Culegere Fizica Rodica Luca-1 [PDF]

Zitiervorschau

Capitolul I FENOMENE MECANICE I.1. Măsurarea lungimilor Informaţii de bază • lungimea este o mărime fizică fundamentală şi are ca simbol litera ; • unitatea de măsură a lungimii în Sistemul Internaţional de Mărimi şi Unităţi (SI) se numeşte metru, se notează prescurtat cu litera m şi aceasta se scrie astfel < > = m; din motive practice, metrul are multipli şi submultipli (vezi C1, pag. 213); • pentru măsurarea lungimii se folosesc diferite instrumente, cum ar fi: ○ rigla gradată

○ metrul de croitorie

○ metrul pliat

Precizare: informaţiile din domeniul geometriei plane, necesare rezolvării problemelor de la tema Măsurarea lungimilor, se găsesc la pag. 213, fiind notate cu C2. Exemplul 1 O sârmă este formată din două bucăţi, una de lungime 1 = 25cm şi alta de lungime 2 = 0,025 dam. Să se calculeze lungimea a sârmei. Rezultatul să fie exprimat în metri. Date: 1 = 25cm, 2 = 0,025 dam; Cerinţe: . 5

Rezolvare lungimea sârmei este egală cu suma lungimilor celor două bucăţi, exprimate în aceeaşi unitate de măsură: = 1+ 2 se exprimă în metri lungimile bucăţilor de sârmă: 1 m = 0,25 m; 2 = 0,025·10 m = 0,25 m 1 = 25· 100 calcule: = 0,25 m+0,25 m = 0,5 m. Exemplul 2 Un teren împrejmuit are forma unui dreptunghi de laturi: L = 500 dm, = 0,08 hm. Să se calculeze lungimea gardului care împrejmuieşte terenul. Rezultatul să fie exprimat în metri. Rezolvare se aplică formula perimetrului pentru dreptunghi: p = 2(L + ) se exprimă în metri lungimile celor două laturi ale dreptunghiului: 1 L = 500 dm = 500· m = 50 m, = 0,08hm = 0,08·100 m = 8 m 10 calcule: p = 2(50 m+8 m) = 2·58 m=116 m Probleme I.1.1. Un elev afirmă că distanţa dintre două localităţi este egală cu 1 234 000 cm. Care este cea mai convenabilă exprimare a acestei distanţe? I.1.2. Măsurând lungimile a patru bare, s-au obţinut valorile: pentru bara (1) 1 = 150 cm, pentru bara (2) 2 = 0,000012 km, pentru bara 7,25 dam. Ordonaţi barele în (3) 3 = 2·104 mm, pentru bara (4) 4 = 102 sensul crescător al lungimii lor. I.1.3. Efectuaţi următoarele operaţii, exprimând rezultatele în metri: a. 0,003 km+200 cm=? ; b. 427 mm+0,013 hm=? ; c. 2 dam - 40 dm=? . 6

I.1.4. Perimetrul pătratului (1) este p1 = 40 cm. Cât este perimetrul pătratului (2), care are latura cu 0,005 m mai mică decât a pătratului (1)? I.1.5. Un dreptunghi, cu lăţimea de trei ori mai mică decît lungimea, are perimetrul 528 m. Să se afle lungimea şi lăţimea acestui dreptunghi. I.1.6. Notaţi în problema I.1.5. cu p – perimetrul dreptunghiului, L – lungimea acestuia, – lăţimea dreptunghiului şi cu n – numărul care în lungimea L. Descoperiţi arată de cîte ori se cuprinde lăţimea formulele literale pentru calcularea lungimii şi a lăţimii. I.1.7. Un teren agricol de formă dreptunghiulară este format din două parcele de perimetre egale. Ştiind că terenul are laturile L = 100 m, = 500 dm, să se afle perimetrul unei parcele. I.1.8. Un capac din carton, de forma unui triunghi cu laturile egale, este format din două bucăţi de perimetre egale cu p′ = 2,365 m fiecare. Ştiind latura capacului b =1 m, să se afle lungimea laturii care uneşte cele două bucăţi. I.1.9. De câte ori este mai mare lungimea unui cerc de rază r1 = 9 cm decât a unui cerc de rază r2 = 1,5 cm? I.1.10. Un grup de 6 elevi, folosind aceeaşi riglă gradată în milimetri, măsoară lungimea manualului de fizică. Grupul a obţinut următoarele valori: 1 = 23,8 cm, 2 = 23,7 cm, 3 = 24,1cm, 4 = 23,6 cm, l5 = 23.9 cm, 6 = 22,8 cm. Să se calculeze a. lungimea medie a manualului; b. eroarea medie; c. lungimea manualului. I.1.11. Trei oameni dau următoarele aprecieri asupra distanţei pe o şosea în linie dreaptă, între oraşele A, B, C şi D: A→B: 35÷40 km, B→C: 45÷55 km, C→D: 30÷35 km. Să se afle distanţele A→C şi A→D.

7

I.2. Măsurarea ariilor Informaţii de bază

• aria unei suprafeţe este o mărime fizică derivată şi are ca simbol litera S; • unitatea de măsură a ariei în Sistemul Internaţional de Mărimi şi Unităţi (SI) se numeşte metru pătrat, se notează prescurtat m2 şi aceasta se scrie astfel < A > = m2 ; din motive practice, metrul pătrat are multipli şi submultipli (vezi C3, pag. 214); în acelaşi timp, se utilizează şi alte unitaţi de măsură cum ar fi: hectarul ( 1 ha =10000 m2 ), arul ( 1 ar =100m2 ), pogonul ( 1 pogon=5000 m2 ); • aria unei suprafeţe plane poate fi aflată astfel: o dacă suprafaţa plană are o formă geometrică regulată, cum ar fi pătrat, dreptunghi, triunghi, cerc etc., atunci se măsoară dimensiunile suprafeţei şi se calculează aria folosind formulele C4 învaţate la geometrie şi redate la pag. 214; o dacă suprafaţa are o formă neregulată, aria se poate afla pe cale experimentală, comparând-o direct cu o altă arie considerată unitate de măsură. Exemplul 1 Să se calculeze aria dreptunghiului care are lungimile laturilor L = 55 cm şi = 350 mm. Rezultatul să fie exprimat în m2. Date: L = 55 cm şi = 350 mm; Cerinţe: Sdreptunghi . Rezolvare se aplică formula ariei: • aria dreptunghiului se calculează cu formula: Sdreptunghi = L ×

• se exprimă dimensiunile dreptunghiului în metri: L = 55 cm = = 0,55 m, = 350 mm = 0,35 m; • calcule: S = 0,55m×0,35m=0,1925 m2 ; răspuns: S = 0,1925 m2 . Exemplul 2 O placă metalică are forma din figura alăturată. Se dă = 0,2 dam şi se cere aflarea ariei plăcii. Date: schiţa plăcii şi = 0,2 dam; Cerinţe: Splaca . 8

/2

Rezolvare se analizează schiţa: • se observă că placa este formată dintr-un pătrat de latură jumătate de cerc de rază / 2 1 • Splaca = Spatrat + Scerc 2 se aplică formulele pentru aria pătratului şi aria cercului: • aflarea ariei pătratului: • formula pentru aria pătratului este: Spatrat = 2 ;

şi o

(1)

• se exprimă lungimea laturii pătratului în metri: = 0,2 dam = 2 m; • calcule: Spatrat = ( 2m ) = 4 m2 ; 2

(2)

• aflarea ariei cercului: • formula pentru aria cercului: Scerc = πr 2 ; • aflarea razei cercului: r = / 2 = 0,1 dam = 1 m;

• calcule: Scerc = 3,14 × (1m ) = 3,14 m2 ; 2

(3)

calcule finale : • se înlocuiesc rezultatele intermediare (2) şi (3) în relaţia (1) : 1 Splaca = 4 m2 + ×3,14m2 = 5,57 m2 ; 2 răspuns: Splaca = 5,57 m2 . Exemplul 3 Se dă o coală de carton, care are forma din figura a1. Avem la dispoziţie o grilă transparentă (figura a2 ), reprezentată în desen la aceeaşi scară ca şi placa din carton. Un pătrat al grilei are aria S0 = 1 cm2 . Cum vom proceda pentru aflarea ariei colii din carton? 1

a1

a2

9

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a3

Date: schiţa colii şi o suprafaţă de arie cunoscută. Cerinţe: Scoala Rezolvare • pentru a afla aria colii, o comparam cu aria suprafeţei unui pătrat al grilei date; • suprapunem grila transparentă peste coala de carton, ca în figura a3 ; • observăm că în perimetrul colii există pătrate întregi şi jumătăţi de pătrat ; • numărăm pătratele întregi din interiorul conturului colii, sunt N1 = 10;

• numărăm jumătăţile de pătrat, sunt N2 = 4; • calculăm aria colii: Scoala = N1 × S0 + N2 ×

S0 ; 2

• răspuns: Scoala = 12 cm2 . Probleme I.2.1. Aria unei suprafeţe este S = 10,6235 m2 . Exprimaţi această arie: a. în decimetri pătraţi ; b. în decametri pătraţi; c. în milimetri pătraţi. I.2.2. Măsurând ariile a cinci suprafeţe, s-au obţinut valorile: pentru suprafaţa (1) S1 = 100 cm2 , pentru suprafaţa (2) S2 = 0,000012 km2 ,

pentru suprafaţa (3) S3 = 2·105 mm2 , pentru suprafaţa (4) 15 S4 = 4 hm2 , pentru suprafaţa (5) S5 = 7,25 m2 . Ordonaţi suprafe10 ţele în sensul descrescător al ariilor lor. I.2.3. Efectuaţi operaţiile de mai jos, exprimând rezultatele în unitatea de măsură cerută la fiecare exerciţiu. a. 0,004 hm2 +2 000 cm2 =? (în decimetri pătraţi); 2 b. 2 × 107 mm2 - 6 km2 =? (în decimetri pătraţi); 10 2 c. 2 dam :40 dm=? (în metri); d. 0,5 ha + 250 ari = ? (în pogoane).

10

I.2.4. Aria unei plăci de faianţă, de forma pătratică, este S = 625cm2 . Să se afle: a. lungimea unei laturi a plăcii ; b. perimetrul plăcii de faianţă. I.2.5. Peste un carton de forma celui desenat cu linie îngroşată în figura I.2.5. se suprapune o grilă transparentă. Ştiind că aria unui pătrat al grilei este S0 = 1 dm2 , aflaţi aria cartonului. Fig. I.2.5

I.2.6. Un grup de 6 elevi, folosind aceeaşi ruletă, măsoară dimensiunile catedrei din laboratorul de fizică şi calculează aria acesteia. Grupul a obţinut următoarele valori: S1 = 1,144 m2 , S2 = 1,236 m2 ,

S3 = 1,11 m2 , S4 = 1,124 m2 , S5 = 1,198 m2 , S6 = 1,208 m2 . Să se calculeze a. aria medie a catedrei; b. eroarea medie; c. aria catedrei. I.2.7. Un teren de joacă, de formă dreptunghiulară, are dimensiunile: = 15 m, L = 3 dam. Copiii care se joacă pe acest teren îşi doresc unul care să aibă aria cu 150 m2 mai mare decât a celui existent. Cum trebuie modificată lăţimea terenului existent pentru ca dorinţa copiilor să se îndeplinească? I.2.8. Lungimea unui dreptunghi cu perimetrul 204 cm este mai mare decît lăţimea acestuia de cinci ori. Să se afle aria dreptunghiului, exprimată în milimetri pătraţi. I.2.9. Calculaţi aria plăcii reprezentate în figura I.2.9, dacă = 20 cm. Rezultatul să fie exprimat în unitatea de măsură din S.I., corespunzătoare mărimii cerute.

1,5 Fig. I.2.9

I.2.10. Aria unui echer compact este S = 600cm2 . Ştiind că înălţimea echerului este h = 300 mm, să se afle: a. lungimea bazei; b. perimetrul echerului. Rezultatul să fie exprimat în metri. Informaţie: pentru aflarea celei de a treia laturi a echerului, folosiţi teorema lui Pitagora C15, expusă la pag. 217.

11

I.2.11. Pardoseala unui hol acoperit cu gresie are forma şi dimensiunile din figura I.2.11., pentru care = 6 dm. O placă de gresie, de forma unui dreptunghi, are dimensiunile 0 = 15 cm, L0 = 0,03 dam. Calculaţi numărul de plăci utilizat pentru acoperirea în întregime a suprafeţei holului.

2

4

3 Fig. I.2.11

I.3. Măsurarea volumelor Informaţii de bază

• volumul unui corp este o mărime fizică derivată şi are ca simbol litera V; • unitatea de măsură a volumului în Sistemul Internaţional de Mărimi şi Unităţi (SI) se numeşte metru cub, este notată prescurtat m3 şi aceasta se scrie astfel < V >= m3 ; din motive practice, metrul cub are multipli şi submultipli (vezi C5, pag. 214); în acelaşi timp, se utilizează şi alte unitaţi de măsură cum ar fi litrul ( 1 = 1 dm3 ); • volumul unui corp poate fi aflat astfel: o când corpul solid are o formă regulată, cum ar fi cub, paralelipiped, cilindru, sferă etc., se măsoară dimensiunile corpului şi se calculează volumul folosind formulele C6 învaţate la geometrie şi redate la pag. 215; o când corpul solid are o formă neregulată, volumul se află pe cale experimentală folosind cilindrul gradat şi un lichid în care corpul nu se dizolvă; această metodă poate fi utilizată şi pentru corpul solid cu formă regulată; o în cazul gazelor, volumul lor este egal cu cel al vaselor în care se află. o în cazul lichidelor, se află pe cale experimentală, folosind vase gradate cum ar fi:

12

○ pipeta gradată,

○ biureta,

○ cilindrul gradat.

Exemplul 1 1. Să se calculeze volumul paralelipipedului care are lungimile laturilor L = 0,0045 hm, = 150 mm şi h = 0,2 dm. Rezultatul să fie exprimat în m3 , apoi în unitatea cu numărul cel mai mic de cifre. Date: L = 0,0045 hm şi = 150 mm, h = 0,2 dm; Cerinţe: Vparalelipiped . Rezolvare se aplică formula volumului: • volumul paralelipipedului se calculează cu formula: Vparalelipiped = L × × h ;

• se exprimă dimensiunile paralelipipedului în metri: L = 0,0045 hm = 0,45 m, = 150 mm = 0,15 m, h = 0,2 dm = 0,02 m ; calcule: V = 0,45m×0,15m × 0,02m=0,00135 m3 ; răspuns: V = 0,00135 m3 , V = 1,35 dm3 . Exemplul 2 Într-un vas de formă cubică, a cărui latură are valoarea = 0,5 m, se toarnă un volum de apă Vapa = 0,025 m3 . În vas se introduce o bară

metalică de volum Vbara = 0,005m3 . Să se afle: a. înălţimea stratului de apă din vas; b. variaţia înălţimii stratului de apă ca urmare a introducerii barei în vas. Date: = 0,5 m, Vapa = 0,025 m3 , Vbara = 0,005m3 ; Cerinţe: a. h; b. Δh.

13

Rezolvare pe baza textului, se realizează o schiţă (v. fig. alăturată) a. se observă că apa din vas ( fig. a1 ) are forma unui paralelipiped cu aria bazei egală cu cea a unei feţe a vasului cubic şi înălţimea h; se aplică formula volumului şi a ariei • Vapa = Sb × h ;

•

Sb =

•

din relaţiile (1) şi (2), rezultă Vapa =

•

2

Δh h

a1

a2

(1)

;

din relaţia (3), obţinem h =

(2) Vapa 2

=

2

×h ;

(3)

3

0,025m

( 0,5m )

2

= 0,1 m.

b. analizând figura a2 , constatăm că apa împreună cu bara formează un corp de formă paralelipipedică cu aria bazei egală cu aria unei feţe a vasului cubic şi înălţimea h + Δh, al cărui volum este egal cu suma volumelor celor două corpuri; • Vapa +bara = Sb ( h + Δh ) (4) • Vapa+bara = Vapa + Vbara (5)

• din relaţiile (4) şi (5), rezultă Vapa + Vbara = Sb ( h + Δh ) • din relaţile (1) şi (6), obţinem Δh =

Vbara 2

răspuns: a. h = 0,1 m; b. Δh = 0,02 m;

=

0,005m3

( 0,5m )

2

(6) = 0,02 m;

Probleme I.3.1. Exprimaţi în metri cubi şi în centimetri cubi volumul V = 25,2 dm3 . I.3.2. Efectuaţi operaţiile de mai jos, exprimând rezultatele în unitatea de măsură cerută la fiecare exerciţiu : 1 a. hm3 +2000 cm3 =? (în decimetri cubi); 9 10 2 b. 4 × 106 mm3 - 3 m3 =? (în decametri cubi); 10

14

c. 2 km3 :4000 dm2 =? (în metri). I.3.3. Folosind acelaşi tip de cilindru gradat şi apă, o grupă formată din 6 elevi măsoară volumul unui model confecţionat din plastilină. Ei au găsit următoarele valori: V1 = 56,7 cm3 , V2 = 55,9 cm3 , V3 = 62 cm3 , V4 = 56,1 cm3 , V5 = 56,3 cm3 , V6 = 55,8 cm3 . Să se calculeze a. volumul mediu a modelului; b. eroarea medie; c. volumul modelului. I.3.4. Trei elevi măsoară diferite volume de apă, folosind un cilindru gradat de 25 m . După ce a scris valoarea pe tablă, fiecare elev toarnă proba într-un pahar de 100 m . Cele trei probe sunt: (22,5 ± 0,5) m , (18,0 ± 0,5) m , (24,5 ± 0,5) m . Să se afle: a. volumul de apă din pahar; b. care este eroarea totală. I.3.5. Latura unui cub din marmură are lungimea = 14cm. Să se afle: a. lungimea muchiilor cubului; b. aria totală a feţelor cubului; c. volumul cubului exprimat în litri. I.3.6. Volumul unui cilindru cu înălţimea h = 6 dm este V = 753,6 cm3 . Să se afle: a. aria bazei; b. raza cilindrului. 80

I.3.7. Pentru fiecare cilindru gradat (fig. I.3.7), indicaţi volumul de lichid. Pe cilindri există notaţia cm3 .

400

110 100

70 a.

350 b. Fig. I.3.7

90 c.

I.3.8. Un paralelipiped are lungimea de 9 ori mai mare decât înălţimea şi lăţimea de patru ori mai mare decât înălţimea. O sferă are raza de 3 ori mai mare decât înălţimea paralelipipedului. Să se calculeze raportul dintre volumul sferei şi cel al paralelipipedului. I.3.9. Un dop are forma din figura I.3.9. Se dă volumul dopului V = 69,39 dm3 şi se cere să se afle latura a cubului.

2

Fig. I.3.9.

15

I.4. Măsurarea duratelor Informaţii de bază

• durata unui eveniment este o mărime fizică fundamentală şi se notează astfel: Δt = t 2 - t1 M1 unde cu t1 s-a notat momentul începerii desfăşurării evenimentului şi cu t2 momentul terminării acestuia; • unitatea de măsură a duratei în Sistemul Internaţional de Mărimi şi Unităţi (SI) se numeşte secundă, este notată prescurtat cu litera s şi aceasta se scrie astfel < Δt > = s; din motive practice, secunda are multipli şi submultipli (vezi C7, pag. 215); în acelaşi timp, se utilizează şi alte unitaţi de măsură cum ar fi: minut, ora, ziua, săptămâna, luna etc. • dintre instrumentele folosite pentru măsurarea duratei unui eveniment notăm: ○ ceasurile de diferite tipuri

○ cronometrul

○ metronomul

Exemplul 1 Durata unei excursii este Δt = 5 zile 2 h şi 48 min. Exprimaţi această durată: a. în ore; b. în minute; a. în secunde.

16

Rezolvare

48 h=122,8 h; 60 b. Δt = 5×24 × 60min+2 × 60min+48 min=7368 min; c. Δt = 5×24 × 60 × 60 s+2 × 60 × 60 s+48 × 60 s =442 080 s. a. Δt = 5×24h+2 h+

Exemplul 2 Programul de lucru al unui laborant începe la ora t1 = 7 h 30 min şi se termină la ora t 2 = 16 h 45 min, cu următoarele pauze: 45 min pauza de prânz şi trei pauze a câte 10 min fiecare. Prima pauză începe la ora t1′ = 10 h 5 min 25 s, iar ultima pauză se sfârşeşte la ora t 2′′ = 14 h 2 min 32 s. Determinaţi: a. cât timp a stat laborantul la serviciu; b. cât timp a lucrat laborantul; c. la ce oră se termină prima pauză; d. la ce oră a început ultima pauză. Date: t1 = 7 h 30 min, t 2 = 16 h 45 min, Δtpp = 45 min, Δtp = 10 min,

t1′ = 10 h 5 min 25 s, t 2′′ = 14 h 2 min 32 s; Cerinţe: a. Δt ; b. Δtlucru ; c. t2′ ; d. t1′′. Rezolvare a. Δt = t 2 - t1 Δt = 16 h 45 min- 7 h30 min = 9 h 15 min; b. Δtlucru = Δt - Δtpp - 3Δtp Δtlucru = 9h 15 min- 45 min-3 × 10min =

9 × 60min + 15 min - 45 min- 30 min = 480 min = 8h c. Δtp = t 2′ - t1′ t 2′ = Δtp + t1′ = 10min+10h 5min 25 s = 10h 15min 25 s d. Δtp = t2′′ - t1′′ Δtp = t 2′′ - t1′′ = t 2′′ - Δtp = 14h 2min 32s - 10min = 13h 62min 32s - 10min =

= 13h 52min 32 s; răspuns: a. Δt = 9 h 15 min; b. Δtlucru = 8h; c. t 2′ = 10h 15min 25 s; d. t1′′ = 13 h 52 min 32 s.

17

Probleme I.4.1. Ordonaţi în sens descrescător următoarele durate: Δt1 = 0,3 min, Δt 2 = 3000 ms, Δt3 = 0,01 h, Δt 4 = 1 min 10 s. I.4.2. La o întrecere de atletism, 5 elevi măsoară cu acelaşi tip de cronometru intervalul de timp în care unul dintre colegii lor parcurge o anumită distanţă. Ei obţin următoarele rezultatele: Δt1 = 70 s, Δt 2 = 74 s, Δt3 = 68 s, Δt 4 = 77 s, Δt5 = 69 s. Să se calculeze a. durata medie a cursei; b. eroarea medie; c. durata cursei. I.4.3. Un autocar pleacă din oraşul A la ora t1 = 22 h 3 min 25 s şi ajunge în oraşul B la ora t 2 = 3 h 1 min 55 s. Calculaţi durata deplasării autocarului. I.4.4. O operaţie a durat Δt = 3 h 37 min 35 s. Ştiind că operaţia a început la ora t1 = 9 h 52 min 45 s, aflaţi la ce ora s-a terminat operaţia. I.4.5. Vârsta medie a unui om este 2 207 520 000 s. Exprimaţi vârsta medie într-o unitate convenabilă. I.5. Măsurarea masei Informaţii de bază

• masa unui corp este o mărime fizică fundamentală şi are ca simbol litera m; • unitatea de măsură a masei în Sistemul Internaţional de Mărimi şi Unităţi (SI) se numeşte kilogram, este notată prescurtat kg şi aceasta se scrie astfel < m >= kg; din motive practice, kilogramul are multipli şi submultipli (vezi C8, pag. 215); în acelaşi timp, se utilizează şi alte unitaţi de măsură cum ar fi tona, 1 t=103 kg; • aflarea masei unui corp se numeşte cântărire, balanţa fiind instrumentul utilizat în acest scop.

18

Probleme I.5.1. Un corp are masa m = 0,01 kg. Exprimaţi masa corpului în grame şi în decigrame. I.5.2. Efectuaţi operaţiile de mai jos, exprimând rezultatele în unitatea de măsură cerută la fiecare exerciţiu : 1 kg+2 000 mg=? (în centigrame); a. 103 2 b. 4 × 104 dg - 3 t=? (în kilograme); 10 c. 20 dag + 4000 dg-6 hg=? (în kilograme). I.5.3. Folosind acelaşi tip de balanţă, un elev cântăreşte de mai multe ori o radieră. El a găsit următoarele valori: m1 = 21,5 g, m2 = 21,8 g, m3 = 22,7 g, m4 = 21,5 g, m5 = 21,1 g. Să se calculeze a. masa medie a radierei; b. eroarea medie; c. masa radierei. I.5.4. O bijuterie din aur roşu este realizată dintr-un aliaj de aur şi cupru de 18 carate. Bijuteria cântareşte m = 120 g. Să se afle masa aurului şi a cuprului conţinute de bijuterie. Informaţie: un aliaj de aur are X carate dacă 24 g din acel aliaj conţine X g de aur pur. I.6. Densitatea Informaţii de bază

• densitatea unei substanţe este o mărime fizică derivată şi se notează cu litera grecească ρ, care se citeşte „ro”, (v. Tabelul 1, pag. 219): • formula de definiţie a densităţii unei substanţe este: m ρ= M2 V unde cu m s-a notat masa unui corp confecţionat din acea substanţă şi cu V volumul acestuia; • unitatea de măsură a densităţii în Sistemul Internaţional de Mărimi şi Unităţi (SI) se deduce de la formula de definiţie astfel: < m > kg ; uneori, pentru exprimarea densităţii cu un nu< ρ >= = < V > m3 măr minim de cifre, se utilizează şi alte unităţi de măsură; 19

• densitatea unei substanţe poate fi aflată pe cale experimentală, măsurând masa şi volumul unui corp confecţionat din acea substanţă. Exemplul 1

kg . Exprimaţi densitatea m3 ⎛ g ⎞ ; b. în tone pe aluminiului: a. în grame pe centimetru cub ⎜ 3 ⎟ ⎝ cm ⎠ ⎛ t ⎞ ⎛ kg ⎞ metru cub ⎜ 3 ⎟ ; c. în kilograme pe litru ⎜ ⎟ . ⎝m ⎠ ⎝ ⎠ kg Date: ρ = 2700 3 ; m g t kg Cerinţe: a. ρ = ? . ; b. ρ = ? 3 ; c. ρ = ? 3 cm m Rezolvare kg 1000 g g a. ρ = 2700 3 = 2700 × = 2,7 ; 3 m 1 000000 cm cm3 kg 1t 1 t b. ρ = 2700 3 = 2700 × × 3 = 2,7 3 ; m 1000 m m kg kg kg c. ρ = 2700 3 = 2700 × = 2,7 ; 3 m 1 000 dm g t kg răspuns: a. ρ = 2,7 ; b. ρ = 2,7 3 ; c. ρ = 2,7 . 3 cm m 1. Aluminiul are densitatea ρ = 2700

Exemplul 2

Densitatea benzinei este egală cu ρ = 0,8

kg

. Să se exprime

g kg ; b. în 3 . 3 cm m kg g kg Date: ρ = 0,8 ; Cerinţe: a. ρ = ? ; b. ρ = ? 3 3 cm m Rezolvare kg 1 000 g g a. ρ = 0,8 = 0,8 × = 0,8 ; 3 1000 cm cm3

densitatea benzinei: a. în

20

b. ρ = 0,8

kg

= 0,8 ×

kg

= 800

kg ; m3

1 m3 1000 g kg răspuns: a. ρ = 0,8 ; b. ρ = 800 3 . 3 cm m

Exemplul 3 Un zar din porţelan are latura L = 2 cm. Să se determine masa zarului exprimată în unitatea cea mai convenabilă. kg Date: = 2 cm, ρ = 2300 3 ; Cerinţe: m . m Rezolvare se aplică: • formula densităţii M2 ; • formula volumului unui cub V = L3 ; calcule: • calcularea volumului zarului: 1 8 3 V = ( 2 cm ) =8 cm3 =8× m3 = 6 m3 ; 1 000 000 10 • calcularea masei: M2 ⇒ m = ρ × V (1) • în relaţia (1) se înlocuiesc valorile densităţii şi volumului: kg 8 8 kg m = 2300 3 × 6 m3 = [2300× 6 ][ 3 ×m3 ] ⇒ m 10 10 m 8 kg 18,4 m = [2300× 6 ][ 3 ×m3 ] = kg = 0,0186 kg = 18,4 g 10 m 1000 răspuns: m = 18,4 g . Probleme I.6.1. Densitatea zincului este egală cu ρ = 7100

această densitate în: a.

kg . Exprimaţi m3

g t ; b. . 3 cm hm3

I.6.2. O bară din plumb are volumul egal cu V = 20 dm3 . Să se calculeze masa barei.

21

I.6.3. Să determine volumul unui inel din aur care cântăreşte 3,86 g. Rezultatul să fie exprimat în unitatea cea mai convenabilă. I.6.4. Un kilogram de apă se toarnă într-un cilindru a cărui bază are aria Sb = 25 cm2 . Să se afle înălţimea stratului de apă. I.6.5. Într-un pahar de formă cubică, plin pe jumătate cu apă, se introduce o sferă din cupru, de volum Vs = 10 cm3 . Paharul are masa

mpahar =101 g şi latura L = 1 dm. Să se afle: a. cu cât creşte nivelul apei din pahar; b. cât cântăreşte paharul cu apa în care s-a introdus bila. I.6.6. Două bare, de aceeaşi arie a secţiunii transversale, au aceeaşi masă. Prima bară este din alumniu iar a doua din fier şi are lungimea L2 = 18 dm. Să se afle lungimea barei din aluminiu L1. I.6.7. Un vas gol cântăreşte m1 = 200 g, iar plin cu apă m2 = 260 g. Vasul umplut cu un lichid de densitate necunoscută cântăreşte m3 = 245 g. Să se determine densitatea lichidului necunoscut. I.6.8. Un model din fontă are volumul exterior Vext = 317 cm3 şi masa kg m = 2,1 kg. Considerând densitatea fontei ρ = 7000 3 , să se afle: m a. volumul ocupat de fontă; b. volumul golurilor. I.6.9. Relaţia dintre razele a două bile sferice, confecţionate din aceeaşi sticlă, este r1 = 3 r2 . Masa sferei mai mici este m2 = 2,4 g. Să se afle masa celeilalte bile. I.6.10. Se amestecă 1 litru de apă cu 0,5 litri de alcool. Să se determine densitatea amestecului astfel format. Rezultatul să fie dat în kg . I.6.11. Între densităţile a două substanţe există relaţia ρ1 = 1,25 ρ2 . Aliajul format din cele două substanţe are densitatea ρaliaj = 1,15 ρ2 .

Să se calculeze raportul maselor ( m1 / m2 ) luate din cele două substanţe pentru a se realiza aliajul.

22

I.7. Mişcare rectilinie uniformă Informaţii de bază

• definiţie: mişcarea este un fenomen fizic, care înseamnă schimbarea în timp a poziţiei unui corp (numit mobil) faţă de alt corp, considerat reper; • poziţia mobilului faţă de reper poate fi exprimată cu ajutorul coordonatelor; dacă traiectoria este în linie dreaptă şi coincide cu axa Ox, atunci se alege ca reper originea acestei axe şi poziţia mobilului va fi dată de coordonata x; • în figura alăturată, sunt redate B ( x2 ) A ( x1 ) poziţiile mobilului pentru două momente: la momentul t1 mobilul O x se află în punctul A de coordonată x1, iar la momentul t 2 mobilul se află în punctul B de coordonată x2 ; se notează cu Δt = t 2 - t1 ( M1 ) durata mişcării şi cu Δx = x2 - x1 M3 deplasarea mobilului (în exemplul ales, distanţa parcusă de mobil); • definiţie: viteza medie a mobilului în intervalul de timp Δt este egală cu raportul dintre distanţa totală parcursă de mobil şi durata considerată; formula de definiţie: Δx v medie = M4 Δt < Δx > m • unitatea de măsură a vitezei medii în SI: < v medie > = = ; < Δt > s • definiţie: mişcarea în linie dreaptă cu viteză constantă se numeşte mişcare rectilinie uniformă; • legea mişcării rectilii uniforme este: Δx = v ·Δt sau x = x0 + v ( t - t0 ) M5 în care x0 reprezintă coordonata mobilului la momentul iniţial notat cu t0 şi cu x s-a notat coordonata mobilului la momentul t .

23

Exemplul 1

km iar a unei bih m m km şi a bicicletei în ciclete v 2 = 2 . Exprimaţi viteza maşinii în . s s h Rezolvare se transformă kilometrii în metri şi ora în secunde: 1000 m m v = 21,6 × =6 3600 s s se transformă metrii în kilometri şi secunda în ore: m 1 1 1 km v2 = 2 = 2 × km × = 2× km × 3 600 h = 7,2 1 s 1000 1000 h h 3 600 La un moment dat, viteza unei maşini este v1 = 21,6

Exemplul 2 Un mobil se deplasează dea lungul axei Ox (v. fig. alăturată). În momentul t1 = 2 min 37 s, mobilul se

A ( x1 )

B ( x2 )

O

x(m) 2

4

6

8

află în punctul A de coordonată x1 = 3 m şi după Δt = 1 min 33 s ajunge în punctul B de coordonată x2 = 5 m. Să se afle: a. momentul sosirii în punctul B; b. deplasarea mobilului Δx. Date: t1 = 2 min 27 s, x1 = 3 m, Δt = 1min 33 s, x2 = 5 m. Cerinţe: a. t 2 ; b. Δx. Rezolvare a. se foloseşte expresia duratei M1 : Δt = t 2 - t1 ⇒ t 2 = t1 + Δt calcule t 2 = 2 min 37 s+1 min 33 s = 3 min70 s = 4min10 s b. se foloseşte expresia deplasării M3 : Δx = x2 - x1 calcule Δx = 5 m - 3 m = 2 m răspuns: a. t 2 = 4min10 s; b. Δx = 2 m .

24

Exemplul 3 În cât timp, un camion care se deplasează cu viteza v = 32,4 km/h străbate 2700 m? Rezultatul să fie exprimat în secunde. Date: v = 32,4 km/h, Δx = 2 700 m . Cerinţe: Δt . Rezolvare se foloseşte legea mişcării rectilinii uniforme M5 : Δx = v × Δt calcule • se exprimă viteza în m/s: km 1 000 m m v = 32,4 = 32,4 × =9 h 3 600 s s Δx (1) • din M5 se calculează durata Δt = v 2700m 2700 s m× = 300 s = • în (1) se înlocuiesc valorile: Δt = m 9 m 9 s Probleme I.7.1. Un motociclist parcurge fiecare din cele patru porţiuni în acelaşi interval de timp (fig. I.7.1). Ordonaţi segmentele în sensul crescător al vitezei cu care sunt parcurse. A

B

D

C

E

Fig. I.7.1.

I.7.2. Un biciclist se mişcă cu viteza de 25,2 km/h iar un patinator cu viteza de 12 m/s. Cine se mişcă mai repede? I.7.3. Începând de la un anumit moment, paraşutistul coboară uniform cu viteza v = 5 m/s. Ştiind că el coboară cu această viteză timp de 4 min, să se calculeze distanţa parcursă de paraşutist în intervalul de timp dat. I.7.4. Un automobil, care se deplasează cu viteza 17 m/s, trece prin dreptul bornei kilometrice 24 la ora t1 = 11 h. Considerând că automobilul se mişcă rectiliniu uniform, la ce oră trece prin dreptul bornei kilometrice 75?

25

I.7.5. O anumită distanţă este parcursă de biciclistul A în 5 s iar de biciclistul B într-un interval de timp de 1,25 ori mai mare. Ştiind că biciclistul A are viteza de 5 m/s, să se determine viteza biciclistului B. I.7.6. Un tren parcurge distanţa dintre două staţii A şi B, Δx = 28 km, astfel: un sfert cu viteza v1 = 7 m/s iar restul cu viteza v1 = 37,8 km/h.

Trenul pleacă din staţia A la ora t1 = 12 h 25 min. Să se afle: a. intervalul de timp în care trenul parcurge distanţa dintre staţii; b. ora la care ajunge trenul în staţia B; c. viteza medie, exprimată în km/h, cu care parcurge trenul distanţa dintre staţii. I.7.7. Punctul material se deplasează de-a lungul axei Ox cu viteză constantă. În tabelul de mai jos sunt date coordonatele punctului material în anumite momente.

t(s) 0 x(m) 0

2 0

4 0

6 4

8 8

10 12

Cerinţe: a. să se reprezinte grafic legea mişcării punctului material; b. să se determine poziţia punctului material în momentul t1 = 3 s; c. să se afle momentul în care punctul material se află în punctul de coordonată x2 = 10 m; d. să se calculeze viteza punctului matrial. x

(1)

(2)

I.7.8. În figura I.7.8. sunt redate graficele legilor de mişcare pentru punctele materiale (1) şi (2). Stabiliţi asemănările şi deosebirile dintre cele două mişcări.

t O

Fig. I.7.8. x(m)

I.7.9. Graficul din figura I.7.9. arată cum se schimbă în timp coordonata unui mobil. Cerinţe: a. stabiliţi coordonata mobilului în momentul t0 = 0 s; b. intervalul de timp în care mobilul ajunge din punctul de coordonată x1 = 6 m în cel de coordonată x2 = 15 m; c. viteza mobilului în fiecare din cele trei etape. 26

15 12 9 6 3 O

t(s) 2

4

6

8 10

Fig. I.7.9.

I.7.10. În figura I.7.10. este redat modul în v(m/s) care variază în timp viteza unui punct material, care se deplasează pe o traiectorie 6 rectilinie. a. Stabiliţi valoarea vitezei punctului mate- 4 rial pentru fiecare etapă a mişcării. 2 t(s) b. Calculaţi deplasarea punctului material în O cele 9 s de mişcare. 2 4 6 8 10 c. Stabiliţi semnificaţia fizică a ariei haşuraFig.I.7.10. te; d. Aflaţi viteza medie a punctului material. Exprimaţi viteza în km/h. I.7.11. Legea de mişcare a punctului material, a cărui traiectorie coincide cu axa Ox, este x = 4 + 2(t - 1), exprimată în unităţi de măsură din SI. Stabiliţi semnificaţia fizică a valorilor din legea de mişcare dată. I.7.12. Două mobile A şi B încep simultan să se deplaseze cu viteze constante de-a lungul axei Ox. Legea de mişcare a primului mobil este x A = 2 - 3t , iar a celui de-al doilea xB = - 4 + 3t , exprimate în unităţi de măsură din SI. Cerinţe: a. realizaţi o schiţă în care figuraţi axa Ox, mobilele în momentul t = 0 s şi, prin săgeţi paralele cu axa dată, sensul lor de mişcare; b. determinaţi coordonatele mobilelor în momentul t1 = 1 s; c. interpretaţi rezultatul obţinut la cerinţa b.; d. calculaţi distanţa dintre mobile în momentul t 2 = 3 s. I.7.13. Informaţiile cu privire la mişcarea rectilinie şi uniformă a două mobile sunt date astfel: pentru mobilul A sub forma tabelului de date de mai jos şi pentru mobilul B prin legea de mişcare xB = 2 + t , în unităţi SI. Cerinţe: a. reprezentaţi, pe acelaşi sistem de axe, dependenţa de timp a coordonatei mobilelor; b. stabiliţi coordonatele punctului de intersecţie a celor două grafice şi arătaţi semnificaţia fizică a acestora.

t(s) x A (m)

0 -1

1 1

27

2 3

3 5

4 7

I.7.14. Un camion şi un automobil, pornind din localităţi situate la distanţa d = 48 km una faţă de cealaltă, se deplasează unul spre celălalt. Camionul porneşte la ora t1 = 12 h cu viteza v1 = 43,2 km/h. Automobilul are viteza v 2 = 64,8 km/h şi se întâlneşte cu camionul la o distanţă d ′ = 12 km de locul de pornire al camionului. Să se determine: a. ora la care se întâlnesc cele două maşini; b. ora la care a plecat autoturismul. I.7.15. Din două oraşe A şi B, aflate la distanţa d = 7 km, pleacă simultan doi biciclişti care au vitezele v1 = 10,8 km/h, respectiv v 2 = 4 m/s. Dacă bicicliştii pleacă unul spre celălalt, să se afle: a. după cât timp, din momentul plecării, se întâlnesc bicicliştii; b. la ce distanţă faţă de oraşul A se întâlnesc bicicliştii; c. cu ce viteză se apropie unul de celălalt. I.7.16. Două mobile A şi B au poziţiile redate în schiţa din figura I.7.16. Mobilele încep simultan, la momentul t0 = 0 s, să se deplaseze în sensul indicat pe schiţă, cu vitezele v A = 8 m/s, respectiv v B = 16 m/s. Să se afle: a. momentul întâlnirii celor două mobile; b. coordonata punctului de întâlnire; c. viteza cu care mobilul B se apropie de mobilul A. O 0

x(km) B

2

4 Fig.I.7.16.

6

A

I.7.17. Două maşini A şi B se deplasează pe o autostradă rectilinie cu viteze constante. În figura I.7.17. sunt indicate poziţiile iniţiale şi sensurile de mişcare. Vitezele maşinilor au valorile: v A = 21 m/s, respectiv v B = 27 m/s. Să se afle: a. după cât timp distanţa dintre maşini se dublează; b. deplasarea fiecărei maşini în condiţiile punctului a.; c. viteza cu care maşina A se îndepărtează de maşina B. O

B

0

30

A 60 Fig.I.7.17.

x(km)

90

I.7.18. Două poduri peste un râu sunt situate la distanţa d = 1 hm. Un înotător parcuge distanţa dintre localităţi într-un sens, în Δt1 = 100 s, iar în sens invers, în Δt 2 = 200 s. Determinaţi viteza înotătorului ( v 1 ) şi viteza de curgere a râului ( v 2 ).

28

I.8. Forţa Informaţii de bază

• •

• • •

•

•

forţa este mărimea fizică derivată, care măsoară interacţiunea; în general – forţa se notează cu litera F; unitatea de măsură a forţei în SI se numeşte newton şi se notează cu litera N, adică < F > = N; pentru exprimarea convenabilă a valorilor forţei se utilizează multipli şi submultipli ai acestuia (vezi C9, pag. 215); instrumentul folosit pentru măsurarea forţei se numeşte dinamometru; datorită interacţiunii, corpurile: o îşi pot modifca forma – se deformează; o îşi pot schimba starea de mişcare; efectele forţei depind atât de caracteristicile corpului asupra căruia acţionează cât şi de cele ale forţei; caracteristicile unei forţe, care influenţează efectul ei asupra unui corp dat, sunt: o valoarea forţei; o sensul de acţiune al forţei; o direcţia pe care acţionează forţa; cunoaşterea completă a unei forţe înseamnă precizarea tuturor elementelor care influenţează efectul ei, adică: valoare, direcţie, sens şi corpul asupra căruia acţionează; din aceste motive, se afirmă că forţa este o mărime fizică vectorială; precizare cu privire la notaţii: F reprezintă valoarea forţei, numită şi modul, iar F reprezintă vectorul forţă – adică toate cele patru caracteristici ale ei – modul, direcţie, sens şi punct de aplicaţie; modul 4 N 1N

•

vectorul F poate fi reprezentat grafic (fig. alăturată);

A

F

punct de aplicaţie direcţie

•

notaţie

sens

operaţiile cu mărimile fizice vectoriale se realizează după reguli specifice, care diferă de operaţiile cu mărimile fizice scalare;

29

• • •

un sistem de forţe care acţionează asupra unui corp poate fi înlocuit cu una singură, numită rezultantă, care are acelaşi efect ca al sistemului dat; operaţia prin care un sistem de forţe este înlocuit cu rezultanta corespunzătoare se numeşte compunerea/adunarea forţelor; operaţia prin care o forţă este înlocuită prin două forţe, care împreună au acelaşi efect ca şi forţa dată, se numeşte descompunerea forţei respective; forţele care se obţin prin descompunere sunt numite componente.

Probleme I.8.1. Ordonaţi, în sensul crescător al modulului, următoarele forţe: 24 F1 = 0,003 kN, F2 = 12 000 mN, F3 = 7 MN, F4 = 12 dN. 10 I.8.2. Efectuaţi operaţiile şi exprimaţi rezultatul în unitatea de măsură notată la fiecare exerciţiu: 4 a. 0,7 hN - 200 cN+ 3 daN=? (în decanewtoni) 10 3 b. 100 000 N + 10 daN + 1 000 000 000 mN=? (în kilonewtoni) Exemplul 1 O forţă are modulul F = 3 N şi punctul de aplicaţie în originea sistemului de axe xOy. Să se reprezinte grafic această forţă atunci când: a. are orientarea axei Ox; b. are direcţia axei Oy şi sensul negativ al acestei axe; c. formează un unghi α = 45 cu axa Ox. Rezolvare (v. fig. alăturată) y o se desenează cu linii punctate şi se 1N notează sistemul de axe xOy; Fc o se alege scara de reprezentare – un α x O segment care reprezintă 1 N; a. începând din O, de-a lungul şi în sensul Fa pozitiv al axei Ox, repetăm de trei ori etalonul pentru newton; în capătul celui de-al treilea Fb segment desenăm săgeata care arată sensul vectorului forţă; astfel am construit un segment de dreaptă orientat; în apropierea acestui segment de dreaptă orientat scriem Fa ;

30

b. începând tot din O, de-a lungul axei Oy şi în sensul negativ al acesteia, repetăm de trei ori etalonul pentru newton; în continuare desenăm săgeata pentru sens; în apropierea vectorului astfel construit, scriem Fb ; c. folosind raportorul construim o dreaptă care trece prin punctul O şi formează cu axa Ox un unghi de 45 ; pe această dreaptă, începând din punctul O şi spre dreapta, construim vectorul Fc , pe care, în final, îl notăm. I.8.3. Să se reprezinte grafic următoarele forţe care au acelaşi modul 2 N: a. F1 cu punctul de aplicaţie în originea sistemului de axe xOy şi

care formează cu axa Ox un unghi α1 = 180 ; b. F2 cu punctul de aplicaţie în punctul B de coordonate xB = 4 cm, y B = 0 şi care formează cu axa Oy un unghi α 2 = 30 ; c. F3 cu punctul de aplicaţie în punctul C de coordonate xC = 0, y C = 6 cm şi care formează cu axa Ox un unghi α3 = - 60 . Precizare: unghiurile se consideră pozitive dacă, pornind de la reper, sunt parcurse în sensul invers mişcării acelor de ceasornic şi negative când sunt parcurse în sensul mişcării acelor de ceasornic. y

1cm

I.8.5. Stabiliţi caracteristicile forţelor reprezentate în fig. I.8.5.

F1 1cm

I.8.4. Comparaţi forţele F2 şi F3 date în problema I.8.3.

1N

D

F3

A

F2

O

x

F4

Exemplul 2 Se dau două forţe cu acelaşi punct de aplicaţie, care au aceeaşi direcţie şi modulele F1 = 4 N, respectiv F2 = 5 N. Să se afle caracteristicile rezultantei acestor forţe atunci când unghiul dintre forţe este: a. α = 0 ; b. α = 180 .

31

Rezolvare (figura de mai jos) a.

F1

a1

F1

a2

b.

b1

F2 F2

b2 R

a3

b3

F1

F2

F1 F2 R

a.

•

se reprezintă forţele F1 şi F2 (fig. a1 .)

•

în vârful forţei F1 se desenează forţa F2 (fig. a2 .);

• •

se uneşte vârful lui F2 cu originea lui F1 ; vectorul astfel obţinut reprezintă rezultanta forţelor date (fig. a3 ); rezultanta are direcţia şi sensul forţelor care se compun, iar modulul R = 9 N;

•

se reprezintă forţele F1 şi F2 (fig. b1 .)

•

în vârful forţei F1 se desenează forţa F2 (fig. b2 .);

• •

se uneşte vârful lui F2 cu originea lui F1 ; vectorul astfel obţinut reprezintă rezultanta forţelor date (fig. b3 ); rezultanta are direcţia forţelor, sensul forţei de modul mai

b.

mare ( F2 ) şi modulul R′ = 1 N. În concluzie: • rezultanta a două forţe concurente, care au aceeaşi direcţie şi acelaşi sens, are aceeaşi direcţie, acelaşi sens cu forţele date şi modulul: Rfr.ac. orientare = F1 + F2 M6 • rezultanta a două forţe concurente, care au aceeaşi direcţie şi sens contrar, are aceeaşi direcţie cu forţele date, sensul forţei de modul mai mare şi modulul: Rfr.ac. directie,sens contrar = F1 - F2 M7

32

I.8.6. Două forţe, cu acelaşi punct de aplicaţie (forţe concurente) şi aceeaşi direcţie, au modulul rezultantei egal cu 12 N atunci când unghiul dintre este α = 0 . Ştiind că una dintre forţe are modulul egal cu 7 N, să se determine modulul celeilalte forţe. I.8.7. Forţele concurente şi coliniare F1 şi F2 dau o rezultantă de modul R = 123 N când au acelaşi sens şi o rezultantă de modul R′ = = 51 N când au sens contrar. Ştiind că forţele F1 şi R ' au sensul axei Ox, să se afle modulele forţelor. I.8.8. Asupra punctului material acţionează forţele coliniare F1 şi F2 , de module F1 = 66 N şi F2 = 36 N. Să se stabilească valorile modulului rezultantei forţelor date. I.8.9. Două echipe (1) şi (2) trag de capetele unei sfori orizontale cu forţele F1 = 100 N spre dreapta şi F2 = 101 N stânga. Cine va câştiga întrecerea şi în ce sens se vor deplasa echipele? Justificaţi răspunsul. I.8.10. Se dă sistemul de forţe concurente din fig. I.8.10. Să se F3 calculeze modulul rezultantei sistemului de forţe.

F1

F2

Fig. I.8.10.

Exemplul 3 Două forţe concurente, de module F1 = 3 N şi F2 = 4 N, formează între ele unghi α = 90 . Cerinţe: a. pe cale grafică, să se stabilească orientarea rezultantei forţelor date; b. să se calculeze modulul rezultantei. Rezolvare a. fig. de mai jos B E

C

F2

F2

O

a1

F1

a2

F1 A

F2

O

a3 33

C

D

F2

O

B

B

F1

A

D E

R

O

a4

F1

A

•

se reprezintă forţele F1 şi F2 (fig. a1 .)

•

din vârful forţei F1 se desenează paralela AB la forţa F2 (fig. a2 .);

•

din vârful forţei F2 se desenează paralela CD la forţa F1 (fig. a3 .); se notează cu E punctul de intersecţie al celor două paralele; se uneşte originea vectorilor cu punctul E (fig. a4 ), se desenează săgeata la capătul din E şi se notează vectorul astfel obţinut cu R;

• •

b.

•

operaţia de adunare a vectorilor, aplicată la forţe, se scrie astfel R = F1 + F2 M8

•

analizând fig. a4 , observă că rezultanta reprezintă ipotenuza triunghiului dreptunghic OEC şi pentru calcularea modulului se poate aplica teorema lui Pitagora (C15 – pag. 217 pentru triunghiul dreptunghic R 2 = F12 + F22 calcule: 2 M9 Rfr.perpend. = F12 + F22

•

⇒ R2 = F12 + F22 ⇒ R = F12 + F22 ⇒ R = (3 N)2 + (4 N)2 = 5 N

răspuns : R = 5 N. I.8.11. Unghiul dintre forţele concurente şi de module F1 = 6 N şi

F2 = 8 N are valoarea α = 90 . Să se afle modulul rezultantei. I.8.12. Se dă sistemul de forţe din figura I.8.12. Dacă forţele au modulele egale cu 7 N fiecare, să se afle: a. modulul rezultantei; b. unghiul pe care rezultanta îl formează cu una dintre forţe.

F2 O

F1

Fig. I.8.12.

I.8.13. Despre rezultanta sistemului de forţe din F figura I.8.13. se ştie că are modulul R = 16 2 N şi 2 F 3 F1 că formează cu fiecare dintre forţe unghiuri egale. Se mai cunosc modulele a două dintre forţe: O Fig. I.8.13. F1 = 16 N şi F2 = 11 N. Să se afle modulul forţei F3 .

34

I.8.14. Forţa F1 are orientarea axei Ox şi modulul egal cu 17 N, forţa F2 are orientarea axei Oy şi modulul egal cu 8 N, iar forţa F3 are direcţia axei Ox şi sensul negativ al acesteia. Rezultanta sistemului de forţe are modulul egal cu 10 N şi formează cu axa Ox un unghi α < 90 . Cerinţe: a. desenaţi forţele şi rezultanta acestora; b. calculaţi modulul forţei F3 .

Exemplul 4 Forţe de module egale 100 N fiecare formează între ele un unghi α = 120 . Stabiliţi caracteristicile rezultantei acestor forţe. Rezolvare Date: F1 = F2 = 100 N, α = 120 . Cerinţe: caracteristicile lui R . a. punctul de aplicaţie al rezultantei este comun cu cel al foeţelor, O ; b. orientarea rezultantei se află pe cale grafică şi folosind noţiuni de geometrie • se reprezintă forţele F1 şi F2 (fig. a1 .) B E

C

F2

F2 α O

a1

β F1

•

O

a2

D

A

F1

se construieşte rezultanta forţelor folosind regula paralelogramului, expusă şi la exemplul 3 (fig. a2 ); • figura OCEA este un paralelogram cu laturi egale, pe care diagonala OE îl împarte în două triunghiuri egale; diagonala OE este şi bisectoarea unghiului α , astfel că unghiul pe care rezultanta îl formează cu fiecare dintre forţe are valoarea β = 60 ; c. modulul rezultantei poate fi aflat prin calcule sau continuând analiza figurii a2 o prin calcule – se foloseşte teorema lui Pitagora (C16 – pagina 218) pentru un triunghi oarecare: R 2 = F12 + F22 + 2F1F2 cos α M10 35

2 2 2 ⎪⎧R = F1 + F2 + 2F1F2 cos α ⇒ R 2 = F 2 + F 2 + 2FF cos α = 2F 2 (1 + cos α ) ⇒ ⎨ F F = ⎪⎩ 1 2

R = F 2(1 + cos α ) 1 R = 100 2(1 - ) N = 100 N ⇒ 2

R = 100 N

I.8.15. Două forţe concurente au modulele egale şi formează între ele un unghi al cărui cosinus este egal cu 0,28. Ştiind că modulul rezultantei este egal cu 32 N, să se afle modulele celor două forţe. F2

I.8.16. Se dă sistemul de forţe din figura I.8.16. Fortele au modulele egale cu 10 N fiecare şi direcţiile lor formează între ele un unghi α = 120 . Să se afle modulul rezultantei.

α

α F3

O

α

F1

Fig. I.8.16.

I.8.17. Forţele F1 şi F2 au punctele de aplicaţie în originea axei Oy şi formează cu aceasta unghiurile α1 = 30 respectiv α 2 = - 30 .

Modulul forţei F1 este egal cu 8 N, iar al rezultantei, cu 13 N. Să se determine modulul forţei F2 . informaţii: ● folosiţi relaţia C17 de la pag. 218 ; ● valorile funcţiei cosinus sunt în tabelul de la pag. 217. I.8.18. Asupra punctului material acţionează sistemul de forţe din figura I.8.18, ale căror module au valorile: F1 = 8 N, F2 = 6 N. Să se

afle orientarea şi modulul unei forţei F3 , care acţionând simultan cu celelalte două forţe are ca efect menţinerea stării de mişcare a punctului material. Exemplul 5 O forţă F , de modul F = 20 N, are punctul de aplicaţie în originea sistemului de axe xOy, formând un unghi α = 30 cu axa Ox. Să se descompună forţa dată după cele două axe şi să se calculeze modulele celor două componente.

36

Rezolvare Date: F = 20 N, α = 30 . Cerinţe: Fx , Fy .

se desenează sistemul de referinţă şi forţa F (fig. a1 ); descompunerea se realizează astfel: • din vârful E al vectorului F se construieşte paralela AB la axa Oy (fig. a2 ); •

din vârful E al vectorului F se construieşte paralela CD la axa Ox (fig. a3 );

•

segmentele OB şi OD reprezintă modulele celor două componente pe care le notăm cu Fx , respectiv Fy (fig. a4 );

•

relaţia vectorială dintre forţa F şi componentele Fx şi Fy este F = Fx + Fy

(1),

respectiv între modulele acestora F = Fx2 + Fy2 calcule: y

y

y

y

A E

A E

F

F

α O

α x

a1

D

O

B

x

o

o

o

F

O

a2

(2);

α

B

x

a3

C

A E

D

F

Fy O

Fx

α

C

B

x

a4

segmentul OB , fiind cateta alăturată unghiului α din triunghiul dreptunghic OAB, se poate calcula folosind formula de definiţe a cosinusului C10 pag. 216: OB cos α = ⇒ OB=OEcos α ⇒ Fx = F cos α (3) OE segmentul OD fiind egal cu segmentul BE (cateta opusă unghiului α în triunghiul OAB), poate fi calculat folosind formula de definiţie a sinusului C11 pagina 216: EB sin α = ⇒ EB=OE sin α ⇒ Fy = F sin α (4) OE înlocuirea valorilor în formulele (3) şi (4): 3 1 Fx = 20 N× = 17,3 N; Fy = 20 N × = 10 N. 2 2

37

I.8.19. Se descompune forţa F în două componente care au direcţiile axelor Ox şi Oy. Modulul uneia dintre componentele este egal cu 8 N. Ştiind modulul forţei F = 10 N, să se calculeze modulul celeilalte componente. I.8.20. O forţă de modul F = 40 N are punctul de aplicaţie în originea sistemului de axe xOy şi formează cu axa Ox un unghi α = 60 . Să se descompună forţa dată după cele două axe şi să se calculeze modulele celor două componente. I.9. Greutatea Informaţii de bază

• •

definiţie: greutatea unui corp este forţa cu care acel corp este atras de către Pământ; simbolul greutăţii este litera G, unitatea de măsură în SI este < G > = N;

•

greutatea este mărime fizică vectorială ( G ), cu următoarele caracteristici: o modulul dat de relaţia G = mg M11 unde m reprezintă masa corpului iar cu g s-a notat o mărime fizică numită acceleraţie gravitaţională, a cărei valoare în N România şi la suprafaţa Pământului are valoarea g = 9,8 ; kg o direcţia verticală; o sensul spre Pământ; o punctul de aplicaţie se numeşte centru de greutate; • instrumentul cu care se măsoară greutatea unui corp se numeşte dinamometru.

Exemplul 1 Un buştean are volumul V = 6 m3 . Să se calculeze greutatea buşteanului, exprimată în unitatea cea mai convenabilă. Densitatea lemnkg ului este ρ = 500 3 . m kg N Date: V = 6 m3 ; ρ = 500 3 ; g = 9,8 . Cerinţe: G. m kg 38

Rezolvare se aplică formula greutăţii M11 G = mg pentru că în relaţia M11 sunt două necunoscute (m, G), se aplică formula densităţii M2 m ρ= V calcule • din M2 se obţine m = ρV (1) • relaţia (1) se înlocuieşte în relaţia M11 şi rezultă G = ρVg (2) • în (2) se înlocuiesc valorile kg N kg N G = 500 3 × 6 m3 × 9,8 = 500 × 6 × 9,8 [ 3 × m3 × ] = 29 400 N m kg m kg răspuns: G = 29,4 k N . Exemplul 2 Pentru a urca în autocar, turistul trage pe verticală în sus de mânerul geamantanului cu o forţă de 90 N. Geamantanul are masa de 9 kg. Cerinţe: a. să se reprezinte forţele care acţionează asupra geamantanului; b. să se calculeze modulul rezultantei forţelor care acţionează asupra geamantanului; c. să se enumere caracteristicile rezultantei . N Date: F = 90 N; m = 9 kg; g = 9,8 . Cerinţe: G. kg Rezolvare F a. figura a1; R b. se aplică regula de compunere a forţelor asupra geamantanului acţionează două forţe: forţa depusă de turist şi forţa cu care geamantanul este atras G de către Pământ, deci a1 a2 R = F +G M8 cele două forţe au aceeaşi direcţie şi sensuri contrare, deci R = F -G M7

se aplică formula greutăţii M11 : G = mg

39

calcule: • se înlocuieşte expresia greutăţii M11 în relaţia M7 R = F - mg

(1)

•

în (1) se înlocuiesc valorile N R = 90 N - 9 kg×9,8 = 1,8 N kg c. figura a2 , rezultanta are: • direcţia verticlă; • sensul în sus; • punctul de aplicaţie geamantanul; • modulul 1,8 N. Probleme I.9.1. Un creion are masa egală cu 20 g. Să se calculeze greutatea creionului. I.9.2. Să se determine latura cubului confecţionat din aluminiu şi care are greutatea de 26,46 mN. I.9.3. O carte are masa de trei ori mai mare decât a alteia, m1 = 3 m2 . Cât este raportul greutăţilor celor două cărţi aflate în acelaşi loc pe pământ? I.9.4. Cu cât scade nivelul apei dintr-un bazin cilindric atunci când se consumă apă în greutate de 392 kN? Aria bazei vasului este de 20 dam2 . I.9.5. Raportul greutăţilor a două bare are valoarea G1 / G2 = n = 2,4. Barele, de aceeaşi formă paralelipipedică, au aceeaşi lăţime şi înălţime, iar lungimile în relaţia L1 = 0,8 L2 . Să se determine raportul

densităţilor ρ1 / ρ2 . I.9.6. Într-un vas încap 200 mℓ apă. Cum se schimbă greutatea sistemului dacă în vasul plin cu apă se introduce o sferă din aluminiu de volum V = 100 cm3 ?

40

I.9.7. Dintr-un aliaj format din 75% cupru si 25% staniu se confecţionează o bilă de greutate G = 0,784 N. Să se afle masa cuprului din sferă. I.9.8. La un moment dat, asupra unei mingi aflate în aer acţionează forţele reprezentate în figura I.9.8. Mingea are masă m = 500 g. Forţele au modulele: F1 = 4 N, F2 = 4 N, F3 = 6 N. Stabiliţi în ce constă efectul dinamic al rezultantei forţelor care acţionează asupra mingii.

F3 F2

F1 G Fig.I.9.8.

I.9.9. Bila de masă m = 300 g urcă vertical cu viteza v = 5 m/s. Cerinţe: a. stabilirea modulului şi a orientării forţei care trebuie să acţioneze asupra bilei pentru ca aceasta să urce vertical cu viteza dată; b. reprezentarea forţele care acţionează asupra bilei în condiţiile date. I.10. Deformarea elastică. Forţa elastică Deformarea elastică Informaţii de bază

• definiţie: schimbarea formei şi a dimensiunilor unui corp, datorită interacţiunii cu alt corp, se numeşte deformare; • clasificarea deformărilor o deformări elastice – atunci când corpul, după încetarea interacţiunii, revine la forma pe care o avea înainte de interacţiune; o deformări plastice – atunci când corpul îşi menţine deformarea după încetarea interacţiunii; • forţa deformatoare o definiţie – forţa care determină deformarea corpului asupra căruia acţionează se numeşte forţă deformatoare; simbolul ei este Fdef.; • legea deformărilor elastice: o enunţ - alungirea unui resort ideal este direct proporţională cu forţa deformatoare; o formulare matematică: Fdef. = k Δ M12

41

k se numeşte constanta elastică a resortului, iar Δ se numeşte alungire şi este egală cu diferenţa dintre lungimea finală şi lungimea în stare nedeformată ( Δ = - 0 ); Δ o reprezentare grafică v. fig. alăturată; precizare: în toate aplicaţiile care urmează s-a considerat că resorturile au mase neglijabil de mici şi că deformările lor sunt elastice; O

Fdef .

Exemplul 1 Să se afle constanta elastică a resortului care, sub acţiunea greutăţii corpului de masă m = 300 g, se alungeşte cu Δ = 20 mm. Se va considera g = 10 N/kg. Date: m = 300 g; Δ = 20 mm; g = 10 N/kg . Cerinţe: k. Rezolvare se aplică legea deformărilor elastice Fdef. = k Δ M12 pe baza informaţiei din textul problemei Fdef. = G (1) se aplică formula greutăţii G = mg M11 calcule • pe baza relaţiilor M12 şi M11 , relaţia (1) devine: mg = k Δ (2) mg • din (2) calculăm constanta elastică k = ; (3) Δ • în (3) înlocuim valorile date, exprimate în SI: 0,3 kg×10 k=

N kg

0,02 m N răspuns: k = 150 . m

= 150

N ; m

Probleme I.10.1. De un resort cu lungimea în stare nedeformată 0 = 75 cm şi constanta elastică k = 1600 N/m se atârnă un corp de masă m = = 3200 g. Să se afle lungimea resortului în stare deformată. 42

I.10.2. Când de-a lungul unui resort se acţionează cu forţa de 156 N, el se alungeşte cu 10%. Să se determine cu cât la sută se alungeşte resortul atunci când de el se suspendă un cub din fier cu latura L = 1 dm. Se va considera g = 10 N/kg. I.10.3. Acelaşi corp se suspendă pe rând de resorturile reprezentate în fig. I.10.3. Se constată că alungirea (2) resortului (1) este de 1,25 ori mai mică decât alungirea (1) resortului (2). Cunoscând constanta elastică a resortului (2) k2 = 400 N/m, să se afle constanta resortului (1). Fig. I.10.3. I.10.4. În tabelul de mai jos sunt trecute valorile forţei deformatoare ce acţionează în lungul unui resort cu lungimea nedeformată 0 = 40 cm şi cele ale alungirilor corespunzătoare. Cerinţe: a. reprezentaţi grafic dependenţa alungirii de forţa deformatoare; b. calculaţi constanta elastică a resortului; c. aflaţi pentru ce valoare a forţei resortul se alungeşte cu 30%.

Fdef. (N) Δ (cm)

10 20 30 40 2 4 6 8

50 10

I.10.5. În figura I.10.5. este redată dependenţa lungimii a două resorturi în funcţie de forţa 30 deformatoare care acţionează de-a lungul lor. Cerinţe: a. stabiliţi lungimile resorturilor în 20 stare nedeformată; b. aflaţi alungirile resorturilor atunci când asupra fiecăruia acţionează o 10 forţă de modul 45 N; c. calculaţi constantele O elastice ale resoturilor.

(cm) (1)

(2)

Fdef. (N) 30 60 Fig. I.10.5

I.10.6. Un resort vertical, de constantă elastică k = 250 N/m, este fixat la capătul inferior de un suport iar la cel superior are prins un taler (fig.I.10.6.). Când talerul este gol, resortul îşi micşorează lungimea cu 1 cm. Să se afle: a. masa talerului; b. cu cât se va micşora lungimea resortului atunci când pe taler se va aşeza o masă marcată de 100 g? Se va considera g = 10 N/kg.

43

Fig. I.10.6.

I.10.7. Folosind acelaşi dinamometru, o grupă de elevi măsoară greutatea aceluiaşi corp. Ei au obţinut valorile: G1 = 0,99 N,

G2 = 1,1 N, G3 = 0,97 N, G4 = 1 N, G5 = 0,98 N. Să se afle greutatea corpului. dN 0

9

daN 0

I.10.8. Schematic, scările gradate a două dinamometre, în timp ce acestea măsoară forţe, sunt redate în fig. I.10.8. Stabiliţi valorile forţelor indicate de către cele două dinamometre. Rezultatele să fie date în newtoni.

90

a.

b. Fig.I.10.8.

Principiul acţiunilor reciproce Informaţii de bază

•

• •

în timpul interacţiunii corpurilor A şi B, corpul A acţionează cu forţa FA →B asupra corpului B şi, la rândul lui, corpul B acţio-nează asupra corpului A cu forţa FB→ A ; în timpul interacţiunii se manifestă două forţe, pe care le numim acţiune şi reacţiune; comparaţia celor două forţe, acţiune şi reacţiune (fig. de mai jos):

FP atrage bila

FB→ A

Fbila atrage P

A

Pământul

B

FA →B

44

o asemănări: ƒ au acelaşi modul; ƒ au aceeaşi direcţie; o deosebiri: ƒ au sens contrar; ƒ au puncte de aplicaţie diferite; • relaţia dintre acţiune şi reacţiune se scrie astfel FA →B = - FB→ A ; M13 • acţiunea şi reacţiunea nu pot fi compuse/adunate deoarece ele nu au acelaşi punct de aplicaţie. I.10.9. Pe o masă orizontală se găseşte un vas de formă cilindrică în care se află 200 cm3 de alcool. Vasul are masa mv = 142 g şi aria

bazei Ab = 103 mm2 . Să se afle: a. înălţimea coloanei de alcool; b. forţa cu care vasul cu alcool acţionează asupra mesei; c. forţa cu care ar acţiona masa asupra vasului gol. I.10.10. Dinamometrul de care este suspendată o cutie indică 7 N. Când cutia se sprijină pe o masă orizontală, indicaţia dinamometrului devine 4 N. Să se afle forţa cu care cutia acţionează asupra mesei. I.10.11. Corpul de masă m = 500 g se poate afla în una dintre cele trei situaţii redate în fig. I.10.11. În cazul (1) este suspendat de un fir, în cazurile (2) şi (3) este aşezat pe o masă şi asupra lui acţionează o forţă de modul F = 1 N. Să se afle: a. forţa cu care firul acţionează asupra corpului; b. forţa cu care corpul acţionează asupra mesei în cazurile (2) şi (3); c. valoarea minimă a forţei pentru care în cazul (2) forţa cu care masa acţionează asupra cutiei este nulă. F

(1)

(2) Fig. I.10.11.

45

F

(3)

Forţa elastică Informaţii de bază

• • •

• •

•

în cazul deformărilor elastice, corpurile revin la forma şi dimensiunile pe care le aveau înainte de interacţiune; revenirea lor la starea iniţială se datorează unei forţe numită forţă elastică, notată Fel.; conform principiului acţiunii şi reacţiunii, dacă asupra resortului acţionează un corp cu o forţă deformatoare care îl alungeşte, atunci resortul acţionează asupra corpului cu o forţă numită forţă Δ Felastica elastică; forţa elastică are aceeaşi direcţie şi acelaşi modul cu cel al forţei deformatoare şi sens Fdef. contrar (v. fig. alăturată); expresia forţei elastice se obţine folosind legea deformărilor elastice şi principiul acţiunilor reciproce: ⎧⎪Fdef. = k Δ ⎧Fdef. = k Δ →⎨ → Fel. = k Δ M14 ⎨ ⎪⎩Fdef. = - Fel. ⎩Fdef. = Fel. tensiunea în fir este o forţă elastică, care se datoreşte alungirii elastice a firului; tensiunea în fir se notează cu litera T; de-a lungul unui fir întins şi fără noduri, considerat fără masă, tensiunea are aceeaşi valoare.

Exemplul 2 De un fir inextensibil şi cu masa neglijabilă, se suspendă un corp de mici dimensiuni şi masa m = 200 g (fig. a1 ). Să se determine cu cât

se modifică tensiunea în fir dacă acesta, sub acţiunea forţei F , este înclinat astfel încât formează cu verticala un unghi α = 60 (fig. a2 ). Se va considera g = 10 N/kg. O

O

α

α

F

G

G a1

a2

a3

a4

Date: m = 200 g, α = 60 , g = 10 N/kg. Cerinţe: ΔT .

46

F

R′

T

m

T′

Rezolvare se aplică principiul acţiunilor reciproce şi compunerea forţelor concurente: • se reprezintă forţele care acţionează asupra corpului suspendat de fir: ƒ în poziţia iniţială, asupra corpului acţionează greutatea G şi tensiunea din fir T (fig. a3 ); ƒ în poziţia finală, asupra corpului acţionează greutatea G, tensiunea din fir T ′ şi forţa F (fig. a4 );

•

corpul fiind în repaus, înseamnă că R = 0 : R =0 ƒ în cazul a3 , ⇒ T =G = 2N R = G +T R=0 ƒ în cazul a4 , ⇒ T ′ = - (G + F ) = -R ′ R = G +T′ + F ƒ R ′ are acelaşi modul cu T ′ ; calcule: • observăm că R ′ formează cu G unghiul α ; • în triunghiul ABC: G G G mg cos α = = ⇒ T′ = = =4N R′ T ′ cos α cos 60 • ΔT = T ′ -T ; • din (1), (3) şi (4), rezultă ΔT = 2 N . răspuns: ΔT = 2 N .

(1) (2)

(3) (4)

I.10.12. Un resort de constantă elastică 200 N/m este comprimat cu 3 cm. Calculaţi forţa elastică ce apare în resort. Reprezentaţi această forţă. I.10.13. De un resort cu lungimea iniţială 0 = 20 cm se atârnă un corp cu masa m = 1,25 kg, care determină o alungire Δ = 2,75 cm. Să se afle: a. lungimea finală a resortului; b. forţa elastică din resort; c. constanta elastică a resortului. I.10.14. Sistemul format din bila de masă m = 200 g şi resortul de constantă elastică k = 250 N/m, urcă pe direcţie verticală (fig. I.10.14). Stabiliţi pentru ce valori ale alungirii resortului sistemul se deplasează cu: a. viteză constantă; b. viteză care creşte; c. viteză care scade. Se va considera g = 10 N/kg.

47

Fig. I.10.14.

I.10.15. Asupra corpului suspendat prin intermediul unui fir inextensibil şi cu masă neglijabilă acţionează două forţe ca în fig.I.10.15, de module egale, F1 = F2 = 10 2 N. Ştiind că tensiunea în fir este 30 N, să se determine greutatea corpului.

F1

45 45

F2

Fig.I.10.15.

I.10.16. Două resorturi, legate ca în fig. I.10.16, au constantele elastice k1 = 200 N/m, respectiv k2 = 400 N/m. Corpul suspendat are masa m = 800 g. Se va considera g = 10 N/kg. Să se determine: a. alungirile celor două resorturi; b. forţa elastică din fiecare resort; c. constanta elastică a unui alt resort care, sub acţiunea greutăţii aceluiaşi corp, s-ar alungi la fel de mult ca şi sistemul de resorturi dat.

(1)

(2)

Fig. I.10.16

I.10.17. Resorturile din fig. I.10.17, au constantele elastice k 1 = 200 N/m, respectiv k 2 = 300 N/m. Corpul (2) suspendat are masa m = 800 g. Se va considera (1) g = 10 N/kg. Să se determine: a. alungirile celor două resorturi; b. forţa elastică din fiecare resort; c. constanta elastică a unui alt resort care, sub acţiunea greutăţii aceluiaşi corp, s-ar alungi la fel de mult ca şi sistemul Fig. I.10.17. de resorturi dat. Se va considera ca în timpul alungirii resorturilor, bara rămâne paralelă cu ea însăşi. I.11. Forţa de frecare Informaţii de bază

• definiţe – forţa care se manifestă la suprafaţa de contact dintre două corpuri şi se opune mişcării unui corp faţă de celălalt se numeşte forţă de frecare; simbolul vectorului forţei de frecare este Ff şi numai a modulului Ff ; • frecarea între două corpuri se manifestă atunci când: o un corp alunecă faţă de celălalt – frecare la alunecare; 48

o un corp se rostogoleşte faţă de celălalt – frecare la rostogolire; o un corp este în repaus faţă de celălalt dar asupra lui acţionează o forţă care tinde să-l deplaseze; • conform principilui acţiunii şi reacţiunii, la suprafaţa de contact se manifestă două forţe de frecare (v. fig. de mai jos): forţa de frecare din partea scândurii asupra cărămizii – Fscandura →caramida – şi forţa de

frecare din partea cărămizii asupra scândurii – Fcaramida→scandura ; relaţia între aceşti vectori este Fscandura →caramida = - Fcaramida→scandura , iar între modulele lor Fscandura →caramida = Fcaramida→scandura ; cărămidă scândură

v

v Fscandura →caramida

Fcaramida → scandura

• forţa de frecare la alunecare, care acţionează asupra cărămizii aflate în mişcare faţă de scândură: o are modulul direct proporţional cu cel al reacţiunii normale; o depinde de natura şi gradul de prelucrare ale suprafeţei de contact; o nu depinde de mărime suprafeţei de contact; o are expresia: Ff = μN M15 unde cu litera grecească μ (miu) s-a notat coeN v ficientul de frecare la alunecare iar cu N forţa de reacţiune normală (v. fig. alăturată); Ff • forţa de frecare poate fi utilă sau dăunătoare; ea poate avea rol de forţă de tracţiune, forţă de frânare sau de forţă de menţinere a unui corp G pe o traiectorie curbilinie. Probleme I.11.1. Motorul unei maşini dezvoltă o forţă de tracţiune Ft = 20 kN. Pentru ce valoare a forţei de frecare maşina se deplasează cu viteză constantă? Desenaţi forţele care acţionează asupra maşinii.

49

I.11.2. Forţa de frecare la alunecarea unei cărţi pe o masă are modulul egal cu 0,5 N. Masa cărţii este de 250 g. Se va considera g = 10 N/kg. Să se determine: a. reacţiunea normală; b. coeficientul de frecare la alunecare. I.11.3. Tensiunea din firul prin intermediul căruia se trage uniform o ladă pe un suport orizontal este de 100 N. Ştiind că firul este orizontal, să se afle forţa de frecare la alunecarea lăzii pe suport. Reprezentaţi aceste forţe. I.11.4. Un sportiv urcă uniform pe o sfoară verticală. Dacă sportivul cântăreşte 63 de kg, calculaţi modulele forţelor ce acţioneză asupra lui. I.11.5. Un paraşutist cu masa de 65 kg coboară pe verticală. Forţa de rezistenţă din partea aerului are modulul de 350 N. Cerinţe: a. desenaţi forţele care acţionează asupra paraşutistului; b. stabiliţi caracteristicile rezultantei forţei care acţionează asupra paraşutistului; c. modulul forţei de rezistenţă din partea aerului pentru care paraşutistul coboară cu viteză constantă. Se va considera g = 10 N/kg. I.11.6. Corpul de masă m = 3,5 kg, situat pe un suport orizontal, descrie o mişcare rectilinie uniformă. Asupra lui acţionează două forţe orizontale, care au aceeaşi direcţie dar sens contrar. Una dintre forţe are modulul F1 = 25 N iar cealaltă F2 = 32 N. Să se afle: a. modulul şi orientarea forţei de frecare; b. coeficientul de frecare la aluN necare. Se va considera g = 10 . kg I.11.7. Un capăt al resortului de constantă elastică k = 200 N/m este fixat de un perete vertical, iar celălalt capăt este prins de un corp care poate aluneca cu frecare pe un Fig. I.11.7. suport orizontal (fig. I.11.7.). Sub acţiunea unei forţe orizontale de modul F = 7 N corpul este deplasat spre perete astfel încât lungimea resortului scade cu 2 cm. Coeficientul de frecare are valoarea μ = 0,15. La un moment dat, forţa îşi încetează acţiunea şi resortul începe să se destindă. Cerinţe: a. reprezentarea forţelor care acţionează asupra corpului înainte de încetarea acţiunii forţei F ; b. masa corpului; c. rezultanta forţelor care acţionează asupra corpului în momentul în care deformarea a devenit 1,5 cm. N Se va considera g = 10 . kg

50

I.11.8. Sistemul mecanic din figura F (1) (2) I.11.8 este format din două resorturi A identice, de constantă elastică k = = 100 N/m fiecare, şi un corp de Fig. I.11.8. masă m = 1000 g care poate aluneca pe suportul orizontal. La un moment dat, în capătul A al resortului (2) acţionează o forţă F orientată de-a lungul resorturilor şi de modul 10 N. Să se afle: a. alungirea fiecărui resort dacă între corp şi suport nu se manifestă frecare; b. ştiind coeficientul de frecare la alunecare μ = 0,25, alungirile resorturilor în noua situaţie; c. reprezentaţi forţele care acţionează asupra corpului în cele două situaţii. Se va N considera g = 10 . kg Exemplul 1 O sanie cu masa m = 35,955 kg este trasă pe un drum orizontal în linie dreaptă sub acţiunea unei forţe de tracţiune Ft = 10 N. Coeficientul de frecare la alunecarea saniei pe zăpadă are valoarea μ = 0,02 Să se stabilească starea mecanică a saniei atunci când forţa de tracţiune: a. este orizontală; b. face cu direcţia orizontală un unghi α = 30 . Se va considera g = 10 N/kg. Date: m = 35,955 kg, Ft = 10 N, μ = 0,02 α = 45 . Cerinţe: starea mecanică a saniei Rezolvare a. N pe baza textului problemei, se realizează o Ft schiţă cu forţele care acţionează asupra Ff saniei (fig. a1 ); starea mecanică se stabileşte prin cunoaşG terea rezultantei forţelor care acţionează a1 asupra saniei; se calculează rezultanta forţelor ce acţionează asupra saniei • pe direcţie orizontală: Roriz. = Ft - Ff (1); aflarea rezultantei

• •

impune cunoaşterea în prealabil a forţei de frecare; Ff = μN (2); pentru a afla forţa de frecare este nevoie să cunoaştem reacţiunea normală; pe direcţie verticală: Rvert. = G - N (3); deoarece sania rămâne în contact permanent cu solul, înseamnă că pe această direcţie nu se schimbă starea mecanică şi Rvert. = 0; astfel că, din relaţia (3), obţinem G = N (4); 51

• • •

ţinând cont de relaţia (4), formula (2) devine Ff = μG (5); din relaţiile (1), (5) şi G = mg obţinem Roriz. = Ft - μmg (6); înlocuim valorile în (6): N Roriz. = 10 N-0,02×35,955 kg×10 = 2,809 N ; kg interpretarea rezultatului o rezultanta are modulul diferit de zero şi orientarea forţei de tracţiune; o sania are o mişcare cu viteză crescătoare; b. cu o singură diferenţă, se parcurg aceleaşi etape ca în cazul a.; diferenţa constă în faptul că trebuie descompusă forţa de tracţiune în două componente; schiţa (fig. a2 );

descompunerea forţei de tracţiune (fig. a3 ) în componentele Ftx şi Fty , precum şi calcularea lor Ftx = Ft cos α, Fty = Ft sin α Ft

N Ff

Fty

N

Ft Ftx

Ff G

(1);

G

a2

a3

calcularea rezultantei forţelor ce acţionează asupra saniei • pe direcţie orizontală: Roriz. = Ft x - Ff (2); • • •

Ff = μN ' (3); pe direcţie verticală: Rvert. = Fty + N '- G (4); Rvert. = 0; astfel că, din relaţia (4), obţinem N ' = G - Fty (5); ţinând cont de relaţia (5), formula (3) devine: Ff = μ(G - Ft y ) (6);

•

din relaţiile (2), (6) obţinem Roriz. = Ftx − μ (G − Fty )

•

iar din relaţiile (1), (7) şi G = mg rezultă: Roriz. = Ft × cosα - μ( mg - Ft × sin α ) (8); în (8) se înlocuiesc valorile:

•

Roriz. = 10·

2 N 2 -0,02( 35,955 kg·10 -10 N· ) = 0 N; 2 kg 2

52

(7)

interpretarea rezultatului • rezultanta are modulul egal cu zero; • sania poate fi în mişcare cu viteză constantă sau în repaus. Ft

I.11.9. Forţa de tracţiune care acţionează asupra corpului situat pe un suport orizontal formează cu direcţia de mişcare a acestuia un unghi α = 60o (fig. I.11.9.). Corpul are masa m = 2 3 kg şi poate aluneca cu frecare de-a lungul supor-

tului, coeficientul de frecare având valoarea μ =

Fig. I.11.9.

0,4 3

. Se va considera

g = 10 N/kg. Să se afle: a. modulul forţei de tracţiune pentru care reacţiunea normală a suportului este nulă; b. forţa de frecare dintre corp şi suport atunci când forţa de tracţiune are modulul de 30 N; c. modulul forţei de tracţiune pentru care corpul are o mişcare cu viteză constantă. I.11.10. Asupra corpului aşezat pe un suport orizontal acţionează o forţă de tracţiune care α formează cu direcţia suportului un unghi α = - 60 (fig. I.11.10.). Corpul are masa m = 3 kg. La un Ft Fig. I.11.10. 0,3 coeficient de frecare la alunecare μ = , forţa 3 de frecare este de 4,5 N. Să se calculeze modulul forţei de tracţiune. Se va considera g = 10 N/kg.

I.12. Echilibrul mecanic al corpurilor Echilibrul de translaţie Informaţii de bază

• corpurile se pot afla, faţă de un reper, în mişcare de translaţie şi/sau în mişcare de rotaţie; • un corp care are o mişcare de translaţie cu viteză constantă (sau nulă) faţă de un reper se află în echilibru de translaţie; • atunci când asupra unui corp acţionează mai multe forţe, el se află în echilibru de translaţie dacă rezultanta acestor forţe este nulă, adică R = F1 + F2 + F3 + ... = 0 M16 53

Exemplul 1 Asupra bilei B acţionează forţele reprezentate în figura a1. Ce forţă trebuie să mai acţioneze asupra bilei pentru ca aceasta să fie în echilibru de translaţie? Date: din desenul dat: F1 = 5 N, F2 = 3 N, F3 = 5 N.

F2

F1

1N

B

F3

a1

Cerinţe: F4 = ? pentru ca R = 0 . Rezolvare

y

y

R′

y

F2

R′

x

O

F1

O

a2

F3

x

x

O

F4

a3

a4

se aplică condiţia de echilibru la translaţie M16 R = F1 + F2 + F3 + F4 = 0; (1) • se stabileşte modulul şi orientarea rezultantei forţelor date în fi(2), procedând astfel: gura a1 R ′ = F1 + F2 + F3 o se ataşează sistemul de axe xOy cu originea în B (fig. a2 ); o se calculează rezultanta forţelor care acţionează pe direcţia axei Ox: Rx = F1 + F3 ⇒ Rx = F3 - F1 = 0 (3), pentru că forţele au acelaşi modul, aceeaşi direcţie şi sens contrar; o se calculează rezultanta forţelor care acţionează pe direcţia axei Oy: Ry = F2 (4) o se calculează rezultanta forţelor Rx şi Ry (fig. a3 ):

R ′ = Rx + Ry care, împreună cu (3) şi (4), duce la R ′ = F2

(5)

•

din relaţiile (1) şi (2), obţinem: R = R ′ + F4 = 0 ⇒ F4 = - R ′

•

iar din relaţiile (5) şi (6), rezultă: 54

(6)

F4 = - F2 (fig. a4 )

răspuns: forţa cerută are modulul egal cu 3 N, direcţia axei Oy şi sensul negativ al acesteia (are aceeşi direcţie cu forţa F2 şi sens contrar acesteia). Probleme I.12.1. O cutie cu masa de 3,5 kg, aflată în cădere, întâmpină din partea aerului o forţă de rezistenţă 30 N. Ce forţă trebuie să mai acţioneze asupra cutiei pentru ca aceasta să coboare cu viteză constantă? I.12.2. Un om cu greutatea de 75 daN coboară rectiliniu şi uniform cu o paraşută. Paraşuta cântăreşte 12,5 kg. Considerând g = 10 N/kg, determinaţi caracteristicile forţei de rezistenţă din partea aerului pe care o întâmpină omul împreună cu paraşuta. I.12.3. Renii care trag o sanie pe un drum orizontal şi în linie dreaptă acţionează cu o forţă de 300 daN. Sania, împreună cu lemnele din ea, cântăreşte 1500 kg. Se va considera că forţa de tracţiune dezvoltată de reni este orizontală şi g = 10 N/kg. Ştiind că mişcarea saniei se face cu viteză constantă, să se afle coeficientul de frecare la alunecarea saniei pe zăpadă. I.12.4. Asupra unui punct material aflat în repaus acţionează trei forţe. Două dintre ele au modulele egale cu 10 N fiecare şi unghiul dintre ele de 90 . Să se afle modulul şi orientarea celei de a treia forţă. I.12.5. O ladă cu masa m = 10 kg este A Ftr. trasă orizontal prin intermediul unui resort de constantă elastică k = 200 N/m (fig. Fig. I.12.5. I.12.5). Coeficientul de frecare la alunecare are valoarea μ = 0,25. Se va considera g = 10 N/kg. Să se afle: a. pentru ce valoare a alungirii resortului mişcarea lăzii se face cu viteză constantă; b. în condiţiile punctului a., forţa de tracţiune cu care trebuie să se acţioneze în punctul A.

55

Planul înclinat Informaţii de bază

• •

numim plan înclinat orice suprafaţă plană care formează un unghi ascuţit cu planul orizontal (fig. a1 ); planul înclinat face parte din categoria mecanismelor simple, folosit ori de câte ori este necesar a ridica un corp acţionând cu forţă mai mică decât greutatea sa; y

N

y x

α

a1

G

a2 N Gn

y

Gt

•

•

Gt α

F x

h

Gn

x

α

G

a4 •

Gn

a3

N Gt

a5

se consideră corpul aşezat pe planul înclinat lipsit de frecări, asupra căruia acţionează forţele (fig. a2 ): greutatea corpului G şi forţa de reacţiune normală a planului N; pentru a studia echilibrul corpului situat pe planul înclinat, se foloseşte sistemul de axe xOy orientat ca în figura a2 şi se înlocuieşte vectorul greutate prin două componente care au direcţiile celor două axe (la fel ca în exemplul 5 de la tema Forţa, pag. 36), notate şi denumite astfel: Gt – greutate tangenţială şi Gn – greutate normală (fig. a3); folosind relaţiile (3) şi (4) de la exemplul 5 (pag. 37), modulele celor două componente au expresiile: Gt = G sin α, respectiv Gn = G cos α, iar între ele există relaţia G 2 = Gn2 + Gt2 ;

•

acum, se poate afirma că asupra corpului acţionează forţele: Gt , Gn şi N (fig. a4 );

56

•

•

condiţia de echilibru la translaţie, R = 0, este echivalentă cu forma: ⎧⎪Rx = 0 (1) ⎨ = 0 R ⎪⎩ y se calculează rezultantele forţelor pe cele două axe (fig. a4 ) :

⎧⎪Rx = Gt (2) ⎨ ⎪⎩Ry = N + Gn • comparând (1) cu (2), se constată că echilibrul de translaţie pe direcţia axei Ox se realizează numai dacă asupra corpului mai acţionează o forţă care are aceeaşi direcţie şi acelaşi modul cu ale greutăţii tangenţiale Gt , dar sens invers aceateia (fig. a5 ); concluzie: echilibrul de translaţie al unui corp aflat pe un plan înclinat lipsit de frecări se realizează atunci când între forţele care acţionează pe direcţia mişcării există relaţia (fig. a5 ): h F =G F = - Gt ⇒ F = Gt ⇒ M17

I.12.6. Determinaţi grafic modulele componentelor greutăţii unui corp aflat pe un plan înclinat cu α = 45 . Ce relaţie există între aceste module? I.12.7. Componentele greutăţii unui corp situat pe un plan înclinat au modulele egale cu Gt = 6 N, Gn = 8 N. Să se afle greutatea corpului. I.12.8. Calculaţi valoarea forţei necesare pentru a menţine în repaus un corp cu masa m = 7 kg pe un plan înclinat lipsit de frecări, cu înălţimea de 2 m şi lungimea 4,9 m. I.12.9. O ladă cu masa m = 1000 g se află în repaus pe un plan înclinat cu unghiul α = 30 faţă de orizontală (fig.I.12.9). Resortul de care este α prinsă lada are constanta elastică k = 100 N/m. Fig. I.12.9. Se neglijează frecările şi se va considera g = 10 N/kg. Determinaţi: a. forţa cu care lada acţionează asupra resortului; b. forţa cu care planul înclinat acţionează asupra lăzii; c. alungirea resortului.

57

I.12.10. Sania de masă m = 20 kg coboară uniform pe o pantă înaltă de 10 m şi lungă de 50 m. să se afle forţa de frecare care acţionează la suprafaţa de contact sanie – zăpadă. Se va considera g = 10 N/kg. I.12.11. O maşină de greutate 8 000 N urcă uniform pe o pantă înaltă 10 m şi lungă de 1 km. Forţa de frecare la alunecare reprezintă 0,01 din greutatea maşinii. Să se afle forţa de tracţiune dezvoltată de motorul maşinii. I.12.12. Un container de greutate 1 000 N este coborât dintr-un depozit, de la înălţimea de 6 m, cu ajutorul unui plan înclinat lung de 10 m. Coeficientul de frecare la alunecare are valoarea μ = 0,25. Să se afle: a. modulele celor două componente ale greutăţii containerului; b. forţa de frecare la alunecare; c. orientarea şi modulul forţei care trebuie să acţioneze asupra containerului pentru ca acesta să coboare uniform.

Momentul forţei Informaţii de bază

• efectul de rotaţie al unei forţe care acţionează asupra unui corp este măsurat de o mărime fizică numită momentul forţei faţă de axa de rotaţie considerată; o definiţie: momentul forţei faţă de o axă este mărimea fizică egală cu produsul dintre modulul forţei şi braţul forţei faţă de acea axă; o simbol: litera M; o formula de definiţie: M = Fb M18 o unitatea de măsură: < M > = < F > · < b > = N·m; o convenţie ƒ momentul forţei care tinde să rotească corpul în sensul mişcării acelor de ceasornic (numit sens orar) este considerat pozitiv; ƒ momentul forţei care tinde să rotească corpul în sens invers mişcării acelor de ceasornic (numit antiorar) este considerat negativ; • dacă asupra unui corp acţionează mai multe forţe, momentul total al acestora faţă de o axă dată este egal cu suma algebrică a momentelor acestor forţe.

58

F4

I.12.13. În figura I.12.13 este redat un disc şi cinci forţe care acţionează în planul acestuia. Discul se poate roti în jurul axei perpendiculare pe disc şi care trece prin punctul O. Calculaţi momentul fiecărei forţe faţă de axa de rotaţie şi precizaţi semnul corespunzător.

D

F3

B

1m E

1N

F5

C

F1

A

O

F2 Fig.I.12.13

I.12.14. De-a lungul unei bare fixate la capete sunt aşezate 3 cuburi ca în fig. I.12.14. Cuburile au masele m1 = 3 kg, m2 = 6 kg, m3 = 8 kg. Calculaţi, pentru fiecare cub, momentul greutăţii proprii faţă de capătul O. Se va considera g = 10 N/kg.

1 dm (1)

(2)

(3) O

Fig.I.12.14.

I.12.15. Pentru a roti un disc de diametru 1 m, un copil acţionează la periferia discului cu o forţă tangentă la disc şi conţinută în planul acestuia. Momentul forţei depuse de copil faţă de centrul discului fiind M = 10 N·m, aflaţi modulul acestei forţe. I.12.16. O bară omogenă de lungime F = 80 cm şi masă m = 1 kg se poate roti O în jurul capătului O (fig.I.12.16). La capătul A G A al barei acţionează forţa F de modul 75 N. Cerinţe: a. să se afle momentului Fig.I.12.16. greutăţii faţă de capătul O şi să se precizeze semnului acestuia; b. să se calculeze momentul total al forţelor care acţionează asupra barei. Se va considera g = 10 N/kg. I.12.17. Două forţe paralele, de sens contrar şi fiC ecare având modulul egal cu 80 N, acţionează asupra unui disc cu raza de 20 cm (fig.I.12.17). Direcţiile forţelor sunt verticale şi în acelaşi plan A O cu discul. Să se calcluleze momentul cuplului dacă punctele de aplicaţie ale forţelor sunt Fig.I.12.17. situate: a. în A, respectiv în B; b. în C, respectiv în D. Pentru fiecare caz, precizaţi sensul de rotaţie al discului.

59

B D

Echilibrul de rotaţie Informaţii de bază

• un corp care are o mişcare de rotaţie uniformă (sau care nu se roteşte deloc) faţă de un reper se află în echilibru de rotaţie; • un corp se află în echilibru de rotaţie dacă suma algebrică a momentelor forţelor nulă: n

M = ∑ ± Mi = 0

M19

i=1

• centrul de greutate al unui corp reprezintă punctul de aplicaţie al greutăţii acestuia; • corpurile omogene şi cu formă geometrică regulată au centrul de greutate în centrul de simetrie; • când suspendăm un corp şi verticala coborâtă din punctul de suspensie trece prin centrul de greutate al corpului, acesta se află în echilibru atât de translaţie cât şi de rotaţie; I.12.18. Ce modul ar trebui să aibă forţa F pentru ca bara din problema I.12.16 să fie în echilibru în poziţie orizontală? O B I.12.19. Bara omogenă AB de lungime A = 1 m se poate roti în jurul punctului O, situat la mijlocul ei (fig.I.12.19). Forţa care F Fig.I.12.19. acţionează la capătul A al barei are modulul egal cu 20 N. Să se afle: a. în ce sens se roteşte bara dacă la capătul B se suspendă un corp cu masa m = 1,6 kg; b. la ce distanţă de capătul B trebuie suspendat corpul cu masa m = 2,5 kg pentru ca bara să fie în echilibru în poziţie orizontală. Se va considera g = 10N/kg.

I.12.20. O bară de secţiune constantă este formată prin sudarea a două segmente de aceeaşi lungime = 160 cm. Segmentul (1) are masa de cinci ori mai mare decât al segmentului (2). Să se afle poziţia centrului de greutate al barei faţă de capătul liber al segmentului cu masă mai mare.

60

Pârghia Informaţii de bază

•

pârghia este o bară rigidă care se poate roti în jurul unui punct de sprijin; B

A

O

O

•

•

•

a1

O

R

B

B

F R

F

A

R a2

A

F

a3

elementele unei pârghii sunt (fig. a1 ): o punctul de sprijin O; o forţa activă F ; o forţa rezistentă R; o braţul forţei active OA; o braţul forţei rezistente OB; clasificarea pârghiilor: o pârghii de genul I (fig. a1 ); o pârghii de genul II (fig. a2 ); o pârghii de genul III (fig. a3 ); legea pârghiilor: o enunţ: în absenţa frecărilor, o pârghie se află în echilibru de rotaţie dacă raportul forţelor este egal cu raportul invers al braţelor; o formularea matematică a legii pârghiilor: F OB M20 = R OA

I.12.21. O pârghie de genul I cu lungimea AB = 1,2 m are braţul forţei active OA = 90 cm. Să se calculeze forţa activă care echilibrează un corp cu masa de 60 kg. Se va considera g = 10 N/kg. I.12.22. Doi copii, unul de 27 kg şi altul de 36 kg, vor să se legene folosind o scândură lungă de 4m, sprijinită la mijlocul ei. Cel mic se aşază la un capăt. La ce distanţă de cel mic trebuie să se aşeze cel mare? Se va considera g = 10 N/kg.

61

I.12.23. Cu ajutorul unei roabe se transportă un corp de masă 63 kg. Braţul forţei active este de 7 ori mai mare decât cel al forţei rezistente. Să se afle forţa activă. Se va considera g = 10 N/kg. I.12.24. O bară de lungime 2,4 m este utilizată pentru învingerea unei forţe de 200 N folosind o forţă de 100 N. La ce distanţă de punctul de aplicaţie al forţei active trebuie sprijinită bara? I.12.25. Se dă sistemul mecanic din fig.I.12.25, aflat în echilibru cu pârghia OB în poziţie O A B orizontală şi raportul OA/AB egal cu 0,5. Corpul suspendat în punctul A are greutatea de 42 N, iar resortul de masă neglijabilă are Fig. I.12.25. constanta elastică egală cu 140 N/m. Să se afle: a. tensiunea în firul folosit pentru suspendarea corpului în A; b. alungirea resortului. B O I.12.26. Un corp este menţinut în echilibru de A către pârghia AO în poziţie orizontală şi resortul de constantă elastică 200 N/m comprimat cu 2 cm (fig.I.12.26). Se mai cunoaşte raportul Fig. I.12.26. AB/BO = 3. Se va considera g = 10 N/kg. Să se afle: a. forţa elastică din resortul comprimat şi orientarea acesteia; b. masa corpului suspendat în punctul B.

I.12.27. Pârghia de genul I AB este prinsă de pârghia de genul III O′B′ prin intermediul firului inestensibil şi de masă neglijabilă BB′ (fig. I.12.27). Sistemul se află în stare de echilibru, cu pârghiile în poziţie orizontală. Se dau: O′A ′=20 cm,

B

O′

A′

O

A

B′

Fig. I.12.27.

O′B′=60cm şi tensiunea în firul de care este suspendat corpul în A, TA = 12 N. Să se afle: a. raportul dintre forţa activă şi cea rezistentă care acţionează asupra pârghiei de genul III; b. pentru ce valoare a raportului OB/OA greutatea corpului suspendat în A′ este GA′ = 36 N.

62

Scripetele Informaţii de bază

• •

•

scripetele este format dintr-o roată cu şanţ pe muchie, mobilă în jurul axului susţinut de o furcă; clasificarea scripeţilor: F a2 a1 A o scripeţi ficşi (fig. a1 ); B O o scripeţi mobili (fig. a2 ); A B scripetele fix: O o este o pârghie de genul I cu braţe egale; F o în absenţa frecărilor, este în e- R R chilibru de rotaţie dacă F =R M21 deplasarea punctului de aplicaţie al forţei active este egală cu cea a punctului de aplicaţie al forţei rezistente; scripetele mobil: o este o pârghie de genul II, pentru care OB=2OA; o în absenţa frecărilor, este în echilibru de rotaţie dacă R F= M22 2 o deplasarea punctului de aplicaţie al forţei active este de 2 ori mai mare decât cea a punctului de aplicaţie al forţei rezistente. o

•

I.12.28. Folosind un scripete fix, o cutie cu masa de 5 kg este ridicat uniform la înălţimea de 15 m în timp de 10 s. Să se afle: a. forţa activă necesară ridicării; b. viteza cu care este urcată cutia; c. deplasare punctului de aplicaţie al fiecăreia dintre forţele ce acţionează la capetele sforii trecute prin şanţul scripetelui. Se va considera g = 10 N/kg. I.12.29. Să se rezolve problema I.12.28, considerând că urcarea cutiei se face folosind un scripete mobil. I.12.30. Corpul suspendat de scripetele mobil are greutatea de 140 N şi urcă uniform sub acţiunea forţei F (fig.I.12.30) Punctul de aplicaţie al forţei F coboară cu viteza 0,2 m/s, timp de 20 s. Să se determine: a. modulul forţei F ; b. deplasarea centrului de greutate al corpului; c. viteza cu care urcă centrul de greutate al corpului. 63

Fig.I.12.30

I.12.31. Un corp este tras uniform folosind F un scripete fix, ca în fig.I.12.31. Se va lua în considerare numai frecarea la alunecarea Fig.I.12.31. corpului pe planul orizontal, coeficientul de frecare având valoarea μ = 0,2. În timpul deplasării uniforme a corpului, resortul de lungime în stare nedeformată 0 = 20 cm şi constantă elastică k = 160 N/m, se alungeşte cu 20%. Să se afle greutatea corpului. I.12.32. Sistemul mecanic din fig.I.12.32 se află în stare de echilibru, pârghia AB fiind în poziţie orizontală. Pârghia este sub forma unei bare omogene de lungime 120 cm şi greutate G. Greutatea corpului suspendat de scripetele mobil şi modulul forţei F sunt de două ori mai mari decât greutatea pârghiei. Să se afle distanţa de la punctul de sprijin al pârghiei până la punctul de aplicaţie al forţei F .

F B

O

A

Fig.I.12.32.

I.12.33. Sistemul mecanic din fig. F B I.12.33 se află în stare de echiO libru, pârghia OB fiind în poziţie A orizontală. Pârghia este sub forma unei bare omogene de greutate 30 15 N. Greutatea corpului care Fig.I.12.33. poate aluneca fără frecare pe planul înclinat cu α = 30 faţă de orizontală este de 4 ori mai mare decât greutatea pârghiei. Punctul de aplicaţie al forţei F împarte bara OB în raportul 1:5. Să se afle: a. tensiunea în firul de prindere a scripetelui fix; b. modulul forţei I.12.34. Să se rezolve problema I.12.33 ţinând cont doar de frecarea la alunecarea corpului pe planul înclinat, forţa de frecare fiind 0,125 din greutatea corpului.

64

I.13. Lucrul mecanic Lucrul mecanic Informaţii de bază

• lucrul mecanic este o mărime fizică scalară, al cărui simbol este litera L; ori de câte ori o forţă îşi deplasează punctul de aplicaţie pe orice direcţie, cu excepţia celei perpendiculare pe forţă, spunem că acea forţă a efectuat un lucru mecanic; O

O

Δx F a1

O

x

F

F

• •

a2

F x O

αF

x1

a3

•

F

Δx

F α

•

x

Δx

a4

x2

x

Δx

definiţie: lucrul mecanic efectuat de o forţă constantă este egal cu produsul dintre forţă şi deplasarea forţei de-a lungul direcţie forţei; formula de definiţie: ƒ atunci când deplasarea are loc pe direcţia şi în sensul forţei (fig. a1 ) L = F ·Δx M23a ƒ atunci când deplasarea are loc pe direcţia şi în sens invers forţei (fig. a2 ) L = - F ·Δx M23b ƒ atunci când deplasarea are loc pe o direcţie care formează unghiul α cu direcţia forţei (fig. a3 ) M23c L = F·Δx cos α unitatea de măsură: < L > = < F > · < Δx > = N·m=J se numeşte joule, şi are simbolul J; semnul lucrului mecanic: lucrul mecanic este pozitiv (motor) dacă: 0 ≤ α < 90 şi negativ (rezistiv) atunci când 90 < α ≤ 180 ;

65

•

interpretarea geometrică a lucrului mecanic (fig. a4 ): lucrul mecanic este numeric egal cu aria haşurată în fig. a4 .

Exemplul 1 Un cărucior parcurge uniform şi pe direcţie orizontală o distanţă Δx = 200 m. Forţa de tracţiune care acţionează asupra căruciorului are modulul F = 8 N. Să se afle: a. lucrul mecanic efectuat de forţa de tracţiune dacă are direcţia deplasării; b. lucrul mecanic efectuat de forţa de tracţiune când aceatsa formează un unghi α = 60 cu direcţia mişcării; c. lucrul mecanic efectuat de reacţiune normală Date: Δx = 200 m, F = 8 N, α = 0 , α′ = 60 . Cerinţe: a. LF = ? α = 0 ; b. LF = ? α = 60 ; c. LN = ? α = 0o , α = 60o. Rezolvare a. se aplică formula M23a (fig. a1 ): L = F ·Δx = 8 N·200 m = 1600 J; b. se aplică formula M23c (fig. a3 ):

L = F ·Δx·cos α = 8 N·200 m·cos 60 = 800 J; c. se aplică formula M23c (fig. a5 şi a6 ): L = N·Δx·cos α = N·Δx·cos 90 = 0 J; LN ′ = N ′·Δx·cos α = N ′·Δx·cos 90 = 0 J.

N′ F α

N

N F

a5

G

Δx

G

G

Δx

N′ F

G

a6

Probleme I.13.1. Asupra unei maşini, care se deplasează rectiliniu cu viteza v = 54 km/h, acţionează o forţă de tracţiune Ftr. = 800 N. Forţa de tracţiune are orientarea deplasării. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de forţa de tracţiune în timp de 10 min.

66

I.13.2. În timp ce o piatră coboară vertical pe distanţa Δx = 2 m greutatea acesteia efectuează un lucru mecanic egal cu 19,6 J. Să se afle masa pietrei. I.13.3. Un automobil cu masa m = 4 t se deplasează pe o porţiune de drum orizontală. La un moment dat se decuplează motorul şi maşina parcurge până la oprire 25 m. Lucrul mecanic efectuat de forţa de frecare din momentul decuplării motorului şi până la oprire este L = - 8·105 J. Să se afle: a. lucrul mecanic efectuat de greutatea automobilului; b. coeficientul de frecare. Se va considera g = 10 N/kg. I.13.4. O ladă de masă m = 7 kg este trasă uniform pe podeaua orizontală sub acţiunea unei forţe de tracţiune orizontale. Coeficientul de frecare la alunecare are valoarea μ = 0,25. Să se afle: a. modulul forţei de tracţiune; b. lucrul mecanic efectuat forţa de tracţiune pe distanţa de 12 m; c. lucrul mecanic efectuat de forţa de frecare pe aceeaşi distanţă. I.13.5. Un corp de masă m = 1kg este ridicat uniform de la sol până la înălţimea h = 10 m. Forţa de tracţiune care acţionează asupra corpului are direcţia verticlă. Să se afle: a. lucrul mecanic efectuat de forţa de tracţiune; b. lucrul mecanic efectuat de greutatea corpului. F(N)

I.13.6. Un corp se deplasează uniform de-a 40 lungul axei Ox. În fig.I.13.6 este redată 20 dependenţa forţei de coordonata corpului. Să se afle lucrul mecanic efectuat de această O forţă.

2

4

6 x(m)

Fig.I.13.6.

I.13.7. Un punct material se deplasează uniform de-a lungul axei Ox sub acţiunea unei forţe F de modul 150 N, orientată sub un unghi α = 60 faţă de această axă. Deplasarea punctului material este Δx = 5 m. Să se determine: a. modulele componentelor Fx şi Fy ; b.

lucrul mecanic efectuat de componenta Fx ; c. lucrul mecanic efectuat de componenta Fy ; d. lucrul mecanic efectuat de forţa F ; e. lucrul mecanic efectuat de greutatea punctului material. 67

I.13.8. Sania de masă m = 30 kg este ridicată uniform de-a lungul unui plan înclinat cu α = 30 faţă de orizontală, până la înălţimea de 10 m. Coeficientul de frecare la lunecare are valoarea μ = 0,2 / 3. Să se afle lucrul mecanic efectuat de: a. greutatea saniei; b. componenta Gt a greutăţii; c. forţa de reacţiune normală; d. forţa de frecare la alunecare; e. forţa de tracţiune. Se va considera g = 10 N/kg. I.13.9. Cu ajutorul scripetelui compus din fig.I.13.9 un corp cu greutatea de 2000 N este ridicat pe o distanţă de 1,3 m. Neglijând frecările, să se afle: a. modulul forţei F ; b. lucrul mecanic efectuat de greutatea cor- F pului; c. lucrul mecanic efectuat de forţa F . Fig.I.13.9.

I.13.10. O cutie cu masa m = 5000 g, care poate aluneca pe o scândură orizontală, este prinsă de un taler prin intermediul unui fir inextensibil şi de masă neglijabilă, trecut peste un scripete fix (fig. I.13.10). Se neglijează toate frecările, cu excepFig.I.13.10. ţia celeia dintre cutie şi scândură, coeficientul de frecare la alunecare având valoarea μ = 0,15. Talerul are masa m′ = 200 g. Să se determine: a. masa maselor marcate care trebuie puse pe taler pentru ca acesta să coboare uniform; b. lucrul mecanic efectuat greutatea talerului atunci când acesta coboară uniform cu Δy = 70 cm; c. lucrul mecanic efectuat de forţa care, aplicată cutiei pe direcţie orizontală, determină urcarea uniformă a talerului pe distanţa Δy ′ = 50 cm . Se va considera g = 10 N/kg. (1) I.13.11. Se dă sistemul mecanic format din corpurile (1) şi (2), legate prin intermediul unui fir uşor şi inextensibil trecut (2) peste un scripete fix (fig.I.13.11). Corα pul (1), de masă m1 = 2 kg, coboară uniform pe planul înclinat cu α = 30 , Fig.I.13.11. parcurgând Δx = 60 cm. Să se afle: a. masa corpului (2) în absenţa frecărilor; b. masa corpului (2) dacă forţa de frecare la alunecarea pe planul înclinat reprezintă 0,25 din greutatea corpului (1); c. lucrul mecanic efectuat de greutatea corpului (2), în absenţa frecărilor; d. lucrul mecanic efectuat de reacţiunea normală a planului înclinat. Se va considera g = 10 N/kg.

68

Puterea mecanică Informaţii de bază

• • •

•

puterea mecanică este o mărime fizică derivată, al cărei simbol este litera P; definiţia: puterea mecanică este egală cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat de o forţă şi intervalul de timp în care s-a efectuat acest lucru mecanic; formula de definiţie: L P= M24 Δt J unitatea de măsură: < P > = = = W se numeşte watt, cu < Δt > s simbolul W.

I.13.12. Puterea motorului unei maşini este 40 kW. Să se afle lucrul mecanic efectuat în decurs de 10 min. I.13.13. Într-un atelier de reparaţii mecanice, un ciocan cu masa de 5 kg este ridicat uniform în timp de 4 s la înălţimea de 0,75 m. Să se calculeze: a. lucrul mecanic efectuat de forţa musculară a lucrătorului; b. puterea dezvoltată de acesta. I.13.14. Cu ajutorul unei pompe se ridică la înălţimea de 10 m un volum de 3 m3 de apă în decurs de 4 min. Să se afle puterea pompei. I.13.15. Forţa de tracţiune a motorului unui automobil care se deplasează cu viteza de 15 m/s este de 1200 N. Să se calculeze puterea motorului.

Randamentul Informaţii de bază

• definiţie: randamentul este mărimea fizică egală cu raportul dintre lucrul mecanic util şi lucrul mecanic consumat; simbolul pentru randament este litera grecească η (eta); • formula de definiţie: 69

η=

Lutil Lconsumat

M25a

< Lutil > J = =1, randamentul nu are < Lconsumat > J unitate de măsură, el fiind un număr; • altă formulă a randamentului: Putila η= M25b Pconsumata

• unitatea de măsură: < η >=

I.13.16. Un motor, lucrând cu un randament de 40%, furnizează o putere de 100 kW. Să se calculeze puterea consumată de motor. I.13.17. O macara cu randamentul de 80% ridică un panou de beton de 2 t la înălţimea de 12 m în 48 s. Se va considera g = 10 N/kg. Să se afle: a. lucrul mecanic util; b. lucrul mecanic consumat; c. puterea motorului. I.13.18. Un tren electric merge cu viteza de 90 km/h. Puterea motorului electric este 600 kW, iar randamentul lui η = 0,82. Să se afle: a. puterea utilă; b. forţa de tracţiune ce acţionează asupra trenului. Exemplul 2 Un corp este ridicat uniform la o anumită înălţime folosind un plan înclinat cu α = 30 faţă de orizontală. Coeficientul de frecare la alunecare are valoarea μ = 0,25 / 3. Să se determine randamentul planului înclinat. Date: α = 30 , μ = 0,2 / 3. Cerinţe: η. Rezolvare a. • ridicarea corpului la înălţimea h se poate face pe N F′ traseele: Gt ƒ direct, pe verticală (fig h a1 ); lucrul mecanic efec- F α Ff Gn tuat pe acest traseu reprezintă lucrul mecanic G util, Lutil ; a2 a1

70

folosind planul înclinat (fig. a2 ); lucrul mecanic efectuat pe acest traseu reprezintă lucrul mecanic consumat, Lconsumat ; • pe ambele tresee, mişcarea corpului este rectilinie şi uniformă; ca urmare, rezultanta forţelor pe direcţiile de deplasare este nulă: R1 = 0 ⇒ F =G ƒ (1) R1 = F + G ƒ

R2 = 0

⇒ F ′ = Gt + Ff (2) R2 = F ′ + Gt + Ff • deoarece corpul nu se deprinde de planul înclinat înseamnă că şi pe direcţia perpendiculară pe plan rezultanta forţelor este nulă R2′ = 0 ƒ ⇒ N = Gn (3) R2′ = Gn + N • acum, poate fi exprimat lucrul mecanic efectuat pe fiecare dintre trasee: ƒ Lutil = F ·h = G·h (4) ƒ Lconsumat = F ′· = (Gt + Ff ) (5) • relaţiile (4) şi (5), împreună cu formula de definiţie a randamentului, duc la: L G·h (6) η= u = Lc (Gt + Ff ) • se vor utiliza expresiile pentru modulele componentelor greutăţii corpului situat pe planul înclinat, cea a forţei de frecare şi a sinusului unghiului α : Gt = G sin α, Gn = G cos α ƒ

Ff = μN sin α =

(7)

h

• din relaţiile (6) şi (7), rezultă: η=

G·h sin α = (G sin α + μG cos α ) sin α + μ cos α

răspuns: η = 0,8.

71

I.13.19. Un butoi cu greutatea de 1500 N este ridicat la 6 m înălţime folosind un plan înclinat de randament η = 75%. Ştiind lungimea planului înclinat = 10 m, să se afle: a. lucrul mecanic util; b. lucrul mecanic consumat; c. forţa de tracţiune necesară ridicării butoiului cu ajutorul planului înclinat. I.13.20. Cu ajutorul scripetelui compus din fig.I.13.9, un sac de 100 kg este ridicat la înălţimea de 24 m. Scripetele are randamentul η = 80%. Considerând g = 10 N/kg, să se calculeze: a. lucrul meca-

nic util; b. lucrul mecanic consumat; c. modulul forţei F . I.14. Energia mecanică. Conservarea energiei mecanice Energia mecanică Informaţii de bază

• starea mecanică a unui sistem fizic se poate schimba prin modificarea vitezei sau a poziţiei părţilor componente; • la trecerea sistemului fizic dintr-o stare în alta se efectuează lucru mecanic; • energia mecanică este mărimea fizică scalară care măsoară capacitatea unui corp sau sistem de a efectua lucru mecanic; simbolul pentru energia mecanic este litera E; unitatea de măsură a energie este joulul; Δ

G v

v =0

Ff

h G

a1

a2

Fel.

h0 = 0 a3

• orice corp aflat în mişcare faţă de un reper are energie cinetică; o corpul lansat cu viteza v pe o suprafaţă orizontală (fig. a1 ) parcurge o anumită distanţă până când viteza lui devine nulă; lucrul mecanic este efectut de către forţa de frecare care acţionează asupra corpului; simbolul pentru energia cinetică este Ec ; 72

o variaţia energiei cinetice a unui corp este egală cu lucrul mecanic efectuat de rezultanta forţelor care acţionează asupra lui: L = Ecf - Eci M26 o energia cinetică a unui corp de masă m, care se deplasează cu viteza v faţă de un reper dat, are expresia: 1 Ec = mv 2 M27 2 • sistemele în cadrul cărora se manifestă interacţiunea gravitaţională au energie potenţială gravitaţională; o un corp dat, lăsat liber la înălţimea h faţă de nivelul de referinţă h0 = 0 ales (deseori este chiar suprafaţa Pământului), se deplasează spre Pâmânt datorită atracţiei acestuia (fig. a2 ); lucrul

mecanic este efectuat de către de greutatea G; simbolul pentru energia potenţială garvitaţională este Ep.g ; o variaţia energiei potenţiale gravitaţionale a sistemului corp – Pământ este egală cu lucrul mecanic efectuat de greutatea corpului luat cu semn schimbat: L = - (Ep.g.f - Ep.g.i ) M28 o energia potenţială gravitaţională a sistemului corp – Pământ, corpul de masă m aflându-se la înălţimea h faţă de suprafaţa Pâmântului, are expresia: Ep.g = mgh M29

• corpurile deformate elastic au energie potenţială elastică; o un resort alungit cu Δ , lăsat liber, el revine la starea pe care o avea înainte de alungire (fig. a3 ); lucrul mecanic este efectuat

de către de forţa elastică Fel.; simbolul pentru energia potenţială elastică este Ep.el.; o variaţia energiei potenţiale elastice este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa elastică luat cu semn schimbat: M30 L = - (Ep.el.f - Ep.el.i ) o energia potenţială elastică a unui resort de constantă elastică k, alungit/comprimat cu Δ , are expresia: 1 Ep.el. = k Δ 2 M31 2

73

Probleme I.14.1. Un autoturism cu masa de 900 kg se deplasează cu viteza de 72 km/h. Calculaţi energia cinetică a autoturismului. I.14.2. O minge cu greutatea de 2,5 N, aruncată vertical de către de un copil, ajunge la înălţimea de 2,2 m faţă de sol. Alegând ca nivel de referinţă solul, determinaţi energia potenţială gravitaţional a sistemului minge – Pământ, atunci când mingea se află la înălţimea de 2,2 m. I.14.3. Să se calculeze variaţia energiei cinetice a unui cărucior împins de către un copil cu o forţă de 12 N pe o distanţă de 8 m. Deplasarea are loc pe direcţia şi în sensul forţei. I.14.4. Energia potenţială elastică a unui resort alungit cu 2 cm este de 0,4 J. Să se determine constanta elastică a resortului. I.14.5. Un copil cu masa de 25 kg stă la ferestra unui tren care se deplasează cu viteza de 61,2 km/h. Să se afle energia cinetică a copilului în raport cu: a. fereastra trenului; b. terasamentul. Exemplul 1 Un automobil cu masa m = 950 kg se deplasează pe o şosea orizontală şi în linie dreaptă cu viteza v = 64,8 km/h. La un moment dat, motorul se opreşte. Coeficientul de frecare are valoarea μ = 0,25. Se va considera g = 10 N/kg. Să se calculeze: a. energia cinetică a automobilului; b. lucrul mecanic efectuat de forţa de frecare până la oprirea automobilului; c. distanţa parcursă de automobil până la oprire. Date: m = 950 kg, v = 64,8 km/h, μ = 0,25, g = 10 N/kg. Cerinţe: a. Ec ; b. LF f ; c. xm ; Rezolvare a. 1 se aplică formula M27 : Ec = mv 2 ; 2 calcule: km 1000 m m • exprimarea vitezei în m/s: 64,8 =64,8 =18 ; h 3600 s s

74

•

înlocuirea valorilor: 1 m m Ec = 950 kg·182 ( )2 = 153900 kg· 2 ·m = 153,9·103 N·m = 153,9 kJ 2 s s b.

se aplică formula M26 : L = Ecf - Eci ⇒ L = - Eci Ecf = 0

⇒ L = -153,9 kJ ;

c.

se aplică formula M26 : L = Ecf - Eci Ecf = 0, Eci =

1 mv 2 2

⇒

1 - Ff xm = - mv 2 2

(1)

L = -Ff xm se aplică formula forţei de frecare la alunecarea pe planul orizontal Ff = μN ⇒ Ff = μmg (2) N = G = mg calcule: 1 2 • din relaţiile (1) şi (2), rezultă: xm = v (3) 2μg • înlocuirea valorilor în formula (3): 1 kg m2 2 m 2 xm = 18 ( ) =64,8 =64,8 m, N s N s2 2·0,25·10 kg m pentru că kg 2 =N ; s răspuns: xm = 64,8 m.

I.14.6. O locomotivă se deplasează pe un traseu rectiliuniu şi orizontal cu viteza 79,2 km/h. La un moment dat, se intrerupe alimentarea cu curent electric şi viteza locomotivei ajunge la v1 = 57,6 km/h. Coeficientul de frecare fiind μ = 0,1, să se determine deplasarea locomotivei în acet timp. Se va considera g = 10 N/kg. I.14.7. Sub acţiunea unei forţe de modul 20 N, deplasarea unui corp cu masa de 20 kg este Δx = 32 m. Se neglijează frecarea şi se 75

consideră mişcarea corpului pe direcţia forţei şi în sensul acesteia. Să se afle viteza finală a corpului dacă în momentul începerii acţiunii forţei viteza corpului era: a. nulă; b. egalcă cu v1 = 15 m/s. I.14.8. Prin deplasarea pe verticală a unui corp, greutatea acestuia efectuează lucrul mecanic L = - 29 J. Să se afle variaţia energiei potenţiale gravitaţionale a sistemului corp – Pământ. I.14.9. Corpul de greutate G = 10 N începe să alunece din vârful unui plan înclinat cu α = 30 faţă de orizontală şi lung de = 5 m. Să se afle energia potenţială a sistemului corp – Pământ în momentul începerii alunecării corpului pe planul înclinat. I.14.10. Corpul de greutate G = 4 N este tras în F sus timp de Δt = 100 s, cu viteza v = 20 cm/s, de-a lungul planului înclinat cu α = 30 faţă de orizontală prin intermediul unui resort de 30 constantă elastică k = 200 N/m (fig.I.13.10). Se neglijează frecările. Să se afle: a. lucrul mecanic Fig.I.13.10. efectuat de greutatea corpului; b. variaţia energiei potenţiale a sistemului corp – Pământ; c. energia potenţială elastică a resortului. I.14.11. Cu ajutorul scripetelui compus din fig.I.13.11, o ladă cu masa de 20 kg este ridicată uniform la înălţimea de 15 m faţă de sol. Resortul are constanta elastică egală cu 500 N/m. Să se afle: a. energia potenţială gravitaţională a sistemului ladă – Pământ în starea finală; b. lucrul mecanic efectuat de forţa F pentru ridicare corpului; c. energia potenţială elastică a resortului. Se va considera g = 10 N/kg şi se vor neglija frecările.

F Fig.I.13.11

Conservarea energiei mecanice Informaţii de bază

• energia mecanică a unui sistem este egală cu suma energiilor cinetice, potenţiale gravitaţionale şi potenţiale elastice: E = Ec + Ep.g. + Ep.el. M32

76

• legea conservării energiei mecanice o enunţ: energia mecanică a unui sistem care nu interacţionează (sistem izolat) cu corpurile din jur şi în care frecările sunt neglijabile rămâne constantă, adică se conservă; o formulare matematică: Estare initiala = Estare finala

sau M33 Eci + Ep.g.i + Ep.el.i = Ecf + Ep.g.f + Ep.el.f o când un sistem fizic izolat şi lipsit de frecări trece dintr-o stare în altă stare, energia cinetică se poate transforma în energie potenţială şi invers. Exemplul 2 Un pendul gravitaţional este format dintr-un fir inextensibil şi de masă neglijabilă, de care este suspendată o bilă de mici diemnsiuni. Pendulul cu lungimea =1,25 m şi masa m =120 g este menţinut în O

A

O

hA

A

vA

hA

O

A

hA

B

hB

α P

D

h0 = 0 v D

h0 = 0

vB

h0 = 0

a1 a2 a3 poziţia OA (fig. a1 ). Se neglijează frecările şi se va considera g = 10 N/kg. Să se afle: a. energia cinetică a bilei în momentul în care trece prin poziţia de echilibru, notată cu D în fig. a2 , şi v A = 0; b. energia cinetică a bilei în momentul când trece prin poziţia de echilibru şi v A are modulul egal cu v A = 2 m/s; c. unghiul pe care-l face firul cu verticala în momentul în care energia potenţială gravitaţională este egală cu energia cinetică (fig. a3 ), dacă v A = 0. Date: =1,25 m, m = 120 g. ′ cu v A = 2m/s; c. α cu EcB = Ep.g.B Cerinţe: a. EcD cu v A = 0; b. EcD şi v A = 0 . Rezolvare se aplică legea conservării energiei mecanice a sistemului bilă Pământ; deoarece Ff = 0, rezultă că : Ei = Ef ; M33 a. 77

•

se reprezintă sistemul în poziţiile corespunzătoare acestor stări (fig. a2): ƒ starea iniţială, în poziţia OA, ƒ starea finală, în poziţia OD; • se alege ca stare de referinţă, cu energie potenţială nulă, starea corespunzătoare poziţiei OD în dreptul căreia se scrie h0 = 0; • se stabileşte energia mecanică în fiecare dintre cele două stări: ƒ starea iniţială - pendulul se află în repaus la înălţimea hA ; E A = Ep.g.A + EcA Ep.g.A = mghA ƒ

•

⇒ E A = mghA ;

(1)

EcA = 0 starea finală - pendulul se află în mişcare la nivelul h0 = 0; ED = Ep.g.D + EcD ⇒ ED = EcD ; (2) Ep.g.D = 0

se aplică relaţia M33 : E A = ED ;

(3)

calcule • rezultatele (1) şi (2), împreună cu relaţia (3), dau: mghA = EcD (4) • se înlocuiesc valorile în (4) şi se ţine cont de faptul că hA = : răspuns: EcD = 1,5 J ; b. primele două etape sunt identice cu cele de la subpunctul a. • se stabileşte energia mecanică în fiecare dintre cele două stări: ƒ starea iniţială - pendulul se află în repaus la înălţimea hA ; ′ + EcA ′ E A′ = Ep.g.A ′ = mghA Ep.g.A

⇒ E A′ = mghA +

1 mv A2 2 starea finală - pendulul se află în mişcare la nivelul h0 = 0; ′ = EcA

ƒ

1 mv A2 ;(5) 2

78

′ + EcD ′ ED′ = Ep.g.D ′ =0 Ep.g.D

⇒ E 'D = E 'cD ;

(6)

•

se aplică relaţia M33 : E A′ = ED′ ; (7) calcule ƒ rezultatele (5) şi (6), împreună cu relaţia (7), dau: 1 ′ ; mghA + mv A2 = EcD (8) 2 ƒ se înlocuiesc valorile în (8): ′ = 1,74 J ; răspuns: EcD c.

•

cele două stări (fig. a3): ƒ starea iniţială, în poziţia OA, ƒ starea finală, în poziţia OB; • nivelul de referinţă, acelaşi, planul orizontal ce trece prin D; • caracterizarea stărilor şi exprimarea energiei mecanice: ƒ starea iniţială - pendulul se află în repaus la înălţimea hA ; E A = Ep.g.A + EcA Ep.g.A = mghA ƒ

⇒ E A = mghA

(9)

EcA = 0 starea finală - pendulul se află în mişcare, la înălţimea hB ; EB = Ep.g.B + EcB Ep.g.B = mghB

⇒ EB = 2mghB

(10)

EcB = Ep.g.B • se aplică relaţia M33 : E A = EB (11) calcule : • rezultatele (9) şi (10), împreună cu relaţia (11), dau mghA = 2mghB ⇒ hA = hB ⇒ hB = 0,5 (12) • se scrie expresia pentru funcţia cosinus în triunghiul dreptunghic OBP (fig. a3 ) cos α =

- hB 1 OP = = ; 2 OB

răspuns: α = 60 .

79

I.14.12. Un corp este lăsat liber la înălţimea de 10 m faţă de sol. Să se afle cu ce viteză ajunge corpul pe sol. I.14.13. O minge este aruncată pe verticală în sus cu viteza v = 9,8 m/s. Calculaţi înălţimea maximă la acre ajunge mingea. I.14.14. De la baza unui plan înclinat cu α = 30 faţă de orizontală este lansat un corp cu viteza v = 7 m/s, orientată de-a lungul acestuia. Corpul are masa egală cu 500 g. Să se determine: a. energia cinetică a corpului în momentul lansării; b. distanţa pe care o parcurge corpul până la oprirea pe planul înclinat; c.viteza cu care revine corpul la baza planului înclinat. Se vor neglija toate frecările. I.14.15. O piatră este aruncată de sol cu viteza de 14 m/s, orientată vertical în sus. Să se determine la ce înălţime energia cinetică a pietrei este egală cu energia potenţială a sistemului piatră – Pământ faţă de sol. I.14.16. Un corp este lăsat să cadă liber de la înălţimea de 16 m faţă de sol. La un moment dat, energia potenţială gravitaţională a sistemului corp – Pământ este de 4 ori mai mare decât energia cinetică a corpului. Se va considera g = 10 N/kg. Să se afle viteza corpului în acel moment. I.14.17. Corpul de masă 500 g, lăsat liber la înălţimea de 8 m, ajunge la sol cu viteza de 8 m/s. Considerând g = 10 N/kg, să se determine forţa de rezistenţă din partea aerului. I.14.18. Din vârful unui plan înclinat cu α = 30 faţă de orizontală şi lungimea = 8 m, este lăsat liber un corp cu masa m = 600 g. Viteza corpului la baza planului înclinat este v = 6 m/s. Să se afle: a. variaţia energiei mecanice prin parcurgerea planului înclinat; b. lucrul mecanic efectuat de forţa de frecare pe planul înclinat. Se va considera g = 10 N/kg. A I.14.19. Folosind sistemul mecanic din fig. I.14.19, corpul (1) este ridicat cu viteza v = 0,2 m/s de-a lungul unui plan înclinat cu α = 30 faţă de (1) orizontală. Masa corpului (1) este de 5 kg. Se 30 vor neglija toate frecările, masele firelor de (2) legătură şi ale scripeţilor şi se va considera g = Fig.I.14.19. = 10 N/kg. Să se afle: a. masa corpului (2); b. variaţia energiei potenţiale gravitaţionale a sistemului corp (1) – Pâmânt în decurs de 10 s; c. variaţia energie potenţiale gravitaţio-

80

nale a sistemului corp (2) – Pâmânt în decurs de 10 s; d. energia cinetică a corpului (2) în raport cu punctul de prindere al firului (A). I.14.20. Un resort, aşezat în poziţie verticală ca în fig.I.14.20, are constanta elastică k = 250 N/m şi lungimea 0 = 20 cm în stare 0 nedeformată. Pe taler se aşază un corp cu masa m = 1,25 kg. Masa resortului şi a Fig.I.14.20. talerului fixat în partea superioară a resortului vor fi neglijate. Se va considera g = 10 N/kg şi nivelul de referinţă va fi cel al capătului inferior al resortului. S-a ales ca stare finală, starea în care rezultanta forţelor care acţionează asupra corpului este nulă. Să se determine: a. energia potenţială gravitaţională a sistemului corp - Pământ în momentul aşezării lui pe taler; b. lungimea resortului în starea finală; c. variaţia energiei potenţiale gravitaţionale a sistemului corp – Pământ; d. energia potenţială elastică a resortului în starea finală; e. energia cinetică a corpului în starea finală. I.15. Echilibrul mecanic al fluidelor Presiunea Informaţii de bază

• • •

•

presiunea este o mărime fizică scalară, notată cu litera p; definiţie: presiunea este egală cu raportul dintre forţa normală şi uniform distribuită pe o suprafaţă şi aria acelei suprafeţe formula de definiţie: F M34 p= S unitatea de măsură se numeşte pascal, N < p >= = =Pa. < S > m2

Probleme I.15.1. Presiunea exercitată de un cub din aluminiu, aşezat pe o suprafaţă orizontală, este egală cu 540 Pa. Considerând g = 10 N/kg, aflaţi latura cubului.

81

I.15.2. O cărămidă, cu lungimea L = 25 cm, lăţimea =9,8 cm şi greutatea 19,6 N, este aşezată cu faţa cea mai mare pe un plan înclint cu α = 60 faţă de orizontală. Să se calculeze: a. reacţiunea normală a planului înclinat; b. presiunea exercitată de cărămidă asupra planului înclinat. I.15.3. De un resort vertical de constantă elastică k = 200 N/m şi masă neglijabilă este prins un corp (fig.I.15.3). Aria suprafeţei de sprijin a corpului este S = 2 dm2 . Să se determine cu cât variază presiunea exercitată de corp asupra suprafeţei de sprijin dacă de capătul A al resortului se trage cu o forţă verticală astfel încât lungimea resortului: a. creşte cu 2 cm; a. scade cu 1 cm.

A

Fig.I.15.3.

I.15.4. O cutie de masă m = 6,9 kg şi aria suprafeţei de sprijin S = 400 cm2 este trasă uniform pe un drum orizontal de către un copil. Sfoara de care trage copilul formează cu direcţia mişcării un unghi pentru care sin α = 0,6. Coeficientul de frecare la alunecare are valoarea μ = 0,2. Se va considera g = 10 N/kg. Să se determine: a. forţa cu care trage copilul; b. presiunea exercitată de cutie asupra suprafeţei de sprijin. I.15.5. Un schior cu masa de 57 kg schiază folosind schiuri cu dimensiunile: L = 1,5 m şi = 10 cm. Să se afle presiunea exercitată de schior. I.15.6. Corpurile (1) şi (2) sunt prinse la capetele unui fir trecut peste un scripete fix (fig.I.15.6). Reacţiunea normală a suportului pe care se sprijină corpul (1) are valoarea de 14,7 N. Suprafaţa de sprijin a corpului (1) (2) este S = 0,02 m 2 . Tensiunea în firul cu care este legat (1) scripetele fix de tavan este de 39,2 N. Să se afle: a. presiunea exercitată de corpul (1) asupra suportului Fig.I.15.6. orizontal; b. masa corpului (2); c. masa corpului (1).

82

Presiunea hidrostatică şi atmosferică Informaţii de bază • lichidele şi gazele se numesc fluide datorită proprietăţii lor de a curge; • presiunea din interiorul unui lichid aflat în echilibru, datorită greutăţii lui, se numeşte presiunea hidrostatică şi are formula : p = ρ·g·h M35 • într-un lichid aflat în echilibru, presiunea hidrostatică în puncte situate la acelaşi nivel este aceeaşi; punctele de egală presiune formează o suprafaţă numită suprafaţă de egală presiune, pentru M36 care p1 = p2 = p3 = .... • principiul fundamental al hidrostaticii: diferenţa presiunilor exercitate în două puncte ale unui lichid aflat în echilibru este direct proporţională cu diferenţa de nivel la care se află cele două puncte: Δp = ρ·g·Δh M37 • paradoxul hidrostatic: în vase comunicante, lichidul omogen urcă la acealşi nivel; • presiunea exercitată de aerul din atmosfera terestră, datorită greutăţii sale, se numeşte presiune atmosferică; s-a convenit ca presiunea atmosferică a cărei valoare este 101 325 Pa să se numească presiune atmosferică normală şi să se noteze cu p 0 ; valoarea presiunii atmosferice se exprimă în unităţi de măsură tolerate, cum ar fi: atmosfera fizică, torrul sau milimetri coloană de mercur; presiunea atmosferică normală, exprimată în aceste unităţi are valorile: p 0 = 101325 Pa=1 atm=760 torri = 760 mm col. Hg. I.15.7. Ce presiune exercită o coloană de mercur asupra bazei vasului în care se găseşte atunci când are înălţimea de 20 cm? I.15.8. Într-un vas cu apă se introduce un corp de volum 30 cm3 , fără ca acesta să atingă baza sau pereţii vasului. Ştiind că aria bazei vasului este S = 1,5 dm2 , să se determine cu cât a crescut presiunea exercitată de apă asupra bazei vasului.

83

I.15.9. Într-un vas se toarnă pe rând aceeaşi masă de apă, respectiv de alcool. Să se afle raportul presiunilor hidrostatice exercitate de cele două lichide asupra bazei vasului. I.15.10. Într-un vas cu aria bazei S = 20 cm2 se toarnă alcool până la înălţimea h = 25 cm. Presiunea atmosferică are valoarea patm = 105 Pa. Să se determine: a. presiunea exercitată de alcool asupra bazei vasului; b. forţa care se exercită asupra feţei interioare a fundului vasului. Se va considera g = 10 N/kg. I.15.11. Aerul dintr-un recipient închis cu un dop de arie S = 1 cm2 are presiunea p = 104 Pa. Presiunea atmosferică are valoarea patm = 105 Pa. Neglijând frecările, să se afle forţa minimă necesară pentru scoaterea dopului, considerat de masă neglijabilă. I.15.12. Gazul dintr-un vas este separat de atmosferă cu un piston mobil, de masă m1 = 5 kg şi arie S = 20 cm2 . Pistonul este prins de un fir trecut peste un scripete fix, ca în fig.I.15.12. Masa corpului suspendat la celălalt capăt al firului este m2 = 10 kg. Presiunea atmosferică

are valoarea patm = 105 Pa. Să se afle presiunea gazului Fig.I.15.12. din vas. Se va considera g = 10 N/kg. Exemplul 1 (2) (1) Un vas de forma celui reprezentat în fig. a1 conh2 h1 Δh ţine apă. Ramurile vertiA B Δh′ cale ale vasului au acex′ x eaşi secţiune S = 4 cm2 . Când în ramura (2) se a1 a2 toarnă V2 = 16 cm3 dintrun lichid de densitate necunoscută şi mai mică decât a apei, se constată că apa urcă în ramura (1) cu Δh = 1,8 cm. Cele două lichide nu se amestecă. Să se determine densitatea lichidului turnat în ramura (2). Date: ρ1 = 1000 kg/m3 ; S = 4 cm2 ; V = 16 cm3 ; Δh = 1,8 cm. Cerinţe: ρ2 .

84

Rezolvare se aplică proprietatea suprafeţei de egală presiune : • se reprezintă vasul cu cele două lichide - deoarece lichidul adăugat are densitatea mai mică, el va ocupa partea superioară a ramurii (2) (fig. a2 ); • se stabileşte suprafaţa de egală presiune chiar suprafaţa de separare a celor două lichide - notată xx'; • se notează înălţimile coloanelor de lichid faţă de suprafaţa xx' - cu h1 înălţimea coloanei de apă, cu h2 a celei de lichid cu densitatea necunoscută; • se aleg două puncte pe suprafeţa de nivel: punctul A în ramura (1) şi B în ramura (2); • se aplică relaţia M36 : pA = pB (1) • se exprimă presiunile exercitate în cele două puncte de către toate corpurile situate deasupra nivelului considerat: ƒ în punctul A: atmosfera şi coloana de apă h1; pA = patm + ρ1gh1 (2) ƒ în punctul B: atmosfera şi coloana de lichid h2 ; pB = patm + ρ2 gh2 (3)

calcule: • din (1), (2) şi (3) se obţine: (4) ρ1h1 = ρ2 h2 • în relaţia (4) conţine trei necunoscute, ρ2 , h1 şi h2 ; • se caută încă două relaţii: ƒ deoarece apa este incompresibilă şi secţiunile ramurilor verticale sunt egale, înseamnă că Δh reprezintă şi distanţa pe care a coborât nivelul apei în ramură (2) h1 = Δh + Δh′ ⇒ h1 = 2Δh (5) Δh = Δh′ V ƒ V2 = h2S ⇒ h2 = 2 (6) S • din (4), (5) şi (6) rezultă: Δh S (7) ρ2 = 2ρ1 V2

85

•

înlocuirea valorilor: kg 1 kg ρ2 = 2 × 1000 3 ×1,8 cm×4 cm2 × =900 3 . 3 m 16 cm m kg răspuns: ρ2 = 900 3 . m I.15.13. Gazul din ramura închisă (1) este separat de (1) atmosferă printr-o coloană de mercur, aşa cum se arată în fig.I.15.13. Înălţimile celor două coloane, faţă de baza vasului, sunt: h1 = 16 cm, h2 = 6 cm. Presiunea atmosferică are valoarea patm = 105 Pa. Se va considera g = 10 N/kg. Să se afle presiunea gazului din ramura (1). Fig.I.15.13. I.15.14. Vasul în formă de U conţine mercur, iar în ramura (1) aer comprimat la presiunea (1) p = 1,5·105 Pa (fig.I.15.14). Pistonul din ramura (2) are aria S = 10 cm2 şi este menţinut în echilibru cu ajutorul pârghiei OA, împărţită de punctul B în raportul 1/3, atunci când în A acţionează o forţă F = 2,3 N. Diferenţa de nivel a celor două coloane de mercur este egală cu 30 cm. Se va considera g = 10 N/kg. Să se afle presiunea atmosferică.

A

O B (2)

F

Fig.I.15.14.

Legea lui Pascal Informaţii de bază

• legea lui Pascal: o enunţ: presiunea exercitată într-un punct al unui fluid se transmite integral în toate punctele fluidului; o formulare matematică : p1 = p2 M38a • presa hidraulică o este una dintre aplicaţiile legii lui Pascal; o în absenţa frecărilor, între forţele care acţionează asupra pistoanelor şi ariile lor, în baza formulei M38a , există relaţia: F1 F2 M38b = S1 S2

86

o în realitate, datorită frecărilor, presa lucrează cu un randament: L η= u M25a Lc Lu reprezintă lucrul mecanic efectuat de forţa aplicată pistonului mare, iar Lc lucrul mecanic efectuat de forţa aplicată pistonului mic. Exemplul 2 Presa hidraulică folosită pentru ridicarea unei piese de greutate G = 5· 10 4 N lucrează cu randamentul η = 80%. Raportul razelor delor două pistoane este k = 0,1. La o cursă, pistonul mare se deplasează cu 2 = 2 mm. Să se afle: a. deplasarea pistonului mic la o cursă; b. lucrul mecanic util la o cursă; c. forţa care acţionează asupra pistonului mic. d. forţa care ar trebui să acţioneze asupra pistonului mic în absenţa frecărilor. Date: G = 5· 104 N; η = 80%; k = 0,1; 2 = 2 mm. Cerinţe: a. 1; b. Lu ; c. F1; d. F1′, Ff = 0. Rezolvare a. • lichidul fiind incompresibil, volumul de lichid care trece din cilindrul mic (V1 ) este egal cu cel care ajunge în cilindrul mare (V2 ): V1 = V2 S1 = πr12 (2) ⇒ S1 1 = S2 2 (1), dar V1 = S1 1 S2 = πr22 V2 = S2 2

din (1) şi (2) se obţine: r12

2 1 = r2

se înlocuiesc valorile în (3):

1

=

2

⇒

1 =

r22 r12

2

=

1 k2

2

(3)

1 2 mm = 20 cm ; (0,1)2

b. • lucrul mecanic util este lucrul mecanic efectuat de forţa F2 care acţionează asupra pistonului mare în vederea ridicării piesei; ridicarea fiind uniformă, forţa F2 este egală cu greutatea piesei; Lu = F2 × 2 (4)

se înlocuiesc valorile: Lu = 5· 104 N × 2·10-3 m = 100 J ;

87

c. • se foloseşte formula randamentului M25a : L η= u Lc F × Lu = F2 × 2 ⇒ η= 2 2 F1 × 1 Lc = F1 × 1

din (3) şi (5) se obţine:

(5)

F2 × k 2 F2 × k 2 η= ⇒ F1 = η F1 F1 = 625 N ;

prin înlocuirea valorilor: d. • se foloseşte relaţia M38b : F1′ F2 = r12 S1 S2 ′ ⇒ F1 = F2 2 = F2k 2 r2 S1 = πr12 , S2 = πr22

F1′= 500 N .

I.15.15. Între ariile pistoanelor unei prese hidraulice exită relaţia S2 = 20 S1. Asupra pistonului mic se acţionează cu forţa F1 = 125 N. În absenţa frecărilor, ce forţă trebuie aplicată pistonului mare pentru ca acesta să fie în echilibru? I.15.16. Presiunea exercitată asupra pistonului mic al unei prese hidraulice este p1 = 4 N/cm2 . Pistonul mare având aria S2 = 0,2 dm2 , să se determine forţa care acţionează asupra acestuia. I.15.17. Pentru deplasarea pistonului mare cu 2 = 5cm, asupra pistonului mic trebuie să acţioneze forţa F1 = 125 N, care să-şi deplaseze punctul de aplicaţie 1 = 20cm. Ştiind greutatea corpului care trebuie ridicat, G = 400 N, să se afle randamentul presei hidraulice. I.15.18. Un corp cu greutatea G = 105 N trebuie ridicat folosind o presă hidraulică la care raportul diametrelor pistoanelor este k = 0,1. Presa consumă o putere Pc = 2,5 kW la un randament η = 80%. La o cursă, pistonul mic se deplasează cu 1 = 20cm. Să se afle numărul de curse efectuate în unitatea de timp.

88

Legea lui Arhimede Informaţii de bază

• • •

enunţ: asupra unui corp introdus într-un fluid aflat în echilibru acţionează o forţă verticală de jos în sus şi de modul egal cu cel al greutăţii fluidului dezlocuit; formulare matematică: FA = ρfluid ·g·Vdezlocuit M39 cazuri particulare: ƒ când FA = G (fig. a1 ) – rezultanta forţelor este nulă şi corpul pluteşte în interiorul fluidului; ƒ dacă FA < G (fig. a2 ) – asupra corpului acţionează o rezultantă numită greutate aparentă, Gap. = G - FA , care determină coborârea spre baza vasului; la echilibru, baza vasului acţionează asupra corpului cu o forţă egală cu greutatea aparentă; ƒ dacă FA > G (fig. a3 ) – rezultanta care acţionează asupra corpului se numeşte forţă ascensională, Fasc. = FA - G, şi ea determină urcarea corpului la suprafaţa lichidului; pe măsură ce corpul iese din lichid, forţa arhimedică scade şi corpul va fi în echilibru atunci când FA′ = G; a1

a2

a3 FA

FA FA

FA′ G

G Gap. G densimetrele, instrumente folosite pentru măsurarea densităţii lichidelor, reprezintă o aplicaţie a legii lui Arhimede: G

•

Fasc.

89

Exemplul 3 Bila din aluminiu de masă m = 162 g este prinsă de furca scripetelui mobil din fig. a1. Bila este cufundată în lichidul din vasul aflat sub ea.

Echilibrul sistemului se realizează pentru o valoare a forţei F de 0,54 N. La un moment dat, firul se rupe şi bila parcurge Δy = 12 dm până la baza vasului. Se neglijează toate frecările şi se va considera g = 10 N/kg. De asemenea, se vor neglija masele firelor şi ale scripeţilor. Să se determine: a. densitatea lichidului din vas; b. viteza cu care ajunge bila la baza vasului.

~

~

~ ~

F ~

T1 T FA G

T

T

T ~ ~

~

T ~

FA

A

F

T1

a3

a2

a1

~

~

a4

G

a5

Date: ρ = 2700 kg/m3 ; m = 162 g; F = 0,54 N; Δy = 12 dm; g = 10 N/kg. Cerinţe: a. ρ′; b. v. Rezolvare a. se aplică condiţia de echilibru la translaţie pentru câteva dintre părţile sistemului dat • pentru bilă (fig. a2 ): G + FA + T1 = 0 ⇒ G - FA - T1 = 0 (1)

•

pentru scripetele mobil (fig. a3 ): T1 + T + T = 0

•

⇒

T1 - T - T = 0

(2)

pentru capătul A al firului (fig. a 4 ): T +F =0

⇒

F -T = 0

calcule • din (1), (2) şi (3) rezultă: G - FA = 2 F1 • se exprimă forţele din relaţia (4): ƒ G = mg

90

(3) (4) (5)

FA = ρ′Vbila g ƒ

Vbila

m = ρ

⇒ FA = ρ′

m g ρ

calcule • din (4), (5) şi (6) se obţine: 2F m mg - ρ′ g = 2 F1 ⇒ ρ′ = ρ(1- 1 ) ρ mg • înlocuirea valorilor în (7) kg 2×0,54 N kg 2700 3 (1) = 900 3 ; N m m 0,162 kg ×10 kg

(6)

(7)

b.

se aplică relaţiile M26 şi M27 de la pag. 37 şi M23a de la pag. 65 L = Ecf - Eci M26 1 Ec = mv 2 M27 2 L = F ·Δx M23a calcule (fig. a5 ): L = R × Δy • (1) R = G - FA Eci = 0 (2) • 1 Ecf = mv 2 2 • din (1) şi (2): 2(G - FA )Δy 1 ρ′ = 2g (1 - )Δy (3) (G - FA )Δy = mv 2 ⇒ v = ρ 2 m • înlocuirea valorilor în (3):

v = 2 × 10

N 900 kg/m3 m (1)×1,2 m = 4 . 3 kg 2700 kg/m s

I.15.19. O piatră cu volumul de 0,4 m3 şi densitatea ρ = 2500 kg/m3 este lăsată să cadă în apă. Să se determine: a. forţa cu care apa acţionează asupra pietrei; b. reacţiunea normală cu care acţionează solul asupra pietrei. Se neglijează frecările şi se va considera g = 10 N/kg.

91

I.15.20. Două bile (1) şi (2), identice ca dimensiuni şi confecţionate din cupru, sunt suspendate la capetele unei pârghii de genul I de lungime = 1,2 m. Bila (1) se introduce în apă iar bila (2) în petrol. Să se afle poziţia punctului de sprijin al pârghiei, faţă de bila (1), pentru ca aceasta să fie în echilibru în poziţie orizontală. I.15.21. O bilă din marmură de volum V = 80 cm3 este suspendată de un resort a cărui constantă elastică are valoarea k = 19,6 N/m. Cu cât se modifică alungirea resortului, considerat fără masă, dacă bila se introduce în apă? I.15.22. Un buştean de volum V = 2 m3 este menţinut sub apă. Lemnul are densitatea ρ = 600 kg/m3 . Să se determine: a. forţa necesară menţinerii buşteanului în apă; b. buşteanul fiind lăsat liber, cât la sută din volumul buşteanului va fi în apă în noua stare de echilibru. I.15.23. O bilă compactă şi una goală au aceeaşi masă şi volumele în relaţia V2 = 1,612 V1. Bilele sunt confecţionate din alumniu. Ele sunt lăsate libere la suprafaţa apei dintr-un bazin. Să se afle raportul vitezelor cu care ajung bilele la fundul bazinului. Se neglijează frecările. I.15.24. Corpurile (1) şi (2) sunt confecţionate din aceeaşi substanţă de densitate ρ şi introduse în

lichide

de

densităţi:

ρ1 = 700 kg/m3 ,

respectiv

ρ2 = 1000 kg/m . Ştiind relaţia dintre volumele corpurilor, V1 / V2 = 0,4, să se determine densitatea (1) (2) substanţei din care sunt confecţionate corpurile. Fig.I.15.24. 3

I.15.25. Corpul de volum V = 25 dm3 , confecţionat din plută cu densitatea ρ = 250 kg/m3 , este prins de fundul unui vas cu apă prin intermediul resortului de constantă elastică k = 1000 N/m (fig.I.15.25). Volumul părţii cufundate în apă reprezintă ¾ din volumul corpului. Să se afle Fig. I.15.25. alungirea resortului. Se va considera g = 10 N/kg.

92

I.15.26. O grindă din lemn cu densitatea ρ = 500 kg/m3 este ţinută la adâncimea 2 m sub apă. La un moment dat, grinda este lăsată liberă. În timpul de-plasării spre suprafaţa apei, grinda întâmpină o forţă de rezistenţă egală cu un sfert din greutatea ei. Se va considera g = 10 N/kg. Să se afle viteza grinzii după parcurgerea distanţei Δy = 1,5 m. I.15.27. O bilă cade în apă de la înălţimea h = 4 m faţă de suprafaţa unui bazin. Densitatea bilei este de două ori mai mică decât densitatea apei. Neglijând toate frecările, să se determine adâncimea la care bila are viteza nulă. I.15.28. O sferă şi un înveliş sferic, confecţionate din aluminiu, au aceeaşi masă m = 135 g dar volume diferite. Corpurile sunt legate prin intermediul unui fir şi introduse în apă. Lăsat liber, sistemul se află în stare de echilibru. Să se determine volumul învelişului sferic.

93

Capitolul II FENOMENE TERMICE II.1. Temperatura. Încălzire, răcire Informaţii de bază

• temperatura o definiţie: temperatura este mărimea fizică care caracterizează starea de încălzire a unui corp; o scări de temperatură: se cunosc mai multe modalităţi de exprimare a temperaturii unui corp, numite scări termometrice; se cunosc mai multe scări termometrice: scara Celsius, scara Kelvin, scara Fahrenheit etc; ƒ scara Celsius: simbolul temperaturii θ( C) T(K) este litera grecească θ (teta), iar 100 373,15 unitatea de măsură se numeşte grad Celsius şi se scrie prescurtat astfel C; 20 293,15 în această scară de temperaturi s-a atribuit valoarea de 0 C gheţii care se 0 273,15 topeşte la presiune normală şi 100 C 253,15 - 20 apei care fierbe la presiune normală; temperatura exprimată în acestă scară poate avea valori pozitive sau ne0 gative; cea mai mică valoare a - 273,15 temperaturii este - 273,15 C; ƒ scara Kelvin: simbolul temperaturii este litera T iar unitatea de măsură se numeşte kelvin şi se scrie prescurtat K; temperatura exprimată în acestă scară se numeşte temperatură absolută şi are numai valori pozitive; cea mai mică valoare a temperaturii absolute este 0 K; în această scară, temperatura de topire a gheţii la presiune normală are valoarea 273,15 K; ƒ relaţia dintre temperatura exprimată în grade Celsius şi cea exprimată în kelvini este T (K)=273,15 (K)+θ( C) T1 ƒ din relaţia T1 rezultă ca variaţia temperaturii exprimate în grade Celsius este numeric egală cu variaţia temperaturii exprimate în kelvini ΔT (K)=Δθ( C) T2 o măsurarea temperaturii se realizează folosind termometrul; există o mare varietate de termometre: 94

• încălzirea o încălzirea este un fenomen fizic şi înseamnă creşterea temperaturii unui corp ca urmare a interacţiunii cu alt corp; o prin încălzire, variaţia temperaturii unui corp este pozitivă; • răcirea o răcirea este un fenomen fizic şi înseamnă scăderea temperaturii unui corp ca urmare a interacţiunii cu alt corp; o prin răcire, variaţia temperaturii unui corp este negativă. Probleme II.1.1. În tabelul de mai jos sunt date temperaturile mai multor corpuri, exprimate în scara Celsius. Cerinţe: a. stabilirea corpurilor care au aceeaşi stare termică; b. ordonarea corpurilor în sensul descrescător al temperaturii. corpul 1 2 3 4 5 6 7 8 θ( C) 100 - 30 700 325 - 10 0 30 - 200 II.1.2. Apa dintr-un vas are temperatura θ1 = 37 C. După un timp,

temperatura apei a ajuns la θ2 = 63 C. Numiţi fenomenul care a avut loc şi calculaţi variaţia temperaturiii apei. II.1.3. O bucată de gheaţă, răcită cu 7 C, ajunge la temperatura θ2 = −13 C. Să se determine temperatura iniţială a gheţii. II.1.4. O bară metalică este răcită de la θ1 = 25 C până la θ2 = −25 C. Cât este variaţia temperaturii barei? II.1.5. În fig.II.1.5, pe abscisă sunt notate momentele iar pe ordonată temperatura

95

θ( C) 60 40 20 t(min) O

4 12 8 Fig.II.1.5

corpului în momentele respective. Să se afle: a. temperatura corpului în momen-tul t0 = 0; b. temperatura maximă atinsă de corp; c. durata încălzirii corpului; d. variaţia temperaturii în intervalul de timp Δt = 10 min÷12 min. II.1.6. În tabelul anexat este dată temperatura unui corp în diferite momente. Cerinţe: a. reprezentarea grafică a modului în care depinde temperatura de timp; b. variaţia temperaturii corpului în intervalul de timp Δt = 1 min÷4 min; c. temperatura copului în momentul t = 5 min 40 s; d. în ce moment corpul are temperatura θ′ = - 4 C.

moment(min) θ( C)

1 5

2 0

3 -5

4 -5

5 10

6 25

II.1.7. Temperatura iniţială a unui corp este θ1 = 6 C iar cea finală T2 = 298,15 K. Să se afle: a. temperatura iniţială exprimată în kelvini; b. temperatura finală în grade Celsius; c. variaţia temperaturii exprimată în grade Celsius; d. variaţia temperaturii exprimată în kelvini. II.2. Dilatarea termică a corpurilor Informaţii de bază

• • •

definiţie: dilatarea termică este un fenomen fizic care înseamnă modificarea dimensiunilor unui corp datorită variaţiei temperaturii; de regulă, când temperatura corpului creşte, dimensiunile corpului cresc, iar când temperatura scade, dimensiunile scad; cazuri particulare: o în cazul în care una dintre dimensiuni este mult mai mare decât celelalte două, dilatarea termică este mai evidentă pentru acea dimensiune; ex.: barele şi firele metalice, prin încălzire îşi măresc lungimea (v.fig. de mai jos); se spune că aceste corpuri au suferit o dilatare liniară;

96

0

lungimea barei la θ0 = 0 C

0

Δ

•

lungimea barei la θ Δ = - 0 alungirea absolută a barei

o în cazul corpurilor la care două dintre dimensiuni sunt mult mai mari decât cea de a treia, dilatarea termică este mai evidentă pentru acele dimensiuni; ex.: foile de tablă se dilată în suprafaţă; o dacă nici una dintre dimensiunileale unui corp nu poate fi neglijată, are loc o dilatare în volum; s-a constatat experimental că variaţia relativă a lungimii unui corp depinde de natura corpului şi variaţia temperaturii lui; matematic, această concluzie se scrie astfel: Δ = α ΔT T3 0

unde cu α s-a notat o constantă care se referă la substanţa din care este alcătuit corpul, de exemplu: αAl = 24·10 – 6 K- 1; αalamă = = 19·10 – 6 K- 1; αCu = 17·10 – 6 K- 1; αFe = 12·10 – 6 K- 1; Probleme II.2.1. Un fir din cupru are lungimea 0 = 1 km la temperatura θ0 = 0 C. Prin încălzirea firului până la θ = 100 C, lungimea lui devine = 1001,7 m. Să se afle: a. alungirea absolută Δ ; b. alungirea relativă Δ / 0 ; c. cât devine alungirea absolută dacă firul este încălzit până la θ′ = 200 C. II.2.2. Alungirea relativă a unei bare din aluminiu este Δ / = 0,0048. Să se afle variaţia temperaturii barei.

0

=

II.2.3. Un fir metalic lung de 1 m la temperatura θ0 = 0 C se alun-

geşte cu 3,6 mm atunci când este încăzit până la θ = 300 C. Cu cât se alungeşte un fir din acelaşi metal, lung de 35 m la temperatura θ0 = 0 C , când este încălzit până la θ′ = 200 C? II.2.4. O coală metalică, de forma pătratică, are latura 0 = 2 m temperatura θ0 = 0 C. Prin încălzirea colii cu ΔT = 200 K, lungimea 97

laturii creşte cu 7,6 mm. Să se afle: a. cu cât creşte lungimea laturii prin încălzirea colii cu ΔT ′ = 100 K; b. variaţia ariei colii prin încălzirea ei până la temperatura θ = 200 C. II.2.5. O corp metalic, de forma cubică, are latura

0

= 20 cm tempe-

ratura θ0 = 0 C. Prin încălzirea corpului cu ΔT = 250 K, alungirea relativă a laturii cubului are valoarea Δ / 0 = 0,006. Să se afle: a. lungimea laturii prin încălzirea corpului până la temperatura θ′ = 150 C; b. volumul corpului la temperatura θ′′ = 200 C. II.3. Modificarea stării termice prin schimb de căldură şi lucru mecanic Modificarea stării termice Informaţii de bază

•

starea termică a unui corp se poate modifica datorită interacţiunii sale cu alte corpuri; în timpul interacţiunii are loc un transfer de energie, care poate determina variaţia temperaturii corpului; • se disting două modalitaţi de interacţiune, care au ca efect schimbarea stării termice: o interacţiune prin contact termic; energia transferată este măsurată de căldură; o interacţiune prin contact mecanic; energia transferată este măsurată de lucrul mecanic; • căldura o căldura reprezintă energia schimbată de două corpuri aflate în contact termic, numai prin mişcarea dezordonată a constituienţilor acestora; o simbolul este litera Q; o unitatea de măsură < Q > = J; o convenţie pentru semnul căldurii: ƒ căldura primită se consideră pozitivă, Qprimita > 0; ƒ căldura cedată se consideră negativă, Qcedata < 0; o când un corp îşi modifică temperatura prin contactul termic cu alt corp, căldura se calculează cu formula Q = mc(θ2 - θ1 ) = mc Δθ T4

98

o căldura schimbată de mai multe corpuri cu o sursă termică este egală cu suma căldurilor schimbate de fiecare corp în parte cu acea sursă Qtotal = Q1 + Q2 + ... T5 • capacitatea calorică a unui corp • definiţie: capacitatea calorică a unui corp este egală cu raportul dintre căldura schimată de corp în timpul unui proces termic şi variaţia temperaturii; o simbol: litera C; Q o formula de definiţie: C = ; T6 ΔT o unitatea de măsură: < C >=

J ; K

• căldura specifică o căldura specifică este o mărime fizică specifică substanţelor (vezi tabelul 2 pag. 219); o definiţie: căldura specifică a substanţei din este alcătuit un corp este egală cu raportul dintre capacitatea calorică a corpului şi masa acestuia; o simbol: litera c; C o formula de definiţie: c = ; T7 m J o unitatea de măsură: < c >= . kg·K Probleme II.3.1. Să se determine căldura necesară încălzirii unui volum V = 150 cm3 de apă de la temperatura θ1 = 24 C până la θ2 = 54 C. II.3.2. Două bile de mase egale, una din zinc şi alta din nichel, primesc aceeaşi căldură. Să se afle relaţia dintre variaţiile de temperatură ale celor două bile. II.3.3. Într-un vas din cupru, care cântăreşte m1 = 500 g, se găseşte un volum V2 = 2 de apă la temperatura T1 = 303,15 K. Să se determine căldura necesară încălzirii vasului cu apă până la temperatura θ2 = 60 C.

99

II.3.4. O cantitate m = 750 g de apă absoarbe căldura Q = = 62,775 kJ pentru a ajunge la fierbere. Să se afle temperatura iniţială a apei. II.3.5. Un corp cu masa m = 10 g cedează căldura Q = - 40 J atunci când se răceşte cu Δθ = -16 C. Să se stabilească din ce substanţă este confecţionat corpul. II.3.6. Să se afle capacitatea calorică a unei figurine confecţionate dintr-un aliaj de argint şi alumniu, luate în proporţie de mase de 3/5. Figurina cântăreşte 64 g. II.3.7. În vasul de capacitate calorică C1 = 150 J/kg se află un lichid a cărui căldură specifică are valoarea c2 = 2000 J/kg·K. Temperatura vasului cu lichid înregistrează o variaţie ΔT = -15K atunci când cedează căldura Q = -17,25 kJ. Să se determine masa lichidului. II.3.8. În fig.II.3.8 este redată dependenţa căldurii absorbite de corpurile (1) şi (2) în funcţie de variaţia temperaturii lor. Să se afle: a. căldura necesară corpului (1) pentru a-şi mări temperatura cu Δθ1 = 15 C; b. variaţia temperaturii corpului (2) atunci când primeşte căldura Q2 = 5 kJ; c. raportul capacităţilor calorice ale celor două corpuri.

100

Q(kJ) 5 4 3 2 1 O

(1)

(2)

ΔT (K) 10

20

Fig.II.3.8.

30

40

Calorimetrie Informaţii de bază

• calorimetria este un subcapitol al termodinamicii care se ocupă cu măsurarea căldurii schimbate între corpuri şi a coeficienţilor calorici; dispozitivul utilizat în calorimetrie se numeşte calorimetru;

• mai multe corpuri, puse în contact termic, fac schimb de căldură până când ajung să aibă aceeaşi temperatură; • sistemul izolat termic nu face schimb de căldură cu mediul înconjurător; • ecuaţia calorimetrică o ecuaţia calorimetrică reprezintă o particularizare a legii conservării energiei; o enunţ: într-un sistem izolat termic, căldură primită de corpurile care se încălzesc este egală cu căldură cedată de corpurile care se răcesc; o formulare matematică: Qprimit = Qcedat T8 o enunţ: într-un sistem neizolat termic, căldura cedată de corpurile care se răcesc este egală cu suma dintre căldură primită de corpurile care se încălzesc şi căldura disipată în mediul înconjurător; o formulare matematică: Qcedat = Qprimit + Qdisipat T9 Exemplul 1 În apa (1) dintr-un calorimetru se introduce un corp din cupru (2), cu masa m2 = 150 g şi temperatura T2 = 373K. Apa din calorimetru are m1 = 300 g şi temperatura T1 = 283 K. Se neglijează căldura absorbită de calorimetru şi pierderile de căldură. Să se afle temperatura de echilibru a sistemului.

101

Date: m1 = 300 g; T1 = 283 K; c1 = 4185 J/kg·K; m2 = 150 g; T2 = 373K; c2 = 380 J/kg·K. Cerinţe: T . T (K) (2)

T (K) temperatura scade corpul (2) cedează căldură

373

temperatura de echilibru temperatura creşte corpul (1) primeşte căldură

T (1)

283

0

a1

0

a2

Rezolvare se aplică ecuaţia calorimetrică: Qprimit = Qcedat T8

•

•

corpurile care participă la schimbul de căldură (fig. a1 ): ƒ cantitatea de apă (1) m1; ƒ corpul din cupru (2) m2 ; schimbul de căldură se realizează astfel: ƒ apa, fiind mai rece, primeşte căldura Qprimit ;

•

ƒ corpul din cupru, fiind mai cald, cedează căldura Qcedat ; schimbul de căldură are loc până la atingerea stării de echilibru, când ambele corpuri au aceeaşi temperatură T (fig. a2 );

•

fig. a2 se numeşte diagramă calorimetrică; exprimarea căldurilor: ƒ Qprimit = m1c1(T - T1 ); ƒ

(1)

Qcedat = m2c2 (T - T2 ), respectiv Qcedat = m2c2 (T2 - T ) (2)

calcule: din relaţiile T8 , (1) şi (2) rezultă:

102

m1c1(T - T1 ) = m2c2 (T2 - T ) ⇒ m1c1T - m1c1T1 = m2c2T2 - m2c2T ⇒ m1c1T + m2c2T = m2c2T2 + m1c1T1 ⇒ T ( m1c1 + m2c2 ) = m2c2T2 + m1c1T1 ⇒ T =

m2c2T2 + m1c1T1 m2c2 + m1c1

J J ×373 K+0,3kg×4185 ×283 K kg·K kg·K ≈ 286,9 K; J J 0,15kg×380 +0,3kg×4185 kg·K kg·K

0,15kg×380 T =

răspuns: T ≈ 286,9 K. II.3.9. În vasul care conţine 2 kg de apă la temperatura 75 C se toarnă 3 kg de apă cu temperatura 40 C. Să se determine temperatura de echilibru a amestecului astfel format. II.3.10. O piesă metalică, de masă m1 = 4,185 kg şi încălzită până la

temperatura θ1 = 147 C, este introdusă într-un calorimetru ce conţine V2 = 8

apă la temperatura de θ2 = 0 C. Temperatura de echilibru a

amestecului este θ = 7 C. Se neglijează căldura absorbită de calorimetru şi pierderile de căldură sau substanţă. Să se afle căldura specifică a metalului din care este confecţionată piesa. II.3.11. Într-un calorimetru de capacitate calorică C1 se găseşte un lichid de capacitate calorică C2 = 2100 J/K la temperatura T2 = 320 K. Se daugă în vas lichid de aceeaşi natură cu a celui existent dar de volum V3 = 1,5V2 şi cu temperatura T3 = 360 K. La echilibru termic, ssistemul are temperatura T = 335 K. Cerinţe: a. determinarea capacităţii calorice a calorimetrului; b. trasarea diagramei calorimetrice. II.3.12. Într-un calorimetru de capacitate calorică C1 = 100 J/K se găseşte un lichid de capacitate calorică C2 = 1680 J/K la temperatura

T2 = 300 K. În lichid se introduce un eşantion de masă m3 = 200 g încălzit până la T3 = 373 K. Eşantionul este realizat dintr-un aliaj de zinc şi cupru, luate în proporţie de mase de ¼. Să se determine temperatura de echilibru a sistemului. 103

II.3.13. Un volum V1 = 60

apă fierbinte la θ1 = 90 C trebuie răcit

până la θ = 80 C. Pentru aceasta se utilizează un corp din aluminiu răcit la θ2 = - 40 C. Se neglijează orice pierderi de căldură sau substanţă. Aflaţi masa corpului din aluminiu. Exemplul 2 Avem la dispoziţie apă cu temperatura θ1 = 70 C şi apă cu tempera-

tura θ2 = 35 C. Trebuie să obţinem apă cu temperatura θ = 55 C. Când se realizează amestecul, fracţiunea f = 1/3 din căldura cedată de apa caldă se disipă în mediul înconjurător. Să se afle în ce raport trebuie să fie masele de apă pentru a obţine apa dorită. Date: c1 = c2 ; θ1 = 70 C; θ2 = 35 C; θ = 55 C; f = 1/3. Cerinţe: m1 / m2 . Rezolvare se aplică ecuaţia calorimetrică: Qcedat = Qprimit + Qdisipat T9 o corpurile care participă la schimbul de căldură: ƒ cantitatea m1 de apă cu temperatura θ1; ƒ cantitatea m2 de apă cu temperatura θ2 ; ƒ mediul înconjurător – vasul în care se face amestecul, aerul etc; o schimbul de căldură se realizează astfel: ƒ apa mai rece ( m2 ) primeşte căldura Qprimit ; ƒ

mediul încojurător primeşte căldura Qdisipat ;

ƒ apa mai caldă ( m1 ) cedează căldura Qcedat ; o schimbul de căldură are loc până la atingerea stării de echilibru, când amestecul ajunge la temperatura de echilibru θ; o exprimarea căldurilor: ƒ Qprimit = m2c2 (θ - θ2 ); (1) ƒ

Qcedat = m1c1(θ - θ1 ); respectiv Qcedat = m1c1(θ1 - θ);

(2)

ƒ

Qdisipat = f Qcedat ;

(3)

calcule: din relaţiile T9 , (1), (2) şi (3) rezultă:

104

m1c1(θ1 - θ) = m2c2 (θ - θ2 ) + fm1c1(θ1 - θ) ⇒ m1( θ1 - θ)(1 - f ) = m2 (θ - θ2 ) ⇒ m1 ( θ - θ2 ) = m2 (θ1 - θ)(1 - f )

m1 55 C - 35 C = = 2; m2 (70 C - 55 C)(1-1/3) m răspuns: 1 = 2 . m2 II.3.14. Într-un calorimetru de capacitate calorică C1 = 125 J/K, aflat

la temperatura mediului înconjurător θ1 = 27 C, se toarnă un lichid cu capacitatea calorică C2 = 875 J/K şi temperatura θ2 = 67 C. Temperatura de echilibru a sistemului este θ = 60 C. Să se calculeze raportul dintre căldura disipată în mediul înconjurător şi căldura cedată de lichid. II.3.15. Într-un calorimetru de capacitate calorică C1 = 100 J/K se află un lichid de capacitate calorică C2 = 3 C1 la temperatura mediului

înconjurător θ1 = 25 C. În calorimetru se introduce un corp de capacitate calorică C3 = 0,25 C2 , aflat la temperatura temperatura θ3 = 100 C. Să se afle pentru ce valoare a căldurii disipate în mediul înconjurător, temperatura de echilibru a sistemului este θ = 35 C. Lucrul mecanic Informaţii de bază

• starea de încălzire a unui corp se poate modifica nu numai prin schimb de căldură ci şi prin efectuarea de lucru mecanic asupra lui; în acest caz, are loc un transfer de energie mecanică, care duce la creşterea temperaturii corpului; • exemple: o piesele prelucrate la strung se încălzesc; o frânarea bruscă a unui automobil duce la încălzirea anvelopelor; 105

o dacă ne-au îngheţat mâinile, le putem încălzi frecându-le una de alta; o frecând cu o bucată de tifon rezervorul unui termometru, constatăm că mercurul începe să urce; • evaluarea energetică a acestui transfer se face prin intermediul: o lucrului mecanic, deoarece acesta măsoară variaţia energiei mecanice L = ΔEc L = ΔE sau M26, 28, 30 L = - ΔEp o căldurii, deoarece aceasta pune în evidenţă variaţia temperaturii; Q = mc ΔT sau Q = C ΔT T6, 7 • convenţie de semn pentru lucrul mecanic: o L > 0 când lucrul mecanic este efectuat de către forţele din interiorul sistemului; o L < 0 când forţele exterioare efectuează lucru mecanic asupra sistemului; • ţinând cont de convenţiile de semn pentru căldură şi lucrul mecanic, dacă nu există pierderi, L =Q T10 Exemplul 3 Un corp confecţionat din zinc este lansat pe o suprafaţă orizontală aspră cu viteza v 0 = 20 m/s. Să se determine variaţia temperaturii corpului dacă, datorită frecării, corpul se opreşte. Se neglijează pierderile de energie. Date: v 0 = 20 m/s; c = 400 J/kg·K. Cerinţe: ΔT . Rezolvare pentru că nu există pieredri, se aplică relaţia L =Q T10 o se exprimă lucrul mecanic prin intermediul variaţiei energiei cinetice a corpului ⎧⎪L = Ec f - Eci 1 L = ΔEc ⇒ ⎨ ⇒ L = - Eci ⇒ L = Eci ⇒ L = mv 02 (1) 2 ⎪⎩Ec f = 0 o se exprimă căldura Q = mc ΔT (2) calcule: o din relaţiile T10 , (1) şi (2) rezultă: 106

L =Q

v2 1 1 L = mv 02 ⇒ mv 02 = mcΔT ⇒ ΔT = 0 2 2 2c Q = mcΔT o înlocuirea valorilor în relaţia (3): 400 m2 /s2 ΔT = = 0,5 K ; 2·400 J/kg·K răspuns: ΔT = 0,5 K .

(3)

II.3.16. Corpul de capacitate calorică C = 75 J/K îşi modifică energia cinetică de Ec1 = 32 J la Ec 2 = 2 J datorită forţei de frecare. Considerând că 50% din variaţia enegei cinetice este absorbită de corp, să se afle variaţia temperaturii corpului. II.3.17. O bilă din plumb este lăsată liberă la înălţimea h. La impactul cu solul, bila se încălzeşte cu Δθ = 1,2 C. Considerând că bila a absorbit 80% din energia cu care ajunge la sol, să se afle înălţimea h de la care căzut aceasta. Se va considera g = 10 N/kg. II.3.18. Un corp din plumb alunecă cu viteză constantă pe o traiectorie rectilinie orizontală, parcurgând Δx = 64 m. La finalul de-

plasării, se constată o creştere a temperaturii corpului cu Δθ = 0,8 C. Coeficientul de frecare la alunecare are valoarea μ = 0,25. Considerând g = 10 N/kg, să se determine fracţiunea din lucrul mecanic efectuat de forţa de frecare disipată în mediul înconjurător. II.3.19. O bilă din plumb cade fără viteză iniţială de la înălţimea h = 20 m. La ciocnirea cu solul, bila înregistrează o creşterea temperaturii cu Δθ = 0,5 C pentru că absoarbe 1/3 din energia cinetică cu care a ajuns la sol. Să se afle ce fracţiune din greutatea bilei reprezintă forţa de rezistenţă din partea aerului în timpul căderii ei spre sol. Se va considera g = 10 N/kg.

107

II.4. Combustibili. Instalaţii de încălzire. Motoare termice Informaţii de bază

•

combustibili: o combustibilii sunt substanţe care, prin ardere, degajă căldură; o căldură degajată se calculează cu formula Qard. = mq T11 unde m este masa de combustibil arsă şi q reprezintă o constantă de material (vezi tabelul 3 pag. 220), numită putere calorică, şi care are ca unitate de măsură < q > = J/kg; • instalaţii de încălzire: o în majoritatea instalaţiilor de încălzire ard combustibili şi căldura obţinută este transferată mediului înconjurător; o randamentul unei instalaţii termice este egal cu raportul dintre căldura utilă şi căldura degajată prin arderea combustibilului, adică Q Qu η= u = T12 Qard. mcomb.q • motoarele termice: o sunt dispozitive care, primind căldură, furnizează lucru mecanic; o randamentul unui motor termic este egal cu raportul dintre lucrul mecanic furnizat şi căldura primită; ca urmare, Q - Qcedata L T13 η= = primita Qprimita Qprimita Probleme II.4.1. Prin arderea unei cantităţi m = 10 kg de lemn se obţine căldura Q = 9·107 J. Să se afle puterea calorică a lemnului folosit. II.4.2. Calculaţi căldura care se degajată prin arderea unui volum V = 50 cm3 de alcool. II.4.3. În fiecare zi, pentru încălzirea unei camere este necesară căldura Q0 = 250 MJ. Se dispune de cantitatea m = 1000 kg petrol.

108

Considerând că nu există pierderi, câte zile va putea fi încălzită camera? II.4.4. La flacăra unei spirtiere se încălzeşte o eprubetă cu lichid, de capacitate calorică totală C = 50 J/K. Considerând că nu există pier-

deri, să se afle cantitatea de alcool necesară încălzirii cu Δθ = 27 C a eprubetei cu lichid. II.4.5. Un vas cu apă primeşte căldura Q = 11,5 MJ de la o instalaţie termică de randament η = 40%. Să se determine cantitatea de petrol consumată. II.4.6. Un vas cu apă de capacitate calorică totală C = 50 kJ/K este

încălzit de la θ1 = 20 C până la θ2 = 80 C cu ajutorul unei instalaţii de încălzire care funcţionează cu lemne de putere calorică q = 9 MJ/kg. Pentru încălzirea vasului cu apă au fost arse mc = 4 / 3 kg lemne. Să se calculeze: a. căldura utilă; b. căldura pierdută; c. randamentul insrtalaţiei de încălzire. II.4.7. O bară subţire din aluminiu, cu secţiunea S0 la temperatura

θ0 = 0 C este încălzită cu o instalaţie termică de randament η. În instalaţie se consumă cantitatea mc de combustibil cu puterea calorică q. Să se deducă expresia alungirii barei. II.4.8. Un motor termic furnizează lucrul mecanic L = 20 kJ atunci când primeşte căldura Qp = 100 kJ. Să se afle: a. căldura cedată

mediului înconjurător; b. randamentul motorului. II.4.9. Motorul termic cu randamentul de η = 40% cedează mediului înconjurător căldura Qc = 60 kJ. Să se afle: a. căldura primită de

motor; b. lucrul mecanic furnizat de motor. II.4.10. Un tractor consumă mc = 12 kg de motorină pe distanţa Δx = 6 km. Ştiind că motorul tractorului lucrează cu randamentul η = 28%, să se determine forţa de trecţiune a motorului.

109

II.4.11. Un motor termic, de randament η = 27%, consumă 1,4 kg benzină pe oră. Să se determine puterea utilă a motorului. II.4.12. Motorul unui automobil furnizează puterea P = 22 kW la un randament de η = 42%. Automobilul parcurge distanţa Δx = 180 km cu viteza medie v m = 43,2 km/h. Să se afle volumul de benzină consumat pe distanţa dată. II.5. Schimbarea stării de agregare Topirea – solidificarea Informaţii de bază

• definiţii o trecerea unui corp din stare solidă în stare lichidă se numeşte topire; o trecerea unui corp din stare lichidă în stare solidă se numeşte solidificare; • legi o topirea/solidificarea se produce la o anumită temperatură, numită temperatură de topire/solidificare; temperatura de topire/solidificare este o constantă de material (vezi tabelul 4 b. de la pag. 220), influenţată de presiunea la care au loc cele două fenomene; dacă topirea şi solidificarea au loc la aceeaşi presiune Ttopire = Tsolidificare ; o la presiune constantă, în timpul topirii/solidificării, temperatura amestecului solid-lichid rămâne constantă; • aspecte energetice o topirea se face cu absorbţie de căldură; o solidificarea are loc cu cedare de căldură; o căldura schimbată cu mediul înconjurător de către un corp care se topeşte/solidifică se numeşte căldură latentă de topire/solidificare; simbolul căldurii latente este Qlatenta ; o căldura latentă specifică de topire/solidificare a unei substanţe este egală cu raportul dintre căldura latentă de topire/solidificare şi masa corpului alcătuit din acea substanţă (vezi tabelul 4 b. de la pag. 220); simbolul căldurii latente specifice de topire/solidifcare este λ topire / λ solidificare ; cele două călduri specifice latente sunt egale dacă fenomenele au loc la aceeaşi presiune; 110

o căldura latentă se calculează folosind relaţia:

Qlatenta

topire/solidificare

= mλ topire/solidificare

T14

Probleme II.5.1. Să se calculeze necesară pentru a topi 5 kg de gheaţă aflată la 0 C.

II.5.2. O cantitate m = 50 g de naftalină, aflată la temperatura θ = 25 C, trebuie topită. De câtă căldură este nevoie? II.5.3. Un volum V = 0,9 de apă, aflată la θ = 20 C, trebuie transformat într-un amestec de apă şi gheaţă într-un raport de mase mapa / mgheata = 1/ 3. Să se calculeze căldura cedată pe parcursul acestor fenomene. II.5.4. Într-un vas de capacitate calorică C = 100 J/K se găseşte un amestec de apă şi gheaţă, de mase mapa = 500 g şi mgheata = 20 g. Vasul este încălzit la o instalaţie termică de randament η = 80%. Să se afle cantitatea de alcool care trebuie consumată în instalaţie pentru ca temperatura sistemului să ajungă la θ = 20 C. II.5.5. Într-un vas de capacitate calorică neglijabilă se găseşte gheaţă de masă m1 = 100 g, la temperatura θ1 = -10 C. În vas se toarnă apă la θ2 = 30 C astfel încât, în starea de echilibru termic, în vas se află numai apă la θ = 0 C. Să se determine masa apei care s-a turnat în vas. Se neglijează pierderile de căldură. Exemplul 1 Într-o cantitate de apă cu masa m1 = 200 g şi temepratura θ1 = 10 C se introduce o bucată de gheaţă de masă m2 = 200 g, aflată la temperatura θ2 = -10 C. Caracterizaţi sistemul în starea finală. Se neglijează pierderile de căldură. Date: m1 = 200 g; θ1 = 10 C; c1 ≈ 4200 J/kg·K; m2 = 200 g;

θ2 = -10 C; c1 ≈ 2100 J/kg·K; λ t ≈ 33,5·104 J/kg. Cerinţe: θ, mgheata , mapa . 111

Rezolvare analiză • între apă şi gheaţă are loc un schimb de căldură până la realizarea stării de echilibru termic, caracterizată de temperatura θ; deoarece apa este mai caldă decât gheaţa, schimbul de căldură se realizează astfel: ƒ apa cedează căldură; ƒ gheaţa primeşte căldură; • schimbul de căldură este însoţit de următoarele fenomene termice: ƒ apa – răcire şi o posibilă solidificare; ƒ gheaţa – încălzire şi o posibilă topire; • pentru a afla care dintre fenomenele posibile are loc, topirea gheţii sau solidificarea apei, sau poate nici unul, se procedează astfel: ƒ se calculează căldura cedată de apă prin răcirea până la θ0 = 0 C : Qcedat = m1c1(θ0 - θ1 ) ⇒ Qcedat = m1c1(θ1 - θ0 ) = 8400 J

ƒ

se calculează căldura necesară gheţii pentru a ajunge la θ0 = 0 C : Qnecesar incalzire = m2c2 (θ0 - θ2 ) ⇒ Qnecesar incalzire = 4200 J

ƒ

•

se compară căldurile calculate şi se observă Qcedat > Qnecesar , ceea ce înseamnă că are topirea gheţii;

că

se pune întrebarea dacă gheaţa se topeşte în totalitate sau parţial; pentru a afla răspunsul: ƒ se calculează căldura necesară gheţii pentru a se topi Qnecesar topire = m2 λ t = 67000 J ; ƒ

se calculează căldura rămasă după încălzirea gheţii Qramas = Qcedat - Qnecesar incalzire = 4200 J ;

ƒ

se compară căldurile calculate şi se observă că Qramas < Qnecesar topire , ceea ce înseamnă că are loc topirea

parţială a gheţii; • concluziile obţinute în urma analizei sunt: ƒ în starea finală sistemul este format din apă şi gheaţă, deci θ = 0 C; ƒ parte din gheaţă se topeşte, deci scade masa gheţii şi creşte cea a apei; 112

diagrama calorimetrică este redată în fig. de mai jos :

θ ( C) răcire

10 0 - 10

topire încălzire

se aplică ecuaţia calorimetrică pentru a afla masa gheţii topite : • Qprimit = Qcedat (1) •

Qcedat = m1c1(θ1 - θ)

(2)

•

Qprimit = m2c2 (θ - θ2 ) + m2′ λ t

(3)

calcule : • din relaţiile (1), (2) şi (3) se obţine : m1c1(θ1 - θ) = m2c2 (θ - θ2 ) + m2′ λ t m2′ =

•

înlocuirea valorilor : 0,2 kg·4200 m2′ =

• •

m1c1(θ1 - θ) - m2c2 (θ - θ2 ) λt

J J ·10 C-0,2 kg·2100 ·10 C kg C kg C ≈ 12,5 g 4 J 33,5 · 10 kg

calcularea masei de apă: m1′ = m1 + m2′ = 212,5 g calcularea masei de gheaţă: m2′′′ = m2 - m2′ = 187,5 g

răspuns: θ = 0o C, mapa = 212,5 g, mgheata = 187,5 g. II.5.6. Într-un calorimetru de capacitate calorică neglijabilă se găseşte apă de capacitate calorică C1 = 420 J/K , la temepratura θ1 = 5 C . În apă se introduce o bucată de gheaţă de capacitate calorică C2 = 1680 J/K, aflată la temperatura θ 2 = -25 C. Caracterizaţi sistemul în starea finală. Se vor face aproximaţiile: c1 ≈ 4200 J/kg·K, c2 ≈ 2100 J/kg·K. Se neglijează pierderile de căldură.

113

II.5.7. Într-un calorimetru de capacitate calorică C = 100 J/K se găseşte apă de capacitate calorică C1 = 2100 J/K la temepratura

θ1 = 8 C . În apă se introduce o bucată de gheaţă de capacitate calorică C2 = 63 J/K, aflată la temperatura θ2 = - 5 C. Caracterizaţi sistemul în starea finală. Se vor face aproximaţiile: c1 ≈ 4200 J/kg·K, c2 ≈ 2100 J/kg·K. Se neglijează pierderile de căldură. II.5.8. În apa de capacitate calorică C1 = 1470 J/K, aflată la tempera-

tura θ1 = 10 C, se introduce o bucată de gheaţă de capacitate calorică C2 = 420 J/K, aflată la temperatura θ2 = -15 C. Să se afle raportul dintre masa gheţii în stare finală şi cea în stare iniţială. Se vor face aproximaţiile: c1 ≈ 4200 J/kg·K, c2 ≈ 2100 J/kg·K. Se neglijează pierderile de căldură. II.5.9. Într-un calorimetru de capacitate calorică C = 271 J/K se găseşte alcool de capacitate calorică C1 = 729 J/K la temepratura

θ1 = 20 C în care se introduce o bucată de gheaţă de masă m2 = 50 g, aflată la temperatura θ2 = 0 C. Să se afle: a. temperatura amestecului în stare finală; b. densitatea amestecului în starea finală. Se va face aproximaţia: c2 ≈ 4200 J/kg·K. Se neglijează pierderile de căldură şi variaţia densităţii cu temperatura. Vaporizarea – condensarea Informaţii de bază

•

definiţii o trecerea unui corp din stare lichidă în stare vapori se numeşte vaporizare; o vaporizarea poate avea loc: ƒ la suprafaţa lichidului, fenomen numit evaporare; ƒ în toată masa lichidului, fenomen numit fierbere; o trecerea unui corp din stare de vapori în stare lichidă se numeşte condensare;

114

•

•

legi o fierberea se produce la o anumită temperatură, numită temperatură de fierbere (vezi tabelul 4 a pag. 220); temperatura de fierbere este o constantă de material, influenţată de presiunea la care are loc fenomenul; o la presiune constantă, în timpul fierberii, temperatura rămâne constantă; aspecte energetice o vaporizarea se face cu absorbţie de căldură; o condensarea are loc cu cedare de căldură; o căldura schimbată cu mediul înconjurător de către un corp care se vaporizează/condensează se numeşte căldură latentă de vaporizare/condensare; simbolul căldurii latente este Qlatenta ; o căldura latentă specifică de vaporizare/condensare a unei substanţe este egală cu raportul dintre căldura latentă de vaporizare/condensare şi masa corpului alcătuit din acea substanţă (vezi tabelul 4 a pag. 220); simbolul căldurii latente specifice de vaporizare/condensare este λ vaporizare / λ condensare ; cele două călduri specifice latente sunt egale dacă fenomenele au loc la aceeaşi presiune; o căldura latentă se calculează folosind relaţia Qlatenta vaporizare/condensare = mλ vaporizare/condensare T15

II.5.10. O cantitate de 4 kg apă, aflată la 100 C, este transformată în vapori. Să se determine căldura necesară producerii vaporizării apei. II.5.11. Pentru încălzirea până la θ2 = 100 C a m = 2,5 kg de apă

aflate la θ1 = 20 C se consumă căldura Q = 106 J. Neglijând pierderile de căldură, să se afle masa de apă care s-a transformat în vapori. II.5.12. Să se calculeze căldura necesară transformării a 100 g de gheaţă, aflată la temperatura θ1 = -10 C, în vapori la θ2 = 100 C. II.5.13. Într-un calorimetru de capacitate calorică C1 = 200 J/K se găseşte apă de capacitate calorică C2 = 4200 J/K la temepratura θ1 = 90 C. În apă se toarnă o cantitate m3 = 1 kg de plumb topit, aflat

115

la temperatura θ3 = 327 C. Caracterizaţi sistemul în starea finală. Se va face aproximaţia c2 ≈ 4200 J/kg·K. Se neglijează pierderile de căldură şi de substanţă. II.5.14. Într-un vas metalic de capacitate calorică C1 = 200 J/K se găseşte apă de capacitate calorică C2 = 2100 J/K la temepratura

θ1 = 50 C. În apă se introduce o bucată de gheaţă de masă m3 = 150 g aflată la temperatura θ3 = 0 C. După ce se ajunge în starea de echilibru termic, vasul cu apă este pus la un încălzitor care funcţionează cu petrol. Prin consumarea a mc = 10 g de petrol, se vaporizează m2′ = 50 g de apă. Să se afle randamentul încălzitorului. II.5.15. Să se afle de la ce înălţime ar trebui să cadă o alice de plumb pentru ca să se evapore la impactul cu solul. În momentul începerii căderii, alicele au temperatura θ1 = 27 C. Se va considera g = 10 N/kg.

116

Capitolul III FENOMENE ELECTROMAGNETICE III.1. Electrizarea corpurilor Informaţii de bază

•

•

• •

electrizarea corpurilor o electrizarea este fenomenul fizic prin care corpurile capătă o proprietate nouă, care constă în capacitatea acestora de a atrage corpuri uşoare; sarcina electrică o sarcina electrică este o mărime fizică scalară care măsoară starea de electrizare a unui corp; o simbolul sarcinii electrice este litera q; o unitatea de măsură a sarcinii electrice se numeşte coulomb, < q >= C; o sarcina electrică poate avea valori pozitive sau negative; o valoarea q0 = 1,6·10-19 C poartă numele de sarcină electrică elementară; corpurile sunt alcătuite din atomi; fiecare atom este format din: o nucleu, în care există: ƒ neutroni, particule neutre, qneutron = 0; ƒ

• •

protoni, particule încărcate pozitiv, qproton = 1,6·10-19 C;

o înveliş electronic, format din electroni, care au sarcină electrică negativă, qelectron = -1,6·10-19 C; atomul este neutru din punct de vedere electric; sarcina electrică: o a unui atom este egală cu suma sarcinilor electrice ale constituienţilor săi: qatom = qnucleu + qinvelis E1 o a nucleului este egală cu suma sarcinilor electrice ale protonilor qnucleu = Zqproton E2 o a învelişului electronic este egală cu suma sarcinilor electrice ale electronilor

117

• •

• • •

•

qinvelis = Zqelectron E3 atomul poate primi sau ceda electroni – fenomen numit ionizare; electrizarea prin frecare sau prin contact este fenomenul fizic în cadrul căruia are loc un transfer de electroni între corpuri: o corpul neutru, care primeşte electroni, se încarcă cu sarcină electrică negativă; o corpul neutru, care cedează electroni, se încarcă cu sarcină electrică pozitivă; două corpuri, frecate unul de celălalt, se electrizează simultan cu sarcini electrice de semne contrare; prin contactul dintre un corp neutru şi unul electrizat, corpul neutru se încarcă cu sarcini electrice de acelaşi semn ca şi corpul electrizat; dacă se consideră că aceste corpuri sunt izolate din punct de vedere electric de mediul înconjurător, atunci: o sarcinile cu care se încarcă prin frecare au aceeaşi mărime; o sarcina electrică a corpului electrizat se distribuie în mod egal între cele două corpuri numai atunci când acestea sunt metalice şi identice; consevarea sarcinii electrice: sarcina electrică iniţială a corpurilor între care are loc transfer de electroni este egală cu sarcina lor electrică în starea finală; adică, qinitial = qfinal sau q1 + q2 + q3 + ... = q1′ + q2′ + q3′ + ... E4

Probleme III.1.1. Atomul de heliu are numărul de ordine Z = 2. Calculaţi a. sarcina electrică a invelişului electronic al atomului de heliu; b. sarcina electrică a nucleului de heliu; c. sarcina electrică a atomului de heliu; d. sarcina electrică a ionului de heliu după ce pierde un electron; e. sarcina electrică a ionului de heliu după ce pierde doi electroni. III.1.2. Prin frecarea unei baghete de sticlă cu o ţesătură din bumbac, aceasta pierde n = 107 electroni. Să se afle: a. sarcina electrică a baghetei din sticlă; b. sarcina electrică a ţesăturii din bumbac.

118

Exemplul 1 O bilă din aluminiu, de masă m = 54 g, pierde prin frecare câte un electron de fiecare atom. Masa unui mol de aluminiu este μ = 27 g / mol . Numărul lui Avogadro are valoarea NA ≈ 6·1023 molecule/mol. Să se afle sarcina electrică a bilei, dacă în starea iniţială era neutră. Date: m = 54 g; μ = 27 g/mol; NA ≈ 6·1023 mol-1; qelectron = -1,6·10-19 C; qinitial = 0. Cerinţe: qbila . Rezolvare se aplică principiul conservării sarcinii electrice E4 : q initial = q final

⇒ qbila = - qelectroniplecati

q initial = 0

(1)

q final = qbila + qelectroniplecati

se exprimă sarcina electronilor plecaţi: qelectroni plecati = Nqelectron

(2)

se exprimă numărul electronilor plecaţi, ştiind că este egal cu numărul atomilor de aluminiu N electroni plecati = Natomi de aluminiu Natomi de aluminiu

m = NA μ

Nelectroni plecati =

m NA μ

calcule: o din (1), (2) şi (3), se obţine : m qbila = - NA qelectron μ o se înlocuiesc valorile în (4) : 54 g 1 qbila = 6·1023 ( - 1,6·10-19C) = 19,2·10 4 C g mol 27 mol răspuns: qbila = 19,2·10 4 C .

(3)

(4)

III.1.3. Un eşantion dintr-un aliaj conţine N = 12·1023 atomi. Raportul numerelor de atomi din aliaj este N1 / N2 = 0,25. Prin frecare, atomii primului metal pierd câte un electron fiecare iar ai celuilalt câte doi electroni. Să se afle sarcina electrică a eşantionului.

119

III.1.4. O baghetă din sticlă este încărcată cu sarcina electrică q1 = 3,2·10-3 C. Să se afle: a. numărul electronilor care au părăsit bagheta; b. cât devine sarcina electrică a baghetei dacă mai pierde N2 = 12·1015 electroni; c. cât devine sarcina electrică a baghetei dacă

primeşte N3 = 12·1015 electroni. III.1.5. O bandă de celuloid frecată cu o ţesătură din lână se încarcă cu sarcina electrică q = −1,6·10-2 C . Să se calculeze numărul electronilor schimbaţi de bandă cu ţesătura din lână. Exemplul 2 Bila metalică A este încărcată cu sarcina electrică qAi = - 4,8·10- 2 C. Bila este pusă, simultan, în contact cu două bile metalice identice, B şi C, neutre electric. Să se afle: a. sarcina electrică a fiecărei bile după contactul electric dintre ele; b. variaţia numărului de electroni în exces din bila A în urma contactului cu celelalte două bile. Date: qAi = - 4,8·10- 2 C; qelectron = -1,6·10-19 C; qBi = qCi = 0. Cerinţe: a. qAf ; qBf ; qCf ; b. ΔN A . Rezolvare a. se aplică principiul conservării sarcinii electrice E4 : qinitial = qfinal

qinitial = qAi

qAi = qAf + qBf + qCf

(1)

q final = qAf + qBf + qCf

bilele metalice fiind identice, surplusul de electroni se distribuie în mod egal între cele trei bile, astfel că qAf = qBf = qCf (2) calcule din (1) şi (2), se obţine q qAi = 3qAf ⇒ qAf = qBf = qf = Ai = -1,6·10- 2 C; (3) 3 b. • se aplică relaţia E3 în cazul bilei A:

120

NAi = NAf =

qAi qelectron qAf qelectron

⇒ ΔNA =

qAf

-

qAi

qelectron qelectron

ΔNA = NAf - NAi calcule: o din rezultatul (3) şi (4), se obţine: q /3 - qAi 2 q Ai ΔNA = Ai =3 qelectron qelectron o se înlocuiesc valorie în (5): 2 - 4,8·10- 2 C ΔNA = = -2·1017 electroni. -19 3 -1,6·10 C

=

qAf - q Ai qelectron

(4)

(5)

III.1.6. Două corpri metalice identice sunt încărcate astfel: primul are un deficit de N1 = 4·1016 electroni iar celălalt are sarcina electrică q2 = - 6,4 mC. Să se afle sarcina electrică a fiecărui corp după punerea lor în contact electric. III.1.7. Fiecare din cele trei corpuri metalice identice, după ce sunt aduse în contact electric, are un surplus de N = 1,5·1017 de electroni. Înainte de aducerea în contact electric, primul corp era încărcat cu sarcina electrică q1 = 9,6 mC iar al doilea cu q2 = - 8 mC. Să se afle sarcina electrică cu care era încărcat al treilea corp înainte de contactul electric. III.2. Interacţiunea corpurilor electrizate Informaţii de bază

•

•

interacţiuni între corpuri încărcate electric: o corpurile încărcate cu sarcini electrice de acelaşi semn se resping reciproc; o corpurile încărcate cu sarcini electrice de semne contrare se atrag reciproc; forţa are măsoară interacţiunea corpurilor încărcate electric, aflate în repaus, se numeşte forţă electrostatică; 121

(1)

(2)

F2→1

F1→2

(1)

F2→1

(1)

F2→1

F1→2

(1)

(2)

a1

(2)

F1→2

•

(2)

F2→1

a2

F1→2

forţa electrostatică dintre două corpuri încărcate electric, considerate de dimensiuni mult mai mici decât distanţa dintre ele: o are direcţia liniei ce uneşte corpurile încărcate electric; o sensul ei depinde de semnul sarcinilor electrice ale celor două corpuri: ƒ fig. a1 - sarcini de acelaşi semn; ƒ fig. a 2 - sarcini de semne contrare; o are modulul: ƒ direct proporţional cu fiecare dintre modulele sarcinilor electrice; ƒ invers proporţional cu pătratul distanţei dintre corpurile considerate punctiforme; ƒ dependent de mediul în care se află corpurile; o legea lui Coulomb reflectă factorii de care depinde modulul forţei electrostatice în cazul corpurilor considerate punctiforme: q q E5 F =k 1 2 2 r Precizări cu privire la textul problemelor: • dacă nu se precizează mediul, se consideră că interacţiunile electrostatice au loc în vid sau în aer, pentru care N·m2 kaer ≈ k vid = 9·109 ; C2 • firele folosite pentru prinderea corpurilor sunt izolatoare electrice, de masă neglijabilă şi inelastice, numite fire ideale; • dimensiunile corpurilor vor fi considerate mult mai mici decât distanţa dintre corpuri, deci vor fi corpuri punctiforme.

122

Probleme III.2.1. Calculaţi forţa cu care interacţionează două corpuri, fiecare încărcat cu sarcina electrică de 10 µC, situate la 6 cm unul de altul. III.2.2. Între sarcinille electrice a două corpuri, situate la distanţa r = 9 cm, există relaţia q2 = -1,5 q1. Corpurile interacţionează cu o forţă de modul F = 15 N. Să se afle sarcinile electrice cu care sunt încărcate corpurile. III.2.3. Să se determine cum se schimbă forţa electrostatică dintre două corpuri electrizate dacă distanţa dintre ele se dublează. III.2.4. Corpul A (m > 1,03 kg) este suspendat prin intermediul unui fir ideal şi aşezat deasupra corpului B, la distanţa r = 3 cm de acesta (fig.III.2.4). Corpul B este fixat pe un suport izolator. Să se afle variaţia tensiunii din fir atunci când corpurile se încarcă cu sarcini electrice egale fiecare cu 10-6 C, de acelaşi semn, respectiv de semn contrar.

A B Fig.III.2.4

III.2.5. La capetele unui resort izolator, de constantă elastică k1 = = 180 N/m şi lungime 0 = 25 cm în stare nedeformată, sunt prinse două corpuri. Sistemul este aşezat pe un suport orizontal izolator şi lipsit de frecări. Când corpurile se electrizează, lungimea resortului devine = 30 cm. Ştiind că sarcina electrică a unuia dintre corpuri este q1 = 2 ·10-6 C, să se afle sarcina electrică a celuilalt corp. III.2.6. Bila A, de greutate G = 10 N, este suspendată prin intermediul unui fir ideal (fig.III.2.6). Bila B este fixată pe un suport B izolator. Se încarcă bilele cu sarcini electrice A egale fiecare cu 10-6 C , dar de semn contrar. Fig.III.2.6. La echilibru, bilele sunt situate pe orizontala ce trece prin bila B. Ştiind că tensiunea din fir este T = 10 2 N, să se afle distanţa dintre bile.

123

III.2.7. Bilele A şi B sunt aşezate pe un plan A înclinat cu unghiul α = 30 faţă de orizontală şi lipsit de frecări (fig.III.2.7). Bila A, prinsă de B un resort care are constanta elastică α k = 100 N/m, are greutatea G = 20 N. Bila B Fig. III.2.7. este prinsă la baza planului înclinat de o bară izolatoare fixă. Cînd bilele sunt încărcate cu sarcini electrice egale şi de semn contrar, q1 = - q 2 = 10 - 6 C, alungirea resortului este dublă faţă de cea în absenţa electrizării bilelor. Să se afle: a. alungirea resortului când bilele nu sunt electrizate; b. distanţa dintre cele două bile atunci când acestea sunt electrizate. III.2.8. Bilele A şi B sunt aşezate pe un B A F plan izolator orizontal, la distanţa r = 12 cm una faţă de cealaltă (fig. III.2.8). Bila B este fixă iar bila A, de Fig. III.2.8. greutate G = 20 N, se poate deplasa cu frecare pe planul orizontal. Coeficientul de frecare la alunecare are valoarea μ = 0,2. Se încarcă bilele cu sarcinile electrice

qA = - qB = 2 ·10- 6 C. Să se afle valoarea minimă a forţei care trebuie să acţioneze asupra bilei A pentru a o pune în mişcare. III.2.9. Trei particule A, B şi C, încărcate cu sarcinile electrice qA = - qB = qC = 2 ·10- 6 C, sunt situate în vârfurile unui triunghi echilateral de latură = 20 cm. Să se afle forţa electrostatică ce acţionează asupra particulei A. III.2.10. Se dă sistemul din fig.III.2.10, pentru care se cunosc: qA = 2 ·10- 6 C, qB = - 6 ·10- 6 C, qC = 9 ·10- 6 C, A B C rAC = 60 cm şi rBC = 30 cm. Să se afle: a. r AC caracteristicile rezultantei forţelor electrostarBC tice ce acţionează asupra corpului A; b. Fig. III.2.10. valoarea sarcinii qC′ pentru care corpul B este în echilibru sub acţiunea forţelor electrostatice.

124

III.2.11. Patru corpuri identice, aşezate în vârfurile unui pătrat, sunt încărcate cu sarcini electrice identice. Forţa de interacţiune dintre două corpuri situate în vârfuri vecine are modulul F = 0,5 N. Să se afle caracteristicile rezultantei forţelor electrostatice ce acţionează asupra unuia dintre corpuri. III.2.12. Pe fundul unui vas cu petrol este fixat un corp încărcat cu sarcina electrică q1 = - 4,9 ·10- 6 C. De corp este prins printr-un fir ideal un înveliş sferic de masă m = 400 g, încărcat cu sarcina electric q2 = - 9 ·10- 6 C. Distanţa dintre cele două corpuri este r = 63 cm. Pentru petrol, kpetrol = k vid / 2. Se va considera g = 10 N/kg. Să se

afle : a. volumul exterior al învelişului sferic pentru care tensiunea în firul de legătură este T = 0,5 N; b. volumul exterior al învelişului sferic pentru care, la schimbarea semnului sarcinii electrice a învelişului sferic, tensiunea în firul de legătură este nulă. III.3. Circuit electric. Intensitatea curentului electric Informaţii de bază

•

cel mai simplu circuit este format din: o generator/sursă electrică; o consumator; o întrerupător; o conductoare de legătură; • curentul electric este un fenomen fizic şi, în cazul conductoarelor metalice, înseamnă mişcarea dirijată a electronilor de conducţie; • intensitatea curentului electric o definiţie: intensitatea curentului electric este mărimea fizică fundamentală, egală cu raportul dintre sarcina electrică a electronilor de conducţie ce străbat secţiunea transveraslă a conductorului şi intervalul de timp corespunzător; o simbol: litera I; q o formula de definiţie: I = E6 Δt o unitatea de măsură: < I > = A se numeşte amper şi este o unitate de măsură fundamentală; 125

o instrumentul de măsură: se numeşte ampermetru; există o mare varietate de ampermetre; un ampermetru este considerat ideal atunci când rezistenţa lui poate fi neglijată ;

•

sensul curentului electric o sensul real este sensul mişcării electronilor de conducţie în conductoarele metalice; o sensul convenţional este cel în care se parcurge circuitul exterior generatorului, de la borna pozitivă a acestuia la cea negativă.

Probleme III.3.1. Circuitul electric reprezentat în fig.III.3.1 este format dintr-un generator electric, un bec, două întrerupătoare şi conductoare de legătură. În tabelul anexat, s-a notat cu "0" întrerupător deschis şi cu "1" întrerupător închis. Completaţi tabelul, notând cu "0" bec stins şi cu "1" bec aprins. k1 k2 întrerupătoare bec k1 k2 0 0 1 0 1 1 Fig. III.3.1. 0 1 III.3.2. Completaţi tabelul cu starea becului în funcţie de starea întrerupătoarelor din cadrul schemei electrice reprezentate în fig.III.3.2. k1

întrerupătoare k1 k2 0 0 1 0 1 1 0 1

k2

Fig. III.3.2.

126

bec

III.3.3. Circuitul electric reprezentat în fig.III.3.3 este format dintr-un generator electric, un bec, trei întrerupătoare şi conductoare de legătură. Completaţi tabelul cu starea becului în funcţie de starea întrerupătoarelor din acest circuit electric. k 2

k1

k3

întrerupătoare k1 k2 k3 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0

bec

Fig. III.3.3.

III.3.4. Trei becuri, trei întrerupătoare, o sursă electrică şi conductoare de legătură intră în componenţa unui circuit electric, reprezentat prin schema sa electrică în fig. III.3.4. Completaţi tabelul cu starea becurilor în funcţie de starea întrerupătoarelor din acest circuit electric. k2 întrerupătoare becuri B1 k1 k2 k3 B1 B2 B3 B2 1 0 1 1 1 0 B3 k3 k1 1 0 0 1 1 1 Fig. III.3.4.

III.3.5. Două becuri, patru întrerupătoare, un generator electric şi conductoare de legătură intră în componenţa unui circuit electric, reprezentat prin schema sa electrică în fig. III.3.5. Completaţi tabelul cu starea becurilor în funcţie de starea întrerupătoarelor din acest circuit electric. întrerupătoare becuri k4 k1 k2 k3 k4 B1 B2 1 0 1 1 B1 k3 1 1 1 0 1 1 1 1 k2

k1

B2

Fig. III.3.5.

127

b

III.3.6. În fig.III.3.6 este redată schema electrică a unui circuit simplu care foloseşte un întrerupător bipolar, cu două poziţii de închidere, a sau b. Stabiliţi sensul convenţional al curentului electric prin bec.

a

A

B Fig.III.3.6

III.3.7. În fig.III.3.7 sunt date mai multe scheme ale unor circuite electrice. Stabiliţi care circuite sunt echivalente.

3 1

4

2

5

7

6

Fig.III.3.7.

III.3.8. Cadranul unui ampermetru are N =150 de diviziuni. El poate măsura o valoare maximă de Imax =5 A. Să se afle: a. valoarea unei diviziuni; b. intensitatea curentului electric printr-un conductor, dacă acul ampermetrului, conectat în serie cu acesta, se află în dreptul diviziunii N1 = 96. III.3.9. Pentru a măsura intensitatea unui curent electric de I =0,45 A se utilizează un ampermetru care, la deviaţie maximă, indică 1 A. Ştiind că în timpul măsurării acul indicator a deviat cu N1 = 90, să se determine câte diviziuni are cadranul ampermetrului. III.3.10. Cadranul unui ampermetru are 100 de diviziuni. El poate măsura trei valori maxime: 0,1 A, 0,5 A şi 1 A. În tabelul anexat, prin citire se înţelege numărul diviziunii în dreptul căreia se găseşte acul indicator al ampermetrului inclus în circuit electric închis. Calculaţi: a. valoarea unei diviziuni pentru fiecare din cele trei domenii de măsurare; b. intensitatea curentului electric pentru fiecare caz.

valoarea maximă citirea intensitatea

0,1 A 30 70

128

0,5 A 25 20

1A 45 96

III.3.11. Sarcina electrică a electronilor de conducţie ce străbat secţiunea conductprului în intervalul de timp Δt = 3 min este q = = 2 700 C. Să se calculeze intensitatea curentului electric prin conductor. III.3.12. Intensitatea curentului electric printr-un conductor metalic este I = 4,8 mA. Să se afle numărul electronilor de conducţie ce străbat secţiunea conductorului în decurs de 1 min. III.3.13. Într-o descărcare electrică dintre un nor şi pământ sunt transportaţi, în medie, purtători de sarcină eectrică liberi cu sarcina electrică de 20 C, în aproximativ 0,2 ms. Să se afle intensitatea curentului electric respectiv. III.4. Tensiunea electrică. Rezistenţa electrică. Legea lui Ohm Tensiunea electrică Informaţii de bază

•

•

lucrul mecanic efectuat de forţele electrice o formula: E7 L = qU o formula care rezultă din relaţia E7 de mai sus şi relaţia E6 de la tema III.3. L = IU Δt E8 tensiunea electrică o definiţie: tensiunea electrică între două puncte ale unui circuit electric este mărimea fizică egală cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat pentru transportul electronilor de conducţie între cele două puncte şi sarcina electrică a acestora; o simbolul este litera U, uneori şi litera u; o formula de definiţie: L E9 U= q J o unitatea de măsură < U >= = =V, numită volt; C o instrumentul de măsură se numeşte voltmetru, care se conectează în paralel cu porţiunea de circuit la capetele căreia se măsoară tensiunea electrică; un voltmetru este considerat 129

ideal atunci când, rezistenţa lui fiind foarte mare, prin el nu trece curent electric;

Probleme III.4.1. Cadranul unui voltmetru are 50 de diviziuni. El poate măsura o valoare maximă de Umax =15 V. Să se afle: a. valoarea unei diviziuni; b. tensiunea electrică dintre două puncte ale unui circuit electric închis atunci când acul voltmetrului, conectat în paralel cu aceasta, se află în dreptul diviziunii N1 = 35. III.4.2. Între punctele A şi B ale unui circuit electric se conectează două voltmetre ideale. Primul are 100 de diviziuni şi măsoară o valoare maximă de 10 V, al doilea are 150 de diviziuni şi poate măsura următoarele valori maxime: 2,5 V, 15 V, 30 V şi 150 V. Acul indicator al primului voltmetru devază cu 60 de diviziuni. Să se afle: a. tensiunea electrică între punctele A şi B; b. pe ce domeniu a fost utilizat al doilea voltmetru. III.4.3. Tensiunea electrică la bornele unei porţiuni de circuit este egală cu U = 15 V. Să se afle lucrul mecanic efectuat de forţa electri-

că pentru deplasarea unui număr N = 1018 electroni de conducţie pe respectiva porţiune de circuit. III.4.4. Curentul electric ce străbate un conductor metalic are intensitatea I = 1,5 A. În intervalul de timp Δt = 1 min, forţa electrică efectuează un lucru mecanic L = 90 mJ pentru deplasarea electronilor de conducţie prin conductor. Să se determine tensiunea la bornele conductorului.

130

III.4.5. Sub o tensiune electrică de 220 V, în intervalul de timp Δt = 0,5 min, s-a efectuat un lucru mecanic L = 3960 J pentru deplasarea electronilor de conducţie prin bec. Să se afle: a. sarcina electrică a electronilor de conducţie care au traversat becul; b. intensitatea curentului electric. III.4.6. Indicaţiile celor trei voltmetre sunt: U AB = 3 V, UCD = 4 V, U AD = 12 V. Să se afle tensiunea electrică între punctele B şi C.

V

A

V

C

B

D

V

Fig.III.3.6.

Rezistenţa electrică Informaţii de bază o definiţie: rezistenţa electrică a unui dipol pasiv este mărimea fizică egală cu raportul dintre tensiunea aplicată la bornele dipolului şi intensitatea curentelui electric ce străbate dipolul; o simbolul este litera R, uneori şi litera r; o formula de definiţie: U E10 R= I V o unitatea de măsură < R > = = = Ω, numită ohm; A o instrumentul de măsură se numeşte ohmmetru;

o factorii de care depinde rezistenţa unui conductor omogem şi filiform; acesta: ƒ este direct proporţională cu lungimea conductorului; ƒ este invers proporţională cu secţiunea transversală a conductorului; ƒ depinde de materialul din care este realizat conductorul (vezi tabelul 5 pag. 221); ƒ depinde de temperatura la care se află conductorul; 131

o formula care pune în evidenţă factorii de care depinde rezistenţa unui conductor omogen şi filiform:

R =ρ

E11

S o rezistorul este elementul de circuit a cărui proprietate principală este rezistenţa electrică; Legea lui Ohm Informaţii de bază

•

legea lui Ohm pe o porţiune de circuit o enunţ: intensitatea curentului electric printr-un dipol pasiv este direct proporţională cu tensiunea electrică aplicată la bornele acestuia; o formulare matematică: U E12 I= R precizare: legea lui Ohm este valabilă pentru conductoare metalice menţinute la temperatură constantă. III.4.7. Un fir din cupru are lungimea

= 8 m şi aria secţiunii

transversale S = 16·10 m . Să se determine rezistenţa electrică a firului. -8

2

III.4.8. Printr-un conductor din cupru, cu rezistenta R = 75 Ω, trece un curent cu intensitatea I = 1,25 A. Să se afle: a. tensiunea la bornele conductorului; b. cum se modifică intensitatea curentului dacă firul, prin încălzire îşi măreşte rezistenţa cu 1/3 din valoarea iniţială; c. cât ar fi intensitatea curentului electric, dacă aceeaşi tensiune electrică s-ar aplica unui conductor din cupru cu lungimea de 4 ori mai mică decât a conductorului dat. III.4.9. Un bec electric, conectat la priza de 220 V, este parcurs de un curent electric de intensitate I = 0,5 A. Să se calculeze rezistenţa electrică a becului.

132

III.4.10. Pentru a transporta N = 1020 electroni în Δt = 1 s prin secţiunea unui conductor se efectuează lucrul mecanic L = 32 J. Să se calculeze rezistenţa conductorului. III.4.11. Două conductoare, confecţionate din acelaşi metal, au lungimile în relaţia 2 = 3 1 şi razele secţiunilor transversale în relaţia

r2 = 2r1 . Să se afle relaţia dintre intensităţile curenţilor ce strabat cele două conductoare dacă li se aplică aceeaşi tensiune electrică. III.4.12. Filamentul unui bec este confecţional dintr-un fir metalic de lungime şi rezistivitate a metalului ρ. Filamentul este parcurs de curent cu intensitate I atunci când la borne i se aplică tensiunea electrică U. Să se afle secţiunea transversală a conductorului. III.4.13. În fig.III.4.13 sunt redate caracteristicile I = = f(U) pentru rezistoarele de rezistenţă R1, res- 80 pectiv R2 . Să se afle: a. rezistenţa fiecărui rezistor; 60 40 b. valorile tensiunii la bornele fiecărui rezistor pentru care curentul ce le străbate are intensitatea 20 I ′ = 100 mA; c. intensitatea curentului prin rezis- O torul R2 atunci când rezistorilor li se aplică aceeaşi tensiune electrică, care determină prin rezistorul

I(mA) R 1

R2

U(V) 1 2 3 4

Fig.III.4.13

R1 curentul

I1 = 0,06 A. III.4.14. În tabelul anexat sunt date rezultatele unui experiment: s-au măsurat valorile tensiunii aplicate la bornele unui rezistor şi valorile corespunzătoare ale intensităţii curentului prin rezistor. Cerinţe: a. trasarea graficului I = f(U); b. calcularea valorii medii a rezistenţei rezistorului.

U(V) 0,43 0,75 1,18 1,50 1,98 2,40 2,74 3,00 I(mA) 36 65 105 131 172 211 240 265

133

Legea lui Ohm pentru un circuit electric simplu Informaţii de bază

•

•

generatorul electric furnizează circuitului electric energia necesară efectuării lucrului mecanic la deplasarea electronilor de conducţie în circuitul electric; o parametrii unui generator electric sunt ƒ rezistenţa interioară, notată cu litera r; ƒ tensiunea electromotoare, notată cu litera E; definiţie: tensiunea electromotoare a unui generator electric este egală cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat pentru transportul electronilor de conducţie pe întregul circuit şi sarcina electrică a acestora; formula: L E = total E13 q o aplicarea legii lui Ohm ƒ pe circuitul interior, u = Ir ; ƒ pe circuitul exterior, Ub = IR; legea lui Ohm pentru un circuit simplu o enunţ: intensitatea curentului electric printr-un circuit simplu este direct proporţională cu tensiunea electromotoare a generatorului din acel circuit; o formulare matematică

I=

E R+r

E14

o cazuri particulare ƒ dacă R → 0, generatorul funcţionează în regim de scurtcircuit; în acest caz, curentul se numeşte curent de scurtE circuit şi are intensitatea Isc = ; căderea de tensiune pe r generator este egală cu t.e.m a acestuia, u = E, iar tensiunea la bornele generatorlui Ub = 0; ƒ dacă R → ∞, circuitul este deschis şi I → 0; căderea de tensiune pe generator este u = 0, iar tensiunea la bornele generatorlui Ub = E.

134

III.4.15. O sursă electrică, care are t.e.m. E = 1,5 V şi rezistenţa interioară r = 0,1 Ω, este conectată la un rezistor de rezistenţă R = = 9,9 Ω. Să se afle: a. intensitatea curentului electric; b. tensiunea electrică la bornele sursei; c. tensiunea interioară. III.4.16. Pentru deplasarea unui număr N = 1020 electroni de conducţie de-a lungul unui circuit electric simplu este necesar a se efectua lucrul mecanic Ltotal = 144 J. Ştiind că 20% din lucrul mecanic este utilizat pentru deplasarea electronilor de conducţie prin sursa electrică, să se afle: a. t.e.m. a sursei electrice; b. tensiunea electrică la bornele sursei; c. raportul dintre rezistenţa circuitului exterior şi cea a întregului circuit. III.4.17. Tensiunea la bornele unei surse electrice care are t.e.m. E = = 6 V este U = 5 V atunci când circuitul este parcurs de curentul cu intensitatea I = 1 A. Să se afle: a. rezistenţa sursei electrice; b. rezistenţa circuitului exterior. III.4.18. Intensitatea curentului electric de scurtcircuit al unei surse electrice are valoarea Isc = 12 A. Conecatată într-un la bornele unui rezistor de rezistenţă R = 3 Ω, se constată că tensiunea la bornele ei reprezintă f = 75% din t.e.m. Să se afle parametrii sursei electrice. III.4.19. Un circuit electric simplu este format dintr-o sursă electrică care are t.e.m. E = 4,5 V şi rezistenţa interioară r = 1 Ω şi un rezistor. Curentul electric prin circuit are intensitatea I = 0,9 A. Să se afle: a. tensiunea electrică la bornele sursei; b. rezistenţa rezistorului; c. variaţia intensităţii curentului electric prin circuit dacă rezistorul este înlocuit cu unul de rezistenţă dublă. III.4.20. O sursă electrică cu t.e.m. E = 12 V este conectată la un rezistor de rezistenţă R = 3,3 Ω. Curentul electric prin circuit are intensitatea I = 2,5 A Să se afle: a. tensiunea interioară; b. rezistenţa interioară a sursei electrice; c. intensitatea curentului de scurtcircuit. III.4.21. Se dă circuitul electric din fig.III.4.21 Volmetrul ideal indică 9 V atunci când întrerupătorul k este deschis şi 7 V când este închis. Prin ampermetrul ideal trece un curent electric de intensitate I = 2,5 A. Să se afle: a. tensiunea electromotoare a 135

V

A

E, r

R Fig.III.4.21

k

sursei electrice; b. rezistenţa electrică a sursei electrice; c. rezistenţa circuitului exterior. D III.4.22. Firul metalic AB, de secţiune constantă şi rezistenţă R = 10 Ω, este conectat la o sursă electrică E, r prin intermediul a două conductoare de rezistenţă neglijabilă. Capătul C al conductorului DC poate C aluneca de-a lungul firului AB, menţinându-se B permanent contactul electric (fig.III.4.22). Când A Fig.III.4.22 capătul C se află în B, prin circuit trece curentul electric de intensitate I1 = 6 A, iar când se află la mijlocul firului AB, un curent I2 = 10 A. Să se afle: a. parametrii sursei electrice; b.

raportul AC / BC pentru care tensiunea la bornele sursei este egală cu U = 45 V. III.5. Energia şi puterea electrică Energia electrică Informaţii de bază

•

expresiile energiei electrice din tabelul E.16 au la bază următoarele: o energia electrică este egală cu lucrul mecanic efectuat la deplasarea ordonată electronilor de conducţie: W =L E15 o relaţia de definiţie a intensităţii curentului electric E6 de la tema III.3: q I= Δt o relaţia de definiţie a tensiunii electrice E9 de la tema III.4: L U= q o relaţia de definiţie a t.e.m. E13 de la tema III.4: L E = total q o legea lui Ohm pe o porţiune de circuit E12 de la tema III.4: U I= R 136

o legea lui Ohm pentru un circuit simplu E14 de la tema III.4:

I= Tabelul E.16

E R+r Energia furnizată circuitului interior

Energia furnizată circuitului exterior

Wsursa = Ltotal

Wint = Lint

Wext = Lext

Wsursa = Eq

Wint = uq

Wext = Uq

Wsursa = EI Δt

Wint = uI Δt

Wext = UI Δt

Wsursa = I 2 (r + R )Δt

Wint = I 2 r Δt

Wext = I 2R Δt

Energia furnizată de sursa electrică

Bilanţul energetic

Wsursa = Wint + Wext

E2 u2 U2 Δt Δt Δt Wint = Wext = r +R r R energia electrică, ajunsă în consumator, se poate transforma: o în energie mecanică, cum este în cazul motoarelor electrice; o în căldură, aşa cum se întâmplă la multe dintre aparatele electrocasnice: reşou, bec, fier de călcat etc; transformarea energiei electrice în căldură se numeşte efect termic al curentului electric; evaluarea acestei călduri se face pe baza legii lui Joule, scrisă sub formele: U2 Q = I 2R Δt , respectiv Q = Δt E17 R o sau în alte forme de energie.

Wsursa =

•

Probleme III.5.1. Un bec electric de rezistenţă R = 14 Ω se conestează la bornele unei surse electrice de parametrii E = 6 V, r = 1 Ω. Să se afle: a. intensitatea curentului electric prin bec; b. tensiunea interioară; c. căldura disipată în bec în intervalul de timp Δt = 1,5 min. III.5.2. Căldura disipată într-un rezistor, în intervalul de timp Δt = 0,25 h, este de Q = 2,475 MJ atunci când la borne i se aplică tensiunea electrică U = 220 V. Să se afle: a. intensitatea curentului electric prin rezistor; b. numărul electronilor de conducţie ce străbat secţiunea transversală a conductorului din care este format rezistorul, în intervalul de timp dat. 137

III.5.3. Raportul energiilor disipate în circuitul exterior şi cel interior al sursei electrice conectate la bornele unui rezistor este k = 1,6. Sursa electrică are parametrii E = 12 V, r = 1,5 Ω. Să se afle: a. rezistenţa rezistorului; b. energia electrică furnizată de sursa electrică în decurs de 9 min. III.5.4. La bornele a două rezistoare, se aplică aceeaşi tensiune electrică. Rezistoarele de formă cilindrică sunt confecţionate din acelaşi metal şi au aceeaşi lungime. Raportul căldurilor disipate în Q cele două rezistoare are valoarea k = 1 = 1,44. Să se determine cu Q2 cât este egal raportul razelor secţiunilor celor două rezistoare. III.5.5. Se scurtcircuitează pentru Δt = 3s o sursa electrică de parametrii E = 4,5 V, r = 0,1 Ω. Să se afle energia electrică disipată în timpul acestei scurtcircuitări. III.5.6. Energia dezvoltată de o sursă electrică are valoarea Wsursa = 200 J. Ştiind că f = 15% din energie este disipată pe circuitul interior, să se afle energia furnizată de sursă circuitului exterior. Exemplul 1 Randamentul unui încălzitor electric este η = 68%. Se încălzeşte la încălzitorul conectat la reţeaua de 220 V un vas cu apă, de capacitate calorică totală C = 1000 J/K. Ştiind că în timp de 2 min vasul cu apă înregistrează o creştere a temperaturii Δθ = 22 C, să se afle rezistenţa electrică a încălzitorului. Date: η = 68%; U = 220 V; C = 1000 J/K; Δt = 2 min; Δθ = 22 C. Cerinţe: R. Rezolvare se aplică formula randamentului unui încălzitor (v. tema II.4): Qutil η= T12 Qconsumat • căldura utilă este cea care determină variaţia temperaturii vasului (v. tema II.3): Qutil = C ΔT , cu ΔT numeric egal cu Δθ T6 • căldura consumată este egală cu energia electrică disipată în rezistorul încălzitorului: 138

U2 Δt R din relaţiile T12 , T6 şi E17 rezultă: C ΔT ηU 2 Δt (1) η= 2 R ⇒ R = U Δt C ΔT se înlocuiesc valorile în (1): 0,68·(220 V)2 ·120 s R= = 179,52 Ω J 1000 ·22 K K Qconsumat =

•

•

E16

III.5.7. Spirala unui încălzitor electric este confecţionată din sârmă de nichelină cu aria secţiunii transversale S = 0,84 mm2 . Încălzitorul este conectat la reţeaua de 220 V şi funcţionează cu un randament η = 80%. În vasul de capacitate calorică neglijabilă se află 2 kg de apă la temperatură θ1 = 20 C. Vasul cu apă ajunge la temperatura de fierbere a apei în Δt = 10 min. Să se afle lungimea conductorului folosit la realizarea spiralei. III.5.8. Motorul electric, folosit într-o instalaţie de ridicare a materialelor de construcţie, funcţionează sub tensiunea U = 380 V, fiind parcurs de curentul I = 20 A. Să se afle randamentul instalaţiei, dacă o sarcină cu masa m = 1 t este ridicată uniform la înălţimea h = = 19 m în Δt = 50 s. Se va considera g = 10 N/kg. Puterea electrică Informaţii de bază

•

expresiile puterii electrice din tabelul E.19 rezultă din: o formula de definiţie a puterii electrice: W P= Δt o şi expresiile energiei electrice din tabelul E.16

139

E18

Tabelul E.19 Puterea electrică a sursei electrice

Puterea disipată în circuitul interior

Ltotal Δt Eq = Δt = EI

Lint Δt uq Pint = Δt Pint = uI

Psursa = I 2 (r + R )

Pint = I 2 r

Psursa =

Psursa Psursa

Psursa =

E2 r +R

Pint =

Pint =

u2 r

Puterea disipată în circuit exterior

Lext Δt Uq = Δt = UI

Bilanţul puterilor

Pext =

Pext Pext

Psursa = Pint + Pext

Pext = I 2R Pext =

U2 R

III.5.9. O lampă cu incandescenţă, a cărei rezistenţă este R = 25 Ω, are puterea de P = 100 W. Să se afle: a. intensitatea curentului prin filament; b. tensiunea electrică la bornele lămpii. III.5.10. Un fier de călcat de putere P = 880 W este alimentat sub o tensiune U = 220 V. Să se afle rezistenţa fierului de călcat. III.5.11. Prin repararea unei plite electrice, lungimea conductorului a fost scurtată cu 0,1 din lungimea iniţială. Să afle de câte ori s-a modificat puterea electrică a plitei. III.5.12. O sursă electrică, de parametrii E = 18 V şi r = 1 Ω, este conectată la bornele unui rezistor. Puterea electrică disipată în rezistor este P = 45 W. Să se afle: a. intensitatea curentului electric prin sursa electrică; b. rezistenţa rezistorului. III.5.13. Generatorul electric, de parametrii E = 200 V şi r = 1 Ω, este conectat la bornele unui rezistor de rezistenţă R = 19 Ω. Să se afle: a. puterea electrică a generatorului electric; b. puterea electrică disipată pe rezistor.

140

III.5.14. Pe plita electrică de putere P = 600 W se găseşte un vas care conţine 1,2 kg de apă la temperatura θ1 = 20 C. Apa începe să fiarbă după Δt = 15min de la conectarea plitei la reţeaua electrică. Să se afle căldura pierdută prin încălzirea vasului, prin radiaţie etc. J Se va considera c ≈ 4200 . kg·K Randamentul circuitului electric Informaţii de bază

•

expresiile randamentului unui circuit electric din tabelul E.21 rezultă din: o formula de definiţie a randamentului: W η = utila E20 Wsursa o expresiile energiei electrice din tabelul E.16 şi ale puterii din Tabelul E.19

Tabelul E.21 Randamentul circuitului electric

η=

•

Lext Ltotal

η=

Pext Psursa

η=

U E

η=

R r +R

transferul maxim de energie/putere electrică are loc atunci când rezistenţa circuitului exterior este egală cu rezistenţa sursei electrice; în acest caz: E2 E2 ; Pmax .ext = Psursa = 2r 4r E22 1 η= 2

III.5.15. O sursă electrică are t.e.m. E = 6 V şi rezistenţa interioară r = 2 Ω. Sursa, conectată la un rezistor, este parcursă de curentul cu intensitatea I = 1,5 A. Să se afle randamentul acestui circuit electric.

141

III.5.16. O sursă electrică, de parametrii E = 24 V şi r = 2 Ω, este conectată la bornele unui rezistor. Să se afle: a. intensitatea curentului de scurtcircuit al sursei; b. puterea maximă pe care o poate furniza sursa circuitului exterior; c. puterea sursei în condiţiile punctului b.; d. randamentul circuitului electric în condiţii de putere maximă în circuitul exterior. III.5.17. Un acumulator cu t.e.m. E = 2,15 V este conectat la rezistorul de rezistenţă R = 0,25 Ω. Prin circuit trece un curent cu intensitatea I = 5 A. Să se afle: a. randamentul circuitului electric; b. puterea maximă furnizată de acumulator circuitului exterior. III.5.18. Un generator electric, care are t.e.m. E şi rezistenţa interioară r, este conectat la un rezistor de rezistenţă R. Când circuitul este parcurs de curentul electric de intensitate I = 4 A, puterea disipată în circuitul exterior este maximă şi are valoarea Pmax = 160 W. Să se afle parametrii generatorului electric. III.5.19. Generatorul cu t.e.m. E = 200 V şi rezistenţa interioară r = 3 Ω asigură în circutitul exterior un curent electric de intensitate I = 8 A. Să se afle: a. puterea electrică a generatorului; b. puterea pierdută în interiorul generatorului; c. puterea utilă; d. randamentul cicrcuitului electric. III.5.20. Un generator electric furnizează circuitului exterior aceeaşi putere P = 500 W când este conectat la un rezistor de rezistenţă R1 = 20 Ω sau la unul de rezistenţă R2 = 0,8 Ω. Să se afle: a. rezistenţa interioară a generatorului; b. t.e.m. a generatorului; c. randamentul circuitului electric în cele două situaţii.

142

III.6. Reţele electrice Teoremele Kirchhoff Informaţii de bază

•

•

reţeaua electrică o elementele unei reţele ƒ noduri – puncte în care sunt conectate electric cel puţin trei conductoare; ƒ laturi – porţiuni de circuit cuprinse între două noduri consecutive; uneori, laturile sunt numite şi ramuri; ƒ ochiuri de reţea – succesiuni de laturi ce formează un circuit închis, când se parcurge ochiul de reţea într-un anumit sens, fiecare latură este parcursă o singură dată; de-a lungul unui ochi de reţea există surse electrice şi consumatoare; ochiul fundamental este acel ochi care conţine cel puţin o latură care nu face parte din alt ochi de reţea; teoremele Kirchhoff o teorema I ƒ se referă la nodul de reţea; ƒ enunţ I: suma intensităţilor curenţilor care intră într-un nod de reţea este egală cu suma intensităţilor curenţilor care ies din acel nod; ƒ formulare matematică: int ra

ies

∑ I = ∑I i

i

ƒ ƒ ƒ

k

E23a

k

convenţie: se consideră pozitive intensităţile curenţilor care intră în nod şi negative cele ale curenţilor care ies din nod; enunţ II: suma algebrică a intensităţilor curenţilor care se întâlnesc într-un nod de reţea este zero; formulare matematică: n

∑(±)I = 0 ; i =1

ƒ

E23b

i

pentru reţeaua care conţine n noduri, din aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff se obţin n -1 relaţii independente;

143

o teorema II ƒ se referă la ochiul de reţea; ƒ enunţ: suma algebrică a tensiunilor electromotoare dintr-un ochi de reţea este egală cu suma algerică a tensiunilor din acel ochi de reţea; ƒ formulare matematică: m

n

k =1

i =1

∑ ( ± ) Ek = ∑ ( ± ) IiRi ƒ

ƒ

E24

aplicarea teoremei a II-a a lui Kirchhoff impune alegerea un sens de parcurs al ochiului de reţea şi, în raport cu acesta, adoptarea unei convenţii cu privire la semnele tensiunilor electromotoare ale surselor electrice şi ale căderilor de tensiune pe laturile ochiului de reţea; +convenţia de semn pentru t.e.m. E E0

-+

a1 ƒ

convenţia de semn pentru produsul IRlatura (fig. a2 ): produsul IRlatura se consideră pozitiv atunci

I

R

I

IR > 0

sens de parcurs

când sensul de parcurs ales R I I IR < 0 pentru ochiul de reţea coincide cu a2 sensul curentului electric din acea latură, iar în caz contrar, produsul IRlatura se consideră negativ; ƒ prin aplicarea legii a II-a a lui Kirchhoff se obţin ecuaţii independente numai pentru ochiurile de reţea fundamentale.

144

Probleme I3

III.6.1. Să se afle intensitatea curentului I3 , dacă I1 = 0,48 A şi I2 = 0,18 A (fig.III.6.1).

I2

I1 Fig.III.6.1

III.6.2. Să se afle sensul şi intensitatea curenţilor din laturile AC, BD şi DGA ştiind că I1 = 0,15 A, şi I4 = 0,20 A şi I5 = 0,02 A (fig. III.6.2).

I

G

B

I1

I2

I5 A

I3

D

I4 C

Fig.III.6.2

B1

III.6.3. În circuitul reprezentat în fig.III.6.3, becurile B1 şi B2 sunt identice. Ampermetrul indică 600 mA când întrerupătorul este închis şi 450 mA când este deschis. Să se afle intensităţile curenţilor prin becuri când întrerupătorul este închis. Sursa şi ampermetrul au rezistenţe nule. III.6.4. Se consideră circuitul electric din fig.III.6.4, în care rezistoarele au aceeaşi rezistenţă şi I = 1,4 A, respectiv R1 I 3 = 0,4 A. Să se afle intensităţile curenţilor prin celelalte rezistoare.

k

B2 A

B3 Fig.III.6.3

R3 I3 R2 I R4 R5 R6

R7

Fig.III.6.4

R2 I III.6.5. Se dă circuitul electric din fig.III.6.5. Să E1, r1 1 II se aplice prima teoremă a lui Kirchhof pentru E2 , r2 I nodul A şi a doua teoremă a lui Kirchhoff R1 R3 I 2 I3 pentru ochiurile de reţea I şi II. A

145

E3 , r3

Fig.III.6.5

B

III.6.6. Să se aplice prima teoremă a lui Kirchhoff pentru nodurile A şi B, respectiv a doua teoremă a lui Kirchhoff pentru ochiurile de reţea I, II şi III.

E1, r1

I1 R2 III

I4

A

R1

R3 R4 II I3 R5

I

I6

R6

I5

E6 , r6

Fig.III.6.6

III.6.7. Se dă circuitul electric din fig.III.6.7, pentru care se cunosc: E1 = 100 V, E2 = 90 V, E1 R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 20 Ω. Rezistenţele interioare ale surselor electrice se neglijează. Să se afle intensitatea curenţilor din cele trei ramuri ale circuitului. III.6.8. Se dă circuitul electric din fig.III.6.8, pentru care se cunosc: E1 = 40 V, E2 = 6 V, R1 = 13 Ω, R2 = 20 Ω. Rezistenţele interioare ale surselor electrice se neglijează. Să se afle intensitatea curenţilor din cele trei ramuri ale circuitului.

R1

R2 R3 E2

Fig.III.6.7.

I2

R2 E2

I1

I R1 E1

Fig.III.6.8.

Gruparea rezistoarelor Informaţii de bază

•

•

rezistorul echivalent cu o grupare de rezistoare dată, montat între aceleaşi două puncte ca şi gruparea, nu modifică intensitatea curentului electric atunci când la borne se aplică aceeaşi tensiune electrică; gruparea serie: o rezistoarele conectate în serie sunt parcurse de curent cu aceeaşi intensitate; o rezistenţa rezistorului echivalent, în cazul conectării în serie a n rezistoare, se află din relaţia: n

Rserie = ∑ Ri ; i =1

146

E25

•

gruparea paralel: o rezistoarele conectate în paralel au aceeaşi tensiune la borne; o rezistenţa rezistorului echivalent, în cazul conectării în paralel a n rezistoare, se află din relaţia: n 1 1 =∑ E26 Rparalel i =1 Ri

III.6.9. Patru rezistoare au rezistenţele R1 = 3 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 12 Ω şi R4 = 24 Ω. Prima dată, rezistoarele sunt conectate în serie, iar a doua oară în paralel. Să se afle rezistenţa rezistorului echivalent în fiecare caz. III.6.10. Rezistoarele, cu rezistenţele R1 = 3 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 12 Ω şi R4 = 24 Ω, sunt grupate astfel: primele două în paralel, ultimele două în paralel şi grupările obţinute, în serie. Să se afle rezistenţa rezistorului echivalent. A R III.6.11. Rezistenţa echivalentă între punctele A şi B 2R R (fig.III.6.11) are valoarea Rechiv. AB = 25 Ω. Să se afle B valoarea rezistenţei R. Fig.III.6.11

III.6.12. Rezistenţa echivalentă între punctele A A şi B (fig.III.6.12) are valoarea Rechiv. AB = = 147 Ω. Să se afle valoarea rezistenţei R.

B

R 2R

R 2R R

Fig.III.6.12

III.6.13. Porţiunea de circuit, formată din trei rezistoare conectate în serie, are la borne tensiunea U = 50 V. Primul rezistor are rezistenţa R1 = 5 Ω, al doilea R2 = 12,5 Ω iar al treilea are tensiunea la borne U3 = 15 V. Să se afle: a. intensitatea curentului electric din circuit; b. rezistenţa electrică a celui de-al treilea rezistor; c. tensiunile electrice la bornele fiecăruia dintre rezistoare. III.6.14. Un bec de rezistenţă R = 400 Ω are tensiunea nominală de funcţionare U0 = 120 V. Pentru funcţionarea acestui bec prin conectarea la reţeaua de U = 220 V, se leagă în serie cu becul un conductor 147

din nichelină cu aria secţiunii transversale S = 1,2610- 8 m2 . Să se determine lungimea conductorului.

III.6.15. Între rezistenţele a două rezistoare există relaţia R1 = 4 R2 . Să se calculeze raportul I s / I p ale intensităţilor care străbat grupările serie, respectiv paralel, ale celor două rezistoare, grupări aflate sub aceeaşi tensiune electrică.

III.6.16. O porţiune de circuit este formată din trei rezistoare conectate în serie, care au aceeaşi lungime . Măsurându-se căderea de tensiune de-a lungul porţiunii de circuit date, se obţin valorile din graficul redat în fig.III.6.16. Să se afle relaţia între rezistenţelor acestor rezistoare.

U(mV) 40 30 20 10 O

(m) 1

2 3 Fig.III.6.16.

III.6.17. Un număr n = 5 de becuri conectate în paralel, cu parametrii de funcţionare U0 = 4,5 V şi I0 = 0,5 A, trebuie să fie alimentate de la o sursă care are la borne tensiunea constantă de U = 6 V. Să se afle rezistenţa rezistorului care, legat în serie cu gruparea formată din cele 5 becuri, asigură funcţionarea normală a acestora. a. III.6.18. Trei rezistoare identice, de (1) rezistenţă R = 5 Ω fiecare, sunt b. conectate ca în porţiunile de circuit redate în fig.III.6.18 şi alimentate (1) Fig.III.6.18 sub tensiunea U = 6 V. Să se afle: a. intensitatea curentului electric ce traversează fiecare porţiune de circuit; b. puterea electrică disipată în rezistorul (1).

R1 R3 b III.6.19. Trei rezistoare, de rezistenţe a A R1 = 2,5 Ω, R2 = 7,5 Ω şi R3 = 5 Ω, sunt R2 conectate ca în fig.III.6.19 Indicaţia Fig.III.6.19 ampermetrului este I = 3 A. Să se afle: a. intensităţile curenţilor în ceilalţi rezistori; b. tensiunea electrică între punctele a şi b.

148

III.6.20. Se dă porţiunea de circuit din fig. III.6.20, pentru care se cunosc: R1 = 2,5 Ω şi R3 = 5 Ω, intensitatea curentului prin rezistorul de rezistenţă R1 I1 = 3 A şi indicaţia ampermetrului I = 9 A. Să se afle rezistenţa R2 .

R1 a

R2

A

R3

b

Fig.III.6.20

III.6.21. Se dă circuitul electric din fig.III.6.21, pentru care se cunosc: E = 45 V, r = 2 Ω, R1 = 8 Ω, R2 = 4 Ω şi R3 = 24 Ω. Să se afle: a. rezistenţa circuitului exterior; b. intensitatea curentului electric prin sursa electrică; c. puterea electrică disipată în rezistorul de rezistenţă R1; d. randamentul circuitului electric. III.6.22. O sursă electrică, de parametrii E = 90 V şi r = 0, alimentează circuitul electric din fig.III.6.22, în care R2 = R3 = 40 Ω. Ampermetrul indică un curent de intensitate I = 2 A. Să se afle: a. intensităţile curenţilor din din circuit; b. rezistenţa R1; c. puterea electrică disipată în rezistorul de rezistenţă R1.

R1

R2 R3

E, r Fig.III.6.21

E A

R1 R3 R2

Fig.III.6.22

E III.6.23. O sursă electrică, de parametrii E şi r , alimentează circuitul electric din fig.III.6.23, în care R1 R2 = 10 Ω şi randamentul circuitului electric este η = 80%. Se mai cunosc: puterea disipată în rezisR3 R2 torul de rezistenţă R2 , P2 = 90 W, puterea disipată Fig.III.6.23 în rezistorul de rezistenţă R1, P1 = 48 W, tensiunea electrică la bornele rezistorului de rezistenţă R3 , U3 = 18 V. Să se afle: a. intensitatea curenţilor din circuit; b. rezistenţa circuitului exterior; c. rezistenţa sursei electrice; d. t.e.m. a sursei electrice.

149

Gruparea generatoarelor Informaţii de bază

•

gruparea în serie a generatoarelor o într-o grupare în serie a generatoarelor, borna pozitivă a unui generator este legată cu borna negativă a generatorului următor şi, în final, grupul de generatoare are ca pol negativ borna negativă a primului generator, iar ca pol pozitiv – borna pozitivă a ultimului generator; o parametrii generatorului echivalent cu o grupare serie a n generatoare identice: Eechiv. = nE, r echiv. = nr E27 o legea lui Ohm pentru circuitul echivalent: nE I= nr + Rext

•

E28

gruparea în paralel a generatoarelor o într-o grupare paralel a generatoarelor, bornele pozitive ale acestora se leagă împreună, respectiv cele negative împreună; o parametrii generatorului echivalent cu o grupare paralel a n generatoare identice: r E29 Eechiv. = E, r echiv. = n o legea lui Ohm pentru circuitul echivalent: E E30 I= r + Rext n • gruparea mixtă a generatoarelor o se consideră N surse identice, fiecare caracterizată prin t.e.m. E şi rezistenţa interioară r, legate în p grupe în paralel, fiecare grupă având s surse legate în serie; o parametrii generatorului echivalent sunt: s Eechiv . = s ⋅ E, rechiv . = r , cu N = s ⋅ p E31 p

150

o legea lui Ohm pentru circuitul echivalent: sE I= sr + Rext p

E32

III.6.24. Mai multe surse electrice identice conectate în serie, fiecare având E = 4,5 V şi r = 1 Ω, alimentează un rezistor de rezistenţă R = 5 Ω. Ştiind că intensitatea curentului electric prin rezistor este egală cu 2 A, să se afle numărul surselor electrice. III.6.25. Un număr n = 5 de surse electrice identice conectate în paralel, fiecare având E = 9 V şi r = 1,5 Ω, alimentează un rezistor de rezistenţă R = 4,7 Ω. Să se afle: a. intensitatea curentului electric prin rezistor; b. puterea unei surse electrice; c. randamentul circuitului electric. III.6.26. Bateria formată din n = 4 surse electrice identice este conectată la un rezistor de rezistenţă R = 20 Ω. Când sursele sunt conecatate în paralel puterea disipată în rezistor este de k = 9 ori mai mare faţă de cea disipată atunci când sursele sunt conectate în serie. Să se afle rezistenţa electrică a unei surse electrice. III.6.27. Un număr n = 20 de surse electrice identice conectate mixt, fiecare având E = 1,5 V şi r = 1 Ω, alimentează un rezistor de rezistenţă R = 8,75 Ω. Intensitatea curentului electric prin rezistor este egală cu 0,75 A Să se afle: a. numărul ramurilor şi cel al surselor de pe o ramură; b. parametrii sursei echivalente; c. tensiunea electrică interioară. III.6.28. Două surse electrice legate în paralel, de parametrii E1 = E2 = 4,5 V şi r1 = r2 = 1 Ω, alimentează un rezistor de rezistenţă R = 8,5 Ω. Să se afle: a. parametrii sursei echivalente; b. intensitatea curenţilor din circuit; c. tensiunea la bornele surselor. III.6.29. Două surse electrice legate în serie, de parametrii E1 = 1,5 V, E2 = 4,5 V şi r1 = 0,5 Ω, r2 = 1,5 Ω, alimentează un rezistor de rezistenţă R = 8 Ω. Să se afle: a. parametrii sursei echivalente; b. intensitatea curentului din circuit; c. tensiunea la bornele surselor. 151

III.6.30. Două surse electrice, de parametrii E1 = 4,8 V, E2 = 9 V şi r1 = r2 = 1 Ω, alimentează circuitul electric din fig.III.6.30, în care R1 = R2 = 5 Ω. Să se afle: a. intensităţile curenţilor din ramurile reţelei; b. puterea electrică a sursei cu t.e.m. E1; c. variaţia puterii electrice disipate în rezistorul de rezistenţă R2 prin deschiderea întrerupătorui k.

E1, r1 R1

k

E2, r2 R2 Fig.III.6.30

III.7. Magneţi. Interacţiuni magnetice Informaţii de bază

• •

•

• • •

magneţii sunt corpuri care au proprietatea de a atrage obiecte care conţin fier, nichel sau cobalt; polii unui magnet: o polii sunt zonele în care proprietăţile magnetice se manifestă cel mai puternic; o un magnet are doi poli, ale căror denumiri au fost stabilite astfel: ƒ polul magnetului care se îndreaptă spre polul nord pământesc se numeşte polul nord al magnetului (prescurtat N); ƒ polul magnetului care se îndreaptă spre polul sud pământesc se numeşte polul sud al magnetului (prescurtat S); o polii unui magnet nu pot fi separaţi; după natura lor, magneţii se clasifică astfel: o magneţi naturali; o magneţi artificiali, care pot fi: ƒ temporari; ƒ permanenţi; magnetizarea este fenomenul fizic prin care unele corpuri devin magneţi; interacţiunile magneţilor constă în: o polii de acelaşi nume se resping; o polii de nume diferite se atrag; efectul magnetic al curentului electric 152

•

o acul magnetic, aflat în apropirea unui conductor electric, este deviat atunci când prin acesta trece curent electric; o sensul de deviere a acului magnetic depinde de sensul curentului electric şi de poziţia relativă a acului magnetic şi a conductorului; electromagnetul o bobină în interiorul căreia se află un miez de fier se numeşte electromagnet; o electromagnetul are aceleaşi proprietăţile cu ale unui magnet atât timp cât prin bobină trece curent electric; o electromangeţii sunt utilizaţi la transportarea deşeurilor din substanţe feromagnetice, la dispozitive de semnalizare şi automatizare, la aparate de măsură etc.

Probleme III.7.1. Se dau patru magneţi bară, notaţi 1, 2, 3, 4.. Se ştie că: polul A al magnetului 1 atrage polul C al magnetului 2, polul C respinge polul E al magnetului 3 şi polul E atrage polul G al magnetului 4. Afirmaţia adevărată este: A. polul A respinge polul E; B. polul C respinge polul G ; C. polul A atrage polul G; D. dacă A este polul N al magnetului 1, atunci polul E al magnetului 3 este tot polul N; E. dacă E este polul S al magnetului 3, atunci A este polul N al magnetului 1. III.7.2. O mică bilă din fier, suspendată de capătul unui 1 2 3 4 5 resort, este adusă în contact cu un magnet permanent sub formă de bară, aşezat orizontal (fig.III.7.2). De Fig.III.7.2. capătul liber al resortului se trage vertical în sus pentru a desprinde bila de magnet. La desprinderea bilei de magnet, cea mai mare alungire a resortului se constată în cazul punctelor de 153

contact: A. numai 3; B. numai 1; C. numai 2 şi 4; D. numai 5; E. numai 1 şi 5. S1 2 N2 III.7.3. Magnetul bară 2 este fix iar acul magnetic 1 S1 1 este menţinut în poziţiile din fig. III.7.3. Stabiliţi 2 N2 1 ce se întâmplă atunci când acul magnetic este N1 N1 lăsat liber. a.

b.

Fig.III.7.3.

III.7.4. Acele magnetice 1 şi 2 din fig.III.7.4 sunt situate în apropierea unui electromagnet. Cunoscând poziţia polului N al acului magnetic 2, stabiliţi poziţia polilor pentru eletromagnet şi pentru magnetul 1.

N

1

2

Fig.III.7.4.

III.7.5. Schemele din fig.III.7.5 reprezintă relee electromagnetice în repaus. Din circuitul comandat de relee este redată doar porţiunea 1 – 2 sau 1- 2,3. Pentru fiecare caz, prezentaţi modul de funcţionare a releului. k

E

2

3

2 k

E

L

L a.

1

3 k

1

b.

2

E

L 1

c.

Fig.III.7.5.

III.7.6 În fig.III.7.6 este redată O L k2 schema de principiu a unui E releu electromagnetic. Cu M A ~ s-a notat un motor electric aflat la mare distanţă, cu L o k1 lamă ce se poate roti în jurul Fig.III.7.6. axului O, cu E electromagnetul şi cu A un arc. Explicaţi funcţionarea acestui dispozitiv. III.7.7 În fig.III.7.7 este redată schema E unui dispozitiv cu ajutorul căruia se coT nectează soneria S când temperatura în încăpere depăşeşte valoarea prestabilită. Cu T s-a notat termometrul cu mercur, cu E electromagnetul, cu L o lamă metalică. Explicaţi funcţionarea acestui dispozitiv. 154

M

S L Fig.III.7.7.

Capitolul IV FENOMENE OPTICE

IV.1. Propagarea rectilinie a luminii Informaţii de bază

•

• • •

•

•

parte din lumina provenită de a o sursă de lumină se numeşte de fascicul de lumină; fasciculele de lumină pot fi: o paralele; o convergente; o divergente; raza de lumină este cel mai îngust fascicul de lumină pe care n-il putem imagina; raza de lumină indică direcţia şi sensul de propagare a luminii; într-o regiune din spaţiu în care există aceeaşi substanţă, lumina se propagă în linie dreaptă ; astăzi ştim că lumina se propagă în vid cu o viteză de aproape c = 300000 km/s; viteza luminii în vid este cea mai mare viteză cunoscută; în aer, lumina se propagă cu o viteză care este aproximativ egală cu cea din vid v aer ≈ c; regiunea din spatele ecran corpurilor opace, sursa de bila unde nu ajunge lu- lumina umbra mina se numeşte umbră ( a1 ); mărimea penumbra umbrei depinde de mărimea corpului şi a1 de distanţa de la corp la sursa de lumină, respectiv la locul unde se proiectează umbra; regiunea din spatele corpurilor opace, unde ajunge o parte din lumina emisă de o sursă, se numeşte penumbră.

155

Probleme IV.1.1. Distanţa de la Pământ la Soare este de 150 000 000 km. Să se calculeze în cât timp ajunge lumina de la Soare la Pământ. IV.1.2. Lumina împrăştiată de Lună ajunge pe pământ în intervalul de timp Δt = 1,28 s. Ştiind că raza Pământului este R ≈ 6400 km, să se afle de câte ori este mai mare distanţa de la Lună la Pământ decât raza Pământului. IV.1.3. Între sursa de lumină S şi ecranul E se aşază un obiect opac AB (fig.IV.1.3). Se cunosc distanţele SA=0,5 m, AE=1 m. Cerinţe: a. construiţi umbra obiectului pe ecran; S b. calculaţi raportul dintre înălţimea umbrei şi înălţimea obiectului.

B A

Fig.IV.1.3.

E

IV.1.4. În momentul iniţial t0 = 0, un copil de înălţime h stă sub un bec aprins, situat la înălţimea H. Copilul începe să se îndepărteze de felinar pe o traiectorie rectilinie, cu viteza constantă v. Cerinţe: a. desenaţi umbra copilului în momentul t1; b. aflaţi lungimea umbrei copilului pe solul considerat orizontal în momentul t1; c. viteza cu care se deplasează umbra vârfului capului copilului. IV.1.5. Lumina emisă de o sursă de lumină de forma unei sfere cu diametrul d = 10 dm ajunge la o disc mat de acelaşi diametru cu al sursei de lumină (fig. Fig.IV.1.5. IV.1.5). Corpul este aşezat la mijlocul distanţei dintre sursa de lumină şi ecranul de observaţie, distanţa de la sursă până la corp fiind D = 4 d . Se va neglija grosimea discului. Cerinţe: a. desenţi umbra şi penumbra corpului care se formează pe ecran; b. aflaţi diametrul umbrei; c. calculaţi raportul dintre aria penumbrei şi aria umbrei. IV.1.6. Discul opac este aşezat la mijlocul distanţei dintre sursa de lumină de formă sferică şi ecranul de observaţie (v. fig.IV.1.5). Să se afle raportul dintre diametrul sursei şi diametrul discului pentru care pe ecran se formează doar penumbra. 156

IV.1.7. Un obiect AB, înalt de 10 cm, se află în A faţa orificiului C al unei camere obscure C (fig.IV.1.7). Distanţa de la orificiul C până la faţa opusă este de 20 cm, iar până la obiect B Fig.IV.1.7. 80 cm. Ceinţe: a. desenaţi mersul razelor de lumină care duc la formarea extermităţilor imaginii, precum şi imaginea; b. calculaţi înălţimea imaginii. IV.1.8. O cameră obscură are orificiul la 25 cm de peretele opus. Imaginea unui copac înalt de 4 m are înălţimea de 4 cm pe folia translucidă a camerei obscure. Să se afle la ce distanţă faţă de orificiul camerei obscure este situat copacul. IV.2. Reflexia luminii Informaţii de bază

•

•

reflexia luminii o definiţie: reflexia este fenomenul care constă în schimbarea direcţiei de propagarea luminii la suprafaţa de contact dintre două medii diferite, lumina propagându-se în continuare în acelaşi mediu; o legi ƒ raza incidentă, normala la suprafaţa de separare în punctul de incidenţă şi raza reflectată se găsesc în acelaşi plan; ƒ unghiul de reflexie este egal cu unghiul de incidenţă : O1 iˆ = rˆ oglinda plană o este o suprafaţă plană şi O O O lucioasă; S S S I1 o construirea imaginii unui I2 obiect într-o oglindă plaA nă (fig.a1) a a3 a 2 1 ƒ obiectul S emite lumină în toate direcO ţiile; se aleg două S S′ I1 raze de lumină emise de S şi se cona4 struiesc razele reA flectate de oglindă; ƒ raza incidentă S I1, 157

după reflexie are aceeaşi direcţie şi sens contrar, I1 S (fig. a2 ); ƒ raza S I2 , după reflexie are direcţia I2 A (fig. a3 ); ƒ razele de lumină I1 S şi I2 A nu se intersectează, în schimb prelungirile lor se întâlnesc într-un punct notat cu S′ şi care reprezintă imaginea obiectului S (fig. a4 ); o caracteristicile imaginii unui obiect real, formate de o oglindă plană: ƒ este o imagine virtuală pentru că se formează la intersecţia prelungirilor razelor reflectate; ƒ are aceeaşi dimensiune cu a obiectului; ƒ se formează în spatele oglinzii, fiind simetrică cu obiectul faţă de oglindă; ƒ este dreaptă.

Probleme IV.2.1. Construiţi pentru fiecare caz redat în fig.IV.2.1 poziţia razei reflectate sau a razei incidente. IV.2.2. Un fascicul de lumină ajunge pe suprafaţa unei oglinzi plane sub un unghi de incidenţă i = 60 . Să se afle unghiul pa care-l formează fasciculul reflectat cu suprafaţa oglinzii.

a.

b.

c.

d.

e. Fig.IV.2.1

IV.2.3. Să se afle valoarea unghiului de incidenţă pentru care raza reflectată este perpendiculară pe raza incidentă. IV.2.4. Două oglinzi plane formează între ele un unghi α = 45 . O rază de lumină ajunge pe oglinda O1 sub unghi de incidenţă i1 = 45 (fig.IV.2.4). Cerinţe: a. folosind instrumentele de geometrie, desenaţi mersului razei de lumină în sistemul de oglinzi plane O1, O2 ; b. aflaţi unghiul de reflexie al razei de lumină, r2 , pe oglinda O2 . 158

O2 α Fig.IV.2.4.

i1

O1

IV.2.5. O rază de lumină ajunge pe oglinda O1 sub unghi de incidenţă i1 = 30 ( fig.IV.2.5). Cerinţe : a. folosind instrumentele de geometrie, desenaţi mersului razei de lumină în sistemul de oglinzi plane O1, O2 şi O3 ; b. aflaţi unghiul de incidenţă al razei de lumină, i 2 , pe oglinda O2 ; c. aflaţi unghiul de reflexie al razei de lumină, r3 , pe oglinda O3 .

O3 O1 i1 O2

Fig.IV.2.5.

IV.2.6. Două oglinzi plane formează între ele un O2 unghi α = 60 . O rază de lumină ajunge pe oglinda i1 O1 sub unghi de incidenţă i1 = 30 (fig.IV.2.6). Cerinţe : a. folosind instrumentele de geometrie, α O1 desenaţi mersului razei de lumină în sistemul de Fig.IV.2.6. oglinzi plane O1, O2 ; b. aflaţi unghiul de incidenţă al razei de lumină, i 2 , pe oglinda O2 ; c. aflaţi unghiul dintre direcţiile de propagare a razei de lumină reflectate pe oglinda O2 şi a razei de lumină incidente pe oglinda O1; d. aflaţi unghiul dintre raza de lumină reflectată pe oglinda O2 şi raza de lumină incidentă pe oglinda O1. IV.2.7. Un fascicul de lumină paralel ajunge pe un sistem format din două oglinzi plane, respectiv perpendiculare (fig.IV.2.7). Caracterizaţi fasciculul format după reflexia pe cele două oglinzi. Fig.IV.2.7.

IV.2.8. În faţa unei oglinzi plane, la 1 m de aceasta, O este aşezată o sursă de lumină punctiformă (fig. S IV.2.8). Cerinţe: a. construiţi fasciculul reflectat de oglindă ; b. construiţi imaginea sursei S dată de oglinda plană; c. calculaţi distanţa dintre sursa de d lumină şi imaginea ei în oglindă; d. caracterizaţi Fig.IV.2.8. fasciculul reflectat. IV.2.9. În calea unui fascicul de lumină convergent se aşază o oglindă plană, ca în fig.IV.2.9. În absenţa oglinzii, fasciculul ar converge într-un punct S, situat la 50 cm de locul în care se află 159

O S d Fig.IV.2.9.

oglinda. Cerinţe: a. construiţi fasciculul reflectat de oglindă ; b. construiţi imaginea dată de oglinda plană; c. caracterizaţi acest fascicul reflectat de oglindă.

IV.2.10. Oglinda plană de formă circulară este paralelă cu ecranul E (fig.IV.2.10). Sursa de lumină S este situată pe axa de simetrie a oglinzii. Să se afle raportul dintre aria petei de lumină de pe ecran şi aria oglinzii. IV.2.11. Trei cutii din carton prezintă orificii ca în fig.IV.2.11. Folosind un număr minim de oglinzi plane, arătaţi cum este posibil ca fasciculul care intră în cutie să iasă pe direcţia şi în sensul indicat în figură.

a.

b.

E

O

S

Fig.IV.2.10

c.

Fig.IV.2.11.

IV.2.12. Un corp se îndepărtează de o oglindă plană, pe o direcţie perpendiculară pe oglindă, cu viteza de 1,5 dm/s. Să se afle viteza imaginii faţă de: a. oglindă; b. faţă de obiect. IV.2.13. În fig.IV.2.13 este reprezentată o oglindă obţinută prin depunerea unui strat O de argint pe un suport de forma unei porţiuni de sferă cu centrul în O. În cazul dat, partea lucioasă a oglinzii se găseşte în Fig.IV.2.13. interiorul calotei sferice. Să se deseneze mersul razei de lumină după reflexia pe acest tip de oglindă. Informaţie: normala la o suprafaţă sferică este chiar raza sferei în acel punct. IV.2.14. În fig.IV.2.14 este reprezentată o oglindă, la care partea lucioasă a se găseşte în exteriorul calotei sferice. Să se deseneze mersul razei de lumină după reflexia pe acest tip de oglindă.

160

O

Fig.IV.2.14.

IV.3. Oglinzi sferice Informaţii de bază

• • •

•

•

definiţie: oglinda sferică este o calotă sferică, foarte luC cioasă; V C V fenomenul fizic: reflexia lua2 a1 minii: elementele unei oglinzi (fig. a1 şi a2 ): o vârful V al oglinzii; o centrul de curbură, adică centrul C al sferei din care face parte calota sferică; o axa optică principală, dreapta CV care trece prin centrul de curbură şi vârful V; o axe optice secundare, drepte care trec prin C şi oricare punct al oglinzii; clasificarea oglinzilor: o oglinzi concave – faţa interioară a calotei este lucioasă (fig. a1 ); o oglinzi convexe – faţa exterioară a calotei este lucioasă (fig. a 2 ); F focarul principal F F o oglinda concavă – punctul în care se intersectează razele reflectate de oglindă, cele incidente fiind a3 a4 paralele cu axa optică principală (fig. a3 ); focarul oglinzii concave este real; o oglinda convexă – punctul în care se intersectează prelungirile razelor reflectate de oglindă, cele incidente fiind paralele cu axa optică principală (fig. a4 ); focarul oglinzii concave este virtual; o focarul principal este situat pe axa optică principală, la jumătatea distanţei dintre vârful oglinzii şi centrul de curbură; distanţa de la centrul de curbură la vârful oglinzii reprezintă raza sferei din care face parte calota sferică; o distanţa de la focarul principal la vârful oglinzii se numeşte distanţă focală şi se notează cu litera f: 161

R O2 2 formarea imaginii - pentru obţinerea imaginii unui obiect punctiform, pot fi utilizate două dintre următoarele trei raze care pornesc de la obiect şi se reflectă pe oglindă (fig. a5 ): f =

•

i2 C

F

i1

i3

C

r1

r2 F

F

C

r3

a5 o raza de lumină care trece prin centrul de curbură al oglinzii (i1 ) şi care este reflectată pe aceeaşi direcţie (r1 ); o raza de lumină paralelă cu axa optică principală (i2 ) şi care se reflectă prin focarul principal (r2 );

•

o raza de lumină care trece prin focarul principal (i3 ) şi se reflectă paralel cu axa optică principală (r3 ); o caracteristicile unei imagini depind de poziţia obiectului faţă de oglindă şi de felul oglinzii; formula oglinzilor redă legătura dintre p – distanţa de la obiect la oglindă, p′ - distanţa de la imagine la oglindă şi f - distanţa focală a oglinzii: 1 1 1 + = p p′ f

•

O3

precizări: la aplicarea acestei formule se respectă următoarea convenţie fizică de semn: o p > 0 pentru obiect real; o p < 0 pentru obiect virtual; o p′ > 0 dacă imaginea este reală; o p′ < 0 dacă imaginea este virtuală; o f > 0 dacă focarul este real (oglindă concavă); o f < 0 dacă focarul este virtual (oglindă convexă); o R > 0 dacă focarul este real (oglindă concavă); o R < 0 dacă focarul este virtual (oglindă convexă).

162

Exemplul 1 La distanţa p = 40 cm de vârful unei oglinzi concave cu raza de curbură R = 60 cm se află o bară AB de lungime = 1 cm, aşezată perpendicular pe axa optică principală a oglinzii. Cerinţe: a. să se construiască şi să se caracterizeze imaginea formată de oglindă; b. să se calculeze distanţa de la imagine la oglindă; c. să se determine lungimea imaginii. Date: p = 80 cm; R = 50 cm; = 1 cm; Cerinţe: a. desen şi caracteristici imagine; b. p′; c. ′. Rezolvare obiect

imagine

B

i2

B

A′

F

A′ C

A

r2

B′

r3

i3

A

B

F

F

A′

C

C

B′

f p

a1

p′

B′

D

A

a3

E

a2

a.

în fig. a1 este redată construcţia imaginii: o s-au trasat razele incidente (i2 ) şi (i3 ) care, prin reflexia pe oglindă, dau razele (r2 ), respectiv (r3 ); imaginea extremităţii B se obţine la intersecţia razelor (r2 ) şi (r3 ), notată cu B′; o procedând în mod asemănător pentru toate segmentele corpului care pot fi considerate puncte materiale, se obţine imaginea A′B′; caracteristicile imaginii sunt: reală, răstrunată, mai mare decât obiectul şi situată în faţa oglinzii, mai departe de oglindă decât obiectul; b. se stabilesc semnele distanţelor o p > 0; o p′ > 0, pentru că este imagine reală; o f > 0, pentru că este oglindă concavă;

163

se aplică formulele O2 şi O3 (fig. a2 ):

1 1 1 + = p p′ f 1 2 1 Rp ⇒ = ⇒ p′ = 2p - R p′ R p R f = 2 60 cm·40 cm ⇒ p′ = = 120 cm; 80 cm-60 cm c.

se aplică noţiuni de geometrie plană; o prin construirea perpendicularei ED (fig. a3 ) se obţin două triunghiuri dreptunghice asemenea: Δ ABF şi Δ DEF, în care latura AB este egală cu lungimea obiectului şi latura DE cu lungimea imaginii; DE FD o se scrie raportul de asemănare: (1) = AB AF o se face aproximaţia: FD ≈ f (2)

′ f f FD = ⇒ = p-f AF p - f o relaţiile (3) şi O3 conduc la: ′ p′ p′ = ⇒ ′= = 3 cm. p p Probleme o din (1) şi (2) se obţine:

′

=

(3)

IV.3.1. Un creion este aşezat perpendicular pe axa optică principală a unei oglinzi concave, cu una dintre extremităţi în centrul de curbură al acesteia. Construiţi imaginea formată de oglindă şi precizaţi poziţia, mărimea comparativ cu cea a obiectului şi natura imaginii. IV.3.2. O riglă este aşezată perpendicular pe axa optică principală a unei oglinzi concave, cu una dintre extremităţi între focar şi vârful V al oglinzii. Construiţi imaginea formată de oglindă şi precizaţi poziţia, mărimea comparativ cu cea a obiectului şi natura imaginii. IV.3.3. Un obiect liniar este aşezată perpendicular pe axa optică principală a unei oglinzi concave, cu una dintre extremităţi între focar şi centrul de curbură al oglinzii. Construiţi imaginea formată de oglindă şi precizaţi poziţia, mărimea comparativ cu cea a obiectului şi natura imaginii. 164

IV.3.4. Un obiect liniar este aşezată perpendicular pe axa optică principală a unei oglinzi concave, cu una dintre extremităţi în faţa centrului de curbură al oglinzii. Construiţi imaginea formată de oglindă şi precizaţi poziţia, mărimea comparativ cu cea a obiectului şi natura imaginii. IV.3.5. O sursă de lumină de mici dimensiuni este situată pe axa optică principală a unei oglinzi sferice concave, cu raza de curbură R = 0,1 dam. Sursa se află la distanţa p = 75 cm. Să se afle poziţia imaginii sursei. Exemplul 2 Imaginea unui obiect aflat la 50 cm de vârful unei oglinzi convexe se formează la 25 cm de aceasta. Cerinţe: a. să se construiască şi să se caracterizeze imaginea formată de oglindă; b. să se calculeze raza de curbură a oglinzii convexe. Date: p = 50 cm; p′ = - 25 cm. Cerinţe: a. desen şi caracteristici imagine; b. R. Rezolvare a. r2 i2 construirea imaginii (fig. a1 ): A A’ imagine o s-au trasat razele incideni1 C r1 te (i1 ) şi (i2 ) care, prin B F B’ obiect reflexia pe oglindă, dau razele (r1 ), respectiv (r2 ); a1 imaginea extremităţii A se obţine la intersecţia prelungirilor razelor (r1 ) şi (r2 ), notată cu A′; o imaginea întregului obiect se obţine construind perpendiculara pe axa optică principală; intersecţia perpendicularei cu axa reprezintă imaginea extremităţii B, notată cu B′; A′B′ este imaginea obiectului AB; o imaginea A′B′ este: virtuală, dreaptă, mai mică decât obiectul şi situată în spatele oglinzii; b. se stabilesc semnele distanţelor o p > 0; o p′ < 0, pentru că este imagine virtuală; o f < 0, pentru că este oglindă convexă; o R < 0, pentru că este oglindă convexă; 165

• se aplică formulele O2 şi O3 (fig. a2 ): A

obiect imagine

1 1 1 + = p p′ f R f = 2

B

C

F

p p′

a2

f

2 pp′ 2·50 cm ( - 25 cm) = = - 100 cm; p + p′ 50 cm - 25 cm răspuns: R = -100 cm.

R=

IV.3.6. O sursă de lumină de mici dimensiuni este aşezată pe axa optică principală a unei oglinzi convexe cu raza de curbură 40 cm. Sursa se află la 20 cm de oglindă. Determinaţi distanţa faţă de oglindă la care se formează imaginea sursei de lumină. IV.3.7. La 30 cm de o oglindă concavă cu distanţa focală de 50 cm se găseşte un obiect. Să se afle distanţa dintre obiect şi imagine. IV.3.8. Distanţa focală a unei oglinzi este f = - 1,5 m. Să se determine la ce distanţă de oglindă trebuie aşezat un obiect pentru ca imaginea să se formeze la distanţa de 1 m de oglindă. IV.3.9. La 15 cm de o oglindă concavă cu distanţa focală de 20 cm se găseşte un obiect liniar, situat perpendicular pe axa optică principală a oglinzii. Să se determine mărirea liniară transversală. IV.3.10. O oglindă sferică convexă formează o imagine de 3 ori mai mică decât obiectul, situată la 25 cm de oglindă. Să se afle raza de curbură a oglinzii.

166

IV.4. Refracţia luminii Refracţia luminii Informaţii de bază

• •

•

•

definiţie: refracţia este fenomenul care înseamnă schimbarea direcţiei de propagare a razei de lumină atunci când traversează suprafaţa de separare dintre două medii transparente diferite; indicele de refracţie absolut al unui mediu omogen este egal cu raportul dintre viteza luminii în vid şi viteza luminii în acel mediu: c O4 n= v indicele de refracţie relativ al mediului în care trece raza de lumină (2) în raport cu mediul din care vine lumina (1) se notează n21 şi este dat de relaţia : n O5 n21 = 2 n1 o comparând indicii de refracţie a două medii, n1 cu n2 , mediul cu indice de refracţie mai mare este mai dens din punct de vedere optic faţă de celălalt; legile refracţiei: o raza incidentă, normala la suprafaţa de separare în punctul de incidenţă şi raza refractată se găsesc în acelaşi plan; o raportul dintre sinusul unghiului de incidenţă şi sinusul unghiului de refracţie este constant pentru două medii date: sin iˆ = n21 O6a sin rˆ

care în baza relaţiei O5, mai poate fi scrisă şi astfel : sin iˆ n2 = sau n1 sin iˆ = n2 sin rˆ sin rˆ n1

O6b

Probleme IV.4.1. Aflaţi mediul în care lumina se propagă cu viteza v = 2,25·108 m/s. IV.4.2. Folosind informaţiile din tabelul Indicii de refracţie absoluţi ai unor substanţe (v. pag. 221), ordonaţi substanţele respective în sensul des-creşterii densităţii optice. 167

IV.4.3. Lumina trece din ulei în diamant. Calculaţi indicele de refracţie relativ al diamantului faţă de ulei. IV.4.4. În fig.IV.4.4. este dat mersul unei raze de lumină atunci când traversează suprafaţa de separare dintre două medii transparente. Un mediu este apă cu indice de refracţie napa = 1,33 şi altul este benzină cu indicele de

1

2

Fig.IV.4.4

refracţie nbenzina = 1,5. Care mediu este apa? IV.4.5. O placă din sticlă transparentă este situată în aer (fig.IV.4.5). Pe faţa superioară a plăcii, în punctul de incidenţă I1, ajunge o rază de lumină care formează cu

I1

suprafaţa plăcii un unghi α = 50 . Între raza reflectată pe suprafaţa superioară a plăcii şi cea refractată există un Fig.IV.4.5 unghi β = 110 . Cerinţe: a. calculaţi unghiul de incidenţă pe faţa superioară a plăcii; b. calculaţi unghiul dintre normala la suprafaţa superioară a plăcii şi raza refractată prin această suprafaţă; c. calculaţi unghiul dintre normala la suprafaţa inferioară a plăcii şi raza refractată prin această suprafaţă; d. folosind instrumentele de la geometrie, desenaţi mersul razei de lumină până la ieşirea din placă.

i IV.4.6. Faţa (2) a unei plăci din sticlă trasparentă este argintată astfel încât ea se comportă ca o (1) I1 oglindă plană (fig.IV.4.6). Pe faţa (1) a plăcii ajunge (2) o rază de lumină cu punctul de incidenţă în I1 şi Fig.IV.4.6 care formează cu normala la suprafaţa plăcii un unghi i = 60 . Între raza reflectată pe suprafaţa (1) şi cea refractată există un unghi α = 90 . Cerinţe: a. calculaţi unghiul de refracţie; b. folosind instrumentele de la geometrie, desenaţi mersul razei de lumină până la ieşirea din placă; c. calculaţi unghiul dintre raza de lumină incidentă pe lamă şi cea care iese din lamă. IV.4.7. Se dau două oglinzi plane şi o lamă din sticlă transparentă cu feţe planparalele, aşezate ca în fig.IV.4.7. Pe oglinda O1 ajunge o rază de lumină sub

un unghi de indicenţă i1 = 30 . Între raza 168

(1)

O1 L

i1 Fig.IV.4.7

O2

reflectată pe suprafaţa (1) a lamei şi cea refractată există un unghi α = 75 . Cerinţe: a. calculaţi unghiul de incidenţă pe oglinda O2 ; b. aflaţi unghiul de incidenţă pe faţa (1) a lamei L; c. aflaţi unghiul de refracţie pe suprafaţa (1) a lamei L; d. folosind instrumentele de la geometrie, desenaţi mersul razei de lumină până la ieşirea din lamă; e. calculaţi unghiul dintre raza de lumină incidentă pe oglinda O1 şi cea care iese din lamă. IV.4.8. O lamă cu feţe plan paralele este confecţionată dintr-un material transparent cu indice de refracţie n = 1,2. O rază de lumină ajunge pe una dintre feţele lamei, fără a fi perpendiculară pe aceasta. Desenaţi mersul razei de lumină prin lamă dacă aceasta este situată în: a. sulfură de carbon; b. acelaşi mediu din care este confecţionată lama. IV.4.9. O rază de lumină ajunge pe suprafaţa unei jumătăţi dintr-o sferă ca în fig.IV.4.9 (OI < 0,5R). Semisfera este confecţionată dintr-un material transparent cu indi-cele de refracţie n = 1,2. Să se deseneze mersul razei de lumină prin semisferă, dacă aceasta se afă în: a. în aer; b. în ulei. Explicaţi desenele.

I O

R

Fig.IV.4.9.

IV.4.10. O rază de lumină, propagându-se în aer, ajunge la suprafaţa unui lichid transparent sub un unghi de incidenţă i = 60 . Raza refractată formează un unghi r = 30 cu normala în punctul de incidenţă. Să se afle indicele de refracţie al lichidului. Informaţie: valorile sinusului se găsesc în tabelul 6 de la pag. 222. IV.4.11. Să se afle unghiul dintre raza reflectată şi cea refractată atunci când lumina trece din diamant în sulfură de carbon, unghiul de incidenţă fiind egal cu i = 20 . IV.4.12. Să se afle pentru ce valoare a unghiului de incidenţă pe suprafaţa de separare diamant-sulfură de carbon, raza refractată în sulfura de carbon formează un unghi r = 90 cu normala la suprafaţa de separare.

169

Reflexia totală Informaţii de bază

•

•

când raza de lumină ajunge la suprafaţa de separare dintre două medii diferite, au loc două fenomene: o reflexia luminii; o refracţia luminii; dacă lumina trece din sticlă în aer refracţia are loc cu depărtare de normală; astfel: S

sticlă aer

reflexie refracţie

a1

S

reflexie

sticlă

S

reflexie

sticlă

aer

i>

sticlă

aer

refracţie

refracţie

a2

S

reflexie totală

aer

a3

a4

la un unghi de incidenţă i = 0 , corespunde un unghi de refracţie rˆ = 0 ; lumina trece nedeviată (fig. a1 ); • când unghiul de incidenţă creşte, unghiul de refracţie creşte şi el, rămânând tot timpul mai mare decât cel de incidenţă (fig. a2 ); • la o anumită valoare a unghiul de incidenţă, numită unghi limită, unghiul de refracţie devine egal cu rˆ = 90 (fig. a3 ); • pentru unghiuri mai mari decât unghiul limită, nu mai are loc refracţia ci numai reflexia luminii, spunem că are loc reflexia totală (fig. a4 ); • expresia unghiului limită se deduce din relaţia O6b n1 > n2 rˆ = 90 , sin90 = 1 iˆ = ˆ

⇒

sin ˆ =

n2 n1

n1 sin iˆ = n2 sin rˆ • fenomenul de reflexie totală are loc numai atunci când n1 > n2 ;

170

O7

• fenomenul de reflexie totală este întâlnit în natura sau în diverse aplicatii:

IV.4.13. Calculaţi valoarea unghiului limită pentru perechea de medii apă-aer. IV.4.14. O rază de lumină ajunge la un strat de apă sub un unghi de incidenţă iˆ = 55 . Stabiliţi dacă raza de lumină iese în aer prin cealaltă faţă a stratului de apă. IV.4.15. Pe faţa (1) a unei lame transparente se (2) n2 găseşte o sursă de lumină monocromatică, de n1 dimensiuni foarte mici S (fig.IV.4.15). Lama, reaS lizată dintr-o substanţă cu indice de refracţie (1) Fig.IV.4.15 n1 = 1,73( ≈ 3 ), este situată într-un mediu cu indice de refracţie n2 = 1,5. Cerinţe: a. aflaţi valoarea unghiului de incidenţă pe faţa (2) a lamei pentru care raza refractată are direcţia suprafeţei de separare; b. desenaţi mersul acestei raze de lumină. IV.4.16. În interiorul unei sfere transparente, foarte aproape de suprafaţa sferei, se găseşte o sursă A S B O de lumină monocromatică de mici dimensiuni S (fig.IV.4.16). Sfera, situată în aer, este confecţioFig.IV.4.16 nată dintr-un material cu indice de refracţie n = 2. Există o rază de lumină care, ajungând la suprafaţa sferei, se refractă tangent la sferă. Cerinţe: a. aflaţi valoarea unghiului format de raza incidentă pe suprafaţa sferei cu direcţia AB; b. desenaţi mersul acestei raze de lumină; c. determinaţi valoarea unghiului format de raza care se propagă pe direcţia AB cu raza care iese tangent la sferă. 171

IV.4.17. Suprafaţa (1) separă mediile cu indici de refracţie n1 = 2,115( ≈ 1,5 2) şi n2 = 1,73( ≈ 3 ), iar (1) d suprafaţa (2) mediile cu indicii n2 = 1,73( ≈ 3 ), (2) respectiv n3 = 1,4 (fig.IV.4.17). Unghiul de incidenţă pe suprafaţa (1) are valoarea iˆ = 45 . Stratul 1

n1 I1

n2 n3

Fig.IV.4.17

din mijloc are grosimea d = 10 cm. Să se afle: a. unghiul de refracţie la traversarea suprafeţei (1); b. unghiul de refracţie la traversarea suprafeţei (2); c. distanţa D dintre punctul I1 şi punctul prin care raza de lumină părăseşte mediul cu indice de refracţie n2 . Exemplul 1 Se dă un corp de formă unei prisme triunghiulare, alcătuit dintr-un mediu transparent şi omogen, numit prismă optică (fig. a1 ). Unghiul Aˆ , numit unghiul prismei, este egal cu Aˆ = 60 . Indicele de refracţie

al mediului prismei are valoarea n2 = 1,73 ( ≈ 3 ), prisma fiind situată în aer (n1 ≈ 1). Pe faţa AB a prismei optice ajunge o rază de lumină sub un unghi de incidenţă iˆ = 60 . Cerinţe: a. considerând că 1

nu are loc reflexia totală, desenaţi mersul razei de lumină prin prismă; b. aflaţi unghiul de refracţie pe suprafaţa AB; c. aflaţi unghiul de incidenţă pe suprafaţa BC; d. determinaţi unghiul de refracţie pe suprafaţa BC. Date: Aˆ = 60 ; n2 = 3; n1 ≈ 1; iˆ1 = 60 . Cerinţe: a. desen; b. r1; c. i 2 ; d. r2 . Rezolvare a. mersul razelor de lumină printr-o prismă optică se pune în evidenţă folosind secţiunea transversală a prismei, care este un triunghi (fig. a2 ); etapele trasării mersului razei de lumină prin prismă sunt (fig. a3 ): B

B

A

B

C

a1

A

Aˆ i1 I1 1ˆ 2ˆ I2 r2 r1 i 2 C

a2

172

C

A

a3

o se alege pe suprafaţa AB punctul de incidenţă I1, se construieşte normala la suprafaţă în punctul de incidenţă, apoi se desenează raza incidentă pe suprafaţa AB astfel încât să formeze un unghi de 60 cu normal la suprafaţă; o deoarece lumina trece din aer într-un mediu mai dens din punct de vedere optic, refracţia are loc cu apropiere de normală; se construieşte raza refractată în punctul I1, care se trasează până când ajunge la suprafaţa BC a prismei; o în punctul de incidenţă I2 pe suprafaţa BC se construieşte normala la suprafaţa BC; o raza de lumină trece într-un mediu mai puţin dens din punct de vedere optic, deci refracţia are loc cu depărtare de normală; se construieşte raza refractată în I2 ; pe baza textului problemei, există raza refractată pe suprafaţa BC a prismei;

b.

se aplică formula O6b: n1 sin iˆ1 = n2 sin rˆ1 sin iˆ1 ⇒ sin rˆ1 = n2 n1 ≈ 1 c. rˆ1 + 1ˆ = 90 1ˆ + Aˆ + 2ˆ = 180 ⇒ i = 30

⇒ sin rˆ1 =

3 1 1 = ⇒ rˆ1 = 30 2 3 2

2

iˆ2 + 2ˆ = 90 d. se aplică formula O6b : n2 sin iˆ2 = n1 sin rˆ2 ⇒ n2 sin iˆ2 = sin rˆ2 n1 ≈ 1

⇒ sin rˆ2 =

3 ⇒ rˆ2 = 60 2

IV.4.18. O prismă optică are secţiunea B principală un triunghi isoscel cu unghiul Aˆ = 90 şi indicele de refracţie al mediului Aˆ din care este confecţionată n = 3 / 2 C (fig.IV.4.18). Pe faţa AB ajunge o rază de A Fig.IV.4.18. lumină sub unghiul de incidenţă iˆ1 = 60 . Prisma este situată în aer. Să se afle: a. unghiul de refracţie pe suprafaţa AB; c. unghiul de incidenţă pe suprafaţa BC; d. unghiul de refracţie pe suprafaţa BC. 173

IV.4.19. Secţiunea principală a unei prisme optice situate în aer este un triunghi dreptunghic isoscel. A B Indicele de refracţie al sticlei din care este confecţionată prisma are valoarea n = 1,5. O rază de lumină ajunge perpendicular pe faţa AB a prismei (fig.IV.4.19). C Fig.IV.4.19. Cerinţe: a. aflaţi unghiul limită pentru sticla din care este confecţionată prisma; b. unghiul de incidenţă pe faţa AC a prismei; c. trasaţi mersul razei de lumină prin prismă. IV.5. Lentile Informaţii de bază

•

• •

•

•

definiţie: lentilele sunt sisteme optice alcătuite dintr-un mediu transparent şi omogen, mărC D ginit de două suprafeţe sferice Fo Fo O sau o suprafaţă sferică şi una A B B A F F O plană; i i C D fenomenul fizic: refracţia luminii: a1 a2 clasificarea oglinzilor: o lentile convergente – (fig. a1 ); o lentile divergente – (fig. a2 ); elementele unei lentile (fig. a1 şi a2 ): o O - centrul optic; o AB - axa optică principală; o axe optice secundare, drepte care trec prin O, de ex. CD; focare principale lentila convergentă o focare obiect Fo – punctul în care trebuie aşezată o sursă de Fo Fi Fi lumină de mici dimensiuni pen- Fo tru ca, după refracţiile prin lentilă, să se formeze un fascicul a3 a4 paralel cu axa optică principală (fig. a3 ); o focare imagine Fi – punctul în Fo Fi Fo care se intersectează razele re- Fi fractate prin lentilă dacă fasciculul incident este paralel cu a5 a6 axa optică principală (fig. a4 ); 174

•

• •

• •

focare principale lentila divergentă o focare obiect Fo – punctul în care converg razele fascicului incident pentru ca fasciculul refractat să fie paralel cu axa optică principală (fig. a5 ); o focare imagine Fi – punctul în care se intersectează prelungirile razele refractate prin lentilă dacă fasciculul incident este paralel cu axa optică principală (fig. a6 ); distanţa focală f – focarele unei lentile fiind situate simetric faţă de aceasta, distanţa de la oricare dintre focare la centrul optic al lentilei se numeşte distanţă focală; formarea imaginii - pentru obţinerea imaginii unui obiect punctiform, pot fi utilizate i2 r2 Fo i1 două dintre următoarele Fi Fi trei raze care pornesc de Fo Fi i3 la obiect şi se refractă prin Fo r1 r3 lentilă; r3 o raza de lumină care i1 i3 Fo Fi Fo trece prin centrul optic al lentilei (i1 ) şi care îşi F Fi Fo r2 i r1 continuă propagarea i2 pe aceeaşi direcţie (r1 ) a7 a8 a9 (fig. a7 ); o raza de lumină paralelă cu axa optică principală (i2 ) şi care se refractă prin focarul principal imagine în cazul lentilei convergente, respectiv a cărei prelungire trece prin focarul principal imagine în cazul lentilei divergente (r2 ) (fig. a8 ); o raza de lumină care (a cărei prelungire) trece prin focarul principal obiect (i3 ) şi se refractă paralel cu axa optică principală (r3 ) (fig. a9 ); caracteristicile unei imagini depind de poziţia obiectului faţă de lentilă şi de felul lentilei; formula lentilelor redă legătura dintre următoarele distanţe: p – distanţa de la obiect la lentilă, p′ - distanţa de la imagine la lentilă şi f - distanţa focală a lentilei:

1 1 1 + = p p′ f

175

O8

•

convergenţa unei lentile o definiţie: convergenţa este mărimea fizică egală cu inversul distanţei focale; o simbol: convergenţa se notează cu litera C; o formula de definiţie

C=

1 f

O9

o unitate de măsură se numeşte dioptrie şi notează cu litera grecească delta δ

< C >= •

1 1 = =δ m

precizare: la aplicarea acestor formule se respectă următoarea convenţie de semn: o p > 0 pentru obiect real; o p < 0 pentru obiect virtual; o p′ > 0 dacă imaginea este reală; o p′ < 0 dacă imaginea este virtuală; o f > 0 dacă focarul este real (lentila convergentă); o f < 0 dacă focarul este virtual (lentila divergentă); o C > 0 pentru lentile convergente; o C < 0 pentru lentile divergente.

Exemplul 1 O bară cu lungimea = 2 cm este aşezată perpendicular pe axa optică principală a unei lentile convergente, la distanţa p = 30 cm de centrul optic al lentilei. Distanţa focală a lentilei are valoarea f = 40 cm. Cerinţe: a. construiţi şi caracterizaţi imaginea formată de lentilă; b. determinaţi distanţa de la imagine la lentilă; c. aflaţi lungimea imaginii. Date: = 2 cm; p = 30 cm; f = 40 cm. Cerinţe: a. desen şi caracteristici imagine; b. p′; c. ′. Rezolvare imagine a. B′

B

Fo A′

A obiect

a1

i2

i1

r1

Fi

Fo

Fi

p’

r2

f p

a2 176

în fig. a1 este redată construcţia imaginii: o s-au trasat razele incidente (i1 ) şi (i2 ) care, după refracţia prin lentilă, dau razele (r1 ), respectiv (r2 ); imaginea extremităţii B se obţine la intersecţia prelungirilor razelor (r1 ) şi (r2 ), intersecţie notată cu B′; o procedând în mod asemănător pentru toate segmentele corpului care pot fi considerate puncte materiale, se obţine imaginea A′B′; caracteristicile imaginiI sunt: virtuală, dreaptă, mai mare decât obiectul şi situată în faţa lentilei; b. se stabilesc semnele distanţelor o p > 0; o p′ < 0, pentru că este imagine virtuală; o f > 0, pentru că este lentilă convergentă; se aplică formulele O8 (fig. a2 ) 1 1 1 + = p p′ f

⇒

1 1 1 fp = ⇒ p′ = = -120 cm; p′ f p p-f

c.

se utililizează noţiuni de geometrie plană: o analizând fig. a3 , se observă că B′ triunghiurile dreptunghice Δ ABO şi Δ A ′B′O sunt asemenea; latura B AB este egală cu lungimea obiecFo A O tului şi latura A′B′ cu lungimea A′ p imaginii; f o se scrie raportul de asemănare: p A ′B′ A ′O = (1) a3 AB AO o se rescrie relaţia (1) folosind notaţiile din text: ′ A ′O = (2) AO o din (2) rezultă expresia pentru lungimea imaginii: A ′O ′= = 8 cm . AO

177

Fi

Probleme IV.5.1. Un creion este aşezat perpendicular pe axa optică principală a unei lentile convergente. Distanţa de la lentilă la obiect este egală cu dublul distanţei focale a lentilei. Construiţi şi caracterizaţi imaginea formată de lentilă. Precizaţi semnele pentru p şi p′. IV.5.2. În fig.IV.5.2 sunt redate: lentila conver- B gentă cu axa sa optică principală, focarele principale precum şi obiectul AB. Construiţi şi A caracterizaţi imaginea obiectului.

Fi Fo

O Fig.IV.5.2.

IV.5.3. Stabiliţi pe cale grafică unde se formează imaginea unui obiect aşezat perpendicular pe axa optică a unei lentile convergente, în focarul obiect al acesteia. Precizaţi semnul pentru f. IV.5.4. Stabiliţi pe cale grafică ce se întâmplă cu mărimea imaginii şi poziţia imaginii faţă de lentilă pe măsură ce obiectul este deplasat dintr-un punct situat la dublul distanţei focale în unul aflat în focarul obiect. IV.5.5. Un obiect este aşezat la 15 cm de o lentilă convergentă de distanţă focală 10 cm. Cerinţe: a. construiţi şi caracterizaţi imaginea obiectului; b. aflaţi convergenţa lentilei; c. determinaţi poziţia faţă de lentilă a imaginii. IV.5.6. Imaginea virtuală, formată de o lentilă convergentă, este de 3 ori mai mare decât obiectul. Imaginea se formează la 60 cm de lentilă. Precizaţi semnul lui p′ şi aflaţi distanţa focală a lentilei. IV.5.7. O riglă este aşezată perpendicular pe axa optică principală a unei lentile convergente. Distanţa de la lentilă până la imaginea reală a riglei este de 4 ori mai mică decât distanţa de la riglă la lentilă. Ştiind că distanţa focală a lentilei este 20 cm, să se afle; a. distanţa riglă - lentilă; b. raportul dintre lungimea riglei şi cea a imaginii acesteia. Exemplul 2 Un obiect înalt de 4 cm este aşezat la 60 cm de o lentilă divergentă cu distanţa focală de 20 cm. Cerinţe: a. construiţi şi caracterizaţi imaginea formată de lentilă; b. determinaţi distanţa de la imagine la lentilă; c. aflaţi lungimea imaginii. 178

Date: = 4 cm; p = 60 cm; f = - 20 cm. Cerinţe: a. desen şi caracteristici imagine; b. p′; c. ′; Rezolvare a.

i2

r2 B′

i1 A obiect

Fo

A′

imagine

Fi

Fo

Fi

p’ f p

r1 a2

a1 B

B′

Fo A

A′

p f p

O

Fi

a3 în fig. a1 este redată construcţia imaginii: o s-au trasat razele incidente (i1 ) şi (i2 ) care, după refracţia prin lentilă, dau razele (r1 ), respectiv (r2 ); imaginea extremităţii B se obţine la intersecţia prelungirii razei (r1 ) cu prelungirea razei (r2 ), intersecţie notată cu B′; o imaginea extremităţii A se află pe axa optică principală, la intersecţia perpendicularei duse din B′ pe axă; astfel s-a obţinut imaginea A′B′; caracteristicile imaginii sunt: virtuală, dreaptă, mai mică decât obiectul şi situată în faţa lentilei; b. se stabilesc semnele distanţelor o p > 0; o p′ 8 mm; c. Δ c < 8 mm; I.10.15. G = 10 N; I.10.16. a. Δ 1 = 4 cm; Δ 2 = 2 cm; b. Fel.1 = 8 N; Fel.2 = 8 N; c. k ≈ 133,3 N/m; I.10.17. a. Δ 1 = Δ 2 = 1,6 cm; b. Fel.1 = 3,2 N; Fel.2 = 4,8 N; c. k = 500 N/m; I.11. Forţa de frecare I.11.1. Ff = 20 kN; I.11.2. a. N = 2,5 N; b. μ = 0,2; I.11.3. 100 N; I.11.4. G = 617,4 N; Ff = 617,4 N; I.11.5. a. fig.I.11.5.R; b. modul 300 N şi orientarea greutaţii; c. 650 N; I.11.6. a. 7 N şi orientarea forţei F1; b. μ = 0,2; I.11.7. a. fig. I.11.7.R; b. 2 kg; c. R = 0 N; 191

I.11.8. a. Δ I.11.8.R;

1

=Δ

2

= 10 cm; b. Δ

1

= 7,5 cm; Δ

I.11.9. a. Ft = 40 N; b. Ff = 2 N; c. Ft′ =

2

= 10 cm; c. fig.

80 N; 7

I.11.10. Ft = 10 N; Fel.1

Frez.

a.

Δ G Fig.I.11.5.R

Fel.2

Fel.

F

b.

′ Fel.1 Ff

Ff

Fel.2

F F

Fig. I.11.8.R

Fig. I.11.7.R

I.12. Echilibrul mecanic al corpurilor I.12.1. o forţă de modul 4,3 N şi care să aibă orientarea forţei de rezistenţă; I.12.2. 875 N şi orientare inversă greutăţii omului cu paraşută; I.12.3. μ = 0,2; I.12.4. 10 2 N, direcţia rezultantei primelor două forţe şi sens invers acesteia; I.12.5. a. Δ = 12,5 cm; b. Ftr. = 25 N; I.12.6. Gt = Gn ; I.12.7. G = 10 N; I.12.8. F = 28 N; I.12.9. a. Fdef. = 5 N; b. Fdef. = 5 3 N; c. Δ = 5 cm; I.12.10. Ff = 40 N; I.12.11. Ftr = 160 N; I.12.12. a. Gt = 600 N; Gn = 800 N; b. Ff = 200 N; c. F = 400 N, pe direcţia planului înclinat şi cu sensul spre vârful acestuia; M = 0; M2 = 6 N·m, negativ; M3 = 2 N·m, negativ; I.12.13. 1 M 4 = 9 N·m, pozitiv; M 4 = 12 N·m, pozitiv; I.12.14. M1 = 24 N·m; M2 = 36 N·m; M3 = 24 N·m; I.12.15. F = 20 N; I.12.16. a. MG = 4 N·m; negativ; b. Mtotal = 54 N·m 192

I.12.17. a. M = 32 N·m; antiorar; b. M ′ = 16 2 N·m; orar; I.12.18. F = 5 N; I.12.19. a. Mtotal = - 2 N·m, bara se roteşte în sens antiorar; b. 0,1 m; I.12.20. d = 140 cm; I.12.21. F = 200 N; I.12.22. 3,5 m; I.12.23. F = 90 N; I.12.24. OA=1,6 m; I.12.25. a. T = 42 N; b. Δ = 10cm; I.12.26. a. Fel. = 4 N; direcţia verticală şi sensul în sus; b. m = 1,6 kg; GA′ = 3; b. OB / OA = 1; R′ I.12.28. a. F = 50 N; b. v = 1,5 m/s; c. y F = y R = 15 m; I.12.29. a. F = 25 N; b. v = 1,5 m/s; c. y F = 30 m; y R = 15 m; I.12.30. a. F = 70 N; b. yG = 2 m; c. vG = 0,1 m/s; I.12.31. G = 32 N; I.12.32. OA = 20 cm;

I.12.27. a.

I.12.33. a. T = 60 N; b. F = 225 N; I.12.34. a. 75 N sau 45 N; b. 270 N sau 180 N; I.13. Lucrul mecanic I.13.1. L = 7,2 MJ; I.13.2. m = 1 kg; I.13.3. a. LG = 0 J; b. μ = 0,8; I.13.4. a. Ftr = 17,15 N; b. LFtr. = 205,8 J; c. LFf = - 205,8 J; I.13.5. a. LF = 98 J; b. LG = - 98 J; I.13.6. L = 150 J; I.13.7. a. Fx = 75 N; Fy = 75 3 N; b. LFx = 375 J; c. LFy = 0 J; d. LF = 375 J; e. LG = 0 J; I.13.8. a. LG = - 3000 J; b. LG t = - 3000 J; c. LN = 0 J; d. LF fr. = - 600 J; e. LF tr. = 3 600 J; I.13.9. a. F = 1000 N; b. LG = - 2600 J; c. LF = 2600 J; I.13.10. a. m′′ = 550 g; b. L = 1,4 J; c. L′ = 4,75 J; I.13.11. a. m2 = 1 kg; b. m2′ = 0,5 kg; c. LG2 = - 6 J; c. LN = 0 J; 193

I.13.12. P = 24 MJ; I.13.13. a. L = 36,75 J; b. P = 9,1875 W; I.13.14. P = 1225 W; I.13.15. P = 18 kW; I.13.16. Pc = 250 kW; I.13.17. a. Lu = mgh = 240 kJ; b. Lc = c. Pc =

Lu = 300 kJ; η

Lc = 6,25 kW; Δt

I.13.18. a. Pu = ηPc = 492 kW; b. Ftr. = I.13.19. a. Lu = G·h = 9000 J; b. Lc = c. Ftr. =

Lc

Pu = 19,68 kN; v

Lu = 12000 J; η

= 1200 N;

I.13.20. a. Lu = G·h = 24 kJ; b. Lc =

Lu

η

= 30 kJ; b. Ftr. =

Lc = 625 N; 2h

I.14. Energia mecanică. Conservarea energiei mecanice I.14.1. Ec = 180 kJ; I.14.2. Ep.g. = 5,5 J; I.14.3. ΔEc = 96 J; I.14.4. k = 2000 N/m; I.14.5. a. Ec. f. = 0; b. Ec. t. = 3612,5 J; I.14.6. Δx = 114 m; I.14.7. a. v = 8 m/s; b. v = 17 m/s; I.14.8. ΔEp.g. = 29 J; I.14.9. Ep.g. = 25 J; I.14.10. a. LG = - 40 J; b. ΔEp.g. = 40 J; c. Ep.el. = 10 mJ; I.14.11. a. Ep.g. = 3 kJ; b. LF = 3 kJ; c. Ep.el. = 10 J; I.14.12. 14 m/s; I.14.13. 4,9 m; I.14.14. a. Ec = 12,25 J; b. x m = 5 m; c. v′ = 7 m/s; I.14.15. h = 5 m; I.14.16. v = 8 m/s; 194

I.14.17. Fr = 3 N; I.14.18. a. ΔE = -13,2J; b. LFf = -13,2J; I.14.19. a. m2 = 5 kg; b. Ep.g.1 = 50 J; c. Ep.g.2 = - 50 J; d. Ec2 = 0,025 J; I.14.20. a. Ep.g. = 2,5 J; b.

= 15 cm; c. ΔEp.g. =- 0,625 J;

d. Ep.el. =0,3125 J; e. Ec =0,3125 J; I.15. Echilibrul mecanic al fluidelor I.15.1. = 2 cm; I.15.2. a. N = 9,8 N; b. p = 400 Pa; I.15.3. a. Δp = -200 Pa; b. Δp′ = 100 Pa; I.15.4. a. F = 15 N; b. p = 1500 Pa; I.15.5. p = 1862Pa; I.15.6. a. p = 735 Pa; b. m2 = 2 kg; c. m1 = 3,5 kg; I.15.7. p = 26656 Pa; I.15.8. Δp = ρg Δh = 19,6 Pa; I.15.9. papa / palcool = 1; I.15.10. a. pal. = 1975 Pa; b. F = ( patm + pal )S = 203,95 N; I.15.11. F = ( patm - p )S = 9 N; I.15.12. p = 7,5·104 Pa; I.15.13. p = 86400 Pa; I.15.14. patm = 105 Pa ; I.15.15. F2 = 2,5 kN; I.15.16. F2 = 80 N; I.15.17. η = 80%; ηPc = 10 s-1 ; I.15.18. n = 2 G 1k I.15.19. a. FA = 4 kN; b. N = 6 kN; I.15.20. b1 = 0,6075 m; I.15.21. 4 cm; I.15.22. a. F = 7840 N; b. V ′ / V = 60%; I.15.23. v1 / v 2 = 1,25; I.15.24. ρ = 1075 kg/m3 ; I.15.25. Δ = 0,125 m; 195

I.15.26. v ≈ 4,74 m/s; I.15.27. h = 4 m; I.15.28. Vinvelis =220 cm3 ; Capitolul II. FENOMENE TERMICE II.1. Temperatura. Încălzire, răcire II.1.1. a. nu există corpuri cu aceeaşi stare termică; b. (3), (4), (1), (7), (6), (5), (2), (8); θ( C) II.1.2. încălzire; Δθ = θ2 - θ1 = 26 C; II.1.3. θ1 = - 6 C; II.1.4. Δθ = - 50 C; II.1.5. a. θ0 = 20 C; b. θmax = 60 C;

25 20 15 10 5 O -5

4

t(min)

c. Δt = 4 min; d. Δθ = -40 C; 2 6 II.1.6. a. fig.II.1.6.R; b. Δθ = -10 C; Fig.II.1.6.R ′ c. θ = 20 C; d. t = 2 min 48 s; II.1.7. a. T1 = 279,15 K; b. θ2 = 25 C; c. Δθ = 19 C; d. ΔT = 19 K; II.2. Dilatarea termică a corpurilor II.2.1. a. Δ = 1,7 m; b. Δ / 0 = 0,0017; c. Δ = 3,4 m; II.2.2. ΔT = 200 K; II.2.3. Δ ′ = 84 mm; II.2.4. a. Δ ′ = 3,8 mm; b. ΔS ≈ 0,03 m2 ; II.2.5. a. ′ = 20,072 cm; b. V ′′ ≈ 8115,75 cm3 ;

II.3. Modificarea stării termice prin schimb de căldură şi lucru mecanic II.3.1. Q = ρVc(θ2 - θ1 ) = 18832,5 J; II.3.2. ΔθZn / ΔθNi = 1,15; II.3.3. Q = (m1c1 + ρ2V2c2 )(θ2 - θ1 ) = 256,8 kJ; Q II.3.4. θ1 = θ2 = 80 C; mc Q II.3.5. c = = 250 J/kg·K, din argint; mΔθ II.3.6. C = 42,4 J/K; 196

1 Q - C1 ) = 0,5 kg; ( c2 ΔT II.3.8. a. Q1 = 3 kJ; b. ΔT2 = 50 K; c. C1 / C2 = 2;

II.3.7. m2 =

II.3.9. θ = 54 C; II.3.10. c1 = 400 J/kg·K; II.3.11. a. C1 = 3150 J/K; b. fig.II.3.11R; II.3.12. T ≈ 303 K; II.3.13. m2 ≈ 23 kg; II.3.14. Qdisipat / Qcedat ≈ 0,327;

360 335 320

Q3 Q1

0

Fig.II.3.11

II.3.15. Qdisipat = 875 J; II.3.16. ΔT = 0,5

T (K)

Ec1 - Ec2 = 0,2 K; C

II.3.17. h = 18 m; II.3.18. f = 0,4; II.3.19. f = 0,1; II.4. Combustibili. Instalaţii de încălzire. Motoare termice II.4.1. q = Q / m = 9·106 J/kg; II.4.2. Q = ρVq = 1066,5 kJ; mq = 184 zile; II.4.3. N = Q0 C Δθ II.4.4. mal = = 0,05 g; q Q II.4.5. mp. = = 0,625 kg; ηq II.4.6. a. Qu = C(θ2 - θ1 ) = 3 MJ; b. Qpierdut = 9 MJ; C(θ2 - θ1 ) = 25%; mc q ηα Almc q II.4.7. Δ = ; ρAlc AlS0

c. η =

II.4.8. a. Qc = Qp - L = 80 kJ; b. η = L/Qp = 20%; II.4.9. a. Qp =

Qc ηQc = 100 kJ; b. L = = 40 kJ; 1- η 1- η

197

Q2

ηmc q = 25,76 kN; Δx ηmc q = 4830 W; II.4.11. Pu = Δt P Δx II.4.12. V ≈ = 24,4 ; ρηv mq

II.4.10. F =

II.5. Schimbarea stării de agregare II.5.1. Q = mλ t = 1,675 MJ; II.5.2. Q = mc(θtopire - θ) + mλ t = 11125 J;

3 λ t ] = -301455 J; 4 + mgheata )c ]θ + mgheata λ t

II.5.3. Q = ρV [(θ0 - θ)c II.5.4. mc =

[C + (mapa

= 2,41 g; ηq m c (θ - θ1 ) + m1λ t ≈ 0,283 kg; II.5.5. m2 = 1 1 c 2 ( θ2 - θ) C c θ + C1λ t + C2c1θ2 II.5.6. θ = 1 1 1 ≈ - 3,38 C, mgheata = 0,9 kg, mapa = 0; C2c1 + C1c2 (C + C )c2θ1 + C2c2θ2 - C2 λ t ≈ 3,11 C, II.5.7. θ = 1 C2c1 + (C1 + C )c2 mgheata = 0, mapa = 0,53 kg; m2′ (C1θ1 + C2 θ2 )c2 = ≈ 0,125; m2 C2 λ t (C + C1 )θ1 - m2 λ t ≈ 2,69 C; II.5.9. a. θ = C + C1 + m2c2

II.5.8.

b. ρ =

(m1 + m2 )ρ1ρ2 ≈ 814,4 kg/m3 ; m1ρ2 + m2ρ1

II.5.10. Q = mλv = 90,4·105 J; Q - mc (θ2 - θ1 ) = 72 g; λv II.5.12. Q = m[c gh. (θ0 - θ1 ) + λ t + c apa (θ2 - θ0 ) + λ v ] = 303,4 kJ;

II.5.11. m′ =

II.5.13. θ = 100 C; mvap =

m3 λ t3 + m3c3 (θt -θf ) - (C1+C2 )(θf - θ1 ) ≈ 3,6 g; λ v2

198

m2′ = 996,4 g; II.5.14. η =

(C1+C2 )(θf - θ1 ) + m3 λ t3 + m3c3 (θf -θ0 ) + m2′ λ v 2 ≈ 73%; mc q

II.5.15. h =

c(θf - θ1 ) + λ v = 6,1 km; g

Capitolul III. FENOMENE ELECTROMAGNETICE III.1. Electrizarea corpurilor III.1.1. a. qinvelis = Zqelectron = -3,2·10-19 C; b. qnucleu = Zqproton = 3,2·10-19 C; c. qatom = 0; d. qion = 1,6·10-19 C; e. q 'ion = 3,2·10-19 C; III.1.2. a. qbagheta = 1,6·10-12 C; b. qtesatura = -1,6·10-12 C; III.1.3. a. q = q1 + q2 = (0,2 + 2·0,8 )Nq0 ≈ 34,6·10 4 C; III.1.4. a. N1 =

q1 = 2·1016 ; b. q2 = q1 + N2q0 = 5,12·10- 3 C; q0

c. q2 = q1 - N2q0 = 1,28·10- 3 C; III.1.5. banda a primit N = 1017 electroni; III.1.6. q1′ = q2′ = 0; III.1.7. q3 = - 73,6 mC; III.2. Interacţiunea corpurilor electrizate q q III.2.1. F = k 1 2 2 = 250 N; r F = ±3 ·10-6 C; q2 = ∓ 4,5 ·10-6 C; III.2.2. q1 = ±r 1,5 k III.2.3. scade de 4 ori; III.2.4. ΔT = -10 N; ΔT ′ = 10 N; III.2.5. q2 = 45 ·10-6 C; III.2.6. r = 3 cm; III.2.7. a. Δ 1 = 10 cm; b. r = 3 cm; III.2.8. F = 6,5 N; III.2.9. R = 0,9 N; 199

III.2.10. a. direcţia dreptei pe care sunt situate corpurile, sensul de la A spre B, modulul R = 0,1 N; b. qC′ = 5 ·10- 7 C; III.2.11. direcţia diagonalei ce trece prin vârful în care se află corpul studiat, sensul de la centrul pătratului către corpul studiat, punctul de aplicaţie – corpul studiat, modulul R = 0,955 N; III.2.12. a. V = 0,5 dm3 ; b. V ′ = 0,56 dm3 ; III.3. Circuit electric. Intensitatea curentului electric III.3.1. "0", "0", "1", "0" ; III.3.2. "0", "1", "1", "1"; III.3.3. "0", "0", "0", "1", "1", "0", "1", "0"; III.3.4.

B1 0 1 0 1 III.3.5.

becuri B2 B3 0 1 1 0 0 0 1 1

becuri B1 B2 0 0 1 1 0 0

III.6. a. sensul este de la A la B; b. sensul este de la B la A; III.7. 1 cu 7 şi 2 cu 5; I I 1 III.3.8. a. I0 = max = A/div; b. I1 = max N1 = 3,2 A; N 30 N I III.3.9. N = max N1 = 200 div; I III.3.10. a. I01 = 0,001 A; I02 = 0,005 A; I03 = 0,01A; b. 0,03 A; 0,07 A; 0,125 A; 0,1 A; 0,45 A; 0,96 A; III.3.11. I = q / Δt = 15 A; I Δt = 18·1017 electroni; III.3.12. N = q0 200

III.3.13. I = q / Δt = 100 kA; III.4. Tensiunea electrică. Rezistenţa electrică. Legea lui Ohm U III.4.1. a. 0,3 V/div; b. U1 = max N1 = 10,5 V; N III.4.2. a. U1 = 6 V; b. 15 V; III.4.3. L = Nq0U = 2,4 J; L III.4.4. U = = 1 mV; I Δt L L III.4.5. a. q = = 18 C; b. I = = 0,6 A; U U Δt III.4.6. UBC = 5 V; III.4.7. R = ρ

= 0,85 Ω; S III.4.8. a. U = RI = 93,75Ω; b. ΔI = - 0,3125 A; c. I ′ = 5 A; U III.4.9. R = = 440 Ω; I LΔt III.4.10. R = 2 2 = 0,125 Ω; N q0 III.4.11. I1 = 0,75 I2 ; Iρ III.4.12. S = ; U III.4.13. a. R1 = 50 Ω; R2 = 200 Ω; b. U1′ = 5 V ; U2′ = 20 V ; c. I2 = 0,015 A; III.4.14. a. graficul funcţiei I = f(U) este o dreaptă care trece prin originea sistemului de axe; b. Rm = 11,47 Ω; E III.4.15. a. I = = 0,15 V; b. U = IR = 1,485 V; r +R c. u=Ir = 0,015 V; L R III.4.16. a. E = total = 9 V; b. U = 7,2 V; c. = 0,8; Nq0 R+r E -U III.4.17. a. r = = 1 Ω; b. R = U / I = 5 Ω; I (1 - f )R III.4.18. r = = 1 Ω; E = 12 V; f 201

III.4.19. a. U = E - Ir = 3,6 V; b. R = U / I = 4 Ω; c. ΔI =I ′ - I = - 0,4 A; E III.4.20. a. u = E - IR = 3,75 V; b. r = 1,5 Ω; c. Isc = = 8 A; r III.4.21. a. E = 9 V; b. r = 0,8 Ω; c. R = 2,8 Ω; III.4.22. a. E = 75 V; r = 2,5 Ω; b.

AC / BC = 0,6;

III.5. Energia şi puterea electrică III.5.1. a. I = 0,4 A; b. u = 0,4 V; c. Q = 201,6 J; I Δt ≈ 7·1022 electroni; III.5.2. a. I = 12,5 A; b. N = q0 R III.5.3. a. k = ⇒ R = 2,4 Ω; b. Wsursa = EI Δt ≈ 19938 J; r r Q1 III.5.4. 1 = = 1,2; r2 Q2 III.5.5. W = III.5.6. Wext

E2 Δt = 607,5 J; r = Wsursa (1 - f ) = 170 J;

ηU 2S Δt ≈ 69 m; III.5.7. = mc ΔT ρ mgh III.5.8. η = = 50%; UI Δt P = 2 A; b. U = PR = 50 V; III.5.9. a. I = R U2 III.5.10. R = = 55 Ω; P III.5.11. a crescut de 1,1 ori;

E ± E2 - 4P r ⇒ I1 = 15 A, I2 = 3 A; 2r b. R1 = 0,2 Ω, R2 = 5 Ω;

III.5.12. a. I =

E2 E 2R = 1,9 kW; = 2 kW; b. Pext = r +R (r + R )2 III.5.14. Qp. = P Δt - mc ΔT = 136,8 kJ;

III.5.13. a. Pgen. =

III.5.15. η =

E - Ir = 50%; E 202

E E2 = 12 A; b. Pext = = 72 W; r 4r R E2 c. Psursa = = 144 W; d. η = = 50%; 2r r +R IR III.5.17. a. η = ≈ 58%; b. Pmax ext ≈ 6,4 W; E III.5.16. a. Isc =

Pmax = 10 Ω; E = 2 IR = 80 V; I2 III.5.19. a. Psursa = 1,6 kW; b. Pint = 192 W; c. Pext = 1408 W; d. η = 88%;

III.5.18. r = R =

III.5.20. a. r = R1R2 = 4 Ω; b. E = (r + R1 ) c. η1 =

P = 120 V; R1

R1 R2 ≈ 0,83; η2 = ≈ 0,17; r + R1 r + R2

III.6. Reţele electrice III.6.1. I3 = 0,30 A; III.6.2. I2 = 0,13 A cu sensul de la B la D; I3 = 0,18 A cu sensul de la A la C; I = 0,33 A cu sensul D→G→A; III.6.3. I1 = I2 = 0,15 A; I3 = 0,3 A; III.6.4. I1 = I2 = 0,5 A; I4 = I5 = I6 = I7 = 0,1 A; III.6.5. nod A : I1 + I3 = I2 ; ochiul de reţea I: -E1 -E2 = -I1(r1 + R1 )-I2 (r2 + R2 ); ochiul de reţea II: E2 + E3 = I2 (r2 + R2 ) + I3 (r3 + R3 ); III.6.6. nod A : I1 + I6 = I4 + I5 ; nod B : I4 + I3 = I1; ochiul de reţea I: E6 = I6 (r6 + R6 + R1 ) + I5R5 ; ochiul de reţea II: 0 = I4 r4 -I3R3 -I5R5 ; ochiul de reţea III: E1 = I1(r1 + R2 ) + I4R4 ; III.6.7. I1 = 7,25 A; I2 = 5,875 A;I3 = 1,375 A; III.6.8. I1 ≈ 2,6 A; I2 ≈ - 2,3 A; I = 0,3 A; III.6.9. Rserie = 45 Ω; Rparalel = 1,6 Ω; III.6.10. Rechiv. = 10 Ω; III.6.11. R = 15 Ω; 203

III.6.12. R = 77 Ω; III.6.13. a. I = 2 A; b. R3 = 7,5 Ω; c. U1 = 10 V;U2 = 25 V; (U - U0 )SR = 10 m; U 0ρ I R1R2 III.6.15. s = = 0,16; I p (R1 + R2 )2

III.6.14.

=

III.6.16. R1 = 0,5 R2 = 2 R3 ; U - U0 = 0,6 Ω; 5I0 U U III.6.18. a. Ia = = 0,4 A;Ib = = 0,8 A; 3R 1,5 R b. Pa1 = Ia2R = 0,8 W; Pb1 = 0,25 Ib2R = 0,8 W;

III.6.17. R =

III.6.19. a. I2 =

I1R1 = 1 A; I3 = I1 + I2 = 4 A; b. Uab = U12 + U3 = 27,5 V; R2

5 Ω; 3 III.6.21. a. Rext = 8 Ω; b. I = 4,5 A; c. P = I12R1 = 72 W;

III.6.20. R2 =

Rext = 0,8; Rext + r E - IR3 III.6.22. a. I2 = = 0,25 A; I1 = I - I2 = 1,75 A; R2 E - IR3 ≈ 5,71 Ω; c. P1 = I12R1 = 17,5 W; b. R1 = I1

d. η =

III.6.23. a. I2 =

P2 P1 = 3 A; I1 = = 1 A; I = I1 + I2 = 4 A; R2 U3 + I2R2

b. R1 = 48 Ω; R3 = 6 Ω; Rext = 12 Ω; c. η =

Rext ⇒ r = 3 Ω; d. E = 60 V; r + Rext

III.6.24. n = 4; III.6.25. a. I = 1,8 A; b. P = 3,24 W; c. η = 94%; III.6.26. r = 220 Ω; III.6.27. a. p = 4; s = 5; b. Eechiv. = 7,5 V; rechiv. = 1,25 Ω; c. u = 0,9375 V; 204

III.6.28. a. Eechiv. = 4,5 V; rechiv. = 0,5 Ω; b. I =

Eechiv. = 0,5 A; I1 = I2 = 0,25 A; c. U = IR = 4,25 V; rechiv. + R

Eechiv. = 0,6 A; rechiv. + R c. U1 = E1 - Ir1 = 1,2 V; U2 = E2 - Ir2 = 3,6 V;

III.6.29. a. Eechiv. = 6 V; rechiv. = 2 Ω; b. I =

III.6.30. a. Isursa 1 = 1,8 A; Isursa 2 = 3 A;Irezistor 2 = 1,2 A; b. Ps1 = E1I1 = 8,64 W; c. P2′ - P2 = R2 (Ir′22 - Ir22 ) ≈ - 6,25 W; III.7. Magneţi. Interacţiuni magnetice III.7.1. E; III.7.2. E; III.7.3. a. polul N1 este respins de polul N2 ; ca urmare acul magnetic se roteşte în sensul mişcării acelor de ceasornic până când polul S1 ajunge în apropierea polului N2 ; b. polul S1 este atras de polul N2 ; ca urmare acul magnetic se roteşte în sensul mişcării acelor de ceasornic până când polul S1 ajunge cât mai aproape de N2 ; III.7.4. electromagnet: polul N în partea stângă şi polul S în partea dreaptă; ac magnetic 1: polul N în partea stângă şi polul S în partea dreaptă; III.7.5. a. în stare de repaus, circuitul comandat este închis; dacă se închide întrerupătorul k, electromagnetul E atrage lama L şi circuitul de comandat se deschide; b. în stare de repaus, circuitul comandat 1 -2 este închis şi circuitul comandat 1 – 3 este deschis; dacă se închide întrerupătorul k, electromagnetul E atrage lama L şi circuitul de comandat 1 – 2 se deschide iar circuitul comandat 1 – 3 se închide; c. în stare de repaus, circuitele comandate 1 - 2 şi 1- 3 sunt închise; dacă se închide întrerupătorul k, electromagnetul E atrage lama L şi ambele circuite se vor deschide;

205

Capitolul IV. FENOMENE OPTICE IV.1. Propagarea rectilinie a luminii IV.1.1. Δt = 8 min 20 s; v Δt IV.1.2. n = = 60; R IV.1.3. a. fig.IV.1R; b. A ′B′ / AB =3;

hvt1 hv ; b. u = ; H -h H -h IV.1.5. a. v. fig. a1 ; b. dumbra =10 dm; c. Spenumbra / Sumbra = 9; IV.1.4. a. fig.IV.1R; b. h′ =

IV.1.6. d sursa / d disc = 2; IV.1.7. b. 2,5 cm; IV.1.8. 25 m; S H B h S

A

E Fig.IV.1.4R

Fig.IV.1.3R

IV.2. Reflexia luminii IV.2.2. β = 90 - r = 30 ; IV.2.3. i = 45 ; IV.2.4. a. fig.IV.2.4R; b. r2 = 0 ; IV.2.5. a. fig.IV.2.5R; b. i 2 = 30 ; c. r3 = 60 ;

O2

α Fig.IV.2.4R

O3 i1 O1

O2

O1 α

i1 O2

Fig.IV.2.5R

Fig.IV.2.6R

IV.2.6. a. fig.IV.2.6R; b. i 2 = 30 ; c. β = 60 ; d. γ = 120 ; 206

i1 O1

IV.2.7. fascicul paralel, care are aceeaşi direcţie cu fasciculul incident şi sens contrar acestuia; IV.2.8. a.şi b. fig.IV.2.8R; c. 2 m; d. fascicul divergent, ca şi cum ar proveni de la sursa S′; IV.2.9. a.şi b. fig.IV.2.9R; c. fascicul convergent într-un punct S′, situat la 50 cm faţă de oglindă, în faţa acesteia; IV.2.10. Spata / Soglinda =4; S S′ IV.2.12. a. 1,5 dm/s; b. 3 dm/s; IV.2.13. fig.IV.2.13R; IV.2.14. fig.IV.2.14R;

Fig.IV.2.8R

O

I O

S′

O Fig.IV.2.13R

Fig.IV.2.9R

Fig.IV.2.14R

IV.3. Oglinzi sferice IV.3.1. fig.IV.3.1R, în centrul de curbură, egală cu obiectul, reală şi răsturnată; IV.3.2. fig.IV.3.2R, în spatele oglinzii şi mai departe de oglindă decât obiectul, mai mare decât obiectul, virtuală şi dreaptă; IV.3.3. fig. a1 ex.1, mai departe de oglindă decât obiectul, mai mare decât obiectul, reală şi răsturnată; IV.3.4. fig.IV.3.4R, între centrul de curbură şi focar, mai mică decât obiectul, reală şi răsturnată;

i o iC

F

o

C

F

Fig.IV.3.1R

IV.3.5. p′ =

C

o

F

i

Fig.IV.3.2R

Rp = 1,5 m; 2p - R 207

Fig.IV.3.4R

IV.3.6. p′ =

Rp = -10 cm; 2p - R

IV.3.7. d = p + p ' = p +

pf = 105 cm; p−f

p′f = 3 m; p′ - f p′ f IV.3.9. β = - = = 4; p p-f IV.3.10. R = - 75 cm; IV.3.8. p =

IV.4. Refracţia luminii IV.4.1. apa; IV.4.2. diamant, sulfura de carbon, sticla şi ulei, tetraclorură de carbon, apă, gheaţă, aer; n IV.4.3. n21 = diamant ≈ 1,5; nulei IV.4.4. mediul 2; IV.4.5. a. i = 40 ; b. r = 30 ; c. i ′ = 40 ; d. fig.IV.5.R; IV.4.6. a. r = 30 ; b. fig.IV.4.6R; c. β = 60 ; IV.4.7. a. i 2 = 30 ; b. iL = 60 ; c. r = 45 ; d. fig.IV.4.7R; e. β = 0 ;

Fig.IV.4.5R

Fig.IV.4.6R

i1 Fig.IV.4.7R

IV.4.8. fig.IV.4.8R IV.4.9. fig.IV.4.9R; în ambele cazuri, lumina intră în semisferă prin suprafaţa plană, pe care este perpendiculară, deci nu-şi schimbă direcţia de propagare; la ieşirea din semisferă în aer, raza de lumină se depărtează de normală deoarece aerul este mai puţin dens din punct de vedere optic decât semisfera; la ieşirea din semisferă în ulei, raza de lumină se apropie de normală deoarece indicele de 208

refracţie al uleiului este mai mare decât al materialului din care este confecţionată semisfera;

a.

I1 O

I2

I2

I1 aer

a.

b.

Fig.IV.4.8R

O

Fig.IV.4.9R

ulei

b.

sin iˆ ≈ 1,73; sin rˆ n sin iˆ ≈ 0,50 ⇒ r = 30 ; α = iˆ + rˆ = 50 ; IV.4.11. sin rˆ = d. ns.c IV.4.10. nlichid = naer

ns.c. sin90 ≈ 0,67 ⇒ i = 42 ; nd. n 3 IV.4.13. sin ˆ = aer = = 0,75 ⇒ ˆ ≈ 49 ; napa 4 sin iˆ IV.4.14. naer sin iˆ = napa sin rˆ ⇒ sin rˆ = ≈ 0,62 ⇒ rˆ ≈ 37 ; rˆ = iˆ ' şi napa iˆ < ˆ , va ieşi din apă; IV.4.12. sin i =

n2 sin rˆ 3 = ⇒ iˆ = 60 ; b. fig.IV.4.15R; n1 2 n sin rˆ 1 = ⇒ iˆ = 30 ; IV.4.16. a. nsf. sin iˆ = naer sin rˆ ⇒ sin iˆ = aer nsf. 2 IV.4.15. a. sin iˆ =

b. fig.IV.4.16R; c. α = 30 ; 209

IV.4.17. a. rˆ1 = 60 ; b. pe suprafaţa (2) are loc reflexia totală; c. D = 2d tg60 ≈ 34,6 cm; IV.4.18. a. rˆ1 = 45 ; b. iˆ2 = 45 ; c. rˆ2 = 60 ; IV.4.19. a. ≈ 42 ; b. iˆ = 45 ; c. fig.IV.4.19R 2

n2 S

A

n1

A

S

B

O

C Fig.IV.4.19R

Fig.IV.4.16R

Fig.IV.4.15R

B

IV.5. Lentile IV.5.1. fig.IV.5.1R; imagine reală, răsturnată, egală cu obiectul şi situată la dublul distanţei focale; p > 0 şi p′ >; IV.5.2. fig.IV.5.2R, imagine reală, răsturnată, mai mică decât obiectul; B

B A

Fi

A′

Fo

A

O

Fo

O

Fi

Fi A′

B′

B′

Fig.IV.5.2R

Fig.IV.5.1R

O

Fo

Fig.IV.5.3R

IV.5.3. fig.IV.5.3R, imaginea se formează la infinit; f > 0; IV.5.4. mărimea imaginii creşte; imaginea se îndepărtează de lentilă; IV.5.5. a. fig.IV.5.5R, imagine reală, răsturnată mai mare decât obiectul; b. C = 1/ f = 10 δ; c. p′ = 30 cm; IV.5.6. p′ < 0; f = 30 cm; IV.5.7. p = 100 cm; / ′ = 4; IV.5.8. v.fig. a1 pag. 179, imaginea se formează între focar şi lentilă; f < 0; IV.5.9. fig.IV.5.9R, imagine virtuală, B dreaptă şi mai mică decât obiectul; B′

B A

Fi Fo

A′

Fo

O Fig.IV.5.5R

B′

A A′ O

Fig.IV.5.9R

210

Fi

IV.5.10. v. fig. a1 pag 179; imaginiIe sunt: virtuale, dreapte, mai mici decât obiectul şi situate între focarul imagine şi lentilă; pe măsură ce distanţa dintre obiect şi lentilă scade, mărimea imaginii creşte, dar nu o depăşeşte în nici una dintre situaţiile date pe cea a obiectului; IV.5.11. p > 0, p′ < 0, f < 0; f = - 25 cm; IV.5.12. a. C = 1/ f ≈ -1,67 δ; b. p = 30 cm; IV.5.13. a. p = 40 cm; b. C = 1/ f = 3,125 δ; IV.5.14. f = - 30 cm; IV.5.15. fig.IV.5.15R;

L1

B

Fi1 A

L2

a

Fi2

Fo1

Fo2 Fig.IV.5.15R

IV.5.16. a. p1′ = 60 cm; b. p2 = 20 cm; c. p2′ = - 60 cm; IV. 6. Aplicaţii ale lentilelor 1 IV.6.1. C = ≈ 66,7 δ; dc-r H IV.6.2. h = dc-r = 0,9 mm; p pdc-r ≈ 14,8 mm; IV.6.3. f = p + dc-r d d IV.6.4. f = min c-r ≈ 14,15 mm; dmin + dc-r x ≈ -7,4 δ ; IV.6.5. C = dc-r ( dc-r - x ) Dmindc-r ≈ 13 mm; b. f = - Dmax = -1 m; Dmin + dc-r 1 c. C = = -1 δ; Dmax

IV.6.6. a. f =

211

IV.6.7. a. 0 < p < 2 cm; b. p =

p′f ≈ 1,84 cm, cu p′ = -23 cm; p′ - f

5 p - 20 > 1, primul aparat 4 20 p 2 IV.6.9. p = 100 cm; IV.6.10. f = 3/7 m; ′ IV.6.11. = 15;

IV.6.8.

1

=

IV.6.12. f ≈ 0,2 m.

212

Compendiu de matematică C1. Relaţia dintre metru (m) şi o parte dintre multiplii şi submultiplii acestuia 1 km 10 3 1 hm 10 2 1 dam 10 1 m este egal cu

10 dm 10 2 cm 10 3 mm

C2 . Perimetrul • perimetrul figurilor formate din segmente de dreaptă este egal cu suma lungimilor acestor segmente; L

b a

L ppatrat = 4

pdreptunghi = 2( + L ) b

B

c A

ptriunghi

pparalelogram = 2(a + b )

a

b = a+ b+c

c

a C

ptrapez

B = a+ b+ c+B

O

cerc

r

= 2πr

Lungimea unui cerc • lungimea a unui cerc de rază r este egală cu 2π înmulţit cu r, adică = 2π r , unde cu π(pi) este notat un număr a cărei valoare aproximativă este π ≈ 3,14; 213

C3 . Relaţia dintre metrul pătrat ( m 2 ) şi o parte dintre multiplii şi submultiplii săi 1 km 2 10 6 1 hm 2 10 4 1 dam 2 10 2 1

m2

este egal

10 2 dm 2 10 4 cm 2 10 6 mm 2

C4 . Ariile unor suprafeţe L

b a

Spatrat =

2

Sdreptunghi = ·L

a

h

b

Striunghi

Sparalelogram = b·h

b

B

A

h

h

C

b·h = 2

Strapez

c

B (b + B )h = 2

r

Scerc = π r 2 1 km 3 10 9 1 hm 3 10 6 1 3 3 dam 10

C5 . Relaţia dintre metrul cub

( m3 ) şi o parte dintre multiplii şi submultiplii acestuia

O

1

m3

este egal

10 3 dm3 10 6 cm3 10 9 mm 3

214

C6 . Volumul unor corpuri

L Vcub =

3

r

h

h

Sbaza

Vparalelipiped = Lh

Vcilindru = Sbaza h

Vsfera =

4 3 πr 3

C7 . Relaţia dintre secundă (s) şi o parte dintre submultiplii acesteia 10 3 ms (milisecunde) 10 6 μs (microsecunde)

1 s este egală

10 9 ns (nanosecunde)

C8 Relaţia dintre kilogram (kg) şi o parte dintre submultiplii acestuia 10 hg 10 2 dag 10 3 g 1 kg este egal

10 4 dg 10 5 cg 10 6 mg

C9 Relaţia dintre newton (N) şi o parte dintre multiplii şi submultiplii săi

1 N este egal cu

1 MN 10 6 1 kN 10 3 1 hN 10 2 1 daN 10 10 dN

10 2 cN

215

10 3 mN

Funcţii trigonometrice În figura alăturată, este desenat un triunghi dreptunghic ABC, cu unghiul drept în A; notaţii • pentru unghiuri: o o

B ipotenuza cateta opusă unghiului Cˆ

c A

a b

C

cateta alăturată unghiului Cˆ

ˆ ∠CAB cu A; ˆ ∠ABC cu B;

ˆ o ∠BCA cu C; • pentru lungimile laturilor: o lungimea laturii opuse unghiului Aˆ cu a; o lungimea laturii opuse unghiului Bˆ cu b; o lungimea laturii opuse unghiului Cˆ cu c; denumiri • laturile AB şi AC se numesc catete, iar latura BC se numeşte ipotenuză • pentru laturile care delimitează unghiul Cˆ : o cateta AC se numeşte catetă alăturată o cateta AB – catetă opusă; Cosinusul unui unghi ascuţit • definiţie: cosinusul unui unghi ascuţit este egal cu raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului şi lungimea ipotenuzei • formula de definiţie b cos Cˆ = C10 a Sinusul unui unghi ascuţit • definiţie: sinusul unui unghi ascuţit este egal cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului şi lungimea ipotenuzei • formula de definiţie c sin Cˆ = C11 a Tangenta unui unghi ascuţit • definiţie: tangenta unui unghi ascuţit este egală cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului şi lungimea catetei alăturate acestuia 216

•

formula de definiţie

c tg Cˆ = C12 b Cotangenta unui unghi ascuţit • definiţie: cotangenta unui unghi ascuţit este egală cu raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului şi lungimea catetei opuse acestuia • formula de definiţie b ctg Cˆ = C13 c Pentru un unghi oarecare α este valabilă relaţia C14 sin2 α +cos2 α = 1 precizări: au fost alcătuite tabele cu valori aproximative ale funcţiilor trigonometrice; cos 00 = 1 = - cos 1800 • în tabelul alăturat sunt trecute va3 lorile funcţiei cosinus pentru un- cos 300 = = - cos 1500 2 ghiuri mai importante, necesare rezolvării problemelor de la tema 2 cos 450 = = - cos 1350 I.8 Forţa; 2 • în Tabelul 7 de la pag. 222 sunt 1 0 = - cos 1200 găsesc valorile sinusului şi ale cos 60 = 2 tangentei pentru unghiurile 0÷900; cos 900 = 0 Teorema lui Pitagora • enunţ: într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei, c 2 = b2 + a2

C15

pentru triunghiul ACB din figura a1; • aplicarea teoremei lui Pitagora pentru aflarea modulului rezultantei a două forţe concurente, F1 şi F2 , ce formează între ele unghiul α (fig. a 2 ): B

A

B

R

C

F2

c

a b

a1

A

O

R F2

α

O

F1 a2

α F1 a3

217

C

α D

o din vârful rezultantei se construieşte perpendiculara pe suportul forţei F1 (fig. a3 ), punctul de intersecţie al perpendicularei cu suportul forţei a fost notat cu D; astfel au fost obţinute două triunghiuri dreptunghice OBD şi CBD; o se aplică teorema lui Pitagora pentru triunghiul OBD, în care OB = R : 2

2

2

OB = OD + BD o se exprimă segmentele BD şi OD în funcţie de modulele forţelor

şi unghiul α: o în ΔCBD: sin α =

BD CB

⇒ BD = CB sin α pentru că CB = F2 , rezultă că

(2) (3)

BD = F2 sin α;

o OD = OC + CD şi OC = F1; o în ΔCBD: cos α =

CD CB

⇒CD = CB cos α ⇒CD = F2 cos α;

(4)

o din (3) şi (4) se obţine: OD = F1 + F2 cos α; (5) o se înlocuiesc (2) şi (5) în (1) şi se ţine cont de relaţia C14 : R 2 = (F1 + F2 cos α )2 + (F2 sin α )2 ⇒R 2 = F12 + 2F2F1 cos α + F22 cos 2 α + F22 sin2 α ⇒ R 2 = F12 + F22 + 2F1F2 cos α R = F12 + F22 + 2F1F2 cos α

⇒

C16

Soluţiile ecuaţiei de gradul al II-lea Se consideră ecuaţia de gradul al doilea, forma generală, ax 2 + bx + c = 0, în care a, b şi c sunt constante pentru o ecuaţie dată. Soluţiile acestei ecuaţii se află folosind relaţia de mai jos: x1,2 =

- b ± b 2 - 4ac 2a

218

C17

ANEXE Tabelul 1 Densităţile unor substanţe la temperatura camerei solide lichide şi gaze substanţa (kg/m3) substanţa (kg/m3) 790 aluminiu 2 700 alcool 0 argint 10 500 apă (4 C) 1 000 aur 19 300 apă de mare 1 030 cupru 8 900 benzină 700 fier 7 800 glicerină 1 260 fontă 7 000÷7100 mercur 13 600 0 gheaţă (0 C) 900 petrol 800 lemn 500÷800 ulei 900 marmură 2 700 aer 1,293 magneziu 1 738 hidrogen 0,089 nichel 8 800 heliu 0,1785 platină 21 500 metan 0,7165 plumb 11 300 oxigen 1,429 plută 200÷250 porţelan 2 300 sticlă 2 500 staniu 7 280 zinc 7 100 Tabelul 2 Căldurile specifice ale unor substanţe substanţa c (J/kg·grad) substanţa aluminiu 910 alcool argint 250 apă cupru 380 benzină fier 460 glicerină ulei mineral gheaţă 2 090 nichel 460 platină 128 plumb 120 zinc 400 naftalină 1 300 219

c (J/kg·grad) 2 430 4 185 2 140 2 410 2 093

Tabelul 3 Puterea calorică a unor combustibili combustibilul q (MJ/kg) combustibilul benzină 46 lemn uscat alcool 27 turbă petrol 46 huilă păcură 42 cocs motorina 46 gaz natural

q (MJ/kg) 8,3÷10 15 29,8 30,3 35,5 (MJ/m3N)

Tabelul 4 a. Căldurile latente de vaporizare la temperatura de fierbere temperatura de substanţa λv (×105 J/kg) fierbere (K) 329,2 5,2 acetonă 81 aer 2,1 alcool etilic 351 8,57 amoniac 239,6 13,7 apă 373 22,6 benzină 423 3 629,58 glicerină 2,72 mercur 530 2,85 b. Căldurile latente de topire la temperatura de topire temperatura de topire substanţa λt (× 104 J/kg) 0 ( C)

aluminiu apă argint aur cupru fier naftalină plumb sulf wolfram zinc

659 0 960 1064 1083 1530 80 327 112,8 3410 419

38 33,5 8,8 6,6 18 27 15,1 2,5 5,5 2,6 11,8

220

Tabelul 5 Rezistivităţile unor substanţe substanţa ρ (× 10-8 Ωm) substanţa

aluminiu apă argint constantan cupru

2,8 1 1,6 48 1,7

fier - nichel nichel - crom nichelină oţel wolfram

ρ (× 10-8 Ωm) 80 100 42 12 5,5

Tabelul 6 Indicii de refracţie absoluţi ai unor substanţe

substanţa aer apă diamant gheaţă

indicele de refracţie 1 1,33 2,42 1,31

substanţa sticlă sulfură de carbon ulei tetraclorură de carbon

221

indicele de refracţie 1,6 1,63 1,6 1,46

Tabelul 7 Valorile sinusului şi ale tangentei pentru unghiurile 0÷900 α(0) sin α tg α tg α α(0) sin α α(0) sin α 0 0,0000 0,0000 1 0,0175 0,0175 31 0,5150 0,6009 61 0,8746 2 0,0349 0,0349 32 0,5299 0,6249 62 0,8829 3 0,0523 0,0524 33 0,5446 0,6494 63 0,8910 4 0,0698 0,0699 34 0,5592 0,6745 64 0,8988 5 0,0872 0,0875 35 0,5736 0,7002 65 0,9063 6 0,1045 0,1051 36 0,5878 0,7265 66 0,9135 7 0,1219 0,1228 37 0,6018 0,7536 67 0,9205 8 0,1392 0,1405 38 0,6157 0,7813 68 0,9272 9 0,1564 0,1584 39 0,6293 0,8098 69 0,9336 10 0,1736 0,1763 40 0,6428 0,8391 70 0,9397 11 0,1908 0,1944 41 0,6561 0,8693 71 0,9455 12 0,2079 0,2126 42 0,6691 0,9004 72 0,9511 13 0,2250 0,2309 43 0,6820 0,9325 73 0,9563 14 0,2419 0,2493 44 0,6947 0,9657 74 0,9613 15 0,2588 0,2679 45 0,7071 1,0000 75 0,9659 16 0,2756 0,2867 46 0,7193 1,036 76 0,9703 17 0,2924 0,3057 47 0,7314 1,072 77 0,9744 18 0,3090 0,3249 48 0,7431 1,111 78 0,9781 19 0,3256 0,3443 49 0,7547 1,150 79 0,9816 20 0,3420 0,3640 50 0,7660 1,192 80 0,9848 21 0,3584 0,3839 51 0,7771 1,235 81 0,9877 22 0,3746 0,4040 52 0,7880 1,280 82 0,9903 23 0,3907 0,4245 53 0,7986 1,327 83 0,9925 24 0,4067 0,4452 54 0,8090 1,376 84 0,9945 25 0,4226 0,4663 55 0,8192 1,428 85 0,9962 26 0,4384 0,4877 56 0,8290 1,483 86 0,9976 27 0,4540 0,5095 57 0,8387 1,540 87 0,9986 28 0,4695 0,5317 58 0,8480 1,600 88 0,9994 29 0,4848 0,5543 59 0,8572 1,664 89 0,9998 30 0,5000 0,5774 60 0,8660 1,732 90 1,0000

222

tg α 1,804 1,881 1,963 2,050 2,145 2,246 2,356 2,475 2,605 2,747 2,904 3,078 3,271 3,487 3,732 4,011 4,331 4,705 5,145 5,671 6,314 7,115 8,144 9,514 11,43 14,30 19,08 28,64 57,29 ∞

Bibliografie selectivă

1. Atanasiu, M. Drobotă, V., Fizica pentru admitere în facultate, vol. I şi II, Bucureşti, Editura Albatros, 1974. 2. Brenneke, R., Schuster, G., Fizica. vol. I, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1975. 3. Cozel, S. M., Sbornik zadaci po fizike, Moskva, Izdatelstvo "Nauka", 1983. 4. Fizica. P.S.S.C. Textul elevului, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1975. 5. Goldfarb, N. I., Sbornik voprosov po fizike, Moskva, Izdatelstvo "Vîsşaia şkola", 1982. 6. Gurskii, I. P., Elementarnaia fizika s primeramai reşeniia zadaci, Moskva, Izdatelstvo "Nauka", 1989. 7. Holliday, D., Resnick, R., Fizică. vol I., Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1975. 8. Kaşina, S. I., Sezonov, Iu. U., Sbornik zadaci po fizike, Moskva, Izdatelstvo "Visşaia şkola", 1983. 9. Kvant, 1984 - 1990. 10. Meledin, G. V., Fizika v zadaciah, Moskva, Izdatelstvo "Nauka", 1989. 11. Moisil, G., Moisil, I., Iacob, O., Păunescu, C., Gavriliţă, I., Indrumătorul profesorului pentru predarea fizicii în gimnaziu, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1978. 12. Revista de fizică şi chimie, 1975 - 1989. 13. Rîmkevici, A. P., Sbornik zadaci po fizike, Moskva, Izdatelstvo "Prosveşcenie", 1990. 14. Savcenko, O. Ia., Zadaci po fizike, Moskva, Izdatelstvo "Nauka", 1988. 15. Übungen zür Physik, Leipzig, 1981. 16. Wolkenstein, V. S., Sbornik zadaci po obşcei fizike, Moskva, Izdatelstvo "Nauka", 1985.

223

Cuprins

Capitolul I .......................................................................................... 5 FENOMENE MECANICE .................................................................. 5 I.1. Măsurarea lungimilor ............................................................... 5 I.2. Măsurarea ariilor ...................................................................... 8 I.3. Măsurarea volumelor ............................................................. 12 I.4. Măsurarea duratelor .............................................................. 16 I.5. Măsurarea masei ................................................................... 18 I.6. Densitatea.............................................................................. 19 I.7. Mişcare rectilinie uniformă ..................................................... 23 I.8. Forţa ...................................................................................... 29 I.9. Greutatea............................................................................... 38 I.10. Deformarea elastică. Forţa elastică ..................................... 41 I.11. Forţa de frecare ................................................................... 48 I.12. Echilibrul mecanic al corpurilor ............................................ 53 I.13. Lucrul mecanic..................................................................... 65 I.14. Energia mecanică. Conservarea energiei mecanice............ 72 I.15. Echilibrul mecanic al fluidelor............................................... 81 Capitolul II ....................................................................................... 94 FENOMENE TERMICE................................................................... 94 II.1. Temperatura. Încălzire, răcire ............................................... 94 II.3. Modificarea stării termice prin schimb de căldură şi lucru mecanic ....................................................................................... 98 II.4. Combustibili. Instalaţii de încălzire. Motoare termice .......... 108 II.5. Schimbarea stării de agregare............................................ 110 Capitolul III .................................................................................... 117 FENOMENE ELECTROMAGNETICE........................................... 117 III.1. Electrizarea corpurilor ........................................................ 117 III.2. Interacţiunea corpurilor electrizate..................................... 121 III.3. Circuit electric. Intensitatea curentului electric ................... 125 III.4. Tensiunea electrică. Rezistenţa electrică. Legea lui Ohm . 129 III.5. Energia şi puterea electrică ............................................... 136 III.6. Reţele electrice .................................................................. 143 III.7. Magneţi. Interacţiuni magnetice ......................................... 152 Capitolul IV .................................................................................... 155 FENOMENE OPTICE.................................................................... 155 IV.1. Propagarea rectilinie a luminii ........................................... 155 IV.2. Reflexia luminii .................................................................. 157 IV.3. Oglinzi sferice.................................................................... 161 IV.4. Refracţia luminii................................................................. 167 224

IV.5. Lentile................................................................................ 174 IV.6. Aplicaţii ale lentilelor .......................................................... 182 RĂSPUNSURI............................................................................... 186 Compendiu de matematică ........................................................... 213 ANEXE .......................................................................................... 219

225