Curgerea Fluidelor Reale [PDF]

Zitiervorschau

CAP. I. NOTIUNI DE MECANICA FLUIDELOR

1.1.

Scurt istoric al evolutiei mecanicii fluidelor

Datorita rolului esential pe care il joaca apa in viata omului, cunostintele sale de hidraulicå au inceput sa se infiripe înca din cele rnai vechi timpuri. Cele rnai vechi contributii irnportante la dezvoltarea hidrodinamicii le datoråm lui Arhimede (285 - 212 l.e.n. - Siracuza). El a studiat plutirea corpurilor imerse, deducand celebra lege care îi poartå numele. Inginerii Romei antice au realizat, intre altele, un sistem complet de alimentare cu apa a orasului. Prima contributie semnificativå a perioadei moderne o datoråm lui L. Euler (in 1755 aplica legile dinamicii, stabilite de Newton,la miscarea fluidelor si obtine astfel ecuatiile diferentiale ale miscårii). El pune bazele studiului analitic al fluidului perfect. Evidenta lipså de concordantå între teorie si rezultatele practice i-a indepårtat pe inginerii hidraulicieni de grupul cercetatorilor teoreticieni si i-a determinat sa se restrângå la observatii si experimentåri, fapt care a frânat progresul hidraulicii timp de mai multi ani. Independent, Navier (1827) si Stokes (1845), folosind modelul fluidului vâscos newtonian, generalizeazå ecuatiile de miscare, incluzand fortele de frecare, proportionale cu gradientii componentelor vitezei. În 1883 Reynolds stabileste prin observare directå cå, de fapt, exista doua tipuri de curgere in conducte : la viteze mici (laminara) si respectiv la viteze mari (turbulenta), stabilind ca exista un anumit parametru adimensional, a carui marime este un indiciu de caracterizare a tipului miscarii. N. E. Jukovski formuleaza in 1899 o teorema care îi poarta numele si care permite determinarea fortei de portantå intr-un curent potential cu circulatie. În 1904 Prandtl face urmatorul progres semnificativ, aratand ca in multe cazuri se poate diviza domeniul de curgere al unui fluid vascos in doua regiuni una chiar in imediata vecinatate a frontierei solide, iar cealalta constituind restul domeniului. În zona din vecinatatea peretelui efectu1 vascozitatii este predominant, dar restul fluidului se poate studia cu ajutorul modelului fluidului perfect. 1

Oamenii de stiinta romani aduc si ei o contributie insemnata la dezvoltarea mecanicii fluidelor si hidraulicii, prin nume ilustre, cum ar fi : Gogu Constantinescu (creatorul stiintei sonicitatii), Henri Coanda (creatorul avionului cu reactie si descoperitorul efectu1ui care ii poarta numele), Dionisie Ghermani (autorul unui original tratat de hidraulicå).

2

1.2.

Notiunea de fluid. Fluid ideal; Fluid real

Un fluid este o substantå care, in stare de repaus, nu poate prelua forte de forfecare (adica forte tangente la suprafata pe care actioneazå). Corpurile solide pot suporta solicitari de forfecare ramanand in repaus, dar în ele se produc deformatii interne. Fluidele pot rezista insa la forte de forfecare, atunci când are loc o miscare relativa între particulele lor. Granita dintre solide si fluide este uneori dificil de trasat. Asfaltul de exemplu, se comporta ca un solid fata de fortele care i se aplica un interval de timp relativ scurt, dar are o tendinta de curgere sub actiunea unor forte aplicate un timp mai indelungat. În conceptul de fluid sunt incluse lichideIe, gazele si vaporii. Un lichid difera de un gaz prin proprietatea de a avea un volum destul de bine definit. Fluidele sunt alcatuite din conglomerate de molecule, aflate intr-o stare de continua agitatie. Exista o limita inferioara a marimii elementului de volum pentru un fluid, deoarece notiunea de proprietate locala isi pierde sensul pe masurå ce se tinde spre dimensiunile moleculare. De aceea se vor examina proprietåtile fluidului la o scarå micå în raport cu obiectul problemei studiate (de obicei cu dimensiunile corpurilor solide cu care lichidul este in contact), dar inca mare comparativ cu dimensiunile moleculare, astfel incat chiar cel mai mic element de volum så cuprindå încå un numår foarte mare de molecule. Acesta este conceptul de infinit mic din punct de vedere fizic, precizat de Lorentz si care stå la baza aplicatiilor in fizicå ale calculului infinitezimal. Astfel, densitatea si alte proprietati locale se vor apropia de o limitå cånd vom considera volume din ce in ce mai mici si vor varia continuu când se va trece de la un punct la altul din imediata vecinatate. În rezumat, se spune ca fluidul este in acest caz un mediu continuu. La presiuni normale, un gaz este practic un mediu continuu, dar atunci când presiunea este suficient de joasa, distanta medie dintre molecule poate deveni mare in comparatie cu dimensiunile corpului solid studiat (gaz rarefiat). Acest gaz este inca un fluid, dar nu mai poate fi considerat un mediu continuu in sensul de mai sus. Fluidul ideal este un fluid incompresibil în care nu se manifestå forte de frecare internå. În conditii statice în fluidele reale, ca si în cele ideale, se manifestå numai forte de presiune. De aceea echilibrul fluidelor reale coincide cu cel al fluidelor ideale în majoritatea cazurilor. -3-

În conditii dinamice în fluidele reale se manifestå, pe lângå fortele de presiune si forte de frecare internå sau de frecare vâscoaså care influenteazå, în unele cazuri destul de mult, miscarea fluidelor. Acesta este fluidul real. A studia curgerea fluidului real înseamnå a studia curgerea unui fluid pentru care deplasarea unor straturi în raport cu altele este însotitå de aparitia unor forte de frecare.

-4-

1.3.

Clasificarea curgerii fluidelor

Miscarea fluidelor poate fi clasificatå dupå schema:

Curgerea fluidelor

Stationarå

Nestationarå

v = v (r )

v = v(r,t)

Nerotationalå

Rotationalå

v≠0; w=0

v≠0; w≠0;

Laminarå

Turbulentå

IvI = mic

IvI = oricare

Turbulentå IvI = mare

Curgerea fluidului se numeste stationarå sau în regim permanent dacå viteza particulelor de fluid depinde de pozitia lor dar nu depinde de timp : v = v ( r ).

-5-

Curgerea fluidului se numeste nestationarå, în regim variabil sau nepermanent, dacå viteza particulelor de fluid depinde atât de pozitia lor cât si de timp : v = v ( r,t ) ; Curgerea fluidului se numeste nerotationalå sau fårå vârtejuri, dacå miscarea particulelor lui este pur translationalå (particulele de fluid nu se rostogolesc) : v ≠0 ; w = 0 ; Curgerea fluidului se numeste rotationalå sau cu vârtejuri dacå particulele lui participå simultan la o miscare de translatie si una de rotatie (se rostogolesc) : v ≠0 ; w ≠ 0 ; Curgerea cu sau fårå vârtejuri a fluidului, în care liniile de curent nu se încruciseazå (nu se amestecå), iar în conducte cu sectiune constantå sunt paralele între ele, se numeste curgere laminarå. La viteze mici curgerea este laminarå.

-6-

CAP. II. PROPRIETÅTI ALE FLUIDELOR 2.1.

Proprietåti comune lichidelor si gazelor.

1. - Fluiditatea - proprietatea fluidelor de a curge. Consecinte : a) fluidele iau forma vasului in care se gasesc; b) nu pot prelua forte concentrate, ci numai forte de suprafata sau volumice; c) nu pot suporta practic decât eforturi de compresiune in stare de repaus. 2.

– Masa si greutatea fluidelor Pentru un fluid omogen si izotrop densitatea se defineste ca : ρ =

m V

,

unde V este volumul considerat , iar m este masa fluidului continut în acest volum. Dacå fluidul este neomogen dar izotrop, aceasta formula defineste densitatea medie, iar densitatea punctualå se obtine prin trecere la limitå : dm

∆m

lim ρ = dV = ∆V . Unitatea de måsurå în S.I. : [ρ] = kg• m-3. →0 ∆V Greutatea unei mase de fluid se obtine cu formula binecunoscutå: G = m • g. Se foloseste uneori greutatea specificå medie : γm =G/V, respectiv

greutatea specificå punctualå : γ = [γ] = N • m-3. Se observå cå γ = ρ•g 3.

dG dV

=

lim

∆G ∆V.

∆V →0

– Presiunea staticå.

Cand o anumita maså de fluid este supuså unor solicitåri exterioare, se produce o stare de eforturi interne, ca o reactiune la actiunea exterioarå. Izolând o particula de fluid se constatå cå asupra acesteia, pe langå fortele masice externe, vor actiona si fortele de legaturå, care simuleazå din punct de vedere mecanic actiunea particulelor de fluid din portiunea îndepårtatå. Deoarece fortele de atractie intermoleculare au o razå de actiune reduså, se poate considera cå fortele de legatura interne se exercitå doar între -7-

moleculele imediat adiacente suprafetei sectionate, adica sunt forte de suprafatå.

Forta de legatura (δFl) depinde, in general, de orientarea suprafetei (n), precum si de marimea ariei (δA). Daca fluidul este in repaus, atunci datorita fluiditåtii, rezulta ca δFl trebuie sa fie orientatå dupa directia normalei, in sens contrar, deoarece daca ar exista componentå tangentialå a fortei de legaturå, ar produce miscarea straturilor adiacente suprafetei. Aceasta fortå are natura unei compresiuni, deoarece fluidul nu poate prelua tensiuni. Starea localå de eforturi se caracterizeazå prin presiunea staticå medie : pm =

δ

F

δA

;

ln

respectiv presiunea staticå punctualå: p = lim δ δA → 0

F

ln

δA

;

atunci fortele de legåturå au o distributie neuniformå pe suprafata de sectionare. Formula anterioarå se mai poate scrie sub forma echivalentå : d Fl = - n p dA. Deci forta de presiune rezultantå care actioneazå asupra unui element de fluid, mårginit de suprafata A este : F

p

= - ∫ pndA A

Presiunea staticå are un caracter scalar - marimea sa nu depinde de orientarea suprafetei de sectionare ce trece prin punctu1 considerat. Dimensiunea presiunii în S. I. : [p]=N.m-2=Pa Caracterul scalar al presiunii decurge ca o consecintå necesarå a echilibrului static al fluidului. Într-o primå aproximatie, pentru modelul fluidului perfect, lipsit de vâscozitate, presiunea îsi påstreazå caracterul scalar, dar pentru fluidul vâscos real este necesarå o noua definitie a presiunii.

-8-

4.

- Elasticitatea si compresibilitatea fluidelor

Compresibilitatea este proprietatea fluidelor de a-si modifica volumul când variaza presiunea si temperatura. Lichidele au o compresibilitate foarte reduså, uzual neglijabila. Variatia relativå a volumului fluidului este proportionalå cu variatia presiunii : dV = -α V

dp

(2.4.1)

unde α este coeficientul de compresibilitate. [α] = m2 x N-1 1

E = α se numeste modul de elasticitate volumic. Pentru apå, între 1 at si 200 a,t α scade lent cu temperatura: la t = 00 C; α = 5,3.10-10 m2x N-1; E = 19231 at; la t = 200 C; α = 5.10-10 m2 x N-1; E = 20408 at. Apa este cam de o suta de ori mai compresibilå decat otelul. De elasticitatea fluidelor depinde viteza de propagare a sunetului (a undelor de presiune de micå amplitudine). Se constatå experimental cå viteza de propagare a sunetului este : E

c=

(2.4.2)

ρ

Deoarece prin comprimare masa nu se reduce : dm = d(ρV) = ρdV +V dρ = 0

⇒

dV dρ =− V ρ

(2.4.3)

Din (2.4.1) si (2.4.3) rezultå : α =−

c=

1 dV 1 dρ = dp V dp ρ ,

iar (2.4.2) devine :

dp dρ

(2.4.4)

Viteza sunetului în apå se modificå cu temperatura : La t = 00C c = 1399 m/s ; La t = 250C c = 1457 m/s ; Lichidele sunt practic incompresibile si viteza sunetului in ele este foarte mare, adica variatiile de presiune se transmit aproape instantaneu. Efectul compresibilitatii lichidelor este considerat in analiza fenomenului de loviturå de berbec, a cårui manifestare, prin micsorarea si marirea locala a presiunii în lichide este direct legata de interferenta undelor elementare de presiune.

-9-

5.

– Vâscozitatea fluidelor

Se manifesta la deplasarea relativa a straturilor de fluid, prin aparitia unor eforturi tangentiale, care tind sa egalizeze vitezele, fiind un rezultat al schimbului de impuls la scara microscopicå. În cazul simplu al miscårii unei pelicule de lubrifiant între doua placi plane, de arie A, dintre care cea inferioara este in repaus, iar cea superioara se translateaza cu viteza v, se constata aparitia unei forte de rezistenta vascoaså, exprimata de legea lui Newton: v F = µn A

(2.5.1.)

unde factorul de proportionalitate μ reprezintå vâscozitate dinamicå, de dimensiune în S.I. : [μ] = K • m-1x•s-1

coeficientul de

v n v =contact 0 În imediata vecinatate a suprafetei de între un fluidAsi un perete solid, fluidul are viteza corpului solid, datorita aderentei intime a particulelor fluide la suprafata de contact. Generalizarea formulei (2.5.1) se obtine asimilând doua straturi de fluid adiacente, in miscare relativa cu cele doua placi. Analogia este cu atat mai corecta, cu cât straturile sunt mai apropiate (pentru a putea fi considerate practic paralele) si cu cat aria consideratå este mai micå. La limitå se obtine efortul tangential de frecare vascoaså : dv

[τ] = μ dn

(2.5.2)

unde dn este distanta infinitezimalå între douå straturi adiacente, iar dv este viteza relativå dintre ele. [τ] = kg. • m-1 • s-1 Deoarece înså aceastå unitate de måsurå este prea mare pentru a putea fi utilizatå, în practicå se foloseste uzual unitatea de måsurå CGS: 1 poise = 1 g • cm-1 • s-1 µ

Întrucât în formule apare frecvent raportul ρ s-a introdus coeficientul de vâscozitate cinematicå : µ

v= ρ [v] = m2•s-1 În sistemul CGS unitatea folositå este :

-10-

(2.5.3)

1 stokes = 1 cm2•s-1 Vascozitatea dinamica pentru aer creste cu temperatura, iar pentru apå scade odatå cu cresterea temperaturii. Aceasta deoarece la lichide fortele coezive sunt comparativ mai mari decat cele de la gaze, iar efectul coeziunii scade cu cresterea temperaturii, în timp ce în cazul gazelor rezistenta vascoaså se datoreazå in primul rand transferului de impuls molecular, care creste cu temperatura. Pentru gaze vâscozitatea depinde de temperaturå, dupa relatia Sutherland: c T0 T c T0 1+ T 1+

µ = µ0

(2.5.4)

unde µ0 este vâscozitatea la 00 C, iar c = 119. Legea de vascozitate (2.5.2) se aplica fluidelor vâscoase newtoniene. În cazul celor nenewtoniene se constata experimental o relatie neliniara intre τ si gradientul vitezei, dar cu absenta eforturilor tangentiale în stare de repaus. În practicå vâscozitatea se masoara cu ajutorul vâscozimetrelor. De exemplu, in cazul vascozimetrului Engler se determina timpul de golire al unui rezervor plin cu lichidul studiat, la temperatura dorita, si se comparå cu timpul de golire in cazul apei distilate la 200 C. Raportul cE = t/t0 se numeste vâscozitate în grade Engler, iar conversiunea la vâscozitatea cinematicå se realizeazå cu formula: 106 v = 7,320 E – 6,31/0E (m2 • s-1).

-11-

2.2.

Tipuri de forte în mecanica fluidelor

Fortele care actioneazå asupra unui fluid sunt distribuite continuu si se pot clasifica în : a) forte masice - proportionale cu masa particulei fluide : F = ∫ f dm = ∫ p •f• dV, unde f este forta pe unitate de masa (N /Kg). V

De exemplu, fortele de greutate sunt date de relatia : Fg = ∫ g•dm = ∫ p•g•dV V

iar fortele de inertie se obtin din formula: Fi = - ∫a• dm = - ∫ ρ•a•dV V

Datorita fluiditatii, in mecanica fluidelor nu exista forte concentrate. b) forte de suprafatå- distribuite cu o densitate de suprafatå. În cazul unei suprafete de sectionare fictive, se dezvolta forte de suprafatå interioare, iar pe suprafata de contact între doua faze (lichid - solid, lichid - lichid, lichid - gaz) se dezvolta forte de legåturå de contact. Fortele superficiale pot fi normale, de exemplu cele de presiune în fluidele în repaus : Fp = -∫p•n•dA A sau tangentiale, de exemplu cele de vâscozitate în fluidele în miscare : Fv = ∫τ•t•dA A , unde t este un versor in planul tangent, iar τ - efortul de frecare vâscoaså.

-12-

2.3.

Proprietåtile lichidelor

Lichidele se mai numesc si fluide grele, deoarece rezultanta fortelor de greutate este de acelasi ordin de mårime cu rezultanta fortelor de presiune. De obicei lichidele se considerå incompresibile. 1. Suprafata liberå si tensiunea superficialå Se stie ca lichidele iau forma vasului in care se gasesc, dar påstreazå un volum determinat si posedå o suprafatå liberå. Fortele de coeziune la lichide au o mårime intermediarå între solide si gaze. Actiunea intermolecularå are un caracter combinat de atractie si respingere si se poate descrie prin potentialul Lennard - Jones (φ). Pozitia stabilå a moleculelor corespunde minimului energiei potentiale si se poate introduce o razå a sferei de atractie intermoleculara R. Fortele de coeziune ce actioneazå asupra unei molecule din interiorul fluidului se echilibreazå reciproc, dar moleculele din vecinåtatea suprafetei libere, continute intr-un strat de grosimea razei R, sunt atrase catre interiorul lichidului. Se stabileste astfel o stare de tensiune la suprafata de separatie a doua fluide diferite, ca si cum ar exista o membranå elasticå, avand tendinta de a micsora aria suprafetei de contact, prin comprimarea lichidului din interior. Aceastå comprimare este foarte accentuatå (presiuni de ordinul zecilor de atrnosfere) si este cauza pentru care lichidele sunt practic incompresibile. Dacå se foloseste analogia cu membrana si se indepårteazå un element din suprafata de contact, atunci este necesar så se introducå forte de legåturå proportionale cu lungimea curbei de sectionare; factorul de proportionalitate σ se numeste tensiune superficialå (N•m-1): df = σ•dl

ϕ(r)

σ

dl df

O

r r R ε

-13-

La suprafata de contact dintre lichid si un corp solid se produce fenomenul de adeziune (aderentå). Dacå aderenta este predominantå fatå de tensiunea superficialå, se spune cå lichidul udå peretele solid; în caz contrar, lichidul nu udå corpul solid. Forma suprafetei libere (meniscul) se stabileste normal pe forta rezultantå în punctul de contact triplu. În tuburi cu diametre mici (capilare) se produce ridicarea sau coborârea nivelului suprafetei libere fatå de nivelul hidrostatic exterior. Fenomenul se numeste capilaritate si este un efect al tensiunii superficiale. Diferenta de nivel este datå de legea lui Jurin:

h=

2σ ρrg

“nu udå”

“udå”

Tensiunea superficialå are numeroase aplicatii tehnice în teoria jeturilor de lichid pentru injectoarele de combustibil, la circulatia fluidelor prin medii poroase, în calcularea unor efecte de suprafatå ale ungerii, etc. 2. Dizolvarea gazelor. Vaporizarea . Cavitatia Lichidele dizolvå gazele cu care vin în contact, in cantitati cu atat mai mari cu cat presiunea este mai mare si temperatura mai scazuta. Astfel, apa in conditii naturale, la temperatura de 10° C contine aer dizolvat cca 2% din volumul sau. Masa de gaz dizolvata este proportionala cu presiunea gazului, la temperatura constantå. Daca presiunea scade sau temperatura creste, gazele se degaja sub forma unor bule. Lichidele se evaporå, datorita unor molecule care scapa prin suprafata libera. Moleculele de vapori exercita o presiune partialå in spatiul de deasupra -14-

lichidului, numita presiune de vapori. Dacå lichidul este continut intr-un recipient închis se ajunge la o stare de echilibru dinamic, depinzând de activitatea molecularå si de temperaturå. Presiunea de vaporizare creste cu temperatura. Atunci când presiunea externå scade pânå la presiunea de vaporizare la temperatura datå, se degajå bule de vapori si gaze dizolvate. Acest fenomen de vaporizare localå se numeste cavitatie. Oxigenul care se degajå se aflå in stare nåscândå (molecule monoatomice) si poate provoca oxidarea intenså a peretilor metalici cu care bulele vin in contact (coroziune hidrodinamica). În cazul apei, cavitatia poate aparea în acele instalatii în care, datoritå unor strangulari ale sectiunilor de curgere ale lichidului, apar presiuni foarte scåzute. Bulele de gaz care iau nastere sunt antrenate de fluidul in miscare, formându-se o emulsie foarte compresibilå. Atunci cand bulele ajung într-o zonå cu presiune mai ridicatå se produce fenomenul invers, de redizolvare a gazelor în lichid. Implozia bulei duce la aparitia unor unde de presiune nestationare, care pot interfera constructiv in anumite puncte provocând variatii mari ale presiunii locale si perturbåri ale procesului de curgere. Deosebit de dåunåtor este efectul mecanic al dizolvårii bulelor aderente la suprafetele solide de contact cu fluidul (de exemplu, paletele rotoarelor pompelor centrifuge), unde redizolvarea bulei are ca efect de impact local al peretelui solid, generându-se suprapresiuni mari, datoritå concentrårii practic punctuale a eforturilor , prin micsorarea diametrului bulei pânå la disparitia totalå. Fenomenul de cavitatie este extrem de dåunator în tehnicå, iar procedeul de combatere a sa constå în proiectarea si amplasarea judicioasa a instalatiilor, astfel încât cea mai scazutå presiune în sistem så depaseascå sensibil presiunea de vaporizare la temperatura de regim.

-15-

2.4. Proprietåtile gazelor si vaporilor Gazele si vaporii se mai numesc si fluide usoare, întrucât fortele de greutate sunt neglijabile fatå de fortele de presiune. De pildå, pentru un recipient în forma de cub cu latura de 1 m, în care se afla aer la presiunea de 1 at si temperatura 0° C, greutatea masei de gaz reprezinta 0,125 % din forta de presiune. Gazele si vaporii sunt extrem de compresibili (spre deosebire de lichide), deoarece variatiile de volum produse de variatia presiunii sunt mari. Pentru un gaz în regim izoterm se va obtine : ∆p/p = ∆V/V, adicå E = p. Dacå p = 1 at si ∆p = 0,5 at, rezultå ∆V/V = 50%. Totusi pentru viteze reduse (strict mai mici decât viteza sunetului în aer) se poate neglija efectul compresibilitåtii. Proprietatile termodinamice ale gazelor sunt descrise de cåtre ecuatia de stare, care leaga numarul minim de parametri de stare necesari pentru a descrie complet comportarea gazului. Schimbarea parametrilor la trecerea dintr-o stare termodinamica in alta depinde de modul de trecere, deci de caracterul desfasurarii procesului. O buna aproximatie a ecuatiei de stare o constituie relatia lui Clapeyron pentru gaze perfecte pV = (m/µ) RT, cu R= 8314 J/Kmol•K Una dintre cele mai generale transformåri de stare pentru gazul perfect o constituie transformarea politropå, pentru care cåldura specificå a procesului råmâne constantå. Aceastå transformare este descriså de ecuatia: pVn = constant, unde n este indicele politropic. Ea se poate particulariza în urmåtoarele transformåri: - n→ ; transformarea izocorå (V= const., p/T = const.) - n = 1; transformarea izotermå( p = const., pV = const.); - n= 0 ; transformarea izobarå; ( p = const., V/T = const.); - n= γ ; transformarea adiabatå; (γ = exponent adiabatic); P n=0 n