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CONTROL DE CALIDAD Técnicas y herramientas

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CONTROL DE CALIDAD Técnicas y herramientas

María Pérez Marqués

Diseño de la colección, cubierta y pre-impresión: Grupo RC

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Datos catalográficos Pérez, María Control de calidad. Técnicas y herramientas Primera Edición Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V., México ISBN: 978-607-622-449-6 Formato: 17 x 23 cm

Páginas: 408

Control de calidad. Técnicas y herramientas María Pérez Marqués ISBN: 978-84-941801-9-4 edición original publicada por RC Libros, Madrid, España Derechos reservados © 2014 RC Libros Primera edición: Alfaomega Grupo Editor, México, enero 2016 © 2016 Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. Pitágoras 1139, Col. Del Valle, 03100, México D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro No. 2317

Pág. Web: http://www.alfaomega.com.mx E-mail: [email protected] ISBN: 978-607-622-449-6 Derechos reservados: Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicación en lengua española han sido legalmente transferidos al editor. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio sin permiso por escrito del propietario de los derechos del copyright. Nota importante: La información contenida en esta obra tiene un fin exclusivamente didáctico y, por lo tanto, no está previsto su aprovechamiento a nivel profesional o industrial. Las indicaciones técnicas y programas incluidos, han sido elaborados con gran cuidado por el autor y reproducidos bajo estrictas normas de control. ALFAOMEGA GRUPO EDITOR, S.A. de C.V. no será jurídicamente responsable por: errores u omisiones; daños y perjuicios que se pudieran atribuir al uso de la información comprendida en este libro, ni por la utilización indebida que pudiera dársele. d e s c a r g a do en: e y b o oks. c o m Edición autorizada para venta en México y todo el continente americano. Impreso en México. Printed in Mexico. Empresas del grupo: México: Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. – Pitágoras 1139, Col. Del Valle, México, D.F. – C.P. 03100. Tel.: (52-55) 5575-5022 – Fax: (52-55) 5575-2420 / 2490. Sin costo: 01-800-020-4396 E-mail: [email protected] Colombia: Alfaomega Colombiana S.A. – Calle 62 No. 20-46, Barrio San Luis, Bogotá, Colombia, Tels.: (57-1) 746 0102 / 210 0415 – E-mail: [email protected] Chile: Alfaomega Grupo Editor, S.A. – Av. Providencia 1443. Oficina 24, Santiago, Chile Tel.: (56-2) 2235-4248 – Fax: (56-2) 2235-5786 – E-mail: [email protected] Argentina: Alfaomega Grupo Editor Argentino, S.A. – Paraguay 1307 P.B. Of. 11, C.P. 1057, Buenos Aires, Argentina, – Tel./Fax: (54-11) 4811-0887 y 4811 7183 – E-mail: [email protected]

ÍNDICE Introducción ...............................................................................................

XI

Capítulo 1. El proceso del control de calidad. Metodologías ........................

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El proceso de producción y la calidad .............................................................. Evolución del control de calidad ...................................................................... Metodologías o modelos para el control de calidad ........................................ Modelo de excelencia de la EFQM ............................................................... Modelo Seis Sigma........................................................................................ Software para el control de calidad ................................................................. SPSS .............................................................................................................. STATGRAPHICS CENTURION ......................................................................... SAS ................................................................................................................ Capítulo 2. Modelización de las características de calidad. Factores que afectan a la calidad ................................................................... La variabilidad en los procesos......................................................................... Factores que afectan a la calidad ..................................................................... Diagrama causa-efecto ................................................................................. Diagrama de Pareto ...................................................................................... Gráficos de control ....................................................................................... Histogramas.................................................................................................. Diagrama de correlación .............................................................................. Distribuciones de frecuencia ........................................................................ Modelización de la variabilidad........................................................................ Modelos discretos para características de calidad ....................................... Modelos continuos para características de calidad ...................................... Expresión cuantitativa de las distribuciones .................................................... Medidas de posición ..................................................................................... Medidas de dispersión ................................................................................. Medidas de forma ........................................................................................ Gráficos exploratorios en control de calidad ................................................... Gráfico de caja y bigotes (Box-and-Whisker Plot) ........................................ Gráfico múltiple de caja y bigotes (Multiple Box-and-Whisker Plot) ............ Gráfico de simetría ....................................................................................... Gráficos normales de probabilidad ..............................................................

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CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

Capítulo 3. Métodos automatizados para la modelización de las características de calidad .................................................................................. La variabilidad en los procesos y herramientas................................................ Variabilidad en los procesos mediante Statgraphics ........................................ Resumen estadístico para variables numéricas unidimensionales ............... Opciones tabulares: medidas de posición, dispersión, simetría y curtosis ... Percentiles .................................................................................................... Tablas de frecuencias ................................................................................... Diagrama de tallo y hojas (Stem-and-Leaf)................................................... Intervalos de confianza................................................................................. Tests de hipótesis ......................................................................................... Opciones gráficas: gráfico de caja y bigotes, histogramas y gráficos de normalidad ................................................................................................ Gráfico de cuantiles ...................................................................................... Gráfico de densidad ...................................................................................... Gráfico de simetría ....................................................................................... Statgraphics y el análisis exploratorio en control de calidad ........................... Gráfico de caja y bigotes............................................................................... Gráfico múltiple de caja y bigotes ................................................................ Gráficos normales, histogramas y polígonos de frecuencias absolutas y relativas..................................................................................................... Statgraphics y el diagrama causa-efecto .......................................................... Statgraphics y el diagrama de Pareto ............................................................... Statgraphics y la modelización de la variabilidad mediante distribuciones ..... Funciones de distribución ............................................................................. Inversa de la función de distribución. Valores críticos ................................. Generación de números aleatorios según una distribución ......................... Opciones gráficas. Funciones de densidad, distribución y supervivencia ..... SAS/QC y la variabilidad de los procesos. Exploratorio y modelos de probabilidad... SAS/QC y los gráficos de causa y efecto. Procedimiento ISHIKAWA ................ SAS/QC y los gráficos de Pareto ....................................................................... Capítulo 4. Control en el proceso de calidad ................................................ Control de procesos ......................................................................................... Control de fabricación .................................................................................. Control de recepción .................................................................................... Control por variables y por atributos............................................................ VI

55 55 55 56 57 60 61 63 64 65 69 71 71 71 72 73 75 78 82 84 88 90 92 93 94 97 104 108 113 113 115 115 116

ÍNDICE

Análisis de la capacidad de un proceso ........................................................ Gráficos de control ........................................................................................... Principios básicos de un diagrama de control .................................................. Los diagramas de control y los contrastes de hipótesis................................ Curva característica de operación ................................................................ Utilización de los diagramas de control ........................................................ Gráficos de control por variables y por atributos............................................. Gráficos de control por variables ..................................................................... Diagramas de control de X y R ................................................................. Diagramas de control de X y S ................................................................. Diagrama de control de S2 ............................................................................ Gráficos de control para medidas individuales............................................. Gráficos de control para medidas individuales y rangos móviles ................. Diagramas de control de la mediana ............................................................ Diagramas de control de medianas y rangos ................................................ Diagrama de control de suma acumulativa CUSUM ..................................... Diagrama de control de media móvil ........................................................... Diagrama de control de media móvil geométrica EWMA ............................ Gráficos de control por atributos ..................................................................... Diagrama “p” ................................................................................................ Diagrama “np” .............................................................................................. Diagrama “c” ................................................................................................ Diagrama “u ” ............................................................................................... Modelo de Shewhart para gráficos de control ................................................. Modelo de los límites probabilísticos para los gráficos de control ................. Control de recepción ........................................................................................ Planes de muestreo simples por atributos....................................................... Curva característica de operación o curva CO .............................................. Curvas características de operación tipos A y B ........................................... Curvas características de operación con c=0 ................................................ Diseño de un plan de muestreo simple para una curva característica de operación dada .................................................................................... Muestreo de aceptación por variables............................................................. Planes de la fracción no conforme ............................................................... Diseño de plan de muestreo y curva CO con σ conocida ............................. Ecuación de la curva característica de operación ......................................... Diseño de plan de muestreo para σ desconocida y curva CO ..................... Planes basados en la media con desviación típica σ conocida ..................... Planes basados en la media con desviación típica σ desconocida...............

117 117 119 120 121 122 123 124 124 129 132 133 134 135 136 137 137 139 140 141 142 143 144 145 146 147 149 149 152 153 153 154 155 158 159 160 162 163 VII

CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

Planes basados en la desviación típica ......................................................... Capacidad de los procesos ............................................................................... Límites de tolerancia y límites de especificación .......................................... Índices de capacidad..................................................................................... Capítulo 5. Métodos automatizados en el control de procesos ...................... Statgraphics Centurion y los gráficos de control por variables ........................ Gráfico X-bar and R ....................................................................................... Los gráficos X-bar y S y X-bar y S 2 ................................................................. Gráficos de control de medidas individuales ................................................ Gráfico de control de Mediana y Rango ....................................................... Statgraphics y los gráficos CUSUM ............................................................... Statgraphics y los gráficos MA y EWMA ....................................................... Gráficos de control MA, EWMA y CUSUM para individuos .......................... Statgraphics Centurion y los gráficos de control por atributos ........................ Gráfico p ....................................................................................................... Gráficos np, c y u .......................................................................................... Statgraphics Centurion y el control de aceptación........................................... Control de aceptación por atributos............................................................. Control de aceptación por variables ............................................................. SAS y los gráficos de control por variables y atributos elementales ................ SAS/QC y los gráficos de control por variables CUSUM, MA y EWMA ............. El procedimiento CUSUM de SAS/QC ........................................................... El procedimiento MACONTROL de SAS/QC .................................................. Control de aceptación a través de SAS ............................................................. Capítulo 6. Calidad y diseño de experimentos. Diseños unifactoriales ......... Diseño de experimentos .................................................................................. Diseños de experimentos aleatorizados. Inferencias sobre la diferencia de medias .......................................................................................................... Contrastes de hipótesis .................................................................................... Contrastes paramétricos para poblaciones normales .................................. Contrastes no paramétricos para la bondad de ajuste a una distribución ... Intervalos de confianza .................................................................................... Intervalos de confianza para parámetros de distribuciones normales ........ Intervalos de confianza para comparar poblaciones normales .................... Comparación de poblaciones normales con datos apareados ......................... VIII

163 163 164 165 169 169 170 180 180 182 184 190 194 194 194 197 197 198 201 204 212 214 217 219 231 231 234 234 236 237 240 240 241 242

ÍNDICE

Statgraphics Centurion y los contrastes de hipótesis e intervalos de confianza ................................................................................................ Procedimiento Análisis Unidimensional ....................................................... Procedimiento Contraste de Hipótesis ......................................................... Intervalos de confianza y tests de hipótesis en comparación de poblaciones. Muestras independientes .................................................... Comparación de muestras pareadas ............................................................ Contrastes de hipótesis para dos poblaciones ............................................. SAS y los contrastes de hipótesis e intervalos de confianza............................. Diseños unifactoriales ...................................................................................... Diseño unifactorial de efectos fijos .............................................................. Diseño unifactorial de efectos aleatorios ..................................................... Diseños unifactoriales de efectos fijos con Statgraphics. Estimación y Diagnosis ……................... ............................................................................. Diseños unifactoriales de efectos aleatorios con Statgraphics ........................ Diseños unifactoriales de efectos fijos con SAS. Procedimiento ANOVA ......... Diseños unifactoriales de efectos aleatorios con SAS. Procedimiento VARCOMP …. ................................................................................................ Capítulo 7. Calidad y diseño de experimentos. Diseños multifactoriales ...... Diseños multifactoriales ................................................................................... Diseño bifactorial. Efectos fijos, aleatorios y mixtos ........................................ Diseño en bloques aleatorizados ..................................................................... Diseño en medidas repetidas ........................................................................... Diseño con tres factores .................................................................................. Diseño en cuadrado latino ............................................................................... Diseño en cuadrado greco-latino ..................................................................... Diseño en parcelas divididas (split-splot) ......................................................... Diseños jerárquicos o anidados........................................................................ Diseños multifactoriales de efectos fijos, aleatorios y mixtos con Statgraphics ... Componentes de la varianza con diseños de efectos aleatorios y mixtos en Statgraphics ............................................................................... Diseño en bloques aleatorizados con Statgraphics Centurion ......................... Diseño en cuadrado latino con Statgraphics .................................................... Diseño split-splot con Statgraphics Centurion ................................................. Diseños multifactoriales de efectos fijos, aleatorios y mixtos con SAS ............ Componentes de la varianza en diseños de efectos aleatorios y mixtos con SAS .........................................................................................................

243 243 248 251 255 258 261 266 267 268 270 285 288 292 295 295 295 299 300 300 301 302 302 303 304 315 318 321 324 327 334 IX

CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

SAS y los diseños jerárquicos (anidados).......................................................... El procedimiento GLM de SAS y los diseños en bloques aleatorizados ............ Capítulo 8. Calidad y diseños factoriales fraccionarios. Superficies de respuesta .................................................................................. Diseños factoriales completos ......................................................................... Diseños factoriales 2 k 3k y pk.......................................................................... Diseños factoriales en bloques (confusión)...................................................... Diseños factoriales fraccionarios...................................................................... Fracción un medio del diseño 2k .................................................................. Fracción un cuarto del diseño 2k .................................................................. Fracción un tercio del diseño 3k................................................................... Diseños de superficies de respuesta ................................................................ Modelos lineales mixtos................................................................................... Diseños factoriales completos y fraccionales en Statgraphics. Superficies de respuesta ............................................................................... SAS y los modelos mixtos ................................................................................. SAS/QC y el diseño de experimentos ............................................................... Capítulo 9. Metodología Seis Sigma para el control de calidad ....................

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Seis Sigma y el control de calidad..................................................................... Introducción a la metodología Seis Sigma........................................................ Fases y herramientas en la metodología Seis Sigma ........................................ Trabajando en la metodología Seis Sigma con Statgraphics Centurion ........ Trabajando en la metodología Seis Sigma con SAS mediante menús ........... Trabajando en la metodología Seis Sigma con SAS mediante programación ............................................................................................ Fase Definir en la metodología Seis Sigma ....................................................... Fase Medir en la metodología Seis Sigma ........................................................ Fase Analizar en la metodología Seis Sigma ..................................................... Fase Mejorar en la metodología Seis Sigma ..................................................... Fase Controlar en la metodología Seis Sigma...................................................

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Índice analítico ................................................................................................

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INTRODUCCIÓN Existen diferentes teorías sobre la gestión de la calidad total que se encuentran desarrolladas en la literatura sobre calidad, destacando las obras de Deming (1982), Juran y Gryna (1980) e Ishikawa (1985). Todos los autores están de acuerdo en que la calidad total se asienta sobre tres pilares básicos: cultura de la calidad, sistemas y recursos humanos, y utilización de los métodos cuantitativos entre los que destaca la Estadística. Para introducir la calidad total en las organizaciones no se permiten fallos en estos tres pilares. En cuanto a la cultura de la empresa respecto a la calidad, es fundamental que los propietarios o la alta dirección se involucren en la introducción de la misma en todas las facetas de la organización. Esta cultura implica el reconocimiento del hecho de que la calidad viene definida por las necesidades y expectativas del cliente y no por consideraciones internas de los departamentos de la empresa. También hay que tener presente que la calidad se mejora desarrollando todos los procesos de la organización. Por otro lado, los sistemas y los recursos humanos deben estar implicados en la consecución de la calidad. Todas las metodologías actuales sobre calidad, incluida la metodología Seis Sigma, inciden en la consideración de la calidad como un todo que involucra a la organización completa, incluidos los recursos humanos y los sistemas. Debemos alejarnos de la idea del clásico departamento de calidad con recursos humanos dedicados solo a esa tarea. La calidad es un todo global que afecta continuamente a la organización completa con sus recursos humanos y materiales. En cuanto al uso de los métodos cuantitativos como herramientas para la calidad total, está claro que la utilización masiva del método científico es un pilar fundamental en la calidad.

CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

En este libro se incide especialmente en las técnicas cuantitativas para la calidad total. Se comienza con la identificación de los factores que afectan a la calidad y las herramientas adecuadas para ello. A continuación se trata en profundidad el control de procesos y su implementación práctica a través de los gráficos de control. La siguiente tarea es abordar las técnicas de diseño de experimentos y su incidencia fundamental en el establecimiento de un sistema de calidad total. Finalmente se hace hincapié en otro de los pilares básicos en la calidad total como es el muestreo de aceptación. Todos estos temas se ilustran con las herramientas cuantitativas adecuadas y su implementación práctica a través dos paquetes de software muy potentes en calidad como son SAS y STATGRAPHICS CENTURION.

XII

CAPÍTULO

EL PROCESO DEL CONTROL DE CALIDAD. METODOLOGÍAS EL PROCESO DE PRODUCCIÓN Y LA CALIDAD Se puede considerar un proceso de producción como un sistema con un conjunto de entradas y salidas. Existen dos tipos de entradas: las entradas que vamos a representar por x1 , x 2,..., xp que son factores controlables, como temperaturas, presiones, velocidades de avance y otras variables del proceso, y las entradas que vamos a representar por z1, z 2,..., z q que son factores incontrolables, como por ejemplo factores ambientales o la calidad de la materia prima suministrada por el proveedor. El proceso de la fabricación transforma estas entradas en un producto terminado que tiene varios parámetros, los cuales describen su calidad o su aptitud para el uso. La variable de salida, que vamos a representar por y, es una medida de la calidad del proceso. Podemos resumir lo especificado en el siguiente esquema:

CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

De inmediato surgen cuestiones como las siguientes: ¿qué entradas afectan al parámetro de salida y?, ¿cuáles son las entradas más importantes?, ¿cuál es la relación entre las entradas y el parámetro de salida y?, ¿cómo se puede controlar y? Para contestar a estas preguntas hay que hacerlo en términos de herramientas cuantitativas posibles aplicables al control de calidad. El diseño de experimentos es una herramienta estadística muy útil para descubrir las variables clave que influyen en las características de calidad de interés en un proceso. Mediante esta técnica se varían sistemáticamente los factores controlables de entrada x 1, x2,..., xp, y se estudia el efecto que tienen dichos factores en los parámetros de salida del producto, en nuestro caso la característica de calidad y. A través del diseño de experimentos se hallan los niveles de las variables x1, x2,..., xp que optimizan el rendimiento del proceso. El diseño de experimentos es una importante herramienta de control de calidad fuera de línea, porque se usa a menudo durante las actividades de desarrollo y en las primeras etapas de la fabricación, en contraposición a los procedimientos de control en línea o en proceso. Una vez determinada una lista de variables importantes que afectan a la salida del proceso, suele ser necesario modelar la relación entre las variables de entrada y las características de calidad de la salida. Entre las técnicas cuantitativas útiles para elaborar tales modelos se incluyen el análisis de regresión y el análisis de series de tiempo, que en general permiten encontrar una función f tal que y = f(x 1, x2,..., xp ) con un determinado error medible. Una vez determinadas las variables importantes, y la naturaleza de la relación entre esas variables y el modelo de la salida del proceso, es posible utilizar con eficacia considerable una técnica estadística de control de procesos en línea para regular y vigilar el proceso. Se pueden aplicar técnicas como los diagramas de control con el fin de vigilar la salida del proceso y detectar cuándo se necesitan cambios en las entradas para 2

CAPÍTULO 1: EL PROCESO DEL CONTROL DE CALIDAD. METODOLOGÍAS

devolver dicho proceso a un estado bajo control. Los diagramas de control también proporcionan una retroalimentación a los operadores e ingenieros, la cual sirve para reducir la variabilidad del proceso. Mediante los diagramas de control y otras técnicas estadísticas sencillas, se puede estimar la capacidad de un proceso para determinar si dicho proceso funciona conforme a las especificaciones del producto. Otra parte importante del aseguramiento de la calidad la constituye la inspección de materias primas, productos semiterminados o productos terminados. Cuando el propósito de la inspección es la aceptación o el rechazo de un producto, con base en la conformidad respecto a un estándar, el tipo de procedimiento de inspección que se utiliza se llama normalmente muestreo para aceptación. Mediante las técnicas estadísticas de muestreo se evita inspeccionar toda la población, y basándonos en las características de calidad de una muestra inferimos las características de calidad de toda la población. Existen diferentes temas útiles en el muestreo para aceptación, como los planes de muestreo en cadena, planes para producción continua, planes con lotes salteados, el efecto de errores de inspección en el muestreo para aceptación, y el diseño económico de los planes de muestreo para aceptación. El muestreo para aceptación no es un sustituto de los controles adecuados de proceso. En realidad, el uso exitoso de técnicas de control de procesos en las etapas iniciales de la fabricación, incluyendo la implementación de tales controles estadísticos al nivel de proveedor o abastecedor, puede reducir, y en algunos casos eliminar, la necesidad de una inspección por muestreo extensa. El proceso del control de calidad abarca todas las tareas citadas en los párrafos anteriores, que deben ser implementadas en las organizaciones de forma ordenada. La ordenación adecuada de las diferentes tareas del control de calidad se define en las metodologías para la calidad.

EVOLUCIÓN DEL CONTROL DE CALIDAD El esquema siguiente representa la evolución histórica del proceso del control de calidad.

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CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

Se observa que en los años 60 se abordaban las tareas de control de calidad basándose sobre todo en la inspección por muestreo. En la década de los 70 se hacía énfasis en el aseguramiento de la calidad. Se evolucionó en los años 80 hacia la gestión por la calidad y a partir de la década de los 90 se implantó la calidad total a partir de metodología o modelos de calidad, entre los cuales la más representativa es la metodología seis sigma. Las características específicas del control, aseguramiento y gestión de calidad se presentan en la tabla siguiente:

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CAPÍTULO 1: EL PROCESO DEL CONTROL DE CALIDAD. METODOLOGÍAS

METODOLOGÍAS O MODELOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD Para implantar adecuadamente el proceso del control de calidad es necesario utilizar las metodologías o modelos existentes que ordenan adecuadamente las tareas de calidad en las organizaciones y cuyo mejor exponente en la actualidad es la metodología Seis Sigma. En los párrafos siguientes se abordan brevemente los modelos de calidad más importantes.

Modelo de excelencia de la EFQM El modelo de excelencia EFQM (European Foundation For Quality Management) fue creado en 1992. Se trata del marco de referencia organizacional más utilizado en Europa como sistema de management. El modelo EFQM de excelencia tiene nueve criterios, cinco agentes facilitadores y cuatro resultados, siendo los resultados consecuencia de los agentes facilitadores. Estos criterios pueden expresarse en el siguiente esquema:

Sin importar el sector, el tamaño, la estructura o la madurez, para que una organización tenga éxito necesita establecer un sistema de gestión adecuado. El modelo EFQM de excelencia es una herramienta pública que ayuda a las organizaciones a hacerlo, midiendo su situación en el camino hacia la excelencia, ayudando a comprender las brechas existentes y estimulando las soluciones necesarias. El cuadro siguiente muestra los conceptos fundamentales de la excelencia. 5

CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

Modelo Seis Sigma Seis Sigma persigue el ordenamiento de todas las tareas de calidad a desempeñar en una empresa u organismo. El fundamento de Seis Sigma es esencialmente el cliente. Los clientes no juzgan las compañías por medidas estadísticas, sino por la calidad de los productos y servicios desde la óptica de la variación en los mismos, entendiendo por variación todo cambio en procesos o prácticas de negocio que pueda alterar los resultados esperados por sus clientes. Por esta razón, Seis Sigma se centra inicialmente en reducir la variabilidad de los procesos, para después incrementar su capacidad. La implementación de Seis Sigma no se puede llevar a cabo como si fuera una herramienta más de uso por las áreas de calidad. Si realmente se busca que sea efectiva, debe ser establecida como la única estrategia de gestión corporativa. 6

CAPÍTULO 1: EL PROCESO DEL CONTROL DE CALIDAD. METODOLOGÍAS

Esto es cierto para cualquier sistema de gestión por calidad y más aún en el caso de Seis Sigma. Así, todas las actividades y tareas deben ser incluidas en esta sistemática. Así mismo, las divisiones y fronteras entre departamentos deben difuminarse hasta desaparecer, habilitando una comunicación fluida entre todas las áreas de la empresa. Todos los procesos indirectos (como facturación, etc.) deben ser incluidos también en el sistema, ya que, desde el punto de vista del cliente, una alta calidad en el producto no es suficiente si en procesos colaterales se le suministra baja calidad (por ejemplo, de nada sirve ofrecerle un gran producto si luego se le envían facturas erróneas). En Seis Sigma se trabaja proyecto a proyecto como única forma de eliminar problemas sistemáticos de variabilidad que afectan a procesos medibles y que se traducen en defectos cuantificables. La metodología Seis Sigma consiste en 5 fases: definir, medir, analizar, mejorar y controlar, y su abreviatura más común es DMAMC (iniciales de las fases). El esquema siguiente muestra la definición de estas etapas de la metodología Seis Sigma al aplicarla a los procesos de calidad.

Toda metodología tiene sus actores y en cuanto a los actores y sus roles en la metodología Seis Sigma, debemos tener presentes las especificaciones del cuadro siguiente:

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CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

En cuanto a la dedicación y responsabilidades de estos actores, existen unas reglas generales que se resumen de modo sencillo como se indica en el esquema siguiente:

Es posible representar las fases de la metodología Seis Sigma, en lo relativo a los problemas que se presentan en cada fase como se indica a continuación:

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CAPÍTULO 1: EL PROCESO DEL CONTROL DE CALIDAD. METODOLOGÍAS

Se intuye que los métodos estadísticos van a tener una importancia fundamental en las herramientas a utilizar en las distintas fases de la metodología Seis Sigma. Podríamos establecer una sinergia entre el modelo de Excelencia EFQM y el modelo Seis Sigma a través del siguiente esquema:

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CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

SOFTWARE PARA EL CONTROL DE CALIDAD Existen diferentes paquetes de software que implementan las herramientas para el trabajo con las metodologías que gestionan el proceso de calidad. Las más sencillas y comunes son SPSS, STATGRAPHICS y SAS. En este libro utilizaremos SAS y STATGRAPHICS.

SPSS SPSS es un software estadístico modular muy popular que implementa gran variedad de temas relativos al proceso de calidad en los distintos módulos del programa. Consta de un módulo básico y de otros módulos adicionales como Estadísticas Profesionales (regresión lineal y no lineal, fiabilidad, etc.), Estadísticas Avanzadas (Modelo lineal general GLM, ANOVA, etc.), Tablas, Tendencias, Valores Perdidos, etc. Para el tratamiento de las metodologías del proceso de calidad, SPSS es flexible y con una interfaz intuitiva basada en menús desplegables. Permite la introducción cómoda de datos y maneja un completo conjunto de gráficos de control estadístico de procesos de alta resolución que ayudarán a los analistas a detectar patrones de varianza o tendencias no naturales en los datos y a determinar en qué puntos del proceso hay que centrarse para obtener el máximo rendimiento. También ofrece una amplia gama de estadísticos de distribución y descriptivos, sobre la capacidad de los procesos, que ayudarán a determinar tanto lo que el proceso puede dar de sí como su rendimiento actual. Entre las posibilidades que aporta el programa, podemos citar la actualización inmediata de los gráficos al introducir nuevos datos, ediciones interactivas en puntos del gráfico, modificación del aspecto del gráfico (títulos, etiquetas, estilos de líneas, colores y tipos de letra), gráficos de control por variables, gráficos descriptivos para análisis exploratorio de datos (histogramas, Pareto, etc.), estadísticos de capacidad del proceso, estadísticos descriptivos y de distribuciones, administración de datos y archivos, hoja de cálculo para introducir, editar y visualizar los datos, importación y exportación de archivos ASCII y Excel (entre otros) compatible con el portapapeles de Windows, etc.

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CAPÍTULO 1: EL PROCESO DEL CONTROL DE CALIDAD. METODOLOGÍAS

STATGRAPHICS CENTURION La versión CENTURION de STATGRAPHICS es un software perfectamente adaptado para el trabajo en las metodologías de calidad en los procesos. En concreto, tiene la posibilidad de adecuar su menú a las fases de la metodología Seis Sigma, de modo que los procedimientos que cuelgan de cada opción del menú principal son precisamente las herramientas a utilizar en la correspondiente fase de la metodología Seis Sigma, tal y como se indica en la figura siguiente:

SAS Quizás el programa con más posibilidades en la metodología Seis Sigma y en otras materias estadísticas, pero a la vez con más dificultad de aprendizaje, sea SAS (Statistical Analysis System). Se trata de un sistema de análisis estadístico, econométrico, programación y manejo de datos de gran potencia que maneja volúmenes muy extensos de datos y que implementa, en forma de procedimientos, la mayoría de las técnicas estadísticas actuales. Distribuido en España por SAS INSTITUTE INC., es uno de los programas más utilizados en centros educativos de enseñanza superior y de investigación, y sobre todo en el entorno universitario y en las oficinas e Institutos Nacionales de Estadística de muchos países. La ventaja esencial de este software es la posibilidad de trabajo en distintos entornos. SAS trabaja en mainframes de gran capacidad, con sistemas operativos como MVS, AIX, etc. También existen versiones de SAS para equipos medios con sistemas operativos como UNIX, OS2 y otros.

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CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

Como es natural, también hay versiones de SAS que trabajan en ordenadores personales con sistema operativo Windows. La sintaxis de los procedimientos estadísticos es similar en todos los entornos, y solamente cambian las sentencias específicas de entorno y de sistema. El módulo de SAS para seis sigma se denomina SAS/QC (SAS Quality Control) y permite el trabajo con la mayoría de las técnicas de esta materia, como control estadístico de procesos, gráficos de control, análisis de la capacidad, diseño de experimentos, metodología de Taguchi, planes de muestreo de aceptación, estudios de fiabilidad, herramientas de mejora de la calidad, como los diagramas de causa y efecto, los gráficos de Pareto, etc. Una vez iniciado SAS se obtiene la pantalla de la figura que se presenta a continuación, que muestra cómo se pueden usar los procedimientos de control de calidad, a partir de la subopción Control de calidad de la opción Análisis del menú Soluciones de SAS.

La subopción Control de calidad de la opción Análisis del menú Soluciones de SAS nos lleva al menú general sobre control de calidad del programa, tal y como se presenta en la figura siguiente.

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CAPÍTULO 1: EL PROCESO DEL CONTROL DE CALIDAD. METODOLOGÍAS

En SAS/QC se puede trabajar tanto vía menús como vía procedimientos. Al trabajar en SAS a través de menús, no se requieren conocimientos de programación SAS. No obstante, el sistema de menús selecciona internamente el código de programación necesario para ejecutar los procedimientos submitidos a través de menús.

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CAPÍTULO

MODELIZACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE CALIDAD. FACTORES QUE AFECTAN A LA CALIDAD LA VARIABILIDAD EN LOS PROCESOS Los resultados de cualquier trabajo que se realice siempre contienen variación, y su distribución sigue un cierto patrón. El trabajo humano y los procesos industriales están afectados por un número casi infinito de factores diferentes, y el muestreo, las medidas, los ensayos y los estudios también están todos sujetos a error. Esto quiere decir que, inevitablemente, los datos contienen dispersión, y que la distribución de los resultados del trabajo y de los procesos que producen los datos siguen un cierto patrón. Se debe tener en cuenta este patrón de la distribución cuando se emitan juicios sobre la calidad del resultado de los procesos. Los datos se podrán agrupar en una tabla de frecuencias adecuada que nos permitirá estudiar numérica y gráficamente su distribución y la cuantificación de su dispersión. Los histogramas de frecuencias, las medidas de centralización, dispersión, concentración, asimetría, curtosis, y en general todas las herramientas de la estadística descriptiva, se pueden poner al servicio del control de calidad, y concretamente para el análisis de la dispersión de los datos.

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Los datos que obtenemos siempre están dispersos y nunca tienen un único valor constante. De hecho, los datos que no están dispersos son inútiles. Cuando estimamos la calidad de un lote y decidimos si aceptarlo o rechazarlo o cuando juzgamos si existe una anomalía presente o no en un proceso o trabajo, entramos en el mundo de la dispersión. El número de factores que causan la dispersión en cualquier proceso industrial es teóricamente infinito. Puesto que solo podemos controlar una pequeñísima fracción de estos por medio de la tecnología, inevitablemente habrá dispersión en las características de los productos de nuestros procesos. El muestreo y las mediciones también están sometidos a error, y los resultados siempre estarán dispersos incluso si se mide la misma característica de calidad varias veces. Existen dos tipos de causas de dispersión que afectan a los procesos y ocasionan la variación del producto, y también hay, por tanto, dos tipos de variación. Un tipo de causas es el que hace aparecer la variación en el producto (el resultado del proceso) aunque todos los agentes relacionados con el proceso trabajen siempre en él exactamente igual, y todo el mundo trabaje correctamente, de acuerdo con las normas. Estas son las causas que todavía no están bajo control técnico, pero que están presentes teóricamente en un número casi infinito. Se llaman causas inevitables, causas de azar o causas no asignables, y la variación producida por ellas se llama variabilidad controlada. La dirección no podrá culpar de ellas a los trabajadores basándose en las normas de trabajo. Por el contrario, el otro tipo de causas es el que produce alguna anomalía en el proceso y origina una variación particularmente grande. Estas anomalías suelen darse cuando sucede algo que no está previsto por las normas de trabajo o no se siguen estas. Tales causas se pueden eliminar por medio de la tecnología si todo el mundo implicado hace un esfuerzo cooperativo. Estas causas se llaman causas evitables o causas asignables, y la variación debida a ellas se llama variabilidad incontrolada. Si las normas de trabajo y otras normas fueran perfectas, la presencia de la variabilidad incontrolada querría decir que los operarios no estaban haciendo lo que se les había encomendado. Este tipo de variabilidad indica que se está entrando en un proceso fuera de estándar, o bien que los calibres y las herramientas están desgastados, o que los instrumentos de medida no están calibrados, etc. Cuando aparece la variabilidad incontrolada, los directivos son responsables de acometer acciones para asegurarse de que el trabajo se realiza de acuerdo con las normas internas. Sin embargo, estas normas generalmente son imperfectas, y estas causas usualmente exigen la acción correctora de normas por parte de los directivos y del staff. 16

CAPÍTULO 2: MODELIZACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE CALIDAD. FACTORES…

Como se mencionó anteriormente, estos dos tipos de causas de dispersión producen dos tipos de variación en los resultados de los procesos. Cuando el trabajo avanza según las normas internas, se realiza el muestreo aleatorio correctamente y se toman medidas controladas, generalmente se podrá observar que la variación de la calidad del producto debida a las causas de azar tiene una distribución fija, usualmente la distribución normal. Ya sabemos que esta situación se conoce como variabilidad controlada. Un proceso que produce resultados en los cuales la única dispersión es la variabilidad controlada se llama proceso en estado controlado. En contraste con esto, cuando surge una causa asignable de dispersión, la variación de los resultados del proceso es anormalmente grande. Ya sabemos que esta dispersión anormalmente grande se llama variabilidad incontrolada y el proceso que produce resultados que tienen tal dispersión se llama proceso en estado incontrolado o proceso fuera de control. Estas ideas sobre la variación y la dispersión son generales y no se limitan a la calidad. Se pueden aplicar exactamente de la misma forma al rendimiento, los costes de producción, los costes unitarios, los volúmenes de ventas y otras cantidades, todas ellas resultado de un proceso. Antiguamente los procesos eran controlados por medio de la intuición y la experiencia para distinguir entre los dos tipos de variación. Ahora, sin embargo, utilizamos herramientas estadísticas para entrar en el mundo de la dispersión, distinguir objetiva y económicamente entre los dos tipos de variación y desterrar las causas asignables de nuestros procesos. Para hacer esta distinción, se usan los gráficos de control, que estudiaremos en capítulos posteriores. Lo expuesto hasta ahora sobre las causas de la variación en los procesos supone que se están observando unas normas de trabajo. Sin embargo, cuando no hay normas de trabajo razonables, es imposible clasificar los dos tipos de causas del modo expuesto. En tal caso, podríamos empezar por clasificarlas dependiendo de si el trabajo se ha estado realizando uniformemente o si se introdujo algún cambio. También podríamos clasificar las causas de variación en aquellas que producen una variación relativamente grande y las que solo producen una pequeña variación. En este caso, si elimináramos las causas asignables más importantes, podríamos luego separar las variaciones relativamente grandes de las que hasta entonces se habían considerado relativamente poco importantes. En otras palabras, podríamos separar las causas según el orden del tamaño de la variación que producen y eliminarlas una a una, empezando por la más grande.

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CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

FACTORES QUE AFECTAN A LA CALIDAD Entendemos por característica o factor de calidad cualquier propiedad que contribuya a la adecuación al uso de un producto, proceso o servicio. Como en realidad pueden existir muchas características de calidad distintas, y algunas más importantes que otras, resulta necesario identificar aquellas que afectan directamente a la calidad jerarquizándolas y clasificándolas por orden de importancia. Esta tarea se engloba en la fase Definir de la metodología Seis Sigma. Para ayudarnos en la búsqueda de estas características existen técnicas simples como los diagramas causa-efecto, los diagramas de Pareto, los histogramas, las distribuciones de frecuencias y de probabilidad, los gráficos de control y los diagramas de correlación. Todas estas técnicas, que influyen en la calidad de los procesos, serán desarrolladas a lo largo del capítulo acompañadas de las herramientas informáticas de las que se dispone actualmente para el trabajo con las mismas. A continuación se exponen de modo conceptual cada una de ellas.

Diagrama causa-efecto También llamado diagrama de la espina de pescado por la forma característica que tiene. Fue creado por el Dr. Kaoru Ishikawa como herramienta de trabajo para los círculos de calidad. Se trata de una herramienta importante de la fase Definir de la metodología Seis Sigma. Se utiliza para representar gráficamente de una forma clara y precisa qué factores afectan a un problema de calidad. En concreto se trata de averiguar a través de un efecto las causas que lo motivan para luego poder tomar acciones correctivas. Este diagrama proporciona bases para discusión de los factores que afectan a un problema y su interrelación y se utiliza principalmente en la solución de problemas de calidad, aunque también puede utilizarse sin limitación en la resolución de problemas en cualquier actividad: industrial, comercial, económica, social, etc. El diagrama causa-efecto consiste básicamente en definir un objetivo o efecto (mejorar eficiencia, reducir rechazos, etc.), teorizar sobre las posibles causas que motivan el efecto (brainstorming) y representar gráficamente las causas y los factores que afectan al objetivo en una estructura que Ishikawa denomina fishbone (espina de pescado). Cuando han sido definidas las principales causas, se hallan las subcausas, y así sucesivamente. En próximas sesiones al cabo de unos días, se recopilan algunas 18

CAPÍTULO 2: MODELIZACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE CALIDAD. FACTORES…

nuevas causas para ir alimentando el diagrama con el afán de mantener siempre vivo y abierto el proceso de identificación de causas que afectan a la calidad. Este diagrama se denomina de espina de pescado porque en su forma más simple consiste en una flecha horizontal que apunta hacia un efecto, y cuatro o seis flechas principales que se orientan hacia la flecha horizontal. Cada una de estas flechas corresponde a cada una de las causas principales que intervienen en el efecto y que normalmente son: materiales, métodos, máquinas y mano de obra. Como los cuatro elementos comienzan por la letra M, el diagrama causa-efecto también se conoce por el nombre de diagrama de las cuatro M. En cada una de las flechas principales pueden incidir flechas secundarias relativas a subcausas de cada causa principal. En estas flechas se van anotando las distintas subcausas. Actualmente el diagrama de las 4 M está siendo sustituido por el llamado diagrama de las seis M, agregándole ahora dos elementos más: medio ambiente y mantenimiento. Para la construcción del diagrama causa-efecto, en el extremo derecho de la flecha principal se escribe el efecto al que queremos buscarle las causas. Las flechas secundarias relativas a cada causa (cada M) que interviene en el proceso y que producen el efecto, se orientan de forma inclinada hacia la flecha principal incidiendo sobre ella con un ángulo aproximado de 30 grados. Las subcausas que se vayan detectando relativas a cada causa se anotarán en su correspondiente flecha secundaria mediante nuevas flechas más pequeñas que inciden sobre la flecha secundaria también de modo inclinado. Siguiendo el proceso con distintos niveles de subcausas se consigue un diagrama muy similar a una espina de pescado. Actualmente esta técnica está automatizada y se analizará software que la implementa.

Diagrama de Pareto Wilfredo Pareto, economista italiano (1848-1923), enunció el principio de la distribución de la riqueza diciendo que el 80% de la riqueza está en manos del 20% de la población. El diagrama de Pareto, llamado también análisis ABC, consiste esencialmente en la clasificación de los elementos o factores que intervienen en un proceso por su orden de importancia para poder tratar cada uno de ellos de una forma distinta según su peso específico. Se trata de otra herramienta importante de la fase Definir de la metodología Seis Sigma. Realmente unas pocas causas son las que producen la mayoría de los efectos, es decir, que el resultado de un proceso dependerá esencialmente de un número pequeño de los factores que intervienen en el mismo. Si logramos determinar cuáles 19

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son estas causas o factores vitales podremos concentrar nuestros esfuerzos en el estudio de los mismos, con lo que resolveremos la mayoría del problema. De aquí se deriva la famosa frase de Pareto que sostiene que “aplicando la atención a los pocos asuntos vitales, se consigue la máxima eficacia y rendimiento de los esfuerzos dedicados”. El principio de Pareto es aplicable a múltiples actividades. Pone de manifiesto siempre aquellos asuntos que tienen más importancia en el conjunto del problema. Por ejemplo: el 80% de las ventas se realiza al 20% de los clientes, el 80% del valor del inventario lo absorbe el 20% de artículos, el 80% del coste está dedicado al 20% de los productos, el 80% de los problemas de calidad lo acapara el 20% de los productos, etc. Para desarrollar un diagrama de Pareto o diagrama ABC, en primer lugar se decide sobre el asunto y las características de calidad a analizar y su medida (máquinas, piezas, defectos, departamentos, operarios, coste, etc.). A continuación se decide sobre el origen de los datos (históricos o retrospectivos, actuales o de nueva información, etc.). La siguiente fase es decidir sobre el tamaño de la muestra (hasta qué fecha incluir los datos históricos, cuántos datos actuales, etc.). A continuación se verifican los datos históricos o se confronta la exactitud de los datos actuales para pasar a registrar los datos medidos sobre las características de calidad en una hoja de registro adecuada y ordenarlos del más grande al más pequeño. A partir de este momento se establece la siguiente operativa: •

Efectuar las sumas acumuladas de los datos ordenados empezando por el mayor.

•

Dividir cada valor acumulado por el total acumulado para hallar el porcentaje en importancia de cada dato en el total.

•

Construir un diagrama de barras para los datos colocando el porcentaje en importancia como altura de la barra (ordenadas) y los datos en el eje horizontal, del más grande al más pequeño.

•

Analizar los resultados.

Gráficos de control Los gráficos de control habitualmente utilizados en el control estadístico de calidad se crean para representar de una forma ordenada y cronológica las informaciones recogidas sobre el resultado de las operaciones a lo largo de un período. Estos datos, referidos a períodos unitarios (horas, días, semanas, etc.), 20

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pueden ser los valores del diámetro de las piezas fabricadas, la tasa de averías de una máquina o proceso, la tasa de defectos en un proceso de producción, la tasa de accidentes, el rendimiento de un proceso, o cualquier otra característica de calidad relevante de un proceso. Está claro que estos gráficos son muy útiles para analizar los factores que intervienen en la calidad. Se trata de una herramienta importante de las fases Analizar y Controlar de la metodología Seis Sigma. El gráfico se construye dibujando una recta vertical en la que se coloca una escala limitada al rango de valores previsible de la característica cuya calidad se estudia. Horizontalmente se dibujan los puntos correspondientes a los valores que se alcanzan para la característica en los sucesivos períodos o números de muestra. Se dibuja una recta horizontal al nivel correspondiente al valor medio de los valores obtenidos para la característica en los sucesivos períodos o muestras, y dos rectas paralelas correspondientes a los rangos superior e inferior de desviaciones admisibles. La interpretación visual directa del gráfico de control permite apreciar fácilmente si los datos son normales o anormales o si están conformes con los resultados esperados. El tema de los gráficos de control será desarrollado en este libro a lo largo de varios capítulos, incluyendo el software actual que implementa este tipo de técnica.

Histogramas Una vez obtenidos los datos de un problema, es práctico representarlos de una forma gráfica que refleje la dispersión de los valores respecto de la media. Obsérvese que mientras el diagrama de Pareto se orienta a representar causas o condiciones en la hipótesis generalmente confirmada por los hechos de que una o un número reducido de causas o condiciones asocia la mayor parte de un problema, en un histograma reflejaremos generalmente resultados de un proceso para todas las causas. Por lo tanto el histograma es muy útil para estudiar los factores que intervienen en la calidad. Se trata de una herramienta importante de la fase Medir de la metodología Seis Sigma. Un histograma se construye dibujando una recta horizontal y colocando una escala en la misma, definiendo una sucesión ordenada de rangos de valores. En cada rango se dibuja una columna cuya altura indica el número de veces en que el valor del resultado del proceso se incluye en ese rango. Se pueden dibujar, además, la media obtenida real y el valor medio objetivo. También veremos a lo largo del texto la utilidad de esta herramienta, así como su tratamiento automatizado con el software actual. 21

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Diagrama de correlación Es una herramienta que sirve para investigar si existe correlación entre dos características de calidad X e Y de un proceso. Se sitúa en el eje de abscisas una escala apropiada para la primera característica, y en el de ordenadas otra escala para la segunda característica. En cada realización unitaria del proceso se miden los valores correspondientes de X e Y y se dibuja un punto del diagrama. Tras una serie de medidas del proceso obtenemos una nube de puntos. El tipo de correlación (positiva, negativa, inexistente o posiblemente existente positiva o posiblemente existente negativa) lo determina la estructura de la nube. Pueden obtenerse expresiones matemáticas del grado de correlación entre las características; sin embargo, en los informes de calidad se utiliza el diagrama y se deducen conclusiones (en algún caso, discutibles), basándose en la forma de la nube de puntos, sin realizar cálculos numéricos. Si existe interrelación entre las características de calidad X e Y, controlando el factor independiente, el factor dependiente estará también controlado. Se trata de una herramienta importante de las fases Analizar y Mejorar de la metodología Seis Sigma.

Distribuciones de frecuencia Al analizar una característica de calidad medida por una variable estadística, los datos que obtenemos siempre están dispersos. Una vez que sabemos que los datos relativos a las distintas características van a estar dispersos, nos surge el problema de detectar el patrón en la variabilidad de los datos. Para ayudar a esta tarea, existen herramientas estadísticas básicas como las distribuciones de frecuencias y los histogramas, así como técnicas sencillas de análisis exploratorio de datos. Se trata de una herramienta importante de la fase Analizar de la metodología Seis Sigma. Cuando los datos están dispersos, la dispersión sigue un cierto patrón. Inicialmente, los datos no nos dicen nada por sí mismos, pero si los dividimos en clases o celdas ordenadamente, puede aclararse la forma de su dispersión; es decir, puede aclararse la forma de cómo están distribuidos. Esta forma de la distribución de los datos inherente a su variabilidad se denomina distribución de frecuencias. Normalmente, los datos son numerosos, en cuyo caso es muy útil reunirlos en clases siendo recomendable utilizar entre 4 y 20 clases (o celdas). A menudo, conviene elegir un número total de clases igual aproximadamente a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Las clases deben tener amplitud uniforme y se construye la primera de ellas comenzando con un límite inferior solo un poco menor que el 22

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valor más pequeño de los datos. Se construye la última clase finalizando con un límite superior solo un poco mayor que el valor más grande de los datos. Suele ser posible ver la forma general de una distribución si se reúnen cien o más valores y se prepara convenientemente una tabla de frecuencias con diez o veinte clases. Ante la importancia de las distribuciones de frecuencias, derivada de que en todo proceso real hay un momento en el que nos encontramos con un conjunto de datos sobre las variables a tratar, es de gran interés formalizar el camino de recogida, ordenación y presentación de los datos que, en la mayoría de las ocasiones, aparecerán dispuestos en tablas de frecuencias de simple o doble entrada que servirán para analizar las distribuciones de las variables. Dada una variable X con valores x1, x2,..., xN aparece una serie de conceptos generales que se mencionan a continuación: •

Frecuencia absoluta ni: se denomina frecuencia absoluta del valor x i de la variable X, al número de veces n i que se repite ese valor.

•

Frecuencia relativa fi : se denomina frecuencia relativa del valor xi de la variable X a la relación por cociente entre el número de veces que aparece el valor x i y el número total de valores de la variable (N). O sea, f i = ni/N.

•

Frecuencia absoluta acumulada Ni: se denomina frecuencia absoluta acumulada del valor xi a la suma de las frecuencias absolutas de los valores de la variable X anteriores o iguales a x i.

•

Frecuencia relativa acumulada Fi: es la frecuencia absoluta acumulada dividida por el número total de valores de la variable. Su valor es F i = Ni/N. De todas estas definiciones se extraen inmediatamente las siguientes deducciones:

•

La suma de las frecuencias absolutas sin acumular es igual al número total de elementos (n i = N).

•

La última frecuencia relativa acumulada coincide con el total de elementos (N).

•

La suma de todas las frecuencias relativas sin acumular es igual a 1 (f i = 1).

•

La última frecuencia relativa acumulada es la unidad.

Al conjunto de valores que ha tomado una variable, junto con sus frecuencias, se le denomina distribución de frecuencias de la característica o variable. Para que una 23

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distribución de frecuencias quede determinada, es necesario conocer todos los valores de la variable y uno cualquiera de los conceptos de frecuencia que acabamos de definir, ya que el paso de uno a otro es inmediato. Además, según la forma en que se presenten los valores de la variable será posible distinguir dos tipos de distribuciones de frecuencias: •

Las que no están agrupadas en intervalos, que surgen cuando la información se dispone asociando a cada valor o categoría de la variable su respectiva frecuencia.

•

Aquellas cuyos valores observados generalmente aparecen agrupados en intervalos o clases [Li , Li-1] debido al elevado número de observaciones, y, por tanto, las frecuencias correspondientes a cada intervalo se obtienen sumando las de los respectivos valores de la variable que contiene.

Cuando se trabaja con distribuciones agrupadas por intervalos o clases es necesario que las frecuencias observadas se asignen de alguna forma a los puntos del intervalo. Se podrá optar por suponer que los valores del intervalo se distribuyen uniformemente a lo largo de él o por considerar como representativo de todos los puntos del intervalo un único valor, por ejemplo, el punto medio del mismo, que denominaremos marca de clase (Xi) y que, en consecuencia, se obtendrá mediante X i = (Li-1 + Li)/2. Aunque la agrupación de valores tiene la ventaja de simplificar el manejo de la información, presenta en cambio un importante inconveniente que consiste en la pérdida, en mayor o menor medida, de una parte de dicha información. La distribución de frecuencias de una variable suele presentarse ordenadamente mediante la tabla de frecuencias siguiente: Ii [L0 , L1] [L1 , L2] [L2 , L3] . . [Lk -1, Lk]

Xi x1 x2 x3 . . xk

ni n1 n2 n3 . . nk ni = N

fi f1 = n 1 /N f2 = n 2 /N f3 = n 3 /N . . fk = n k/N f i = 1

Ni N1 = n1 N2 = n1+n 2 N3 = n1+n 2+n 3 . . N k = n1+...+nk = N

Fi F1 = N1 /N F2 = N2 /N F2 = N3 /N . . Fk = N k/N = 1

En cuanto al número de intervalos k a considerar puede tenerse en cuenta la fórmula de Sturges (K = E[3/2+log(N)/log(2)]), o también tomar K= √ N. 24

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Las distribuciones de frecuencias son la herramienta más sencilla y más utilizada y eficaz cuando estamos rodeados de montones de datos, que no nos dicen nada si no hacemos más que enumerarlos. Al expresar estos datos en forma de una distribución de frecuencias, ya nos proporcionan diversas ideas. Puesto que las distribuciones de frecuencias se utilizan muy a menudo, es necesario conocer su finalidad y su interpretación y uso.

MODELIZACIÓN DE LA VARIABILIDAD Es muy importante modelizar las características de calidad resultantes de los procesos. Sabemos que siempre habrá dispersión en las características de calidad de nuestros productos. Los datos relativos a estas características de calidad presentan variabilidad, con lo que podrán tratarse como variables aleatorias. De esta forma podemos encauzar por caminos estadísticos el problema de detectar el patrón que sigue la variabilidad. Para detectar y modelizar estos patrones de variabilidad de los datos, se utilizan las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias a las que se ajustan las características de calidad, que constituyen así una herramienta estadística básica aplicable al control de calidad. Se trata de una herramienta importante de la fase Analizar de la metodología Seis Sigma. Una variable aleatoria representa el conjunto de valores que pueden observarse en un fenómeno aleatorio, valores que dependen del azar y sobre los cuales es posible establecer una medida de su probabilidad. Según el número de valores que pueda tomar, la variable aleatoria puede ser de dos tipos: •

Variable aleatoria discreta: si únicamente toma un número finito o numerable de valores.

•

Variable aleatoria continua: cuando puede tomar los infinitos valores de un intervalo.

Se denomina distribución de probabilidad de una variable aleatoria a la función que asigna probabilidad a los valores que puede tomar la variable. Cuando se especifican los posibles valores de la variable aleatoria y sus probabilidades respectivas, tenemos construido el modelo de distribución de probabilidad. La clasificación de las variables aleatorias en discretas y continuas origina la presencia de dos grandes grupos de distribuciones de probabilidad, que se asocian a estos dos tipos de variables. De esta forma, tendremos las distribuciones discretas y las distribuciones continuas. 25

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Modelos discretos para características de calidad Se denomina ley de probabilidad o función de cuantía de la variable aleatoria discreta X a la función Pi = P(xi) = P(X = xi). La función de cuantía nos proporciona la cantidad de probabilidad contenida en cada uno de los puntos, o valores, de la variable aleatoria. De esta forma, el modelo de distribución de probabilidad queda especificado de la forma siguiente: X = xi P( X = x i)

x1, x 2, , xn p1, p2, , p n

La ley de probabilidad de la variable X verifica que P(x) ≥ 0 para cualquier valor x de la variable, y también verifica que p(x) = 1, extendida la suma a todos los valores x de la variable aleatoria X. Se denomina función de distribución de una variable aleatoria X en el punto x a la función F(x) definida como: F (x )= P (X ≤ x )=

 P (X = x

xi ≤ x

i

)

De esta forma, la función de distribución de la variable aleatoria X en el punto x es la suma de todas las probabilidades contenidas en los puntos del intervalo (− ∞, x]. La función de distribución de una variable aleatoria discreta es escalonada con saltos de valor p(x )i en los puntos xi. Además, es siempre no decreciente y verifica que F( −∞) = 0 y F(+∞) = 1. Al igual que la ley de probabilidad (función de cuantía), la función de distribución caracteriza completamente a una variable aleatoria. Suelen considerarse características esenciales de una distribución de frecuencias la esperanza matemática o media, la varianza, la desviación típica y los momentos. La esperanza matemática o media de una variable aleatoria es un concepto similar al de media de una distribución de frecuencias. Si la variable X es discreta, se define su esperanza como: E (x ) = μ =  xi P (X = xi ) =  xi Pi i

i

La varianza de una variable aleatoria se define como: V ( X ) = σ 2 = E[(X − μ )] 2

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Para variables discretas, tendremos: V ( X ) = σ 2 = ( x i − μ ) 2 Pi i

La desviación típica se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se define el momento de orden k centrado en el origen como mk = E(Xk), que para variables discretas será: k mk = E (X )=

x i

k

i

Pi

Se define el momento de orden k centrado en la media como μk = E((X−μ )k), que para variables discretas será:

μk = E ((X − μ ) k ) =  (x i − μ ) k Pi i

Existen características de calidad que pueden modelizarse según una determinada distribución de tipo discreto. A continuación, se exponen algunos de los modelos de probabilidad discretos más habituales. Distribución Bernoulli Binom ial Poisson Geom étrica Binom ial negativa

Hiper − geométrica

Ley deprobabilidad x 1− x p (1 − p) x = 0,1 n  x   p (1 − p) 1− x  x x = 0,1,...,n

Parám etros p 0< p < 1 n, p n = 1, 2,... 0< p < 1

Media

Varianza

p

p (1 − p )

np

np(1 − p)

e −λ

λ >0

λ

λ

0≤ p ≤ 1

1 p

1− p p2

n >0 0≤ p ≤ 1

n (1 − p ) p

n (1 − p ) p2

np

np(1 − p) N −n * N −1

λx

x! p(1 − p) x−1 x = 1, 2,... + x −1 n  p (1 − p ) x x 

n   x = 0,1, ...  Np  N (1 − p )     x  n − x  N    n  x = 0,1, ..., n

N = 1, 2,... n = 1, 2,..., N p = 0,

1 , ...,1 N

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En cuanto a la distribución de Bernoulli, los ensayos o pruebas repetidas e independientes se llaman de Bernoulli cuando en cada ensayo solo hay dos resultados posibles (éxito o fracaso) que tienen la misma probabilidad en todas las repeticiones. Estas dos probabilidades posibles suelen denotarse por p y q (p + q = 1), siendo p la probabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso. Suele utilizarse esta distribución en modelos físicos 0-1 (fracaso-éxito o fallo-funcionamiento) muy usados en control de calidad. En cuanto a la distribución binomial, supongamos el experimento aleatorio consistente en la realización de n ensayos o pruebas de Bernoulli. Queremos calcular la probabilidad de que entre estos n ensayos se obtengan k éxitos y n-k fallos. La variable aleatoria X que define esta probabilidad se denomina binomial. Suele usarse en control de calidad en diagramas de control por atributos y muestreo con reemplazo. El modelo binomial es el modelo probabilístico apropiado para muestrear una población infinitamente grande, donde p representa la fracción o proporción de éxitos o fallos en la población; X suele representar el número de artículos disconformes encontrados en una muestra aleatoria de tamaño n. Una variable aleatoria que aparece frecuentemente en el control estadístico de la calidad es X/n, donde X es una binomial B(n,p). Esta variable suele asociarse al cociente del número de artículos defectuosos en la muestra entre el tamaño muestral, y suele denominarse en control de calidad fracción muestral de defectuosos. La esperanza de esta variable es p, y la varianza es pq/n. Observamos, por tanto, que esta distribución modeliza habitualmente características de calidad. En cuanto a la distribución de Poisson, cuando en la realización de las pruebas de Bernoulli la probabilidad de éxito es muy pequeña con respecto a np, y nq muy pequeño con respecto a n, el cálculo de los valores de la ley de probabilidad resulta muy complicado y laborioso, por lo que dichos cálculos se omiten, utilizando una distribución que se conoce con el nombre de distribución de Poisson, que se aproxima a la binomial. La aproximación de las probabilidades binomiales por las de Poisson son buenas cuando np < 5 y p < 0,1. Por ser esta distribución una buena aproximación de la binomial cuando p es muy pequeño con respecto a n, es por lo que a veces se denomina distribución de los sucesos raros. Haciendo tender n a infinito y p hacia 0 (manteniendo np = μ constante), se demuestra matemáticamente que la ley de probabilidad de la binomial tiende a la ley de probabilidad de la variable de Poisson de parámetro μ. La distribución de Poisson se utiliza como distribución de las ocurrencias de un fenómeno en un intervalo de tiempo. También se utiliza como modelo del número de defectos o disconformidades que ocurren en una unidad de producto. En realidad, cualquier fenómeno aleatorio que ocurre por unidad (de área, de volumen, de tiempo, etc.) se puede aproximar bien en la mayoría de los casos por la ley de Poisson. También se utiliza en el diseño de los límites de control de los diagramas 28

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p (proporción de unidades defectuosas) y u (número de defectos por unidad) en control de calidad típicos en la fase Medir de la metodología Seis Sigma. Observamos, por tanto, que tiene muchas aplicaciones en control de calidad. En cuanto a la distribución geométrica, la variable aleatoria X, definida como el número de pruebas independientes necesarias para que un suceso A de probabilidad p aparezca por primera vez, recibe el nombre de geométrica. La variable geométrica también suele caracterizarse como el tiempo de espera hasta el primer éxito o fallo, y se utiliza en estudios de fiabilidad y en situaciones cíclicas donde se alternan éxitos y fallos (típicos en la fase Medir de la metodología Seis Sigma). En cuanto a la distribución binomial negativa, consideremos una serie de pruebas independientes y sea n el número exacto de veces que aparece el suceso A de probabilidad p. La variable aleatoria X, que denota el número de fallos antes del éxito n-ésimo, recibe el nombre de binomial negativa. La variable binomial negativa también suele caracterizarse como el tiempo de espera hasta el n-ésimo éxito o fallo, y tiene campo de aplicación similar a la geométrica (fiabilidad, procesos de alternancia entre éxitos y fallos, etc.). También es útil como modelo estadístico fundamental para varios tipos de datos de conteo, como la ocurrencia de disconformidades en una unidad de un producto. Vuelve a ser habitual utilizar la binomial negativa como una distribución a la que se ajustan determinadas características de calidad. En cuanto a la distribución hipergeométrica, es el modelo probabilístico apropiado para seleccionar una muestra aleatoria de n artículos, sin reposición, de un lote de N de ellos, de los cuales D = Np son disconformes o defectuosos. En este caso, si la razón n/N, llamada a menudo fracción de muestreo, es pequeña (menor que 0,1), entonces la distribución binomial B(n,p) con p = D/N es una adecuada aproximación a la hipergeométrica. La aproximación es mejor cuanto más pequeños sean los valores de la fracción de muestreo n/N. La distribución hipergeométrica se utiliza con asiduidad en planes de muestreo para aceptación (herramientas clásicas de la fase Controlar de la metodología Seis Sigma). En cuanto a la relación entre distribuciones, se cumple que si X1, X2,..., Xn son variables aleatorias de Bernoulli independientes, entonces su suma es una binomial de parámetros n y p (B(n,p)). También se cumple que si X1, X2,..., Xn son variables aleatorias independientes geométricas de parámetro p, Xi es una variable aleatoria binomial negativa de parámetros (n,p). Por otra parte, si n ≥ 30 y min(np,nq) < 10, la distribución binomial B(n,p) se puede aproximar por una distribución de Poisson de parámetro λ = np. Además, si n ≥ 30 y min(np,nq) ≥ 10, la distribución binomial B(n,p) se puede aproximar por una distribución normal con μ = np y σ 2 = npq. 29

CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS

Modelos continuos para características de calidad La distribución de probabilidad de una variable que modeliza una característica de calidad es continua cuando la variable aleatoria puede tomar los infinitos valores de un intervalo. En este caso, la masa o cuantía de probabilidad se distribuye en el intervalo dado. Como características destacables de las distribuciones continuas tenemos por un lado que no es posible conocer su valor exacto, ya que medir el valor de una variable de este tipo consiste únicamente en clasificarlo dentro de un intervalo de mayor o menor amplitud, y por otro lado, que las probabilidades se asignan a intervalos, no a puntos. De hecho, la probabilidad de un punto es cero para cualquier variable continua. Dado que la probabilidad de un punto es cero, es necesario introducir un concepto que aproxime tal probabilidad puntual. Dicho concepto es el de elemento diferencial de probabilidad, que viene dado como: P(x F

16.5472727 2.1075000

7.85

0.0306

Response M ean 40.22500

CAPÍTULO 7: CALIDAD Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS. DISEÑOS MULTIFACTORIALES

Source

DF

Anova SS

M ean Square

F Value

Block A Block*A B A*B

1 3 3 1 3

131.1025000 40.1900000 6.9275000 2.2500000 1.5500000

131.1025000 13.3966667 2.3091667 2.2500000 0.5166667

62.21 6.36 1.10 1.07 0.25

Pr > F 0.0014 0.0530 0.4476 0.3599 0.8612

Tests of Hypotheses Using the Anova M S for Block*A as an Error Term Source A

DF

Anova SS

3

40.19000000

M ean Square

F Value

13.39666667

5.80

Pr > F 0.0914

El test global de la F indica que el modelo es significativo al 90% (p-valor menor que 0,05). Analizando el contraste de la F para la significatividad individual, se ve que no son signifivativos los efectos B, A*B y BLOCK*A, mientras que el efecto A se encuentra en la frontera de la no significatividad al 95% (p-valor=0,053 muy poco mayor que 0,05). El contraste de BLOCK*A es irrelevante. En el segundo ejemplo consideramos un diseño en cuadrado latino, utilizando producciones (Y) de 6 diferentes variedades (VARIEDAD) de azúcar, almacenadas en sacos, formando un cuadro de 6 filas (FILA) por 6 columnas (COLUMNA). A continuación se recolecta una segunda cosecha de azúcar (COSECHA) y se recopilan los datos considerando un diseño split-splot con el cuadrado latino original. title 'Variedades de azucar'; title3 'Diseño split-splot en cuadrado latino'; data azucar; do cosecha=1 to 2; do fila=1 to 6; do colum na=1 to 6; input Variedad Y @; output; end; end; end; datalines; 3 19.1 6 18.3 5 19.6 1 18.6 2 18.2 4 18.5 6 18.1 2 19.5 4 17.6 3 18.7 1 18.7 5 19.9 1 18.1 5 20.2 6 18.5 4 20.1 3 18.6 2 19.2 2 19.1 3 18.8 1 18.7 5 20.2 4 18.6 6 18.5 4 17.5 1 18.1 2 18.7 6 18.2 5 20.4 3 18.5 5 17.7 4 17.8 3 17.4 2 17.0 6 17.6 1 17.6 3 16.2 6 17.0 5 18.1 1 16.6 2 17.7 4 16.3 6 16.0 2 15.3 4 16.0 3 17.1 1 16.5 5 17.6 1 16.5 5 18.1 6 16.7 4 16.2 3 16.7 2 17.3 2 17.5 3 16.0 1 16.4 5 18.0 4 16.6 6 16.1 4 15.7 1 16.1 2 16.7 6 16.3 5 17.8 3 16.2 5 18.3 4 16.6 3 16.4 2 17.6 6 17.1 1 16.5 ; proc anova; class colum na fila variedad cosecha; m odel Y=fila colum na variedad fila*colum na*variedad cosecha cosecha*fila

331

CONTROL DE CALIDAD. TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS cosecha*variedad; test h=fila colum na variedad e=fila*colum na*variedad; test h=cosecha e=cosecha*fila; run;

La salida es la siguiente: Variedades de azucar Diseño split-splot en cuadrado latino The ANOVA Procedure Class Level Inform ation Class Levels Values colum na 6 1 2 3 4 5 6 fila 6 1 2 3 4 5 6 Variedad 6 1 2 3 4 5 6 cosecha 2 1 2 Num ber of observations 72 Dependent Variable: Y Source

DF

Sum of Squares

M ean Square

F Value

Pr > F

M odel

46

98.9147222

2.1503200

7.22

F

0.86413889 0.31480556 4.12380556 0.16272222 60.68347222 1.54347222 0.14913889

2.90 1.06 13.84 0.55 203.68 5.18 0.50

0.0337 0.4075 F F

55.30 159.79 233.68 3.11

F

Bloque Tipo

2 6

39.0371429 103.1514286

19.5185714 17.1919048

11.86 10.45

0.0014 0.0004

El análisis muestra que la longitud del tallo es significativamente diferente para los distintos tipos de terreno, pudiendo concluirse que existen diferencias significativas en las longitudes de los tallos entre los tres bloques del experimento. Los p-valores pequeños indican significatividad de los efectos bloque y tipo sobre la variable respuesta (longitud de los tallos). Como segundo ejemplo vamos a seguir considerando el diseño completo en bloques aleatorizados anterior, pero ampliándolo con comparaciones de medias y contrastes de Waller-Duncan para la variable tallo y el contraste múltiple de Ryan-Eniot-GabrielWelch. proc glm order=data; class Bloque Tipo; m odel Tallo = Bloque Tipo / solution; m eans Tipo / waller regwq; run;

338

CAPÍTULO 7: CALIDAD Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS. DISEÑOS MULTIFACTORIALES

La salida es la siguiente: Diseño com pleto en bloques aleatorizados con datos balanceados The GLM Procedure Class Level Inform ation Class Bloque Tipo

Levels 3 7

Values 1 2 3 Clarion Clinton Knox O'Neill Com post W abash W ebster Num ber of observations

Dependent Variable: tallo Source M odel Error Corrected Total

DF 8 12 20 R-Square 0.878079

Sum of Squares 142.1885714 19.7428571 161.9314286

Coeff Var 3.939745

21 M ean Square 17.7735714 1.6452381

Root M SE 1.282668

F Value 10.80

Pr > F 0.0002

tallo M ean 32.55714

Source Bloque Tipo

DF 2 6

Type I SS 39.0371429 103.1514286

M ean Square 19.5185714 17.1919048

F Value 11.86 10.45

Source

DF

Type III SS

M ean Square

F Value

Pr > F

Bloque Tipo

2 6

39.0371429 103.1514286

19.5185714 17.1919048

11.86 10.45

0.0014 0.0004

Param eter Intercept Bloque Bloque Bloque Tipo Tipo Tipo Tipo Tipo Tipo Tipo

Estim ate 29.35714286 B 3.32857143 B 1.90000000 B 0.00000000 B 1.06666667 B -0.80000000 B 3.80000000 B 2.70000000 B -1.43333333 B 4.86666667 B 0.00000000 B

1 2 3 Clarion Clinton Knox O'Neill Com post W abash W ebster

Pr > F 0.0014 0.0004

Standard Error

t Value

Pr > |t|

0.83970354 0.68561507 0.68561507 . 1.04729432 1.04729432 1.04729432 1.04729432 1.04729432 1.04729432 .

34.96 4.85 2.77 . 1.02 -0.76 3.63 2.58 -1.37 4.65 .