Circuits Électriques Linéaires - Définitions Et Théorèmes [PDF]

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Réf. : E100 V2

Date de publication : 10 novembre 2010

Circuits électriques linéaires - Définitions et théorèmes

Date de dernière validation : 16 avril 2015

Cet article est issu de : Électronique - Photonique | Électronique

par André PACAUD

Résumé Cet article a pour sujet les bases de la théorie des circuits électriques linéaires à constantes localisées. Il aborde en premier lieu la topologie des circuits (notions de nœuds, mailles, branches) et la nature des signaux qui conduisent à l'énoncé des lois de Kirchhoff. Il traite ensuite des caractéristiques comportementales des éléments passifs (résistance, condensateur, bobine d'inductance, bobines couplées, transformateur parfait) et des sources (de tension ou de courant, indépendante ou liée) intervenant dans le circuit. Sont également abordés, avec l'utilisation des outils mathématiques, les systèmes linéaires permanents causaux (transformation de Laplace, notation complexe) ainsi que différents théorèmes propres à ces systèmes et dont les résultats facilitent l'étude des circuits. […] Abstract This article deals with the basis of the theory of linear electrical circuits with localized constants. The topology of circuits (notion of nodes, meshes and branches) and the nature of the signals leading to Kirchhoff's laws are presented. The behavioral characteristics of passive elements (resistor, capacitor, inductance coil, coupled coils, ideal transformer) and sources (of voltage or current, independent or linked) involved in the circuit. This article also presents, via mathematical tools, permanent causal linear systems (Laplace transform, complex rating) as well as various theorems specific to these systems and whose results facilitate the study of circuits. To conclude, the modeling of real elements (non-ideal) is dealt with.

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Circuits électriques linéaires Définitions et théorèmes par

André PACAUD

Parution : novembre 2010 - Dernière validation : avril 2015 - Ce document a ete delivre pour le compte de 7200043801 - universite p. valery montpellier 3 // 194.57.207.215

E 100 v2

11 - 2010

Ingénieur SUPELEC

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1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Circuits de Kirchhoff : définitions, constitution, lois générales..... Hypothèses .................................................................................................. Topologie..................................................................................................... Lois de Kirchhoff ......................................................................................... Sources ........................................................................................................ Dipôles ......................................................................................................... Outils : transformée de Laplace, notation complexe. Notion d’impédance ................................................................................... Association d’éléments .............................................................................. Sources et éléments réels ..........................................................................

2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Théorèmes.......................................................................................................... Théorème de Helmholtz, dit théorème de superposition........................ Théorème de substitution ; théorème de Vaschy .................................... Théorème de Thévenin / Norton................................................................ Théorème de réciprocité ............................................................................ Théorème de Kennelly (transformation étoile-triangle) .......................... Théorème de Tellegen................................................................................ Dualité ..........................................................................................................

Pour en savoir plus ...........................................................................................

E 100 v2 - 2 — 2 — 2 — 2 — 2 — 3 — — —

4 6 6

— — — — — — — —

7 7 8 8 9 9 10 10

Doc. E 100

es circuits électriques linéaires permanents, causaux, à constantes localisées supposent que la propagation des signaux n’intervienne pas dans le circuit. Ceci signifie que la longueur d’onde des signaux du circuit est grande vis-à-vis des dimensions de celui-ci. L’étude de ces circuits conduit le plus souvent à calculer la réponse (tension aux bornes d’un dipôle, courant circulant dans une impédance…) à une ou plusieurs actions données. Cette étude est réalisée à partir des lois de base des circuits électriques (lois de Kirchhoff, définitions comportementales des composants élémentaires et des sources rencontrés en pratique) et en utilisant les outils mathématiques des systèmes linéaires permanents causaux. La spécificité des circuits électriques dans ce domaine des systèmes linéaires conduit à l’établissement de théorèmes particuliers facilitant l’étude de ces circuits (linéarité, substitution, Thévenin / Norton, réciprocité, Kennelly, Tellegen). L’ensemble des articles sur les circuits électriques comprend trois parties : – [E100v2] Circuits électriques linéaires. Définitions et théorèmes ; – [E102v2] Circuits électriques linéaires. Méthodes d’analyse et considérations énergétiques ; – [E104v2] Circuits électriques linéaires. Représentation paramétrique.

L

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CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES _____________________________________________________________________________________________________

1. Circuits de Kirchhoff : définitions, constitution, lois générales

v2 A

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1.2 Topologie

C i6

i3

i5 v5

v4

Le présent article traite des circuits électriques linéaires permanents, causaux, à constantes localisées. Ceci suppose que la propagation des signaux n’intervienne pas dans le circuit, c’est-à-dire que la longueur d’onde des signaux transitant dans le circuit soit grande vis-à-vis des dimensions de celui-ci. Les différentes grandeurs du circuit (variables du système dépendant du temps) sont des tensions (différences de potentiel entre deux points du circuit exprimées en volts) ou (et) des courants (exprimés en ampères) circulant dans les branches du circuit (accessoirement la charge électrique portée par les armatures d’un condensateur ou le flux magnétique produit par une bobine). Les actions sont également des courants ou (et) des tensions.

v3

B

i2

1.1 Hypothèses

tiwekacontentpdf_e100 v2

i1

v1

v6

i4 D Figure 3 – Lois de Kirchhoff

1.3 Lois de Kirchhoff Ces lois traduisent la conservation de l’électricité.

■ Loi de Kirchhoff aux courants La somme algébrique des courants arrivant (ou partant) à un nœud est nulle. Par exemple, pour le circuit représenté sur la figure 3, on a, pour le nœud A, la relation :

■ Réseau électrique Un réseau (ou circuit) électrique est constitué de branches (dipôles ou sources) connectées entre elles par l’intermédiaire de points de jonction appelés nœuds. Des branches, connectées entre elles et réalisant un circuit fermé sans passer plusieurs fois par un même nœud, constituent une maille. Le réseau est plan si on peut en donner un schéma tel qu’aucune branche ne se coupe figure 1.

■ Dipôle Un dipôle est un réseau électrique élémentaire constitué d’un seul élément ou d’une association de plusieurs éléments et ne présentant que deux bornes d’accès. On définit le courant i(t) circulant dans le dipôle (le courant entrant par une borne d’accès ressort par l’autre borne) et la tension v(t) (différence de potentiel vA – vB) aux bornes du dipôle. Par convention, tension et courant sont représentés par des flèches orientées dans des sens opposés. Un dipôle ou une association de dipôles peut constituer une branche du circuit. Les variables i et v sont des grandeurs algébriques et le sens choisi pour ces grandeurs est arbitraire figure 2.

B

A

C

i1 – i2 + i4 = 0

■ Loi de Kirchhoff aux tensions La somme algébrique des tensions le long d’une maille est nulle. Par exemple, pour la maille ACDB, on a la relation : v1 – v6 + v5 + v2 = 0

1.4 Sources Les sources permettent de fournir l’énergie au circuit. Elles constituent les actions du système linéaire constitué par le circuit. On distingue deux types de sources idéales : source de tension et source de courant.

■ Source de tension La tension aux bornes d’une telle source est imposée quel que soit le circuit sur lequel elle est connectée. C’est la force électromotrice de la source et est souvent notée e(t). Le courant débité par la source est donc fonction du circuit connecté à la source. La source peut être indépendante (action extérieure au circuit) et peut être éteinte. L’extinction de la source correspond à l’annulation de l’action, donc à e nul, ce qui revient à court-circuiter la source. La source peut être une source liée (ou commandée) : la force électromotrice de la source est alors fonction d’une grandeur du circuit. On ne peut pas éteindre une telle source. La figure 4 donne différentes représentations des sources de tension.

D Figure 1 – Exemple de circuit plan (4 nœuds, 6 branches)

+

+ e

A

i

Dipôle

i

E 100 v2 – 2

e

b liée

c liée

B a indépendante

v Figure 2 – Courant et tension pour un dipôle

+ e

Figure 4 – Sources de tension indépendantes ou liées (a, b) et liée (c)

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_____________________________________________________________________________________________________ CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES

j j

j

i +q

–q

i

v + 0

C

C

v

v

Figure 7 – Tension aux bornes d’un condensateur

a indépendante

b liée

c liée

Figure 5 – Sources de courant indépendantes ou liées (a, b) et liée (c)

Le courant i circulant dans le condensateur, dérivée de la charge q, s’écrit :

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■ Source de courant

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Le courant débité par une telle source est imposé quel que soit le circuit sur lequel elle est connectée. C’est le courant électromoteur de la source et est souvent notée j(t). La tension aux bornes de la source est donc fonction du circuit connecté à la celle-ci.

–

–

La source peut être indépendante (action extérieure au circuit) et peut être éteinte. L’extinction de la source correspond à l’annulation de l’action, donc à j nul, ce qui revient à mettre la source en circuit ouvert.

où v0 est la tension aux bornes du condensateur à l’instant t nul (figure 7) ; v0 représente tout le passé du condensateur pour t variant de – ∞ à 0.

La source peut être une source liée (ou commandée) : le courant électromoteur de la source est alors fonction d’une grandeur du circuit. On ne peut pas éteindre une telle source.

Le condensateur peut donc être modélisé sous la forme d’une association série d’un condensateur non chargé initialement et d’une source de tension continue v0.

La figure 5 donne différentes représentations des sources de courant.

1.5.3 Bobine « simple »

1.5 Dipôles

Une bobine d’auto-inductance L (en henrys) parcourue par un courant i, crée un flux ϕ (en webers) : ϕ (t) = L i(t)

Un dipôle est dit passif lorsqu’il est constitué d’éléments tels que résistances, condensateurs, bobines (avec éventuellement un couplage magnétique entre plusieurs bobines) et transformateur parfait. Un tel dipôle ne peut que dissiper de l’énergie.

Selon la loi de Lenz, la tension v aux bornes de la bobine, dérivée du flux ϕ, s’écrit :

Un dipôle est dit actif s’il contient des sources : il peut fournir de l’énergie à un réseau qui serait connecté à ses bornes. On rappelle que, dans tout ce qui suit, on choisit un sens pour la tension opposé à celui choisi pour le courant.

1.5.1 Résistance (ou résistor) Seul dipôle passif dissipant de l’énergie, le courant et la tension sont liés par la relation :

où i0 est le courant circulant dans la bobine à l’instant t nul. Comme pour le condensateur, i0 représente tout le passé de la bobine pour t variant de – ∞ à 0. La bobine peut donc être modélisée sous la forme d’une association parallèle d’une bobine initialement au repos et d’une source de courant continue i0 (figure 8).

v(t) = R i(t) ou i(t) = G v(t) où R est la résistance (en ohms) et G la conductance (en siemens) égale à l’inverse de R du dipôle (figure 6).

1.5.2 Condensateur

1.5.4 Bobines couplées Lorsque n bobines sont en présence, le flux ϕk produit par la bobine k est égal à la somme algébrique de son flux propre ϕkk et une partie des flux produits par les autres bobines : ϕk = ϕkk + ϕ1k + ϕ2k + …+ ϕnk

Un condensateur de capacité C (en farads) auquel on applique une différence de potentiel v présente, sur ses armatures, les charges + q et – q (en coulombs), avec : q(t) = C v(t)

L i

i

R = 1/G

L =

i

v

i0 v

v Figure 6 – Tension aux bornes d’une résistance

Figure 8 – Tension aux bornes d’une bobine

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E 100 v2 – 3

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CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES _____________________________________________________________________________________________________

La tension vk aux bornes de la bobine k s’écrit : i1 n 1

n2

v1

où Lk est l’inductance propre de la bobine k et Mmk est la mutuelle inductance entre la bobine k et la bobine m et s’exprime en henrys. Le signe de Mmk dépend de la géométrie du circuit et des sens des enroulements des bobines. Il est aisé de vérifier que l’on a la relation :

i1

i2 v2

n1

n2

i2

v1

v2

a

b

Figure 10 – Différentes représentations d’un transformateur parfait à deux enroulements

Mmk = Mkm

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La partie du flux capté par la bobine m et crée par la bobine k est toujours inférieure ou égale au flux total crée par la bobine m. On a donc la relation :

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i

i

0

∞

v

v

a nullateur

b norateur

1.5.5 Transformateur parfait Un transformateur est constitué de plusieurs enroulements comprenant chacun |nk| spires sur un même noyau magnétique fermé (La figure 9 représente un transformateur à 3 enroulements). Si les enroulements présentent une résistance nulle et si le flux produit par un des enroulements passe intégralement dans les autres, le transformateur est dit parfait (le flux est canalisé dans le noyau magnétique). Le signe de nk dépend du sens de l’enroulement sur le noyau magnétique : des enroulements dans le même sens conduisent à des signes identiques et un bobinage en sens contraire se traduit par un changement de signe de nk. En l’absence de fuites magnétiques, le flux ϕ traverse les divers enroulements. De par la loi de Lentz, et les enroulements ne présentant aucune résistance, les différentes tensions vk s’écrivent :

d d d d d d

Figure 11 – Dipôles « pathologiques » : nullateur et norateur

Avec une perméabilité relative du matériau magnétique considérée comme infinie, l’application du théorème d’Ampère donne la relation : n1i1 + n2i2 + n3i3 + … = 0 Les transformateurs rencontrés en pratique présentent souvent deux enroulements dénommés primaire et secondaire. On les représente selon les schémas des figures 10 a et b.

1.5.6 Dipôles « pathologiques » Ces dipôles n’ont pas de réalité physique mais constituent un outil intéressant pour la conception de montages électroniques. Ils sont de deux types. • Le nullateur (figure 11a) : quel que soit le circuit connecté à ses bornes, ce dipôle est caractérisé par : v = 0 et i = 0 • Le norateur (figure 11b) : pour ce dipôle, tension aux bornes et courant sont a priori quelconques et ne sont fixés que par le réseau extérieur sur lequel ce dipôle est connecté.

soit :

Ces deux dipôles sont utilisés pour modéliser certains composants électroniques. En pratique, ces modèles font intervenir les deux dipôles (les deux dipôles sont indissociables). Noyau magnétique Noyau magnétique v1

v2

i1 |n1| spires

1.6.1 Utilisation de la transformée de Laplace

i2 |n2| spires

i3 v3

Figure 9 – Transformateur parfait

E 100 v2 – 4

1.6 Outils : transformée de Laplace, notation complexe. Notion d’impédance

|n3| spires

Les circuits électriques linéaires constituent un cas particulier des systèmes linéaires, continus, permanents et causaux. On montre alors qu’ils sont alors régis par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. La résolution d’une telle équation différentielle étant plus ou moins difficile, on préfère, le plus souvent, étudier le circuit en utilisant la transformation de Laplace ou la notation complexe dans le cas du régime sinusoïdal (on pourra se reporter à l’article [E3010]). L’utilisation de la transformée de Laplace permet, en particulier, de déterminer la réponse d’un circuit à une ou plusieurs actions données.

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_____________________________________________________________________________________________________ CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES

Considérons par exemple, un circuit dipôle ne contenant aucune source indépendante. Ce circuit est supposé alimenté par une source de courant indépendante j(t) et on cherche à déterminer la réponse v(t) tension aux bornes du dipôle. La théorie dit que v(t) est le produit de convolution de j(t) et de la réponse impulsionnelle z(t) du circuit : v(t) = z(t) * j(t) En prenant la transformée de Laplace des deux membres de l’équation, le produit de convolution se transformant en un simple produit, il vient :

1.6.3 Cas du régime sinusoïdal Considérons le circuit précédent avec une action i(t) sinusoïdale : i(t) = I0 cos(ωt + ϕ) Le système étant linéaire, toutes les grandeurs du circuit sont sinusoïdales à la même pulsation ω. On a donc : v(t) = V0 cos(ωt + ψ) La détermination de v(t) peut être élégamment résolue en utilisant le courant

V(p) = Z(p) J(p)

et la tension

en notation complexe, définis par :

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où V(p), Z(p) et J(p) sont les transformées de Laplace respectives de v(t), z(t) et j(t) avec :

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Calculons la réponse v(t) :

Remarques • z(t) réponse impulsionnelle du dipôle, c’est-à-dire réponse à la distribution de Dirac δ(t), est une grandeur réelle causale (nulle pour t négatif). Dans le calcul de Z(p), la borne minimale de l’intégrale est donc 0. • Bien que l’on cherche, le plus souvent en pratique, la réponse à une action causale, dans le cas général l’action i(t) et la réponse qui s’en déduit ne sont pas forcément causales. Les bornes d’intégration s’étendent alors de – ∞ à + ∞. La méthode de calcul est alors la suivante : – on calcule la transformée de Laplace J(p) de l’action j(t) ; – on détermine l’impédance Z(p) en utilisant les résultats exposés plus loin ; – on en déduit la transformée V(p), produit de Z(p) et de J(p) ; – on effectue la transformée de Laplace inverse de V(p) pour obtenir la réponse cherchée v(t).

τ

On a alors :

où Z(jω) est la valeur de Z(p) pour p égal à jω. L’impédance des dipôles élémentaires précédents s’écrit donc :

On a également :

Un exemple est donné dans l’article [E102v2].

V0 = |Z(jω)| I0 ; ψ = ϕ + arg {Z(jω)}

1.6.2 Impédance en p d’un dipôle Z(p) fonction de transfert isomorphe (ou transmittance en p) du circuit, rapport entre la tension V(p) aux bornes du dipôle et le courant J(p) le traversant est l’impédance isomorphe (ou en p) du dipôle. Ceci constitue d’ailleurs une méthode de calcul d’une impédance dans le cas général. Cette fonction de transfert a toutes les propriétés des fonctions de transfert des systèmes linéaires continus, permanents et à constantes localisées. En particulier Z(p) est une fraction rationnelle en p à coefficients réels. En reprenant les relations définies dans le paragraphe 1.5, en considérant les propriétés de la transformée de Laplace relatives à l’intégration et à la dérivation, et avec l’hypothèse : pas de sources indépendantes dans le dipôle (pas de conditions initiales), on trouve alors :

;

Dans le cas général, l’impédance Z(jω) et son inverse, l’admittance Y(jω), sont des grandeurs complexes que l’on peut décomposer sous la forme : Z(jω) = R(ω) + jX(ω) ; Y(jω) = G(ω) + jB(ω) R(ω) est la résistance ; X(ω) est la réactance G(ω) est la conductance ; B(ω) est la susceptance Pour un dipôle passif (ne contenant aucune source liée) : – R(ω) et G(ω) sont positives ou nulles quelle que soit la pulsation ω et sont des fonctions paires en ω ; – X(ω) et B(ω) sont des fonctions impaires de la pulsation ω. Exemple Considérons le circuit R, L, C série représenté par la figure 12 et alimenté par la source sinusoïdale e(t). Avec les grandeurs complexes correspondant aux grandeurs réelles i, vL, vC et vR, on a :

;

En supposant maintenant le circuit précédent attaqué par une source de tension e(t), on pourrait calculer la réponse i(t) et on trouverait, après transformation de Laplace : I(p) = Y(p) E(p) Y(p) est l’admittance du circuit. C’est l’inverse de Z(p).

L’impédance Z présentée par le circuit, rapport de déduit et on obtient :

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et

, s’en

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CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES _____________________________________________________________________________________________________

Tableau 1 – Association d’éléments de même nature Nature des éléments

Association série

Association parallèle

R

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L

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C vL i

Sources de tension

L

+

C

vC

R

vR

Sources de courant

impossible

impossible

e

La mise en parallèle d’un nullateur et d’un norateur est équivalente à un court-circuit.

Figure 12 – Impédance d’un dipôle RLC série

1.8 Sources et éléments réels

1.7 Association d’éléments ■ Association d’éléments en série

Les sources idéales et les éléments L et C définis précédemment n’existent pas en pratique.

Dans cette association figure 13a, tous les éléments sont parcourus par le même courant i et les tensions s’ajoutent : les impédances s’ajoutent (impédances en p ou impédances complexes en régime sinusoïdal).

1.8.1 Sources réelles

■ Association d’éléments en parallèle Dans cette association figure 13b, la tension v est la même pour tous les éléments et les courants s’ajoutent : les admittances s’ajoutent (admittances en p ou complexes dans le cas du régime sinusoïdal). Le tableau 1 résume les principaux résultats concernant les grandeurs caractéristiques des composants électriques.

■ Cas des dipôles pathologiques On vérifie aisément que la mise en série ou en parallèle d’un nullateur et d’éléments « classiques » (R, L ou C) se réduit au nullateur. De la même manière, la mise en série ou en parallèle d’un norateur et d’éléments (R, L ou C) se comporte comme un norateur. La mise en série d’un nullateur et d’un norateur est équivalente à un circuit ouvert.

i1 i2 i

v1

v2

vn

D1

D2

Dn

i

a série

in

D1

cc s

De la même façon, une source de courant réelle présente toujours, en parallèle avec la source de courant idéale j, une impédance Zs qui n’est pas infinie (admittance Ys non nulle). Avec une impédance parallèle purement résistive et égale à Rs, la tension à vide v∞ de la source (tension obtenue entre les deux bornes d’accès de la source, ces deux bornes étant en circuit ouvert) est limitée à la valeur : v∞ = R s j Il arrive d’ailleurs que l’on réalise une source de courant en plaçant, en série, une source de tension de fem assez importante et une résistance de grande valeur.

D2

1.8.2 Condensateur réel

Dn

D’une part, le diélectrique placé entre les armatures du condensateur peut présenter une conductivité électrique non nulle et d’autre part les connexions d’accès aux armatures peuvent être légèrement résistives.

v b parallèle

Figure 13 – Association d’éléments en série ou en parallèle

E 100 v2 – 6

En ce qui concerne les sources, une source de tension réelle présente toujours une impédance interne Zs en série avec la fem e. Avec une impédance interne purement résistive et égale à Rs, le courant de court-circuit icc de la source (courant qui circulerait en reliant les deux bornes d’accès de la source) est limité à la valeur :

En pratique, il est d’usage de représenter le condensateur réel sous la forme, soit d’un dipôle Cp, Rp parallèle, soit sous la forme d’un dipôle Cs, Rs série figure 14. Considérons tout d’abord la représentation parallèle que l’on suppose alimentée par la tension sinusoïdale v. Le courant i circu-

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_____________________________________________________________________________________________________ CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES

iR

Rp

Rp Cs

i iC

Rs

=

Cp

Ls

rs =

v

Lp

Figure 16 – Représentations d’une bobine réelle

Figure 14 – Représentations d’un condensateur réel

lant dans le condensateur est la somme des deux courants iC et iR tels que : Parution : novembre 2010 - Dernière validation : avril 2015 - Ce document a ete delivre pour le compte de 7200043801 - universite p. valery montpellier 3 // 194.57.207.215

p

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Dans la représentation série tan δ est égal au produit RsCsω. Ces modèles simples ne sont valables que dans une plage de fréquences. Aux fréquences élevées, il est nécessaire d’introduire, dans le schéma, d’autres éléments parasites dont l’effet peut être négligé aux fréquences basses et moyennes.

p

dont on peut donner la représentation de Fresnel. Ce graphe (figure 15) met en évidence un angle δ caractérisant la qualité d’un condensateur réel : plus δ est petit plus on se rapproche du condensateur idéal. Les constructeurs donnent, en général tan δ pour différentes fréquences de fonctionnement. tan δ est variable suivant la technologie et la fréquence et est compris entre environ 10–2 et 10–5. On a :

Les deux représentations, parallèle et série, sont équivalentes et le passage de l’une à l’autre s’effectue simplement en identifiant les impédances ou les admittances des deux dipôles. p s

1.8.3 Bobine réelle La bobine réelle présente une résistance série rs (résistance de l’enroulement). Cette résistance n’est pas constante avec la fréquence, mais varie en (phénomène d’effet de peau). Comme pour le condensateur réel, la bobine réelle peut être modélisée soit par un schéma série Rs, Ls, soit par un schéma parallèle Rp, Lp figure 16, ces grandeurs dépendant évidemment de la fréquence. Pour cela, il suffit d’écrire l’égalité de l’impédance ou de l’admittance :

+

p p

s

On définit le facteur de qualité QL de la bobine :

En séparant partie réelle et partie imaginaire, et en faisant intervenir tan δ , on trouve : p

;

p

iC

Plus ce facteur de qualité est important, plus on se rapproche de la bobine idéale. En pratique QL est compris entre 20 et 300 environ.

i

δ

Comme pour le condensateur réel, et pour les fréquences élevées, d’autres éléments doivent être ajoutés au schéma équivalent simple.

2. Théorèmes 2.1 Théorème de Helmholtz, dit théorème de superposition Ce théorème traduit simplement la linéarité du circuit. La réponse (tension ou courant dans une branche) d’un circuit contenant plusieurs sources indépendantes est égale à la somme des réponses (tension ou courant dans la branche considérée) correspondant à chaque source, les autres sources étant éteintes (source de tension court-circuitée et source de courant en circuit ouvert). Un exemple est donné lors de la démonstration du théorème de Thévenin au paragraphe 2.3.

iR Figure 15 – Angle de perte d’un condensateur

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CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES _____________________________________________________________________________________________________

2.2 Théorème de substitution ; théorème de Vaschy

On obtient alors : V(p) = V0(p) + Zs(p) I(p) avec

Soit une branche d’un circuit parcourue par un courant i et dont la tension aux bornes est v. On peut remplacer cette branche par une branche quelconque à condition que cette branche, parcourue par un courant i, induise une tension v à ses bornes.

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En particulier, on peut placer, en parallèle sur une maille d’un circuit, une maille de sources de courant, de même topologie, les sources ayant même courant électromoteur et étant toutes orientées dans le même sens (maille ABD de la figure 17). Ceci peut permettre, par exemple, l’élimination d’une source de courant du circuit initial qui serait gênante.

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V0(p)

tension à vide en sortie du dipôle (bornes A et B en circuit ouvert) due aux sources indépendantes du dipôle,

Zs(p)

impédance présentée par le dipôle (entre les bornes A et B) quand on éteint toutes les sources indépendantes.

La relation précédente permet de modéliser le dipôle sous la forme d’une mise en série d’une source de tension de force électromotrice V0(p) et d’une impédance Zs(p). Ceci constitue la représentation de Thévenin du circuit compris entre A et B. Cette représentation ne dépend pas de l’éventuel circuit que l’on connectera aux bornes de A et B.

De la même façon, on peut placer, en série sur un nœud d’un circuit, un nœud de sources de tension, de même topologie, les sources ayant même force électromotrice et étant toutes orientées dans le même sens (nœud C de la figure 17).

Par exemple, la tension Vc(p) obtenue aux bornes d’une impédance Zc(p) connectée au dipôle s’écrit :

2.3 Théorème de Thévenin / Norton Considérons un réseau dipôle comprenant des sources (indépendantes et / ou liées), des éléments résistances, condensateur, bobines couplées ou non, transformateur parfait et communiquant avec l’extérieur par deux connexions A et B figure 18. On suppose que les éventuelles sources liées ne sont pas fonction de la grandeur située à l’extérieur du dipôle et que les couplages magnétiques éventuels restent à l’intérieur du dipôle.

■ Considérons maintenant le réseau dipôle précédent, connectonsle à une source de tension E(p) et calculons le courant I(p) circulant dans le dipôle. De la même façon que précédemment, on montre que le dipôle peut être modélisé sous la forme de la mise en parallèle d’une source de courant J0(p) et d’une admittance Ys(p) (représentation de Norton).

■ Connectons une source de courant I(p) aux bornes du dipôle et

J0(p) est le courant de court-circuit en sortie du dipôle (bornes A et B en court-circuit) due aux sources indépendantes du dipôle.

calculons la tension V(p) à ses bornes en appliquant le théorème de superposition. La réponse V(p) est la somme de deux réponses : réponses aux sources indépendantes du circuit, (I(p) étant éteint) et réponse à I(p), les sources indépendantes du circuit étant éteintes.

Ys(p) est l’admittance présentée par le dipôle (entre les bornes A et B) quand on éteint toutes les sources indépendantes.

B

A j

B

A

e

C

=

e + + C + e

j

j D

D

Figure 17 – Théorème de Vaschy

A I (p) Circuit avec sources indépendantes

V (p)

I (p)

=

Circuit avec sources indépendantes

V0 (p)

+

Circuit avec sources indépendantes éteintes

B

Figure 18 – Équivalence de Thévenin

E 100 v2 – 8

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Zs (p)

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_____________________________________________________________________________________________________ CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES

Zs

A Circuit avec sources indépendantes

+ V0

=

i

J0

A

Zs

R

αi

C

V

B

B

Figure 21 – Calcul de l’impédance interne

Figure 19 – Représentation de Thévenin / Norton

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I +

=

B

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L

A

En écrivant l’équivalence des deux représentations, on trouve alors :

Branche m

Branche n

Branche m

Branche n

+

+ E

Circuit réciproque

Circuit réciproque

I I’

E

Ces représentations (figure 19) sont aussi évidemment valables en régime continu et en régime sinusoïdal. Figure 22 – Théorème de réciprocité

Cherchons la représentation de Thévenin (V0, Zs) du circuit représenté par la figure 20, la source de courant étant liée. La source de courant αi est liée et on ne peut pas l’éteindre. Le courant circulant dans le condensateur est la somme du courant i et du courant αi. La tension V0, tension de sortie à vide, est donc la tension aux bornes du condensateur, soit :

2.4 Théorème de réciprocité Considérons les deux branches m et n du circuit représenté par la figure 22. Une source de tension E placée dans la branche m crée alors un courant I dans la branche n. Si le circuit est réciproque, la même source E placée dans la branche n crée, dans la branche m, un courant I’ égal à I. Tous les circuits passifs (hormis les circuits microondes faisant intervenir des matériaux ferrites) sont réciproques.

2.5 Théorème de Kennelly (transformation étoile-triangle) Pour calculer l’impédance interne de la source de Thévenin, on éteint la source E(p), on applique une tension V en sortie et on regarde le courant I correspondant figure 21. La tension aux bornes du dipôle RL et aux bornes de C est égale à V et les courants dans ces dipôles s’en déduisent :

Cette transformation étoile-triangle (ou transformation té – pi), peut faciliter, dans certains cas, l’analyse du circuit figure 23. En écrivant l’équivalence des deux représentations (identité des impédances vues des différents accès), on trouve alors :

Le courant I est la somme des courants i, iC et αi

c

Cette transformation, formellement toujours possible, n’est, dans certains cas, pas réalisable physiquement.

i

L

R

Za +

C

=

αi

Y3

Y2

E (p) Zb

Zc

Y1

Figure 23 – Transformation étoile-triangle

Figure 20 – Calcul de la fem de Thévenin V0

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CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES _____________________________________________________________________________________________________

Par exemple, pour le circuit de la figure 25, on a : Zb

Za

Zc

Y3 =

Y2

Y1

les sommes entre parenthèses correspondent à la somme des courants partant ou arrivant à un nœud : toutes ces sommes sont donc nulles. Figure 24 – Transformation té – pi

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Ce théorème reposant sur les seules lois de Kirchhoff, est applicable avec des grandeurs quelconques (v(t), V(p), , i’(t), I’(p), ..).

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Grâce à ce théorème, on peut démontrer le théorème de réciprocité (§ 2.4) et le théorème de Boucherot.

Par exemple, avec : Y1 = G1 ; Y2 = C2p ; Y3 = C3p on trouve :

2.7 Dualité

qui ne correspond pas à une impédance réalisable à l’aide des éléments passifs R, L avec/sans M et C.

Dans certains cas, les « étoiles » et « triangles » se présentent sous la forme de circuits à deux accès figure 24. Ces circuits « quadripôles » sont étudiés dans l’article [E104].

2.6 Théorème de Tellegen Ce théorème est directement lié aux lois de Kirchhoff. Considérons : – un circuit à N branches pour lequel on définit les tensions v1, v2,..vN ; – un autre circuit à N branches, de topologie identique au précédent et dont la constitution des branches n’a, a priori, aucun rapport avec celle du premier circuit. On définit pour ce circuit les courants i ’1, i ’2,..i ’N. On a alors la relation :

En considérant les différentes relations obtenues en § 1.5, on remarque qu’elles sont conservées en effectuant les correspondances données dans le tableau 2. La loi de Kirchhoff aux courants concernant un nœud et la loi aux tensions concernant une maille, il faut ajouter les correspondances topologiques données par les dernières lignes du tableau.

Tableau 2 – Correspondances des éléments duaux de deux circuits Tension v

Courant i

Résistance R

Conductance G

Capacité C

Inductance L

Impédance Z

Admittance Y

Charge électrique q

Flux magnétique ϕ

Source de tension

Source de courant

Force électromotrice e

Courant électromoteur j

Loi des mailles

Loi des nœuds

Association série

Association parallèle

Maille

Nœud

d1’

d1

i’1

v1 v2

v3

B

A

C

d2 d4

v4

A’

d3 d5

v5

v6

d6

B’ i’2

d’4

d’2

i’5 d’5

d’3

i’3

C’ i’6 d’6

i’4 D

D’

Figure 25 – Théorème de Tellegen

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_____________________________________________________________________________________________________ CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES

À partir d’un circuit donné, effectuons les correspondances indiquées dans le tableau. On obtient un nouveau circuit, dual du précédent, dont les relations courant / tension sont identiques à celles du circuit initial en effectuant les correspondances tension ↔ courant. Par exemple, le circuit de la figure 26 présente 4 mailles élémentaires (ne pas oublier la maille extérieure). Le circuit dual comprend donc 4 nœuds A, B, C et D. Pour établir le circuit dual, il suffit de placer les nœuds aux centres des différentes mailles et de relier, pour chaque couple de nœuds situés au centre de deux mailles, ces deux nœuds par les correspondants des éléments communs aux deux mailles.

D R1

D

L C2

C

C’ J

+ E

A

C1

B

G’2

C

R2

G’1 A

L’1

L’2

B

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Figure 26 – Circuits duaux

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P O U R

Circuits électriques linéaires par

E N

André PACAUD

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Doc. E 100

11 - 2010

Ingénieur SUPELEC

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Sources bibliographiques [1]

MESA (F.). – Méthodes d’études des circuits électriques. Éditions Supélec

[2]

FELDMANN M. – Théorie des réseaux et systèmes linéaires. Eyrolles Collection technique et scientifique des télécommunications (1981)

[3]

THOMAS (R. E.), ROSA (A. J). – The analysis and design of linear circuits : Laplace earl. John Wiley & Sons (2008).

[4]

BOITE (R.), NEIRYNCK (J.). – Théorie des réseaux de Kirchhoff. Presses Polytechniques et universitaires romandes (1996)

[5] [6]

PACAUD (A.). – Signaux et systèmes linéaires. Ellipses (2001). PACAUD (A.). – Électronique radiofréquence. Ellipses (2000).

À lire également dans nos bases

S A V O I R

GILLE (J.-C.). – Systèmes et signaux déterministes. Transformées et abaques [E3010] Base Électronique (1995).

P L U S

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Doc. E 100 – 1

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