CH.4 Modèle Cinématique Des Robots [PDF]

Zitiervorschau

Systèmes avancés et robotique Chapitre.4 Modèle Cinématique des robots. Mlaouhi Ibrahim Mastère CIM Computer Integration Manufacturing

11/12/2020

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1

Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Le MCD permet de relier les mouvements différentiels de l’organe terminal au mouvement dans les liaisons.

Généralement dans Le MCD, on donne les qi (dérivées des variables articulaires) et on cherche les vitesses ou le torseur cinématique de l’organe terminal :

Vn /0  = n /0

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VOn n /0

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

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Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Le MCD décrit les vitesses des coordonnées opérationnelles X en fonction des vitesses articulaires q :

x =  J (q) q

avec J(q) la Matrice Jacobienne du Robot donnée par :

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Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) On peut aussi parler des petits déplacement :  q et le modèle reste valable, c-à-d :

et  x

 x =  J (q) q Avec: J(q) la Matrice Jacobienne.

 q = ( q finale − qinitiale ) Remarque : En général, le Jacobien dépend des positions articulaires q, c’est pourquoi on le note parfois J(q). 11/12/2020

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Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Exemple: Soit le Robot 3R plan

y3

a3

3

x3 2

T3 , 2 R3

Identification des coordonnées articulaires: Identification des paramètres géométriques qui a1 , a2 , a3 définissent le mécanisme:

1

T2 , 1R2

0 0

T1 , 0 R1

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Mettre ces changements de repères sous la forme de matrice homogène MLAOUHI ibrahim

5

Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Détermination du MGD de ce mécanisme

y3

a3

3

x3 2

T3 , 2 R3

 Px  a1 cos 1 + a2 cos (1 +  2 ) + a3 cos (1 +  2 + 3 )      X =  Py  =  a1 sin 1 + a2 sin (1 +  2 ) + a3 sin (1 +  2 + 3 )      1 +  2 + 3    

1

T2 , 1R2

0 0

T1 , 0 R1

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Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD)

y3

a3

3

x3

 Px  a1 cos 1 + a2 cos (1 +  2 ) + a3 cos (1 +  2 + 3 )      X =  Py  =  a1 sin 1 + a2 sin (1 +  2 ) + a3 sin (1 +  2 + 3 )      1 +  2 + 3    

La Matrice Jacobienne J(q) du Robot est obtenue en dérivant les équations du MGD.

0

C-à-d

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Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD)  Px  a1 cos 1 + a2 cos (1 +  2 ) + a3 cos (1 +  2 + 3 )      X =  Py  =  a1 sin 1 + a2 sin (1 +  2 ) + a3 sin (1 +  2 + 3 )      1 +  2 + 3    

 −a1 sin 1 − a2 sin (1 +  2 ) − a3 sin (1 +  2 + 3 ) − a2 sin (1 +  2 ) − a3 sin (1 +  2 + 3 ) − a3 sin (1 +  2 + 3 )    J =  a1 cos 1 + a2 cos (1 +  2 ) + a3 cos (1 +  2 + 3 ) a2 cos (1 +  2 ) + a3 cos (1 +  2 + 3 ) a3 cos (1 +  2 + 3 )    1 1 1 11/12/2020

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Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Exercice.1:

E

x1

l2

2 x2

 l1

1. Déterminer les coordonnées XE et YE du point E dans la base fixe 2. Déterminer le MCD du robot RR



   =  1 −  2 

y0

1 x0

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Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Correction Exercice.1:      l 2 sin   2 − 1 +  - l1 sin  1 −    E  x   l 2 sin ( 2 −  ) - l1 sin    2 2   X= = =  E l cos  −  + l cos  ( )         2 1  y   2 l 2 cos   2 − 1 +  + l1 cos  1 −    2 2    

   =  1 −  2 

 X E   l 2 sin ( 2 −  ) - l1 sin    l 2 cos ( 2 − 1 ) + l1 cos 1  X= = =  l cos  −  + l cos  l sin  −  + l sin  Y ( 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 1    2  E   2 11/12/2020

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Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD)  X E   l 2 cos ( 2 − 1 ) + l1 cos 1   =  l sin  −  + l sin  Y ( 2 1 ) 1 1   E   2  J11 J=  J 21

J12   l 2 sin ( 2 − 1 ) − l1 sin 1 =  J 22   - l 2 cos ( 2 − 1 ) + l1 cos 1

- l 2 sin ( 2 − 1 )   - l 2 cos ( 2 − 1 ) 

 Ex   J= 1  Ey    1

Ex   2   Ey   2 

x =  J (q) q  X E   l 2 sin ( 2 − 1 ) − l1 sin 1 x= =  YE   - l 2 cos ( 2 − 1 ) + l1 cos 1 11/12/2020

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- l 2 sin ( 2 − 1 )  1    - l 2 cos ( 2 − 1 )   2  11

Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Exercice.2:

z3

y2

y3 z2 x2

x3

2

1- Déterminer les paramètres de DH 2- Trouver les matrices de transfères

z1

( i −1)

Ti

3- Déterminer la matrice globale de passage T 3 0

d2

x1

y1 z0

4- Trouver les fonctions f1, f2 et f3 en fonction des paramètres variables

1 x0

y0

f1 (1 , 1 , 2 )

f 2 (1 , 1 , 2 )

f3 (1 , 1 , 2 )

5-Calculer la matrice Jacobéenne du robot, En déduire le MCD.

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Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Correction Exercice.2:

3 = −

 2

z3

L’axe Zi est aligné avec l’axe de la liaison i+1 L’axe Zi-1 est aligné avec l’axe de la liaison i L’axe Xi est perpendiculaire à l’axe Zi-1 et passe par Oi

y2

y3 z2

2 =

x2 z1 d2

x1

2=

 2

y1

z0

1

1 x0

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y0

x3

 2

2

▪ ▪ ▪ ▪

L’angle i : Angle entre Zi et Zi-1(rotation autour de Xi) La distance di : Distance ente Xi-1 et Xi le long de Zi-1 L’angle i : Angle entre Xi-1 et Xi (rotation autour de Zi-1) La distance ai : Distance ente Zi-1 et Zi le long de Xi

i

i

di

ai

i

1

1

1

0

0

2

+2

𝜋

d2

0

+2

3

-

𝜋 2

2

0

0

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𝜋

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Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Correction Exercice.2:

z3

3 y2

y3 z2 x2

z1 d2

x1

z0

x0 11/12/2020

2

i

di

ai

i

1

1

1

0

0

2

+2

𝜋

d2

0

+2

3

-2

𝜋

2

0

0

2

Cos i  Sin  i i −1 Mi =   0   0

2 C1 y1  S 0 T1 =  1  0   0

1

1

x3

i

y0

− S1C1 C1C1 S1 0

S1S1 a1C1  C1 −C1S1 a1S1   S1 = C1 d1   0   0 1   0 C3  S 2 T3 =  3  0   0

− S1 C1 0 0

− S3C 3 C3C 3 S 3 0

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− Sin i Cos  i Cos i Cos  i Sin  i 0

0 0 C 2  S 0 0  1 T2 =  2  0 1 1    0 1  0 S3 S 3 −C3 S 3 C 3 0

Sin i Sin  i − Cos i Sin  i Cos  i 0

− S 2C 2 C 2C 2 S 2 0

a3C3   0 a3 S3   −1 = d3   0   1  0

1 0 0 0

S 2 S 2 −C 2 S 2 C 2 0

𝜋

ai Cos i  ai Sin i  di   1  a2C 2  0 a2 S 2  1 = d 2  0   1  0

0 0 0 0  1 2   0 1 14

0 0 1 0

1 0 0 0  0 d2   0 1

Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Correction Exercice.2:

z3

3 y2

y3 z2 x2

z1 d2

x1

2

y1 z0

1

1 x0 11/12/2020

y0

x3

2

2

C1  S 0 T3 = 0T1 1T2 2T3 =  1  0   0

− S1 C1 0 0

0 0  0 0 0  1  1 1  0   0 1  0

0 0 1 0

1 0 0 0 0   −1  0 d2   0   0 1 0

1 0 0 0

0 0 0 0  1 2   0 1

 0 − S1 C1 2C1   0 C  S   S  1 1 2 1  0 T3 = 0T1 1T2 2T3 =   −1 0 0 1 + d 2    0 0 0 1  

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15

Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Correction Exercice.2:

z3

3 y2

y3 z2 x2

z1 d2

x1

2

y1

x3

2

2

 0 − S1 C1 2C1   0 C  S   S  1 1 2 1 0  T3 = 0T1 1T2 2T3 =   −1 0 0 1 + d 2    0 0 0 1     R ij 0 T3 =    0 0

1 x0 11/12/2020

 q1  1      q = q2  =  1   q     3  2

 f1 (q) = 2C1   f 2 (q) = 2 S1  f (q) =  + d 1 2  3

z0

1

 Tij    0 1

y0

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16

Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Correction Exercice.2:

 f1 (q) = 2C1   f 2 (q) = 2 S1  f (q) =  + d 1 2  3

z3

3 y2

y3 z2 x2

z1 d2

x1

2

y1 z0

1

1 x0 11/12/2020

y0

x3

2

2

 f1   q1  f 2 J=  q1  f3   q1

 J11 J =  J 21  J 31 MLAOUHI ibrahim

f1 q2 f 2 q2 f3 q2

J12 J 22 J 32

f1   f1   q3   1 f 2   f 2 = q3   1 f3   f3   q3   1

f1 1 f 2 1 f3 1

f1   2  f 2   2  f3   2 

J13   −2 S1 0 C1  J 23  =  2C1 0 S1  J 33   0 1 0  17

Obtention du Modèle Cinématique Direct (MCD) Correction Exercice.2:

z3

3

 −2 S1 0 C1  J =  2C1 0 S1   0 1 0 

y2 y3 z2 x2

z1 d2

x1

2

y1 z0

1

1 x0 11/12/2020

y0

x3

2

x =  J (q) q

2

 X E   −2 S1 0 C1  1      x =  YE  =  2C1 0 S1    1  Z   0    1 0 E   2     X E  −21S1 + 2C1      x =  YE  =  21C1 + 2 S1  Z     E 1     MLAOUHI ibrahim

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