Commerce et Mathématiques du Moyen Age à la Renaissance, autour de la Méditerranée. Actes du Colloque international du Centre International d'Histoire des Sciences Occitanes (Beaumont de Lomagne, 13-16 mai 1999) [PDF]

Zitiervorschau

Commerce et Mathématiques du Moyen Age à la Renaissance, autour de la Méditerranée

Actes du Colloque international du Centre International d'Histoire des Sciences Occitanes (Beaumont de Lomagne, 13-16 mai 1999)

Editions du c.i.H.S.O. Dpt de Mathématiques - Université Toulouse II 5, allées Antonio Machado F-:\ 1058 Toulouse

A la mémoire de Jean Cassinet

III

PRÉFACE

SuIs camins de sciéncia "Tota llengua fa foc" 1 Felip Carbona Universitat Tolosa II

Lo colloqui de 1992 : "Matematicas en Occitania ; dels Arabes a Pèire de Fermat" es estat un acte fondator. Fuguèt la pèire cantonièra que s'i es bastit, de per la volontat dei Joan Cassinet, 10 C.I.H.S.O. La toca èra de cavar mai prigond e mai luènh le rega dubèrta an aquela data que mercava a l'encop los 500 ans de la prumièra edicion dei Compendion de l'Abaco de F. Pel6s e de la casuda deI reiaume nasrid de Granada, darrièr estat andal6s d'Espanha. Aquela creacion aviâ una finalitat dobla : - contunhar l'exploracion de las tèrras desconegudas 0 mal conegudas apercebudas 0 reconegudas a la lèsta a l'escasença d'aquel colloqui ; - arribar a far sintèsis, e mai parcialas, per confirmar perspectivas entrevistas e ne desengatjar de las novas. L'idèa retenguda pel colloqui de Bèumont de Lomanha de 1999 èra "d'ensajar d'aprigondir, e de compréner milhor atal, 10 rotIe istoric jogat pels mercadièrs dins la transmission da la cultura matematica entre EdatMejana e Renaissença, mas tan ben d'ensajar de saber COSS! aquela cultura matematica a pogut contribuir a cambiar l'èime dels sabents dels sègles 16 e 17 e dubrir atal vias novas dins 10 biais de pensar la sciéncia, dit d'un autre biais: d'alestir l'edat modèrne". Aquel colloqui se plaçava doncas en plen sus la rega fixada. Frederic Il de Hohenstaufen (1194 - 1250) èra un orne d'una curiositat intellectuala de las bel as e d'una cultura de las belas tanben. Èra un poliglot remirable ; jove parlava italian (sa lenga mairala), arabe (lenga apresa ambe sos compatriotas arabofones de Sicflia) e occitan (la lenga de la lirica dels trobadors e per aquo lenga de prestigi a l'escala europèa) ; aprendrà 10 grèc, 10 catalan, l'ebrèu, 10 latin e l'alemand (la lenga de son paire). Frederic èra tanben l'orne politic pus important de son temps: rei de Sicflia, emperaire deI Sant-Empèri, rei de Jerusalèm, etc. En 1243 una crosada, eveniment politic e militar màger, es en preparacion. L'orne mai poder6s desapareis pendent mai d'una setmana. Daissa los afars deI mond per qualque - res pus important. Es anat a Pisa encontrar Leonard Fibonacci, 10 matematician pus conegut d'occident. Vol 0 tot saber suis algorismes e compréner las aplicacions de l'algèbra en geometria. Dirà : "Aquelas jornadas fuguèron de 1 Titol d'un recuèlh de poèmas publicat en 1955 de Jôrdi Pere Ccrdà (escais de l'escrivan catalan, nascut cn 1920, Antoni Cayrol). L'autor joga sus la proximitat [onetica de llcnya (Ienha) e ~ (Ienga). Lo meleis j6c es possible ambc mai 0 mens de semblança, sus lot l'arc latin, mas pas a Paris; a Madrid: lefia 1~, a Barcelona : !km:a 1~ ; a Tolosa: k!!.lli! 1 kn.g,a ; a Lisbona : k.!!ha Il!!!g,ua ; a Roma: legna 1li.!.!Jill.g ; a Cagliari lin.!!a Il.i.!nba ; a Udine: Jtn 1 ~ ; a Bucarèst : lemn llimba.

v

PRÉFACE

las pus aürosas de ma vida, qu'i poguèri exerçar sense empach mon afogament per las matematicas aquela activitat de princes se n'i a una". Alavetz : activitat de princes 0 de mercadièrs ? "Per l'onor de l'esperit uman", coma dirà Jacobi, 0 per la pratica mercando ? Nos gardarem plan de trencar. Las comunicacions publicadas aqui vos ajudaran a vos fargar un vejaire. Nostra toc a es pas de deflorar 10 subjecte ambe aquelas linhas d'introduccion. Voldriam sonque far ressortir tres punts que retrobam en fons de cadre dins totas las intervencions. La prumièra es la complexi tat deI fenomèn de transmission de las coneissanças matematicas. Aquela transmission s'es faita sovent per la circulacion dels ornes. Notam Toscans en Occitania, Aragoneses a Paris, Italians a Lion, etc. Emai China apareis en rèire-plan. 1 a aqui matèira per una sintèsi 10 moment vengut. La substitucion deI libre estampat al manuscrit dins las darrièras annadas deI sègle 15 càmbia en prigondor aquela circulacion de las idèas. Es de notar que 10 libre pus prumièr estampat en occitan es un tractat de matematicas, pas una obra literària, pas un tractat juridic tanpauc ni un obratge religi6s. La circulacion dels ornes, 10 desvolopament de l'edicion imprimida, mas tan ben et mai que mai, ço sembla, la quista d'un public nou son una sonada a l'emplec de maitas lengas "vulgaras" e a la revirada dins totas las direccions. Lo grèc, l'arabe e 10 latin son pas pus en situacion de monopoli coma lengas sabentas dins l'airaI europeo-mediterranèn. Coma avèm causit d'o botar en titol : "Tota Ienga fa foc". Aqui tanben tenèm un tèma que s'amerita un aprigondiment seguit d'una sintèsi. Lo DI Mohamed Souissi nos ditz : "Som estat regdament interessat per l'edicion (en 1995) dels actes deI colloqui de Tolosa e Bèumont de Lomagne de 1992 [ ... ). Aquo m'a butat a tomar sul sicut". Que sia mercejat per aquel testimoniatge directe de l'utilitat deI trebalh deI C.I.H.S.O. Poguèssem, mila ans aprèp Gerbèrt, en aquela virada novèla deI calendièr, portar la nostra contribucion, per tant pichona que sia, a la circulacion de las idèas e dels ornes e, l'esperam, "dubrir vias novas".

Sur les chemins de science "Tota llengua fa foc" 1 Philippe Carbonne Université Toulouse Il

Le colloque de 1992 : Mathématiques en Occitanie; des Arabes à Pierre de Fermat a été un acte fondateur. Il a été la pierre d'angle sur laque!le a été bâti, de par la volonté de Jean Cassinet, le C.I.H.S.O. Le ?ut etaIt. d~ creuser plus profond et plus loin le sillon ouvert en cett~ date qUI marquatt a la fois les 500 ans de la première édition du CompendlOn de l:abaco d,e F. Pellos et de la chute du royaume narride de Grenade, dermer des etats andalous d'Espagne. La finalité de cette création était double: _ continuer l'exploration des terres inconnues ou mal connues aperçues ou rapidement reconnues lors de ce colloque; _ arriver à faire des synthèses, même partielles, pour confirmer des perspectives entrevues et en dégager de nouvelles. La volonté affichée pour le colloque de Beaumont de Lomagne de 1999 était de "tenter d'approfondir, et donc de mieux ~oI?prendre, le rôle historique joué par les marchands dan~ la transm~sslOn .de la culture mathématique entre Moyen Age et Renatssance, ma~s au S,SI de .tente~, de savoir comment cette culture mathématique a pu contnbuer a modifier 1etat d'esprit des savants du 16e siècle et du 17 e siècle et ain~i ouvri~ des v~~es nouvelles dans la façon de penser la science, autrement dit de preparer 1ere moderne". Ce colloque s'inscrivait donc en plein dans la ligne fixée. Frederic II de Hohenstaufen (1194 - 1250) était un homme de grande curiosité intellectuelle et de grande culture. C'était un polyglot~e remarquable: jeune il parlait l'italien (sa lan~u~ mate~nell~), l'arabe (appns auprès de ses compatriotes arabophones ~e SIcIle) et 10ccIta? (la,la?gue de la lyrique des troubadours et de ce fmt langue de. pr~S!Ige a 1 ec~elle européenne) ; il apprendra le grec, le catal~n" le. franç~Is, 1hebreu, le, latm et l'allemand (la langue de son père). Fredenc etatt aUSSI, en Europe, 1ho~me politique le plus important de son temps: roi ~e Sici~e, ,empereur d~. SamtEmpire, roi de Jerusalem, etc. En 1243 une crOIsade, evenement pOhtl9 ue et militaire très important, est en préparati?n. L'hom~e le plus pUIssant disparaît pendant plus d'une semaine. Il lals~e, les. affalfes du monde pour quelque chose de plus important. Il est aIle a. PIse rencontrer Leo~ardo Fibonacci, le mathématicien le plus connu d'OccIdent. Il veut tout saVOIr sur

1 Tilfe d'un recueil de poèmes publié en 1955 de Jordi Pere Cerdà (pseudonyme.de l'écrivain catalan, né en 1920, Antoni Cayral). L'auteur joue sur la proximité phonétique de lIenya (bOIS de ch~uffag~) et lIengu.a (langue). Le même jeu est possible, avec plus ou moins de ressemblance, sur tout l'arc ~at111,. malS p,a~ à, P~IS ; à Madrid: Icfia / legua ; à Barcelone: lIenya /...l!.c.rul..Ya ; à Toulouse: lenha / kn&a ' à LIsbonne. lenhcl / .li!.J.g1!.l! ; à Rome: llaulil / lingua ; à Cagliari: lin.llil / Iimba ; à Udine: ltn / ~ ; à Bucarest: lem /

li!nha. VI

VU

PRÉFACE

les algorirhmes et veut comprendre les applications de l'algèbre ~n géométrie. Il dira: " ces journées ont été ~armi les plus heur~use~ de ma VIe car j'ai pu exercer sans obstacle ma paSSIOn pour les mathematlques, cette activité princière s'il en fut". Alors : activité de princes ou de marchands ? "Pour l'honneur de l'esprit humain" comme dira Jacobi, ou pour la pratique marchande? Nous nous garderons de trancher. Les communications publiées ici vous aideront à vous forger une opinion. Notre but dans ces lignes d'introductions n'est pas de déflorer le sujet. Nous voudrions simplement faire ressortir trois aspects des choses que l'on retrouve en fond de tableau dans toute les interventions. La première est la complexité du phénomène de transmission des connaissances mathématiques. Cette transmission s'est souvent faite par circulation des hommes. Nous notons des Toscans en Occitanie, des Aragonais à Paris, des Italiens à Lyon, etc. La Chine apparait même en arrière plan. Il y a là matière à synthèse le jour venu. La substitution du livre imprimé au manuscrit dans les dernières années du Ise siècle change profondément cette circulation des idées. Il est intéressant de noter que le premier livre imprimé en occitan est un traité de mathématiques, pas une œuvre littéraire, ni, un traité juridique ou un ouvrage religieux. La circulation des hommes, le developpement de l'édition imprimée, mais aussi et surtout, semble-t-il, la recherche d'un public neuf sont un appel à l'utilisation de nombreuses langues "vulgaires" et à la traduction en tous sens. Le grec l'arabe et le latin ne sont plus en situation de monopole comme langues savantes dans l'aire européo-méditerranéenne. Comme. nous .avons choisi de le mettre en titre: "Toute langue alimente le feu". ICI aUSSI nous avons un thème qui mérite un approfondissement suivi d'une synthèse. Le Dr Mohamed Souissi nous dit : "j'ai été excessivement intéressé par l'édition des actes du colloque de Toulouse et Beaumont de Lomagne de 1992 [... ]. Cela m'a incité à revenir sur le sujet." Qu'il soit remercié pour ce témoignage direct de l'utilité du travail du C.I.H.S.O. Puissions-nous, mille ans après Gerbert, en ce nouveau tournant du calendrier, porter notre contribution aussi modeste soit-elle, à la circulation des idées et des hommes et, nous l'espérons, "ouvrir des nouvelles voies"

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

L'algèbre de Sumer à Pamiers Jacques Sesiano Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

Il est habituel de considérer le moyen âge comme une période de stagnation, durant laquelle les connaissances reçues ne progressèrent pas, restant même bien en deçà des connaissances antiques. L'intérêt porté à la civilisation médiévale a pourtant fait naître des avis atténuant fortement cette attitude conventionnelle. La présente étude se propose de réconcilier ces adversaires en leur donnant raison, sur un sujet particulier du moins: il est parfaitement vrai que la connaissance de l'algèbre n'a guère dépassé le niveau antique durant le moyen âge; il est assurément incontestable que la connaissance de l'algèbre s'est singulièrement étendue durant le moyen âge. Cette apparente contradiction, la clef de notre tentative de réconciliation, est que ce sont les seules techniques antiques qui ont permis aux mathématiciens médiévaux d'étendre le domaine des nombres rationnels positifs à certains types d'irrationnels puis aux nombres négatifs. I. Antiquité Depuis l'antiquité, les équations des deux premiers degrés qui possèdent une solution positive, la seule alors acceptable, sont usuellement classées en six types ayant soit deux soit trois termes mais toujours avec des coefficients positifs.

1. ax2 = bx IV. ax 2 + bx

x =

II. ax2 = c..

III. bx = c

= c, avec la solution

:~ +

.y (~2+ac

a V. ax 2 = hx + c, avec la solution

x

VI. ax 2

a

+ c = hx, avec (pour autant que

a VIII

(~)2 > ac) les deux solutions

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

On rencontre de telles connaissances déjà dans des textes cunéiformes

~uis ?ans l'antiquité, grecque. Mais il est rare que les résolutions de~

eq~atIOns ou de proble~es du. second d~gré mènent à une solution autre que r~tIOnnelle: Ce sont nean,?OI~s ces memes connaissances qui suffiront à 1 mtroductIOn de nombres IrratIOnnels au moyen âge. En d'autres termes le moye~ âge n'aura pas. besoin d'autres notions que ces connaissances antiq~es pour etendre le domame des nombres admis aux nombres irrationnels.

~'antiquité grecque connaissait aussi une règle permettant de résoudre c,ertams .systèmes linéair~s. de n équations à n inconnues, et c'est celle que 1 on attrIbue au pythagOrICIen Thymaridas. Jamblique (vers 300 après 1.-c.) nous rens~igne s.ur cette règle, dite En:av8THHX, et sur J'application que l'on peut en faIre. SOIt (dans notre écriture) le système proposé

n

1

x2 + x3 = m1+ 1 (S+y)

1

x1+ x 3=--(S+y) m2+ 1 x1

(*)

1

+ x2 = -+1 (S+y) m3

dont on peut, si l'on veut, introduire les équations dans le système originel, obtenant ainsi m1 x] + y = m]+l (S+y)

S + y == LXi + Y = Il i=l X1 + Y = m1 X2 +Y = m2

m2 X2+Y=--I(S+y) m2+

+ y = mn où Xi' y sont les n+ 1 inconnues et Il, mi les n+ 1 grandeurs données. La règle de Th~maridas enseigne que l'inconnue principale y (de laquelle se déduit la Xn

connaIssance des autres) est déterminée par (m] + m2 + ... + mn) -11 y = n-l Ce résultat est obtenu en ajoutant les n équations trinomiales, puisqu'on trouve n y + Il - Y = m] + m2 + ... + mn' d'où l'on déduit la règle. Avec cette règle, dit Jamblique, on peut résoudre d'autres systèmes linéaires. Ainsi, le système

{

On aura ainsi le nouveau système

x]+y=m 1 (X2+ X3) x2+y=m2(x1+ x 3)

x 3 + Y = m 3(X 1 + x 2) où m l' m 2' m 3 sont des quantités données devient, en ajoutant à chaque équation l'expression entre parenthèses et en posant xJ + x2 + x3 =S,

(**)

m3 X3 + Y = -+1 (S+v). m3 . -

Si l'un de S et y est connu, l'autre sera déterminé en ajoutant les équations de (*), ce qui établira une relation entre Set S+y. Si S+y n'est pas donné, le problème est indéterminé et on pourra le poser; l'examen des fractions de (*) permettra de choisir une valeur de S+y amenant des nombres entiers à droite. Ajoutant les équations, on aura 2S égal à une somme d'entiers, et la connaissance de S et y rend aisée la déduction des Xi' Le système (**) serait traité semblablement. Nous ignorons si cette application de la règle de Thymaridas, qui résout des systèmes linéaires en y complétant les équations et en les ajoutant, a été transmise ou si, plus simplement, elle a été retrouvée à l'époque médiévale. Quoi qu'il en soit, elle y a été largement utilisée, et c'est elle qui est à l'origine de l'introduction des nombres négatifs. Ici à nouveau, le moyen âge n'aura pas besoin d'autres notions que ces connaissances antiques pour son second accroissement du domaine des nombres admis, qui J'étendra aux nombres négatifs. II. Moyen âge islamique La tradition arabe en général, et Ibn Khaldün en particulier, veut que le second algébriste fut, après al-KhwarizmÏ (vers 820), Abü Kamil (fin du e IX siècle). Le premier qui écrivit sur cette branche des mathématiques, apprenons-nous de J'encyclopédiste, fut Abü 'Abdallah al-Khwârizmt, après lequel vint Abü Kâmil Chudja' ibn Aslam. On a généralement suivi la

s+y=(m1 + 1)(X2+ X 3) S+y=(m2+ 1)(X1+ X3) { S+y=(m3+ 1)(x1+x2)'

2 3

~ •• ~...,~I.H'-L!Je .JLJlvitl( A

l'AMIt:K.')

méthode de ce dernier dans cette science, et son traité sur les six problèmes de ['algèbre est l'un des meilleurs ouvrages composés sur cette science. La différence entre les deux auteurs est beaucoup plus considérable que ne le laisserait deviner cette courte mention. L'importance d'al-KhwarizmI réside surtout dans son rôle d'initiateur: ayant écrit des ouvrages largement accessibles, il contribua à répandre le goût des disciplines scientifiques et à provoquer ainsi de nouvelles vocations. En revanche, le second destine son écrit à ceux qui ont déjà trouvé leur vocation: ses lecteurs seront des mathématiciens, formés à l'étude des Eléments d'Euclide auxquels il renvoie lorsqu'il le faut. Au reste, il sait aussi vulgariser: dans sa géométrie pratique, il fait totalement abstraction, et intentionnellement comme il le mentionne, de la connaissance d'Euclide. Oans la forme au moins, le traité d'Abu Kamil est bien l'héritier de celui d'al-KhwarizmI. L'expression est purement verbale, il n'y a aucun symbole, et seuls les termes désignant l'inconnue et ses puissances sont caractéristiques du langage algébrique. Les chiffres, d'usage courant dans les traités arithmétiques, en sont complètement absents, les quantités numériques étant décrites en mots. Entïn, les connaissances de base du calcul algébrique, multiplication de binômes, calcul avec les racines carrées, résolution des équations sont accompagnées d'illustrations géométriques permettant au lecteur de vérifier la formule enseignée sur une figure.

a. Les illustrations géométriques

L'ALGÈBRE DE SUMER À. PAMIERS

(1) Cas de x 2 + px = q Il n'y a qu'une seule solution positive, que les textes en arabe décrivent (verbalement) selon la formule

x=

~ (~) 2 + q

-

1·

Supposons (fig. 1 p. 19) que le carré ABCO représente x 2 ; prolongeons

AB de BE =

1puis complétons le carré AF; celui-ci comprend .donc les

carrés AC et CF ainsi que les rectangles CG et CE. Par la constructIOn, nous savons que

l2

CE = CG = 2 x. Examinons maintenant la figure formée par CG, CE et AC. D'après

l2 2 l" aIre d u carre'

l'équation, son aire doit être égale à q. Comme CF = (2)'

entier AF sera égale à (})2 + q, mais sera aussi égale, selon la construction, à (x + ~)2. L'égalité des deux expressions illustre la formule de résolution posée initialement. (2) Cas de x 2 = px + q

Quoique la justification de formules à l'aide de figures géométriques suggérerait une influence grecque, al-KhwarizmI ne mentionne nulle part le nom d'Euclide. Il n'yen avait aucun besoin: ses illustrations reposent sur des constructions géométriques faisant appel à la vue et à l'intuition. A l'opposé, Abo Kamil renvoie explicitement à Euclide, certaines de ses illustrations étant de simples applications de deux théorèmes du livre II d'Euclide. L'illustration des formules de résolution des équations à l'aide de la géométrie restera usuelle dans l'algèbre islamique -partant, dans le moyen âge chrétien. Certains auteurs continueront à faire appel à une géométrie intuitive, d'autres utiliseront les théorèmes d'Euclide, d'aucuns enfin auront recours aux deux types de démonstrations, et enseigneront en outre comment construire la solution par la règle et le compas, en s'appuyant sur le livre V d'Euclide. C'est le cas de l'auteur, resté pour nous anonyme, d'un petit ouvrage d'algèbre conservé par le manuscrit 5325 de la Bibliothèque Astan Qods de Mechhed. Il dit avoir composé son traité (en 395 de l'hégire, 1004/5 de l'ère chrétienne) en utilisant diverses sources. Quoi qu'il en soit de son originalité, ses démonstrations "intuitives" des équations trinomiales résument fort bien celles que l'on trouve antérieurement, raison pour laquelle nous les présenterons ici. 4

L'unique solution positive est

x=

1+ ~ (1)

2 +q .

Supposons (fig. 2 p.19) que le carré ABCO représente x2 , que EB est p, et faisons de F le milieu de EB, en sorte que EF

= FB =i·

Complétons la

· P Ulsque . GO -- GH -- 122' les rectangles' GC et CF sont l'un et l'autre f Igure. égal à

i x, et donc DI + lB + 2·IC =px. Comme IC = Il, et. en tenant compte

de l'équation, nous trouvons que Gl

+ Al + lF =

q. Ajoutant de part et

d'autre le carré 11, nous obtenons la relation (x - })2 = se déduit la formule de résolution. (3) Cas de x 2 + q = px

5

(~)2 + q,

de laquelle

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

et l'équation possède donc, si le discriminant est positif, deux solutions positives. Ces deux possibilités sont expliquées dans le manuscrit examiné ici à l'aide d'une seule figure (fig. 3 p.l9). Supposons que AB égale

i,

en sorte que AC = (1)2, et représentons par

AD la solution x, avec soit AD > AB soit AD < AB, conformément aux deux possibilités de signe dans la formule. Complétons la figure (en conservant, comme le fait le manuscrit, l'emploi de mêmes lettres pour les deux solutions). Désignons par N le moindre des carrés AE et par M et S les deux rectangles (d'aire égale) qui l'enferment. Dans le cas de la moindre solution, représentée par le moindre carré AE, on a AB·AD=M+N et AB· AD = N + S = AE + S; dans le cas de la plus grande solution, représentée par le majeur des deux carrés AE, on a AB· AD = M + N + S + EC + CD et AB·AD = AE - CE - CD. Nous trouvons donc par addition que dans les deux cas 2·AB·AD = M + N + S + AE. Or, 2·AB·AD = px et AE = x 2 , donc M + N + S = q. Ainsi, considérant l'égalité des deux carrés EC et chacune des deux possibilités pour AD, (i)2 - q

=(i -

x)2

= (x -

i)2

ce qui illustre la formule. On pourrait penser que ces illustrations étaient destinées à rassurer le lecteur qui, comme saint Thomas, préférait le palpable à l'affirmation péremptoire, et que l'algèbre, s'affirmant et s'affinant avec Abü Kamil, allait rendre leur présence superflue. Ce fut exactement le contraire qui se produisit, du moins pour un temps. En effet, Abu Kamil renforça le rôle des représentations géométriques, car elles interviennent même dans certains problèmes, lorsqu'il faut en établir la formule de résolution. Le raisonnement more geometrico a ainsi la préséance sur quelque ars calculatoria certes plus rapide mais sans l'élégance de l'aspect et la sûreté de l'expression que forge le commerce continu avec des esprits raffinés. Les débuts de l'analyse vivront une même situation, le «nouveau calcul» étant considéré par certains, dont Huygens, comme pratique mais moins assuré que les méthodes géométriques traditionne]]es. Montrons par un exemple que]]e forme prend la géométrie dans la résolution d'un problème d'Abü Kamil, celui qu'il expose dans le livre II de son Algèbre (fol. 82 v -83 r du texte arabe, lignes 1741-1789 de la traduction latine). Deux hommes y sont dits avoir acquis dix vêtements pour 72 dirhams; chacun a dépensé la même somme, 36 dirhams, mais les vêtements 6

,

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

acquis par l'un coûtaient chacun trois dirhams de moins que ceux de son compagnon. En équations, nous aurons donc

ju+v=10 tp u = (p - 3) v

= 36 .

L'illustration géométrique, qui précède la résolution algébrique, s'interprète comme suit. Soient (fig. 4 p.19) AB les dix vêtements, AG la part du premier et GB celle du second. Représentons par GE le prix d'un des vêtements de AG et par GD celui d'un des vêtements de GB. Il apparaît ainsi que DE = 3 et que chacune des deux surfaces AE et DB vaut 36. Si GB est, dit Abü Kamil, l'inconnue x, on aura EZ = 3x, donc BY = AY·AB = 72 + 3x, et par suite, puisque AB = 10, 36 3 AY=5+ 10x. Comme AY = GD + 3, 21 3 GD = 5+ 10x; donc 21 3 DB = GD·GB = 5 x + 10 x 2 = 36, d'où l'équation cherchée x 2 + 14x = 120, avec la solution x = 6. La résolution proprement algébrique vient après cette résolution géométrique -bien teintée, il est vrai, de raisonnement algébrique. Abü K);a)mil pose x pour l'achat d'un des deux hommes, donc 10-x pour celui de l'autre, et obtient ainsi successivement p(10 - x) + (p - 3)x = 72, 10p = 3x + 72 3 36

p = 10 x + 5

puis, comme (p - 3)x = 36,

l2~ 10 x + 5 x = 36 qui est l'équation déjà rencontrée. Toute cette résolution est bien entendu purement verbale. Ainsi, l'inconnue x est désignée par le terme habituel «chose» (chay'); quant à notre p, il est, lui, le «prix de chaque habit» payé par l'un des deux hommes. b. L'usage de nombres irrationnels Dans l'introduction de son livre d'algèbre, Abü Kàmil avait annoncé qu'il exposerait des problèmes menant à «d'autres espèces» d'équations que les six types usuels. C'est l'objet du livre III de son Algèbre, qui commence comme suit: J'ai découvert de nombreux problèmes de calcul algébrique qui mènent à d'autres espèces que les six expliquées dans mon présent ouvrage. 7

Je vais en expo,~'er quelques-uns, qui permettront de connaître cette e,~pèce de calcul algebnque. La particularité de cette nouvelle espèce de calcul ~pparaîtra d'un exemple pris de ce livre III (fol. 46 v -47 v du texte arabe lIgnes 2551-2599 du texte latin). Il y est proposé de déterminer deu~ grandeurs, u et v (u > v ), telles que

Abu Kami1 prend ~ comme inconnue x; la seconde équation aura donc, dans notre écriture symbolique, la forme 1 x2 = x2 + 2 ou x4

+ 2x2 = 1,

en sorte que x = ~r--..fi-2-_-1

v u

~_10-u

u u Le résultat précédent permet donc de poser ~I

- -u= ' V . . f i - l qui se réduit à

u2 + 100 - 20u = u2(..fi - 1) ou

(2-..fi)u 2 + 100 = 20u, ou encore, après transformation,

u2 + 100 + vl5000 d'où la solution

u = 10 + {50 -

d'une fraction. L'originalité de ce livre III de l'Algèbre d'Abu Kamil est l'acceptation de quantités irrationnelles, tant comme données que comme solutions, alors que ceci était autant que possible évité chez les auteurs antérieurs. Comme une innovation est d'autant mieux acceptée qu'elle est répétée, Abo Kamil s'étend dans le livre III sur des exemples de ses «nouvelles espèces», amplement assez pour en faire ressortir le caractère original, juste point assez pour en dégoûter le lecteur. Ainsi, le vingtcinquième amène l'équation peu commode 36

...

l,

=u(20 + vl200)

282

[

15

...

1

498

x 2 + [ 176+ 39 +-'J 31558+ 1521 = 35+ 39 +-'J 1262+ 1521 dont une solution positive, encore moins commode, est 885 315+ 1521 +

Selon la première équation, on a v = 10 - u, et donc

10-u

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

1029 451+ 1521 +

2'057'670 395'130+ 2'313'441 -

82 31 '5S8+fs 21'

Même si les nombres irrationnels chez Abu Kamil sont exclusivement des irrationalités quadratiques, on doit admettre que c'est avec lui que les nombres irrationnels deviennent vraiment des nombres à part entière. Il en est bien convaincu, lui qui affirmait si vigoureusement avoir étendu le champ de l'algèbre à de nouveaux types d'équations. Mais il faut bien reconnaître que l'aspect le plus novateur est dans la forme, et qu'il se traduit surtout par le désagrément que causent les calculs. Dans le fond, les connaissances sont antiques, et même le but du livre III est dicté par l'antiquité: le livre III doit familiariser le lecteur avec les irrationalités quadratiques parce que le livre IV appliquera l'algèbre aux polygones étudiés par Euclide, dont le lien entre côté et rayon dépend de la résolution d'équations quadratiques (et qui, de ce fait, sont constructibles par la règle et le compas). La domination de la géométrie grecque reste donc ici manifeste : c'est Euclide qui accompagne l'algèbre dans l'établissement des formules; c'est Euclide aussi qui fixe l'évolution des calculs algébriques. III. Moyen âge chrétien

-V 5 0 + vi 5000 .

~out~s ~e~ connaissances amenant cette solution étaient déjà Connues dans 1 antIqUl te. Il en va de même de la relation -{Q + vlb -{Q ± vlb = a - b 1

e?seig~ée dans le livre X des Eléments d'Euclide, qui permet de faire dlsparmtre une somme ou une différence de deux racines du dénominateur

a. La première voie de transmission de l'algèbre L'Europe du début du moyen âge ne connaissait de la mathématique antique que de pâles reflets: des extraits des Eléments d'Euc1ide évitant les démonstrations, une adaptation due à Boèce de l'Introduction à l'arithmétique de Nicomaque, des ouvrages d'arpentage, une collection de problèmes de géométrie pratique ou récréatifs réunie par Alcuin. C'est dire l'importance qu'eut, au XIIe siècle, la rencontre avec la science grecque et musulmane en Espagne et, dans une moindre mesure, en Sicile. C'est aussi en Espagne que les premiers commentaires ou ouvrages originaux

8 9

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

apparurent, même si bien évidemment ils étaient encore totalement dépendants d'oeuvres en arabe. Le plus important en est le Liber mahameleth, composé sans doute par Johannes Hispalensis (Jean de Séville) vers 1140 à Tolède. Le titre fait d'une pierre deux coups: il annonce le sujet et dévoile les sources : mu' amalia est la dénomination arabe de la mathématique appliquée à la science du négoce. Nous avons vu que dans son Algèbre Abu Kamil n'hésitait pas à utiliser des quantités irrationnelles dans les calculs et qu'il utilisait des figures géométriques pour illustrer les résolutions non seulement dans le cas des équations quadratiques mais encore dans les problèmes. Alors que dans l'Orient musulman l'algèbre s'affranchissait peu à peu de cette tutelle de la géométrie et venait à gagner une certaine indépendance, l'Occident musulman resta en dehors de cette évolution. Il demeura fidèle aux principes de l'époque d'Abl1 Kamil, augmenta même l'emploi de la géométrie. Le Liber mahameleth en est le meilleur exemple. La résolution de chaque nouveau type de problème y prend généralement trois aspects séparés: une formule toute faite que l'on peut se contenter d'appliquer; une résolution géométrique qui montre que cette formule peut être établie par la géométrie d'Euclide; enfin, une résolution algébrique. L'influence d'Abl1 Kàmil apparaît aussi de la disposition et de la forme: comme chez Abu Kamil, le Liber mahameleth se termine par des problèmes de nature récréative ou des systèmes linéaires à plusieurs équations; comme chez Abu Kamil aussi, tout est exprimé en mots, les quantités numériques aussi. Deux problèmes de l'Algèbre d'Abo Kamil en avaient mis en évidence pour nous les deux caractéristiques de l'emploi de la géométrie et des irrationnels; deux exemples du Liber mahameleth nous assureront de leur maintien. • Un problème de change nous apprend qu'une pièce d'or est convertie en deux espèces de monnaies dont trente de l'une et dix de l'autre valent ladite pièce et que, à l'issue du change, le nombre des pièces de la première espèce dépasse de vingt le nombre des pièces de la deuxième espèce. Le système proposé aura donc, dans notre écriture, la forme a]x] - a2x2 = b { x] + x2 = 1 avec a] = 30, a2 10, b

=

T

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

b) Puis il établit ensuite cette formule comme suit. Posons (fig. 5 p.19) BD = xl> DA x2' en sorte que AB l. Traçons, perpendiculairement à AB,

=

HK + BT = b + a2' c) La résolution algébrique prend x2 comme inconnue x, et introduit 1 - x dans la première relation en remplacement de x].

Voyons maintenant à quels résultats peuvent mener certains problèmes du Liber mahameleth. Une quantité de setiers inconnue est vendue pour un prix inconnu, et une autre quantité de setiers, elle aussi inconnue, est vendue au même prix à l'unité; sachant que le produit de la première quantité par son prix est 10 et celui de la seconde par son prix 30, et que la somme des quantités et des prix est 20, déterminer les quantités et leurs prix. Si, dans notre écriture, n J et n2 figurent les quantités et P J et P2 leurs prix, le système à résoudre est n rp ] = 10 n2'P2 = 30 { n]+n2+p]+P2=20.

Etablissons la formule de résolution. Comme les prix à la pièce sont les mêmes, on sait que

p]

= 20. Nous devons déterminer les deux quantités de

pièces a lX] et a2x2'

=

les segments DK = a] et DG = a2' puis complétons le rectangle. On aura ainsi BK = a]x] et DT = a2x2' Formons alors sur BD un rectangle DH dont l'aire soit égale à celle de DT (le théorème 1,43 des Eléments d'Euclide démontre que dans tout parallélogramme les deux parallélogrammes "complémentaires", semblables au parallélogramme principal et qui se touchent en un point sur la diagonale principale, sont égaux). On aura donc: HK = BK - DH = a]x] - a2x2 = b; comme d'autre part BI = AB·DK = a], on aura aussi BI - HK (= a] - b) = DH + DI = DT + DI = KT = (a] + a2)x2' Il apparaît également de la figure que GK-DB = (a] + a2)x] = HK + HG =

n]

=

P2 n2

Ceci nous permet d'écrire n2P] n2 n2 + P2 = n2 + - - = - (n] + P ]) n]

a) L'auteur énonce au début, et sans justification, la formule permettant de

calculer la réponse: a] - b x2 = a] + a2 ' d'où x] = 1 - x2'

n]

en sorte que n2 n] + n2 + p] + P2 = (n] + p] )(- + 1). n]

Comme d'autre part n2

ni 10

=

~ t 2)2 nJ

, -\J'-;;;2 -;;;Pl

= _

11

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

on pourra finalement écrire

Telle est la formule qui permet de déterminer la somme n] + Pl. L'auteur l'utilise dans le présent problème, mais sans la justifier; il l'a en effet établie géométriquement dans un problème antérieur. Pour déterminer individuellement n] et p], dont on connaît maintenant la somme et le produit, l'auteur recourt à la méthode, utilisée depuis l'antiquité mésopotamienne, de déterminer d'abord leur demi-différence à l'ai de de l'identité

(U;v) = (U;v) _uv, puis l'une et l'autre séparément avec l'identité

_ u+v + u-v u, v - 2 - 2 . Appliquant ceci à n 1 et Plon aura

et l'on obtiendra de la même manière

et

n2,p2 = 15 - {75 ± ~270 - ~67500, les valeurs des ni' Pi dans chaque paire pouvant être échangées puisque leurs grandeurs relatives ne sont pas fixées. 12

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

Tout comme on a vu ci-dessus Johannes Hispalensis justifier sa résolution par la géométrie, on le voit ici accepter des solutions irrationnelles. Les deux innovations d'Abu Kamil sont donc transmises dans cette première algèbre de l'Europe. Mais, comme le laissait présager l'usage exagéré des irrationalités quadratiques chez Abu Kamil, cette mode avait tourné court. Ainsi, l'exemple que nous venons de voir a été soigneusement choisi. Comme son successeur dont nous allons maintenant parler, Johannes Hispalensis est un partisan modéré de la présence d'irrationnels dans les problèmes.

b. La deuxième voie de transmission de l'algèbre Le Liber abaci, écrit dans sa version définitive en 1228 par Léonard Fibonacci de Pise, est un vaste ouvrage exposant en quinze chapitres l'arithmétique et l'algèbre, ainsi que la résolution de quantité de problèmes qui sont soit des applications à la science du négoce, soit aussi récréatifs ou du moins représentent des situations trop insolites pour être réelles. Ce que Léonard appelle abacus est ce que Johannes nomme mahameleth. La différence entre eux ne vient pas du sujet, mais des sources: Léonard de Pise n'a pas été éduqué à l'école mathématique mauresque directement issue de l'Algèbre d'Abu Kamil, mais dans le monde islamique oriental et à Byzance, et il a donc été sujet à des influences plus diversifiées. Si vraiment nul n'est prophète en son pays alors le pays de Johannes Hispalensis dut être bien vaste, car il restera une vox damans in deserto. Son volumineux Liber mahameleth eut une influence insignifiante. Ce sera tout le contraire pour Léonard de Pise, qui transforma des générations de mathématiciens en perroquets. Il faut dire qu'il était venu occuper la place qu'il fallait où il le fallait et quand il le fallait. Les marchands italiens, dont les liens commerciaux avec le monde méditerranéen allaient croissant, avaient le plus urgent besoin d'une connaissance des mathématiques commerciales utilisant les diverses monnaies alors en usage. Les mathématiciens aussi y trouvaient leur compte, et ils allaient si bien se former à l'algèbre de Léonard de Pise que les problèmes du Liber abaci se retrouvent textuellement -ou, pour les auteurs les plus inspirés, avec un changement dans les données- jusqu'à la Renaissance. C'est surtout vrai pour ses systèmes linéaires: ce sont eux qui marqueront l'influence de Léonard au moyen âge et non, comme l'imagineraient les mathématiciens d'aujourd'hui, l'énumération des résultats d'ébats auxquels se livrèrent une paire de lapins et sa descendance. La résolution de ces systèmes linéaires, déterminés ou non, où les inconnues représentent des grandeurs concrètes (le plus fréquemment des sommes d'argent), occupe une partie considérable du Liber abaci, et pénètre encore deux oeuvres mineures, la Lettre à Théodore (Epistola ad Theodorum) et la Fleur (Flos). La présentation comme la résolution de ces systèmes est parfaitement organisée: Léonard les classe en types, auxquels

13

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

correspond une formule générale de résolution. Or, cette formule est obtenue, exactement comme le faisaient les Anciens, en complétant les équations en sorte d'y faire apparaître la somme des inconnues et les données. La conséquence de l'établissement de cette formule générale est que Léonard peut se permettre de choisir en pleine conscience des données faisant prendre à l'une ou à l'autre des inconnues une valeur négative. Il ne s'agit alors plus de grandeurs soustraites, dont la présence dans les calculs est aussi ancienne que l'algèbre, mais de quantités véritablement négati ves, puisque sur elles ne s'applique plus aucune opération. Certes, ces cas sont rares et de plus Léonard ne se distingue pas de ses prédécesseurs en ce sens qu'il refuse lui aussi la solution négative. Cependant, et c'est là une innovation, il conserve la résolution qui l'a fait apparaître et cherche un moyen d'interpréter cette solution négative comme une quantité positive que l'on devra soustraire dans les équations proposées. Cette distinction n'est pas futile: en montrant qu'un résultat négatif peut avoir un sens dans une situation réelle, Léonard ouvre la voie à l'acceptation de nombres négatifs. L'une de ces catégories de problèmes est appelée «découverte d'une bourse», car il y est question d'un nombre n de promeneurs trouvant une bourse. Il est dit que chaque groupe de t+ 1 personnes prises consécuti vement, et dans l'ordre cyclique, possédera avec l'argent de la bourse un multiple donné du bien de tous les autres. Si donc Xj représente le bien du jième promeneur, mj le multiple donné du bien des autres qu'a avec

J

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

Xl +X2+y=2(X3+X4+XS)

+ X3 + y = + x4 + y = { x4 + XS + y = Xs + Xl + Y =

+ + 5 (x 1 + 6(X2 +

+ + x2 + x3 +

X2

3(X4

Xs

Xl)

x3

4(xS

Xl

x2) X3)

X4)·

Complétant les équations, Léonard obtient

1

x3+ x 4+ x S= 3(S+y) x4

+

XS

+ xl =

1

4 (S 1

Xs +xl +x2 = 5(S xl

+

X2

+ x3 =

1

6 (S

+ y)

+

y)

+ y)

1

x2+ x 3+ x 4= 7(S+)').

Léonard pose alors S + y = 420, soit le plus petit commun multiple des dénominateurs; il lui reste donc à résoudre

la bourse le groupe commençant avec le jième, le système proposé aura la forme j+t I.XI + Y = mj . . l ~i j = J, ... , n . l#j .. .j+t

l=j

Complétant les équations selon le mode antique, et posant S pour la somme de tous les Xl' le système deviendra (S+y)=(mj+l) . . I~i j = l , ... ,n l#j .. .j+t

d'où

s+

V

.. I~i =~.

l#j .. .j+t

J

L'addition des n expressions de gauche, dont chacune contient n-(t+ 1) termes Xi consécutifs, fera apparaître la somme S un nombre n-(t+ 1) de fois. Avant d'effectuer cette opération, Léonard rend son système déterminé en choisissant la valeur de S+y, de préférence en sorte d'avoir des solutions entières ou, du moins, commodes. Un tel exemple, apparaissant aux pp. 227-228 de l'édition du Liber abaci, concerne cinq hommes trouvant une bourse, qui sont pris par groupes de deux.

Il suffit maintenant d'ajouter les équations pour pouvoir déterminer ,S, qui apparaîtra trois fois. On trouve ainsi S = 153, en sorte q~e y = 267. Leonard détermine ensuite les Xi' et nous nous contenterons de SUIvre ses calculs pour les deux premiers. L'addition de (2) et de (4) mène à xl + S = 175; donc Xl = 22. Ajoutant ensuite Xl à (1), on obtient S -x2 = 162. Or S = 153 < 162, donc le capital total est moindre que ce même c~pital di~nué du ?ien ?u deuxième. Conséquemment, dit Léonard, ce probleme est msoluble, .a mOlns que l'on ne pose que le deuxième homme a un~ dette ~e 9, qUl,.est (la différence) de 153 à 162. On voit donc quelle. est 1 a1terna~lve qu.e s Imp.ose Léonard: soit on rejette le problème comme ll1s01uble, SOIt le ~len deVient une dette, et donc une quantité positive qui devra être soustraite dans les calculs lors de la vérification des équations. c. L'apparition de nombres négatifs

14

15

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

Il est étonnant qu'il ait fallu attendre si longtemps pour qu'un auteur propose une telle interprétation de la solution négative. En effet, il est certain que cette situation s'est présentée auparavant, et même dans l'antiquité. On trouve en effet dans le livre 1 de l'Arithmetica de Diophante (censé résoudre algébriquement des problèmes élémentaires et courants) les deux systèmes d'équations suivants (problèmes 24 & 25): xl

+

1

3 (x 2

+ x 3)

Xl

1

1

1

'5 (x 4

x4

+ xl)

=y

x3

+

+ xl + x 2) = y

x4

1 + "6 (x l + x 2 + x 3) = y.

Or, si l'on considère généralement un système de n équations à n inconnues de la fOffile précédente, soit x-) + ml' .. LXi = Y avec 0 < m)' < l, et i, j = l, ... , n, 1=1:-}

et que l'on pose n S = LXi' i= 1 on aura, en complétant les équations, S = y + CI - mj ) .L .x j , 1=1:-}

d'où LX'

•

• 1

1=1:-)

1

= (S - y)---, I-m' )

La sommation de ces équations nous permet d'écrire (n - I)S = (S - y)

7

)

(S - y) [_1_ Î _1_ n-l, I-m·

- _1_]

I-m,' 1=1 1 .1 Comme S-y est positif, le signe de Xj ne dépend que de l'expression entre crochets et donc de la valeur des fractions données. Si l'on commence, cas le

. 1e, avec ml = 12' et que l" on poursUIve en augmentant 1es plus sImp

~ et en

poursuivant avec les fractions aliquotes consécutives, on pourra

continuer jusqu'à n=6. Diophante engageant le lecteur, dans l'introduction à son ouvrage, à refaire les problèmes et à s'y exercer pour des cas similaires,

1

4" (x 3 +

x. =

=

+ 3(X2 + x3 + x4) = Y

x2 +

L'ALUlmRE DE SUMER À PAMIERS

dénominateurs de 1, on obtiendra pour les cas n=3 et n=4 des solutions positives, mais pas pour les valeurs suivantes de n. En commençant avec m]

=y

+ 4" (x 3 + xl) = y 1 x 3 + '5 (x 1 + x 2) = y

x2

,

il est certain qu'il a dû examiner les cas avec

ml =

1=1:-}

même pas, puisqu'à ses inconnues n'est attachée aucune signification concrète permettant une inversion du concept. Mais on a quelque peine à croire qu'aucun mathématicien antique n'aurait pu être un précurseur de Léonard. Au moyen âge, de tels systèmes de deux, trois ou quatre équations commençant avec ml

= 2'1 sont courants.

16

L' 0 b'~et en est assez

' Unt'formement

l'achat d'un cheval par un groupe de personnes dont aucune n'a suffisamment d'argent pour l'acquérir mais en atteindra tout juste le prix en recevant une fraction donnée du bien des autres. Il ne manquait donc plus que le courage de ne point détourner le regard devant le cas n=5. C'est cette attitude impavide dont un manuscrit arithmétique en occitan, dont l'original fut composé vers 1435 dans la ville de Pamiers, a conservé le souvenir. Après avoir considéré le cas de trois puis de quatre personnes désirant faire l'acquisition d'un cheval, il est question sous les mêmes conditions, mais avec n=5, de l'acquisition d'une pièce de drap. Le système sera donc dans ce dernier cas 1 xl + 2' (x 2 + x 3 + x 4 + x 5) = y x2

+

1

3 (x3

X3

+ 4"

X4

+

x5

on obtiendra finalement

&, remarquer l'anomalie

k.Pour lui, la question d'user du subterfuge de Léonard ne se posait

1

Mais, puisque Xj == S - ,L .xi '

=

du cas n=5, et qu'il aura par suite choisi délibérément de commencer avec

1

I-mj .

m]

(X4

1

'5 (x 5

1

+ 6"

(x l

+

X4

+ x 5 + x]) = y

+

X5

+

x]

+

X2) = Y

+ Xl + x 2 + x 3) = y

+

x2

+

x3

+ x 4)

17

= y,

,

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

La formule que nous avons établie montre que l'on parviendra à une solution négative pour x l' car

L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS

Figures F

G

n 1 1 437 1 I - - =-·- e alle chose [... l". ch'è 14 1/2 meno radice de 54, sopra el quale vi giongi l7 1/2; fanno 32 mino la radice de 54. Et cosl abiamo che el primo à 58 meno la radice de . Et el secondo homo à 32 mena radice de 54. The corresponding passage in A runs as follows:

24 Instcad of «864», thc ms Icaves opcn c. 2 cm. In Ihe margin the copyisl wriles Ihe COJIlmCnlary «COSI slava nel'originale spatii».

142 141

THE FOlINDING OF ITALIAN VERNACULAR ALGEBRA

Abiamo che vale la cosa radicie di 54 meno e 2; vie radicie di 54 meno 2, e cotanto varrà il cienso, che 'n verità fa 58 meno radicie di 864. E nnoi ponemo che '1 primo avesse uno cienso. Dunque avrà il primo 58 meno radicie di 864. Ora sappi il secondo, che ponesti ch'avesse 1/4 cienso e 17 1/2 numeri. Adunque piglia il 1/4 di 58 meno radicie di 864, ch'è 14 e 1/2 meno radicie di 54, sopra il quale giungni 17 1/2, fanno 32 meno la radicie di 54. E cosi abiamo che '1 primo à 58 meno radicie di 864 e'l secondo huomo à 32 meno radicie di 54. The passage in < > in V is filled out according to the words of A, but in the orthography of V. That il fits perfectly into the rest only confirms that ~he two ~exts are close to each other. The empty spaces in V are more InfOrmatIve. They demonstrate that V descends via attempted faithful (though, as we see, not always actually faithful) copying from a prototype (henceforth V') prepared in the original process of computation (at least in as far as this problem is concerned) - a manuscript where the author left open the spaces where he might insert the result when he had calculated 16x54, but then forgot to do so. A, instead, either derives from V' via an intermediate manuscript A' where the calculations were performed - or they are made directly in A. In any case, V is not derived from neither A nar the hypothetical A,.[25] . A is also a witness of other more fundamental innovations. Firstly, it Introduces examples for several of the higher-degree cases, aIl of which a~pear i~ V "s~nza niuna dispositione", "without any exposition", that is, wIthout IIlustratlVe examples. These are all facile in construction, in contrast to many of thos~ that il~ustrate the second-degree cases. As an example we may look at the IllustratIOn of the case "li chubi sono iguali a' ciensi ed alle cose" (fol. 32 v , p. 30): Trouami 3 numeri che sieno in proporzione insieme come 3 di 4 e come 4 di. 5 e, multiprichato 10 primo per se medesimo e poi per 10 numero, faccla tanto come 10 secondo multiprichato per se medesimo e posto in suso 10 terzo numero. The first number is taken to be "3 cose" and the others "4 cose" and "5 cose", respectively, which yields the equation 25 Comparison of other parallel but diverging passages Icad ID the same conclusion'! for instance the remarks thal close Ihe discussion of the double solution of the case ~t = aC+n. In V.I6.14 (fol. 40 V ) they run

Et abi a mente questa regola. In bona verità vorrebbc una grande despositione; ma non mi distendo tr~pp~ perO che me pare stendere el scrivere in vile cosa; ma queslo b,l~le qui cl in più dire sopra cio non ml vo stellderc. 1'0 this correspond in A (fol. 31 r, p. 27) the following illcollsislelll passage (no reader was ever asked 10 "kccp ~n mi.nd" thal the aulhor should have given a more thorough explallation): Ed abl a. menle che questa reghola vorebe una grande dispusilione, ma non mi ci distendo lropo che melo parc scnvere multa cosa e queslo basti. A, or ils original, as we sec, uses (some precursor ot) V, and squeezes two sentences inlo one - that V ~houl.d be a?Ie 10 Lake a single meaningless period from some A' ,U1d expand il memüngfully into two as here IS .q~Jle u.nhkel~). And whereas the auUHlr of V' is templed 10 c1ahorate Ule argument, the writer of A or ilS onglllai flllds lus source 100 loquacious.

144

THE FOUNDING OF ITALIAN VERNACULAR ALGEBRA

(3 cose)3 =(4 cose)2+(5 cose) . Since no care is taken to avoid irrational solutions, it is obviously easy to construct suitable illustrations for aIl cases. We also find sorne additional cases - not only aK = {iï but also the two irreducible cases al( = bt+n and aK = bC+n, both solved by means of the wrong formula t =

~ ~ + (~)2 + ~ , and

illustrated by means of

examples that le ad to unhandy irrational solutions that do not invite to verification. The same 3 additional cases are found in G, with the same rules and the same examples. In G, we notice, ail rules are provided with illustrations, and in aIl third-degree cases where A has an example it recurs in G. Again we have to ask whether A is derived from G (or sorne G' close to G) or vice versa. The treatment of the case ~t = aC+n solves this problem. G has only one of the three illustrations of this case that are found in both V and A, - in a numerical variation E2** that leads to an irrational solution. V and A, instead, share a nice Jacopo integer solution - or rather two, because v' they have and explain the existence of a double solution, which G ignores though A" having it in the rule. Moreover, as we have seen in note 25, the explanations given in V and A are closely related and not independent discoveries of the same mathematical fact. No doubt, therefore, that Paolo Gherardi borrows from a L C V" predecessor A' of A in which the innovations with respect to V' were aIready present. A We notice that A has examples of the rules until a certain point, and then rules only. G, as observed above, has examples to aIl mIes, but with one exception, aIl its cases are also in A, that is, already in A'. The exception is the case aK = yt+~C+n, v which is solved as if it had been aK = (y+n)t+~C (or, with the same wrong formula, as aK = ~C+(y+n». This is a fallacy so to speak of a higher order than the others, and we may assume that it was added by Paolo Gherardi himself or somewhere between A' and G. 1

l,~

//\

145

THE FOUNDING OF IT ALlAN VERNACULAR ALGEBRA

Next we shaH have to look at Land C. None of them have examp1es for the higher-degree cases, in which respect the y are closer to V than A. C is the one that cornes c10sest to V and A in the distribution of di visions pe r respective1y in, and aiso the one that has the 1argest number of rules (but like L none that are not found in both V and A). However, there are sorne differences in the per/in distribution, and sorne of the illustrative examples for the second-degree cases are also different. Given the complete agreement between V and A on these and many other accounts, A cannot descend from neither L nor C; they wi1l have diverged from the line connecting V' and A'. Since L mostly differs from A on the points where C differs and has none of the rules which are omitted in C, they are Iikely to derive from a common precursor C'. AIl in aIl, we are 1ed to the stemma shown above for the five expositions of aigebra (F and M, containing no algebra, do not enter). [26] V" designates the manuscript in which the list of silver coins was first displaced, and whose explanation of this was copied in V; the thick line signifies (attempted) faithful copying, thin lines more or less creative use and reelaboration. Since Jacopo wrote in 1307 and Paolo Gherardi (G) in 1328, and since C and L are dated around 1330, A' and a fortiori A", the point where divergence toward C and L begins, have to faH before that date; this constitutes no absolute proof that V' - the point where the a1gebra got into lacopo's treatise and was harmonized stylistically with the rest - is the original writing of the treatise. But so little time is Ieft, allowing a reasonable distance between the certainly different points A", A 1 and G, that it is the only reasonable assumption, which 1 shall therefore adopt in 26 fur!.her argumenls for !.his slemma follow from comparison of Ille precise words of Ille different lexIS. As an illustration, wc may firsl qUOlC the rule for the case aK = ~C+yt: V: dei partire li chubi el poi dimezzarc li censi, et multiplichare pcr se medesimo el agiungerc aile cose, et la radice dcla summa più el dimezzamento de' censi vale la cosa. L: si vuole partire ne' chubij e poj dimeççare ciensi e mulliprichare per sc medesmo e giugncre sopra aile chose, e lia radicie della sorruna più il diççamenlo de' censi vale la cosa. C: dovemo parlire per li chubi e poj dimeççare i censi e multiprichare per se medesmo e pone sopra le chose, accio che nne viene sarae radicie di quello e più 10 dimeççalo de' cellsi, e chotaIllo vmTae la cosa. A: dei partire ne' chubi, poi dimezare i ciensi e multiprichare per se medesimo e giungniere aile cose e la radicie della somma più il dimezmnento de' ciellsi vale la cosa. G: dovemo partire ne chubi e poi dimezare le cose [sic, read "censi"] e multiplicare questo dimezmnelllo per se medesimo e porre sopra le cose, e R di quella somma che fara piue 10 dirnezamenlo varra la cosa. A, we note, is very close to V. L, C and G diverge in different directions al!.hough willl sorne similarily between C and G. The case aC = ~l+n (forgottcn in L) is trcaled in this way: V: se vole partire Belli censi, ct poi dimezzare le cose, ct multiplicare per se medesmo el giongere al numero. Et la radice dela sUlIuna più el dimezzmnenlo dele cose vale la cosa. e: dovemo partire ne' censi, e poj dimeççare le cose e mulliprichare per se medessmo e pollo sopra il IIlJmero, e sarae radice di quello e piue 10 dirneçamenlo delle cose; e colanlo vale la cosa. A: dei partire ne' ciensi e poi dimezare le cose e mulliprichare per se medesimo e giungnierc al numero; e la radicie della somma più il dimezmnenlo delle cose vale la cosa. G: de part ire ne censi e poi dimezare le cose e muitipricare per se medesmio a ragiungnerc sopra 10 numero, e la radice di quello piue 10 dimezamenlo dele cose vale la cosa. Here, A shares one of !.he Illfee changes from V Lü G (se vole> dei, bUI neilller giongere al> ragiungnere sopra nor dela SUI/Ulla> di quello). This lime, Gand C diverge in lOlally different ways. 146

, THE FOUNDING OF ITALIAN VERNACULAR ALGEBRA

what follows. If 1 am mistaken, it is a least certain that V' has to be located very soon after 1307, and weil before 1328.

Jacopo's "innovations /1 • • ' 1 am publishing an edition and translatIon of the algebrmc chapt~rs of elsewhere [H~yrup 1998a], for which reason 1 shaH only summanze thelr characteristics here. . Globally, it is remarkable that Jacopo's algebra does not sh~re a. SIngle example and only a single rule with the Latin algebras - that tS, w!th the sum-total of Robert of Chester's and Gherardo da Cremona's translatIOns of al-Khwarizmt and the reVISlOn perhaps to be ascribed to Guglielmus de Lunis' the translation of Abu Kamil; and Leonardo Fibonacci's Liber abbaci , . . l27] and Pratlca geometne. . _ _. It may amaze that only a SIngle rule - . na~ely for the case at - n lS shared with the Latin works. The expianatton IS that the ruIes ?f t~î8Jatter for the second-degree cases presuppose proble~s to be. n~rmahzed (the first-degree problem is evidently non-normahzed - If It were not, the statement of the problem would already be the solution). Jacopo, as ~he other treatises discussed above, presupposes problems. to ?e non-normahzed, for which reason the first step of aIl mIes is a normahzatlO~. . The Latin algebras (with the exception of the Pratlca .geometne, whose algebra is subordinate and not the subject-matter p~oper).:llustrate the rules by examples formulated in terms of the representatton - the cens us ~nd 1 roots are made equal to 39", etc. None of lacopo's problems are of thI.S sort (nor are those of A, C, Land G). Sorne of Jacopo's (and aH of t~e. hIgherdegree problems of the others) are pure-number problems ( fInd two numbers which are in the same proportion as ... ", etc. ).; but others ~re dressed as real-life problems concerned with partners.hlps, commercIal profit from travels, etc. One of these, strikingly, d~als ':Ith the squ~e. root of an amount of real money.l29] This problem type IS eVldently the ongIn of the Arabic m al-jùjr-techniques. With al-Khwarizmi and Abu Kllmil,

y

°

however, it only survives as the standard representation, and for this reason it is also absent from the Latin algebras (which translate mal correctly as census or substantia, but give no hint that these terms should be understood literally).

27 Ed., respcctively, [Hughes 1989], [Hughes 1986], [KaunZller 1986]. [Sesiano 1993\, [Boncompagni 1857aJ and [Boncompagni 1862). 28 M n of lheir examples are cerlainly non-normalized, and then Ille texls tell how lo reduccd Illelll lo norm:li~ed form;

bul !.he explicil rule only applies when Illis forlll ha r : idem.

La rigueur, l'esprit d'analyse des auteurs, leurs exigences pédagogiques aussi, les amènent à ordonner tous les types de problèmes. Elle les amène aussi à discuter les résultats, à s'interroger sur le nombre et la nature des solutions. Cette attitude pem1et d'aborder des problèmes de fond.

3 - Un exemple d'illustration de l'esprit d'analyse: les "nombres" négatifs C'est durant l'étude des problèmes d'achat d'un cheval et de découverte d'une bourse, dans le chapitre sur la règle d'une position, que surgit le problème des solutions négatives: le calcul final des inconnues donne lieu à une soustraction. Suivant les valeurs à soustraire, le résultat peut donc être positif, nul ou négatif. Le problème ayant un support concret, on pourrait s'attendre à ce que seuls les résultats positifs soient acceptés, ou que les résultats négatifs soient interprétés. Il n'en est rien. On objectera que l'on a déjà rencontré cette 34 réaction dans le Manuscrit de Pamiers à propos des mêmes problèmes. Dans le Compendy, l'analyse est poussée nettement plus loin et le lecteur moderne est renseigné de manière plus précise sur la perception des quantités négatives. Suivant sa démarche habituelle, l'auteur s'engage dans une énumération des différents cas de figure possibles, suivant le signe des solutions. C'est pourquoi il est amené à décrire les nombres determinez, riens simplement ou meins de riens, et ensuite à les faire fonctionner dans des opérations: La premiere chose de noter est que les nombres trouvez sus le nombre de la position sont en une de troys manieres, car ilz sont ou meindres, ou egalz, ou plus grans du nombre qui viend du partiment de toute la sornme des nombres trouvez sus la position [ .. .}. Et est que ce que reste en la sus traction des meindres se appelle nombre determiné, Et quant le egal se sustraict reste 0, que se appelle non riens simplement. Et quant les plus grands se deveroient sustraire, car il est impossible que le plus grand nombre se lieve du meindre, il est forcé que la sustraction se face par le contraire .. et pour ce est que ce que reste se appelle meins de riens. [f. 219v]35

34

:~ Voir ~. Sp,iesser, Entre théorie et pratique, Tome l, III : L'écriture mathématique du Compendy.

. ~( Par consequent, note bIen tous les exemples SUIvants, car j'en ferai pour chaque manière. Et je ferai premlerement les. exemples e~ lesquel~ Il n'y aura ni plus ni moins, puis ceux en lesquels il y aura plus, puis ceux en I,esquels Il y aura ~I/OlflS, et plllS ceux en lesquels il y aura et plus et moins. Premièrement je mettrai les, probleme.s de la premICre partIe qui se ~ont à l'~ide des < rapports> multiples, et puis je ferai 'ceux de la seconde partIe qUI sont contraIres aux premIers car Ils se font à l'aide des < rapports> sous-multiples. »

Problème d'achat d'une pièce de drap entre cinq personnes, f. 10Irv du Manuscrit de Pamiers. La

première d'entre elles a « 10

%mens

de non l'es» (J. Sesiano, The appea ra Il ce ofnegative solutioIlS ... , p,

133), 35 « La première chose à noter est que les nombres trouvés sur le nombre de la position appartiennent à l'une de ces trois sortes: ils sont soit inférieurs, soit égaux, soit supérieurs au nombre qui provient de la

199 198

LE COMPENDY DE LA PRATICQUE DES NOMBRES

Les commentaires sur les solutions négatives vont bien au-delà de ce qu'on a pu ~ire jusqu'~lors. ~l est certain que les nombres négatifs embarrassent 1 auteur. ~.als le faIt de les envisager avec 0 sur le même plan que le,s autre~, les posItIfs, de les faire agir en tant que nombres, est une avancee certame dans la reconnaissance de ces quantités. . . Les caractères essentiels qui émergent à la lecture du Compendy le dlStl~guent de la plupart des arithmétiques de son époque. Si le Manuscrit de P~mter~ est. la source la plus immédiate, bien des points séparent tout de meme 1 ~s~n~ des deux textes. En effet, le Manuscrit de Pamiers appartient sans hesltatlOn au genre des arithmétiques «commerciales» ou « mar:handes », mê~e si les investigations à caractère théorique sont plus poussees qu~ dans bIen d'autres textes. Les chapitres des raisons renferment une succeSSlOn ?e p~o~lèmes divers comme on en rencontre un peu partout d~ns de teIIe,s anthmetl~ues, ~ans les traités d'abbaque italiens en particulier: c est ~ne methode de resolutlOn commune qui les réunit. Nous avons vu au contraire que Barth~lemy d,~ Romans (ou Préhoude) a choisi de développer ~eule~ent quatre sUJets, qu Il a d'abord analysés dans un cadre général puis lll~stres de nO~1bre~x exemples: 26 pour le thème des demandants et b~zl~ants, une vmgtame pour les problèmes « du cheval» ou « de la bourse », amsl. que pour I~s « pr?gressions composées ». Dans l'arithmétique de ~~m~e:s, les pro~lemes d achat de marchandise occupent la même place, à 1 mte~leur de la regle d'une fausse position, mais les deux derniers genres de pr~blemes sont absents. Enfin, quelques problèmes de demandants et bazl/ants sont proposés en application de la règle de double fausse position (ff. 114r-115v).

l

LE COMPENDY DE LA PRA TICQUE DES NOMBRES

pages de la partie XII-3 et 15 exemples sont résolus. La partie XII-4 est entièrement consacrée aux problèmes de la découverte d'une ou de plusieurs bourses, avec 16 exemples. Enfin, plus de 25 exercices traitent de l'achat de marchandises (chevaux et autres) et forment la cinquième partie du même chapitre. Parmi tous ces exemples, 20 sont repris dans le Manuscrit de Cesena, plusieurs autres en sont très proches. Les méthodes de résolution choisies par les auteurs du Compendy figurent toutes dans le Liber abbaci (qui en propose souvent d'autres en parallèle). Certaines résolutions du premier traité suivent pratiquement à la lettre celles du second. Le style rhétorique du Compendy est alors calqué sur la langue latine. Les problèmes baptisés «progressions composées» par BarthélemyPréhoude sont également traités dans le Liber abbaci, bien qu'ils soient beaucoup moins développés (chapitre XII-7, pp. 279-281 de l'édition 37 Boncompagni). Ces problèmes sont répertoriés dans Tropfke sous le nom d'héritage inconnu (Die unbekannte Erbschafi). Dans tous les exemples cités, 1 1

1

les fractions choisies sont 6' 7' et 10' Nous ne connaissons pas d'autre texte que le Liber abbaci et le Compendy où interviennent des fractions peu 2 6 courantes comme TI ou 35 ; la coïncidence est donc troublante. Ainsi, en comparant à la fois les énoncés et leurs résolutions dans les deux traités, à la lumière aussi de quelques autres faits précis que nous n'aborderons pas ici,38 nous avons acquis la conviction que les auteurs du Compendy avaient en main des sources très proches du Liber abbaci, sources qu'on voit apparaître ici pour la première fois dans les arithmétiques marchandes du Sud de la France, et qui réapparaitront ensuite dans le Triparty 39

III - DES SOURCES PROCHES DU LIBER ABBACI .Il faut r~monter à Léonard de Pise et au Liber abbaci pour rencontrer des 36 c~apltres entIers e~ conséquents réservés à l'analyse d'un seul problème . ~ ,e~t. dans le chapItre .XII que Léonard de Pise traite de ces questions. Dans 1 edltIon Boncompagm, les problèmes de demandants et baillants couvrent 17 division de la somme totale des nombres trouvés sur la .. [ 1 devraient être soustraits pour savoir ce qu'a et 'd' ce I:s nombres trouvés a~oir le ~ombre commun. Et ce qui reste lorsqu'on soustrait de: n~~~/;~on evralt. s e~ soustraIre pour petllts s appelle nombre determIne. Quand on soustrait un nombre égal il reste 0 qui s'appell ~ . e non nen slmp ement. Et quand on devrait soustraire des nombres 1 d ' . plus petit, la soustraction se fai~ ~~r~;~e:; ~~~:: ~Io~~~~;:~~spl~~r d,e Iretranch~r le plu; grand no~bre du rien. » ce a, ce qUI reste s appelle mOInS que

ch~cun ~~S~%:br~ ~e ~~mb~e, tOl~S

de Chuquet. Pour autant, la comparaison entre les deux textes s'arrête là. L'orientation générale, on le sait, est bien différente. Et même si nous en restons au chapitre XII, source des exemples traités dans le Compendy, les objectifs ne sont pas les mêmes. Le Compendy, comme le Manuscrit de Pamiers, se veut didactique. Il explique quand le Liber abbaci démontre. C'est le « comment» face au « pourquoi ». Et malgré le remarquable travail de réflexion de Barthélemy et Préhoude, il ne faut cependant pas masquer

~Ius

36N ous

. qui s'inspirent ouvertement du Liber abbaci. exc 1uons les traités

J. Tropfke, Geschichte der Elementarmathematik, pp. 586-588. Voir M. Spiesser, Problèmes linéaires ... 39 Voir M. Spicsser, Entre théorie et pratique ... , tome 1, pp. 71-74.

37

38

201 200

LE COMPENDY DE LA PRA I1CQUE DES NOMBRES LE COMPENDY DE LA PRATICQUE DES NOMBRES

q~'u~ futur marchand n'y trouvera pas son compte: la première partie est trop red~lte p~~r ;~i~rt~r Le traité n'a pas de vocation pratique. Il est certain

leurs lacunes. Lorsque le problème devient plus difficile, les auteurs du Compendy ne le maîtrisent plus mathématiquement, à la différence de Léonard de Pise. Les faiblesses du texte, erreurs et confusions passagères, le placent mathématiquement au-dessous de l' œuvre maîtresse de Léonard de Pise. En revanche, le souci de penser en premier lieu tous les problèmes d'une même famille sous des idées générales, de séparer les exemples de la théorie, est absent de l'œuvre de Léonard de Pise. Dans le Liber abbaci, la démarche est inverse: chaque partie débute par un exemple à l'occasion duquel est énoncée la règle qui permet de le résoudre et qui, souvent, est justifiée a posteriori. Une homogénéité de construction apparaît dans le Compendy que l'on ne ressent pas du tout dans le Liber abbaci et qu'on n'a retrouvée en aucun autre ouvrage.

l'essentiel et la seconde est inutile à la pratique co~mercIale. S Il a ~lt e b f er on pourrait le qualifier d'essai, un essaI sur quatre probl~mes, ~:s~fn~s à' «illuminer l'entendement de ceulx qui vouldroient veou les subtilitez qui y sont contenues ».

BIBLIOGRAPHIE

CONCLUSION

Sources manuscrites

Du point de vue de la transmission des connaissances, le Compendy de la praticque des nombres est un texte d'importance pour l'historien des sciences. Il a des liens directs avec deux traités de référence dans la France du Xye siècle, le manuscrit de Pamiers qui jusqu'à ce jour est fondateur d'un genre et le Triparty en la science des nombres de Chuquet: ce dernier reprendra en effet, dans la première partie de son traité ainsi que dans l'appendice, bon nombre d'exemples et de méthodes issus du Compendy. Il est aussi la preuve de la circulation de connaissances d'origines plurielles: le manuscrit de Pamiers d'un côté, qui a fourni le découpage et aussi l'orientation théorique du texte, le Liber abbaci de l'autre, qui a procuré le matériau de travail: à savoir le corpus important des problèmes proposés qui déborde largement celui que l'on trouve dans le manuscrit de Pamiers et les autres textes de la même famille.

Textes anonymes Compendi dei art dei algorisme (dit« Manuscrit de Pamiers »), Ms. fds franç.

Du point de vue du contenu, on peut dire que rien n'est nouveau, ni le sujet traité, ni les méthodes employées. Là où les auteurs innovent, c'est dans le regard qu'ils portent sur la matière. Il ne s'agit plus seulement de transmettre des consignes, de résoudre des exercices «à l'unité », mais de réfléchir sur des problèmes, de penser la mathématique enseignée. Le travail mené en ce sens est remarquable, neuf et reste unique, en l'état actuel de nos connaissances. Le Compendy de la praticque des nombres est un ouvrage très personnel, qui a su intelligemment tirer parti de différentes sources sans jamais les copier servilement, en suivant une voie originale.

4140, Bibl. Nat. Paris, c. 1420.

L'art d'arismetique, Ms. fds franç. 2050, Bibl. Nat. Paris, c. 1460. 3143 Bibl Sainte-Geneviève, ADAM Jehan, Arismeticque, 1471, M s. f ranç. , . Paris. BARTHELEMY DE ROMANS et PREHOUDE Mathieu, .Compendy de la . b M S-XXVl-6 Bibl. MalatestIana, Cesena, ff. pratlcque des nom res, s. , 149r-268v, 1471. CERTAIN Jehan, Le kadran aux marc hans,

Paris, 1485. CHU UET Nicolas, Triparty en la science des. nombres (Appendice, Q "' rtie) Ms fds franç 1346 Bibl. Nat. Pans, ff. 148r-210r, 1484. premlere pa ,. ., PREHOUDE Mathieu, Traicté de la praticque d'algorisme, Ms. S-XXYI-6, Bibl. Malatestiana, Cesena, ff. 7r-140v, 1471.

Sources imprimées

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203 202

M' 2904 Bibl de l'Arsenal, s. , .

LE COMPENDY DE LA PRATICQUE DES NOMBRES LE COMPENDY DE LA PRATICQUE DES NOMBRES

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SPIESSER Maryvonne, Problèmes linéaires dans le Compendy de la praticque des nombres de Barthélemy de Romans et Mathieu Préhoude (1471), Historia Mathematica (à paraître). TROPFKE Johannes, Geschichte der Elementarmathematik, 4. Auflage, Band 1. Arithmetik und Algebra, éd. Kurt Vogel, Karin Reich, Helmut Gericke, BerlinlNew York: De Gruyter, 1980. V AN EGMOND Warren, How algebra came to France, in Mathematics from Manuscript to Print, éd. Cynthia Hay, Oxford: Clarendon Press, 1988, pp. 127-144. VAN EGMOND Warren, Practical Mathematics in the ltalian Renaissance. A Catalog of Italian Abacus Manuscripts and printed Books to 1600, Firenze: Museo i Istituto di Storia della Scienza, 1980.

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204

205

,

LE COMPENDY DE LA PRA TICQUE DES NOMBRES

ANNEXE 1

LE COMPENDY DE LA PRA TlCQUE DES NOMBRES

1 - Sensuit de traicter des regles des compaignies

169r

La premiere regle des compagnies

169v

Partage des gains dans une société, partage d'un nombre en parties inégales vérifiant certaines hypothèses (pb. linéaires) ; problèmes de contrats.

Sensuit le traicté de la seconde regle des compaignies

TABLE DES MATIERES DU COMPENDY DE LA PRATICQUE DES NOMBRES

l85v

Demandants et bail/ants La tierce maniere de compaignies

2l6v

Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur quotient

N. B. Les titres repris du texte sont en italiques, les autres titres sont ajoutés.

La quarte maniere de compaignies

2l7r

Trouver deux nombres connaissant leur somme et la différence de leurs carrés

A - Introduction ... et commence au nombre entier

149r

Pour le premier chapitre [de nombrer]

l49v

Pour le second chapitre de adiouster

l49v

Pour le tiers chapitre qui est de sustraire

l50r

Pour le quart chapitre de multiplier

l50v

Pour le quint chapitre de partir

l52v

Pour le sixiesme chapitre qui est de traire les rays

l54v

2 - Sensuit le traicte de la seconde regle general qui cst de une position

2l7v

1) La premiere partie principale

218r

La premiere partie de la premiere partie (achat d'un cheval)

218r

La seconde partie de la premiere partie (découverte d'une bourse)

228v 243r

2) La seconde partie principale Règle d'une fausse position pour résoudre des problèmes se ramenant à une équation du premier degré

B - Sensuivent les regles du nombre rOllpt

154v

Reduire

l54v

3 - Sensuit la tierce regle generale qui est de deux faulses positiollS

247v

Pour le second chapitre de adiouster en nombre roupt

l58v

Progressions simples

248r

Partager un nombre en parties inégales formant une suite arithmétique. Le nombre, le nombre de parts et la raison de la progression sont donnés.

Pour le tiers chapitre de sustraire en nombre roupt

l59r

Pour le quart chapitre de multiplier en nombre roupt

l59v

Pour le quint chapitre qui enseigne de partir en nombre roupt

l6lr

Pour le sixiesme chapitre qui est de traire les rays

l63v

C - Sellsllivent les regles des raisons

Progressions composées (héritage inconnu)

248v

On donne une progression arithmétique (raison r, premier terme a) et une

fraction~.

Il s'agit de partager un nombre inconnu en "parts" égales, en respectant

des règles où interviennent la fraction et la suite arithmétique.

165v

Premiere maniere

Introduction à la suite; règles de trois simple ct composée; applications: recherche dufin, alliages, unités de poids.

248v 25lv

Seconde maniere

266r

Résolution des deux problèmes de progressions par double fausse position

, 1

206

1

4 - Sensuit la quarte regle general qui est de apposition et remotion

268v

Explicit

268v

207

LE COMPENDY DE LA PRATICQUE DES NOMBRES

LE COMPENDY DE LA PRA TICQUE DES NOMBRES

1

ANNEXE 2

(3)

et on en déduit S. ANALYSE MATHÉMATIQUE DES PROBLÈMES CITÉS AU II

Les x, sont alors les solutions (éventuelles) du système m LX k = - - 1 - S - ai

k~p+i-I

mi + 1

k~i

Les méthodes décrites traduisent algébriquement la démarche SUIVIe dans le Compendy. 1- La deuxième règle de compagnie: demandants et bail/ants

Une compagnie compte n personnes. Appelons-les PI' P2 , ... , Pli' Chacune possède des deniers (notés Xi)' Soit GI = {PI ..... pp}, G2 = {P 2, ... , Pp+ l }, ... , G = {Pn , PI. ... , Pp_do Chaque groupe Gi demande aux n - p personnes restantes de céder ai deniers de façon à posséder alors un multiple mi de ce qu'il leur reste. Les Xi sont solutions du système linéaire suivant: II

XI

I

~~.+~: ~.~~'.~: ~ ~~=~: ~~'.:~~. ~~: ~~'.~ XII

soit

+X I

+ X2 +,,,+x p_1 + ail - mll(xp+",+X

k~p+l-I

(1)

bi

avec la convention: Xj =

Xi-n

II _

1

a,) a,J

= mi

(

La première étape conduit à : i

(2')

LX k -ai) k= p+i

Les étapes suivantes sont les mêmes que dans la première méthode. Il est avantageux d'utiliser la première transformation lorsque p l'équation (2) conduit directement à X,: m x+a=--'-S . 12 m, +1 [=" 1

1

... ,

11

=

1, car

.

Au contraire, lorsque p = n - l, (2 ') est préférable, pour la même raison: (2')

X II _ I +i

_a.=_l_S 1 1 m,+

i = 1,2, ... ,11.

2 - La règle d'une position: n personnes achètent un cheval

si} > n.

m

première fait intervenir les fractions __, -1' la seconde fait intervenir les m, + 1

fractions - - , compléments à l'unité des précédentes. Les étapes sont alors m i +l

Une compagnie de n personnes veut acheter une marchandise mais aucune ne possède la somme requise. En reprenant les notations déjà utilisées, les membres de chaque groupe Gi demandent alors aux n - p autres personnes de leur céder une fraction El. (0 < Pi < q,) de leurs deniers de façon à réunir le qi montant exact a de cette marchandise. Le système s'écrit:

les suivantes: Première méthode Transformation de chaque équation en fonction de la somme S des x, : (2)

i n

1,2, ... , 11.

i = 1,2, ... ,11,

La résolution consiste à transformer chaque équation de façon à faire apparaître la somme S des inconnues. Il y a pour cela deux possibilités. La

En sommant ces

=

(n - 1 + i est toujours compris modulo n).

k~n+i-I

LX k +a i

Deuxième méthode

(2)

+X2+'''+Xp +a l =m,(xp+I+ .. ·xlI-a l )

i= 1,2, ... ,11.

=

1,2, ... ,11.

équations, on obtient: 208

209

LE COMPENDY DE LA PRATICQUE DES NOMBRES LE COMPENDY DE LA PRATICQUE DES NOMBRES

I XI

X1 +X 2 +· .. +X P +l?J.(X p>1 +···+X) "

=a

ql

X+-· .+ x p+1 + E2. (x p+2 +... +x , ,+1 x ) =a 2 q2

Il

= ml(Xp+:: ... +XI/) +x n + XI)

xn +x l +···+X p_1 + a = m,,(xp+···+XI/_l)

soit x +X 1 +···+X p-I

+X2+···+Xp +_a

x 2 +. ··+x p + 1 + a - m 2 (x p+2 +

+~(X P+···+X ,,-1 )=a

k=p,i-l

(6)

q"

ou encore

LX

bi

k=l/+i-1

+a

k

= m,( Lxd

i = 1,2, ... , n

bp+i

puis, en fonction de S:

(4)

i

=

1,2, ... , n

i= 1,2, ... , n.

(7)

En procédant comme auparavant (on ajoute aux deux membres de chaque équation la somme adéquate), on arrive au système équivalent: (5)

i

=

1,2, ... , n

On peut exprimer également chaque équation en fonction des fractions ' . -1 - . Cela nous mène al ors aux equatlOns : mi +l k=l/+i-1

Comme an' est pas fixé dans l'énoncé, on peut donner une valeur arbitraire à S - a. C'est ce qui est appelé position dans le Compendy, ce qui justifie le rangement de ces problèmes (comme des suivants) sous le titre de « règle d'une position». Une fois les Xi trouvés - quand il y a des solutions-, on en déduit S puis a. N. B. : Comme pour le premier problème, on pourrait aussi exprimer les données à l'aide des fractions

~,ce qui mènerait aux équations: Pi -qi

LX k=i

k

-a

= __i -CS-a) Pi -

LX

k

k=p+i

1 =--(S+a) mi + 1

i= 1,2, ... , n.

Lorsque p = l, les équations (7) permettent d'obtenir directement Lorsque p = n - 1, ce sont les équations (7 ') qui donnent les X n -1 + i·

Xi·

4- Bilan relatif aux trois problèmes précédents

La résolution de ces trois problèmes selon la méthode indiquée (retour à S, S - a ou S + a) montre que les Xi sont solutions d'un système dont la matrice est de type circulant, égale à

P

k=p,i-I

(5')

(1')

qi

i= 1 2 '

n

< ......

... >

P

, ..• ,

Ce n'est pas fait dans le Compendy. Notons que dans les équations (5'), les deux membres sont négatifs (car 0 < Pi < qJ

3 - La règle d'une position: n personnes ont trouvé une bourse Un groupe de n personnes a trouvé une bourse. Les membres de chaque groupe Ci réunissant leurs deniers à l'argent de la bourse, possèdent alors mi fois ce qu'ont les n - p autres personnes. C'est exactement le même problème que le précédent; il suffit de remplacer ~ par -mi et a par son opposé:

< ... n - p ... >

1 0 100

1

o o o o

1 0

0 1

o

1

o 1

0

1 0 1

o

1 0 1

0

1 0

0

1 0

1 0

1

0

1 0

1 0

1 0

1 0

(ou la même matrice avec échange des 0 et des 1). On démontre que ce système admet une solution unique si et seulement si n et p sont premiers entre eux. Dans ce cas, detA = p. Dans le cas contraire, il peut donc n'y avoir aucune solution ou bien une infinité. 211

210

LE COMPENDY DE LA PRATICQUE DES NOMBRES LE COMPENDY DE LA PRA TlCQUE DES NOMBRES

X=(!L-l),.

Dans les deux derniers problèmes, la valeur de a n'est pas connue, et lorsque le système est régulier, il y a en fait une infinité de solutions proportionnelles. 5 - La règle de deux fausses positions: les progressions composées

S \

x

=

(pq - 1)r ; S =

Sont données une progression arithmétique de premier terme a et de

n s'agit de partager de façon équitable une somme inconnue S entre un nombre inconnu n de personnes, en respectant les règles suivantes: la première part est égale à a, premier terme de la progression, auquel on ajoute la fraction

~

de ce qui reste, soit

%(S -

a). La seconde part est égale au

deuxième terme de la progression augmenté de la même fraction de ce qui reste de la somme initiale après avoir effectué tous les prélèvements précédents. On suit le même schéma pour la troisième part, etc. Tel que le problème est posé, nous ne connaissons pas le « nombre de

!L[(!L -1),. - a] p p

a, r,p et q étant donnés, on a donc la solution:

Premier problème ou« première manière»

raison r, et une fraction %comprise entre 0 et 1.

=:+

q[(q a +p il -

q S "il- a 1) r _. a, j ' n- -x- = l'

q

ou encore, en posant q'

=

p: q'1'- a

x

=

(q' -1)1'; S = a + q '[(q' - 1)1' - aj ; n

= -,.-

Deuxième problème ou « deuxième manière»

La première part est égale au premier terme de la progression auquel on

. tES La seconde est égale au second terme de la progression augmenté

aJou e q .

de la fraction E de ce qui reste après avoir prélevé la première part, et ainsi de q . problème on a simplement inversé l'ordre entre suite. Par rapport au premIer '. . .. progression et fraction du « reste ». Les équatIOns sont ICI.

parts », nous ne savons pas s'il est entier ou non. Nous ne connaissons donc

S = nx

pas le nombre d'équations (ce que nous avons rendu par des pointillés dans

et

l'écriture du système). Algébriquement, en appelant x la valeur de chaque

p )_E(S_2x)+(a+2r)=".=E[(S-(k-l)x]+a+(k-l)r='" P r _. x=_S+a=-(S-x)+(a+ q q q q

part, nous pouvons traduire les conditions posées par les équations:

Ce système est équivalent à : S = nx ct

S = nx et

x=a +E(s -a)=a + r +E[S -x -(a +r)]="'=a +(k -l)r +E[S - (k -l)x-(a +(k -l)r)]=". q q q

Pour passer d'une part à l'autre, on ajoute r et on retranche ~ (x + r), dont les effets s'annulent puisque toutes les parts sont égales. Le système se réduit alors à deux équations, à savoir la première et l'équation unique obtenue en retranchant membre à membre deux équations consécutives. Le système précédent est donc équivalent à S = nx et à l'un des systèmes équivalents suivants:

d'où la solution:

9_1' - a x =!L r ; S = !L(!L r - a); n = -P--, ppp ,.

, -~.

ou encore, avec q - p .

213 212

QU'EST-CE QU'UN DENIER?

LE COMPENDY DE LA PRAT/CQUE DES NOMBRES

X =

q '1'" S

=

q '(q '1' - a) .. n

q'r-a = -1'-.

Notons, pour les deux genres, que:

f

"Qu'est-ce qu'un denier ?" Eléments de métrologie médiévale. Claire Faye Université Paris 1

- Si a ~ r, les solutions sont toujours positives; -

. S1· a > r, S et n ne sont positifs que si P - , les entrées dans la vie. initiations et

appremissaRes, Xllème congrès de la SHMF-S. Nancy, 1981. 7 BN fond français ms 2050, rédigé aux environs de 1460.

274

La règle de 3 : Elle est toujours présente8 et le chapitre qui lui est consacré fourmille d'exemples généraux et simples, révélateurs d'une volonté pédagogique. On la retrouve, par la suite, citée et utilisée au sein de problèmes nécessitant des méthodes plus complexes. La règle d'une fausse position: Elle est en grande partie inspirée des manuscrits du Sud mais, alors que les ms de Pamiers, de Cesena, le Kadran et le 2050 en débutent les applications par un exercice où il est question de l'achat d'un cheval à plusieurs, l'Appendice au Tri party occulte celui-ci et s'intéresse à un calcul d'âge classique par son énoncé: " Il est ung homme qui dit ainsi: " Se j 'avoye encore,~' autant de ans comme j'ay, et la 1/2 et le 1/3 et encores le 1/4 de ce que j'ay, tout adiousté ensemble je auroye 50 ans. Assavoir moult quantz ans cel/ui homme a?" (F 154r).

Cet énoncé se trouve aussi dans le ms de Pamiers (fO 103r), le ms 2050, le Compendion de Pellos, le ms de Cesena et le Kadran (fO 54v), quoique dans ce dernier la somme fasse 100. Le choix de 12 comme fausse position est évident puisque c'est le plus petit commun multiple de 2, 3 et 4. Chuquet, quant à lui, préfère utiliser sa règle des premiers, posant comme inconnue l'âge actuel de l'homme. Il résout alors une équation du premier degré à une inconnue de la même manière que nos collégiens actuels. Sa méthode est directe, quelles que soient les fractions considérées, elle ne nécessite pas le calcul d'un PPCM dans le but de trouver une fausse position acceptable mais, pour réduire au même dénominateur les fractions utilisées, il lui faut tout de même faire ce calcul. L'innovation réside dans l'établissement d'une méthode générale puisqu'il n'y a pas de tâtonnement, méthode qui va convenir à bien d'autres calculs. On ne peut pas dire qu'elle soit plus rapide mais il tente de démontrer l'efficacité de sa méthode face à maints problèmes jusque-là résolus par des méthodes distinctes, chacune appropriée à un type particulier d'exercices. Ensuite vient l'exercice de la lance dans l'eau: " Une lance est la 1/2 et le 1/3 dans leaue et 9 pyez hors de leaue. Assavoir moult quantz pyez a celle lance? " (F 154r).

Cet exemple figure dans le ms de Pamiers (fO 103r), dans le ms de Cesena (fO 8Ir), dans le Kadran (F 55v), dans le Compendion de Pellos et dans le ms 2050 (F 84v) mais, dans ce dernier, il s'agit de la hauteur d'un arbre. Pour tous ces manuscrits, la fausse position adoptée est 12 pour les mêmes raisons que précédemment. Pour Chuquet, il s'agit de résoudre l'équation écrite sous sa forme actuelle: x - 1/2 x - 1/3 x = 9. Il utilise alors les canons de la règle des premiers qu' il a établis précédemment. 8 Dans tous les méUluscrits déjà cités.

275

L'APPENDICE AU TRIPARTY DE N. CHUQUET

Vient ensuite l'exemple du testateur et des jumeaux (fO l54v) :

" Ung homme fait son testament et laisse sa femme grosse d'enfant et ordonne de 100 escus en telle manière que si sa femme fait une fille, il veult que la mere preigne le double de la fille. Si elle fait ung filz, il ordonne quil ayt le double de sa mère. Il est advenu que la mère a fait ung filz et une fille. Assavoir moult combien de ces 100 escus en doit avoir la mère, le filz et la fille? " Dans le cas du ms de Cesena, cet exercice se situe au folio 83r, il est énoncé de manière identique, l'utilisation du style direct mise à part: " [... ] si ma femme [ ... ] je veulz [... ] ". Pour le ms 2050 (fO 91 v), la somme globale n'est pas annoncée, le résultat consiste donc en l'obtention d'une fraction du legs pour chaque héritier. Chuquet résout: 4 1 p 2 1 P Il egaulx à 100. Une application intervenant chez un apothicaire où il est question de l'achat de poivre, gingembre, graine et girofle est commune au ms de Pamiers et au Triparty. Dans le premier, la fausse position choisie est 3 ; Ainsi 3 + 2x3 +3x3 + 4x3 font 30. Et 3 est à 30 ce que le nombre cherché est à 100. Ce nombre est donc 10. Chuquet résout ce que l'on noterait désormais: x + 2x +3x +4x = 100. On peut trouver dans l'Appendice au Triparty, le ms 2050, celui de Pamiers, dans le Compendion de Pellos, ainsi que dans le ms de Cesena l'application se rapportant à un récipient percé de trois ouvertures à débits différents:

" un vaisseau plain de vin a troys broches, l'une plus grosse que l'aultre et en telle manière que qui tyreroit hors la plus grosse tout le vin seroÎt vuydé en 3 heures. Qui tyreroit la moyenne le vaisseau seroit vuydé en 4 heures. Et par la moindre broche le vaisseau seroit vuvdé en 6 heures. Assavoir moult si les troys broches estoient ouvertes ens~mble en combien de temps sera vuydé cellui vaisseau ? Pour faire ceste raison je pose 11 pour le temps en quoy cellui vaisseau doit être vuydé. Si les troys broches sont ouvertes Il de heure, par la grande broche se vuydera 1/3 1 , par la moyenne 3/4 l, et par la moindre 1/6 1. Or adiouste 1/6 l, 3/4 1 avec 1/3 1, si auras 3/4 1 egaulx à 1 vaisseau. Maintenant divise 1 par 3/4, si auras 1 heure et 113 de heure. Et en tant de temps sera vuydé cellui vaisseau." En résumé, la méthode de simple fausse position provenant des arithmétiques du sud, a produit des exercices repris par les divers auteurs et, à quelques infimes différences, ceux-ci sont réutilisés par Nicolas Chuquet afin de mieux apprécier l'intérêt de sa règle des premiers. II est patent que Chuquet a eu en sa possession durant un grand moment un ou plusieurs manuels d'arithmétique traitant de cette règle de simple fausse position

276

L'APPENDICE AU TRIPARTY DE N. CHUQUET

puisqu'il reprend les exercices classiques du sud de la France dans un ordre très proche de celui utilisé dans ces manuels. La règle de double fausse position: De même que dans le cas de la règle de simple fausse position, celle-ci est typique des manuscrits méditerranéens et nombre d'applications utilisées dans l'Appendice au Tri part y sont exactement celles que l'on peut lire dans le ms de Cesena ou dans celui de Pamiers par exemple. Ainsi on trouve au folio l58v, un problème où il est question d'achat de cire neuve et de cire vieille:

" Ung marchant tienne le quintal de cyre neusve pour 14 escu."" et le quintal de cyre vielle pour 9 escus. Or est il ainsi qui! ne veult employer que 11 escus et si veult avoir ung quintal tant en cyre neusve que vielle. Assavoir moult quantes livres (unité de poids) cyre neusve et quantes livres cyre vielle fault qui! achète à ce quil en ayt ung quintal et que le quintal luy viengne à 11 escus. " Dans plusieurs ms l'auteur a précisé qu'un quintal pesait 100 livres, Chuquet l'omet mais l'utilise. Les ms étudiés utilisent tous dans ce cas la méthode de double fausse position: en prenant Xl = 20 (livres de cire neuve) on trouve que seuls 10 escus ont été utilisés d'où el =-1, puis en prenant x2 = 60, le coût est de 12 escus donc e2 = + 1. Finalement la solution est donnée par (xle2-x2el)/(e2-et) = (20+60)/2 = 40. Soit 40 livres de cire neuve et 60 de cire vieille. Pour Chuquet le travail consiste à résoudre une équation à une inconnue. Il pose que la quantité de cire neuve est Il et raisonne de la façon suivante: comme un quintal de cire neuve coûte 14 éc~s, la quantité ~ue 1.' o~ cherche a un coût de 14/100 d'écus x Il, ce qu Il note 14/100 . Amsl l'acheteur aura 100 livres moins 14/1 00 1 de cire vieille, qui lui coûtent 9/100 x (100 m 14/1 00 1) et la somme des deux achats vaut 1 1 écus. Par la règle des premiers, il arrive rapidement au résultat (soit 40 et 60). A chaque problème de ce type, il donne le déroulement du calcul mais ne réexplique pas la méthode entièrement, rejoignant la présentation du manuscrit de Cesena. Un exemple mettant en scène des marchands de laine et des gabeliers est commun au manuscrit de Pamiers et au Compendion de Pellos, par contre il n'appartient pas au ms de Cesena. Cette application est couramment traitée dans les manuels d'arithmétique et on la trouve aussi dans des manuscrits dits "du nord" comme le 1339 et le 456 de la médiathèque de Nantes. Par contre on peut remarquer, dans les traités du sud et dans le Triparty, que les marchands qui s'acquittent de la gabelle s'en reviennent de ".l'oyre" sans plus de précision géographique, alors que dans le cas du ms 456 par exemple, il s'agit d'un impôt prélevé à Paris. Dans le Compendion de Pellos, la taxe est levée sur des quintaux de laine tandis que dans l'Appendice de Chuquet il s'agit de sacs de laine et dans le manuscrit de Pamiers, de pièces 277

L'APPENDICE AU TRIPARTY DE N. CHUQUET

de drap; "les contrai~tes sont donc particulières à chacun de ces manuscrits et, I?eut-etre, tradUIsent-el1es un souci de différenciation de la part de pl~~leurs auteurs? Alors que les manuscrits de Pamiers et de Francès Pellos utlhs~nt les nombres 9 et 13, Chuquet se sert de 13 et 19. De nouveau la questIOn se P?~e qua~t à, savoir s'il s'agi~ d'une erreur de lecture de Chuquet dans le .ca~ ou 1.1 auratt 1 un des manuscnts à sa portée, ou bien de la volonté de se dIfferencier, ou encore d'une mémoire un peu" défaillante" dans 1 e cas d'une lecture antérieure de l'un ou l'autre de ces traités. Dans le manuscrit. de Mathieu Préhoude, comme dans le Triparty, on peut. ,tro~ver ,un exerclC~ concernant un marchand de poires énoncé de mamere IdentIque. ;. de meme, beaucoup d'autres applications de la règle de do~ble fausse I?osltlon se retouvent dans les manuscrits du " sud" et dans le Tnparty, ne 1mssant aucun doute quant à une lecture au moins partielle de tels traités par Nicolas Chuquet. La règle de compagnie: Dans les exercices de l'Appendice, Chuquet ne dit à aucun moment le mot :' co~pagnie " comme le font si souvent les autres auteurs. Ainsi au lieu de due: deux hommes font compagnie ", il énonce au folio l75v : "i1z sont deu,x hommes qui ont tant de deniers que si le premier baille au second eme les 7 /12 d~ ses de~iers ... " et l'unique mention du mot de compagnie se trouve dans le Jeu de 1 anneau au folio 208r. La règle d'apposition et rémotion : ,C'est. une, sor,te de .fourre-tout où l'on trouve des problèmes avec un degre de hberte, ou plusIeurs solutions sont donc proposées; des problèmes de recherche de nombres carrés ou cubiques s'écrivant comme somme de carrés ou de cubes ; .m~is au~si des jeux dont certains sont connus depuis le Haut ,Moyen Age, m~sl cel~1 du loup, de la chèvre et du chou, et d'autres pr~blemes de tra~ersees qUI se trouvent déjà chez Alcuin. Chuquet dit au foho ~03~ que ,de telz comptes se font sans rigle, par aposicion et remOClOn]Usques a ce que Zan viengne à son entente ", admettant qu'il existe une sorte ~e ~.ott~ment, de brouillard, un manque de netteté, de précision, autour de 1 utIlIsatIOn de cette règle. .:lus.ieurs. applications de l'Appendice au Triparty sont traitées de mamere IdentIque dans les manuscrits du nord, comme par exemple celui des pots et des pintes .q~e l'on trouve dans le 13399 et le 456 de Nantes et qui sont absents des traites. du sud: Pa~ contre, d'autres sont présents dans pres9ue tous. les manuscnts mathematIques de cette fin du Moyen Age, ainsi celUI des. trOIS fem~es q~i vendent un nombre de pommes différent pour un reven,u fI~~lement Identique. Ce type d'exercice révèle une fantaisie de mathematlclen et non un apprentissage pratique puisqu'on en vient à couper

L'APPENDICE AU TRIPARTY DE N. CHUQUET

les pommes en morceaux et finir par payer l'une seize fois plus chère qu'une 10 autre . De nombreux exercices ont trait à des poursuites et, en prenant les divers traités étudiés dans un ordre quasi chronologique, on peut effectuer un " tour de France" : suivant des pélerins qui s'en reviennent de Saint Jacques de Compostelle, on arrive à Montpellier par le ms 2050, puis on remonte à Lyon par celui de Mathieu Préhoude, ensuite Chuquet propose des voyages Lyon-Paris et avec le 456 de Nantes vous partez pour Tournai, tandis que le ms 1339 lui préfère Rouen. Cet itinéraire emprunté par les divers exercices de poursuite serait-il aussi celui des connaissances d'arithmétique marchande qui effectueraient une remontée vers le nord pour se fondre avec celles de tradition universitaire, que l'on trouve intimement mêlées dans le ms 456 de Nantes ou bien dans le Triparty. La plaque tournante du trafic semble être Lyon, attirante par bien des points, commerciale par excellence et cosmopolite grâce à ses foires. Penchons-nous rapidement sur quelques-unes des multiples influences que cette cité a pu avoir sur l'Appendice au Tri party .

III LYON, de multiples influences Une cité fluviale Pour qui veut suivre l'itinéraire le plus court et le plus simple entre la Mer du Nord et la Méditerranée, Lyon Il est un point de passage souvent emprunté. Située sur la Saône et le Rhône, la ville est au carrefour de deux voies trans-européennes: l'une méridienne, l'autre transversale faisant correspondre l'est (Italie, Suisse, Allemagne) et l'ouest (Pays de Loire et Océan Atlantique). Le caractère essentiellement fluvial de Lyon a permis le développement du transport des marchandises dans ses alentours, les voies d'eau étant souvent préférées aux voies terrestres pour des raisons de sécurité (les attaques de routiers sont encore monnaie courante), de rapidité et de coût puisqu'il existe de nombreux péages sur les chemins. En cette tin de Moyen Age, le marchand hésite à ne pas accompagner sa marchandise et doit, de ce fait, déserter durant de longues périodes son négoce. Il ne fait pas encore confiance aux techniciens du routage et du halage et il lui importe de rester éloigné de ses affaires le moins longtemps possible pour éviter que ses stocks, son personnel et ses transactions ne s'endorment; il a donc tout intérêt à ce que cela se passe vite.

10 Folio 203r de l'Appendice au triparly

9 BN fr 1339, écrit en Normandie vers 1460, non encore édité.

278

Il A propos de Lyon et de l'origine des foires: His/aire de Lyon et du lyonnais, dir. A. Latreille, éd. Privat, Toulouse, 1975. Ph. Contamine, L'économie médlé\'ale, éd. Armand Colin, Paris, 1993.1. Day, Monnaies et marchés au Moyen-Age, Comité pour l'histoire économique et financière, Paris, 1994. Et J. Favier, De l'or et des épices, Naissance de l'homme d'affaires au Moyen-Age, éd. Fay;u'd, Paris, 1996.

279

L'APPENDiCE AU TKlI'AKI

1

VL n. '-'''~''

hL = d 2 =

fT

a

c

ad

b : (ï = bc

1 Dr Mohamed Aballàg, Ra.f'allIigàb can wugùh ae //Iàl al lIisab, établisselllelll du lexIe, préSelllalioll el élllde, publication de la faculté des Lettres et des Sciences Humaines, Fez, 199411 p. 10.~ ct sq

304

ad c ; bc x (ï

a

= i)

2 Bugyal al flIl/àb, Ed, Alep 1981, p, 196

305

==}

a3 c3 e3 b 3 = d1 = f3

APPLICATIONS DES PROPORTIONS APPLICATIONS DES PROPORTIONS

"La clé du calcul" (miftah al hisab), Giàt ad Din al-Kasi Dans cet ouvrage écrit en 1427, Giàt ad Din al-Kasi rassemble cinquante règles "dont on peut avoir souvent besoin pour détermi ner les nombres inconnus dont une vingtaine concernent les propriétés des proportions et des suites de rapports égaux. Nous les rapportons ci-après sous forme symbolique: Il

Id ·lts antece , 'd ents, les dénominateurs 17 - ab = c ct es numerateurs sont s'appelent conséquents. On en déduit: ad . 18 - SI a > b

19 -

~

= bc.

c

b

a

{~= : b f

20 - {; :

{! ~ 1

~

a+e c+f -b-=-d-

22 -

b - d

23 -

a

bd.

c

{

!~ ~ ~

~= ~

~_ ~ e- f

=

a c ~b+e=d+f

37 -

35 - am x ~ = a2 m

~ x ~ = 1 ; 1 / ~ =~ ; (~+

a cab . 24 - b = ct ~ ~ = ct (permutatIOn des moyens)

1) x b

(~+ ~) x ab = a2 + b2

=a

+

b

38 - ~ / (Q)2 = ~

a la)

b

45 - Diviser un nombre n suivant une moyenne et extrême raison.

Soient x et n - x les 2 parties: alors si x est la partie la plus grande, !! = ~- donc x2 + nx - n2 = 0 x

n - x'

. .. La racme pOSItIve est x

.)

b = cl ~ a= ~ (mversIOn

-

n + n-/-S n(-J5 -

~-2--

=

2

1)

.. n({5 - 1) 3 - ..jS La petIte partIe sera n 2 = --2- n

Il - Partages proportionnneis ; règles de société successoraux. a

c

~ a-=b=~

a

27 -

c

a

a'

~ ~=c'

c

29 - Soient 4 nombres a, b, c, d en progression géométrique

abc b = ~ = ct

~

{ad = bc ac = b2

abc {ad = bc et b = ~ = ct ~ bd = c 2

partages

La connaissance de ce chapitre, dit Ibn al Banna' dans son Kasf al gilbab C an Cilm al-hisab (fo 152 Vo), est expresse pour les juges, les agents (du fisc) et les négociants.

a'

b = b' { Q= ~

ma

33 - V m 7:- 0, b = mb

d a 34 - :2 a =-d a

abc c - > - et - > -

c

a

32 - Si a> c,

36 - Etant donnés 2 nombres a et b, on a

=

21 -

abc

a=b=~=ct···

~

2 3 a d=b 2

3

~ ad = c-

30 - Soit une suite de nombres, à partir de 1, en progression géométrique 306

Dans les affaires commerciales, il est probable que les voyageurs et les marchands européens se sont mis au courant des règles de calcul utilisées par les Arabes. On peut difficilement penser que les marchands italiens ne savaient pas comment quelques-uns de leurs meilleurs clients tenaient leurs comptes. L'histoire de l'arithmétique commerciale moderne commence en Europe avec son emploi par les négociants italiens, notamment les marchands florentins.

Règle de société Dans les cas d'une société constituée par les mises de plusieurs personnes, Ibn al Banna' écrit: "Fais la somme des mises (ou le cas échéant

APPLICA TIONS DES PROPORTIONS APPLICATIONS DES PROPORTIONS

des dettes des sociétaires) ; divise par cette somme le total du bénéfice (ou du déficit) réalisé; tu auras ce qui revient à chacun des associés". Ibn al Banna' distingue 3 cas:

1er

a) les mises constituent des nombres premiers entre eux;

21

03

33

1/3

14

02

66

0

07

01

33

0

b) toutes les mises ont un diviseur commun; c) toutes les mises ou certaines d'entre elles comporte des fractions. Nous citons des exemples traités par l'auteur même.

Rappel de la règle des plateaux (d'Ibn al Banna' de Marrakech 1216-

a) Une personne doit de l'argent à 5 créanciers dans les rapports respectifs 12, 6, 5, 4, et 3. La dette totale est de 200 dinars. Calculer la somme due à chaque créancier.

Si l'erreur (consécutive à une certaine supposition) est par excès (positive) place la au dessus du plateau, et au dessous si elle est par defaut (négative).

La somme des nombres correspondants à chacun est: 12 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30 Divisons la dette totale par 30 :

0 L

200

30 = 23'

a somme

. au cmqUleme . ,, chacun est, du premier : 20 3x 12 Dinars;

20

3

x5

100

1 20

= 3 = 33 D"3; 3

x4

80

d

. , ue respectivement a 0

= 80 D'mars ; 23 2 20

= 3 = 26 D"3; 3

x3

x6

= 40

.

= 20 Dmars

1321) :

2de erreur, si par excès

1ère erreur, si par excès

-->

1 0) le nombre cherché est un nombre entier x = 5 ;c= 9

car (2 + 9 x

mais la 3e condition donnerait: x = 9 + 4 x

1

3 = 5)

2°)prix unitaire le plus bas x 40 < 40 < prix unitaire le plus fort x 40, soit

i

1

= 10, d'où ,un erreur el = 10-

8 x 40 = 5 < 40 < 3 x 40 = 120.

5 = +5 (à placer au dessus du premier plateau) En outre le nombre d'étournaux E est un multiple de 8 compris entre 8 et 32 (sinon C = 0, P = 0).

on doit avoir b < 8 car si b = 8, la 1ère condition donne x = 4 + 4 = 8 2e supposition: a = 4

{

et la 3e donne: 8 +

~

a) Soit E = 8, alors P + C = 32 avec un prix égal à 40 - 1 = 39.

c = 8

Mais la 2e condition 2 x 32 < 39 n'est pas satisfaite.

d'où c = 0 soit donc b = 6 par exemple: x = 4 + 6 x

!

b)Soit E = 16 P + C = 24 avec un prix égal à 40 - 2 = 38 et l'on n'a pas 2 x 24 < 38.

= 7 , la 2e condition donnerait

c) Soit E = 24 P + C = 16 avec un prix égal à 37

alors

2 x 16 < 37 < 3 x 16. La condition est satisfaite

Soit c = 3, la 3e condition donnerait: x = 3 + 4 x

i

1e supposition: P = 8, C = 8

= 4, d'où une erreur e2

8x2+8x3=40

= 4 - 7 = -3 (à placer au dessous du 2d plateau.

soit une elTeur el = 40 - 37 = +3 (à placer au dessus du 1er tableau)

D'après la règle d'Ibn al Banna' : 5 x (4 + 6 + 3) el + e2 = 5 + 3 a =

2e supposition: P = 14 alors C = 2

=8

14 x 2 + 2 x 3 = 34 soit un erreur e2 = 34 - 37 = -3 (à placer au dessous du 2e plateau)

el x 4 + e2 x 4 5 x 4 + 3 x 4 el + e2 = 8 =4 5x6+3x2_

8 5 x 3 + 3 x 9

8

Pour P : 8 x 3 + 14 x 3 = 66

1

66 el + e2 = 3 + 3 = 6 => P = (5 = 1 1

- 42 =5

1

4

Pour C : soit 16 - Il = 5

j

311

APPLICATIONS DES PROPORTIONS APPLICATIONS DES PROPORTIONS

verification :

~--------::---

30 8 x 3 + 2 x 3 = 30 ; el + e2 = 6 ; 6 = 5 = C

D'où la solution du problème: E = 24, P = Il, C = 5.

12 x 14

Verification : 24 x 1 + 11 + 5 = 40 3

~

E=24

E=24 ___:_:_~_4___~___:_=_=_:____

= 168

168 : 7 = 24 la somme = 24 + 12 = 36 Deuxième méthode: a) Cas de l'erreur positive

7 x 48 (nombre supposé) = 336 3

28 x 48 = 1344

Ibn Gazi fait usage parfois d'un plateau unique: se basant sur les propriétés des des proportions (règle de trois simple) le problème consiste à trouver la 4e proportionnelle à 3 nombres donnés. Exemple: Ajoutant le

*

et le

1: d'une somme on obtient 21. Quelle est cette

somme?

> des quatre nombres proportionnels, car le rapport de chaque partie d'al-Mu~~l1t à la somme de ces parties est comme le rapport de

nombre.

2.3 Remarques

chaque partie du dividende au diviseur"l:

1) L'algorithme décrit ci-dessus suppose en fait que les parties d'alMu~~at sont des nombres entiers premiers entre eux dans leur ensemble (c'est-à-dire ml, ... ,m n sont des entiers et pgcd(ml, ... ,mn)=l). C'est le cas "standard" auquel on doit se ramener chaque fois que l'on a à utiliser cet algorithme. 2) Si les parties d'al-Mu~~at sont des entiers non premiers entre eux, on doit les diviser par leur pgcd avant l'application de l'algorithme. 3) Lorsque certaines parties d'al-Mub~l1t comportent des fractions, on doit se ramener préalablement à la forme "standard" avant d'appliquer l'algorithme. Pour cela, on doit multiplier les parties d'al-Mub~at par le dénominateur commun des fractions intervenant dans le problème. et appliquer éventuellement la remarque 2) ci-dessus 1. 4) La description d'al-Qala?adt présente par rapport à celle d'Ibn alBanna les deux différences suivantes. La première est l'utilisation de la technique de décomposition d'un nombre en facteurs premiers; et la seconde est l'intégration de la technique du tableau 2 dans la description de l'algorithme.

Ibn al-Banna, de son côté, caractérise la division par partage proportionnel en termes de proportion comme suit: "Quant à la division par partage proportionnel (Qismat bi I-Mu~~at ) elle fait partie du chapitre des proportions ( ... ), car le rapport de chacune des parties d'al-Mu~~l1t à leur somme est comme le rapport de chacune des parties du dividente au dividende, et le nombre des parties

d'al-Mu~~l1t

est

égal au nombre des parties du dividende". [Ibn al-Banna 1994,p.266] Dans ce passage Ibn al-Banna fait allusion à "la proportion ex requali " qui est l'un des cinq types de proportions qu'il étudie dans son Rafe al- ~UlJb 2. Notre auteur définit la proportion ex requali ainsi: " une proportion ex requali lorsqu'on a plusieurs nombres et d'autres nombres égaux en nombre aux premiers de sorte que deux nombres des premiers et deux nombres des seconds sont proportionnels. Si la proportionalité a lieu en respectant l'ordre< des termes> la proportion est dite ordonnée(mustaqîma ), si l'ordre n'est pas respecté, elle est dite perturbée (muç1fariba)" 3. En adoptant une formulation plus moderne, cette définition peut s'exprimer:

3 Modeles mathématiques sous-tendant cet algorithme Comme nous l'avons constaté ci-dessus, l'algorithme de partage proportionnel est basé sur la propriété des quatre nombres proportionnels. Si certains mathématiciens, comme Ibn Ghazr (m.1513) dans sa "Bughyat af -rulll1b", s'arrêtent à ce niveau de "modélisation", d'autres, au contraire, comme Ibn al-Banna (m.1321) dans son Ra.f al- b~iab , ont raffiné davantage le modèle mathématique sous-tendant l'algorithme du partage proporti onnel. Ainsi, Ibn Ghazr (m.1513) nous précise: "Saches que ce type de division fait partie des applications de la < 1 AI-Qéûa