Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa [PDF]

Zitiervorschau

,. '

--_..­

'P

Prof. dr. Gheorghe Opri~an r Lect dr. Antonela Toma As:­drd:"Cristhla Anton ~

u -, ~ "

1·

~~ ;..

.• _

.'. , . ...

!~ . . . ...\... "

. h ): . .

jJ'~

\.

.1lJ...

".L.JL......'_.~~ ;.l.3 · V ..... ' J

, -f ·:}~tiq

[)

.':.

EXERCITII DE ANALIZA , REALA SI COMPLExA

EDITURA PRINTECH BUCURESTI 2005

Copyright © Printech, 2005 Editura acreditataC.N.C.S.I.S. '.

...!.

. Descriefe'~t'bP'!a" Bibliot~~ii 'Nafional~ ~ .. Romaniei

Cuprins

."

:I

Gheorghe OPRI~AN

Exercitii de analiza reaHi Gheorghe

~i

complexii -

Opri~an,

Antonela Toma, Crjstina Anton Bucure~ti: Printech,?-Q.oj=~~·~:,,,,\·~: .

p.;cm.

Bibliogr.

ISBN 973-718-33 1-2

Prefa~a

~

ENUNTURl

1

1

~iruri ~i

3

Universitatea "Politehnica" din Bucure~ti,

Departamentul de matematici, Catedra de matematici II,

Spl. Independentei 313, sector 6, Bucure~ti,

e-mail: [email protected] 2

1

I

I I

I

TIPAR:

Editura PRINTECH (S.c. ANDOR TIPO S.R.L.)

Str.TUNARl m.ll , sector 2 • BUCURESTr

TelfFax: 211.37.12

3

4

© Copyright 2005

Toate drepturile prezentei editii sunt rezervate editurii si

autorului. Niei 0 parte din aeeasta luerare nu poate fi

reprodusa, stoeata sau transmisa indiferent prin ee forma, lara

aeordul prealabil sens al autorului .

-,

,. L' V ' .

I

L)

~

.:-~p-~ ",

serii

1.1

$iruri numeriee

1.2

Serii numeriee .

1.3

$iruri

~i

3

5

8

scrii de fUlletii .

1.4

Dezvoltari III serie. Dezvoltiiri limitate..

12

1.5

Serii Fourier. . . . . . . . . .

14

Funetii de mai multe variabile

17

2.1

Limite.Continuitate.

17

2.2

Spa~ii

20

Calcul

metriee .

diferen~ial

23

3.1

Diferen~iabilitate.Derivatc

3.2

Extreme. FtIIlctii implieite .

partiale.

23

25

31

Integrala 4.1

Primitive.lntegrale Riemann.

31

4.2

Teoria masurii.lntegrala Lebesgue.

33

4.3

Integrale improprii. ..

35

4.4

Integrate eu parametru .

37

4.5

Integrale euleriene

38

4.6

Integrale eurbilinii

39

4.7

Iutegrale multiple.Teoria campului

43

III

4 ·,

CUPJUNS

4.8 4.9

50

Integrale de suprafa~a

52

Formule integrale

Analiza complex8. 5.1 Fu.nc~ii olomorfe. Rela~iile Cauchy-Riemann

5.2 I

6

Dezvoltari In serie. Reziduuri . . . . . . . . ~~-fl !: . ~~~ff~~::~~

Transformata Laplace

55 55

59 Aceasta

65

-.

Prefata colec~ie

de

exerci~ii

acopera cerintele cursului de Analiza.

matematica care cSte predat studentilor din anul I al universitatilor tehnice. In pllll3 lucrarea contine doua capitole referitoare la teoria

func~iilor

de

0

variabiIa. complexa ::Ii la transformarea Laplace. Aceste elemente sunt nece­

II

69

IND1CATII SI RASPUNSURl

sare pentru abordarea unor integraie folosind teorema reziduurilor, precum §i pentru rezolvarea anumitor tipuri de ecuatii

diferen~iale

lii integrale.

La problemele propuse nu s-au dat solutii ample ci doar indicatii §i

L)

raspunsnri suficiente pentru cititorul care a parcurs elementele teoretice de baza ale cursului de Analiza matematica. In acest feI rezolvitorul va capata abiliUiti in aplicarea teoriei, element esential pentru

Inva~amantul

tehnic.

Selectarea acestor probleme reprezinta rezultatlll anilor de experienta didactica. a autorilor la

faculta~ile

de Electronica §i

Thlecomunica~ii

§i

Automatica §i Calculatoare. Lucrarea este utila atat studen~ilor, cat §i cadrelor didactice din InvatiiIl.lantlll superior telmic sau cercetatorilor care doresc sa-§i amintea. 0, este convergent §i are lirnita x > 0,

Xn

atunci lim

\fX1X2··· Xn

= x.

71-+00

. ul ( an, n E IN') , a" > 0, 1"4 F ·Ie :jlr

. ,eXlsta . " I·1m -a ,,+l propnetatea ca - = a. n-+oo an Atunci :jiml bn = yta,;", n E N*, este convergent §i are Iimita a.

1.5. Sa. sc calculer.e limita

~j rului

eu termenul general:

3·5·7···(2n-1) , ( ) ,n EIN. 2·4·6 · ·· 2n

l.an

=

2. an

= 3 . 9 . 13· . . ( 4n ) + 1'

3. an

= n( y'a -

3·7· 11 . . . (4n - 1)

.. n E 1'\ .

1), n 2 2, (a> 0).

1

J

1

2

3 In n

n

1+-+-+·· ·+ ­ 4. an =

5.

an

CII

= In ( 1 -

'

n>2

_.

;2) + In (1 - ;2) + ... + III (1 - ~2 ), 3

n 2 2.

CAP1TOJ,UL 1. $IRURI $1 SERII

4

6. an = In (I\ __ 1_ ) 1+2

+ In (1 _

1 ) + ... 1+2+3

-I-

In (1 -

1 ), 1+2+·· ·+ n

n;::: 2.

1.11. Folosind criteriul general al lui Cauchy sa se demonslreze cil. ~irurilc

urmatoare sunt convergenle:

= In .' n;::: 1,

.­

X> O.

111 I

I~

II

1.7. Sa se arate

ca §irul cu an

:,'

l'

.'

22 + 32 + . .. + n 2' n ;::: 1;

termenul general

= 1+

1 1 1 -2+3 - + .. . + -n - In n ,n>, 1

cos a cos 2a cos na ~+26+'" +~,

n;::: 1,

aEJR;

este converge.n t (Iimita acestui ~ir este un numar irational c = 0, 577216 ... numit constanta lui Euler)f ') 1.8. Sa se arate ca urmatoar 0, k

E IN; 6. Xn

== sin(r.Jn2 + I), n ;::: 0;

1.10. Pentru ~irurile

=

(Xn)

8.

=

\In! n.

n\/~+ I)!'

1 -In(2n n

5.

Xn

7. Xn

1

Xn

1;

+ xn),

=L

k=O

sin(k + 1) n > O. (k + l)(k + 2)· .. (k + 100)' -

n> 1, ­ X> 0;

n

1, a, b > O.

Serii numerice

1.2

sa se determine inf In, Sup xn, lim sup Xn, lim inf X n · n -too n-t OO 2. In.

(2 + ~). n;:::

1;

= 1 + 2 (_1)"+1 + 3 (- 1) n(n2-1 ). , n ;:::

=

6.

= L(-I)k-l , n;::: k k= !

n

n>I' - ,

= an ."-1 . + bn. +1' n;:::

1 1. Xn = 1 ­ -, n ;::: 1; n

3. Xn == (-It-

Xn

(n + I)! + .,. + (2n)!' n;::: 1, x E 1R.;

an +b

In

5. x2n

Xn+1

=

1

n

1.9. Sii se calculeze JirniteJe urmatoarelor ~ iruri: Xn

hr

k",1

a2)'" (n + an) 3.xn= (1 + atl(2 + 2" ,n;::: I , undeai>0,ata2 ·· ·an = l .

1.

cos

== "o __ 1_ n > l' k! - ,

n2 2m. 1 + n 2 cos -3-'

n;:::

1;

1;

(_ I)fl

= -n­ + n

1+(-l)n ,n;::: 1; n n7i

4. :C"

= 1 + -n -+C1 O S2- ,

6.

. n7i = 1 + n sm 2' n ;::: 1;

8.

In

In

= COS

n

2nIT - - , n> 1. 3 -

1

1.12. Sa se calculeze suwa seriilor: 00

a)

n > 0', -

~ n(n+2); 00

e)

''(In +2­ o

n= 1 ~

g)Lg >1=1

1 2

n -

00

0)

~

(_1),,-1 2n ­ 1

00

c)

;

00

2/n + 1 + Jri); f) "0

n=l

co

3 2;h)Larctg 2 n,,=1 n

1.

+n+

~ln

(1) 1- n 2

00

;

d)

2n-l

~~ ;

3an + 2bn a"bn , a> 1, b> 1; 00

l;i)L n=1

n~

+n _ 1 ( )1 n+ .

1

00

; k)Lardg~3' -3; ,,= 1

. Tl

+ n+

CAPITOLUL 1. $IRURI $1 SERII .

.

1

L \10 , 001; n?2

2.

'"

4. 'o"

. n . 3. 02n-l .

5.

L

n>l

~-

7:

L

6.

v'n3 + 1 '

n1

n2~;

,, ~

'. ~'

_ ."

8.

9' n>l L~' nn+~.

'1 n?l ( n+n

10.

.

12.

)n ,

l)

14 .

L

17.

L

(3n 2 2n /1

21.

+ l)n. +1 '

~ cos ~ . •

1 \

18.

,

L

1

n?l

2 ·1· 6 .. · (2n)

. 2n+ l '

20.

5.

0;

sinn3

L -n3

'

x E lR: -

n

2 .

1.15. Sii se cerccteze convergent a (§i absolut convergenta) mmatoarelor scrii:

SID

2n '

L

1. L(-I)n - 1 (J 1 \ , n nn l)

a>

0;

n? 1

3. L(-I)

()' (a + 1)· · · a + n

a>

1 . 3 . 5 .. . (2n ­ 1)) 2 . , 2·4·6,·, (2n)

L [ L( vn - 1);

n+l

1

2n 2

_

1

2 ' " (_ 1)n-1 ' 0 ' " ' ' ""aElR:

;

n? l

+1

n

:

n(n+ 1) '

n>1

-1;

-

5.

L

(_I)n. n -lnn'

~

l)n+1

v'n3 + 1

;

L ---;:!' n?1 L In12 n cos nrrn + 1 ;

8. L(_ltSin2n. n? 1 n' (_1)n 10. yin ;

L

n? 2

2

11

12 .

L (-n l)n-l , , p E R; +;;­

; L( v'n+1- vn)O in ­ n­ ' -1' 0'2:0: 24. L · n ?l 2n n ~ 1

n ?1

1)2 arcsin ~: 2"-;- 1 '

1

.

L?Z (lnlnnf'

26.

1 .

28.

an

2

11'

tg n 2n ' a> 0; n :

n

13 . L ~ sin!!1': IZ n? 2

.

L (Inlnn)lnn ; 1

L(- 1)",- 12 ncos+ 1a a E IR; a (_1)n) , a E JR; 17. L ;:; +..;n n>1

n ?l

.

In(n + I)! '

-

(2n)!!

.

~:~. '0" (2n + 1)11' ..

32 .

L

n> _ l (0.1

34.

(_I)n.

an

+ o.z ·· ·

L ~ (2n n? 1 n

2

(

+0.n )2 ' aj >' O'

I)!! (2n)!! .

19.

L nVil' n? 2

n2

n?l

2n

n

n?1

P

14. L(_1)n-I~ , a> 0; n.

~;

15.

Llnn.11I(1+1) n ?2

30.

L

n? l

L

n? 1

n

n> l

. n >2

sm 2 -11'

_n . 3n-I'

n7r

SIDT

- cos nn .

9.

4. L(_1)n+l2n+ 1. n ' n? l 3

n~l

.

n> 1

'

6. L( - l)"' -l

n~l

7. L)-

n?l

(_I_)IO(lnn) n2: 2 In n ;

Ipi < 1,0' E lR~~.,

n? l

11'.

22 . L(aretgn) - n;

av'n , a > 0;

L

'

6. Lpn sin nO',

'

n?1

n? 2

n?2

31.

n

n? 1

25. 'o" (n ­

29.

L

o

n?1

27 .

a>

L (2 +n ~)n;

n ?l

n?l

23 .

(

16. ' "

1 . 3 ' 5 .. . (2n-l)

L

n2 1

n

4 . 0 ' " -cos , -2xn-, x E lR: n? 1

n?l

n!

n?l

19.

(n!)z 2n)! '

.

n22

n?1

n?l

La

< 10;

- ,­

n?l

3 ' " cosnx - eos(n + l)x . 0 n ,x E.IR;

"');

n? 1

13. 'o" 2 n n+ 3n ; Z

1

L'~

IOn' Ian I

. 0

n? 1

n21

5

15.

E lR;

2 ' " an

2

(a > 0);

- an. n!

L

' " sin nO' ,' f 1. 0 2n"" a E JR.;

n ?1

n>l

11.

!:

rn+T nl)- lfri , a

n? l

- In(n+2) .

Sa. sc demonstreze ca urmatoarele

serii sunt convcrgcnte;

L Jfi+1; n?l n n+l

"

n>l

7

1.14. Folosind eriteriul general aJ lui Cauchy

1.13. Sii se studielle natura urrnatoarelor serii eu tcrmcni pozitivi:

1.

1.2. SEWI NUMERlCE

16. "'(_I)n 1 nsm -' o vnC' n? 2 n' 18. L( _ 1)"(n,- ' ) n

2

n? l

20.

L n? l

100

sin n sin

fo

~.

'

n '

..

CAPITOLUL 1. $IRURI $1 SERII

8 21.

L

{-It

n~2

23.

~

25.

'. . ,_.,

n

.'

+ 100'

'7

I

~ln n~2 [1 + (-It] nP

'.'

30.

L

36.

L(-lt-n

sin 3n.

1. L

1

I ti I

L

. 2 Sill

n?l

5. L

4. 6.

Si nnsinn2.

n~1

1.3

~. fo ' ncas

n

=-, x x+n

..;nx, x E (1,00); ". '

"

E [1, 00 );

Tn

(x 2n -+ 1)2'

X

E [1,00).

X

2.

L

n

sinncosn

' 2

n

4.

xn L fo' a> 1; n?l a

L (1 + ~r~ n?l g. L ~ Sill!!.,.· n~lxn

7.

L

6.

b)X E [O , I];

[0, 1];

E (0 , 00);

13.

L n(n + l)xn; n?l

xn 8.~--; L 1 + x2n

Xn;

n?l

xn 10. ~ - - n, x ~ 0; L l-x n~l

[x( x + n)]n . n

L,;n;

n?l

n?l

11.

.

L2n' - xn

5.

n~l

n2

n>l

2n,

[o,~], X E

.1

.

+n

L(- lt~· fo

2. I n(x) = xn - xMI, x E [O,IJ;

,

2

3'~2; n

multimile indicate:

x

x

=

n>l

2n

x

. 2 IT + 1) Sill - + nx.n

-4--2' X

n ?l

1.17. Sa se cerceteze convergenta uniforma. a urmatoarelor ~iruri de functii pe

3. In(x) = xn - x

(n 2

xn

~iruri §i serii de funct ii

4. In{x)

=

n~ l

n~l

'

1.ln(x)=xn ,a)xE

(~

x E (0,1);

1. ~lnn x;

2 . Lsinn ;

n?l

3.

...

x E (0,00);

x

functii :

n3

n?l

Sinn;

.i­

°
2;

28.

~

100

In n. nlT 24 . L t - - - sm - ; n 4. n~2 . "' . :" (_I)n . 26. ,",_,_, p>O;

i

xn 6. In(x) = - - , a) x E [0,1 - el, b) x E [1 - e, 1 + eJ , c) x E [1 1 + xn

n~l

2)-1)n fo . n> _ l '.'

5. In(x)

22. Lsin(lTN+!"); ~

,i,

I

1.3. $JRURI

12.

'

L_l1 n~2 Jnf 1 + a2:1.x~'

L ne-

nx

;

n>l

14 .

a E lRj

L n~l

xn

£

< Ij

CAP1TOLUL 1. SlRURI $1 SERII

10

1.19. Sa se cmceteze convergen~a uniforma a urruatoarclor serii de func~ii pe

1.3. $IRURI $ISERII DE FUNCTII rnul~imea

1.20. Utilizand seriilc de puteri sa. se determine

pentru urmatoarele serii de

de

convcrgen~a

f\ln c~ ii :

multimile indicate: "

, · .to

.'\ -

. \~. .

1.

L n~1

-

xn

xn

2.

2' x E [-1,1); n

4.

· ,_ T.~ X :· ··~

L ..n~l 6. L arctg x

~.,

5.

n~ 1

.-:, "'~..

re

.

\ "/

~7ct)

(,-. 7.

+x L ()( ." x E [0, a]; x+n x+n+ 0

9.

13.

nx

15.

19 .

_n 2 x 2

LT'

21.

x E IR;

26 .

1 -2--2 '

x +n

4.

cos(n+l)x

,xER;

ij(n+l)5+ x 2 X

-

1

;

xn

,,

cosnx n

(2n_1)!(2n_l);

n~1

n

'

n?l

16.

"n + 1 x, L 2

18.

n

n

n.

;

n

14 . "L (a

L(l+~+ ... +~)xn;

n~l

L (1 + -1) _,,2 e­ nx

12.

+

n!x n l)(a + 2) .. . (a

+ n )' a>

0;

(_1)n (x)". L Jn2+1 '3 n?1 n +1 V ')

I

L

n2n yin

(n 2

+ 1)n (x -

3)n;

.

n~1

n? 1

Lx2 e- n x , x E

I

L---;! ;

lU.

2

17.

~

nnxn

,.

+ (_2)n (x + l)n.

n~ l

--2-' x E IR.;

x 2n+1

n~l

13. ,,3" L

l

yn:

r-

1

n~ \

9. ')' ~

15.

~:--,;

8. L(-l

1l.L In(n .~ 1) xn . n~1 n+l '

x ., ,,)xE[O,OO);

L n~l

n~1

E .lR.;

n

n?l

5. "xn. L r' n~l n.

7. L(n - 1)3"- x

L ~(Xn +x- n ) , x E r~, 21 ;

[0,00);

( _ 1)n L --, x E (0, 00); x+n

23. '"""' 0

x E IR;

n ~O

2

2x

x +n

"

A ,

25. 0

x E JR.;

L(1 - x)x'" x E [0,1); n2: 0

;

n>1

1 n

1.21. Sa se calculeze sumele urmatoarelor serii de puteri ~i sa se precizeze

n~l

n~ 1

L

)n

n~l

L. n~ l

2n2+5 ( x 7n2 + 8n + 2 2x + 1

n ~1

... ,



n~l

y,.

n~l

(E > 0);

n~l

IS . ~ sinnx 011 In ,xEIR;

arct.g

n~l

17. 0

X

n~l

L

~

16'L~~ :Cfn4 + . , x E JR.;

24.

" 3. L

n~l

14. 0 5 ')' x E IR; l+nx n>1 n~1

IE,00,

n~l

0x+2

n ~O

x E (0,1);

n+l

11. ~ - 2--2' 0 x +n

n~1

~

L -;-

1

n~l

(-It 12. ~ - - n, x E (-2, (0);

~- [o,£J; . b) x E

-

2

L1 ~_I)nx2 . A' x E JR.;

L

+ 1)'

n>1

n>1

22.

[(n _ I)X: l](nx

(xn _ xn+1), x E [-1,1);

2x 2 " x E 1R; +n

X

20.

L

l

2. L(_ ~'r+l'Xn . ,:

L lOnxn; n~1

n~ 1

n~l

10.

L,' x E (0,00); n.

1.

n~O

3. L(1 - x)xn, x E [0,1);

8.

l

1 (x + n)(x + n X

3

n +X

n~1

.

27'L n~O

+ n( _1)n

n

2

",

+ 1)

' x> 0;

X2n.+ I

x E JR.;

1 2{"xEla,b] ,Un :[a,b)~IR

+U n x

multimea. de convergenta.

1. Lxn;

2.

n?O

3. L(n

+ l)(n + 2)xn;

.

n2: 0

xn

4. ~ n(n+l); n,::l

n?O 2

5. L( -1)"n x"; n ?1

L ---' 2n+ l '

6. L(n + l)(n n?O

+ 2)(n + 3)xn;

13

1.4. DEZVOLTARI iN SERlE. DEZ\iOLTAR1 LIMITATE. C.\/'ITOJ.UL I . .'i1/1U1U .'iI.'i/·:lIlf

J2

2.) -1),,+l

7.

n>1

-

11.

(;t +IT

8.

ll

-

. l)(n, + 2)'

-

3

L

(n+l) "-I. n(n + 2)"-r ,

L 2ft2n+2 +J

1.24. Utilizand dezvoltarile limitate sa se calculeze lUmatoarele limite:

111 + I •

:c

,

,,>1

(-l)"x"

L (n + ,,>0

9.

' :r" f· '

10.

1. lim 1 - cosx 2 "' ......0 x sinx

x-l Jl

L (4n)!i

"' ...... 0

5. lim 1 - cos(1 - cos x)

n;::O

1.22. Folosil}cI serii de pllteri sa se calclllczc slImcle IInniitoarclor scrij de

[)

o

x4.

x(c" - 1)

"' ...... 0

" ...... 0

4n '

1 . 5. L(-l)"1L(1L+ 1)2'"

G. L(-I),,-l n(n + 1). n n~l 3 '

13. lim

(Vx 6 + x 5 - {!x 6 -

8. ll~l L(-l)" 1 (' 2)" (n + l)(n + 2}{n + 3) j ;

15. lim

(~ X

"~l

.

7. L( - l),,11

+1 2H.

I

n ~O

9.

L 1 . :1 . 5· .. (271 -

n~l

1.4

1) ~ _ 2 · 4·6···(2n) 2n '

11.

n~O

10.

L n~l (111 -

x.......,.oo

" ......0

4.

J(x)=1_:r. '

7. f(-r) = In

5. J(x) == (1 _ X)2;

(i+7C

VT-=--? 1

.

10. J(x) == ~:;:-+ x 2 ' 13 . J(.l:) 11l(1

3. J(l:) ==

1

:1'10 .

+:1: + x 2 + x :l) ;

16. J( .-r) = :!w::os(1 - 2.-r);

11.J(x) ==

1+

:r 2; :t - 2x

6.

J(t) ==

Sill:! x;

1; + x2 + cr,·

3)

x4

;

X

12. lim e sinx-x(l+x) x-+o x'l ; x 5 )j

14. "lim..!:. ......0 x

(..!:.x _·t c gx )

16. lim x

+ In(..J1+X2 -

,,-.0

1.26. Folosind formula lui Taylor, ca.lcula~i

." )1 ._ 2x ; 1

.

!J. J(:t) =

1-:" _ :e 2 '

12. J(x) ==

(1 _ ;e2) ) \

1

1+x

10. lim(2+COSX " ......0 x 3 sin x -

ctg 2x) ;

1. sin31°; 2. S.J(x) =

x5

j

x)

x~

= ,,2~iX~I' a = 1, x E JR. = arctgx, a = I, x E lR 3. f(x) = xn + X + 1, a = 1, x E lR. 4. f(x) = ,,2~I' a = I, x E C 5. f(x) = z":2' a = O,X E C 6. J(x) = 1~z2' a = O,X E C 7. J(x) = (Z+I)1(z+2)' a = O,X E C

nl\lltilllca de con\'ergen~a : 2. J(:1:) = cos 2 x ;

.

3

1. f(x) 2. f(x)

1.23. Sa se dezvoltc III serie Mac Laurin urluiHoarcle fUIlC~ii, prcci;:tuIl\u-se

I

.

1.25. Sa. se dezvolte in serie de puteri in jurul punctulu.i indicat:

1 3)( v'3}ln-3·

Dezvoltari in serie. Dezvoltari limitate.

1. f(-r) =c -X-.,

1f) ;

X + 1 arctg --2 - -4 x+

" ......0

}~~(x-X2ln(I+D];

4. L(n+l}{n~2}{n+3) ;

(

. -~ t(tgx -~.§!nx) - x , i

.

XC

3. L(_I)n(H+ 1)(n+2) ,, ~O 3";

" ...... 00

~ - .•

x~

9. lim sin(sinx) -

2. ~ n+ 1. n~O

.

X

6_ lim x ..

7. lim In(1 + x"; x 2)' + 'In(l- x +

-·.-! ~:~~~~:''-rl~ ntc~~~~.~~ ~~,;:'::J~~~_; ..;_ ..- :-i·t·_, .~l*~::"·'.-~~ _:'~!:'~:'~7~>:;'~

L 1 n~O (2n + I)Jl"+I;

" ...... 0

X4

" ......0

1.

. arcsin x - arctg x 4. lIm 3 ;

T

3. lim cos x - e­

,x2,,+1 12.2.:)-1), 2ft + Ii

X3 .

"' ...... 0 z2

"~o

n~1

2. li~ 1 - (cosx)sinx

2

1

. _ x .2 '

14. J(x)

== 11l(,,; + )1 +- X2);

I!). J(x) == (1

17. J( :t)

== an:t.g :l: ;

2 - 2.[ 18. J( :e) == aretg 1 + h ·

v'i02;

Cll

3 zecimale exacte

3.ln(e5 +1) ; 4. 2,1 2,1; 5. Inl , 02; 6.103; 7. In16.

1.27. Sa se dezvolte in serie de puteri , precizandu-se domeniul de C~l~a.:

+- x ) 111(1 +z;) ; l. J(x)

= In(l +x2);

L C

3. f(x) =

5. f(x)

e-

t2

= -Yl + x

;

2. f(x)

= ('"

4. f(x)

=

Jo

1" o

sin t d" t

.,

arctg t dt·

t

'

"p

1.5

(;.\I'IH)/,(j/, I , Sill/Jill .51 SEWI

Serii Fourier

1.5. SERII FOURIER 1.33. Sa. sc

1.28 . Sa se dcz voltc ill selic Fuurier, pe inlervalill (-7T, 7T), lIrllJa toti lllltc 00 1 00 1 1 00 sit se c,,'cnlcze slllllele ser iilor: ' ---:-, ' (·_ 1),,-1 _ __ , , - ____-;. , G "l 0 ,,2 0 (2n _ 1)2 n= 1

u=1

u:.:;(

.

I

,I',"

.,

-= : . . -'

'r

C' -

I:

Capitolu12

Functii de mai_ multe ... variabile ~'~~.~~ .- ~

2.1

~ 1\ ,

\' /

I '

h ~

Ij

P! I :

'f .

"'- -

~~:.

Limite.Continuitate.

2.1. Sa sc calculeze urUlatoarcl c limite: 2X2 - 3x - 4.

· (x + 2)2 1. hm 2 X-400 X +1 ;

2. x~oo lim

· {;'x2+1-1 3. hm ;

4. 3:-400 lim

X

.

·

(5x

7. lim

x-

X-43

i\

r

13

x~~

r

15 .

x~

1\

3:-40

16 . h

2

(

ax

e

-e

19. lim - - - - - - : X-40 sinax - sinbx ' 2

x-4oo

21. lim In(x + eX) , 3x 4 3:-40 In(x + e )'

20.

(

1 sin X.

L\X - .

+ co~:~ ~

. ( CaL +2 ebZ )' ; hm X-40

22. lim

3:-40

17

'

r arctg3x. x~ sinh'

18. lim

bx

v'1= sin x .

."C

+3

+ x + 2)-;+l x2 + 1

x;

(x + Vi - Tl) ;

' v'f+Sin x 14 . \1m ;

2 X-400

­

J x 2 + 5x + 6 -

3:-400

x - sin 4x . X + sin6x' x

X

12. lim

cos ax - cos bx

17. lim

. JX-1

8. hm - 2--1; x-4OC

x2

r;;:;

8 + xvx

10. lim

.vx + a- Vi;

x-4 00

x2

X-400

3:-41

27

X -

.

1\

;

9.lim~; X-427 VX - 3

11. lim

I(

9

2

x3 _

6. lim

x-400

'

+ 2x + 4. 8x + 5 '

2X2

+1 + 1)2(2x -

t

3.14. Sa se calculeze g~ ~i daca z = z(~ ,'y) este definita implicit de eCllatia z + F(x,y ,z) = 0 unde F E COO (JR.3) . . .

xy - XZj

3.15. Dacl z = z (x, y) este definita implicit de ecuatia 2x2 + 2y2 + z 2 - 8xz­

z + 8 = O,sa se calcuieze dz, d 2 z pentru x

,Jl+x2+y2

3.9. Sa se determine puncteJe de extrem eondi~ionat,eu legaturile indicate:

I(x,y) = xy ,cu legatura g(x,y) = x + Y ­ 1 = 0;

2. f(x,y) = x 2 + y2, cu legatura g(x,y) = ~ + ~ - 1 = OJ

~ ( \ 1 1 1 = 0; 3. I( x,y ) = x1 +;;I ,CH Jegaturag x,YI=?+!j'1-Ql" 1.

t

7. I(x, y, z) = xy2 z :J, cu iegatura g(x, y, z) = x + 2y

+ 3z -

> 0, y > 0, z > 0, a > 0; ~ 8. I(x, y , z) = xyz ,cu legatura g(x , y, z) = {x2 +. y2 + z2

9 = 0; OJ

a = 0,

x

- 1= 0

=

= 2, y =

0 !li z

=

1.

{x22 + y2 ?- z2 =2 0 d e,fi ne~te Imp . Ii CIt ' f ul1etll" 1e x + 2y- + 3z = 0

y(x) §i z = z(x). Sa se calculeze y' §i Z l pentru x = l , y = 1 §i z = 1

3 . 16 . S·lstemu I d e y

+ 2;;, cu legatura g(x, y, z) = x 2 + y2 + z2 5. f(x,y,z) = x + y+z , cu legatura g(x,y,z) = ~ + + ~ -1 = 6. I(x, y) = cos 2 X + cos 2 y , eu legatura g(x , y) = x - y - ~ = 0; 4. I(x, y,z) = x - 2y

t "

ecua~ll

3.11. Eeuatia F(xy ,x2 - 2xyz) = 0 ,F E C1(IR?) define~te implicit funetia

z=z(x,y). Sa se calculeze expresia E = xy g~

_ y2 ~~.

· 1 d e ecuatll.. {x22 + y2 2- 2z2 2= 0 d efi ne~te Imp . I"lClt f une~1l f"l e 3 . 18 . S lstemu ' . x + 2y - 3z = 0

y = y(x) ~i z = z(x) . Sa sc calculeze y" §i z" pentru x = 1.

x+y+z=O

X+ Y +Z - 5=0

{ xy+xz+yz = 8

10. I(x,y) = + ~,cu legatura g(x,y) = x 2 + y2 -1 = 0; . 1egatura ~ z2 - 1 _- O., .11 . I( x, y, z ) ­- x 2 + y 2 + Z 2,eu 9 (x, y, z ) -_.,2 9' + i!.. 4 + T 9. I(x ,

v, z)

= xyz, eu Jegatura g(x, y, z) =

J

12 . I(x,y) = x

2

+ y2,

cu Jegatura g(x,y) =

~

3.12. Sa se determine extremele locale ale,functiei z ,:", z(x;tj ciefinffa~'~plicit de ecuatia y2 - x 2 + z2 '!.. 2y + 2x - 4z - 12 =.0 cu legatura y = 1.

15. f; JR3 -+ JR., I(x,y,z) = 3x 2 + 4y2 + 3z 2 ­ 4xy - 4xz - 2z + 1; 16. I: JR.2 -+ JR, I(x, y) = x 3 + y3 ­ 8xy; 17. I: JR2\{(0 , OJ} -+ lR.. I(x , y) = a(x+Y)-1 a E lR.:, X 2+y2' 18. f; JR3 -+ 1R., f(x,y ,z )

=

..

o.

y(x).Determinati extremele locale ale functiei y(x).

4lnx.-1OInYi

12. I: JR2 -+ 1R., I(x,y) =sinx+cosx+cos(x -y), 0 13. I: JR3 -+ JR., I(x, y, z)

= x2 +

\

JR2 -+ .JR, f(x, y)

11. I: JR2 -+.JR, I(x,y) = x 2 + xy

x 2 - y2; cu Icgatura g(x , V)

27

Zj

= (x - y + 1)2j {J) I : JR2 -+ JR., f(x,y) = x 3 + y3 - 3xy + 2; 9. I : JR2 -+ JR., f(x, y)= xyln(x2 + y2)j 10: j : R3 ...=+-m., 'f(x, y;~)'; 'X 2'.i+ ' y2 -+- z{+2.:1:;~ 4; _ ~; 7.

= )4 -

FUNCTn JMPLICiTE

Y - 1 = O.

2

3.10. Fie func~ia y(x) defillita implicit de ecuatia x - 2xV + y2 + X+ Y - 2 = Sa sicllcweze Y'(l) '~i iP)(l) dacl. y(l) d 'l. Ie,!," p;

3. I : lR? ~ JR., f(x,y) 4. I:, ~2 ~ . JR.,

3.2. EXTREME.

J+

~ -1 = 0;

3.19. Sa se determine y'(XO) ~i y"(xo), pentru y = y(:r:) definita implicit In

vecinatatea punctului M(xo,yo). 1. x 2

2. x 3

+ 2xy + 4y 3 - 12 = 0, M(2, 1) ; - Y - cosy = 0, M(1,O);

3. y - 2xarctg ; = 0, M(1,0)

CAPITOLUV3

28 .

4. In{x 2

5.

3.20.

+ y2) -

+ xy2 -

x3

CALCUL DIYERENTIAL '

arctg? = 0, M{1,0)

3.2. EXTREME. FUNCTII IMPLICITE

x+y+z=C! { xyz = b z{x). Sa se calculeze y' ~i z' .

3.29. Sistemul de ecuatii

2y = 0, M (1,~).

sa se determine punctele de extrem ale func~iei Y = y(x) definita implicit ,

!ji z

=

in vecinatatea lui M(xo, YO)

+ y4 ~ x 2 - y~ = 2. x 3 !? - x + y = 0; 3. x 3 + y3 - 3xy = 0; 4. xe-XY = 1; 1.

x4

0;

":j::;"..,-.". ..­ 3.21. Sa. se determine dz(xo, YO) ~i

(£2 z(xo, YO) pentru

z

z(x, y) definita

1. z3 - 3xyz -

2. e Z

= 0,

a

",2

~

2. 2x2

3.31. Sistemul de

•

y2

¥- 0, M(O, 0, 0);

,2

( )

+ 6y2 + 8xz -

4x - 8y + 3 = 0;

3.23. Sa se determine y' ~i y" dadt

.jx 2 + y2 - arctg '!!.. x

3.24. Sa se determine ~ ~i z~ pentru x

{x + y)e Z

-

3.25. Sa se determine ~ !ji ~ pentru x = y Z2 -

xeY

-

= 0

= y = 2, z = 0,

ye Z

dacii

=0

xy - z

= z = 0, daca

-

ze x

=0

3.26. Sa. se determine z'x ~i ~ pentru x = y = z = 0, daca. x In y

3.21. Sa se arate ca

+ y In z + z In x

- 3

=0

zsin zg~ - y2 g; = 0 dacii (y

3.28. Sa. se arate ca. z{x

+ z) sin z - y{x + z) = 0

+ z)~ - y(y + z)~ y{x + z) - (y

= 0 dacii

+ z)f{z)

defineijte impJjcit

ccua~ii {x2+ y ~,'W~1J~=;"':':'

x - z - xyz =:.jO, M(l, 0, 0);

-

.. ~ + ? - 1 = 0, M 0,0, c 4. sinxy + sinxz + sinz = 2, M (1,~,~). 3.22. Sa se determine extremele func~iei z = z(x, y) definita implicit prin: 1. x4 + y4 + z4 = 2{x 2 + y2 + z2); 3.

=

ecua~ii

x+y+z+u=l

=

0

L)

func~iile

y

=

defin;~t~~~it tu"llc~iile

z = z{x,y)!ji u = u(x,y). Sa 5e calculeze z~z~,u~,u~.

implicit in vecinatatea punctului M{xo, Yo, zo): a3

x2 + y2 + z2 = 1 2 { x +y=z z(x). Sa se ca1culeze yl !ji Zl.

3.30. Sistcmul de

y(x) §i z

define!jte implicit funqiilc y = y(x)

VI

r~

Capitolul 4

Integrala ____ .

~ ,--- -

...I,,,,; :,-;

-~, ;:;:

4.1

Primitive.lntegrale Riemann.

4.1. Sa

s~

calculcze urroatoarele integrale

ra~ionale

:

J X~I; l °.I-; dx . J x"-I' x 2dx. 3. J x"+I'

dx .

4. J (J.Jx)2(l+x2)' d.'t . 5 · J (x 3 +1)2'

. J (x2+x+i)dx . x E (-00,1);

6. (x - l)3(x 2+x+I)2' 1.

2·

4.2. Folosind substitutiile lui Euler,sa. se calculeze integralele :

J 1+ ~~ - -x ;x E (0,-1 + -/2); J dr .

· xJ(x 2 -1)(4 - x 2 )' 3. J xJx2 + 2x + 2dx; 1.

2

4.J I+x ~ . I+x 4.3. Sa sc caJculeze urroatoarele integraJe binoroe:

J Jx 3 + x 4 dx; 2. J (1+~2;

3 J dx .

· l+~'

1.

r

4 ..

5.J

5 x dx .

~,

;l~J.

vl+x

4.4. Sa se calculeze integralele trigonometrice: 31

32

CAPITOLUL 4. iNTEGRALA

J' . .,dx Leos

1.

sln~

4

x ;2. J'(tg

. dx ; 4. I J.sm5xcosx

3.

2x+tg:;x)dx;

·

l+sin x" 4 dx

I

9

·

sin

2.

3. 4.

dx sinx sinai

5. I tg xtg (a + x )dx; 6. I (2+=S~) sin .,; 7 I sin 2 xdx. 8 I sin x cosxdx. 2 sinx+rosx' 10. sin x-cos x d sin z+2 COS x X. 2>+-C05 4 x;

I

4.2. TEORJA MASURJJ.JNTEGRALA LEBESGUE.

fol (1 -

x 2 )"dx;

fd xm(lnx)"dx;

(t s in(2n+ 1)x d

SIn x X.

JO

~\

.~

.\ ,,.'­

4.2

Teoria masurii.lntegrala Lebesgue.

4.5. Sa se calculeze integralele (se va folosi formula de integrare prin pil.r1ji): . 1. I x 2 e3x dx; . . .' -- ' -.':"'':'' 2. I e ax cos 2 bxdx;

O;x< -1

4.8. Fie F: R

~ ~, F(x) =~ ~':': :;~l~SxX 0 =>

e) fJ(A)

>

2. I~211 ­ xl2dx; 3

(27r

· Jo

4·

(I

dx d ~+b2 - 2abcos x x;

arccos

Jo

(V3

l-x 2 dx l+x ;

8. 9.

Ie1 x( J+./ifiX . ./ifiX) arcsin

(1

Jo

3

4.10. Exemplu de

x-J

';2(x2+1)

dx'

'

In(l+;Jd_ . l+ x x, 11. .10 (ro eX sin 2 xdx' ,

0

care nu e borelianiL NurnereJc x, y E lR vor fi

apar~ine

un reprezentant ce

echivalen~a

alegem

intervalului [0,1]. Notam cu A multimea acestor

reprezentanti.A vern: 1. Dad. 1', SEQ , l'

i-

oS

atunei (1'

+ A) n(s + A)

= Q(r

+ A = {y

E lR

I

y=r+a;aEA});

o2 0.

n-loo

Sa se arate ca

In particular

2. Sa. se deduea ca numaru! de atomi este cel mult numarabil.

r

l)

lim

este finita ,atunci J.L{A) -atomiea.(p este masura a.tomica daca J.L(A)

= 0 ori

.

J

=

dad

~i

LP.{:l:/lf(x)1 a­ n=O

1. Sa se arate ea ;: este

0

J

~ en}
0 o x"+1 ' ­

7. fl

dx

8. fa

4.

37

d:r.

xlnx

dx

Jx(x-I)

1'

»" .

~

convergen~a i~te~:dor:

r'i

)0

arctg(atgx)dx tg x

'

aE

lR

2. f~-r ln(1-2a cosx+a2)dx,lal < 1

3

r'i In '-a l+acosx.~ lal < 1

cos x cosx

' .10

4.

6

JO

QJ'~

l~ 0

> b> 0 1n o+bs!nx..'!:!-·a a-bslI1T.sIOX' arctgJasinx)d

smx X

6. fo!!' In(a 2 sin 2 x

+ b2 eos2 x)dx; a, b > 0

I

CAPITOLUL 4. INTEGRALA

38 7.

fe: In(I + acosx)c!x: lal < 1

2 rl In(i-a'x )d . 2 8 · Jo x2 v'f=XI x, a

9. f"" J

Jo

x

'

t..;;, L tl~ . • u l.:..n...'! i. \.1 , ·'..iUL..f , J L

h

=

f:

integrala 1· 2

r:

sa se calculeze integrala:

e- xYdy

a, >

¥dx are sens pentru oriee A

>

"

0

functie

O. Aplicat ii :

r"" ,cos =x cosbxdx ' a , b> 0 r"" sin ax - siD bx dx

X

3. fooo

,a,

x

>

fd vx -

2· Jo r"" 3 rOO · Jo

4.

.z.

Integrale .curbilinii

4.6

\' ~

3. eereul x 2

.

r §i B:

6. x 3 2

x 2 dx

Vi dx

(I+I)2

x'

I+x. dx

+ 1, I~ x

+ y2

=

~ 2

+ y.3 2

0

datil

+ (y - b)2 = R2

x' + bT y2

=

(lI

R2 pareurs pozitiv

1

3:ry = 0

-

7. Xl

+ y ?i

8. (x 2

+ y2)2

,

= al (astroida) = e2 (x 2 .:... y2) (lemiseata lui Bernoulli)

4.32. Sa se calculeze integrala curbilinie

feCx + y)ds unde C este eonturul

triunghinlui cu varfurile 0(0,0), A(I , 0), B(D, 1)

fo"" X~l dx

4.33. Sa se ealtuleze :

5 · Jo rl dx

~l_:rm,n > I,m> 0 6.

:.!:..I...

I OJ '!'

fa"" x 2n e- x 2 dx

5. elJpsa

4.29. Sa se ealculeze eu ajutorul func~iilor euleriene 1.

3.

4. eercul (x - a)2

Integrale euleriene

4.5

§i B:

[ ) 2. segmentu\ de dreapta AB unde A(xJ , yd, B(X2, Y2)

4.28. Folosind derivarea in raport eu parametrul calcula~i r"" e- %2 _ efJ z2 dx (3 0 Jo

continua '~ iar

r

...(

~J'. !!

r"" e - x3 d x

2 . Jo

1. segmentul de parabola y = x 2

'

..,.ctg=~..,.ctgbxdx

O

.....

4.31. Sa se reprezinte parametric ,urmatoarele eurbe:

Jo

· JO

I

3x dx L JO r ·x 3e.

4.27. Sa se demonstrezeJ9rmuia lui Froul,lani f(=)~ f(bx)dx = j (O)l~ ~, ;,'k>~(r~ 0

x = aeh t, y = ash t, 0 ~ t ~ to

r"" xme- x n dx 7.. Jo

"~''1

2.

4

..;

2

2

feCXJ + y3)ds unde C este eurba. inehisa (astroida) X3 + yl

2

= al

w

8. fa' sin P x eos q xdx , p I)

>

- 1, q

> -1

rno (a+bxnjpdx,a > O, b > O,np >

".10

rl

I I. ,/0

3. Coordonatele eentrului de greutate G(xG, yc) al unui fir material eu

", m

dx

(J: + I ) V;=;x..., "!"' ( 1_ - "":' x)

Tn

+ 1> 0

densitatea p(x, y) = x 3 X = aeos t

(AB): { . 3 y = a SID t

+y

a earui imagine este arellI de astroid a

' tE

[O,~J

j1~':: (JAY>'iTOL'ui 4. '"INTEGRALA 4. Ie)y(2_ y )dSUndec:{x=t-Sint • _ y = 1 - cos t . • .;

.f'·

· ',;

, tE

4.6, INTEGRALE CURBILINII

[O,~]

4.35. Sa He calculcze I e

,

4.36. Sa se calcuJeze Ie(x 2 + y2

5. MOinEmtul de inertie in raport cu originea 0 a firului material , eu

denSitatea liniara p(x, y, z) ecuatii parametrice: {

= xyz

X =

t

y

~t.Jt

=

avand forma arcului 'de ' e~ba de

X

,t E [0,1 J

='= It'(:(j~'t -

{

2. fcxds, C = {y

t'E

t t2

' t

E (0,00)

t

S 21l'

1. I exyds , C = OA , O(O,O),A(-I, 1)

­

y='~si~~,

6. Idx+y+z)dsundeC:

{xy ==

4.37. Sa se calculeze integralcle curbilinii:

~- ~ . . ,.' :"":'~j: 0 a axei Ox .

4.42. Sa se determine primi tivele urmatoarele ~Qi:.m~ diferentiale , intr-un dome­ niu stelat in cate sunt definite:

'j

¥dx-xd y · w - 3x - 2xy-3y2

1

12. Ie xydx + yzdy + zxdz unde C este conturul determinat de: segmentul de rueaptii care

un~te

punctele A(I, 0, 0) !ii C(O, 0,1); seg­

mentul de rueaptii care une!ite punctele B(O, 1,0) §i C(O, 0,1); arc.ul mic al cercului x 2 +y2 = 1 (situat in planul xOy) care une!ite punctele

= (AB) U (BC) U(CA)

A!ii B C

4.39. Sa se calculeze integralcJe curbilinii: 1. Ie xdy + ydx, C : x(t)

2. Iex(1

= cos t, yet)

+ y)dx + y(1 +x)dy,C:

:1. Ie l,;y,dx

+ 1;x2dy,C: x(t)

= sin t, t E [0,27TJ

+ x 2dy, c: x(t)

=

+ 1)2,y(t)

\It, yet)

Ii . .r~. xdx + ydy + zdz, C: x(t) = t, yet)

'I, ,1;.. :r.·)'zdx + z 2dy

J

x dx 4. w = Y~

I)

•.

J111.I·.,11 ) rll r,

= t2

-

9. w =

= cos t, z(t)

= sin t, t E

(0, ~)

4.7

x dx y'x2+y2+z2

+

Y

y':r:2+y2+z'l

dy

+ .jx2+y2+z2 dz Z

Integrale multiple. Teoria dlmpului

4.43. Sa se schimbe ordinea de integrare la urmatoarele integrale: 2 2x l.Jl dxIx f(x,y)dy

I x2

2. Ja dx Jx3 f(x, y)dy

lI)(dx - dy)

(I.V) ~'" anM .,

I ~ , II

I

10. w = (z + y)dx + (x + z)dy + (y + x)dz

1, t E (0,1)

+ xy 3dz, C: xCt) = 0, yet) = t, z(t) = 1, t E (0,2).

, .I,dl, .

Y

8 · w = !:.dx - §dy + '!:dz y Y Y

= t, t E (0,1)

3. 1

x2dY

-:3

7. w = (y2 + z2)dx + 2xydy + 2xzdz

..... 0. HI' ",. t:'~rc:ete'l.c daci formde di~;l~ale de sub integral a sunt diferentiale 11~1I"It. Iji IIpoi Ha se calculez~: 11.1) ( ( I. I) x

I

,3. w:::= eX[cY(x - y + 2) + yJdx + eX[eY(x - y) + l]dy

6, w=(ylny)dx+x(I+lny)dy

4. Ic(x 2 + 4y2)dx, C : x(t) = 2 cos t, yet) = sin t, t E (O,~) ;1. Ie rl;dx

l

- (X2+2XY+5y2tdx+(X2_2Xy+y2)dY

· wx+y)J

5. w=y(x+~)dx+x(~+y)dy

x(t) = t, yet) = t 2, t E (0,1)

= (t

2

x J12 d.7; f 2-v'2x-x

2

f ( x,y ) dy

4, J: dx f~n x f (x, y)dy 4.44. Sa se calculeze integralele duble:

,

•

CAPITOLUI; 4. INTEGRALA

44 1.

JJ/) xy 2dxdy x=

, unde D este miirginit de parahola y2

= 2px

~ i dreapta

},P > 0

4,7. INTEGRALE MULTIPLE.TEORIA CAMPULUI

4. ffD xydxdy, D = {x 2 + y2 :::: 4x} 5. ffo(x

+ y)dxdy,

D

= {I:::: x 2 + y2:::: 2x}

2. Ilo/xy/dxdy , unde D ~te cereul de raza a,> 0, eu eent.z:ul in', 9rigine

6. ffoe-2(x2+y2)dxdy, D = {(x,y)lx 2 O,y 2 O}

3. fIo(x 2 + '1/)dxdy, unde D este paralelogramul eu laturile

7. f f xdxdy, D = {(x,y)

+ a, y = a, y =

y = x, y = x •

l

"

I

3a '

I

"

'

'. ~

"

.,

.

.

I,

~ ';' '!:11Jo(~ ± y')dxfiYdlI!4~jJ·€St~is£l}LP.argin.it 'de x 2 + y2 = . .~~~!.,~,

, ~:~' ~- "1"-'.-~""' 0:;. ~'~~''''~''~~~' .~.

5. f ~xl+I!lI~l (Ixl 6. ffo /1 -

7. fIo(x

~

+ Iyl)dxdy -

~dxdy

+ y)dxdy,

· ,.· f·

""-:1

X

. - . - ....

+r.. y '

8. ffo

,

_:1.,"

.

, unde D este miirginit de elipsa

~ +~ =1

(x2

+~~r!Xdy,

10 (x + y)2dxdy,

9. f f J.

L)

2 y2 + )dxdy , D={(x , y) Ifo In(xx 2+y2

+ y2)dxdy,

2.

+y=~

2 l,x 2 + y2 - 2x :::: 0, y :::: O}



5+ lfb2 a X -

~dy

o vx+y'Y

,unde D este domeniullimitat de {

X4~y4dXdYi

r~~Yi D = . ~

15. f

+ y:::: 4,

2x:::: y ~ 4x}

f~l dx fo~ f(x, y)dy

(r d f( x, y )d y x fV2rx-x2 x 3. Jo .

"

~~

2

4. f_ 2dxL~v'4'7f(x , y)dy

6. f02 dx

unde D={(x,y) E R2jl

{(x , y) E R2jO:::: x::::

y= a

4.47. Sa se ealculeze ; (a 1. Jo dx

J',;x 0 dy

2. f24 dx I;x ~dy

a:::: 1

~ x 2 + y2

[26x- X f (x , y)dy

1 = 0 din

x=1 y =0 0::::

14. ffo

D ~ {I:::: x

5. f12 dx fx2x f(x, y)dy

D={(x,y) E R2jx 2 + y2 ~ X + y}

primul eadran

13. If

= {(X,Y).1::2 + ~. $> }

2 2 E R2jl < - x + y2 < ­ e }

~dxdy, unde D este sfertul elipsci:

v~~

y:::: 2x}

4.46. Sa se sehimbc ordinea de integrare:

"

9. ffoxydxdy ,D={(x,y) E R2jx 2 + y2

12. ffD

D

!a"'1. ! \"

1. fOI dy f/'ii f(x,y)dx

8. f f 0 xydxdy , unde D este miirginit de eurbele xy = 1, x

11. ffo(x 2

I 1:::: xy2,x::::

r:t'"", ~ l - \ '

unde D este miirginit de eurbelc

y2=2x,x+y = 4,x+y= 12

10.

45

:::: 4}

y~,y E (l,2]}

(Iny xd

3. f 1:'!dY JO C x

4.48. Sa se sehiwbe ordinea de iutegrare utiliza nd eoordonatelc polare : 1. f; dx

Jo~ f(x , y)dy

.

4.45. Sii: ~e'- ~euleze integralele, folosind

0

sehimbarc de variabila adeevata :

1. ffo V(x 2 + y2) 3dxdy, D = {x 2 + y2 :::: 9}

2. ffo In(x 2 + y2)dxdy , D = {I :::: x 2 + y2 ~ 3}

3. ffo x2y2ex2 +y2 dxdy, D ~ {x 2 + y2 :::: 4, y 2 O}

2r

2. f r. dx

rJ2ry- y2

Jo

f(x, y)dy

2

3. f; dx J/;2-=zI f(x 2 + y2)dy 4. ~ vf+'2

o

dx~rx f(!l.)dy+ 0 x

f_r,_dx

~~ f(li)dy :r.

. r, ~"7i' 0

(.

46

CAPITOLUL 4. INTEGRALA . J • .

4.49. Sa se calculeze aria figurii plane margin ita de:

5

1. (x 2 + y2)2 = xy

2.(x 2 + y2)2

j.,.;~t

\

('

1.

110 Mdxdy,

2.

IID(:;:~1i)d}:~;- b~~{{fJjll:~~~~£~~~

3.

110 ydxdy, D este marginit de y = 3x §i y =

D

= {(x,ylix 3

~ Y ~ X2, x:::: o}

4. lID xdxdy, D este miirginit de ;r? + y2 -1

= {(x,yliy ~ x 2,x2 + y2 -

110 eX+Ydxdy, D

=

§i y - x - I

=

°

~i x ~

°

" y

+x

r~

rl

°

°§i

2. D

:i 16

~ 1, x ~ 0, y ~

- 1=

~)

°

§i y = x, x = 3.

° }

3. D = {(x,y)\x 2 + y2 ~ I,y ~ x}

4.52. Sa se calculeze coordonatele centrelor de greutate ale placilor materiale aviind densitatea p(x, y)

int~.gralele:

r 1 dx Jo r2 dlilt!" 1. Jo

2. loa dx I; dy I~(x

rJI-x 2_ y 2 V dy J O x 2

3. I; dx loX dy

g xyzdz

4. loa dx loX dy

fc: Y x

3

y 2z dz

+ y 2 + z 2dz

1. IIIv xy2z3dxdydz , unde V este miirginit de suprafetele

z = xy, y = x, z = 0, x 2. IIIv x

=1

(l+tt;!~ct;z)j, lmde V estc miirginit de suprafetelc

+ y + z = 1, x = 0, y = 0, z =

°

3. IIIv xyzdxdydz, unde V cste marginit de suprafetele

x2

+ y2 + z2 = 1, x = 0, y

4. IIJv

= 0, z = 0

(~+ ~ +~) dxdydz

,unde

V={(x,y,z)j~ +~ + ~ ~

1}

5. IJJv Jx 2 + y 2dxdydz, nnde V este rniirginit de suprafetele

x 2 + y2 = z2, z = 1

6. IIIv )1-

~ - ~ - ~dxdydz, undeV={(x,y,z)j~ + ~ + ~ ~

+y-

10 ~ o} , p(x, y) = 1

x2

+ y2

= 2z, z

I}

=2

8. IIIv x 2dxdydz, unde V este marginit de suprafe~ele h, (h

= lYIi,y > 0, (0 < a < b),z =

oX,Z

= (3x , (0

< 0 < (3),z

=

> 0)

9. Sa se calculeze masa

+ y + z)dz

+- Y"2)dz

4.55. Sa se calculeze integralele triple:

z = ay2,x

4.53. Sa se calcuJeze



7. IIIv(x 2 + y2)dxdydz, unde V este margin it de suprafetele

a) D={(x,Y)ER2jx2+y2~6y} , p(x,y)=x 2 +y2

b) D= {(x, y) E R2j5y ~ x 2;x

-.;rr.::%l y JO

4. Jo dx Jo

1. D={(x,y)lx2+y2~4, x~o , T

In(z-x-y) dz (x-.)(x+y-e)

101 dx I!~~~:2 dy g dz

-r

4.51. Sa se calculeze centrele de greutate ale placilor omogene D:

2

J,x+y+e.

Y e

3. I r dx J~ d rJr2-x2-112(x2

x2 + 2

6 ~ o}

= 0, y =

este miirginit de x

7. lID Y!2dxdy, Deste miirginit de y =

y) I9" x -_ {( x,

.

r2 d xJo r../2x-x2 d YJOzVx-+yra ~d z 2. Jo

1.

6.

JO "

nate sferice §i coordonate cilindrice; iar apoi sa se calcule integralele:

= x3

D

r e - j dx r e - x - j d

. Jo

47

4.54. Sa se schimbe ordinea de integrare din coordonate carteziene in cOordo­

! r\ l~ .

4.50. Sa se calculeze :

5.- IIo x 2y,

4.7. "INTEGRALE MULTIPLE. TEORIA CAMPULUJ

~i

coordonatele cent.rului de greutate ale corpu­ x2 + y2 + z2 = 1

y =x

{

z =x../3, x ~ O,y ~ O,Z 2 daca densitatea intr-un punct M(x, y, z) al corpului variaza dupa legea:

lui V marginit de suprafetelc: V =

p(x, y, z) = (x

+ y)z

°

'rL~ ~CAPITOLUL 4.. INTEGRALA

48

+ 3az

10. IIIv [5(x - y)2

_

40 2 ]

dxdy~z; V

~°

={X2 + y2"- az x 2 + y2 + z2 _ 2a2 ~

°

4.7. INTEGRALE AWLTIPLE. TEORlA CAMPULUI 4. z = :c 2 5. az

. " . . .. '

· . ·r

{X;:::O

.••

+ y2, Z = 2(x 2 + y2l, Y = x, y = 1;'1

= x 2+

y2,z

=

+ y2, (a>

jx2

0)

'­

4.58. Sa se calculeze (a- vector constant ,1'- vectorul de pozitie al punctului

y>O

­ z;:::

°

zJdxdydz . V 11. IIIv (y+z)(x+y+z) ' -

"

cu,rent)

x+y+z~l

1. rot [a x (il x r)]

,~~~

2; div [a x (a x f)l

12. IIfv xyzdxdydz , V ~

i z ~ 1

3. grad (a x 1')2

x;:::O

y;:::o

4. rot (a x f)

13. fflvJx 2 +y2+ z 2dxdydz, V;::::{(x:y,z)/x2+y2+z2~2ax}

/ ® f J l v Jx 2 + y 2dxdydz, V={(x, y, z)/x 2 15. fflv

+ y i )z

~8-

x 2 _ y2}

x2+'!1~z_2)2 , V={(x,y,z)/x 2 + y2 + z2 ~ I}

16. IIfv z(x 2 + y2)2dxdydz , V ={ (x, y, z)/ x'2

x2 y2 17. IIfve + dxdydz , V={(x,y,z)/x 2

+ y2

+ y2 ~ 9,

E

Z

E

[0, I])

[0,4]}

8. rot ((a· f) f) 9. div ((a· f) f) 10. div (1' x (a x f)l

19. fflvxydxdyd z, V={(x,y,z)/x 2 +~l +z2 ~ 9, x;::: O,y;::: O}

11. div (iif) f

V={(x,y,z)/~ + ~ + ~ ~ I, z;::: O}

4.56. Sa se calculeze centrele de greutate ale corpurilor omogene V : 1. V = {(x,y,z)/x 2 + y2

?

+ z2

V = {(x,y,z)!x 2 + y2 ~

Z

~ 9, y;::: O}

1. z

~ h, h> O}

= 1 + x + y, z = 0, x + y = 1, x = 0, y = y + z = a , x 2 + y2

2. x

+

3. z

= x + y2, Y = x 2

2

,

=°

1. (u\7) l'

°

\7 ,

~a

= u (-ugrad

F)

= -ii x

+ F (v\7) U

(ii\7) U + U x (a\7) v

4. iigrad (uii)=u(a\7)v+v(ii\7)u

5. (a x

;::: R../2)

opera~ia

= il

3. (a\7)' (u x v)

= R2, X = 0, y = 0, z = 0, (0

Y ~ 1, z

4.59. Folosilld regulile de calcul cu

2. (v\7) Fu

it se calculeze volumele marginite de urmittoarele suprafete :

>

6. rotaf(r)

7. rotf(r)f

~ z2, Z

5. div (a x f)

18. IIIvxyzdxdyd z, V={(x,y , z)/x 2 + y2 ~ z, z E [0,2]}

20. IIfvzdxdydz ,

49

b)

rotu = /j(ii\7)fi -

a (b\7) U

6. (u x \7) x v = (ii\7)v+u x rotv-udivv 7. (\7 x il) x v = -ij x roUi

+ udivv

se arate di:

CAPITOLUL 4. INTEGRALA

50

-1.13. INTEGRALE DE SUPRAFATA

uude 1'-vector de pozi~ie ;u, V, F-f\Inc~ii derivahiJe; ii, &-vcCtori c.(JIlstan~i

7. f'L j:[;2 + yido, L

4.60. Sa se calcuJeze IapJa.cianul fWlqiiJor:

.

8. h\C '+ y2 +1o'L = {(x,y,z)lz=x 2 +y2, ZE[0,4j}

= (il x f) . (Ii x f)

1. F

2. WI :0: [f x (il x

f)] x f

3. W2 = (il x f) x

(b x f)

I

9. f'L z 2do,

.....

1. f'L ja 2 . ...... ....

,, ""' -;.;-.:':::::\, "'!-.. ... .,.;.: ~~.~,......~, .. ;a'S;.~: ~;..•. ~~ .• ~-i!.~.,.,

+ rot

(1' x ii)

+V=

"

0

-

x 2 - y 2do; L = {(x, y, z)/z = ja 2 - x 2 - y2; a> O}

2. f'Lxyzdo-;L = {(x,y,z)/x 2 +y2+z2 =

. 4.61~;': si-s~arate 'cif daCa·rot""tr ~,;oN·Wtfr~ iY1t\iii&·t".:"~7r . ".""-' ",.... 1. grad (rv)

9,x' ~ 0, y ~ 0, z ~ O}

2: = '{(x, y, z Jlx 2 + y2 + z2 =

4.64. Sa se calculeze integralele de suprafa~a de speta I-a:

unde il, &- vcctori constan~i ; 1'- v~ctor. d5! pozi~ie . .~:: ..,~-'-=-

= {(x, y, z)jx'2 + yL + z2 = R2}

3. f'L jx2

+ y 2 do; L

= {(x, y, z)/x 2

a2

;x ~ O,y 2: O,z ~ O}

+ y2 = 4; y ~

0, z E [0,5])

Ix 2 y2 {( )/x y2 + /if + C' d0; '\' ~ = x, y, z ar + t;r + C! = 1; a> b > c > 0 J. Va
()} (L

2. ~('" . ) x 2dydz L,n,nj

4.8

+ z 2dxdy + y2 dxdz; 2: = {(x,y,z)/z = x 2 +y2;z:S h;h > O}

Integrale de suprafata

3. ~(" . )(x2COSQ+y2cosi3+z2COSI')do; ~Jnlnl

4.63. Sa se calculeze urrnatoarele integrale de suprafata : 1. f.dx2

+ y2 + z2)da, 2: = {(x, y, z)/x 2 + y2 + z2

=

2. f'L(x 2 + y2 + z2)do,L = {(x,y,z)/Ixl + IYI + Izi legatura dintre integralele de la punctele 1. l1i 2.?

. 3. J''L(1+x+y)2,L cia = FT{(X,y,z)/x+y+z:S

2: = 86 3 unde 63 =

a2 }

= a} .

Care este

l,x,y,z ~ O } (frontiera

Wlui tetraedru)

{

.

c-'"

2

5. hz do'L:

,'i. f(Ln.n,) xy 2dydz

= x 2 + y2,

Tcos~sin

Z

E [0,4]

2. x 2 + y2

+ z2 = R2

Q

y=Tsin~cosQ(o:ST:Sa),(0:S~:S27r),QE(0,~) Z = TCOSQ

3. x 2

+ y2 + z2 = 1, x 2 + y2 ­ x :S 0: z

4. z =

L

+- yz 2dzdx +- zx 2dxdy;

2: = 86 3 ,6 3 = {(x,y,z)/x 2 +- y2 + z2 :S a2;z :S o}

1. 2z

COllstant

6. f'L y"2 z 2 do-,

L = 86 3 , 6 3 = {(x'1/,z)/x 2 + 4y 2 :s z:S 4}

z = v, 0 < v < 270

{X =

"~ .;y

4. f r" ,L.., n 1n/ )(xcOSQ+ycos!3+zcosl')do; .

4.66. Sa se caIcllleze ariile suprafetelor definite prin:

= ucosv J~ z~' L: Y = u sin v, 0 < u < a X

4.

{(x,y :z )/jx 2 + y 2 :S z:S 4}

= {(x, y, z)lz2 = 4(x2

+ y2), x 2 + y2 ­ 2x

:S O}

xv,

5. z -£ - 2

oj

x2

+ y2

~ 0

:S 4.

_li £, li 3' 4 T 9 :S 1

I'

IYfU;/LlL:1

CIl'lHJUn ·1.

;,1

4.!J

49.

Formule intcgraJc ­

4.67. UtiJiza.nrl fornltIla lui G recn , sii

~e

FORMULE INTEGRALE

3. v = (x + y + z)l + (y - z

ui1i"ii (dmmul parcurs in seils trigonometric) ;

" ., ._

,

2. f c(x - y )dx - (x - y)dy , IInde (C) cstc cJipsa ;;;.

" ' ~:- .-1

4. v =

x.>.

1[,

O..~

< !iin;f . . .

+ y)2dx - (x - y)2rJy ,

+ ~£ = 1

5. fc

2 e:c + y2 (yd:c

- xdy), unde C

6. fc xy 2 dx+:rdy,

+ 2x -

{(x, y,z)

1I11d~ (Cl ,,' ;tc fro nt.icradl()l~r.lliIlIUi D

{(x, v)1~ + U; =

=

J)

9 . .+~,(x2

I, y >

unclc (C) estc fr ollticra domc lIillllli D

= {:c2 + '/ ::;

+ y3)dx -- x:ldV

IlIH1c C = {(O f;, Y)I(:!: - 1)'1

+ (1/ -

L

- a)2

estc suprafa~a sfcrei

+ (y - b)2 + (c - z)2

f f;:, xdydz + ydxdz + zdxdy, unde L este

=

R2}

+y+z

=

a, x

fa~a exterioara a piramidei

= 0, y = 0, z = 0.

f;:, (x 2 cos Cl' + y2 cos f3 + z2 cos 'Y)d L , unde sllprafe~ei con ice ~ + ~ - ~ = 0, Z E [0, b]

Tra.nsforma~i

L

estefa~a exterioara a

integralcle aplicand formula lui Stokes:

1. fe(x 2 - yz)dx

+ (y2

- zx )dy + (z 2 - xy)d.,
0;

dx

1'2"

x COS X _

dx' '

2'

1 ­ 2pcosx + P xsinax

~dx,

x

+ cr

0 < p < 1;

a,b> O.

5.21. Sa se dezvolte in serie ric putcri (Taylor sau Laurent cu precizarea multimii de convergcnta) centrate in pUllctele indicate, urmiHoarele funct ii :

a) J(z)

6z + 1 = (z-3 )2' Zo = 00;

b) J(z) = -.- , Zo smz

=

eZ ­

1

-

3­

z'

'

= 0;

Zo

= 0 pelltru 0
. 1. e) JL /) = ch z '

a) J(z)

1 f r

oo

=

1f

= eO

6.4. Folosind transformata Laplace sa. se rezolve ecuat ii1e diferentiale eu initiale indicate (problema Cauchy):

..... .

+ x' = 1; x(O) = x'(O) = X"(O) = 0; x" + 2x' + x = sin t; x(O) = x'(O) = -1;

a) XIII

b) c) XIII _ 2x'

d)

+ x = e L; x" +2x' +x = e;

e) x" - 2x'

+ 5x

x(O) = O,x'(O) = 1, x" (0) = 2;

x(O)

= e t cos 2t;

condi~jile

= l,x'(O) = 0;

x(O) = x'(O) = 1.

65

. "'i

-

'

-

-

.

"

.

CAPITOLUL 6. TRANS'FORlvTATA LAPLACE 6:5. FCiI6siuij '[orml"iIilui" Diiha:;nersa se rczoi~c -~c lla~iiie difcren~iale: a) x" + x = sin t; x(O) = X'(O) = 0;

1

b) x" - x' = 1 + e t ; x(O) = X'(O) = O. 6.6. Folosind transformata Laplace

sa se rezolve ecuatia diferentiala

x"(t) - x(t - 1) = t;

r 1t

6.7. Folosind transformata Laplace

= sin t +

a) x(t)

o c) x(t) = cos t

+

= X'(O)

functii imagine:

e- av't

= 0

1t

F(P)

=

In '

PyP

a> 0;

b)

-av't 0 e a> F(p) = p(Jp + a "

6.13. Folosind transformata Laplace sa se rezolve ecua~ii1e diferen~iale cu

sa se rezolve ecuatiile i1ltegrale:

conditiile initiale indicate:

- O· ' "., . ~-- - -' .•' ,

- x" -- s·ln't ·'..--~x(O) -- X'(O) -~ xl/(O) , ~.£§-~~~ ~r~~·~ ~- ~4~~,* b) x" + x' = cos t; x(O) = 2,x'(0) = 0; ­ c) XIII + 2X" + 5x' = 0; x(O) = -1,x'(O) = 2, X"(O) = 0; d) x" + 2x' = tsin t; x(O) = X'(O) = O. a) XIII

e t - Tx(r) dr;

2

a)

._ r-.

(t - r)x(r) dr;

d) x(t) = 1 - 2t - 4t e) xU) [ -.\o t ~0

e-t, J(t) = { 2e3t ,

= (1 -

t

b) x(t)

= 1 + t + 10' cos(t -

r)x(r) dr;

c) x(t) = t + 2Io [(t - r) - sin(t - r)]x(r) dr;

s~!miplanul

Rep> 3;