Chapitre 2 Processus Stochastique [PDF]

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Chapitre 2 Processus stochastique

Les processus aléatoires ou stochastiques ont été conçus pour Modéliser l’évolution des phénomènes et des systèmes aléatoires Dans le temps. Ils sont décrits par une famille de variables Aléatoires indicée par le temps

Ces variables peuvent être discrètes ou continues. Exemples : -Arrivées d’appels à un central téléphonique. - Arrivées de clients à un guichet. - Arrivées de voitures à un guichet d’autoroute.

Définition d’un processus stochastique: Un processus aléatoire est une famille de variables , indexé par l’ensemble T des temps dénombrables(fini) ou continu. Lorsque Prend un ensemble fini de valeurs, on parle de Processus d’espace d’état discret. Si au contraire, les valeurs appartiennent à un espace continu, on parle de processus à espace d’état continu. Exemples : -Processus de poisson. - Processus Markovien. - Processus AR, MA, ARIMA…..

2- Processus de Poisson

Exemple : Nombre de voitures contrôlées à un guichet d’autoroute. Soit La variable aléatoire désignant le nombre de voitures Contrôlées à un guichet d’autoroute pendant l’intervalle du Temps [0, T]. Nt- Ns est une variable aléatoire qui désigne le nombre de Voitures contrôlées au guichet pendant l’intervalle du Temps ]s, t]. Le processus de poisson est un processus de comptage qui Doit vérifier certaines propriétés.

Définitions:

Remarque : le processus est à accroissements indépendants Signifie que le nombre d’arrivées dans tout intervalle de temps de longueur égale à t est indépendant du nombre D’arrivées en dehors de cet intervalle donc les intervalles De temps sont disjoints.

Définition : Un processus de comptage vérifie l’hypothèse Des événements rares si pour tout accroissement

Du temps on a : 1)

2)

On déduit de (1) et (2) :

Explication de la première condition :

De paramètre

Le processus démarrant à l’instant t= 0 avec

:

Théorème : l’intensité d’un processus de poisson est définie Comme étant le nombre moyen d’arrivées par unité de Temps, est égale à

Dans un processus de Poisson d’intensité

,

les temps entre

Deux arrivées consécutives, appelées temps d’inter-arrivée sont indépendantes et de loi exponentielle de paramètre

Si le nombre d’arrivées dans l’intervalle de temps [0, t] Est i alors Nt = i. Le temps avant l’arrivée du Prochain événement est de loi exponentielle de Paramètre

Exemple : Le processus de comptage des voitures contrôlées à un Guichet d’autoroute durant un intervalle de temps donné

Où l’intensité est constante, est un processus de Poisson. Supposons que le nombre de voitures franchissant un péage Donné est décrit par un processus de poisson de paramètre (voitures par heure). Le nombre aléatoire De véhicules franchissant le péage en une minute est décrit Par la variable aléatoire de poisson De loi :

Exercice

1- Temps séparant deux événements successifs : Loi de la durée séparant deux événements successifs On s’intéresse maintenant à la durée séparant deux occurrences de L’événement. On se place à une date et on s’intéresse à la variable : : temps d’attente jusqu’à l’occurrence du prochain événement

Il est important qu’on ne se préoccupe pas de savoir si est elle-même une date d’occurrence ou pas : cela ne change pas la loi de à cause de l’hypothèse d’indépendance temporelle.

Remarque : suit une loi exponentielle de paramètre , on a donc ce qui signifie que la durée moyenne séparant Deux événements est égale à

2- Distribution des temps d’arrivée: Le premier événement dans un processus de Poisson d’intensité λ arrive après un temps de loi exponentielle De paramètre λ . Le nième événement arrive après Un temps

Où sont des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ. Or, La fonction densité de est donnée par la dérivée de la Probabilité ci-dessus par rapport à , soit

Pour tout . La loi correspondante est appelée une loi Gamma de paramètre .

Remarque : -Le temps d’inter-arrivée C.a.d le temps entre deux Arrivées suit la loi exponentielle de paramètre λ. -L’instant d’arrivée du niéme évenement suit la Loi Gamma de paramètre (n, λ).

3- Arrivée d’événements de deux types Soient et deux processus de Poisson Indépendants d’intensités respectives et (par exemple L’arrivée d’accidents avec blessures corporelles et l’arrivée D’accidents avec dommages matériels seulement) alors est un processus de Poisson d’intensité 4- Distribution conditionnelle des temps d’arrivée Etant donné n arrivées dans un intervalle de temps , les temps ordonnés de ces arrivées, représentés par , sont distribués comme les statistiques d’ordre de variables aléatoires indépendantes , toutes de loi uniforme sur . Autrement dit, les n arrivées se produisent à des instants

Choisis au hasard et indépendamment dans l’intervalle . Soit représente le nombre d’arrivées dans , alors on A la décomposition :

Où

et sont les nombres d’arrivées dans et , respectivement. Ces variables aléatoires sont donc Indépendantes. De plus, elles sont de loi de Poisson de Paramètres respectifs et . La loi conditionnelle de ,étant donné que ,est binomiale de paramètres et car

Exercice 1 Un jeu dans un casino fait des paiements selon un Processus de Poisson d’intensité 5 par heure et le montant D’un paiement peut être de 1, 2, 3, etc, dollars sans limite. La probabilité qu’un paiement soit égal à est et les Paiements sont indépendants les uns des autres. Calculer La probabilité qu’il n’y ait pas de paiement de 1, 2 ou 3 dans Une période de 20 minutes.

Exercice 2

la démontrer,

Exercice 3 ,