Chapitre 4 - Dynamique Des Systèmes Continus [PDF]

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Chapitre 4

ANALYSES DES SYSTEMES A MASSE ET ELASTICITE REPARTIES EN VIBRATION LIBRES ET FORCEES (VIBRATIONS DES POUTRES DROITES )

4.1 Introduction 4.2 Vibrations longitudinales des barres 4.3 Vibrations de torsion des poutres 4.4 Vibrations transversales (de flexion) des poutres 4.5 Exemples d’application

4.1 INTRODUCTION Dans les chapitres précédents nous nous sommes intéressés à l'étude des vibrations libres, ou forcées, de systèmes possédant un nombre fini de degrés de liberté. On a montré que la réduction d'un système quelconque à un système possédant un nombre fini de degrés de liberté constituait une formulation pratique Cette modélisation ne conduit cependant qu'à une solution approchée de la réponse dynamique du système dont la précision peut être accrue en augmentant le nombre de degrés de liberté. Cependant, un nombre très grand de degrés de liberté est nécessaire pour la modélisation d'un système possédant des propriétés de masse ou de rigidité réparties.

La formulation mathématique de l'équation d'équilibre dynamique d'un système de rigidité et masse réparties conduit à des équations différentielles aux dérivées partielles, du second ordre, dont les variables indépendantes sont constituées de la position du point x, représentée par ses coordonnées dans le référentiel choisi, et du temps t.

4.2 Vibrations longitudinales des poutres Les hypothèses: • Le système est constitué d'une poutre droite dont la ligne moyenne est définie par un axe x-x • Les déformations restent petites • Les sections droites des poutres restent droites au cours de la déformation (hypothèse de Navier-Bernoulli).

4.2 Vibrations longitudinales des barres Equilibre axial d’un élément poutre

L’équilibre des forces axiales exerçant sur un tronçon de poutre s’écrit :

En introduisant les équations d’élasticité :

d’où

A titre indicatif, on retiendra les valeurs de célérité des ondes dans des matériaux de construction courants : • acier c = 5200 m/s

• béton c = 3600 m/s L’équation (9) est une équation différentielle à variables séparable et admet comme solution: u(x,t) = U(x)sin(ωt+α)

(11)

En substituant dans l’équation (9) on obtient :

qui admet comme solution l’expression suivante :

Les constantes d'intégration B1 et B2 sont déterminées par les conditions aux limites.

Remarque: l’équation différentielles et la solution sont indépendantes de l’aire de la section de la poutre.

- Cas d’une poutre doublement encastrée : Les conditions aux limites de la poutre de la figure ci-dessous sont données par : U(0) = 0 et U(l) = 0

Ces conditions imposent que :

Les constantes Bn et αn peuvent être obtenues des conditions initiales.

- Cas d’une console :

Les conditions aux limites de la poutre en console sont données par :

Les pulsations propres sont obtenues par :

Les modes propres associés sont donnés par :

La solution complète est donnée par :

A titre d’illustration on suppose que la console est soumise à un déplacement u 0 à l’extrémité libre et relâchée de cette position à l’instant t=0.

Les conditions initiales dans ce cas :

De cette dernière condition on a :

De la première condition on a :

Multiplions par sin[(2j-1)x/2l] et intégrons par rapport à x de 0 à l :

En intégrant par parties :

Ainsi pour ces conditions initiales, la solution complète est donnée par:

Cas d’une poutre libre – libre:

Exemple:

Donner les fréquences et les déformées des premiers modes lorsque M>>Sρl et M