Cinematica Punctului, Probleme Rezolvate [PDF]

Zitiervorschau

PROBLEME REZOLVATE DE MECANICĂ

99

CAPITOLUL VIII CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL PROBLEME REZOLVATE 8.1 Se consideră un punct material având vectorul de poziţie în raport cu originea O a sistemului de axe Oxy dat de: r = OM = 4t i + (16t 2 − 1) j (cm). Se cer: 1) Ecuaţia traiectoriei şi trasarea ei în sistemul de axe Oxy; 2) Viteza şi acceleraţia punctului la momentul t; 3) Poziţia, viteza şi acceleraţia punctului la momentul t1=1/2 s, precum şi raza de curbură a traiectoriei la acelaşi moment. Rezolvare : y

1) Ecuaţiile sub formă parametrică ale

 x = 4t  2  y = 16t − 1

v

vy

traiectoriei sunt :

(a)

vx

3

M(x1, y1)

Eliminând parametrul t din ecuaţiile (a) se obţine ecuaţia sub formă implicită a traiectoriei: x2 − y − 1 = 0

x

(b)

A

2

B

Această ecuaţie reprezintă o parabolă (fig. 8.1)

V

cu vârful în V(0,-1) care intersectează axa Ox în punctele A(-1, 0) B(1,0). 2) Viteza şi acceleraţia punctului la momentul t

Fig. 8.1.a

se detremină cu ajutorul proiecţiilor: • Viteza:

v x = x& = 4 v y = y& = 32t

a

y

aτ

aυ 3

(c)

M(x1, y1)

⇒ v = v x2 + v y2 = 16 + ( 32t )2 • Accelaraţia: a x = &x& = 0 a y = &y& = 32 ⇒ a = a x2 + a y2 = 32

A

(d)

V Fig. 8.1.b

B

2

x

PROBLEME REZOLVATE DE MECANICĂ

100

3) Poziţia, viteza şi acceleraţia punctului, raza de curbură a traiectoriei la momentul t1=1/2 s sunt :  x(t1 ) = 2 cm ; • poziţia:  ( ) y t = 3 cm  1  x& (t1 ) = 4 ⇒ v(t1 ) = 16 ,5 cm / s • viteza:  & ( ) = y t 16  1

(e) (f)

a(t1 ) = 32 cm / s 2

• acceleraţia:

(g)

Acceleraţia tangenţială la momentul t1=1/2 s se obţine prin derivarea în raport cu timpul a vitezei:

aτ =

2v v& − 2v y v& y v x a x − v y a y dv = v& = x x 2 = dt v 2 v x + v y2

⇒ aτ ( t1 ) = 31cm / s 2 Acceleraţia normală la momentul t1 este prin urmare: aν = a 2 − a τ2 ⇒ aν ( t1 ) = 7 ,94 cm / s 2

(h)

• raza de curbură a traiectoriei (a) se calculează cu ajutorul formulei:

(x&

+ y& 2 ) v2 sau: ρ = ρ= aν x&&y& − &x&y& Raza de curbură la momentul t1=1/2 s este: ρ(t1 ) = 34,3 cm 3

2

(i)

Elementele calculate sunt reprezentate în fig. 8.1. şi sunt trecute în tabelul următor : Coordonate (cm)

Viteze (cm/s)

Acceleraţii (cm/s2)

Raza (cm)

x

y

vx

vy

v

ax

ay

a

aτ

aν

ρ

2

3

4

16

16,5

0

32

32

31

7,94

34,3

8.2 Se consideră un punct material pentru care se cunoaşte vectorul de poziţie în raport cu originea O a sistemului de axe Oxy: r = OM = (3 sin πt )i + (2 cos πt ) j (cm). Se cer: 1) Ecuaţia traiectoriei (sub formă parametrică şi implicită în sistemul de axe Oxy) şi să se reprezinte grafic în sistemul de axe Oxy; 2) Viteza şi acceleraţia punctului; 3) Poziţia, viteza şi acceleraţia punctului la momentul t1=1/3 s, precum şi raza de curbură a traiectoriei la acelaşi moment.

PROBLEME REZOLVATE DE MECANICĂ

101

Rezolvare :

y 2

3) Ecuaţiile sub formă parametrică ale

M(x1, y1)

traiectoriei sunt :

x

 x = 3 sin πt   y = 2 cos πt

(a)

-3

3 -2

Eliminând parametrul t din ecuaţiile (a) se

Fig. 8.2

obţine ecuaţia sub formă implicită a traiectoriei:

x2 y2 + −1= 0 32 2 2

(b)

Această ecuaţie reprezintă o elipsă cu centrul în originea sistemului de axe, de semiaxe: a=3, b=2 (fig. 8.2) 2) Viteza şi acceleraţia punctului la momentul t se detremină cu ajutorul proiecţiilor: • Viteza: v x = x& = 3π cos πt v y = y& = −2π sin πt

(c)

⇒ v = v x2 + v y2 = π 9 cos 2 πt + 4 sin 2 πt = π 4 + 5 cos 2 πt • Accelaraţia: a x = &x& = −3π 2 sin πt

(d)

a y = &y& = −2π 2 cos πt ⇒ a = a x2 + a y2 = π 2 9 sin 2 πt + 4 cos 2 πt = π 2 4 + 5 sin 2 πt 3) Poziţia, viteza şi acceleraţia punctului, raza de curbură a traiectoriei la momentul t1=1/3 s sunt :  3 3 = 2,598 cm  x(t1 ) = • poziţia:  ; 2  y (t ) = 1 cm  1 3π  π 21  x& (t1 ) = 2 ⇒ v(t1 ) = = 7 ,198 cm / s • viteza:  2  y& (t ) = − π 3  1  − 3 3π 2 &x&(t ) = • acceleraţia:  1 2  &y&(t ) = −π 2  1

⇒ a(t1 ) =

π 2 31 2

(e)

(f)

= 27,476 cm / s 2 (g)

PROBLEME REZOLVATE DE MECANICĂ

102

• raza de curbură a traiectoriei (a) se calculează cu ajutorul formulei:

(x&

+ y& 2 ) ρ= x&&y& − &x&y& Raza de curbură la momentul t1=1/3 s este: 7 21 ρ (t1 ) = = 2,005 cm 16 2

3

(h)

(i)

8.3 Acelaşi enunţ ca la probema 8.2, cu următoarele date :

π   π   r = OM =  2 + sin t i + 1 + 2 cos t  j , cm ; momentul t1=1 s; 3   3   Rezolvare :

1) Ecuaţiile sub formă parametrică ale traiectoriei sunt : π π   x − 2 = sin t x = 2 + sin t   3 3 sau:   π  y = 1 + 2 cos t  y − 1 = cos π t   2 3 3 Ridicând la pătrat relaţiile (a) şi

(a)

y

însumând membru cu membru, se obţine ecuaţia 3 sub formă implicită a traiectoriei în sistemul Oxy:

M(x1, y1)

2

(x − 2 ) +  y − 1  − 1 = 0  2  2

(b)

1

C

care reprezintă o elipsă având centrul: C (2 , 1) de semiaxe: a=1, b=2 (fig. 8.3). 2) Poziţia, viteza, şi acceleraţia punctului la

O

1

2

3

x

-1 Fig. 8.3

momentul t şi la momentul t1=1s sunt: • Poziţia π   x = + t 2 sin 3  = 2,866 cm  x(t1 ) = 2 + 3 ⇒  2   y (t ) = 2 cm  y = 1 + 2 cos π t  1  3 • Viteza: π π   π π & x cos t = 2 2  1 + 3 sin 2 t v( t ) = x& + y& = 3 3 ⇒ 3 3  2 π π v( t ) = π 13 / 6 = 1,888 cm / s  y& = − sin t  1  3 3

(c)

(d)

PROBLEME REZOLVATE DE MECANICĂ

103

• Acceleraţia: π2 π  &x& = − 9 sin 3 t π2 2 2 2 π & & & & ⇒ a = x + y = + t 1 3 cos  2 9 3 π π 2  &y& = − cos t  9 3 π2 7 ⇒ a(t1 ) = = 1,451 cm / s 2 18

(e)

• Raza de curbură a traiectoriei punctului la momentul t1=1 s este:

ρ (t ) =

(x&

+ y& 2 ) ; x&&y& − &x&y& 2

3

ρ (t1 ) =

13 13 = 2,929 cm 16

(f)

8.4. Se consideră mecanismul bielă-manivelă din figura 8.4, pentru care se cunosc: OA = r, AB = l , MB = l / 3 şi legea de mişcare a manivelei OA: ϕ (t ) = 3πt . Se cer: 1) Ecuaţia traiectoriei punctului M sub formă parametrică şi explicită;

2) Poziţia, viteza, acceleraţia punctului şi raza de curbură a traiectoriei la momentul t1=1/6 s, dacă se cunosc valorile numerice: r=10cm, l = 30cm Rezolvare :

Se notează cu α unghiul OBA (fig. 8.4). Coordonatele punctului M faţă de axele sistemului Oxy sunt: 2   x M = OA′ + A′M ′ = r sin ϕ + 3 l cos α   y = M ′M = l sin α  M 3 Teorema sinusurilor triunghiul OAB se scrie:

A

y

ϕ

(a)

l

r α

M

α

O A’

M’

Fig. 8.4

B

x

l r = sin(90 0 − ϕ) sin α r ⇒ sin α = cos ϕ l r2 ⇒ cos α = 1 − 2 cos 2 ϕ l

în

PROBLEME REZOLVATE DE MECANICĂ

104

Prin urmare, ecuaţiile parametrice (a) devin: 2 2  2 2  x = r sin ϕ + 3 l − r cos ϕ   y = r cos ϕ  3

(a)

Eliminând parametrul ϕ din ecuaţiile parametrice (a’), se obţine ecuaţia explicită a traiectoriei punctului M în sistemul de axe Oxy: 2 2 x = r2 − 9y2 + l − 9y2 (b) 3 2) Poziţia, viteza, acceleraţia punctului şi raza de curbură la momentul t1=1/6 s, (ϕ=π/2, ϕ& = 3π ;

ϕ&& = 0 ) se determină astfel:

2 2  2 2 ϕ ϕ x r l r = + − sin cos  3 •   y = r cos ϕ  3

2l  = 30 cm  x(t1 ) = r + ⇒ 3  y (t1 ) = 0

   r sin 2ϕ   x& = ϕ& r  cos ϕ + ⋅ 2 2 2 3  l − r cos ϕ    •  y& = −ϕ& r  1 sin ϕ    3   x&( t1 ) = 0 ⇒ v( t1 ) = 31,416 cm / s   y& ( t1 ) = − π r

(c)

(d)

  r 4 cos 2ϕ (l 2 − r 2 cos 2 ϕ ) − r 2 sin 2 2ϕ  2  &x& = ϕ& r − sin ϕ + ⋅   6  (l 2 − r 2 cos2 ϕ )3   •    2 1 (deoarece ϕ&& = 0)  &y& = −ϕ& r  cos ϕ  3   2r   2  &x&( t1 ) = 9π r  − 1 −  ⇒ 3l  ⇒ a( t1 ) = 220 cm / s 2   &y&( t ) = 0  1

(e)

• Raza de curbură a traiectoriei punctului momentul t1=1/6 s este: ρ( t ) = ρ(t1 ) =

(x&

+ y& 2 ) ; x&&y& − &x&y& 2

3

13 13 = 4 ,486 cm 16

(f)