Corrigé Cas 1 Histogramme [PDF]

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Corrigé du Cas 1 : Utilisation de l’histogramme pour la maîtrise du processus de fabrication dans une entreprise

La société "Luminor" fabrique des ampoules incandescentes. Pour ce faire, la machine M12 émet une certaine quantité de poudre spéciale sur les parois inférieures des ampoules, pour les rendre opaques. Plus la couche de la poudre est épaisse, plus l’ampoule est opaque. La mesure de l’opacité est obtenue en mesurant la déflexion d’un jet de lumière passant à travers l’ampoule. Plus la déflexion est élevée, plus l’opacité est faible. La déflexion souhaitée est comprise dans l’intervalle [22 ; 28]. Monsieur Ali, responsable de la machine M12 obtient pour 40 ampoules les déflexions suivantes (échantillon rangé).

23,1

24,5

24,9

25,3

25,7

26,0

26,5

26,7

23,4

24,6

25,0

25,5

25,7

26,0

26,6

27,0

23,7

24,8

25,2

25,5

25,8

26,2

26,6

27,3

24,3

24,8

25,3

25,6

25,9

26,4

2.6,7

28,2

24,3

24,8

25,3

25,7

25,9

26,4

26,7

28,5

Tableau 1: Données concernant la déflexion

a) Remplissez la fiche de dépouillement pour ces données ?

n = ……40…….

Donc k =n1/2= 6.32455 => nombre de classe K= 6

et

E= Xmax-Xmin= 28.5-23.1=5.4 , E/K=5.4/6= 0.9 donc A = 1 Caractéristique relevée :

Agent : Monsieur ALI

Taille de l’échantillon : n = 40

Lieu/Machine : M12

Date : 08/10/2020

Observation : ………………………… Ci

Classes

Centre classe

Effectif ni

ni Ci

ni Ci2

fi %

fCi  = Fi

N°

Intervalle

1

23 – 24

23.5

3

70.5

1656.75

7.5%

7.5%

2

24 – 25

24.5

8

196

4802

20%

27.5%

3

25 – 26

25.5

14

357

9103.5

35%

62.5%

4

26 – 27

26.5

11

291.5

7724.75

27.5%

90%

5

27 – 28

27.5

2

55

1512.5

5%

95%

6

28 – 29

28.5

2

57

1624.5

5%

100%

 ni = n

 ni Ci

 ni Ci2

 fi

40

1027

26424

100%

Total

1

Tableau 2: Exemple de fiche structurée de dépouillement des données

a) Tracez l’histogramme des fréquences absolues et relatives ? L’histogramme des fréquences absolues des mesures de la déflexion

16 14 12 10 8 6 4 2 0 23.5

24.5

25.5

26.5

27.5

28.5

L’histogramme des fréquences relatives des mesures de la déflexion

35% 35%

28%

30% 20%

25% 20% 15%

8%

5%

10%

5%

5% 0% fi %

Classe 1

Classe 2

Classe 3

Classe 4

Classe 5

Classe 6

Observations : 33 des valeurs obtenues se focalisent entre 24 et 27 , elles font partie des classes 2, 3 et 4 soit 83% des mesures réalisées 2

La classe modale est la classe 3 avec une fréquence relative égale à 35% 38 parmi les 40 mesures effectuées se trouvent entre 22 et 28 : soit 95% des mesures réalisées

b) Combien y-a-t-il de valeurs sous 22 ? Combien y-a-t-il de valeurs sur 28 ? Il n’y a aucune valeur en dessous de 22 Il ya 2 valeurs supérieures à 28 (classe 6 : 28.2 et 28.5) Quelle est la valeur de la moyenne ? interprétez ? Moyenne : X̅ =∑ (C𝑖 *n i )/n= 25.675 Etant donné que la deflexion souhaité doit être comprise dans l’intervalle [22 , 28] On peut remarquer depuis les 40 mesures effectuées que leur moyenne correspond au centre de cet intervalle b) Quelle est la valeur de la médiane ? interprétez ? Classe médiane : classe 3, Me = BI + a . [ (n ̸2) – F ] / fMe Bi=25 A=1 F= 3+8=11 fMe = 14 Me= 25+1* [ (40/2) – 11] / 14= 25.642857 La médiane est la valeur qui permet de découper l’ensemble des mesures de deflexion en deux parties exicos On peut constater que Me et X̅ ont des valeurs très proches c) Quelle est la valeur du mode ? interprétez ? Classe modale : dont la fréquence est la plus élevée : classe 3 Le mode correspond au Centre de la classe modale : Donc Mo= 25.5 On peut interpréter que Mo est très proche de Me et X̅ d) Qu’en déduisez-vous sur la forme de la distribution de la déflexion mesurée ? Etant donné que Mo, Me et X̅ sont à valeurs persque égales, alors on peut dire que la distribution de la deflexion est presque symétrique e) Quelle est l’étendue des données ? la variance et l’écart-type ? interprétez ?

L’étendue : E= Xmax-Xmin= 28.5-23.1=5.4 La variance 𝑆 2 = [∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖 2 − (∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖) 2 ⁄𝑛 / ] 𝑛 – 1= 16.5158938 D’où : L’écart type : S=4.0639751266 CV= S/ X̅ *100 = 15.827% On a CV est faible, on peut dire que la série de données est concentrée autour de la moyenne X̅, Alors X̅ est bien représentative de l'ensemble des mesures Cette série est homogène et on a une faible dispersion au niveau des mesures effectuées.

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f) Quelle devrait être la moyenne pour avoir un intervalle respecté [22 ; 28] ? Elle doit être égale à 25 g) Combien de valeurs sont inférieures à 25 ? Combien de valeurs sont supérieures à 25 ? Valeurs inférieures à 25 : 11 Valeurs supérieures à 25 : 28 h) Le chef de production dit à monsieur Ali que la machine M12 émet plus de poudre qu’il ne faut. Qu’en pensez-vous ? Le Chef de production n’a pas raison : la moyenne des déflexions calculée au niveau des 40 observation, le mode et la médiane sont supérieure à la moyenne exigée (25). La déflexion est élevée, l’opacité est faible et la quantité de poudre émise est faible non suffisante. La quantité de poudre émise par la machine M12 n’est pas suffisante. i) Que conseilleriez-vous à Monsieur Ali ? Il faut ajuster et régler la machine pour émettre plus de poudres.

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