Cours2 MSD [PDF]

Zitiervorschau

ENSA Tétouan Filière GC, semestre S5 Module: MMD

Mécanique des solides déformables

Chapitre 2 Calcul tensoriel

El Khannoussi Fadoua 1

Plan • • • • • • •

Rappel sur les vecteurs Objectivité et pertinence de la notation d’Einstein Tenseurs du second ordre Bases des tenseurs du second ordre Tenseurs d’ordre supérieur et en particulier du quatrième ordre Dérivation des tenseurs Quelques formules utiles

2

1 Rappel sur les vecteurs 1.1 Notions et opérations élémentaires
On considère un espace vectoriel E de dimension 3

Sa base orthonormée directe est notée {ei }i=1,2,3

Soit u un vecteur de E

E ∼ 3

3





u = u1e1 + u 2 e2 + u 3e3 = ∑ u i ei = u i ei i=1


3
u i ei = ∑ u i ei i=1

Convention d’Einstein: la répétition d’un indice (muet) vaut la sommation par rapport à cet indice. Dans toute la suite, sauf mention explicite du contraire, le domaine des indices sera l’ensemble:{1,2,3}

3

1 Rappel sur les vecteurs 1.1 Notions et opérations élémentaires
Le symbole de Kronecker est défini par:

1 si i = j δij =  0 si i ≠ j



ei .e j =δij


E désigne dans la suite un espace euclidien muni du produit scalaire canonique et toutes les bases sont supposées orthonormées







u.ei = ( u je j ).ei = u j ( e j .ei ) = u jδij = u i

u i = u.ei



u = ( u.ei ) ei

(théorème de décomposition orthogonale)





u.v = ( u i ei ). v j e j = u i v jδij = u i vi

(




u = u.u = u i u i

)

4

1 Rappel sur les vecteurs 1.1 Notions et opérations élémentaires
Le symbole de permutation circulaire (symbole de Levi-Civita)

1 si (i, j,k) est une perumation directe de (1,2,3)  εijk = −1 si (i, j,k) est une perumation indirecte de (1,2,3) 0 si i = j ou j = k ou k = i 
Conséquences

1 εijk = (i − j)( j− k)(k − i) 2


e j ∧ ek =εijk ei


u ∧ v = εijk u j v k ei 5

1 Rappel sur les vecteurs 1.2 Changement de base (orthonormée directe)
{ei }i=1,2,3


e' { i }i=1,2,3

ancienne base

nouvelle base




u = u i ei = u ′i e′i






e′j = (e′j .ei )ei = Pijei



Pij = ei .e′j

def

(matrice de passage de




{ei }i=1,2,3

à







det(P) = (e1′ ,e′2 ,e3′ ) = e′3 .( e1′ ∧ e′2 ) =1 (Propriété du produit mixte)


e' { i }i=1,2,3)

P −1 = P T







′ ′ u i = u.ei = u.( Pji e j ) = Pji ( u.e j ) = Pji u j = PijT u j u i = Piju ′j 6

2 Objectivité et pertinence de la notation d’Einstein
Le principe d’objectivité stipule qu’un phénomène physique ne peut pas dépendre de la base choisie (qui n’a pas de sens physique, mais purement mathématique).


u ui

(grandeur objective) (n’est pas une grandeur objective)


La convention d’Einstein est de sommer l’indice répété. Un terme ainsi constitué est forcément objectif (c’est le réel intérêt de cette convention).



u.v = u i vi = u′i v′i


u = u i e i = u ′i e ′i





u ∧ v =εijk u j v k ei =εijk u ′j v′k ei′


Le travail d’une force ne dépend (heureusement) pas de la base choisie (repère d’étude). La force de Lorentz est un invariant. On peut donc les calculer sans états d’âme! 7

3 Tenseur du second ordre 3.1 Qu’est-ce qu’un tenseur ?


Une application linéaire f d’un espace E vers un espace F est décrite par une matrice M dont les coefficients dépendent de la base de E et de celle de F. Le tenseur représente l’ensemble des représentations de f dans toutes les bases. Une matrice est un tenseur dit «d’ordre 2».
Un tenseur du second ordre f est l’ensemble des matrices σij (3,3) ou σi (1,9) ou (9,1) dans toutes les bases.
Le mot tenseur est associé à une représentation intrinsèque et l’ordre n de ce tenseur représente le nombre d’indices. On a donc en général 3n composantes dans un espace de dimension 3.

8

3 Tenseur du second ordre 3.1 Qu’est-ce qu’un tenseur ?
Un tenseur d’ordre n est un ensemble de 3n quantités qui se transforment par passage d’une base à une autre conformément aux règles spécifiques suivantes: Ordre n

Type

0

scalaire

1

vecteur

2

matrice

Règle de transformation

A′ = A A′i =αijA j A′ij =αik α jl A kl A′ijkl =αim α jn α kp α lq A mnpq

4

αij = Pji = PijT 9

3 Tenseur du second ordre 3.1 Qu’est-ce qu’un tenseur ?


Les tenseurs furent inventés dans les années 1900 par Voigt et Levi-Civita. L’analyse tensorielle a été utilisée par Einstein vers 1915 dans la théorie de la relativité.
Lorsque la base n’est pas orthonormée, les choses sont nettement plus compliquées, il faut alors distinguer les tenseurs covariants et contravariants, et utiliser le tenseur métrique.

10

3 Tenseur du second ordre 3.2 Notations Pas de règle universelle, hélas!

Ordre

Composantes

Notation

1

ui


u

2

σij

σ ou σ

4

Cijkl

 ou C ou C ou C

En rouge, la notation qui sera privilégiée dans la suite. 11

3 Tenseur du second ordre 3.3 Produit tensoriel
Le produit tensoriel ⊗ de deux vecteurs est un tenseur d’ordre 2.





b = bi ei c = c je j b ⊗ c = bi c j def

On obtient un tableau (ensemble) de 9 composantes, ce tableau suit la règle de transformation d’un tenseur du second ordre.



A = b⊗c

A ij = bi c j


Le résultat d’un produit tensoriel est simple à définir (générateur de tenseur). Soit n l’ordre du premier tenseur et m l’ordre du second. Le résultat du produit tensoriel est un tenseur d’ordre n+m. Exemple m=n=2:

A = B⊗C

A ijkl = BijCkl 12

3 Tenseur du second ordre 3.4 Produit tensoriel et base canonique


Les composantes du produit tensoriel b ⊗ c s’obtiennent comme le résultat du produit colonne-ligne (à condition que les deux vecteurs soient exprimés dans la même base).





b ⊗ c = bi ei ⊗ c je j = bi c jei ⊗ e j
[b ⊗ c
]ij = bi c j  b1c1 b1c 2 b1c3   b1  b c b c b c  = b  c c c  2 1 2 2 2 3   2 [ 1 2 3 ]  b3c1 b3c 2 b3c3   b3 




La famille{ei ⊗ e j}i=1,2,3

est définie depuis la base canonique des vecteurs.

j=1,2,3

Elle possède bien 9 composantes. Elle définit la base canonique des tenseurs d’ordre 2.



σ =σijei ⊗ e j

13

3 Tenseur du second ordre 3.5 Produit simple (contraction des indices pour les tenseurs du premier et du second ordre)
L’opérateur de contraction simple des indices . est une extension du produit scalaire des vecteurs - Produit tenseur-vecteur = vecteur










σ.n = ( σijei ⊗ e j ).( n k ek ) = σijn k ei ( e j .ek ) =σijn k δ jk ei =σijn jei def [σ.n
]i =σijn j - Produit tenseur-tenseur = tenseur











σ.ε = ( σijei ⊗ e j ).( ε kl ek ⊗ el ) = σijε kl ei ⊗ ( e j .ek ) el =σijε kl δ jk ei ⊗ el =σik ε kl ei ⊗ el def

[σ.ε ]il =σik ε kl

(Les composantes correspondent au produit ligne-colonne entre deux matrices) 14

3 Tenseur du second ordre 3.6 Double contraction
Cette opération est notée : , on contracte les deux indices proches. Sur des tenseurs du second ordre, on obtient un scalaire. Concernant deux paires d’indices, l’opérateur est intrinsèque.









ei ⊗ e j :ek ⊗ el = ( e j .ek ) ( ei .el ) =δ jk δil def





σ:ε =σij ( ei ⊗ e j ):ε kl ( ek ⊗ el ) =σijε kl δ jk δil =σijε ji
Calcul des composantes d’un tenseur de second ordre



σ=σijei ⊗ e j





σ:( ek ⊗ el ) =σij ( ei ⊗ e j ):( ek ⊗ el ) = σlk

σlk =σ:( ek ⊗ el )



u i = u.ei 15

3 Tenseur du second ordre 3.7 Etude de tenseurs particuliers
Tenseur nul

[O]ij = 0


Tenseur identité

[ I ]ij =δij

0 0 0  [O] = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 [ I ] = 0 1 0 0 0 1


Tenseur transposé d’un tenseur

[AT ]ij = AijT = A ji =[A] ji Le critère de définition d’un tenseur transposé est intrinsèque. 16

3 Tenseur du second ordre 3.7 Etude de tenseurs particuliers
Tenseur inverse d’un tenseur

1 ( ) det A = εijk ε mnp Aim A jn A kp 6

det ( A ) ≠ 0

[A −1 ]ij =

1 2 det ( A )

ε jmn εipq A mp A nq

P(λ) = det ( A −λ I ) = I3 −λI 2 +λ 2 I1 −λ3 I3 = det ( A ) 1 1 ( ( ) )2 ( 2 ) I 2 = ( A ii A jj − AijA ij ) =  tr A − tr A  2 2 I1 = Aii = tr ( A ) 17

3 Tenseur du second ordre 3.7 Etude de tenseurs particuliers
Tenseur symétrique et antisymétrique

A symétrique ⇔ A = A T ⇔ A ij = A ji A antisymétrique ⇔ A = − A T ⇔ A ij = − A ji
La symétrie ou l’antisymétrie est une propriété intrinsèque d’un tenseur

A = As + A a 1( A = A + AT ) 2 1 Aa = ( A − AT ) 2 s

18

3 Tenseur du second ordre 3.8 Invariants
Un invariant est une fonction scalaire d’un tenseur qui ne dépend pas de la base considérée. C’est donc une grandeur objective. On peut l’obtenir avec une ou des opérations de contraction, . ou : . Exemple:

tr ( A ) = Aii = A: I
Il existe des familles d’invariants. Les trois valeurs propres d’un tenseur sont des invariants.

det ( σ−λ I ) = 0

λ1 , λ 2 , λ 3

Toute expression des valeurs propres définit un nouveau invariant. 19

3 Tenseur du second ordre 3.8 Invariants I3 I − I 2 σ+ I1σ2 −σ3 = 0 I1 = tr(σ) = J1

J1 =σ: I = tr(σ) 1( ) 1 ( ) 1 ( 2) J 2 = σ.σ : I = tr σ.σ = tr σ 2 2 2 1 1 1 J 3 = ( σ.σ.σ ): I = tr ( σ.σ.σ ) = tr ( σ3 ) 3 3 3 Invariants de Rivlin-Ericksen

2 1 1 I 2 =  tr ( σ ) − tr ( σ 2 ) = ( J12 ) − 2J 2  2 2 1  ( 3 ) ( )3 ( ) I3 = det σ = 2tr σ + tr σ − 3tr ( σ ) tr ( σ 2 ) 6 1 = J 3 + J13 − J1J 2 6

Invariants de Cayley-Hamilton

Norme euclidienne:

σ = σ :σT Autres invariants: rang, décomposition de Frobenius,...

20

4 Bases du tenseur du second ordre





La base canonique, {ei ⊗ e j} , est très utilisée car elle correspond à la notation indicielle et elle est commode dans les calculs impliquant vecteurs et tenseurs du second ordre. Est-ce toujours la plus efficace ? Par exemple, un tenseur des contraintes n’a pas besoin de 9 composantes car, à cause de sa symétrie, il ne possède que 6 termes indépendants. Le tenseur d’élasticité C n’a pas 81 composantes indépendantes mais seulement 15.

4.1 Ecriture de Voigt
On réduit le nombre de variables indépendantes de 9 à 6 en adoptant la convention suivante pour un tenseur symétrique:

σ

tenseur symétrique

Le tableau ci-contre définit l’écriture de Voigt:

Cette écriture pose cependant problème.

σ11  σ   22  σ33  σˆ =   σ23  σ31    σ12  21

4 Bases du tenseur du second ordre 4.2 Base des tenseurs symétriques du second ordre
Nous construisons une base orthonormée des tenseurs du second ordre

E1 = e1 ⊗ e1

E 2 = e2 ⊗ e2

E3 = e3 ⊗ e3

1



( e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e2 ) 2 1



E5 = ( e3 ⊗ e1 + e1 ⊗ e3 ) 2 1



E6 = ( e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1 ) 2 E4 =

(1)


On vérifie aisément que cette base est orthonormée:

E i :E j =δij 22

4 Bases du tenseur du second ordre 4.2 Base des tenseurs symétriques du second ordre Les composantes d’un tenseur σ quelconque dans cette base sont données par (double) contraction avec les tenseurs de base :

σ i = σ :E i Par exemple:

σ 4 =σ:E4 0   σ11 σ12 σ13   0 0    =  σ21 σ22 σ23 : 0 0 1/ 2      σ31 σ32 σ33   0 1/ 2 0  σ 4 = 2σ23

4 Bases du tenseur du second ordre 4.2 Base des tenseurs symétriques du second ordre

Dans cette base un tenseur du second ordre s’écrit en une matrice colonne 1x6 dont les composantes sont :

σ11  σ   22  σ33   σˆ =   2σ 23     2σ31   2σ   12 

La base (1) conserve toutes les opérations tensorielle.

4 Bases du tenseur du second ordre 4.2 Base des tenseurs symétriques du second ordre
Par exemple, on calculera bien plus rapidement dans cette base que sous la forme canonique (3x3) les opérations: 6

σ=

2  σ ∑ i i=1

(On n’a pas ça avec Voigt)

σ: ε =σ i ε i 27multiplications et 3 additions

6 multiplications et 6 additions

L’idée générale est que les équations tensorielles se convertissent en équation vectorielles plus simples dans cet espace à 6 dimensions. 25

4 Bases du tenseur du second ordre 4.3 Représentation spectrale d’un tenseur symétrique du second ordre A11 −λ A12 det ( A −λ I ) = A12 A 22 −λ A13

(

A 23




A −λ i I .v = 0 ⇒ vi avec

)

A13 A 23 = 0 ⇒ λ1 , λ 2 , λ3 ≥ 0 A 33 −λ
vi =1



λ 0 0 v  1   1.e1 [A]( v
1 ,v
2 ,v
3 ) = PT [A](e
1 ,e
2 ,e
3 ) P =  0 λ 2 0  avec P = v
1.e
2

 0 0 λ 3   v1.e3



v 2 .e1

v 2 .e2

v 2 .e3



v3 .e1 

v3 .e2 

v3 .e3 







A =λ1v1 ⊗ v1 +λ 2 v 2 ⊗ v 2 +λ 3 v3 ⊗ v3 26

5 Tenseurs d’ordre supérieur et en particulier du quatrième ordre 5.1 Base canonique et contraction
Pour les tenseurs du quatrième ordre, la base canonique est:



i=1,2,3 e { i ⊗ e j ⊗ ek ⊗ el} j=1,2,3

k =1,2,3 l=1,2,3

(soit 81 éléments)

La contraction . ou : s’entend toujours sur les indices proches







A:B = A ijkl Bpqrs ( ei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ el ):( ep ⊗ eq ⊗ er ⊗ es )







= A ijkl Bpqrs ( ei ⊗ e j ) ⊗( er ⊗ es ) ( ek .eq )( el .ep )



= A ijkl Bpqrs ( ei ⊗ e j ) ⊗( er ⊗ es ) δ kq δlp   A:B ijrs = Aijkl Blkrs


Les opérations de contraction suivant la règle d’Einstein sont toujours objectives. 27

5 Tenseurs d’ordre supérieur et en particulier du quatrième ordre 5.1 Symétries indicielles du tenseur d’élasticité
On considère deux tenseurs symétriques, par définition on nomme tenseur d’élasticité C (notion purement théorique) le tenseur de quatrième ordre tel que:

σ = C: ε
Le tenseur C vérifie les « petites » symétries: (conséquence de la symétrie des tenseurs σ et ε )

Cijkl = C jikl et Cijkl = Cijlk (= C jilk )
La grande symétrie se rapporte elle à la propriété suivante:

Cijkl = Cklij (= Clkij = Cklji = C jilk )
La grande symétrie n’est pas toujours vérifiée, on verra qu’elle dérive des premier et second principes de la thermodynamique pour un corps élastique.

28

6 Dérivation des tenseurs 6.1 Dérivée par rapport à un scalaire, par exemple temporelle

 ∂σ11 ∂σ12 ∂σ13   ∂t ∂t ∂t    ∂σ

∂σ ∂σ ∂σ ∂σ ∂σij

  23  [σ ] =   =  21 22 ⇒ = ei ⊗ e j =σij,t ei ⊗ e j ∂t ∂t  ∂t ∂t  ∂t   ∂t    ∂σ31 ∂σ32 ∂σ33   ∂t ∂t ∂t 

Notation: ∂a = a ,i ∂x i

29

6 Dérivation des tenseurs 6.2 Dérivée d’une fonction scalaire par rapport à un tenseur ∂f ∂f df = dσij = :dσ ∂σij ∂σ D’où par identification ∂f ∂f   ∂f  ∂σ ∂σ12 ∂σ13  11   ∂f  ∂f ∂f ∂f  = ∂σ ∂σ 21 ∂σ 22 ∂σ 23     ∂f ∂f ∂f     ∂σ31 ∂σ32 ∂σ33 

30

6 Dérivation des tenseurs 6.3 Dérivées spatiales



∂a
∂a
∂a

( ) grad a =∇a = e1 + e2 + e3 = a ,i ei ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 ∂ 2a ∂ 2a ∂ 2a ∆a =∇ a = 2 + 2 + 2 = a ,ii ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 2

Laplacien

4 4 4 4 4 4 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ a a a a a a ∆ 2 a =∇ 4 a =∇ 2 ( ∇ 2a ) = 4 + 4 + 4 + 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x1 ∂x 2 ∂x1 ∂x 3 ∂x 2 ∂x 3

= ( a ,ii ) = a ,iijj , jj

Bi-laplacien

31

6 Dérivation des tenseurs 6.3 Dérivées spatiales



∂u ∂u ∂u
div ( u ) =∇.u = 1 + 2 + 3 = u i,i ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 



 ∂u ∂u 
 ∂u ∂u 
 ∂u ∂u 

rot ( u ) =∇∧ u =  3 − 2  e1 +  1 − 3  e2 +  2 − 1  e3 =εijk u k, jei  ∂x1 ∂x 2   ∂x 2 ∂x 3   ∂x 3 ∂x1 
∂u i

∂u
( ) grad u = ei ⊗ e j
= ∂x ∂x j  jacobiènne

32

6 Dérivation des tenseurs 6.3 Dérivées spatiales 

 ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u 
∆ ( u ) =  21 + 21 + 21  e1  ∂x1 ∂x 2 ∂x 3   ∂ 2u 2 ∂ 2u 2 ∂ 2u 2 
+  2 + 2 + 2  e2  ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 

∆a = a , jj

 ∂ 2u3 ∂ 2u3 ∂ 2u3 

+  2 + 2 + 2  e3 = u i, jjei  ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 


∂A 
∂A  ∂A div ( A ) =  11 + 12 + 13  e1  ∂x1 ∂x 2 ∂x 3  ∂A 
∂A  ∂A +  21 + 22 + 23  e2  ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 


div ( u ) = u j, j


∂A ∂A 
 ∂A +  31 + 32 + 33  e3 = A ij, jei  ∂x1 ∂x 2 ∂x 3  33

7 Quelques formules utiles 


grad ( ab ) = agrad ( b ) + bgrad ( a )



div ( au ) = a div ( u ) + u.grad ( a )

)

)
)
( ( ( div u ⊗ v = u div v + grad u .v 

rot ( grad ( a ) ) = 0 

div ( rot ( u ) ) = 0 





∆ ( u ) = grad ( div ( u ) ) − rot ( rot ( u ) )

34