Calcul Matriciel [PDF]

Zitiervorschau

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

Calcul matriciel

1. Définitions Soit K un corps commutatif. On appelle matrice à éléments dans K, une famille aij iI , jJ d’éléments de K. I et J sont des ensembles finis. Si I= 1..n et J= 1..m , on peut disposer les éléments de la matrice dans un tableau rectangulaire à n lignes et m colonnes :

A=

 a11 a12   a 21 a 22    a  n1 a n 2

 a1m    a2m      a nm 

La matrice écrite possède n lignes et m colonnes ; on dit qu’elle est de type (n, m). L’élément aij de la matrice est situé à la ligne i et la colonne j, i est l’indice de la ligne et j est l’indice de la colonne.

Cas particuliers : Les matrices de type (n,n) sont appelées matrices carrées d’ordre n Les matrices de type (n,1) sont appelées matrices colonnes Les matrices de type (1,n) sont appelées matrices lignes.

Pr S.Houfaidi

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

Matrices associées à A :  Soit A= aij 1i n et1 j m matrice de type (n,m), la matrice transposée de A notée t A est la matrice de type (m,n) telle que : t



A = (bij) avec bij = aji

La matrice opposée de A notée –A est la matrice  aij 1i  n et1 j  m

 Si K=C, la matrice conjuguée de A notée A* est la matrice A*t A

Matrices carrées remarquables : - Une matrice A est symétrique si et seulement si At = A -

Une matrice A est antisymétrique si et seulement si At = - A

-

Une matrice A est triangulaire supérieure si A= aij 1i, j n , aij  0 si i  j

-

Une matrice A est triangulaire inférieure si A= aij 1i, j n , aij  0 si i  j

Une matrice est diagonale si aij  0 i  j La matrice unité d’ordre n est 1 0  0   0 1    In     0   0 0  1  

-

Pr S.Houfaidi

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

2. Opérations sur les matrices Addition des matrices Soient A et B deux matrices de même type telles que : A  aij 1 i  m

B  bij 1 i  m

et

1 j  n

1 j  n

Alors A+B est une matrice de même type : A+B  aij  bij 1i  m 1 j  n

Produit d’une matrice par un scalaire Soient A  aij 1 i  m et   K, alors A  aij 1 i  m

1 j  n

1 j  n

Produits de matrices Soient A et B deux matrices de même type telles que : A  aij 1 i  m

et

1 j  n

B  bij 1i n

1 j  p

Alors la matrice AB est une matrice de type (m,p) telle que AB = cij 1 i  m

1 j  p

n

cij   aik bkj k 1

Pour obtenir le coefficient de la ième ligne et de la jème colonne de la matrice produit, on multiplie les coefficients de la ligne i de A par ceux de la colonne j de B puis on fait la somme. Exemple

 5 0  et Soit M    1 2 Calculer MN.

Pr S.Houfaidi

 1 4 3  N     2 2 3

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

Remarque : Le produit de deux matrices n’existe que si le nombre de colonnes de la 1ère matrice est égale au nombre de lignes de la 2ème matrice. Propriétés : -

Le produit des matrices est associatif

-

Le produit des matrices est distributif par rapport à l’addition

-

t

-

ABBA en général 1 0   0 1  La matrice In=      0  0  multiplication des matrices.

-

Pr S.Houfaidi

(AB)=tBtA

0  0 est l’élément neutre de la   1 

-

Une matrice carrée d’ordre n, A est dite inversible s’il existe une matrice B carrée d’ordre n telle que : AB = BA = In Dans ce cas B est notée A-1 et appelée inverse de A.

-

on peut avoir AB=0 avec A  0 et B  0

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

1) Calculer la matrice (A-I3)(A-2I3)(A-3I3) avec  1 0 0   A=   3 2 0  .   1 2 3   2) Calculer pour chacune des matrices suivantes  1 1 1    cos a  sin a   et B= 1 1 1 A    sin a cos a   1 1 1   1 1 0   3) On considère les matrices A=  0 1 1  et I= 0 0 1   et B=A-I a) calculer B n n  IN . b) calculer An n  IN .

Pr S.Houfaidi

le carré, le cube et la puissance n ème .

1 0 0   0 1 0 0 0 1  

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

Calcul et applications des déterminants

1. déterminant d’une matrice carrée d’ordre deux 1.1 déterminant de deux vecteurs Soit E un espace vectoriel de dimension deux sur un corps K.   B= e1 ,e2  une base de E. Définition       Soient u  ae1  be2 et v  a' e1  b' e2 , on appelle déterminent des deux vecteurs     u et v dans la base B et on note det B (u , v ) le nombre ab’-ba’

Propriétés  le déterminant de deux vecteurs dans la base B ne change pas si on ajoute à l’un vecteur un vecteur colinéaire à l’autre.         det B (u , v )  det B (u  v , v )  det B (u , v  u ) 





Pour que deux vecteurs u et v de E soient linéairement indépendants il faut et il suffit que leur déterminant dans la base B soit non nul.

1.2 déterminant d’une matrice carrée d’ordre deux a c   . Soit A=  b d  Définition : a c On appelle déterminant de A et on note det (A) ou le déterminant des vecteurs b d

a  c  colonnes   et   dans la base canonique, c'est-à-dire le réel ad-bc. b d 

Propriétés : -

Pr S.Houfaidi

det AB = det A det B

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

-

Si des lignes (respectivement des colonnes) d’une matrice A sont dépendantes alors detA=0

-

detI2=1

-

det(aI2)=a2

-

det(A )= 2 detA

Proposition A est inversible si et seulement det(A)  0 1 det( A1 )  det A

2. Déterminant d’une matrice carrée d’ordre n Soit A la matrice carrée d’ordre n à coefficients dans un corps commutatif K : A  aij 1 i  n . 1 j  n

Soit dij le déterminant obtenu en éliminant dans la matrice A la ligne i et la colonne j. 

Développer suivant la ligne i0, c’est faire la somme des termes (1)i0  j ai0 j di0 j pour j=1 à n . n

Le déterminant de A est alors

 j 1



(1)i0  j ai0 j di0 j , ce déterminant est indépendant de i0.

Développer suivant la colonne j0, c’est faire la somme des termes (1)i  j0 aij0 dij0 pour i=1 à n . n

Le déterminant de A est alors

 i 1

(1)i  j0 aij0 dij0 , ce déterminant est indépendant de j0.

Remarque : le développement d’un déterminant suivant n’importe quelle ligne ou n’importe quelle colonne donne le même résultat.

Pr S.Houfaidi

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

Définition : On appelle déterminant d’une matrice A carrée d’ordre n, le nombre obtenu en faisant un développement suivant une de ses lignes ou une de ses colonnes, et on le note det A.

Exercice Développer le déterminant suivant

D=

2 1 2 4 0 3 1 2 0 3

1 0

5 2 1 3

Règles de calcul : 

pour calculer le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n, on développe suivant la ligne ou la colonne qui comporte le plus de zéros possibles.



Si une ligne (respectivement une colonne) ne comporte que des zéros alors le déterminant est nul



Si des lignes (respectivement des colonnes) sont dépendantes alors le déterminant est nul



Le déterminant ne change pas si on ajoute à une ligne (à une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (des autres colonnes)



Det (aIn)=an



Det(A) = n det(A)

Exercice

Calculer

0 1

1 2

2 1

1 2

2 1 2 2 1 0 1 1

Pr S.Houfaidi

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

Exercices 1) Calculer les déterminants suivants 4  1 10

3

5

2

5

3

2 5

4

1

6

2

1

2

1

5

7 3

1 3

6

6 3 5 4 2 1 1 5

5

1 4 10

14 1 5

1 5 15

8

1 10

0 2 4 3

5 2

2) Montrer que si a,b,c sont des réels quelconques alors a bc 2a 2b bca 2c

1 1

1 1

2c

1 cos c

2a 2b cab

1 cos b

1 cos c 1 cos a 1 cos b cos a 1

Pr S.Houfaidi

 (a  b  c) 3

 16 sin 2

a 2b 2c sin sin 2 2 2

8 0

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

3. Inverse d’une matrice carrée d’ordre n Définition Soit M une matrice carrée d’ordre n, on dit que M est inversible si det M 0. Soit M-1 son inverse alors detM-1= 1/ detM Soit dij le déterminant d’ordre n-1 obtenu en éliminant dans M la ligne i et la colonne j. Définition (-1)i+j dij est appelé cofacteur relatif au terme aij .

~

On note M la matrice dont les termes sont les cofacteurs de M. ~ M est une matrice carrée d’ordre n.

Théorème Si M est inversible alors M 1 

1 t~ M det M

Exercice Calculer l’inverse de la matrice 2  1 3   A=  3  5  1  1  4  5   Exercices 3) Calculer les inverses des matrices suivantes  1 2  3 0 1 1     A   3 1 3  B  1 0 1  2 1  2 1 1 0     4) Montrer que A est inversible et déterminer son inverse

1  0 A 0  0 



0  1  0 0 1   0 0 1  0

Pr S.Houfaidi

 1 1 1   C   0 1 1  0 0 1  

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

4. Rang d’une matrice Définition    On appelle rang d’un système de vecteurs v1 , v2 ,..., vn  le nombre maximum r de vecteurs linéairement indépendants qu’on peut extraire de ce système. 1  r  n .

Exemple Dans IR3 le rang de 1,2,1,  1,1,0, 1,0,1 est égal à 3.

Définition Le rang d’une matrice est égal au maximum des ordres des sous matrices carrées inversibles extraites de cette matrice.

Le rang de la matrice M est noté rg(M).

Théorème Le rang d’une matrice est égal à l’ordre maximum des mineurs non nuls de cette matrice.

Remarque Pour une matrice M de type (m,n) on a :

1  rg(M )  inf( m, n)

Exemple Dans IR4, étudier le rang du système 1,2,0,1, 3,2,1,1,  1,2,1,3 , revient à chercher le rang de la matrice

Pr S.Houfaidi

Master Génie Logistique

Rappels Mathématiques

3  1 1   2 2  2  0 1 1      1  1  3  

5. Résolution d’un système d’équations linéaires Soit K un corps commutatif, aij i 1:n, j 1: p une matrice de type (n, p) à éléments dans K,

( y1 , y2 ,..., yn ) un vecteur de Kn. On se propose de déterminer les éléments ( x1, x2 ,..., x p ) de Kp tels que

(S)

 a11x1  a12 x2  ...  a1 p x p  y1 a x  a x  ...  a x  y  21 1 22 2 2p p 2  ....   an1 x1  an 2 x2  ...  anp x p  yn

Tout vecteur ( x1, x2 ,..., x p ) possédant cette propriété est appelé solution du système (S) : système de n équations à p inconnues. Le vecteur ( y1 , y2 ,..., yn ) est appelé second membre du système (S). A= aij 1i  n,1 j  p est appelée matrice associée à (S). Si le second membre est le vecteur nul (S) est appelé système homogène. Il admet au moins la solution (0,0,…,0). Le système obtenu à partir de (S) en remplaçant les yi par 0, est appelé système homogène associé à (S).

Système de Cramer Supposons que n=p, la matrice A associée à (S) est carrée. Supposons en plus que det (A) ≠ 0, alors (S) est un système de Cramer, il admet une solution unique.

Pr S.Houfaidi

Master Génie Logistique

i  1 a

Rappels Mathématiques

a11 y1 a1n    a yn ann n, xi  n1 a11  a1n    an1  ann

Exemple Résoudre dans IR le système  x yz 0   y  2z  1 2 x  y  z  1  Résolution d’un système quelconque La matrice A de (S) n’est pas carrée ou bien A est carrée et de déterminant nul. Soit r le rang de A ; Toutes les sous matrices carrées d’ordre s où s>r sont de déterminants nuls. Il existe une matrice A’ carrée d’ordre r telle que det A’ ≠ 0, supposons que  a11  a1r    A’=      a  a  rr   r1

On dit que les r premières inconnues sont des inconnues principales et que les r premières équations sont des équations principales.

Remarque Le choix des inconnues principales et des équations principales n’est pas unique.

Si r