Cours de Maths 1ere D Complet [PDF]

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13/09/2020

Cours : MATHEMATIQUES

MATHEMATIQUES Tableau de bord / Mes cours / MATHS 1ère D

Votre progression 

Annonces

DEVOIRS DE NIVEAU DEVOIR DE NIVEAU du 30/05/2020

ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

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Exercice 1 Exercice 2 https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

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Exercice 3 Composition 1 Composition 2 Composition 3 Composition 4 Composition 5

DÉNOMBREMENT

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Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Composition 1 Composition 2 Composition 3 Composition 4 Composition 5 Composition 6

GENERALITES SUR LES FONCTIONS 1-Généralités sur les fonctions      1-1Restriction d’une fonction Définition étant une fonction de A vers B, et E une partie non vide de l’ensemble définition de  on appelle restriction à E de la fonction 

 , l’application  

,

 de E dans B définie par:

 = Remarque Si 

et 

  sont deux fonctions de 

-On dit que sur E,  pour tout 

pour tout 

 définies sur un ensemble E.

  est supérieure (inférieure) ou égale à 

  élément de E,

-On dit que sur E,  

 vers 

 

  

 ;on note sur E 

 est inférieure ou égale à 

 élément de E,

 

 

   lorsque,  

 

 .

 

 

 .

  lorsque,

  ; on note sur E 

       1-2Minoration, majoration d’une fonction Soit  une fonction de  

 vers 

  définie sur un ensemble E.

On dit que : -La fonction 

  est minorée sur E s’il existe un minorant de 

 sur E.

-La fonction 

   est majorée sur E s’il existe un majorant de 

  sur E.

-La fonction 

  est bornée sur E lorsque 

  est à la fois minorée et majorée sur E.

Remarque Soit 

  une fonction de 

 vers 

  définie sur un ensemble E.

On dit que : -La fonction  

 est positive sur E, lorsqu’elle est minorée par 0 sur E.

Pour tout élément  -La fonction 

  de E, 

  est négative sur E, lorsqu’elle est majorée par 0 sur E.

Pour tout élément  Exemples https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

  de E,  

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On donne les fonctions    =

 et 

    et 

  de 

 vers 

  définies par :


 =

 Sont-elles minorées ? Majorées ? Réponses *Pour tout réel 

 , on a  

pour tout réel 

 , 0 

 

 

 0 est un minorant de  * 

=

 0 et 

 

   sur 

 

Enfin  -1 

 

 

1   

  est minorée par 0 et majorée par 1 ; elle est bornée.  sur 

 .

   =   

 0 

 

 0    ;

 et 1 est un majorant de 

  : pour tout réel   1  

 

 1. La fonction 

 =    

Encadrement 

 puis 0

 

  

-1

 

 2

 

 0 

 

 1

 1

 

 0 

 ona : 

 3 

0  

         Donc la fonction 

  est minorée par 2 et majorée par 3 pour tout réel  

 .

 1-3Minimum, maximum relatifs d’une fonction Définition  une fonction de 

  vers 

 d’ensemble de définition 

 ,

 un élément de 

On dit que : -La fonction   

 

 

 s’il existe un intervalle ouvert K contenant 

 tel que

 admet un maximum relatif en 

 s’il existe un intervalle ouvert K contenant 

  tel que 

 soit le minimum de 

 sur

 .

-La fonction   

 admet un minimum relatif en 

 

 soit le maximum de 

 sur

 .

-La fonction 

  admet un extrémum relatif en 

 si elle admet un maximum relatif ou un minimum relatif en 

 .

2-Opérations sur les fonctions      2-1Sommes, produits, quotient de fonctions   et 

  sont deux fonctions numériques, d’ensembles de définition respectifs  et   .

-On appelle somme de  On la note 

et 

 la fonction numérique : 

  et son ensemble de définition 

-On appelle quotient de  On la note 

 la fonction numérique : 

  et son ensemble de définition  

-On appelle produit de  On la note 

 et 

  et 

  

  la fonction numérique : 

et  son ensemble de définition  est tel que :

       2-2 Composition de fonctions              Définition       Soit E, F, G trois ensembles, 

une fonction de E vers F et 

  une fonction de F vers G. 

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On appelle composée 

  de 

  par  la fonction de E vers G, notée 

et définie, pour tout élément 

 de E tel que 

et  

 , par   

               

3- Applications bijectives      3-1Définition-Propriété On appelle bijection d’un ensemble A dans un ensemble B toute application  de A dans B telle que chaque élément de B soit l’image par  d’un élément de A et d’un seul.  est une bijection si et seulement si, pour tout élément de B, l’équation   admet une solution unique.       3-2Bijection réciproque étant une bijection d’un ensemble A dans un ensemble B.  On appelle bijection réciproque de 

 l’application de B dans A, notée 

  qui à tout élément de B, associe son unique antécédent par

 . Pour tout 

  de A et pour tout 

  de B ; 

Propriétés  *Si 

  est une bijection d’un ensemble A dans un ensemble B, et 

 Alors 

  est la bijection réciproque de    est l’application identique de A ; 

  sa bijection réciproque,

  ;   est l’application identique de B.

*Dans le plan muni d’un repère orthonormé, les représentations graphiques de deux bijections réciproques sont symétriques par rapport à la droite d’équation :       

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Composition 1 Composition 2 Composition 3 Composition 4 Composition 5

LIMITES ET CONTINUITÉ 1-Limites et continuité en a       1-1Définition    .On appelle limite de f  à gauche en a, la limite de f quand x tant vers a  par des valeurs inférieures à a. 0n la note 

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 .

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   .On appelle limite de f à droite en a, la limite de f quand x tant vers a  par des valeurs supérieures à a  . 0n la note 

 .

      1-2 Propriété       a et l sont deux nombres réels, f une fonction définie sur un intervalle centré en a sauf éventuellement en a. .Dans le cas où f n’est pas définie en a, si  

  =  

 = l alors f admet en a une limite à gauche et une limite à droite

égales à l . .Dans le cas où f est définie en a , si 

  = 

  =  f (a ) alors f admet une limite à gauche et une limite à droite égales

à f (a) et est continue en a .       1-3 Prolongement par continuité        Définition et propriété              f  est une fonction d’ensemble de définition Df  , a un nombre réel n’appartenant pas à Df , On suppose que f admet une limite finie l en a, alors la fonction g définie par :    est continue en a .Elle est appelée prolongement par continuité de f en a . Exemple :On donne la fonction f définie par :    f(x) =    Justifier que f admet un prolongement par continuité en 1et préciser ce prolongement. Réponse On a                     

                     f n’est pas définie en 1, on a   

   ;donc f admet en 1 une limite à gauche et une limite à droite égales à 3 .

f  admet de ce qui précède, un prolongement par continuité en 1, la fonction  g définie :    est un prolongement par continuité en 1. 2-Opérations sur les limites      2-1 Formes indéterminées         Dans les calculs de limites, les formes indéterminées sont les cas où l’on ne peut conclure. Ces cas sont : + ∞ + (-∞ );    0 × ( ±∞ );            2-2 Opérations sur les limites           .Limite de la composée de deux fonctions     Soit la fonction composée f o g définie sur un intervalle I contenant a (dont a est une borne)     et     https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

      alors    

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Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Composition 1 Composition 2 Compostion 3 Composition 4 Composition 5

PROBABILITÉ 1. VOCABULAIRE DE PROBABILITÉ 1.1. Expérience aléatoire  Définition  Une expérience aléatoire ou épreuve est une expérience qui vérifie les deux conditions suivantes: - on peut parfaitement déterminer par avance tous les résultats possibles;  - on ne peut prévoir lequel de ces résultats sera réalisé Exemple: Le lancer d'une pièce de monnaie ou d'un dé 1.2. Éventualité   On considère une expérience aléatoire E donnant un nombre fini de résultats possibles. Une éventualité ou une issue est un résultat de l'expérience E. L'ensemble de ces résultats possibles ou éventualités est appelé univers des éventualités de E, on le note souvent Ω. Exemples 1) Lancer d'un dé cubique à 6 faces numérotées de 1 à 6. les éventualités sont: 1; 2; 3; 4; 5; 6. L'univers Ω est: {1; 2; 3; 4; 5; 6} 2) Lancer d'une pièce de monnaie les éventualités sont: pile (P) ou face (F). L'univers Ω est: {P; F} 1.3. Evénement  On appelle événement d'un univers Ω, toute partie ou sous ensemble de Ω. Exemple Expérience aléatoire: le lancer d'un dé cubique à 6 faces numérotées de 1 à 6. "obtenir un nombre strictement plus petit que 3" est l'événement {1;2}. 1.4. Evénement élémentaire Un événement élémentaire est un événement composé d'un seul élément, c'est un singleton. Exemple Expérience aléatoire: le lancer d'un dé cubique à 6 faces numérotées de 1 à 6.

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Evénement B:"Obtenir le chiffre 3". B est événement élémentaire B={3}. https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

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1.5. Evénement certain  On appelle événement certain tout événement formé par l'ensemble de toutes les éventualités d'une expérience aléatoire. Cet événement est l'univers Ω lui-même. 1.6. Evénement impossible Un événement impossible est un événement qui ne peut se réaliser à l'issue de l'expérience aléatoire. Cet événement est l'ensemble vide. 1.7. Evénement contraire  Soit A un événement d'un univers Ω. ⎯⎯⎯

On appelle événement contraire de A, le complémentaire de A noté A   dans Ω. Exemple Expérience aléatoire: le lancer d'un dé cubique à 6 faces numérotées de 1 à 6. A est l'événement: "Obtenir un nombre strictement inférieur à 3". ⎯⎯⎯

L'événement contraire de A est A  : "Obtenir un nombre plus grand ou égal à 3". ⎯⎯⎯

A = {1; 2}   et  A = {3; 4; 5; 6} 2. REUNION, INTERSECTION DE DEUX EVENEMENTS      2.1 Evénement (A ou B) On considère deux événements A et B d'un univers Ω. On appelle événement (A ou B), le sous ensemble AUB de Ω.      2.2. Evénements (A et B) On considère deux événements A et B d'un univers Ω. On appelle événement (A et B) le sous ensemble A ∩B  de Ω.      2.3. Evénements incompatibles  On dit que l'événement A et l'événement B sont incompatibles lorsque l'événement (A et B) est impossible, c'est à dire lorsque A ∩B = ∅ Exemple Lancer d'un dé cubique à 6 faces. A: "obtenir un nombre plus petit que 3" B: "obtenir un nombre plus grand que 4" On a : A = {1; 2}  et B = {5; 6} . A et B sont incompatibles car A ∩B = ∅ . 3. PROBABILITE D'UN EVENEMENT     3.1. Définition de la probabilité d'un événement            Définition             Soit Ω l'univers associé à une expérience aléatoire. Une probabilité P sur Ω est une application de  ℙ(Ω)  dans [0;1], qui à toute partie de A de Ω associe le nombre réel P(A) appelé probabilité de l'événement A et qui vérifie les conditions suivantes:  - la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent;  - la probabilité de l'événement certain est 1;  - la probabilité de l'événement impossible est 0. Remarque  La probabilité d'un événement est parfaitement connue si on connait la probabilité de chacun des événements élémentaires qui le composent.

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Propriétés  https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

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Soit P une probabilité définie sur un univers Ω, A et B deux événements.

P (A ∪B ) = P (A)+P (B)−P (A ∩B) . Si A et B sont incompatibles, alors: P (A ∪B ) = P (A)+P (B) ⎯⎯⎯

⎯⎯⎯

Si  A  est l'événement contraire de A alors :  P (A) = 1−P (A)       3.2. Calcul de probabilité dans le cas d'équiprobabilité  Définition  Lorsque les événements élémentaires d'une expérience aléatoire ont tous la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité Propriété Soit P une probabilité définie sur un univers Ω Dans l'hypothèse d'équiprobabilité, pour tout événement A, on : P (A) =

card (A) card (B)

Remarque Dans l'hypothèse d'équiprobabilité, la probabilité P(A) d'un événement quelconque A est donnée par 

P (A) =

Nombre de ca s f a vorables à A Nombre de ca s possibles

Ainsi lorsque les événements élémentaires sont équiprobables, le calcul de probabilité se ramène à un problème de dénombrement.

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Composition 1 Composition 2 Composition 3 Composititon 4 Composition 5

DERIVATION 1. NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soient x 0 et h ≠ 0  deux réels tels que  x 0 ∈ I et x 0 +h ∈ I le taux de variation (ou taux d'accroissement) de la fonction f entre  x 0 et x 0 +h  est le nombre: 

T=

f (x 0 +h)− f (x 0 ) h

DÉFINITION Une fonction f est dérivable en x 0  si et seulement si le nombre  T =

f (x 0 +h)− f (x 0 ) h

  a pour limite un certain réel l lorsque h tend vers 0.

l est appelé nombre de f en x 0 . On le note :  f '(x 0 ) on écrit :  f '(x 0 ) = lim

x →x 0

f (x 0 +h)− f (x 0 ) h

REMARQUES

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le quotient 

f (x 0 +h)− f (x 0 )

"le nombre 

h

  est le taux d'accroissement de la fonction f entre x 0 et x 0 +h  

f (x 0 +h)− f (x 0 )

signifie que 

h

f (x 0 +h)− f (x 0 ) h

 a pour limite un certain réel l lorsque h tend vers 0"

 se rapproche de l lorsque h se rapproche de 0.

On peut également définir le nombre dérivé de la façon suivante:

f '(x) = lim

f (x)− f (x 0 )

x →x 0

x−x 0

(cela correspond au changement de variable x = x 0 +h ) EXEMPLE Calculons le nombre dérivé de la fonction  f : x ↦ x 2  pour x=1

(1+h) 2 −11 2h +h 2 f '(1) = lim = lim = lim (2+h) = 2 h h h →0 h →0 h →0 Donc  f '(1) = 2 REMARQUE: interprétation graphique du nombre dérivé

soit  C f  la courbe représentative de la fonction f. Lorsque h tend vers 0 B se rapproche de A et la droite (AB) se rapproche de la tangente (T). Le nombre dérivé  f '(x 0 )  est le coefficient directeur de la tangente à la courbe  C f  au point d'abscisse x 0 PROPRIÉTÉ Soit f une fonction dérivable en  x 0  de courbe représentative  C f , l'équation de la tangente à C f  au point d'abscisse  x 0  est: 

y = f '(x 0 ) ( x−x 0) + f (x 0 ) DÉMONSTRATION D'après la propriété précédente, la tangente à la courbe  C f  a pour coefficient directeur  f '(x 0 ) Donc l'équation de la tangente (T) s'écrit sous la forme: y = f '(x 0 )x+b On sait que la tangente passe par le point de coordonnée  ( x 0 ; f (x 0 ) ) donc  f (x 0 ) = f '(x 0 )x 0 +b

b = f (x 0 )− f '(x 0 )x 0 alors 

y = f '(x 0 )x+ f (x 0 )− f '(x 0 )x 0 par factorisation on obtient donc  https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

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y = f '(x 0 ) ( x−x 0) + f (x 0 ) 2. FONCTION DÉRIVÉE DÉFINITION Soit f une fonction définie sur intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si et seulement si pour tout x ∈ I, le nombre dérivé  f '(x)  existe. La fonction qui à tout x associe le nombre dérivé f' s'appelle la fonction dérivée et se note f' PROPRIÉTÉS Dérivées des fonctions usuelles 

 

PROPRIÉTÉS   Formules de base Si u et v sont deux fonction dérivables sur un intervalle I, sur cet intervalle: 

EXEMPLE On cherche à calculer la dérivée de la fonction f définie par: 

f (x) =

x 2

x +1

On pose u (x) = x et v (x) = x 2 +1 On a alors 

u'(x) = 1 et v'(x) = 2x car la dérivée de  x ↦ x 2  est 2x  (on utilise la formule nx n −1  pour n=2) et la dérivée de la fonction constante  x ↦1  est nulle.

f '(x) =

u'(x)×v (x)−v'(x)×u (x) v (x) 2

=

1× (x 2 +1) −2x×x (x 2 +1)

3. FONCTION DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATIONS https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

2

=

1−x 2 (x 2 +1)

2

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THÉORÈME Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est croissante sur I si et seulement si pour tout  x ∈ I, f '(x) ≥0 f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x ∈ I, f '(x) ≤0 REMARQUE Si  f '(x) >0 (resp . f '(x)

>

        3-2. Exemples

1 =−∞ x →1 x−1 lim




4. Asymptotes C’est une droite vers laquelle tend une fonction, autrement dit la fonction va longer la droite dans une certaine zone. Reprenons l’exemple de la fonction inverse :

On voit clairement qu’en 0, la courbe tend vers l’axe des ordonnées, qui est une droite d’équation x = 0. Cette droite d’équation x = 0 est donc une asymptote. De même en +∞ et en -∞, la courbe de 1/x tend vers l’axe des abscisses, qui est une droite horizontale d’équation y = 0. Cette droite d’équation y = 0 est donc également une asymptote. Il peut donc y avoir des asymptotes horizontales ou verticales, mais il peut aussi y avoir des asymptotes obliques !!

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En -∞, on voit qu’il y a une asymptote horizontale d’équation y = -3. Mais en +∞, il y a une asymptote OBLIQUE, d’équation y = 4x – 7. On voit bien en effet que la courbe f en bleu va longer la courbe verte et s’en rapprocher de plus en plus. *Asymptote horizontale

Si lim f (x) = k  , alors la droite d'équation y = k  est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞ . x →a

On a évidemment la même propriété en -∞. *Asymptote verticale

Si

lim f (x) = ± ∞  , alors la droite d'équation x = x 0  est asymptote verticale à la courbe de f en x 0  .

x →x 0

Le  x 0  peut être n’importe quel réel mais pas +∞ ou -∞. *Asymptote oblique

Si

⎡ ⎤ lim ⎢⎢⎣ f (x)− (a x+b) ⎥⎥⎦ = 0  , alors la droite d'équation y = a x+b  est asymptote oblique à la courbe

x → +∞

de f en +∞ . On a la même propriété en -∞.

Exercice 1 Exercice 2

ANGLE ORIENTE ET TRIGONOMETRIE

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SUITES NUMERIQUES

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Application 1 Application 2

STATISTIQUES 1-Nuage de points      Le plan est muni d’un repère orthogonal,  X et Y sont deux caractères définis sur une population,(x1;x2;…;xp) L’ensemble  des modalités du caractère X, (y1;y2;…;yp) L’ensemble  des modalités du caractère X, Soit ? la représentation graphique Mx X My de  dans le plan muni d’un repère orthogonal, *L’ensemble des points de coordonnées ( xi ; yi) est appelé nuage de points associé à la série. *On appelle point moyen d’un nuage de points représentant une série, le point G de coordonnées (XG, YG )  avec  https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

   et   

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  2-Covariance et  droites de régressions *Soit une série statistique à deux caractères X et Y, de moyennes respectives 

 et 

   et d’effectif total N ; la covariance est le nombre

réel noté COV(X, Y) ou    σxy   et :   ou   *La droite (D) de régression de Y en fonction de X, passe par le point moyen G(XG ; YG) du nuage de points ; son équation est  y=ax+b   et  *La droite (D’) de régression de X en fonction de Y, passe par le point moyen G(XG ; YG) du nuage de points ; son équation est : x=a'y+b'   et      3-Corrélation linéaire *Deux variables statistiques X et Y sont dites en corrélation linéaire lorsque la courbe de régression de X en Y et la courbe de régression de Y en X sont des droites. *On appelle coefficient de corrélation linéaire d’une série statistique double de caractères (X, Y)’ le nombre réel r défini par :

  Propriété *Si 0,87 ≤|r| alors la corrélation linéaire entre les deux variables X et Y est forte.  *la corrélation linéaire entre les deux variables X et Y est parfaite si |r|=1 Remarque                                                         Lorsqu’il existe une bonne corrélation linéaire, il est possible de prévoir la valeur de Y connaissant celle de X en utilisant l’équation de la droite de régression de X en Y et vice versa.            

Application 1 Application 2

TRANSFORMATIONS DU PLAN 1-Translations et symétries orthogonales      1-1Translations            *Propriété caractéristique d’une translation  

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Soit  une application du plan dans lui même. https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

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 est une translation de vecteur  si et seulement si, pour tous points M et N d’images respectives M’ et N’, on a :

{

t

→

u(M) = M' t

→

⇔ → u = −− −→ MN = −−−−→ M' N'

u(N) = N'

Remarque - La composée tu ⃗  et t v ⃗  des translations de vecteurs   respectifs u ⃗   et v ⃗ est la translation de vecteur  u ⃗  + v ⃗ - L’expression analytique de la translation de vecteur 

→ u(

ab

) est {

x' = x + ay' = y + b

     1-2Symétries orthogonales            *Composée de deux symétries orthogonales d’axes parallèles Soit (∆) et (∆’) deux droites parallèles, O un point de (∆) et O’ son projeté orthogonal sur  (∆’). La composée S∆'  oS∆ des symétries orthogonales d’axes respectifs (∆) et (∆’) est la translation de vecteur 2OO ⃗. on a : S∆ oS∆= t2OO' ⃗ Remarque -Pour toute droite (∆) de vecteur normal , il existe une droite (∆’) et une seule telle que :  tu ⃗  = S∆ oS∆ L’expression analytique de la symétrie orthogonale par rapport à : *la droite d' équation y = b est : { *la droit d'équation x = a  est : { *à la première bissectrise est : {

x' = xy' = − y + 2b

x' = − x + 2ay' = y

x' = yy' = x

2-Rotations     2-1Composée de symétries orthogonales d’axes sécants Propriété Soit (∆) et (∆’) deux droites sécantes en point O, de vecteurs directeurs respectifs  

→ u et − → u'

La composée SΔ, oSΔ  de symétries orthogonales d’axes respectifs(∆) et (∆’) est la rotation de centre O et d’angle 2

→ u, − → u'

si  r(O,α) est une rotation de centre O et d’angle  α; Pour toute droite(∆) passant par O, il existe une droite (∆’) et une seule telle que :

SΔ , oSΔ = r(O, a) Soit f  une application du plan dans lui-même et  un angle non nul. f est une rotation d’angle 

→ a si et seulement si, pour tous points M et N distincts d’images respectives M’ et N’,

on a : MN = M'N' et (

ˆ −− −→ MN, −−−−→ M' N' ) = → a

             2-2Composée de deux rotations *La composée de deux rotations  r et r'de même centre O et d’angles respectifs α et α' est une rotationde centre O et d’angle α+α'. * La composée de deux rotations r et r' de centres respectifs O et O’ distincts et d’angles respectifs α et α' est : -Une rotation d’angle α+α' si 

ˆ a + ˆ a' ≠ 0

-Une translation. 3-Homothétie      3-1Propriété caractéristique Soit  une application du plan dans lui-même et  un réel différent de 0 et de 1. https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

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f est une homothétie de rapport  si et seulement si pour tous points M et N d’image respectives M’ et N’, on a :  −−−−→ M' N' = k −− −→ MN -Une homothétie autre que l’identité du plan admet pour unique point invariant son centre. - Une homothétie de centre Ω et de rapport  est notée h(Ω,k) - Soit M(x;y) un point du plan de repère (O,i ⃗,j ⃗) M'(x'y')image de M  par h(Ω,k) .On a :  * M'

= h(M) ⇔ −−−→ ΩM' = k −−→ ΩM

*Le point M'(

x' y'

) est tel que : {

x' = kx + py' = ky + q

où p et q sont des nombres réels.

  *Le centre Ω(

xΩyΩ

) est tel que :{ xΩ =

p1−k y Ω

=

q1−k

    3-2Composition d’homothéties soit h(O,k) et h'(O',k') deux homothéties, - si h et h' ont le même centre O, alors  h'oh est l’homothétie de centre O et de rapport k' k.

- si h et h' sont de centre distincts et k' k ≠ 1 akors h'oh est l'homothétie de rapport k' k. - Si h et h' sont de centre distincts et k' k = 1 , alors h'oh  est une translation. 4-Isométrie         4-1Définition On appelle isométrie du plan toute application du plan dans lui même qui conserve la distance(les symétries (centrale et orthogonale), la rotation, la translation). L’isométrie conserve au total : la distance ; l’alignement ; l’angle orienté ; le parallélisme ; l’angle orienté ; le point de concours et contact ; le produit scalaire et le barycentre. Remarque La composée de deux isométries est une isométrie. La réciproque d’une isométrie est une isométrie. Un déplacement est une isométrie qui conserve les angles orientés. Un antidéplacement est une isométrie qui transforme tout angle orienté en son opposé.          4-2Triangles isométriques                 Propriétés Pour que deux triangles soient isométriques il suffit que l’un des critères suivants soit vérifié : (1) Les deux triangles ont leurs côtés deux à deux de mêmes  longueurs. (2)Les deux triangles ont un angle (non orienté) de même mesure, compris entre deux côtés deux à deux mêmes longueurs. (3)Les deux triangles ont un côté de même longueur, compris entre deux angles (non orientés) deux à deux de mêmes mesures.    

ETUDE ET REPRESENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION ETUDE DE FONCTIONS

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I. RAPPELS https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

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Définition 1 : Soit f une fonction. On appelle ensemble de définition de la fonction f , très souvent noté Df, l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe. Remarque : On est parfois amené à étudier une fonction f sur un intervalle plus petit que son ensemble de définition. Exemple : Soit f la fonction définie par  f (x) =

1 x−1

On ne peut pas calculer l’image de 1 car le dénominateur s’annulerait alors. En revanche, si x ≠ 1, alors f(x) existe. Par conséquent, 

Df = ]− ∞ ;1[∪]1;+ ∞ [= ℝ ∖{1} Définition 2 : Une fonction f définie sur un intervalle I de ℝ est dite : - croissante si, pour tout réel x et y de I tels que a < b on a f(x) < f(y). - décroissante si, pour tout réel x et y de I tels que a < on a f(x) > f(y). - constante, si pour tout réel x et y de I on a f(x) = f(y). - monotone sur l’intervalle I, si f est croissante ou décroissante sur I. Remarques :  Toutes les fonctions ne sont pas monotones. Elles peuvent être plusieurs fois croissantes ou décroissantes sur leur ensemble de définition.  Il faut toujours spécifier sur quel intervalle la fonction est croissante, décroissante ou constante. II. LES FONCTIONS DE REFERENCE 1. Fonction affine Propriété 1 : On considère la fonction affine f définie par f(x) = ax + b (a et b étant 2 nombres réels). - Si a > 0, la fonction f est strictement croissante sur ℝ . - Si a < 0, la fonction f est strictement décroissante sur ℝ. - Si a = 0, la fonction est constante sur ℝ. Exemple

2. Fonction inverse Propriété 2 : La fonction inverse f définie sur ℝ* = ]-∞ ;0[U]0 ;+∞[ par  f (x) =

1  est strictement x

décroissante sur ]-∞ ;0[ et sur ]0 ;+∞[. Remarque : On ne peut pas dire que la fonction est décroissante sur ]-∞ ;0[U]0 ;+∞[ puisqu’elle est définie sur 2 intervalles!

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La courbe représentative de la fonction inverse est composée de 2 branches d’hyperbole. 3. Fonction carré Propriété 3 : La fonction carré f définie sur ℝ par f (x) = x 2  est : - décroissante sur ]-∞ ;0] - croissante sur [0 ;+∞[

4. Fonction valeur absolue Définition 3 : On appelle fonction valeur absolue la fonction f définie sur ℝ par :

⎧⎪ ⎪ x si x >0 f (x) = ⎪⎨⎪⎪ ⎪⎩ −x si x 0, les fonctions u et λu ont le même sens de variation sur I. - Si λ < 0, les fonctions u et λu ont des sens de variation contraire sur I. Remarque : Si λ = 0, alors λu est la fonction nulle sur I. 3. FONCTION  u Définition 7 : Soit u une fonction définie sur un intervalle I telle que u(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I   La fonction notée u est par () u (x) = u(x) pour tout  x ∈ I  . Exemple : Soit u la fonction définie sur ℝ par u(x) = x2 + 4 La fonction  u  est définie alors sur ℝ par  ( u ) (x) =

x2 + 4

Propriété 11 : Soit u une fonction monotone et à valeur positive sur I. Les fonctions u et  u  ont le même sens de variation sur I. 4. FONCTION 1/u Définition 8 : Soit u une fonction définie sur un intervalle I telle que u(x) ≠ 0 pour tout x ∈ I   La fonction notée 1/u est par 

⎛⎜ 1 ⎞⎟ 1 ⎜ ⎟ (x ) =  pour tout x ∈ I  . u (x) ⎝u ⎠ Exemple : soit u la fonction définie sur ℝ par u(x) = x2 + 2 La fonction 

1 ⎛1⎞ 1  est définie sur ℝ par  ⎜⎜ ⎟⎟ (x ) = 2 u ⎝u ⎠ x +2

Propriété 12 : Soit u une fonction définie et monotone sur I. Si, de plus, la fonction u est à valeurs strictement positives ou strictement négatives alors la fonction 1/u a un sens de variation contraire à celui de u.

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

GEOMETRIE ANALYTIQUE DU PLAN 1-Orthogonalité et droite et plan      1-1 Droite définie par un point et un vecteur *Equation cartésienne d’une droite Propriété Soit a et b deux nombres réels tels que  ( a , b ) ≠ ( 0; 0 ) .

 →

Pour tout nombre réel  , la droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0 admet  n (a ;b )  pour vecteur normal. https://ecoleweb.ci/course/view.php?id=123

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→

Réciproquement, toute droite de vecteur normal  n (a ;b )  admet une équation cartésienne de la forme  a x + by + c = 0 ou c ∈ℝ.

*Parallélisme et orthogonalité de droites Propriété   Soit (D') et (D’) deux droites d’équations cartésiennes respectives : a x + by + c = 0 et a 'x + b'y + c' = 0   (1) (D) ⫽ (D’)  ⇔ ab' − a 'b = 0 ;  (2) (D) ⟘ (D’)    ⇔ aa ' + bb' = 0                                                           1-2 Equation normale d’une droite * Propriété → →

→

Soit (D) une droite,  n  un vecteur normal à (D) et θ une mesure de l’angle orienté  ( i ; n )  . (D) admet une équation cartésienne de la forme : xcosθ +ysinθ +k = 0   (équation normale de (D)) Remarque Pour obtenir une équation normale d’une droite ayant pour équation cartésienne →

 ax + by + c = 0, il suffit de diviser les deux membres de cette équation par la norme du vecteur normal  n (a ;b )   On obtient : 

a 2

a +b

2

b

x+

2

a +b

2

y+

c 2

a +b

2

=0

  *Distance d’un point à une droite * Propriété1 Soit  A (x A; y A )  un point du plan et (D) une droite d’équation normale  xcosθ +ysinθ +k = 0 On a : d (A,d) = | x A cosθ +y A sinθ +k| * Propriété2 Soit  A (x A; y A )  un point du plan et (?) une droite d’équation cartésienne a x + by + c = 0 et a 'x + b'y + c' = 0                                                 On a : d (A,d) =

|a x A +by B +C| 2

a +b

2

                                                          

Application 1 Application 2

ORTHOGONALITE DANS L' ESPACE 1-Droites et plans orthogonaux     1-1 Droites orthogonales

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Deux droites de l’espace ? sont orthogonales lorsque, un point de ? choisi, les parallèles à ces droites passants par ce point sont perpendiculaires. On note (?) ⟘ (?’)    1-2 Droite et plan orthogonaux Propriété fondamentale   Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Propriétés *(1) Etant donné un point A et un plan (?), il existe une unique droite passant par A et orthogonale à (?). *(2) Etant donné un point A et une droite (?), il existe un unique passant par A et orthogonal à (?).

2-Plans perpendiculaires    2-1 Définition     Deux plans sont perpendiculaires lorsque l’un d’entre eux contient une droite orthogonale à l’autre. On note (?) ⟘ (?’)     2-2 Propriétés *Si deux plans sont perpendiculaires, tout plan parallèle à l’un est perpendiculaire à l’autre. *Un plan est perpendiculaire à deux plans sécants si et seulement s’il est orthogonal à leur droite d’intersection.

Application 1 Application 2

VECTEURS DE L' ESPACE

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