CI03 AD11 Corrigé - Déterminer Les Torseurs Cinétique Et Dynamique D'un Ensemble de Solide PDF [PDF]

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CI03 AD11 Corrigé - Déterminer les torseurs cinétique et dynamique d'un ensemble de solide

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1. Virage à plat d’un avion à hélice Figures de changement de base :

 y1

 z2

 y0

 x1

θ

  z0  z1 1.

 z1  y2

φ

 x0

  x1  x2

 y1

Déterminer le moment cinétique de 2/0 au point G2 du sous ensemble 2 dans son mouvement par rapport au repère

R0. 2/0 : Mouvement quelconque + matrice d’inertie donnée en G2 (centre de gravité) :

2/0  .z1  .x2  .sin.y2  .cos .z2  .x2  A2 G2 , 2/0  IG2 (2).2/0   0  0

0 B2 0

0 0  C2 

.(. x2  .sin .y2  .cos .z2 ) (x2 , y2 , z2 )

G2 , 2/0  A2 .. x2  B2 ..sin .y2  C2 ..cos .z2

2.

Déterminer le moment dynamique de 2/0 au point G2 du sous ensemble 2 dans son mouvement par rapport au repère

R0. G2 ,2/0 

d G ,2/0 dt 2

car G2 centre de gravité. 0

G2 , 2/0  A2 ..x2  A2 ..

d d x2  B2 ..sin .y2  B2 ...cos .y2  B2 ..sin . y2  C2 ..cos .z2 dt 0 dt 0

 C2 ...sin .z2  C2 ..cos . Avec :

d z2 dt 0

d x2  .y1 dt 0

d y2  (.z1  .x2 )  y2  .cos .x2  .z2 dt 0 d z2  (.z1  .x2 )  z2  .sin .x2  .y2 dt 0 G2 , 2/0  A2 ..x2  A2 ...y1  B2 ..sin .y2  B2 ...cos .y2  B2 ..sin .(.cos .x2  .z2 )  C2 ..cos .z2  C2 ...sin .z2  C2 ..cos .(.sin . x2  .y2 )

3.

Montrer que le moment dynamique se réduit à G2 ,2/0  A2     y1 .

On a   0 ,   0 et B2 = C2 G2 , 2/0  A2 ...y1  B2 ...cos .y2  B2 ..sin .(.cos .x2  .z2 )  B2 ...sin .z2  B2 ..cos .(.sin .x2  .y2 ) G2 , 2/0  A2 ...y1  A2 ...y1

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2. Centrifugeuse humaine Figures de changement de base :

 y1

 y0

 x1

ψ

  z0  z1 1.

 z2

 x3

 z1

 x2

 y2

θ

 x0

 y1

  x1  x2

 z3    y 2 = y3

 z2

Définir la forme simplifiée de la matrice d’inertie du sous ensemble 1 en G1 dans la base 1.

Les plans  O, x1 , y1  et  O, y1 , z1  sont des plans de symétrie pour le solide 2 →  O, x1 , y1 , z1  est repère principal d’inertie →

 A1 IG 1 (1)   0  0

0 B1 0

0 0  C1 ( x , y , z ) 1 1 1

2. Déterminer le torseur cinétique de 1/0 au point O du sous ensemble 1 dans son mouvement par rapport au repère 0. 1/0 : Mouvement de rotation autour d’un axe fixe + mais G1 n’appartient pas à l’axe de rotation + matrice d’inertie donnée en G1 (centre de gravité), donc on utilise la méthode générale :

 RC

1/0

1/0





 RC 1/0  m1 .VG ,1/0  1     avec : G1 , 1/0  IG1 (S1 ).1/0  G1

 m1 .VG1 ,1/0  m1 .( VO ,1/0  G1O  1/0 )  m1 .(a.y1 )  .z1  m1 .a..x1

G1 , 1/0  IG1 (S1 ).1/0

 A1   0  0

0 B1 0

0 0  ..z1  C1 ..z1 C1 (x , y , z ) 1 1 1

On déplace le moment cinétique en O : O , 1/0  G1 , 1/0  OG1  RC 1/0 O , 1/0  C1 ..z1  a.y1  (m1 .a..x1 ) O , 1/0  C1 ..z1  m1 .a2 ..z1



1/0

3.



  m1 .a..x1     2 (C1  m1 .a ).z1   O

Définir la forme simplifiée de la matrice d’inertie de l’anneau 2 en I dans la base 2.

Les plans  I , x2 , y2  et  I , y2 , z2  sont des plans de symétrie pour le solide 2 →  I , x2 , y2 , z2  est repère principal d’inertie →

 A2 II (2)   0  0

0 B2 0

0 0  C2 

(x2 , y2 , z2 )

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4. Déterminer le torseur cinétique de 2/0 au point I du solide 2 dans son mouvement par rapport au repère 0. 2/0 : Mouvement quelconque + matrice d’inertie donnée en I (centre de gravité) :



 RC 2/0  m2 .VI ,2/0       avec : 2/0 I , 2/0  II (S2 ).2/0  I



RC 2/0  m2 .VI ,2/0  m2 .R..x1 (par analogie à la question 2)

I , 2/0  II (S2 ).2/0

I , 2/0  II (S2 ).2/0

avec 2/0  2/1  1/0  .x2  .z1  .x2  .sin.y2  .cos .z2

 A2   0  0

0 B2 0

0 0  C2 

.(. x2  .sin .y2  .cos .z2 ) (x2 , y2 , z2 )

I , 2/0  A2 ..x2  B2 ..sin .y2  C2 ..cos .z2



2/0



m2 .R..x1     A ..x2  B2 ..sin .y2  C2 ..cos .z2  I 2

5. Déterminer le torseur cinétique de 3/0 au point I du solide 3 dans son mouvement par rapport au repère 0. 3/0 : Mouvement quelconque + matrice d’inertie donnée en I (centre de gravité) :



3/0



 RC 3/0  m3 .VI ,3/0      avec : I , 3/0  II (S3 ).3/0  I

RC 3/0  m3 .VI ,3/0  m3 .R..x1

 A3 I , 3/0  II (S3 ).3/0   0  0

0 B3 0

0 0  C3 

.(.x2  (.sin   ).y2  .cos .z2 ) (x2 , y2 , z2 )

I , 3/0  A3 ..x2  B3 .(.sin   ).y2  C3 ..cos .z2



3/0



6.

m3 .R..x1     A .  . x  B .(  .sin    ). y  C .  .cos  . z 2 3 2 3 2 I 3

En déduire le torseur cinétique de l’ensemble E1=2+3 au point I dans son mouvement par rapport au repère 0.

Au point I on a :



3/0

Donc







E1/0

 

2/0

 

3/0

 avec :

m3 .R..x1     et A .  . x  B .(  .sin    ). y  C .  .cos  . z 2 3 2 3 2 I 3

E 1/0

 I



2/0



m2 .R..x1     A .  . x  B .  .sin  . y  C .  .cos  . z 2 2 2 2 2 I 2

(m2  m3 ).R.. x1     ( A  A ).  . x  ( B  B ).  .sin   B .  . y  ( C  C ).  .cos  . z   3 2 2 3 3 2 2 3 2  2

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7. Déterminer le torseur dynamique de 1/0 au point O du sous ensemble 1 dans son mouvement par rapport au repère 0. 1/0 : Mouvement de rotation autour d’un axe fixe + mais G1 n’appartient pas à l’axe de rotation + matrice d’inertie donnée en G1 (centre de gravité) + O point fixe dans 0 :

 on calcule G1 , 1/0 puis O , 1/0 puis O, 1/0



Rd 1/0  m1 .G ,1/0    1    1/0 O, 1/0   O



RC 1/0  m1 .a..x1 (voir question 2) Donc Rd 1/0  Car

d RC 1/0  m1 .a..x1  m1 .a.2 .y1 dt 0

d x1  1/0  x1  .z1  x1  .y1 dt 0

O , 1/0  (C1  m1 .a2 ).z1 (voir question 2) O point fixe de 0 : O, 1/0 

Donc



8.

d O,1/0 dt

 (C1  m1 .a2 ).z1 0

m1 .a..x1  m1 .a.2 .y1     1/0 (C1  m1 .a2 ).z1   O



À partir des données du problème, proposer sous forme d’organigramme les différentes étapes de calcul afin de déterminer le moment dynamique au point O O ,E2 /0 de l’ensemble E2=1+2+3 dans son mouvement par rapport au

repère 0. On décompose en sous système élémentaires :



E2 /0

 

1/0

 

2/0

 

 → O, E /0  O, 1/0  O, 2/0  O, 3/0

3/0

2

Calculé question 7

O, 2/0 

d O,2/0 dt

O, 3/0  0

O , 2/0  I , 2/0  OI  RC 2/0 car O fixe dans 0

0

O , 3/0  I , 3/0  OI  RC 3/0 car O fixe dans 0

I , 3/0 calculé question 5

I , 2/0 calculé question 4

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d O,3/0 dt

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3. Éolienne

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