Chapitre 1 - Processus Stochastiques [PDF]

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Chapitre 1: Introduction à la théorie des probabilités LAKHEL El Hassan

Département: Informatiques et Réseaux-Télécom. ENSA, A. U. 2020-2021

Page Web: https://sites.google.com/view/lakhelelhassan/probabilites-stochastiques

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Introduction à la théorie des probabilités

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Plan

1

Introduction à la théorie et au calcul des probabilités.

2

Variables aléatoires réelles.

3

Variables aléatoires vectorielles : Généralités sur les vecteurs aléatoires. Couples aléatoires discrets, couples aléatoires à densité. Couple formé de variables aléatoires indépendantes. Distribution conjointe. Indépendance et espérance de produits. Distributions conditionnelles. Covariance et coefficients de corrélation linéaire. Vecteurs aléatoires gaussiens. Théorème d’existence de la densité gaussienne.

4

Introduction aux Processus stochastiques : Définitions- Premiers exemples : -Processus de Bernoulli, Marche aléatoire... - Processus de comptage, processus de renouvellement - Processus de Poisson -Caractéristiques d’un processus stochastique

5

Chaînes de Markov discrétes : Définition et premières propriétés, Matrice de transition d’une chaine de Markov, dynamique markovienne, matrice stochastique, propriété de Markov. Exemples de chaine de Markov, Equation de Chapman-Kolmogorov, Le graphe de transition, Caractérisation de la loi d’une chaînes de Markov . Applications : Google et chaînes de Markov.

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INTRODUCTION GENERALE

THÉORIE DES PROBABILITÉS • Une théorie mathématique pour quantifier le Hasard. - La théorie des probabilités a mis beaucoup de temps à émerger. - Le mot Hasard est un mot d’origine arabe : az-zahr. - Au cours du 17ème siècle, le calcul probabiliste commence réellement à être rigoureusement développé par Pascal, - 19ème siècle et début 20ème siècle : essor des probabilités grâce aux méthodes d’analyse.  Calcul intégral et différentiel : (Laplace, Gauss)  Théorie de la mesure : (Borel - Lebesgue)

- La période moderne, caractérisée par l’étude systématique des processus aléatoires, débute vers 1930. Modéliser des phénomèmes aléatoires qui évoluent au cours du temps : Processus de Markov, mouvement Brownien, processus de Poisson,...

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INTRODUCTION GENERALE

•

Les prérequis de ce cours sont des connaissances mathématiques dispensées durant les deux premières années d’un cursus universitaire. Nous allons developper les notions dont nous avons besoin au fur et à mesure de ce module.

•

L’objet de la théorie des probabilités est l’analyse mathématique de phénomènes dans lesquels le hasard intervient. Ces phénomènes sont appelés des expériences aléatoires.

•

Les processus stochastiques servent à la modélisation des phénomnes aléatoires qui évolue dans temps. Le terme modéliser signifie ici l’opération qui consiste à associer à une expérience aléatoire un espace de probabilité (Ω, A, P) et une famille (Xt )t∈T de variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité. Le plus souvent, T est un ensemble ordonné qui joue le rôle du temps.

•

La notion d’une chaînes de Markov fait partie de cette branche de la théorie des probabilités.

•

Les processus stochastiques trouvent des applications dans plusieurs domaines tels que :

 Iternet : Google par exemple fonctionne avec des chaînes de Markov.  Résaux et télécom : la théorie des files d’attente est basée essentiellement sur la théorie des probabilités.  Les mathématiques financières, le traitement d’images, etc. LAKHEL El Hassan

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INTRODUCTION GENERALE

EXPÉRIENCE ALÉATOIRE

La phrase typique dans la théorie et les exercices est la suivante : Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. Essayons d’expliciter chacun des trois termes de ce triplet. C’est un peu abstrait, on verra des exemples plus usuels dans les paragraphes suivants. Définition Une expérience est dite aléatoire si, reproduite dans des conditions identiques, peut conduire à plusieurs résultats possibles, et dont on ne peut prévoir le résultat par avance.

Définition L’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire est appelé l’univers (ou espace d’états). Il est noté Ω.

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Exemple 1. Le jet d’un dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Le jet successif de n pièces de monnaie : Ω = {P, F }n (pour n = 2, on a Ω = {PP, PF , FP, FF } = {P, F }2 ). 3. La durée de vie d’une ampoule : Ω = R+ . 4. La durée d’une communication téléphonique : Ω = R+ . 5. Cours d’un actif financier sur un intervalle de temps [a, b] : Ω = C([a, b], R+ ).

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Exemples

On peut aussi modéliser des phénomènes aléatoires plus complexes. Donnons deux exemples : 1. Etude d’une file d’attente. Des clients arrivent successivement d’une manière aléatoire et forment ainsi une file d’attente devant un guichet. On étudie la longueur de la file d’attente, en fonction des paramètres qui interviennent dans la modélisation, à savoir la “loi” d’arrivée des clients, “loi” de la durée des services, combien de serveurs ? comment s’organise la file ? On se demande si la file à tendance à se diminuer ou au contraire à augmenter.

Exemples de files d’attente :

Trafic aérien Télécommunications (téléphonie, call-centers) Serveurs informatiques. ... File (système) d’attente décrite par : A/B/m/N/S où :

A est la distribution des arrivées : une grandeur aléatoire ou stochastique B est la distribution des temps de service : idem ; m est le nombre de serveurs ; N est le nombre maximum de clients dans le système ; S est la discipline de service (FIFO, LIFO, RAND. . .) LAKHEL El Hassan

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Exemples

Objectif : dimensionnement, organisation D’innombrables questions se posent naturellement, afin d’optimiser la rentabilité de certains services et de diminuer les attentes. Par exemple, quel est le temps moyen d’attente ? quel est le nombre moyen de clients dans la file ? quel est le nombre de serveurs occupés ? quelle est la probabilité que la file soit vide / pleine ? quelle est la longueur de la queue à un instant donné ? combien de serveurs faudrait-il au minimum pour éviter la saturation de la salle d’attente ? ... Autant de questions auxquelles la théorie des chaînes de Markov et des processus stochastiques apporte des réponses plus ou moins explicites.

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Exemples

Chaîne de Markov et l’algorithme PageRank de Google 2. Le succès de google se base sur l’algorithme Pagerank. Cet algorithme permet de trier les résultats des recherches. Que fait un moteur de recherche ? L’utilisateur lance une requête : mots clés cherchés. Le moteur de recherche exécute :

liste des pages contenant les mots clés tri par ordre de pertinence affichage des résultats Il y a donc plusieurs aspects dont

modélisation mathématique : comment définir/calculer la pertinence ? (personne n’est chargée de lire toutes les pages web !) ressource informatique : stockage, traitement d’une quantité énorme d’informations L’idée : pour mesurer l’importance d’une page est de travailler sur le fait qu’il y a des liens reliant les pages les unes aux autres. Google voit le web comme un graphe, dont les sommets sont les pages et les arcs sont les liens allant d’une page vers l’autre. Chaque flèche est affectée d’un poids, correspondant à la probabilité qu’on a, lorsqu’on quitte une page, d’aller vers la page suivante. si la page Pj contient un lien vers la page Pi on matérialise cela par une flèche Pj → Pi . on utilise les chaîne de Markov ; les marches aléatoires sur les graphes et le Théorème de Perron-Frobenius pour calculer l’importance d’une page, aussi appelée PageRank. Voir le dernier chapitre pour plus de détails.

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INTRODUCTION GENERALE

ÉVÉNEMENT Définition Un événement est une partie A de Ω, c’est un fait lié à une expérience qui peut se produire ou non.

Exemple Dans nos situations précédentes, A pourrait, par exemple, être : 1. A1 = {2, 4, 6} : "obtenir un nombre pair." 2. A2 = {P} × {P, F }n−1 : " Le premier lancer est pile." 3. A3 = [100, +∞[ : "l’ampoule fonctionne plus de cent heures." 4. A4 = [3, 7] : "la durée de communication est entre 3 et 7 min. Ainsi, un événement aléatoire est représenté par l’ensemble des résultats pour lesquels il est réalisé. LAKHEL El Hassan

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INTRODUCTION GENERALE

Notation ensembliste Correspondance entre le langage probabiliste et le langage ensembliste : Notation Ω ∅ {ω} A⊂B Ac A∪B S i∈I Ai A∩B T i∈I Ai

vocabulaire ensemblite ensemble vide singleton ω A est inclus dans B complémentaire de A A union B union des (Ai )i ∈ I A inter B intersection des (Ai )i ∈ I

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vocabulaire probabiliste événement certain événement impossible événement élémentaire ω A implique B Le contraire de A est réalisé A ou B est réalisé l’un des Ai est réalisé A et B sont réalisés tous les Ai sont réalisés

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INTRODUCTION GENERALE

Tribu ou σ−algèbre En général, on ne peut pas prendre toutes les parties de Ω comme événements, on doit se limiter à des familles vérifiant certaines propriétés : Définition Soit Ω un ensemble. Une famille F de parties de Ω est appelée une tribu si elle vérifie les propriétés suivantes : • Ω∈F • (stabilité par complémentaire) : si A ∈ F, alors Ac ∈ F • (stabilité par union dénombrable) : si (Ai )i∈N sont des éléments de F, alors ∪i∈N Ai ∈ F. Définition Soit Ω un ensemble muni d’une tribu F, le couple (Ω, F) est appelé espace mesurable, et les éléments de F sont appelés des événements. LAKHEL El Hassan

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INTRODUCTION GENERALE

Exercice 1. Vérifier que {∅, Ω} est une tribu (la tribu grossière). 2. Vérifier que P(Ω) est une tribu. 3. Soit A une partie de Ω. Montrer que {∅, A, Ac , Ω} est une tribu sur Ω. 4. Soit Ω un ensemble, et A et B deux parties de Ω. on pose F = {∅, A, B, A ∩ B, A ∪ B, Ac , B c , (A ∩ B)c , (A ∪ B)c , A ∩ B c , Ac ∩ B, A ∪ B c , Ac ∪ B, Ω}

Montrer que F est une tribu. Remarque La plus petite tribu de Ω est {∅, Ω} , tandis que la plus grande est P(Ω).

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INTRODUCTION GENERALE

Tribu Borélienne

Si Ω est non dénombrable, (par exemple Ω = R, P(Ω) est trop grosse pour que l’on puisse en "mesurer" tous les éléments. Définition La tribu borélienne de R est la plus petite tribu qui contient les intervalles de la forme ] − ∞, a] pour a ∈ Q. Remarque Pour des raisons mathématiques, on va toujours munir R de cette tribu. Cela nous permettra de caractériser les probabilités sur R. On la note dans la suite par B(R).

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INTRODUCTION GENERALE

Proposition Soit Ω un ensemble muni d’une tribu F, alors : 1. ∅ est dans F, 2. Pour tout A et B de F, on a A ∩ B, A ∪ B et A\B sont dans F. 3. Si les (Ai )i∈N , sont des éléments de F, alors ∩i∈N Ai est un élément de F (stabilité par intersection dénombrable).

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INTRODUCTION GENERALE

Preuve : 1. ∅ = Ω et Ω ∈ F, donc ∅ ∈ F. 2. A ∪ B ∈ F par définition. A ∩ B = A ∪ B ∈ F car A ∪ B ∈ F A\B = A ∩ B ∈ F d’après ce qui précède. 3. ∩i∈N Ai = ∪i∈N Ai ∈ F. Remarque Une tribu est stable par réunion et intersection finie.

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INTRODUCTION GENERALE

Exercice 1. Soit (Fα )α∈A une famille quelconque de tribus sur l’ensemble Ω . Montrer que B = ∩α∈A Fα est aussi une tribu. 2. Le résultat est-il vrai si on prend une réunion de tribus ?

oui, non, il suffit de prendre Ω = {1, 2, 3, 4}, F1 = {Ω, ∅, {1}, {2, 3, 4}} et F2 = {Ω, ∅, {2}, {1, 3, 4}}. Soit A = {1} et B = {2}, alors A∪B ∈ / F1 ∪ F2 .

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INTRODUCTION GENERALE

Définition d’une probabilité Définition Soit Ω un ensemble muni d’une tribu F . Une application P : F −→ [0, 1] est une probabilité si elle vérifie les propriétés suivantes : i) P(Ω) = 1 ii) (σ−additivité) Si les (Ai )i∈N sont des éléments de F deux à deux disjoints, alors P(

[ i∈N

Ai ) =

X

P(Ai ).

i∈N

Le triplet (Ω, F , P) est alors appelé un espace de probabilité. Remarque 1.

Les événements sont donc les parties de Ω auxquels on saura attribuer une probabilité de se réaliser.

2.

Si Ω est fini, on peut remplacer ii) par ii)’ pour tout A, B de P(Ω) tels que A ∩ B = ∅, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

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Exemple 1.

Jet d’un dé : Ω = {1, 2, ..., 6}, les faces sont équiprobables. On prend F = P(Ω) et on définit P par : 1 P({1}) = P({2}) = ... = P({6}) = . 6 On a donc, P({2, 3}) = P({2}) + P({3}) =

2.

1 . 3

Jet d’une pièce de monnaie Ω = {P, F }, si la pièce est équilibrée, on choisit : P({P}) = P({F }) =

1 . 2

Attention ! Le mot probabilité désigne donc deux choses différentes : l’application et le nombre associé par cette application à un événement. Le contexte permet en général de lever toute ambiguïté.

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INTRODUCTION GENERALE

Proposition Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. i) P(∅) = 0 ii) si (Ai )1≤i≤n sont des éléments de F deux à deux disjoints, alors n [

P(

Ai ) =

i=1

n X

P(Ai ).

i=1

iii) si A est dans F , alors P(Ac ) = 1 − P(A), iv) si A et B sont des éléments de F tels que A ⊂ B, alors P(A) ≤ P(B). v) si A et B sont deux éléments de F , alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Preuve :...

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INTRODUCTION GENERALE

Démonstration. i)

On applique le ii) de la définition à la famille d’événements disjoints (Ω, ∅, ∅, ...) :

1 = P(Ω) +

∞ X

P(∅).

i=1

La série dans le membre de droite ne converge alors que si P(∅) = 0. ii)

On applique le ii) de la définition à la famille d’événements disjoints (A1 , A2 , . . . , An , ∅, ∅, . . .) en utilisant que P(∅) = 0 : n [

P(

i=1

iii)

Ai ) =

n X i=1

P(Ai ) +

n X

P(∅) =

i=n+1

n X

P(Ai )

i=1

On applique ii) à la famille d’événements disjoints (A, Ac ) : P(A) + P(Ac ) = P(A ∪ Ac ) = P(Ω) = 1 d’après le i) de la définition.

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Démonstration.[suite] iv)

Soit A et B deux événements tels que A ⊂ B. Comme B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac ), avec (B ∩ A) ∩ (B ∩ Ac ) ⊂ A ∩ Ac = ∅, on peut appliquer ii) : P(B)

= P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac )

| {z } ≥0

≥ P(B ∩ A) = P(A) v)

On écrit A ∪ B comme la réunion disjointe A ∩ B c , A ∩ B et B ∩ Ac , et on remarque que A est la réunion disjointe A ∩ B c , et A ∩ B, tandis que B est la réunion disjointe A ∩ B et B ∩ Ac . On obtient donc : P(A ∪ B)

= P(A ∩ B) + P(A ∩ B c ) + P(B ∩ Ac ) = (P(A ∩ B c ) + P(A ∩ B)) + (P(A ∩ B) + P(B ∩ Ac )) − P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

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Proposition vi) si (Ai )1≤i≤n sont des éléments de F , alors P(

[ i∈N

Ai ) ≤

X

P(Ai )

i∈N

vii) (Limite croissante) si (Ai )1≤i≤n forment une suite croissante d’éléments de F , c’est à dire s’ils vérifient ∀i ∈ N Ai ⊆ Ai+1 , alors P(

[

Ai ) = limi−→+∞ P(Ai ).

i∈N

viii) (Limite décroissante) si (Ai )1≤i≤n forment une suite décroissante d’éléments de F , c’est à dire s’ils vérifient ∀i ∈ N Ai+1 ⊆ Ai , alors P(

\

Ai ) = limi−→+∞ P(Ai ).

i∈N

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INTRODUCTION GENERALE

Démonstration. On construit à partir de la famille (Ai )i∈N une famille (Bi )i∈N de la façon suivante : i−1 [

B0 = A0 et ∀i ≥ 1, Bi = Ai \ (

Aj ),

j=0

on vérifie alors (exercice) que •

∀i ∈ N, Bi ⊂ Ai , et donc P(Bi ) ≤ P(Ai ).

•

i 6= j =⇒ Bi ∩ Bj = ∅,

•

∀n ∈ N,

Sn i=0

Bi =

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Sn i=0

Ai (par récurrence) et donc

S i∈N

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Bi =

S i∈N

Ai

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Démonstration.[suite]

S

S

P

P(Bi ) ≤

P

vi)

P(

vii)

P( i∈N Ai ) = P( i∈N Bi ) = limn−→∞ P(Bi ). i=1 Mais Pn Sn Sn P(Bi ) = P( i=1 Bi ) = P( i=1 Ai ) = P(An ) par croissance de la suite (An )n∈N . i=1 Donc

i∈N

Ai ) = P(

S

i∈N

Bi ) =

i∈N

i∈N

P(Ai ).

Pn

S

P(

[

Ai ) = limn−→∞ P(An ).

i∈N

viii)

Utiliser le point précédent et passer au complémentaire (exercice).

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Conditionnement et indépendance

Probabilité conditionnelle La probabilité conditionnelle permet de prendre en compte l’information dont on dispose (à savoir qu’un événement A est réalisé) pour actualiser la probabilité que l’on donne à un événement B.

Exemple

On lance une fois un dé cubique parfait dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Soit A l’événement : 00 on obtient un nombre inférieur ou égal à 5 00 et B l’événement : 00 on obtient un nombre supérieur ou égal à 3 00 . Supposons que l’on sache que A est réalisé. Le résultat du lancer est donc un élément de {1, 2, 3, 4, 5} et il y a 5 cas possibles. B est réalisé si, et seulement si, ω ∈ {3, 4, 5}. Il y a donc 3 cas favorables pour que B soit réalisé. La probabilité que B soit réalisé sachant A l’est est 53 . Or, on a P(A) =

5 6

et P(A ∩ B) = 36 , donc 3 P(A ∩ B) = . 5 P(A)

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Conditionnement et indépendance

Définition Soit (Ω, A, P) un espace de probabilité et soit A un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement B ∈ A, on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A la quantité, notée P(B/A) et définie par : P(A ∩ B) PA (B) = P(B/A) = . P(A)

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Conditionnement et indépendance

Remarque 1.

La Probabilité conditionnelle est une vraie probabilité. Pour cela, montrons que PA est une application de A dans [0, 1] telle que pour toute suite (Bn )n∈N d’éléments 2 à 2 disjoints de A on a : X PA (Bn ). PA (∪n∈N Bn ) = n∈N

• On a A ∩ B ∈ A donc P(A ∩ B) existe et on a aussi A ∩ B ⊂ A donc PA (B) ∈ [0, 1]. • Soit (Bn )n∈N une suite d’éléments 2 à 2 disjoints. On a : ∞

PA (∪∞ n=0 Bn ) = 2.

P(A ∩ (∪n≥0 Bn )) P(∪n≥0 (A ∩ Bn ) X P(A ∩ Bn ) = = . P(A) P(A) P(A) n=0

Si A, B ∈ A sont tels que P(A) > 0 et P(B) > 0, on a la propriété évidente mais très utile suivante : P(A ∩ B) = PB (A)P(B) = PA (B)P(A).

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Conditionnement et indépendance

Théorème (Formule des probabilités composées) Soit (Ai )1≤i≤n une famille d’événements telle que P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 ) 6= 0. Alors, P(∩ni=1 Ai ) = P(A1 )PA1 (A2 )...PA1 ∩A2 ∩...∩An−1 (An ). Remarque Toutes les probabilités écrites ont un sens car : ∀j ∈ {1, 2, ..., n − 1}

A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 ⊂ A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Aj .

Donc P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Aj ) ≥ P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 ) > 0. Preuve. ...

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Conditionnement et indépendance

Exemple Un sac contient 3 boules blanches et 7 noires. On tire successivement 3 boules sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir les trois boules blanches ? Soit Bk (resp. Nk ) l’événement 00 le k ieme tirage donne une boule blanche Soit A l’événement 00 on obtient 3 boules blanches 00 .

00

(resp. noire).

A = B1 ∩ B2 ∩ B3 .

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Conditionnement et indépendance

D’après la formule des probabilités composées, on a : P(A) = P(B1 )PB1 (B2 )PB1 ∩B2 (B3 ). Puisque le sac contient 10 boules dont 3 blanches, on a : P(B1 ) =

3 . 10

À l’issue du premier tirage, le sac contient 9 boules et si la première boule tirée est blanche, il ne reste que 2 boules blanches donc, 2 PB1 (B2 ) = . 9 À l’issue du deuxième tirage, le sac contient 8 boules et si les deux boules tirées sont blanches, il ne reste que 1 boule blanche donc, PB1 ∩B2 (B3 ) =

1 . 8

Finalement, P(A) =

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3 2 1 1 × × = . 10 9 8 720

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Conditionnement et indépendance

Définition Une suite finie ou non (Bn )n∈I⊆N d’événements de Ω est appelée une partition de Ω si les Bn sont deux à deux disjoints et si leur réunion est égale à Ω. On a alors le théorème : Théorème (Principe des probabilités totales) Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé, soit (Bn )n∈I⊆N une partition telle que P(Bn ) > 0 pour tout n ∈ I et soit A ∈ A. On a : X PBn (A)P(Bn ). P(A) = n∈I

Preuve. P(A)

= P(A ∩ Ω) = P(A ∩ ∪n∈I Bn ) = P(∪ P n∈I (A ∩ Bn )) P = P(A ∩ Bn ) = P (A)P(Bn ). n∈I n∈I Bn

Remarque : Quand n = 2, on obtient en particulier : P(A) = PB (A)P(B) + PB c (A)P(B c ).

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Conditionnement et indépendance

Exemple On effectue des tirages sans remise dans un sac contenant 3 boules blanches et 7 boules noires. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire au deuxième tirage ? Le premier tirage a donné soit une boule blanche soit une boule noire, donc : P(N2 ) = P(B1 )PB1 (N2 ) + P(N1 )PN1 (N2 ) On a P(B1 ) =

7 3 , et P(N1 ) = . 10 10

À l’issue du premier tirage, le sac ne contient que 9 boules dont 7 noires si B1 a été réalisé et 6 boules noires si c’est N1 qui a été réalisé. Donc : PB1 (N2 ) = D’où : P(N2 ) =

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7 9

et

PN1 (N2 ) =

6 9

3 7 7 6 7 × + × = . 10 9 10 9 10

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Conditionnement et indépendance

Théorème (Formule de Bayes) Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé, soit (Bk )nk=1 une partition de Ω telle que P(Bk ) > 0, pour tout k ∈ {1, ..., n} : PB (A)P(Bk ) PA (Bk ) = P k P (A)P(Bj ) j Bj Preuve. On a : PBk (A)P(Bk ) = PA (Bk )P(A) = PA (Bk )

n X

PBj (A)P(Bj ).

j=1

Interprétation I A chacun des événements (Bk ) correspond une information initiale qui permet d’évaluer à priori les probabilités P(B1 ), P(B2 ),...,P(Bn ). I Soit A un événement quelconque pour lequel on connaît a priori les probabilités conditionnelles PB1 (A), PB2 (A),..., PBn (A) (elles sont appelées des vraisemblances).) I Le théorème de Bayes permet de calculer les probabilités conditionnelles a posteriori PA (Bk ) à partir des probabilités a priori les P(Bk ) et les PBk (A). LAKHEL El Hassan

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Conditionnement et indépendance

Exemple Reprenons l’exemple précédent et effectuons deux tirages. Le second tirage ayant donné une boule blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée ait été blanche ? Cherchons PB2 (B1 ) : PB2 (B1 )

= = =

P(B2 ∩B1 ) P(B2 ) P(B1 )PB1 (B2 ) P(B1 )PB1 (B2 )+P(N1 )PN1 (B2 ) 3 ×2 2 10 9 3 ×2+ 7 ×3 = 9. 10

9

10

9

♣ Exercice : Une entreprise utilise trois machines différentes A, B, et C pour fabriquer des pièces. 40% sont fabriquées par A, 30% par B et 30% par C . La machine A produit 2% de pièces défectueuses, B 4% et C 5%. 1.

On prélève une pièce au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ?

2.

On prélève une pièce. Elle est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle vienne de A ?

3.

On prélève une pièce. Elle est saine. Quelle est la probabilité qu’elle vienne de C ?

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Conditionnement et indépendance

Solution : Soit A : "être fabriqué par A", B : " être fabriqué par B",... D : " être défectueuse" et D : "saine". On a P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(C ) = 0.3. A, B et C sont tels que A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = ∅ et A ∪ B ∪ C = Ω. 1

En applicant la formule des probabilités totales on a : P(D)

2

= PA (D)P(A) + PB (D)P(B) + PC (D)P(C ) = 0.02 × 0.4 + 0.04 × 0.3 + 0.05 × 0.3 =

D’après le théorème de Bayes, PD (A) =

PA (D)P(A) 0.02 × 0.4 = . P(D) P(D)

3

PD (C ) =

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PC (D)P(C ) P(D)

=

0.95 × 0.3 . 1 − P(D)

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Indépendance d’événements et de sous-tribus.

Indépendance d’événements

Parfois, A et B sont tels que PB (A) = P(A). Autrement dit le fait de savoir que B est réalisé ne donne aucune information supplémentaire sur le fait de savoir que A l’est. Cela conduit à la : Définition Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé. 1.

Deux événements A et B sont dits indépendants si : P(A ∩ B) = P(A)P(B).

2.

Une suite (Ai )i∈{1,2,...,n} d’événements est dite mutuellement indépendante si, pour toute partie non vide I ⊂ {1, 2, ..., n}, on a P(∩i∈I Ai ) =

Y

P(Ai )

i∈I

3.

Une suite (Ai ) d’événements est dite indépendante deux à deux si, on a P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai )P(Aj ),

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∀i 6= j.

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Indépendance d’événements et de sous-tribus.

Indépendance d’événements

Remarque 1.

L’indépendance mutuelle implique évidemment l’indépendance deux à deux. Mais attention, si n ≥ 3, la réciproque est fausse.

Exemple Soit Ω = {1, 2, 3, 4} avec P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = 41 .

I Les événements A = {1, 2}, B = {1, 3} et C = {1, 4} sont deux à deux indépendants. On a : P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 14 , P(A ∩ C ) = P(A)P(C ) = 14 et P(C ∩ B) = P(C )P(B) = 41 . I Mais pas mutuellement indépendants P(A ∩ B ∩ C ) =

2.

1 1 6= = P(A)P(B)P(C ) 4 8

La notion d’indépendance dépend de la probabilité considérée. On peut imaginer un espace mesurable (Ω, A), sur lequel existent deux probabilités P et Q telles que les événements A et B soient indépendants sous P et pas sous Q.

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Indépendance d’événements et de sous-tribus.

Indépendance d’événements

Exercice Pour montrer que l’indépendance n’est pas une propriété intrinsèque des événements et qu’elle dépend de la probabilité considérer, on choisit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} muni de la tribu P(Ω). Soit P1 et P2 les probabilités définies sur (Ω, P(Ω)) par : i P1 ({i})

1

2

3

4

5

6

1 6

1 6

1 3

1 9

1 9

1 9

et

i P2 ({i})

1

2

3

4

5

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

On pose A = {1, 2} et B = {2, 3}. 1

Pour i=1, 2, calculer Pi (A), Pi (B) et Pi (A

2

Conclure.

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T

B).

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Indépendance d’événements et de sous-tribus.

Indépendance d’événements

♠ Attention : Ne confondez pas ”événements indépendants et événements disjoints” ! ! Par exemple, A et Ac sont disjoints et ne sont pas indépendants : si on sait que A est réalisé, on est sûr que Ac n’est pas réalisé. P(A ∩ Ac ) = P(∅) = 0. Et P(A)P(Ac ) = P(A)(1 − P(A)) 6= 0

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en général.

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Indépendance d’événements et de sous-tribus.

Indépendance d’événements

Définition Deux sous tribus G et G 0 de A sont indépendantes si ∀A ∈ G, ∀A0 ∈ G 0 ,

P(A ∩ A0 ) = P(A)P(A0 ).

i.e. tout événement de G est indépendant de tout événement de la tribu G 0 . Exemple Soit Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 }, et A = P(Ω) muni de l’équiprobabilité. On pose : G = {∅, Ω, {ω1 , ω2 }, {ω3 , ω4 }}, et G 0 = {∅, Ω, {ω1 , ω3 }, {ω2 , ω4 }}. Alors G et G 0 sont deux sous tribus de A indépendantes. Exercice Si deux tribus A1 et A2 sur (Ω, A, P) sont indépendantes et ayant un élément commun A, on a : P(A) = 0 On a :

ou

1.

2

P(A ∩ A) = P(A) = P(A). D’où

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Application : Apparition d’un pile dans un schéma de Bernoulli

Application : On considère une suite infinie de lancers de pile ou face indépendants ; on suppose qu’à chaque lancer on a une probabilité p ∈]0, 1[ d’obtenir pile. Montrer qu’avec probabilité 1, pile va apparaitre dans la suite de lancers. On note An l’événement 00 pile apparait au n-ième lancer 00 . On sait par les hypothèses que les (An )n∈N∗ sont indépendants et que P(An ) = p > 0 pour tout n. On note A l’événement 00 pile apparait au mois une fois 00 . Alors Ac = ∩n≥1 Acn et donc, pour tout N ∈ N∗ ,

c P(Ac ) ≤ P(∩N n=1 An ) =

N Y

P(Acn ) = (1 − p)N

n=1

qui tend vers 0 quand N tend vers l’infini. Donc, P(Ac ) = 0. Par suite, P(A) = 1. LAKHEL El Hassan

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Application : Apparition d’un pile dans un schéma de Bernoulli

Exercice 1.

Deux évenements incompatibles peuvent-ils être indépendants ?

2.

Soit (Ω, F , P) un espace probabilisé et A ∈ F . Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes

a) P(A) = 0 ou P(A) = 1 b) Pour tout B ∈ F, A et B sont indépendants. 3.

Soient A et B deux événements. Montrer que si A et B sont indépendants, alors Ac et B (resp. A et B c , Ac et B c ) sont indépendants.

4.

On considère un espace probabilisé (Ω, F , P) et deux événements A et B dans F . Montrer que si A et B sont indépendants alors F (A) et F (B) sont indépendantes.

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Conclusion

Conclusion

La probabilité d’un événement peut être considérée comme une caractéristique de notre information à son sujet que l’on modifie dès que cette information est complétée. Toute probabilité est donc conditionnelle et dépend de notre connaissance des objets en cause. "Nous devons nous souvenir que la probabilité d’un événement n’est pas une qualité de l’événement lui-même mais un simple mot pour désigner le degré de connaissance que nous, ou quelqu’un d’autre, peut espérer." J. Stuart Mill (1806-1873)...

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