Chapitre 3. Modélisation Des Risques Assurantiels [PDF]

Zitiervorschau

Assurance non-vie Chapitre 3. Modélisation des risques assurantiels

EL ATTAR Abderrahim

02/12/2020 02/12/2020

- BasesActuariat d’Actuariatde del'Assurance l'Assurance non-vie non-vie

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.1. Lois usuelles modélisant le nombre de sinistres :  Loi de Poisson  Loi Binomiale  Loi Binomiale négative 3.2. Lois usuelles modélisant les charges des sinistres :     

Loi Exponentielle Loi de Pareto Loi de Weibull Loi Log-normale Loi Gamma

3.3. Modélisation de la charge totale des sinistres    

Modèle individuel Modèle collectif Lois composées Lois de Poisson composée et mélange composée

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.1. Lois usuelles modélisant le nombre de sinistres 3.1.1. Loi de Poisson La loi de Poisson de paramètre   0 notée P    est la loi d’une

variable X

à valeurs entières telle que : P X  k  e



 

k

k!

, k 0

C'est la probabilité qu'il existe exactement occurrences (étant un entier naturel, k  0,1, 2 ). o L’espérance et la variance de la loi de Poisson sont égales. E  X   Var  X   

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.1. Lois usuelles modélisant le nombre de sinistres 3.1.1. Loi de Poisson o La fonction génératrice des moments d'une loi de Poisson est :





M X  t   E  etX   exp   et  1 .

o Théorème : stabilité de la loi de Poisson par la somme. Si X ~ P    et Y ~ P    sont indépendantes, alors

X  Y ~ P    

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.1. Lois usuelles modélisant le nombre de sinistres 3.1.2. Loi binomiale On utilise principalement la loi binomiale dans la situation suivante : on a une répétition de n épreuves indépendantes suivant une épreuve de Bernoulli de paramètre n et

p.

L’épreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles : (soit existe un sinistre ou n’existe pas). Chacune de ces issues a une probabilité déterminée de survenir. La loi de probabilité associée à l’expérience est une loi de Bernoulli.

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.1. Lois usuelles modélisant le nombre de sinistres 3.1.2. Loi binomiale Soit  une variable aléatoire définie sur X représente le résultat d’une expérience aléatoire. On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n   * et p  0;1 lorsque :

X    0;1;...; n

k  0;1;...; n , P  X  k   Cnk p k (1- p ) n -k Noté parfois X ~ B  n; p 

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.1. Lois usuelles modélisant le nombre de sinistres 3.1.2. Loi binomiale Proposition : o L’espérance et la variance de la loi de binomiale sont égales respectivement : E  X   np et Var  X   np 1  p  o La fonction génératrice des moments d'une loi de binomiale est :

M X  t   E  etX    q  pet 

n

Théorème : stabilité additive de la loi binomiale Si X  B  m; p  et Y  B  n; p  avec X et Y sont indépendantes, alors

X  Y  B  n m; p  02/12/2020

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.1. Lois usuelles modélisant le nombre de sinistres 3.1.3. Loi binomiale négative La loi binomiale négative est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui comptabilise le nombre d'échecs nécessaires avant obtention de n succès, sachant que la probabilité d'un succès est p .

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.1. Lois usuelles modélisant le nombre de sinistres 3.1.3. Loi binomiale négative La loi de probabilité d'une variable aléatoire distribuée selon une binomiale négative de paramètres n et p , notée NegBin  n, p  , prend la forme suivante :

 k  n  1 n k P  X  k   f ( k ; n, p )    p q , pour  n 1 

k  0, 1, 2, ... avec

q  1 p

Le coefficient binomial est :

 k  n  1 (k  n  1)! n 1  c    n  k 1 n  1 k ! n  1 !   02/12/2020

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.1. Lois usuelles modélisant le nombre de sinistres 3.1.3. Loi binomiale négative Proposition : o L’espérance et la variance de la loi de binomiale négative sont égales respectivement :

 q EX   n   p

et

 q  Var  X    n 2   p 

o La fonction génératrice des moments d'une loi de Poisson est :

 p  M X  t   E  etX    t  1  qe  

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n

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.1. Lois usuelles modélisant le nombre de sinistres 3.1.3. Loi binomiale négative Théorème : somme de deux lois binomiales négatives La somme de deux lois binomiales négatives de paramètres respectifs et  n2 , p  est une loi binomiale négative de paramètre  n1  n2 , p  . Si

X  NegBin  n1 ; p 

et

 n1 , p 

Y  NegBin  n2 ; p 

avec X et Y indépendante, alors

X  Y  NegBin  n1  n2 , p 

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.2. Lois usuelles modélisant les charges des sinistres 3.2.1. Loi exponentielle On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre

 0

si elle admet pour densité de probabilité la fonction :

Notée X ~ Exp   

f x  x   e x , x  0

La fonction de répartition est donnée par :

FX  x   1  e x

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.2. Lois usuelles modélisant les charges des sinistres 3.2.1. Loi exponentielle Propositions : o L’espérance : E  X  

1



et la variance : Var  X  

1

2

.

o La fonction génératrice est donnée par :

  t    etx  

  t

,

t 

o La sommes de variables aléatoires exponentielles indépendantes est une variable aléatoire suit une loi Gamma . 02/12/2020

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.2. Lois usuelles modélisant les charges des sinistres 3.2.2. Loi de Pareto Une variable aléatoire X suit une loi de Pareto de paramètres  , x0 

* 

si

elle admet pour densité de probabilité la fonction :  ax0a  f X  x, a, x0    x a 1 si x  x0  0 si x0  x

Notée X

Pareto  a, x0 

La fonction de répartition est donnée par :

x  FX  x, x0 , a   1   0   x 02/12/2020

a

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x  x0  0

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.2. Lois usuelles modélisant les charges des sinistres 3.2.2. Loi de Pareto L’espérance et la variance de X sont données respectivement par :

ax E  X   0 , si a  1 et a 1



2

X  

ax02

 a  1  a  2  2

, si a  2

Remarques : o Cette loi ne prend des valeurs qu’au-delà d’un certain seuil pour les coûts de sinistres. o Utilisation fréquente en réassurance. o La fonction génératrice de la loi de Pareto est non définie pour les réels strictement positifs. 02/12/2020

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.2. Lois usuelles modélisant les charges des sinistres 3.2.3. Loi de Weibull Une variable aléatoire X suit une loi de Weibull de paramètres  ,  

* 

si elle admet pour densité de probabilité la fonction :

  x 1e   x  si x  0, fX  x   si x  0. 0 

Notée

X W  ,   .

La fonction de répartition est donnée par :

FX  x,  ,    1  e

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

  x 

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.2. Lois usuelles modélisant les charges des sinistres 3.2.3. Loi de Weibull L’espérance et la variance de X sont données respectivement par : EX  

1   1      1

et

 2 X  

2 1   2  1   E X       2     

 0

 désigne la fonction Gamma d'Euler définie par :  : x k La Fonction génératrice des moments : mX  k   E  X  

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t x 1 e t dt 

k   1   n    1

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.2. Lois usuelles modélisant les charges des sinistres 3.2.4. Loi log normale

Une variable aléatoire continue X est dite suivre une loi Log-normale de si la variable Y  ln  X  suit une loi Normale

paramètres  

et  

d'espérance  

et de variance  

Notée : Y

* 

* 

.

LogN (  ;  2 )

Elle admet alors pour densité de probabilité la fonction :

fY  x   Fonction de répartition :

1 x 2



e

1 2

2

 ln  x    2

, x

FY  x   FX  ln x  ; si x  0

où FX  x  est la fonction de répartition de la loi Normale. 02/12/2020

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.2. Lois usuelles modélisant les charges des sinistres 3.2.4. Loi log normale L’espérance et la variance de

E Y   e



Y sont données respectivement par :

2 2

et





 2 Y   e  1 e 2   2

2

Remarque : la fonction génératrice de la loi Log normale est non définie pour les réels strictement positifs. Particularités :

o Pas de sinistre à valeur négative ; o Plus adaptée à la modélisation des coûts de sinistres. 02/12/2020

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.2. Lois usuelles modélisant les charges des sinistres 3.2.5. Loi Gamma Une variable aléatoire X suit une loi Gamma ou eulérienne de paramètres

, 

* 

si elle admet pour densité de probabilité la fonction :

   x 1e   x si x  0, f X  x        si x  0. 0 Notée X

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GA  ,   .

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.2. Lois usuelles modélisant les charges des sinistres 3.2.5. Loi Gamma L’espérance et la variance de X sont données respectivement par : EX  

 

et

 2 X  

 2

La fonction génératrice des moments k

 x mX  k   E  X k   1   , x     Remarque : La loi GA 1,    ex    est la loi Exponentielle de paramètre  .

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.3. Modélisation de la charge totale des sinistres 3.3.1. Modèle individuel Soit X i , i  1,..., n  le montant cumulé des sinistres payé au ième risque, pour la période d’assurance.

Dans le modèle individuel, la charge totale de sinistres pour un portefeuille de n risques (n est non aléatoire) est donc n

Sind   X i i 1

Les X i sont indépendantes, i  1,..., n  , mais pas forcément de même loi.

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.3. Modélisation de la charge totale des sinistres 3.3.1. Modèle individuel

X i1,...,n : Variables aléatoires i.d, mais pas forcément de même loi. n: est non aléatoire

n

Sind   X i i 1

n

E  Sind    E  X i  et Var  Sind   i 1

n

Var  X  ( l’indépendance des sinistres) i 1

i

Gind  x   p  Sind  x   F1  F2 ....  Fn  x  Gind et Fi sont respectivement : la fonction de répartition de S ind et X i ,i  1,..., n Calcul de Gind où

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n

?

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.3. Modélisation de la charge totale des sinistres 3.3.2. Modèle collectif Le calcul direct de S ind

est assez difficile en général ou presque impossible,

alors le modèle individuel étant souvent difficile à utiliser numériquement. Le modèle collectif permet d’approximer le modèle individuel à cause de simplification de son calcul sous certaines conditions. Le modèle collectif permet d’approcher la loi de la charge total des sinistres. Dans ce modèle, le nombre de sinistres N des sinistres est considéré une

variable aléatoire dans

.

X i1,..., N  : Variables aléatoires i.i.d, de même loi. N : Variable aléatoire à valeur dans 02/12/2020

.

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.3. Modélisation de la charge totale des sinistres 3.3.3. Lois composées

X i1,..., N  : Variables aléatoires i.i.d, de même loi. L’espérance et la variance de la loi composée S 

N

X i 1

i

:

E  S   E  N  .E  X i 

Var  S   E  N  .Var  X i   Var  N  .E  X i 

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.3. Modélisation de la charge totale des sinistres 3.3.3. Lois composées Loi de Poisson composée

X i1,..., N  : Variables aléatoires i.i.d, de même loi. Cas discret :

N : Variable aléatoire suit la loi de Poisson de paramètre λ . E  S    E  X i  et Var  S    E  X i 2  Cas continu :

N  t  : Variable aléatoire suit un processus de Poisson de paramètre λ t. E  S  t    tE  X i  et Var  S  t    tE  X i 2 

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.3. Modélisation de la charge totale des sinistres 3.3.4. Lois de Poisson mélange La loi de Poisson modélise mal le nombre de sinistres d’un portefeuille en raison de l’hétérogénéité des assurés. Pour tenir compte de l’hétérogénéité du portefeuille, on peut considérer

que le nombre moyen de sinistres varie d’un assuré à l’autre. Il est alors une variable aléatoire  , avec



constante et E    1 .

Dans ce cas N suit la loi de poisson mélange, N

E  N    E   

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et

PM  , 

Var  N   Var      2Var   

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.3. Modélisation de la charge totale des sinistres 3.3.4. Lois de Poisson mélange Lois de Poisson mélange composée Si N suit la loi de poisson mélange, N PM  ,  et

 X i i 1,...,N

une suite de

variables aléatoires i.i.d, et indépendantes du N . N

La variable S   X i (avec S  0 si N  0 ), est modélisé par la loi de Poisson i 1

mélange composée de caractéristiques  , X i  .

o Espérance : E  S   E  N  .E  X i    E    .E  X i   .E  X i  o Variance : E  S   E  N  .Var  X i   Var  N  .E  X i 2  E    .Var  X i   Var    .E  X i   Var  X i    2Var    .E  X i  02/12/2020

2

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.3. Modélisation de la charge totale des sinistres 3.3.4. Méthodes d’approximation de la loi de S collective Il existe un certain nombre de techniques permettent d’approximer la loi de la charge globale de sinistres dans le modèle collectif : Les formules sur les moments, les transformées de Laplace et les fonctions

génératrices qui permettent d’ailleurs de retrouver les formules sur les moments par d’évirations successives. On a aussi Approximation normale, l’approximation d’Edgeworth, l’approximation Normal Power, la Fast

Fourier Transform (FFT) et l’approximation Gamma de Bowers. L'algorithme de Panjer qui permet de trouver, sous forme récursive, la fonction de probabilité de la variable aléatoire S coll 

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N

S i 1

i

.

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Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels 3.3. Modélisation de la charge totale des sinistres 3.3.4. Méthodes d’approximation de la loi de S collective  S  E S  x  E S     Approximation normale: FS  x   P  S  x   P   Var  S  Var  S  

La partie gauche de l’inégalité converge vers une loi normale centrée réduite (théorème central limite). La partie gauche de l’inégalité correspond au x  E N  E  Xi 



Var  N  E  X i   E  N  E  X   E  X i  2

2 i

2



( en utilisant la loi composée).

Alors la fonction de répartition de S est approximée par: FS  x 

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 x  E N E  Xi    2 2  Var  N  E  X i   E  N  E  X i2   E  X i  



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

     30

Chapitre 3. Modélisation des risques assuranciels Références : [1] Besson & Partrat (2004), Assurance non-vie: Modélisation, simulation, Collection : Assurance - Audit – Actuariat, Economica. [2] Charpentier (2014), Approches statistiques du risque, chapitre 3: Mesures de risque, Éditions Technip, Paris. [3] Denuit & Charpentier (2004), Mathématiques de l’assurance non vie, tome 1: Principes fondamentaux de théorie du risqué, Economica. [4] Frédéric PLANCHET, Assurance non-vie, Le modèle collectif, Support de cours 2003-2004 .

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