Chapitre II Systèmes Mécanique Articulés Et Robotique - Modélisation Dun Robot - Boutaani 2020 PDF [PDF]

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Cours Systèmes mécaniques articulés et Robotique

Master 1 CM

Chapitre II Modélisation d’un Robot Plan du cours  Introduction  Eléments d’un robot

• •

Corps rigides (Liens) Les articulations

 Rappels Théorie des mécanismes

• • •

Rappels Théorie des mécanismes Schéma cinématique d’un robot Degrés de mobilité d’un robot (m)

 Modélisation de la chaine cinématique du robot

Éléments d'un robot Introduction Lien

Lors de l’étude d’un mécanisme ou d’un robot, La modélisation

pièces,

des

liaisons

et

des

actions

mécaniques va permettre de déterminer les performances

de ce mécanisme et son dimensionnement. La modélisation d'un robot permet de considéré comme étant

un

système

mécanique

articulé,

actionné

et

commandé, consiste à en établir un modèle mathématique.

SCARA (Adept)

Éléments d'un robot Comment représenter un robot? Lien Lien

Articulation rotoïdes (pivot)

Articulation prismatique KUKA KR Agilus

SCARA (Adept)

Éléments d'un robot Comment représenter un robot? • Un robot est représenté (modélisé) comme : Une chaîne cinématique de corps rigides (liens) reliés par des articulations (pivot ou glissière) Lien Articulation pivot Base

• Articulations (axes): composants mobiles qui génèrent un mouvement relatif entre 2 liens • Liens: corps rigides reliés par des articulations

Corps rigides • Corps rigide (CR): Ensemble de points où la distance relative entre 2 points est (toujours) constante

‖ p A (0)  p B (0)‖

pA

 ‖ p A (t )  p B (t )‖

Quel que soit le mouvement du corps rigide, la distance relative (entre 2 points quelconques du corps) reste fixe.

pB Au temps 0

• Corps rigide dans l’espace: se déplace en 3 dimensions • Corps rigide dans le plan: se déplace en 2 dimensions

pB Au temps t

pA

Corps rigides Configuration d'un corps rigide • Configuration: - Spécification complète de la position de tous les points du corps rigide - Spécification complète de la position et de l'orientation du corps rigide (en supposant que la forme du corps rigide est connue)

• Exemples: - Configuration d'une porte à charnière : angle (θ) autour de la charnière - Configuration d'un point dans le plan : x, y - Configuration d'un corps rigide dans le plan : x, y, θ

θ

Porte avec charnière

θ

y

y x Point dans le plan

x Corps rigide dans le plan 7

Corps rigides Degrés de liberté d'un corps rigide • Degré de liberté (ddl): - Nombre minimum de coordonnées nécessaires pour représenter la configuration d'un corps rigide. - Nombre de coordonnées indépendantes nécessaires pour représenter la configuration (position et orientation) d'un corps rigide.

• Exemples - Points: → Ddl d'un point dans le plan : 2 → Ddl d'un point dans l'espace : 3

z y y x Point dans le plan : 2 ddl

x Point dans l'espace : 3 ddl 8

Corps rigides Degrés de liberté d'un corps rigide • Exemples - Corps rigides : → ddl d'une porte avec charnière : 1 → dof d'un corps rigide dans le plan : 3 (2 position + 1 orientation) → dof d'un corps rigide dans l'espace : 6 (3 position + 3 orientation) θ

y

x Corps rigide dans le plan : 3 ddl

Corps rigide dans l’espace: 6 ddl

- ddl d'une personne marchant à la surface d'une sphère : 2 9

Corps rigides Mécanismes • Un mécanisme est un système qui comprend : 1. Corps rigides (liens) 2. Articulations (axes)

Articulation i Articulation i+1 Lien n-1 Lien n Lien 0

• Chaîne cinématique : structure articulée • Du point de vue mécanique, un robot est un mécanisme. 10

Corps rigides Mécanismes • Types de mécanismes a) Mécanismes à chaîne fermée • Ils ont des boucles (fermées) • Exemples: • Mécanisme à 4-bar • Robots Parallèles

Robot parallèle Delta [ABB IRB 340 Flex Picker]

Mécanisme à 4-barres

Two 4-bar linkage mechanisms at the end effector https://youtu.be/jkaBeuQTEo0

11

Corps rigides Mécanismes

• Types de mécanismes b) Mécanismes à chaîne ouverte • Ils n'ont pas de boucle • Structure: “série” de lien-articulation • Exemples: - Tous les robots série

lien

UR5 robot

ABB IRB2400 12

Articulations • Ce sont des connexions entre 2 liens (corps rigides)

Articulation

lien

lien

• Fonction: • Ils contraignent le mouvement d'un lien par rapport à un autre lien

(réduisant le nombre de

degrés de liberté du corps rigide)

• Ils offrent la liberté de mouvement d'un lien (par rapport à un autre lien)

• Degré de liberté d'une articulation : • Chaque mouvement indépendant (d'un lien par rapport à un autre) qu'une articulation permet

• En général, le DDL d'un robot dépend du nombre de maillons et de joints (formule de Grübler) (Grübler’s formula)

Articulations Types d’articulations (Joints) Les bras du robot peuvent être formés de trois types d’articulations :  Articulations prismatiques (P) ;  Articulations rotoïde (R) ;

 Articulations à rotule. 

Articulations prismatiques



Articulations Pivot



Articulations à rotule

Trois liaisons pivots remplace l’articulation rotule

Articulations Articulations les plus utilisés en robotique a) Articulation prismatique (glissière) (P) Permet la traduction d'un lien sur un axe fixe

→ Fournit 1 ddl pour le mouvement → Fournit 5 contraintes au mouvement spatial

b) Articulation révolution (pivot) (R) Permet la rotation d'un lien autour d'un axe fixe → Fournit 1 ddl pour le mouvement → Fournit 5 contraintes au mouvement spatial

Articulations Autres Articulations en robotique

• Articulation Hélicoïdale (H) - Il est également connu comme “vis” (vis) - Permet un mouvement de rotation et de translation simultanés (mais dépendants) autour d’un axe fixe. → Fournir 1 ddl pour le mouvement de l'espace (prévoir 5 restrictions)

• Articulation Cylindrique (Pivot glissante) (C) - Permet une rotation et une translation indépendantes autour d'un axe fixe → Fournir 2 ddl pour le mouvement de l'espace (prévoir 4 restrictions)

16

Articulations Autres Articulations en robotique • Articulation Universelle (Cardon) (U) - Se compose de 2 articulations pivot telles que leurs axes sont orthogonaux → Fournit 2 ddl pour le mouvement de l'espace (4 restrictions)

• Articulation Sphérique (Rotule) (S) - C'est comme une balle et une douille → Fournit 3 ddl pour le mouvement de l'espace (3 restrictions)

• Articulation Rotule à doigt → Fournit 2 ddl pour le mouvement de l'espace (4 restrictions) [Imágenes de mathworks.com] 17

Articulations Certains robots en fonction de leurs articulations Robot Cartésien

P-P-P

Seuls les articulations prismatiques

Robot Cylindrique

R-P-P

Articulations prismatiques et 1 de révolution

Articulations Certains robots en fonction de leurs articulations Robot Sphérique

Robot Anthropomorphique Robot Polaire

R-R-P R-R-R

Articulations Certains robots en fonction de leurs articulations Robot SCARA R-R-P

Robots Parallèles

Rappels : Théorie des mécanismes

Rappels théorie des mécanismes Introduction La conception d'un mécanisme ou d’un robot en vue de sa réalisation industrielle comporte plusieurs étapes. Avant d'aboutir à la maquette numérique du produit définitif, il est nécessaire d'effectuer une analyse de la théorie des mécanismes, qui s'appuie sur une représentation du réel appelée Modélisation : schémas des liaisons, analyse géométrique, cinématique et statique de ce mécanisme. Afin d'optimiser le fonctionnement, la forme des éléments, le choix des matériaux... Ceci suppose une connaissance, ou du moins une appréciation aussi exacte que possible des mouvements, forces, accélérations, chocs... auxquels sont soumis les éléments qui composent l'ensemble du mécanisme. Cette étude s'appuie sur une représentation du réel appelée Modélisation : schémas des liaisons, représentation vectorielle des forces, vitesses, accélérations...

Rappels théorie des mécanismes Définitions préliminaires 







On appelle pièce tout sous-ensemble rigide faisant partie d'un mécanisme ou d'une structure, quelle que soit sa réalisation. Une liaison résulte de la mise en contact de deux pièces par l'intermédiaire de surfaces fonctionnelles appropriées. Les mécanismes et les structures résultent de l'agencement d'éléments rigides liés les uns aux autres ; ils comportent donc un nombre entier de pièces et un autre nombre entier, généralement différent, de liaisons. Dans un mécanisme formé de n+1 pièces, on appelle généralement socle ou bâti celle qui sert de référence pour étudier, par la statique ou la cinématique, le comportement des n autres pièces.

Rappels théorie des mécanismes Définitions préliminaires Caractéristiques géométriques des contacts : Contact ponctuel

Contact linéaire

Figure 1 Type de contact entre deux solides

Contact surfacique

Rappels théorie des mécanismes Définitions préliminaires LES LIAISONS MECANIQUES ELEMENTAIRES

Rappels théorie des mécanismes Définitions préliminaires LES LIAISONS MECANIQUES ELEMENTAIRES

Rappels théorie des mécanismes Schéma cinématique Le schéma cinématique doit permettre la compréhension des différents mouvements des mécanismes. Pour établir ce schéma, il faut : •

A partir du plan d’ensemble, déterminer les classes d’équivalences cinématique (groupes de pièces liées entre elles par encastrement) . Choisir un repère par solide

•

Analyser les liaisons et la nature des surfaces en contact

•

•

4

Positionner les liaisons schématisées selon l’orientation qu’elles ont sur le dessin d’ensemble. Paramétrer la position angulaire des différents solides.

z

z

4 3

3 3 2 y

y 1

x

1

x

3D 2D Figure 5. Schémas cinématique d’un robot cartésien

Rappels théorie des mécanismes Graphe des liaisons Dans le graphe des liaisons, les classes d’équivalence cinématiques sont représentées par des nœuds. Les liaisons sont représentées par des arcs. Son but est d’analyser la structure du mécanisme.

Le graph des liaisons, ou graph de structure, est un outil indispensable pour la modélisation des mécanismes ou robots. Il permet d’élaborer des stratégies de résolution des systèmés.

On définit 3 types de graphes caractéristiques:

Chaîne ouverte Liaisons en séries

Chaîne ouverte (Liaisons en parallèles) Figure 6. Graphe des liaisons

Chaîne complexe

Rappels théorie des mécanismes Graphe des liaisons

Exemple de chaîne ouverte continue : Figure 7. Robot Ericc 3

Exemple de chaîne fermée simple : Figure 8. Vérin électrique

Exemple de chaîne fermée complexe : Figure 9. Positionneur 6 axes

Rappels théorie des mécanismes Exemples de représentations schématiques

Spong et al. Robot Modeling and Control (2006)

J. Craig. Introduction to Robotics (2005)

B. Siciliano. Robotics, Modeling, Planning and Control (2009) 30

Éléments d'un robot Configuration d’un Robot • C'est la spécification complète du point de chaque point du robot

• C'est la spécification complète de la position et de l'orientation de chaque corps rigide (lien) du robot • Exemple : Configuration d'un robot 2R - La configuration de chaque lien est spécifiée à l'aide de 6 paramètres - Chaque articulation impose 5 contraintes sur chaque lien. 5 constraints

- Total: • La configuration complète d'un lien est spécifiée avec seulement 1 paramètre

5 contraints

• La configuration complète d'un robot est spécifiée avec 2 paramètres

Degrés de mobilité (m) d'un Robot • C'est le nombre minimum de coordonnées nécessaires indépendantes) pour représenter la configuration d'un robot

(coordonnées

• En général : ddl = (Σ liberté de chaque lien) – (contraintes indépendantes)

• Exemples

4 ddl

6 ddl

7 ddl

30 ddl

Un robot est caractérisé par le nombre total de degrés de liberté qu'il possède (exemple: robot à 6 ddl, robot à 7 ddl, …)

Formule de Grübler • Aussi connu sous le nom de : La formule de Chebychev-Grübler-Kutzbach • Elle permet de déterminer le nombre de degrés de liberté cinématique (mécanisme à maillons et articulations)

(“mobilité”)

d'une chaîne

Combien de degrés de liberté y a-t-il?

• Elle n'est valable que si toutes les contraintes sont indépendantes (si 1 contrainte n'est pas indépendante, elle fournit une limite inférieure pour le nombre de DOF)

Formule de Grübler • Composantes : • • • • •

Nl : nombre de liens (le “Bâti” est également considéré comme un lien) Nj: nombre d’articulations  : nombre de degré de liberté d'un lien (3 pour le cas plan, 6 pour le cas espace) fk : nombre de libertés (ddl) de l’articulation k ck : nombre de contraintes que l’articulation k impose (fk + ck = ) 𝑁𝑗

• formule de Grübler :

𝑁𝑗

𝑚 =  𝑁𝑙 − 1 − Ddl du lien

𝑐𝑘 =  𝑁𝑙 − 1 − 𝑘=1

Contraintes articulaires

𝑵𝒋

𝒎 =  𝑵𝒍 − 𝑵𝒋 − 𝟏 +

𝑘=1 𝑁𝑗

=  𝑁𝑙 − 1 − 𝑁𝑗 +

𝑓𝑘 𝑘=1

𝒇𝒌 𝒌=𝟏

 − 𝑓𝑘

Formule de Grübler Exemples • Déterminer le nombre de degrés de liberté pour les mécanismes suivants : 1 ddl

1 ddl

4 ddl

2 ddl

[Images from Lynch and Park, Modern Robotics 2017]

35

Formule de Grübler Exemples • Déterminer le nombre de degrés de liberté pour les mécanismes suivants :

1 ddl 1 ddl

3 ddl

[Images from Lynch and Park, Modern Robotics 2017]

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Modélisation de la chaine cinématique du robot

Description des chaînes cinématiques simples et ouvertes o Seules les deux liaisons simples utilisées : Pivot et Glissière

o Description effectuée à partir de la base du manipulateur (bâti 0) o Chaque solide Si est attaché à Si-1 par la paire cinématique Li et au solide Si+1 par la paire Li+1

Modélisation de Bras du robot 1. Le bras mécanique (Le bras du robot) Le bras du robot effectue des mouvements dans l'espace en transférant des objets et des outils d'un point à un autre, chargé par le contrôleur et informé de l'environnement par des capteurs. Au bout du bras se trouve un actionneur utilisé par le robot pour effectuer ses tâches. •

Chaque bras de robot est composé d’une série de liens et d’articulations, l’articulation reliant deux liens permettant le mouvement relatif entre elles,

•

Chaque robot a une base fixe et le premier lien est attaché à cette base

•

La mobilité des robots dépend du nombre de liens et d'articulations dont ils disposent.

Modélisation de Bras du robot 2. Types d’articulations (Joints) Les bras du robot peuvent être formés de trois types d’articulations :  Articulations prismatiques (P) ;

 Articulations rotoïde (R) ;  Articulations à rotule. 

Articulations prismatiques



Articulations Pivot



Articulations à rotule

Trois liaisons pivots remplace l’articulation rotule

Configuration d’un robot industriel 1- Configuration de type cartésien (PPP), (X Y Z) comporte trois articulations prismatiques (PPP) Trois translations dont les axes de mouvement coïncident avec le système de coordonnées de référence cartésien (X, Y, Z)

Structure d'un robot cartésien

Avantages :  3 axes linéaires  Facile à visualiser  Structure rigide  Facile à programmer hors ligne

Inconvénients : o Ne peut atteindre que devant lui-même o Nécessite un grand espace au sol pour la zone de travail o Les axes sont difficiles à joigne ensemble

Volume de travail du robot cartésien

Configuration d’un robot industriel 2-Configuration de cylindrique (RPP), (θ r Z) Structure d’un robot cylindrique Les axes de mouvement peuvent être décrits dans le système de coordonnées de référence cylindrique Avantages :

 2 axes linéaires, 1 'axe de rotation  Peut atteindre tout autour de lui-même  Portée et hauteur des axes rigides Inconvénients :

o o o

Ne peut pas atteindre au-dessus de lui-même L'axe de rotation de la base est moins rigide qu'un axe linéaire Ne sera pas atteindre les obstacles

Volume de travail du robot cylindrique

Configuration d’un robot industriel 3- Configuration de type sphérique (RRP), (θ β Z)

Dans cette configuration, les axes de mouvement forment un système de coordonnées de référence polaires

Structure d'un robot sphérique

Avantages :

 1 axe linéaire, 2 axes de rotation  Longue portée horizontale Inconvénients :

o Ne peut pas contourner les obstacles o Généralement une portée verticale courte

Volume de travail du robot sphérique

Configuration d’un robot industriel 4- Configuration de type sphérique (RRP ou PRR), (θ φ Z) Structure d'un robot SCARA comporte deux articulations pivot (R) disposées en parallèle Avantages :

    

1 axe linéaire, 2 axes de rotation L'axe de la hauteur est rigide Grand espace de travail Peut atteindre les obstacles Deux façons d'atteindre un point

Inconvénients :

o Difficile de programmer hors ligne o Bras très complexe

Volume de travail du robot SCARA

Configuration d’un robot industriel 5- Configuration de type révolution (RRR), (θ β α)

manipulateur articulé qui ressemble à un bras avec au moins trois articulations pivot.

Structure d'un robot articulé

Avantages :

   

3 axes de rotation, Peut atteindre au-dessus ou au-dessous des obstacles Plus grand espace de travail pour moins d'espace de travail Deux ou quatre façons d'atteindre un point

Inconvénients :

o Difficile de programmer hors ligne o Bras très complexe

Volume de travail du robot articulé

Configuration d’un robot industriel 6- Configuration de type parallèle (RRR), (θ β α)

Configuration de type de plate-forme - mécanismes sous la forme d'une chaîne cinématique fermée.

Avantages :

 Les moteurs peuvent être proximaux :  bande passante plus élevée,  plus facile à contrôler Inconvénients :

o Généralement moins de mouvement o la cinématique peut être difficile

Structure d'un robot parallèle

Mobilité d’un mécanisme et robot  Dans une chaîne cinématique ouverte, chaque articulation rotoïde ou prismatique, donne au système un seul DDL,  Dans une chaîne cinématique fermée, le nombre de DDL est inférieur au nombre d’articulations, compte tenu des contraintes imposées par la boucle.

Chaîne ouverte 3 DDL

Chaîne fermée 1 DDL

Degrés de mobilité (m) Nombre de degrés de mobilité d'un robot Manipulateur - est le nombre de variables de position indépendantes qui devront être spécifiées pour localiser toutes les parties du robot habituellement le nombre de joints est égal au nombre de degrés de liberté.

Mobilité d’un mécanisme et robot La mobilité du mécanisme est obtenue à partir de l’équation de Grübler -Tchebychev-Kutzbach :

 Pour un mécanisme spatial : λ = 6

𝐦 = λ 𝒏 − 𝒏𝒋 − 𝟏 +

𝒏𝒋 𝒇 𝒊=𝟏 𝒊

 Pour un mécanisme plan : λ = 3 où : m : Nombre de degrés de mobilité

𝒏 : Nombre total des corps (y compris le Bâti) 𝒏𝒋 : Nombre total de liaisons (articulation) j (avec et sans moteurs) 𝒇𝒊 : degré de liaisons i

(1)

Mobilité d’un mécanisme et d’un robot Exemple : D’après l’équation de Grübler -Tchebychev-Kutzbach , trouver le degré de mobilité m de ces robots.

Modélisation de la chaine cinématique du robot Chaîne simple ouverte (en série)

Une chaîne cinématique simple ouverte est une succession de solides placés en série et liés entre eux un à un par des liaisons simples. Autrement dit lorsque une n-pièce est liée par l’intermédiaire de n-1 pièces placées en série et si : n-1 pièces sont liées entre eux par des liaisons simples alors ces n pièces et n liaisons constituent une chaîne cinématique simple ouverte ou des liaisons en série.

Exemples : 2ddl

2ddl

1ddl

4ddl

4ddl

3ddl

Modélisation de la chaine cinématique du robot Etude cinématique des chaînes simples ouvertes (en séries) Soit les deux repères : 𝑅0 (O,𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) est lié au bâti fixe (0), O est le centre de la liaison 𝐿10 𝑅1 (O,𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) est lié à la pièce (1), A est le centre de la liaison 𝐿12 Pour effectuer l’étude cinématique on applique la loi de la composition des mouvements 𝒏

{Tc(i/i-1)} = {Tceq(n/0)} . 𝒊=𝟏

{Tc(n/n-1)} + {Tc(n-1/n-2)} + … + {Tc(2/1)} + {Tc(1/0)} = {Tceq(n/0)}

(2)

Modélisation de la chaine cinématique du robot Etude da la mobilité de la chaîne 1. La mobilité cinématique :

𝒅𝒄 =

𝒏 𝒊=𝟏 𝒏𝒄𝒊

= 𝑵𝒄

(3)

2. La mobilité interne 𝒅𝒄𝒊 : Elle est égale aux degrés de liberté qui existent entre les différentes pièces de la chaîne lorsque la pièce n est immobilisée par rapport au bâti 0. 3. La mobilité utile 𝒅𝒄𝒖 : 𝒆𝒒

Elle est égale au nombre de composantes non nuls du 𝑻𝒄

𝐧/𝟎

trouver par l’étude cinématique.

Relation entre les mobilités cinématiques

𝒅𝒄 = 𝒅𝒄𝒊 + 𝒅𝒄𝒖

(4)

Schéma cinématique d’un robot Pour tracer le schéma cinématique de ce robot, suivez les étapes suivantes:

3

2

1

4

5

0 0

Schéma cinématique

Exemple Soit le schéma cinématique de la chaîne simple ouverte constituée de trois solides 1, 2 et 3 plus le bâti 0, le R(A,x,y,z) un repère définit au point A, on définit les liaisons suivantes : L10 : Liaison glissière d’axe 𝑨𝒙 ; L12 : Liaison glissière d’axe 𝑩𝒛 ; L23 : Liaison pivot d’axe 𝑪𝒚,

y

2

x 3 𝐶 𝐴 1

𝐵

0

On donne : 𝑨𝑩=a.𝒛 et 𝑩𝑪 = 𝒃. 𝒚 1. Ecrire les torseurs cinématiques associés aux trois liaisons, 2. Trouver le torseur cinématique équivalent, 3. Quelle est la nature géométrique de la liaison équivalente ? 4. En déduire le degré de mobilité (utile et interne) de la chaîne continue ouverte.

z

Solution 1) les torseurs cinématiques associés 0 𝑢10 0 0 0 0 {Tc(1/0}A = 0 0 0 {Tceq(2/1}B = 0 Tc(3/2}C = 𝛽32 0 ……………………..…...…………………………………………………………………………………… 0 0 𝐴 0 𝑤21 𝐵 0 0𝐴 nc1=1 nc2=1 ……………………..…...…………………………………………………………………………………… nc3=1

2) le torseur cinématique équivalent (au point 𝐴) On suppose que le torseur cinématique équivalent au point A est de forme: 30 𝑢30 ……………………..…...…………………………………………………………………………………… {Tceq(3/0}A = 𝛽30 𝑣30 𝛾30 𝑤30 𝐴 La loi de composition de mouvement

{Tceq(3/0)}A = {Tc(3/2)}A + {Tc(2/1)}A + {Tc(1/0)}A

……………………..…...……………………………………………………………………………………

Solution L’inventaire (changement de centre de réduction) du torseur -……………………..…...………………………………………………………………………………………… Concernant le point B, l’inventaire du torseur {Tc(2/1}B au point A Le vecteur de déplacement : V(2/1)A = V(2/1)B + 𝐴𝐵 Ω(2/1)B = ? ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 0 0 0 0 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 𝐴𝐵 Ω 2 1 = 0 0 = 0 𝐴𝐵 = 𝑎𝑧 = 0 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 𝑎 0 0 𝑎 0 0 D’où l’inventaire du torseur {Tc(2/1}A au point A est : {Tc(2/1)}A = 0 0 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 0 𝑤21 𝐴 - ……………………..…...………………………………………………………………………………………… Concernant le point C, l’inventaire du torseur {Tc(3/2}B au point A ……………………..…...………………………………………………………………………………………… V(3/2)A = V(3/2)C + 𝐴𝐶 Ω(3/2)C = ? ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 0 0 0 −𝑎𝛽32 On a : d’où : 𝐴𝐶 Ω 3 2 = 𝑏 𝛽32 = 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝑎𝑧 + 𝑏𝑦 = 𝑏 0 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 𝑎 𝑎 0 0 D’où l’inventaire du torseur {Tc(3/2}C au point A est : ……………………..…...…………………………………………………………………………… 0 −𝑎𝛽32 {Tc(3/2)}A = 𝛽32 0 ……………………..…...…………………………………………………………………………… 0 0 𝐴

Solution ……………………..…...………………………………………………………………………………………… D’après la loi de composition de mouvement devient : {Tceq(3/0)}A = {Tc(3/2)}A + {Tc(2/1)}A + {Tc(1/0)}A ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 30 𝑢30 0 0 0 −𝑎𝛽32 0 𝑢10 0 {Tceq(3/0)}A = 𝛽30 𝑣30 = 0 0 + 0 + 𝛽32 0 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 𝛾30 𝑤30 𝐴 0 𝑤21 𝐴 0 0 𝐴 0 0 𝐴 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… ……………………..…...………………………………………………………………………………………… Qui peut s’écrit sous forme de six équations: 0 + 0 = 30 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 𝛽32 = 𝛽30 0 𝑢30 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 0 = 𝛾30 0 {Tceq(3/0)}O = 𝛽30 ⇒ 𝑑𝑐𝑢 = 3 ⇒ 𝑢10 − 𝑎𝛽32 = 𝑢30 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 0 𝑤30 𝑂 0 = 𝑣30 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 𝑤21 = 𝑤30

……………………..…...…………………………………………………………………………… 3. la nature de la liaison équivalente ……………………..…...…………………………………………………………………………… Le torseur précédent représente une liaison linéaire annulaire d’axe 𝑂𝑥

Solution 4. degrés de mobilité ……………………..…...………………………………………………………………………………………… Degré de mobilité cinématique : ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 𝑛 𝑑𝑐 = 𝑛𝑐𝑖 = 𝑁𝑐 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 𝑖=1

……………………..…...………………………………………………………………………………………… 𝒅𝒄 = 1 + 1 + 1 = 3 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 𝑑𝑐𝑢 = 3 La mobilité utile : 𝑑𝑐𝑢 = ……………… ……………………..…...………………………………………………………………………………………… 𝑑𝑐𝑖 = 𝑑𝑐 − 𝑑𝑐𝑢 = 0 ……………………..…...………………………………………………………………………………………… La mobilité interne : 𝑑𝑐𝑖 = ……………… ……………………..…...…………………………………………………………………………………………

……………………..…...……………………………………………………………………………

……………………..…...……………………………………………………………………………

Fin du cours