Chapitre4 Equations Différentielles-2 [PDF]

Zitiervorschau

Chapitre 4: Equations Différentielles SMA&SMI:S2 Par: Elmostafa BENDIB Département de Mathématiques et Informatique Faculté poly-disciplinaire de Safi Université Cadi Ayyad

Table des matières 1 1.1 1.2 1.3

1.4

Equations différentielles à variables séparées (ou à variables Equations différentielle homogènes . . . . . . . . . . . . . . Equation différentielle linéaire du premier ordre . . . . . . . 1.3.1 Méthode de la variation de la constante . . . . . . . 1.3.2 On connait une solution particulière de (E) . . . . . 1.3.3 On connait deux solutions particulières de (E) . . . Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

) . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

2 2 3 4 4 5 6 6

2 Equations différentielles linéaires du second ordre

7

3

7 3.1 3.2 3.3

Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Détermination d’une solution particulière dans certains cas spécifiques : . . . . . . . 3.3.1 Cas d’un second membre polynômial f (x) = P (x). . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Cas d’un second membre du type f (x) = emx P (x). . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Cas d’un second membre du type f (x) = emx (P (x) cos(ωx) + Q(x) sin(ωx)). 3.3.4 Méthode de la variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Exercices

7 8 9 9 9 10 10 12

1

1

Genéralités Une équation différentielle du neme ordre est une relation entre la variable x, la fonction inconnue y (fonction de la variable x dérivable sur un intervalle de R), ses dérivées successives notées y 0 , y 00 , · · · et des fonctions connues : y (n) = f (x, y, y 0 , y 00 , y 000 , · · · , y (n−1) ) Si n = 1 : y 0 = f (x, y) est une équation différentielle du premier ordre. Si n = 2 : y 0 = f (x, y, y 0 ) est une équation différentielle du second ordre. On appelle intégrale ou solution de l’équation différentielle sur un intervalle I, toute fonction ϕ telle que ϕ(n) = f (x, ϕ, ϕ0 , ϕ00 , ϕ000 , · · · , ϕ(n−1) ) Résoudre ou intégrer une équation différentielle, c’est trouver l’ensemble des solutions de cette équation. On appelle courbe intégrale, toute courbe plane y = ϕ(x) où ϕ est une solution. Chaque fois qu’on sait résoudre une équation différentielle d’ordre n, on obtient une solution qui dépend de n constantes. On dit que cette solution est une solution générale. Pour certaines valeurs de ces constantes, on obtient des solutions particulières. Exemple: y 0 = a (a ∈ R) y = ax + C est une solution générale de l’équation y 0 = a. y = ax, y = ax + 1, . . . sont des solution particulières. Par exemple, considérons l’équation différentielle (E) : y 00 − 2y 0 + y = x2 1. Montrez que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 + 4x + 6 est une solution de (E). 2. Montrez que f est la seule fonction polynômiale du second degré solution de (E). 3. Montrez que la fonction g définie sur R par g(x) = (2x − 5)ex + x2 + 4x + 6 est une autre solution de (E). 4. Montrez que la fonction h définie sur R par h(x) = (32x − 80)ex + x2 + 4x + 6 est aussi solution de (E).

1

Equations différentielles du premier ordre

Une équation différentielle est du premier ordre si elle ne fait intervenir que la première dérivée y 0 . On distingue trois classes principales d’équations différentielles du premier ordre. i) Equations à variables séparables. ii) Equations homogènes. iii) Equations différentielles linéaires du premier ordre. Notons que les équations homgènes et linéaires se ramènent aux équations dont on peut séparer les variables. En dehors de ces types génraux d’équations on a des équations de types spéciaux par exemple Equations de Bernoulli, de Riccati, de Lagrange, de Clairaut, etc.

1.1

Equations différentielles à variables séparées (ou à variables séparables )

Définition 1. On appelle équations différentielle à variables séparées (ou à variables séparables ) toute équation différentielle de la forme f (y)y 0 = g(x)

(1)

où f est une fonction continue sur un intervalle I de R et g est une fonction continue sur un intervalle J de R dy Résolution : En utilisant la notation différentielle y 0 = , on peut mettre l’équation (1) sous la dx forme UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

2

E. BENDIB

1.2 Equations différentielle homogènes

1

f (y)dy = g(x)dx

(2)

D’où la terminologie "variables séparées (ou à variables séparables )"

Théorème 1. Soit F une primitive de f sur I et soit G une primitive de g sur J. Pour qu’une fonction x 7−→ y(x) définie et dérivable sur un sous intervalle de J soit solution de l’équation (1), il faut et il suffit que F (y) = G(x) + C

(3)

où C est une constante. Preuve. Il suffit d’écrire

y 0 f (y) − g(x) = (F ◦ y)0 (x) − G0 (x) h i0 = (F ◦ y)(x) − G(x) .

(1) est donc vérifiée par y si et seulement si F (y) − G(x) = C te . Régle pratique La résolution de l’équation (1) est équivalente à la recherche d’une fonction y dérivable telle que Z Z f (y)dy = g(x)dx Exemple 1 : Intégrer sur R l’équation différentielle y 0 = y (1). dy Solution : y solution de (1) sur R ⇔ =y dx y = 0 est une solution sur R. Cherchons les autres solutions qui ne s’annulent pas. dy = dx y Z Z dy ⇔ = dx y ⇔ ln |y| = x + C0 où C0 est une constante réelle. y Pour la commodité des calculs, on pose C0 = ln |C| avec C 6= 0 ; on obtient ln = x soit C y = ex et par suite y = ±Cex . En conclusion la solution générale de l’équation proposée est C y = Kex où K est une constante réelle. y solution de (1) sur R ⇔

Exercice : Résoudre sur I = ]1, +∞[ l’équation différentielle xy 0 ln(x) = (3 ln(x) + 1)y (la solution générale est : y = Kx3 ln x avec K ∈ R∗ )

1.2

Equations différentielle homogènes

Définition 2. On appelle équation différentielle homogène toute équation différentielle de la forme y y0 = f ( ) x y Résolution on pose u = où u est une nouvelle fonction inconue et on se ramène à une équation x différentielle à variables séparables.

UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

3

E. BENDIB

1.3 Equation différentielle linéaire du premier ordre

1

Exemple Résoudre l’équation différentielle y0 =

y y + ex x

(E)

y on obtient y = xu, y 0 = u + xu0 . x Par suite l’équation (E) s’écrit u + xu0 = u + eu . Donc u satisfait à l’équation C’est une équation différentielle homogène, on pose u =

du =eu dx dx pour x 6= 0 e−u du = x x

On une équation à variables séparées. Z obtient alors Z dx e−u du = x x −u −e = ln C   x C C −u e = − ln = ln . Par suite −u = ln ln C x x    C et donc y = xu = −x ln ln où C est une constante réelle non nulle. x

1.3

Equation différentielle linéaire du premier ordre

Définition 3. i) On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation différentielle qui peut se mettre sous la forme y 0 + f (x)y = g(x)

(E)

où f et g sont des fonctions continue sur un même intervalle I de R. ii) On appelle équation différentielle linéaire sans second membre, ou équation homogène, associée à l’équation complete (E) l’équation différentielle (H)

y 0 + f (x)y = 0

Résolution 1.3.1

Méthode de la variation de la constante

On s’interesse d’abord à l’équation sans second membre (H) y 0 + f (x)y = 0. Théorème 1. Les solutions de l’équation sans second membre, y 0 + f (x)y = 0 définie sur I, sont toutes de la forme y = K exp(−F (x)) où F est une primitive de f sur l’intervalle I et K une constante réelle. Preuve. y = 0 est une solution. y 0 + f (x)y = 0 dy dy = −f (x)y que l’on peut écrire = −f (x)dx dx y Z

Z dy On obtient alors une équation à variables séparées. Donc = −f (x)dx et par suite y y ln = −F (x) où C est une est une constante réelle non nulle. Nous obtenons y C = exp(−F (x)). Ceci implique y = K exp(−F (x)) = Ku(x) avec u(x) = exp(−F (x)) où C F (x) est une primitive de f . La solution générale de l’équation y 0 + f (x)y = 0 est y = Ke−F (x) avec K ∈ R. UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

4

E. BENDIB

1.3 Equation différentielle linéaire du premier ordre

1

Résolution de l’équation avec second membre (E) u étant une solution de (H). On cherche une solution particulière de (E) sous la forme y = K(x)u(x), où K est une fonction de x. Si une telle solution existe, elle vérifie (E) c’est àdire y 0 + f (x)y = g(x). On calcule y 0 et on reporte dans (E), nous obtenons K 0 (x)u(x) + K(x)u0 (x) + f (x)K(x)u(x) = g(x)   0 0 K (x)u(x) + K(x) u (x) + f (x)u(x) = g(x) | {z } Or u est une solution de l’équation (H), donc u0 (x) + f (x)u(x) = 0. On obtient K 0 (x)u(x) = g(x). Donc g(x) K0 = . u(x) Z g(x) dx = v(x) + C où C est une constante réelle et y = On en déduit, en intégrant, K(x) = u(x) (v(x) + C) u(x) est la solution générale de l’équation y 0 + f (x)y = g(x). Exemple : Résoudre sur ]0, +∞[ l’équation différentielle xy 0 = 2y + x3 ex (E) 2 y = x2 e x x 2y On commence par résoudre l’équation homogène associée (H) : y 0 − =0 x c’est une équation à variables séparées. On obtient Z  2 y = K exp dx = K exp(2 ln(x)) = K exp(ln(x2 )) = Kx2 x Sur ]0, +∞[ l’équation (E) s’écrit y 0 −

2y = 0 est y = Kx2 où K est une x constante réelle. Pour résoudre l’équation complete (E), on applique la méthode de la variation de la constante. On cherche une solution particulière yp sous la forme yp : x 7−→ K(x)x2 où K est une fonction de x. x 7−
→ K(x)x2 est solution de (E) si et seulement si, pour
0 2 K(x)x2
tout x ∈]0, +∞[ K(x)x2 − = x2 ex c’est à dire K 0 (x)x2 + 2xK(x) − 2xK(x) = x x2 ex ; on obtient K 0 (x)x2 = x2 ex et K 0 (x) = ex , d’où K(x) = ex + K avec K ∈ R. Conclusion : Les solutions de sur ]0, +∞[ de l’équation xy 0 = 2y + x3 ex est y = Kx2 sont les fonctions x 7−→ Kx2 + x2 ex où K est une constante réelle. La solution générale sur ]0, +∞[ de l’équation y 0 −

1.3.2

On connait une solution particulière de (E)

Soit y1 une solution particulière de (E) et soit yH la solution générale de l’équation sans second membre (H). Alors y = yH + y1 est la solution générale de (E). En effet : y 0 + f (x)y = (yH + y1 )0 + f (x)(yH + y1 ) 0 + y10 + f (x)yH + f (x)y1 = yH 0 = yH + f (x)yH + y10 + f (x)y1 | {z } | {z } = 0 + g(x) = g(x).

UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

5

E. BENDIB

1.4 Equation de Bernoulli

1

c’est à dire (yH + y1 )0 + f (x)(yH + y1 ) = g(x). Donc y = yH + y1 est la solution générale de(E). D’où la règle suivante : L’intégrale de l’équation différentielle linéaire du premier ordre (E) s’obtient en ajoutant à l’intégrale de l’équation homogène associée (H) une intégrale particulière de l’équation avec second membre (E). Remarque 1.1. Ce résultat reste valable pour les équations différentielles linéaires du second ordre. 1.3.3

On connait deux solutions particulières de (E)

Soient y1 et y2 deux solution particulières de (E). Alors y10 + f (x)y1 = g(x) et y20 +
f (x)y2 = g(x). Donc y10 − y20 + f (x) (y1 − y2 ) = 0, cela veut dire que y1 − y2 = u est une solution particulière de l’équations différentielle linéaire sans second membre (H). Donc la solution générale de l’équation différentielle linéaire sans second membre (H) est yH = Ku = K (y1 − yH ) où K est une constante quelconque. La solution générale de (E) est y1 + yH = y1 + K (y1 − y2 ) (ou y2 + yH = y2 + K (y1 − y2 ) ) Proposition 1. (Principe de superposition des solutions) Soient I un intervalle de R et a, b1 , . . . , bn des applications continues sur I. Si pour tout k ∈ {1, . . . , n}, l’application yk est une solution particulière sur I de l’équations différentielle y 0 + a(x)y = bk (x) (Ek ) alors y =

n X

yk est une solution particulière sur I de l’équations différentielle

k=1 0

y + a(x)y =

n X

bk (x) (E) .

k=1

Preuve.

n X k=1

1.4

!0 yk

+ a(x)

n X

! yk

k=1

=

n X k=1

yk0 +

n X k=1

a(x)yk =

n X k=1

n
X bk (x) yk0 + a(x)yk = k=1

Equation de Bernoulli

Définition 1. On appelle équation de de Bernoulli une équation de la forme y 0 + f (x)y = y α g(x) où α ∈ R \ {0, 1}. Résolution On se ramène à une équation linéaire en posant z = y 1−α . 4 √ Exemple y 0 = y + x y x 4 √ solution y 0 = y + x y x 1 4 1 √ y 0 − y = x y ici α = C’est une équation de Bernoulli, on pose z = y 1−α = y 1− 2 = x 2 1 y 2 . Donc z 2 = y ; d’où 2zz 0 = y 0 1 4 4 y 0 − y = 2zz 0 − z = xy 2 = xz x x 1 4 0 2 2z − = xy = x. C’est une équation linéaire du premier ordre. On trouve y =  x 2 4 1 x ln(x) + C 2

UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

6

E. BENDIB

3

2

Equations différentielles linéaires du second ordre

Définition 2. i) On appelle équation différentielle linéaire du second ordre tout équation différentielle de la forme a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = f (x)

(E)

où a, b et c sont des fonctions continues sur un même intervalle I de R. ii) On appelle équation différentielle linéaire sans second membre associée à l’équation complete (E) l’équation a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = 0

(H)

Théorème 2. Les solutions de l’équation différentielle linéaire du second ordre (E) s’obtiennent en ajoutant à la solution générale de l’équation homogène associée (H) : a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = 0 une solution particulière de l’équation avec second membre (E) : a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = f (x).

Théorème très important : Théorème 3. Soit l’équation différentielle linéaire du second ordre sans second membre a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = 0

(H)

sur un intervalle I sur lequel les fonctions a, b et c sont continues. Les solutions de (H) forment un sous espace vectoriel de dimension 2 de l’espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables sur I. En d’autre termes : Si y1 et y2 deux solutions de l’équation (H) formant un système libre de l’ensemble de solutions de l’équation sans second membre (H), alors toute solution de l’équation (H) est une combinaison linéaire de y1 et y2 ; ou encore les solutions de (H) sont de la forme y = λy1 + µy2 avec λ et µ sont deux constantes réels. {ϕ1 , ϕ2 } est appelé système fondamental de solutions.

3

Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.

3.1

Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans second membre

C’est une équation de la forme ay 00 + by 0 + cy = 0

(H)

où a, b et c sont des constantes réels avec a 6= 0. Equation caractéristique : on cherche si elle existe une solution sur R de (H) de la forme ϕ : x 7−→ erx On a ϕ(x) = erx , ϕ0 (x) = rerx et ϕ00 (x) = r2 erx La fonction ϕ vérifie l’équation différentielle (H) si, et seulement si, aϕ00 + bϕ0 + cϕ = 0 soit (ar2 + br + c)erx = 0 pour tout x ∈ R c’est-à-dire ar2 + br + c = 0. L’équation du second degré ar2 + br + c = 0 ainsi obtenue est appelée l’équation caratéristique de (H). Différent cas sont à envisager suivant la nature des solutions de cette équation caractéristique : 2 solutions réelles, 1 solution réelle double ou pas de solutions réelles. Résolution de (H) Théorème 4. Soient l’equation différentielle (H) : ay 00 + by 0 + cy = 0, S l’ensemble de ses solutions sur R et ar2 + br + c = 0 l’équation caractéristique, de solutions r1 et r2 réelles ou complexes.

UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

7

E. BENDIB

3.2 Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre3

• Si r1 et r2 sont rélles et dinstinctes, alors : S = {x 7−→ C1 er1 x + C2 er1 x , C1 ∈ R, C2 ∈ R, } • Si r1 et r2 sont rélles et confondues, r1 = r2 = r alors : S = {x 7−→ (C1 + C2 x)erx , C1 ∈ R, C2 ∈ R, } • Si r1 et r2 sont deux racines complexes conjuguées, r1 = α + iβ et r2 = α − iβ (α, β) ∈ R2 : S = {(C1 cos(βt) + C2 sin(βt))eαt , C1 ∈ R, C2 ∈ R, }. 

Exemples.







1. Soit à résoudre l’équation différentielle homogène : y 00 + 2y 0 − 3y = 0. L’équation caractéristique est r2 +2r −3 = 0 admet deux racines rélles et dinstinctes 1 et −3. La forme générale des solutions est donc y = K1 ex + K2 e−3x , K1 , K2 ∈ R. 2. Soit à résoudre l’équation différentielle homogène : y 00 − 4y 0 + 4y = 0. Son équation caractéristique est r2 − 4r + 4 = 0, elle admet une racine double 2. La forme générale des solutions est donc y = (K1 + K2 x)e2x , K1 , K2 ∈ R. 3. Soit à intégrer l’équation différentielle : y 00 − 2y 0 + 2y = 0 L’équation caractéristique associée r2 − 2r + 2 = 0 admet les racines complexes 1 + i et 1 − i donc la forme générale des solutions est y = ex (A cos x + B sin x), A, B ∈ R. 4. Résoudre sur R l’équation différentielle : y 00 −3y 0 −4y = 0 avec les conditions initiales  y(0) = 0 . y 0 (0) = 1 L’équation caractéristique est r2 − 3r − 4 = 0. Cette équation admet deux racines r1 = −1 et r2 = 4. Les fonctions solutions sont de la forme x 7−→ C1 e−x + C2 e4x avec C1 ∈ R, C2 ∈ R. Les C1 + C2 = 0 conditions initiales sont vérifiées si, et seulement si . On obtient −C1 + 4C2 = 1 1 1 C1 = − et C2 = . 5 5 L’équation différentielle admet pour unique solution satisfaisant aux conditions 4e4x − e−x initiales, la fonction x 7−→ 5

3.2

Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre

C’est une équation de la forme ay 00 + by 0 + cy = f (x)

(E)

où a, b, c sont des constantes réelles et a 6= 0. Rappelons un principe bien particulier relatif aux équations linéaires : Soit yp une solution particulière de (E) (équation complète), y est solution de (E) si et sulement si : yH = y − yp est solution de ay 00 + by 0 + cy = 0 UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

(H). 8

E. BENDIB

3.3 Détermination d’une solution particulière dans certains cas spécifiques :

3

En conséquence la résolution de de (E) est conditionnée par la connaissance d’une solution particulière yp . Autrement dit : la solution générale de (E) est de la forme y = yH + yp , où yp est une solution particulière de l’équation (E) yH est la solution générale de l’équation sans second membre associée (H). yH étant déterminée par résolution de l’équation caractéristique et yp peut être déterminée par des méthodes simples lorsque le second membre (f ) possède des formes adéquates.

3.3 3.3.1

Détermination d’une solution particulière dans certains cas spécifiques : Cas d’un second membre polynômial f (x) = P (x).

On considère l’equation differentielle : ay 00 + by 0 + cy = P (x)

(E)

où a, b, c sont des constantes réelles et P est un polynome. Nous pouvons chercher une solution particulière yp sous la forme  si c 6= 0,  Q(x) xQ(x) si c = 0 et b 6= 0, yp (x) =  2 x Q(x) si b = c = 0 et a 6= 0. où Q est une fonction polynomiale de même degré que P . Exemple. Soit à intégrer l’équation différentielle : y 00 − 2y 0 + 2y = x2 − x + 3 (E) • Solution de l’équation homogène y 00 − 2y 0 + 2y = 0. l’équation caractéristique associée r2 − 2r + 2 = 0 admet les racines complexes 1 + i et 1 − i donc la forme générale des solutions de l’équation homogène associée à l’équation (E) est yH = ex (A cos x + B sin x), A, B ∈ R. • Solution particulière de (E). Ici c = 2 6= 0, on cherche alors une Solution particulière de (E) sous la forme yp = αx2 + βx + γ. On a yp0 = 2αx + β et yp00 = 2α. En reportant dans l’équation (E) on obtient : 2αx2 + 2(β − 2α)x + 2(α − β + γ) = x2 − x + 3; 1 1 3 x2 x 3 il vient alors, par identification, α = , β = et γ = . D’où yp = + + . 2 2 2 2 2 2 La forme générale des solutions de l’équation (E) est 1 y = (A cos x + B sin x)ex + (x2 + x + 3). 2 3.3.2

Cas d’un second membre du type f (x) = emx P (x).

On considère l’équation differentielle : ay 00 + by 0 + cy = emx P (x)

(E)

où a, b, c, m sont des constantes réelles avec a 6= 0 et P est un polynome. Soit ϕ(r) = ar2 + br + c = 0 l’équation caractéristique associée. Nous pouvons chercher une solution particulière yp sous la forme  mx si m n’est pas une racine de ϕ,  Q(x)e xQ(x)emx si m est une racine simple de ϕ, yp (x) =  2 x Q(x)emx si m est une racine double de ϕ. UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

9

E. BENDIB

3.3 Détermination d’une solution particulière dans certains cas spécifiques :

3

où Q est une fonction polynomiale de même degré que P . Exemple. Soit à intégrer l’équation différentielle : y 00 + 4y 0 + 3y = 2(4x2 + 6x + 5)ex

(E).

• Solution de l’équation homogène y 00 + 4y 0 + 3y = 0. l’équation caractéristique associée r2 + 4r + 3 = 0 admet deux racines réelles distinctes −1 et −3, donc la forme générale des solutions de l’équation homogène associée à l’équation (E) est yH = Ae−x + Be−3x , A, B ∈ R. • Vue la forme du second membre,
xon peut chercher une solution particulière de (E) 2 sous la forme yp = ax + bx + c e puisque ici m = 1 n’est pas racine de l’équation caractéristique r2 + 4r + 3 = 0. On obtient

y 0 = ax2 + bx + c + 2ax + b ex = ax2 + (b + 2a)x + c + b ex
y 00 = ax2 + (b + 4a)x + 2a + 2b + c ex . D’où en reportant dans l’équation (E), il vient alors, par identification, a = 1, b = 0
c = 1 et une solution particulière de l’équation (E) est yp = x2 + 1 ex .
La forme générale des solutions de l’équation (E) est y = yh +yp = Ae−x +Be−3x + x2 + 1 ex , A, B ∈ R. 3.3.3

Cas d’un second membre du type

f (x) = emx (P (x) cos(ωx) + Q(x) sin(ωx)).

On considère l’équation differentielle : ay 00 + by 0 + cy = emx (P (x) cos(ωx) + Q(x) sin(ωx))

(E)

où a, b, c, m et ω sont des constantes réelles avec a 6= 0 ; P et Q sont deux polynômes. Soit ϕ(r) = ar2 + br + c = 0 = 0 l’équation caractéristique associée. Nous cherchons une solution particulière yp de (E) sous la forme  mx e (S(x) cos(ωx) + T (x) sin(ωx)) si m + iω (ou m − iω) n’est pas une racine de ϕ, yp (x) = xemx (S(x) cos(ωx) + T (x) sin(ωx)) si m + iω (ou m − iω) est une racine de ϕ. où S et T sont deux polynômes, à détérminer, de degré n = max(deg P, deg Q) Dans le cas général l’intégrale de (E) s’obtient en utilisant la méthode de la variation des constantes. 3.3.4

Méthode de la variation des constantes

Soient y1 et y2 deux solutions particulière de (H) vérifiant y1 y20 − y10 y2 6= 0. Alors le système {y1 , y2 } est libre. En effet : Si le système {y1 , y2 } n’est pas libre, il existerait α ∈ R tel que y1 = αy2 donc y10 = αy20 et par suite y1 y20 − y10 y2 = 0 ce qui est contradictoire donc le système {y1 , y2 } est libre. Comme l’ensemble des solutions de de l’équation (H) est un espace vectoriel de dimension 2, alors {y1 , y2 } est une base. Par suite les solutions générales de l’équation (H) sont de la forme yH = λ1 y1 + λ2 y2 avec λ1 et λ2 deux constantes. Solution générale de l’équation (E) La méthode de la variation des constantes consiste à déterminer une solution particulière yp de l’équation avec second membre (E) sous la forme yp = λ1 (x)y1 (x) + λ2 (x)y2 (x) où λ1 et λ2 sont deux fonctions de classe C 1 vérifiant la propriété suivante : UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

10

E. BENDIB

3.3 Détermination d’une solution particulière dans certains cas spécifiques :

3

λ01 (x)y1 (x) + λ02 (x)y2 (x) = 0 On a y 0 =λ01 (x)y1 (x) + λ1 (x)y10 (x) + λ02 (x)y2 (x) + λ2 (x)y20 (x) =λ1 (x)y10 (x) + λ2 (x)y20 (x) y 00 =λ01 (x)y10 (x) + λ1 (x)y100 (x) + λ02 (x)y20 (x) + λ2 (x)y200 (x) y est solution de l’équation (E) ⇐⇒ ay 00 + by 0 + cy = f (x) ⇐⇒aλ01 (x)y10 (x) + aλ1 (x)y100 (x) + aλ02 (x)y20 (x) + aλ2 (x)y200 (x) + bλ1 (x)y10 (x) + bλ2 (x)y20 (x) + cλ1 (x)y1 (x) + cλ2 (x)y2 (x) = f (x)    
00 0 00 0 ⇐⇒λ1 (x) ay1 + by1 + cy1 + λ2 (x) ay2 + by2 + cy2 + a λ01 (x)y10 (x) + λ02 (x)y20 (x) = f (x) | {z } {z } |
0 0 0 0 ⇐⇒a λ1 (x)y1 (x) + λ2 (x)y2 (x) = f (x) a étant différent de zéro, on obtient le système suivant :  f (x)  0 λ1 (x)y10 (x) + λ02 (x)y20 (x) = ,  λ0 (x)y (x) + λ0 (x)y (x) = 0 a 1

1

2

(1)

2

Ce système se résout facilement, ce qui donne λ01 (x) et λ02 (x) puis λ1 (x) et λ2 (x) par intégration. 1 (E) Exemple : Résoudre l’équation différentielle : y 00 + y = 3 sin (x) L’équation homogène associée : y 00 + y = 0 (H) L’équation caractéristique associée r2 + 1 = 0 admet deux racines complexes conjugués : r1 = i et r2 = −i. La solution générale de l’équation différentielle homogène associée (H) est donc yH : x 7−→ λ1 cos x + λ2 sin x avec λ1 ∈ R, λ1 ∈ R. Recherche d’une solution particulière de (E) yH = λ1 cos x + λ2 sin x = λ1 y1 + λ2 y2 , de plus y1 y20 − y2 y10 6= 0. On cherche une solution particulière de l’équation avec second membre (E) sous la forme yp = λ1 (x)y1 (x) + λ2 (x)y2 (x) où λ1 et λ2 sont deux fonctions de classe C 1 et vérifiant le système suivant :  1  λ0 (x)y 0 (x) + λ0 (x)y 0 (x) = 1 1 2 2 3 (2) sin (x) ,  0 0 λ1 (x)y1 (x) + λ2 (x)y2 (x) = 0 ce qui donne  1  −λ0 (x) cos(x) + λ0 (x) sin(x) = 1 2 sin3 (x)  0 λ1 (x) sin(x) + λ02 (x) cos(x) = 0 On multiplie la première ligne par cos(x) et la seconde par sin(x), puis on additionne cos(x) on tire λ02 (x) = qu’on reporte dans la la seconde équation pour obtenir sin3 (x) cos(x) sin(x) cos(x) =− 2 λ01 (x) = − 3 . D’où sin (x) cos(x) sin (x) Z cos(x) 1 λ1 (x) = − 2 dx = + C1 tan(x) sin (x) Z Z cos(x) d(sin(x)) 1 1 λ2 (x) = dx = =− + C2 2 sin2 (x) sin3 (x) sin3 (x) UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

11

E. BENDIB

4 EXERCICES

où C1 , C2 ∈ R. 1 1 1 cos(x) − sin(x) tan(x) 2 sin2 (x) Conclusion : La solution générale de l’équation avec second membre (E) est :     1 1 1 y = yH + yp = + C2 sin(x) C1 , C2 ∈ R. + C1 cos(x) − tan(x) 2 sin2 (x) Une solution particulière est donc yp =

Notons que cette méthode est aussi valable pour les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients non constants de type : a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = f (x).

4

Exercices

UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

12

E. BENDIB

4 EXERCICES

Travaux dirigés Exercice 1. Intégrer les équations différentielles suivantes : 1. y 0 + y = ex .
2. 1 − x2 y 0 + 2xy = x + x3 . Exercice 2. On considère l’équation differentielle (E) : y 0 + y = exp(−x) + x2 + sin(x) et on note (H) :

y 0 + y = 0 l’équation homogène associée à (E).

1. Trouver la solution générale de (H). Z Z 2 2. Calculer x exp(x)dx et exp(x) sin(x)dx. 3. Intégrer l’équation differentielle (E). Exercice 3. Résoudre après avoir montrer que l’équation donnée est homogène : 1. (2y − x) xy = y 2
2. x x2 + y 2 y 0 − 2y 3 = 0 Exercice 4. (Equation de Bernoulli) Résoudre l’équation suivante : x3 y 0 − x2 y + y 4 = 0 Exercice 5. (Equation de Riccati) Résoudre l’équation suivante : y 0 = 1 + x2 − 2xy + y 2 (on pose z = y − x) Exercice 6. On considère l’équation differentielle sur l’intervalle I=]0,1[ (E) : et on note (H) :

x(x2 − 1)y 0 + 2y = x

x(x2 − 1)y 0 + 2y = 0 l’équation homogène associé à (E).

1. Préciser la nature de (E). 2. (a) Expliquer pourquoi l’équation (H) est à variables séparées (b) Trouver la solution générale de (H) 3. En utilisant la méthode de variation de la constante intégrer (E). Exercice 7. Intégrer les équations différentielles suivantes : 1. y 00 + 2y 0 − 8y = 4(3x + 5)e2x . 2. y 00 − 3y 0 − 4y = 3e2x + sin(2x) − 8ex cos(2x). 3. y 00 − 3y 0 + 2y = ch x

UCA.FPS.Maths&info.SMA&SMI:S2

13

E. BENDIB