Cours de Calculs Topometriques Edition Aout 2020 [PDF]

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COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES

INGENIEUR GEOMETRE TINA YACE ALAIN PACOME

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 1 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années

SOMMAIRE GENERALITES ........................................................................................................................................................ 5 I.

DEFINITION ............................................................................................................................................... 5

II.

ORGANISATION DES CALCULS .................................................................................................................. 5 1.

Généralités : ......................................................................................................................................... 5

2.

Organisation des calculs ....................................................................................................................... 5

III.

UNITES UTILISEES EN TOPOMETRIE...................................................................................................... 7

1.

Unités linéaires ..................................................................................................................................... 7

2.

Unités angulaires .................................................................................................................................. 7

3.

Unités de surface (unités agraires) ....................................................................................................... 7

4.

Conversions angulaires ......................................................................................................................... 7

CHAPITRE I : CALCUL DE DISTANCES ET PROBLEME D’ORIENTATION .................................................................. 9 I.

CALCUL DE DISTANCES : RESOLUTION DE TRIANGLES ............................................................................. 9 1.

Triangle rectangle ................................................................................................................................. 9

1.

Formules dans les triangles quelconques................................................................................................. 9

2.

Cas classiques de résolutions de triangles ............................................................................................. 12

2.1.

Cas du triangle défini par un côté et les deux angles adjacents :....................................................... 12

2.2.

Cas du triangle défini par un angle et les deux côtés de cet angle : .................................................. 12

2.3.

Cas du triangle défini par ses trois côtés ............................................................................................ 13

2.4.

Cas du triangle défini par deux côtés et la surface............................................................................. 13

2.5.

Cas du triangle défini par un côté, un angle et la surface .................................................................. 14

2.6.

Cas du triangle défini par deux angles et la surface ........................................................................... 14

2.7.

Cas du triangle défini par un angle, un côté de cet angle et le côté opposé à cet angle ................... 15

2.8.

Cas du triangle défini par trois angles et la surface............................................................................ 15

II.

LES DIFFERENTES ORIENTATIONS ........................................................................................................... 16 1.

Gisement d’une direction ................................................................................................................... 16

2.

G0 de station ...................................................................................................................................... 20

CHAPITRE II : CALCUL D’UN CANEVAS PLANIMETRIQUE .................................................................................... 22 I.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR INTERSECTION ......................................... 22 1.

Formules simples ................................................................................................................................ 22

2.

Formule globale .................................................................................................................................. 24

3.

Formule de Hatt.................................................................................................................................. 24

II.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RELEVEMENT ........................................... 26 1.

Principe ............................................................................................................................................... 26 Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 2 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années 2.

Méthode géométrique ou relèvement italien.................................................................................... 27

3.

Méthode barycentrique ..................................................................................................................... 28

4.

Méthode de Delambre ....................................................................................................................... 29

III.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR DOUBLE RELEVEMENT ......................... 32

IV.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RECOUPEMENT.................................... 34

V.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR TRILATERATION ....................................... 35

VI.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RATTACHEMENT - RABATTEMENT ..... 36

VII.

CALCUL DE L’EXCENTREMENT ............................................................................................................ 37

1.

Correction de réduction au centre ..................................................................................................... 38

2.

Précisions à conserver dans les mesures des éléments de l’excentrement ...................................... 39

CHAPITRE III : CALCULER ET COMPENSER UN CHEMINEMENT PLANIMETRIQUE OU UNE POLYGONALE ......... 41 I.

DEFINITIONS ET PRINCIPE....................................................................................................................... 41 1.

Un cheminement en antenne ou ouvert ............................................................................................ 41

2.

Le cheminement encadré ................................................................................................................... 41

3.

Le cheminement dit fermé ou bouclé : .............................................................................................. 42

4.

Le point nodal : ................................................................................................................................... 42

II.

CALCULS .................................................................................................................................................. 42 1.

Calcul d’un cheminement encadré ..................................................................................................... 43

2.

Calcul d’un cheminement bouclé ou fermé ....................................................................................... 54

CHAPITRE IV : CALCUL DE SURFACES .................................................................................................................. 60 INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 60 I.

CALCUL DE SURFACES PAR DECOMPOSITION EN FIGURES GEOMETRIQUES SIMPLES .......................... 60

II.

CALCUL DE SURFACES PAR COORDONNEES RECTANGULAIRES ............................................................. 62

III.

CALCUL DE SURFACES PAR COORDONNEES POLAIRES (ANGLES, DISTANCES) .................................. 63

IV.

CALCUL DE SURFACES PAR LA METHODE POLYGONALE (OU METHODE DE SARRON) ...................... 65

V.

SURFACES DELIMITEES PAR DES LIGNES COURBES ................................................................................ 68 1.

Méthode de Poncelet. ........................................................................................................................ 68

2.

Méthode Simpson. ............................................................................................................................. 69

VI.

REDRESSEMENT DE LIMITES ............................................................................................................... 71

CHAPITRE V : DIVISIONS DE SURFACES............................................................................................................... 74 I.

LIMITES DIVISOIRES PASSANT PAR UN SOMMET ................................................................................... 74 1.

Cas d’un triangle ................................................................................................................................. 74

2.

Cas d’un quadrilatère ......................................................................................................................... 75

3.

Cas d’un polygone .............................................................................................................................. 76 Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 3 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années II.

LIMITES DIVISOIRES PASSANT PAR UN POINT SITUE SUR UN CÔTÉ....................................................... 76 1.

Cas d’un triangle ................................................................................................................................. 76

2.

Cas d’un quadrilatère ......................................................................................................................... 76

3.

Cas d’un polygone .............................................................................................................................. 77

III.

LIMITES DIVISOIRES PARALLELES A UN CÔTÉ ..................................................................................... 77

1.

Cas d’un triangle ................................................................................................................................. 77

2.

Cas d’un quadrilatère ......................................................................................................................... 78

3.

Cas d’un polygone .............................................................................................................................. 79

IV.

LIMITE DIVISOIRE PERPENDICULAIRE A UN CÔTÉ .............................................................................. 79

1.

Cas d’un triangle ................................................................................................................................. 79

2.

Cas d’un quadrilatère ......................................................................................................................... 80

V.

LIMITE DIVISOIRE DANS UN ILOT............................................................................................................ 81 1.

Pan coupé parallèles à des alignements droits .................................................................................. 82

2.

Lot d’angle .......................................................................................................................................... 82

CHAPITRE VI : COMPENSATION PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES .................................................... 84 INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 84 I.

OBSERVATIONS INDIRECTES : METHODES DES MOINDRES CARRES ...................................................... 85 1.

Formation pratique des équations finales ......................................................................................... 86

2.

Résolution du système des équations finales .................................................................................... 91

II.

METHODE DE VARIATION DES COORDONNEES ................................................................................... 100 1.

Intersection....................................................................................................................................... 100

2.

Relèvement....................................................................................................................................... 108

3.

Recoupement ................................................................................................................................... 115

4.

Multilatération ................................................................................................................................. 117

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COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années

GENERALITES I. DEFINITION La topométrie est l’ensemble des techniques de mesurage géométrique permettant d’obtenir l’ensemble des éléments métriques (éléments planimétriques et altimétriques), indispensables à la réalisation d’un plan à grande échelle. L’exécution d’un tel plan comporte en général trois phases : 1. mesures sur le terrain : c’est le levé. On ramènera du terrain : un croquis (représentation à main levée des lieux), un certain nombre de mesures (angles, distances) mentionnées sur le croquis et / ou sur le carnet de terrain. 2. les calculs (dépouillement et calculs proprement dits) : les mesures faites sur le terrain ne sont généralement pas directement exploitables. Il faudra parfois les transformer pour pouvoir dessiner le plan. D’autre part, certains éléments ne sont pas directement mesurables sur le terrain (la surface). Certains calculs simples (contrôle par exemple) peuvent être exécutés sur le terrain. 3. Le report graphique : c’est le dessin lui-même. Il comporte une partie technique et une partie d’habillage. Ce plan peut servir de base à l’étude d’un projet (forage, irrigation, routes, génie rural, lotissement, etc.) ; ce qui implique de nombreux calculs. Il est donc nécessaire d’effectuer sur le terrain des calculs rapides en faisant des contrôles nécessaires pour être sûr des résultats. Le plan obtenu peut-être utilisé ou repris par d’autres personnes d’où l’importance d’agir avec ordre et méthode.

II.

ORGANISATION DES CALCULS

1. Généralités : La transformation des éléments numériques mesurés sur le terrain nécessite une grande habitude de calcul. On rencontre les calculs soit seuls, soit comme compléments d’autres formes de calculs. 2. Organisation des calculs Une bonne organisation des calculs doit permettre : -

de diminuer les écritures ; de faciliter la compréhension pour d’autres utilisateurs que le calculateur lui-même ; de facilement contrôler les calculs eux-mêmes ; de facilement classer les documents. Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 5 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années Pour une bonne organisation des calculs : -

il faut tant que c’est possible effectuer un report à l’aide des données du calcul. Si le report est exécuté avec soin, il permettra de contrôler l’ordre de grandeur des résultats ; si cela est nécessaire (calcul assez long), il convient d’indiquer une démarche à suivre que l’on respectera dans le développement des calculs ; il est impératif d’organiser les calculs sous forme de tableaux, cela présentant de nombreux avantages ; respecter l’unicité de présentation pour les calculs de même espèce ; éviter la réinscription de valeurs ; faciliter la lecture des valeurs numériques. Il faut pour cela : o régler l’importance des colonnes et des cases ; o bien former les chiffres ; o écrire les unités de même rang à la verticale les unes des autres ; o scinder les grands nombres en groupes de trois (3) chiffres de part et d’autre de la virgule ; o ne jamais surcharger les chiffres ; o encadrer, souligner, mais adopter une présentation différente pour les résultats.

-

Exemples : a d b c

h 12

a² d² b² c²

h1

h 22

h2

contrôle

a

b

h

h1 = h2 = h d

c

h12 = a² - d²

h22 = b² - c²

On a mesuré les demi-diagonales a, b, c et d. On veut calculer les quantités e, f, g et h. NON

a e a h

f

b c d

g

b c b c d d a

OUI

a² b² c² b² c² d² d² a²

e f

a b

a² e

f²

f

g²

g

h²

h

b²

g

c

c²

h

d

d²

a

e²

a²

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COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES III.

BTS 1ère et 2è années UNITES UTILISEES EN TOPOMETRIE.

1. Unités linéaires En topométrie, les unités utilisées sont les multiples et sous-multiples du mètre (m). 2. Unités angulaires Principalement en topométrie, nous utilisons : -

le grade (gr) ou le Gon (g) : Unités Grade Décigrade Centigrade ou Minute centésimale Milligrade Décimilligrade ou Seconde centésimale

-

Valeur 1 10-1 gr 10-2 gr 10-3 gr 10-4 gr

le degré (sexagésimal) :

Unités Degré Minute sexagésimale Seconde sexagésimale -

Symbole gr dgr cgr ( ˋ ) mgr dmgr ( ˋˋ )

Symbole ° ’ ’’

Valeur 1 1/60° 1/3600°

le radian (rd) : C’est l’angle au centre sous lequel est vu un arc de longueur égale au rayon du cercle. Pour les calculs, le radian est compatible avec les unités de longueur.

3. Unités de surface (unités agraires) Unités Symbole Valeur hectare ha 104 m² are a 10² m² centiare ca 1 m² 4. Conversions angulaires 2 π rd = 360° = 400 gr d’où π rd = 180° = 200 gr a) Degrés → grades (exemple : 93°24’33’’) (93 +

24′ 33′′ 10 )× + = 103.78797 𝑔𝑟 60 3600 9

b) Grades → degrés (exemple : 103.78797 gr) -

Convertir les grades en degrés décimaux : Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 7 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années 103.78797 ×

9 = 93.4092° 10

-

Multiplier par 60 la partie décimale du résultat pour obtenir des minutes décimales : 0.4092 × 60 = 24.5504’

-

Multiplier par 60 la partie décimale de ce dernier pour obtenir des secondes : 0.5504 × 60 = 33.0228’’ D’où 103.78797 gr = 93°24’33’’

c) Radians → grades → radians A(rd) = A(gr) × π rd = 200 gr 

𝐴 (𝑟𝑑) 𝜋

=

𝐴 (𝑔𝑟) 200

𝜋 200

 A(gr) = A(rd)*

200 𝜋

d) Radians →degrés →radians A(rd) = A(°)* π rd = 180° gr 

𝐴 (𝑟𝑑) 𝜋

=

𝐴 (°) 180

𝜋 180

 A(°) = A(rd)*

180 𝜋

(degrés décimaux)

Remarque : Aucune vérification n’est possible au cours de ces transformations. Il est donc hautement conseillé de convertir le résultat obtenu dans le premier par mesure de vérification. Exercice : Convertir : - 302°21’17’’ en radians - 318.0958 gr en degrés et ses sous-multiples - 249°08’02’’ en grades

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COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années

CHAPITRE I : CALCUL DE DISTANCES ET PROBLEME D’ORIENTATION I. CALCUL DE DISTANCES : RESOLUTION DE TRIANGLES Résoudre un triangle consiste à calculer ses données manquantes (angles ; côtés ; surface) tout en faisant des contrôles. 1. Triangle rectangle A

𝑎 = 𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑏 = 𝑎. 𝑡𝑎𝑛𝐵 = 𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐵

c

𝑎 𝑏 = 𝑠𝑖𝑛 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝐵 1 1 1 𝑆 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑎𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 C B a 2 2 2 2. Formules dans les triangles quelconques Soit un triangle ABC, par convention a, b et c désignent les côtés du triangle respectivement opposés aux sommets A, B, C. p désigne le demi- périmètre et S la surface ou superficie b

𝑐 =

A b

C

c

B

a

2.1 FORMULES POUR LE CALCUL DES COTES D’UN TRIANGLE

-

Théorème d’Akashi :

Condition d’utilisation : un angle et ses côtés connus 𝑎 = ඥ𝑏² + 𝑐² − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

-

𝑏 = ඥ𝑎² + 𝑐² − 2𝑎𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵

𝑐 = ඥ𝑎² + 𝑏² − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐶

Théorème des sinus :

Condition d’utilisation : 2 angles et un côté opposé à l’un des 2 angles connus

𝑎 𝑏 𝑐 = = = 2R sin A sin 𝐵 sin 𝐶

𝑏=𝑎

sin 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝐴

𝑐=𝑎

sin 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝐴

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COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années -

Surface :  Formule de surface utilisant le sinus.

Condition d’utilisation : la surface, un angle et un des 2 côtés connus 𝑆 =

1 1 1 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑎𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑏𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 2 2 2

𝑐=

2S 𝑏. 𝑠𝑖𝑛 𝐴

𝑎=

2S 𝑏. 𝑠𝑖𝑛 𝐶

 Formule de surface utilisant les cotangentes. Condition d’utilisation : la surface, 2 angles adjacents au côté à calculer. 𝑆 =

𝑎² 𝑏² 𝑐² = = 2(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐶) 2(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐶) 2(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐵)

𝑐 = ඥ2𝑆(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐵)

𝑏 = ඥ2𝑆(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐶)

𝑎 = ඥ2𝑆(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐶)

2.2 FORMULES POUR LE CALCUL DES ANGLES D’UN TRIANGLE

-

Théorème d’Akashi :

Condition d’utilisation : tous les côtés connus 𝑏2 + 𝑐 2 − 𝑎2 𝐴 = arccos ( ) 2𝑏𝑐 -

𝑎2 + 𝑐 2 − 𝑏2 𝐵 = arccos ( ) 2𝑎𝑐

𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 2 𝐶 = arccos ( ) 2𝑎𝑏

Théorème des sinus :

Condition d’utilisation : un angle et son côté opposé et un autre côté connu 𝑎 𝑏 𝑐 = = sin A sin 𝐵 sin 𝐶 -

a. sin 𝐴 𝐵 = arcsin ( ) 𝑏

a. sin 𝐴 𝐶 = arcsin ( ) 𝑐

Formules des tangentes :

Condition d’utilisation : un angle et ses 2 côtés connus

𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝐵 = arctan ( ) 𝑐 − 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴

𝐶 = arctan (

𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 ) 𝑏 − 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

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COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années Formule de la somme des angles :

-

Condition d’utilisation : deux angles connus ou deux ou trois angles calculés afin de faire un contrôle 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 200

𝐶 = 200 − (𝐴 + 𝐵)

2.3 FORMULES POUR LE CALCUL DE LA SURFACE D’UN TRIANGLE

-

Formule de la surface utilisant le sinus.

Condition d’utilisation : un angle et ses 2 côtés connus 𝑆 =

-

1 1 1 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑎𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑏𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 2 2 2 Formule de la surface utilisant les cotangentes.

Condition d’utilisation : un côté et 2 angles adjacents connus 𝑆 =

-

𝑎² 𝑏² 𝑐² = = 2(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐶) 2(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐶) 2(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐵) Formule de la surface utilisant le demi-périmètre.

Condition d’utilisation : tous les côtés connus S = ඥ𝑝 ∗ (𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝 =

𝑎+𝑏+𝑐 2

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COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années 3. Cas classiques de résolutions de triangles 3.1. Cas du triangle défini par un côté et les deux angles adjacents :

Données : a ; B ; C A ? b? c?

C

S =

𝐴 = 200 − (𝐵 + 𝐶) 𝑎 𝑏 𝑐 = = sin (𝐵 + 𝐶) sin 𝐵 sin 𝐶 B

a 𝑏=𝑎

Inconnues : A, b, c et S (superficie)

sin 𝐵 𝑠𝑖𝑛(𝐵 + 𝐶)

𝑐=𝑎

sin 𝐶 𝑠𝑖𝑛(𝐵 + 𝐶)

𝑎² 1 1 1 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑎𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑐𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐴 2(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐶) 2 2 2

a²

2S = Cas du triangle défini par un angle et les deux côtés de cet angle : 3.2. cotanB+cotanC) Données : A, b et c

Inconnues : B, C, a et S

A

𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑐 − 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴

𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝐵 = arctan ( ) 𝑐 − 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴

𝑡𝑎𝑛𝐶 =

𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑏 − 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝐶 = arctan ( ) 𝑏 − 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

c

b

C

𝑡𝑎𝑛𝐵 =

?

? a?

B

Contrôle

A+B+C = 200 gr

Remarque : si tan est inférieur à 0, alors l’angle est égal à + 200 gr 𝑎 𝑏 𝑐 = = sin A sin 𝐵 sin 𝐶

𝑐=𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐶 =𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵

1

𝑆 = 𝑏𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 2

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COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années 3.3. Cas du triangle défini par ses trois côtés Données : a, b et c

Inconnues : A, B, C et S

A

a² = b²+c²-2bc.cosA

1ère méthode :

b² = a²+c²-2ac.cosB

? b ?

C

𝑠𝑖𝑛

𝐴 2

c ?

a (𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)

= √

𝑏𝑐

c² = a²+b²-2ab.cosC

𝑠𝑖𝑛

2ème méthode :

B

𝐵 2

=√

(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑐)

𝑠𝑖𝑛

𝑎𝑐

𝐶 2

𝑝=

𝑎+𝑏+𝑐 2

(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)

= √

𝑎𝑏

S = ඥ𝑝 ∗ (𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)

3.4. Cas du triangle défini par deux côtés et la surface Données : b, c et S

Inconnues : a, A, B et C

𝐴 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 A b

?

c

2𝑆 𝑏𝑐

𝑎 = ඥ𝑏² + 𝑐² − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

S C

? a?

?

B

𝑎2 + 𝑐 2 − 𝑏2 𝐵 = arccos ( ) 2𝑎𝑐 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 2 𝐶 = arccos ( ) 2𝑎𝑏

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟ô𝑙𝑒

𝑆 =

𝑎² 2(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐶)

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COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années 3.5. Cas du triangle défini par un côté, un angle et la surface Données : a, B et S

Inconnues : b, c, A et C

𝑐=

A ? b?

c?

𝑏 = ඥ𝑎² + 𝑐² − 2𝑎𝑐. cos 𝐵

S

C

?

B

a

2𝑆 𝑏. 𝑠𝑖𝑛 𝐵

a. sin 𝐵 𝑏2 + 𝑐 2 − 𝑎2 ) = arccos ( 𝐴 = arcsin ( ) 𝑏 2𝑏𝑐

𝐶 = 200 − (𝐴 + 𝐵)

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟ô𝑙𝑒

𝑆=

1 𝑏𝑐. sin 𝐴 2

3.6. Cas du triangle défini par deux angles et la surface Données : A, B et S

Inconnues : C, a, b et c

𝑐 = ඥ2𝑆(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐵)

A b?

c?

𝐶 = 200 − (𝐴 + 𝐵)

S C

? a?

B

𝑎=

2𝑆 sin 𝐴 =𝑐 𝑐. 𝑠𝑖𝑛 𝐵 sin 𝐶

𝑏=

2𝑆 sin 𝐵 =𝑐 𝑎. sin 𝐶 sin 𝐶

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COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années 3.7. Cas du triangle défini par un angle, un côté de cet angle et le côté opposé à cet angle Données : A, a et b

Inconnues : B, C, c et S

A

a. sin 𝐴 𝐵 = arcsin ( ) 𝑏

b

𝐶 = 200 − (𝐴 + 𝐵)

c? S

?

?

C

𝑐=𝑏

B

a

sin 𝐶 sin 𝐴

1

𝑆 = 𝑎𝑏. sin 𝐶 2

3.8. Cas du triangle défini par trois angles et la surface Données : A, B, C et S

Inconnues : a, b et c

A

𝑎 = ඥ2𝑆(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐶)

b?

c? 𝑏 = ඥ2𝑆(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐶)

S C

a?

B 𝑐 = ඥ2𝑆(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐵)

Contrôle 𝑝=

𝑎+𝑏+𝑐 2

S = ඥ𝑝 ∗ (𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)

Application : N° 1 : Résoudre le triangle ABC sachant que B = 69.894 gr ; C = 51.312 gr ; BC=a = 315.712 m N°2 : Résoudre le triangle ABC sachant que BC=a = 224.55 m ; AC=b = 251.86 m ; AB=c = 412.29 m N°3 : Résoudre le triangle ABC sachant que BC=a = 151.46 m ; AC=b = 212.28 m ; C = 28.654 gr N°4 : Résoudre le triangle ABC sachant que AC= b = 49.12 m ; BC= a = 32.81 m ; S = 281.52 m² N°5 : Résoudre le triangle ABC sachant que AC= b = 51.02 m ; A = 127.100 gr ; S = 432.83 m² N°6 : Résoudre le triangle ABC sachant que A= 51.200 gr ; B = 121.720 gr ; C= 27.080 gr ; S = 2989.12 m²

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 15 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années II. LES DIFFERENTES ORIENTATIONS Il existe trois nord qui sont le nord géographique ; le nord magnétique et le nord de la représentation plane. -

L’angle que fait le nord magnétique avec la direction AB est appelé azimut magnétique ( AZm ) NM B

AZm -

L’angle A que fait le nord géographique avec la direction AB est appelé azimut géographique (AZg) NG B

AZg

A L’angle que fait le nord de la représentation plane avec la direction AB est appelé Gisement noté souvent G ou V. Y B

-

GAB =VAB

X

A

1. Gisement d’une direction Le gisement d’une direction est l’angle orienté compris entre le nord de la représentation plane et la direction considérée. Il est compté positivement à partir des Y positifs dans le sens des aiguilles d’une montre. Il varie de 0 à 400 gr. Le gisement peut être obtenu de trois manières différentes : a) CALCUL DU GISEMENT PAR COORDONNEES RECTANGULAIRES Le gisement peut être obtenu par calcul si on connaît les coordonnées des extrémités de la visée AB. 𝑌+

tan GAB =

B’’ YB

B

XA

𝐵"𝐴

BB” = XB-XA =∆XAB B”A = YB-XA =∆YAB

G YA A

𝐵"𝐵

B’ XB

tanGAB =

𝑋𝐵 −𝑋𝐴 𝑌𝐵 −𝑌𝐴

=

∆𝑋𝐴𝐵 ∆𝑌𝐴𝐵

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 16 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années GAB = arctg ( (0 gr)

∆𝑋𝐴𝐵 ∆𝑌𝐴𝐵

)

Y Quadrant IV : ∆X0 g= arctg

∆𝑋 ( ∆𝑌

Quadrant I: ∆X>0 et ∆Y>0 ∆𝑋

)0

GAB = g+400gr

GAB =g

B1

B4 (300gr)

X

A B2

B3

Quadrant II : ∆X>0 et ∆Y 200𝑔𝑟 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 GBA = GAB − 200𝑔𝑟 ; 𝑠𝑖 GAB < 200𝑔𝑟, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 GBA = GAB + 200𝑔𝑟

Application Soit la parcelle ABCD ci-après. On donne A (X= 1484,08 m ; Y= 1402,26 m) et GAB = 100,8454 gr Y

1. Calculer les coordonnées des points B, C et D Calculer la distance horizontale AD. 2. 3. Calculer les angles A et D

GAB A

935.80 m

B

86.139 gr 746.76 m 114.707 gr D

1010.33 m

C

c) CALCUL DU GISEMENT A L’AIDE D’UN G0 ET DES LECTURES AZIMUTALES Le gisement peut être obtenu à partir des observations : GAM = G0 + LAM

2. G0 de station Le G0 d’une station est le gisement de la graduation 0 du limbe. Gisement du zéro du limbe pour une direction Symbole : G0A Le gisement du zéro du limbe est obtenu à partir du gisement d'une direction connue et de la lecture sur le limbe horizontal correspondant. Point de station S (XS ; YS) ; Point visé connu A (XA ; YA) Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 20 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années GSA = arctg (

XA − XS ) YA − YS

Lecture sur le limbe relative à A : LA G0A = GSA - LA Gisement du zéro du limbe pour un tour d'horizon : Symbole : G0 ou 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 Gisement moyen du zéro, origine de la graduation du limbe après réduction du tour d'horizon. Il s'obtient par la moyenne arithmétique des gisements des zéros relatifs à plusieurs visées sur des points connus. G0A=GSA-LA , 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 = 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛

G0B=GSB-LB ,

G0C=GSC-LC

𝐺0𝐴 + 𝐺0𝐵 + 𝐺0𝐶 3

∑𝑛𝑖=1 𝐺0𝑖 = 𝑛

Utilité du 𝑮𝟎𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏 : Le 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 est le gisement qui, ajouté aux lectures réduites d'un tour d'horizon, donne les gisements des visées : GSM = 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 + LM (LM lecture réduite sur M)

Application Station Points visés Lectures azimutales

18

14 11 17 9

0.000 24.483 76.002 363.333

X (m) 285 152.36 277 697.47 276 228.59 284 212.37 274 326.64

Y (m) 843 277.34 845 224.20 849 881.14 850 968.62 839 683.62

a) Calculer le 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 de la station. b) Calculer le gisement G18-8 sachant que la lecture azimutale réduite sur 8 est L8 = 398.578 gr. c) Calculer les coordonnées rectangulaires du point 8 sachant que D18-8 = 315.45

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 21 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années

CHAPITRE II : CALCUL D’UN CANEVAS PLANIMETRIQUE I.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR INTERSECTION

L’intersection est la méthode topographique qui permet de déterminer un point en le visant à partir d’au moins 2 points. Y M

M’ GAM 𝐺𝐵𝑀

GAM

GAB I

𝐴̂

A

K 𝐺𝐵𝑀

𝐵̂

X

H

B Soient les deux points A et B de coordonnées connues avec la mesure des angles A et B. nous devons déterminer les coordonnées du point M 1. Formules simples Considérons le triangle AMB. En utilisant les relations des sinus, on a : 𝐴𝑀 𝑠𝑖𝑛𝐵

=

𝐵𝑀 𝑠𝑖𝑛𝐴

=

𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛𝑀

ou

𝐴𝑀 𝑠𝑖𝑛𝐵

=

𝐵𝑀 𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑋𝑀1 = XA + X or X = AM*sin GAM 𝑌𝑀1 = YA + Y or Y = AM*cos GAM 𝑋𝑀1 = XA + AM*sin GAM

=

et

et

𝑌𝑀1 = YA + AM*cos GAM

𝐴𝐵

d’où 𝐴𝑀 =

sin (𝐴+𝐵)

𝐴𝐵∗𝑠𝑖𝑛𝐵 sin (𝐴+𝐵)

et 𝐵𝑀 =

𝐴𝐵∗𝑠𝑖𝑛𝐴 sin (𝐴+𝐵)

𝑋𝑀2 = XB + X or X = BM*sin GBM 𝑌𝑀2 = YB + Y or Y = BM*cos GBM 𝑋𝑀2 = XB + BM*sin GBM 𝑌𝑀2 = YB + BM*cos GBM

Les deux valeurs permettent de faire un contrôle. Si ces valeurs concordent, le résultat final sera la moyenne. XM =

𝑿𝑴𝟏 +𝑿𝑴𝟐 𝟐

et

YM =

𝒀𝑴𝟏 +𝒀𝑴𝟐 𝟐

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 22 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années En pratique, les deux points connus en coordonnées constituent une condition nécessaire, mais pas suffisante. Il faut obligatoirement stationner un troisième point. ETAPES DE CALCUL • Calcul de la distance AB et du gisement 𝑮𝑨𝑩 𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 𝐺𝐴𝐵 = arctan ( ) 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴

𝐴𝐵 = ඥ(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 )2 + (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )2 • Calcul des angles A et B 𝐴̂ = 𝑙𝐵 − 𝑙𝑀

𝐵̂ = 𝑙𝑀 − 𝑙𝐴

• Calcul des distances AM et BM par résolution du triangle ABM 𝐴𝑀 𝐵𝑀 𝐴𝐵 = = 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴 sin (𝐴 + 𝐵)

d’où 𝐴𝑀 =

𝐴𝐵 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝐵 sin (𝐴 + 𝐵)

et 𝐵𝑀 =

𝐴𝐵 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝐴 sin (𝐴 + 𝐵)

• Calcul des gisements 𝑮𝑨𝑴 et 𝑮𝑩𝑴 𝐺𝐵𝑀 = 𝐺𝐵𝐴 + 𝐵̂

𝐺𝐴𝑀 = 𝐺𝐴𝐵 − 𝐴̂

• Calcul des coordonnées du point M à partir du point A 𝑋𝑀1 = XA + AM*sin GAM

𝑌𝑀1 = 𝑌𝐴 + 𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝐺𝐴𝑀

• Calcul des coordonnées du point M à partir du point B 𝑋𝑀2 = XB + BM*sin GBM

𝑌𝑀2 = 𝑌𝐵 + 𝐵𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝐺𝐵𝑀

• Calcul des coordonnées du point M XM =

𝑿𝑴𝟏 +𝑿𝑴𝟐 𝟐

et

YM =

𝒀𝑴𝟏 +𝒀𝑴𝟐 𝟐

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 23 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années 2. Formule globale En considérant le triangle AMB et en utilisant les relations des sinus, on a : YM - YA = AM*cos GAM

𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 = 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 𝐴𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝐵

YB - YA = AB*cos GAB

Avec 𝐴𝑀 =

𝐴𝐵∗𝑠𝑖𝑛𝐵 sin (𝐴+𝐵)

𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 = 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 sin (𝐴 + 𝐵) ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝐵 𝑌𝑀− 𝑌𝐴 = (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )

𝑠𝑖𝑛𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 sin(𝐴 + 𝐵) ∗ cos𝐺𝐴𝐵

𝒀𝑴 = 𝒀𝑨 + (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 )

𝑋𝑀 − 𝑋𝐴 = (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀

et

𝒔𝒊𝒏𝑩 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝑮𝑨𝑴 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) ∗ 𝐜𝐨𝐬𝑮𝑨𝑩

et

𝑿𝑴 = 𝑿𝑨 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

ETAPES DE CALCUL • Calcul des angles A et B 𝐵̂ = 𝑙𝑀 − 𝑙𝐴

𝐴̂ = 𝑙𝐵 − 𝑙𝑀 • Calcul des gisement 𝑮𝑨𝑩 et 𝑮𝑨𝑴 𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 𝐺𝐴𝐵 = arctan ( ) 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴

𝐺𝐴𝑀 = 𝐺𝐴𝐵 − 𝐴̂

• Calcul des coordonnées du point M 𝑌𝑀 = 𝑌𝐴 + (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )

𝑠𝑖𝑛𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 sin(𝐴 + 𝐵) ∗ cos𝐺𝐴𝐵

et

𝑋𝑀 = 𝑋𝐴 + (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀

3. Formule de Hatt H est le projeté de M sur l’axe des X ; I est le projeté de B sur l’axe des X ; K est l’intersection de (BM) et l’axe des X. 1er cas : AK = AH – KH (1) 2ème cas : AK = AI + IK

(2)

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 24 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années Considérons le 1er cas : AK = AH – KH • Expression de AH 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 =

𝐴𝐻

 𝐴𝐻 = 𝐴𝑀 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 = 𝑋𝑀 − 𝑋𝐴 (2)

𝐴𝑀 𝐴𝐻

𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 =

𝐴𝑀′

 𝐴𝐻 = 𝐴𝑀′ ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀

Or 𝐴𝑀 ′ = 𝑌𝑀 − 𝑌𝐴  𝐴𝐻 = (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 )𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 (3)

(2)=(3)  𝑨𝑯 = 𝑿𝑴 − 𝑿𝑨 = (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

(4)

• Expression de KH 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 =

𝐾𝐻 𝐴𝑀′

 𝑲𝑯 = 𝑨𝑴′ ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 = (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴

(5)

(4)𝑒𝑡 (5)𝑑𝑎𝑛𝑠 (1)𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒𝑛𝑡 ∶ 𝐴𝐾 = (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 )𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 − (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 𝑨𝑲 = (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 )(𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 )

(𝟔)

Considérons le 2ème cas : AK = AI + IK 𝐴𝐼 = 𝑋𝐵 − 𝑋𝐴

𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 =

𝐼𝐾  𝐼𝐾 = 𝐼𝐵 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 𝐼𝐵

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐼𝐵 = 𝑌𝐴 − 𝑌𝐵

𝑨𝑲 =(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 (7)

(7) = (6) (𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 ) − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 = (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 )(𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 − 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 ) 𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 =

𝒀𝑴 = 𝒀𝑨 +

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴

et

𝑿𝑴 = 𝑿𝑨 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 25 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années ETAPES DE CALCUL • Calcul des angles A et B 𝐴̂ = 𝑙𝐵 − 𝑙𝑀

𝐵̂ = 𝑙𝑀 − 𝑙𝐴

• Calcul des gisements 𝑮𝑨𝑩 , 𝑮𝑨𝑴 et 𝑮𝑩𝑴

𝐺𝐴𝑀

𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 𝐺𝐴𝐵 = arctan ( ) 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 = 𝐺𝐴𝐵 − 𝐴̂

𝐺𝐵𝑀 = 𝐺𝐵𝐴 + 𝐵̂

• Calcul des coordonnées approchées du point M 𝑌𝑀 = 𝑌𝐴 +

𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 ) ∗ tan 𝐺𝐵𝑀 tan 𝐺𝐴𝑀 − tan 𝐺𝐵𝑀

𝑋𝑀 = 𝑋𝐴 +(𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 ) ∗ tan 𝐺𝐴𝑀 Application Soient deux points connus A et B tel que

B

XA = 782 333.32 m

XB = 785 489.74 m

YA = 310 192.99 m

YB = 315 556.44 m

LM = 372.5104 𝑔𝑟

LM = 129.5077 𝑔𝑟

𝐺0𝐴 = 106.7974 𝑔𝑟

𝐺0𝐵 = 46.8016 𝑔𝑟

A

M

Calculer les coordonnées du point M par la méthode des formules, globale et de Hatt.

II.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RELEVEMENT

1. Principe Le relèvement est l’opération topométrique permettant de déterminer les coordonnées d’un point en stationnant celui-ci pour viser au moins trois (3) points connus. Cependant en pratique, trois (3) points constituent une condition nécessaire mais pas suffisante, alors il faut un 4ème point connu en coordonnées rectangulaires. Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 26 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années 2. Méthode géométrique ou relèvement italien Les points A, B et C sont des points connus. Le cercle passant par les points M, A et C coupe la droite (BM) au point I. La détermination des coordonnées de I nous permet de calculer les coordonnées de M en ramenant le problème à un simple calcul d’intersection. Procédé de calcul • Calcul des angles α et   = (LC − LB )

α = (LB − LA )

B

• Calcul du gisement AC GAC = arctg

I

∆𝑋𝐴𝐶 ∆𝑌𝐴𝐶

• Calcul des gisements AI et CI : GAI = GAC – 



GCI = GAC ± 200 + α • Détermination des coordonnées de I par la formule de Hatt

𝒀𝑰 = 𝒀𝑪 +

α

A

C 

α

M

(𝑿𝑨 − 𝑿𝑪 ) − (𝒀𝑨 − 𝒀𝑪 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑰 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑰 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑰

𝑿𝑰 = 𝑿𝑪 + (𝒀𝑰 − 𝒀𝑪 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑰 • Calcul des gisements AM et CM. Les points B, I et M étant alignés, on en déduit que : GBI = GBM GAM = GBM − α GCM = GBM +  • Calcul des coordonnées du point M. 𝒀𝑴 = 𝒀𝑨 +

(𝑿𝑪 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑪 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑴

𝑿𝑴 = 𝑿𝑨 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 27 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années Actuellement, le relèvement se calcule par des méthodes numériques. La méthode de calcul que nous venons de voir comporte une certaine ambigüité. En effet, si le point B est à l’intérieur du cercle, il y aura confusion dans le calcul du gisement BI. Cependant, cette méthode est toujours utilisée pour les calculs du relèvement double.

3. Méthode barycentrique

B

A

c

En visant les points connus, l’opérateur en station en M, fait un tour d’horizon.

b

M

a

Procédé de calcul C

Calcul des coordonnées du point M Pts A

Gi (gr)

Angles au sommet

Angles au centre

Coefficients mi

LB

𝐵̂ = GAB ± 200 − GBC

𝑏̂ = L𝐴 − L𝐶

mB

LC

𝐶̂ = GBC ± 200 − GCA

𝑐̂ = L𝐵 − L𝐴

mC

LA

𝐴̂ = GCA ± 200 − GAB

𝑎̂ = L𝐶 − L𝐵

mA

LB Σ

200.0000

400.0000

mA + mB + mC

Li (m)

X (m)

Y (m)

………

…….

LA

GAB

B GBC C GCA A B

GAB

Gi = arctg

mi =

∆𝑋 ∆𝑌

Angle au centre = Li−1 − Li+1

Angle au sommet = (Gi−1 ± 200) − Gi+1

1 cotan Angle au sommet I − cotan angle au centre i

XM =

∑ni=1 mi . Xi ∑ni=1 mi

∑ni=1 mi . Yi YM = ∑ni=1 mi

La formule est valable pour tous les cas de figure. Il suffit de tourner dans le sens trigonométrique. Les coordonnées approchées de M se calculent avec des combinaisons qui permettent une meilleure détermination. Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 28 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années NB : On se contrôle en calculant le G0 de la station en considérant tous les points sur lesquels l’on s’est relevé.

4. Méthode de Delambre B (X ; Y) A (X ; Y)

Soient les gisements AM et BM. D’après le schéma, GBM = GAM + α α

GCM = GAM + 



M

C (X ; Y)

Considérons le point M comme intersection à partir des points A et B avec des gisements pour le moment inconnus GAM et GBM . 𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 =

(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 ) − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 − 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀

Et remarquant que : 1 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀 = = 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 − 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 − 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐵𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 sin (𝐺𝐴𝑀 − 𝐺𝐵𝑀 ) Il vient que : 𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 = [(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 ] ∗

𝒄𝒐𝒔𝑮𝑨𝑴 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝑮𝑩𝑴 −𝐬𝐢𝐧 𝛂

Avec sin(𝐺𝐴𝑀 − 𝐺𝐵𝑀 ) = sin(− α) = − sin α 𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 = [(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 ) − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 =

𝑠𝑖𝑛𝐺𝐵𝑀 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀 ]∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀 −sin α

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 )𝒄𝒐𝒔𝑮𝑩𝑴 − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒔𝒊𝒏𝑮𝑩𝑴 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝑮𝑨𝑴 −𝐬𝐢𝐧 𝛂

Opérant de la même manière en considérant M comme une intersection à partir des points A et C avec des gisements pour le moment inconnus GAM et GCM = GAM + 

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 29 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années (𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 ) − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐶𝑀 𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 = 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 − 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐶𝑀 Qui transformé comme précédemment devient : 𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 = [(𝑿𝑪 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑪 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑴 ] ∗

𝒄𝒐𝒔𝑮𝑨𝑴 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝑮𝑪𝑴 −𝐬𝐢𝐧 

Avec sin(𝐺𝐴𝑀 − 𝐺𝐶𝑀 ) = sin(− ) = − sin  𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 = [(𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 ) − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 =

𝑠𝑖𝑛𝐺𝐶𝑀 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐶𝑀 ]∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐶𝑀 −sin 

(𝑿𝑪 − 𝑿𝑨 )𝒄𝒐𝒔𝑮𝑪𝑴 − (𝒀𝑪 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒔𝒊𝒏𝑮𝑪𝑴 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝑮𝑨𝑴 −𝐬𝐢𝐧 

On peut donc écrire : (𝑋𝐵 −𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀 −(𝑌𝐵 −𝑌𝐴 )∗ 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐵𝑀 −sin α

∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 =

(𝑋𝐵 −𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑠(GAM +α)−(𝑌𝐵 −𝑌𝐴 )∗ 𝑠𝑖𝑛(GAM +α) sin α

=

(𝑋𝐶 −𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑠𝐺𝐶𝑀 −(𝑌𝐶 −𝑌𝐴 )∗ 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐶𝑀 −sin 

∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀

(𝑋𝐶 −𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑠(GAM +)−(𝑌𝐶 −𝑌𝐴 )∗ 𝑠𝑖𝑛(GAM +) sin 

(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 − (𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 )𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α ∗ 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐵𝑀 − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 = (𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 )𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐶𝑀 − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀

En regroupant tous les termes composés de 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 à part et tous les termes composés de 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 à part, on obtient : [(𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐵 )] sin 𝐺𝐴𝑀 = [(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 + (𝑌𝐶 − 𝑌𝐵 )] cos 𝐺𝐴𝑀 tan 𝐺𝐴𝑀 =

(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 + (𝑌𝐶 − 𝑌𝐵 ) (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐵 )

Remarque : 𝐭𝐚𝐧 𝑮𝑨𝑴 = 𝐭𝐚𝐧 𝑮𝑴𝑨 or le gisement calculé est un gisement par relèvement d’où :

𝐭𝐚𝐧 𝑮𝑴𝑨 =

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 )𝒄𝒐𝒕𝒈𝛂 − (𝑿𝑪 − 𝑿𝑨 )𝒄𝒐𝒕𝒈 + (𝒀𝑪 − 𝒀𝑩 ) (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 )𝒄𝒐𝒕𝒈𝛂 − (𝒀𝑪 − 𝒀𝑨 )𝒄𝒐𝒕𝒈 − (𝑿𝑪 − 𝑿𝑩 )

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 30 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années Procédé de calcul • Calcul des angles 𝛼 et 𝛾  = (LC − LA )

α = (LB − LA ) • Calcul des gisement AM et CM

AB AC BC

∆𝑋

∆𝑌

𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 𝑋𝐶 − 𝑋𝐵

𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 𝑌𝐶 − 𝑌𝐵

∆𝑋 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔 … 𝛼 𝛾 ……. ……..

∆𝑌 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔… 𝛼 𝛾 ……. …….

Numérateur

Dénominateur 𝑮𝑴𝑨

…………..

……………..

𝑁𝑢𝑚é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 = (𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 + (𝑌𝐶 − 𝑌𝐵 ) Dénominateur = (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐵 )

𝐺𝑀𝐴 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

𝑁𝑢𝑚é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 Dénominateur

𝐺𝐴𝑀 = 𝐺𝑀𝐴 ± 200

𝐺𝐶𝑀 = 𝐺𝐴𝑀 + 𝛾

• Calcul des coordonnées du point M

𝒀𝑴 = 𝒀𝑨 +

(𝑿𝑪 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑪 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑴

𝑿𝑴 = 𝑿𝑨 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 31 | 122

……….

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années III.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR DOUBLE RELEVEMENT B

A

α2

α1

1 I

1

α1

M

P

2

2

J

α1

C

D

Soit le point M dont on veut déterminer les coordonnées. De M, on ne peut voir que deux (2) points connus A et D. Nous choisissons un point P situé à une distance donnée de M de manière à pouvoir viser deux autres points B et C connus également. La droite (MP) en la prolongeant va couper les deux (2) cercles l’un passant par les points A, D et M au point I et l’autre passant par les points P, B et C au point J. La solution du problème est donnée par la résolution du relèvement italien. Procédé de calcul a) Calculer les différents angles : α1 = 200 − (LP − LA ) 1 = 200 − (LP − LD )

α2 = 200 − (LB − LM ) 2 = 200 − (L𝑀 − LC )

b) Calculer les coordonnées de I • Calculer gisement AD puis gisements AI et DI GAD = arctg

∆𝑋𝐴𝐷 ∆𝑌𝐴𝐷

GAI = GAD + 1

et GDI = GDA − α1

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 32 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années • Calculer les coordonnées de I par la formule de Hatt (𝑿𝑨 − 𝑿𝑫 ) − (𝒀𝑨 − 𝒀𝑫 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑰 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑫𝑰 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑰

𝒀𝑰 = 𝒀𝑫 +

𝑿𝑰 = 𝑿𝑫 + (𝒀𝑰 − 𝒀𝑫 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑫𝑰 c) Calculer les coordonnées de J • Calculer gisement AD puis gisements AI et DI GBC = arctg

∆𝑋𝐵𝐶 ∆𝑌𝐵𝐶

GBJ = GBC − 2

et GCJ = GCB + α2

• Calculer les coordonnées de I par la formule de Hatt

𝒀𝑱 = 𝒀𝑪 +

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑪 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑪 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑱 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑱 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑱

𝑿𝑱 = 𝑿𝑪 + (𝒀𝑱 − 𝒀𝑪 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑱 d) Calculer les coordonnées de • Calculer gisement IJ et en déduire le gisement MP Les points I, M, P et J sont alignés et connaissant les coordonnées de I et J, nous pouvons calculer le gisement IJ GIJ = arctg

∆𝑋𝐼𝐽 ∆𝑌𝐼𝐽

= GMP

• Calculer les gisements AM et DM ; PB et PC GMA = GMP + 200 + α1 GMD = GMP + 200 − 1

GAM = GMA ± 200 GDM = GMC ± 200

• Calculer les coordonnées de P et M par la formule de Hatt GPB = GMP − α2 et GPC = GMB + 2

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 33 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années

𝒀𝑴 = 𝒀𝑫 +

(𝑿𝑨 − 𝑿𝑫 ) − (𝒀𝑨 − 𝒀𝑫 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑫𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

𝑿𝑴 = 𝑿𝑫 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑫 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑫𝑴

𝒀𝑷 = 𝒀𝑪 +

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑪 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑪 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑷 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑷 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑷

𝑿𝑷 = 𝑿𝑪 + (𝒀𝑷 − 𝒀𝑪 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑷

NB : Le contrôle se fera par la comparaison de la distance MP mesurée sur le terrain et le calcul de la distance MP à partir des coordonnées trouvées.

IV.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RECOUPEMENT Le recoupement est le procédé topométrique qui utilise simultanément l’intersection et le relèvement par la détermination d’un point.

M

C (inaccessible) B (stationnable)

A (inaccessible)

Soient A, B et C, 3 points connus. Seul le point B est stationnable. On veut déterminer le point inconnu M. on stationne B et on vise A, C, M et on fait les lectures LA, LC, LM. On stationne M, on vise A et B et fait les lectures LA et LB.

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 34 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années Procédé de calcul d) Calcul du G0moyen à partir des points connus Station B

Gi = arctg

PTS A C ∆𝑋 ∆𝑌

Gi (gr)

𝐺0𝑖 = 𝐺𝑖 − 𝐿𝑖 ;

;

Li (m)

𝐺0𝑚𝑜𝑦 =

G0i (gr)

G0moy (gr)

𝐺0𝐴 + 𝐺0𝐶 2

b) Calcul des gisements BM et AM 𝐺𝐵𝑀 = 𝐺0𝑚𝑜𝑦 + 𝐿𝑀

;

̂ = 𝐺𝐵𝑀 − (𝐿𝐵 − 𝐿𝐴 ) 𝐺𝐴𝑀 = 𝐺𝐵𝑀 − 𝐴𝑀𝐵

c) Calcul des coordonnées de M par la formule de Hatt.

𝒀𝑴 = 𝒀𝑨 +

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴

𝑿𝑴 = 𝑿𝑨 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

V.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR TRILATERATION M

𝐷𝐴𝑀

𝐷𝐵𝑀

A

B

La trilatération est l’opération topométrique qui consiste à mesurer uniquement la distance entre le point nouveau à déterminer et deux points connus (« dits anciens ». Ce procédé nécessitant la mesure de plusieurs distances s’appelle aussi multilatération.

Procédé de calcul

1) Calcul du gisement AB et de la distance AB 2) Résolution du triangle ABM 3) en déduire les gisements AM et BM 4) Calcul des coordonnées du point M en utilisant l’une des méthodes de l’intersection.

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 35 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES VI.

BTS 1ère et 2è années CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RATTACHEMENT - RABATTEMENT

Le rattachement consiste à déterminer les coordonnées d’un point proche du repère connu, qui présente de plus grandes facilités d’utilisation ou de meilleures chances de conservation. Les coordonnées du point rattaché M sont calculées à partir de celles du repère R après détermination des deux paramètres du rattachement : le gisement GRM et la distance RM réduite au système de projection. • Si le repère est stationnable, terrasse ou château d’eau par exemple, effectuer un tour d’horizon sur un ou plusieurs points connus en coordonnées : A, B, etc. ainsi que sur le point rattaché M et mesurer la distance RM. Le G0 de la station donne GRM, d’où les coordonnées de M. B

C

Procédé de calcul : a) Réduire le tour d’horizon à zéro

A R

b) Calculer les différents gisements c) En déduire les G0 individuels puis le G0moy

M

d) Calculer le gisement GRM e) Calculer les coordonnées du point M.

• Si R est inaccessible, flèche de clocher à rabattre au sol par exemple, implanter M de manière à pouvoir viser, outre R, au moins un point connu A, et déterminer deux triangles RMN et RMP les plus équilatéraux possible ; mesurer les distances MN et MP ainsi que tous les angles en M, N, P. R

A N

M

P

M

M Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 36 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années

Procédé de calcul a) Calculer la distance RM par résolution des triangles RMN et RMP 𝑅𝑀 =

𝑅𝑀𝑁 + 𝑅𝑀𝑃 2

b) calculer le gisement RA, puis la distance RA ̂ et 𝐴𝑀𝑅 ̂ par résolution du triangle RMA c) calculer les angles 𝑀𝐴𝑅 ̂ = 𝑎𝑟𝑐 sin ( 𝑀𝐴𝑅

̂ 𝑅𝑀. 𝑠𝑖𝑛 𝐴𝑀𝑅 ) 𝑅𝐴

̂ = 200 − (𝑀𝐴𝑅 ̂ + 𝐴𝑀𝑅 ̂) 𝐴𝑅𝑀 d) Calculer le gisement 𝐺𝑅𝑀 ̂ 𝐺𝑅𝑀 = 𝐺𝑅𝐴 + 𝐴𝑅𝑀

e) Calculer les coordonnées du point M 𝑋𝑀 = 𝑋𝑅 + 𝑅𝑀. 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐵𝑀 𝑌𝑀 = 𝑌𝑅 + 𝑅𝑀. 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀

VII.

CALCUL DE L’EXCENTREMENT

Lorsque les conditions d’observation n’autorisent pas le centrage du théodolite sur le repère, l’opérateur se place en S à une station dite « excentrée » ; la réduction des observations consiste à calculer les lectures du cercle horizontal du théodolite qui auraient été faites, toutes choses égales, si l’instrument avait été mis en station, donc centré sur le repère. 𝐿𝐵

𝐿𝐴 𝐷𝐴 𝐴

𝛼𝐴

𝑅

𝐷𝐵

𝛼𝐵 𝐿𝑅𝐵

𝐿𝑅𝐴

𝐵

𝛼𝐵

𝛼𝐴 𝐿𝑅 𝐿𝐵

𝐿𝐴 𝑆

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 37 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années 1. Correction de réduction au centre ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑆𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = LR – LA , en Les lectures LA et LR faites en S sur le point A et le repère R donnent : (𝑆𝐴 supposant que le chiffrage croît dans le sens des aiguilles d’une montre. Si SR = r et RA = DA désignent les distances réduites au système de projection entre la station et le repère d’une part, le repère et le point A d’autre part, le triangle RSA donne : 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝐴 sin (𝐿𝑅 − 𝐿𝐴 ) = 𝑟 𝐷𝐴 𝑟

𝑠𝑖𝑛 𝛼𝐴 =

étant souvent très faible, 𝛼𝐴 est aussi très faible d’où :

𝐷𝐴

𝛼𝐵 =

De même

𝑟 𝐷𝐵

𝑟 sin (𝐿𝑅 − 𝐿𝐴 ) 𝐷𝐴

𝛼𝐴 =

𝑟 𝐷𝐴

sin (𝐿𝑅 − 𝐿𝐴 )

sin (𝐿𝐵 − 𝐿𝑅 )

En admettant que le cercle horizontal ait été translaté en R, autrement dit centré sur R après avoir été déplacé parallèlement à lui-même, les lectures faites auraient été : 𝐿𝑅𝐴 = 𝐿𝐴 − 𝛼𝐴

et

𝐿𝑅𝐵 = 𝐿𝐵 + 𝛼𝐵

Pour que les angles correctifs 𝛼𝐴 et 𝛼𝐵 aient le signe voulu, quel que soit le cas de figure, les formules précédentes s’écrivent : 𝛼𝐴 =

𝑟 𝐷𝐴

sin (𝐿𝐴 − 𝐿𝑅 )

et

𝛼𝐵 =

𝑟 𝐷𝐵

sin (𝐿𝐵 − 𝐿𝑅 )

Soit de manière générale pour un point i d’un tour d’horizon effectué sur n points : 𝑟 𝛼𝑖 (𝑟𝑎𝑑) = sin (𝐿𝑖 − 𝐿𝑅 ) 𝐷𝑖

𝜶˵𝒊

𝒓 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟒 = 𝐬𝐢𝐧 (𝑳𝒊 − 𝑳𝑹 ) × 𝑫𝒊 𝝅

𝜶𝒊 (𝒈𝒓) =

𝒓 𝟐𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 (𝑳𝒊 − 𝑳𝑹 ) × 𝑫𝒊 𝝅

Lectures ramenées au repère 𝑳𝑹𝒊 (𝒈𝒓) = 𝑳𝒊 + 𝜶𝒊 (𝒈𝒓) Après chaque correction individuelle de chaque lecture du tour d’horizon, réduire celui-ci à zéro sur la référence. NB : ➢ La réduction des observations d’une station excentrée nécessite la connaissance de trois paramètres : - la distance d’excentrement r = SR ; Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 38 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années la distance repère-point visé Di = Ri, déterminée avec une précision d’autant plus grande qu’elle est plus courte ; les lectures azimutales Li, faites en S sur les différents points visés et sur le repère.

➢

𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎𝟒

= 𝟔𝟑𝟔𝟔𝟐𝟎

𝝅

Tableau de calculs des corrections de réduction au centre et des lectures corrigées Station

S

PV

Li (m)

Corrections 𝜶𝒊 (𝒈𝒓)

Lectures corrigées Li’ (gr)

R

r

LR

±200

LR ± 200

A

RA RB RC RD

LA LB LC LD

𝛼𝐴 𝛼𝐵 𝛼𝐶 𝛼𝐷

LA’= LA+ 𝛼𝐴 LB’= LB+ 𝛼𝐵 LC’= LC+ 𝛼𝐶 LD’= LD+ 𝛼𝐷

B C D

𝜶𝒊 (𝒈𝒓) =

Distances (m)

𝒓 𝑫𝒊

𝐬𝐢 𝐧(𝑳𝒊 − 𝑳𝑹 ) ×

𝟐𝟎𝟎

𝑳𝑹𝒊 (𝒈𝒓) = 𝑳𝒊 + 𝜶𝒊 (𝒈𝒓)

𝝅

Lectures ramenées au repère R Station

R

PV

Lectures corrigées Li’ (gr)

S

LR±200

A B C D

LA’= LA+ 𝛼𝐴 LB’= LB+ 𝛼𝐵 LC’= LC+ 𝛼𝐶 LD’= LD+ 𝛼𝐷

2. Précisions à conserver dans les mesures des éléments de l’excentrement

𝛼𝑖 =

𝑑𝛼𝑖 =

𝑟 sin (𝐿𝑖 − 𝐿0 ) 𝐷𝑖

sin (𝐿𝑖 − 𝐿0 ) r sin(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) r cos (𝐿𝑖 − 𝐿0 ) 𝑑𝑟 − 𝑑𝐷 + 𝑑(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) 𝐷𝑖 𝐷𝑖 𝐷𝑖2

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 39 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années Si nous nous mettons dans le cas le plus défavorable, c’est-à-dire que l’erreur sur 𝑑𝛼𝑖 devient une erreur systématique, alors nous avons l’erreur sur 𝑑𝛼𝑖 qui est la somme des erreurs sur r, Di et Li – L0 de sorte que chaque erreur agit au 1/3 de dα. a) Calcul de dr 𝑑𝛼 sin (𝐿𝑖 − 𝐿0 ) = 𝑑𝑟 3 𝐷𝑖

𝑑𝑟 =

𝑑𝛼 × 𝐷𝑖 3 sin (𝐿𝑖 − 𝐿0 )

𝒅𝜶˵ × 𝑫𝒊 (𝒎) 𝟏 𝒅𝒓 (𝒎) = × 𝟑 𝐬𝐢𝐧 (𝑳𝒊 − 𝑳𝟎 ) 𝟔𝟑𝟔𝟔𝟐𝟎 b) Calcul de dD 𝑑𝛼 × 𝐷𝑖2 𝑑𝐷 = 3r sin (𝐿𝑖 − 𝐿0 )

𝑑𝛼 r sin(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) = 𝑑𝐷 3 𝐷𝑖2

𝒅𝑫 (𝒎) =

𝒅𝜶˵ × 𝑫𝟐𝒊 𝟏 × 𝟑𝐫 𝐬𝐢𝐧 (𝑳𝒊 − 𝑳𝟎 ) 𝟔𝟑𝟔𝟔𝟐𝟎

c) Calcul de d ( Li – L0 ) 𝑑𝛼 r cos (𝐿𝑖 − 𝐿0 ) = 𝑑(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) 3 𝐷𝑖

𝑑(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) =

𝑑𝛼 × 𝐷𝑖 3r cos (𝐿𝑖 − 𝐿0 )

𝒅𝜶˵ × 𝑫𝒊 (𝒎) 𝒅(𝑳𝒊 − 𝑳𝟎 )(𝒈𝒓) = × 𝟏𝟎−𝟒 𝟑𝐫 𝐜𝐨𝐬 (𝑳𝒊 − 𝑳𝟎 ) Application Station S

Points visés A B C D R A

Lectures Li (gr) 0.0000 108.6779 186.4524 293.3156 72.0512 399.9996

Distances Ri (m) 1 649.01 1 262.87 997.35 1 428.16 3.174

1. Réduire le tour d’horizon 2. Calculer les corrections de réduction au centre puis les lectures ramenées au repère R

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 40 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années

CHAPITRE III : CALCULER ET COMPENSER UN CHEMINEMENT PLANIMETRIQUE OU UNE POLYGONALE I.

DEFINITIONS ET PRINCIPE

Un cheminement planimétrique ou cheminement polygonal est une ligne brisée orientée dans laquelle on connaît les longueurs des côtés successifs, et les angles que deux cotés consécutifs font entre eux. Le but est de déterminer les coordonnées des sommets de la ligne brisée. Le cheminement polygonal est aussi appelé par simplification polygonale. On distingue plusieurs sortes de cheminements polygonaux : 1. Un cheminement en antenne ou ouvert C’est un cheminement qui partant d’un point connu en coordonnées avec une référence connue aboutit à un point à déterminer. Ce cheminement est à éviter parce qu’il n’y a pas de contrôles.

2. Le cheminement encadré C’est un cheminement qui partant d’un point connu en coordonnées avec une référence connue passe par des points à déterminer pour se refermer sur un point également connu en coordonnées avec une référence également connue. Autrement dit, c’est une ligne polygonale qui relie deux points connus en coordonnées, avec une orientation (Gisement) au départ et à l'arrivée.

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 41 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années 3. Le cheminement dit fermé ou bouclé : C’est un cheminement qui passe par des points à déterminer pour se refermer sur le même point de départ. Autrement dit, c’est un cheminement qui a le point et la référence de départ confondus avec le point et la référence d'arrivée.

4. Le point nodal :

Un point nodal N est un point d'arrivée inconnu commun à 3 ou plusieurs cheminements polygonaux. N

Les coordonnées brutes du point nodal peuvent être calculées depuis chaque cheminement polygonal. On effectue alors la moyenne pondérée (en fonction de la précision de chaque cheminement) de ces coordonnées brutes pour obtenir les coordonnées définitives du point nodal. Les coordonnées des sommets de chaque cheminement polygonal peuvent ensuite être calculées comme précédemment (cheminement encadré). Remarque : On peut se trouver face à des configurations beaucoup plus complexes dans lesquelles les cheminements sont imbriqués les uns dans les autres. Le calcul s'effectue alors soit par la méthode des moindres carrés, soit plus simplement en fixant un cheminement polygonal principal calculé en premier puis des cheminements successifs qui s'appuient sur les cheminements de niveaux supérieurs. Il est à noter que plus on descend dans le niveau du cheminement, moins il sera précis.

II.

CALCULS

Les calculs s’effectuent en deux phases : orientation et coordonnées des différents sommets de la polygonale. On détermine de proche en proche les coordonnées de tous les sommets de la polygonale. Pour cela, il faut connaître : - les coordonnées du point de départ. - le gisement origine au départ du cheminement appelé gisement de départ. Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 42 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années - les distances horizontales des côtés réduites à la projection, si la précision l'exige. - les angles que font entre eux les différents côtés consécutifs depuis la direction de référence jusqu'à celle de l'arrivée. Si le cheminement est encadré, il faut en plus connaître : - les coordonnées du point d'arrivée. - le gisement origine à l'arrivée du cheminement appelé gisement d’arrivée.

1. CALCUL D’UN CHEMINEMENT ENCADRE ORDINAIRE

Sens de parcours

Y+

Y+

Y+

Y+

Y+ T

R

GAR

GAS1

α4

GS1S2

α2

GS2S3

α3

α1 S1

DAS1 A

GS3B

DS2S3

DS1S2 S2

α5

S3 DS3B

B

GBT

a) Orientation du cheminement ➢ Transmission des gisements En général, pour la transmission des gisements (détermination de l'orientation de chaque côté du cheminement polygonal), on utilise les angles de gauche en chaque station. Ces angles correspondent à ceux situés à gauche du sens de parcours du cheminement. Chaque angle de gauche est donc égal à la différence entre les lectures angulaires sur les points avant et arrière. 𝜶𝒊 = 𝒍𝑺𝒊

𝑺𝒊+𝟏

− 𝒍𝑺𝒊

𝑺𝒊−𝟏

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 43 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années Le gisement du côté "𝑆𝑖 𝑆𝑖+1 " se déduit de celui du côté "𝑆𝑖 𝑆𝑖−1 ". 𝑮𝑺𝒊 𝑺𝒊+𝟏 = 𝑮𝑺𝒊 𝑺𝒊−𝟏 ± 𝟐𝟎𝟎 + 𝜶𝒊

On a ainsi :

Connaissant le gisement de référence au point de départ 𝐺𝑑é𝑝𝑎𝑟𝑡 , on peut donc calculer les gisements de chaque côté du cheminement de proche en proche jusqu'au gisement de référence au point d'arrivée 𝐺𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣é𝑒𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 ∆𝑋

G𝑆𝑖 ;𝑆𝑖+1 = G𝑆𝑖−1 ; 𝑆𝑖 + αi ± 200

GDépart = arctan ∆𝑌

𝐺𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣é𝑒𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 = arctan

∆𝑋 ∆𝑌

On aura donc : GRA = arctan

∆𝑋 ∆𝑌

GAS1 = GRA + α1 ± 200

GS2S3 = GS1S2 + α3 ± 200

𝐆𝐁𝐓𝐜𝐨𝐧𝐧𝐮 = arctan

GS3B = GS2S3 + α4 ± 200

GS1S2 = GAS1 + α2 ± 200

𝐆𝐁𝐓𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯é = GS3B + α5 ± 200

∆𝑋 ∆𝑌

➢ Ecart de fermeture angulaire ou fermeture angulaire On appelle fermeture angulaire notée fa la différence entre le gisement arrivée observé (gisement calculé à partir des mesures entachées des imprécisions de mesure) et le gisement arrivée connu ou calculé à partir à partir des coordonnées connues. 𝐟𝐚 = 𝐆𝐚𝐫𝐫𝐢𝐯é𝐞𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯é − 𝐆𝐚𝐫𝐫𝐢𝐯é𝐞𝐜𝐨𝐧𝐧𝐮 𝐟𝐚 = 𝐆𝐁𝐓𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯é − 𝐆𝐁𝐓𝐜𝐨𝐧𝐧𝐮 = 𝐆𝑫é𝒑𝒂𝒓𝒕 + ∑ α𝑖 − 200(𝑛 + 1) − 𝐆𝐁𝐓𝐜𝐨𝐧𝐧𝐮 ➢ Tolérance de fermeture angulaire Les tolérances sont calculées à partir des précisions des appareils (écarts types sur les mesures). On considère que sur chaque mesure angulaire on a un écart type 𝜎𝛼 et sur les gisements de départ et d'arrivée un écart type 𝜎𝐺 . L'écart type sur l'écart de fermeture angulaire vaut alors: Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 44 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années 𝜎𝐟𝐚 = ±ඥ2 × 𝜎𝐺 2 + (𝑛 + 1) × 𝜎𝛼 2 On considérera que la précision sur les gisements de départ et d'arrivée est nulle. D’où : L'écart type sur l'écart de fermeture angulaire : 𝝈𝐟𝐚 = ±𝝈𝜶 √𝒏 + 𝟏 et la tolérance sur fa : 8 𝑇𝐚 = ± 𝜎𝐟𝐚 3 𝑻𝐚 = ±

𝟖 𝟖 𝝈𝜶 √𝒏 + 𝟏 == ± 𝝈𝒍 ඥ𝟐(𝒏 + 𝟏) 𝟑 𝟑

➢ Compensation de l'écart de fermeture angulaire En fonction des gammes de précision des appareils de mesure, des conditions dans lesquelles ont été effectuées ces mesures, du cahier des charges..., on compare l'écart de fermeture angulaire à la tolérance. Si fa n'est pas acceptable, soit on effectue une recherche de faute, soit on refait les mesures. Si fa est acceptable, on répartit cet écart sur tous les angles mesurés et donc les gisements. La compensation sur chaque angle vaut : 𝒄𝒂 = −

𝐟𝐚 𝒏+𝟏

La compensation sur chaque gisement brut vaut : 𝒄𝒂𝒊 = −

𝐢 × 𝐟𝐚 𝒏+𝟏

Avec i étant le rang occupé par le sommet dans le cheminement. b) Coordonnées rectangulaires des sommets ➢ Coordonnées brutes Tous les côtés du cheminement polygonal sont dorénavant orientés puisque nous avons calculé et compensé leurs gisements. Nous pouvons calculer les coordonnées planes des sommets (stations) de proche en proche, à partir du point de départ, comme des points rayonnés. Nous allons obtenir des coordonnées brutes des sommets et du point d'arrivée. Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 45 | 122

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années On utilisera les formules générales suivantes Xi = Xi−1 + ∆Xi−1; i = Xi−1 + Di−1; i × sin Gi−1; i

Yi = Yi−1 + ∆Yi−1; i = Yi−1 + Di−1; i × cos Gi−1; i

On aura donc : X1 = XA + ∆XA1 = XA + DA1 × sin GA1

Y1 = YA + ∆YA1 = YA + DA1 × cos GA1

X2 = X1 + ∆X12 = X1 + D12 × sin G12

Y2 = Y1 + ∆Y12 = Y1 + D12 × cos G12

X3 = X2 + ∆X23 = X2 + D23 × sin G23

Y3 = Y2 + ∆Y23 = Y2 + D23 × cos G23

XB = X3 + ∆X3B = X3 + D3B × sin G3B

YB = Y3 + ∆Y3B = Y3 + D3B × cos G3B

X𝐁𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯é = XA + ∑ Di−1; i × sin Gi−1; i

Y𝐁𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯é = YA + ∑ Di−1; i × cos Gi−1; i

➢ Fermeture planimétrique ou écart de fermeture planimétrique Les coordonnées du point d'arrivée B étant connues, nous pouvons donc les comparer avec celles mesurées et calculées ci-dessus (coordonnées brutes). Nous obtenons : - un écart de fermeture en X: 𝑓𝑋 = 𝑋𝐵 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é − 𝑋𝐵 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 = 𝑋𝐴 + ∑ 𝐷𝑖−1; 𝑖 × 𝑠𝑖𝑛 𝐺𝑖−1; 𝑖 − 𝑋𝐵 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 - un écart de fermeture en Y: 𝑓𝑌 = 𝑌𝐵 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é − 𝑌𝐵 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 = 𝑌𝐴 + ∑ 𝐷𝑖−1; 𝑖 × 𝑐𝑜𝑠 𝐺𝑖−1; 𝑖 − 𝑌𝐵 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢

Ces deux écarts forment un vecteur de fermeture planimétrique noté fp dont la norme vaut : 𝑓𝑝 = √𝑓𝑋2 + 𝑓𝑌2

➢ Ecart type sur l’écart de fermeture planimétrique ou linéaire. L’étude des erreurs de fermeture planimétrique se fait sur un cheminement considéré rectiligne. Nous distinguons deux erreurs de fermeture planimétrique qui sont :

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COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années ❖ Erreur longitudinale ou écart de fermeture longitudinale 𝝈𝑫 ou 𝝈𝑳 . Elle est provoquée par l’erreur sur les distances.

S1

A ✓

d3

d2

d1

d4

S2

B

S3

𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍′ 𝒆𝒓𝒓𝒆𝒖𝒓 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒆

𝝈𝑫 = ඥ𝝈𝒅𝟏 𝟐 + 𝝈𝒅𝟐 𝟐 + 𝝈𝒅𝟑 𝟐 + 𝝈𝒅𝟒 𝟐 = √∑ 𝝈𝒅𝒊 𝟐

Exemple : on donne une erreur relative de Longueurs d1 d2 d3 d4

𝝈𝒅𝒊 𝝈𝒅𝟏 𝝈𝒅𝟐 𝝈𝒅𝟑 𝝈𝒅𝟒 ∑

✓

𝝈𝒅𝒊 𝟐 𝝈𝒅𝟏 𝟐 𝝈𝒅𝟐 𝟐 𝝈𝒅𝟑 𝟐 𝝈𝒅𝟒 𝟐 ∑ 𝝈𝒅𝒊 𝟐

± 1𝑚𝑚/100m

𝝈𝒅𝒊 =

± 1𝑚𝑚 × 𝑑𝑖 100

𝝈𝑫 = √∑ 𝝈𝒅𝒊 𝟐

𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒓é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒖𝒓 𝒖𝒏𝒆 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓

Si 𝝈𝒅𝟏 = 𝝈𝒅𝟐 = 𝝈𝒅𝟑 = 𝝈𝒅𝟒 = 𝝈𝒅 , précision sur une longueur 𝝈𝑫 = 𝝈𝑳 = 𝝈𝒅 √𝒏

Avec n = nombre de nouveaux côtés

❖ Erreur transversale ou écart de fermeture transversale. Elle est provoquée par l’erreur sur l’angle. Supposons que les erreurs commises sur les sommets sont les mêmes. B0

En A, l’erreur provoquée est : B0 B = 4l. 𝛼 𝛼 En S1, l’erreur provoquée 𝛼 est : B1 B = 3l. 𝛼 𝛼 En S2, l’erreur provoquée 𝛼 est : B2 B = 2l. 𝛼 𝛼 En S3, l’erreur provoquée 𝛼 est : B3 B = l. 𝛼 𝛼 𝛼

B1 B2 B3

𝛼

𝛼 A

S1

𝛼

𝛼 S2

S3

Elaboré par M. TINA Yacé Alain Pacôme, Ingénieur Géomètre – Topographe P a g e 47 | 122

B

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES BTS 1ère et 2è années

𝜎𝑇 2

∆𝑇 2 = (l. ∆𝛼)2 + (2l. ∆𝛼)2 + (3l. ∆𝛼)2 + (4l. ∆𝛼)2 𝛼 2𝛼 𝜎𝑇 = (l. 𝜎𝛼 )2 + (2l. 𝜎𝛼 )2 + (3l. 𝜎𝛼 )2 + (4l. 𝜎𝛼 )2 𝛼 = 𝜎𝛼 2 . 𝑙 2 (12 + 22 +𝛼32 + 42 ) Avec (12 + 22 + 32 + 42 ) somme des carrés des n premiers nombres 𝜎𝑇 2 = 𝜎𝛼 2 . 𝑙 2

𝑛(2𝑛 + 1)(𝑛 + 1) 6

𝛼 2𝑛3 𝜎𝑇𝛼2 = 𝜎𝛼 2 . 𝑙 2 6 𝛼 𝛼 𝜎𝑇 = 𝜎𝛼 . 𝑛𝑙√𝑛 = L. 𝜎𝛼 . √𝑛 3 3 𝛼

𝒏 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝝅 𝒏 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝝅 𝟐𝒏 √ √ = 𝑳 ∗ 𝝈𝒍 (𝒅𝒎𝒈𝒓) ∗ 𝝈𝑻 = 𝑳 ∗ 𝝈𝜶 (𝒓𝒂𝒅) ∗ √ 𝛼= 𝑳 ∗ 𝝈𝜶 (𝒅𝒎𝒈𝒓) ∗ 𝟑 𝟐𝟎𝟎 𝟑 𝟐𝟎𝟎 𝟑

Ecart type sur l’écart de fermeture planimétrique ou linéaire :

σ𝐟𝐩 = √σ2T + σ2L

➢ Tolérance de fermeture planimétrique ou tolérance planimétrique 8 Tp = ± σ𝐟𝐩 3

8 Tp = ± √σ2T + σ2L 3

➢ Compensation de l'écart de fermeture planimétrique Comme pour la fermeture angulaire, on compare l'écart de fermeture planimétrique à la tolérance. Si fp>Tp, fp n'est pas acceptable. Soit on effectue une recherche de faute, soit on refait les mesures. Si fp