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Zitiervorschau

Extraits des sujets du BAC

Prof : IDRISSI Abdessamad

2ème Année Bac Sc Exp

 Exercice 1 :. (BAC 2007 Session de rattrapage)

........... ...............

 u0  2  Soit  un  n la suite définie par :  ;  n  1  un1  5  un  4n  1  On pose  n   : vn  un  n  1 .

①-

Montrer que

②- a –

 vn 



1 . 5

est suite géométrique de raison

Calculer v n en fonction de n.

b – En déduire un en fonction de n, puis calculer lim un . 

x

③-

On pose :

 n   :

Montrer que :

Tn  v0  v1  .....  vn et S n  u0  u1  .....  un .

 n   :

 n  1 n  2  1 1  . Tn   5  n  et S n  Tn  2 4 5 

 Exercice 2 :. (BAC 2008 Session de rattrapage)

 u0  2  ;  n  la suite définie par :  5un  un1  2u  3 n 

Soit

 un  n

①-

Montrer que :  n 

②-

On pose

 n   :

: vn 

un  1 . un

de n.

 Exercice 3 :

:

un 

2  3 2   5

n

x

 n   :

vn 

 n   :

1  un

.

0.

2un  1 . un  1

a – Montrer que  v n  est suite géométrique de raison de n.



................... .....

(BAC 2009 Session de rattrapage)

puis montrer par récurrence que : pose

3 , puis Calculer v n en fonction 5

puis Calculer lim un .

 u0  0  Soit  un  n la suite définie par :  1  4un ;  n  u  n  1  7  2un  6  1  un  ① - Vérifier que :  n   : 1  un1  . 5  2  1  un 

②- On

.

1.

un

a – Montrer que  v n  est suite géométrique de raison b – Montrer que :  n 

............... ............

5 , puis Calculer v n en fonction 6

[email protected]

1/6

n

b – Montrer que :  n 

 Exercice 4 : Soit

:

 5   1 6 , en déduire la limite de la suite  un  . un   n  5  6 2  

 u0  2  la suite définie par :  3un  1 ;  n   un 1  2u n 

 un  n

①-

Montrer par récurrence que :

②-

On pose

 n   :

 n   :

un  1 . 2un  1

vn 

:

Calculer lim wn , tel que x



un 

 wn 

 n   :

 u0  1  ;  n  3un   un1  u  21 n 

①-

Montrer que :  n 

:

un

②-

Montrer que :  n 

:

un1

③-

Montrer que la suite

 un 

④-

a - Montrer par récurrence que :

la suite définie par :

.

1 u . 7 n

est décroissante et qu'elle est convergente.

 n   : *

 un  .

n

un

1 7 .  

....

(BAC 2011 Session normale)  u0  1  ;  n  la suite définie par :  un  un 1  8u  5 n 

Montrer par récurrence que :

②-

On pose

 n   :

vn 

...............

0.

b - Calculer la limite de la suite

①-

wn  ln  un  .

....

(BAC 2010 Session de rattrapage)

 un  n

 un  n

vn  1 puis en déduire que lim un  1 . x  2vn  1

est la suite définie par

Soit

Soit

1 , puis déduire que : 2

n

b – Montrer que :  n 

 Exercice 6 :

.

11 vn    . 3 2

 n   :

 Exercice 5 :

.....................

un  1 0 .

a – Montrer que  v n  est suite géométrique de raison

③-

....

(BAC 2010 Session normale)

 n   :

un

.....................



0.

1  2. un

a – Montrer que  v n  est suite géométrique de raison 5 , puis Calculer vn en fonction de n. [email protected]

2/6

b – Montrer que :  n 

 Exercice 7 : Soit

 un  n

:

un 

1 , puis calculer la limite de la suite  un  . 3  5n  2

 n  

la suite définie par :

① - a – Vérifier

que :

 vn 

Montrer que

③ - Montrer

Soit

 un  n

① - Vérifier

:

1 . 3

un

1 . 3un

1 , puis Calculer v n en fonction de n. 6

est suite géométrique de raison

que :  n 

 Exercice 8 :

vn  1 

:

6un et u0  1 . 15un  1

: un1 

1 1 3 . un1   3 15un  1

 n   :

 n   :

On pose

un 

1 1 3  2    6

n

, puis calculer la limite de la suite

....

(BAC 2012 Session normale) la suite définie par :  n 

que :

② - a – Montrer

 n   :

...............

un 

b – Montrer par récurrence que :  n 

②-

....

(BAC 2011 Session de rattrapage)

un1  12 

par récurrence que :

:

un1 

 un  .

.....................

10 12 et u0  11 . un  11 11

10  u  12 . 11 n

 n   :

un

12 .

b – Montrer que la suite  un  est strictement décroissante c – Déduire que la suite  un  est convergente.

③-

Soit

 vn 

la suite définie par :

 n   :

vn  un  12 .

a – En utilisant la question ① Montrer que  v n  est suite géométrique de raison Calculer v n en fonction de n.

10 , puis 11

b – Calculer un en fonction de n, puis calculer sa limite.

 Exercice 9 : Soit

 un  n

(BAC 2012 Session de rattrapage) la suite définie par :

①-

Montrer par récurrence que :

②-

On pose

 n   :

vn 

 n   :

 n   :

un1

un

4u  3  n 3un  4

....

...............

et u0  3 .

1.

un  1 . un  1

a – Vérifier que :  n 

:

b – Montrer que :  n 

:

2 . Et déduire que  n  un  1 1  vn un  . 1  vn 1  vn 

:

[email protected]

1  vn

0.

3/6

1 , puis Calculer v n en fonction de n. 7 b – Montrer que : lim vn  0 , puis calculer la limite de la suite  un  .

③- a – Montrer

que

 vn  n

 Exercice 10 : Soit

①-

 un  n

est suite géométrique de raison





la suite définie par : n 

Vérifier que :

 n   :

5  un1 

*

*

:

Soit

 vn 

la suite définie par :

a – Montrer que :  n 



b – Montrer que : n 

*

*

:

25 et u1  0 . 10  un

0.

5  un

*

*

n

...................

.

5   5  un 

 n   :  n   : v

vn1 

:

un1 

5  5  un 

puis montrer par récurrence que :

②-

....

(BAC 2013 Session normale)



5 . 5  un

10  un , puis vérifier que : 5  un

vn  n , En déduire que :  n 

 n   : *

*

:

un  5 

vn 1  vn  1

5 . n

c – Calculer : lim un . n

 Exercice 11 : Soit

①-

 un  n



la suite définie par :  n 

Vérifier que :

②- a – Montrer

....

(BAC 2013 Session de rattrapage)

 n   :

un1  1 

par récurrence que :

:

un1 

1 4 un  et u0  2 . 5 5

..............

1  u  1 . 5 n

 n   :

1.

un

b – Montrer que la suite  un  est décroissante. c – Montrer que la suite  un  est convergente.

③-

Soit

 vn 

la suite définie par :

 n   :

vn  un  1 .

a – Montrer que  v n  est suite géométrique de raison b – Montrer que :  n 

 Exercice 12 : Soit

 un  n

:

n

1 un     1 , puis calculer la limite de la suite  un  .  5

....

(BAC 2014 Session normale)

la suite définie par :  n 

①-

Montrer par récurrence que :

②-

Soit

 vn 

1 , puis Calculer v n en fonction de n. 5

:

 n   :

la suite définie par :

un1

un

 n   :

1  un  7 et u0  13 . 2

...................

14 . vn  14  un .

a – Montrer que  v n  est suite géométrique de raison

1 , puis Calculer v n en fonction de n. 2

n

1 b – Montrer que :  n   : un  14    , puis calculer la limite de la suite  un  .  2 c – Calculer la petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle un 13, 99 . [email protected]

4/6

 Exercice 13 :

 un  n

Soit

① - Montrer

la suite définie par :

*

 n   :

un1 

*

 n   : u la suite définie par :  n   :

par récurrence que :

② - Soit  vn  n

*

n

 n   :

a – Montrer que

*

vn 1 

5un  4 1  un

et

..............

u1  5 .

2. vn 

*

*

....

(BAC 2014 Session de rattrapage)

3 . un  2

1  un , puis montrer que  v n  est une suite arithmétique un  2

de raison 1. b – Ecrire

 vn 

en fonction de n, en déduire que :

Soit

la suite définie par :  n 

① - Montrer

que :  n 

② - Vérifier

que :

④ - Soit  v n 



:

un

 n  

:

un1  un 

 un 

que

:

un

② - Soit  vn  n

un1 

..............

2 u  3 et u0  4 . 5 n

3  5  un  , En déduire que la suite  un  est croissante. 5

 n  

vn  5  un .

:



2 , puis écrire v n en fonction de n 5

n

 2 un  5    , puis calculer la limite de  un  .  5

:

....

(BAC 2016 Session normale)

la suite définie par :  n 

Vérifier que :

 n  

....

 vn  est une suite géométrique de raison

 Exercice 15 :

①-

:

3 . n

est convergente.

b – En déduire que :  n 

 un  n

un  2 

5.

la suite définie par :

a – Montrer que

Soit

:

(BAC 2015 Session de rattrapage)

 un  n

③ - En déduire

*

 un  .

c – Calculer la limite de

 Exercice 14 :

 n  

 n  

: un1  3 

:

un1 

4  un  3 

2   3  un 

3  un et u0  2 . 5  un

...................

, puis montrer par récurrence que :

3. la suite définie par :

a – Montrer que

 n  

:

vn 

un  1 . 3  un

 vn  est une suite géométrique de raison

1 . 2

n

1 En déduire que  n   : vn    .  2 1  3 vn b – Montrer que :  n   : un  , puis écrire un en fonction de n. 1  vn c – Calculer la limite de la suite

 un  .

[email protected]

5/6

 Exercice 16 :

....

(BAC 2016 Session de rattrapage)

 u0  2  la suite définie par :  1 15  un1  16 un  16 

Soit

 un  n

①-

a – Montrer que :

 n  

:

un

b – Vérifier que :

 n  

:

un1  un  

15  u  1 , puis montrer que la suite 16 n

vn  un  1 .

 vn  est une suite géométrique de raison

fonction de n . b – Montrer que :  n 

 Exercice 17 :



.

1.

 un  est décroissante. c – En déduire que  un  est convergente. ② - Soit  v n  la suite définie par :  n   : a – Montrer que

;  n 

1 , puis écrire v n en 16

n

:

 1 un  1    , puis déterminer la limite de la suite  un  .  16 

....

(BAC 2017 Session de rattrapage)

 u0  17  la suite définie par :  1 un1  un  12   4

Soit

 un  n

①-

a – Montrer par récurrence que : b – Montrer que la suite

..............

 n  

:

;  n 

un

..............

.

16 .

 un  est décroissante, et déduire que la suite  un 

est

convergente.

② - Soit  v n 

la suite définie par :

a – Montrer que

 n  

vn  un  16 .

:

 vn  est une suite géométrique . n

1 un  16    , puis déterminer la limite de la suite  un  .  4 c – Calculer la petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle un 16, 0001 . b – Déduire que :  n 



:

[email protected]

6/6