Cours Aérodynamique Final [PDF]

Zitiervorschau

Chap1 : Intoduction Chap2 : Calcul des forces et moments aérodynamiques, portance traînée

Plan

Chap3 : Rappel sur les écoulements potentiels

Chap4 : Ecoulements Incompressibles sur les Profils, théorie des profiles minces Chap5 : Ecoulements compressibles sur les profiles

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Chapitre 1 Introduction

I- Définitions L’aérodynamique (ǂ Mécanique de vol) est une branche de la dynamique des fluides qui s’intéresse à la compréhension et l’analyse des écoulements d’air, ainsi que sur leurs effets sur des éléments solides qu’ils environnent. Domaines d’applications : Chapitre 1

* Véhicules aériens ou aéronefs

Introduction

avions (motorisés) planeurs (non motorisés) drones, navettes spatiales giravions (à voilure tournante) hybrides ..

* Véhicules terrestres (automobiles , trains, sportifs..) * Véhicules marins (navire de surface , hydroglisseurs.. pb., spécifique interface air-eau, cavitation .. * Moteurs et machines tournantes (éoliennes, turbines..) Pr. Borjini Mohamed Naceur

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Classification : 

Aérodynamique incompressible M ≤ ≈0,2 (250 km/h) M : nombre de Mach



Aérodynamique compressible subsonique 0,2 ≤ M ≤ 1

hypersonique M > 5

Chapitre 1

transsonique 1 ≤ M ≤ 5 supersonique

Introduction Rappel :

M= V/a

a vitesse du son a = Gaz parfait =

𝜕𝑝 𝜕𝜌

𝛾𝑟𝑇

Formule pratique : aair ≈ 331+0,607 θ(°C)

en m/s

On distingue aussi : un corps se déplaçant dans l’atmosphère un corps immobile dans un écoulement d’air Pr. Borjini Mohamed Naceur

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II- Caractéristiques géométriques

Chapitre 1 Introduction

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Chapitre 1 Introduction

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Chapitre 1 Introduction

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Angle d’incidence α : angle entre la corde de profil et la direction du vent relatif.

Chapitre 1 Introduction

V∞

α

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Types de profils

Chapitre 1 Introduction

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III- Caractéristiques aérodynamiques 1- La résultante aérodynamique, Portance, Traînée La résultante aérodynamique est la force générée par l’ensemble des pressions locales dues à la vitesse de l’air autour de l’avion en déplacement. Elle est représentée par une force unique appliquée en un point particulier : centre de poussée.

Chapitre 1 Introduction

La 11

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La résultante aérodynamique peut être décomposée en une force de portance et une force de traînée :

Rx(D) : Traînée : parallèle à V∞ et de même sens Rz(L) : Portance : perpendiculaire à V∞ Chapitre 1 Introduction Rz(L) Ra

V∞ Rx(D)

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Pour qu’un avion vole à vitesse constante, il faut que la portance annule le poids et la traction annule la traînée. Rx(D)

En effet la déviation de l’écoulement de l’air face à un profil Chapitre 1 Introduction

Crée :

- des zones de dépression à l’extrados - des zones de surpression à l’intrados

13

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La portance est combinaison d’une surpression (sur l’intrados) et d’une dépression (sur l’extrados (la portance ≈ 75 ./. dépression et 25 ./. Surpression),

En effet la déviation de l’écoulement de l’air face à un profil Chapitre 1 Introduction

Crée :

- des zones de dépression à l’extrados - des zones de surpression à l’intrados

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Observation en soufflerie sur une aile et une première explication Ce qui se passe sur l’extrados : Il existe un phénomène d’étranglement de l’écoulement entre l’aile et le premier filet non dévié constituant la veine fluide.

Chapitre 1 Introduction

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Concernant la traînée: traînée totale = traînée de profil+ traînée induite

Chapitre 1 Introduction

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2) Coefficients Aérodynamiques La résultante aérodynamique varie selon nombreux paramètres (surface, vitesse du vent relatif, densité de l’air..), Elle varie également en fonction de la forme de l’aile, de son profil, de son état de surface et de l’angle d’incidence. On a coutume de regrouper ces derniers paramètres et de les représenter par des coefficients uniques dit coefficients aérodynamiques. On distingue principalement : * Coefficient de portance Cz (CL)

Chapitre 1 Introduction

Rz

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* Coefficient de traînée Cx (CD)

Chapitre 1 Introduction

Rx

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Allures

Chapitre 1

Introduction

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Allures

Chapitre 1 Introduction

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La polaire d’une aile

Chapitre 1

Introduction

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Chapitre 1

Introduction

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Chapitre 2 Borjini Mohamed Naceur

Forces et Moments Aérodynamiques

I- Calcul des forces Les conséquences de l’effet de la pression p et de la contrainte de cisaillement τ sur un corps est une force résultante R et un moment M Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

p = p(s) distribution de la pression sur la surface Τ = τ (s) distribution de la contrainte de cisaillement sur la surface V∞ est la vitesse du vent relatif

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Composition de la force pour un profil 2d

Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

Portance

Traînée Normal Axial Pr. Borjini Mohamed Naceur

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α : angle d’attaque (incidence), entre vitesse du vent relatif (V∞) et la corde, force pour un profil 2d après projection :

(1) (2)

Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiq ues

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On trace la corde horizontalement : Indices : u : upper surface l : lower surface

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pl, pu τu,τl sont fonctions de s (su, sl)

Convention de signe θ > 0 si le sens de rotation d’une aiguille d’une montre (horaire) L’intégration se fait sur tout le profil : Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

Bord d’attaque

Bord de fuite

(Leading Edge : LE)

(Trailing Edge : TE)

Rq : Si on considère un allongement unité  profil 2D En effet on considère un élément de surface par unité d’allongement : dS=ds.1=ds

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Surface supérieure (extrados) : Projection selon (oy) : (3) Projection selon (ox)

Chapitre 2

(4)

(4)

Surface inférieure (intrados) :

Projection selon (oy) :

Forces et Moments Aérodynamiques

(5) Projection selon (ox)

(6)

(6)

Les forces totales par unité d’allongement sont obtenues après intégration des équations précédentes du bord d’attaque (LE) au bord de fuite (TE).

(7) (8)

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* Si on remplace les équations (7) et (8) dans (1) et (2) on obtient la

traînée et la portance totales II- Calcul des moments Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

Ce calcul dépend par rapport à quel point, ici c’est le bord d’attaque (LE). Convention : moment qui augmente  (pitch up) est > 0 moment qui diminue  (pitch down) est < 0

Le moment par unité d’allongement par rapport au bord d’attaque (LE) due à p et  sur ds est donné pour la surface supérieure : (9)

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Pour la surface inférieure : (10)

Chapitre 2

La totale :

Forces et Moments Aérodynamiques

(11)



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Les équations (7), (8) et (11) montrent que l’origine des portances et des traînées et moments aérodynamiques sont les distributions des pressions et des contraintes de cisaillement sur la surface du profil.

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III- Calcul des coefficients On pose : la pression dynamique en amont La surface de référence : S

Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiq ues

La longueur de référence : l Coefficient de portance Coefficient de traînée

Coefficient de force normale Coefficient de force axiale

Coefficient de moment

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Choix de S et l Exemples : -Aile d’avion : S : surface alaire l = c = corde

Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

-Sphère :

S : d²/4 l = d = diamètre

- Profil 2d (par unité d’allongement : 1m)

On utilise aussi : le coefficient de pression :

le coefficient de frottement : Pr. Borjini Mohamed Naceur

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Les coefficients de portance et de traînée se calculent toujours à partir des équations (1) et (2)

(12)

Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

(13)

IV- Centre de poussée La distribution des pressions et des contraintes de cisaillements sur un corps

crée un moment par rapport au bord d’attaque (éq. 11). La question : Si on a une résultante des forces R (=N+A) où est son point d’application pour donner les mêmes effets que l’ensemble des forces locales ?

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Sachant que A est sur la corde et supposant que ce point (Ocp) est sur la corde on doit retrouver le même MLE.

Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

Donc N doit être placée à xcp tel que : calculé équation (11)

Soit

(14)

xcp est l’abscisse du centre de poussée Ocp

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Autre définition : Le centre de poussée est le point (Ocp) situé tel que le moment de R par rapport à ce point est nul. Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

M (R/Ocp) = 0 MLE(R) = -OOcp  (N+ A) Introduisons le point à x = c/4, Oc/4 Mc/4(R) = -Oc/4 Ocp  (N+ A) = -Oc/4 O  (N+ A) - O Ocp  (N+ A)

Soit algébriquement : Mc/4 = c/4 .N + MLE MLE = Mc/4 - c/4 .N = -xcp.N

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(15)

35

Si l’angle d’incidence est faible d’après l’équation (1 ) :

Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

Soit :

(16)

Remarque : Si N et L diminuent xcp augmente et si les forces s’approchent de 0, le centre de poussée se dirige vers l’infini. Pour cela le centre de poussée n’est pas toujours convenable en aérodynamique et on utilise autres points comme c/4.

(17) Pr. Borjini Mohamed Naceur

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V- Rappel d’analyse dimensionnelle et Similitude (application au profil) Si on considère un profil arbitraire et un angle d’incidence donnée, la résultante aérodynamique R dépend de : Soit :

Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

(18) beaucoup de paramètre uniquement :

difficile

analyse dimensionnelle en utilisant le théorème de Buckingham PI, on trouve (19) S : surface de référence (c²) Re= M∞ =

éq. (18)

éq. (19)

nombre de Reynolds nombre de Mach 5 paramètres

2 paramètres

essais en souffleries plus simples et moins couteux

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Puisque la portance et la traînée sont les composantes de R on aura :

Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

Si on varie l’angle d’attaque  :

(20)

Remarque : pour les problèmes invoquant la thermodynamique, le transfert de chaleur, la température, la chaleur spécifique, la conductivité du fluide.. il faut ajouter ces paramètres unité K à ajouter aux dimensions des paramètres de similarité supplémentaires à ajouter : nombre de Pr. Borjini Mohamed Naceur

Prandtl =

,

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,

..

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Ecoulements similaires dynamiquement si : similaires Chapitre 2 Forces et Moments Aérodynamiques

- Les lignes de courant sont géométriquement

- Les distributions etc sont les mêmes s’ils sont tracées en coordonnées adimensionnelles - Les coefficients des forces sont les mêmes. Critères

1- Les corps et les frontières solides sont similaires pour les deux écoulements, 2- Les paramètres de similarité sont les mêmes : Re1=Re2

M∞ 1 = M ∞

2

valable pour la plupart des applications aérodynamiques Pr. Borjini Mohamed Naceur

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40

Chapitre 3 Borjini Mohamed Naceur Rappel et complément sur les écoulements parfaits

I- Equation de Bernoulli parfait, incompressible sans forces de Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

Stationnaire, selon ox multiplions par dx

le long d’une ligne de courant soit

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41

avec

Soit Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

de la même manière

En sommant

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42

avec

Chapitre 3 Soit

Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

On obtient : Equation d’Euler

Incompressible :

Le long d’une ligne de courant Pr. Borjini Mohamed Naceur

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43

Applications : - Tube de Venturi Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

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Applications : -

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

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Soufflerie Circuit ouvert

En boucle

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Pr. Borjini Med Naceur

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47

Pr. Borjini Med Naceur

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II- Coefficient de pression Rappelant avec

Chapitre 3

Bernouilli

Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

soit

Points d’arrêt : V= 0 et

l’écoulement)

Cp = 1

(valeur maximale dans tout

(Rq : écoulement compressible Cp>1 aux point d’arrêt) soit aussi : Pr. Borjini Mohamed Naceur

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III- Ecoulement Incompressible Irrotationnel, Equation de Laplace Equation conservation de la masse Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

Pour un écoulement Irrotationnel est le potentiel de vitesse soit Equation de Laplace Coordonnées Cartésiennes cylindriques sphériques

Solutions : Fonctions Harmoniques Pr. Borjini Mohamed Naceur

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Fonction de courant : 2 d Cartésien : Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

vérifie l’équation de continuité Irrotationnel

soit Pr. Borjini Mohamed Naceur

vérifie l’équation de Laplace comme

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51

Remarque : L’équation de Laplace est linéaire si sont des solutions l’équation de Laplace Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

est une solution

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Ecoulement incompressible Irrotationnel complexe   Ecoulements incompressibles Irrotationnels simples

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52

Exemple :

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es C.L.

à l’∞

Sur les parois ou Pr. Borjini Mohamed Naceur

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53

En Résumé : 1- Résoudre l’équation de Laplace en Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

ou

avec les C. L. correspondantes 2- Calculer les vitesses

et ou

3- Obtenir la pression à partir de Bernoulli

Les champs à l’infini sont connus

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IV- Exemple d’Ecoulements Incompressibles Irrotationnels 1- Ecoulement Uniforme

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

V=

selon ox

à vérifier : Incomp.+ Irrot. soit : on s’intéresse à

Pr. Borjini Mohamed Naceur

donc 2019-2020

55

D’autre part :

soit :

Chapitre 3 En coordonnées polaires :

Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

La circulation

En effet et l’écoulement étant irrotationnel et Pr. Borjini Mohamed Naceur

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2- Ecoulement source (point O)

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

(m²/s) : intensité de la source (débit volumique de la source par unité de profondeur).

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Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

Après intégration :

Idem :

Après intégration :

Circulation : (irrotationnel) Pr. Borjini Mohamed Naceur

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58

3- Ecoulement Combiné : Source +Uniforme

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

V est obtenu à partir de

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Interprétation : Les points d’arrêts vérifient :

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

soit pour :

 point B

Rq : Tout le fluide en dehors de ABC vient de l’écoulement uniforme Tout le fluide à l’intérieur de ABC vient de la source ABC sépare ces deux écoulements ( surface solide)

On peut remplacer l’intérieur par un solide et l’écoulement extérieur ne subit aucune influence

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4- Source () + puits (-) + uniforme : Ovale de Rankine

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

Deux points d’arrêts :

L’équation de ligne de courant d’arrêt( ( ( :

)

C’est l’équation d’une Ovale ( solide)

L’écoulement de la source est absorbé par le puits. Pr. Borjini Mohamed Naceur

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5- Doublet (source +puits dipôle hydrodynamique)

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

Source +puits : Cas limite

Avec Pr. Borjini Mohamed Naceur

soit

et 2019-2020

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Equation d’une ligne de courant :

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

Dipôle d’intensité 

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6- Ecoulement à vortex (à portance) Incompressible et irrotationnel en tout point sauf à l’origine Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

(r=0, rotationnel est infini, singularité). constante C?

par convention  est appelée : intensité du vortex Pr. Borjini Mohamed Naceur

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64

Potentiel de vitesse :

soit

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

Fonction de courant :

Pr. Borjini Mohamed Naceur

soit

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7- Ecoulement à portance autour d’un cylindre

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

Ecoulement symétrique (sans portance) autour d’un cylindre

Constante arbitraire, Pr. Borjini Mohamed Naceur

+

vortex d’intensité 

soit 2019-2020

66

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

La circulation autour du cylindre = 

Exercice : chercher les Points d’arrêt et discuter les selon les valeurs de .

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8 - Théorème de Kutta-Joukouski et génération de portance

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

La circulation autour du cylindre = 

La portance par unité de profondeur exercée sur un corps bidimensionnel est directement proportionnelle à la circulation autour de ce corps :

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9 – Exemple Cylindre sans rotation

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

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Avec rotation Vitesse superficielle du cylindre

Chapitre 3 Rappel et complément sur les écoulements parfaits incompressibl es

Vitesse superficielle du cylindre

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70

71

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profils Théorie des profils minces

I- Introduction

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

Pr. Borjini Mohamed Naceur

Petit historique

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72

I- Introduction

Un profil

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

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Nomenclature (famille 4 chiffres)

NACA 2412 épaisseur maximale en  de la corde.

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

position du maximum de la flèche sur la corde à partir du bord d’attaque en dixième de la corde.

pourcentage de la flèche maximale par rapport à la corde Soit pour le NACA 2412 : flèche maximale = 0,02.C située à 0,4.C du bord d’attaque et l’épaisseur maximale est 0,12.C Le profil NACA 0012 : est un profil symétrique

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II- Solutions Analytiques

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

perspective

Le principe de la théorie des profils mince est de réduire le profil à sa corde moyenne où chaque petit morceau de la corde moyenne génère un tourbillon ou vortex.

Ceci est modélisé par une ligne portante (tige infinie en rotation) Chaque petit tourbillon crée une portance. Pr. Borjini Mohamed Naceur

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75

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

Vue de profil

On a un nombre infini de tourbillons élémentaires . On définit l’intensité de vortex par unité de longueur selon s .

Intensité de la portion ds est  .ds Pour un point P ce vortex crée une vitesse : Pr. Borjini Mohamed Naceur

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En fonction d du potentiel  (chapitre 3) :

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

Si on somme (L’intensité du vortex total n’est autre que la circulation  ) La démarche: -Remplacer la surface du profil par des lignes portantes  d’intensité - Calculer  tel que la surface du profil soit une ligne de courant.

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77

- Calculer ensuite la circulation  autour du profil

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

-

Utiliser le théorème de Kutta-Joukouski

Approximation du profil mince :

corde moyenne distribution des tourbillons sur la corde moyenne,  tel que la corde moyenne soit une ligne de courant,

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78

La condition de Kutta :

Choix de  tel que

Chapitre 4

bord de fuite

Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

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79

III. Cas de profil mince symétrique corde moyenne

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

 tel que la corde moyenne soit une ligne de courant et  (TE) = 0. w’ est perpendiculaire à la corde moyenne. Si le profil est mince : corde moyenne  corde et on peut supposer que les lignes portantes (tourbillons) sont sur la corde. et

et la corde moyenne est une ligne de courant. Pr. Borjini Mohamed Naceur

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80

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

Corde moyenne  une ligne de courant ( l’écoulement est une superposition : uniforme V∞ + crée par les vortex) A partir d’une démonstration Géométrique : α en radians et z=z(x) est l’équation de la corde moyenne.

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81

On suppose w’(s)  w(x) profils

qui est acceptable pour les minces

normale à la corde Calculons w(x) Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces Un tourbillon élémentaire d’intensité

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crée

en x :

82

Intégrons

Ligne de courant

+ w =0

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces C’est l’équation fondamentale de la théorie des profils minces avec la condition de Kutta Pr. Borjini Mohamed Naceur

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:  (c) = 0 83

Profils symétriques : Corde moyenne  Corde

Chapitre 4 Ecoulements incomepressibles sur les profilsThéorie des profils minces

Soit

 (c) = 0

Changement de variable

soit Pr. Borjini Mohamed Naceur

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84

En utilisant la théorie des intégrales on trouve :

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

à vérifier  () = 0 ? Condition de Kutta Calculons la circulation :

soit

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85

Théorème de Kutta-Joukowski :

La portance Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

Coefficient de portance : par unité d’allongement :

pente Pr. Borjini Mohamed Naceur

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86

Exemple : on retrouve la partie linéaire et la pente du profil NACA 0012 symétrique Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

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87

Calculons le moment par rapport au bord d’attaque MLE de la même manière : Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

Moment total

Coefficient de moment : Pr. Borjini Mohamed Naceur

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88

Par unité d’allongement : S = C×1

sachant

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

on aura

Coefficient de moment par rapport au quart de corde (équation 17, chapitre 2) :

soit :

Le centre de poussée est à c/4 Il est aussi le centre aérodynamique.

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89

IV- Profil cambré (non symétrique) ǂ 0 on a déjà Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

soit

La solution générale s’écrit :

Les constantes Ai ? Pr. Borjini Mohamed Naceur

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90

soit

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

, n =1,..∞ A0 dépend de α et de la forme de la corde moyenne An dépend de la forme de la corde moyenne uniquement La circulation totale :

Soit : Pr. Borjini Mohamed Naceur

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91

La portance :

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

Le coefficient de portance soit :

Pente : symétrique ou non

On peut écrire Pr. Borjini Mohamed Naceur

avec :

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92

Les moments aérodynamiques on montre que :

Chapitre 4 Ecoulements incompressibles sur les profilsThéorie des profils minces

soit :

et :

cas symétrique

Le centre de poussée indépendant de α (Centre Aérodynamique)

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93

94

Chapitre 5

Ecoulements compressibles sur les profils

I- Introduction

Nous allons essayer d’obtenir pour un écoulement parfait compressible, une équation en fonction du potentiel vitesse proche de l’équation de Laplace qui est linéaire. Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Cette approximation est valable pour les faibles α et pour les profils minces . On utilisera aussi des facteurs de correction pour tenir compte de la compressibilité. (à connaître : cours Mécanique de Fluide Compressible) II- L’équation de potentiel de vitesse On considère un écoulement stationnaire, compressible, parfait, irrotationnel et stationnaire. En 2d :

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95

Equation de continuité : Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils Introduisons le potentiel de vitesse

Équations en ρ et φ Comment éliminer ρ ? Pr. Borjini Mohamed Naceur

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96

On utilise l’équation d’Euler (chapitre 3) : (compressible, stationnaire, parfait le long d’une ligne de curant)

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Ecoulement isentropique

soit :

( a vitesse du son, a=(

))1/2)

G.P. a² = rT

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97

Soit :

(compressib

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Et forcement :

De même selon oy :

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98

On obtient alors :

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

C’est l’équation de potentiel de vitesse dans le cas compressible. C’est une équation de  et a uniquement . Il faut ajouter les conditions aux limites. Pour un Gaz parfait :

(utiliser formule de Zener h +V²/2 = cste) a0 : constante de l’écoulement Pr. Borjini Mohamed Naceur

φ variable 2019-2020

uniquement 99

Démarche après résolution de l’équation de φ : 1- Calculer u et v 2- Calculer a Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

3- Calculer M =V/a 4-Calculer T, p et ρ à partir de :

Rq : on se ramène à une équation avec 1 inconnu mais problème : Non linéaire difficile à résoudre analytiquement. Pr. Borjini Mohamed Naceur

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100

III- Approximation : l’équation de potentiel de vitesse linéarisée.

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Ecoulement uniforme avec perturbation

vitesse

avec û et

sont les perturbations de

Puisque : on peut définir le potentiel de perturbation

:

Avec : Pr. Borjini Mohamed Naceur

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101

Soit :

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Remplaçons dans l’équation de potentiel et multiplions par a² :

C’est l’équation de potentiel de perturbation de vitesse

Elle est aussi non linéaire Pr. Borjini Mohamed Naceur

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102

Physiquement : revenons aux perturbations des vitesses :

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

D’autre part : équation d’énergie :

G.P.

on a : soit

on trouve :

( α faible et profil mince)

linéaire non linéaire

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103

Hypothèse : si on suppose des petites perturbations : (α faible et profil mince) On aura

et

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Les dérivées de

et

sont aussi faibles.

on montre que :

Soit :

Equation linéaire Pr. Borjini Mohamed Naceur

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104

Cette équation est valable pour : * des petites perturbations (α faible et profil mince) * subsonique Chapitre 5

0

0,8

* supersonique 1,2

5

Ecoulements compressibles sur les profils

Cette équation n’est pas valable pour : * transsonique * hypersonique

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105

IV Coefficients de compressibilité - Coefficient de pression

Chapitre 5

Avec :

Ecoulements compressibles sur les profils

donc : Soit

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sans approximation

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106

- Approximations Formule de Prandtl Glauert : Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

correction par rapport au cas incompressible Aussi pour les coefficients de portance et de moment :

Exemple 1: sur un point d’un profil le coefficient de pression est = - 0,3 à des faibles vitesses. Calculer ce coefficient en ce point pour M∞ =0,6.

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107

On a : Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Pr. Borjini Mohamed Naceur

Exemple 2: On considère un profil mince symétrique à α = 10°. Calculer le coefficient de portance pour M∞ =0,7 pour cet angle. Conclure sur l’effet de compressibilité.

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108

Profil mince dans le cas incompressible :

0

Soit :

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

et Donc il y a une augmentation de 40 % par rapport au cas compressible

Cl0 =0,548

Cl= 0,767 Pr. Borjini Mohamed Naceur

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109

Autres approximations (non linéaires) plus développées :

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

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:

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110

Comparaison:

:

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

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111

IV- Nombre de Mach critique Le nombre de Mach critique est le nombre de Mach à Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

l’infini pour lequel l’écoulement sonique apparaît pour la première fois sur la surface du profil. Exemple

Ce nombre est important

car pour M ∞ légèrement supérieure à Mcr, le profil subit une traînée importante.

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112

On a pour un point A quelconque :

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Et d’autre part le coefficient de pression au point A :

Donc : Supposons on arrive à MA = 1 (critique) : coefficient de pression critique

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113

Si M∞ est légèrement supérieure à Mcr (exemple 0,65), une région supersonique existe au dessus du profil : la formule précédente permet de calculer Cp sur la ligne en pointillé (M=1). Chapitre 5 Si M∞ tel que figure c) (0,61) (un seul point à M=1) dans ce cas M∞ = Mcr : Ecoulements compressibles sur les profils

Comment déterminer Mcr ?

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114

Etapes pour déterminer Mach critique : 1- Déterminer

dans le cas incompressible (expérimentalement ou

théoriquement) au point minimum de pression sur le profil. Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

2- Utiliser les approximations de correction de compressibilité (PrandtlGlauert, Karman..) et tracer la courbe Cp = f(M∞). 3 – Chercher l’intersection avec la courbe Cp,cr =f(Mcr).

Prandtl, Karman..

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115

Effet de l’épaisseur du profil sur le nombre de Mach critique :

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

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116

Exemple : Soit le profil NACA0012 à α=0°. Déterminer graphiquement le nombre de Mach critique . Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Le coefficient de pression Mesuré dans une soufflerie

À faible vitesse est donné sur La figure en face. Prendre  =1,4.

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117

à partir de :

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

On trouve :

Et donne :

Traçons les deux courbes

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118

Intersection de B et C en D

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

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119

V- Cas Réel : Traînée + décollement

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

D’après cette théorie : fluide parfait, on a calculé la portance qui est due principalement à la distribution des pressions fluide parfait suffisant.

Pour la traînée cette approche donne 0 traînée inquiétant car expérience évidente d’Alembert ‘

’paradoxe

Ce paradoxe disparaît si on suppose un écoulement visqueux.

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120

Rappelons les types de traînées :

Par frottement Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Traînée de pression due au ‘décollement’ de l’écoulement

: traînée de forme

nécessite une explication Pr. Borjini Mohamed Naceur

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121

« Décollement » : Si l’écoulement est complètement collé (attaché) : les pressions en face arrière balancent celles en face avant zéro traînée de pression Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

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Pour α=0° on a dp/dx>0 mais reste faible et l’écoulement reste collé.

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122

Si l’écoulement se détache partiellement sur la face arrière donc les forces de pressions dirigées vers l’avant diminuent. Ceci crée une traînée de pression due au décollement de l’écoulement. Si α = 18,4° dp/dx >0 et important et l’écoulement réel (visqueux) va se décoller.

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Parfait, dp/dx>0 mais l’écoulement reste collé.

Réel, pas de pic et p sur le bord de fuite ne dépasse pas p∞.

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Comparaison qualitative : Rq : - le décollement n’affecte pas la distribution sur la surface inférieure. - deux conséquences majeures

du décollement.

Chapitre 5 Perte de portance importante .

Ecoulements compressibles sur les profils

Augmentation de la traînée

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124

En résumé : le décollement se déroule si α > αc : angle de décrochage : c’est un phénomène visqueux.

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

L’expérience montre une région linéaire en fonction de α, où la théorie de fluide parfait est acceptable. Mais cette théorie ne prévoit pas Cl,max et le décrochage. Pr. Borjini Mohamed Naceur

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125

Types de décrochage : * Décrochage par bord d’attaque : propre au profil mince Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

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avec décollement brutale sur tout l’extrados et

l’origine est le LE.

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126

Types de décrochage : * Décrochage par bord de fuite : propre au profil épais Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

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avec décollement progressif à partir du TE et se dirige vers le LE.

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127

Comparaison : Si on compare la portance : une partie linéaire identique même angle à portance

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

nulle et même pente (comme prévu par la théorie Linéaire : même corde moyenne NACA4412 et NACA4421)

Donc l’effet principal de l’épaisseur est sur Cl,max

Cl,max,LE > Cl, max,TE (mince) > (épais) Pr. Borjini Mohamed Naceur

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128

Plaque plane : (épaisseur 0,02.C) La figure précédente aussi : C’est le décrochage de type

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

plaque plane : décollement pour α très faible  décrochage de type TE mais avec Cl,max plus faible.

Donc : nécessité d’une certaine épaisseur minimale

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129

Effet de l’épaisseur suivant Reynolds

Il existe un maximum local. Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Plus Re augmente plus Cl,max augmente

(le décollement est un phénomène visqueux = f(Re))

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130

Dispositifs Hypersustentateurs A Re= cste, Cl,max dépend de la forme de l’aile dispositifs appelés hypersustentateurs.

on utilise des

Ils sont situés au bord d’attaque (Becs)

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

et au bord de fuite (Volets) de la voilure Ils agissent en augmentant à la fois la surface de l’aile et sa cambrure. Avec ces dispositifs Cl augmente fortement mais malheureusement CD aussi,

pour cela ils sont soit

entièrement déployés (atterrissage) partiellement déployés (décollage)

En dehors des phases de décollage et d’atterrissage, les becs et les volets sont rentrés (D diminue, consommation diminue : avion en configuration lisse) Pr. Borjini Mohamed Naceur

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Volets 

= 10 ° : Cl augmente

due à l’augmentation Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

de la cambrure,

α(L=0) est fonction de dz/dx (théorie Linéaire)

α(L=0) tend vers 0 car profil symétrique

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Becs

Plusieurs formes Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

Apparition d’un écoulement Secondaire entre le bec et le profil : modifie la pression sur l’extrados : retardement du phénomène de décollement : Cl,max augmente mais α(L=0) ne change pas

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Becs

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

décrochage

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Combinaison : Becs + volets configuration croisière (lisse) configuration décollage (becs et volets partiellement

Chapitre 5 Ecoulements compressibles sur les profils

déployés) configuration atterrissage (becs et volets totalement déployés)

Malgré un décollement global l’écoulement local (sur différents volets et espaces) reste collé : Cl reste élevé.

décrochage Pr. Borjini Mohamed Naceur

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