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CORRIGE TD CHAP 1 : L’INTERET Les intérêts simples Ex 1 : calculer l’intérêt fourni par un placement de 28 000 euros à 4% pendant trois mois. I = 28 000 x 4% x 3/12 = 280 € Ex 2 : mêmes données mais avec un placement du 13 septembre 2009 au 27 février 2010. Nombre de jours : En septembre : 30 – 13 = 17 En octobre : 31 En novembre : 30 En décembre : 31 En janvier : 31 En février : 27 TOTAL des jours : 167 Donc I = 28 000 x 4% x 167/360 = 519,56 € Ex 3 : un capital de 5 000 € placé à 3,5% a acquis une valeur de 5 043,75 € à l’issue du placement. Déterminer la durée du placement. I = 5 043,75 – 5 000 = 43,75 € Et I = 5000 x 3,5% x n Donc n = I / (5 000 x 3,5%) = 43,75 / 175 = 0,25 année Donc n = 0,25 x 12 = 3 mois Ex 4 : un capital de 7 200 € prêté à 4% le 8 juin a acquis à la fin du prêt une valeur de 7 244 euros. Déterminer à quelle date le prêt a été remboursé. Intérêts produits : 7 244 – 7 200 = 44 euros Donc n = 44 / (7 200 x 4%) = 0, 153 année En jour, on a : 0,153 x 360 = 55 jours Date de remboursement : 55 jours après le 8 juin soit le 2 août (30-8 = 22 jours en juin, 31 jours en juillet donc remboursement le 2 août : 55-22-31=2)

Ex 5 : un capital de 8 400 € a produit, du 16 mai au 25 septembre, un intérêt de 115,5 €. Calculer le taux de placement. Nombre de jours de placement : du 16 mai au 25 septembre = (31-16) + 30 + 31 +31 + 25 = 132 jours I = Co x i x n Donc i = I / (Co x n) i = 115,5 / (8 400 x 132/360) = 3,75%

Ex 6 : calculer le capital qui, placé à 4,2% pendant 124 jours, a acquis une valeur de 16 738,70 €. On recherche Co : On a : Cn = Co (1 + i x n) Donc Co = Cn / (1 + i x n) = 16 738,70 / (1 + 4,2% x 124/360) = 16 500 € A. GUIBERT

MATH FI – TD CHAP 1

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Ex 7 : un capital de 10 000 € est placé à un taux de 4%. Un autre capital de 9 950 € est placé à un taux de 5% à la même date. Déterminer le nombre de jours nécessaires pour que les deux capitaux aient acquis la même valeur. Capital acquis par les 10 000 € placés à 4% pendant n jours : 10 000 + 10 000 x 4% x n Capital acquis par les 9 950 € placés à 5% pendant n jours : 9 950 + 9 950 x 5% x n On recherche n tel que : 10 000 + 10 000 x 4% x n = 9 950 + 9 950 x 5% x n 10 000 + 400 n = 9 950 + 497,5 n 50 = 97,5 n n = 50 / 97,5 n = 0,513 année soit : 0,513 x 360 = 184,62 jours

Ex 8 : une personne place à intérêt simple, au taux de 4%, au début de chaque mois et à partir du 1er janvier 2010 une somme constante de 2 000 €. Au 30 avril 2010, la banque lui verse une prime de 100 € pour la remercier de sa fidélité. De quelle somme totale, capitaux et intérêts réunis, disposera cette personne le 30 avril 2010 ? Pour trouver la valeur du capital au 30 avril, on fait la somme des valeurs de chaque flux à cette même date Valeur acquise par les 2 000 € placés le 1er janvier : 2 000 + 2000 x 4.5% x 4/12 Valeur acquise par les 2 000 € placés le 1er février : 2 000 + 2 000 x 4.5% x 3/12 Valeur acquise par les 2 000 € placés le 1er mars : 2000 + 2 000 x 4.5% x 2/12 Valeur acquise par les 2 000 € placés le 1er avril : 2 000 + 2 000 x 4.5% x 1/12 Au 30 avril, la prime de 100 € a une valeur de 100 € = 4 x 2 000 + 2 000 x 4.5% (4/12 + 3/12 + 2/12 + 1/12) + 100 = 8 100 + 2 000 x 4.5% x 10/12 = 8 100 + 75 = 8 175 €

Les intérêts composés (2ème séance de TD) Ex 9 : un capital de 10 000 € est placé à intérêt composé au taux annuel de 4%. Calculer la valeur acquise au bout de 7 ans et les intérêts versés. Cn = Co (1+i)n Cn = 10 000 x 1,047 Cn = 13 159,32 € I = Cn - Co I = 13 159,32 – 10 000 I = 3 159,32 €

A. GUIBERT

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Ex 10 : un capital de 5 000 € est placé à intérêt composé au taux d’intérêt trimestriel de 1%. Capitalisation trimestrielle des intérêts. Calculer la valeur acquise au bout de 3 ans. Sur 3 ans, il y a 12 trimestres Cn = 5 000 x 1,0112 Cn = 5 634,12 € Autre méthode de calcul : calcul du taux annuel (avec la méthode des intérêts équivalents, sinon, avec les taux proportionnels, le résultat n’est qu’approximatif) On cherche le taux annuel ia tel que (1 + ia ) = ( 1 + it ) 4 avec it = 1% Donc 1 + ia = 1.01 4 donc 1+ ia = 1.0406 donc ia = 0.0406 soit 4.06% (un taux trimestriel donne le même résultat et EQUIVAUT à un taux annuel de 4.06%) On cherche Cn tel que Cn = 5 000 x 1.0406 3 = 5 634.06 € (aux arrondis près, le résultat est le même)

Ex 11 : un capital est placé pendant 10 ans au taux annuel de 3,5%. Sa valeur acquise au bout de 8 ans est de 131 680,90 €. Quel est le montant du capital initial ? Co = Cn (1+i) -n Co = 131 680,90 x 1,035-8 Co = 100 000 €

Ex 12 : un capital de 7 000 € est placé pendant 11 ans. Sa valeur acquise au bout de 11 ans est de 10 776,18 €. Quel a été le taux de placement ? 10 776,18 = 7 000 (1+i)11 (1+i) 11 = 10 776,18 / 7000 (1+i) 11 = 1,5395 1+i = 1,5395 1 / 11 1+i = 1,04 i = 4%

Ex 13 : un capital de 20 000 € est placé au taux semestriel de 2%. Sa valeur acquise au bout de n semestres est de 22 523,25 €. Calculer la durée du placement. 22 523,25 = 20 000 x 1,02 n 1,02 n = 22 523,25 / 20 000 ln (1,02 n) = ln (22 523,25 / 20 000) n ln 1,02 = ln (22 523,25 / 20 000) n = [ln (22 523,25 / 20 000)] / ln 1,02 n = 6 semestres soit trois années

Ex 14 : calculer la valeur acquise au taux de 4% par un capital de 6 000 € placé pendant 4 mois. Attention n < 1 an donc : Cn = Co (1+ n*i) Cn = 6 000 (1+ 4% x 4/12) Cn = 6 080 €

A. GUIBERT

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Ex 15 : un capital de 15 000 € est placé à intérêt composé au taux annuel de 4% pendant 6 ans et trois mois. Calculer la valeur acquise à l’expiration de la période. Trois mois équivalent à 0,25 année donc n = 6,25 an Cn = Co (1+i)n Cn = 15 000 x 1,04 6,25 Cn = 19 166,80 €

Ex 16 : une personne place à intérêt composé, au taux de 4%, au début de chaque année et à partir du 1er janvier 2007 une somme constante de 2 000 €. Au 31 décembre 2009, la banque lui verse un « cadeau » de 150 € pour la remercier de sa fidélité. De quelle somme totale, capitaux et intérêts réunis, disposera cette personne le 31 décembre 2009 ? Au 31 décembre 2009, la valeur acquise par chaque flux est : - pour le flux de janvier 2007 : 2 000 x 1,04 3 = 2 249,73 - pour le flux de janvier 2008 : 2 000 x 1,04 2 = 2 163,2 - pour le flux de janvier 2009 : 2 000 x 1,04 = 2 080 - pour le flux de décembre 2009 : 150 Donc au total, la somme disponible fin décembre 2009 sera : Cn = 2 249,73 + 2 163,2 + 2 080 + 150 = 6 642.93 €

Ex 17 : Tx annuel : ia Tx semestriel is Tx trimestriel it Tx mensuel : im

Taux proportionnels

Taux équivalents

4%

4%

Is = 4% / 2 = 2%

(1+ is) ² = 1,04 donc 1+is =1,04 1/2 donc is = 1,98%

It = 4% / 4 = 1%

(1+ it) 4 = 1,04 donc 1+it =1,04 1/4 donc it = 0,985%

Im = 4% / 12 = 0,333%

(1+ im) 12 = 1,04 donc 1+im =1,04 1/12 donc im = 0,327%

En utilisant les taux équivalents, calculer la valeur acquise par un capital de 10 000 € placé : - pendant 2 ans : Cn = 10 000 x 1,04 2 = 10 816 € - pendant 4 semestres : Cn = 10 000 x 1,0198 4 = 10 815,83 € - pendant 8 trimestres : Cn = 10 000 x 1,00985 8 = 10 815,71 € - pendant 24 mois : Cn = 10 000 x 1,00327 24 = 10 815,03 € Remarque : en retenant des taux équivalents, on arrive (aux arrondis près) à des résultats identiques alors qu’en retenant des taux proportionnels, les résultats sont approximatifs : Exemple : avec le taux proportionnel mensuel de 0,333%, on aurait : Cn = 10 831,43 €) Les vrais valeurs sont obtenues en retenant des TAUX EQUIVALENTS.

A. GUIBERT

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CORRIGE TD CHAP 2 Exercice 1: Intérêts postcomptés : I = 50 000 * 0.8% * 6 = 2 400 € Intérêts précomptés : I = 50 000 * 0.8% * 6 = 2 400 € Avec des intérêts postcomptés : on place aujourd’hui 50 000 € pour recevoir 52 400 € dans 6 mois : Le taux effectif de placement noté i est tel que : 2 400 = 50 000 * i * 6 Donc i = 0.8% Avec des intérêts précomptés : on place aujourd’hui 47 600 € (50 000 – 2 400) € pour recevoir 50 000 € dans 6 mois : Le taux effectif de placement noté i est tel que : 2 400 = 47 600 * i * 6 Donc i = 0.84 % Remarque : dans les 2 cas, les intérêts sont égaux à 2 400 € car ils sont calculés sur une même base (50 000 €) mais la formule des intérêts précomptés est plus intéressante car il « suffit » de 47 600 € pour récupérer 2 400 € d’intérêts

Exercice 2 Escompte retenu par la banque : I = 2 500 * 8% * 2/12 = 33.33 € Somme mise à la disposition de l’entreprise = 2 500 – 33.33 = 2 466.67 €

Exercice 3 Durée de l’escompte : Septembre 30 – 22 = 8 jours Octobre 31 jours Novembre 30 jours Décembre 31 jours Au total : 100 jours. Intérêts retenus par la banque : I = 3 500 x 8% x 100/360 = 77.78 € Agios = 77.78 + 3*1.196 = 81.37 € Somme mise à la disposition de l’entreprise = 3 500 – 81.37 = 3 418.63 €

Exercice 4 Calcul des agios du 1er effet Nombre de jours : 31 – 15 = 16 en mai, 30 en juin et 24 en juillet soit 70 jours au total. Intérêts = 12 000 * 8% * 70 / 360 = 186.67 € Commission TTC = 3 * 1,196 = 3.59 € Agios 1er effet = 190.26 € A. GUIBERT

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Calcul des agios du 2ème effet Nombre de jours : 31 – 15 = 16 en mai, 30 en juin et 5 en juillet soit 51 jours au total. Intérêts = 8 000 * 8% * 51 / 360 = 90.67 € Commission TTC = 3 * 1,196 = 3.59 Agios 1er effet = 94.26 € Somme mise à disposition = 12 000 – 190.26 + 8 000 – 94.26 = 19 715.48 €

Exercice 5 Nombre de jours : 31 – 12 = 19 en janvier, 28 en février, 31 en mars, 30 en avril et 19 en mai soit 127 jours au total. On recherche x la valeur nominale de l’effet tel que : x – x * 12% * 127/360 = 95 766.67 x – x * 15.24 / 360 = 95 766.67 x (1 – 15.24 / 360) = 95 766.67 x = 95 766.67/ (1-15.24 / 360) x = 100 000 €

Exercice 6 1) calcul de la valeur actuelle de l’ancien effet : Nombre de jours ancien effet = 31 – 16 = 15 jours Valeur actuelle de l’ancien effet = valeur nominale – intérêts = 71 100 – 71 100 * 15/360 * 10% = 70 803.75 € 2) calcul de la valeur actuelle du nouvel effet : Nb de jours du nouvel effet = 31 – 16 = 15 jours en mai + 30 jours en juin soit 45 jours On note VN : valeur nominale de l’effet de remplacement Sa valeur actuelle est : VN – VN * 45 / 360 * 10% 3) on cherche VN tel que : valeur actuelle nouvel effet = valeur actuelle ancien effet VN – VN * 45 / 360 * 10% = 70 803.75 VN – VN * 4.5 / 360 = 70 803.75 VN (1 – 4.5 / 360) = 70 803.75 Donc VN = 70 803.75 / 0.9875 Soit : VN = 71 700 € Au final, B préfère payer 71 700 € le 30 juin plutôt que 71 100 € le 31 mai.

A. GUIBERT

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Exercice 7 1) calcul de la valeur actuelle des anciens effets : EFFET A

EFFET B

EFFET C

Durée

Du 6 sept au 31 octobre

Du 6 sept au 30 novembre

Du 6 sept au 31 décembre

Nb de jours - en septembre - en octobre - en novembre - en décembre TOTAL

30 – 6 = 24 31 0 0 total = 55 jours

30 – 6 = 24 31 30 0 total = 85 jours

30 – 6 = 24 31 30 31 total = 116 jours

Valeur nominale

1 000

3 000

2 000

Intérêts

1 000 * 9% * 55/360 = 13.75

3 000 * 9% * 85/360 = 63.75

2 000 * 9% * 116/360 = 58

Valeur actuelle

1 000 – 13.75 = 986.25

3 000 – 63.75 = 2 936.25

2 000 – 58 = 1 942

Valeur actuelle des anciens effets

986.25 + 2 936.25 + 1 942 = 5 864.50 €

2) calcul de la valeur actuelle du nouvel effet : Nb de jours du nouvel effet = du 6 septembre au 15 décembre = 30 – 6 = 24 jours en sept + 31 jours (octobre) + 30 jours (novembre) + 15 j (décembre) = 100 jours au total On note VN : valeur nominale de l’effet de remplacement Sa valeur actuelle est : VN – VN * 100 / 360 * 9% 3) on cherche VN tel que : Valeur actuelle nouvel effet = valeur actuelle des anciens effets VN – VN * 100 / 360 * 9% = 5 864.50 VN – 0.025 VN = 5 864.50 VN (1 – 0.025) = 5 864.50 Donc VN = 5 864.50 / 0.975 Soit : VN = 6 014.87 € Les trois effets A, B et C sont remplacés par un unique effet de 6 014.87 € Autrement dit, au lieu de payer 1000 € le 31 octobre puis 3000 € le 30 novembre et 2 000 € le 31 décembre (soit au total 6 000 €), le débiteur préfère payer la somme unique de 6 014.88 € le 15 décembre.

A. GUIBERT

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Exercice 8 1) et 2) calcul de la valeur actuelle de chaque effet : On pose x : valeur nominale du deuxième effet de commerce. ANCIEN EFFET A

ANCIEN EFFET B

NOUVEL EFFET

Du 15 novembre au 30 janvier

Du 15 novembre au 15 février

Du 15 novembre au 15 mars

30 – 15 = 15 31 30 0 0 total = 76 jours 4 500

30 – 15 = 15 31 31 15 0 total = 92 jours x

30 – 15 = 15 31 31 28 15 total = 120 jours 10 000

Intérêts

4 500 * 10% * 76/360 = 95

x * 10% * 92/360 = 0.0256 x

10 000 * 10%*120/360 = 333.33

Valeur actuelle

4 500 – 93.75 = = 4 405

x – 0.0256 x = 0.9744 x

10 000 – 333.33 = 9 666.67

Durée Nb de jours - en novembre - en décembre - en janvier - en février - en mars TOTAL Valeur nominale

Valeur actuelle des 2 anciens effets

4 405 + 0.9744 x

2) on cherche x tel que : Valeur actuelle des anciens effets = valeur actuelle du nouvel effet 4 405 + 0.9744 x = 9 666.67 0.9744 x = 5 261.67 x = 5 261.67 / 0.9744 x = 5 399.91 €

A. GUIBERT

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Exercice 9 Remarques : • pour calculer la somme mise à disposition : on retient les agios TTC car la banque prélève les agios TTC. • Pour calculer le taux de revient de l’escompte, on retient les agios HT car la TVA sur les commissions est déductible et donc ne constitue pas une charge (compte 44566 en compta alors que les charges sont dans les comptes 6)

1) Nb de jours : 30 – 14 = 16 en septembre, 31 en octobre, 30 en novembre ; soit : 77 jours Intérêts = 5 000 * 77 / 360 * 8% = 85.56 € Commission indépendante du temps = 5 000 * 0.1% = 5 € Commission fixe TTC = 3 * 1.196 = 3.59 € TOTAL AGIOS TTC 94.15 € Somme mise à disposition = 5 000 – 94.15 = 4 905.85 €

2) calcul des agios HT Intérêts = 85.56 Commission HT = 5 + 3 = 8 Total agios HT = 93.56 € (Ou agios HT = agios TTC – TVA sur commission = 94.15 – 0.196*3 = 93.56) On recherche le taux de revient i tel que : Agios HT = somme mise à dispo * i * durée 93.56 = 4 905.85 * i * 77/360 soit : i = 93.56 / (4 905.85 * 77 / 360) soit i = 8.92%

A. GUIBERT

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Exercice 10 Parce que la TVA sur les commissions est déductible, on compare les conditions proposées par les 2 banques en se basant sur les agios HT BANQUE A

BANQUE B

Intérêts

1000 * n / 360 * 7.2% = 0.2 n

1000 * n / 360 * 9% = 0.25n

Commission indépendante

1 000 * 0.6% = 6

1 000 * 0.6% = 6

Commission fixe HT

5

3

TOTAL AGIOS HT

0.2 n + 11

0.25 n + 9

On cherche n tel que : Total agios banque A = total agios banque B 0.2 n + 11 = 0.25 n + 9 0.05 n = 2 n = 2 / 0.05 = 40 jours si n = 40 jours, les conditions bancaires sont équivalentes si n > 40 jours : ex : n = 50 jours : agios banque A = 0.2n + 11 = 0.2 * 50 + 11 = 21 € agios banque B = 0.25 n + 9 = 0.25 * 50 + 9 = 21.5 € → A est préférable à B si n < 40 jours : ex : n = 30 jours : agios banque A = 0.2n + 11 = 0.2 * 30 + 11 = 17 € agios banque B = 0.25 n + 9 = 0.25 * 30 + 9 = 16.5 € → B est préférable à A

A. GUIBERT

MATH FI – CORRIGE TD CHAP 2

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Corrigé TD chapitre 3

1

CORRIGE TD CHAPITRE 3 : LES ANNUITES Exercice 1 1) valeur future des 6 annuités versées en fin d’année : 1,03 6 - 1 + 70 = 13 006,82 € Vn = 2 000 x 0,03 2) valeur future des 6 annuités versées en début d’année : 1,03 6 - 1 Vn = 2 000 x x 1,03 + 70 = 13 394,92 € 0,03

Exercice 2 1) avec des versements en fin d’année : On cherche l’annuité a tel que : 1,04 12 - 1 65 000 = a 0,04 65 000 * 0.04

Donc a =

1.04 12 - 1

= 4 325.89 €

2) avec des versements en début d’année : On cherche l’annuité a tel que : 1,04 12 - 1 65 000 = a x 1.04 0,04 65 000 * 0.04

Donc a =

(1.04 12 – 1) * 1.04

= 4 159.51 €

Exercice 3 On cherche la durée n tel que : 28 647.33 =

3 000 x

28 647.33 * 0.05 3 000

=

1,05 n - 1 0,05 1,05 n - 1

0.47746 = 1.05 n - 1 1.47746 = 1.05 n ln 1.47746 = n ln 1.05 n=

ln 1.47746 ln 1,05

Donc n = 8 ans A. GUIBERT

MATHEMATIQUES FINANCIERES

1Ere année GEA

Corrigé TD chapitre 3

2

Exercice 4 1 2 I---------I----------I--------------- …… 0 1200 1200

10 6 ans 16 ---------------I-------------------------------------I 1200 capital disponible ?? Valeur acquise par les 10 annuités au bout de 10 ans : 1,06 10 - 1 = 15 816.95 € V 10 = 1 200 x 0,06 Valeur acquise par les 10 annuités six ans après le dernier versement V 16 = 15 816.95 * 1.06 6 V 16 = 22 436.65 €

Exercice 5 Valeur acquise par 40 trimestrialités de chacune 2 000 € : 1,02 40 - 1 = 120 803.97 € Vn = 2 000 x 0,02

Exercice 6 1) valeur actuelle de 13 annuités versées en fin d’année 1- 1,07 - 13 Vo = 500 x = 4 178.83 € 0,07 2) valeur actuelle de 13 annuités versées en début d’année 1- 1,07 - 13 Vo = 500 x x 1.07 = 4 471.34 € 0,07

Exercice 7 1) avec des versements en fin d’année : On cherche l’annuité a tel que : 20 000 =

Donc a =

a

1- 1,04 – 10 0,04

20 000 * 0.04 1- 1,04 – 10

= 2 465.82 €

2) avec des versements en début d’année : On cherche l’annuité a tel que : 20 000 =

Donc a =

A. GUIBERT

a

1- 1,04 – 10 0,04

x 1.04

20 000 * 0.04 (1- 1,04 – 10) * 1.04

= 2 370.98 €

MATHEMATIQUES FINANCIERES

1Ere année GEA

Corrigé TD chapitre 3

3

Exercice 8 1ère méthode : calcul à la date 0 : Valeur actuelle des 5 annuités de 10 000 € 1- 1,10 – 5 x 1.1 = 41 698.65 € Vo = 10 000 0,10 La valeur actuelle de ces 5 annuités est inférieure à 41 700 €. Donc il est préférable de recevoir 41 700 € plutôt que 5 annuités de 10 000 €. 2ème méthode : calcul à la fin de la période : o Valeur future des 5 annuités de 10 000 € 1,10 5 - 1 Vn = 10 000 x 1.1 0,10 o

= 67 156.10 €

Valeur future des 41 700 € placés au taux de 10% pendant 5 ans : Vn = 41 700 * 1.10 5 = 67 158.27 €

Exercice 9 On cherche la durée n tel que : 136 273.84 = 20 000 x

136 273.84 * 0.10 20 000

1 - 1,10 - n 0,10

= 1 - 1,10 - n

0.68137 = 1 - 1,10 - n - 0.31863 = - 1,10 – n 0.31863 = 1,10 - n ln 0.31863 = - n ln 1.10 n=

-

ln 0.31863 ln 1.10

Donc n = 12 ans

Exercice 10 On emprunte 15 000 € à la date 0, donc les 15 000 € correspondent à une valeur actuelle, donc pour calculer l’annuité constante a, on utilise la formule d’actualisation : On recherche a tel que : 15 000 =

Donc a =

A. GUIBERT

a

1- 1,055 –

5

0,055

15 000 * 0.055 1- 1,055 – 5

= 3 512.65 €

MATHEMATIQUES FINANCIERES

1Ere année GEA

CORRIGE TD CHAPITRE 4 : LES EMPRUNTS Exercice 1 taux d'intérêt

4% AMORTISSEMENT CONSTANT

ANNEE

K dû en début de période

Amortissemen t du capital

Intérêts

capital dû en fin de période

Annuité

1

10 000

400

2 000

2 400

8 000

2

8 000

320

2 000

2 320

6 000

3

6 000

240

2 000

2 240

4 000

4

4 000

160

2 000

2 160

2 000

5

2 000

0

TOTAL

80

2 000

2 080

1 200

10 000

11 200

AMORTISSEMENT CONSTANT AVEC DIFFERE DE REMB DE 2 ANS ANNEE

K dû en début de période

Intérêts

Amortissemen t du capital

K dû en fin de période

Annuité

1

10 000

400

0

0

10 400

2

10 400

416

0

0

10 816

3

10 816.00

432.64

2 163.20

2 595.84

8 652.80

4

8 652.80

346.11

2 163.20

2 509.31

6 489.60

5

6 489.60

259.58

2 163.20

2 422.78

4 326.40

6

4 326.40

173.06

2 163.20

2 336.26

2 163.20

7

2 163.20

0.00

TOTAL

86.53

2 163.20

2 249.73

1 297.92

10 816.00

12 113.92

REMBOURSEMENT IN FINE DU CAPITAL ANNEE

K dû en début de période

Intérêts

Amortissemen t du capital

Annuité

capital dû en fin de période

1

10 000

400

0

400

10 000

2

10 000

400

0

400

10 000

3

10 000

400

0

400

10 000

4

10 000

400

0

400

10 000

5

10 000

0

TOTAL

400

10 000

10 400

2 000

10 000

12 000

REMBOURSEMENT PAR ANNUITES CONSTANTES ANNEE

K dû en début de période

Intérêts

Amortissemen t du capital

Annuité

capital dû en fin de période

1

10 000.00

400.00

1 846.27

2 246.27

8 153.73

2

8 153.73

326.15

1 920.12

2 246.27

6 233.61

3

6 233.61

249.34

1 996.93

2 246.27

4 236.68

4

4 236.68

169.47

2 076.80

2 246.27

2 159.88

5

2 159.88

86.40

2 159.88

2 246.28

0.00

1 231.36

10 000.00

11 231.36

TOTAL

calcul de l'annuité constante a = 10 000 * 0,04 / (1-1,04^ -5) =

2 246.27

Exercice 2 Une entreprise emprunte 60 000 € au taux de 5%. Remboursement par annuités constantes sur 20 ans. Sans construire le tableau d’amortissement de l’emprunt, calculer le capital remboursé au bout de 12 ans et en déduire le capital restant dû au bout de 12 ans. Nous avons vu en TD, ou vous devez savoir que dans le cas d’amortissement par annuité constante, chaque amortissement du K dans ce type d'emprunt est égal à l’amortissement de la période précédente multiplié par (1+i) où i représente le taux d’intérêt nominal. On réalise qu'on a affaire à une suite géométrique de raison (1+i). Ce que nous cherchons (la somme totale remboursée au bout de 12 ans), c’est donc la somme des n premiers termes d’une suite géométrique avec n=12. Si en plus on se souvient de la sommes des termes d'une suite géométrique ou plus simplement de l'actualisation d'annuités vu au chapitre précédent, alors on sait que le capital remboursé au bout de p périodes également appelé dette amortie est égal à :

= Am1 *

(1+i) p - 1 i

Ici Am1 est l’amortissement de la première année… soit l’annuité constante moins les intérêts de la première année. L’annuité constante est de 4814.56 (je vous laisse le vérifier, vous devez connaitre la formule de l’annuité constante). Les intérêts de la première année sont évidemment de 60 000 *0.05=3000 donc l’amortissement est de 1814.56. Donc la partie remboursée au bout de 12 ans est de : 1814.56 * ((1,05)12-1)/0,05 = 28882.5 Honnêtement, il aurait été aussi rapide de construire un tableau d’amortissement pour répondre à cet exercice, mais : i) Ce n’était pas la question posée ii) La méthode proposée ici est beaucoup plus rapide si on a affaire à un nombre très important d’annuités (par exemple dans le cas d’un emprunt immobilier avec 240 mensualités…) Exercice 3 : plusieurs étapes : 1) On cherche le taux d’intérêt i tel que : Intérêts = K restant dû en début * i 3 349.32 = 66 986.45 * i Donc i = 3 349.35 / 66 986.45 Donc i = 5% 2) Montant de l’annuité constante: a = amortissement du capital + intérêts a = 12 122.86 + 3 349.35 a = 15 472.18 € 3) Finir le tableau jusqu’à la dernière année (quand capital final = 0) Pour le corrigé : cf le fichier excel). On obtient n = 8 années 4) On peut en déduire le montant emprunté Vo : 1 – (1+i) - n Vo = ax i 1 - 1,05 - 8 Vo = 15 472.18 x 0,05 Vo = 100 000 €

Exercice 4 1) valeur des différents flux (attention remboursement in fine): o Valeur des 3 premières annuités = 500 000 * 0.105 = 52 500 € o Valeur de la 4ème annuité = 500 000 + 52 500 = 552 500 € o Somme reçue = 500 000 – 9 000 = 491 000 € 2) représentation des flux : 0 1 2 3 4 I------------------I-------------------I------------------I--------------------I 491 000 - 52 500 - 52 500 - 52 500 - 552 500 3) on calcule le TEG t tel que : S= Somme reçue - valeur actuelle des annuités = 0 1 – (1 + t) – 3 S=491 000 - [52 500 x + 552 500 * (1 + t) – 4]=0 t PS : pour la fraction, on retient - 3 pour l’exposant puisqu’il y a 3 flux égaux à 52 500 €. Pour actualiser les 552 500 € on retient exposant – 4 puisqu’il faut revenir 4 ans en arrière. 4) pour résoudre cette équation, il faut passer par l’interpolation linéaire : On recherche 2 valeurs proches de t (idéalement une juste au-dessus, l’autre juste en dessous) : o

o

o

On remplace t par 11% (il faut 1 taux > à 10.5% puisque le TEG est > au taux d’intérêt) 1 – 1.11 – 3 - 552 500 * 1.11 – 4+ 491 000 = -1243.89 -52 500 x 0.11 On remplace t par 12% (il faut 1 taux plus élevé pour avoir 1 valeur supérieure à 0) 1 – 1.12 – 3 - 52 500 x = +13780.12 € - 552 500 * 1.12 – 4+ 491 000 0.12 Donc on peut en déduire : 11% < t < 12%

On résout l’équation qui pose que la pente de la droite est égale à elle-même (faites un graphique avant si nécessaire, ou rappelez-vous les graphiques vu en TD) :

Zone1

Zone 2

13780

-1243.89

12% 11%

Dy/dx = pente du segment en gris 13780- (-1243.89) 12%-11%

=

13780 - 0 12%-t

Je vous laisse résoudre cette équation, on trouve : t = 11.08 %

Exercice 5 Attention ! dans l’énoncé on ne parle pas de différé total mais de différé de remboursement seulement !! La correction ne correspond donc pas à celle de l’exercice 5 !! Enoncé : L’entreprise Z emprunte 100 000 € remboursables par annuités constantes sur 5 ans, mais avec un différé de remboursement de 1 an. Aucun remboursement n’est versé par l’entreprise Z la 1ère année. Le remboursement commence à partir de la 2ème année au taux de 12%. Les frais d’émission de l’emprunt, décaissés lors de la signature du contrat, s’élèvent à 3% du montant emprunté. 1) recherche des différents flux L’énoncé précise que le différé ne porte que sur les remboursements pendant un an. On paye donc uniquement les intérêts la première année (100 000*12%=12 000) et le capital restant dû au bout de 1 an ne varie pas et reste égal à 100 000 euros. On considère qu’il y a ensuite 5 annuités a (puisque on nous parle de 5 annuités constante). Valeur des différents flux (attention remboursement par annuités constantes): o Montant de l’annuité constante : on recherche a tel que : 1- 1,12 – 5 100 000 = a 0,12 Donc a = o

100 000 * 0.12 1- 1,12 – 5

= 27740.97 €

Somme reçue = 100 000 – 0.03 * 100 000 = 97 000 €

2) représentation des flux : 0 1 2 3 4 5 6 I--------------I---------------I---------------I----------------I----------------I--------------------] 97 000 -12000 -27740.97 -27740.97 -27740.97 -27740.97 -27740.97 Attention : la formule suivante : 1- (1 + t) - 5 -27740.97 t correspond à la valeur à la date 1 des 5 annuités de -27740.97€, donc pour avoir la valeur actuelle de ces annuités (à la date 0), il faut actualiser la formule précédente sur 1 an. Valeur actuelle des 4 annuités : 1- (1 + t) - 5 -27740.97 * (1 + t) - 1 t

3) on cherche le TEG t tel que : S= Somme reçue - valeur actuelle des annuités=0 12 000 S= 97 000 -

1

(1+t)

- 27740.97

4) Par interpolation linéaire, on obtient : t = 12.99%

x

1- (1 + t) - 5 t

x (1 + t) – 1= 0

Exercice 6 Attention : o Le remboursement se fait par mensualités et non pas par annuités, il faut donc utiliser un taux mensuel, on vous précise que le taux mensuel est déterminé de façon proportionnelle o Les frais d’assurance sont payés tous les mois, o Pas de remboursement de capital pendant 2 ans. Taux mensuel proportionnel = 7,8% / 12 = 0.65% 1) Mensualités des 2 premières années = intérêts + frais d’assurance = 50 000 * 0.65% + 50 000 * 0.05% = 350 € 2) mensualités des 6 dernières années Au cours des 6 années suivantes, il y a 6 * 12 = 72 mensualités notées m, donc on recherche m tel que : 1- (1 + 0.65%) – 72 50 000 = m 0,65% 50 000 * 0.65%

= 871.79 € 1- 1,0065 – 72 A cette mensualité, il faut rajouter l’assurance mensuelle fixe de : 50 000 * 0.05% = 25 € Mensualités avec assurance = 871.79 + 25 = 896.79 € Donc m =

3) représentation des flux : 24 mensualités de 350 € 72 mensualités de 896.79 € 96 0 24 I-----------I--- …… -------------I-----------I---------------------------- ……. -------------------I 50 000 350 350 896.79 896.79 Valeur actuelle des 24 mensualités de 350 € : 1- (1 + t) - 24 350 x t Attention : la formule suivante : 1- (1 + t) - 72 896.79 x t correspond à la valeur à la date 24 des 72 mensualités de 896.79 €, donc pour avoir la valeur actuelle de ces annuités (à la date 0), il faut actualiser la formule précédente sur 24 mois : Valeur actuelle des 72 mensualités : 1- (1 + t) - 72 896.79 x x (1 + t) - 24 t 4) on recherche le TEG mensuel noté t tel que : S= Somme reçue - valeur actuelle des annuités =0 S=50 000 -

350 x

1- (1 + t) - 24 t

+ 896.79 x

Par interpolation linéaire, on obtient : t = 0.72% soit un taux annuel de : 0.72% * 12 = 8.64%

1- (1 + t) - 72 t

x (1 + t) – 24=0

Corrigé TD chapitre 5

1

CORRIGE TD CHAPITRE 5 : INTRODUCTION A LA GESTION DE TRESORERIE Exercice 1 Date nov 01 fév 03 mai 04 août 05 nov 06 N° des trim. : 0 5 10 15 20 I------------------I-------------------I-----------------------I------------------------I 30 000 30 000 - 20 000 S ?? Capital disponible 100 000 € Capital disponible fin février 2003 après le dépôt de 30 000 € = 30 000 * 1,025 5 + 30 000 = 63 942.25 € Capital disponible fin mai 2004 après le retrait de 20 000 € = 63 942.25 * 1.025 5 – 20 000 = 52 344.78 € Capital disponible fin août 2005 après le versement S = 52 344.78 * 1.025 5 + S = 59 223.32 € + S Capital disponible fin nov 2006 = (59 223.32 € + S)* 1.025 5 Donc, on cherche S tel que ce dernier capital soit égal à 100 000 € : (59 223.32 + S)* 1.025 5 = 100 000 59 223.32 + S = 100 000 / 1.025 5 59 223.32 + S = 88 385.43 S = 88 385.43 - 59 223.32 S = 29 162.11 €

Exercice 2 1) valeur acquise par les 15 annuités : Valeur acquise par les 5 annuités de 1 000 € : Au bout de 5 ans : V5 =

1,06 5 - 1

1 000 x

0,06

Au bout de 15 ans : V15 = 5 637.09 * 1.06

10

= 5 637.09

= 10 095.17 €

Valeur acquise par les 5 annuités de 1 500 € : Au bout de 10 ans : V10 =

1,06 5 - 1

1 500 x

0,06

Au bout de 15 ans : V15 = 8 455.64 * 1.06

5

= 8 455.64

= 11 315.55 €

Valeur acquise par les 5 annuités de 2 000 € : Au bout de 15 ans : V15 =

2 000 x

1,06 5 - 1 0,06

= 11 274.19

Capital disponible au bout de 15 ans = 10 095.17 + 11 315.55 + 11 274.19 = 32 684.91 2) valeur actuelle des 15 annuités versées en fin d’année : Valeur actuelle des 5 annuités de 1 000 € : 1 - 1,06 - 5 V0 = 1 000 x = 4 212.36 0,06 Valeur actuelle des 5 annuités de 1 500 € : PERDREAU/BOUKHRISSI/FERRARIS

MATHEMATIQUES FINANCIERES1Ere année GEA

1

Corrigé TD chapitre 5 V5 =

2 1 500 x

1 - 1,06 - 5 0,06

= 6 318.55

V0 = 6 318.55 * 1.06 – 5 = 4 721.58 € Valeur actuelle des 5 annuités de 2 000 € : 1 - 1,06 - 5 V10 = 2 000 x 0,06

= 8 424.73

V0 = 8 424.73 * 1.06 – 10 = 4 704.32 € Valeur actuelle des 15 annuités = 4 212.36 + 4 721.58 + 4 704.32 = 13 638.26 € (ou de façon + rapide si on a calculé la valeur acquise auparavant : valeur actuelle = 32 684.91 * 1.06-15 = 13 638.27)

Exercice 3 Nombre de versements : de 2002 à 2017 compris : 16 versements Capital disponible le 01/12/2017 : 1,10 16 - 1 10 000 x = 359 497.30 0,10 Capital disponible le 01/12/2018 = 359 497.30 * (1 + 10 %) = 395 447.03 € Capital disponible le 01/12/2022 = 395 447.03 * 1.10 4 = 578 973.99 €

Exercice 4 NB : l’esprit de cet exercice est de montrer que, en finance, on calcule toujours dans un premier temps la rentabilité d’une opération avant toute prise en compte du financement. Dans un second temps, nous n’avons plus qu’à comparer la rentabilité du placement au cout du financement. Si la rentabilité du placement est supérieure au coût de son financement, on entreprend le projet ; sinon on laisse tomber. Si on procède ainsi, en séparant « rentabilité de l’investissement » et « coût du financement de l’investissement », c’est (hors raisons plus théoriques…et d’ailleurs non vérifiées dans la réalité !) parce que cela permet de revenir sur notre décision si, par exemple, le coût du financement venait à changer sans que le projet d’investissement ne soit impacté (on n’a dans ce cas pas à refaire de calculs). (En conséquence, il convient de ne pas raisonner en flux de trésorerie net des décaissements liés au financement, mais de privilégier l’approche ci-dessous : i) on calcul la rentabilité (TRI) de l’opération, puis ii) comparer le TRI au coût du financement) 0 1 2 I------------------I-------------------I----------- 400 000 30 000 30 0000

……….

10 ------------I 30 000 + 500 000

1) on recherche le taux de rendement t de l’opération tel que : Somme décaissée = valeur actuelle des encaissements

PERDREAU/BOUKHRISSI/FERRARIS

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2

Corrigé TD chapitre 5 400 000 =

3 30 000 x

1- (1 + t) - 10

+ 500 000 x (1 + t) – 10

t Par interpolation linéaire, on obtient : t = 9,13%

On peut donc en déduire que l’opération est intéressante pour Michel puisque le taux de rendement est supérieur au taux de l’emprunt.

2) soit x le prix de vente en dessous duquel l’opération pourrait devenir catastrophique 0 1 2 I------------------I-------------------I----------- 400 000 30 000 30 0000

10 ------------I 30 000 x ?? L’opération est neutre pour Michel si la valeur actuelle des encaissements est égale à la valeur actuelle des décaissements…en prenant un coût du financement (donc un taux d’actualisation) de 8%. Donc, on cherche x tel que : 1- (1 + 8%) - 10 400 000 = 30 000 x + x * (1 + 8%) – 10 8%

400 000 =

201 302.44

198 697.56 =

x =

……….

+ x * (1 + 8%) – 10

x * (1 + 8%) – 10

198 697.56 (1 + 8%) – 10

= 428 973.13 €

Donc le risque semble assez faible puisque l’opération est « rentable » (créatrice de richesse) dès lors que Michel parvient à vendre l’appartement à un prix supérieur à 428 973 €, montant assez faible à comparer du prix de vente espéré de 500 000 €.

Exercice 5 1) avec des versements réalisés en fin d’année, 0 1 2 3 4 5 6 I---------------I------------------I------------------I------------------I------------------I------------------I 0 -13 235 - 13 235 - 13 235 - 13 235 - 13 235 -13 235 Capital disponible 90 000 € Attention : les 90 000 € correspondent à une valeur future, donc pour calculer le taux de rendement t, il faut utiliser la formule de capitalisation ou alors actualiser les 90 000 € o 1ère solution (la + rapide) : on recherche t avec une formule de capitalisation donc on se place à la date 6 (1 + t) 6 - 1 90 000 = 13 235 x t PERDREAU/BOUKHRISSI/FERRARIS

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3

Corrigé TD chapitre 5

4

Pour résoudre cette équation, il faut passer par l’interpolation linéaire : En remplaçant t par 4 %, on a : 1.04 6 - 1 13 235 x = 87 787.43 0.04 En remplaçant t par 5 %, on a : 1.05 6 - 1 13 235 x = 90 023.32 0.05 Donc t est compris entre 4% et 5% On résout : t – 0.04 90 000 – 87 787.43 = 0.05 – 0.04 90 023.32 – 87 787.43 t – 0.04 0.01

= 0.99

t – 0.04 = 0.0099 t = 0.0499 t = 4.99 % o

2ème solution : on recherche t avec une formule d’actualisation, dans ce cas, il faut penser à actualiser les 90 000 € au taux t : donc on se place à la date 0

90 000 * (1+t)

–6

=

13 235 x

1- (1 + t) - 6

t On résout alors l’équation suivante (on regroupe les t du même côté) 1- (1 + t) - 6 0= 13 235 x - 90 000 * (1+t) – 6 t Par interpolation linéaire, on obtient t = 4.99%

PERDREAU/BOUKHRISSI/FERRARIS

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4

Corrigé TD chapitre 5

5

2) avec des versements réalisés en début d’année, 0 1 2 3 4 5 6 I---------------I------------------I------------------I------------------I------------------I------------------I - 13 235 -13 235 - 13 235 - 13 235 - 13 235 - 13 235 0 Capital disponible 90 000 € On cherche le taux de rendement t tel que (formule de capitalisation avec versements en début d’année) (1 + t) 6 - 1 90 000 = 13 235 x * (1+t) t Par interpolation linéaire, on obtient t = 3.59%

Exercice 6 1) représentation des flux : 01/01/2004 31/12/2004 31/12/2005 30/06/2006 I---------------------------I--------------------------------I-----------------------------I - 15 1 1,2 16 (Puisque les flux sont tous différents, il faut utiliser la formule : Co = Cn * (1+i)- n) 2) on cherche le taux de rendement t tel que (le calcul peut se faire au niveau d’une action) : Valeur actuelle des décaissements = valeur actuelle des encaissements 15 = 1 * (1+t)-1 + 1.2 * (1+t)-2 + 16 * (1+t)-2.5 Par interpolation linéaire, on obtient : t = 8.47%

Exercice 7 : objectif : calculer le coût de la location pour déterminer le mode de financement le plus économique : emprunt ou location ? (si on intégrait l’impôt cela ajouterait quelques calculs préalables pour comparer de façon pertinente coût du leasing et coût du financement classique, on n’en tient pas compte en 1ere année). 12 mensualités de 545 € 12 mensualités de 860 € 36 mensualités de 1 060 € 0 1 12 13 24 25 60 I------------I------- ......--------I-----------I---------- ..........-------I-----------I------- …. ------------I 50 500 -545 -545 -860 - 860 -1 060 - 1 060 -14 393 Valeur actuelle des 12 mensualités de 545 € : 545 x

1- (1 + t) – 12 t

Valeur actuelle des 12 mensualités de 860 € de la 2ème année (attention, il faut penser à multiplier par (1+t) – 12 sinon la valeur obtenue serait celle de la date 12 860 x

1- (1 + t) – 12

* (1+t) – 12

t Valeur actuelle des 36 mensualités de 1060 € des 3 années suivantes (attention, il faut penser à multiplier par (1+t) – 24 sinon la valeur obtenue serait celle de la date 24 PERDREAU/BOUKHRISSI/FERRARIS

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Corrigé TD chapitre 5 1 060 x

6

1- (1 + t) – 36

* (1+t) - 24

t On recherche t le taux de revient mensuel de la location tel que : Valeur actuelle du fourgon = valeur actuelle des mensualités : 50 500 = 14 393 + 545

1- (1 + t) – 12

+ 860

1- (1 + t) – 12

t

* (1+t)

- 12

+1 060

1- (1 + t) – 36

t

* (1+t) - 24

t

Interpolation linéaire : Pour t = 1%, on a : 14 393 + 545

1- 1.01 – 12

+ 860

1- 1.01 – 12

0.01

* 1.01 - 12

+1 060

0.01

1- 1.01 – 36

* 1.01 - 24

= 54 251.31

* 1.02 - 24

= 44 125.52

0.01

Pour t = 2%, on a : 14 393 + 545

1- 1.02 – 12

+ 860

1- 1.02 – 12

0.02 Donc : 1% < t < 2% On cherche t tel que : t – 0.01 0.02 – 0.01

* 1.02 - 12

+1 060

0.02

=

1- 1.02 – 36 0.02

50 500 – 54 251.31 44 125.52 – 54 251.31

t – 0.01

= 0.37 0.01 t – 0.01 = 0.0037 t = 0.0137 On obtient : t = 1.37% On peut en conclure que le crédit-bail est plus coûteux que l’emprunt (1.37% > 1.17%)

Exercice 8 Pour connaître le montant des nouvelles annuités, on a besoin de calculer le capital restant dû au bout de 3 ans On cherche l’annuité a tel que : 1 – 1.085 – 10 3 000 000 = a 0,085 Donc a =

3 000 000 * 0.085 1 – 1.085 – 10

= 457 223.12 € = 457.22 k€

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MATHEMATIQUES FINANCIERES1Ere année GEA

6

Corrigé TD chapitre 5

7

TABLEAU D’AMORTISSEMENT DE L’EMPRUNT : chiffres en K€ Année

K restant dû

Intérêts

Amortissement

Annuité

K restant dû

1

3 000

255

457.22-255 =202.22

457.22

300-202.22 = 2 797.78

2

2 797.78

237.81

219.41

457.22

2 578.37

3

2 578.37

219.16

238.06

457.22

2 340.31

4

INUTILE

INUTILE

INUTILE

INUTILE

INUTILE

5

INUTILE

INUTILE

INUTILE

INUTILE

INUTILE

Montant restant dû au bout de 3 ans = 2 340 302.68 € Les 4 nouvelles annuités doivent donc permettre de rembourser 2 340 302.68 € : 1 – 1.085 – 4 2 340 302.68 = a 0,085 On obtient a = 714 466.07 €

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