Chapitre 3 DSP [PDF]

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Chapitre 3 : Arithmétique à virgule fixe et à virgule flottante 3.1.

REPRESENTATION DES NOMBRES

Pour représenter les nombres fractionnaires il est nécessaire de définir la position de la virgule : pour ce faire, il existe deux méthodes.

3.2.

–

La représentation en virgule fixe.

–

La représentation en virgule flottante.

REPRESENTATION EN VIRGULE FIXE

La représentation polynomiale d’un nombre réelle signé est donnée par la forme suivante : 𝑛−2

𝑉 = −𝑏 𝑛−1 𝑆 + ∑ 𝑎𝑖 𝑏 𝑖 𝑖=−𝑚

Cette méthode consiste à diviser par ‘b’ autant de fois que cela est nécessaire pour obtenir un quotient nul. Ensuite on écrit les restes successifs dans l’ordre inverse de celui dans lequel ils ont été obtenus. Pour la partie fractionnaire on multiplie par b la partie fractionnaire si le résultat est un nombre plus grand ou égal à b-1 on garde la valeur sinon le résultat intermédiaire est nul. Partie entière : (𝑉)10 = 𝟏𝟎 ; (𝑉)2 = 1010 10 2 0 5 2 1 2 2 1 0 2 0 1

On retranche ensuite la valeur gardée à la partie fractionnaire restante et on recommence autant de fois qu’il faut pour obtenir la précision demandée. Partie fractionnaire : (𝑉)10 = 𝟎. 𝟒 ; (𝑉)2 = 0110 … 0.4*2 = 0.8

 0

0.8*2 = 1.6

 1

0.6*2 = 1.2

 1

0.2*2 = 0.4

 0

0.4*2 = 0.8

 0

0.8*2 = 1.6

 0

La figure suivante montre la structure d’un nombre réelle signé placé dans un registre de N bits. S

an-2

. . .

n bits: Partie entier

a0

a-1

. . .

a -m

m bits : Partie fractionnaire

La position du point décimal dépend du nombre à représenter. Pour avoir une précision maximale, le nombre de bits de la partie entier (signe compris) doit répondre à la relation suivante : 𝑛 = 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 (𝑙𝑜𝑔2 (|𝑉|) + 0.5) + 1 Avec : log2 : Le logarithme binaire (logarithme en base 2) en fonction du logarithme népérien (ln) :

log 2 (x ) 

ln(x ) ln(2)

La partie fractionnaire, pour un nombre représenté sur N bits prend la valeur triviale suivante : 𝑚 = (𝑁 − 𝑛) La résolution ou quantification du codage représente la variation la plus petite entre deux nombres successifs : 𝑞 = 2−𝑚 Définis selon le format {n.m} correspond aux valeurs extrêmes [xmin , xmax] qu’il est possible de représenter : 𝐷 = [−2𝑛−1 ,

2𝑛−1 − 2−𝑚 ]

Exemple : Soit le nombre V = 10.4. Sur 16 bits, le format optimal est donné par : n = round(log2(v) + 0.5) +1 = round ( 3.3785+0.5)+1 = 4+1 = 5 m = 16 − 5 = 11 (V)2 = 01010011001101001 La valeur décimale reconstituée vaut : Vr =10.4004 La différence entre la valeur décimale à convertie et la valeur décimale reconstituée est donnée par la relation : Δq = | Vr – V | = 10.4004 –10.4 = 0.0004

Avec Matlab : >> q = quantizer('fixed', 'Ceiling', 'Saturate', [16 5]); >> num2bin(q, 10.4);

ans = 0101001100110100 >> bin2num(q,'0101001100110100') ans = 10.4004

2.2. REPRESENTATION EN VIRGULE FLOTTANTE Le standard IEEE 754 pour les nombres en virgules flottantes en simple précision est de 32 bits. Le premier bit S (le plus à gauche) représente le signe, les 8 bits suivants (E0-E7) l’exposant et les 23 derniers (F9-F31) la représentation fractionnaire du nombre en format 0.23, appelé mantisse.

S

E0

. . .

E7

F9

. . .

Exposant

F31

Mantisse

La valeur V représentée par le mot codé en 32 bits peut être déterminé de la manière suivante : 

E = 255 , F≠0

𝑉 = 𝑁𝑎𝑁



E = 255, F=0, S=1

𝑉 = −∞



E = 255, F=0 ,S=0

𝑉 = +∞



0 < E < 255

𝑉 = (−1)𝑆 2(𝐸−127) ⋅ (1. 𝐹)



E = 0 , F≠0

𝑉 = (−1)𝑆 2(𝐸−126) ⋅ (0. 𝐹)

La résolution ou quantification du codage en virgule flottante dépend de la valeur de l’exposant E. Pour un exposant de nE bits et une mantisse de nm bits, soit un codage en virgule flottante de N=nm+nE+2 bits et pour un exposant 0 < 𝐸 < 2𝑛𝐸−1 : q = 22nE −1 2−n𝑚 Le domaine de définition des nombres en virgule flottante avec un exposant de nE bits et une mantisse de nm bits, pour un exposant 0 < 𝐸 < 2𝑛𝐸−1 𝐷 = [−22 (𝑛𝐸−1) . . . 22(𝑛𝐸−1) ] Example 1: S=10.4 q = 2/(2^N); y = q * floor((s*(1-q)/q) + 0.5) ; Sq = 10.3203 Rappel : Les fonctions Matlab qui arrondi les nombres sont les suivants : fix ; ciel; round; floor

Exemple d’un Décodeur HCF4532