Corrige TD1 2015 2016 [PDF]

Zitiervorschau

Econométrie des Séries Temporelles Correction Travaux Dirigés N 1

Jean-Michel ETIENNE Université Panthéon-Assas (Paris 2)

Octobre 2015

JME (Université Paris 2)

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

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Rappels des concepts traités en séances ayant un rapport direct avec le TD-1

Dé…nir les notions et concepts suivants: 1

Série Temporelle

2

Processus stationnaire

3

Bruit blanc

4

Processus inversible

5

Fonctions d’autocovariance et d’autocorrélation

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Rappel: un processus aléatoire est une suite de variables aléatoires indexées dans le temps et dé…nies sur un espace des états de la nature. Pour chaque instant du temps, la valeur de la quantité étudiée Xt quand t varie de ∞ à +∞ est appelé processus aléatoire. Xt a une distribution de probabilité discrète (si Xt est à temps discret) ou continue (si X (t ) est à temps continu). Comme la classe des processus aléatoires est très vaste (processus markoviens, processus de survie, ...), on ne s’intéresse qu’à un seul type de processus: les processus aléatoires stationnaires. Ces processus sont caractérisés par le fait que leurs propriétés statistiques ne changent pas au cours du temps. Ils proviennent d’un système stable ayant atteint un état stationnaire (ou état d’équilibre statistique). JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Rappel: On dit que Xt est stationnaire au sens strict si pour tout t = t1 , ..., tn et pour tout entier τ, la distribution jointe du processus fXt1 , Xt2 , ..., Xtn g est identique à celle du processus fXt1 +τ , Xt2 +τ , ..., Xtn +τ g . Comme cette notion est trop restrictive, elle est assouplie en dé…nissant la stationnarité à l’ordre j.

Xt est stationnaire à l’ordre j si pour tout t = t1 , ..., tn et pour tout entier τ, tous les moments joints à l’ordre j du processus fXt1 , Xt2 , ..., Xtn g existent et sont identiques aux moments joints à l’ordre j du processus fXt1 +τ , Xt2 +τ , ..., Xtn +τ g .

On se limitera ici aux processus aléatoires stationnaires à l’ordre 2 (ou processus faiblement stationnaires).

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Rappel: Xt est un processus aléatoire stationnaire à l’odre 2 si: 1 2 3

0

E [Xt ] = µ = Cte, E Xt2 = µ2 = Cte 0 V [Xt ] = µ2 µ2 = σ2X = Cte Cov [Xt Xs ] = E [Xt Xs ] µ2 = γτ avec τ = s

t

Les conditions (1) et (2) signi…ent que la moyenne et la variance du processus sont constantes et indépendantes du temps (homoscédasticité). La condition (3) traduit le fait que la covariance entre 2 périodes s et t est uniquement fonction de la di¤érence des temps τ (= s t ) . γτ est appelée fonction d’autocovariance du processus Xt .

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Soit le processus aléatoire suivant: Xt = εt

εt

1

εt est un bruit blanc. Dans ce cas les valeurs de εt (t = 1, 2, ...) sont de moyenne nulle, homoscédastiques et non corrélées. I.E. E [ εt ] = 0 V [εt ] = σ2e Cov [εt εs ] = 0 8 t 6= s

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Soit le processus aléatoire suivant: Xt = εt

εt

1

Calcul de E [Xt ]

= εt εt 1 avec εt BB 0, σ2e E [Xt ] = E [εt εt 1 ] E [Xt ] = E [εt ] E [εt 1 ] = 0 Xt

Calcul de V [Xt ] V [Xt ] = V [εt

εt

1]

= V ( εt ) + V ( εt

1)

2cov (εt , εt

1)

V [xt ] = σ2ε + σ2ε = 2σ2ε JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Calcul de l’autocovariance Cov [Xt Xt Cov [Xt Xt

h]

Cov [Xt Xt

h]

Cov [Xt Xt

h]

Cov [Xt Xt

h]

Cov [Xt Xt

h]

= = = = =

E [Xt Xt

h]

E [Xt Xt

h]

E [(εt

εt

1 ) ( εt h

E ( εt εt

h

εt εt

h 1

E ( εt εt

h

εt εt

h 1

h]

E [Xt ] E [Xt εt

h]

h 1 )]

+ εt εt 1 εt h + εt

εt

1 εt h

1 εt h 1 ) 1 εt h 1 )

= 08h

Pour h = 1 on a:

= E [(εt εt 1 ) (εt 1 εt 2 )] Cov [Xt Xt 1 ] = E (εt εt 1 εt εt 2 εt 1 εt 1 + εt Cov [Xt Xt 1 ] = 0 + 0 σ2ε + 0 Cov [Xt Xt 1 ] = σ2ε

Cov [Xt Xt

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1]

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1 εt 2 )

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Calcul de l’autocorrélation ρh =

ρh ρh ρh

γh γ0

Cov [Xt Xt h ] σX t σX t h Cov [Xt Xt h ] = σ2X ( σ2ε 1 h=1 2 = 2 2σ ε = 0 8h 2

=

Ce processus est donc stationnaire. Car La moyenne et la variance du processus sont constantes et indépendantes du temps (homoscédasticité). En outre, l’autocovariance entre 2 périodes t et t h est uniquement fonction de la di¤érence des temps -h (= t h t ) . JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Soit le processus aléatoire suivant: Xt = εt εt

1

Calcul de E [Xt ]

= εt εt 1 E [xt ] = E [εt εt 1 ] E [xt ] = E [εt ] E [εt xt

1]

=0

Calcul de V [Xt ] V [xt ] = V [εt εt V [xt ] = JME (Université Paris 2)

σ2ε

σ2ε

1]

= σ4ε

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Calcul de Cov [Xt Xt

h]

= E [(εt εt 1 ) (εt Cov [Xt Xt h ] = 0, h 6= 0

Cov [Xt Xt

h]

Calcul de l’autocorrélation ρh =

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ρh

=

ρh

=

ρh

=

h εt h 1 )]

γh γ0

Cov [Xt Xt h ] σX t σX t h Cov [Xt Xt h ] σ2X 1 h=0 0 8h 6 = 0

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Ce processus est donc stationnaire. Car La moyenne et la variance du processus sont constantes et indépendantes du temps (homoscédasticité). En outre, l’autocovariance entre 2 périodes t et t + h est uniquement fonction de la di¤érence des temps h (= t + h t ) .

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Soit le processus aléatoire suivant: xt = φ1 xt

1

+ εt avec φ1 = 1

Calcul de E [xt ] :

xt

= = = =

xt

= φ1τ xt

xt xt xt

+ εt φ 1 ( φ 1 xt 2 + ε t 1 ) + ε t φ21 xt 2 + φ1 εt 1 + εt ... φ1 xt

1

τ 1 τ+

∑ φj1 εt

j

j =0

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

En utilisant la condition d’initialisation du processus x0 = 0 (t τ = 0 ) t = τ ) , on obtient x1 = ε1 et l’expression de xt s’écrit alors:

xt

= εt + φ1 εt

xt

=

1

+ φ21 εt

2

+ ... + φt1 1 ε1

t 1

∑ φj1 εt

j

j =0

E [xt ] = E

"

t 1

∑

φj1 εt j

j =0

#

t 1

E [xt ] =

∑ φj1 E [εt

j]

j =0 JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Suppons que E [ εt ] = µ Alors E [xt ] = µ 1 + φ1 + φ21 + ... + φ1t

si jφ1 j < 1 ! E [xt ] = µ

1 1

1

φt1 φ1

si jφ1 j = 1 ! E [xt ] = tµ

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Si E [εt ] = µ = 0, alors xt est stationnaire à l’odre 1. Si E [εt ] = µ 6= 0, alors E [xt ] dépend de t et xt est non stationnaire à l’odre 1 Désomais, on supposera que E [εt ] = 0 Calcul de V (xt )

V (xt ) = V

"

t 1

∑

φj1 εt j

j =0

#

t 1

V (xt ) =

∑ φ2j1 V (εt

j)

j =0

si jφ1 j < 1 ! V (xt ) = σ2ε

1 1

φ2t 1 φ21

si jφ1 j = 1 ! V (xt ) = tσ2ε JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Calcul de l’autocovariance γh = Cov [xt xt +h ]

Cov [xt xt +h ] = E [xt xt +h ] " t 1

Cov [xt xt +h ] = E

∑

j =0

φj1 εt j

!

t +h 1

∑

φj1 εt +h j

j =0

si jφ1 j < 1 ! Cov [xt xt +h ] = σ2ε φ1τ

1 1

!#

φ2t 1 φ21

si jφ1 j = 1 ! Cov [xt xt +h ] = σ2ε t

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Puisque V (xt ) et Cov (xt xt +h ) sont des fonctions de t, le processus n’est pas stationnaire à l’ordre 2. Cependant, si jφ1 j < 1, alors µ

lim E [xt ]t !∞ =

1

lim V [xt ]t !∞ =

σ2ε 1 φ21

lim Cov [Xt Xt +h ]t !∞ = σ2ε

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φ1

;

φh1 1 φ21

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

On supposera désormais que jφ1 j < 1 et que t ! ∞ (on dispose d’un grand nombre d’observations). γ Calcul de La fonction d’autocorrélation ρh = γh du processus AR (1): 0

ρh

=

Cov [xt xt +h ] γ0 σ2ε

φh1 1 φ21

σ2ε

1 1 φ21

ρh

=

ρh

= φh1

Le processus est asymptotiquement stationnaire à l’ordre 2. Sa moyenne, sa variance et son autocovariance sont indépendantes du temps et sa variance est …nie. En outre, la covariance entre 2 périodes t et t + h est uniquement fonction de la di¤érence des temps h (= s t ) . JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Soit le processus ARMA(1, 1) suivant: xt xt

(1

φ1 xt

1

φ1 B ) xt Φ (B ) xt

= = = =

+ εt θ 1 εt εt θ 1 εt 1 (1 θ 1 B ) εt Θ (B ) εt φ1 xt

1

1

On suppose que la solution,z, de 1 θ 1 z = 0 est plus grande que un en module (= jz j > 1) et di¤érente de θ11 (la racine du polynôme retard associé à la partie MA). Par conséquent, jθ 1 j < 1.

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

De même, on suppose que la solution,z, de 1 φ1 z = 0 est plus grande que un en module (= jz j > 1) et di¤érente de φ1 (la racine 1 du polynôme retard associé à la partie AR). Par conséquent, jφ1 j < 1. On suppose aussi que εt est un bruit blanc d’espérance nulle et de variance σ2e .

Ainsi, le processus ARMA(1, 1) est asymptotiquement stationnaire au second ordre et on supposera que la condition initiale est telle que les moments du processus sont invariants (stationnarité au second ordre).

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Notons µx , σ2x , γx (h) respectivement l’espérance, la variance et la fonction d’auto-covariance de ce processus. Puisque ce processus est stationnaire au second ordre, en appliquant l’opérateur espérance à l’équation (2), on a directement: µx

φ1 µx = 0

Comme cette équation doit être véri…ée pour toute valeur admissible de φ1 , on a nécessairement µx = 0 Le processus ARMA(1, 1) considéré ici est d’espérance nulle (ce résultat était attendu puisqu’il n’y a pas de constante dans le modèle dé…ni par l’équation (2). La fonction d’auto-covariance est dé…nie par: γx (h) = E [(xt JME (Université Paris 2)

µx ) (xt

h

µx )] = E [xt xt

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h] 16/10

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

La deuxième égalité est justi…ée par le fait que le processus considéré est d’espérance nulle. En particulier, la variance est dé…nie par: σ2x

γx (0) = E [xt xt

h]

En multipliant (1) par xt il vient: xt2 = φ1 xt xt

1

+ xt εt

θ 1 xt εt

1

En appliquant l’opérateur espérance: γx (0) = φ1 γx (1) + E [xt εt ]

θ 1 E [xt εt

1]

Il nous reste à évaluer les 2 espérances, qui ne sont pas nulles a priori car dépend de εt , εt 1 (voir l’équation (2)). Pour la première espérance nous avons: E [xt εt ] = E [φ1 xt JME (Université Paris 2)

1 εt ] + E

ε2t

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θ 1 E [ εt εt

1] 16/10

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Le dernier terme est nul car εt est un bruit blanc d’espérance nulle. Le deuxième terme est égal à σ2e pour tout t car εt un bruit blanc de variance σ2e . En…n, le premier terme est nul car l’innovation ε est indépendante du passé de x. Ainsi, nous avons: E [xt εt ] = σ2e 8 t Pour la deuxième espérance, nous avons: E [xt εt

1]

= E [φ1 xt

1 εt 1 ] + E

[ εt εt

1]

θ 1 E [ εt

1 εt 1 ]

La première espérance est égale à σ2e puisque E [xt εt ] = σ2e pour tout t. La deuxième espérance est nulle car εt est un bruit blanc d’espérance nulle. La troisième espérance est égale à σ2e 8 t. JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

Ainsi, nous avons: E [xt εt

= φ1 σ2e θ 1 σ2e = (φ1 θ 1 ) σ2e

1]

En utilisant ces résultats intermédiaires, nous obtenons: γx (0) = φ1 γx (1) + σ2e

θ 1 ( φ1

θ 1 ) σ2e

= φ1 γx (1) + [1

θ 1 ( φ1

θ 1 )] σ2e

Nous disposons d’une expression de γx (0) en fonction de γx (1), qui est inconnu, et de σ2e , φ1 et de θ 1 qui sont connus. A…n d’obtenir une équation pour l’auto-covariance d’ordre 1, multiplions (2) par xt 1 : xt xt JME (Université Paris 2)

1

= φ1 xt2

1

+ xt

1 εt

θ 1 xt

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1 εt 1 16/10

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

En appliquant l’opérateur espérance, il vient: γ x ( 1 ) = φ 1 γ x ( 0 ) + E [ xt

1 εt ]

θ 1 E [xt

1 εt 1 ]

La 1ère espérance est nulle car l’innovation ε est indépendante de du passé de x, la 2ième espérance est à σ2e car E [xt 1 εt 1 ] = E [xt εt ] = σ2e .Au total, nous obtenons l’équation suivante pour: γx (1) = φ1 γx (0) θ 1 σ2e Ces équations forment un système de deux équations à deux inconnues (γx (0) et γx (1)) : γx (0) = φ1 γx (1) + [1 θ 1 (φ1 θ 1 )] σ2e γx (1) = φ1 γx (0) θ 1 σ2e JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

On obtient γx (0) en substituant la 2ième équation dans la 1ère, puis en substituant l’expression de γx (0) dans la 2ième équation, on obtient γx (1) (les calculs sont laissés aux lecteurs). 8 1 +θ 21 2φ1 θ 1 2 < γ (0) = σe x 1 φ2 : γ (1) = x

1

(1 φ1 θ 1 )(φ1 θ 1 ) 2 σe 1 φ21

Calculons l’auto-covariance d’ordre 2. Pour cela, nous suivons la démarche habituelle en multipliant (1) par xt 2 puis en appliquant l’opérateur espérance. Nous avons donc: γx (2) = φ1 E [xt

1 xt 2 ] + E

[xt

2 εt ]

θ 1 E [xt

2 εt 1 ]

= φ1 γx (1) JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 1

D’où γx (h ) = φ1 γx (h Les auto-covariances sont donc: 8 1 +θ 21 > > < γx (0) = 1 γx (1) > > : γx (h )

= =

2φ1 θ 1 2 σe φ21 (1 φ1 θ 1 )(φ1 θ 1 ) 2 σe 1 φ21

φ1 γx (h

1)

Les auto-corrélations sont donc: ( (1 φ1 θ 1 )(φ1 ρx (1) = 1 +θ 2 2φ 1

ρx (h )

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=

8h>1

1)

φ1 ρx (h

8 jh j > 1

θ1 )

1θ

1)

8 jh j > 1

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2

On véri…e que nous retrouvons bien la fonction d’auto-covariance d’une processus AR (1) lorsque θ 1 est nul; ou la fonction d’autocovariance du MA(1) lorsque φ1 est nul.

De façon générale, dès lors que l’horizon h est supérieur à l’ordre de la partie MA (1 dans le cas qui nous intéresse), le retour à zéro de la fonction d’auto-covariance est gouverné par la partie AR (dynamique géométrique).

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2

Simulation de 3 processus AR (1) avec: et xt xt xt

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N (0, 1)

= 0.4xt 1 + εt = 0.4xt 1 + εt = 0.95xt 1 + εt

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2

Figure: Représentation graphique du processus:xt = 0.4xt JME (Université Paris 2)

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

1

+ εt 16/10

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2

Figure: Corrélogramme du processus:xt = 0.4xt JME (Université Paris 2)

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

1

+ εt 16/10

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2

Figure: Représentation graphique du processus:xt = 0.95xt

JME (Université Paris 2)

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

1

+ εt

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2

Figure: Corrélogramme du processus:xt = 0.95xt JME (Université Paris 2)

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

1

+ εt 16/10

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2

D’après la réponse (c) de l’exercice 1, la fonction d’autocorrélation du processus AR (1) est donnée par ρτ = φ1τ Si φ1 > 0, ρτ décroît vers 0 expotentiellement lorsque τ tend vers +∞. Si φ1 < 0, ρτ décroît vers 0 de façon sinusoïdale lorsque τ tend vers +∞. τ φ1 = 0.4 φ1 = 0.4 φ1 = 0.95

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0 1 1 1

1 0.35 -0.35 0.93

2 0.14 0.14 0.87

3 0.054 -0.054 0.81

4 0.039 0.039 0.75

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

5 -0.005 -0.005 0.69

6 -0.075 -0.075 0.63

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2

Génération de Processus ARMA à l’aide d’Eviews. Soit les processus suivants:

yt yt

JME (Université Paris 2)

= φ1 yt = 0.5yt

+ φ2 yt 2 + εt 0.8yt 2 + εt 1

1

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2

la fonction d’autocorrélation du processus xt = 0.4xt 1 + εt signi…e que la corrélation entre t et t 1 (ou t + 1) est de 35.1% (ρ1 = 0.351), celle entre t et t 2 (ou t + 2) est de 14.7% (ρ2 = 0.147), celle entre t et t 3 (ou t + 3) est de 5.7% (ρ3 = 0.057), Elle semble diminuer rapidement avec le nombre de retards. Par contre, pour xt = 0.95xt 1 + εt , la corrélation entre t et t 1 est de 93%, celle entre t et t 2 est de 87%, celle entre t et t 3 est de 81%,... Elle décroît très (trop) lentement, caractéristique d’un processus persistant (voire non stationnaire)

JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2 (Analyse des fonctions d’autocorrélation)

L’information sur l’autocorrélation est insu¢ sante. Elle ne nous renseigne pas sur les e¤ets des valeurs qui interviennent entre Xt et Xt +τ . La fonction d’autocorrélation partielle (FAP) s’apparente à la notion de corrélation partielle. Cette dernière est dé…nie comme étant le calcul de l’in‡uence de x1 sur x2 en éliminant les in‡uences des autres variables x3 ,x4 , ..., xk . Ainsi, dans le calcul de l’autocorrélation entre xt et xt k l’in‡uence des autres variables décalées de k périodes (xt 1 , xt 2 , ..., xt k +1 ) ayant été retirée.

JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2 (Analyse des fonctions d’autocorrélation)

Question: Quels sont les termes ρk qui sont signi…cativement di¤érents de 0 ? Il existe plusieurs tests statistiques (Quenouille, Box-Pierce, Ljung-Box) Statistique de Ljung-Box Le test de BP et de LB permet d’identi…er les processus de bruit blanc. Nous devons donc identi…er cov (yt , yt k ) = 0 ou encore ρk = 0 quelque soit k. l’hypothèse nulle étant: H0 :ρ1 = ρ2 = ... = ρk = 0; L’hypothèse alternative H1 : Il existe au moins un ρi signi…cativement di¤érent de 0.

JME (Université Paris 2)

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2 (Analyse des fonctions d’autocorrélation)

La statistique de test est donnée par: Q 0 = n(n + 2) ∑hk =1 suit un Khi-deux à h degré de liberté (χ2h ).

ρˆ 2k n k qui

h =nombre de retard; ρˆ k = autocorrélation empirique d’ordre k; n =nombre d’observations. Eviews fournit les résultats des fonctions d’autocorrélation simple (colonne AC) et partielle (colonne PAC), avec les corrélogrammes respectifs. Les bornes de l’intervalle de con…ance sont stylisées par des traits pointillés horizontaux. Chaque terme qui sort de cet intervalle est donc signi…cativement di¤érent de 0 au seuil de 5%.

JME (Université Paris 2)

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2 (Analyse des fonctions d’autocorrélation)

Nous nous apercevons que les termes du corrélogramme simple sont extérieurs à l’intervalle de con…ance. Par conséquent, le processus n’est pas un bruit blanc. La statistique Q de LB (la seule calculée par Eviews) con…rme ce fait. Q Stat = 175.05 (au retard = 12) supérieur à χ20.05;12 = 5.226, on rejette l’hypothèse de nullité des coe¢ cients (ou bien la probabilité critique de ce test est indiquée αc = 0.000 inférieur à 0.05, donc on refuse H0 ).

JME (Université Paris 2)

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2 (Propriétés des fonctions d’autocorélation simple et partielle)

Fonction d’autocorrélation simple: décroissance exponentielle (φ1 sinusoïdale amortie (φ1 0).

0) ou

Fonction d’autocorrélation partielle: pic signi…catif pour le premier retard: positif si φ1 négatif si φ1

0 0

les autres coe¢ cients nuls pour des retards

JME (Université Paris 2)

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

2

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2

Simulation du processus AR(2) suivant :yt = 0.5yt

Figure: Représentation graphique du processus: yt = 0.5yt

JME (Université Paris 2)

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

1

0.8yt

2

+ εt

1

0.8yt

2

+ εt

16/10

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2

Figure: Corrélogramme du processus: yt = 0.5yt JME (Université Paris 2)

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

1

0.8yt

2

+ εt 16/10

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2 (Propriétés des fonctions d’autocorélation simple et partielle)

Fonction d’autocorrélation simple: décroissance exponentielle (φ1 0) ou sinusoïdale amortie (φ1 0). Fonction d’autocorrélation partielle: pics signi…catifs pour le premier retard et second retards: les autres coe¢ cients sont nuls pour les retards

JME (Université Paris 2)

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

3

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2 (Processus AR(2) ou processus de Yule)

C’est un processus de dépendance à 2 étapes:

Xt Xt

φ1 Xt 1

1

φ1 B

φ2 Xt

2

φ2 B 2 Xt Φ (B ) Xt

(1

λ1 B ) (1

λ2 B ) Xt

= = = = =

φ1 Xt

1

+ φ2 Xt

2

+ εt

εt εt εt εt

λ1 , λ2 sont les racines de l’équation caractéristique: 1 φ1 B φ2 B 2 = 0

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Processus Stationnaires: Correction TD N 1

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2 (Processus AR(2) ou processus de Yule)

On peut toujours ramener un système dynamique d’ordre quelconque à un système vectoriel du 1er ordre. Posons: ξt =

Xt Xt 1

, F =

φ1 φ2 1 0

ξ t (resp. F et vt ) est de taille (2

εt 0

et vt =

1) (resp. (2

2) et (2

1))

Le processus AR (2) se ramène à un processus vectoriel AR (1): Xt Xt 1

JME (Université Paris 2)

=

φ1 φ2 1 0

Xt Xt

1 2

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

+

εt 0

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2 (Processus AR(2) ou processus de Yule)

Pour obetenir les racines λ1 et λ2 , il su¢ t de calculer les valeurs propres de la matrice F, i.e. les nombres λ1 et λ2 tels que:

φ1 φ2 1 0

jF λI2 j = 0 1 0 = 0 λ 0 1 φ1

λ 1

λ2

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φ1 λ

φ2 λ

= 0

φ2 = 0

Processus Stationnaires: Correction TD N 1

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TD-1.Processus stationnaires Exercice 2 (Processus AR(2) ou processus de Yule)

Les valeurs propres de la matrice F sont les nombres λ de qui satisfont l’équation: λ2 φ1 λ φ2 = 0 Les 2 valeurs propres de F pour une équation aux di¤érences du second ordre sont donc données par: 8