Capítulo 3B [PDF]

Zitiervorschau

33

3.6. El circuito de un par de nodos. Ejemplo 3.6. (6aE). (Igual a Ejemplo 1-4, 5aE). Determine la tensión, la corriente y la potencia asociadas con cada elemento del circuito de la figura 3.14a. Figura 3.14

1  30

120 A

R1 30 A

1  15

R2

120 A

+ 1 v  - 30

a)

R1 30 A

1  15

i1

i2

R2

b)

a) Circuito de un solo par de nodos. b) Se asignan una tensión y dos corrientes

Definimos primero una tensión v y elegimos de manera arbitraria su polaridad, como se exhibe en la figura 3.14b. Dos corrientes, que fluyen en los resistores, se escogen conforme a la convención de signos pasiva; tales corrientes se indican también en la figura 3.14b. Determinar cualquier corriente i1 o i2 nos posibilita obtener un valor de v. De tal modo, nuestro siguiente paso es aplicar la LKC a cualquiera de los dos nodos del circuito. Casi siempre es más claro aplicarla en el nodo en el que se localiza la referencia de tensión positiva; de ese modo, igualamos a cero la suma algebraica de las corrientes que salen del nodo superior:  120  i1  30  i2  0 Al escribir ambas corrientes en términos de la tensión v mediante la ley de Ohm: i1  30 v ; i2  15 v obtenemos:

 120  30 v  30  15 v  0

La solución de esta ecuación para v consiste en:  90  45 v  0 ; v 

90 2V 45

Al recurrir a la ley de Ohm obtenemos: i1  G1  v  30  2  60 A

; i2  G2  v  15  2  30 A

Ahora puede calcularse la potencia absorbida en cada elemento. En los dos resistores: PEEP-HyK

34

PR1  G1 v 2  30  22  120 W y PR 2  G2  v 2  15  22  60 W y para las dos fuentes: P120A   v i120A   2  120   240 W ; P30A  v i30A  2  30  60 W Puesto que la fuente de 120 A absorbe 240 W negativos, ésta suministra en realidad potencia a los otros elementos del circuito. De manera similar, descubrimos que la fuente de 30 A está en realidad absorbiendo potencia en vez de suministrarla. ¿Lo anterior resulta razonable o esperado? En verdad es inesperado, puesto que por lo general pronosticamos que una “fuente” actuará como una fuente de potencia en un circuito. Sin embargo, como hemos visto en este ejemplo, no siempre tiene que ser el caso. Práctica 3.6. (6aE). Determine v en el circuito de la figura 3.15. Figura 3.15 + 5A



v

1A



6A

-

Respuesta. Aplicando la LKC al nodo superior tenemos: ´ ´ 5  i10  1  i10  6  0 ; 10  i10  i10

Además tenemos aplicando la ley de Ohm: i10 

v v ´ ; i10  10 10

Sustituyendo: 10 

v v 2v 100   ; v  50 V 10 10 10 2

Ejemplo 3.7. (6aE). (Igual a Ejemplo 1-5, 5aE). Determine el valor de v y la potencia suministrada por la fuente de corriente independiente de la figura 3.16.

PEEP-HyK

35

Figura 3.16 +

i6 k

iX

2 iX

v

k

24 mA

Se asigna una tensión v y una corriente i6 en un circuito de un solo par de nodos que contiene una fuente dependiente. Mediante la LKC, la suma de las corrientes que salen del nodo superior debe ser cero, por lo que: i6  2 i X  0, 024  i X  0 De nuevo, observe que el valor de la fuente dependiente (2 iX) se trata como si fuese cualquier otra corriente, aun cuando no se conoce su valor exacto hasta que el circuito haya sido analizado. A continuación aplicamos la ley de Ohm a cada resistor: i6 

v 6  103

; iX 

v 2  103

Por lo tanto:  v   v  v  2  0, 024   0 3 3  3  6  10  2  10   2  10  y por ello:

v  600  0, 024  14, 4 V

Cualquier otra información que quizá queramos determinar para este circuito se obtiene ahora con facilidad, por lo general en un solo paso. Por ejemplo, la potencia suministrada por la fuente independiente es, P24 = 14,4 X 0,024 = 0,346 W (346 mW) y la corriente que fluye hacia la derecha en el conductor central superior es i = -0,024 + (14,4/2 X 103) = - 0,0168 A, o – 16,8 mA. Práctica 3.7. (6aE). (Igual a Ejercicio 1-12, 5aE). Para el circuito de un par de nodos de la figura 3.17 determine iA, iB e iC.

PEEP-HyK

36

Figura 3.17

5,6 A

+

iA

vX



iB

iC 

0,1 vX

2A

-

Respuesta. Aplicando la LKC al nodo superior tenemos: 5,6 

vX v  0,1 v X  X  2  0 18 9

 3, 6 6  1 1 1  54 V 3,6  v X      0 ; 3, 6  v X  0 v X    6 / 90  90  10 18 9  v v 54 54 i A  X   3 A ; i B   0,1 v X   0,1  54   5, 4 A ; iC  X   6 A 18 18 9 9 Ejemplo 3.8. (6aE). (Igual a Ejercicio 1-13, 5aE). Para el circuito de la figura 3.18a, encuentre i1, i2, i3 e i4. i1

i2 0,2 v1



Figura 3.18

2,5 A





- v1 + 

+ v1 0,2 v1 i3

a)

i1

+ v1 -

C

i3 2,5 A



B

A i10

i2 0,2 v1 A



C

i4

i1





D

i2 B

2,5 A

D i3

b)

i4

i4  c)

PEEP-HyK

37

a) Circuito de un solo par de nodos; b) Circuito con los puntos marcados como auxiliares; c) Circuito vuelto a dibujar. De a cuerdo con la ilustración, este circuito es poco difícil de analizar , por lo que decidimos primero volverlo a dibujar, después de marcar los puntos A, B, C y D como en la figura 3.18b, y por último en la 318.c. Definimos también una corriente i10 que circula por el resistor de 10  anticipándonos al uso de la ley de Kirchhoff de corriente. Ninguna de las corrientes que se desean resultan evidentes de inmediato a partir del diagrama del circuito, por lo que consideramos obtenerlas a partir de la ley de Ohm. Cada uno de los tres resistores tienen la misma tensión (v1) entre sus extremos, así que sumamos simplemente las corrientes que fluyen hacia el nodo más a la derecha. 

v1 v v  2, 5  1  0, 2 v1  1  0 100 10 25

Resolviendo encontramos v1 = 250/5 = 50 V. Al observar la parte inferior del circuito, observamos que: v 50 i4  1     0, 5 A 100 100 De un modo similar, determinamos que i1 = - 2 A. Las dos corrientes restantes , i2 e i3 se determinan con la LKC para sumar de manera independiente las corrientes conocidas en los nodos del lado derecho y del lado izquierdo. De tal manera: i2  i1  0, 2 v1  i10   2  10  5  3 A e

i3  i10  2, 5  i4   5  2, 5  0, 5   8 A

Ejercicio 27. (6aE). (Igual a Problema 24, 5aE). Determine la potencia absorbida por cada elemento de circuito de la figura 3.61, si el control para la fuente dependiente es: a) 0,81 iX; b) 0,8 iY. Figura 3.61 5A

+ v -

10 mS iY 40 mS

iX

PEEP-HyK

38

Respuestas. 10mS 

1 1  100  ; 40mS   25  3 10  10 40  103

a) Aplicando la LKC al nodo donde se encuentra la fuente dependiente tenemos: 5  0, 8 i X  i100  i X  0 ; 5  0, 8 

v v v   0 25 100 25

1   0,8 1  3, 2  1  4  5v   0 ; 5v 0  25 100 25   100  500  1, 8 v  0 ; v 

500  278 V 1, 8

P5A   v i5A   278  5   1390 W ; P100  

P25  

0, 8 i X  0, 8 

v 2 2782   773 W R100 100

v2 2782   3, 09  103 W = 3,09kW R25  25

278  8, 90 A ; P0   v i   278  8,90   2, 47  10 3 W =  2,47 kW 25

b) Aplicando la LKC al nodo superior tenemos: 5  i100  iY  0 ; iY  5  i100 Aplicando la LKC al nodo de la fuente dependiente tenemos: 5  0, 8 iY  i X  i100  0 ; 5  0, 8   5  i100   i X  i100  0 5  4  0, 8 i100  i X  i100  0 ; 9  1, 8 i100  i X  0 9  1, 8 

v v  1, 8 1   0 ; 9v  0 100 25  100 25 

 1, 8  4  9v  0 ; 9  58  103 v  0   100 

PEEP-HyK

39

v

9 v 155, 2 v 155, 2  155, 2 V ; i X    6, 21 A ; iY  5  5  3, 45 A 3 58  10 25 25 100 100 P5A   v i   155, 2  5   776 W ; P100 

v 2 155, 22   241 W R100 100

v 2 155, 22 P25    963 W R25 25 0,8 iY  0, 8  3, 45  2, 76 A ; P0   155, 2  2, 76   428 W Ejercicio 28. (6aE). (Igual a Problema 25, 5aE). Proporcione iX en el circuito de la figura 3.62. Figura 3.62 i1

5 k 4 mA

20 k 3i1

iX Respuesta. Aplicando la LKC al nodo inferior tenemos: i1  i X 

 4  103  1  10 3  v v 3 3  4  10  3 i   0 ; v    4  10  3 i1  0 1 5  103 20  103 20   v v  103  4  103  3 i1  0 ;  103   4  103  3 i1 4 4 v  10 3   16  103  12 i1 ; v   16  12  103 i1 Aplicando la LKC al nodo superior tenemos: 

v  4  103  i1  0 3 5  10

PEEP-HyK

40

Sustituyendo el valor de v:  16  12  103 i1 16 12  4  103  i1  0 ;   103  i1  4  103  i1  0 3 5  10 5 5  16  20 5  12  103  i1  0 ; 4  103  7 i1  0 5 5 i1 

4  103 4 4 A = mA ; i X  i1  mA 7 7 7

Ejercicio 29. (6aE). (Igual a Problema 26, 5aE). Calcule la potencia absorbida por cada elemento en el circuito de un par de nodos de la figura 3.63. Figura 3.63



7A 



8A

Respuestas. Redibujando el circuito tenemos:

8A

+ v -





7A



Aplicando la LKC al nodo superior tenemos: 8  7  i4  i6  i12  0 ; 15 

v v v   0 R4 R6 12

v 1 1 1   3  2 1  15  v      0 ; 15  v   0 ;15   0  2  4 6 12   12  v  15  2  30 V

PEEP-HyK

41

P8A   v  i8   30  8   240 W ; P4  

P6 

P12  

v 2 302   225 W R4 4

v 2 302   150 W ; P7A   v i7   30  7   210 W R6 6

v 2 302   75, 0 W ; R12 12

 P   240  225  150  210  75, 0  0

Ejercicio 30. (6aE). (Igual a Problema 27, 5aE). Determine la potencia que absorbe el elemento X en el circuito de la figura 3.64 si es: a) un resistor de 4 k; b) una fuente de corriente independiente de 20 mA, con flecha de referencia hacia abajo; c) una fuente de corriente dependiente, con flecha de referencia hacia abajo, marcada como 2 iX; d) una fuente de tensión independiente de 60 V, referencia + en la parte superior. Figura 3.64

80 mA

iX

k

30 mA

X

Respuestas. a) X es igual a un resistor de 4 k. Aplicando la LKC al nodo superior tenemos: 80  103  30  103  i X  i ´X  0 ; 50  103 

v v  0 3 1  10 4  103

 41  50  103  4  103 50  103  v   0 ; v   40 V 3  5  4  10  PX 

v2 402   0, 4 W = 400mW RX 4  103

b) X es igual a una fuente independiente de corriente de 20 mA, con la flecha dirigida hacia abajo. Aplicando la LKC al nodo superior tenemos: 80  103 

v v  30  103  20  103  0 ; 30  103  0 3 1 10 1 10 3 v  30  103  1 103  30 V

PEEP-HyK

42

P20mA  v i20mA  30  20  103  0, 6 W = 600mW c) X es igual a una fuente dependiente de corriente, con la flecha dirigida hacia abajo y con valor de control de 2 iX. Aplicando la LKC al nodo superior tenemos: 80  103 

v

v 2v 3v  30  103   0 ; 50  10 3  0 3 3 1  10 1  10 1  103

50  10 3  1  10 3 v 50 50  103  16, 67 V ; i X    A 3 1 103 3  1  10 3 3

P2 ix  v 2i x 

50 50  103  2  556  103 W = 556mW 3 3

d) X es igual a una fuente independiente de tensión de 60 V, con referencia + en la parte superior. Aplicando la LKC al nodo superior tenemos: 80  103 

v 60  30  103  i ´X  0 ; 80  103   30  103  i´X  0 3 3 1  10 1 10

i ´X  10  103 A P60V   60  10  10 3   0,6 W = - 600mW Ejercicio 31. (6aE). (Igual a Problema 28, 5aE). Si el elemento X de la figura 3.65 (igual a la figura 3.64) es una fuente de corriente independiente, con la flecha dirigida hacia arriba, marcada como iS, a) ¿Cuánto vale iS si ninguno de los cuatro elementos de circuito absorbe potencia? b) Sea el elemento X una fuente de tensión independiente, con la referencia + en la parte superior y marcada como vS. ¿Cuánto vale vS si la fuente de tensión no absorbe potencia? + v

80 mA

k

30 mA

X

iS

+ v S -

a)

b)

Respuestas. a) Todas las P = 0. Puesto que el resistor de 1 k no absorbe potencia la corriente por el es igual con cero. Aplicando la LKC al nodo superior tenemos.

PEEP-HyK

43

80  10 3  i S  30  103  0 ; i S   50  103 A = - 50mA b) Aplicando la LKC al nodo superior tenemos: 80  103 

vS  30  103  0 ; v s  50  103  1 103  50 V 3 1  10

Ejercicio 32. (6aE). (Igual a Problema 29, 5aE). a) Aplique las técnicas del análisis de un solo par de nodos en el nodo derecho superior de la figura 3.66 y determine iX. b) Trabaje ahora con el nodo izquierdo superior y proporcione v8. c) ¿Qué cantidad de potencia genera la fuente de 5 A? Figura 3.66 5A

+ 2A

v8

8

2 iX 3

9

7A

iX Respuestas. a) v v 4 1 1 5   7   0 ; 12  v     0 ; 12  v   0 3 9 9  3 9 v

12  9 v 27  27 V ; i X   3A 4 R9 9

b) 2

v8 v  2 iX  5  0 ; 2  8  2 3  5  0 R8 8 3

c)

v8  0 ; v8  3  8  24 V 8

 v8  v5  v  0 ;  24  v5  27  0 v5  3 V Pgen 5  v5 i5  3  5  15 W

PEEP-HyK

44

Ejercicio 33. (6aE). Encuentre la potencia que absorbe el resistor de 5  en la figura 3.67.

Figura 3.67 1 5A

+ 2

v1

5 v1

5

Respuesta. Redibujando el circuito tenemos:

1 5A

+ 2

5 v1

5

v1 -

v v 2 v 10 v 5   5 v1   0 ; v1  v ; 5   v   0 3 5 3 3 3 5 42 5  15 75  5  50  3  5v 0 ; 5 v 0 ; v   V  15 15 42 42   2

 75   2 v  42  P5    638  103 W = 638mW 5 5 Ejercicio 34. (6aE). Calcule la potencia que suministra cada fuente indicada en la figura 3.68.

PEEP-HyK

45

Figura 3.68

5

2A

3A

5

5

Respuestas.

v v v 3v 11 5 2  6  3     0 ; 11  0 ; v  18, 33 V 5 5 5 5 3

P2A  v i2A  18, 33  2  36,7 W ; P6A  v i6A  18, 33  6  110, 0 W P3A  v i3A  18, 33  3  55, 0 W Ejercicio 35. (6aE). Con referencia a la tabla 2.3, ¿cuántas millas de alambre de cobre sólido del número 28 se requieren para que con el segmento de alambre de la figura 3.69, indicado en gris, se obtenga i1 = 5 A? Figura 3.69

0,5  10 A

1 i1

Respuesta. Aplicando la LKC al nodo superior tenemos: v v 10   i1  0 ; 10   5  0 ; 5  v  0 1 1 v  5 V ; i1 

v 0, 5  Ra

; Ra 

v  0, 5 i1 5  0, 5  5   0, 5  i1 5

PEEP-HyK

46

De la tabla 2.3 obtenemos para un alambre de cobre sólido calibre 28 una resistencia de 65,3  por 1 000 pies. También tenemos que 1 pie es igual a 189,4 X 10 -6, de tal manera que la longitud del alambre gris es: LRa 

Ra 0,5   7,66pies ; LRa  7,66  189,4  106  1,451 10 3 millas RL 65, 3 / 1000

Ejercicio 36. (6aE). En el circuito de la figura 3.70, si v = 6 V, determine iS. Figura 3.70 -

v

+

1

5 2

iS

Respuesta. v v v 6 6 6   iS   0 ; 6   i S   0 ; i S  6  3   1, 8 A 1 2 5 2 5 5

3.7. Fuentes independientes conectadas en serie y en paralelo. Ejemplo 3.9. (6aE). Determine cuáles de los circuitos de la figura 3.20 son válidos. Figura 3.20 R 5V + -

+ 10 V -

a)

2 V +-

14 V +-

b)

1A R

5A

3A

R

1A c)

d)

a) a d) Ejemplos de circuitos con fuentes múltiples, algunos de los cuales violan las leyes de Kirchhoff.

El circuito de la figura 3.20a consiste en dos fuentes de tensión en paralelo. El valor de cada fuente es diferente, por lo que viola la LKT. Por ejemplo, si un resistor se pone en paralelo con la fuente de 5 V, también está en paralelo con la fuente de 10 V. La tensión real sus extremos es por tanto ambigua, y obviamente no hay posibilidad de construir el circuito como se indica. Si intentamos construir un circuito de este tipo en la vida real, será imposible localizar fuentes de tensión “ideales”; todas las fuentes del mundo real tienen una resistencia interna. La presencia de este tipo de resistencia permite una diferencia de

PEEP-HyK

47

tensión entre las dos fuentes reales. De acuerdo con lo anterior, el circuito de la figura 3.20b es perfectamente válido. El circuito de la figura 3.20c viola la LKC: no resulta claro que la corriente fluya en realidad a través del resistor R. En contraste, el circuito de la figura 3.20d no viola ninguna ley física. Sin embargo, la eliminación del resistor originaría un circuito sin sentido, puesto que tendríamos 5 A en serie con – 3 A, lo cual viola la ley de Kirchhoff de corriente. Práctica 3.8. (6aE). Determine v en el circuito de la figura 3.21 combinando primero las tres fuentes de corriente. Figura 3.21 5A

+ v 10  -

10 

1A

6A

Respuesta. + v 10  -

10 A

10 

i R  5  1  6  10 A 10 

v v v   10 10 5

; v  10  5  50 V

Ejercicio 37. (6aE). Mediante combinaciones de fuentes en serie, calcule i para los dos circuitos de la figura 3.71.

Figura 3.71 1A

+ v -

1 i

3A

3A

Figura 3.71 a)

PEEP-HyK

48

1A

1A

?

3A

7A + v -

2A

1 i

3,5 A

3,5 A

3,5 A

Figura 3.71b)

Respuestas. a) + v -

1A

1 i

ieq  1  3  3  1 A ; i  ieq  1 A b) 2A

+ v -

1 i

7A

i  279A

Ejercicio 38. (6aE). Calcule v para cada uno de los circuitos de la figura 3.71, combinando primero las fuentes. Respuestas. De los cálculos obtenidos en el ejercicio 3.71, obtenemos las corrientes que pasan por el resistor de 1 . De donde: a) b)

v  R i  1 1  1V v  R i  1 9  9 V

Ejercicio 39. (6aE).Calcule la corriente denominada i en cada uno de los circuitos de la figura 3.72.

PEEP-HyK

49

Figura 3.72

10 V

+ - 12 V

+ -

+

10 V - +

5

i 12 V +-

1 k

6V + + -

i

3V

2V

a)

b)

Respuestas. a) i 10 V

+ -

1 k

v  12  2  10 V v 10 i   10  10 3 A 3 R 1  10 =10mA

b) i 19 V

+ -

v  12  10  3  19 V

5

i

v 19   3, 8 A R 5

Ejercicio 40. (6aE). Calcule la potencia absorbida por cada uno de los resistores de 16  de la figura 3.73.

Figura 3.73 5V - + 10 V

+ -

16 

2A

16 

7A

PEEP-HyK

50

Respuesta.

15 V +-

16 

16 

5A

i v 2 152   14, 06 W R16 16

P16 

Ejercicio 41. (6aE). Para el circuito de la figura 3.74, calcule i si: a) v1 = v2 = 10 V y v3 = v4 = 6 V. b) v1 = v3 = 3 V y v2 = v4 = 2,5 V. c) v1 = - 3 V, v2 = 1,5 V, v3 = - 0,5 V y v4 = 0. 12  + v1 -

+ v4

i

+ v2

-

-

2 Respuestas.

v3 +

veq  v1  v 2  v3  v4 ; Req  12  2  14  Req + veq

i

a) veq  10  10  6  6  8 V ; i 

veq Req



8  0, 571 A = 571 mA 14

PEEP-HyK

51

b)

veq  3  2,5  3  2, 5  0 ; i  0

c) veq   3  1, 5  (  0, 5)  0   1V ; i 

1   71, 4  10 3 A = - 71,4mA 14

Ejercicio 42. (6aE). En el circuito de la figura 3.75, elija v1 para obtener una corriente iX de 2 A. Figura 3.75 - 1,5 V 1 1 + 3 V +-

v1 + -

iX

3A

1

-2A

Respuesta. 1

1

i11 4,5 V +-

v1 + -

iX

1

1A

v X  RX i X  1 2  2 V ; i x  1  i11  0 ; i11  i X  1  2  1  3 A v11  R11 i 11  1  3  3 V ; - v1  v X  v11  0 ; v1  v X  v11  2  3  5 V Ejercicio 43. (6aE). Determine la tensión v en el circuito de la figura 3.76.

Figura 3.76 (2) + 12 mA

0,03 vX v 10 k -

(1) + 3,5 mA vX

1 k

1 mA

- 3 mA

-

Respuesta.

PEEP-HyK

52

Nodo (1)





1 103   3  10 3  i X  0 ; i X   2  103 A = - 2 mA





v X  RX i X  1 103   2  103   2 V Nodo (2) 12  103  0, 03    2   iv  3, 5  103  0 ; iv   51, 5  103 A = - 51,5mA





v  R10 iv  10  103   51, 5  103   515 V Ejercicio 44. (6aE). (Igual a Problema 43, 5aE). El circuito de la figura 3.77 contiene varios ejemplos de fuentes de corriente y de tensión independientes conectadas en serie y paralelo. a) Determine la potencia que absorbe cada fuente. b) ¿A qué valor debe cambiarse la fuente de 4 V para reducir la potencia que suministra la fuente de – 5 A a cero? Figura 3.77 -5A 2 V +-

3A +

-4A

4V

12 A

+

-3V

+ -

3V

Respuestas. a) 5A 2 V +-

+ 6V 4A

1A

4A

3A +

- 7 V+ 4V

9A

12 A

P2V  v 2V i5A  2  5  10 W  2  v5A  4  0 v 5A  4  2  6 V ; P5A  v 5A i5A  6    5    30 W P4A  v4A i4A  4  4  16 W  5  4  i4V  3  0 ; i4V  5  4  3  4 A ; P4V  v4V i4V  4  4  16 W

PEEP-HyK

53

4  v3A  3  0 ; v3A  4  3  7 V ; P3A  v3A i3A  7   3    21 W P12A  v3V i12A  3  12  36 W 3  i3V  12  0 ; i3V  12  3  9 A ; P3V  v3V   i3V   3    9    27 W

 P  10  30  16  16  21  36  27  0 b) i=0

2 V +-

+ -2V (4 V)

(5 A)

P5A = 0

3.8. Resistores en serie y en paralelo. Ejemplo 3.10. (6aE).(Igual a ejemplo 1-6, 5aE) Utilice las combinaciones de resistencia y fuente para determinar la corriente i de la figura 3.23a, así como la potencia que entrega la fuente de 80 V. Figura 3.23a i 80 V +-

10 

7

5

- 30 V + 8

+ -

20 V

Primero intercambiamos las posiciones de los elementos en el circuito, teniendo cuidado de preservar el sentido apropiado de las fuentes, como se ilustra en la figura 3.23b. El siguiente paso consiste entonces en combinar las tres fuentes de tensión en una fuente equivalente de 90 V, y los cuatro resistores en una resistencia equivalente de 30 , como en la figura 3.23c. De tal modo, en lugar de escribir:  80  10 i  30  7 i  5 i  20  8 i  0 tenemos simplemente:

 90  30 i  0

PEEP-HyK

54

y de esa manera encontramos que: i 20 V

i

10 

90 3A 30 i

7

+ - 30 V +

80 V +-

+ 90 V -

5

8

30 

Figura 3.23b Figura 3.23c a) Circuito en serie con varias fuentes y resistores. b) Los elementos se vuelven a ordenar para una mayor claridad. c) Un equivalente más simple. Para calcular la potencia que la fuente de 80 V que aparece en el circuito dado entrega al circuito, resulta necesario regresar a la figura 3.23a sabiendo que la corriente es igual a 3 A. La potencia deseada es en ese caso 80 V X 3 A =240 W. Es interesante advertir que ningún elemento del circuito original queda en el circuito equivalente. Práctica 3.9. (6aE). Determine i en el circuito de la figura 3.24. Figura 3.24

5V

15 

25 

i

- + 5V

+ -

+

5

5V

Respuesta. 5V - + 5V

5V

15 

25 

i

45 

i

- +

+ -

5

i

 veq Req



15 V +-

 15   0, 333 A =  333mA 45

PEEP-HyK

55

Práctica 3.10. (6aE). Determine v en el circuito e la figura 3.26 combinando primero las tres fuentes de corriente y después los dos resistores de 10  Figura 3.26 + 10 

5A

10 

v 1A

6A

Respuesta.

5A

1A

6A

Req 

+ v -

10 

10 

10 A

+ v

Req

-

10  10  5  ; v  Req i  5  10  50 V 10  10

Ejemplo 3.11. (6aE). (Igual a Ejemplo 1-7, 5aE). Calcule la potencia y la tensión de la fuente dependiente de la figura 3.27a. Figura 3.27a + 6A

vX

i3 3 9

15  0,9 i3

4A 6

6

Figura 3.27b + 2A

v -

Figura 3.27c

i3 3 9

i3

+ 0,9 i3

18 

0,9 i3

v 2A

3

6

-

a) Circuito multinodo. b) Las dos fuentes de corriente independientes se combinan en una fuente de 2 A, y el resistor de 15  en serie con los dos resistores de 6  en paralelo se sustituyen por un solo resistor de 18 . c) Un circuito equivalente simplificado.

PEEP-HyK

56

Dejamos la fuente dependiente sola y combinamos las dos fuentes restantes en una fuente de 2 A. Vemos que los dos resistores de 6  están en paralelo, los cuales se simplifican con una resistencia de 3 . Puesto que los dos resistores en paralelo de 6  están en serie con un resistor de 15 , la resistencia de 3  que los sustituye está ahora en serie con ese resistor. En consecuencia, sustituimos el resistor de 15  y los dos de 6  por un resistor de 18 , que da lugar al circuito de la figura 3.27b. En este punto, podríamos intentar combinar los resistores de 3, 9 y 18 . Sin embargo, al hacerlo así perdemos i3, la cual controla la fuente dependiente. Por tanto, elegimos simplificar el circuito aún más combinando sólo los resistores de 9 y 18 , como se indica en la figura 3.27c. Al aplicar la LKC al nodo superior de la figura 3.27c, tenemos: v  0,9 i3  2  i3   0 6 Para determinar la tensión v en la fuente dependiente, debemos encontrar primero el valor de la corriente de control i3. Empleando la ley de Ohm: v  3 i3 lo que nos permite calcular:  0, 9 i3  2  i3 

3 i3 2 10  0 ; 0, 6 i3  2 ; i3   A 6 0, 6 3

De esta forma, la tensión en la fuente dependiente (que es la misma que la tensión en el resistor de 3 ) está dada por: v  3 i3  3 

2  10 V 0, 6

Entonces, la fuente dependiente suministra v X 0,9 i3 = 10 (0,9) (2/0,6) = 30 W al resto del circuito. Ahora bien, si se nos pide la potencia disipada en el resistor de 15 , debemos volver al circuito original. Tal resistor se encuentra en serie con un resistor equivalente de 3 ; existe una tensión de 10 V en el total de 18 ; en consecuencia, circula una corriente de 5/9 de A por el resistor de 15  y la potencia absorbida por el elemento corresponde a 2

5 P15     15  4, 63 W 9

PEEP-HyK

57

Práctica 3.11. (6aE). En el circuito de la figura 3.28, encuentre la tensión v. Figura 3.28 + 3A

10 

2 4

v

10 

4A 2

Respuesta. + 7A

v

4

4

20 

7A

Req

1 1 1 1 5  5  1 11 20      ; Req   1, 818  Req 4 4 20 20 20 11 v  Req i  1, 818  7  12, 73 V Ejercicio 45. (6aE). Calcule la resistencia equivalente como se indica en la figura 3.78 si cada resistor es de 1 k.

Figura 3.78

Req

Respuesta. Todas las resistencias después de la primera resistencia están en corto circuito por lo que la resistencia equivalente es de 1 k.

PEEP-HyK

58

Ejercicio 46. (6aE). Para el circuito de la figura 3.79: a) Calcule la resistencia equivalente. b) Obtenga una expresión para la resistencia equivalente si el circuito se extiende utilizando N ramas, y cada una de ellas tiene un resistor más que la rama a su izquierda. Figura 3.79 1 1 1

1 1 1

Respuestas. a) 1

2

3

1 1 1 1 6  3  2 11 6      ; Req   545  103   545m Req 1 2 3 6 6 11 b) 1 1 1 1 1      Req R1 2 R1 3 R1 N R1 Ejercicio 47. (6aE). Dados tres resistores de 10 k, tres de 47 k y tres de 1 k, proporcione una combinación (no es necesario utilizar todos los resistores) que produzca: a) 5 k; b) 57 333 ; c) 29,5 k. Respuestas. a)

PEEP-HyK

59

10 k

Req 

10 k 

10  103  10  10 3  5  103   5k 3 3 10  10  10  10

b) 47 k 

10 k  1 k

Req  47  103  10  103 

c) 47 k 

47 k 

Req 

1k

1  57, 333  10 3   57, 333k 1 1 1   1  103 1  103 1 103

10 k 

10 k 

1k

23,5 k 

5 k

1k

1 k

1 1   1 103 1 1 1 1   47  103 47  103 10  10 3 10  103

Req  23,5  103  5  10 3  1  10 3  29, 5  10 3   29, 5k

Ejercicio 48. (6aE). Simplifique las redes en la figura 3.80 con combinaciones de resistores y fuentes.

PEEP-HyK

60

Figura 3.80a 40 

10  + 5V -

20 

8A

Figura 3.80b - +

5 

-5V 5V

+ -

10 

50 

5A

10 

1A

7 

1A

Respuestas. a) No se puede simplificar. b) 5  10 V +-

5 

1A

7 

Ejercicio 49. (6aE). Calcule la resistencia equivalente del circuito de la figura 3.81. 2 k 1 k

Figura 3.81 3 k

2 k 3 k

4 k 4 k

Respuesta.

PEEP-HyK

61

1 k

1 k

1,5 k

2 k

Req  1  103  1 103  1, 5  103  2  10 3  5, 5  10 3   5, 5k

Ejercicio 50. (6aE). (Igual al Problema 30, 5aE). Determine Req para cada una de las redes resistivas que se muestran en la figura 3.82.

5 10 

Req Req

50  24 

20 

60  40 

Figura 3.82a. Cada resistor es de 100  Figura 3.82b.

2

15 

10 

10 

8

20 

30 

40 

Req

Figura 3.82c Respuestas. a)

50 

250 

PEEP-HyK

62

71,4 

271,4 

273,1 

73,1 

73,2 

100  100 250  100  50  ; 50  100  100  250  ;  71, 4  100  100 250  100 71, 4  100  100  271,4  ;

271,4  100  73,1  ; 73,1  100  100  273,1  271, 4  100 273,1 100  73, 2  273,1  100

b)

5 10 

5 24 

90 

60 

20 

5 24 

36 

20 

10  20 

10 

10 

14,40 

20 

10  19,40 

9,85 

19,85 

60  90 36  24  36  ;  14, 40  ; 14,40  5  19, 40  60  90 36  24 19,40  20  9, 85  ; 9, 85  10  19, 85  19, 40  20

PEEP-HyK

63

c) 2

2

25 

2

50 

25 

25 

25 

50  8

50 

8

8

50 

2 12,5 

22,5 

8 10  40  50  ; 15  10  25  20  30  50  50  50 25  25  25  ;  12, 5  ; 2  8  12,5  22, 5  50  50 25  25 Ejercicio 51. (6aE). (Igual a Problema 31, 5aE). En la red que se presenta en la figura 3.83: a) sea R = 80  y calcule Req; b) determine R si Req = 80 ; c) proporcione R si R = Req. Figura 3.83 10  Req

40 

R 100 

30 

20 

Respuestas. a) 10  Req

10 

80  100 

30 

60 

10  Req

Req

80  100 

20 

Req

60 

10  100 

100 

Req

50 

PEEP-HyK

64

20  40  60  ;

30  60  20  ; 20  80  100  30  60

100  100  50  ; 50  10  60  100  100 b) 10  Req

10 

R 100 

30 

60 

Req

10 

100 

20 

10  100 

Req

R

40  20  60  ;

Req  80  10 

R + 20 

Req

100 

R + 20 

100  R  20  60  30  20  ; R  20 ; 60  30 100   R  20 

100 R  2000 1200  10 R  100 R  2 000 ; 80  120  R 120  R

9, 6  103  80 R  3 200  110 R ; 6, 4  10 3  30 R ; R  213  c) 10  Req

10 

Req 100 

Req  10 

30 

100  20  Req  120  Req

60 



Req

R eq 100 

20 

1200  10 Req  2 000  100 Req 120  Req

120 Req  Req2  3200  110 Req ; Req2  10 Req  3 200  0 Req 

 10  100  4  3 200  10  113, 6   51, 8  2 2

PEEP-HyK