Chapitre 4. Notion de Provision Mathématique [PDF]

Zitiervorschau

Assurance vie Chapitre 4. Notion de provision mathématique

EL ATTAR Abderrahim

14/05/2021 14/05/2021

- Bases d’Actuariat de l'Assurance Assurance vie non-vie

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Assurance vie Chapitre 4. Notion de provision mathématique Contenu I. Notion de provision mathématique 1. Définition d’une provision mathématique 2. Exemple II. Zillmérisation de provision mathématique 1. Calcul de la prime annuelle pure 2. Calcul de la prime annuelle d’inventaire 3. Calcul de la prime annuelle commerciale

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Assurance vie Chapitre 4. Notion de provision mathématique I. Notion de provision mathématique Les provisions mathématiques (PM) représentent la dette probable de l’assureur vis-àvis des assurés qui permet de réaliser un équilibre entre les engagements respectifs de l’assureur et de l’assuré. Exemple : contrat à prime unique. Dès que l’assuré a payé la prime, un déséquilibre s’installe : l’engagement de l’assuré pour la durée résiduelle du contrat devient inférieur à l’engagement de l’assureur

pendant toute la durée du contrat. Après la souscription, l’assureur a donc une dette probable vis-à-vis de l’assuré supérieure à sa créance de primes. Il inscrit donc au passif de son bilan une somme représentative de sa dette nette : c’est la provision mathématique.

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Assurance vie Chapitre 4. Notion de provision mathématique I. Notion de provision mathématique 1. Définition d’une provision mathématique « la provision mathématique (PM) est définie à l’article R. 331-3 du Code des assurances : comme la « différence entre les valeurs actuelles des engagements respectivement pris par

l'assureur et par les assurés ».  la différence doit être calculée non sur les valeurs actuelles mais sur les valeurs actuelles probables.  Les PM sont donc calculées comme la différence entre la VAP des engagements de l’assureur (paiement des prestations futures et frais associés) et la VAP des engagements de l’assuré (paiement des primes futures).

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Assurance vie Chapitre 4. Notion de provision mathématique I. Notion de provision mathématique 2. Exemple  Capital différé avec contre-assurance en cas de décès

Moyennant le paiement à terme anticipé de m primes annuelles P , l’assureur s’engage à verser à , t  n, n  m , un capital C si l’assuré est toujours en vie. t  n,  n  m 



Si l’assuré décède entre, t  0 et t  n , le même capital C est versé à ses ayants droits à l’époque du décès.



On considère par ailleurs que l’assureur verse chaque année les sommes suivantes : -  P au titre des frais commerciaux dont     P pour les frais d’acquisition ; -  P pour les frais d’encaissement ; - g1C par année de paiement des primes (quittancement, etc.) ; - g 2C par année de durée du contrat (frais informatique, etc.).

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Assurance vie Chapitre 4. Notion de provision mathématique I. Notion de provision mathématique 2. Exemple Rappels :  Pour la tarification, on se place à

t  0 , la date de souscription.

 Pour le calcul des provisions mathématiques, on se place à une époque quelconque

t  k de la vie du contrat, en fin d’exercice. PM  k   VAP assureur  k   VAP assuré  k  Pour déterminer la prime annuelle pure : VAP assureur  0   VAP assuré  0  m ax  P 



Prime annuelle commerciale :

 P 

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

n E x  n Ax .C

1 m a x  1   



n Ex

 P

1 m ax



n Ex



 n Ax .C



 n Ax  m ax  g1  n ax  g 2 .C

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Assurance vie Chapitre 4. Notion de provision mathématique I. Notion de provision mathématique 2. Exemple On se place désormais à un moment k pour le calcul de la PM.  Du côté de l’assuré : La VAP des engagements de l’assuré à p 1

VAP

assuré

 k   P i k

km

est donc :

Dx i D D D  P x  k  P x  k 1  ...  P x  m 1 Dx  k Dx  k Dx  k Dx  k

N x  k  N  x  k  m  k  N xk  N xm  P  P  mk ax  k P Dx  k Dx  k Si

km

, il n’y a plus d’engagement de l’assuré.

 Du côté de l’assureur : On se place également à un moment k pour déterminer la VAP des engagements de l’assureur à t = k :

VAP assureur  k  



nk Ex  k



nk



Ax  k C 

nk ax  k

 g 2C 

mk ax k

 g1C 

mk ax  k

  P

 0 si k  m

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Assurance vie Chapitre 4. Notion de provision mathématique I. Notion de provision mathématique 2. Exemple Calcul de la PM :

PM  k   VAP assureur  k   VAP assuré  k   PM  k  



nk

Ex  k 

nk



Ax  k C 

nk ax  k

 g 2C  mk ax  k  g1C 

mk ax k

  P 

mk ax  k

VAP assuré  k 

VAP assureur  k 

  si k  m PM  k  



nk Ex  k

PM  k  



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nk Ex  k





nk

Ax  k  nk ax  k  g 2  mk ax  k  g1 C 



nk

Ax  k  nk ax  k  g 2 C

 si k  m

 P

mk ax  k

 1    P



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Assurance vie Chapitre 4. Notion de provision mathématique II. Zillmérisation de provision mathématique  Lors de la souscription d’un contrat d’assurance à primes périodiques, les frais d’acquisition supportés par l’assureur sont parfois très élevés, il semble donc nécessaire d’amortir ces frais sur plusieurs années pendant la durée des paiements de primes au maximum.  Ce constat conduit donc à choisir une modalité de calcul spécifique de la

provision : la zillmérisation. Adoptée en France depuis 1982, elle est devenue obligatoire en 1983 pour les contrats à primes périodiques.  La zillmérisation permet à l’assureur de faire face à une perte si l’assuré vient à

racheter son contrat prématurément. Sur le plan financier, elle a un impact immédiat dans le sens où elle conduit à réduire le niveau des charges de dotations aux provisions mathématiques.

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Assurance vie Chapitre 4. Notion de provision mathématique II. Zillmérisation de provision mathématique Zillmériser les PM consiste à ne pas tenir compte du chargement d’acquisition dans la valeur actuelle probable des engagements de l’assureur. la formule de la provision mathématique zillmérisée s’écrit : PM zillmérisée = PM non zillmérisée – VAP (des chargements d’acquisition sur les primes périodiques futures). Le chargement d’acquisition dans la valeur actuelle probable des engagements de l’assureur est :     P PM zillmérisée devient, lorsque k  m : PM  k  

On pose



nk

Ex  k 

nk

X





Ax  k C 

nk ax  k

 g 2C  mk ax  k  g1C 

VAP assureur  k 

nk

Ex  k 

nk

mk ax  k



  P 

mk a x  k

 P

VAP assuré  k 

Ax  k  mk ax  k  g1  nk ax  k  g 2 C  mk ax  k  P

 PM  k   X  mk ax  k         P 14/05/2021

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Assurance vie Chapitre 4. Notion de provision mathématique II. Zillmérisation de provision mathématique  PM  k   X  mk ax  k  P  mk ax  k      P

Le PM zillmérisée PM zillmérisée = PM non zillmérisée – VAP (des chargements d’acquisition sur les primes périodiques futures). PM z  k   X  mk ax  k  P  mk ax  k      P  mk ax  k      P  X  mk ax  k  P

  

  g C 

nk

Ex  k 

nk

Ax  k  mk ax  k  g1  nk ax  k  g 2 C  mk ax  k  P  mk ax  k   P

nk

Ex  k 

nk

Ax  k  mk ax  k  g1  nk ax  k

2

m  k ax  k

1     P

On remarque que : PM  k   PM z  k   mk ax  k      P Soit 14/05/2021

PM z  k   PM  k   mk ax  k      P Assurance vie

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