Cours de Meca Appliquee Final [PDF]

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Cours de Mécanique Appliquée en classe de première F4-BA

PROGRAMME DU COURS DE MECANIQUE APPLIQUEE EN CLASSE DE PF4-BA

PREMIERE PARTIE : STATIQUE

CHAPITRE 1 : RAPPEL DE QUELEQUES NOTIONS CHAPITRE 2 : PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE : CALCUL DES ACTIONS S’EXERCANT SUR UN SOLIDE CHAPITRE 3 : STATIQUE GRAPHIQUE CHAPITRE 4 : ETUDE DES SYSTEMES TRIANGULES : METHODES DE CREMONA ET RITTER CHAPITRE 5 : LES CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES D’UNE SECTION PLANE

DEUXIEME PARTIE : RESISTANCE DES MATERIAUX

CHAPITRE 6 : INTRODUCTION A LA RESISTANCE DES MATERIAUX ET HYPOTHESES FONDAMENTALES CHAPITRE 7 : TRACTION ET COMPRESSION SIMPLES CHAPITRE 8 : FLEXION PLANE SIMPLE : EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT CHAPITRE 9 : CISAILLEMENT SIMPLE

TROISIEME PARTIE : HYDRAULIQUE

CHAPITRE 10 : NOTION DE STATIQUE DES FLUIDES CHAPITRE 11 : ETUDE DE LA STATIQUE DES FLUIDES

QUATRIEME PARTIE : CINEMATIQUE

CHAPITRE 12 : GENERALITES SUR LA CINEMATIQUE CHAPITRE 13 : ETUDE DES MOUVEMENTS PARTICULIERS : RECTILIGNE UNIFORMEUNIFORMEMENT VARIES ET CIRCULAIRE UNIFORME ET UNIFORMEMENT VARIE

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PREMIERE PARTIE : STATIQUE

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CHAPITRE 1 : RAPPEL DE QUELEQUES NOTIONS

IQUELQUES DEFINITIONS I-1- Statique C’est la partie de la mécanique qui étudie l’équilibre d’un corps au repos soumis à des forces extérieures. I-2- Solide réel et solide parfait Le solide réel est le solide tel qu’il apparaît réellement. Il possède une masse constante et un volume dont les limites varient lorsqu’il est soumis à des actions mécaniques, suivant une loi connue (le ressort par exemple) ou non connue à priori. Autrement dit, un solide réel est déformable. Un solide parfait est en plus homogène, isotrope et de surfaces parfaitement lisses. Il est indéformable. - Homogène : les éléments constitutifs du matériau sont de même nature en tout point du solide et leur répartition est uniforme (contre exemple : le béton armé). - Isotrope : les propriétés physiques du matériau (notamment les propriétés mécaniques) sont les mêmes dans toutes les directions (contre exemple : le bois, sens parallèle ou sens perpendiculaire aux fibres). I-3 – Système matériel On appelle système matériel, une quantité de matière homogène ou non dont la masse reste constante pendant son étude. Un système matériel peut être : un solide, plusieurs solides, un morceau de solide, une masse de fluide. IINOTION DE FORCE OU ACTION MECANIQUE II-1- Définition On appelle force, toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, de créer ou modifier un mouvement ou encore de déformer un corps. II-2- Les caractéristiques d’une force Intensité A

⃗

B

Une force est caractérisée par : Son point d’application (A) ; Sa direction ou droite d’action (AB); Son sens (A vers B); Son intensité ou module exprimé en Newton (N) et ses multiples (MN, kN, hN, daN)

II-3- Types de forces ou actions On distingue deux types de forces : 3 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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II-3-1- Les forces à distance Ici les forces ne sont pas en contact. On peut citer : -

Les forces magnétiques, électromagnétiques ou électrostatiques.

Exemple : Action d’un aimant sur un solide -

Le poids d’un solide (action de la terre sur le solide)

II-3-2- Les forces de contact Ici les deux solides sont en contact. Les actions mécaniques de contact existent dès qu’il y a contact entre 2 solides ou entre un fluide et un solide. II-4- Expression d’une force en fonction de ses composantes y

⃗ α

⃗

⃗

Considérons une force ⃗ faisant un angle α avec α

le plan horizontal. Décomposons cette force en 2

⃗

autres, on obtient : ⃗ = ⃗ + ⃗ et l’intensité de ⃗ est : F=

+

O FX et Fy sont les composantes de ⃗ et ont pour expression :

FX=F.cosα

et

x

FY=F.sinα

II-5-Moment d’une force par rapport à un point et théorème de VARIGNON y

⃗

H

P x z

⃗( )

On appelle moment d’une force ⃗ par rapport à un point P, le vecteur de point d’application P et perpendiculaire au plan défini par F et P. Il est noté ⃗( ) et sa valeur algébrique est : MP(F)=FxPH

unité : N.m

La distance PH est appelée bras de levier. NB : Le moment est une grandeur algébrique c'est-à-dire il peut être positif ou négatif. 4 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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THEOREME de VARIGNON : Le moment d’une force F par rapport à un point A est égal à la somme des moments de ses composantes Fx et Fy par rapport au même point A. MA(F)= MA(Fx) + MA(Fy)

⃗ ⃗ A ⃗

III-

LES LIAISONS MECANIQUES

III-1-Définition Une liaison mécanique entre deux pièces est un ensemble de dispositions constructives permettant à ces deux pièces d’avoir l’une par rapport à l’autre certaines libertés de mouvements et permettre la transmission de certains efforts. III-2-Types de liaisons utilisés dans les B.T.P Liaisons

Modélisations

Inconnues

Total

Ax ; Ay ;MAZ (Moment d’encastrement)

03

y

Encastrement

A x y

Articulation

A

x

Ax et Ay 02

Ay A

01

Appuis simples

Ax 01 A

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CHAPITRE 2 : PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE : CALCUL DES ACTIONS S’EXERCANT SUR UN SOLIDE

I-

NOTION D’ISOLEMENT

La notion d’isolement est fondamentale dans l’analyse et la résolution des problèmes de mécanique. C’est la première étape de toute résolution en statique. I-1- Isolement d’un solide Isoler un solide, c’est l’extraire dans le mécanisme où il se trouve en le dessinant dans sa position géométrique et représenter toutes les actions extérieures qui s’y exercent. Exemple : La figure ci-dessous représente un tableau (1) suspendu à un crochet (2) par l’intermédiaire des câbles (3) et (4). Isoler le tableau en considérant le poids du tableau.

(3)

(4)

(1)

I-2- Notion de charge I-2-1-Charge ponctuelle ou concentrée Toute force agissant sur une surface relativement petite par rapport aux dimensions suffisamment grande d’une autre surface est assimilable à un effort agissant en un point : on parle de charge ponctuelle. Exemple : poteau de 20x20cm2agisssant sur une semelle de fondation de 1mx1m

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I-2-2-Charge repartie Supposons que l’on a un réservoir à fond horizontal et contenant un liquide au repos. -

II-

Le poids du liquide sollicite de façon uniforme le fond du réservoir : on parle d’une charge uniformément repartie ; La paroi du réservoir est sollicitée de façon variable en fonction de la profondeur par rapport à la surface libre du liquide : on parle d’une charge repartie variable. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (P.F.S)

II-1-Enoncé du principe Pour qu’un solide indéformable sollicité par un ensemble de forces soit en équilibre, il faut et il suffit que : -

La somme des forces extérieures qui le sollicite soit nulle ; La somme des moments des forces extérieures par rapport à un point quelconque I du solide soit nulle. D’où :

∑( ⃗ ∑

/

)= ⃗ ( ⃗ )= ⃗

II-2-Application du P.F.S à quelques systèmes courants a) Système en équilibre sous l’action de deux forces : principe des actions réciproques Considérons un solide (S) soumis uniquement à l’action de deux forces de points d’application respectifs A et B.

⃗ et

⃗ non nulles et

Ce solide reste en équilibre les deux

⃗ B

forces ont une même droite d’action ; de sens opposés ; égales en intensité.

A

⃗

⃗+

⃗=

⃗= -

⃗

FA=FB b) Système en équilibre sous l’action de trois forces Considérons un solide (S) soumis uniquement à l’action de trois forces ⃗ , ⃗ et ⃗ non nulles et de points d’application respectifs A, B et C. Ce solide est en équilibre si la résultante des trois forces est nulle et que les trois forces sont coplanaires et :

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-

concourantes

-

ou parallèles

II-3- Plan de résolution d’un système en équilibre III-

Isoler le système ; Choisir un repère ; Faire le bilan des forces ; Appliquer le P.F.S au système isolé Résoudre les équations de la statique pour déterminer les actions de contacts EXERCICE D’APPLICATION

Une potence à tirant (1) est articulée sur un mur (2) au point A. Un tirant (3), fixé en B sur la potence et en C sur le mur permet la mise en équilibre de la potence (voir figure ci-dessous). Le tirant fait un angle de 30° avec l’axe de la potence. Travail à faire : 1- Isoler le tirant (3), faire le bilan des forces et conclure 2- Isoler la potence (1) et faire le bilan des forces 3- En appliquant le principe fondamental de la statique, déterminer les actions de contact en A, B et C. C

(3) (2)

P=120KN

(1)

α= 30° G

A

4.00

B

2.00

Réponses : FC=160KN ; RAX=138,564KN ; RAY=40KN 8 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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CHAPITRE 3 : STATIQUE GRAPHIQUE I-

DEFINITION ET BUT

C’est la partie de la mécanique qui utilise les méthodes essentiellement graphiques pour résoudre les problèmes d’équilibre entre les forces extérieures sollicitant le système matériel. Ici, il sera question de : -

Déterminer graphiquement la résultante des forces ; Déterminer les forces inconnues ;

A cet effet, nous allons utiliser plusieurs méthodes à savoir : II-

La méthode du parallélogramme et du triangle ; Le dynamique des forces ou polygone des forces ; La méthode du dynamique et du funiculaire ; La méthode de CULMAN. DETERMINATION DE LA RESULTANTE DES FORCES

II-1-Cas des forces parallèles a) Forces de même sens

Exemple : trouver graphiquement la résultante des forces ⃗ et ⃗ de même sens tels que : F1=500N ; F2=250N. Echelle : 1cm=1000N b) Forces de sens contraires

Exemple : trouver graphiquement la résultante des forces ⃗ et ⃗ de sens opposés tels que : F1=500N ; F2=250N. Echelle : 1cm=1000N II-2-Cas des forces concourantes a) Méthode du parallélogramme

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b) Méthode du triangle des forces

III-

DETERMINATION GRAPHIQUE DES FORCES INCONNUES

III-1- Méthode du dynamique des forces ou polygone des forces

C’est une méthode qui est utilisée lorsqu’on a 3 forces concourantes dont l’une est connue au moins en direction, sens, intensité et point d’application. a) Exemple Déterminer graphiquement les réactions ⃗ et

⃗ de cette poutre ci-dessous :

Echelle : 1cm=200daN ; F=1000 daN et α=45°

En isolant la poutre on a le schéma ciaprès.

s

Dynamique ou polygone des forces RB=1,75x200 soit RB=350daN RA=3,95x200 soit RA=790daN 10 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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b) Etapes de résolution - Dessiner le solide à l’échelle des longueurs (isoler) ; - Déterminer le point de concours des 3 forces en prolongeant les droites d’actions respectives ; - Construire le polygone des forces comme suit :  Représenter à l’échelle la force connue en intensité ;  Tracer à l’origine de la force connue, la droite d’action de la deuxième force connue en direction ;  Tracer à l’extrémité de la force connue, la direction de la 3ème force ;  On obtient ainsi le polygone des forces ou dynamique fermé des forces en représentant le sens de chacune des forces ; - Mesurer les différentes longueurs des forces et convertir à l’échelle des forces. III-2) Méthode du dynamique et du funiculaire a) exemple Considérons la poutre ci-dessous, déterminer graphiquement les réactions en A et B si : F1=1000daN ; F2=500daN ; échelle : 1cm=200 daN

P

Funiculaire

RB=3,5x200 soit RB=700daN RA=4x200 soit RA=800daN

Dynamique

b) Etapes de résolution 11 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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   

- Construction du funiculaire Représenter les forces connues à l’échelle ; Choisir un point P appelé pôle au voisinage des forces représentées ; Relier les origines et extrémités des forces au pôle P par des segments appelées rayon polaires ; Nommer les rayons polaires par des numéros (0,1,2,….etc) - Construction du funiculaire

Le funiculaire est une figure dont les cotés sont parallèles aux rayons polaires.  Tracer les cotés du funiculaire 0’, 1’,2’,3’ … tels qu’ils soient parallèles aux rayons 0, 1,2 …  Relier les 2 extrémités du funiculaire. On obtient ainsi la ligne de fermeture (l.d.f) ;  Tracer la parallèle à la l.d.f sur le dynamique en passant par le pôle P.  Déterminer ainsi les réactions sur le dynamique. III-3- Méthode de CULMAN Elle est utilisée lorsqu’un solide est soumis à 4 forces dont :

a) b)

   

- L’une est connue entièrement (direction, sens, point d’application et intensité) ; - Les 3 autres sont connues uniquement en direction. Exemple (Voir photocopie) Etapes de résolution - Grouper les forces 2 à 2, on obtient les points I et J ; - Relier I et J, on obtient donc la résultante R ou (la droite de CULMAN) ; - Tracer donc le polygone des forces comme suit : Représenter à l’échelle la force entièrement connue ; Tracer à l’origine de la force connue, la parallèle de la droite d’action de la force groupée avec celle connue ; Tracer à l’extrémité de la force connue, la parallèle à R ; Tracer ensuite les parallèles des droites d’actions des 2 autres forces respectivement à l’extrémité de la force connue et à l’origine de la deuxième force préalablement déterminée. - Mesurer les différentes longueurs des forces et convertir à l’échelle des forces.

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CHAPITRE 4 : LES SYSTEMES TRIANGULES I-

DEFINITIONS ET EXEMPLES

I-1- Définitions On appelle système triangulé, des assemblages de barres rectilignes dont la figure de base est un triangle. On appelle nœud, le point de rencontre de plusieurs barres. I-2-Exemples

Système Howé IIIII-

Système Mansard

HYPOTHESES Les assemblages sont supposés géométriquement invariables (stables) ; Les nœuds sont supposés équivalents à des liaisons pivots (articulations) ; Toutes les forces sont supposées contenues dans le plan de la structure ; Le poids des barres est négligé. Les forces agissent sur les nœuds. PRINCIPE D’EQUILIBRE

III-1- Relation entre le nombre de nœuds et le nombre de barres Un système triangulé sera dit isostatique si et seulement si : b=2n-3 avec b : le nombre de barre du système triangulé ; n : nombre de nœuds du système triangulé. -

b2n-3, on dira que le système est hyperstatique

III-2-Exemples 13 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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donc le système est isostatique.

Donc le système est astatique

IV-

DETERMINATION DES EFFORTS DANS LES BARRES

IV-1- Méthode de CREMONA a) Principe La méthode consiste à construire et à rassembler sur une même figure (appelée épure de Crémona), tous les triangles ou polygones de forces obtenus par l’étude des équilibres des nœuds successifs de la structure. Remarque : pour un même nœud, il ne doit pas y avoir plus de deux actions (modules) inconnues pour aboutir à un résultat. b) Application et démarche Déterminons les efforts dans toutes les barres de la structure ci-dessous.

F=1200daN

SOLUTION b=5 ; n=4 -

Vérifions l’isostaticité de la structure 2n-3= 2x4-3=5 soit 2n-3=b est vérifiée donc le système est isostatique. Déterminons les réactions en A et D

P.F.S Proj/oy : RA+RD-F=0 14 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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RD=

Proj/oz: -2F+8RD=0 -

soit : RD=300daN et RA=900daN

Délimitons le système en régions ou zones et choisissons un sens de rotation autour des nœuds. 1 5

4

2

-

3

Construction de l’épure de CREMONA, puis déterminons les efforts et la nature des sollicitations dans les barres

Echelle : 1cm=200daN AB=2,6cm⇔ 520daN

Barres

AC=5,2cm⇔1040daN BC=6cm⇔1200daN BD=2,6cm⇔520daN CD=3cm⇔600daN

AB AC BC BD CD

Intensités (daN) 520 1040 1200 520 600

Sollicitations Traction Compression Traction Traction compression

IV-2-Méthode de RITTER ou des coupures (ou des sections) a) Principe Elle est la méthode analytique et consiste à réaliser une coupure ou une section fictive sur le système triangulé et on obtient deux tronçons dont l’équilibre de l’un sera étudié par application du PFS. Pour ce faire, on doit opérer une coupe fictive (s) sur la structure en un lieu quelconque de telle sorte que la coupure fictive rencontre au plus 3 barres. b) Application et démarche Reprenons l’exemple du paragraphe (IV-1-b) et déterminons les efforts dans les barres par la méthode de RITTER. SOLUTION 15 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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- Vérifions l’isostaticité de la structure b=5 ; n=4 2n-3= 2x4-3=5 soit 2n-3=b est vérifiée donc le système est isostatique. - Déterminons les réactions en A et D P.F.S Proj/oy : RA+RD-F=0 Proj/oz: -2F+8RD=0 ⇔ RD= -

soit : RD=300daN et RA=900daN

Effectuons les coupures et déterminons les efforts dans les barres

Coupure (1) Proj/ox : FAB+ FAC.cos60°=0 Proj/oy : FAC.sin60°+ RA=0 Soit: FAC= -1039,23daN(Compression) ; FAB=519,615 daN (traction)

Coupure (2) Proj/ox : FAB+ FCD.sin60°=0 Proj/oy : - FCD.cos60°+ RA - FBC=0 Soit: FCD= -599,99daN≅ −600daN(Compression) ; FBC=1200 daN (traction)

Coupure (3) Proj/ox : FBD+ FCD.sin60°=0 Soit : FBC=519,615 daN (traction)

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CHAPITRE 5 : LES CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES D’UNE SECTION PLANE I-

CENTRE DE GRAVITE

Considérons une surface plane homogène (S) situé dans un repère (o ; x ;y ) de son plan. y

(S) xGi

Gi

xG

yGi

yG

G

O

x

Le centre de gravité de la surface (S) est le point G de coordonnées : ∑

xG= ∑

et

∑

yG= ∑

Remarque : pour les surfaces comportant des vides, les surfaces des vides sont considérés négatives. Exemple : Déterminer les coordonnées du centre de gravité de la figure ci-dessous

10cm

50cm

10cm

50cm

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Solution Décomposons la figure en deux autres, on a S1 et S2 : S1=50x10=500cm2 ; S2=40x10=400cm2 soit: S=S1+S2=900cm2 Pour (S1) , on a: x1=5cm; y1=25cm (S1)

Pour (S2) , on a: x2=

.

.

+10=30cm; y2=5cm

⇔

⇔ par analogie :

(S2) II-

= =16,11cm =16,11cm

MOMENT STATIQUE D’UNE SECTION PLANE

Il est défini par la relation : .S

.S

exprimé en m3; cm3 ; mm3 S : surface (m2) Exemple : En considérant la figure précédente, déterminer les moments statiques Aox et Aoy A/ox=

,

A/ox= A/oy= III-

et

A/oy=

=

cm3

MOMENT QUADRATIQUE OU MOMENT D’INERTIE D’UNE SECTION PLANE

Considérons une section (S) et le repère (o ; x ;y) y

(S) xi

ΔSi

yi

Mi

O

x

ΔSi : surface élémentaire de S entourant le point Mi(Xi ;Yi). Le moment quadratique élémentaire de ΔSi/ox est noté I ΔSi/ox et est défini par I ΔSi/ox=y2i.ΔSi Pour l’ensemble de la section (S), le moment quadratique vaut : I/ox= ∑

.

et I/oy= ∑

.

exprimé en m4; cm4 ; mm4 18

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IVTHEOREME DE HUYGEN S Considérons une surface (S) de centre de gravité G. A cette surface (S) on associe deux repères à savoir (o ; x ;y) et (G ;X ;Y). Y

y

d1 (S) ΔSi

X

d2

G

X O

Enoncé du Théorème de Huygens : Le moment quadratique d’une surface plane S par rapport à un axe quelconque de son plan est égal au moment quadratique de cette surface par rapport à un axe (GX ou GY) parallèle à (OX ou OY) et passant par le centre de gravité G de la surface S, augmenté du produit de l’aire de la surface S par le carré de la distance entre les deux axes. Soient : I/ox = IGX + s d22 I/oy = IGY + s d12 V-

RAYON DE GIRATION D’UNE SECTION

Le rayon de giration (S) par rapport aux axes (ox) et (oy) sont définis par : r/ox=

VI-

/

et r/oy=

/

EXERCICES D’APPLICATION

Soit la figure ci-dessous : Travail à faire : 1234-

Les coordonnées du centre de gravité Les moments statiques A/ox et A/oy Les moments d’inertie I/Gx , I/Gy. En déduire I/ox et I/oy les rayons de girations r/ox et r/oy 19 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

Cours de Mécanique Appliquée en classe de première F4-BA y

40cm

10cm

40cm

x

10cm VII-

QUELQUES MOMENTS D’INERTIE A RETENIR Sections

h

RECTANGLE

IGX

y

IGY



G

x

b

a

CARRE

G

x

a CERCLE

y

d

x

TRIANGLE

h

y

x b

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DEUXIEME PARTIE : RESISTANCE DES MATERIAUX

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CHAPITRE 6 : INTRODUCTION A LA RESISTANCE DES MATERIAUX ET HYPOTHESES FONDAMENTALES I-

GENERALITES

I-1-Définition et but de la résistance des matériaux La résistance des matériaux (R.D.M) est une discipline de la mécanique permettant le calcul des éléments de structure. Elle date de plus de 300 années et ses premiers fondateurs furent Galilée, Hooke, Bernoulli et Coulomb. Elle a pour but de prévoir les déformations et déterminer les limites de ruptures des matériaux sous l’action des forces extérieures les sollicitant, afin de ressortir les dimensions et formes pour une utilisation optimale (sécurité, économie). I-2-NOTION DE POUTRE EN R.D.M En RDM, une poutre est un solide long engendré par une surface plane (S) dont le centre de gravité G décrit une courbe plane (C) appelée ligne moyenne ; la longueur de (C) est grande par rapport aux dimensions transversales de la poutre.

I-3-Domaine d’utilisation des matériaux en R.D.M Etudions la déformation d’une éprouvette en acier doux et soumise à l’extension : lo

a

b

Les repères a et b permettent de connaître à tout moment la variation de la longueur de l’éprouvette en fonction de la valeur de l’effort F.

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-

Domaine OA : c’est la zone de déformation élastique. Ici l’éprouvette s’allonge proportionnellement à l’effort F : le corps va au fond du récipient ; < : le corps remonte en surface ou flotte ;

N.B : On remarque que la poussée d’Archimède est appliquée au centre de gravité du liquide déplacé. Ce centre de gravité n’est confondu qu’avec celui du solide immergé que s’il est homogène.

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QUATRIEME PARTIE : CINEMATIQUE

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CHAPITRE 12 : GENERALITES SUR LA CINEMATIQUE

I-

DEFINITION ET BUT

La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie la mouvement d’un corps sans se préoccuper des forces qui provoquent ce mouvement. Elle sert d’outil de base dans la dynamique et l’énergétique qui, pour déterminer les mouvements à partir des efforts font appel aux paramètres cinématiques. II-

NOTION DE SOLIDE OU REPERE DE REFERENCE-REFERENTIEL

II-1- Repère de référence En cinématique, le mouvement d’un solide peut être défini par rapport à un autre solide choisi comme référence et est appelé solide de référence. Un repère de référence est repère d’espace. Exemple : repère cartésiens (o ;x ;y) ou (o ;x ;y ;z) permettant de repérer avec précision la position et le mouvement du solide. Un autre repère est également très important à savoir le repère temps. Le temps est un facteur très utile et son unité dans le S.I est la seconde (s). II-2-Référentiel ou système de référence. Un système de référence est l’addition ou la combinaison d’un repère de référence et d’un repère de temps. Exemple : La terre. Remarque: En cinématique, le mouvement des solides sera défini par rapport à un référentiel. L’objet ou solide en mouvement est appelé mobile. III-

LES PARAMETRES CINEMATIQUES

III-1- Le vecteur position y M(x ;y)

⃗ x ⃗ La position à un instant donné d’un mobile M peut être déterminée dans le repère (o ;x ;y) de la figure ci-dessus par ses coordonnées cartésiennes x et y. 38 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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L e vecteur

⃗ = ⃗ + ⃗ est appelé vecteur position du mobile.

a) Equations horaires ou équations paramétriques Le mobile M étant en mouvement, sa position varie au cours du temps, par conséquent les coordonnées cartésiennes sont aussi fonction du temps. D’où : ( ) M à un instant t ( ) X(t) et y(t) sont les équations horaires ou paramétriques du mouvement de M. b) Equation de la trajectoire La trajectoire d’un mobile est l’ensemble des positions successives occupé par le mobile au cours de son déplacement. ( ) Considérons un point M définit par ses équations horaires suivantes : M ( ) L’élimination de t dans ces deux équations donne une relation = ( ) La relation = ( ) représente l’équation de la trajectoire. Exemple : Un mobile M est définit par ses équations horaires telles que : =2 = Déterminer l’équation de la trajectoire du mobile M. Remarque : - Si la trajectoire est une droite, le mouvement est dit rectiligne si non il est curviligne. -

Les mouvements circulaires (la trajectoire est un cercle) et parabolique (la trajectoire est une parabole) sont des cas particuliers du mouvement particulier.

III-2-Vecteur vitesse a) Vecteur vitesse moyenne M1

⃗

y

M2 (τ) x Considérons un mobile M décrivant une trajectoire (τ) dans un repère (o ;x ;y) (voir figure cidessus). -

A l’instant t1, le mobile est en M1 ; A l’instant t2, le mobile est en M2.

Le vecteur vitesse moyenne ⃗ entre les instants t1 et t2 est : ⃗=

⃗

or

⃗=

⃗ +

⃗=

⃗−

⃗

ù: 39

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Cours de Mécanique Appliquée en classe de première F4-BA ⃗

⃗=

⃗

La norme du vecteur vitesse s’exprime en (m/s). b) Vecteur vitesse instantanée Le vecteur vitesse du mobile M est donné par la relation : ⃗

⃗= Les composantes de ⃗ dans le repère (o ;x ;y) sont :

⃗

= =

La norme du vecteur vitesse instantanée est donnée par la formule suivante : ⃗ =

+

en (m/s)

Exemple :Un mobile est définit par ses équations horaires suivantes : ( )= −1 ( )= −3 1- Donner l’équation de la trajectoire 2- Les composantes du vecteur vitesse à un instant t quelconque 3- La norme de la vitesse aux instants t=0s et t=10s III-3-VECTEUR ACCELERATION a) Vecteur accélération moyenne Soient ⃗ et ⃗ les vecteurs vitesses respectifs aux instants et correspondant respectivement aux positions et d’un mobile M. Le vecteur accélération moyenne ⃗ (ou ⃗) entre les instants et est : ⃗=

⃗=

⃗

⃗

l’unité est le m/s2 ou (m.s-2)

b) Vecteur accélération instantanée C’est la dérivée du vecteur vitesse et est définie par : ⃗ = ⃗=

⃗

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Les composantes de ⃗ (ou )⃗ dans le repère (o ;x ;y) sont : = ⃗ = La norme du vecteur accélération instantanée ⃗ ( ‖ ⃗‖ = ‖ ⃗‖ =

⃗) est : +

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CHAPITRE 13 : ETUDE DES MOUVEMENTS PARTICULIERS I-

MOUVEMENT RECTILIGNE

Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne, si la trajectoire qu’il décrit est une droite. I-1-Mouvement rectiligne uniforme Un point est animé d’un mouvement rectiligne uniforme lorsque son accélération est nulle et sa vitesse est constante au cours du temps. a) Equations caractéristiques du mouvement =

L’équation horaire du mouvement est :

a=0 V=V0=cte

+

: Position initiale du mobile à t=0s = : vitesse initiale et vitesse du mouvement : Position du mobile à un instant t

b) Allure typique des graphes x V

=

a

+ V=V0

t

a=0

t

t

I-2-Mouvement rectiligne uniformément varié Un point est animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié si et seulement si son accélération a reste constante au cours du mouvement. - Si a > 0 - Si a< 0 a) Equations caractéristiques du mouvement a=a0= cte V=at+V0



L’équation horaire du mouvement est :

é é

=

éé é é éé é

+

+

Conditions initiales du mouvement : à t=0 ; x=x0 ; V=V0 et a=a0 42 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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Formule utile :

−

=

( −

) ù =



é

=



b) Allure typique des graphes x

V

a

t

t

t

I-3-Mouvement de chute libre a) Définition On appelle chute libre, le mouvement de chute d’un corps soumis à la seule action de son poids dans le vide. Le mouvement de chute libre d’un corps sans vitesse initiale est définie par : - Une trajectoire rectiligne et verticale ; - Un sens du haut vers le bas. b) Equations caractéristiques du mouvement Le mouvement de chute libre d’un corps est un M.R.U.VA suivant la verticale descendante et se caractérise par : = =

L’équation horaire est : =

II-

+

+

+

MOUVEMENT CIRCULAIRE

II-1-Définition et généralités Un mouvement est dit circulaire lorsque la trajectoire d’un mobile M est un cercle. Son repérage peut se faire comme suit : M

M0M=S(t)

θ(t)

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-

Les coordonnées cartésiennes dans le repère (o ;x ;y) sont telles que : ⃗ = ⃗ + ⃗ ou M

OM=R soit -

Son abscisse curviligne s(t) qui est la valeur algébrique de l’arc MOM à un instant t.

-

Son abscisse angulaire ou angle polaire θ(t) qui est la valeur de l’angle ( chaque instant.

,

⃗) à

II-2-Relation entre l’abscisse curviligne (s) et l’angle polaire (θ) =

Ils sont liés par la formule :

(θ en radian)

La vitesse linéaire V du mobile M est donnée par la formule : =

̇ ù = .

̇





é





.

Remarque : Si N est la vitesse de rotation en trs/min alors : =

30

II-3-Accélération tangentielle-accélération normale L’accélération tangentielle se calcule par la formule : ̈:

éé



(

= . ̈

)

L’accélération normale est définie par :

= . ̇

II-4-Mouvement circulaire uniforme Le mouvement est dit circulaire uniforme lorsque l’accélération angulaire ̈ est nulle. L’équation horaire est : :é ̇: :





= ̇ +

à



à = 0

Les caractéristiques du mouvement sont :

̈ =0 ̇= = = . ̇

II-5- Mouvement circulaire uniformément varié Il est uniformément varié si l’accélération angulaire ̈ est constante. L’équation horaire est : = ̈ + ̇ +

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Les caractéristiques sont : Formule utile :

̇ − ̇ =

̈ = ̇ = ̈ + ̇ ̈( −

)

Tableau récapitulatif des analogies cinématiques des mouvements rectilignes et circulaires

Mouvement rectiligne uniforme = =0 = = = +

Mouvement circulaire uniforme ̈ =0 ̇= ̇ = ̇ = +

Mouvement rectiligne uniformément varié = = = + 1 = + + 2 - = 2 ( − )

Mouvement circulaire uniformément varié ̈= ̇= ̈ + ̇ 1 ̈ + ̇ + = 2 ̇ − ̇ = 2 ̈( − )

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QUELQUES EXERCICES DE CINEMATIQUE PREMIERE PARTIE : Mouvement rectiligne EXERCICE 1 Un mobile parcourt une droite à la vitesse constante de 12m/s. A la date t=2s, il se trouve à l’abscisse x= -5m. Quelle est son abscisse à la date t=20s. EXERCICE 2 A 0heure, un mobile M1 quitte A et va vers C sur la droite ABC à la vitesse de 140km/h. A 0,5heure, un mobile M2 quitte C et va vers A à la vitesse de 150km/h. B C AB=150km ; AC=450km A

Déterminer analytiquement et graphiquement l’instant et le lieu de rencontre des deux mobiles. EXERCICE 3 Un engin démarre sur une trajectoire rectiligne et atteint au bout de 3s une vitesse de 10m/s. 1- Quelle est la nature du mouvement ? 2- Calculer son accélération sachant qu’elle est constante 3- Quelle est la longueur du trajet parcouru par l’engin pendant ce temps ? EXERCICE 4 Deux mobiles partent d’un même point A et parcourent dans le même sens, la même trajectoire. Le premier est animé d’une vitesse constante de 12m/s. Le second part 3 secondes après le premier d’un mouvement uniformément accéléré (vitesse initiale nulle, accélération de 8m/s2). 1- Ecrire les équations horaires des deux mobiles (origine des temps et espace : l’instant du départ du premier mobile) 2- Déterminer l’instant de la rencontre des deux mobiles (origine des temps : l’instant du départ du premier mobile) 3- A quelle distance du point A se produira la rencontre ? 4- Quelle sera la vitesse de chaque mobile à cet instant ?

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EXERCICE 5 Une charge est soulevée par une grue à une vitesse constante de 1m/s, le câble de rétention se rompt et elle tombe en chute libre. Cette rupture a lieu au moment où la charge se trouve à 30m du sol. 1- Donner l’équation de chute de la charge en précisant les origines des temps et espaces 2- Déterminer le temps mis par cette charge pour atteindre le sol 3- Calculer la vitesse lorsque cette charge atteindra le sol. EXERCICE 6 Un seau maçon tombe en chute libre d’une hauteur h sans vitesse initiale de l’étage d’un immeuble. Il arrive au sol avec une vitesse de 40m/s. On donne g=9,80m/s2 1- Calculer la hauteur de chute h 2- La durée de chute t. EXERCICE 7 Le graphe des vitesses proposé ci-dessous donne les trois phases de la course aller d’un chariot de machine automatisé. Conditions initiales : t=0, x=0 Déterminer les natures, accélérations et les équations des trois mouvements

EXERCICE 8 Une voiture de formule 1 effectue une distance de 1 000 m, course arrêtée en 19 secondes. Si le mouvement est supposé rectiligne et uniformément accéléré, déterminer l’accélération du véhicule et sa vitesse au bout des 1 000 m. EXERCICE 9 Le déplacement (en m) d’un point matériel est donné par x = t3 - 12 t + 3. Déterminer : 1- le temps nécessaire pour atteindre la vitesse de 36 m.s-1. 47 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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2- I ‘accélération lorsque V = 15 m.s-1 et le déplacement entre t=1s et t = 4 s ? DEUXIEME PARTIE : Mouvement circulaire EXERCICE 10 La vitesse linéaire d’un mobile ponctuel en mouvement circulaire uniforme est de 14m/s. Déterminer : 1- La vitesse angulaire si le rayon de la trajectoire est R=2m 2- La fréquence et la période du mouvement. EXERCICE 11 Un camion évacuant des terres dans un chantier parcourt un tronçon dont le rayon de courbure est 125m avec un mouvement circulaire uniforme de vitesse linéaire 90km/h. Le camion est assimilé à un point matériel. 1- Déterminer la vitesse horaire angulaire de ce camion en rad/s. 2- Déduire la valeur de l’accélération angulaire de ce camion en rad/s2 3- Sachant que l’écart angulaire entre le début et la fin du virage est de 100°, déterminer la distance ainsi que le temps mis par le camion pour parcourir le virage. EXERCICE 12 Le mécanisme d’un appareil de levage est constitué d’une roue motrice qui tourne autour d’un axe à l’aide d’un système électrique et permet de lever des charges et les déplacer le long des poutrelles. Cette roue de diamètre extérieur D tourne à la vitesse de rotation constante N=1500tours/min. 1- Calculer la vitesse angulaire de cette roue. 2- Quel est le nombre de tours effectué par cette roue en une seconde. 3- Si la vitesse linéaire d’un point quelconque M situé sur le diamètre extérieur de la roue est V=7,85m/s, déterminer ce diamètre. 4- Calculer l’accélération normale du point M. EXERCICE 13 Sur un tour automatique de production, on usine un cylindre de 100 mm de diamètre. La vitesse de rotation de la pièce est de 300 tr.min-1. Le mouvement d’avance de l’outil est négligé. 1- Déterminer la vitesse de coupe V, (vitesse de la pointe de l’outil par rapport à la pièce). 48 Rédigé et dispensé par HELLA KOMI EDOUDJI /PLET DE GENIE CIVIL

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2- On envisage d’usiner un cylindre de 70 mm de diamètre. Si on conserve la même vitesse de coupe, quelle doit être la vitesse angulaire de la pièce ? EXERCICE 14 Un moteur électrique met deux secondes pour atteindre sa vitesse de régime 1 500 tr/min. Si l’accélération angulaire est supposée constante, déterminer les équations du mouvement et le nombre de tours effectués pendant le démarrage. EXERCICE 15 Une meule à tronçonner doit travailler à une vitesse périphérique de 80m/s. Déterminer les vitesses de rotation N des meules, si elles ont les diamètres d suivants : 50mm ; 65mm ; 75mm.

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