Calcul de Structure Rguig [PDF]

Zitiervorschau

§-trD

Ecole Hassania des Tlavaux Publics

Cours

Calcul des structures

A.U. : 20L3lL+

Pr. N,lLrstapha RGUiG

2

Pr. ,\t.

RG{IIG

f,'ours

: Calcui cles structures

:h UHfp

Table des matières Généralitês et rappels

1.1 1.2 1.3

.l o

Rappel du théorème de CRSIIGLIANo Rappel du thêorème de NIÉNeeRÉ.+. Iixercices

t)

.)

4

Calcul des poutres continues

16

2.1 2.2

Rappel du théorème des travaux virtuels N{éttrode des trois moments (Nléthode de ClapBvRor\) 2"2.1 Coefficients cle souplesse d'ttne travêe 2.2.2 Equation des trois rnornents (Ct-.l.rovnoN) .

16

exercices

22

1] 17 1q

"

2.3

2.4, Equation des cinq moments (Poutres contiiiues aux appuis

2.5 2.6

2.7

3

31

Exercices N'Iéthode cles fbyers 2"6.1 Fb.vers de gauche 2"6.2 Foyers de droite 2.6.3 Calcul des moments sur ies appr-ris à l'aide des Exercices

ô.) ")n

t)I

ôt fo5,'ers

39 40 42

Calcul des lignes d'irrfluence

55

3.1 3.2 3.3

55

3.4

4

élastiqr-res)

Définitioir Lignes

cf

inflrrence d'une poutre isostatique

=n 4l

3.3.I

ô7

3.3.2

58

Cliarges localisées Charges réparties Exercices

Calcul des ossa[ures

4.1

Pr. Nt.

56

l;xploitation des lignes d'influcnce

59

77

" flécliissants

71

§

oHre

N{éttrode des rotations - Ossatures rigitles (â nceuds fixes) 1.1 Convention de sigrres iles ntoments

I

RGUIC)

Cours

:

Calcul des stnrctures

7l

TABLE DES MATIÈRES

2

4.1.2 Convention de Cnoss 4.1.3 Relation entre couples

72

transmis par les nceuds et les

déformations

4.2 4.3

4.4

A

72

4"1"4 Cas d'une poutre articulée à une extrémité 4.1"5 Déplacement; d'appui

75

Exercices

77

Ossatures soupies (à nceuds mobiles) ossature

91

.1.3.1 Rotations inconnues d'une ,1.3.2 Groupe I d'équations

91

4.3"3 Groupe II d'équations 4.3.4 Calcul d'une ossature à ncends mobiles

93

Exercices

94

cours A.1 Intégrales de N,loHn. A.2 Rotatioris des poutres A.3 Formulaire des rnoments Complêments du

Pr. NI.

(o

R,GUIG

Cours

:

Calcul des structures

92 93

111

. . . 1i1 . . 113

..

zrk

. i19

nnrp

*T-

Chapitre

1

Gênêralités et rappels 1.1

Rappel du théorème de CasrIGtIANo

L'énoncé du théorème de CasTIGLIANo est Ie suivant

:

ie La projection du dêplacement du point d'application d'une force sur la direction de cette force est égale à la dérivêe partielle de l'énergie de déformation par rapport à cette force.

tc Le vecteur rotation du point d'application d'un couple quelconque, projeté sur l'axe de ce couple, est égal à la dérivée partielle, par rapport au moment de ce couple, de l'ênergie de déformation. II

est

traduit par les deux formules

:

lau--1 I

_

(1 1)

lt

laP-"1

où [/ est 1'énergie de déformation du système étudié, ô est Ie déplacement clu point d'application cle 1'efTort extêr'ieur P suivani la direction de P"

lara-_.l l__ : /|

(1 2)

14.11-___l où É et la rotation du système suivant I'axe d'application du couple

M.

L.2

Rappel du théorème de MÉNABRÉA

Le théorème de MÉNaBRÉA, appelé aussi Théorème du travail minimum, est un cas particulier du théorème de CastIcLIANo, son énoncé est Pr. \,1 RGIIIG

C'ours

; []alcul

des structures

§

onre

4

1.3 Exercices

Ie suivant

:

«- Les valeurs que prennent les réactions hyperstatiques correspondant aux liaisons surabondantes, ou les efforts hyperstatiques correspondant aux barres surabondantes, rendent stationnaire l'ênergie interne" Ce théorème est

traduit par les deux formules suivantes

:

ffi w-]

(1 3)

lr*:'l

(1 1)

où les X, sont les efforts hSrperstatiques inconnus dans les barres surabondantes et les Ë; sont les réactions hl,perst atiques inconnues au niveau des liaison-. surabondantes"

1.3

Exercices

.§ Exercice 1 :

I'rctlRn

L

1.1

- Schérna de 1'exercice

1

Déterminer le degré d'hyperstaticitê du système

Pr" IvL R,GUIC

Cclurs

:

Calcul des strttctures

§

eHre

b

1"3 Exercices

2.

Résoudre Ie système en déterrninant les réa,ctions d'appuis

3.

Tracer le DN'IF (Diagramrne des Nlornents Fléchissants)

e

Solution 1

:

1. Les inconnues du système sont : IIn" \is, Mla, Hc, Les équations d'équilibre sont

Vs"

:

( L,p, :

{ »ri :: I t.r1,,

0

(1 5)

o o

On a donc 3 équations à 5 inconnues, d'ot\ le s.vstème est h1'perstatique de degré 2.

2. Soient Hç et V6 les inconnues hyperstatiques du

problème.

En appliquant ]e principe de superpositipn, on obtient Lrois s.vstèmes isostatiques comme schématisé sur la figure (1.2).

-3{)

=u

8x

F'tc;uRn 1.2

-

Ov

Décomposition des efTot'ts et DNIF correspondants

En négligeant l'efÏet de l'effort normal par rapport au rnornent fléchissan1,, i'ênergie potentielle de défbrmation rlu svstème s'ér:rit :

Pr. Nt. RGUIG

Cours

: Calcul

des structures

a& Burp

1.3 Exercices

6

f

" ff

I

\t2

elr

(1 6)

I 2Er"* / t.tt' + X.\l' -Y )[")2 À^ 2Er I

En appliquant le théorème de MÉNaeRÉA, avec EI

:

(1 7)

cte, on obtient

{#:0

1ài' Lav-

+'

(1 8)

u ^

: o {Ï^(lt"+xLt'*\'Lt")lI'dr I lir" + x ÿt' \'M")t[" d,r : o

+

:

(1'9)

1")l'2dr+) J'-1/'-l1".dr : -/.\1"-\1',d,r r1.10) { {x[.\l'.\l"dr-Y.[ \t":dr: -l-\l'-\t"d-r \1'f,\// I

Le système (1.10) représente les équaiions canoniques de la méthode des forces. Ce système peut être écrit sous la forrne symboliclue suiva,nte

I

6rrx - 6nY

:

I\ olX '. - ôrr\' -

;

-drp

(1.11)

-ôzp

:

Po'ur un systèm,e hyperstati,rlue. de degré 3, dont les inconnues hy'perstatiques sont X, Y et Z, le système des éçluatr,ons canonirlues s'écrit sous la forme :

Remarque

[ ôr,-f - ôpY -f ôsZ : -ôrp 1 ortX + ô22Y + 6.à2 : -ôrp [ ôrrX - ô32Y * ôzsZ : -d:p

(1 12)

Le système (1.11) est un systèrne de 2 équations à 2 inconnues qu'on peut résoudre en calculant les intégrales, puisqu'on a les équations de ,l,1(r), ou en utilisant les intégrales de NIoHn (méthode graphique). Calcuions les termes du svstème en utilisant les diagrammes de la figure (1"2):

u, Pr. \'1. RGUiG

--

.[

L-'ours

M'2,Jr: : Calcul

(] -, .4: 27.33

des structures

(1 13)

§

nHre

1.3 Exercices

6tz:6zt: i_

l)))

6zp

f

»r',u"a,

:(l*,-rl) +:-,4

f m"'a*: (] ,-r, ,-r))

:

45

6rp

:

+ (-B) (*:r)

f ,,. r,,dr: (] t-ro;.n) ,:

(1.14)

4

(1.15) (

-240

1.16)

: f ru"u"a,

: (| t-rol t2 (-3) - ,, t)) 1,5 + ((--s0) (-3))'4 :

(1 " 17)

416.25

Le sr-srème devient

:

- 24Y {| zt.z:tx --2tx + 15)' \ +'

240

(1"18)

-416.25

( Y

L

ly:

-8i25r

lll1

1::

(1.1e)

En utilisant les équations d'écluilibre statique (forrnules l.5) et les schémas de la figure (1.2), on perit donc conclure 1es valeut's des efforts à l'encastrement A :

(H^:x i rr, : 2o+Y |. ,r, : -(-30-x.r-]'.(-3)) ( H^ :

\J t'r.r I( n,

(1.20)

2"lLt

i,1.875/

-rl; : -2

81'ô

(1.21)

I

tn

3. trn réalisant

la superposition des diagrammes élénrentaires des moments flêchissants de la figure {'1.2) et en remplaçanb les valeurs de X et ÿ,

on obticnt lc DNIF final du système (voir figurc 1.3) Dans la figure (1.,1), nous présentons le DNIF du svstèmc sltr un axe continu.

Pr.

Iv1.

RGTIIG

Cours

: Calcul

des structut:es

§

oure

1.3 Exercices

12.19

1l t

+ l)

-'

/.rr

2.815

A FIcunp

-5

1.3

-

R.éactions d'appuis et DMF

12" 19

-i:.(i25 Ftcunp

.+ Exercice 2

1.1

-

DN,IF sur un axe continu

:

Caicr.rler les réactions et les rnoments d'encastrement du systeme présenté clans la figure (1.5).

e Solution 2 : Les inconnues du système nombre d'inconnues de 6"

Pr.

lVI.

R(lIllG

Cours

sont: Ht,Vs, N[a, Hs. -ys et .4,/6. Soit rrn

:

Calcul des structures

§ eure

I

1.3 Exercices

F-Icunn 1.5

-

Schéma de I'exercice

2

Puisqu'on a 3 équations d'équilibre, le système est donc tryperstatique de degré 3. Soient H,q, Vt et ,11.a les inconnues hyperstatiques dr-r problème. I)écomposon-s ie système en 4 systèmes isostaticlues simples comlne présenté dans la figure (1.6).

1 a--' -l_) \ . \-/' ^

f§)

_rt D,

",

1

C,'

tr_\.2.

ffi;Y .t ..-1

i)t \:l

1

FtctlRB

1.6

-

t)écornpositioii des eflorts et DNIF correspottdaitts

Le théorème d'énergie potentielle de déformation s'écrit

o,: Jf " _ JI 2Er"(r

(\/, - x.r1, *)L: 2Et

Err appliquant le théorèrne de NIÉN,reRÉl, avec

:

t)!t 6, El :

tt D)

cte, an obtient

(1

Pr. Nl. RGUIG

Cor-rrs

: C'iilcul k".,

des structures

+

,,.;k",

:

(2.156)

dénivelées

lr\ Bsrp

38

2.6 Méthode des foyers

A.[r+t

,1f1

,\f-1

FIcuap 2.14- Dêfinition

des foyers de gauche

En appliquant l'équation (2.156) à l'appui A1, on obtient Mo

br)i *

(c1

*

az)Mr

I

b2M2:

:

g

(2.157)

U

I\It: - O' OU, h*az

+

(2.158)

M1 et M2 sorfi donc de signes contraires.

En faisant la même chose sur les autres appuis, on constate que les mo' ments changent de signe alternativemeni sur les travées de la poutre continue. D'où, sur chaque travée i', la courbe du moment coupe la ligne moyenne de la travée en un point -Q appelê : Foqer dg';gauche. En divisant l'équation (2.156) par }e moment intermédiaire

b,+:+ on pose

(q + a;+t)

* u*r# :

Mi,iI

vient

:

(2.15e)

o

:

(2.160)

on en déduit

:

-b#;*(c,*a;+r) -

+

?l+r:

W:o

(2.161)

bt+,

{2.162)

(cu*ar+r)-br,P;.

Le foyer de gauche .F} de la travée

d

est défini par

:

M;-r T-A

çi:_ Mi: Pr. M. RGUIG

Cours

(2.163)

M,

: Calcul des structures

§

nHrr

39

2.6 Méthode des foyers avec 0

I

ç, < 1 pour toute travée i.

Les valeurs de ç6 ne dépendent que des caractéristiques mécaniques des travées. Elles sont indépendantes des chargements extérieurs appliqués.

On peut constater que

-

:

Les foyers de gauche sont obtenus pil récurrence depuis leur position dans la travée la plus à gauche Ft : Ao à l'aide des coefficients ço; en 0 (équation 2.762), Partant du çr.: -#: Les moments fléchiiiànts se déciuisent de M. (moment Ie plus à droite) par récurrence à l'aide des coeflâcients rp,; (équation 2.160).

2.6.2

Foyers de droite

Considérons une poutre continue (Ao, Ar,. . . , Ar) soumise à l'action d'un moment ffi appliqué à son extrémité de gauche ,4s (figure 2.16).

FIcuRn 2.15 - Définition des foyers de droite On pose

:

l,

-

Ml

l*r: ttr^l

(2.164)

comme pour 1es foyers de gauche, on obtient bi

(cn*oo*r)-br+tÇ'*t

(2.165)

En dêsignant par F! le Foyer !,e drai'te (point de moment nul) de la travée i, on peut constater comme pour les foyers de gauche que :

Pr. M. RGUIG

Cours

: Calcul

des structures

§ nu:re

æ

40

2.6 Méthode des foyers

Les foyers de droite sont obtenus par récurrence depuis leur position dans la travée la plus à droite FL : An à l'aide des coefficients rpl en 0 (équation 2.165), partant de çL: -#: Les moments fléchissants se déduisent de M6 (moment le plus à gauche) par récurrence à l'aide des coeffici enls g| (équation 2.L64).

2.6.3 Calcul

des rnoments sur les appuis

à l'aide

des

foyers On considère une poutre continue sollicitée uniquement par des charges agissant sur ia travée i (figure 2.16).

lIr*t

,1/,-:

,11._r

)Ii

FtcuRs 2.16 - Calcul des moments srtr appuis En appliquant l'équation des trois moments aux appuis Ar-r et At

I \

bo-rMo-r* (.,;-t *a6)Mi-1+biMi boMo-, * (.0 + ai+t)Me * bi'4Mia1

à partir de (2.160) et (2.764), on obtient

! Mr-, :: I Mr+r le système (2.166) devient alors

: 0i.+ : -0i

\

-gr-rMr-t

(2.t67)

-4'r+rMo

:

à partir de (2.162) et (2.165), on a

0i-, -0't

(2.168)

:

| -bo-rço-r * (c;-r * a;) : * a,+r) - bi+tg't+t : *, \ to * Cours

(2.166)/

:

{ l-b;po-r * (c;-1 + o,)] IvI'i-r * b;Mi. : \ bot fo-, + [(., * ai+r) - bitrg'irr) M, :

Pr. M. RGUIG

:

: Calcul des structures

(2.16e)

§nnæ

41

2"6 h.{éthode des foyers

on obtient

:

(2.770) on obtient un système de deux équations à deux inconnues résoiution du système, on trouve :

^t -tff+o', 0;" --!- - I ,1

M;-r et./i'1. Après

(2.771)

9i9|

(2.172)

ou:

I (pi?l'i + ç*';0i br. 1- çpi

(2.173)

1 çt?'§'l; + ç'n0', Mt: -;bi, 7 - çp'.i

(2.174)

M;r

Sur les autres appuis, les moments sont ca,lculés directement à partir des foyers de gauche pour les appuis situés à gauche de A;-t et à partir des foyers de droite pour les appuis situés à droite de A; :

Mttt: -g't+rÿIt M;z: -gt-tM;-t Mt-J: -g;zM;.-z M+2: *g|+zM+t

(2.175)

Remarque : Dans le cas où d'autres trauées sont chargées, on opère par principe d,e superpositi,on en considérant chaque trauée seule chargée à la

fois.

Sur la figure (2.17), on présente un exemple d'une poutre continue à cinq travées chargée successivement par un moment f à son extrémité gauche ,46, une force concentrée P sur Ia travée centrale A2As et un moment f à son Pr. M. RGUIG

Cours

: Calcul

des structures

gfu BHrp

42

2.7 Exercices extrémité droite 45. de la poutr Le premier schéma présente les cinq foyers droites

"

(F1,, " , . ,

gauches de la poutre Le troisième schêma présente les cinq foyers

gauche Le deuxième schéma présente deux foyers de

de droite

Fil.

(Fi, ' ' ' F5)' '

(Fr, Fr) et deux foyers

(Fi,Fl).

il[z ÿ.t

lIt

§ Ao

(\ Ar

FicuRp 2.17

A

f3

F, A,TZ

-

lIt

Exemple d'une poutre continue à 5 travêes

2.7 Exercices .+ Exercice 6

:

1.

sur appuis de la Déterminer, par la méthode des foyers, les moments poutrc continue de Ia figrrre (2'18),

2.

Tracer Ie diagramme des moments fléchissants"

Pr. M. RGUIG

Cours

: Calcul des structures

Â

Bnrp

43

2.7 Exercices On prend

EI :

cte-

P:6iV

_- 0.8 i\i

L-/,

-

u

12 tn,

lr- 18 ,rr-:i';'-

''u

FIcunP 2.78 - Schéma de l'exercice

e

r

Solution 6

6

:

Ç-q}-cJtld-e§-fsvsr§-ds-s3ltc-be

iu iàtàtio"

g r,r'i

i

au niveau de I'encastrement Ao est

É.o: o'l

-

atMo

-

b1M1:

:

(2.176)

g

non pour déterminer les rapports focaux 9t, la poutre est considérée chargée. Donc on a : 0'd: 0, d'où :

-aJVs

+.

- blMr:

(2.777)

g

Iÿto

(2.178)

- Mr:-h -l ^:, sachant que Pour EI -- cte, on a a;.: )[" En reprenant l'expression (2'160), on a '

YL

1,.-

:

Mo1 --:

IvI,

(2.17e)

-

2

autres rapports focaux on utilise l,équation (2.162) pour déterminer les

e, --

i;;_

3 :1 # -4;6 - 1- 5 blet: E:+Ë-EJ:

b2

# 0zÿz -r8-l-e -

tu,-::

to2,: t'J - ---------

c2*a3-

ffi - tn -

d-es- level s ie-dg'oi !e' on utilise (2"L6$ :

Ç-elc:rl

Pr. M. RGUIG

Cours

_rÈ-J

:

an t

I

nlT-

1

:

(2.180)

:3 - to

12.181)

-'

LI,

, 9s: -g; --nu

: Calcul des structures

(2.182)

r§.

ssrP

44

2.7 Exercices puisque

Mz:0'

L'équation (2.165) nous donne

, U2

,

ryq-T

c2

tv,-----.-------.-

t\

c1

i

a3

:

18

:-

1 t - Osg'z

6EI 9 _

lB

:+:-

I

, 6 TEt -r JEI - 69t'u

31

6+3

(2.183) 3

,), LA

h.

4+6-1 I

iaz-0zg'z

(2.184)

Ç-qlcJrld-es-ægJt'çJLt§-gurappuit--. Trauée 1 ch,argée :

calculer respectiLes équations (2.173) et (2.77\ nous pelmettent de notre cas, ii Dans vement les moment, â". uppris de la travée chargée. s'agit des moments Ms et M1 :

!4o:1çfii+çP\o'' '"'u- bt 7-9r9\

(2.185)

on a d'après les tableaux des rotations des poutres

:

o,i:-#: ];l*1' ---# qll

57,6 : -EI '',: rm

^,

et

1e

coefficient de souPlesse b1

(2.187)

:

1.722 "'- 6EI - 6EI EI L

le moment est donc

_

(2.186)

,

:-

(2.188)

:

(2 18e) 1

+ le moment de droite M1 tvtl

Pr. M. RGIIIG

L çrç'r0[ -

Mo est,

+W

7 I _ ^l r - VtYt o1

Cours

:

-

0,5.É

-12,6 N.m

calculê par

:

_ *FI0,5.ït. \-YËi) + ô'=di 2

(2.1e0)

1

: Calcul des structures

- 0,5.3

(2.1e1)

 rurp

45

2.7 Exercices

+ on a aussi

Mt

:

(2.1e2)

-3,61{'nz

:

l

Mz

: -g'rMr: -;.(-3,

6)

:

1, 2 N

(2.1e3)

'm

m,Jox*

(2.1e4)

Trauée 2 chargée

olfa:

1 ,p20i + çzv'20'z

tll1:'

L-Qz'92-tle coefficient de souplesse et les rotations sont

^!t : o,

-

Pa (t

6EIü1,2

o;

(2.1e5)

----:--bz

:

l' : 18 3 ^-"'' oEI 6EI- EI 6'L(18 - a)(212 - a) :--

{

(2.1e6)

-

6)(36

a'i:-#

(2.1e7) (2.1e8)

: #u3 - o') : #h(18' - 6\ : #

on obtient donc

6)

(2.1ee)

:

(2.200) (2.201) les autres moments sont

:

t_çrç'ryi+ç'r|L b2 7-çzç'z

ru,-

:- nlià ( -#)ià#

(2.203)

Mz: -T N'm Mo: -ptMr: -] t-rr) Mo:5,5 N'rn 't

+

total sont Les moments sur appuis dus au chargement

( Mn : -12,6+5,5 : -7,1N'm I u, : -8,6 - 11 : -14,6 N'm - -5,8N'nz \ nr, : 1,2-T : |.

Pr. M. RGUIG

.na,

Cours

(2.202)

.)

(2 204) (2.205) :

(2.206)

orr'm

:

Calcul des structures

§ outr

46

2.7 Exercices

2.Ledéve}oppementduDMFest}emêmequeladeuxièmequestionde l'exercice 2. (2'19)' Le DM!' correspondant est présentê sur la figure

Ficuns "+ Exercice 7

2'79

DNIF - Exercice 6

-

:

Calculerlesmomentsauniveaudesappuisduschémade]afigure(2.20).

P

:

2.10i]

À,

P

:

2-1ürl

P

Solution 7

Az

Pr. M. RGUIG

2.1{j:r,\

t.,

- Schéma de l'exercice 7

:

Calcul des foyers (rapports focaux)

Ona:

À,' P :

Q_,,) 4-,-) 2n :2 rn-*-la ----*-h

tt,:lilt

FtcunP 2.20

e

2.103

^' .)

At

:

Mo:0 + Cours

:

:

,r: -'#r:0

Calcul des structures

Q.2a7)

 sutp

47

2.7 Exercices

b2 #. ez:;*[r-6§-- fi+ # -

. Çs

:

bs _ ;ra o, -Çç, - #

2

681

= 0,3

#- #

+

:0.3

(2.208)

:0.21978

(2.20e)

ba : & :0,26453b : ----.-----2 -T-; : t^17 2=.0.2197g -1c3 -f a+ - ospz lEI Tel ant : on a encore

(2.210)

\Da

N,[

Ma:0 't

'P'n: --ffr:0 ^

b,

: = û .^,Y3+ #î -u=:0,25 cz+aa-b+q'q, #7 b2

,

_

9'z: ,ra oÇ6rç;: Z:+Z-

#

(2.2r2)

:o.31s7gg

, ---l-_-br----'-; -- -T-, 'T= '_î{I; ::==:::0,22093 (p't: _L.0,315789 -1Lt 1 q.z - ozPz Calculons

(2.273)

$r.O,zS 2

lEI

(2.211)

(2.214)

TEI

-fois les moments par travée chargée à 1a

:

TrelCel-qbsJseei

t

çfi+çp'ro| Mo: ;'b1 1- ?tg|

(2.215)

sont donnés par le coefficient de souplesse b1 et ies rotations

Pt?

oo: -T6EI ^lIL-_

-

2ooo.22

76EI

., Pt?

500

EI

5oo

"'- 16EI EI 21 A--"'6EI - 3EI on a donc

:

Mo:381.0

:

A

N.m

:

(2.276)

(2.217) (2.218)

(2.27e)

tî : - t çrçrld:-/rli:- *38/0+0:220:3'# üLL 1- o - -831,395l/.nz br--l- çr"i e.220) (2'227) Mz: *g'z![t - -0,315789.(-331,395) : 104' 651l{"nz

'irt1

Pr. M. RGUIG

Cours

: Calcul des structures

§eum

48

2.7 Exercices

Ms:

-g'sMz

- -0, 25-104,651 :

M+: -q'+Ms:

(2.222)

-26,76 N'm

(2.223)

0 '|y''rn

tevee2-lhqlsqqi Ona: Jvtl

-

{2.224)

bz I-PzQz I

-

de Ia travée sont le coefficient de souplessebz et les rotations 0\'

: - -!-ç,6E Ilz" o' ,,

a)(2t2- a)

:-#H,'

2\ 2000 1 r'l2 o'): i! - drh(Li#Ë(n

31:

bz: oLI d'où

1)(6- 1)

-

1)

:

: -ry#

888'889 : --Er

(2.225)

(2.226) (2.227)

m

:

+ --0,3 1-a*11) Mt:zntffig

Mz:

o,

e.0,315789'æH@

t çzp'ro'l + çro', b2 I - çzçL

(2.228)

(2"22e)

315789. ., r, r0, 3.0,

- LrJr

- -550, zB7 N.m

1

(- u*11) +9i -315789'9§H§9

-

o, 3.0'

(2.231)

-387,597 N.m

Mo: Mq:0

(2.230)

3i5789

(2.232)

N'rn

Ms: -q'tMz: -0, 25. (-3 87,597) -

96,8991 r['rn'

(2.233)

tEryse,g-çhqrseei On a:

t %0'; + çIPL?L - - bz L-PsPs|

rvt2

le coefficient de souplesse b3 et les rotations

(2.234)

:

(2.235)

ôtt att u2_vo_ - -500 EI

Pr. M. RGUIG

Cours

: Calcul des structures

Â

Bnrp

49

2.7 Exercices

g's:i,'t:H

(2.236)

21

(2.237)

bz: 681: on trouve

m

:

- --,0,21978. i[2-38]m25

Mt

(-H) * 0'21978' :

-267,628 rf.rn

: _ir'-ri:!;,i:r,

(2.23e)

0.21978.0, zs. (-!#) + o,zsffi 0,21978'0'25

: -3EI r: -309, 593 N.rn n,r Lvl| -

-

") "- \ -Y'21v!2 - -0,3.(_-261,628) -,p2h[2-

Q.24a) (2.247) (2.242)

:78'488lÿ'nz

(2.243)

: M+:0 lf'rn

Mo

(2.238)

Tæree-éibarsÉ9-.

Ona:

lça0,i+g+g,n0i _ ,pA;

(2.244)

lvft: b^-i

coefficient cle souplesse ba et rotations

:

o';:o';:-#

(2.245)

500 0l: T1 21 bq: 6EI: -

(2.246)

0'q:

d'où

(2.247)

:

.)tr r0, 264535. JVt3-ÙDr ^,f _

(-H)

+0

1_0

_ .tvr4^/r

-396, 8031V.rn

(2.248)

+ ç'o0n: 0ly'.rn ba 7-çqç'+

(2.24e)

Mo: Ma:01/'m

(2.250)

cpq,p'nïJ

_1

I\,[2: -92]vts- -0,21978'(-396' Pr. M. RGUIG

-

Cours

:

803)

:87

Calcui des structures

'209

(2.251)

N 'm

§

nutr

50

2.7 Exercices

Mt-

-QzMz- -0,3'87,209

Moments dus au chargement totai

(Mo:o I ll. 'M; : : I I Ui :

lmn:

-331,395

oir -26,t6+

roa,

:

-

26,763 550,387 + 78,488 + 261,628 387,5gT 96,8991 309,593 396,803

-

-

87,209

(2'253)

-

o

Mo : M1 : Mz : Ms : M+ :

+{ .+ Exercice 8

(2'252)

- -26'163N'nz

}N'm -829,46N'm

(2.254)

-457,37 N.m

-635,66N'm AN'm

:

Déterminerlesmomentssurlesappuisettracerlediagrammedesmosur 1a figure (2'21)' ments fléchissants (DMF) de la poutre schématisée

4;V

/fr

,àrl

4r

"'F-&

: Z^ nt*ii

"',' -

: 2- rn*t.2 : 2r,t*-le : 3 "'--l/, A't Az Atio"' k-lr

A+

FtcuRs 2.21- Schéma de l'exercice

e

Solution 8

On

l

z rnÀ

As

8

:

a: Mo:0

+

Mo

9r: -fr:

Calcul des foyers des travées de la poutre

u

(2.255)

:0.25 - v, -J

(2.256)

:

bz û ez: ;a * _Çer: Z_ ;Z-

o

3

(2.257)

b3

*+*-*.a,zs crTa,-brw- #+#-#1'a, Pr. M. RGUIG

Cours

: Calcul des structures

Â

Bsrp

51

2.7 Exercices

ba

# : --l -, --r---'

cal_ a4- DsÇz

: -----------;-

\21

*-6+g+ r!

+

L2 U5

.-:

vs:

fi

+

rna

.

ffi -

,

" #7'0,316

6EI

: