33 1 534KB
TEST EVALUARE 5 – (siseteme de ecuatii liniare) (rangul unei matrice; sisteme; metode de rezolvare; regula lui Cramer)
Subiectul I (30 puncte) 1.
0 1 Scrieţi sistemul de ecuaţii liniare asociat matricei extinse: 2 1
2.
1 1 1 Să se calculeze rangul matricei A 0 0 0 . 1 1 1
3.
mx y z 0 Se consideră sistemul: x my z 0 . Să se determine m x y mz 0
3 2 1 1 0 3 . 0 3 2 4 1 0
, astfel încât sistemul să admită numai soluţia banală.
4.
x1 x2 2 x3 4 Scrieţi sub formă matriceală sistemul: 2 x2 3x3 1 . 4x x 0 1 2
5.
x yz 0 Determinati a pentru care tripletul 1;1;0 este solutie a sistemului 2 x ay z 3 . 3x y z 2 Stabiliţi prin săgeţi corespondenţa (dacă există) dintre elementele din coloana A şi cele din coloana B . A B 1. sistem compatibil nedeterminat a. are întotdeauna cel puţin o soluţie 2. sistem incompatibil b. are o singură soluţie 3. sistem compatibil determinat c. nu are soluţii 4. sistem compatibil d. are câteodată cel puţin o soluţie e. are o infinitate de soluţii
6.
Subiectul II (30 puncte) 1.
2.
4 x ay z 9 Se dă sistemul x ay 2 z 5 , a . x 2ay z 2 Scrieti transpusa coloanei termenilor liberi. a) b) Determinati a astfel incat sistemul sa fie compatibil determinat. c) Pentru a 1 rezolvati sistemul de ecuatii liniare prin metoda CRAMER. x 2y z 1 Fie sistemul de ecuatii liniare x y z 1 2 x 4 y z 4 a) Aratati ca sistemul dat nu este omogen. b) Calculati rangul matricei A* , adjuncta matricei sistemului dat. Rezolvati sistemul liniar prin metoda lui GAUSS. c)
Subiectul III (30 puncte) 1.
x yz 0 Considerăm sistemul x y mz 0 , unde m x m2 y z 0
a)
Aratati ca determinantul matricei sistemului este det A m 1 m 1 . 2
Determinati m pentru care rangul matricei sistemului este 2 . Pentru m 1 rezolvati sistemul. mx y z 6 m 1 1 Fie matricea M m 1 m 1 si sistemul de ecuatii x my z 0 , m x y mz 6 1 1 m a) Calculaţi: det M 0 . b) c)
2.
b) c)
.
Determinati m pentru care sistemul este incompatibil. Pentru m 2 aflati o solutie x0 ; y0 ; z0 pentru care x0 ; y0 ; z0 sa fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
TEST EVALUARE 4 – (sisteme) Subiectul I (30 puncte) 4 8 1. Determinati rangul matricei A M2 . 1 2 ax y z 0 2. Aflati m pentru care sistemul 2 x y z 0 admite si solutii nebanale. x 2 y z 0 1 0 1 3. Determinati valorile reale ale lui m pentru care matricea A 3 2 1 are rang 2 . 1 1 m x 2 y 3z 3 4. Aratati ca sistemul x y 2 z 1 este sistem compatibil unic determinat. x yz 4 x x 4 5. Scrieţi sub formă matriceală sistemul: 1 2 . 2 x1 3x2 7
x 2y z 0 6. Aratati ca 1,1,1 este solutia sistemului x y z 1 . 2 x 4 y z 5
Subiectul II (30 puncte) 1 0 1 0 0 0 1. Se consideră matricele A 0 0 0 M 3 si B 0 1 0 M 3 . 1 0 1 0 0 0 a) Să se calculeze rangA si rangB . b) Să se demonstreze că rangA rangB rang A B pentru orice a număr real. c) Să determine rangul matricei A B , adjuncta matricei A B . *
x 5y 6 ,m 2. Fie sistemul de ecuatii liniare 2 x my m a) Determinati m pentru care sistemul admite solutia x 4 si y 2 . b) Aflati m pentru care sistemul este incompatibil. c) Rezolvati cu metoda lui Cramer sistemul pentru orice m .
Subiectul III (30 puncte) x my 2 z 1 1. Se consideră sistemul de ecuaţii liniare x 2m 1 y 3 z 1 , m . x my m 3 z 2m 1 a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. b) Să se determine m pentru care sistemul este compatibil nedeterminat c) Pentru m 1 să se găsească soluţiile reale x0 , y0 , z0 ale sistemului pentru care 2 x0 2 y0 2 3z0 2 14 .
1 a a 2 2. Fie matricea A a 1 1 1 si sistemul de ecuatii 1 1 a a) Aratati ca det A 0 1 . b) Demonstrati ca A este inversabila pentru a
x ay a 2 z 0 x y z 2 ,a x y az 4
1 \ ;1 . 3
c) Aflati a pentru care sistemul are solutie unica x0 ; y0 ; z0 , iar x0 y0
.