  1 

În

cazul

 re  1   ee  1 

e Ne .  0   e N e

gazelor

pentru

(5.24) care

  0,

rezultă

e Ne . Se poate arăta că  re  n 2 , în care n reprezintă 0

indicele de refracţie a dielectricului. Polarizabilitatea electronică nu este influenţată de temperatură. Într-adevăr, la valori uzuale ale temperaturii învelişul electronic al atomilor nu se deformează, respectiv R şi  e nu variază cu temperatura (v. relaţia (5.20)). Pe de altă parte, cum în cazul lichidelor şi solidelor  şi N e sunt practic independente de temperatură, rezultă că susceptivitatea  ee şi, respectiv, permitivitatea relativă  re nu variază cu temperatura. În cazul gazelor, care suferă dilatării importante, concentraţia de momente electrice elementare scade sensibil odată cu creşterea temperaturii şi, deci,  ee şi  re scad cu temperatura.

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

211

Fig. 5.3. Mecanismul de polarizare de deformare ionică.

5.3. Polarizaţia de deformare ionică Polarizarea de deformare ionică se manifestă în corpurile cu structură ionică. În esenţă, acest mecanism constă în deformarea reţelei cristaline sub acţiunea forţelor exercitate de câmpul electric. Pentru a explica mecanismul corespunzător polarizării de deformare ionice, se vor considera în cele ce urmează, trei ioni vecini ai unui cristal ionic (fig. 5.3), având sarcinile electrice  qi şi, respectiv  qi şi aflaţi la distanţa a egală cu constanta reţelei cristaline. În lipsa câmpului electric exterior, momentele electrice  corespunzătoare celor două perechi de ioni (celor doi dipoli) p1 şi, 

respectiv, p2 (fig. 5.3) se anulează reciproc. În întregul volum al corpului, în medie, momentele electrice elementare se anulează reciproc şi, deci, momentul electric rezultant al corpului este nul, adică corpul nu este polarizat electric. 



Dacă se aplică un câmp electric exterior E , rezultă E0  0 şi 



asupra fiecăruia dintre ionii consideraţi se exercită forţa F  qi E0

Prof. Laurentiu Dumitran

212

MATERIALE ELECTROTEHNICE

  (omoparalelă cu E0 în cazul ionilor pozitivi şi antiparalelă cu E0 în

cazul ionilor negativi). Drept urmare, cei trei ioni se vor deplasa cu distanţa  în raport cu poziţiile iniţiale M, N şi P, ceea ce înseamnă că   rezultanta celor două momente electrice p1, şi p2,    pi  p1,  p2,

(5.25)

este nenulă şi, deci, momentul electric rezultant al corpului este diferit de zero. Cu alte cuvinte, sub acţiunea câmpului electric corpul se polarizează ca urmare a deformării reţelei cristaline ionice. 

Polarizaţia ionică Pi este egală cu suma momentelor electrice 

asociate perechilor de ioni pi (dipoli electrici) din unitatea de volum a corpului şi are expresia:

  Pi  N i  pi ,

(5.26)

în care N i reprezintă concentraţia de momente electrice elementare  pi .

Polarizabilitatea ionică  i este definită cu ajutorul relaţiei:  pi i   . E0

(5.27)

Presupunând că variaţia energiei potenţiale a celor doi dipoli w0 , corespunzătoare deplasărilor  ale ionilor din nodurile reţelei cristaline, este egală cu energia absorbită de la câmpul electric (pentru efectuarea acestor deplasări) wE , se poate obţine expresia matematică a polarizabilităţii  i . Înainte de efectuarea deplasărilor 

( E0  0 ),energia potenţială a celor doi dipoli (determinată cu (5.12)) este:     2  qi2 w0   p1  E2  p2  E1   , 40 a

(5.28)

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

213

  E1 şi E2 reprezentând intensităţile câmpului electric în care se găsesc

cei doi dipoli (calculate cu ajutorul relaţiei (5.8)), modulele celor două   momente electrice fiind p1  p2  qi  a . După deplasarea ionilor (deformarea reţelei), energia potenţială a celor doi dipoli devine:     q2  1 1   w0,   p1,  E2,  p2,  E1,   i  , 40  a  2 a  2    în care s-a ţinut cont că p1,  qi  a  2  şi p2,  qi  a  2  .

(5.29)

Pe baza relaţiilor de mai sus, se poate calcula variaţia energiei potenţiale: w0  w0,  w0  

qi2  1 1 2     40  a  2 a  2 a 

2q 2  2  i 3, 0 a

în care s-a ţinut cont că  2  a 2 .

(5.30)



Energia absorbită de la câmpul electric E0 , egală cu energia 



potenţială a dipolilor p1, şi p2, este:

      wE   p1,  E0  p2,  E0   pi  E0   pi E0 .

Deoarece pi  p1,,  p2,,  qi a  2   qi a  2   4qi  ,

din

(5.31) egalitatea

w0  wE rezultă:

 p  i   i  80 a 3 , E0

(5.32)

relaţie din care se observă că polarizabilitatea ionică este proporţională cu cubul constantei de reţea. Din relaţiile (5.26) şi (5.27) rezultă expresia polarizaţiei ionice:   Pi   i N i E0 .

(5.33)

Cum polarizaţia ionică este o polarizaţie temporară, din (5.33) şi (5.10) rezultă:

Prof. Laurentiu Dumitran

214

MATERIALE ELECTROTEHNICE

   Pi   0 ei  E   0  ri  1  E ,

(5.34)

în care  ei şi  ri reprezintă susceptivitatea şi, respectiv, permitivitatea relativă corespunzătoare polarizării de deformare ionică. Din relaţiile (5.33), (5.34) şi (5.12) se obţine expresia susceptivităţii ionice:  ei 

i Ni  0   i N i

(5.35)

şi, respectiv, a permitivităţii relative ionice:  ri  1   ei  1 

i Ni .  0   i N i

(5.36)

Mărimile  i ,  ei şi  ri sunt influenţate de temperatură. Astfel, odată cu creşterea temperaturii, agitaţia termică a particulelor se intensifică (legăturile chimice slăbesc), ceea ce favorizează deplasarea ionilor sub acţiunea forţelor electrostatice exercitate de câmpul  electric şi, deci, valorile momentelor electrice pi . Materialele dielectrice care prezintă polarizarea de deformare ionică, prezintă, de asemenea, şi polarizarea de deformare electronică. În general, polarizaţia electronică este însă sensibil mai mică decât polarizaţia ionică şi prin urmare  re   ri .

5.4. Polarizaţia de orientare Polarizarea de orientare se manifestă numai în corpurile alcătuite din molecule polare (cu moment electric propriu nenul). Mecanismul  de polarizare constă în rotirea momentelor electrice proprii p p ale moleculelor sub acţiunea câmpului electric.  În absenţa câmpului electric, momentele spontane p p sunt orientate haotic, datorită mişcării de agitaţie termică. Drept urmare, momentele electrice se anulează reciproc şi momentul electric rezultant al corpului este nul, acesta nefiind astfel polarizat. În prezenţa câmpului electric, momentele electrice elementare tind să se orienteze omoparalel cu câmpul astfel încât energia lor potenţială,

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

215

Fig. 5.4. Orientarea momentelor electrice elementare ale moleculelor polare în câmp electric.

(exprimată cu relaţia (5.8)), să fie minimă. Pe de altă parte, acestei tendinţe de orientare a momentelor permanente elementare în câmp electric i se opune mişcarea de agitaţie termică. Totuşi, la temperaturi  uzuale, majoritatea momentelor permanente p p fac unghiuri ascuţite 

cu câmpul electric interior E0 , ceea ce înseamnă că, practic, momentul electric rezultant este nenul şi corpul este polarizat (fig. 5.4). 5.4.1. Polarizaţia de orientare a gazelor şi lichidelor În cazul gazelor şi lichidelor, moleculele polare se pot roti uşor (cu consum redus de energie) sub acţiunea câmpului electric. Agitaţia termică se opune tendinţei de orientare a dipolilor, ceea ce însemnă că 

odată cu creşterea temperaturii polarizaţia de orientare Po scade. Polarizabilitatea de orientare  o a gazelor şi lichidelor are următoarea expresie: o 

p 2p 3kT



Co , T

în care k reprezintă constanta lui Boltzmann şi C0 

(5.37) p 2p 3k

este o

constantă de material. Rezultă că polarizabilitatea de orientare scade hiperbolic cu temperatura.

Prof. Laurentiu Dumitran

216

MATERIALE ELECTROTEHNICE







Considerând că  o  po E0 , în care po reprezintă momentul 

electric elementar echivalent indus de E0 şi ţinând cont că suma 

vectorială a momentelor po din unitatea de volum a corpului este egală cu polarizaţia de orientare, rezultă:   P0   o N o E0 ,

(5.38)

în care N o reprezintă concentraţia de momente electrice elementare (de molecule polare). Polarizaţia de orientare creşte odată cu intensitatea câmpului electric aplicat şi tinde asimptotic la valoarea de saturaţie Po sat  p p N o , corespunzătoare situaţiei când toate momentele electrice elementare 

sunt omoparalele cu E0 . Polarizaţia de orientare este o polarizaţie temporară şi, ţinând cont de (5.10), rezultă:    Po   0  eo  E   0  ro  1E ,

(5.39)

în care  eo şi  ro reprezintă susceptivitatea, respectiv, permitivitatea relativă corespunzătoare polarizării de orientare.

Fig. 5.5. Variaţia cu temperatura a permitivităţii relative a gazelor (1) şi lichidelor polare (2).

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

217

Egalând relaţiile (5.38) şi (5.39) şi ţinând cont de (5.12) în care

 P se înlocuieşte cu (5.39), rezultă: o No  eo   ro  1  .  0   o N o

(5.40)

Dacă în relaţia (5.40) se înlocuieşte polarizabilitatea de orientare cu expresia (5.37), se obţine:  eo   ro  1 

Co T N o ,  0   Co T N o

(5.41)

relaţie din care rezultă că pentru temperaturi uzuale, susceptivitatea  eo şi, respectiv, permitivitatea  ro scad hiperbolic cu temperatura. Variaţia permitivităţii  ro a gazelor polare este prezentată în figura 5.5 şi corespunde relaţiei (5.41), în care se ţine seama de faptul că, pentru gaze,   0 . La valori mici ale temperaturii, agitaţia termică este redusă şi moleculele de gaz, care se rotesc uşor datorită 

legăturilor chimice slabe, se orientează omoparalel cu E0 . În cazul lichidelor polare, variaţia permitivităţii cu temperatura  ro (T ) este diferită de cea a gazelor (mai cu seamă pentru lichidele cu viscozitate ridicată). La temperaturi reduse, lichidele sunt vâscoase, agitaţia termică este slabă şi moleculele sunt orientate mai dificil de câmpul electric. Dacă temperatura creşte dar ia valori inferioare unei valori critice Tc ,  ro creşte cu temperatura (porţiunea a a curbei din figura 5.5). Aceasta se datorează faptului că, odată cu creşterea temperaturii, energia proprie a moleculelor creşte şi acestea se rotesc mai uşor sub acţiunea câmpului electric. La T  Tc permitivitatea relativă  ro a lichidelor prezintă un maxim. Pentru T  Tc agitaţia termică devine intensă şi, la fel ca şi în cazul gazelor, permitivitatea relativă scade (porţiunea bc - figura 5.5).

Prof. Laurentiu Dumitran

218

MATERIALE ELECTROTEHNICE

Fig. 5.6. Variaţia cu temperatura a permitivității relative a solidelor polare în cazul polarizării structurale şi nestructurale.

5.4.2. Polarizaţia de orientare a solidelor În cazul solidelor, orientarea moleculelor polare de către câmpul electric se face mai dificil, datorită legăturilor chimice puternice care se manifestă între acestea. Pentru valori reduse ale temperaturii ( T  0 K), orientarea dipolilor se face foarte greu şi, de aceea, permitivitatea  ro  1 . În situaţiile în care câmpul electric produce numai rotirea părţilor polare ale moleculelor din care sunt constituite materialele, are loc o polarizare de orientare structurală. Dacă sub acţiunea câmpului electric are loc rotirea întregii molecule, atunci polarizarea de orientare este nestructurală. În figura 5.6 se prezintă variaţia cu temperatura a permitivităţii a solidelor polare  ro , atât în cazul polarizării structurale, cât şi în cazul polarizării nestructurale. Se observă că cele două curbe  ro T  prezintă trei regiuni. În cazul temperaturilor joase, moleculele polare nu pot fi orientate de câmp şi polarizaţia de orientare este nulă (porţiunea ab a curbei). Odată cu creşterea temperaturii, legăturile intermoleculare slăbesc şi pentru valori superioare temperaturii de tranziţie de fază de

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

219

ordinul al II-lea TII , moleculele încep să se orienteze după direcţia câmpului electric şi  ro creşte cu temperatura (porţiunea bc a curbei). Pentru T  Tc permitivitatea atinge valoarea maximă, după care, pentru T  Tc ,  ro scade cu temperatura datorită intensificării agitaţiei termice (porţiunea cd). Se observă că temperatura critică corespunzătoare polarizării structurale este mai mică decât aceea corespunzătoare polarizării nestructurale, deoarece, în mod evident, rotirea părţilor polare ale macromoleculei este mai uşoară decât rotirea întregii macromolecule. În general, se constată că Tc  Ttopire , trecerea în stare lichidă însemnând, practic, o reducere sensibilă a coeziunii moleculare. Pentru stabilirea expresiilor polarizaţiei de orientare a solidelor şi a polarizabilităţii  o se poate utiliza modelul lui Fröhlich în care molecula polară este asimilată cu un dipol electric având momentul

Fig. 5.7. Modelul lui Fröhlich pentru deducerea expresiei polarizaţiei de orientare a solidelor polare.

Prof. Laurentiu Dumitran

220

MATERIALE ELECTROTEHNICE

 p p şi a cărei rotire (în câmp) este asimilată cu trecerea ionului pozitiv

dintr-un punct A într-un alt punct B (ionul negativ fiind presupus imobil) – (fig. 5.7). Se consideră că, datorită anizotropiei cristaline, molecula considerată poate ocupa numai poziţiile OA şi OB (în lungul axei Ox). Se precizează că acest model este valabil numai pentru T  Tc , atât timp cât corpul se află încă în stare solidă cristalină (prezintă anizotropie cristalină). Cum rotirea moleculei polare constă în saltul ionului pozitiv din punctul A în punctul B, rezultă că aceasta este echivalentă, din punct de vedere energetic, cu escaladarea de către ionul pozitiv a barierei wb corespunzătoare curbei de variaţie a energiei potenţiale U x  a moleculei.



În prezenţa unui câmp electric E0 care face unghiul  cu axa Ox (fig. 5.7), energia moleculei se modifică. Astfel, în poziţia OA energia 



potenţială are valoarea U 0  p p  E0 , în timp ce în poziţia OB aceasta 







este U 0  p p  E0 , în care p p  E0  p p E0 cos  . Probabilitatea ca ionul pozitiv să escaladeze o barieră de potenţial este dată de statistica Maxwell-Boltzmann (v. § 4.5.3). Conform relaţiei (4.133), concentraţiile de molecule aflate în poziţia OA, respectiv OB sunt:  U  p p E0 cos     N o'  expd  N OA  C  exp  0 kT    U  p p E0 cos     N o'  exp d , N OB  C  exp  0 kT  

în care d 

p p E0 cos  kT

(5.42)

 U0  .  kT 

şi N o'  C  exp 

Din (5.42) rezultă că N OA  N OB , ceea ce înseamnă că există un exces de molecule orientate în sensul axei Ox (ale căror momente

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

221

 electrice fac unghiuri ascuţite cu E0 ), astfel încât momentul electric

rezultant al corpului este nenul şi, deci, corpul este polarizat. Cu relaţiile (5.42) se poate calcula componenta după direcţia câmpului electric interior

 E0

a momentul electric mediu al

moleculelor din unitatea de volum a corpului: N p cos   N OB p p cos  ~ p p E0  OA p N OA  N OB

expd   exp d   p p cos    p p cos   th(d ), expd   exp d 

(5.43)

în care, pentru valori uzuale ale temperaturii şi câmpului electric, d

p p E0 cos  kT



1,6  10 28  105  3,9  10 3  1 , respectiv th d   d . 1,38  10 23  300

Rezultă: p 2p cos 2  2 ~  p p E0  p p cos   th( d )  E0 kT

(5.44)

şi polarizaţia de orientare:

Po  N o  ~ p p E0  N o p p cos   th( d ) ,

(5.45)

 p 2 cos 2   Po  N o p E0 . kT

(5.46)

respectiv:

Din relaţia (5.44) se obţine expresia polarizabilităţii de orientare pentru solidele polare: o 

p 2p cos 2  kT



Co ' , T

(5.47)

în care Co '  p 2p cos 2  k . La fel ca în cazul gazelor şi lichidelor polare, se obţin expresiile susceptivității şi permitivităţii relative corespunzătoare polarizării de orientare:  eo   ro  1 

 

 

N 0 C0' T o No  ,  0   o N o  0   C0' T N o

(5.48)

Prof. Laurentiu Dumitran

222

MATERIALE ELECTROTEHNICE

 ro  1 

o No .  0   o N o

(5.49)

5.5. Polarizaţia de neomogenitate 

Polarizaţia de neomogenitate Pn nu corespunde unui mecanism de polarizare diferit de cele prezentate anterior, ci este o polarizaţie suplimentară care se manifestă numai în corpurile neomogene şi care este datorată sarcinii electrice adevărate care se separă pe suprafeţele de discontinuitate dintre regiunile omogene. Datorită acestei sarcini, câmpul electric în interiorul corpului se intensifică şi mecanismele de polarizare prezentate mai sus (de deformare şi/sau de orientare) sunt favorizate. Prin urmare, polarizaţia de neomogenitate este polarizaţia suplimentară rezultată prin creşterea, după caz, a polarizaţiei de deformare electronică şi/sau ionică sau a polarizaţiei de orientare. Polarizaţia de neomogenitate reprezintă diferenţa dintre polarizaţia totală a unui corp după separarea sarcinii electrice pe 

suprafeţele de discontinuitate P şi polarizaţia înainte de separarea 

sarcinii electrice P0 :

Fig. 5.8. Separarea sarcinii la interfaţa dintre două regiuni omogene ale unui dielectric omogen aflat în câmp electric.

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

223

   Pn  P  P0 .

(5.50)

Condiţia de existenţă a polarizaţiei de neomogenitate într-un dielectric neomogen este aceea ca pe suprafeţele de discontinuitate să se separe sarcină electrică adevărată. În continuare se va deduce această condiţie în cazul simplu al unui dielectric alcătuit din două regiuni omogene, plasat într-un câmp electric produs de doi electrozi plani (fig. 5.8). Considerând regimul staţionar al câmpului electric, dacă mobilitatea purtătorilor de sarcină (ionilor) este diferită în cele 

două regiuni (1 şi 2), atunci, sub acţiunea câmpului electric E , pe suprafaţa de discontinuitate de arie S se separă sarcina electrică qS . Presupunând că sarcina qS este uniform repartizată şi notând cu  S densitatea de suprafaţă a acesteia, rezultă că qS   S  S . Legea fluxului electric scrisă pe suprafaţa de trecere S este:





    (5.51) divsD  n12  2 E2  1 E1   2 En 2  1 En1   S ,    în care D reprezintă inducţia electrică, E1 şi E2 - intensităţile

câmpului electric în cele două regiuni, En1 şi En 2 - componentele intensităţii câmpului electric pe direcţia normală la suprafaţa S , 1 şi, respectiv  2 - permitivităţile regiunilor 1 şi 2. În regim staţionar, legea conservării sarcinii electrice, scrisă pe suprafaţa de discontinuitate, este:





    (5.52) divsJ  n12 J 2  J1  J n 2  J n1  0 ,   în care J1 şi J 2 reprezintă densitatea curentului electric în regiunea 1

şi, respectiv, în regiunea 2. Prin urmare, componenta densităţii de curent după direcţia normală la suprafaţa de discontinuitate se conservă, respectiv J n1  J n 2  J n . Scriind legea conducţiei în cele două regiuni ale dielectricului: J n1  1 En1 J n1  1 En1 ,

(5.53)

Prof. Laurentiu Dumitran

224

MATERIALE ELECTROTEHNICE

în care 1 şi  2 reprezintă conductivităţile electrice aferente celor două regiuni ale dielectricului şi ținând cont de (5.51) şi (5.52), rezultă: S  2

   J n2 J  1 n1  J n  2  1  . 2 1   2 1 

(5.54)

Deoarece J n  0 , rezultă că densitatea de suprafaţă a sarcinii acumulate pe S este nenulă (  S  0 ) dacă este satisfăcută condiţia: 1  2  . 1  2

(5.55)

Relaţia (5.55) se mai poate scrie şi sub forma 1   2 , în care 1  1 1 şi  2   2  2 reprezintă duratele de relaxare ale purtătorilor

de sarcină electrică în cele două regiuni omogene şi care caracterizează variaţia locală a sarcinii produse de variaţia câmpului electric (a tensiunii aplicate între electrozi). De exemplu, la suprimarea bruscă a câmpului electric exterior, densitatea de sarcină se anulează după câteva durate de relaxare, ionii difuzând în cei doi dielectrici. Cu cât durata de relaxare este mai mică, cu atât variaţia sarcinii electrice este mai rapidă. Deoarece constanta de difuzie a ionilor D este proporţională cu mobilitatea acestora (v. relaţia (4.130), conform relaţiei (4.129), atunci când mobilitatea purtătorilor de sarcină creşte, conductivitatea creşte şi durata de relaxarea scade. Sarcina electrică separată pe suprafaţa S produce câmpul electric 

suplimentar Es (care se suprapune peste acela produs de cei doi 

electrozi), determinând astfel apariţia polarizaţiei suplimentare Pn definită mai sus.

5.6. Polarizarea dielectricilor în câmpuri electrice armonice În general, în aplicaţiile practice, dielectricii sunt supuși acţiunii câmpurilor electrice variabile în timp şi, cel mai adesea, câmpurilor

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

225

electrice armonice E t   Em sin ωt , în care   2f reprezintă pulsaţia şi f - frecvenţa. În acest caz, ţinând cont de legea legăturii (5.11), 



rezultă că, atât inducţia electrică D , cât şi polarizaţia P , sunt mărimi variabile (armonice): Dt   Dm sin(ωt  1 )

Pt   Pm sin(ωt  2 ),

(5.56)

defazate în urma intensităţii câmpului electric cu unghiurile de defazaj 1 şi, respectiv,  2 . Reprezentând în complex simplificat mărimile armonice E, D şi P şi ţinând cont de legea polarizaţiei temporare (5.10), rezultă: P t  0 e E , (5.57) respectiv D  0 r E .

(5.58)

Rezultă că susceptivitatea electrică e , permitivitatea  şi permitivitatea relativă  r sunt mărimi complexe: χe 

P , ε0 E

ε r  1  χ e  ε 'r  jε 'r' , '

''

ε  ε  jε .

(5.59) (5.60)

Partea reală a permitivităţii relative  'r are aceeaşi semnificaţie fizică ca mărimea  r în câmpuri electrice invariabile în timp, fiind permitivitatea relativă care intervine în calculul capacităţii condensatoarelor. Partea imaginară  'r' caracterizează pierderile dielectrice prin polarizare care se produc în dielectrici. În dielectricii supuşi acţiunii câmpurilor electrice variabile în timp, se produc anumite fenomene specifice care conduc la variaţii ale mărimilor  'r şi  'r' cu frecvenţa câmpului electric aplicat. Astfel, în câmpuri electrice cu frecvenţe de 1013 – 1015 Hz se produc fenomene

Prof. Laurentiu Dumitran

226

MATERIALE ELECTROTEHNICE

de rezonanţă datorită deplasării sarcinilor electrice (electroni şi ioni) sub acţiunea câmpului electric. Acestea determină variaţii bruşte ale permitivităţilor corespunzătoare polarizărilor de deformare (electronică şi ionică) şi chiar anularea sau schimbarea semnului acesteia. La frecvenţe de 107 – 109 Hz apar fenomene de relaxare datorate oscilaţiilor dipolilor electrici, care determină scăderea permitivităţii relative  'r corespunzătoare polarizării de orientare.

Fig. 5.9. Variaţia componentelor  'r şi  'r' în funcţie de frecvenţa câmpului electric.

De asemenea, în cazul frecvenţelor industriale au loc anumite fenomene care influenţează valorile permitivităţii, printre care cel mai important este cel de relaxare a sarcinii spaţiale. În figura 5.9 se observă că pentru valori ale frecvenţei depărtate de f 0 n , f 0o , f 0i , şi f 0e , componentele permitivităţii complexe  'r şi  'r' nu prezintă variaţii

semnificative. Mai mult, atunci când frecvenţa câmpului electric creşte peste o anumită valoare, numită frecvenţă proprie, dipolii

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

227

caracteristici unei anumite clase de polarizaţie nu pot să mai urmărească variaţia rapidă a câmpului electric, orientarea lor devenind aleatoare şi, prin urmare, polarizaţia corespunzătoare nulă. De aceea, polarizaţia de neomogenitate se manifestă până la frecvenţe de ordinul f 0 n  106 Hz, polarizaţia de orientare până la frecvenţe din spectrul radio f 0o  109 Hz, polarizaţia de deformare ionică până la frecvenţe din spectrul infraroşu f 0i  1014 Hz şi polarizaţia de deformare electronică până la frecvenţe din spectrul optic f 0 e  1015 Hz. Pentru f  1015 Hz, materialele dielectrice nu se mai polarizează electric. 5.6.1. Polarizaţia de deformare în câmpuri electrice armonice În câmpuri electrice armonice deplasările învelişurilor electronice ale atomilor (în cazul polarizării de deformare electronică) precum şi ale ionilor care alcătuiesc cristalele ionice (în cazul polarizării de deformare ionică) sunt, de asemenea, procese armonice. Obţinerea expresiilor matematice ale polarizaţiei de deformare electronică şi, respectiv, ionică, precum şi ale mărimilor  'r şi  'r' se poate face considerând că electronii, respectiv ionii, oscilează în jurul unor poziţii fixe şi că aceste mişcări pot fi asimilate cu acelea ale unor oscilatori armonici liniari. Se consideră cazul polarizaţiei de deformare electronică. Sub 



acţiunea forţei electrice Fe  q0 E0 mişcarea de oscilaţie a unui electron în jurul nucleului, după direcţia Ox a câmpului electric 

interior E0 , este descrisă de ecuaţia: m0

d 2x  q0 E0 t   F f  Fk , dt 2

(5.61)

în care x reprezintă deplasarea electronului având masa m0 şi sarcina 

q0, Fk  k  m0 este modulul componentei pe direcţia câmpului a forţei cvasielastică care tinde să readucă electronul în poziţia iniţială ( k este

Prof. Laurentiu Dumitran

228

MATERIALE ELECTROTEHNICE

o constantă de material) şi Ff - modulul forţei de frânare a electronului prin care se ţine seama de faptul că electronul aflat în mişcare radiază energie electromagnetică şi, prin urmare, energia lui scade. Expresia modulului forţei de frânare este de forma: Ff  

dx , dt

(5.62)

în care  reprezintă o constantă a cărei valoare depinde de structura dielectricului. Dacă se notează cu N concentraţia de atomi ai corpului în care s

a stabilit câmpul electric E0 şi se ţine cont de (5.10) şi (5.12), înmulţind ecuaţia (5.61) cu ( Nq0 Z ) şi trecând-o în complex simplificat, se obţine: ω2  Nq0 Zx   

Nq0 2 Z 1  γε 0  1E  k Nq0 Zx   m0 m0

(5.63)

 jω   m0    Nq0 Zx ,

în care Z este numărul de electroni ai unui atom (numărul de ordine). Deoarece x reprezintă deplasarea centrului norului electronic faţă de nucleu, produsul Zq0 x reprezintă momentul electric elementar echivalent indus unui atom şi P e  Nq0 Z x este polarizaţia electronică complexă. Din (5.63) rezultă: Pe 

q02 NZ 1 E,  2 ' 2 m0 0    j m0 

(5.64)

în care s-a făcut notaţia '0  k ' m0  cu k '  k  N q02  0 . Din legea polarizaţiei temporare (5.57) rezultă:  ee   re  1   're  j 're'  1 

Pe 0 E

Nq02 Z 1   2 m0 ε 0 ω'0  ω 2  j m0 

(5.65)

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

229

respectiv: 2

ε 're  1 

ω'0  ω 2 Nq02 Z  m0 ε 0 ω' 2  ω 2 2  ω 2  m 2 0 0





(5.66)

şi 2

ε 're' 

ω'0  ω 2 Nq02 Z .  m0 ε 0 ω' 2  ω 2 2  ω 2  m 2 0 0





(5.67)

În cazul polarizaţiei de deformare ionică, ecuaţia (5.61) descrie mişcarea de oscilaţie a unui ion. Evident, mărimile  , k şi '0 au valori diferite, dar expresiile polarizației P i şi ale mărimilor  'ri şi  'ri' sunt similare celor corespunzătoare polarizaţiei electronice (relaţiile (5.64), (5.66) şi (5.67)): qi2 N i 1  2 Pi  E, ' 2 mi 0    j mi 

(5.68)

Fig. 5.10. Variaţia mărimilor  'r şi  'r' în funcţie de pulsaţia câmpului electric în cazul polarizaţiilor de deformare electronică (ionică).

Prof. Laurentiu Dumitran

230

MATERIALE ELECTROTEHNICE 2

N q2 ω'0  ω 2 ε 1 i i  mi ε 0 ω' 2  ω 2 2  ω 2  m 2 i 0 ' ri





(5.69)

şi, respectiv: 2

N q2 ω'0  ω 2 , ε  i i  mi ε 0 ω' 2  ω 2 2  ω 2  m 2 i 0 '' ri





(5.70)

în care N i este concentraţia de perechi de ioni şi qi - sarcina unui ion. Mărimea ω 0 ' se numeşte pulsaţie proprie sau pulsaţie de rezonanţă şi este practic egală cu pulsaţia proprie de oscilaţie a electronilor (sau a ionilor, în cazul polarizaţiei de deformare ionică). Pentru câmpuri electrice invariabile în timp ( = 0), rezultă  'r 0 care reprezintă valoarea statică a permitivităţii relative  r st (permitivitatea care intervine în calculul capacităţii condensatoarelor): 2

ε re st  1 

Nq0 Z , m0 ε 0

(5.71)

în cazul polarizaţiei de deformare electronică şi 2

ε ri st  1 

N i qi , mi ε 0

(5.72)

în cazul polarizaţiei de deformare ionică. În figura 5.10 se prezintă curbele de variaţie  'r  şi  'r'  care arată că numai pentru valori ale pulsaţiei câmpului electric situate în imediata vecinătate a pulsaţiei proprii '0 , partea reală  'r şi, respectiv, partea imaginară  'r' a permitivităţii complexe  r prezintă variaţii importante. De asemenea, se observă că, pentru valori mari ale pulsaţiei,  'r  0 , ceea ce înseamnă că, în acest caz, polarizaţia (electronică şi/sau ionică) se anulează (deoarece la frecvenţe foarte înalte electronii şi ionii nu mai pot urmării oscilaţiile câmpului electric).

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

231

5.6.2. Polarizaţia de orientare în câmpuri electrice armonice În general, pentru caracterizarea polarizării de orientare în câmpuri electrice armonice este utilizat modelul Pellat-Debye, în care se consideră că orientarea dipolilor este un proces pur vâscos (în care, deci, nu intervin forţe elastice). Prin urmare, ecuaţia de mişcare a unei molecule polare aflate într-un câmp electric armonic poate fi caracterizată cu ajutorul unei ecuaţii asemănătoare cu (5.61) din care 

lipseşte forţa elastică Fk . Astfel, notând cu mm şi qm masa şi respectiv sarcina unei molecule polare, rezultă ecuaţia diferenţială:   dv t  qm E0     v t  . dt mm mm

(5.73)

Soluţia ecuaţiei (5.73) este vt   const.  exp t  şi arată că viteza moleculei creşte exponenţial în timp până la atingerea unei valori maxime qm E0  , cu constanta de timp   mm  . Prin analogie, în modelul Pellat-Debye se consideră că 

polarizaţia de orientare este o funcţie de timp P0 t  şi că tinde la o 

valoare de echilibru Poe , cu o viteză proporţională cu diferenţa   Po e  Po t  . Conform acestei ipoteze, rezultă ecuaţia:    dPo t   C Poe  Po t  , dt





(5.74)

care are soluţia

  Po t   Poe 1  exp C  t ,

(5.75)

în care C reprezintă inversul constantei de timp C  1    mm . Fie un dielectric polar supus acţiunii unui câmp electric invariabil în timp (static). Dipolii electrici se orientează după direcţia câmpului electric, permitivitatea relativă şi polarizaţia având valorile rs, respectiv Ps . În cazul unui câmp electric armonic de frecvenţă foarte înaltă ( f  1010 Hz), moleculele polare nu mai pot urmări

Prof. Laurentiu Dumitran

232

MATERIALE ELECTROTEHNICE

variaţia câmpului şi contribuţia mecanismului de polarizare de orientare este neglijabilă. În acest caz numai polarizaţiile de deformare electronică, respectiv ionică intervin, acestea prezentând răspunsuri foarte rapide la acţiunea câmpului electric. În consecinţă, 

permitivitatea relativă şi polarizaţia iau valorile  r , respectiv P . Dacă se aplică un câmp electric treaptă dielectricului (polar), polarizaţia totală este:         P  Po  Pi  Pe  Po  Pdef  Po  P ,

(5.76) 



din care, utilizând legea polarizaţiei temporare (respectiv Ps   0 es E 



şi P   0e E ), rezultă:

  Po  ε 0 ε rs  ε  E .

(5.77)

În cazul aplicării unui câmp electric armonic sinusoidal polarizaţia corpului este o mărime complexă, respectiv: P  Po  P . (5.78) Din (5.77) şi (5.74), trecând în complex simplificat, rezultă: Po 

ε 0 ε rs  ε r  E. 1  jωτ

(5.79)

Din legea legăturii D  ε 0 E  P şi (5.78) rezultă relaţia: ε 0 ε rs  ε r  E 1  jωτ  ε 0 ε r  1E ,

D  ε0 E 

(5.80)

şi, apoi, expresia permitivităţii relative complexe corespunzătoare polarizării de orientare: ε ro  ε'ro  jε 'ro 

D ε ε  ε r  rs r , 0 E 1  jω

(5.81)

numită şi relaţia lui Debye. Din (5.81) se obţin partea reală: ε'ro  ε r 

ε rs  ε r 1  ω2 τ 2

şi, respectiv, imaginară

(5.82)

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

ε''ro 

ε rs  ε r ωτ

1  ω2 τ 2 a permitivităţii complexe  ro .

233

(5.83)

Se menţionează faptul că modelul Pellat – Debye, care presupune că orientarea moleculelor polare este un proces vâscos, se aplică, mai cu seamă, în cazul polarizării lichidelor polare. Aplicarea sa pentru dielectricii solizi implică utilizarea unui spectru de valori ale duratei de relaxare . Pe baza relaţiilor (5.82) şi (5.83) pot fi trasate curbele de variaţie ale componentelor permitivității complexe  ro cu pulsaţia câmpului electric (fig. 5.11). Se constată că, pentru    , partea reală a permitivităţii relative  'ro ia valoarea  r  1 . De asemenea, se constată că  'ro' prezintă un maxim pentru pulsaţia de rezonanţă '0  1  .

Fig. 5.11. Variaţia componentelor permitivităţii relative complexe  ro cu pulsaţia câmpului electric.

Prof. Laurentiu Dumitran

234

MATERIALE ELECTROTEHNICE

Fig. 5.12. Diagrama Cole-Cole pentru un dielectric solid polar.

Pe de altă parte, din relaţiile (5.82) şi (5.83) se poate obţine dependenţa  'ro'  'ro  numită diagrama Cole-Cole. Astfel, ridicând la pătrat expresiile (5.82) şi (5.83) şi adunându-le, rezultă:

ε

' ro



2

2

 ε r  ε 'ro' 

ε rs  ε r 2 .

(5.84)

1  ω2 τ 2

Înlocuind 1  2  2 din (5.82) în (5.84), se obţine: ε 'ro  ε rs  ε r ε 'ro  ε rs ε r  ε 'ro'  0 , 2

2

2

din care rezultă că dependenţa   '' ro

' ro

(5.85)

 este un semicerc cu centrul în

punctul C de coordonate  r   rs  2 şi  r   rs  2 (reprezentat în figura 5.12). Experimental se constată că dielectricii solizi polari sunt caracterizaţi prin spectre ale duratelor de relaxare . De aceea, pentru permitivitatea relativă complexă se utilizează expresia: ε ro  ε 'ro  jε 'ro'  ε r 

ε rs  ε r , 1  jωτ m 1-α

(5.86)

în care m este durata de relaxare medie şi (0, 1) - o constantă de material.

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

235

Fig. 5.13. Modelul Maxwell – Wagner utilizat pentru studiul polarizaţiei de neomogenitate în câmpuri electrice armonice.

5.6.3. Polarizaţia de neomogenitate în câmpuri electrice armonice În cazul dielectricilor neomogeni situaţi în câmpuri electrice armonice se produce fenomenul de relaxare a sarcinii electrice adevărate separate pe suprafeţele de discontinuitate. Dacă se consideră cazul simplificat al unui dielectric neomogen alcătuit din n straturi omogene, aflat între doi electrozi metalici, la aplicarea unei tensiuni treaptă în circuit apare un curent electric a cărui valoarea, în primele momente, corespunde încărcării celor n condensatoare înseriate, valoarea sa fiind determinată de capacităţile (permitivităţile) celor n straturi. În regim permanent, valoarea curentului din circuit depinde de valorile conductivităţii electrice ale straturilor. Prin urmare, între curentul capacitiv, stabilit iniţial în sistemul de izolaţie, şi cel rezistiv, corespunzător regimului staţionar, se produce fenomenul de relaxare a sarcinii amintit anterior. Modelul Maxwell-Wagner este un model simplu care permite analiza fenomenului de relaxare a sarcinii şi, deci, studiul polarizaţiei de neomogenitate în câmpuri armonice. Acesta consideră cazul unui dielectric alcătuit din două straturi omogene (1 şi 2) cu grosimile d1 şi

Prof. Laurentiu Dumitran

236

MATERIALE ELECTROTEHNICE

d2 şi permitivităţile 1, şi 2, respectiv conductivitățile 1 şi 2 (fig. 5.13 a ) cărora le corespund două condensatoare reale conectate în serie cu parametrii R1  C1 şi, respectiv R2  C2 . Pentru simplificare se presupune că aria comună a celor două armături ale condensatorului considerat este egală cu unitatea. Rezultă că mărimile care intervin în schema echivalentă din figura 5.13 b sunt: R1 = d1/1, R2 = d2/2, C1 = 1/d1 şi C2 = 2/d2. Dacă constantele de timp ale celor două condensatoare 1 = R1C1 şi 2 = R2C2 (care reprezintă şi duratele de relaxare ale sarcinii în cele două izolatoare 1 = 1/1, respectiv 2 = 2/2) sunt egale, pe suprafaţa de separaţie dintre cele două straturi nu se acumulează sarcină electrică. Dacă între cei doi electrozi metalici se aplică o tensiune armonică cu pulsaţia , admitanţa circuitului echivalent al primului strat este: Y1 

σ1 ε  jω 1 , d1 d1

(5.87)

şi poate fi echivalată cu admitanţa unui condensator de capacitate complexă C 1  ε 1 / d1 a cărui admitanţă Y 1e  jωC 1 este egală cu Y 1 . Rezultă: σ1 ε ε  jω 1  jω 1 , d1 d1 d1

(5.88)

relaţie din care se poate exprima permitivitatea complexă 1 : ε1 

1  jωτ1 ε1 . jωτ1

(5.89)

O relație asemănătoare cu (5.89) se obţine şi în cazul permitivităţii complexe ε 2 . Schema echivalentă prezentată în figura 5.13 b poate fi înlocuită cu o capacitate complexă echivalentă C corespunzătoare capacităţilor C 1 respectiv C 2 care sunt conectate în serie. Cum capacitatea C  ε / d (în care d = d1 + d2), se obţine:

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

237

d jωτ1 d1 jωτ 2 d 2     , ε 1  jωτ1 ε1 1  jωτ 2 ε 2

(5.90)

din care rezultă: ε ω  ε  

ε s  ε ε j 0 , 1  jωτ ωτ 0

(5.91) 2

în care s-au utilizat notaţiile: ε   τ

2

d ε σ  d 2 ε 2 σ1 d1ε1ε 2 , εs  d 1 1 2 , ε1d 2  ε 2 d1 d 2 σ1  d1σ 2 2

d1ε 2  d 2ε1 ε σ d σ d şi τ 0  0 1 2 2 1 . d 2σ1  d1σ 2 σ1σ 2 d

În membrul drept al expresiei (5.91) ultimul termen corespunde fenomenului de conducţie electrică în cele două straturi (se observă că 0 depinde de valorile conductivităţii şi grosimile celor două straturi omogene). În cazul în care constantele de timp ale componentelor sistemului de izolaţie 1 şi 2 sunt egale, relaţia (5.91) capătă forma: εω 

ε dε1ε 2  j 0  ' j' ' . ε1d 2  ε 2 d1 ωτ 0

(5.92)

Se observă că partea reală a permitivităţii complexe este independentă de frecvenţa câmpului electric în timp coeficientul părţii imaginare  '' variază invers proporţional cu aceasta. În cazul în care unul dintre cele două straturi prezintă o rezistivitate foarte mare (de exemplu, 1  0), 0   , ceea ce conduce, (în acord cu relaţia (5.91)) la anularea părţii imaginare  '' .

5.7. Pierderi în materiale dielectrice În materialele dielectrice supuse acţiunii câmpului electric staţionar sau variabil în timp se produc pierderi de energie (pierderi dielectrice), ceea ce înseamnă că o parte din energia câmpului electric este transformată în alte forme de energie (de exemplu, căldură). Cum fenomenele în urma cărora se produc aceste pierderi sunt conducţia şi polarizarea electrică, pierderile dielectrice au două componente:

Prof. Laurentiu Dumitran

238

MATERIALE ELECTROTEHNICE

pierderile prin conducţie electrică Pc (datorate efectului Joule-Lentz şi care se produc în câmpuri electrice staţionare şi variabile în timp) şi pierderi prin polarizare (sau histerezis dielectric) Ph (care se produc numai în câmpuri electrice variabile în timp). În cazul pierderilor prin conducţie, fracţiunea din energia câmpului electric cedată dielectricului (disipată) este aceea transferată în urma ciocnirilor dintre purtătorii de sarcină (acceleraţi de câmp) şi particulele constitutive ale corpului. În cazul pierderilor prin polarizare, absorbţia de energie are loc la formarea dipolilor (în cazul polarizării de deformare) şi orientarea acestora în câmpul armonic. De exemplu, în cazul unui dielectric polar aflat într-un câmp electric armonic, moleculele polare tind să-şi modifice orientarea după fiecare semiperioadă (la schimbarea sensului câmpului), oscilând astfel în jurul unor poziţii fixe. Cum, nici formarea dipolilor şi nici orientarea acestora în câmp 

nu sunt fenomene instantanee, polarizaţia P este defazată (întârziată) 

în urma intensităţii câmpului electric E , fenomen numit post-efect electric sau histerezis electric. 5.7.1. Pierderi prin polarizare electrică Se consideră un dielectric liniar şi omogen având permitivitatea relativă  r şi conductivitatea  aflat în repaus. La aplicarea unui câmp electric armonic sinusoidal E t   Em sin t , datorită postefectului electric, polarizaţia este defazată în urmă cu unghiul  h numit unghi de pierderi dielectrice prin polarizare sau prin histerezis dielectric. Din legea legăturii (5.11), rezultă că şi inducţia electrică este defazată în urma intensităţii câmpului cu acelaşi unghi Dt   Dm sin t   h  .

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

239

Fig. 5.14. Dependenţa DE  datorată fenomenului de histerezis dielectic.  

Expresii E t  şi Dt  reprezintă ecuaţiile parametrice ale elipsei DE  , reprezentate în figura 5.14. Aria Ah   EdD a acestei elipse h

este proporţională cu pierderile prin histerezis dielectric. Reprezentând în complex mărimile E t  şi Dt  , rezultă: E  Eef 

Em , 2

D  Def exp j h   

Dm exp j h  2

(5.93)

Dm cos  h  j sin  h , 2

din care se obţine expresia permitivităţii relative complexe: 

D Dm cos  h  j sin  h   E Em

  m cos  h  j sin  h     j , '

(5.94)

''

unde s-a folosit notaţia  m  Dm Em . Componentele permitivităţii complexe au expresiile:  '   0   'r   m cos  h  ''   0   'r'   m sin  h ,

(5.95)

Prof. Laurentiu Dumitran

240

MATERIALE ELECTROTEHNICE

din care rezultă expresia factorului de pierderi prin histerezis dielectric: tg h 

sin  h  ''  'r'   , cos  h  '  'r

(5.96)

Puterea aparentă complexă din unitatea de volum a dielectricului se defineşte cu relaţia: *

s h  E  J D  ph  j  qh ,

(5.97)

în care J D este reprezentarea în complex a densităţii curentului de deplasare

  J D  dD dt ,

ph

reprezintă pierderile prin histerezis

dielectric din unitatea de timp şi de volum şi qh - valoarea maximă a vitezei de variaţie a energiei câmpului electric în unitatea de volum a dielectricului (densitatea de volum a puterii reactive). Deoarece J D *   jD *   j E * , puterea aparentă complexă corespunzătoare dielectricului este:

 



s h  E   j E   E  j  '  j '' E  ph  j  qh , *

(5.98)

din care rezultă expresiile densităţii de volum a puterii active, disipate în dielectric prin histerezis electric (pierderile specifice prin histerezis): ph   0  'r' Eef2 (5.99) şi densitatea de volum a puterii reactive: qh   0  'r Eef2 .

(5.100)

Din (5.23) rezultă, deci, că densitatea de volum a pierderilor prin histerezis ph depinde de componenta imaginară a permitivităţii complexe. 5.7.2. Pierderi prin conducţie electrică Expresia pierderilor prin conducţie din unitatea de volum a dielectricului pc se obţine pe baza legii transformării energiei în conductoare:

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

241

  pc  J  E ,

(5.101)

 în care J reprezintă densitatea curentului electric de conducţie   ( J  E )

Puterea aparentă complexă din unitatea de volum este: *

*

s c  E  J   E  E  Eef2  pc  jqc ,

(5.102)

din care rezultă expresia pierderilor dielectrice specifice prin conducţie electrică: pc  Eef2 (5.103) şi densitatea de volum a puterii reactive: qc  0.

(5.104)

5.7.3. Pierderi dielectrice totale Pierderile totale produse în unitatea de timp şi de volum a dielectricului prin conducţie şi, respectiv, prin histerezis dielectric se obţin prin însumarea relațiilor (5.99) şi (5.103). Rezultă:





p  ph  pc   0  'r' Eef2  Eef2   0  'r'   Eef2     0  'r  tg h   Eef2   0  'r  tg h   0  'r   tg h  tg c Eef2   0  'r tg  Eef2 ,



în care tg c 



 2  Eef 

(5.105)

 se numeşte factor de pierderi prin conducţie,  0  'r

tg  tg h  tg c  se numeşte factor de pierderi dielectrice şi  este

unghiul de pierderi. Densitatea de volum a puterii reactive totale q este: q  qh  qc   0 'r Eef2 .

(5.106)

Din (5.105) şi (5.106) rezultă expresia factorului de pierderi dielectrice: tg 

p . q

(5.107)

Prof. Laurentiu Dumitran

242

MATERIALE ELECTROTEHNICE

În cazul unui condensator plan având capacitatea C , distanţa dintre armături d şi aria armăturilor A , la bornele căruia se aplică tensiunea U t   U m sin t , puterile activă şi reactivă absorbite sunt: P  p  A  d  CU 2 tg, Q  q  A  d  CU 2 ,

(5.108)

în care s-a ţinut seama că U  Eef  d şi C   0 'r  A / d  . Din (5.108) rezultă că factorul de pierderi dielectrice este tg  P Q şi, cum tangenta unghiului de defazaj  dintre tensiunea aplicată şi curentul absorbit de condensator este tg  Q P , rezultă că unghiul de pierderi dielectrice reprezintă complementul defazajului dintre tensiunea aplicată şi curentul absorbit de condensator. Factorul de pierderi dielectrice variază cu frecvenţa câmpului electric. Aceasta se datorează variaţiilor componentelor tg h  şi tg c  , care depind de  'r şi, respectiv,  'r' şi care sunt funcţii de

pulsaţie aşa cum se observă în expresiile (5.66), (5.67), (5.69), (5.70), (5.82) şi (5.83).

Fig. 5.15. Variaţia factorului de pierderi dielectrice tg cu pulsaţia câmpului electric.

Prof. Laurentiu Dumitran

5. Polarizarea electrică

243

În figura 5.15 se prezintă variaţiile mărimilor tg h , tgc şi tg în funcţie de pulsaţia câmpului electric. Se observă că, la valori mici ale lui  pierderile prin conducţie electrică sunt preponderente, cele prin conducţie fiind neglijabile. În schimb, în jurul pulsaţiei de rezonanţă '0 , pierderile prin histerezis dielectric sunt mari, iar cele prin conducţie iau valori reduse. De aceea, în cazul dielectricilor nepolari, care prezintă numai polarizaţie de deformare (electronică şi ionică) pentru care '0  1013 Hz, la frecvenţe industriale şi radio, pierderile prin histerezis dielectric sunt extrem de reduse. Ținând cont că în cazul acestor materiale conductivitatea electrică este extrem de mică (uzual   10 10 S/m), rezultă că pierderile dielectrice totale sunt neglijabile. Nu acelaşi lucru se poate afirma în cazul dielectricilor polari şi/sau neomogeni pentru care pierderile dielectrice la frecvenţe industriale şi, mai ales, la frecvenţe radio pot lua valori importante. 5.7.4. Scheme echivalente ale condensatoarelor După cum s-a arătat mia sus, în dielectricii reali se produc pierderi de energie. De aceea, un condensator real poate fi reprezentat printr-o schemă echivalentă care conţine cel puţin un element de circuit (un rezistor) la nivelul căruia are loc o disipare de energie. În general, se folosesc scheme echivalente simplificate alcătuite din condensatoare ideale (fără pierderi) şi rezistoare (ideale), ceea ce permite ca pierderile dielectrice prin conducţie şi polarizare să fie echivalate cu pierderile produse de curentul electric care circulă prin rezistoare. Schemele echivalente simplificate ale unui condensator real sunt schema serie (fig. 5.16 a) (utilizată în cazul dielectricilor care prezintă pierderi importante, respectiv factor de pierderi mare) şi schema paralel (fig. 5.16 b) (utilizată în cazul dielectricilor cu factor de pierderi redus).

Prof. Laurentiu Dumitran

244

MATERIALE ELECTROTEHNICE

a)

b)

Fig. 5.16. Scheme echivalentă simplificate ale condensatorului real: a) schema echivalentă serie şi b) schema echivalentă paralel.  

Ținând cont de relaţiile (5.108) şi de condiţia ca disiparea puterii active P să se producă în rezistorul R p , rezultă R p  U 2 P şi, respectiv



C p  Q U 2 .



Rs  U 2 P  1  1 tg 2 



1

În

cazul

schemei

serie

se

obţine

şi, respectiv, Cs   Q U 2 1  tg 2  .

Obţinerea unor scheme electrice echivalente mai elaborate se poate face utilizând teoremele de sinteză a circuitelor electrice. Pentru aceasta trebuie cunoscută expresia admitanţei complexe corespunzătoare condensatorului cu pierderi.