Clasa 11 6 Test Evaluare Sisteme PDF [PDF]

Zitiervorschau

TEST EVALUARE 5 – (siseteme de ecuatii liniare) (rangul unei matrice; sisteme; metode de rezolvare; regula lui Cramer)

Subiectul I (30 puncte) 1.

 0  1 Scrieţi sistemul de ecuaţii liniare asociat matricei extinse:   2   1

2.

1 1 1 Să se calculeze rangul matricei A   0 0 0  . 1 1 1  

3.

mx  y  z  0  Se consideră sistemul:  x  my  z  0 . Să se determine m   x  y  mz  0 

3 2 1   1 0 3  . 0 3 2  4 1 0 

, astfel încât sistemul să admită numai soluţia banală.

4.

 x1  x2  2 x3  4  Scrieţi sub formă matriceală sistemul:  2 x2  3x3  1 .  4x  x  0 1 2 

5.

 x yz 0  Determinati a  pentru care tripletul 1;1;0 este solutie a sistemului  2 x  ay  z  3 . 3x  y  z  2  Stabiliţi prin săgeţi corespondenţa (dacă există) dintre elementele din coloana A şi cele din coloana B . A B 1. sistem compatibil nedeterminat a. are întotdeauna cel puţin o soluţie 2. sistem incompatibil b. are o singură soluţie 3. sistem compatibil determinat c. nu are soluţii 4. sistem compatibil d. are câteodată cel puţin o soluţie e. are o infinitate de soluţii

6.

Subiectul II (30 puncte) 1.

2.

 4 x  ay  z  9  Se dă sistemul  x  ay  2 z  5 , a  .  x  2ay  z  2  Scrieti transpusa coloanei termenilor liberi. a) b) Determinati a  astfel incat sistemul sa fie compatibil determinat. c) Pentru a  1 rezolvati sistemul de ecuatii liniare prin metoda CRAMER.  x  2y  z 1  Fie sistemul de ecuatii liniare  x  y  z  1 2 x  4 y  z  4  a) Aratati ca sistemul dat nu este omogen. b) Calculati rangul matricei A* , adjuncta matricei sistemului dat. Rezolvati sistemul liniar prin metoda lui GAUSS. c)

Subiectul III (30 puncte) 1.

 x yz 0  Considerăm sistemul  x  y  mz  0 , unde m   x  m2 y  z  0 

a)

Aratati ca determinantul matricei sistemului este det A    m  1  m  1 . 2

Determinati m  pentru care rangul matricei sistemului este 2 . Pentru m  1 rezolvati sistemul.  mx  y  z  6 m 1 1     Fie matricea M  m    1 m 1  si sistemul de ecuatii  x  my  z  0 , m   x  y  mz  6  1 1 m    a) Calculaţi: det M  0 . b) c)

2.



b) c)

.



Determinati m  pentru care sistemul este incompatibil. Pentru m  2 aflati o solutie  x0 ; y0 ; z0  pentru care x0 ; y0 ; z0 sa fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

TEST EVALUARE 4 – (sisteme) Subiectul I (30 puncte)  4 8  1. Determinati rangul matricei A    M2   .  1 2   ax  y  z  0  2. Aflati m  pentru care sistemul 2 x  y  z  0 admite si solutii nebanale. x  2 y  z  0   1 0 1   3. Determinati valorile reale ale lui m  pentru care matricea A   3 2 1  are rang 2 .  1 1 m     x  2 y  3z  3  4. Aratati ca sistemul  x  y  2 z  1 este sistem compatibil unic determinat.  x yz 4   x x 4 5. Scrieţi sub formă matriceală sistemul:  1 2 . 2 x1  3x2  7

 x  2y  z  0  6. Aratati ca 1,1,1 este solutia sistemului  x  y  z  1 . 2 x  4 y  z  5 

Subiectul II (30 puncte) 1 0 1 0 0 0     1. Se consideră matricele A   0 0 0   M 3   si B   0 1 0   M 3   . 1 0 1 0 0 0     a) Să se calculeze rangA si rangB . b) Să se demonstreze că rangA  rangB  rang  A  B  pentru orice a număr real. c) Să determine rangul matricei  A  B  , adjuncta matricei A  B . *

 x  5y  6 ,m 2. Fie sistemul de ecuatii liniare  2 x  my  m a) Determinati m  pentru care sistemul admite solutia x  4 si y  2 . b) Aflati m  pentru care sistemul este incompatibil. c) Rezolvati cu metoda lui Cramer sistemul pentru orice m  .

Subiectul III (30 puncte) x  my  2 z  1   1. Se consideră sistemul de ecuaţii liniare  x   2m  1 y  3 z  1 , m  .  x  my   m  3 z  2m  1  a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. b) Să se determine m  pentru care sistemul este compatibil nedeterminat c) Pentru m  1 să se găsească soluţiile reale  x0 , y0 , z0  ale sistemului pentru care 2 x0 2  y0 2  3z0 2  14 .

1 a a 2    2. Fie matricea A  a   1 1 1  si sistemul de ecuatii 1 1 a    a) Aratati ca det  A  0   1 . b) Demonstrati ca A este inversabila pentru    a 

 x  ay  a 2 z  0   x  y  z  2 ,a  x  y  az  4 

1  \  ;1 . 3 

c) Aflati a pentru care sistemul are solutie unica  x0 ; y0 ; z0  , iar x0  y0

.