Cours M2-Résolution Des EDP (1) 1171072451 [PDF]

Zitiervorschau

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Procédons maintenant à la résolution de ce problème avec les conditions aux limites associées: 11

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Pour cette plaque métallique, nous allons considérer le cas particulier suivant concernant les conditions pariétales thermiques suivantes: Nous supposons donc que cette plaque est soumise à un gradient thermique horizontal et un autre gradient thermique vertical, telles que: Tg>Td et Tb>Th avec: Tg=Tb=Tchaud=Tc et Td=Th=Tfroid=Tf Nous commençons par l’adimensionnalisation pour rendre la solution plus générale: Notons la température adimensionnelle: Posons  = (T-Tf)/(Tc-Tf) (*)

avec: c = 1

et f = 0 (**)

La combinaison de (*) et (**) donne:



i+1,j

+

i,j-1

+

i-1,j

+

i,+1j

- 4 =0 i,j

Introduisons maintenant la méthode de Gauss-Seidel pour la résolution d’un système linéaire: La méthode de Gauss-Seidel est une méthode itérative de résolution de système linéaire de la forme A x = B où :

Pour cela, on va construire une suite de vecteurs : qui converge vers x, solution du système d'équations linéaires. Remarque : chacun des vecteurs successifs est identifié par un numéro placé en exposant et entre parenthèses. Pour cela, on va construire une suite de vecteurs : qui converge vers x , solution du système d'équations linéaires. Remarque : chacun des vecteurs successifs est identifié par un numéro placé en exposant et entre parenthèses. Algorithme (0) Un vecteur initial x étant donné, l'algorithme suivant permet de déterminer les éléments successifs de la suite. On décompose la matrice A en trois matrices L , D et U . La matrice L est constituée des termes qui se trouvent au-dessous de la diagonale principale de A(j < i) ; la matrice D contient les termes diagonaux de A(j = i) ; la matrice U est constituée des termes qui se trouvent au-dessus de la diagonale principale de A(j > i) . 12

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Le système à résoudre peut alors s'écrire : d'où l'on tire la formule de récurrence :

(k+1)

qui permet de calculer x

(k)

lorsque x est connu :

(k)

On remarquera que toutes les composantes de x sont utilisées pour le calcul de chaque (k+1)

composante de x . Ces deux vecteurs doivent donc être stockés dans deux tableaux distincts. On illustre par le petit exemple qui suit : avec une solution initiale:

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(k+1)

A chaque itération, le vecteur trouvé x

comporte une certaine erreur :

L'algorithme converge si : (0)

Théorème : la formule de récurrence converge, quel que soit x , si la matrice A est à diagonale dominante, c'est-à-dire si la valeur absolue de chaque terme diagonal est supérieure à la somme des valeurs absolues des termes placés sur la même ligne. En utilisant la méthode de Gauss-Seidel, on observe qu'à chaque itération la correction apportée au vecteur solution a tendance à être sous-estimée. En d'autres termes, le vecteur converge trop lentement vers la solution. D'où l'idée d'augmenter la correction, à l'aide d'un facteur multiplicatif, appelé paramètre de relaxation. Comme dans la méthode de Gauss-Seidel, on décompose la matrice A en trois matrices L , àDrésoudre et U : peut alors s'écrire : Le système d'où l'on tire la formule de récurrence : (k+1)

qui permet de calculer les composantes de x

lorsque celles de x sont connues :

Remarque : si on pose  = 1, on retrouve la méthode de Gauss-Seidel.

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