Chapitre 2 - Coupole - Final Cours + TD 2021-2022 [PDF]

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Chapitre 02 : Les coupoles

Chapitre 02 : Les coupoles I – Introduction : La coupole est une structure en voûte hémisphérique, de forme semi-circulaire ou elliptique, utilisée pour couvrir de grandes surfaces (Mosquée, théâtre, réservoir ou château d’eau,…etc.), et prend appuis sur son contour, Chaque contour est une assise qui forme un anneau dont les lits sont inclinés vers l'intérieur. La coupole est parfois exhaussée par un tambour (Figures 1 et 2).

Figure 01: Couple mosquée Bleue d’Istanbul

Figure 02: Coupole pour château d’eau en béton armé

2 – Hypothèses et notations : A – Hypothèses : On suppose que les forces extérieures soient distribuées de façon identique pour tous les méridiens avec une résultante unique dirigée suivant l’axe de révolution, cela veut dire que la coque de révolution doit être complète. La coque est suffisamment mince pour ne pas être soumise à des moments de flexion. B – notations : Le méridien est une courbe reliant le sommet de la coupole à sa base, parallèlement à l’axe de révolution. La parallèle est une courbe décrivant le contour de la coupole, perpendiculairement à l’axe de révolution.

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Chapitre 02 : Les coupoles

e: épaisseur de la coque. Px : composante de la force extérieure suivant l’axe Ox par unité de surface de coque, positive vers les x > 0. Py : composante de la force extérieure suivant l’axe Oy par unité de surface de coque, positive vers les y > 0. α : angle du méridien avec la verticale, positif si la coque, située dans les y positifs s’éloigne de l’axe de révolution en allant vers les x > 0. g: poids de la coque par unité de surface de la coque. ρ0 : Poids volumique du matériau constitutif de la coque. σ: Contrainte normale sur le bord inférieur parallèlement à un méridien, positive pour une compression. σθ: Contrainte normale sur les flancs suivant un parallèle, positive pour une compression. 3 – Calcul des contraintes σ et σθ (Méthode analytique): Considérant un élément compris entre deux (plans) parallèles voisins, distant de dx et deux méridiens voisins correspondant à une ouverture d’angle dθ (Figures 3 et 4).

dx

α ds dy

Figure 03 : Coque de révolution

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Chapitre 02 : Les coupoles

Figure 04 : Elément de coque En raison de la symétrie de la coupole et des charges : -

Les contraintes σθ sont identiques sur un même parallèle. Les contraintes tangentielles sont nulles.

La méthode analytique consiste à écrire l’équilibre d’un rectangle curviligne, ce qui conduit à un système de deux équations différentielles que l’on intégrera pour trouver les contraintes. Forces Sur le bord supérieur

Sur le bord inférieur

En projection sur Ox 𝜎. 𝑒. 𝑦. 𝑑𝜃. 𝑑𝑥

En projection sur Oy

𝑑𝑥 𝑑𝑠

𝜎. 𝑒. 𝑦. 𝑑𝜃. 𝑑𝑥

-𝜎. 𝑒. 𝑦. 𝑑𝜃. 𝑑𝑠 − 𝑑(𝜎. 𝑒. 𝑦. 𝑑𝜃. 𝑑𝑠 )

−𝜎. 𝑒. 𝑦. 𝑑𝜃.

𝑑𝑦 𝑑𝑠

𝑑𝑦 𝑑𝑦 − 𝑑(𝜎. 𝑒. 𝑦. 𝑑𝜃. ) 𝑑𝑠 𝑑𝑠

Sur les deux faces latérales, de surface e.ds, les efforts valent e.ds.σθ et font un angle dθ, la résultante vaut e.ds.σθ.dθ, valeur indépendante de θ par raison de symétrie de révolution et que l’on peut supposer orientée suivant Oy.

Résultante =σθ.dθ.e.ds σθ.e.ds

dθ

σθ.e.ds

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Chapitre 02 : Les coupoles

En écrivant l’équilibre des forces en projection sur Ox et Oy, on trouve: −𝑒. 𝑑𝜃. 𝑑 (𝜎. 𝑦. −𝑒. 𝑑𝜃. 𝑑 (𝜎. 𝑦.

𝑑𝑥 ) + 𝑦. 𝑑𝜃. 𝑑𝑠. 𝑝𝑥 = 0 𝑑𝑠

𝑑𝑦 ) + 𝑦. 𝑑𝜃. 𝑑𝑠. 𝑝𝑦 + 𝑒. 𝑑𝑠. 𝜎𝜃 . 𝑑𝜃 = 0 𝑑𝑠

Soit : 𝑑 𝑑𝑠 𝑑 𝑑𝑠

𝑑𝑥

𝑦

(𝜎. 𝑦. 𝑑𝑠 ) = 𝑒 . 𝑝𝑥

(𝜎. 𝑦.

𝑑𝑦 𝑑𝑠

(1)

𝑦

) = . 𝑝𝑦 + 𝜎𝜃 (2) 𝑒

σ et σθ positifs correspondent à des compressions. On calcule σ par l’équation (1), valeur que l’on porte dans l’équation (2) pour obtenir σθ. 4 – Coque sphérique de rayon r : Pour un rayon d’ouverture b compté horizontalement en pied de la coupole et une hauteur f, on a un rayon de sphère égal à : 𝑟 =

𝑏 2 + 𝑓2 2𝑓

Nous prendrons comme paramètre l’angle :

φ = π/2 – α

Figure 05: Coque sphérique En projetant le rayon r sur les deux axes Ox et Oy : x = - r cos φ

y = r sin φ

En dérivant par rapport à φ : dx = r sin φ dφ

dy = r cos φ dφ

Nous pouvons aussi écrire : 𝑑𝑥 𝑑𝑠

= 𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑑𝑦 𝑑𝑠

= 𝑐𝑜𝑠𝜑 37

Chapitre 02 : Les coupoles

l’équation (1) donne: 𝑑 𝑟 [𝜎. 𝑟. 𝑠𝑖𝑛2 𝜑] = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑝𝑥 𝑟. 𝑑𝜑 𝑒 Soit: 𝑑 𝑑𝜑

𝑟

[𝜎. 𝑠𝑖𝑛2 𝜑] = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑝𝑥 𝑒

(3)

Et l’équation (2) donne: 𝑑 𝑟 [𝜎. 𝑟. 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑐𝑜𝑠𝜑] = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑝𝑦+ 𝜎𝜃 𝑟. 𝑑𝜑 𝑒 Soit: 𝑑

𝑟

𝑑𝜑

[𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑐𝑜𝑠𝜑] = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑝𝑦+ 𝜎𝜃 𝑒

(4)

En développant la 3ème équation (dérivée d’un produit) : 𝑑 𝑑 𝑑 [𝜎. 𝑠𝑖𝑛2 𝜑] = [𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑]𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑. [𝑠𝑖𝑛𝜑] 𝑑𝜑 𝑑𝜑 𝑑𝜑 𝑑 [𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑] + 𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝜑 En développant la 4ème équation (dérivée d’un produit) : 𝑑 𝑑 𝑑 [𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑐𝑜𝑠𝜑] = [𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑]𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑. [𝑐𝑜𝑠𝜑] 𝑑𝜑 𝑑𝜑 𝑑𝜑 𝑑 [𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑] − 𝜎. 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑 L’équation (3) devient : 𝑠𝑖𝑛𝜑.

𝑑 𝑟 [𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑] + 𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑐𝑜𝑠𝜑 = . 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑝𝑥 𝑑𝜑 𝑒

Et en divisant par sin φ : 𝑑 𝑟 [𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑] = . 𝑝𝑥 − 𝜎. 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑 𝑒 L’équation (4) devient : 𝑑 𝑟 [𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑]𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝜎𝑠𝑖𝑛2 𝜑 = . 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑝𝑦 + 𝜎𝜃 𝑑𝜑 𝑒 Remplaçant

𝑑 𝑑𝜑

[𝜎. 𝑠𝑖𝑛𝜑] par sa valeur précédemment trouvée, on aura: 𝑟 𝑟 [ . 𝑝𝑥 − 𝜎. 𝑐𝑜𝑠𝜑] 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝜎𝑠𝑖𝑛2 𝜑 = . 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑝𝑦 + 𝜎𝜃 𝑒 𝑒

D’où : 𝑟

𝜎𝜃 = [𝑝𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑝𝑦 . 𝑠𝑖𝑛𝜑] − 𝜎 𝑒

(5)

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Chapitre 02 : Les coupoles

4 – 1 Charge verticale g par m2 de coque (Poids propre) : On a :

px = g

et

py= 0

L’équation (03) s’écrit : 𝑑 𝑟 [𝜎. 𝑠𝑖𝑛2 𝜑] = . 𝑔. 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝜑 𝑒 Que l’on intègre de φ0 à φ : 𝜎𝑠𝑖𝑛2 𝜑 = 𝜎0 𝑠𝑖𝑛2 𝜑0 − D’où :

𝜎 = 𝜎0

𝑠𝑖𝑛2 𝜑0 𝑠𝑖𝑛2 𝜑

+

𝑔. 𝑟 . [𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑐𝑜𝑠𝜑0 ] 𝑒 𝑔.𝑟 [𝑐𝑜𝑠𝜑0 −𝑐𝑜𝑠𝜑]

.

𝑒

𝑠𝑖𝑛2 𝜑

(6)

L’équation (05) donne :

𝜎𝜃 =

𝑔.𝑟 𝑒

. 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝜎

(7)

Si φ0 = 0, on aura : 𝜎 =

𝜎𝜃 =

𝑔. 𝑟 1 . 𝑒 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑔. 𝑟 1 [𝑐𝑜𝑠𝜑 − ] 𝑒 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜑

4 – 2 Charge verticale p par m2 horizontal (Neige) : On a :

px = p cos φ

et

py= 0

L’équation (03) s’écrit : 𝑑 𝑝. 𝑟 [𝜎. 𝑠𝑖𝑛2 𝜑] = . 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑 𝑒 Que l’on intègre de φ0 à φ :

𝜎 = 𝜎0

𝑠𝑖𝑛2 𝜑0 𝑠𝑖𝑛2 𝜑

L’équation (05) donne :

𝜎𝜃 =

+ 𝑝.𝑟 𝑒

𝑝.𝑟 𝑒

. [1 −

𝑠𝑖𝑛2 𝜑0 𝑠𝑖𝑛2 𝜑

]

𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 − 𝜎

(8)

(9)

Si φ0 = 0, on aura :

𝜎=

𝑝.𝑟 𝑒

𝜎𝜃 =

𝑝.𝑟 𝑒

1

[𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 − ] 2

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Chapitre 02 : Les coupoles

4 – 3 Charge horizontale q par m2 vertical (Vent) : On a :

px = 0

et

py= - q . cos φ

L’équation (03) s’écrit : 𝑑 [𝜎. 𝑠𝑖𝑛2 𝜑] = 0 𝑑𝜑 Que l’on intègre de φ0 à φ :

𝜎 = 𝜎0 L’équation (05) donne :

𝜎𝜃 =

𝑞.𝑟 𝑒

𝑠𝑖𝑛2 𝜑0

(10)

𝑠𝑖𝑛2 𝜑

. 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 − 𝜎

(11)

Si φ0 = 0, on aura :

𝜎𝜃 =

𝜎=0

𝑞.𝑟 𝑒

. 𝑠𝑖𝑛2 𝜑

4 – 4 Charge P0 en tête : La charge répartie par unité de longueur de périmètre : p0 = P0 / 2πy Pour une inclinaison α de la coque sur la verticale, on a : φ = π/2 – α Et

𝜎0 =

𝑃0 2.𝜋.𝑟.𝑒.𝑠𝑖𝑛2 𝜑

σθ = - σ0

(12)

(13)

5- Théorie flexionnelle (Méthode numérique): L’approche mathématique présentée ci-dessus ‘’La théorie membranaire’’ n’est valable en toute rigueur que si la coupole est infiniment mince (l’effet de l’effort tranchant est insignifiant) et les rives sont libres de se déplacer (pas de moments dans les différentes sections), ce cas de figure est peu envisageable dans la pratique, d’où la nécessité d’utiliser une autre approche appelée ‘’la Théorie flexionnelle’’ où les rives sont appuyées et par conséquence le moment est engendré dans les différentes sections, cependant le moment n’est important qu’au voisinage de l’appui soit les rives de la coupole. Le développement de cette méthode est relativement complexe et les résultats ne peuvent être obtenus que on ayant recours à des outils numériques (logiciel Sap 2000, …etc.).

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Chapitre 02 : Les coupoles

6- Recommandations pour la conception : 6-1 Dimensionnement des coupoles : o Il est recommandé d´adopter une flèche f d’une valeur supérieure à D/10 f ≥ D/10 avec D: représente le diamètre de la coupole à sa base. o Epaisseur ‘’e’’: L´épaisseur des coupoles est au moins de 8 cm o Contrainte de compression du béton Sous combinaisons ELS, la contrainte de compression du béton est limitée à la plus petite des deux valeurs suivantes :

σb ≤

𝑒+0.55 3

σb ≤ 100

𝑒 𝑟

𝑓𝑐28

(𝑓𝑐28 )1/3 en MPa

où : e est l´épaisseur de la coupole en mètres. r est le rayon de courbure de la coupole, en mètres. fc28 est la résistance caractéristique à 28 jours du béton à la compression en MPa. 6-2 Ferraillage des coupoles : o La section des armatures : Le rapport de la section des armatures à la section du béton satisfait pour chaque direction, la valeur de 0,20 %. 𝐴𝑆 ≥ 0.20% 𝑏. 𝑑 Le diamètre des aciers doit être inférieur ou égal au dixième (1/10) de l´épaisseur de la coupole. Dans les coupoles d´épaisseur supérieure ou égale à 15 cm, les armatures sont disposées en deux lits (double nappe). o L’espacement des armatures : L´écartement maximal des aciers est de 20 cm. 7- Recommandations lors de la réalisation : Le coffrage doit respecter au mieux les plans de coffrage, un léger écart peut entrainer des efforts de compression, traction ou des moments fléchissant additionnels non prévus. Si la coupole est aplatie, un seul coffrage au dessous est suffisant, mais si elle est surhaussée (généralement lorsque le plan tangent fait un angle supérieur à 35° ou 40°) un contre-coffrage est indispensable.

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Chapitre 02 : Les coupoles

Application 01: Soit à étudier la coupole d’une mosquée en béton armé, prenant appuis sur une dalle en béton armé, la coupole est de rayon r =10 m et d’une épaisseur e = 12 cm. Surmontée par une pièce en cuivre en forme de croissant de 250 kg, la coupole est revêtue avec du marbre sur sa face supérieure, d’un poids volumique de 26,5 KN/m3 et d’une épaisseur de 2.5 cm et avec du plâtre sur sa face inférieure, d’un poids volumique de 10 KN/m3 et d’une épaisseur de 2.0 cm. La coupole sera réalisée avec un béton de 25 MPa et un acier de 400 MPa. 1- Vérifier les dimensions de la coupole. 2- Calculer les contraintes σ et σθ pour différentes valeurs de φ, engendrée par : a- Son poids propre b- Le poids du plâtre c- Le poids du Marbre d- Poids de la pièce métallique e- Poids d’une surcharge d’exploitation Q = 1 KN/m2 3- Tracer les diagrammes des contraintes σ et σθ à l’état limite ultime et de service. 4- Calculer le ferraillage et vérifier les contraintes de compression.

1m

1m

20 m

20 m

Vu en plan

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Chapitre 02 : Les coupoles

Application 02 : Soit à étudier la coupole d’une bibliothèque en béton armé, prenant appuis sur une dalle en béton armé, la coupole est de rayon r =15 m et d’une épaisseur e = 15 cm. la coupole est revêtue avec de la mosaïque sur sa face supérieure et avec du plâtre sur sa face inférieure. la surcharge est prise égale à 1 KN/m2 Le béton a une résistance de 25 MPa, l’acier de 400 MPa et l’enrobage est de 2 cm. Les valeurs des contraintes σ et σθ en fonction de l’angle φ sont données dans des tableaux. 1. Tracer les diagrammes des contraintes σ et σθ à E.L.U et E.L.S. 2. Calculer le ferraillage principal et de répartition et vérifier les contraintes de compression. 3. Schématiser sur un dessin le choix et la disposition du ferraillage principal et de répartition. Les contraintes σ et σθ sous le poids propre de la coupole : Poids propre

σ [KN/m ] σθ [KN/m2] 2

0 187,500 187,500

π/8 194,919 151,536

π /4 219,670 45,495

3 π /8 271,212 -127,705

π /2 375,000 -375,000

3 π /8 14,465 -6,811

π /2 20,000 -20,000

3 π /8 43,394 -20,433

π /2 60,000 -60,000

Les contraintes σ et σθ sous le poids du plâtre: Plâtre

σ [KN/m2] σθ [KN/m2]

0 10,000 10,000

π/8 10,396 8,082

π /4 11,716 2,426

Les contraintes σ et σθ sous le poids de la mosaïque: Mosaïque

σ [KN/m2] σθ [KN/m2]

0 30,000 30,000

π/8 31,187 24,246

π /4 35,147 7,279

Les contraintes σ et σθ sous la surcharge d’exploitation : Q

σ [KN/m2] σθ [KN/m2]

0 100,000 50,000

π/8 100,000 35,355

π /4 100,000 0,000

3 π /8 100,000 -35,355

π /2 100,000 -50,000

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Chapitre 02 : Les coupoles 0.5 m

Solution : 1- Dimensionnement de la coupole: ▪ Il est recommandé d´adopter une flèche f ≥ D/10 D = 20 m f = 10 m ≥ 20/10 = 2 m. (Condition vérifiée)

φ0

y

▪ Epaisseur e = 12 cm ≥ 8 cm L´épaisseur des coupoles est au moins de 8 cm

(Condition vérifiée)

O x

Calcul de l’angle φ0 ? sin φ0 = 0.50/10 = 0.05 d’où : φ0 = 2.865° Ce qui correspond à φ0 = 0.016 π 2-a- Calcul des contraintes σ et σθ sous le poids propre de la coupole : Poids propre du béton est γbéton = 25 KN/m3, pour une coque de 0.12 m d’épaisseur, nous aurons g= 3.00 KN/m2. Dans notre cas l’origine coïncide avec la présence de la coque, soit φ0 = 0, d’où nous utiliserons les formules suivantes :

𝜎 =

𝑔.𝑟 𝑒

.

1

𝜎𝜃 =

1+𝑐𝑜𝑠𝜑

Poids propre

0,000 156,250 156,250

σ [KN/m ] σθ [KN/m2] 2

𝑔.𝑟 𝑒

0,016PI 156,349 155,757

[𝑐𝑜𝑠𝜑 −

PI/8 162,432 126,280

1 1+𝑐𝑜𝑠𝜑

]

PI/4 183,058 37,913

3PI/8 226,010 -106,421

PI/2 312,500 -312,500

2-b- Calcul des contraintes σ et σθ sous le poids du plâtre: Poids propre du plâtre est = 10 KN/m3, pour une épaisseur de 2 cm d’épaisseur, nous aurons g= 0.2 KN/m2. Dans notre cas l’origine coïncide avec la présence du plâtre, soit φ0 = 0, d’où nous utiliserons les formules suivantes :

𝜎 =

𝑔.𝑟 𝑒

.

1

𝜎𝜃 =

1+𝑐𝑜𝑠𝜑

Plâtre

σ [KN/m ] σθ [KN/m2] 2

𝑔.𝑟 𝑒

[𝑐𝑜𝑠𝜑 −

1 1+𝑐𝑜𝑠𝜑

]

0,000

0,016PI

PI/8

PI/4

3PI/8

PI/2

8,333

8,339

8,663

9,763

12,054

16,667

8,333

8,307

6,735

2,022

-5,676

-16,667

2-c- Calcul des contraintes σ et σθ sous le poids du Marbre: Poids propre du marbre est = 26,5 KN/m3, pour une épaisseur de 2.5 cm d’épaisseur, nous aurons g= 0,6625 KN/m2. 44

Chapitre 02 : Les coupoles

Le début du revêtement en marbre, correspond à l’angle φ0 = 0.016 π, d’où nous utiliserons les formules suivantes :

𝜎=

𝑔.𝑟 [𝑐𝑜𝑠𝜑0 −𝑐𝑜𝑠𝜑] . 𝑒 𝑠𝑖𝑛2 𝜑

𝜎𝜃 =

𝑔.𝑟 𝑒

. 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝜎

Marbre

0,000

0,016PI

PI/8

PI/4

3PI/8

PI/2

σ [KN/m ] σθ [KN/m2]

0,000 0,000

0,000 55,139

28,220 22,786

32,201 6,837

39,847 -18,719

55,139 -55,139

2

2-d- Calcul des contraintes σ et σθ sous le poids de la pièce en cuivre: La masse de la pièce en cuivre est de 250 kg, le poids de la pièce correspond à P0 = 250 x 9.81 P0 = 2452,5 N = 2,46 KN. Le poids P0 prend appui sur son contour, nous utiliserons les formules suivantes :

𝜎 = Poids P0

σ [KN/m ] σθ [KN/m2] 2

𝑃0

σθ = - σ

2.𝜋.𝑟.𝑒.𝑠𝑖𝑛2 𝜑

0,000 0,000 0,000

0,016PI 128,847 -128,847

PI/8 2,221 -2,221

PI/4 0,651 -0,651

3PI/8 0,381 -0,381

PI/2 0,325 -0,325

2-e- Calcul des contraintes σ et σθ sous la surcharge d’exploitation : Le poids de la surcharge d’exploitation est Q = 1 KN/m2, nous utiliserons les formules suivantes :

𝜎=

𝑄.𝑟 𝑒

𝜎𝜃 =

𝑄.𝑟 𝑒

1

[𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 − ] 2

charge d'exploitation

0,000

0,016PI

PI/8

PI/4

3PI/8

PI/2

σ [KN/m2] σθ [KN/m2]

83,333 41,667

83,333 41,456

83,333 29,463

83,333 0,000

83,333 -29,463

83,333 -41,667

2-f- Calcul des contraintes σ et σθ sous toutes les charges permanentes : G

σ [KN/m2] σθ [KN/m2]

0,000 164,583 164,583

0,016PI 293,534 90,355

PI/8 201,537 153,580

PI/4 225,673 46,121

3PI/8 278,291 -131,197

PI/2 384,631 -384,631

3PI/8 500,693 -221,311

PI/2 644,251 -581,751

3- Calcules des contraintes sous les combinaisons de charges : 3- a Combinaison E.L.U : 1.35 G+ 1.5 Q

σ [KN/m2] σθ [KN/m2]

0,000 347,188 284,688

0,016PI 521,271 184,164

PI/8 397,074 251,527

PI/4 429,658 62,264

45

Chapitre 02 : Les coupoles

347,188 521,271 397,074

284,688 184,164 251,527 429,658

62,264

500,693 -221,311

y

-581,751

644,251

y

O x

O x

Contrainte σ sous E.L.U

Contrainte σθ sous E.L.U

3- b Combinaison E.L.S : G+Q

0,000 247,917 206,250

σ [KN/m ] σθ [KN/m2] 2

0,016PI 376,868 131,812

PI/8 284,870 183,042

PI/4 309,006 46,121

3PI/8 361,625 -160,660

PI/2 467,964 -426,297

247,917 206,250 131,812

376,868 284,870

183,042

309,006

46,121 361,625 -160,660

y

467,964

-426,297

O x

Contrainte σ sous E.L.S

y

O x

Contrainte σθ sous E.L.S

4-1 Contrainte de compression du béton : Les contraintes maximales de compression du béton sous E.L.S (Contraintes positives) sont : σmax= 467.964 KN/m2 et σθmax= 206,250 KN/m2 Les contraintes sont limitées à la plus petite des deux valeurs suivantes :

σb ≤

𝑒+0.55 3

σb ≤ 100

𝑒 𝑟

𝑓𝑐28 = (0.12+0.55)/3 x 25 = 5,58 MPa soit : 5583,33 KN/m2

(𝑓𝑐28 )1/3 = 3,508 MPa soit : 3508,82 KN/m2

σbmin = 3508,82 KN/m2 σmax et σθmax sont largement inférieures à σbmin.

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Chapitre 02 : Les coupoles

4-2 Ferraillage de la coupole: Pour une fissuration peu préjudiciable : ▪ à E.L.U : Au= Nu/σst avec Nu=581,751 KN/m2 (Contraintes négatives traction) Nu = 581,751 x(1 x 0.12) = 69,81 KN (la résistance du béton à la traction étant négligée) d’où : Au= Nu/σst = 69,81/348 000= 0,0002 m2 soit Au= 2 cm2 ▪ Condition de non fragilité : Amin= B.ft28/fe = (1 x 0.12) x 2,1/400 = 0,00063 m2 soit Amin= 6,30 cm2 D’où on prendra : Amin= 6,30 cm2 La section des armatures : ▪ Le rapport de la section des armatures à la section du béton satisfait pour chaque direction : 𝐴𝑆 ≥ 0.20% 𝑏. 𝑑 As ≥ b.d.0,2/100 = 100x10x0,2/100 = 2 cm2 ▪ Le diamètre des aciers doit être inférieur ou égal e/10 Ø = 12/10 = 1.2 cm o L’espacement des armatures : L´écartement maximal des aciers est de 20 cm. Nous allons adopter une section de T12 e=15 cm dans les deux directions. Application 02: 1- Calculs des contraintes sous les combinaisons de charges : a/ Combinaison à E.L.U : 1.35 G+ 1.5 Q

σ [KN/m2] σθ [KN/m2]

0 457,125 382,125

π/8 469,277 301,249

π /4 509,819 74,521

3 π /8 594,245 -262,215

π /2 764,250 -689,250

457,125 382,125 469,277

301,249 509,819

74,521

594,245 -262,215 764,250

O x

Contrainte σ sous E.L.U

y

-689,250

y

O x

Contrainte σθ sous E.L.U 47

Chapitre 02 : Les coupoles

b/ Combinaison à E.L.S : G+Q

π/8 336,501 219,219

0 327,500 277,500

σ [KN/m2] σθ [KN/m2]

π /4 366,533 55,201

3 π /8 429,070 -190,305

π /2 555,000 -505,000 277,500

327,500

219,219

336,501 366,533

55,201

429,070 -190,305 555,000

O x

-505,000

y

Contrainte σ sous E.L.S

y

O x

Contrainte σθ sous E.L.S

4-3 Contrainte de compression du béton : Les contraintes maximales de compression du béton sous E.L.S (Contraintes positives) sont : σmax= 555.000 KN/m2 et σθmax= 505,000 KN/m2 Les contraintes sont limitées à la plus petite des deux valeurs suivantes :

σb ≤

𝑒+0.55 3

σb ≤ 100

𝑒 𝑟

𝑓𝑐28 = (0.15+0.55)/3 x 25 = 5,834 MPa soit : 5834 KN/m2

(𝑓𝑐28 )1/3 = 2,924 MPa soit : 2924 KN/m2

σbmin = 2924 KN/m2 σmax et σθmax sont largement inférieures à σbmin. 4-4 Ferraillage de la coupole: Pour une fissuration peu préjudiciable : ▪ Le ferraillage est calculé à E.L.U : Au= Nu/σst avec Nu=581,751 KN/m2 (Contraintes négatives traction) Nu = 689,250 x(1 x 0.15) = 103,39 KN (la résistance du béton à la traction étant négligée) d’où : Au= Nu/σst = 103,39/348 000= 0,000297 m2 soit Au= 2,97 cm2 ▪ Condition de non fragilité : Amin= B.ft28/fe = (1 x 0.15) x 2,1/400 = 0,00079 m2 soit Amin= 7,90 cm2 D’où on prendra : Amin= 7,90 cm2

48

Chapitre 02 : Les coupoles

La section des armatures : ▪ Le rapport de la section des armatures à la section du béton satisfait pour chaque direction : 𝐴𝑆 ≥ 0.20% 𝑏. 𝑑 As ≥ b.d.0,2/100 = 100x13x0,2/100 = 2,60 cm2 ▪ Le diamètre des aciers doit être inférieur ou égal e/10 Ø ≤ 15/10 = 1.5 cm Ø = 1.2 cm o L’espacement des armatures : L´écartement maximal des aciers est de 20 cm. Nous allons adopter: Armatures principales : 2T12 e=20 cm dans la direction horizontale. Armatures de répartition : 2T12 e=20 cm dans la direction verticale. Ar (2T12 e=20)

Ap (2T12 e=20)

Ar (2T12 e=20)

Ap (2T12 e=20)

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