Compte Rendu TP1 Analyse Numérique [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITE de BRETAGNE du SUD Ecole Nationale Supérieure Des Ingénieurs De Bretagne Du Sud

Compte Rendu TP1 : Analyse Numérique

Réalisé par

 AL ECHCHEIKH EL ALOUI Adnane Année Universitaire 2010/2011

Encadré par

 Mr Coer J

 Partie 1 : Premiers contacts avec Matlabe Exercice n°1 : Création de scripts et manipulation d’objets matriciels Méthode optimisée (temps d’exécution est presque nul) U=[1:2:13];V=[2:2:14]; >> U'*V ans = 2 4 6 8 10 12 14 6 12 18 24 30 36 42 10 20 30 40 50 60 70 14 28 42 56 70 84 98 18 36 54 72 90 108 126 22 44 66 88 110 132 154 26 52 78 104 130 156 182 Méthode itérative (le temps d’exécution 0.0160s) %permet enregistre l'heure de debut de l'exécution Tstart=cputime; M=U*V; Tstop=cputime; %permet enregistre l'heure de la fin de l'exécution disp('M='); disp(M); %c'est une façon d'afficher le résultat on affiche d'abord le texte Mopti = puis le résultat DELAY=abs(Tstop-Tstart); function [iterative]=produit(U,V) U=[1:2:13]; V=[2:2:14]; for i=1:1:7 for j=1:1:7 M(i,j)=(U(i))*V(j) end end Résolution de problème X=M/F >> X=M/F X= 0.8205 2.4615 4.1026 5.7436 7.3846 9.0256 10.6667

ans = 2 4 6 12 10 20 14 28 18 36 22 44 26 52

6 8 10 12 14 18 24 30 36 42 30 40 50 60 70 42 56 70 84 98 54 72 90 108 126 66 88 110 132 154 78 104 130 156 182

Remarque : On remarque clairement que la méthode Optimisée et plus rapide de la méthode itérative Exercice n°2 : Utilisation des fonctions function y = fonction_f(x) y = x.^2 +3*x-4; >> fonction_f(-4)

>> fonction_f(-3/2)

>> fonction_f(1)

ans =

ans =

ans =

0

-6.2500

0

Corroborer ces résultats >> y = inline('x^2 +3*x-4') y= Inline function: y(x) = x^2 +3*x-4

Remarque :

Pour définir des fonctions dépendantes d’un ou plusieurs paramètres nous utilisons la fonction inline Exercice n°3 : Utilisation des objets graphiques DX=1; x=[-20:DX:20];

figure(1) y=fonction_f(x); plot(x,y,'-sb') xlabel('abscisse','FontSize',15,'FontName','arial'); ylabel('ordonnée','FontSize',11,'FontName','times'); legend('courbe test'); title('exercice sur les graphiques');

 Partie 2 : Résolution d’équations Méthode dichotomie

La méthode de dichotomie un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction qui consiste à répéter des partages d’un intervalle en deux parties puis à sélectionner le sous-intervalle dans lequel existe un zéro de la fonction. function [RACINE,NITE]=dichotomie(a,b,EPSILON) fa=f(a); fb=f(b); RACINE=(a+b)/2; NITE=0; if (fa*fb>0) RACINE=-Inf; return; end; while (b-a)>EPSILON NITE=NITE+1; RACINE=(a+b)/2; fx=f(RACINE); if(sign(fx)==sign(fa)) a=RACINE; fa=fx; else b=RACINE; fb=fx; end; end; %déclaration de fonction function y=f(x) y=x^2-3*x-4;

Remarque :

Dans cette exempte la fonction f(x) est déclaré dans le fichier dichotomie.m Mais il est possible aussi d’utiliser str2func('fonction_f'); pour appeler f(x) a partir d’un autre fichier donc on peut écrire :

function [racine,NITER] = dichotomie(A,B, epsi, NMAX) % appelle de fonction str2func('fonction_f'); NITER=0; precis=1; for i=1:1:NMAX NITER=NITER+1; while (fonction_f(A)*fonction_f(B)epsi) nd x=(A+B)/2; if(fonction_f(A)*fonction_f(x)> X=[-3,-1,1,3] >> Y=[-27,-1,1,27]

diff_div1(3,X,Y) ans =

-27 0 0 0 -1 13 0 0 1 1 -3 0 27 13 3 1

Q3)Fonction polynôme

function [PN] = polynome(N,U,A,X) PN=A(1); mult=1; for i=2:N+1 mult=mult.*(U-X(i-1)); PN=PN+A(i)*mult; end

Q4) N=4; X=[-3;-1;1;3]; U=[-10:1:10];

A=[-27;13;-3;1]

PN=polynome(N,U,A,X) figure(1) hold on g=inline('x.^3'); plot(U,PN,'-sr',U,g(U),':*b')

Représentation graphique

Interpolation polynomiale de Lagrange-Phénomène de Runge Q5) fonction échantillonnage

function [x] = echantillonnage(n,borneinf,bornesup) dif=bornesup-borneinf; for i=0:1:n x(i+1)=borneinf+dif*i/n; end

Q6)fonction_runge

function [y] = fonction_runge(x) y=1./(1+50*x.*x);

Q7)

Y=fonction_runge(X); Arunge2=diag(diff_div(N,X,Y)) U=[-1:0.01:1]'; p2=polynome(N,U,Arunge2,X); figure(2) plot(U,p2,U,fonction_runge(U))

N=2

N=9

N=24

Q9)les évolutions de l’ordre n

Pour n=2

N=2; Arunge2=diag(diff_div(N,X,Y)); pn=polynome(N,U,Arunge2,X); e=abs(fonction_runge(U)-pn); figure(3) plot(U,e)

Recours aux points d’interpolation de Tchebychev Q10)

function S=racines_tchebychef(N) for I=0:N ARG=(pi/2)*(2*I+1)/(N+1); S(I+1)=cos(ARG); end

Q11) N=2 N=9

N=24

>> S=racines_tchebychef(2) S= 0.8660 0.0000 -0.8660 >> S=racines_tchebychef1(9) S= Columns 1 through 7 0.9877 0.8910 0.7071 0.4540 0.1564 -0.1564 -0.4540 Columns 8 through 10

-0.7071 -0.8910 -0.9877 >> S=racines_tchebychef1(24) S= Columns 1 through 7 0.9980 0.9823 0.9511 0.9048 0.8443 0.7705 0.6845 Columns 8 through 14 0.5878 0.4818 0.3681 0.2487 0.1253 0.0000 -0.1253 Columns 15 through 21 -0.2487 -0.3681 -0.4818 -0.5878 -0.6845 -0.7705 -0.8443 Columns 22 through 25

-0.9048 -0.9511 -0.9823 -0.9980

Une approximation au sens des moindres carrés Q15) x=[0.0 212 507 698 992 1200]'; y=[0.0 42.7 109.2 151.9 193.3 235.4]'; Q16)

function[SORTIE]=approximation(X,Y,degre) Nech=length(X); K=degre; M=zeros(K+1); B=zeros(K+1,1); if length(Y)~=Nech disp('vecteurs de tailles differentes:abandon'); return end for I=1:K+1 for J=1:K+1 M(I,J)=sum(X.^(I+J-2)); end end for I=1:K+1 B(I)=sum(X.^(I-1).*Y); end SORTIE=M\B;

Q17)

function[POLYNOME]=polynome_approximation(A,X) N=length(A); POLYNOME=A(1); for K=2:N POLYNOME=POLYNOME+A(K)*X.^(K-1); end

 Partie 4 : Intégration Numérique function f=f(x); f=x.^6;

méthode : méthode du trapèze function [inum,delay]=trapez(fonction_f,a,b,n); %fonction : f=x.^6;

% a et b : les borne de l’intervalle % n : le nombre de point

Ts1=cputime*1e6; n=n; hold off; h=(b-a)/n; x=a+(0:n)*h; f=feval('fonction_f',x); inum=h/2*(f(1)+f(n+1)); Ts2=cputime*1e6;

delay=Ts

% pour donner le temps d’exécution

if n>1 inum=inum+sum(f(2:n))*h end h2=(b-a)/100; xc=a+(0:100)*h2; fc=feval('fonction_f',xc); %presentation

plot(xc,fc,'r'); hold on; title('Méthode des trapèzes'); xlabel('x'); ylabel('y'); grid on; plot(x,f,'m'); plot(x,zeros(size(x)),'c') for i=1:n; plot([x(i),x(i)],[0,f(i)],'g'); end

Nombre de point 20

[inum,delay]=trapez('fonction_f',1,1,20); inum = 0.1000 delay = 140000

Nombre de point 200

inum =0.0100

delay =1.5600e+005

Nombre de point 2000 inum =0.0010 delay = 16000

Première méthode :méthode du point milieu

function [INUM,DELAY]=point_milieu(BORNEINF,BORNESUP,NBPOINT,NOMFONCTION) A=BORNEINF; B=BORNESUP; N=NBPOINT; H=abs(B-A)/(N-1); X=[A:H:B]; Ts=cputime*1e6

Y=NOMFONCTION(X); Ydemi=NOMFONCTION(X([1:N-1]+H/2); Ts=cputime*1e6; INUM=H*sum(Ydemi); DELAY=cputime*1e6-Ts;

Deuxième méthode : méthode de Simpson

function[INUM,DELAY]=simpson(BORNEINF,BORNESUP,NBPOINT,NOMFONCTION) A=BORNEINF; B=BORNESUP. N=NBPOINT; H=abs(B-A)/(N-1); X=[A:H:B]; Ts=cputime*1e6; Y=NOMFONCTION(X); Ydemi=NOMFONCTION(X([1:N-1])+H/2); Ts=cputime*1e6; INUM=H/6*(2*sum(Y)-Y(1)-Y(N)+4*sum(Ydemi)); DELAY=cputime*1e6-Ts;

Plus l'ordre de la méthode est grand, plus la précision est bonne