Correction Tomic Positionnement A3 Fisa Info 05 10 2021 - 2021 [PDF]

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TOMIC positionnement A3 FISA Info 05/10/2021

05/10/2021 A3 TOMIC Test positionnement Calculer Ce test TOMIC de positionnement de niveau bac+2 est décomposé en plusieurs sections liées à des compétences. Ceci va vous amener à pouvoir identifier le type de compétences évaluées. Après avoir terminé ce test, vous pourrez analyser votre score selon les différentes compétences et les différents chapitres traités. Ce test dure 3H sans calculatrice. Il est important de bien lire les consignes et de respecter les arrondis demandés.

 Question 1

Soit

Question valeur numérique

une suite numérique réelle tel que et comme avec le premier terme et

Donner la valeur de la raison

. Cette suite est dite arithmétique donc on peut écrire la suite la raison.

:

Réponse attendue [2;2]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 2

Question valeur numérique

La loi de Poisson, dans sa définition mathématique est une loi de probabilité suivie par une variable aléatoire mesurant le nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps donné, lorsque ceux-ci sont plutôt rares et indépendants. Mais, associée aux données footballistiques, elle peut produire un modèle simple et crédible afin de chiffrer le score le plus plausible. Par exemple, nous savons que l'OM a marqué 80 buts cette saison, soit 2 buts par match en moyenne. On note la variable aléatoire du nombre de buts marqués par l'OM durant un match. En appliquant la loi de distribution de Poisson, donner la probabilité que Marseille marque 1 but (en pourcentage arrondi à l'unité) On rappelle que la probabilité que l'OM marque l'espérance de

buts pendant le match, se calcule comme suit :

avec

.

Indication :

Réponse attendue [ 27 ; 27 ]  Commentaire de correction de la proposition

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 Question 3

Question à réponse unique

On donne ci-dessous le tableau de contingence d’une série double

:

Supposons que les variables statistiques et sont indépendantes. Déterminer les effectifs conjoints Choisir les valeurs dans l'ordre donné ci-dessus. Réponse attendue A



12 ; 4 ; 18 ; 6

B



5 ; 6 ; 8 ; 10

C



10 ; 25 ; 8 ; 35

D



2 ; 10 ; 9 ; 15

E



5 ; 17 ; 3 ; 15

 Question 4

Soit un nombre complexe

Question valeur numérique

défini tel que

.

Donner la valeur du module de Réponse attendue [1;1]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 5

Le PGCD du couple

Question valeur numérique

est

Réponse attendue [ 12 ; 12 ]  Commentaire de correction de la proposition

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 Question 6

Soit

Question valeur numérique

, déterminer le déterminant de

Réponse attendue [ 11 ; 11 ]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 7

Question valeur numérique

Soit avec défini par son équation cartésienne : On prend les coordonnées du point

.

Donner la valeur de Réponse attendue [8;8]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 8

Question valeur numérique

Soit le mot TOMIC Sans tenir compte de la signification, combien y-t-il d'anagrammes de ce mot, c'est à dire de façons différentes d'en ordonner les lettres ? Réponse attendue [ 120 ; 120 ]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 9

Trouver l'expression de la solution de l'équation différentielle suivante :

Question à réponse unique

avec

Réponse attendue A



B



C



D



E



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 Question 10

Question valeur numérique

Soit l'intégrale

.

Donner la valeur de l'intégrale au dixième Réponse attendue [ 1.5 ; 1.5 ]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 11

Question valeur numérique

Sachant que

, décomposer

en éléments simples

et donner la valeur de

.

Réponse attendue [1;1]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 12

Question valeur numérique

On souhaite déterminer le développement en série de Fourier de la fonction Donner la valeur de Indication :

-périodique définie sur

par

au centième.

Réponse attendue [ 1.56 ; 1.58 ]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 13

Soit

Question à réponse unique

un champ scalaire.

Quelles sont les coordonnées du vecteur

gradient de

définie par

en

?

Indication : les coordonnées du gradient sont les dérivées partielles du premier ordre selon chaque direction. Réponse attendue A



B



C



D



E



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 Question 14

Question à réponse unique

Calculer le laplacien

de

définie par

Indication : Le laplacien est la somme des dérivées partielles du premier ordre selon chaque direction. Réponse attendue A



B



C



D



E



 Question 15

Soient

Question valeur numérique

et

Donner l'aire du parallélogramme défini par les deux vecteurs : Indication : penser au déterminant ou au produit vectoriel Réponse attendue [5;5]  Commentaire de correction de la proposition

 Commentaire de correction de la question det (u, v)= abs(16-21)=5 (det(u,v)=||u||.||v||.sin(u,v) ) det(u,v)=xy'-yx' avec u(x,y) et v(x',y') ou Aire= sqrt{u²v²-(u;v)²)=sqrt(53*73-62²)=sqrt(25)=5 (plus compliqué sans calculatrice)

 Question 16

Association

Soit la table de la loi ET Remplacer les lettres avec les valeurs attendues :

Élément à associer

Réponse attendue A

0

B

0

C

0

D

1

05/10/2021 A3 TOMIC Test positionnement Raisonner

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 Question 1

Soit la suite

Question valeur numérique

tel que

On a pour tout entier naturel

. ,

Déterminer la limite de la suite

quand

tend vers l'infini.

Réponse attendue [1;1]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 2

Association

On souhaite démontrer la loi des grands nombres. Pour tout réel

avec

la variable aléatoire de moyenne

pour

identiques suivant une loi de probabilité d'espérance

et de variance

variables aléatoires

indépendantes

.

Remettre dans l'ordre les propositions suivantes Élément à associer Pour tout réel

Réponse attendue

donné, l'inégalité de concentration, permet d'écrire :

1

2 Or,

²

d'après le théorème des gendarmes

3 4

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 Question 3

Association

Donner l'ordre logique de cette résolution d'exercice exploitant la méthode de Cramer. Résoudre le système :

Réponse attendue

Élément à associer Le système s'écrit sous forme matricielle :

avec

le déterminant est non nul donc le système possède une solution

1

2

unique 3 La première variable

4 La seconde variable

La solution du système est donc :

5

7/37

 Question 4

Association

On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l'espace du repère orthonormé

On cherche à démontrer que le vecteur

est un vecteur normal au plan

Choisir par ordre chronologique parmi les propositions suivantes les étapes nécessaires : Élément à associer

Réponse attendue On détermine l'équation d'une droite parallèle au plan

inutile pour la démonstration

On vérifie que ces vecteurs forment une base du plan

2

On détermine les vecteurs

1

et

inutile pour la démonstration

On détermine l'équation d'une droite perpendiculaire au plan

On calcule Le vecteur

3

et

est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan conséquent normal au plan On calcule le produit vectoriel des vecteurs de la base

: il est par

4

inutile pour la démonstration

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 Question 5

Association

On souhaite résoudre l'équation différentielle non linéaire d'ordre 1 homogène suivante :

avec Mettre dans l'ordre la résolution. Élément à associer

Réponse attendue 1

En posant on obtient

On peut réécrire le système comme ceci

2 ²

3

²

, et injecter le changement de variable, 4

ce qui est équivalent à

5

ainsi or

6

ainsi

7

donc

8

d'où

 Question 6

Association

Soit On veut calculer le centre de gravité G du domaine D. Donner l'ordre chronologique pour déterminer son ordonnée :

Élément à associer

Réponse attendue

Son ordonnée se détermine en calculant le quotient des intégrales

et et

1

2 3 4

9/37

 Question 7

Association

Donner l'ordre logique pour la résolution de l'équation différentielle avec la condition initiale suivante en utilisant les transformées de Laplace

Élément à associer

Réponse attendue 1

2

3 4 5

6

 Question 8

Soit un signal décrit par

Question valeur numérique

représenté dans le domaine temporel par :

Quelle est l'amplitude de la 3ème harmonique ?

Réponse attendue [0;0]  Commentaire de correction de la proposition

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 Question 9

Soit

Association

une force potentielle (ou force dérivant d'un potentiel) c'est à dire que l'on peut l'écrire avec

potentielle en respectant cette égalité : Prenons

et

à la condition que le rotationnel de

une énergie

soit nul

.

,on propose la force

Vérifions que cette force peut être définie comme une force potentielle. (Mettez dans l'ordre la démonstration) Réponse attendue

Élément à associer On calcule donc le rotationnel de la fonction

proposée en calculant les différentes coordonnées de

1

en respectant ici l'ordre alors

2

et

3

et

4 La force

peut donc s'écrire comme une force potentielle

 Question 10

5

Question à réponse unique

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si Réponse attendue A



leur produit vectoriel est nul ;

B



leur produit scalaire est nul ;

C



leur produit vectoriel est nul et leur produit scalaire est nul ;

D



leur produit vectoriel est négatif;

E



leur produit vectoriel est positif;

11/37

 Question 11

Association

En prenant

, on cherche

Élément à associer

Réponse attendue

On calcule en premier

1

On calcule en premier

totalement faux

On calcule en premier

ce n'est pas le bon ordre

On calcule en second

2

On calcule en second

totalement faux

Pour finir

3

Pour finir

totalement faux

05/10/2021 A3 TOMIC Test positionnement Représenter

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 Question 1

Association

Apparier les lois de probabilités à la représentation graphique de leur fonction de masse/densité

Élément à associer

Réponse attendue A

Loi de Poisson

B

Loi géométrique

C

Loi de khi2

D

Loi Normale

E

Loi Binomiale

F

Loi discrète uniforme

 Question 2

Question valeur numérique

Le maire d'une ville a fait comptabiliser le nombre de mégots ramassés annuellement dans la rue principale entre 2014 et 2018. La variable correspond au rang de l'année d'observation et la variable à la quantité en milliers de mégots ramassés. Année 2014 2015 2016 2017 2018 TOTAL Rang xi 1 2 3 4 5 15 Quantité 11 9 8 9 8 45 yi On souhaite calculer les coordonnées du point moyen Donner son abscisse.

.

Réponse attendue [3;3]  Commentaire de correction de la proposition

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 Question 3

Question à réponse unique

Que représente l'ensemble des points d'affixe

tel que

Réponse attendue A



L'ensemble vide

B



Une droite d'équation

C



Une droite d'équation

D



Le cercle de centre

et de rayon 2

E



Le cercle de centre

et de rayon

 Question 4

Association

On considère le graphe suivant :

On construit sa matrice adjacente

telle que

Donner les valeurs des lettres tel que la matrice adajacente correspond au graphe : Élément à associer

Réponse attendue a

0

b

1

c

1

d

1

e

1

f

0

g

0

h

1

i

1

14/37

 Question 5

Question à réponse unique

On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l'espace d'un repère orthonormé

On utilise la représentation ci-après pour déterminer l’équation paramétrique de la droite (FD). Pour , Réponse attendue A



B



C



D



E



15/37

 Question 6

Question à réponse unique

Voici une fractale bien connue appelée triangle de Sierpinski (nom d'un mathématicien polonais) On note le périmètre total des triangles blancs à la n-ième étape. On prend . Quelle expression représente la situation algébrique ?

Le triangle noir, initial, représenté est équilatéral de côté 1. Réponse attendue A



B



C



D



E



 Question 7

Question à réponse unique

Soit avec un réel, on considère que les constantes évoquées constantes réelles que nous déterminons par résolution de . On détermine l'équation caractéristique ordre homogène. On calcule le déterminant : donc l'équation En posant

sont des

associée à l'équation différentielle du second

admet deux racines complexes

et

, on conclut que

avec

deux constantes

réelles. Identifier l'expression parmi les propositions suivantes qui est une condition d’existence de l'équation différentielle une équation différentielle du second ordre :

comme

Réponse attendue A



B



C



D



E



et

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 Question 8

Association

Apparier les propositions avec les représentations graphiques :

Élément à associer

Réponse attendue B D C A

 Commentaire de correction de la question

 Question 9

Association

Apparier la bonne fonction à sa représentation graphique

On notera

la fonction échelon unité (

Élément à associer

). Réponse attendue A B C

17/37

 Question 10

Association

Apparier les images des champs (A-B-C-D) avec les images des opérateurs (1-2-3-4)

Élément à associer

Réponse attendue 1

A

3

B

2

C

4

D

18/37

 Question 11

Association

Apparier les situations géométriques avec les calculs proposés

Élément à associer

Réponse attendue

A : On cherche l'aire du parallélogramme

Produit vectoriel

B : On génère une troisième dimension

Produit vectoriel

C : On détermine une projection

Produit scalaire

D : On cherche l'aire du parallélépipède

Produit mixte

05/10/2021 A3 TOMIC Test positionnement Communiquer  Question 1

Soit

Question valeur numérique

une suite définie pour tout entier naturel par

On sait que la suite est bornée

.

et que la différence de termes consécutifs est

.

Cette différence est strictement positive. La suite est donc croissante, majorée. La suite est donc convergente d'après le théorème de la limite monotone. Déterminer la valeur de la limite de la suite Réponse attendue [3;3]  Commentaire de correction de la proposition

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 Question 2

Question à réponse unique

Dans une société de démarchage téléphonique, on estime que 40% des personnes appelées répondent effectivement. On appelle personnes. La variable aléatoire vaut 1 si la k-ième personne appelée répond et 0 sinon. Les variables aléatoires Soit

sont indépendantes, identiques, de même loi d'espérance

la variable aléatoire moyenne définie telle que

et de variance

.

D'après l'inégalité de concentration, pour tout En prenant

on peut dire :

Réponse attendue A



Lorsque l'on appelle 1000 personnes, la probabilité que le nombre de personnes répondant soit en dehors de l'intervalle est inférieure à 0.024. La précision est de 0.1 et le risque est de 0.024.

B



Lorsque l'on appelle 1000 personnes, la probabilité que le nombre de personnes répondant soit en dehors de l'intervalle est supérieure à 0.024. La précision est de 0.1 et le risque est de 0.024.

C



Lorsque l'on appelle 1000 personnes, la probabilité que le nombre de personnes répondant soit en dehors de l'intervalle est inférieure à 0.024. La précision est de 0.024 et le risque est de 0.1.

D



Lorsque l'on appelle 1000 personnes, la probabilité que le nombre de personnes répondant soit en dehors de l'intervalle est supérieure à 0.024. La précision est de 0.024 et le risque est de 0.1.

E



 Lorsque l'on appelle 1000 personnes, la probabilité que le nombre de personnes répondant soit dans l'intervalle est supérieure à 0.024. La précision est de 0.024 et le risque est de 0.1.

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 Question 3

Question à réponse unique

Une étude portant sur le cancer du sein a été effectuée entre les années 1958 et 1970 à l’Université de Chicago, auprès d’une population de 306 femmes. La répartition de l’âge au moment de la chirurgie, en fonction de l’état de rétablissement (oui ou non) à l’issue du traitement, est représentée ci-dessous. Que peut-on en déduire ?

Réponse attendue A



L’âge médian des patientes rétablies est supérieur à celui des patientes non rétablies.

B



Parmi les patientes rétablies, l’âge minimal est de 30 ans et l’âge maximal est en dessous de 80 ans, en contraste avec ce que l’on observe chez les patientes non rétablies pour qui l’âge minimal est d’environ 35 ans et l’âge maximal dépasse d’environ 5 ans celui des patientes rétablies.

C



Parmi les patientes non rétablies, l’âge minimal est de 30 ans et l’âge maximal est en dessous de 80 ans, en contraste avec ce que l’on observe chez les patientes rétablies pour qui l’âge minimal est d’environ 35 ans et l’âge maximal dépasse d’environ 5 ans celui des patientes rétablies.

D



L’âge médian de patientes rétablies est de 61 ans et celui de patientes non rétablies, de 62 ans.

E



L’étendue de l’âge dans la population de patientes est 72 ans.

 Question 4

Question à réponse unique

Deux entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que Traduire en expression mathématique Indication : est le symbole pour le PGCD est le symbole pour le PPCM Réponse attendue A



B



C



D



E



21/37

 Question 5

Soit

Question à réponse unique

, déterminer le calcul du cofacteur associé au terme

.

Rappel : Le cofacteur associé à un élément

d'une matrice

est le produit du mineur associé à cet élément par

Le mineur associé à un terme est le déterminant obtenu en supprimant dans la matrice terme

.

la ligne et la colonne comprenant ce

Réponse attendue A



B



C



D



E



 Question 6

Question à réponse unique

La solution générale d'une équation différentielle linéaire du 1er ordre de la forme

est donnée par :

Réponse attendue A



La somme d'une solution de l'équation homogène et d'une solution particulière

B



Une solution de l'équation particulière

C



Une solution unique de forme exponentielle

D



La somme d'une solution particulière et de la solution du polynôme caractéristique

E



La somme d'une solution non linéaire et d'une solution de l'équation homogène

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 Question 7

Association

Apparier les situations aux descriptions proposées

Élément à associer

Réponse attendue A

Domaine temporel et fréquentiel

B

Signal avec un déphasage de Phénomène de Gibbs

C

Reconstruction d'un signal par une série de Fourier

D

 Question 8

Question valeur numérique

Donner l'ordre de la méthode de l'interpolation si : elle est exacte pour des fonctions constantes, affines, ou polynomiale d'ordre 2 elle admet une erreur d'interpolation pour des polynômes d'ordre supérieur ou égal à 3

Réponse attendue [2;2]  Commentaire de correction de la proposition

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 Question 9

Association

Apparier les interprétations physiques aux résultats sur l'opérateur de divergence. Considérons un champ quelconque dans un volume d'espace de dimension 3. Ce champ vectoriel est créé par une source ou il peut s'agir d'un champ de vitesse, en hydrodynamique par exemple. Dans ce volume, il peut se passer trois choses : Élément à associer Réponse attendue La divergence est nulle.

rien : il n'existe ni sources (masse, charge électrique positive) ni puits (charge électrique négative) ni modification de la vitesse du fluide incompressible. Les comptables diraient que tout ce qui rentre dans le volume en sort, en quantité strictement égale.

La divergence est positive.

il existe une source de champ dans le volume ou un accroissement de la vitesse du fluide incompressible. Les comptables diraient que le flux a augmenté, il sort du volume plus qu'il n'en est rentré.

La divergence est négative.

il existe un puits dans le volume, par exemple une charge négative. Les comptables diraient que le flux a diminué, il sort du volume moins qu'il n'en est rentré.

 Question 10

Soient deux vecteurs

Question valeur numérique

tels que :

la norme du premier vaut la norme du second vaut La norme de la somme des deux vecteurs vaut Déterminer la valeur du produit scalaire de Rappels : et Réponse attendue [ -1 ; -1 ]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 11

Association

Apparier les définitions aux expressions boolèennes Élément à associer

Réponse attendue négation de la disjonction (non OU) négation de la conjonction (non ET) Associativité négation Idempotence

05/10/2021 A3 TOMIC Test positionnement Chercher

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 Question 1

Question à réponse unique

Dans cet exercice, la « prévalence » désigne la proportion de personnes infectées par un virus dans une population. On note x la prévalence (par exemple x = 0,03 lorsque 3 % de la population ont été infectés par le virus) La valeur de x est encadrée par 0 et 1. On a On choisit une personne au hasard dans une population. Cette personne passe un test sérologique permettant de déterminer si elle a produit des anticorps en réponse immunitaire après avoir été infectée par le virus. La valeur prédictive positive du test (VPP) est la probabilité conditionnelle que la personne ait produit des anticorps sachant que le résultat du test est positif. Une entreprise de l’industrie pharmaceutique produit et commercialise des test sérologiques. Son laboratoire a rédigé une notice jointe à tout contrat de vente. Cette notice indique que la VPP en fonction de la prévalence x est donnée par la fonction définie par . On appelle « Taux de faux positifs » la proportion de personnes testées positives mais n’ayant PAS produit d’anticorps en réponse immunitaire après avoir été infectée par le virus. On note la fonction définie pour qui donne le « Taux de faux positifs » en fonction de la prévalence par . En déduire un encadrement de la prévalence dans lequel le taux de faux positif est inférieur à 10 %.

Réponse attendue A



B



C



D



E



 Question 2

Question valeur numérique

Soient deux variables statistiques qualitatives de modalités et . On donne le tableau des contributions à la valeur de : X/Y C D A 0.05 0.12 B

E 0.32 0.08

0.31 0.21

Donner le nombre de degrés de liberté de la série . Saisir un nombre entier. Réponse attendue [2;2]  Commentaire de correction de la proposition

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 Question 3

Question valeur numérique

Soit un polynôme défini dans par . Les racines de sont : et . On cherche à résoudre le problème suivant : Donner seulement la valeur de la racine réelle :

Réponse attendue [3;3]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 4

Question valeur numérique

Un soir dans une auberge s'arrêtent plusieurs diligences. Des hommes et des femmes s'attablent. Chaque homme doit payer 19 sous et chaque femme 13 sous. A la fin du repas l'aubergiste a récolté exactement 1000 sous. Sachant que les hommes sont en majorité, donner le nombre d'hommes qui ont mangé à l'auberge ce jour-là. Indication : et a pour solution particulière De plus, admet pour ensemble de solutions Réponse attendue [ 41 ; 41 ]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 5

Question à réponse unique

Le rotationnel est calculé par la routine Rotationnel : def Rotationnel(x,y,Fx,Fy): dFx = (diff(Fx,axis=0)/hy)[:,:-1] dFy = (diff(Fy,axis=1)/hx)[:-1,:] return dFy - dFx

Commençons par tracer le champ dont le rotationnel est non nul. Vous pourrez vous en assurer en faisant le calcul manuel. Voici l'aspect du champ, dont vous noterez les "vortex" répartis périodiquement sur le domaine. Certains vortex "tournent" dans le sens horaire et d'autres dans le sens antihoraire. Ceci devrait se traduire dans la valeur du rotationnel. Le rotationnel obtenu à l'aide du script OPDChampRotationnel.py est :

Identifier le champ correspondant.

26/37

Réponse attendue A



A

B



B

C



C

D



D

E



E

27/37

 Question 6

Question à réponse unique

Soit l’équation différentielle La solution complète est donnée par l’expression : Indications : a pour solutions imaginaires et a pour solutions imaginaires 2i et -2i Réponse attendue A



avec

B



avec

C



avec

D



avec

E



avec

 Commentaire de correction de la question

28/37

 Question 7

Question à réponse unique

Retrouver l'original de la transformée de Laplace suivante : Données :

et une fonction échelon unité. Réponse attendue A



En prenant en compte l'original de la fonction et en tenant compte de la multiplication par , l'original recherché est

B



En prenant en compte l'original de la fonction et en tenant compte de la multiplication par , l'original recherché est

C



En prenant en compte l'original de la fonction et en tenant compte de la multiplication par , l'original recherché est

D



En prenant en compte l'original de la fonction et en tenant compte de la multiplication par ,l'original recherché est

E



En prenant en compte l'original de la fonction et en tenant compte de la division par , l'original recherché est

 Question 8

Question valeur numérique

Soit un signal d'un créneau pouvant se décomposer en série de Fourier comme suit : dont la représentation graphique dans le domaine temporel est : Donner une valeur de l'amplitude associée à l'harmonique de pulsation

Réponse attendue [0;0]  Commentaire de correction de la proposition

29/37

 Question 9

Question valeur numérique

est l'ensemble Déterminer le nombre total de permutations de Réponse attendue [ 120 ; 120 ]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 10

Question valeur numérique

Soit ABCD un tétraèdre tel que BCD est équilatéral d'arête a (avec a= ), et les autres faces sont des triangles rectangles en A. Déterminer la distance du point D au plan (ABC)

Réponse attendue [3;3]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 11

Question à réponse unique

On souhaite calculer On pose un changement de variable pour passer en coordonnées polaires et et L'intégrale devient : En pensant à utiliser la séparation des variables (ici le produit de deux intégrales simples), identifier la valeur de l'intégrale. Réponse attendue A



B



C



D



E



05/10/2021 A3 TOMIC Test de positionnement Modéliser

30/37

 Question 1

Association

On souhaite approcher la constante d'Euler avec un programme Python que nous avons récupéré sur Internet :

Il exploite une série harmonique définie pour tout entier naturel non nul . C'est une fonction Python de paramètre donnant une valeur approchée de à On pose On sait que Apparier les lettres avec les bonnes expressions : Élément à associer

Réponse attendue 1

A

1/n

B

p

C

1/n

D

u

E

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 Question 2

Question à réponse unique

Voici la réponse à un problème posé : On note l’évènement « la boule piochée est blanche » et l’évènement « L’urne choisie est la numéro i ». On a donc : La probabilité d’obtenir une boule blanche est donc Retrouver l'énoncé approprié : Réponse attendue A



Trois urnes , contiennent des boules blanches et rouges : contient 3 blanches et 5 rouges ; contient 4 blanches et 2 rouges et contient 1 blanche et 3 rouges. On choisit au hasard une urne et on y pioche une boule. Supposons que les probabilités de choisir sont, respectivement, , et . Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche ?

B



Deux urnes , contiennent des boules blanches et rouges : contient 3 blanches et 5 rouges ; contient 4 blanches et 2 rouges. On choisit une urne et on y pioche une boule. Supposons que les probabilités de choisir sont, respectivement , . OQuelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche ?

C



Trois urnes , contiennent des boules blanches et rouges : contient 4 blanches et 5 rouges ; contient 8 blanches et 2 rouges et contient 1 blanche et 3 rouges. On choisit au hasard une urne et on y pioche une boule. Supposons que les probabilités de choisir sont, respectivement, , et . Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche ?

D



Trois urnes , contiennent des boules blanches et rouges : contient 4 blanches et 5 rouges ; contient 8 blanches et 2 rouges et contient 1 blanche et 3 rouges. On choisit au hasard une urne et on y pioche une boule. Supposons que les probabilités de choisir sont, respectivement, , et .Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche ?

E



Trois urnes , contiennent des boules blanches et rouges : contient 4 blanches et 5 rouges ; contient 8 blanches et 2 rouges et contient 1 blanche et 3 rouges. On choisit au hasard une urne et on y pioche deux boules. Supposons que les probabilités de choisir sont, respectivement, , et . Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche ?

 Question 3

Question valeur numérique

Soit le dipôle constitué comme sur l'image. L'impédance est On rappelle qu'il ya une fréquence particulière dite de résonance, c'est la fréquence qui vérifie l'équation (partie imaginaire de l'impédance z nulle). En prenant donner la valeur de la pulsation lors de la résonance du dipôle (au dixième)

Réponse attendue [ 0.5 ; 0.5 ]  Commentaire de correction de la proposition

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 Question 4

Question valeur numérique

Prenons un principe de chiffrement tel que est le message : "Attaque" et une clef de chiffrement de même longueur que le message initial (ici de longueur 7). Cette clef contient 7 positionnements différents dans l'alphabet. On choisit Le message initial "Attaque" est aussi positionné dans l'alphabet : Le message crypté est juste la somme du message avec la clé secrète . Elle s'effectue lettre à lettre terme à terme module 26. Déterminer la valeur de la seconde lettre cryptée dans l'alphabet numéroté de 0 à 25. Réponse attendue [ 11 ; 11 ]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 5

Association

La ville de Königsberg était une ville de Prusse Cette ville s'étendait au XVIIIe siècle autour de deux îles situées sur le fleuve Pregel. Ces deux îles étaient reliées entre elles par un pont. Six autres ponts reliaient les rives de la rivière à l'une ou l'autre des deux îles, comme représenté sur le plan cidessous.

La légende raconte que certains habitants de cette ville cherchaient lors de promenade à passer une fois et une seule par chacun des ponts pour revenir au point de départ (évidemment, ils ne pouvaient traverser l'eau du Pregel qu'en passant par un des ponts.) Une des idées d'Euler fut de modéliser la situation pour réduire à l'essentiel le problème ; il a représentée la configuration précédente des ponts dans la ville en la figure ci-dessous

La matrice d'adjacence du graphe est : Donner les valeurs des coefficients identifiés : Élément à associer

Réponse attendue 0

a

1

b

0

p

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 Question 6

Question à réponse unique

En sachant que la tension aux bornes d'une bobine est donnée par . Établir l'équation d'un circuit composé d'une résistance en série avec une bobine d'inductance , l'ensemble alimenté par une source de tension constante. Réponse attendue A



B



C



D



E



 Question 7

Question à réponse unique

On considère le domaine plan suivant : délimitant une pièce mécanique On veut calculer le centre de gravité de la pièce.

Si la surface est homogène, le centre de gravité d'aires planes est défini par : où est un point quelconque de . Choisir l'intégrale associée à la première coordonnée de Réponse attendue A



B



C



D



E



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 Question 8

Question valeur numérique

L'approximation affine d'une fonction peut servir à estimer l'incertitude que l'on a sur la valeur desi on ne connait les valeurs et qu'approximativement. Supposons par exemple qu'une usine fabrique des cylindres d'aluminium de diverses tailles. Le diamètre de chaque cylindre est mesuré à une précision de près (précision relative ) . La longueur de chaque cylindre est mesurée à une précision de près (précision relative ) On souhaite connaître l'incertitude sur le volume des cylindres produits par cette usine. Le volume est déterminé par la formule suivante : En utilisant l'approximation suivante : On calcule Donner la valeur de l'incertitude du volume en pourcentage au dixième. Réponse attendue [ 0.2 ; 0.2 ]  Commentaire de correction de la proposition

 Question 9

Question à réponse unique

Pour illustrer l'utilisation du gradient en calcul numérique avec Python, je vais définir un potentiel puis calculer son gradient. Le script OPDGradientChamp.py va faire cela pour nous. def Potentiel(q,A,x,y): V = q/((x - A[0])**2 + (y - A[1])**2) return V Ex,Ey = gradient(Potentiel(1,[0,0],x,y)) Ex = -Ex Ey = -Ey

La visualisation du champ obtenu s'effectue comme ci-dessus, et j'obtiens :

Réponse attendue A



Le code s’appuie sur

B



Le code s’appuie sur

C



Le code s’appuie sur

D



Le code s’appuie sur

E



Le code s’appuie sur

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 Question 10

Question valeur numérique

On considère un bras de levier correspondant à la distance AH. Déterminer le moment appliqué en B si la force d’application est de 20 N et que la distance AB vaut 10 cm avec un angle de 30 degrés. (arrondir au dixième, unité Nm)

Réponse attendue [ 0.1 ; 0.1 ]  Commentaire de correction de la proposition

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 Question 11

Question à réponse unique

Une porte P s'ouvre grâce à 2 interrupteurs A et B. La porte s'ouvre si un seul des interrupteurs est appuyé, sinon elle ne s'ouvre pas. Pour chaque interrupteur on note 0 l'état "interrupteur relâché" et 1 l'état "interrupteur appuyé". Pour la porte on note 0 l'état "la porte est fermée" et 1 l'état "la porte est ouverte". Parmi les tables de vérité suivantes, laquelle modélise la situation ci-dessus ? On note S la sortie. Réponse attendue A

 ABS 000 011 101 110

B



ABS 000 011 101 111

C



ABS 000 010 100 111

D



ABS 001 010 100 111

E



ABS 000 010 101 111

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