Correction Devoir [PDF]

Zitiervorschau

Module: Automatique Linéaire Continu Présenté par: Pr Ahmed MOUTABIR

2019-2020

Corrigé devoir Soit le système asservi défini par le schéma bloc de la figure 1. G(p) représente la fonction de transfert du système à commander : 8 𝐺 𝑝 = 2 𝑝 + 5𝑝 + 6

2

Etude du système non corrigé

3

Corrigé devoir 1) Donner l’expression de 𝐺(𝑗𝜔). 𝑝=𝑗𝜔

𝐺(𝑝) 𝐺 𝑗𝜔 =

𝐺 𝑗𝜔

8 (𝑗𝜔)2 +5𝑗𝜔 + 6

=

8 (6 − 𝜔2 ) + 5𝑗𝜔

2) Calculer la pulsation 𝜔0 telle que : 𝐺(𝑗𝜔0 ) = 1. 8

𝐺(𝑗𝜔) =

2

(6 − 𝜔2 ) +(5𝜔)2 𝐺(𝑗𝜔0 ) = 1 ⟹

8 6 − 𝜔0 2

2

+ 5𝜔0

2

= 1 ⟹ 𝜔0 4 + 13𝜔0 2 − 28 = 0

⟹ 𝜔0 = 1,37𝑟𝑑/𝑠 4

Corrigé devoir 3) Calculer l’argument : 𝜑0 = 𝐴𝑟𝑔(𝐺(𝑗𝜔0 ). 𝑎𝑟𝑔(𝐺 𝑗𝜔 = −arctan( 𝐴𝑟𝑔(𝐺 𝑗𝜔0 = 𝜑0 = − arctan

5𝜔 ) 6 − 𝜔2

5𝜔0 = −59° 6 − 𝜔0 2

4) Calculer la marge de phase définie par : 𝑀𝜑 = 180° + 𝜑0 . 𝑀𝜑 = 180° + 𝜑0 = 121° Marge de phase importante : 𝑀𝜑 ≫ 50° ⟹ le système est très stable mais très lent (Problème de rapidité). 5) Donner la fonction de transfert en boucle ouverte 𝑇(𝑝) du système. 𝑇 𝑝 = 𝐺(𝑝)

5

Corrigé devoir 6) Calculer l’erreur de position 𝜀𝑝 et l’erreur de vitesse 𝜀𝑣 . 𝐸(𝑝) 𝜀𝑠 = lim 𝜀(𝑡) = lim 𝑝 𝑡→+∞ 𝑝→0 1 + 𝐺(𝑝) Erreur de position: l’entrée est un échelon unitaire 1/𝑝 1/𝑝 3 𝜀𝑝 = lim 𝑝 = lim 𝑝 = 8 𝑝→0 1 + 𝐺(𝑝) 𝑝→0 7 1+ 2 𝑝 + 5𝑝 + 6 Erreur de vitesse: l’entrée est une rampe 1/𝑝2 𝜀𝑉 = lim 𝑝 = +∞ 𝑝→0 1 + 𝐺(𝑝) Erreur d’accélération: l’entrée est une accélération 2/𝑝3 𝜀𝑎 = lim 𝑝 = +∞ 𝑝→0 1 + 𝐺(𝑝)

6

Corrigé devoir 7) Donner la fonction de transfert en boucle fermée 𝐹(𝑝) du système. 𝐹(𝑝) =

𝐺(𝑝) 8 = 2 1 + 𝐺(𝑝) 𝑝 + 5𝑝 + 14

8) Calculer les pôles. Conclure.

𝐹 𝑝 possède deux pôles qui sont les suivants : −5 + 𝑗 31 𝑝1 = = −2,5 + 𝑗2,7839 2 −5 − 𝑗 31 𝑝2 = = −2,5 − 𝑗2,7839 2 Les pôles sont complexes à parties réelles négatives donc le système est stable. 7

Corrigé devoir 9) Mettre 𝐹(𝑝) sous la forme standard suivante :

𝐹 𝑝 = Donner les valeurs de 𝐴, 𝑚 et 𝜔𝑛 8 𝐹 𝑝 = 2 = 𝑝 + 5𝑝 + 14

𝐴 𝑝 𝑝2 1 + 2𝑚 + 𝜔𝑛 𝜔𝑛 2 8 𝐴 14 = 𝑝2 𝑝 𝑝2 5 1+ 𝑝+ 1 + 2𝑚 + 14 14 𝜔𝑛 𝜔𝑛 2

𝐴= 𝑚=

5

4 7 = 0,668

2 14 𝜔𝑛 = 14𝑟𝑑/𝑠

8

Corrigé devoir 10) Donner l’expression de la sortie 𝑦(𝑡) pour une entrée échelon unitaire (la réponse indicielle). 𝑌(𝑝) 8 𝑌(𝑝) 8 𝐹 𝑝 = ⟹ 2 = ⟹ 𝑌 𝑝 = 2 𝐸(𝑝) 𝐸(𝑝) 𝑝 + 5𝑝 + 14 𝐸(𝑝) 𝑝 + 5𝑝 + 14

1 𝐸 𝑝 = 𝑝 8 𝐴 𝐵𝑝 + 𝐶 𝑌 𝑝 = = + 𝑝(𝑝2 + 5𝑝 + 14) 𝑝 𝑝2 + 5𝑝 + 14 Calcul des coefficients: 𝑝=0

8 𝐵𝑝 + 𝐶 𝑝𝑌 𝑝 = 2 =𝐴+𝑝 2 (𝑝 + 5𝑝 + 14) 𝑝 + 5𝑝 + 14

𝑌 −1 =

𝑝→+∞

4 𝐴= 7

𝐵 = −𝐴 = −

−8 −𝐵 + 𝐶 −20 = −𝐴 + ⟹ 𝐶 = −8 + 10𝐴 + 𝐵 = 10 10 7

4 7

9

Corrigé devoir 4 1 𝑝+5 4 1 𝑝+5 𝑌 𝑝 = − 2 = − 7 𝑝 𝑝 + 5𝑝 + 14 7 𝑝 (𝑝 + 5)2 + 31 2 4 31 5 𝑝+2 4 1 5 4 ⟹𝑌 𝑝 = − − 2 7 𝑝 5 31 31 5 2 31 𝑝+2 + 4 𝑝+2 + 4

ℒ −1

5 4 − 𝑡 𝑦 𝑡 = 1 − 𝑒 2 cos 7

31 5 𝑡 + sin 4 31

31 𝑡 4

𝑢(𝑡)

10

Etude du système corrigé:

11

Corrigé devoir Pour améliorer les performances du système, on insère dans la chaine directe le bloc C(p)correcteur comme le montre la figure 2.

Figure 2 12

Etude du système corrigé: Correction Proportionnelle 𝑪 𝒑 =𝟐

13

Corrigé devoir 1) Donner la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte 𝑇′ (𝑝) du système. 40 ′ 𝑇 𝑝 =𝐶 𝑝 𝐺 𝑝 = 𝑝 + 3 (𝑝 + 2)

2) Calculer l’erreur de position 𝜀′𝑝 et l’erreur de vitesse 𝜀′𝑣 . 1/𝑝 𝜀′𝑝 = lim 𝑝 = lim 𝑝 𝑝→0 1 + 𝑇′(𝑝) 𝑝→0 1+

1/𝑝 3 = 40 23 𝑝2 + 5𝑝 + 6

1/𝑝2 𝜀′𝑉 = lim 𝑝 = +∞ 𝑝→0 1 + 𝑇′(𝑝) L’erreur de position du système corrigé est plus petite que celle du système non-corrigé. 14

Corrigé devoir 3) Donner la fonction de transfert en boucle fermée 𝐹′ (𝑝) du système. 40 𝑇′ (𝑃) 40 𝑝 + 3 (𝑝 + 2) ′ 𝐹 𝑝 = = = 2 ′ 40 𝑝 + 5𝑝 + 46 1 + 𝑇 (p) 1 + 𝑝 + 3 (𝑝 + 2)

4) Calculer les pôles. Conclure. 𝑝2 + 5𝑝 + 46 = 𝑂 donc: ∆= (5)2 −4 × 1 × 46 = −159 −5 + 𝑗 159 𝑝1 = = −2,5 + 𝑗6,3 2 −5 − 𝑗 159 𝑝2 = = −2,5 − 𝑗6,3 2 Les pôles sont complexes à parties réelles négatives donc le système est stable.

15

Corrigé devoir 5) Mettre 𝐹′ (𝑝) sous la forme standard suivante : 𝐴′ 𝐹 𝑝 = 𝑝 𝑝2 1 + 2𝑚′ + 𝜔′𝑛 𝜔′𝑛 2 Donner les valeurs de 𝐴′, 𝑚′ et 𝜔′𝑛 ′

20 = 40 23 46 𝐹′ 𝑝 = ⟹ 𝑚′ = 5 = 0,369 1 2 1 2 46 46 𝑝 + 46 5𝑝 + 1 𝜔𝑛 ′ = 46𝑟𝑑/𝑠 𝐴′

𝑚′ < 𝑚: le système corrigé est plus rapide mais plus oscillant. Son dépassement est plus important. 16

Corrigé devoir Conclusions: • Le correcteur proportionnel a permis d’améliorer: - La précision du système. - La rapidité du système. • Mais son utilisation a augmenté (inconvénients): - le nombre d’oscillations. - la valeur du dépassement.

17

Etude du système corrigé: Correction Proportionnelle Intégrale 𝒑+𝟑 𝑪 𝒑 = 𝒑

18

Corrigé devoir 1) Calculer les pôles de 𝐺(𝑝). Donner la forme factorisée de 𝐺(𝑝). 8 𝐺 𝑝 = (𝑝 + 3)(𝑝 + 2) 2) Donner la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte 𝑇′′ (𝑝) du système.

8 𝑝+3 8 𝑇 𝑝 = 𝐺 𝑝 .𝐶 𝑝 = . = (𝑝 + 3)(𝑝 + 2) 𝑝 𝑝(𝑝 + 2) ′′

19

Corrigé devoir 3) Calculer la nouvelle marge de phase du système. 8 8 ′′ 𝑇 (𝑗𝜔) = ⇒ 𝑇 (𝑗𝜔) = 𝑗𝜔(𝑗𝜔 + 2) 𝜔 𝜔2 + 4 ′′

𝑇 ′′ (𝑗𝜔0 ) = 1 ⟹ 𝜔0 = 2,5𝑟𝑑/𝑠

arg𝑇 ′′

𝑗𝜔0

𝜔0 = −90° − 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑛 = −141,34° 2

𝑀𝜑 = 180° + 𝜑0 = 180° − 141,34° = 38,66 20

Corrigé devoir 4) Calculer l’erreur de position 𝜀𝑝 et l’erreur de vitesse 𝜀𝑣 . 𝐸(𝑝) 𝜀𝑠 = lim 𝜀(𝑡) = lim 𝑝 𝑡→+∞ 𝑝→0 1 + 𝑇′′(𝑝) Erreur de position: l’entrée est un échelon unitaire 1/𝑝 1/𝑝 𝜀𝑝 = lim 𝑝 = lim 𝑝 =0 8 𝑝→0 1 + 𝑇′′(𝑝) 𝑝→0 1+ Erreur de vitesse: l’entrée est une rampe 𝑝(𝑝 + 2) 1/𝑝2 1 𝜀𝑉 = lim 𝑝 = 𝑝→0 1 + 𝑇′′(𝑝) 4 Erreur d’accélération: l’entrée est une accélération

2/𝑝3 𝜀𝑎 = lim 𝑝 = +∞ 𝑝→0 1 + 𝑇′′(𝑝) 21

Corrigé devoir 5) Donner la fonction de transfert en boucle fermée 𝐹′′ (𝑝) du système. ′′ 𝑇 𝑝 8 ′′ 𝐹 𝑝 = = 2 ′′ 𝑝 + 2𝑝 + 8 1+𝑇 𝑝 6) Calculer les pôles. Conclure. −2 + 𝑗 28 𝑝1 = = −1 + 𝑗 7 2 −2 − 𝑗 28 𝑝2 = = −1 − 𝑗 7 2 Les pôles sont complexes à parties réelles négatives donc le système est stable. 22

Corrigé devoir Conclusions: Le correcteur PI a permis: • D’améliorer la précision. • De diminuer la marge de phase (attention à la stabilité). • 𝜔′′𝑛 = 2 2𝑟𝑑/𝑠. ′′

• 𝑚 =

2 4

= 0,353

• Système rapide mais oscillations et dépassement importants. 23