34 0 10MB
§-trD
Ecole Hassania des Tlavaux Publics
Cours
Calcul des structures
A.U. : 20L3lL+
Pr. N,lLrstapha RGUiG
2
Pr. ,\t.
RG{IIG
f,'ours
: Calcui cles structures
:h UHfp
Table des matières Généralitês et rappels
1.1 1.2 1.3
.l o
Rappel du théorème de CRSIIGLIANo Rappel du thêorème de NIÉNeeRÉ.+. Iixercices
t)
.)
4
Calcul des poutres continues
16
2.1 2.2
Rappel du théorème des travaux virtuels N{éttrode des trois moments (Nléthode de ClapBvRor\) 2"2.1 Coefficients cle souplesse d'ttne travêe 2.2.2 Equation des trois rnornents (Ct-.l.rovnoN) .
16
exercices
22
1] 17 1q
"
2.3
2.4, Equation des cinq moments (Poutres contiiiues aux appuis
2.5 2.6
2.7
3
31
Exercices N'Iéthode cles fbyers 2"6.1 Fb.vers de gauche 2"6.2 Foyers de droite 2.6.3 Calcul des moments sur ies appr-ris à l'aide des Exercices
ô.) ")n
t)I
ôt fo5,'ers
39 40 42
Calcul des lignes d'irrfluence
55
3.1 3.2 3.3
55
3.4
4
élastiqr-res)
Définitioir Lignes
cf
inflrrence d'une poutre isostatique
=n 4l
3.3.I
ô7
3.3.2
58
Cliarges localisées Charges réparties Exercices
Calcul des ossa[ures
4.1
Pr. Nt.
56
l;xploitation des lignes d'influcnce
59
77
" flécliissants
71
§
oHre
N{éttrode des rotations - Ossatures rigitles (â nceuds fixes) 1.1 Convention de sigrres iles ntoments
I
RGUIC)
Cours
:
Calcul des stnrctures
7l
TABLE DES MATIÈRES
2
4.1.2 Convention de Cnoss 4.1.3 Relation entre couples
72
transmis par les nceuds et les
déformations
4.2 4.3
4.4
A
72
4"1"4 Cas d'une poutre articulée à une extrémité 4.1"5 Déplacement; d'appui
75
Exercices
77
Ossatures soupies (à nceuds mobiles) ossature
91
.1.3.1 Rotations inconnues d'une ,1.3.2 Groupe I d'équations
91
4.3"3 Groupe II d'équations 4.3.4 Calcul d'une ossature à ncends mobiles
93
Exercices
94
cours A.1 Intégrales de N,loHn. A.2 Rotatioris des poutres A.3 Formulaire des rnoments Complêments du
Pr. NI.
(o
R,GUIG
Cours
:
Calcul des structures
92 93
111
. . . 1i1 . . 113
..
zrk
. i19
nnrp
*T-
Chapitre
1
Gênêralités et rappels 1.1
Rappel du théorème de CasrIGtIANo
L'énoncé du théorème de CasTIGLIANo est Ie suivant
:
ie La projection du dêplacement du point d'application d'une force sur la direction de cette force est égale à la dérivêe partielle de l'énergie de déformation par rapport à cette force.
tc Le vecteur rotation du point d'application d'un couple quelconque, projeté sur l'axe de ce couple, est égal à la dérivée partielle, par rapport au moment de ce couple, de l'ênergie de déformation. II
est
traduit par les deux formules
:
lau--1 I
_
(1 1)
lt
laP-"1
où [/ est 1'énergie de déformation du système étudié, ô est Ie déplacement clu point d'application cle 1'efTort extêr'ieur P suivani la direction de P"
lara-_.l l__ : /|
(1 2)
14.11-___l où É et la rotation du système suivant I'axe d'application du couple
M.
L.2
Rappel du théorème de MÉNABRÉA
Le théorème de MÉNaBRÉA, appelé aussi Théorème du travail minimum, est un cas particulier du théorème de CastIcLIANo, son énoncé est Pr. \,1 RGIIIG
C'ours
; []alcul
des structures
§
onre
4
1.3 Exercices
Ie suivant
:
«- Les valeurs que prennent les réactions hyperstatiques correspondant aux liaisons surabondantes, ou les efforts hyperstatiques correspondant aux barres surabondantes, rendent stationnaire l'ênergie interne" Ce théorème est
traduit par les deux formules suivantes
:
ffi w-]
(1 3)
lr*:'l
(1 1)
où les X, sont les efforts hSrperstatiques inconnus dans les barres surabondantes et les Ë; sont les réactions hl,perst atiques inconnues au niveau des liaison-. surabondantes"
1.3
Exercices
.§ Exercice 1 :
I'rctlRn
L
1.1
- Schérna de 1'exercice
1
Déterminer le degré d'hyperstaticitê du système
Pr" IvL R,GUIC
Cclurs
:
Calcul des strttctures
§
eHre
b
1"3 Exercices
2.
Résoudre Ie système en déterrninant les réa,ctions d'appuis
3.
Tracer le DN'IF (Diagramrne des Nlornents Fléchissants)
e
Solution 1
:
1. Les inconnues du système sont : IIn" \is, Mla, Hc, Les équations d'équilibre sont
Vs"
:
( L,p, :
{ »ri :: I t.r1,,
0
(1 5)
o o
On a donc 3 équations à 5 inconnues, d'ot\ le s.vstème est h1'perstatique de degré 2.
2. Soient Hç et V6 les inconnues hyperstatiques du
problème.
En appliquant ]e principe de superpositipn, on obtient Lrois s.vstèmes isostatiques comme schématisé sur la figure (1.2).
-3{)
=u
8x
F'tc;uRn 1.2
-
Ov
Décomposition des efTot'ts et DNIF correspondants
En négligeant l'efÏet de l'effort normal par rapport au rnornent fléchissan1,, i'ênergie potentielle de défbrmation rlu svstème s'ér:rit :
Pr. Nt. RGUIG
Cours
: Calcul
des structures
a& Burp
1.3 Exercices
6
f
" ff
I
\t2
elr
(1 6)
I 2Er"* / t.tt' + X.\l' -Y )[")2 À^ 2Er I
En appliquant le théorème de MÉNaeRÉA, avec EI
:
(1 7)
cte, on obtient
{#:0
1ài' Lav-
+'
(1 8)
u ^
: o {Ï^(lt"+xLt'*\'Lt")lI'dr I lir" + x ÿt' \'M")t[" d,r : o
+
:
(1'9)
1")l'2dr+) J'-1/'-l1".dr : -/.\1"-\1',d,r r1.10) { {x[.\l'.\l"dr-Y.[ \t":dr: -l-\l'-\t"d-r \1'f,\// I
Le système (1.10) représente les équaiions canoniques de la méthode des forces. Ce système peut être écrit sous la forrne symboliclue suiva,nte
I
6rrx - 6nY
:
I\ olX '. - ôrr\' -
;
-drp
(1.11)
-ôzp
:
Po'ur un systèm,e hyperstati,rlue. de degré 3, dont les inconnues hy'perstatiques sont X, Y et Z, le système des éçluatr,ons canonirlues s'écrit sous la forme :
Remarque
[ ôr,-f - ôpY -f ôsZ : -ôrp 1 ortX + ô22Y + 6.à2 : -ôrp [ ôrrX - ô32Y * ôzsZ : -d:p
(1 12)
Le système (1.11) est un systèrne de 2 équations à 2 inconnues qu'on peut résoudre en calculant les intégrales, puisqu'on a les équations de ,l,1(r), ou en utilisant les intégrales de NIoHn (méthode graphique). Calcuions les termes du svstème en utilisant les diagrammes de la figure (1"2):
u, Pr. \'1. RGUiG
--
.[
L-'ours
M'2,Jr: : Calcul
(] -, .4: 27.33
des structures
(1 13)
§
nHre
1.3 Exercices
6tz:6zt: i_
l)))
6zp
f
»r',u"a,
:(l*,-rl) +:-,4
f m"'a*: (] ,-r, ,-r))
:
45
6rp
:
+ (-B) (*:r)
f ,,. r,,dr: (] t-ro;.n) ,:
(1.14)
4
(1.15) (
-240
1.16)
: f ru"u"a,
: (| t-rol t2 (-3) - ,, t)) 1,5 + ((--s0) (-3))'4 :
(1 " 17)
416.25
Le sr-srème devient
:
- 24Y {| zt.z:tx --2tx + 15)' \ +'
240
(1"18)
-416.25
( Y
L
ly:
-8i25r
lll1
1::
(1.1e)
En utilisant les équations d'écluilibre statique (forrnules l.5) et les schémas de la figure (1.2), on perit donc conclure 1es valeut's des efforts à l'encastrement A :
(H^:x i rr, : 2o+Y |. ,r, : -(-30-x.r-]'.(-3)) ( H^ :
\J t'r.r I( n,
(1.20)
2"lLt
i,1.875/
-rl; : -2
81'ô
(1.21)
I
tn
3. trn réalisant
la superposition des diagrammes élénrentaires des moments flêchissants de la figure {'1.2) et en remplaçanb les valeurs de X et ÿ,
on obticnt lc DNIF final du système (voir figurc 1.3) Dans la figure (1.,1), nous présentons le DNIF du svstèmc sltr un axe continu.
Pr.
Iv1.
RGTIIG
Cours
: Calcul
des structut:es
§
oure
1.3 Exercices
12.19
1l t
+ l)
-'
/.rr
2.815
A FIcunp
-5
1.3
-
R.éactions d'appuis et DMF
12" 19
-i:.(i25 Ftcunp
.+ Exercice 2
1.1
-
DN,IF sur un axe continu
:
Caicr.rler les réactions et les rnoments d'encastrement du systeme présenté clans la figure (1.5).
e Solution 2 : Les inconnues du système nombre d'inconnues de 6"
Pr.
lVI.
R(lIllG
Cours
sont: Ht,Vs, N[a, Hs. -ys et .4,/6. Soit rrn
:
Calcul des structures
§ eure
I
1.3 Exercices
F-Icunn 1.5
-
Schéma de I'exercice
2
Puisqu'on a 3 équations d'équilibre, le système est donc tryperstatique de degré 3. Soient H,q, Vt et ,11.a les inconnues hyperstatiques dr-r problème. I)écomposon-s ie système en 4 systèmes isostaticlues simples comlne présenté dans la figure (1.6).
1 a--' -l_) \ . \-/' ^
f§)
_rt D,
",
1
C,'
tr_\.2.
ffi;Y .t ..-1
i)t \:l
1
FtctlRB
1.6
-
t)écornpositioii des eflorts et DNIF correspottdaitts
Le théorème d'énergie potentielle de déformation s'écrit
o,: Jf " _ JI 2Er"(r
(\/, - x.r1, *)L: 2Et
Err appliquant le théorèrne de NIÉN,reRÉl, avec
:
t)!t 6, El :
tt D)
cte, an obtient
(1
Pr. Nl. RGUIG
Cor-rrs
: C'iilcul k".,
des structures
+
,,.;k",
:
(2.156)
dénivelées
lr\ Bsrp
38
2.6 Méthode des foyers
A.[r+t
,1f1
,\f-1
FIcuap 2.14- Dêfinition
des foyers de gauche
En appliquant l'équation (2.156) à l'appui A1, on obtient Mo
br)i *
(c1
*
az)Mr
I
b2M2:
:
g
(2.157)
U
I\It: - O' OU, h*az
+
(2.158)
M1 et M2 sorfi donc de signes contraires.
En faisant la même chose sur les autres appuis, on constate que les mo' ments changent de signe alternativemeni sur les travées de la poutre continue. D'où, sur chaque travée i', la courbe du moment coupe la ligne moyenne de la travée en un point -Q appelê : Foqer dg';gauche. En divisant l'équation (2.156) par }e moment intermédiaire
b,+:+ on pose
(q + a;+t)
* u*r# :
Mi,iI
vient
:
(2.15e)
o
:
(2.160)
on en déduit
:
-b#;*(c,*a;+r) -
+
?l+r:
W:o
(2.161)
bt+,
{2.162)
(cu*ar+r)-br,P;.
Le foyer de gauche .F} de la travée
d
est défini par
:
M;-r T-A
çi:_ Mi: Pr. M. RGUIG
Cours
(2.163)
M,
: Calcul des structures
§
nHrr
39
2.6 Méthode des foyers avec 0
I
ç, < 1 pour toute travée i.
Les valeurs de ç6 ne dépendent que des caractéristiques mécaniques des travées. Elles sont indépendantes des chargements extérieurs appliqués.
On peut constater que
-
:
Les foyers de gauche sont obtenus pil récurrence depuis leur position dans la travée la plus à gauche Ft : Ao à l'aide des coefficients ço; en 0 (équation 2.762), Partant du çr.: -#: Les moments fléchiiiànts se déciuisent de M. (moment Ie plus à droite) par récurrence à l'aide des coeflâcients rp,; (équation 2.160).
2.6.2
Foyers de droite
Considérons une poutre continue (Ao, Ar,. . . , Ar) soumise à l'action d'un moment ffi appliqué à son extrémité de gauche ,4s (figure 2.16).
FIcuRn 2.15 - Définition des foyers de droite On pose
:
l,
-
Ml
l*r: ttr^l
(2.164)
comme pour 1es foyers de gauche, on obtient bi
(cn*oo*r)-br+tÇ'*t
(2.165)
En dêsignant par F! le Foyer !,e drai'te (point de moment nul) de la travée i, on peut constater comme pour les foyers de gauche que :
Pr. M. RGUIG
Cours
: Calcul
des structures
§ nu:re
æ
40
2.6 Méthode des foyers
Les foyers de droite sont obtenus par récurrence depuis leur position dans la travée la plus à droite FL : An à l'aide des coefficients rpl en 0 (équation 2.165), partant de çL: -#: Les moments fléchissants se déduisent de M6 (moment le plus à gauche) par récurrence à l'aide des coeffici enls g| (équation 2.L64).
2.6.3 Calcul
des rnoments sur les appuis
à l'aide
des
foyers On considère une poutre continue sollicitée uniquement par des charges agissant sur ia travée i (figure 2.16).
lIr*t
,1/,-:
,11._r
)Ii
FtcuRs 2.16 - Calcul des moments srtr appuis En appliquant l'équation des trois moments aux appuis Ar-r et At
I \
bo-rMo-r* (.,;-t *a6)Mi-1+biMi boMo-, * (.0 + ai+t)Me * bi'4Mia1
à partir de (2.160) et (2.764), on obtient
! Mr-, :: I Mr+r le système (2.166) devient alors
: 0i.+ : -0i
\
-gr-rMr-t
(2.t67)
-4'r+rMo
:
à partir de (2.162) et (2.165), on a
0i-, -0't
(2.168)
:
| -bo-rço-r * (c;-r * a;) : * a,+r) - bi+tg't+t : *, \ to * Cours
(2.166)/
:
{ l-b;po-r * (c;-1 + o,)] IvI'i-r * b;Mi. : \ bot fo-, + [(., * ai+r) - bitrg'irr) M, :
Pr. M. RGUIG
:
: Calcul des structures
(2.16e)
§nnæ
41
2"6 h.{éthode des foyers
on obtient
:
(2.770) on obtient un système de deux équations à deux inconnues résoiution du système, on trouve :
^t -tff+o', 0;" --!- - I ,1
M;-r et./i'1. Après
(2.771)
9i9|
(2.172)
ou:
I (pi?l'i + ç*';0i br. 1- çpi
(2.173)
1 çt?'§'l; + ç'n0', Mt: -;bi, 7 - çp'.i
(2.174)
M;r
Sur les autres appuis, les moments sont ca,lculés directement à partir des foyers de gauche pour les appuis situés à gauche de A;-t et à partir des foyers de droite pour les appuis situés à droite de A; :
Mttt: -g't+rÿIt M;z: -gt-tM;-t Mt-J: -g;zM;.-z M+2: *g|+zM+t
(2.175)
Remarque : Dans le cas où d'autres trauées sont chargées, on opère par principe d,e superpositi,on en considérant chaque trauée seule chargée à la
fois.
Sur la figure (2.17), on présente un exemple d'une poutre continue à cinq travées chargée successivement par un moment f à son extrémité gauche ,46, une force concentrée P sur Ia travée centrale A2As et un moment f à son Pr. M. RGUIG
Cours
: Calcul
des structures
gfu BHrp
42
2.7 Exercices extrémité droite 45. de la poutr Le premier schéma présente les cinq foyers droites
"
(F1,, " , . ,
gauches de la poutre Le troisième schêma présente les cinq foyers
gauche Le deuxième schéma présente deux foyers de
de droite
Fil.
(Fi, ' ' ' F5)' '
(Fr, Fr) et deux foyers
(Fi,Fl).
il[z ÿ.t
lIt
§ Ao
(\ Ar
FicuRp 2.17
A
f3
F, A,TZ
-
lIt
Exemple d'une poutre continue à 5 travêes
2.7 Exercices .+ Exercice 6
:
1.
sur appuis de la Déterminer, par la méthode des foyers, les moments poutrc continue de Ia figrrre (2'18),
2.
Tracer Ie diagramme des moments fléchissants"
Pr. M. RGUIG
Cours
: Calcul des structures
Â
Bnrp
43
2.7 Exercices On prend
EI :
cte-
P:6iV
_- 0.8 i\i
L-/,
-
u
12 tn,
lr- 18 ,rr-:i';'-
''u
FIcunP 2.78 - Schéma de l'exercice
e
r
Solution 6
6
:
Ç-q}-cJtld-e§-fsvsr§-ds-s3ltc-be
iu iàtàtio"
g r,r'i
i
au niveau de I'encastrement Ao est
É.o: o'l
-
atMo
-
b1M1:
:
(2.176)
g
non pour déterminer les rapports focaux 9t, la poutre est considérée chargée. Donc on a : 0'd: 0, d'où :
-aJVs
+.
- blMr:
(2.777)
g
Iÿto
(2.178)
- Mr:-h -l ^:, sachant que Pour EI -- cte, on a a;.: )[" En reprenant l'expression (2'160), on a '
YL
1,.-
:
Mo1 --:
IvI,
(2.17e)
-
2
autres rapports focaux on utilise l,équation (2.162) pour déterminer les
e, --
i;;_
3 :1 # -4;6 - 1- 5 blet: E:+Ë-EJ:
b2
# 0zÿz -r8-l-e -
tu,-::
to2,: t'J - ---------
c2*a3-
ffi - tn -
d-es- level s ie-dg'oi !e' on utilise (2"L6$ :
Ç-elc:rl
Pr. M. RGUIG
Cours
_rÈ-J
:
an t
I
nlT-
1
:
(2.180)
:3 - to
12.181)
-'
LI,
, 9s: -g; --nu
: Calcul des structures
(2.182)
r§.
ssrP
44
2.7 Exercices puisque
Mz:0'
L'équation (2.165) nous donne
, U2
,
ryq-T
c2
tv,-----.-------.-
t\
c1
i
a3
:
18
:-
1 t - Osg'z
6EI 9 _
lB
:+:-
I
, 6 TEt -r JEI - 69t'u
31
6+3
(2.183) 3
,), LA
h.
4+6-1 I
iaz-0zg'z
(2.184)
Ç-qlcJrld-es-ægJt'çJLt§-gurappuit--. Trauée 1 ch,argée :
calculer respectiLes équations (2.173) et (2.77\ nous pelmettent de notre cas, ii Dans vement les moment, â". uppris de la travée chargée. s'agit des moments Ms et M1 :
!4o:1çfii+çP\o'' '"'u- bt 7-9r9\
(2.185)
on a d'après les tableaux des rotations des poutres
:
o,i:-#: ];l*1' ---# qll
57,6 : -EI '',: rm
^,
et
1e
coefficient de souPlesse b1
(2.187)
:
1.722 "'- 6EI - 6EI EI L
le moment est donc
_
(2.186)
,
:-
(2.188)
:
(2 18e) 1
+ le moment de droite M1 tvtl
Pr. M. RGIIIG
L çrç'r0[ -
Mo est,
+W
7 I _ ^l r - VtYt o1
Cours
:
-
0,5.É
-12,6 N.m
calculê par
:
_ *FI0,5.ït. \-YËi) + ô'=di 2
(2.1e0)
1
: Calcul des structures
- 0,5.3
(2.1e1)
 rurp
45
2.7 Exercices
+ on a aussi
Mt
:
(2.1e2)
-3,61{'nz
:
l
Mz
: -g'rMr: -;.(-3,
6)
:
1, 2 N
(2.1e3)
'm
m,Jox*
(2.1e4)
Trauée 2 chargée
olfa:
1 ,p20i + çzv'20'z
tll1:'
L-Qz'92-tle coefficient de souplesse et les rotations sont
^!t : o,
-
Pa (t
6EIü1,2
o;
(2.1e5)
----:--bz
:
l' : 18 3 ^-"'' oEI 6EI- EI 6'L(18 - a)(212 - a) :--
{
(2.1e6)
-
6)(36
a'i:-#
(2.1e7) (2.1e8)
: #u3 - o') : #h(18' - 6\ : #
on obtient donc
6)
(2.1ee)
:
(2.200) (2.201) les autres moments sont
:
t_çrç'ryi+ç'r|L b2 7-çzç'z
ru,-
:- nlià ( -#)ià#
(2.203)
Mz: -T N'm Mo: -ptMr: -] t-rr) Mo:5,5 N'rn 't
+
total sont Les moments sur appuis dus au chargement
( Mn : -12,6+5,5 : -7,1N'm I u, : -8,6 - 11 : -14,6 N'm - -5,8N'nz \ nr, : 1,2-T : |.
Pr. M. RGUIG
.na,
Cours
(2.202)
.)
(2 204) (2.205) :
(2.206)
orr'm
:
Calcul des structures
§ outr
46
2.7 Exercices
2.Ledéve}oppementduDMFest}emêmequeladeuxièmequestionde l'exercice 2. (2'19)' Le DM!' correspondant est présentê sur la figure
Ficuns "+ Exercice 7
2'79
DNIF - Exercice 6
-
:
Calculerlesmomentsauniveaudesappuisduschémade]afigure(2.20).
P
:
2.10i]
À,
P
:
2-1ürl
P
Solution 7
Az
Pr. M. RGUIG
2.1{j:r,\
t.,
- Schéma de l'exercice 7
:
Calcul des foyers (rapports focaux)
Ona:
À,' P :
Q_,,) 4-,-) 2n :2 rn-*-la ----*-h
tt,:lilt
FtcunP 2.20
e
2.103
^' .)
At
:
Mo:0 + Cours
:
:
,r: -'#r:0
Calcul des structures
Q.2a7)
 sutp
47
2.7 Exercices
b2 #. ez:;*[r-6§-- fi+ # -
. Çs
:
bs _ ;ra o, -Çç, - #
2
681
= 0,3
#- #
+
:0.3
(2.208)
:0.21978
(2.20e)
ba : & :0,26453b : ----.-----2 -T-; : t^17 2=.0.2197g -1c3 -f a+ - ospz lEI Tel ant : on a encore
(2.210)
\Da
N,[
Ma:0 't
'P'n: --ffr:0 ^
b,
: = û .^,Y3+ #î -u=:0,25 cz+aa-b+q'q, #7 b2
,
_
9'z: ,ra oÇ6rç;: Z:+Z-
#
(2.2r2)
:o.31s7gg
, ---l-_-br----'-; -- -T-, 'T= '_î{I; ::==:::0,22093 (p't: _L.0,315789 -1Lt 1 q.z - ozPz Calculons
(2.273)
$r.O,zS 2
lEI
(2.211)
(2.214)
TEI
-fois les moments par travée chargée à 1a
:
TrelCel-qbsJseei
t
çfi+çp'ro| Mo: ;'b1 1- ?tg|
(2.215)
sont donnés par le coefficient de souplesse b1 et ies rotations
Pt?
oo: -T6EI ^lIL-_
-
2ooo.22
76EI
., Pt?
500
EI
5oo
"'- 16EI EI 21 A--"'6EI - 3EI on a donc
:
Mo:381.0
:
A
N.m
:
(2.276)
(2.217) (2.218)
(2.27e)
tî : - t çrçrld:-/rli:- *38/0+0:220:3'# üLL 1- o - -831,395l/.nz br--l- çr"i e.220) (2'227) Mz: *g'z![t - -0,315789.(-331,395) : 104' 651l{"nz
'irt1
Pr. M. RGUIG
Cours
: Calcul des structures
§eum
48
2.7 Exercices
Ms:
-g'sMz
- -0, 25-104,651 :
M+: -q'+Ms:
(2.222)
-26,76 N'm
(2.223)
0 '|y''rn
tevee2-lhqlsqqi Ona: Jvtl
-
{2.224)
bz I-PzQz I
-
de Ia travée sont le coefficient de souplessebz et les rotations 0\'
: - -!-ç,6E Ilz" o' ,,
a)(2t2- a)
:-#H,'
2\ 2000 1 r'l2 o'): i! - drh(Li#Ë(n
31:
bz: oLI d'où
1)(6- 1)
-
1)
:
: -ry#
888'889 : --Er
(2.225)
(2.226) (2.227)
m
:
+ --0,3 1-a*11) Mt:zntffig
Mz:
o,
e.0,315789'æH@
t çzp'ro'l + çro', b2 I - çzçL
(2.228)
(2"22e)
315789. ., r, r0, 3.0,
- LrJr
- -550, zB7 N.m
1
(- u*11) +9i -315789'9§H§9
-
o, 3.0'
(2.231)
-387,597 N.m
Mo: Mq:0
(2.230)
3i5789
(2.232)
N'rn
Ms: -q'tMz: -0, 25. (-3 87,597) -
96,8991 r['rn'
(2.233)
tEryse,g-çhqrseei On a:
t %0'; + çIPL?L - - bz L-PsPs|
rvt2
le coefficient de souplesse b3 et les rotations
(2.234)
:
(2.235)
ôtt att u2_vo_ - -500 EI
Pr. M. RGUIG
Cours
: Calcul des structures
Â
Bnrp
49
2.7 Exercices
g's:i,'t:H
(2.236)
21
(2.237)
bz: 681: on trouve
m
:
- --,0,21978. i[2-38]m25
Mt
(-H) * 0'21978' :
-267,628 rf.rn
: _ir'-ri:!;,i:r,
(2.23e)
0.21978.0, zs. (-!#) + o,zsffi 0,21978'0'25
: -3EI r: -309, 593 N.rn n,r Lvl| -
-
") "- \ -Y'21v!2 - -0,3.(_-261,628) -,p2h[2-
Q.24a) (2.247) (2.242)
:78'488lÿ'nz
(2.243)
: M+:0 lf'rn
Mo
(2.238)
Tæree-éibarsÉ9-.
Ona:
lça0,i+g+g,n0i _ ,pA;
(2.244)
lvft: b^-i
coefficient cle souplesse ba et rotations
:
o';:o';:-#
(2.245)
500 0l: T1 21 bq: 6EI: -
(2.246)
0'q:
d'où
(2.247)
:
.)tr r0, 264535. JVt3-ÙDr ^,f _
(-H)
+0
1_0
_ .tvr4^/r
-396, 8031V.rn
(2.248)
+ ç'o0n: 0ly'.rn ba 7-çqç'+
(2.24e)
Mo: Ma:01/'m
(2.250)
cpq,p'nïJ
_1
I\,[2: -92]vts- -0,21978'(-396' Pr. M. RGUIG
-
Cours
:
803)
:87
Calcui des structures
'209
(2.251)
N 'm
§
nutr
50
2.7 Exercices
Mt-
-QzMz- -0,3'87,209
Moments dus au chargement totai
(Mo:o I ll. 'M; : : I I Ui :
lmn:
-331,395
oir -26,t6+
roa,
:
-
26,763 550,387 + 78,488 + 261,628 387,5gT 96,8991 309,593 396,803
-
-
87,209
(2'253)
-
o
Mo : M1 : Mz : Ms : M+ :
+{ .+ Exercice 8
(2'252)
- -26'163N'nz
}N'm -829,46N'm
(2.254)
-457,37 N.m
-635,66N'm AN'm
:
Déterminerlesmomentssurlesappuisettracerlediagrammedesmosur 1a figure (2'21)' ments fléchissants (DMF) de la poutre schématisée
4;V
/fr
,àrl
4r
"'F-&
: Z^ nt*ii
"',' -
: 2- rn*t.2 : 2r,t*-le : 3 "'--l/, A't Az Atio"' k-lr
A+
FtcuRs 2.21- Schéma de l'exercice
e
Solution 8
On
l
z rnÀ
As
8
:
a: Mo:0
+
Mo
9r: -fr:
Calcul des foyers des travées de la poutre
u
(2.255)
:0.25 - v, -J
(2.256)
:
bz û ez: ;a * _Çer: Z_ ;Z-
o
3
(2.257)
b3
*+*-*.a,zs crTa,-brw- #+#-#1'a, Pr. M. RGUIG
Cours
: Calcul des structures
Â
Bsrp
51
2.7 Exercices
ba
# : --l -, --r---'
cal_ a4- DsÇz
: -----------;-
\21
*-6+g+ r!
+
L2 U5
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vs:
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ffi -
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" #7'0,316
6EI
: