Cours B-A-Chap-8 [PDF]

Zitiervorschau

Cours Béton Armé II selon le règlement BAEL 91

Par Mohamed HADJ TAIEB Ecole Nationale d’Ingénieurs de Sfax 2010 - 2011

Sommaire
CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT
CHAPITRE – 9 : LA FLEXION COMPOSÉE
CHAPITRE – 10 : LA TORSION
CHAPITRE –11 : LES POUTRES CONTINUES EN BETON ARME

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT • • • •

8.1– Introduction 8.2 – Base théorique 8.3 – Détermination de l’effort Tranchant de calcul 8.4 – Résistance des âmes : Sections courantes – 8 .4.1 - Justification du béton de l’âme: – 8 .4.2 - Justification des armatures d’âme

• 8.5 – Répartition des armatures transversales (Méthode de CAQUOT) – 8 .5.1 – Méthode de CAQUOT – 8 .5.1 – Méthode générale

• 8.6 – Applications numériques « Effort tranchant » • 8.7 – Etude des appuis – 8 .7.1 – Appui de rive – 8 .7.1 – Appui intermédiaire

• 8.8 – Jonction table nervure d’une section en T • 8.9 – Applications numériques

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT

8.1-Introduction L’étude du moment de flexion fournit des dimensions transversales de l’élément et les armatures longitudinales. L’étude de l’effort tranchant permet de vérifier l’épaisseur de l’âme et de déterminer les armatures transversales. Les fissurations et les déformations dues à l’effort tranchant étant plus remarquables aux ELU qu’aux ELS ce qui impose des justification uniquement aux ELU (BAEL91).

4

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT 8.2 – Base théorique  Pour une section homogène élastique la contrainte de cisaillement est donnée par:

y

h

τ(y)

b0

V ×S (y ) τ (y ) = I ×b ( y ) 5

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT • Pour une section rectangulaire : b(y) = b0 et

b0 h 3 I = 12

• S(y) : Moment statique de la section hachurée par rapport à l’axe neutre.

b0 h 2 h h y S ( y ) = b 0 ( − y )( + ) = ( − y 2 ) 2 4 2 2 4

• En remplaçant :S(y) ; I ; b(y) par leurs valeurs nous

6 ×V h ² τ (y ) = ( − y ²) 3 b0 h 4

obtenons :

Equation d’une parabole avec son extremum au niveau de la fibre moyenne de la section Pour y = 0



τ Max

3×V = 2 × b0 h

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT Quels que soit la forme de la section, le moment statique et le cisaillement sont maximaux au niveau de la fibre moyenne.  Pour une section en béton Armé, comportant une partie comprimée et une partie tendue négligée, la contrainte de cisaillement peut être évaluée en se basant sur le développement suivant : On considère l’élément de poutre de longueur dx soumis à la flexion simple

F+dF

F

τb

A.N. M F

dF dx

M+dM z F+dF 7

CHAPITRE – 1 : INTRODUCTION & GENERALITES dM dM dx V dx dM = dF × z ⇒ dF = = = z dx z z V dx V or dF = τ b × b0 × dx = ⇒ τb = z b0 × z Prenons un élément au niveau de l’axe neutre

τb τb

τb

-σ

τ τb 2β

σ

τb -ττb τb : représente le rayon du cercle de MOHR  σ = τb avec (σ et –σ) les contraintes principales agissant sur les plans principaux faisant un angle β par rapport à la fibre moyenne. 8

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT  Dans ce cas 2β=90° β=45° (ce qui justifie l’angle de 45°

des fissures dues à l’effort tranchant) 8.3 - Détermination de l’effort Tranchant de calcul On rappelle que la convention de signe est telle que, dans une travée isostatique soumise à une charge uniformément répartie dirigée vers le bas, l’effort tranchant est : positif sur la demi travée gauche et négatif dans la demi travée droite

q

L V=QL/2 V=-QL/2

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT Remarque: lors de la détermination de l’effort tranchant de calcul On doit considérer les règles suivantes:  négliger l’effet des charges situées à une distance inférieure à « h/2 » du nu d’appui,

2a  ne prendre en compte qu’une fraction de des charges 3h situées à une distance « a » du nu d’appui comprise entre 3h h/2 et . 2 Pour une charge uniformément répartie ces règles sont traduites par multiplier l’effort tranchant au nu d’appui 5h (Vumax) par un coefficientn de ( 1 − ) ce qui correspond à 3l 5 calculer l’effort tranchant à l’abscisse

6h

5h l 5 5 Vu 0 = Vu max (1 − ) = Qu ( − h) = Vu ( h) 3l 2 6 6

10

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT V

3/2 h

Vumax Vu0

x 5/6 h

L/2

 Pour les charges concentrées : Les charges concentrées situées à une distance (a < h/2) du nu d’appui ne sont pas considérées dans le calcul de l’effort tranchant ultime. Les charges concentrées situées à une distance (a) du nu d’appui comprise entre h/2 et 3×h/2 sont considérés avec un coefficient réducteur de hauteur de la section droite

2a avec h : la 3h 11

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT a

Qu

0 → a < h / 2  Qu =  2a h 3h × Q → < a < u  3h 2 2 L

8.4 – Résistance des âmes : Sections courantes Les modes de rupture par effort tranchant conduisent aux états limites suivants :  Effort tranchant – compression: pour lequel la contrainte de compression des bielles de béton dépasse la limite admissible.  Effort tranchant – traction: pour lequel l’armature d’âme atteint sa contrainte limite de traction. Pour déterminer les efforts internes dans l’âme on utilise l’analogie du treillis de « RITTER MÖRCH » qui assimile la poutre à un treillis comme schématisé ci-dessous:

12

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT Bielle de béton comprimé

α 45° Armatures tendues 8 .4.1 - Justification du béton de l’âme: Pour déterminer les efforts internes on fait une coupure parallèle aux armatures puis on recherche sur une surface OH , perpendiculaire aux bielles, l’effort Fc . Cette force s’exerce sur une surface réelle (b0×OH). Si σc est la contrainte dans la bielle, il vient que :

Fbc Fc

H z 45°

α

z

z×cotgα

2 Fc = σc (b0 ×OH ) or OH = z (1+ cot g (α )) 2 2 ⇒ Fc = σc ×b0 × z (1+ cot g (α ))

Fs

O

13

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT La projection verticale de l’équilibre donne :

Fc 2 =V 2

2 ×V V 1 d'où σ c = =2 × b0 × z (1 + cot g (α )) b0 × z (1 + cot g (α ))

2τ b ⇒ σc = (1 + cot g (α )) Pour α = 45° → σ c = τ b et pour α = 90° → σ c = 2 × τ b

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT a) Contrainte tangente conventionnelle: La contrainte tangente conventionnelle réglementaire est donnée par :

τu =

Vu b 0d

b) Vérification du béton i- flexion composée avec compression : Lorsque toutes les sections sont entièrement comprimée :

fcj Vu max τu = ≤ τ u avec τ u = min(0,06 ; 1,5MPa) γb b0d ii- autres cas : Armatures d’âme droites (α=90°)  Fissuration peu préjudiciable

f cj Vu max τu = ≤ τ u avec τ u = min(0, 2 ; 5MPa) 15 γb b0 d

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT  Fissuration préjudiciable ou très préjudiciable

f cj Vu max τu = ≤ τ u avec τ u = min(0,15 ; 4MPa ) b0 d γb  Armatures d’âme inclinées (α=45°) : Quelque soit le type de fissuration :

f cj Vu max τu = ≤ τ u avec τ u = min(0, 27 ; 7MPa ) b0 d γb

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT 8 .4.2 - Justification des armatures d’âme a - Calcul de l’effort tranchant résistant V d’un acier At : On suppose que cet acier « At » est espacé de « st », incliné d’un angle « α » par rapport à la fibre moyenne (que nous supposons horizontale). Les bielles de béton comprimées découpées par les fissures sont inclinées d’un angle « βu=45° » par rapport à l’horizontale. st

Membrures comprimées Fissure

α

z 45° Acier tendue At

z

z.cotg(α)

Acier tendue At

L’effort résistant des aciers transversaux vaut : T = n × At ×σs Avec : n le nombre de cours d’armatures transversales (cadres ou/et étriers traversant la fissure). 17

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT n=

z × (1 + cot g (α ) ) st

La projection de cet effort résistant sur la verticale équilibrant l’effort tranchant Vu0 est : V s = n .At .σ s .sin α At .σ s .z Vs = .(sin α + cos α ) st

Pour

σs =

f et

γs

At f et Vs At f et Vs = × z × (sin α + cos α ) ⇒ = × (sin α + cos α ) st γs b0 × z st b0 × γ s En négligeant la contribution du béton à la résistance au cisaillement

Vu 0 Vs τu = ≤ b0 × z b0 × z

τ u0 Vu 0 Pour z = 0,9 × d il vient : τ u = = b × 0,9 × d 0,9

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT D’où :

At f et τ u0 × × (sin α + cos α ) ≥ b0 × st γ s 0,9

At τ u 0 × b0 × γ s ≥ st 0,9 × f e × (sin α + cos α )

Remarque 1 : Si la section n’est pas entièrement fissurée on pourra prendre en compte une certaine résistance au cisaillement de la membrure du béton comprimé en déduisant forfaitairement de la valeur ( 0,3 × k . f t 28 ) D’où la formule réglementaire :

At b0 × γ s × (τ u 0 − 0,3 × k . f t 28 ) ≥ st 0,9 × f et × (sin α + cos α ) Avec

0 → si reprise de bétonnage sans indentation  0 → si fissuration trés préjudiciable  k = 1 → en flexion simple sans reprise de bétonnage 1 + 3N /( B. f ) en flexion composée avec compression u c 28 

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT La résistance ftj est bornée supérieurement à 3,3 MPa. Dans le cas courant d’armature transversales perpendiculaires à la fibre moyenne (α α= π/2), nous obtenons:

At (τ u 0 − 0,3 × k . ft 28 ) γ s × b0 ≥ st 0,9 × f et At × 0,9 × f et ⇒ st ≤ (τ u 0 − 0,3 × k. ft 28 ) γ s × b0 b – diamètre des aciers transversaux :

  φ l → diam ètre des arm atures longitudinales   h φt ≤   35 b0  10 20

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT c - pourcentage minimum d’armatures transversales : Pour éviter une rupture fragile due à l’effort tranchant on disposera un minimum d’armatures transversales de façon à satisfaire la condition suivante :

At τ u0 × f e × sinα ≥ sup(0, 4 MPa ; ) bn × st 2 Pour les aciers transversaux verticaux (α=90°) cette formule devient :

τ u0

su p (0, 4; ) × b0 At 2 ≥ st f et ⇒ st ≤

At × f et su p (0, 4;

τ u0 2

) × b0

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT c - espacement maximal : L’espacement maximal des armatures transversales doit vérifier la condition suivante:

 0, 9 × d  s t ≤ M in  40cm 15 × φ lsc − min 

si A sc ≠ 0

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT 8.5– Répartition des armatures transversales (Méthode de CAQUOT) Pour tenir compte de la variation de l’effort tranchant le long de la travée d’une poutre, les espacements des armatures transversales doivent être fonction de cette variation. On distingue deux méthodes de répartition :

Méthode de CAQUOT applicable

uniquement aux poutres de sections constantes supportant des charges uniformément réparties et la Méthode Générale applicable pour des charges quelconques.

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT 8.5– Répartition des armatures transversales (Méthode de CAQUOT)

8 .5.1 – Méthode de CAQUOT Cette méthode consiste en les étapes suivantes:  Calculer l’écartement initial des armatures transversales (st0)  Placer le premier cadre à (st0/2) à partir du nu d’appui  Prendre dans la suite de Caquot la valeur immédiatement inférieure ou égale à (st0) et répéter cet espacement autant de fois qu’il y a de mètres dans la demi portée de la poutre. La suite des nombres (en cm)est : 7– 8 – 9 – 10 – 11 – 13 – 16 – 20 – 25 – 35 – 40  Prendre la valeur suivante dans la suite de Caquot et recommencer jusqu’à la demi travée de la poutre.  S’assurer que st ≤stmax 24

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT 8.5– Répartition des armatures transversales

8 .5.2 – Méthode générale Abscisse

V(x)

Vred(x)

τured(x) (At/st)

0

-

-

-

-

10

-

-

-

-

20

-

-

-

-

30

-

-

-

-

40

-

-

-

-

50

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

L/2

-

-

-

-

st≤stmax

(cm) 7.2   7.3  3 × 7 8  9.2  9.3  4×9 9.7  10 

13   13.53×13 14.2 16   16.53×16 17.5

25

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT Application Effort tranchant Soit une poutre rectangulaire schématisée ci-contre : Q=22kN/m g=24kN/m

80

ρ=25kN/m3 27

700 cm

27

75

3HA10

3HA14

27 6HA16

Les dimensions sont en centimètre On donne :

fc28 =25 MPa ; fe =400 MPa pour haute adhérence,fet =235 MPa pour R.L. Fissuration préjudiciable et sans reprise de bétonnage. On demande de: 1°) Vérifier le béton de l’âme vis-à-vis l’effort tranchant 2°) déterminer les Armatures transversales ainsi que leur répartition (α=π/2) 26

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT Corrigé : p u =1,35×g + 1,5×q = 1,35×(0.27×0.8×25+24) + 1,5×22 = 72.7kN/m Vumax = p u×L/2 = 72.7×(7/2) = 254.45 kN Vu0 = p u×(L/2-5/6×h) = 72.7×(7/2-5/6×0.8) = 206 kN 1°) vérification du béton :

Vu max 254.45 ×10−3 = = 1.25MPa τu = 0, 27 × 0, 75 b0 d

f cj Vu max τu = ≤ min(0,15 ; 4MPa) b0 d γb 25 ⇒ τ u ≤ min(0,15 ; 4MPa ) = 2,5 → OK 1,5 27

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT 2°) Armature Choix du diamètre

h b0 φt ≤ inf( ; ; φl ) = 10 35 10

Choix du tracé

: Utilisons des Ø6

A t =4Ø6

Cadre + étrier

A t =3Ø6

Cadre + épingle

Par souci d’économie, utilisons un cadre + épingle  At =3×0.28=0.84cm² Calcul de st0 :

τ u0

Vu 0 206 ×10−3 = = = 1.017 MPa b0 d 0, 27 × 0, 75

At (τ u 0 − k × 0,3. f tj ) γ s × b0 ≥ 0,9 × f e st

28

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT At (τ u 0 − k × 0,3. ftj ) γ s × b0 ≥ st 0,9 × f e

=1 }   1, 017 − k × 0,3 × 2,11,15 × 0, 27  At   ⇒ ≥ = 5.68cm ² / m st 0,9 × 235

Acier transversal minimal

τ u0

sup(0, 4;

At At sup(0, 4; 2 ) × b0 ≥ ⇒ ≥ st f et st 0,84 st ≤ ⇒ st ≤ 14, 4cm ⇒ st 0 = 14cm 5,84

1, 017 ) × 0, 27 2 ⇒ 5.84cm² / m 235

s t ≤ Min {0,9 × 0.75; 40cm ;15 × φlsc − min si A sc ≠ 0} = 40cm → OK Répartition par la méthode de Caquot : premier cours d’armature à 7cm du nu d’appui Puis 3×13 Puis 3×16 Puis 3×20 Puis 3×25 Puis 3×35 Puis 1×32 29

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT 8.6– Etude des appuis

8 .6.1 – Appui de rive A l’appui de rive les charges sont transmises par une bielle de béton unique inclinée à 45° ; deux vérification doivent être faites concernant la section d’armatures longitudinales et la compression de la bielle de béton : Fc F c

a' 45°

45°

Vumax Fs 45°

H

1

Vumax 45° Fs

As Enr

a'

2cm

As

2

a'=(b-Enr-2cm) avec b= largeur d’appui a°) Vérification des armatures longitudinales :

Fc =V umax

Fc × 2 ; Fs = + H =V u max + H 2

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT Où «H » est la force horizontale éventuellement transmise par l’appui :

(V u max + H ) × γ s As ≥ fe

D’où la condition :

Dans le cas d’un appui de type 1 cette section d’acier doit être totalement ancré au-delà du bord de l’appui. b°) Vérification de la compression de la bielle de béton : La bielle de béton supporte une compression Fc =V u max × 2

sur une section b 0 ×

σ bc =

a 2

Où ( a) se calcule par : a = min(a’ ; 0,9×d)

Vu max × 2 2 × Vu max = ≤ a b0 × a b0 × 2

0,8 f cj

γb

D’où

V u max ≤ 0, 4 ×

f cj

γb

b0 × a

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CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT 8.6.1 – Appui intermédiaire: Vumax

Mu Vumax –Mu/z As

Les aciers inférieurs doivent équilibrer

Fs =V max

Mu avec M u en valeur absolue − z (V u max −

Pour z =0,9×d et Fs=A s×fe/γs il vient que :

As =

Mu )×γs 0,9 × d fe

Les bielles de béton doivent vérifier de part et d’autre de l’appui :

V u max ≤ 0, 4 ×

f cj

γb

b0 × a 32

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT 8.7– Jonction table nervure d’une section en T

At ( )table st

b

h0 d

(

At )âme st

b0

b1

Pour la jonction table nervure, il faut vérifier : a°) le béton dans la jonction

τ table = τ âme × τ âme

Vu = b0 × d

b0 b1 ≤ τ u (déja définie ) 0,9 × h0 b 33

CHAPITRE – 8 : EFFORT TRANCHANT b°) les aciers de couture de la table:

At τ table − 0,3 × f t 28 ( )table ≥ ( ) × h0 × γ s st fe

At ( )table: st

Sont généralement des aciers longitudinaux de la dalle constituant la table de la poutre

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