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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

Objectifs: Modéliser la machine asynchrone dans le repère de Park, Etablir les différents modèles de la machine en fonction des vecteurs de commande choisis, Etudier les différentes techniques de commande de l’onduleur de tension, Simuler quelques grandeurs de la machine

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

1. Description de la machine asynchrone triphasée à cage La machine asynchrone triphasée est constituée d’un stator fixe et d’un rotor mobile séparé par un entrefer. Dans des encoches internes réparties sur la face interne du stator sont logés trois enroulements (phases) identiques, comportant 2p pôles, et sont déphasés d’un angle électrique de (

2π ). 3

Rotor Stator

2'

3 3

1

2'

1'

θ

1

1'

2 2

3'

3'

Entrefer

Fig.2.1: Constitution de la machine asynchrone triphasée

Fig.2.2: Vue éclaté d’un moteur asynchrone triphasé à cage

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N°

Désignation

N°

Désignation

1

Stator bobiné

27

Vis de fixation du capot

2

Carter

30

Roulement côté accouplement

3

Rotor

33

Chapeau intérieur côté accouplement

5

Flasque côté accouplement

38

Circlips de roulement côté accouplement

6

Flasque arrière

39

Joint côté accouplement

7

Ventilateur

50

Roulement arrière

13

Capot de ventilation

54

Joint arrière

14

Tiges de montage

59

Rondelle de précharge

21

Clavette

70

Corps de boîte à bornes

26

Plaque signalétique

74

Couvercle de boîte à bornes

Tableau 1 : Nomenclature des organes du moteur de la figure.2.2 2. Répartition du champ magnétique dans l’entrefer de la machine B1 (θ) 1'

1

1

1'

θ

B 2 (θ) 2

2'

2

2'

2

θ

3

3'

B 3 (θ)

3

3'

3

θ

Fig.2.3: Répartition du champ magnétique dans l’entrefer

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3. Représentation de la machine dans le repère (dq0) d

q

0

Fig.2.4: Machine asynchrone triphasé dans le repère (dq0) 4. Hypothèses On suppose que : Le circuit magnétique de la machine asynchrone n’est pas saturé et qu’il n y a pas présence des phénomènes d’hystérésis, donc les inductances deviennent constantes, La répartition du champ magnétique dans l’entrefer de la machine est sinusoïdale, L’effet de peau (pelliculaire) est négligeable, donc les résistances de la machine sont considérées comme des constantes. 5. Représentation de la machine par leurs axes 3

c

v3

vc

a

0 2

va v1

v2

b

θ

1

vb

Fig.2.5: Machine asynchrone dans le repère (abc)

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6. Relation des fréquences  H s (Champ de synchronis me)

 H r (Rotor)

ωg

ωp

ωr =

dθ dt Stator (Reférence )

0

Fig.2.6: Représentation des champs magnétiques 

Le champ magnétique tournant H s crée par les phases du stator tourne à la pulsation (vitesse 

électrique) dénotée ω p . Alors que le champ magnétique tournant H r crée par les phases du rotor tourne par rapport à lui-même à la pulsation (vitesse électrique) dénotée w r . Le rotor glisse par rapport au champ de synchronisme à une vitesse électrique relative notée ωg . La condition des fréquences de la machine asynchrone en régime quelconque vaut électriquement: ωp =ωr +ωg , et vaut mécaniquement:

ωp p

=

ωr ωg + . p p

La condition des fréquences de la machine asynchrone en régime permanent sinusoïdale vaut électriquement ω=ωr +ωg , et vaut mécaniquement: Ω s =Ω+

ωg p

.

7. Equations de fonctionnement réelles de la machine asynchrone Les équations de fonctionnement du moteur, par application de la loi de faraday sont :  Au stator :

dΦ a   v a =R si a + dt  dΦ b   v b =R si b + dt  dΦ  c  v c =R sic + dt 

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2.1

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 Au rotor: dΦ1   v1 =0=R r i1 + dt  dΦ 2   v 2 =0=R r i 2 + dt  dΦ 3   v 3 =0=R r i3 + dt 

2.2

L’écriture des équations précédentes sous une forme réduite (matricielle) est :  va  ia  Φ a   v  =R . i  + d Φ   b  s  b  dt  b   vc  ic  Φ c 

2.3

 v1  i1  Φ1   v  = 0 =R . i  + d Φ   2    r  2  dt  2   v3  i3  Φ3 

2.4

Les équations des flux sont données par :  Φ abc  =   s  .i abc  +  M sr  .i123    Φ123  =  M rs  . iabc  +   r  . i123 

2.5

Avec Φ a    s Φabc  = Φ b  =  M s Φ c   M s

Φ1   M a1 Φ123  = Φ2  =  M a2 Φ3   M a3

Ms s Ms

M b1 M b2 M b3

M s  ia   M a1   M s  . i b  +  M b1  s  ic   M c1

M c1  i a    r   M c2  . i b  +  M r M c3  i c   M r

M a2 M b2 M c2

M a3  i1   M b3  . i 2  M c3  i3 

2.6

M r  i1   M r  . i 2   r  i 3 

2.7

Mr r Mr

La matrice de la mutuelle inductance est :

2π 2π   cos(θ+ ) cos(θ- )   cos(θ) 3 3   2π 2π    M sr  =M sr .  cos(θ- ) cos(θ) cos(θ+ )  3 3   2π 2π  cos(θ+ ) cos(θ- )  cos(θ)   3 3  

2.8

T

Remarque: On a donc :  M rs (θ)  =  M sr (-θ)  =  M sr (θ)  .

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Les équations réduites du moteur en fonction des inductances et courants sont: d d   v abc   R s .i abc     s  dt i abc   dt  M sr  .i123    v    0  R . i      d i   d  M  . i  r 123 r 123 rs abc  123 dt dt

2.9

8. Equations de fonctionnement de la machine dans le repère de Park Le repère de Park (dq0) tourne à une vitesse angulaire ( ω p =

dθp dt

). Les bobines du stator ainsi

que le rotor sont portées par leurs axes.

3

c

vc

v3

d ids

ωp

vds

idr vdr

θp 0

2

a

θ

va v1

v2

1

vqr i qr

vqs

vb

b

i qs

q

Fig.2.7: Modèle équivalent de la machine asynchrone dans le repère diphasé tournant (dq0)

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La matrice de Park est donnée par :

2π 4π    cos(θ p ) cos(θ p - 3 ) cos(θ p - 3 )    2 2π 4π   P(θ p )  = -sin(θ p ) -sin(θ p - ) -sin(θ p - )  3 3 3   1 1  1    2 2 2  

2.10

 Equations des tensions et courants du stator: La matrice de passage des grandeurs statoriques vers le repère de Park est P(θ p ) . Alors que La matrice de passage des grandeurs rotoriques vers le repère de Park est  P(θp -θ)  .  v ds   va     vsdq0  =  v qs  =  P(θ p ) .  v b  =  P(θ p )  .  v abc    v   v c   0s 

2.11

i ds  ia    i sdq0   i qs    P(θ p )  . i b    P(θ p )  . iabc    i  ic   0s 

On substitue les équations 2.11 dans 2.9, on obtient :

 vsdq0  =R s isdq0  +  P(θ p ) 

-1

 s 

d  P(θ p )  i abc  + dt 





-1 d +  P(θ p ) M sr  P(θp )  i rdq0  dt -1





2.12

Tout calcul fait, on trouve:

di ds didr   v ds =R si ds +Ls dt +M dt -ωp (Ls iqs +Mi qr )  di qs diqr  +M +ωp (Ls i ds +Midr )  v qs =R si qs +Ls dt dt  di 0s   v 0s =R si 0s +Ls0 dt 

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2.13

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 Equations des tensions et courants du rotor Un raisonnement analogue au précédent, tout en utilisant la matrice passage  P(θ p -θ)  , conduit à:

di dr di ds   v dr =0=R r i dr +L r dt +M dt -(ωp -ωr )(L r i qr +Mi qs )  di qr di qs  +M +(ωp -ωr )(Lr i dr +Mids )  v qr =0=R r i qr +L r dt dt  di 0r   v 0r =0=R r i 0r +L r0 dt 

2.14

 Equations des flux de la machine asynchrone

Φ ds =Lsi ds +Mi dr  Φ dr =Lr i dr +Mids Φ =L i +Mi qr  qs s qs Φ qr =Lr i qr +Miqs 

2.15

9. Repères usuels  Repère fixe lié au stator: Ce repère est connu sous le nom référentiel de Concordia. La pulsation de Park vaut alors ω p =0 . Ce référentiel permet d'étudier la variation importante de la vitesse de rotation associée ou non avec la variation de la fréquence d'alimentation. Les équations respectivement du stator et du rotor deviennent:

dids didr   v ds =R si ds +Ls dt +M dt  diqs diqr  +M  v qs =R si qs +Ls dt dt  di 0s   v 0s =R si 0s +Ls0 dt 

2.16

didr dids   v dr =0=R r i dr +L r dt +M dt +ωr (L r i qr +Miqs )  diqr di  +M qs -ωr (Lr idr +Mi ds )  v qr =0=R r i qr +L r dt dt  di 0r   v 0r =0=R r i 0r +L r0 dt 

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2.17

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 Repère lié au rotor: Ce référentiel peut être intéressant dans les problèmes de régimes transitoires où la vitesse de rotation est considérée comme constante. La pulsation de Park vaut alors ω p =ωr . Les équations respectivement du stator et du rotor deviennent:

di ds didr   v ds =R si ds +Ls dt +M dt -ωr (Ls i qs +Miqr )  di qs diqr  +M +ωr (Ls ids +Mi dr )  v qs =R si qs +Ls dt dt  di 0s   v 0s =R si 0s +Ls0 dt 

2.18

di dr di ds   v dr =0=R r i dr +L r dt +M dt  di qr di  +M qs  v qr =0=R r i qr +L r dt dt  di 0r   v 0r =0=R r i 0r +L r0 dt 

2.19

 Repère synchrone (lié au champ tournant): Ce référentiel est utilisé pour l'étude des moteurs asynchrones alimentés par des tensions à fréquence variable. La pulsation vaut alors ( ω p =ωs ). Les équations respectivement du stator et du rotor deviennent:

di ds didr   v ds =R si ds +Ls dt +M dt -ωs (Ls i qs +Miqr )  di qs diqr  +M +ωs (Ls ids +Mi dr )  v qs =R si qs +Ls dt dt  di 0s   v 0s =R si 0s +Ls0 dt 

2.20

di dr di ds   v dr =0=R r i dr +L r dt +M dt -(ωs -ωr )(Lr i qr +Mi qs )  di qr di qs  +M +(ωs -ωr )(L r idr +Mids )  v qr =0=R r i qr +L r dt dt  di0r   v 0r =0=R r i 0r +L r0 dt 

2.21

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10. Equations complexes de la machine dans le repère du Park q

i qs

Ls

v qs

M

ωp

i qr v qr

Lr

M

Lr 0

Ls i dr

v dr

d

i ds v ds

Fig.2.8: Modèle de la machine asynchrone dans le repère diphasée tournant (dq0)

L’axe « d » est considéré comme axe réel, alors que l’axe « q » est considéré comme axe imaginaire. Par conséquent on peut écrire respectivement les équations du stator et du rotor par :  vs =v ds +jv qs   is =i ds +ji qs  Φs =Φ ds +jΦ qs

2 .22

 v r =v r +jv qr   ir =i dr +ji qr  Φ r =Φ dr +jΦqr

Les équations précédentes en fonction des flux de la machine dans le repère de Park s’écrivent alors :

 dΦ s  vs =R s is + dt +jωp Φs   v =0=R i + dΦ r +j(ω -ω )Φ r r p r r  r dt

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2.23

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Ou bien encore en fonction des courants s’expriment par:

 d is di +M r +jωp (Ls is +M ir )  vs =R s is +Ls dt dt   v =0=R i +L d ir +M d is +j(ω -ω )(L i +M i ) r r r p r r r s  r dt dt

2.24

11. Schémas électriques équivalent en régime quelconque  Circuit d’axe direct « d » : i ds

L sf

Rs

ωp Φ qs

L rf

Rr

i dr

i md d dm dt

v ds

(ωp -ωr )Φqr

dids dΦ dm   v ds =R si ds +Lsf dt + dt -ωp Φ qs   v =0=R i +L didr + dΦ dm -(ω -ω )Φ r dr rf p r qr  dr dt dt

2.25

 Circuit d’axe transversal « q » : i qs

Rs

L sf

ω p Φ ds

Rr

L rf

i qr

i qm v qs

d qm dt

diqs dΦ qm  + +ωp Φ ds  v qs =R si qs +Lsf dt dt   v =0=R i +L di qr + dΦ qm +(ω -ω )Φ r qr rf p r dr  qr dt dt

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(ωp -ωr )Φdr

2.26

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 Circuit d’axe homopolaire «0 » : Rs

i 0s

v 0s

Rr

i 0r

L s0

v 0r

L r0

12. Expressions du couple électromagnétique Le couple électromagnétique est né suite à l’interaction entre les champs magnétiques du rotor et du stator. Il est définit à partir de la puissance mécanique.

Te =

dPm dP  dM sr (θ)  T =p m =p  is    ir  dθm dθ  dθ 

2.27

 Expression du couple en fonction des courants





Te =pM I m ( is ir * ) =pM(iqsidr -i dsiqr )

2.28

 Expression du couple en fonction des grandeurs du rotor





Te =p I m (Φ r ir * ) =p(Φ qr i dr -Φ dr i qr )

2.29

 Expression du couple en fonction des grandeurs du stator





Te =-p Im (Φs is * ) =p(Φ dsiqs -Φ qsids )

2.30

 Expression du couple en fonction des grandeurs du stator et du rotor Te =

pM pM I m (Φ r is * ) = (Φ dr iqs -Φ qr ids ) Lr Lr





pM pM Te = Im (Φ r Φ*s ) = (Φdr Φ qs -Φ qr Φds ) σLs L r σLs L r



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2.31



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13. Modèles d’état de la machine asynchrone alimentée en tension La mise en équation d’état de la machine asynchrone est liée au type d’alimentation et au choix de vecteur d’état. En général, on alimente la machine par une source de tension si elle est de moyenne puissance, et on l’alimente par une source de courant si elle est de forte puissance. Le modèle mathématique de la machine s’écrit sous la forme d’une équation d’état non linéaire dans le repère de Park. Toute en transformant les équations 2.13 et 2.14 de la machine asynchrone sous la forme d’équation d’état de la manière suivante:  X •  =  A  X  +  B U   Y  = C X 

Avec

A : Matrice d’état du modèle; B : Matrice de commande d’état du modèle ; C : Matrice d’observation du modèle ; U : Vecteur des entrées de commande et des perturbations ; X : Vecteur des variables d’état du modèle ; Y : Vecteur de mesure du modèle.

Tr

U

Modèle d' état de la machine asynchrone

Y 

Fig.2.9: Schéma bloc du modèle de la machine asynchrone

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Vecteur d’état :  X  = i ds ; i qs ; i dr ; iqr  1   di ds    dt  τs      di qs  - (σωp +(1-σ)ω r )  dt  1    = M  di dr  σ    dt  L r τs   di   M  qr  ωr   dt  L r 

T

(σωp +(1-σ)ωr ) -

1 τs

M τr Ls -

M ωr Lr

M ωr Ls

-

M τs L r

1 τr

-σωp + ωr

M   1 ωr   L Ls s    M  i ds     0 τ r Ls  i qs  1  +  i  σ  M σωp -ωr   dr   i qr   Ls L r   1   0 τr  

   1   Ls   vds   v  0   qs   M   Ls L r  0

 Vecteur de mesure du modèle: i ds    i ds   1 0 0 0  i qs   Y  = i  =  0 1 0 0  . i    dr   qs   i qr 

 Couple électromagnétique de la machine: Te =pM(iqsi dr -idsiqr )=p  Equation mécanique de la machine: J

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M (Φ dr iqs -Φ qr ids ) Lr

dΩ dω =Te -Tr -fΩ  J r =pTe -pTr -fωr dt dt

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Vecteur d’état:  X  = Φ ds ; Φ qs ; Φ dr ; Φ qr 

 1  dΦ ds   -τ  dt   s     dΦ qs  -σωp  dt  1    =  dΦ dr  σ  M   dt   τ r Ls   dΦ   qr   0  dt  

σωp

M τs L r

1 τs

0

-

0

-

M τ r Ls

T

1 τr

-σ(ω p -ωr )

   M   Φ ds   1   τ s L r   Φ qs   0 +  Φ dr   0 σ(ωp -ωr )       Φ qr   0 1   τr  0

0  1   vds    0   vqs   0

 Vecteur de mesure du modèle:  1 i   1L  Y  = ids  =  s  qs  σ 0  

0

1-σ M

1 Ls

0

  Φ ds  0   Φ   qs  1-σ   Φ dr    M   Φ qr   

 Couple électromagnétique de la machine: Te =

pM (Φ qsΦ dr -Φ ds Φ qr ) . σLs Lr

dΩ dω =Te -Tr -fΩ  J r =pTe -pTr -fωr . dt dt   Ce modèle est utilisé pour orienter le flux rotorique:  r .

 Equation mécanique de la machine: J

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Vecteur d’état:  X  = Φ ds ; Φ qs ; i ds ; i qs 

 dΦds   dt   0    -σω p  dΦqs    dt  1  1  =   dids  σ  τ r Ls  dt   ωr  di   qs   Ls  dt 

σωp 0 ωr Ls 1 τ r Ls

-σR s 0 -(

1 1 + ) τ r τs

σ(ωp -ωr )

T

0 -σR s

  1  Φ     ds   0  Φ qs  1 σ(ωp -ωr )    +     i ds   σL s  1 1  i -( + )   qs   0 τ r τs  

0   1    v ds  0     v qs  1   σLs 

 Vecteur de mesure du modèle: Φ ds    i ds   0 0 1 0  Φ qs   Y  = i  =  0 0 0 1  i    ds   qs   i qs 

 Couple électromagnétique de la machine: Te =  Equation mécanique de la machine: J

p (i qsΦ ds -i ds Φ qs ) . Lr

dΩ dω =Te -Tr -fΩ  J r =pTe -pTr -fωr dt dt

  Ce modèle est utilisé pour orienter le flux statorique: Φ s .

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

Vecteur d’état :  X  =  i ds ; i qs ; Φ dr ; Φ qr  1  1  di ds   -( τ + (1-σ) τ )  dt  r  s    di  qs  -σω p  dt  1    = σM  dΦ dr  σ    dt  τr   dΦ    qr  0   dt  

T

(1-σ) Mτ r

σω p -(

1 1 +(1-σ) ) τs τr 0 σM τr

-

(1-σ) ωr M -

σ τr

-σ(ω p - ωr )

(1-σ)  ωr  M  1  L i   (1-σ)  ds  s   Mτ r  i qs  1  0 +   Φ  σ  σ(ωp -ωr )   dr   0   Φ qr   σ   0  τr 

 0   1   vds  L s   vqs  0   0 

 Vecteur de mesure du modèle: i ds    i ds   1 0 0 0  i qs   Y  = i  =     qs   0 1 0 0  Φ dr  Φ qr 

 Couple électromagnétique de la machine: Te =

pM (i qsΦ dr -ids Φ qr ) . Lr

dΩ dω =Te -Tr -fΩ  J r =pTe -pTr -fωr . dt dt   Ce modèle est utilisé pour orienter le flux rotorique:  r .

 Equation mécanique de la machine: J

Electrotechnique avancée

Page : 29

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

13.1. Simulation du modèle dans un repère lié au stator Les équations de la machine asynchrone (fonctionnement moteur), tout en supposant qu’elle est symétrique et équilibrée. Après un développement du calcul, on trouve:

1   diαs    dt  τs      diβs  -(1-σ)ωr  dt  1   =  di  αr  σ  M   dt   τ s Lr  di   M  βr  ωr   dt   Lr

M τ r Ls

(1-σ)ωr -

1 τs

-

M   1 ωr   L Ls s   i     M αs 0   τ r Ls  iβs  1  +  iαr  σ  M -ωr     iβr   Ls Lr  1    0 τr  

M ωr Ls

M ωr Lr

-

1 τr

M τs Lr

ωr

   1  Ls   vαs    vβs  0   M   Ls L r  0

 Vecteur de mesure du modèle:

ids    i ds   1 0 0 0  iqs   Y  = i  =  0 1 0 0  i    dr   qs   iqr   Matrice de passage (Concordia):  0  v αs  2  =   3  vβs  1 

1 2 3 2

-

1 v  a 2    vb 3     v 2  c  -

 Couple électromagnétique de la machine: Te =pM(iαr iβs -iβr iαs )=  Equation mécanique de la machine: J

Electrotechnique avancée

pM (Φαr iβs -Φβr i αs ) . Lr

dΩ dω =Te -Tr -fΩ  J r =pTe -pTr -fωr . dt dt

Page : 30

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

 Schéma de simulation: v αs

v abc

3

2

vβs

 i αs ; i βs ; i αr ; iβr 

Résolution de l' équation d' état

T

i abc

2

3

ωr Calcul du couple

Te Résolution de l' équation mécanique

Tr

Ω

p

Fig.2.10: Schéma du modèle de la MAS dans un repère lié au stator alimentée en tension

Electrotechnique avancée

Page : 31

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

 Vecteur d'état :

X T = isα ; i sβ ; i rα ; i rβ ; ω r  200

40 is 

Tr(Nm)

60

20 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-200

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4 0.6 Temps(s)

0.8

1

100 0 -100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

ir

200

100

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

-200

1

200

ir

500

0

-500

0

-200

1

200

 (rad/s)

0

200 is

Te(Nm)

200

vs

0

0

0.2

0.4 0.6 Temps(s)

0.8

1

0

-200

Fig.2.11: Allures des grandeurs vs ; Tr ; Te ; ; is ; is ; ir et ir

Electrotechnique avancée

Page : 32

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

X T = i sα ; isβ ;  rα ;  rβ ; ωr 

 Vecteur d'état :

200 is 

Tr(Nm)

20

10

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-200

1

100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-200

r

Te(Nm)

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4 0.6 Temps(s)

0.8

1

0

-1

1

1

r

500 vs

0.4

1

100

0

-500

0.2

0

200

-100

0

200 is 

 (rad/s)

200

0

0

0

0.2

0.4 0.6 Temps(s)

0.8

1

0

-1

Fig.2.12: Allures des grandeurs vs ; Tr ; Te ; ; is ; is ; r et r

13.2. Simulation du modèle de la machine dans un repère lié au champ tournant L’équation d’état du modèle de la machine alimentée en tensions est donnée par: 1 M   di ds  (σωs +(1-σ)ωr )   dt  τs τ r Ls     1 M  di qs  -(σωs +(1-σ)ωr ) - ωr   dt  1 τs Ls  =   di M M 1 σ  dr  - ωr   dt  τ s Lr Lr τr    di  M M qr   ωr -σωs + ωr   dt  Lr τsLr 

Electrotechnique avancée

Page : 33

M ωr Ls

  1   L s    ids   M 0   τ r Ls  iqs  1  +  i  σ  M (σωs -ωr )   dr   iqr   Ls L r   1   0 τr  

   1  Ls   vds   v  0   qs   M   Ls L r  0

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

 Matrice de passage:  cos(θ s )  v ds  2   = 3  v qs   -sin(θ s ) 

2π   v  ) a 3     vb  2π -sin(θs + )   v c  3 

2π ) 3 2π -sin(θ s - ) 3

cos(θ s -

cos(θ s +

 Couple électromagnétique de la machine: Te =pM(iqsi dr -idsiqr )=  Equation mécanique de la machine: J

v ds

v abc

3 2

ωs

θs

v qs

dΩ dω =Te -Tr -fΩ  J r =pTe -pTr -fωr . dt dt

Résolution de l' équation d' état

ωs

pM (i qs Φ dr -ids Φ qr ) . Lr

i

ds

i qs i dr i qr



T

i abc

2 3

θs

ωr

Calcul de la position du stator

θ s =  ωs .dt

Calcul du couple

Te Résolution de l' équation mécanique

Tr

Ω

p ωr

Fig.2.13: Schéma du modèle de la MAS dans un repère lié au champ tournant alimentée en tension

Electrotechnique avancée

Page : 34

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

30

400 300 vitesse wr

Couple Tr

20

10

200 100 0

0

0

0.1

0.2 0.3 Temps(s)

0.4

0.5

0

0.1

0.2 0.3 Temps(s)

0.4

0.5

-100

0

0.1

0.2 0.3 Temps(s)

0.4

0.5

200

v1

100 0 -100 -200

Fig.2.14: Allures des grandeurs v1, Tr et wr

0

50

-20 0 iqs

ids

-40 -60

-50

-80 -100 -100 0

0.1

0.2 0.3 Temps(s)

0.4

-150

0.5

150

150

100

100 iqr

idr

-120

50 0 -50

0

0.1

0.2 0.3 Temps(s)

0.4

0.5

0

0.1

0.2 0.3 Temps(s)

0.4

0.5

50 0

0

0.1

0.2 0.3 Temps(s)

0.4

0.5

-50

Fig.2.15: Allures des grandeurs ids, iqs, idr et iqr

Electrotechnique avancée

Page : 35

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

14. Commande en courant de la machine asynchrone triphasée Le modèle mathématique de la machine asynchrone alimentée en courant s’écrit sous la forme d’une équation d’état non linéaire dans le repère de Park ; en fonction du vecteur d’état du modèle choisi. Vecteur d’état: X   Φ dr ; Φ qr T  M   -1 (ω p - ωr )    Φ τr   τ   dr  +  r = 1   Φ qr     -(ω - ω )   p r  0 τ r    

 dΦ dr  dt   dΦ qr   dt

 Couple électromagnétique de la machine : Te =

 0 i    ds  M   i qs  τ r 

pM (Φ dr iqs -Φ qr ids ) . Lr 

 Ce modèle est utilisé pour orienter le flux rotorique:  r .  Modèle de la machine asynchrone dans le repère de Concordia:  dΦ αr  dt   dΦβr   dt

 - 1   τ = r  ω   r  

 -ωr  Φ  i    αr  + M  1 0   αs  1  Φ τ 0 1  iβs  -   βr  r  τr 

 Modèle de la machine asynchrone dans un repère lié au champ tournant:  dΦ dr  dt   dΦ qr   dt

   -1 (ωs - ω r )    τr Φ  i    dr  + M  1 0   ds  = 1   Φ qr  τ r  0 1   i qs    -(ω - ω )   s r τ r   

 Modèle de la machine asynchrone dans le repère lié au rotor:  dΦ dr  dt   dΦ qr   dt

Electrotechnique avancée

  1  = τr  

 1 0   Φ dr  M  1 0   i ds  +       0 1   Φ qr  τr  0 1   i qs 

Page : 36

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

Vecteur d’état:  X  =  idr ; i qr   di dr  dt   di qr   dt

T

    -1 (ω p -ω)  0    T i   dr r  .  +  = 1   i qr   M   -(ω -ω) -(ωp -ωr )   p   Tr  Lr   

M  M L r   i ds   L r  .  +    i qs   0   0  

(ω p -ω r )

 0   di ds     .  dt  M  di -   qs  L r   dt 

 Couple électromagnétique de la machine: Te =pM(i dr .i qs -ids .i qr ) 

 Ce modèle est utilisé pour orienter le flux rotorique:  r .  Modèle de la machine asynchrone dans le repère de Concordia: Dans le repère de Concordia on a : Is =Is e jωs t , on obtient alors :  di αs   dt   0  =  diβs   ωs    dt 

-ωs   i αs  .   0   iβs 

Par conséquent le modèle est donné par :  di αr  dt   diβr   dt

 - 1   τ = r  ω   r  

 -ωr  i  i    αr  + M (ωs -ω r )  0 1   αs  1 i Lr  -1 0   i βs  -   βr  τr 

 Modèle de la machine asynchrone dans un repère lié au rotor: Dans un repère lié au rotor on a : I s =I s .e j( ωs -ωr )t , on obtient alors:  di ds   dt   0 1   i ds  .   =(ωs -ωr )     di qs   1 0   i qs     dt 

Par conséquent le modèle est donné par:  di dr  dt   di qr   dt

Electrotechnique avancée

  1  = τr  

 1 0   i dr  M  0 1   i ds     i  +(ωs -ω r )    L r  1 0   i qs   0 1   qr 

Page : 37

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

Vecteur d’état:  X  =  Φ ds ; Φ qs 

T

Ls     dΦ ds   - 1  di ds  (ωp - ω r )  -σLs (ωp -ωr )   dt   τr  Φ ds   τr  ids  1 0   dt      +σLs   =   +    iqs  1   Φ qs   Ls 0 1   di qs   dΦ qs   -(ω - ω )     p r    σL s (ωp -ω r )  τr  τr  dt    dt   

 Couple électromagnétique de la machine: Te =pM(Φqsi qs -Φqsi ds ) . 

 Ce modèle est utilisé pour orienter le flux statorique:  s .  Modèle de la machine asynchrone dans le repère de Concordia:  dΦ αs   - 1  dt   τ  = r  dΦβs   ω    r  dt  

Ls    -ωr  -σLs (ωs -ω r )   Φ αs   τr i     αs  +    iβs  1 Φ Ls -   βs   σLs (ωs -ω r )  τr  τr  

 Modèle de la machine asynchrone dans un repère lié au rotor: Ls    dΦ ds  -σL s (ωs -ωr )   dt  1  1 0   Φ ds   τr i    ds    =-    Φ  +  dΦ  Ls  qs  τr  0 1   qs  σL (ω -ω )  i qs     s s r  τr  dt   

14.1. Simulation du modèle de la machine dans un repère lié au stator L’équation d’état de la machine asynchrone alimentée en courants est donnée par:  di αr  dt   diβr   dt

 - 1   τ = r  ω   r  

 -ωr  i  i    αr  + M (ωs -ω r )  0 1   αs  1 i Lr  -1 0   i βs  -   βr  τr 

 Matrice de passage (Concordia):  1  iαs  2   = 3  iβs  0 

-

1 2 3 2

1  i  a 2    ib 3     i 2  c  -

 Couple électromagnétique de la machine: Te =pM(iβs .iαr -i αs .iβr ) .  Equation mécanique de la machine: J

Electrotechnique avancée

dΩ dω =Te -Tr -fΩ  J r =pTe -pTr -fωr . dt dt

Page : 38

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

 Schéma de simulation: i αs

i abc

3 2

iβs

Résolution de l' équation d' état

 i αs ; iβs ; iαr ; iβr 

T

ωr Calcul du couple

Te Résolution de l' équation mécanique

Tr

Ω

p

Fig.2.16: Schéma de simulation de la machine asynchrone dans un repère lié au stator alimentée en courants

Electrotechnique avancée

Page : 39

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

800

40

600

30 Couple Tr

vitesse wr

 Résultat de la simulation:

400 200

10

0

0.2

0.4 Temps(s)

0.6

0

0.8

100

100

50

50 iqr

idr

0

20

0 -50 -100

0

0.2

0.4 Temps(s)

0.6

0.8

0

0.2

0.4 Temps(s)

0.6

0.8

0 -50

0

0.2

0.4 Temps(s)

0.6

0.8

-100

Fig.2.17: Allures des grandeurs Tr, ir , ir et r

Electrotechnique avancée

Page : 40

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

15. Modélisation de l’onduleur triphasé de tension i

iT 2

i T1 T1

C1

VDC 2

D1

T2

C2

iT 3

D2

D3

T3

C3

i D3

i D2

i D1

i1

1

Masy

u 12

2

0

N

3~

3

VDC 2

i T'1 C4

i T '2

D'1 T'1

T'2

C5

D'2

v1

i T '3 C6

T' 3

i D' 3

i D '2

i D'1

D'3

Fig.2.18: Schéma de principe d’un onduleur de tension triphasé alimentant une machine asynchrone triphasée

L’onduleur triphasé est formé par trois bras, dont chacun comporte deux interrupteurs de puissance bidirectionnels en courant. Les clés de commande des interrupteurs de puissance sont notées par Ci.  Modèle de l’onduleur triphasé: Les trois tensions simples et composées à la sortie de l’onduleur sont données par :  v1   2 -1 -1  C1   v  = VDC  -1 2 -1 C   2  2 3   -1 -1 2   C   v3    3

 u12   1 -1 0   C1   u  =V  0 1 -1  C   2  23  DC   -1 0 1   C   u 31    3

2.35

 Vecteur de tension de l’onduleur dans le repère de Concordia: Vs =Vd +jVq =

1  2 3 VDC  (2C1 -C 2 -C3 )+j (C 2 -C3 )  3 2 2  2.36

 v1  2  2  Vs =Vd +jVq = VDC 1 a a   v 2  3  v 3 

Electrotechnique avancée

Page : 41

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

Vs =Vd +jVq

C1

C2

C3

VK

0 0

0 1 1

0 1 0

0 1 0

V1 V7

2 1 3 VDC ( +j ) 3 2 2

1

1

0

V2

2 1 3 VDC (- +j ) 3 2 2

0

1

0

V3

2 VDC 3

0

1

1

V4

2 1 3 VDC ( +j ) 3 2 2

0

0

1

V5

2 1 3 VDC ( -j ) 3 2 2

1

0

1

V6

2 VDC 3

-

V1

Le vecteur tension à la sortie de l’onduleur dans le repère lié au stator est donné par: π  j(k-1)  2 3 ;  Vk = 3 VDC e   V0 =V7 =0

2.37

k  (1..6)

300 V3 (010)

V2 (110)

200

100

V4 (011)

V1 (100)

0 V7 (111)

V0 (000)

-100

-200

V5 (001) -300 -400

-300

-200

V6 (101) -100

0

100

200

300

400

Fig.2.19: Les vecteurs des tensions alimentant la machine

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

L’onduleur délivre six vecteurs de tensions non nuls et deux autres vecteurs nuls. 300 90

V3 (010)

400

120

V2 (110)

60

200

300 V3

V2 200

150

30

100

100 180

V4

V1,

0

0

V4 (011)

V1 (100) V7 (111)

V0 (000)

-100 210

330 V5

V6

240

300 270

-200

-300 -400

V5 (001) -300

-200

V6 (101) -100

0

100

200

300

400

Fig.2.20: Vecteurs de tensions de l’onduleur de tension

16. Techniques de commande de l’onduleur triphasé de tension Il existe plusieurs types de commande l’onduleur à savoir :  MLI intersective (MLI avec porteuse ; MLI avec critères harmoniques…..),  MLI vectorielle.

16.1. MLI intersective Les tensions modulantes (a, b et c) représentent les tensions images de système des tensions triphasés simples. La porteuse p(t) est un signal triangulaire dont la fréquence (fp>> fa). Ell est caratérisée par l’indice de modulation (m) et le profondeur de modulation(r) :

fp Vp  .  m= ; r= fa Va 

p(t)

 a

 b

C2

 

c

C1



C3



Fig.2.21: Principe de la commande d’un MLI intersective

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

16.2. MLI vectorielle Elle consiste à appliquer à la machine un vecteur de commande (référence) parmi les vecteurs générés ci-dessous par l’onduleur. π  j(K-1)  2 3 =V .e jθ k max  VK = 3 VDC .e   V0 =V7 =0

; K  (1..6)

Il se trouve que l’application de ce vecteur de référence est située entre deux vecteurs consécutifs générés par l’onduleur, comme l’indique la figure ci-dessous: Pour commander la machine, il suffit d’appliquer la valeur moyenne de ces deux vecteurs: Vref =

TK .VK +TK+1.VK+1 . TE

q

VK 1 Vref

π 3

 ref

ξ

VK

d

0

Fig.2.22: Principe de la MLI vectorielle

Tk ; TK 1 : Temps d’application des vecteurs consécutifs. TE : Période d’échantillonnage,

ρ=

Vref : Rapport des amplitudes. Les temps de commande des vecteurs consécutifs et le temps Vmax

d’application de deux vecteurs nuls sont données par:

2ρTE  TK = 3 sin(ξ)  2ρTE π  sin( -ξ) TK+1 = 3 3  T0  

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2 .38

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

La période d’échantillonnage vaut alors TE =TK +TK+1 +2T0  Algorithme de la MLI vectorielle:

Début

456

23

56

45

Vs   3.Vsα

Secteur 4

Secteur 5

12

Vsα  0

Vsα  0

Vs  3 .Vsα

Secteur 5

123

Vs  0

Vs  3.Vsα

Vs   3.Vsα

Secteur 6

Secteur 3

Secteur 2

Secteur 1

Secteur 2

Fig.2.23: Algorithme de décision dans le repère (0)

500 Vref

400

400

VD 300

VD

Vref

V3

V2

300

200

V2

V3

200

100

100 VQ

VQ 0

V4

0

V4

V1

V1

-100

-100

-200

-200

-300 -400

V5 -300

-200

V5

V6 -100

0

100

200

300

400

-300 -400

-300

-200

V6 -100

0

100

200

300

400

Fig.2.24: Vecteur de commande Vref dans le repère (0)

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

16.3. MLI multinivaux On va traiter le cas d’un onduleur de tension triphasé à trois nivaux. i

C 11

D1 VDC 2

C 21

D2

C12

C 22

1

0

D 1'

VDC 2

C 31

D3

C 32

2

3

D '2

D 3'

u 12

Masy 3~

Fig.2.25: Onduleur de tension triphasé à 3 nivaux

 MLI intersective: Les tensions modulantes (a, b et c) représentent les tensions images de système des tensions triphasés simples. Les porteuses p(t) et –p(t) sont complémentaires. La porteuse est caratérisée par l’indice (m) et le profondeur (r).

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

p(t)

a



C11

 b

c

 

C21

 

C31





C12

 

C22

 

C32

- p(t)

Fig.2.26: Commande MLI intersective de l’onduleur à trois nivaux  Résultat de la simulation: Les grandeurs de la porteuse: Vp =50V ; f p =5kHz , Les grandeurs des modulantes: Vm =5V ; f m =50Hz , La tension d’alimentation de l’onduleur: VDC =200V .

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

150

100

50 v1 0

-50

-100

-150

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Temps(s)

Fig.2.27: Allure de la tension simple v1

17. Commande du moteur asynchrone triphasé par onduleur MLI de tension en boucle ouverte dans le repère de Concordia

Commande

f p  1kHz f m  50Hz

C123 VDC  500V

v abc Onduleur_M LI_ 3 ~

3 Transformation : 2

v DS

i sβ

Masyn_3 ~ Tr

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i sα

v QS

 s

 s

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

 Résultat de la simulation :

vds

500

0

-500

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Temps(s)

1 Phi-QS

Phi-DS

1 0 -1

0

0.1

0.2 0.3 Temps

0.4

-1

0.5

0

0.1

0.2 0.3 Temps

0.4

0.5

0

0.1

0.2

0.4

0.5

200 iQS

iDS

200 0 -200

0

0

0.1

0.2 0.3 Temps

0.4

0.2 0.3 Temps(s)

0.4

0.5

0 -200

0.3

Temps



200 100 0

0

0.1

0.5

Fig.2.28: Allures des grandeurs Tr ; VDS ; s ; s ; is ; is et 

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

18. Commande vectorielle de la machine asynchrone à flux orienté Le couple électromagnétique instantané dans le repère (dq0) est non découplé c'est-à-dire, il s’écrit sous la forme Te =

* pM pM Im (Φ r is ) = (Φ dr i qs -Φ qr ids ) . Lr Lr





On voit bien que c’est le résultat de deux couples d’une machine à courant continu: v ds

ωr

v qs

ωp

Machine synchrone

 dr

i qs

M cc1

 qr

i ds Te

M cc2

Fig.2.29: Modèle de la machine asynchrone

En réalité, il existe plusieurs stratégies de commande, suivant le modèle de la machine adopté et suivant les grandeurs de référence choisies. 18.1. Orientation du flux rotorique On va annuler la composante du flux ( Φ qr =0 ), et on considère que le flux réelle de la machine coïncide avec l’axe « d » du repère de Park, on a donc ( Φ dr =Φ r ). On obtient donc l’expression du couple d’une machine à courant continu à grandeurs découplés: Te =

pM (Φdr i qs ) . Lr

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

β

q

Φ dr =Φ r

d

Axe rotor (1)

θr θp θ

α Axe stator (a)

0

Fig.2.30: Orientation du flux rotorique suivant l’axe d

18.2. Estimateur de flux du rotor En général les grandeurs statoriques sont accessibles, pour cette raison, on va déterminer l’expression du flux du rotor en fonction des grandeurs statoriques.

dΦ dr   v dr =0=R r i dr + dt -(ωp -ωr )Φ qr  dΦ qr   v qr =0=R r i qr + dt +(ωp -ωr )Φdr  Φ qr =L r iqr +Miqs  Φ dr =L r idr +Mids A partir de cette expression on obtient: R r .idr + D’où : Φ dr -est =

dΦ dr Φ -M.ids dΦ dr =R r .( dr )+ =0 . dt Lr dt

M .i ds . 1+τr .p

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

18.3. Estimateur de l’ange de Park  p A partir des équations suivantes, on peut déduire les estimateurs de « p et p ».

Φ qr =0=L r iqr +Miqs   dΦ qr +(ωp -ωr )Φ dr  v qr =0=R r i qr + dt  On a 0=R r i qr +(ωp -ωr )Φ dr =Soit θ g-est =  (

M M i qs +(ωp -ωr )Φ dr . D’où : ωg-est = i qs . τr τ r Φ dr-est

M iqs )dt , soit τ r Φ dr -est

θ p-est =θ g-est +θ r .

18.4. Modèle de la machine asynchrone à flux orienté

M Φ dr et Φ qs =σLs .i qs . Lr Par conséquent les tensions du stator ont pour expressions: Les flux du stator ont pour expressions: Φ ds =σLsids +

  (1+τr p) M  + p  Φ dr -ωp σLsi qs  v ds = (R s +σLs p) M Lr      v =(R +σL p)i +ω  σLs (1+τ r p) + M  Φ s s qs p   dr  qs M Lr   

Le flux du rotor et le courant transversal du stator ont pour expressions: 1  (v ds +ωp σLsi qs ) Φ dr =  (1+τ r p) M   (R s +σLs p) M + L p    r       σLs 1 M i qs = (1+τ r p)+  Φ dr   v qs -ωp  (R s +σLs p)  Lr    M  Elles sont modélisées par le schéma bloc suivant: v ds Modéle MAS

v qs

 dr i qs

Fig.2.31: Bloc du modèle de la machine asynchrone à flux rotorique orienté

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Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable

18.5. Modèle de la machine asynchrone à flux rotorique orienté VDC

Φdr-cde



PI





v ds



vabc-ond P(θ p )

i qs-cde



PI





v qs 

 σL (1+τ r p) M  ωp  s +  M Lr  

ωp σLs

i as

iqs-est

ids-est

 P(θ p ) 

-1

i bs

MAS

Φ dr-est =

dr-est

M ids 1+τr p

θr

θ p-est =θ g-est +θ r

Fig.2.32: Modèle de la machine asynchrone à flux du rotor orienté

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