Cours CMM1 CD-Partie4-2022-10-14 [PDF]

Zitiervorschau

Constructions métalliques

Cédric DESPREZ      v.14/10/2022

Constructions métalliques (Partie 4)

14 ‐ Résistance au flambement 15 ‐ Résistance au déversement

Supports construits sur la base des cours de : C. Desprez, S Capdevielle et J‐F Georgin

INSA de LYON Département Génie Civil et Urbanisme Laboratoire Géomécanique, Matériaux et Structures

115

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14 – ELU : Résistance au flambement

Objectif : déterminer si un élément comprimé présente un risque de flambement

116

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14 – Résistance au flambement a) Charge critique d’Euler (1/3) Cas d’un poteau isolé

𝑁

𝜋 . 𝐸. 𝐼 𝑙

𝑙 : Longueur de flambement 𝑙 𝛼. 𝑙 avec 𝛼 qui dépends des conditions limites de l’élément

𝑙

2𝐿 𝑙

0,5 𝐿 𝑙

𝐿 𝑙

0,7 𝐿

La longueur de flambement est égale à la demi longueur d’onde de la déformée

117

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14 – Résistance au flambement a) Charge critique d’Euler (2/3)

𝑁

Cas d’un poteau dans une ossature de bâtiment

𝜋 . 𝐸. 𝐼 𝑙

𝑙

La longueur de  flambement dépends de la  rigidité des nœuds 𝜂 et 𝜂 ET a rigidité des nœuds 𝜂 et 𝜂 dépend des rigidités 𝑘 des  éléments qui y arrivent

𝜂

Rigidités des nœuds

𝐼

Inertie de flexion

KC

Rigidité du poteau

 K1, K2  Kij

avec

𝛼

𝜂  

𝐾    𝐾 𝐾      𝐾 𝐾

𝜂  

𝐾    𝐾 𝐾    𝐾 𝐾

𝐿 𝜂

f 𝜂 ,𝜂

avec

𝜂

Rigidités des poteaux adjacents Rigidités des poutres

𝛼. 𝑙

I K= L

Elément de structure à nœuds fixes (contreventé) 𝛼 

 

1  2 

 0,145  𝜂  0,364  𝜂

  𝜂    0,265 𝜂  𝜂 𝜂    0,247 𝜂  𝜂

Elément de structure à nœuds déplaçables 𝛼 

   

1   0,2  𝜂     𝜂   1  0,8 𝜂     𝜂  

 0,12 𝜂  𝜂  0,6 𝜂  𝜂 118

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14 – Résistance au flambement a) Charge critique d’Euler (3/3) Caractériser la sensibilité d’un élément vis‐à‐vis du flambement

𝑁

𝜋 . 𝐸. 𝐼 𝑙

Flambement (théorique) si :

En exprimant la condition en fonction des  variables « géométriques » et « matériaux » :

En exprimant cette condition en fonction de 𝑙 :

𝐴. 𝑙 𝐼 𝑙 𝐼⁄𝐴

𝜆 Elancement  géométrique

𝑁

𝑁

𝐴. 𝑓

𝑙 𝜋 . 𝐸. 𝐼

𝜋 .𝐸 𝑓 Flambement si 

𝜆 𝜆

1

Avec

𝜆̅

𝜆 𝜆

𝜋 𝑓 ⁄𝐸 𝜆 Elancement  critique d’Euler

l’élancement réduit qui caractérise  la sensibilité au flambement

En présence de flambement on peut définir le facteur de réduction sur la capacité portante comme :

On peut donc exprimer l’évolution du facteur de réduction  𝜒

𝑁 𝑁

1 𝜆̅

𝜒

en fonction l’élancement réduit  𝜆̅ 119

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14 – Résistance au flambement b) Courbes de flambement (1/3) Evolution du coefficient de réduction de flambement 𝑁 1 N 𝑁  cr𝜆  1 2 1N pl 

𝜒 𝜒

𝜑

𝜑

Courbe d’Euler

𝜆

Courbe  Courbe  d’Euler d’Euler Courbes réelles

 

Courbes réelles de flambement considérant les défauts avec :

 

1



L'Eurocode 3 partie 1‐1.6.3.1.2 admet :

𝜒 : facteur de réduction qui dépend de  l’élancement et du niveau d’imperfection du profilé

  2 2

  0 ,5 1     0.2    2

Si 𝜆̅

 1



0,2

Avec 𝛼 : Facteur d’imperfection

Pas de risque de flambement

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14 – Résistance au flambement b) Courbes de flambement (2/3) Le facteur d'imperfection dépend de la forme de la section transversale du poteau considéré, de la direction dans laquelle le flambement se produit (axe y ou axe z) et du processus de fabrication utilisé (laminage à chaud, soudage ou formage à froid) ; les valeurs de augmentent avec le niveau d'imperfection : • La courbe a correspond aux profilés quasiment parfaits : sections en I laminées (h/b>1,2) à ailes peu épaisses (tf ≤ 40mm) pour le flambement autour de l'axe fort ; elle s'applique également aux profils laminés de forme tubulaire ; • La courbe b couvre les profilés possédant un degré moyen d'imperfection : elle détermine le comportement de la plupart des caissons soudés mais aussi le comportement des profilés laminés à section en I lorsqu'ils sont en danger de flambement autour de l'axe faible, des profilés soudés en I à ailes peu épaisses (tf ≤40 mm) et des profilés laminés en I à épaisseur d'ailes moyenne (40 < tf ≤ 100 mm) lorsqu'ils flambent autour de l'axe fort ; elle concerne également les profils tubulaires formés à froid lorsque la limite d'élasticité de la tôle mère est prise en considération ; • La courbe c est relative aux profilés qui possèdent de nombreuses imperfections : les profilés en U, L et T ainsi  que les sections soudées en caisson à soudures épaisses appartiennent à cette catégorie. Se réfèrent également à  la courbe c, les sections tubulaires formées à froid dimensionnées sur la base de la limite d'élasticité moyenne de  l'élément après formage, les sections laminées en H (h/b≤1,2 et tf ≤100 mm) en danger de flambement autour de  l'axe faible ainsi que certaines sections soudées en I (tf ≤40 mm, flambement autour de l'axe faible et tf > 40 mm,  flambement autour de l'axe fort) ; • La courbe d s'applique aux profilés dont les imperfections sont extrêmement importantes : elle doit être utilisée pour les profilés laminés en I à ailes très épaisses tf > 100 mm) et pour les profilés soudés en I à ailes épaisses (tf > 40 mm), lorsque le flambement se produit autour de l'axe faible. 121

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14 – Résistance au flambement b) Courbes de flambement (3/3)

122

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14 – Résistance au flambement c) Effort normal réduit

𝑁 𝑁

Condition ELU à l’effort normal : (cf chp. 9)

1

En considérant la problématique de flambement Si

𝜆̅

0,2

Sans flambement on à  𝑁

Si

𝜆̅

0,2

Avec flambement on aura 𝑁

𝑁

(classe 1, 2 et 3) ou 𝑁

,

𝑁

,

(classe 4)

(cf chp. 9)

,

avec Sections de classe 1,2 et 3 𝑁

,

𝜒. 𝐴. 𝑓 𝛾

Sections de classe 4 𝑁

,

𝜒. 𝐴 . 𝑓 𝛾

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14 – Résistance au flambement d) Récapitulatif

Vérification ELU des sections vis‐à‐vis de l’effort normal (N)  avec prise en compte du risque de flambement

𝑁 𝑁

Risque de  flambement (𝜆̅ 0,2) ?

non

Classes 1,2 et 3

𝑁 𝑁

𝑁 ,

Classe 4

𝑁

,

𝐴. 𝑓 𝛾

𝑁

,

𝑁

1

,

𝐴 .𝑓 𝛾

oui

𝑁

𝑁

,

Classes 1,2 et 3 𝑁

,

𝜒. 𝐴. 𝑓 𝛾

Classe 4 𝑁

,

𝜒. 𝐴 . 𝑓 𝛾

124

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13 – ELU : Résistance au déversement

Objectif : déterminer si un élément fléchi présente un risque de déversement

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15 – Résistance au déversement Formule complète

a) Moment critique de déversement (1/12) Le moment critique de déversement élastique peut être calculé comme suit (d’après l’annexe M du DAN) :

E est le module de Young (E = 210 000 N/mm²) G est le module de cisaillement (G = 80 770 N/mm²) I z est l'inertie de flexion par rapport à l'axe faible z I t est l'inertie de torsion I w est l'inertie de gauchissement L est la longueur de la barre ou du tronçon de barre étudié

Propriétés matériaux et géométriques

k z et k w : coefficients « de longueur de flambement » (voir ci-après) z g : distance entre le point d'application de la charge et le centre de cisaillement (voir ci-après)

Conditions limites

C 1 et C 2 : coefficients de conditions de maintien aux extrémités et de chargement (voir ci-après )

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15 – Résistance au déversement a) Moment critique de déversement (2/12) Détermination de Kz et Kw Le coefficient k z est lié aux conditions de maintien des sections d'extrémité à la rotation autour de l'axe faible z . Il est analogue au rapport de la longueur de flambement à la longueur de la barre pour un élément comprimé. k z est généralement pris égal à 1,0 sauf si une valeur inférieure peut être justifiée. Le coefficient k w est lié aux conditions de maintien des sections d'extrémité au gauchissement. k w doit être pris égal à 1,0 sauf si une valeur inférieure peut être justifiée par une disposition particulière pour un maintien en gauchissement. Détermination de Zg

Dans le cas général, z g est positif pour les charges agissant vers le centre de cisaillement depuis leur point d'application (Figure suivante), et négatif dans le cas contraire.

Si le moment fléchissant est linéaire le long de la barre (absence de charge transversale) ou lorsque la charge transversale est appliquée au centre de cisaillement, alors (C 2 z g ) = 0 et la formule du moment critique se réduit à :

Formule simplifiée 127

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15 – Résistance au déversement a) Moment critique de déversement (3/12) Détermination de C1 et C2 (a)

Moments d'extrémité uniquement

Charge transversale uniquement

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15 – Résistance au déversement a) Moment critique de déversement (4/12) Détermination de C1 et C2 (b)

Moment d’extrémité + charge transversale La distribution des moments peut être définie au moyen de deux paramètres : • ψ rapport des moments d'extrémité. Par définition, M est la valeur absolue du moment d'extrémité maximal : - 1 ≤ ψ ≤ + 1 (ψ = + 1 pour un moment uniforme) ; • μ rapport du moment « isostatique » (barre supposée sur appuis simples) dû à la charge q répartie ou F ponctuelle au moment d'extrémité M. 2 

qL 8M

ou



FL 4M

Convention de signe pour μ : • μ > 0 Si le moment d'extrémité M et la charge q ou F fléchissent chacun la poutre dans le même sens :

F

ou • μ < 0 dans le cas contraire.

Les valeurs de C 1 et C 2 ont été déterminées pour k z = 1 et k w = 1

tableaux pages suivantes 129

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15 – Résistance au déversement a) Moment critique de déversement (5/12)

Détermination de C1 et C2 (c)

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15 – Résistance au déversement a) Moment critique de déversement (6/12)

Détermination de C1 et C2 (d)

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15 – Résistance au déversement a) Moment critique de déversement (7/12)

Détermination de C1 et C2 (e)

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15 – Résistance au déversement a) Moment critique de déversement (8/12)

Détermination de C1 et C2 (f)

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15 – Résistance au déversement a) Moment critique de déversement (9/12)

Détermination de C1 et C2 (g)

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15 – Résistance au déversement a) Moment critique de déversement (10/12)

Détermination de C1 et C2 (h)

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15 – Résistance au déversement a) Moment critique de déversement (11/12)

Détermination de C1 et C2 (i)

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15 – Résistance au déversement a) Moment critique de déversement (12/12)

Détermination de C1 et C2 (j)

137

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15 – Résistance au déversement

Coefficient de classe  de section

b) Moment résistant réduit de déversement (1/2) Le moment résistant de calcul pour le déversement s'obtient selon :

𝑀

Coefficient de réduction  de déversement La détermination de 𝜒  LT 

𝜒

𝛽 .𝑊 𝛾

,

.𝑓

𝑀

,

(Avec 𝛾 au lieu  de 𝛾 ) 

1  LT 2   LT 2

 LT 



LT

,

se fait selon le même principe que pour le cas du flambement 





LT  0,5 1   LT  LT  0,2   LT 2



𝑀



M

pl

M

cr



Par calcul, des valeurs de  LT peuvent être inférieures à l’unité dès que  LT excède 0.2. Toutefois et afin de ne pas remettre en cause une pratique déjà longue, il est admis de ne pas tenir compte du déversement dans le domaine suivant:



LT

 0 .4

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15 – Résistance au déversement

Coefficient de classe  de section

b) Moment résistant réduit de déversement (2/2) Le moment résistant de calcul pour le déversement s'obtient selon :

𝑀

𝑀

,

𝜒

Coefficient de réduction  de déversement

𝛽 .𝑊 𝛾

,

.𝑓

𝑀

,

(Avec 𝛾 au lieu  de 𝛾 ) 

La détermination de 𝛽 se fait en fonction de la classe de section : 𝛽 Classes 1 et 2 Classe 3 Classe 4

1 𝑊 𝑊 𝑊 𝑊

, , , ,

139

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15 – Résistance au déversement c) Récapitulatif Vérification ELU des sections fléchies vis‐à‐vis du déversement

𝑀 𝑀 non

Classes 1 et 2

Rb : Le cas des sections fléchies et  comprimées vis‐à‐vis du déversement  n’est pas traité ici

1

Risque de déversement 0,4) ? (𝜆̅

oui 𝑀

Classes 3 ou 4

𝑀

,

Classes 1 et 2

𝑀 𝑀

,

𝑀 𝑊

,

,

𝑓 𝛾

𝑀

𝑀 Classes 3

𝑀

,

𝑊

,

𝑓 𝛾

𝑀

,

𝜒 .𝑊 𝛾

,

𝑀

Classes 4

𝑀

,

𝑊

,

𝑓 𝛾

,

,

Classe 3 Classe 4

.𝑓

𝜒 .𝑊 𝛾 𝑀

.𝑓

,

,

𝜒 .𝑊 𝛾

,

.𝑓 140

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15 – Résistance au déversement e) Remarque

Exemple de dispositif pour éviter le risque de déversement : Liernes

Prise en compte des liernes non traité ici 141